บทท�14 การตรวจสอบการแจกแจงของขอมล 14.1 เหตผลท ตองการตรวจสอบการแจกแจงของขอมล ในการทาขอมลท ไดมาสวนใหญเปนขอมลตวอยาง ผวจยตองคานวณคาสถต หรอใชเทคนคการวเคราะหทางสถต เพ อสรปลกษณะของประชากร จงจะตองมการตรวจสอบ การแจกแจงหรอลกษณะของขอมลตงอยางเพ อจะไดอางองถงลกษณะของประชากรตอไป ในการวเคราะหขอมลเชงปรมาณดวยเทคนคทางสถตโดยเฉพาะอยางย งการประมาณคาแบบชวง การทดสอบสมมตฐาน และการวเคราะหความถดถอย มเง อนไขวา ตวแปรหรอประชากรท นามาวเคราะหจะตองมการแจกแจงปกต สวนเทคนคการวเคราะหความแปรปรวนจะตองมเง อนไขคอ ประชากรหรอตวแปรเชงปรมาณท�ศกษาเปรยบเทยบตองมการแจกแจงแบบปกตทกประชากร เชน ตองการเปรยบเทยบคะแนนความพงพอใจของกลมอาชพตางๆ เง อนไข คอคะแนนความพงพอใจของแตละอาชพจะตองมการแจกแจงปกต การศกษาสถตเปนการศกษาถงลกษณะท สาคญของประชากร (พารามเตอร) แตสวนใหญขอมลท มอย หรอการรวบรวมมกจะเปนขอมลตวอยาง จะตองมรชการวเคราะหขอมลตวอยางน8น เพ ออางถงลกษณะของประชากร หรอบางคร8 งอาจจะตองการพยากรณคาพารามเตอรในอนาคตโดยใชมลตวอยาง โดยเทคนคขอมลจะมเง อนไขเก ยวกบการแจกแจงของประชากร เชน การทดสอบวารายไดเฉล ยของกรงเทพฯ มากกวา 8,000 คน ตอเดอนจรงหรอไม อาจจะสมตวอยางคนกรงเทพฯ มาเพยง 3,000 คนสมจากประชากร เพ อสอบถามรายได และนาขอมลตวอยางน8มาทดสอบเก ยวกบรายไดเฉล ยของคนกรงเทพฯ ท8งหมด ซ งมเง อนไขวา รายไดของคนกรงเทพฯ จะตองมการแจกแจงปกต ดงน8นกอนท จะสามารถใชคาส ง SPSS เพ อทดสอบเก ยวกบรายได เพ อทดสอบรายไดเฉล ยจะตองทาการทดสอบวารายไดของคนกรงเทพฯตวอยางจานวน 3,000 คน สมจากประชากร(รายไดของคนกรงฯ ทกคน) มการแจกแจงปกตหรอไม ถาผลการตรวจสอบสรปไดวา ประชากรมการแจกแจงแบบปกต จงสามารถใชการทดสอบสมมตฐานทางสถตในบทท 15 แตถาผลการทดสอบ สรปวา ประชากรไมไดมการแจกแจงปกต และขนาดตวอยางเลก จะตองใชการทดสอบท ไมใชพารามเตอรในบทท 12 14.2 วธการตรวจสอบการแจกแจงของขอมลเชงปรมาณ สาหรบวธการตรวจสอบการแจกแจงของขอมลวามการแจกแจงแบบปกตหรอใกลเคยงแบบปกตหรอไม จะแบงเปน 2 วธใหญดงน8 1. การตรวจสอบโดยใชกราฟ กราฟท ใชในการตรวจสอบการแจกแจงของขอมลประกอบดวย � ฮสโตแกรม � Normal Probability Plot � แผนภาพลาตนและใบ (Stem and Leaf) � Detrended Normal Plot � Boxplot

2 การทดสอบโดยการใชสถตทดสอบ ประกอบดวย � Kolmogorov – Smirnov, Shapiro – Wilk และ Lilliefor’Test ใชตรวจสอบวาการแจกแจงของประชากรเปนแบบปกตหรอใกลเคยงปกตหรอไม ศกษารายละเอยดจากหนงสอ “การวเคราะหสถต : สถตสาหรบการบรหารและวจย” ของ ดร. กลยา วานชยบญชา บทท 8 � Levene’ Test ใชตรวจสอบคาแปรปรวนแตละประชากร 14.3 การตรวจสอบการแจกแจงของขอมลเชงปรมาณโดยใชกราฟ 14.3.1 Histogram เปนกราฟท ใชแสดงขอมลท นยมใชอยางกวางขวาง แกนนอนใชคาแสดงตวแปร (ขอมล) โดยแบงคาขอมลออกเปนชวงๆ แตละชวงจะมขอมลเทากน สวนแกนแสดงจานวน case ท มคาในแตละชวงหรอความถ ของแตละชวงน นเอง หรออาจจะเลอกใหแกนต8งแสดงรอยละกได ตวอยาง 14.1 บรษทขนาดใหญแหงหน งมการประเมนผลของพนกงาน โดยใชพนกงานแตละคนทางาน 13 ช8น และใหคะแนนเปน 0-5 คะแนน ตามผลงาน ดงน8นคะแนนของผลงานจะอยในชวง 0 ถง 65 ถาสมตวอยางคนงานมา 50 คน ซ งไดคะแนนดงน8 39 37 32 40 40 37 39 35 42 43 40 41 31 38 38 37 24 34 42 47 40 51 33 37 36 29 39 44 49 37 34 37 39 38 35 36 43 45 38 42 41 41 59 40 42 48 37 42 39 41 สรางแฟมช อ TEST 4.SAV มตวแปร 1 ตว ใหช อตวแปรใหช อตวแปรวา rating โดยเจาะขอมลเรยงไปทละ row ดงน8 39 40 40 34 41 51 37 41 ,….,37 42 และ 41 ตามลาดบแฟม TEST 4.SAV จงเปนแฟมท มตวแปร 1 ตว และม 50 row หรอ 50 case Name Type Width Decimal Label Measure Rating Numeric 2 0 Rating of Employee คาส�ง SPSS ใชในการสรทาง Histogram คาส งสราง Histogram ของตวแปรเชงปรมาณม 2 คาส ง คอ 1. Analyze Descriptive Statistics Frequencies… 2. Analyze Descriptive Statistics Explore… ในท น8 จะใชคาส ง Frequencies สาหรบคาส ง Explore จะกลาวถงตวอยางท 14.4 ในตวอยางท 14.1 มข8นตอนดงน8 1. ใชคาส ง Analyze Descriptive Statistics Frequencies… จะไดหนาจอดงรป 14.1

รปท 14.1 Frequencies รปท 14.2 Statistics 2. เลอกตวแปร Rating ใสใน Box ของ Variable 3. ไมเลอก Display frequencies table 4. คลก จะไดหนาจอดงรป 14.2 ตรวจสอบการแจกแจงนอกจากใช Histogram แลวอาจใชคาสถตตางๆ ควบคไปดวย เน องจากตวแปรเชงปรมาณ ในท น8 จงเลอก Mean , Median, Mode , Percentiles, Skewness และ Kurtosis แลวคลก กลบไปหนาจอ 14.1 5. คลกปม จะไดหนา chart 6. คลก จะไดผลลพธดงแสดงในตารางท 14 .1 และในรป 14.4 ตารางท� 14.1 คาสถตเชงพรรณนาของตวแปร

������ � �� ����

��������������������������������

��������

���������

��

��

��

�

�� �� � ���� ���� � ����� � ����� รปท� 14.3 Histogram ของ rating ในรป 14.3 แกนนอนแสดงคาของตวแปร Rating และแบงเปนชวงๆ 5 คะแนน คาในรปคอ 25.0, 30.0,…,60.0 เปนคากลางของแตละชวง สวนความสงแสดงความถ หรอจานวนพนกงานท ไดคะแนนในแตละชวง ถาพจารณาจาก Histogram จะพบวาการแจกแจงของตวแปร rating มการแจงใกลเคยงแบบปกต หรอคอนขามมความสมมาตร คอ เบขวาเลกนอยเทาน8 นอกจาทกน8นเม อพจารณาคาสถตจากตารางท 14.1 พบวา คาเฉล ย = 39.36 ในขณะท median = 39 ถอวาใกลเคยงกนมาก จงพอสรปไดวาเปนคาเดยวกนถอวาการแจกแจงคอนขางสมมาตร (mean>median นอยมาก) 14.3.2 Stem and Leaf (แผนภาพลาตนและใบ) เปนวธการตรวจสอบขอมลท ใหรายละเอยดมากกวา Histogram เน องจากจะใหคาของขอมลจรงทกคา ทาใหสามารถเหนลกษณะท แทจรงของขอมลได วธการสรางแผนภาพลาตนและใบคอ

Statistic

Continue

Charts...

