Nome: nº Data: / / 2017 Professor: Gustavo Bueno …colegioser.com.br/uploads/atividades/2017-10-09-matematica-lista-3... · 04) Se S for um sistema possível e determinado, então

Nome:________________________________________________________nº_______ Data: _ _ / _ / 2017

Professor: Gustavo Bueno Silva - Ensino Médio - 3º ano_____________

Lista de Revisão

1. (Upe-ssa 2 2017) Márcia e Marta juntas “pesam” 115 kg; Marta e Mônica “pesam” juntas 113 kg; e

Márcia e Mônica “pesam” juntas 108 kg. Qual é a soma dos “pesos” de Márcia, Marta e Mônica?

a) 205 kg

b) 195 kg

c) 187 kg

d) 175 kg

e) 168 kg

2. (Famema 2017) Uma pessoa comprou 2 pacotes de algodão, 5 rolos de gaze e 3 rolos de esparadrapo.

Na farmácia onde realizou a compra, o preço de um pacote de algodão mais um rolo de gaze e mais um rolo

de esparadrapo é R$ 16,00. Um rolo de esparadrapo custa R$ 2,00 a menos que um pacote de algodão e

R$ 1,00 a mais que um rolo de gaze. Sabendo que essa pessoa pagou a compra com uma nota de R$ 50,00, o

valor do troco recebido foi

a) R$ 0,50.

b) R$ 1,00.

c) R$ 1,50.

d) R$ 2,50.

e) R$ 2,00.

3. (G1 - ifpe 2017) Carlos e Renata estavam prestes a se casar e decidiram conversar com o gerente do

banco em que ambos possuíam conta para ver a possibilidade de fazer o financiamento de um novo

apartamento. Em uma conversa informal, o gerente lhes informou que, mesmo juntando o saldo dos dois,

ainda seria necessário um valor de R$ 4.100,00 para pagar a entrada no valor de R$ 12.000,00. Renata não

lembrava do valor que tinha na conta, mas sabia que possuía R$ 500,00 a mais que Carlos.

É CORRETO afirmar que Carlos possuía

a) R$ 3.500,00 em sua conta.

b) R$ 4.000,00 em sua conta.

c) R$ 4.200,00 em sua conta.

d) R$ 3.700,00 em sua conta.

e) R$ 2.800,00 em sua conta.

4. (Uem-pas 2017) Considerando o sistema linear ax by c I

S :dx ey f II

com a, b, c, d, e, f , assinale a(s)

alternativa(s) correta(s).

01) Se c f 0, então o sistema S não admite solução para quaisquer valores de a, b, d, e.

02) Se a b

det 0,d e

então o sistema S é impossível.

04) Se S for um sistema possível e determinado, então as retas r e s, que representam as equações I e II,

respectivamente, interceptam-se num único ponto.

08) Se o sistema S for equivalente ao sistema x y 2

A ,y 2

então S tem solução única dada pelo par

ordenado (4, 2).

16) Se a d e b e, então o determinante da matriz dos coeficientes do sistema S é nulo.

5. (Efomm 2017) Dado o sistema linear abaixo, analise as seguintes afirmativas:

3 4 6 x 3

0 16 b y a

1 4 2 z 3

I. Se b 12, o sistema linear terá uma única solução.

II. Se a b 12, o sistema linear terá infinitas soluções.

III. Se b 12, o sistema será impossível.

a) Todas as afirmativas são corretas.

b) Todas as afirmativas são incorretas.

c) Somente as afirmativas I e III são corretas.

d) Somente as afirmativas I e II são corretas.

e) Somente as afirmativas II e III são corretas.

6. (Ita 2017) Determine todos os valores reais de a para os quais o seguinte sistema linear é impossível:

x ay z 2

x 2y 3z 1.

3x az 5

7. (Acafe 2017) Num restaurante, uma torta de legumes pesa 250 gramas, o que equivale a 500 calorias, e

a porção de carne tem 240 gramas e contém 600 calorias. Uma pessoa com restrição alimentar compra uma

torta e uma porção de carne, mas ela sabe que pode ingerir no máximo 824 calorias.

Considerando que x e y representam, respectivamente, em gramas, a quantidade de torta e de carne que ela

pode ingerir, então, se essa pessoa consumir entre 180 gramas e 220 gramas de carne, ela só poderá comer

uma quantidade de torta entre:

a) 127 g e 197 g.

b) 138 g e 188 g.

c) 137 g e 187 g.

d) 147 g e 177 g.

8. (Fgvrj 2017) Um fazendeiro compra semanalmente um saco de farelo de milho, um saco de farelo de soja

e um saco de farelo de cevada, mas compra também um saco extra de um desses três produtos. Quando o

saco extra é o de milho, o peso total dos quatro sacos é de 110 kg, quando o saco extra é o de soja, o peso

total dos quatro sacos é de 106 kg e quando o saco extra é o de cevada, o peso total dos quatro sacos é de

104 kg. Os pesos dos sacos de cada produto são sempre iguais.

