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SOURCE :Gérard COQUET – LP Guynemer - Grenoble

Baccalauréat Professionnel Vente – Commerce

E.Caudron

2

B

Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5]

-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

AC

x

xx

X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

F(x) 14 7 2 -1 -1-2 2 7 14

3

B

Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4,5 ; 4,5]

-4,5 -4 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 - 0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

A

Points de la courbe A B C

Abscisse des points

Pente de la tangente

C

3

6

0

0

-3

-6x 2

x

xx

4

Conclusion: • Le tableau de valeurs obtenu est celui d’une fonction linéaire g définie par g(x) = 2.x

• Cette nouvelle fonction est appelée fonction dérivée de la fonction f ;Elle est notée f ’

• La pente de la tangente en un point de la courbe, d’abscisse donnée, est appelée nombre dérivé de la fonction f

f(x) = x² - 2 f’(x) = 2.x

Exemple: Pour x = 3 on a: f’(3) = 2 x 3 = 6

5

Dérivées des fonctions usuelles

Fonctions Fonctions dérivées

f(x)= a.x + b a . x + bf’(x) =

f(x) = x² 2f’(x)= x ²

f(x) = x3 x 23f’(x)=

f(x) = x1

f’(x)= x2

- 1

6

f(x) = a u(x) f’(x) = a u’(x)

Exercices d’entraînement

f(x) = u(x) + v(x) f’(x) = u’(x) + v’(x)

7

f(x) = x² + 5

Exercices d’entraînement

f’(x) = 2.x

J(x) = - x² + 1 J’(x) = - 2.x

G(x) = 3x² G’(x) = 3x 2.x = 6.x

H(x) = x3-1 H’(x) = 3x²

S(x) = 4x²-5x+2 S’(x) = 4x2x - 5

I(x) = -2x3+4x²-5x+7 I’(x) = -2x3x²+4x2x - 5

= 8x - 5

= -6x²+8x- 5

Lien entre la dérivée et les variations d’une fonction1.Soit la fonction F(x)d’équation F(x) = x² +2x + 1 représentée ci-dessous

1O

x

1

y

O

1O

x 1

y

O

2.Compléter le tableau de variation de la fonction f(x) :X -4 2

Variations de F(x)

-1

0

3.Calculer F’(x), la fonction dérivée de la fonction F(x)

F(x) = x² +2x + 1

F’(x) = 2x+2

4.Calculer :

F’( -4 ) =F’(-1) = F’(2) =

2x(-4)+2 =-62x(-1)+2=02x2+2 =6

F’( -4 ) est appelé nombre dérivé en -4 , F’(-1 ) est appelé nombre dérivé en -1 et F’(2) est appelé nombre dérivé en 2 .

6.Synthétiser dans un seul tableau les deux tableaux précédents :

X -4 2

Signe de F’ (x )

Variations de F(x)

-1

0- +

0

9 9

DERIVÉES – BILAN Soit f une fonction définie sur un intervalle

I, et admettant une dérivée f’ sur I.

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•Si, pour tout x de I, f’(x)>0, alors f est croissante sur I.

•Si, pour tout x de I, f’(x)<0, alors f est décroissante sur I.

•Si, pour tout x de I, f’(x)=0, alors f est constante sur I.

Une fonction atteint son extrema (maxima ou minima) lorsque sa dérivée s’annule [ F’(x)=0 ]