Nonlinear Beams Fcp Unsa 020 (1)

METODOLOGIA - Anlisis, descripcin, demostracin, ejemplos, solucin de problemas. - Investigacin grupal, debate.

- Relacin de equipos de enseanza

Proyector de transparencias.,

Separatas.

Software de Resistencia de Materiales

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C.D.

Laboratorios de Computo

Laboratorio de Ensayo de Materiales y Ensayos Simples

Viaje de estudios

Visitas a Obras de edificaciones, puentes, Naves Industriales

Exposiciones de Profesores invitados EVALUACION Los criterios que se usaran para la evolucin del curso son

a. Intervenciones orales y asistencia obligatoria b. Puntualidad en la entrega del trabajo c. Nivel de conocimiento y/o aprendizaje d. Nivel de aprendizaje en el laboratorio e. Inters y motivacin por el curso f. Participacin en Laboratorios de Computo g. Participacin en Laboratorio de Ensayo de materiales

La nota final ser el resultado de la siguiente formula:

PROMEDIO FINAL = [(EXP + EXF + PROMPRAC)] / 3

Donde: EXP: Examen parcial EXF: Examen final PROMPRAC: Promedio de trabajos escalonados (5 Revisiones)

- Para obtener el promedio, se consideran todas las notas correspondientes a las revisiones programadas durante el semestre.

- Es obligatoria la asistencia a clases y visitas y reuniones de grupos de trabajo y la presentacin del TRABAJO FINAL con su respectiva sustentacin solo en la fecha programada.

Anlisis lineal y no lineal de vigas Resistencia de Materiales 2

Dpto. de Ingeniera Civil, FIC/UNSA Fidel Copa 2

DEFORMACIONES POR FLEXIN EN VIGAS, RADIO DE CURVATURA Sea una viga de acero ASTM A36 sometida a esfuerzos por flexin que superan el esfuerzo de fluencia del acero, Se asumir un comportamiento estructural elasto plstico como se muestra en la figura ms adelante. Dicha viga tiene una seccin rectangular de: un ancho b=3 y un peralte de h=6, siendo el mdulo de elasticidad del acero Fy=29000ksi.

|

De la teora de la flexin se tiene que los desplazamientos son pequeos comparadas con la luz de

la viga, las secciones transversales permanecen planas y la lneas son paralelas al eje de la viga. De

donde por geometra la deformacin lineal por Flexin en la viga, y el radio de curvatura () en

una coordenada determinada de la viga es constante.

De donde se desprende las siguientes relaciones geomtricas

r

d

b

h

Lnea Neutra

b

h u

mdx

=2m

h

du

u

dx

dx

mdx

h/2

=

2m

h

dx

mdx

h/2

=1

=

2mh

=1

=

2mh

Relaciones geomtricas:

=2m

h

mdx

u

d h/2

dx

=

2m

h

=2

M M

M = Momento:

M = 2

= M =2

2

Curvatura:



( ) Es Fy

Esif

Fy sign ( ) otherwise

ESFUERZOS BAJO COMPORTAMIENTO ESTRUCTURAL INELSTICO EN LA VIGA

Debido a que las vigas tienen un comportamiento estructural especial y deben ser dctiles ahora

estudiamos como varan los esfuerzos por flexin y la capacidad de resistencia de la viga, en la

figura siguiente se ilustran los diagramas de deformacin unitaria sigue siendo lineal, no obstante

el comportamiento.

La distribucin de deformacin unitaria es siempre lineal por la teora de la flexin las secciones

de la viga permanecen planas. Mediante relacin geomtrica hallamos u en funcin de , del

mismo modo la curvatura :

La distribucion de esfuerzos bajo un comportamiento estructural no lineal tiene la forma

m

m

s()

b

h

(b) Seccin de la viga (a) Viga elevacin (c) Diagrama de

deformacin

(d) Diagrama de

esfuerzos s

u

du

s()

Fy

Fy

Fy

Fy

u h

2 m

u

m

0.5 h

m

m

u

h/2

P

M



Fig. Trazo o ploteo del Ensayo de Traccin de barras ASTM A615 grado 40 cuyo Fy=40ksi.