OK

1. เรยงลาดบขอมลจากนอยไปมาก เชนถาขอมลเปนเลข 2 หลกใหเรยงลาดบของเลขหลกสบ 2. นาเลขหลกสบท เรยงลาดบแลวมาใสในแถวต8ง 3. ในแตละแถวนอน บนทกขอมลเรยงตามลาดบของเลขหลกหนวย (ศกษารายละเอยดไดจากหนงสอ “หลกสถต”ของ ดร.กลยา วานชยบญชา บทท 1) ตวอยางท� 14.2 จากตวอยางท 14.1 ใหตรวจสอบขอมลวามการแจกแจงแบบปกต หรอไมโดยใชแผนลาตนและใบ 2 4 9 3 1 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 4 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 5 7 8 9 5 1 9 จากแผนภาพลาตนและใบจะพบวา การแจกแจงของคะแนนการทางานจะใกลเคยงกบการแจกแจงแบบปกต หรอคอนขางสมมาตรแตจะเบขวาเกนอย ขอสงเกต: คาวาเบทางดานใดดานหน�งหมายถงหางการแจกแจงดานน0นจะยาว 14.3.3 Boxplot ท8ง histogram และ stem and left ไดใหรายละเอยดเก ยวกบการแจกแจงของขอมลวามจดยอดจดเดยว หรอจดยอดหลายจดและใหความหหนาแนน(ความถ )ของขอมลในแตละชวง Boxplot เปนเทคนคท มความละเอยดเก ยวกบการแจกแจงขอมล โดยแทนท จะใหคาของขอมลเหมอน stem and left แต Boxplot จะใหรายละเอยดของคาสถตเพ อตรวจสอบสาหรบการแจกแจง น นคอจะ plot คามธยฐาน เปอรเซนตไทลท 25,75 และใหคาขอมลท มคาผดปกต น นคอคาท สงมากหรอต ามาก(outlier)จากคากลาง รปท 14.4 แสดงลกษณะของ Boxplot การสราง Boxplot จะใหคาสถต 5 คา ดวยกนคอ

1. คาต าสดของขอมลท ยงไมต าผดปกต 2. ควอไทลท 1 (Q1) 3. คามธยฐานหรอควอไทลท 2 (Q2) 4. ควอไทลท 3(Q3) 5. คาสงสดของขอมลท ยงไมสงผดปกต คาต าสด = เปอรเซนไทลท 25 ของขอมล หรอควอไทลท 1 (Q1) คาสงสด = เปอรเซนไทลท 75 ของขอมล หรอควอไทลท 3 (Q3) คากลาง = คามธยฐานหรอ เปอรเซนไทลท 50 หรอควอไทลท 2 (Q2)

ความกวางของ box =Q3-Q1=IQR (Interqrarile Rang) หรอหลาววา 50% ของ ขอมลอยในbox � คาสงสดของขอมลท ยงไมสงผดปกต คอคาสงสดของขอมลชดน8นๆ ท มคาไมเกน Q1 + 1.5(IQR) � คาต าสดของขอมลท ยงไมต าผดปกตคอ คาต าสดของขอมลชดน8นๆทมคาต ากวา Q1 – 1.5 (IQR) ٭ คาของขอมลท มากกวา Q3+3IQR จงเรยกวา Extreme

˚ คาของขอมลท มากกวา Q3+1.5IQR จงเรยกวา Outlier คาสงสดของขอมลท ยงไมสงผดปกต คาสงสดของ

Ô

3Qbox =

คาของขอมลท นอยกวา IQRQ 5.11 − จงเรยกวาเปน Outlier ˚ ٭ คาของขอมลท นอยกวา IQRQ 31 − จงเรยกวาเปน Extreme รปท 14.4 แสดงลกษณะของ boxplot นอกจากน8น boxplot ยงแสดงคาผดปกต 2 ลกษณะคอ 1. ขอมลท มคามากกวา 3 เทาของความกวางของ box น นคอขอมลท มคามากกวา Q3-3(IQR)หรอขอมลท มคานอยกวา Q1-3(IQR)จะเรยกคาเหลาน8วาextremes แสดงดวย เคร องหมายดอกจน( * )

2. ขอมลท มคาระหวาง 1.5ถง 3 เทาของความกวางของ box น นคอขอมลท มคามากกวา Q3-1.5(IQR)แตไมเกน Q3-3(IQR) หรอขอมลท มคานอยกวา Q1-1.5(IQR)แตไมนอยกวา Q3-3(IQR) โดยจะจะเรยกคาเหลาน8วา outlier แสดงดวยเคร องหมายดอกจน( ° ) ความหมายของ Boxplot 1. การวดคากลางของขอมล จะพจารณาจากคามธยฐาน ดงน8 � ถาคามธยฐานอยตรงกลางของ box แสดงวาการแจกแจงของขอมลมความสมมาตร ดงแสดงในรปท 14.5 (ก) � ถาคามธยฐานอยตรงลางของ box แสดงวาขอมลเบบวก หรอเบขวาดงแสดงในรป 14.5(ข) � ถาคามธยฐานอยตรงบนของ box แสดงวาขอมลเบลบ หรอเบซายดงแสดงในรป 14.5(ค) รปท� 14.5 แสดงลกษณะของคากลาง ( ก ) สมมาตร (ข) เบบวก/เบขวา (ค) เบลบ/เบซาย 2. การวดการกระจายของขอมล จะพจารณาจาก ก. ความกวางของ box

- ถาความกวางของ box มาก แสดงวาขอมลมการกระจายมาก - ถาความกวางของ box นอย แสดงวาขอมลมการกระจายนอย ข. คา Outlier และ Extremes - ถา outlier และ extremes มากแสดงวาหางของการแจกแจงยาวหรอขอมลมการกระจายมาก - ถา outlier และ extremes นอยแสดงวาหางของการแจกแจงส8นหรอขอมลมการกระจายนอย นอกจากน8นคาส งใน SPSS จะสามารถเปรยบเทยบ boxplot ของขอมลหลายๆชดในรปเดยวกน เพ อเปรยบเทยบคากลางและการกระจายของขอมล เชน เปรยบเทยบ boxplot ของเงนเดอนของเพศชายและหญง ซ งจะไดกลาวโดยละเอยดหวขอ 14.6

14.3.4 Noemal Probability Plot เน องจากการอางองทางสถตถงลกษณะท สาคญของประชากร มเง อนไขวาการแจกแจงของขอมลตองเปนแบบปกต Noemal Probability Plot เปนวธการสรางกราฟวธหน งท ใชในการตรวจสอบวาขอมลมการแจกแจงปกตหรอไม Noemal Probability Plot เปนกราฟท พลอตคาของขอมลจรงท เกดข8นกบคาท คาดไว(Expected Value) เม อขอมลมการแจกแจงแบบปกต ถาขอมลตวอยางสมมาจากประชากรท มการแจกแจงแบบปกตแลวคาท คาดไวจะเปนเสนตรง ดงน8น ถาขอมลตวอยางมาจากประชากรท มการแจกแจงแบบปกต คาจรงจะอยรอบๆเสนตรงน8นอยางสม ดงแสดงในรปท 14.6 เปนขอมลตวแปร rating ของตวอยางท 14.1 ������ �� ��� �� ��� �� �� ��������

�������� ���

����������

�⌧������ �� �

�

�

�

�

��

��

��

รปท� 14.6 Normal Probability Plot ของตวแปร Rating จากรปท�14.6 จะพบวาคาของ rating สวนใหญจะอยรอบๆ เสนตรง (เหนอหรอใตเสนตรง)คาท�อยเหนอเสนตรงแสดงวาคาจรงมากกวาคาท�คาดไวเม�อประชากรมการแจกแจงแบบปกต สวนคาท�อยใตเสนตรงคอคาของ rating ท�นอยกวาคาท�คาดไวเม�อประชากรมการแจกแจงแบบปกต จากรปท�14.6 จะมคาจรงเพยง 2 คาท�มคาต�า (22) และคาสง(59)(หางจากคาอ�นๆ)จะพบวา rating สวนใหญจะมคาใกลเคยงกบ rating ท�มการแจกแจงแบบปกต แตจะพบวาคาจรงท�อยเหนอและใตเสนเปนไปอยางมรปแบบเลกนอย น�นคอ ชวงแรก(rating อยในชวง30-40)คาจรงจะอยใตเสน ชวงถดมา(rating อยในชวงประมาณ 40-50) คาจรงจะอยเหนอเสน แตพอจะสรปไดวาตวแปร rating มการแจกแจงใกลหรอเปนแบบปกต หรอคอนขาสมมาตร 14.3.5 Detrended Normal Plot เปนเทคนคท�ใชตรวจสอบวา ขอมลตวอยางมาจากประชากรท�มการแจกแจงปกตหรอไมโดยท� Detrended Normal Plot เปนกราฟท�แสดงคาเบ�ยงเบนหรอคาแตกตางระหวางคาจรงกบคาท�คาดไวภายใตการแจกแจงปกต ถาคาจรงกบคาท�คาดไวจากการแจกแจงปกตเทากน คาแตกตางจะเปนศนย คาเบ�ยงเบน = คาแตกตาง = คาจรง – คาท�คาดไวจากการแจกแจงปกต