Determine o peso de um saco de cada produto.

9. (Espcex (Aman) 2017) Considere o sistema linear homogêneo

x 3y kz 0

3x ky z 0,

kx y 0

onde k é um número real.

O único valor que torna o sistema, acima, possível e indeterminado, pertence ao intervalo

a) ( 4, 2]

b) ( 2,1]

c) (1, 2]

d) (2, 4]

e) (4, 6]

10. (Unicamp 2017) A figura abaixo exibe três círculos no plano, tangentes dois a dois, com centros em

A, B e C e raios de comprimentos a, b e c, respectivamente.

a) Determine os valores de a, b e c, sabendo que a distância entre A e B é de 5 cm, a distância entre A e C

é de 6 cm e a distância entre B e C é de 9 cm.

b) Para a 2 cm e b 3 cm, determine o valor de c b de modo que o triângulo de vértices em A, B e C

seja retângulo.

11. (Espm 2017) Considere o sistema

x y6

y z

x z 5

y x 2

y z 9

z x 2

onde x, y e z são reais não nulos.

O valor da expressão 2 2 2x z y x z y

xyz

é:

a) 15

2

b) 17

2

c) 15

4

d) 13

2

e) 17

4

12. (Epcar (Afa) 2017) A solução do sistema

x y x y x y x y1

2 6 18 54

3x y 2

é tal que x y é igual a

a) 11

3

b) 10

3

c) 7

3

d) 8

3

13. (Unicamp 2017) Sejam a e b números reais. Considere, então, os dois sistemas lineares abaixo, nas

variáveis x, y e z :

x y a,

z y 1,

e

x y 2,

y z b.

Sabendo que esses dois sistemas possuem uma solução em comum, podemos afirmar corretamente que

a) a b 0.

b) a b 1.

c) a b 2.

d) a b 3.

14. (G1 - ifal 2017) Sabendo que Tales e Platão têm juntos massa de 159 kg; Platão e Fermat, 147 kg; e

Tales e Fermat, 134 kg, determine a massa de Tales, Platão e Fermat juntos:

a) 200.

b) 210.

c) 220.

d) 230.

e) 240.

15. (Fgv 2017) Chama-se solução trivial de um sistema linear aquela em que todos os valores das incógnitas

são nulos.

O sistema linear, nas incógnitas x, y e z :

x 2y z 0

x y 5z 0

5x y mz 0

a) é impossível para qualquer valor de m.

b) admite apenas a solução trivial para qualquer valor de m.

c) admite soluções diferentes da solução trivial para m 13.

d) admite soluções diferentes da solução trivial para m 10.

e) não admite a solução trivial para m 13.

16. (Mackenzie 2017) O resultado da expressão 3 2i

1 4i

na forma x yi é

a) 11 14

i17 17

b) 11 14

i15 15

c) 11 14

i17 17

d) 11 14

i15 15

e) 1

3 i2

17. (Mackenzie 2017) Se 2 i

2iβ

tem parte imaginária igual a zero, então o número real β é igual a

a) 4

b) 2

c) 1

d) 2

e) 4

18. (Ime 2017) Sejam os complexos z a bi e w 47 ci, tais que 3z w 0. Determine o valor de a, b e

c, sabendo que esses números são inteiros e positivos.

19. (Uece 2017) Se i é o número complexo cujo quadrado é igual a 1, então, o valor de 227 6 135 i i i é

igual a

a) i 1.

b) 4i 1.

c) 6i 1.

d) 6i.

20. (Unisc 2017) A parte real do número complexo 21 (3i)

z1 i

é

a) 1

b) 1

c) 2

d) 2

e) 4

21. (Ufsc 2017) Em circuitos elétricos como, por exemplo, o das instalações residenciais, as grandezas

elétricas são analisadas com o auxílio dos números complexos. A relação U Z j fornece a tensão U em

função da impedância Z e da corrente elétrica j. Nesses termos, essas variáveis são expressas através de

números complexos a bi. Considere agora U 110(cos 0 isen 0 ) e Z 5 5i. Determine o valor da

expressão 2a b, sendo j a bi.

22. (Unicamp 2016) Considere o número complexo 1 ai

z ,a i

onde a é um número real e i é a unidade

imaginária, isto é, 2i 1. O valor de 2016z é igual a

a) 2016a .

b) 1.

c) 1 2016i.

d) i.

23. (Uem 2016) Considere os números complexos 1z 1 5i e 2z 3 4i.

Assinale o que for correto.

01) 1 1z z 26.

02) 1 2 1 2z z z z .