El esfuerzo normal bajo comportamiento inelstico, ser:

m 0.0001 0.0005FRAME

m m 0.0001 m

( ) Es Fy

Esif

Fy sign ( ) otherwise

0 0.0015 0.003 0.0045 0.006 0.0075 0.009 0.0105 0.012 0.0135 0.0150

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Grafico Esfuerzo VS Deformacion

Deformacion (pulg/pulg)

Esf

uerz

o (

Ksi

) Fy

( )

Fy

Es

max

s(e)

e

Modelo Terico Elasto plstico Esfuerzo-Deformacin

Grficos del ensayo real Esfuerzo-Deformacin



Ecuacin de la le elstica Demostracin

De la teora de la flexin se tiene que los desplazamientos son pequeos comparadas con la luz de

la viga, las secciones transversales permanecen planas y la lneas son paralelas al eje de la viga.

mds

h/2

M M

ds

mdx

u

d h/2

dx

=

2m

h

=2

I = 2

Momento en la seccin:

M = 2

= M =1

2

=

r

d

d Por relacin de tringulos semejantes:

=

De donde el radio de curvatura:

Lnea Neutra

b

h u

du

u

dx

ds

mds

h/2

mds dA=bdu

=

2 Y obtenemos la ecuacin de la

elstica:

Donde:



Problema 1. Determine los momentos flectores y las reacciones verticales en la viga de la figura. Tomar EI constante. El apoyo 1 es simple el 2 es empotramiento.

Diagrama de cuerpo libre, si una estructura esta en equilibrio esttico tambin cada una de

sus partes lo est

Esta estructura tiene una sola fuerza superflua por ello se parte en dos la estructura

completa: una a la derecha y de la izquierda cada una de sus partes tambin est en

equilibrio. La diferencia est en la eleccin de la fuerza superflua.

L=8.00 m

q=500 kg/m

1 2

q=500 kg/m

x V1 V2

M2

M(x)

V(x)

x

M(x)

V(x)

E E I I x x L L q q

M x V1( )q

2 x

2 V1 x

q

m x( )V1

M x V1( )d

d M

V1( )

0

L

xM x V1( )

E Im x( )

dM

V1( ) solve3 L q

8

Por tanto la reaccion

V13 L q

8

q

E E I I x x L L q q

V2 M2( ) qL

2

M2

L q

M x M2( )q

2 x

2 V2 M2( ) x M2 V2

m x( )M2

M x M2( )d

d M m x( ) 1

x

L

M2( )

0

L

xM x M2( )

E Im x( )

dM

M2( ) solveL

2q

8

M2L

2q

8

q

Estructura Separada E-I Estructura Separada E-II



Razonamiento:

Si bien es cierto no es necesario resolver ambos casos basta encontrar una redundante y el

problema hiperesttico queda resuelto, sin embargo se realiza ambos casos con fines

comparativos. Posteriormente resuelto el problema hiperesttico el resto se resuelve por medio

de la esttica.

En la estructura separada de la derecha se ha elegido obviamente a la reaccin V1, como la fuerza

superflua y sabemos que el desplazamiento vertical en este nudo es cero, por tanto la derivada

del trabajo con respecto a la fuerza V1 es igual a cero (Segundo Teorema de Castigliano o tambin

Menabrea).

Para la estructura separada de la izquierda se elige al momento M2 como fuerza par redundante y

por equilibrio esttico se puede hallar la reaccin R2 en funcin de M2 como se puede analizar es

el camino ms largo, pero al final se logra el determinar esta fuerza redundante y una vez

conocida se resuelve por las ecuaciones de la esttica el resto de las reacciones y luego se pueden

hallar los esfuerzos y sus correspondientes diagramas.



Fig. Frmulas del rea reducida de cortante Arw. (Traducido del Wilson Book 2001)



Ejemplo 01

Clculo de la seccin reducida de cortante.

Seccin reducida de cortante

h 0.6 b 0.5

yth

2 yb

h

2 b1 u( ) b

Ix

yb

yt

uu2

b1 u( )

d Ix 0.009

Q y( )

y

yt

uu b1 u( )

d

yb

yt

yQ y( )( )

2

b1 y( )

d 0.000324

ArwIx

2

yb

yt

yQ y( )( )

2

b1 y( )

d

Arw 0.25

Resolviendo mediante frmulas tenemos:

Ff 1.2 de la tabla para seccin rectangular

Arwb h

Ff Arw 0.25

u yt

yb



Aplicacin por Energa De Deformacin

Problema 01 Hallar las reacciones en los apoyos del arco circular tri articulado de radio a.

Fig. 01 Diagrama de fuerzas en el arco tri articulado, se elige una fuerza redundante F cuyo desplazamiento es nulo.

Fig.02 Diagrama de fuerzas en el arco tri articulado, se halla en funcin del ngulo .