ถาคาแตกตางมคารอบ ๆ ศนยอยางสม แสดงวาขอมลตวอยางมาจากประชากรท�มการแจกแจงแบบปกต ��������� ���� � ��� � ������ � ������

�������� �������������

��� ���� ����

���

���

��

���

��

���

รปท�14.7 Detrended Probability Plot ของขอมล rating จากรปท� 14.7 เสนตรงเปนเสนท�แสดงวาคาจรงกบคาท�คาดไวภายใตการแจกแจงแบบปกตเทากน สวนจดแตละจดแสดงคาแตกตางระหวางคาจรงกบคาท�คาดไว ถาจดอยรอบ ๆ ท<งเหนอเสนและใตเสนและใกลๆ เสนตรงและกระจายกนโดยไมมรปแบบ แสดงวาขอมลน<นมาจากประชากรท�มการแจกแจงแบบปกต ในตวอยางน< คาแตกตางท�มคาบวกซ�งมคามากมอย 1 คาและคาแตกตางท�มคาลบซ�งมคามากมอย 1 คา สวนท�เหลออยใกลๆ เสนตรง จงพอสรปไดวาการแจกแจงของ rating ใกลเคยงแบบปกต 14.4 การตรวจสอบการแจกแจงของขอมลเชงปรมาณโดยใชสถตทดสอบ จากการตรวจสอบการแจกแจงของขอมลเชงปรมาณดวย Histogram, boxplot, stam-and-leaf, Normal Probability หรอ Detrended Normal Plot ผวเคราะหจะตองพจารณาจากกราฟ และสรปเองวาขอมลมความสมมาตร หรอมการแจกแจงแบบปกตหรอไม จงเปนไปไดท�นกวเคราะหจะสรปตางกน จงมการใชสถตทดสอบเพ�อทดสอบวา ขอมลมการแจกแจงแบบปกตหรอไม ควบคกนไปกบการพจารณาจากกราฟสาหรบสถตทดสอบท ใชม Kolmogorov-Smirnov Test กบ Shapiro- will Test 14.4.1 Kolmogorov-Smirnov Test (K-S Test) เปนสถตทดสอบท ใชทดสอบการแจกแจงของประชากรวาเปนแบบปกตหรอไม หลกการของการทดสอบน8 คอ การเปรยบเทยบคาฟงกชนการแจกแจงสะสมของขอมลตวอยางกบคาฟงกชนการแจกแจงสะสมของขอมลภายใตสมมตฐานวาประชากร/ขอมลมการแจกแจงแบบปกต ถาคาความแตกตางต าแสดงวาการแจกแจงเปนแบบปกต (รายละเอยดศกษาจากหนงสอ “การวเคราะหสถต:สถตสาหรบการบรหารและวจย”ของดร.กลยา วานชยบญชา บทท� 8)

สมมตฐานของการทดสอบ คอ 0H : สมตวอยางจากประชากรท�มการแจกแจงแบบปกต 1H : สมตวอยางจากประชากรท�ไมไดมการแจกแจงแบบปกต สถตทดสอบ : Kolmogorov เขตปฏเสธ 0H : จะปฏเสธ 0H ถาคา Sig. (Significance) นอยกวาระดบนยสาคญท กาหนด 14.4.2 Shapiro-Wilk Test เปนสถตท�ใชทดสอบการแจกแจงของตวแปรวามการแจกแจงแบบปกตหรอไม สมมตฐานของการทดสอบ คอ 0H : สมตวอยางจากประชากรท�มการแจกแจงแบบปกต 1H : สมตวอยางจากประชากรท�ไมไดมการแจกแจงแบบปกต สถตทดสอบ: Shaptro-Wilk เขตปฏเสธ 0H : จะปฏเสธ 0H ถาคา Sig. (Significance) ของการทดสอบ นอยกวาระดบนยสาคญท กาหนด หมายเหต : 1. ผลลพธท ไดจาก SPSS for Windows จะให Shapiro-Wilks Test และ Kolmogorow Smirnov Test โดยท Kolmogorow Smirnov Test จะใชในกรณท ไมทราบคาเฉล ยและคาแปรปรวนของประชากร จงตองใชคาเฉล ยและคาแปรปรวนตวอยางแทน สวน Shapiro-Wilks Test สามารถใชไดกบปญหาท อาจจะทราบหรอไมทราบคาเฉล ยหรอคาแปรปรวนประชากรกได และขนาดตวอยางไมเกน 50 หนวย 2. หลกเกณฑของการทดสอบสมมตฐานศกษาไดในบทท 15 3. Kolmogorow Smirnov Test ศกษาไดจากบทท 21 หวขอ 21.4 14.5 การทดสอบความเทากนของคาแปรปรวนของขอมลเชงปรมาณหลาย ๆ ชด Levene’s Test เปนการทดสอบความแตกตางกนของความแปรปรวน หรอการกระจายของขอมลหลาย ๆ ชดหรอหลายประชากร ซ� งจะเปนเง�อนไขในการสทดสอบสมมตฐานเก�ยวกบการเทากนของคาเฉล�ยของหลายประชากร ซ� งจะกลาวถงในบทท� 15 สาหรบ 2 ประชากร และบทท� 16 กรณท�มากกวา 2 ประชากร สมมตฐานเพ�อการทดสอบของ Levene’s Test เปน 0H : ==== kk ;... 22

221 σσσ จานวนประชากร, 2≥k 1H : 22

ji σσ ≠ อยางนอย 1 ค ; ji ≠ สถตทดสอบ : Levene’s Test

เขตปฏเสธ 0H : จะปฏเสธ 0H ถาคา Sig. (Significance) ของการทดสอบนอยกวาระดบนยสาคญท�กาหนด 14.6 คาส�งของ SPSS ท�ใชในการตรวจสอบการแจกแจงขอมลเชงปรมาณ คาส�งท�ใชในการตรวจสอบลกษณะหรอการแจกแจงของขอมล คอ จะไดหนาจอดงรปท� 14.8 คาส ง Expiore จะใชในการตรวจสอบขอมล คา outlier ตรวจสอบเง อนไขของการแจกแจงของขอมลชดเดยว หรอหลาย ๆ ชดเพ อเปรยบเทยบลกษณะของขอมลหลาย ๆ ชด ดงน8น จงสามารถใชชวยตดสนใจเลอกวธหรอเทคนคการวเคราะหท เหมาะสมได นอกจากน8น คาส ง Explore ยงสามารถระบไดวา ควรจะมการเปล ยนแปลงรปแบบของขอมลหรอไม จากรปท�14.8 จะประกอบดวย Dependent List: ตวแปรท จะอยใน Dependent จะตองเปนตวแปรเชงปรมาณ (ขอมลชนดสเกลอนตรภาคหรอสเกลอตราสวน) หมายถง ตวแปรท ตองการตรวจสอบ เชน ตองการตรวจสอบวา ตวแปรรายไดมการแจกแจงแบบปกตหรอไม Factor List : เปนตวแปรท ใชในการแบงกลมขอมล เชน เพศ ระดบการศกษา อาชพ Label Cases by: ใชระบ Label ของตวแปรใน outlier ของ boxplot ตวอยางท� 14.3 จากแฟม TEST14.SAV ในตวอยางท 14.1 จงตรวจสอบการแจกแจงของตวแปร rating วธทา 1. เปดแฟม TEST14.SAV 2. ใชคาส ง Analyze � Descriptive Statistics � Explore…จะไดหนาจอดงรปท 14.8 2.1 เลอกตวแปร rating ใสใน box ของ dependent list สวนใน Factor List ไมตองเลอกตวแปรตวแปรเน องจากจะตรวจสอบ rating ทกคา 2.2 ในสวนของ Display จะประกอบดวย Both หมายถงใหแสดงท8งคาสถตและคากราฟ Statistics หมายถงใหแสดงเฉพาะคาสถต Plot หมายถงใหแสดงเฉพาะกราฟ ผใชตองเลอกทางใดทางหน�ง ในท�น< เลอก Both 2.3 เลอก จะไดหนาจอดงรปท�14.9