04) 1 2z z 3 20i.

08) 1

2

z 23 11i.

z 25 25

16) 1 1z z 0.

24. (Upf 2016) O número complexo z, tal que 5z z 12 16i, é igual a:

a) 2 2i

b) 2 3i

c) 3 i

d) 2 4i

e) 1 2i

Gabarito:

Resposta da questão 1:

[E]

Considerando que:

Márcia “pesa” x kg, Marta “pesa” y kg e Mônica “pesa” z kg, temos o seguinte sistema:

x y 115

y z 113

x z 108

Somando as equações, obtemos: 2x 2y 2z 336

Portanto,

x y z 168 kg


[B]

Considerando que x é o preço do pacote de algodão, y o preço do rolo de gaze e y o preço do rolo de

esparadrapo, temos o seguinte sistema:

x y z 16 x y z 16

z x 2 x z 2

z y 1 y z 1

Resolvendo o sistema por substituição, temos a seguinte equação: z 2 z 1 z 16 3z 15 z 5

Portanto, temos:

z 5, x 7 e y 4.

O valor do troco será dado por: 50 (2x 5y 4z) 50 (2 7 5 4 3 5) 1,00

O troco recebido foi de R$ 1,00.


[D]

Como ainda seria necessário um valor de R$ 4.100,00 para pagar a entrada no valor de R$ 12.000,00, e,

Renata (r) possui R$ 500,00 a mais que Carlos (c) temos:

r c 4100 12000

r c 500

Daí, temos: r c 4100 12000 r c 7900

r c 500 r c 500

somando as equações temos: 2r 8400 r 4200

Como Renata possui R$ 500,00 a mais que Carlos temos: 4200 500 3700.


04 + 08 + 16 = 28.

[01] Falsa. Se c f 0 o sistema nunca será impossível, pois admitirá a solução trivial (0, 0).

[02] Falsa. Se a b

det 0,d e

o sistema poderá ser impossível ou possível e indeterminado.

[04] Verdadeira. O sistema terá solução única que geometricamente indicará o ponto de intersecção das

retas.

[08] Verdadeira. Sistemas equivalentes possuem a mesma solução:

x y 2A ,

y 2

Como y 2, temos:

x ( 2) 2 x 4

Logo, a solução será: S {(4, 2)}

[16] Verdadeira. a b

det a e b d 0.d e


[D]

Faremos, agora, a discussão do sistema em função dos parâmetros a e b.

O primeiro passo será o cálculo do determinante dos coeficientes:

3 4 6

0 16 b 192 16 b

1 4 2

O sistema Linear terá solução única se: 192 16 b 0 b 12

Verificando o que acontece com o sistema quando b 12, temos:

3x 4y 6z 3 x 4y 2z 3

16y 12z a 3x 4y 6z 3

x 4y 2z 3 16y 12z a

O próximo passo é o escalonamento do sistema, vamos multiplicar a primeira equação por 1 e somar com

a segunda, trocando a segunda equação pela equação obtida.

x 4y 2z 3

0 16y 12z 12

0 16y 12z a

Multiplicando, agora, a segunda equação por 1 e somando com a terceira, temos:

x 4y 2z 3

0 16y 12z 12

0 0 0 a 12

O sistema terá infinitas soluções se b a 12 e será impossível se b 12 e a 12.

Portanto, somente as afirmativas [I] e [II] são corretas.


Utilizando a Regra de Cramer:

2

SI ou SPI D 0

x ay z 2 1 a 1a' 1

x 2y 3z 1 D 1 2 3 a 7a 6 0a'' 6

3x 0y az 5 3 0 a

Mas,

xx

2x

Dx D 0

D

2 a 1a' 1

D 1 2 3 a 11a 10 0a'' 10

5 0 a

Assim, a 6.


[C]

Calculando:

Para o mínimo de carne:

240 gCarne

600

180 gx 450 calorias

x

250 gTorta 824 cal 450 cal 374 cal

500

yy 187 g

374

Para o máximo de carne:

240 gCarne

600

220 gx 550 calorias

x

240 gTorta 824 cal 550 cal 274 cal

500

yy 137 g

274


Calculando:

x peso milho

y peso soja

z peso cevada

2x y z 110

x 2y z 106

x y 2z 104

4 x y z 320 x y z 80

x x y z 110 x 80 110 x 30 kg

y x y z 106 y 80 106 y 26 kg

z 80 104 z 24 kgz x y z 104


[B]

Para que o sistema homogêneo seja indeterminado devemos considerar o determinante dos coeficientes nulo.

Então:

3 3

1 3 k

3 k 1 0 k 1 0 k 1

k 1 0

Como k é um número real, devemos considerar k 1.