El trabajo mnimo se encuentra integrando la relacin de la energa de deformacin

respecto a los momentos flectores, sabiendo que el desplazamiento es nulo, se tiene:

Luego de determinar la fuerza redundante F se procede a calcular las reacciones y por simetra la

fuerza G es igual a la mitad de la resultante de la carga, as pues:

= ((1 cos )) ( sin ) 1

2((1 cos ))2

= sin

=

[((1 cos )) ( sin ) 12 (

(1 cos ))2] sin

0

= 0

=

3(3 4)

6= 0

=4

3

F

G

F

=

N

V

M

a

= 1

22

y

x

q

= () () ()

a

= () () + ()

= (1 cos )

= sin

=

B A

= 10

= 20000

= 2/



ARCO TRIARCULADO

q 2 a 10

F4 q a

3 G q a F 8.488 G 20

escf 0.2 escm 0.2

x ( ) a 1 cos ( )( ) y ( ) a sin ( ) r ( ) 10

N ( ) G cos ( ) F sin ( ) q x ( ) cos ( ) N ( ) r ( ) N ( ) escf

V ( ) G sin ( ) F cos ( ) q x ( ) sin ( ) V ( ) r ( ) V ( ) escf

M ( ) G x ( ) F y ( )1

2q x ( )

2 M ( ) r ( ) M ( ) escm

0 0.001

DIAGRAMA DE MOENTOS, FUERZAS CORTANTES Y AXIALES

0

15

30

45

60

7590

105

120

135

150

165

180

195

210

225

240

255270

285

300

315

330

345

0 2 4 6 8 10 12 14 16

V ( )

N ( )

M ( )

r ( )

Fig.03 Diagrama de esfuerzos en el arco: Fuerza axial y cortante y momento flector en funcin del ngulo .



Fig.04 Diagrama de fuerzas en el arco tri articulado, se halla en funcin del ngulo .

Los esfuerzos se encuentran en base al diagrama de cuerpo libre de la fig. 04, donde se han

calculado en funcin de la coordenada (), () y remplazando por sus valores de las reacciones F y

G calculamos los esfuerzos en diversas coordenadas el cual se muestra en la fig. 03.

G

F

N

V

M

a

= () () 1

2(())2

y

x

= () () ()()

a

= () () + ()()

() = (1 cos)

() = sin

=

A

q



Problema 2.

Calcular los esfuerzos hiperestticos en los nudos por el mtodo pendiente-deflexin. a) Cuando no hay asentamientos diferenciales, y b) cuando el apoyo b se asienta 0.05m.

Fig. 01 Viga continua de tres paos con cargas como se muestra y seccin transversal y material constante.

Solucin a)

Fig. 02 Momentos con el signo positivo asumido de esta forma, las cargas nodales esta de color azul y los esfuerzos en los extremos de los miembros son de color rojo.

Fig. 03 Diagrama de Momentos Flectores.

Fig. 04 Diagrama de fuerzas Cortantes

Fig. 05 Diagrama de la deformada de la viga contina. Los giros estn expresados en radianes.

5kN 5kN a b c d

5kN

= 0.000586

a b c d

= 0.000469 = 0.000221 = 0.00202

5kN

8m 7m 5m



Desarrollo del proceso de calculo en MathCad

Lab 8 Lbc 7 Lcd 5 E 20000 I 1

Q 5 L 8 a 5 b L a

Mfab Qa b

2

L2

Mfba Qa2

b

L2

Mfab 3.516 Mfba 5.859

Mfbc 0 Mfcb 0

Mfcd 0 Mfdc 0

Asentamientos diferenciales no existen, por lo tanto:

ab 0 bc 0 cd 0

Los momentos de extremo en cada pao, segun las expresiones de pendiente-deflexion son:

Mab 2E I

Lab 2 a b 3 ab( ) Mfab a Mba 2

E I

Lab 2 b a 3 ab( ) Mfba bbb

Mbc 2E I

Lbc 2 b c 3 bc( ) Mfbc bbb Mcb 2

E I

Lbc 2 c b 3 bc( ) Mfcb ccc

Mcd 2E I

Lcd 2 c d 3 cd( ) Mfcd ccc Mdc 2

E I

Lcd 2 d c 3 cd( ) Mfdc d

Por equilibrio de nudos: Given

Mab 0

Mba Mbc 0

Mcb Mcd 5 0

Mdc 5 0

De este sistema de ecuaciones calculamos los giros en los nudos

a

b

c

d

Find a b c d( )