Analyze ⇒Descriptive Statistics ⇒Expiore…

Statistic

3. ผวเคราะหตองเลอกคาสถตอยางนอย 1 คาจากตอไปน8 Descriptive: แสดงคาเฉล ย คามธยฐาน 5% trimmed mean คาเบ ยงเบนมาตรฐาน คาแปรปรวน คาสงสด คาต าสด พสย พสยควอไทล ความเบ และความโดงพรอมกบคาเบ ยงเบนมาตรฐานของความเบและความโดง Confidence Interval for Mean: % ถาเลอก descriptive จะตองระบเปอรเซนตของระดบความเช อม น โปรแกรมจะกาหนดใหเปน 95% ผใชสามารถเปล ยนตามท ตองการได M-estimators: หมาถง Robust maximum – likelihood estimator ของคากลาง Outliers: จะแสดงคาสงสด 5 คา และคาต าสด 5 คา Percentiles: จะแสดงคาเปอรเซนตไทลท 5,10,25,50,75,90 และ95 ในท น8 เลอก Descriptive และให Confidence Interval for Mean = 99% Outliersและ Percentiles แลวเลอก จะไดหนาจอดงรปท� 14.8 4. ในรปท� 14.8 เลอก ซ� งจะให histogram, normality plot, boxplot และสถตทดสอบดงรปท 14.10 โดยท รปท 14.10 แบงเปน 4 สวน ดงน8 4.1 BoxPlot ประกอบดวย Factor level together ทางเลอกน8จะใชเม อตองการใหแสดงคาสถตตางๆ ท เลอกในรปท 14.9 แยกกนสาหรบตวแปรใน Dependent แตละตว เชน ถาเลอกตวแปรรายไดและรายจายใน Dependent และถาระบตวแปรเพศใน Factor Variable จะไดคาสถตและ boxplot ของรายไดและรายจายแยกตามเพศ ในกรณท ไมระบตวแปรแยกกลม (factor list) จะแสดง boxplot ของตวแปรน8นท8งหมด เชน boxplot ของรายไดของทกคน และของรายจายของทกคน Dependents together ทางเลอกน8จะใชเม อตองการใหแสดงคาสถตตางๆ ท เลอกในรปท 14.10 แยกตามคาของ Factor variable และแยกตามตวแปร Dependents แตละตวดวยจงใชเม อตองการเปรยบเทยบลกษณะการแจกแจงของตวแปรหลายตว สาหรบกลมใดกลมหน งหรอท8งหมด เชน เปรยบเทยบรายได และรายจายของทกคน หรอแยกตามเพศ None ไมตองการใหแสดง boxplot 4.2 Descriptive จะแสดงกราฟของ Stem-and-leaf Histogram 4.3 Normality plots with tests จะแสดง normal probability plotsและdetrended probability plot และใหคาสถตทดสอบและSignificance ของ Shapiro-Wilks และ Kolmogorov-smirnov เพ อทดสอบวา ขอมลมการแจกแจงแบบปกตหรอไม กรณท ขนาดตวอยางมากกวา 50 จะไมคานวณ Shapiro-Wilks’s statistic ให

Continue

Plots

4.4 Spread vs. Level with Levene Test เปนการตรวจสอบการกระจายของขอมลโดยใช Levene Test โดยคาสถต Leveneจะคานวณจากคาจรง หรอคาของขอมลท มการเปล ยนแปลงรปแบบ (Transformed data) กได ผ วเคราะหจะตองเลอกทางเลอกใดทางเลอกหน งดงน8 None เม อไมตองการคานวณคา Levene Test Power estimation: สาหรบแตละกลม จะพลอตคา log ของมธยฐานกบ log ของพสยควาไทล(IQR)จะใชเม อตองการหาการเปล ยนแปลงรปแบบท เหมาะสมของขอมล Transformed: ผวเคราะหสามารถเลอกรปแบบของขอมล ถาเลอกทางเลอกน8แลวจะทาใหคาวา Power จะมสเขม คลกท เคร องหมาย หลงคาวา Power จะมทางเลอกดงน8 Natural log : คานวณ log ของขอมล 1/square root : คานวณ1/ Reciprocal : คานวณ1/ขอมล Square root : คานวณ Square : คานวณ(ขอมล) 2 Cube : คานวณ(ขอมล) 3 Untransformed ใชเม อตองการใชคาของขอมลจรง โดยไมมการเปล ยนแปลงรปแบบในตวอยางน8 ในสวนของ Boxplot เลอก Factor levels together Descriptive เลอก Stem and leaf และ histogram เลอก Normality plots with test เลอก จะกลบไปหนาจอรปท 14.8 ในหนาจอ 14.8 คลก จะไดหนาจอ Explore: Options ดงรปท 14.11 หนาจอในรปท 14.11 ประกอบดวยทางเลอกดงน8 - Exclude cases listwise : จะตด cases ท ม missing value ของตวแปรใดๆใน dependent list หรอใน Factor ออกจากการวเคราะห - Exclude cases pairwise : cases ท มขอมลของตวแปรใน cell ใดๆ จะถกคานวณโดยท cases น8นอาจมตวแปรอ นๆท ม missing value - Report values : missing value ของตวแปรใน Factor list (ตวแปรแบงกลม)จะถกแยกออกเปนกลมใหม ในท น8 เลอก Exclude cases lis wise แลว จะกลบไปท รปท 14.9 5. ในรป 14.8 เลอก จะไดผลลพธดงแสดงในตารางท 14.2-14.6

▼

Continue

Options...

Continue

ok

บทท� 8 การทดสอบสมมตฐานท�ไมใชพารามเตอร (Nonparametric Test)

การอางองถงประชากรโดยใชขอมลจากตวอยาง โดยการประมาณคาและการทดสอบสมมตฐานดงไดกลาวมาแลวในบทท� 4 และ 5 ตามลาดบน�น จาเปนตองทราบถงลกษณะการแจกแจงของประชากรท�สนใจศกษา กลาวคอ ประชากรตองมการแจกแจงแบบปกตหรอใกลเคยงแบบปกต โดยท�ฟงกชนของการแจกแจงข�นอยกบพารามเตอรของประชากรน�น ๆ เชน ถาประชากรมการแจกแจงแบบปกต ฟงกชนการแจกแจงจะข�นอยกบคาเฉล�ย ( µ ) และคาแปรปรวน ( 2σ ) แตถาประชากรมการแจกแจงแบบทวนาม ฟงกชนการแจกแจงจะข�นอยกบสดสวนประชากร ( p ) หรอถาประชากรมการแจกแจงแบบปวซอง ฟงกชนการแจกแจงจะข�นอยกบคาเฉล�ย ( µ ) ดงน�น เม�อทดสอบเก�ยวกบคาเฉล�ย ( µ ) คาแปรปรวน ( 2σ ) หรอคาสดสวนประชากร ( P ) จงเรยกวา การทดสอบสมมตฐานท�ใชพารามเตอร (Parametric Tests) ดงไดกลาวมาแลวในบทท� 5 และ 6 ซ� งการทดสอบท�ใชพารามเตอรจะตองมสมมตฐานวา ประชากรตองมการแจกแจงแบบปกตหรอใกลเคยงแบบปกต จงจะสามารถใช Z หรอ t หรอ F เปนสถตทดสอบ และกรณท�ไมทราบการแจกแจงของประชากรหรอประชากรมการแจกแจงแบบอ�น ๆ ท�ไมใชแบบปกต แตตวอยางมขนาดใหญ จะใชทฤษฎลมตสสวนกลาง จงสามารถใชสถตทดสอบ Z ได ในกรณท�ประชากรไมไดเปนไปตามสมมตฐาน คอ ไมไดมการแจกแจงแบบปกต และตวอยางมขนาดเลก จะไมสามารถใชการทดสอบท�ใชพารามเตอรได จงตองใชวธการทดสอบท�เรยกวา การทดสอบท�ไมใชพารามเตอร (Nonparametric Test or Distribution – free Test) ดงน�น จงสรปไดวา การทดสอบสมมตฐานท�ไมใชพารามเตอรเปนการทดสอบท�ไมจาเปนตองทราบการแจกแจงของประชากร และยงสามารถใชทดสอบสมมตฐานเม�อตวอยางมขนาดเลกอกดวย วธการทดสอบสมมตฐานท�ไมใชพารามเตอรมกจะใชกบขอมลท�อยในรปแสดงถงลาดบท� หรอขอมลท�อยในรปความถ� สาหรบการทดสอบท�ใชพารามเตอรท�กลาวในบทท� 5 และ 6 นอกจากประชากรจะตองมการแจกแจงแบบปกตแลว ขอมลท�นามาใชในการทดสอบจะตองเปนขอมลเชงปรมาณ เชน ยอดขาย น�าหนก ความสง ฯลฯ ซ� งสามารถคานวณคาเฉล�ย และคาแปรปรวนได แตการทดสอบท�ไมใชพารามเตอรน�น ขอมลอาจจะอยในรปความถ� หรอขอมลท�แสดงลาดบท� ดงน�น ถาขอมลท�ตองการทดสอบเปนขอมลเชงปรมาณ แตการแจกแจงของประชากรไมใชแบบ

ปกต และตวอยางมขนาดเลก เราจะปรบขอมลน�นใหอยในรปลาดบท� เพ�อใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอรทาการทดสอบได 8.1 เม�อใดจงจะใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร เราจะใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอรเม�อ

1. ขอมลท�มอยไมไดอยในรปท�ระบคาได คอ ขอมลอยในรปมาตราแสดงตาแหนง หรอขอมลอยในรปลาดบท� (มาตราแสดงลาดบ) หรออยในรปความถ� 2. การแจกแจงของประชากรไมเปนไปตามสมมตฐาน คอ ไมไดมการแจกแจงแบบปกต 3. ตวอยางมขนาดเลก ดงไดกลาวมาแลววา การทดสอบท�ไมใชพารามเตอรไมจาเปนตองทราบการแจกแจงของ ประชากร ดงน�นจงเปนการทดสอบท�ไมมปญหากรณท�ขอมลมความเบ และขอมลท�มคาผดปกต เชน มากผดปกต หรอ นอยผดปกต เน�องจากการทดสอบท�ไมใชพารามเตอรจะใชเฉพาะความถ� หรอลาดบท�เทาน�น ไมไดใชคาของขอมลจรง การทดสอบเก�ยวกบคากลางของประชากร ถาเปนการทดสอบท�ใชพารามเตอรกบขอมลจรงจะทดสอบเก�ยวกบคาเฉล�ยของประชากร แตถาใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร หรอการทดสอบท�ใชขอมลท�อยในรปลาดบท�

(Rank) หรออยในรปความถ�จะเปนการทดสอบเก�ยวกบคามธยฐานของประชากร ถาประชากรมคณสมบตตามสมมตฐาน คอ มการแจกแจงแบบปกตหรอใกลเคยงแบบปกตแลวการทดสอบท�ใชพารามเตอรจะใหผลดกวาการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร ในกรณท�สามารถใชเทคนคท�ใชพารามเตอรทาการทดสอบสมมตฐานได แตผวเคราะหไปใชวธการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร ผลของการวเคราะหหรอการทดสอบอาจจะคลาดเคล�อนได เน�องจากการใชวธการท�ไมใชพารามเตอรไมไดนาคาของขอมลจรงมาวเคราะห เพยงแตใชลาดบท�ของขอมลเทาน�น ดงน�นประสทธภาพจงดอยกวาวธการท�ใชพารามเตอร หมายความวา ในการทดสอบสมมตฐานท�กาหนดระดบนยสาคญคงท� ความผดพลาดประเภทท�สอง ( β ) ของการทดสอบแบบไมใชพารามเตอรจะมากกวาของการทดสอบท�ใชพารามเตอร 8.2 ขอดขอเสยของการการทดสอบสมมตฐานท�ไมใชพารามเตอร ขอดของวธการทดสอบสมมตฐานท�ไมใชพารามเตอร

1. สามารถใชทดสอบสมมตฐานทางสถตท�ไมใชพารามเตอรถงแมวา ประชากรจะไมมคณสมบตตามสมมตฐานท�ต�งไว เชน ประชากรไมมการแจจกแจงแบบปกต หรอขนาดตวอยางเลก

2. สามารถใชกบขอมลไดทกประเภท รวมท�งขอมลท�อยในรปความถ�หรอลาดบท� เชน มกาแฟอย 3 ชนด คอ A ,B และ C และตองการใหผด�มกาแฟบอกถงลาดบท�ของความชอบกาแฟท�ง 3 ชนด ถาชอบมากท�สดเปนลาดบท� 1 และชอบนอยท�สดใหเปนลาดบท� 3 ดงน�น ขอมลท�นามาใชในการทดสอบ คอ ลาดบท� 1, 2, และ 3

3. สามารถใชกบฐานขอมลเชงปรมาณ แตเม�อจะทดสอบจะตองแปลงขอมลเชงปรมาณใหอยในรปลาดบท� โดยนาขอมลเชงปรมาณน�นมาเรยงลาดบท�แกขอมล ขอเสยของวธการทดสอบสมมตฐานท�ไมใชพารามเตอร

1. ผลของการทดสอบท�ไมใชพารามเตอรจะมประสทธภาพนอยกวาการทดสอบท�ใชพารามเตอร การทดสอบสมมตฐานท�ไมใชพารามเตอรใชกรณท�ประชากรไมไดเปนไปตามสมมตฐาน คอ 1) ประชากรไมไดมการแจกแจงแบบปกต

2) ตวอยางมขนาดเลก ใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร (Nonparametric Test or Distribution – free Test) สรป Non – Parametric Test ใชเม�อ

1) ไมทราบการแจกแจงของประชากร 2) ใชกบตวอยางมขนาดเลก โดยจะใชเม�อ 1) ขอมลอยในมาตราลาดบ (Ordinal Scale) 2) ขอมลไมไดมการแจกแจงแบบปกต 3) ตวอยางมขนาดเลก

Note ในกรณขอมลมการแจกแจงแบบปกตแตไปใช Non – Parametric Test จะไดผลลพธท�ไมถกตอง (คลาดเคล�อนไป) TypeII eror มากกวา Non – Parametric Test 1. Run Test หรอ Wald – Wolfowitz Test ทดสอบวาขอมลตวอยางเปนไปอยางสมหรอไม 2. Wilcoxon Signed – Rank Test การทดสอบเก�ยวกบตาแหนงของประชากรเดยว

3. การทดสอบความแตกตางของสองประชากร 3.1 การทดสอบความแตกตางของสองประชากร โดยตวอยางแตละชดสมมาจากประชากรท�งสองอยางเปนอสระกน โดยใชการทดสอบ Wilcoxon Rank

Sum Test Mann – Whitney U Test Wald – Wolfowitz Test

3.2 การทดสอบความแตกตางของสองประชากรแบบจบค Wilcoxon – Signed Rank Test for Matched Paired Difference , Sign Test , McNemar Test

4. การทดสอบความแตกตางของ k ประชากร (k≥3) 4.1 ถาตวอยางแตละชดอสระกน ใช kruskal – Wallis H Test ,

Median Test 4.2 ถาตวอยางแตละชดไมเปนอสระกน ใช Friedman Fr Test for a

Randomized Block Design และการทดสอบ Cochran’s Q Test 5. การทดสอบความสมพนธระหวางลกษณะสองลกษณะ Spearman’s Rank Correlation Coefficient 6. การทดสอบวาประชากรมการแจกแจงแบบปกตหรอไม

Chi – square Test Kolmogorov – smirnov Test Lilliefor Test

8.3 การทดสอบวาขอมลตวอยางเปนไปอยางสมหรอไม ตวอยางสม (Random Sample) หมายถง ขอมลแตละคาตองเปนอสระกน จะทดสอบวาขอมลตวอยางเปนไปอยางสม อสระกนหรอไมโดยใช Runtest Run Test สมมตฐานของการทดสอบ

0H : ขอมลตวอยางเปนไปอยางสม 1H : ขอมลตวอยางไมเปนไปอยางสม สถตทดสอบ R = of Rans

B A A B B B A A ตวอยาง N = 8 ดงน� 7, 25, 29, 10, 5, 18, 19 และ 32 เรยงลาดบ 5, 7, 10, 18, 19, 25, 29, 32

Median = 2

122

++ nn xx

= 2

1918 + = 18.5 Md

เปน A ถาขอมลตวอยางมากกวา Md (18.5) เปน B ถาขอมลตวอยางนอยกวา Md (18.5) 7 25 29 10 5 18 19 32 B A A B B B A A 1 2 3 4

R = 4 1n = จานวนคา A , 2n = จานวนคา B , n = ขนาดตวอยาง 21 nn + ก. ขนาดตวอยางเลก ( 20,20 21 ≤≤ nn ) เขตปฏเสธ 0H : จะปฏเสธ 0H ถา R ≤ lower tail หรอ

R ≥ Upper tail จากตาราง 19.1 , 19.2 ท� α ในท�น� ใช 2

α ∴ เปนการทดสอบแบบ 2 ขาง ข. ขนาดตวอยางใหญ (n > 40 หรอ 1n หรอ 2n คาใดคาหน�งมากกวา 20) เม�อตวอยางมขนาดใหญ โดย CLT จะไดวา R ~ Norminal ( 2, RR σµ )

)1,0(~ NR

ZR

R

σµ−

=⇒

12 21 +=

n

nnRµ , ( )

( )1

222

2121

−

−=

nn

nnnnnRσ

สถตทดสอบ ( )( )1

22

12

22121

21

−−

+−=

nn

nnnnn

n

nn

RZ

เขตปฏเสธ 0H จะปฏเสธ 0H ถา 2

1α

−

> ZZ

ตวอยาง อตราการวางงานในเดอนเมษายน 2542 ม 34 จงหวด อยากทราบวาขอมลตวอยางของอตราการวางงานเปนไปอยางสมหรอไม ท� α = 0.05 วธทา n = 34 อตราการวางาน (%) (เรยงขอมล stem)

median = 2

1817 xx = 2

6.46.4 + = 4.6

ถาคาใดมากกวา 4.6 เปน a ถาคาใดนอยกวา 4.6 เปน b อตราการวางงาน (%) อตราการวางงาน (%) อตราการวางงาน (%)

3.8 4.6 4.0 4.0 3.7 3.3 2.9 3.1 3.0 3.0 4.0

B 1 A 2 B 3 B B B B B B B B

4.8 4.7 4.2 4.6 6.6 6.4 5.9 4.9 4.6 5.3 5.7

A 4 A B 5 A 6 A A A A A A A

7.0 6.4 5.1 4.9 4.7 4.2 3.9 3.9 4.1 5.0 5.7 5.1

A A A A A B 7 B B B A 8 A A

0H : อตราการวางงาน ตวอยางเปนไปอยางสม 1H : อตราการวางงาน ตวอยางไมเปนไปอยางสม

R = 8, 1n = จานวนคา A = 19 2n = จานวนคา B = 15 เปดตาราง 19.1 และ 19.2 ไดคา Lower Tail = 11 Upper Tail = 24 ท� α = 0.05