Portanto, k 1 2,1 .


a) Tem-se que

a b 5 a b 5

a c 6 a b 3

b c 9 c 9 b

a 1cm

b 4cm .

c 5cm

b) Se c b, então a hipotenusa do triângulo ABC é BC. Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, vem 2 2 2(c 3) (c 2) 5 (c 3 c 2)(c 3 c 2) 25

2c 5 25

c 10cm.


[D]

Somando as equações, temos 2 2 22x 2y 2z x z xy yz 13

13 .y z x xyz 2


[B]

A soma apresentada é uma PG com razão 1 3. Logo, pode-se escrever:

1

x ya 3x 3y 3x 3y2S 1

11 q 8 81

3

1x3x 3y 8 103 x y33x y 2 y 3


[D]

Se o sistema possui solução em comum, o sistema formado pelas quatro equações tem solução. Portanto,

pode-se escrever:

x y a

z y 1

x y 2

y z b

z y 1z x 3

x y 2a b 3

x y az x a b

y z b


[C]

Seja Tales representado por t. Platão representado por p. Fermat representado por f.

Sabendo que Tales e Platão têm juntos massa de 159 kg; Platão e Fermat, 147 kg; e Tales e Fermat, 134 kg :

t p 159 t p 159 t p 159

p f 147 p f 147 ( 1) p f 147

t f 134 t f 134 t f 134

Somando o sistema temos:

t p 159

p f 147t 73

t f 134

2t 146

Substituindo na primeira equação: t p 159 73 p 159

p 86

Substituindo na última equação temos: t f 134 73 f 134

f 61

Somando os três pesos temos: t p f 73 86 61 220 kg


[C]

Calculando:

x 2y z 0 1 2 1

x y 5z 0 1 1 5 3m 39

5x y mz 0 5 1 m

Caso 1) D 0 3m 39 0 m 13 SPD

Caso 2) D 0 3m 39 0 m 13 SPI admite soluções diferentes da trivial.


ANULADA

Questão anulada no gabarito oficial.

Lembrando que 2i 1, temos

2

2

3 2i 3 2i 1 4i

1 4i 1 4i 1 4i

3 12i 2i 8i

1 16i

5 14i.

17 17


[A]

De 2 i

,2iβ

2

22

2

2 2

2

2 i 2i

2i 2i

2 4i i 2i

2i

2 2 4 i

4

2 2 4i

4 4

40

4

4

β

β β

β β

β

β β

β

β β

β β

β

β

β


Calculando:

3

3 3 2 2 3

3 2 2 3

z w 0

a bi 47 ci 0 a 3a bi 3ab b i 47 ci 0

a 3ab 47 3a b b c i 0

Logo,

2 3

3 2 2 2

2 3 2 3

3a b b c 0

a 1 b 4

a 3ab 47 0 a 3b a 47 a , logo : ou

a 47 b

3a b b c 0 3 1 4 1 c 0 c 52


[C]

Sabemos que: 227 56 4 3

6 1 4 2

13 3 4 1

Portanto, 227 6 13 3 25 i i i 5 i i i 5i 1 i 6i 1


[E]

2

2

2 2

1 (3i)z

1 i

1 9iz

1 i

1 9z

1 i

8z

1 i

8 1 iz

1 i 1 i

8 8iz

1 i

8 8iz

2

z 4 4i

Re(z) 4


11.

Sendo U 110, temos:

(5 5i)(a bi) 110 5(a b) 5(a b)i 110

(a b) (a b)i 22 0i

a b 22

a b 0

a 11.

b 11

Portanto, vem 2a b 2 11 ( 11) 11.


[B]

Tem-se que

2

2

1 ai 1 ai a i a i a i az i.

a i a i a i a 1

Portanto, o valor de 2016z é 2016 0i i 1.


01 + 08 = 09.

[01] Verdadeiro. Calculando:

21 1z z 1 5i 1 5i 1 5i 5i 25i 1 25 26

[02] Falso. Calculando:

1 2

1 2

z z 1 5i 3 4i 4 9i4 9i 4 9i

z z 1 5i 3 4i 4 9i


21 2z z 1 5i 3 4i 3 4i 15i 20i 17 19i 3 20i

[08] Verdadeiro. Calculando:

21

22

1 5i 3 4iz 1 5i 3 4i 15i 20i 23 11i 23 11i

z 3 4i 3 4i 3 4i 25 25 259 16i


1 1z z 1 5i 1 5i 2 0


[D]

Suponha que z a bi, então z a bi.

Logo, a 2

5 a bi a bi 12 16i 6a 4bi 12 16ib 4

Portanto,

z 2 4i.

Documents

Nome: nº Data: / / 2017 Professor: Gustavo Bueno …colegioser.com.br/uploads/atividades/2017-10-09-matematica-lista-3... · 04) Se S for um sistema possível e determinado, então