ddd

1.0001

a

b

c

d

0.00058620957137978142077

0.00046922383025956284153

0.00022116282445355191257

0.00020194983777322404372

Mab 2 EI

Lab 2 a b 3 ab( ) Mfab aaa Mab 0

Mba 2 EI

Lab 2 b a 3 ab( ) Mfba bbb Mba

250

61

250

61 4.098

Mbc 2 EI

Lbc 2 b c 3 bc( ) Mfbc bbb Mbc

250

61

250

614.098

Mcb 2 EI

Lbc 2 c b 3 bc( ) Mfcb ccc Mcb

75

488

75

4880.154

Mcd 2 EI

Lcd 2 c d 3 cd( ) Mfcd ccc Mcd

2515

488

2515

488 5.154

Mdc 2 EI

Lcd 2 d c 3 cd( ) Mfdc ddd Mdc 5



Solucin b)

Lab 8 Lbc 7 Lcd 5

E 20000 I 1

Q 5

L 8 a 5 b L a

Mfab Qa b

2

L2

Mfba Qa

2b

L2

Mfab 3.516 Mfba 5.859

Mfbc 0 Mfcb 0

Mfcd 0 Mfdc 0

La distorsion aparece al ocurrir asentamientos diferenciales del apoyo b

ab0.05

Lab bc

0.05

Lbc cd 0

Los momentos en los extremos de las barras

Mab 2 EI

Lab 2 a b 3 ab( ) Mfab a

Mba 2 EI

Lab 2 b a 3 ab( ) Mfba b

Mbc 2 EI

Lbc 2 b c 3 bc( ) Mfbc b

Mcb 2 EI

Lbc 2 c b 3 bc( ) Mfcb c

Mcd 2 EI

Lcd 2 c d 3 cd( ) Mfcd c

Mdc 2 EI

Lcd 2 d c 3 cd( ) Mfdc d

Por equilibrio de nudos:

Given

Mab 0

Mba Mbc 0

Mcb Mcd 5 0

Mdc 5 0

a

b

c

d

Find a b c d( )

d

a

b

c

d

0.011264509483003335462

0.0030758939660066709247

0.0043695554786743311333

0.0024972777393371655667

0 0

0 0

0

0



Mab 2 EI

Lab 2 a b 3 ab( ) Mfab a Mab 3.4999999985368185012e-18

Mba 2 EI

Lab 2 b a 3 ab( ) Mfba b Mba 62.327017245050031937

Mbc 2 EI

Lbc 2 b c 3 bc( ) Mfbc b Mbc 62.327017245050031934857

Mcb 2 EI

Lbc 2 c b 3 bc( ) Mfcb cc Mcb 54.9346657440919736

Mcd 2 EI

Lcd 2 c d 3 cd( ) Mfcd cc Mcd 49.934665744091973599

Mdc 2 EI

Lcd 2 d c 3 cd( ) Mfdc d Mdc 5.0000000000000000008

En base a estos esfuerzos en los extremos de las barras podemos encontrar los esfuerzos en cada pao de la viga, es obvio que los momentos en los nudos extremos de la viga continua son nulos por ser apoyo con articulacin. Si toda la estructura se encuentra en equilibrio cualquier parte separada de ella tambin lo est.

Fig. 06 Momentos con el signo positivo asumido de esta forma, las cargas nodales esta de color azul y los esfuerzos en los extremos de los miembros son de color, rojo adems se asienta 0.05m el apoyo b.

Fig. 07 Diagramas de la deformada de la viga contina con asentamientos diferenciales en el nudo b.

Fig. 08 Diagramas de Fuerzas cortantes en la viga contina con asentamientos diferenciales en el nudo b.

Fig. 09 Diagramas de Momentos flectores en la viga contina.

a b c d

5kN 5kN



Problema 3.- ANALISIS INELASTICO DE VIGAS MODELO ELASTOPLASTICO Momento de Fluencia de una Seccin de Viga Rectangular (bxh) de acero ASTM A36

Fy=2500 kg/cm2 E=2000000 kg/cm2 h=2 cm b=2 cm

Fig. 05 Distribucin de deformaciones unitarias y esfuerzos inelstico en funcin de u.