ปฎเสธ 0H ถา R ≤ 11 หรอ R ≥ 24 สรปผล ∴ R = 8 < 11 จงปฎเสธ 0H น�นคออตราการวางงานไมเปนไปอยางสม

แบบฝกหด 1. ใหตรวจสอบวาปรมาณ aflatoxin ท�อยในฝกขาวโพด เปนไปอยางสมหรอไม ท� α= 0.05 วธทา n = 30 เรยงขอมล

0 5 6 9 4 2 1 5 6 9 8 9 8 3 0 4 2 8 8 2 7 0 2 1 3 9 1 0 6 1 0 3 0 2 เรยงขอมลใหม 0 2 4 5 6 9 1 0 0 2 2 3 4 5 6 7 8 8 8 8 9 9 2 0 0 1 1 1 3 6 9 3 0 2

Median = 2

1615 xx = 2

1818 + = 18

∴ ถาคาใดมากกวาหรอเทากบ 18 เปน A ถาคาใดนอยกวา 18 เปน B ปรมาณ Aflatoxin ปรมาณ Aflatoxin ปรมาณ Aflatoxin ท�อยในฝกขาวโพด ท�อยในฝกขาวโพด ท�อยในฝกขาวโพด

21 A 1 19 A 12 B 8 23 A 18 A 26 A 9 15 B 2 13 B 6 32 A 29 A 3 10 B 21 A 30 A 14 B 17 B 21 A 5 B 20 A 11 16 B 4 12 B 9 B 12 19 A 5 6 B 4 B 18 A 18 A 7 10 B 20 A 18 A 2 B

ต�งสมมตฐาน 0H : ปรมาณ Aflatoxin ท�อยในฝกขาวโพดเปนไปอยางสม 1H : ปรมาณ Aflatoxin ท�อยในฝกขาวโพดไมเปนไปอยางสม R = 12 , 1n = จานวนคา A = 16 2n = จานวนคา B = 14 เปดตาราง 19.1 และ 19.2 ไดคา Lower Tail = 10 Upper Tail = 22 ท� α = 0.05 ปฏเสธ 0H ถา 10≤R หรอ 22≥R สรปผล R = 12 > 10 จงยอมรบ 0H น�นคอ ปรมาณ Aflatoxin ท�อยในฝกขาวโพดเปนไปอยางสม

การทดสอบเก�ยวกบประชากรเดยว เม�อตองการทดสอบคากลางของประชากรใดประชากรหน�ง แตการแจกแจงของประชากรท�สนใจไดมการแจกแจงแบบปกต หรอขอมลอยในรปลาดบท�เราจะใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร โดยเปนการทดสอบเก�ยวกบคามธยฐาน (Median : M ) ของประชากร ซ�งคามธยฐานเปนคาท�แบงประชากรออกเปน 2 สวนเทา ๆ กน คอ 50 % ของ ประชากรมคาต�ากวามธยฐาน และอก 50 % มคาสงกวามธยฐาน เม�อ X เปนตวแปรสมแบบตอเน�อง จะไดวา ( ) ( ) 5.0=>=< MxPMxP โดยท� M เปนคามธยฐานของประชากร และ 0M เปนคามธยฐานทท�คาดวาจะเปน สาหรบการทดสอบเก�ยวกบคามธยฐานของประชากรเดยวจะใชวธการทดสอบ โดยใชเคร�องหมายลาดบท�ของวลคอกชน ( Wilcoxol signel – Rand test ) 1. กาหนดสมมตฐานท�จะทดสอบ

00 : MMH = ( 0M คอ คามธยฐานท�คาดวาจะเปน ) MH :1 ≠ 0M 00 ,, MMMM <> 2. หาความแตกตาง (D) ระหวางคาของขอมลกบคามธยฐานท�คาดวาจะเปน น�นคอ niMxiDi ,...,3,2,1;0 =−= 3. ใหลาดบท� ( Rand X) 1,2,3,....,n แกคา Di คาต�าสด = ลาดบท� 1 , คาสงสดลาดบท� 2 ก. ลาดบท�เทากนใหเฉล�ยลาดบท� ข. ถา Di = 0 →ลดขนาดตวอยาง 4. ใชเคร�องหมายลาดบท�จาก ช.นท� 3 ตามเคร�องหมายของคา Di 5. หาผลบวกของลาดบท�มเคร�องหมายเหมอนกน +Ι = ผลบวกของลาดบท�ซ� งมเคร�องหมายบวก −Ι = ผลบวกของลาดบท�ซ� งมเคร�องหมายลบ 6. กาหนดสถตทดสอบ สาหรบสถตทดสอบจะข.นอยกบขนาดตวอยาง (n) และสมมตฐานแยง ( )1H ดงน. a. n < 30 ( ตวอยางมขนาดเลก )

6.1 เม�อขนาดตวอยางเลก ( )30<n 7. การกาหนดขอบเขตปฏเสธสมมตฐาน 0H 7.1 การทดสอบสมมตฐานแบบ 2 ทาง 01

00

:

:

MMH

MMH

≠

= สถตทดสอบ ( )−+== TTT ,min เขตปฏเสธ : จะปฏเสธสมมตฐาน 0H ถา

≤2

,α

nTµµÒÃÒT ซ� งไดจากตารางท� 9 ในภาคผนวก 7.2 การทดสอบสมมตฐานแบบขางเดยว 7.2.1 01

00

:

:

MMH

MMH

<≥ สถตทดสอบ += T 7.2.2

01

00

:

:

MMH

MMH

>≤ สถตทดสอบ

−= T สมมตฐานแยง สถตทดสอบ เขตปฏเสธ 1. 01 : MMH ≠ ( )−+ += TTMinT

≤

2,α

nTµµÒÃÒT 2. 01 : MMH < +T ( )α,nTµµÒÃÒT ≤+ 3. 01 : MMH > −

T ( )α,nTµÒÃÒ§T ≤−

6.2 เม�อตวอยางมขนาดใหญ 30≥n 7. การกาหนดเขตปฏเสธ 0H 7.1 การทดสอบสมมตฐานแบบ 2 ขาง

01

00

:

:

MMH

MMH

≠

= สถตทดสอบ : ( )

( )( ) 24/121

4/1*

++

+−=

nnn

nnTT

โดยท� *T จะมการแจกแจงโดยประมาณแบบปกตมาตรฐาน ( normal (0,1) ) เขตปฏเสธ : จะปฏเสธ 0H ถา 2/1*

α−> ZT หรอ 2/1*

α−< ZT ( น�นคอ จะปฏเสธ 0H ถา 2/1*

α−> ZT ) 7.3 การทดสอบสมมตฐานแบบขางเดยว ตารางท� 8.2 สรปสถตทดสอบ และเขตปฏเสธเม�อ 30≥n 01

00

:

:

MMH

MMH

>≤ สถตทดสอบ :

( )( )( ) 24/121

4/1*

++

+−= −

nnn

nnTT เขตปฏเสธ : จะปฏเสธ 0H ถา α−> 1

* ZT

01

00

:

:

MMH

MMH

<≥

สถตทดสอบ : ( )( )( ) 24/121

4/1*

++

+−= +

nnn

nnTT

เขตปฏเสธ : จะปฏเสธ 0H ถา α−−< 1* ZT

ตวอยาง จากขอมลในอดตทราบวา คามธยฐานของ IQ ของคนในเมองสงคบรท�มอายมากกวา 16 ปเปน 107 ถาสมคนในเมองสงคบรท�มอายมากกวา 16 ปมา 15 คน นามาทดสอบ IQ ไดขอมลดงน. 99,100,90,94,135,108,107,111,119,104,127,109,117,105และ125 อยากทราบวา คามธยฐานของ IQ ของคนในเมองสงคบรท�มอายมากกวา 16 ป ในปจจบนน.ยงคงเปน 107 หรอไม ใหระดบนยสาคญ=0.05 วธทา เน�องจากไมทราบการแจกแจงของขอมล (IQ)และขนาดตวอยางเลก(n=15Xจงใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร ข�นท� 1 กาหนดสมมตฐานท�จะทดสอบ ให M=มธยฐานของ IQ ของคนเมองสงคบร ท�อายมากกวา 16 ป 107:0H VS. 107:1 ≠MH สวนการคานวณข.นท� 2 - ข.นท� 4 แสดงไวในตารางท� 1 ตารางท� 1 ขอมล i IQ Xi Di =Xi-107 ลาดบท�ของ Di ลาดบท�ของ Di โดยใสเคร�องหมายของDi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