La distribucin de deformaciones siempre es lineal debido a una hiptesis de la teora de la flexin

que nos dice si la viga sufre deformaciones todas las secciones transversales al eje de la viga

permanecen tambin planas. Por otra parte el esfuerzo depende de la deformacin si este supera

la deformacin de fluencia entonces bajo un modelo elasto-plstico el esfuerzo mximo ser la

resistencia a la fluencia. Esto se muestra en la figura de arriba y las ecuaciones inelsticas del

esfuerzo son enunciadas en base a este concepto. De donde podemos encontrar un diferencial de

la fuerza normal y su correspondiente momento flector para un diferencial de u:

Y la relacin de la ubicacin de la fibra con la deformacin unitaria del grafico de arriba se puede

obtener por relacin de tringulos y diferenciando a u, tenemos:

Diferenciado a u siendo variable solamente e y reemplazando en la ecuacin de momentos

Reemplazando en funcin de la deformacin a esta ecuacin de momentos se tiene

dF =sdA dM =u sdA

=

2

=

dA =bdu

=

2

= (

2)2

=

u

e M

sdA

u

sy em

e s

0.5h

em



Programa para la integracin en MathCad continua de la parte anterior de esfuerzos

Reemplazando el parametro u en funcion de la deformacion unitaria maxima, resulta en

integrando a con sus limites correspondiente, tenemos:

M m( )

m

m

b ( )h

2 m

2

d

0.0001 0.0002 1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

600

1200

1800

2400

3000

3600

4200

4800

5400

6000

Diagrama Momento Curvatura

Curvatura (1/cm)

Mom

ento

(kg

-cm

)

5000

M ( )

0.0344

umax

4909.2Momento -Curvatura

re 0.0344 m reh

2 m 0.034

M m( ) 4997.8152069

El esfuerzo de recuperacion elastica correspondiente a esa curvatura sera:

re M re( )umax

I re 3748.361

Krre

umax Kr 3748.361

p u( ) Kr u p umax( ) 3748.361



El esfuerzo residual se calcula en base al momento flector en la zona de descarga

m m 0.0001 m

5000 4000 3000 2000 1000 0 1000 2000 3000 4000 50001

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Grafico Esfuerzo VS u (coordenada de posicion de la fibra)

Esfuerzo (ksi)

Coor

den

ada

de p

osi

cion

de

la f

ibra

u (

pu

lg)

0.43333

0.43333

umax

m

u

2500 2500

( ) p u( )

Fig. Diagrama de esfuerzos residuales se muestran en la zona sombreada



Problema 4

Determine la reaccin en el apoyo del nudo B

Por equilibrio esttico hallamos las reacciones en funcin de la fuerza redundante, sumatoria de fuerzas obtenemos R: Por equilibrio de momentos respecto al nudo A obtenemos el momento Ma:

L L M M a1L

3 a2 2

L

3

Ma L R Ra R

Mm x( ) Ma Ra x M x a1( )0

M x a2( )0

M

x( ) Ma x Rax2

2 M x a1( )

1 M x a2( )

1 C1 M

y x( ) Max2

2 Ra

x3

6 M

x a1( )2

2 M

x a2( )2

2 C1 x C2 M

y L( )R L

3

3

M L2

6 C1 L C2 C1 C2 0

R L3

3

M L2

6 0

A B M M

L/3 L/3 L/3

Ma

R

M M

Ra

Mk

=0

= Ma + M M RL = 0

Fy

=0

= Ra + R = 0

Ra = R

Ma = RL

=

2



M x( )

M x( )

x

M x( )

M x( )

x

2321

211

L11

3

i

ai Ai

231

L21

3

i

bi Ai

1

3

i

bi Ai

A2 b2 2L2

3

1

2

M2 L2

E2 I2

L2

3

1

2

M3 L2

E2 I2

1

3

i

ai Ai

A1 a1L1

3

1

2

M1 L1

E1 I1

2L1

3

1

2

M2 L1

E1 I1

21 23

23

23

L221

21

L1

32 34

Aplicacin en vigas continas. Del mtodo de rea de momentos podemos inducir una expresin general para el teorema de los tres momentos, sea la viga continua mostrada en la figura. En donde se consideran como fuerzas par redundantes a los momentos flectores M2 y M3 en los nudos 2 y 3, respectivamente ya que en los nudos 1 y 4 los momentos flectores son nulos debido a la presencia de rotulas.

Fig. 1 La viga continua tiene dos fuerzas par redundantes los momentos flectores M2 y M3.

Se aplican las condiciones de compatibilidad de los giros angulares en los nudos 2 y 3 que corresponden a las fuerzas par redundantes, en primer lugar analizamos el nudo 2, y para ello se aslan las barras que convergen a dicho nudo 2 y se encuentran los giros en los nudos comunes de estas barras 1 y 2, y posteriormente se repite los mismo para el nudo 3, y en base a ello hallamos la ecuacin de los tres momentos.

Fig. 1 Barras 1 y 2 en donde se calculan los giros en dicha barra, no se han considerado los momentos hiperestticos.

Como sabemos en la viga continua en los nudos 2 y 3, por condiciones de continuidad los giros a la izquierda y a la derecha del nudo 2 y 3 son iguales, es decir:

El momento esttico se calcula en base al diagrama de momentos flectores para cada barra cuya longitud

de cada una es: L1 y L2.

En donde la sumatoria de momentos estticos para las barras 1 y 2, son:

4 1 3 2

M3

M2 M1 1 2

21 R1 R2

M3 M2 2 3

R2 R3 23

P q

M2 M2 M1 M3

L1 L2

A2 A1

L1/3

2L1/3

L2/3

2L2/3 M2L2/2 M1L1/2 M3L2/2

M2L1/2

a2 b2

A2

b1 a1

A1

2 1 3 M2



32 34

M x( )

M x( )

x

M1 L1

E1 I12 M2

L1

E1 I1

L2

E2 I2

M3 L2

E2 I2

6 A1 a1

L1

6 A2 b2

L2

M2 L2

E2 I22 M3

L2

E2 I2

L3

E3 I3

M4 L3

E3 I3

6 A2 a2

L2

6 A3 b3

L3

a1L

2

b2L

2

A2M L

2 E2 I2

M

M PL

4 P

A12

3

M L

E1 I1E1

M qL

2

8

Reemplazando los giros por sus correspondientes parmetros, se obtiene la ecuacin de los tres momentos:

Del mismo modo para el nudo 3, hallamos la otra ecuacin de tres momentos para las barras que convergen en dicho nudo, es decir las barras 2 y 4, del mismo modo el ngulo en ambos extremos del nudo 3 son iguales, es decir:

Por lo tanto la ecuacin de los tres momentos resulta para el nudo 3:

Ejemplo Los momentos estticos se calculan en base a los diagramas de momentos isosttico de cada viga:

1

2

i

xi Ai

L1

3

1

2

M1 L1

E1 I1

2L1

3

1

2

M2 L1

E1 I1

Ai

M2 M1 1 2

12

Q

R1 R2

M3 M2 Q

R2 R3 23

P q

b1 a1

A1

A2 A1

2 3

a2 b2

A2

M x( )

M x( )

x



Ejemplo 01 L L

dado una viga continua de dos tramos soporta una carga puntual en cada centro de la luz

de magnitud P, hallar el momento flector en el nudo 2.

Solucion

Debido a que solo tiene un fuerza par redundante solo se requiere de una ecuacion para

resolver el problema, asi pues, tenemos:

M1 0 M3 0 I1 I III I2 I III

L1 L L2 L E1 E EEE E2 E EEE

Para el calculo de la ecuacion de tres momentos hallamos los terminos de la derecha de

dicha ecuacion puesto que se conoce la carga P y esta actua en el centro de luz de cada

viga, por tanto tenemos:

M PL

4 PPP

a1L

2 A1

M L

2E1 I1

MMMb2

L

2 A2

M L

2 E2 I2

MMM

Por tanto la aplicando a la ecuacion de tres momentos, tenemos:

Given

M1 L1

E1 I12 M2

L1

E1 I1

L2

E2 I2

M3 L2

E2 I2

6 A1 a1

L1

6 A2 b2

L2

M2 Find M2 M2M2M2 M23 L P

16



PROBLEMAS DE VIGA CONJUGADA La viga conjugada es una aplicacin de la ecuacin de la elstica en vez de hacer la doble integracin se puede integrar por partes y solo se hace una integracin similar al rea de momentos y se encuentra la ecuacin de la flecha para la viga contina por pura esttica obviamente siempre eligiendo redundantes, y las constantes de integracin se encuentran de

segn las condiciones de apoyos, siendo las flechas en los apoyos nulas. Es decir: yA= yB= yC=0.

Fig. 1 Viga continua con dos tramos cargada con una carga repartida q y de luces de longitud L.

Para resolver en general las vigas continuas primero se eligen las fuerzas redundantes para que dicha estructura sea isosttica y por el principio de superposicin las separamos para hallar sus diagramas de esfuerzos. En este caso elegimos a la reaccin en el apoyo B como fuerza redundante P, as pues la viga por superposicin se separa en dos subestructuras isostticas: E0 y E1. Por lo tanto, la estructura isosttica se puede representar como se ilustra en la figura de abajo con la condicin que la fuerza P tenga una magnitud que satisfaga una condicin necesaria de que el desplazamiento vertical del nudo B sea nulo.