99 100 90 94 135 108 107 111 119 104 127 109 117 105 125

-8 -7 -17 -13 +28 +1 0 +4 +12 -3 +20 +2 +10 -2 +18

7 6 11 10 14 1 - 5 9 4 13 2.5 8 2.5 12

-7 -6 -11 -10 +14 +1 - +5 +9 -4 +13 +2.5 +8 -2.5 +12

เชน 107107 1412 −=− XX หรอ 21412 == DD ดงน.นจงมลาดบท�เทากน คอ (2+3)/2 =2.5 สวนคา 07 =D ไมมการใหลาดบท�ของ 7D ดงน.นขนาดตวอยางจงเหลอ 15-1=14 ข.นท� 5 : สาหรบข.นท� 5 เปนการหาผลบวกของลาดบท� ซ� งมเคร�องหมายบวกและลบไดด.งน. 5.405.24101167

5.641285.21395114

=−−−−−−=

=+++++++=

−

+

T

T ข.นท� 6 : กาหนดสถตทดสอบแบบ 2 ขาง และ n<30 สถตทดสอบคอ ( ) ( ) 5.405.40,5.64min,min === −+ TTT ข.นท� 7 : กาหนดเขตปฏเสธสมมตฐาน 0H จะปฏเสธ 0H เม�อ ( )2/,αnTT µÒÃÒ§≤ โดยท� 025.2/ =α และ n=14 เปดตารางท� 9 ในภาคผนวกไดคา ( ) 21025,.14 =µÒÃÒ§T แตเน�องจาก 5.40=T ซ�งมากกวา 21 จงไมสามารถปฏเสธ ได จงสรปไดวาคามธยฐานของ IQ ของในเมองสงคบรท�มอายมากกวา 16 ปในปจจบนยงคงเปน 107 ทากบในอดต ท�ระดบนยสาคญ 0.05

การทดสอบความแตกตางของ 2 ประชากร 1. กรณตวอยางเปนอสระกน

Parametric Nonparametric Test

t test หรอ z test Wilcoxson Rank Test Sum Test

Mann-Whitney U Test หรอ Wald-Wolfowitz Test 2. สมตวอยางไมเปนอสระกนแบบจบค t test Nonparametric Test (1) Wilcoxson Signed Rank Test Sum

Test for Matched Paired paired Differend (2) Sign Test

(3) Mcnema Test

2 ประชากร กรณสมตวอยางอสระกน � สมตวอยางขนาด in จากประชากร 3,2,1=i

� ใชการทดสอบ ผลบวกลาดบท�ของ (Wilcoxson Rank Test Sum Test) OR ใชการทดสอบของ (Mann-Whitney U Test) OR ใช Wald-Wolfowitz Test

การทดสอบท#ใชผลบวกของลาดบวลคลอกชน(Wilcoxson Rank Test Sum Test) 1. สมตวอยางขนาด in ระชากรท� 3,2,1=i

2. เรยงลาดบขอมลตวอยางท%งหมดจานอย มาก ใหลาดบท� ต �าสด สงสด 1 0 3. หาผลบวกลาดบท�ของขอมลตวอยางชดท� 3,2,1, =ii 4. กาหนดตวสถตทดสอบ ถาประชากรท%งสองกลม มมธยฐานเทากน (ใกลเคยงกน) ผลบวกของ Rank จะมคาพอๆกน และ

( )2

121

+=+

nnTT ; 21 nnn +=

∴ ถา 21 TT + เปนคาคงท� ถา 1T มคานอย 2T มคามากและถา 1T มคามาก 2T จะมคานอย สถตทดสอบจะเปน AT ถา ( )iji nnn ,min= เชน 12 ,8,6 tTnn Ai === แตถา 221 6,10 tTnn A =⇒== แตถา 21 nn = AT จะเปน 1t or 2t กได

I ตวอยาง มขนาดเลก 10,10 21 << nn AT = ผลบวกของลาดบท�ของชดตวอยางท�มขนาดเลก นา AT มาเปรยบเทยบกบตารางท� 10 Wilcoxson Rank Test Sum Test

Independent Sample ใช uT กบ LT เปนขอบเขตบนและขอบเขตลางตามลาดบ ใช uT กบ LT ข%นกบระดบนยสาคญ α เปนตวอยาง 21 & nn

ตวอยาง 2 หาง 75,05.0 2,1 === nnα จะได 45,20 22 == TT ถา AT มคามาก แสดงวา ขอมลสวนใหญท�อยในชดตวอยางขนาดเลกมากกวาขอมลท�อยในชดตวอยางขนาดใหญ

� ประชากรท�มตวอยางขนาดเลก จะมคากลางมากกวา คากลาง(มธยฐาน) � ประชากรท�มตวอยางขนาดเลกจะอยทางหางของประชากรท�มตวอยางขนาดใหญ

B A

� ปฏเสธ BA MMH ≠:0 (ยอมรบ BA MMH >:1 ) เม�อ AT มคามาก AM = คามธยฐานของประชากรท�มขนาดเลก BM = คามธยฐานของประชากรท�มขนาดใหญ

การทดสอบแบบขางเดยว AT = ผลบวกของลาดบท�ของชดตวอยางท�มขนาดเลก

( )1 BA

BA

MMH

MMH

>≤

:

:

1

0 จะปฏเสธ 0H ถา uA TT ≥ โดยท� ( )α=≥ un TTP

OR ( )2BA

BA

MMH

MMH

<≥

:

:

1

0 จะปฏเสธ 0H ถา LA TT ≤ โดยท� ( )α=≤ Ln TTP

Note. uT และ LT ไดจากตารางท� 10 ในภาคผนวกท� 21 nn ≤

การทดสอบแบบสองขาง :0H ลกษณะท�สนใจของประชากรท%ง 2 ไมแตกตางกน :0H BA MM = :1H BA MM ≠ , =AM คามธยฐานของประชากรท�มขนาดตวอยางเลก =BM คามธยฐานของประชากรท�มขนาดตวอยางใหญ

ถา AT กบ BT ใกลเคยงกน ยอมรบ 0H

=BT ผลบวกของลาดบท�ของชดตวอยางขนาดใหญ

∴เขตวกฤต จะปฏเสธ 0H ถา LA TT < หรอ uA TT > โดยท� =LT คาต�าสด ท� กาหนดโดยขนาดตวอยาง α โดยท� BA nn ≤ และ ( ) ( )2

α=≥=≤ uALA TTPTTP

ตวอยาง 8.3 เปรยบเทยบคณภาพของยาแกปวดสตร1 และสตร2 วาแตกตางกนหรอไมโดยพจารณาจากระยะเวลาท�ยาจะออกฤทธ< สมคนไข 2 กลม 7,6 21 == nn กลมท�1 ทานยาแกปวดสตร1 กลมท�2 ทานยาแกปวดสตร2 จดระยะเวลาท�ยาเร�มออกฤทธ< นบจากเร�มทานยา ให 05.0=α วธทา ไมทราบการแจกแจงของประชากรเน�องจากตวอยางมขนาดเลก Nonparametric Test

แปลงระยะเวลาท�ยาออกฤทธ< เปนลาดบท� การสมตวอยางสองชดเปนอสระกน

ใชการทดสอบผลบวกลาดบท�ของวลคอกซน Wilcoxon Rank sum Test

:0Η ยาแกปวดสตร1และสตร2 ใหผลไมแตกตางกน OR :0Η 21 Μ=Μ

:1Η ยาแกปวดสตร1และสตร2 ใหผลแตกตางกน OR 211 : Μ≠ΜΗ โดยท� 1Μ และ 2Μ เปนคามธยฐานของระยะเวลาท�ยาสตร1 และสตร2 ออกฤทธ< ตามลาดบ สถตทดสอบ คอ ( )21211 7,6 nnnnA <==Τ=Τ Q ยาสตรท�1(เวลานาท) ลาดบท� ยาสตรท�2(เวลานาท) ลาดบท� 1.96 4 2.11 6 2.24 7 2.43 9 1.71 2 2.07 5 2.41 8 2.71 11 1.62 1 2.50 10 1.93 3 2.84 12 2.88 13

คานวณได 253182741 =+++++=Τ=ΤA เขตปฏเสธ : จะปฏเสธ 0Η ถา LA Τ≤Τ หรอ uA Τ≥Τ เปดตาราง 10 ภาคผนวกท� 05.0=α ของการทดสอบแบบ 2 หางท� 7,6 21 == nn ได 56,28 =Τ=Τ uL แต 2825 =Τ<=Τ LA จงปฏเสธ 0Η น�นคอ ยาสตรท�1และ2 ใหผลตางกนท�ระดบนยสาคญ 0.05 II ตวอยางมขนาดใหญ ( )10,10 21 >> nn เม�อตวอยางมขนาดใหญ

AΤ ~ ( ) ( )( )AA v ΤΤΕΝ ,

( ) ( ) ( )2

1

2

1211 +=++=ΤΕ nnnnn AA โดยท� 21 nnn +=

( ) ( ) ( )12

1

12

12121 +=+=Τ + nnnnnnnV BA

A

( )( )( ) Ζ

++−Τ=Ζ∴ ;