Fig. 2 Viga contina con la Fuerza Redundante P y condicin de apoyo en el B nulo.

Como se indic por el principio de superposicin separamos las cargas, y hallamos los diagramas

de momentos para cada carga. En las figuras de abajo se muestran los diagramas de momentos y

se indican los mximos para cada carga. Y con estos diagramas de momentos al dividirse por EI,

obtenemos las cargas elsticas.

Fig. 3 Vigas con sus diagramas de momentos para la cargas q y P, y sus reas respectivas A0 y A1.

A B C

yB=0 P

q

P

L L

E0

E1

+

+

-

2L

A02 L

3 q

3 E IA0

2

3b h

A1L

2P

2 E IA1

1

2b h h

q

q

P L

2 E I

q L2

2 E I

B

C A



A partir de aqu se puede resolver el problema por diversos mtodos pero ahora lo haremos por el mtodo de la viga conjugada. Por tanto las cargas elsticas para el modelo de viga conjugada son los diagramas de momentos flectores divididos por EI y la viga conjugada solo depende de las condiciones de los apoyos y de las redundantes, en este caso la luz es igual a 2L y el apoyo B se modela mediante una rtula. Como se dijo la viga conjugada es cargada con los momentos sobre EI, que representa la carga elstica, ver figura de abajo y por equilibrio esttico se calculan las reacciones (giros en apoyo) en la viga conjugada y luego los esfuerzos, es decir, los momentos (flechas) y cortantes (giros).

Fig. 3 Diagrama de cuerpo libre de la viga conjugada, el nudo B es modelado por una rotula.

Conocidos los giros en los apoyos A y C, a partir de estos se pueden encontrar los esfuerzos

por flexin (flechas) y cortantes (giros) en cualquier punto, Para encontrar la solucin de la incgnita P se requiere una ecuacin y esta se obtiene por las condiciones de los apoyos, en este

caso en el apoyo del nudo B el desplazamiento es nulo, es decir MB=0.

Fig. 4 Diagrama de cuerpo libre corte en el nudo B, para establecer el equilibrio en el nudo B.

Y por equilibrio de momentos en el nudo B la sumatoria es igual a cero, de la figura de arriba por lo tanto en la viga conjugada el desplazamiento en B es nulo.

Igualando a cero el miembro izquierdo de la expresin anterior debido a la condicin que flecha en el nudo B es nula, ello proporciona una ecuacin para hallar la fuerza redundante:

Remplazando el valor de P en el giro en el apoyo A, tenemos:

A1L

2P

2 E I

A02 L

3 q

3 E I

L

3yB

1

2A0 L

1

2A1 L

1

2A0

3

8L

1

2A1

1

3L

5 L

4 q

24 E I

L3

P

6 E I

P5

4q L

3

8L

L

yB5 L

4 q

24 E I

L3

P

6 E I

Por equilibrio de momentos y fuerzas:

B.

B 0.

L3

q

3 E I

L2

P

4 E I

CL

3q

3 E I

L2

P

4 E I

AL

3q

3 E I

L2

P

4 E I

AL

3q

3 E I

L2

P

4 E I

AL

3q

48 E I

rea de carga elsticas para P

+

-



Clculo de la ecuacin de la flecha y giro en una coordenada cualesquiera x de la viga contina, la

encontramos aislando la viga en un corte a una coordenada x, obtenemos el diagrama de cuerpo

en libertad.

Fig. 5 Diagrama de cuerpo libre corte a una coordenada x, para establecer el equilibrio por momentos.

Por equilibrio de la viga conjugada en el diagrama de arriba, obtenemos las ecuaciones de la

flecha, debido a que el diagrama triangular tiene dos leyes matemticas hallamos para cada caso

aplicando la simetra de la geometra y cargas nos da la simetra de la deformada y esfuerzo

tambin:

Sea: q=1 ton/m L=10 m E=1000000 ton/m2 I=0.2 m4

Entonces: P = 5qL/4 = 12.5 ton

Fig. 5 Diagrama de la deformada ntese que el desplazamiento en el nudo B es nulo.

x

x-u du

AL

3q

3 E I

L2

P

4 E I

x-u du

u

u

qe0 u( )

qe1 u( )

qe0 u( )q u

2 E I2 L u( )

qe1 u( )P

2 E Iu

y x( )

x( )

Ecuaciones de carga elstica:

y x( )P x

3

12 E Ix

L2

P

4 E I

L3

q

3 E I

q x

3 x 4 L( )

24 E I x Lif

L2

P

4 E I

L3

q

3 E I

x 2 L( )P x 2 L( )

3

12 E I

q x 2 L( )3

2 L x( )

24 E I x Lif

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.002

0.0016

0.0012

0.0008

0.0004

0

0.0004

0.0008

0.0012

0.0016

0.002

y x( )

x

A B C



Mtodos Energticos.

Energa de Deformacin por esfuerzo normal: Sea una barra de longitud dx y se somete a un

esfuerzo normal y esta sufre una deformacin lineal dv, se estudio este segmento y para ello se

asla una seccin dA la misma que se estudia ver la figura de abajo. Sin embargo en este caso la

energa por deformacin solo se considera bajo un comportamiento estructural lineal, es decir,

material dentro del rango elstico. Para ello es conveniente estudiar el comportamiento lineal y

esto se logra con el modelo de Hooke.

Fig. 01 Diagrama de Esfuerzo-deformacin del acero dentro del rango elstico.

Este diagrama ilustra que el esfuerzo es directamente proporcional a la deformacin, sin embargo

podemos multiplicar o dilatar las coordenadas de la deformacin y el esfuerzo para convertirlos

en fuerza y desplazamiento lineal de la fuerza que es el concepto de energa de deformacin, ello

se ilustra en la figura de abajo.

Fig. 01 Diagrama de Fuerza- Deformacin lineal dentro del rango elstico, para el calculo de la energa.

dv

dx

d

dF dA

dv dx

( ) E

d

d( ) dx

d dx

d dx

dA ( ) dA E dA

0

0

El rea bajo la curva representa la

energa de deformacin.

dx



Segmento del elemento sometido a esfuerzos normales en la barra.

La energa de deformacin se halla por el producto de la fuerza dF por el desplazamiento diferencial ddx

como se representa en la ecuacin de abajo, esto es:

La primera integral se hace del triangulo por ello sale el producto de la base por la altura entre dos. Que es

el rea de dicho triangulo, cuya solucin sale en funcin de la deformacin que luego se remplaza en base al

esfuerzo unitario.

Por otra parte la generalidad de problemas de estructuras la seccin transversal es constante, entonces se

puede integrar la variable del rea y la ecuacin queda mas simple, asimismo es posible expresar el

esfuerzo en trminos de fuerzas internas N a los esfuerzos unitarios, y la energa por esfuerzo normal queda

como se muestra:

Si la estructura esta compuesta por elementos de longitud discreta Li la energa de deformacin se acumula

de todas la barras mediante una sumatoria, que genera una energa de deformacin por esfuerzo normal en

toda la estructura , por tanto la ecuacin anterior queda as:

Segmento de elemento sometido a esfuerzo normal para el calculo de la energa de deformacin de este

elemento.

dA dydz

dxdv

U

0

x

x

0

A x( )

A

0

E

d

d

d

0

x

x

0

A x( )

AE

2

2

d

d

0

x

x.

0

A x( )

A

2

2 E

d

d

U

0

x

x

2

2 EA

d

0

x

x.N

2

2 E A

d

U

1

Nb

i

Ni2

Li

2 Ei Ai

dv

dx

Deformacin unitaria.

dA dydz

dx dv

dv

dx

Deformacin unitaria.

dF dA



Anexo: Seccin reducida de cortante Seccin Circular

El momento de Inercia de la seccin

El Momento esttico

Es conveniente cambiar a variable a trigonomtrica: u( )=R*sin( )

x ( ) R cos ( ) y ( ) R sin ( )

y ( )d

dR cos ( )

y ( )

x ( )

U Vol

2

2 G

d

Q

I bV

Q

UVol

2

2 G

a1

2

Ix

a1

a1

y ( )2

y ( )

d

d 2 x ( )

d Ix R

4

4

.

Q ( ) y ( )

y ( )d

d 2 x ( )

d Q ( )2 R

3 cos ( )

3

3

Q ( )2 R

3 cos ( )

3

3

y y

Q y( ) Q

2

Q asiny

R

Q y( )

2 R3

1y

2

R2

3

2

3

b1 u( ) 2 R 1u

2

R2

u ( ) R sin ( )

Q ( )2

3R

3 1

u ( )2

R2

3

b1 ( ) 2 R 1u ( )

2

R2



De donde obtenemos el factor de forma del rea reducida de cortante:

Qb1

a1

a1

Q ( )( )

2

b1 ( )R cos ( )

d Qb15 R

6

72

ArwIx

2

Qb1 Arw

9 R2

10

Ff R

2

Arw Ff 1.111

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Nonlinear Beams Fcp Unsa 020 (1)