12/1

2/1

nnn

nn

BA

AA ~ ( )1,0N

จะปฏเสธ 0Η ยอมรบ BA Μ≠ΜΗ :1 ถา −

Ζ>Ζ 1

2

α

BA Μ>ΜΗ :1 ถา α−Ζ>Ζ 1 BA Μ<ΜΗ :1 ถา α−Ζ−<Ζ 1

ตวอยาง เงนปนผลบรษท CC = 21 ไตรมาส เงนปนผลบรษท EE= 25 ไตรมาส ไมมการแจกแจง แบบปกต จงทดสอบวาเงนปนผลของบรษท CC > บรษท EE ท� 10.0=α ถาผลบวกลาดบท�ของบรษท CC= 585.5 บรษท EE=495.5 วธทา 1025,21 21 >== nn (ตวอยางมขนาดใหญ) ประชากรไมมการแจกแจงแบบปกตใชการทดสอบผลบวกลาดบท� (Wilcoxon Rank Sum) Qการสมตวอยางท%ง 2 ชดอสระตอกน 121 nnnn A =→<Q และ 5.5851 =Τ=ΤA (บรษท CC เปนประชากรท� 1(A) (บรษท EE เปนประชากรท� 2(B)) ABA ΜΜ≤ΜΗ ;:0 & BΜ เปนคามธยฐานของเงนปนผลบรษท CC และบรษท EE ตามลาดบ

BA Μ>ΜΗ :1

( ) ( ) ( )5.493

2

14621

2

1 =+=+=ΤΕ nnAA

( ) ( ) ( )( ) ( ) 33.45,25.056,212

1462521

12

1 =Τ=+=+=Τ ABA

A vnnn

V

( )28.1,03.2

33.45

5.4935.585

33.45 90. =Ζ=−=ΤΕ−Τ=Ζ QAA

28.1>Ζ Reject 0Η ท� 10.0=α → เงนปนผล บรษท CC > บรษทEE

การทดสอบของแมน-วทนย ( The mann – Whitney U Test ) ( 2 ประชากร , เปนอสระกน, ไมทราบการแจกแจงของประชากร) 1. ต�งสมมตฐาน 2. ใหลาดบท�ของขอมลท�ง 2 ชด(เสมอนเปนขอมลชดเดยวกน)จากนอยไปมาก ถาคาเทากนใหเฉล�ยลาดบท�ของขอมล 3. หาผลรวมลาดบท�ของขอมลแตละชด =1T ผลรวมลาดบท�ของขอมลตวอยางชดท� 1 =2T ผลรวมลาดบท�ของขอมลตวอยางชดท� 2 4. ( )1

11211 2

1T

nnnnU −

++=

( )2

22212 2

1T

nnnnU −

++= , 2121 nnUU =+ สถตทดสอบแบงเปน 2 กรณ I ตวอยางมขนาดเลก ( 10,10 21 ≤≤ nn )

) ตวอยางมขนาดใหญ ח )10,10 21 ≥≥ nn I ตวอยางมขนาดเลก ( 10,10 21 ≤≤ nn ) ก การทดสอบขางเดยว

0H : ลกษณะท�สนใจศกษาของท�ง 2 ประชากรไมแตกตางกน ( )21 MM ≤ 1H : ลกษณะท�สนใจศกษาของประชากรท� 1 มากกวาประชากรท� 2 ( )21 MM > สถตทดสอบ: ( )

111

2121 2

1T

nnnnUU −

++== (ผลบวกลาดบท�ของขอมลตวอยางชดท� 1 ) ถา 0H จรง 1T จะมคามาก ซ� งมผลทาให 1U มคานอย ดงน�นจะยอมรบ 1H หรอปฏเสธ 0H ถา: 1U มคานอย เขตปฏเสธ : จะปฏเสธสมมตฐาน 0H ถา ( )21 UU ≤ โดยท� 0U ไดจากตารางท� 13 ในภาคผนวก ซ� งม [ ] α=≤ 01 UUP และ 21 nn ≤ หรอ 0H : 21 MM ≥ 1H : 21 MM < (หรอ 1H : การแจกแจงความถ�ของประชากรท� 1 อยทางซายของการแจกแจงความถ�ของประชากรท� 2) สถตทดสอบ 1UU = ถา 1H จรง 2T จะมคามากกวา 1T ซ�งทาให 2U มคานอยจงยอมรบ 1H หรอปฏเสธ 0H ถา 2U มคานอย

เขตปฏเสธ : จะปฏเสธสมมตฐาน 0H ถา 02 UU ≤ โดยท� [ ]α=≤ 02 UUP ข การทดสอบสมมตฐาน 2 ขาง 0H : ลกษณะท�สนใจศกษาของท�ง 2 ประชากรไมแตกตางกนหรอ 0H : 21 MM = 1H : ลกษณะท�สนใจศกษาของท�ง 2 ประชากรแตกตางกน 1H : 21 MM ≠ สถตทดสอบ { }21 ,min UUU = เขตปฏเสธ : จะปฏเสธสมมตฐาน 0H ถา 0UU ≤ โดยท�คา 0U ไดจากตารางท� 11 ในภาคผนวกซ�งคา 0U เปนคาท�ทาให [ ]20 α=≤UUPและคา 21 nn ≤ โกยคาท�ไดจากตารางท� 11 คอคา [ ]0UUP ≤ สรปการทดสอบของแมน – วทนย ( The mann – Whitney U Test ) 1. สมมตฐานเพ�อการทดสอบ H 0 : การแจกแจงความถ�ของประชากรท� 1 และ 2 ไมแตกตางกน(M 1= M 2 ) � H 1 : การแจกแจงความถ�ของประชากรท� 1 อยทางขวาของการแจกแจงความถ�ของประชากรท� 2 (M 1>M 2 ) � H 1 : การแจกแจงความถ�ของประชากรท� 1 อยทางซายของการแจกแจงความถ�ของประชากรท� 2 (M 1< M 2 ) � H 1 : การแจกแจงความถ�ของประชากรท�งสองแตกตางกน (M 1 ≠ M 2 ) 2. สถตทดสอบ 2.1 U 1 (สาหรบสมมตฐานแยง �) 2.2 U 2 (สาหรบสมมตฐานแยง �) 2.3 U = min (U 1 ,U 2 ) (สาหรบสมมตฐานแยง �) 3. เขตปฏเสธ 3.1 จะปฏเสธ H 0 ถา U 1 ≤ U 0 (สาหรบสมมตฐานแยง �) 3.2 จะปฏเสธ H 0 ถา U 2 ≤ U 0 (สาหรบสมมตฐานแยง �) 3.3 จะปฏเสธ HO ถา U ≤ U 0 (สาหรบสมมตฐานแยง�) โดยท� U 0 ไดจากตารางท� 11ในภาคผนวก P[ U 1 ≤ U 0 ] = P[ U 2 ≤ U 0 ] = α และ P[ U≤ U 0 ] =α /2

ตวอยางท� 8.5 ถาตองการเปรยบเทยบวธการสอน 2 วธ (A,B) จงแบงนสตออกเปน 2 กลม โดยใหแตละกลมไดรบการสอนกลมละวธ หลงจากน�นอก 4 เดอน จงเลอกนสตแตละกลมมากลมละ 10 คนอยางเปนอสระกน แลวใหสอบขอสอบเดยวกนปรากฏวาไดคะแนนดงน� วธ A 121 143 135 151 139 117 148 142 129 140 วธ B 149 137 167 150 131 129 152 137 144 153 ถาอาจารยผสอนเช�อวาการสอนโดยวธ B จะใหผลดกวาการสอนโดยวธ A อยากทราบวาส�งท�อาจารยผสอนเช�อเปนจรงหรอไม ให α = .05 วธทา เน�องจากเปนการสมตวอยาง 2 ชดอยางเปนอสระกน และขนาดตวอยางเลก (n A = n B = 10) และไมทราบการแจกแจงของคะแนนสอบ จงใชการทดสอบของแมน – วทนย H 0 : วธการสอนแบบ B ไมไดใหผลดกวาวธการสอนแบบ A (M B ≤M A ) H 1 : วธการสอนแบบ B ใหผลดกวาวธการสอนแบบ A (M B >M A ) ในท�น� จะใชวธการทดสอบของแมน – วทนย โดยใหลาดบท�ของตวอยางท�ง 20 คารวมกนซ� งรยงจากนอยไปหามากดงน� วธ A ลาดบท�(Rank) 121 143 135 151 139 117 148 142 129 140

2 12 6 17 9 1 14 11 3.5 10 AT 88.5

วธ B ลาดบท� (Rank) 149 137 167 150 131 129 152 137 144 153

15 7.5 20 16 5 3.5 18 7.5 13 19 BT 124.5 จะพบวามขอมลเทากนคอ 129 อย 2 คา ซ� งเปนขอมลลาดบท� 3 และ 4 ดงน�นลาดบท�เฉล�ย =

2

43+ = 3.5 และมขอมลท�มคา 137 เทากบ 2 คา ซ� งเปนลาดบท� 7 และ 8 ดงน�นลาดบท�เฉล�ยของขอมลท�มคา 137 จงเปน 2

87 + = 7.5 ลาดบท�ของคะแนนของนสตท�ไดรบการสอนแบบ A= T A โดยท� T A = 2+12+6+17+9+1+14+11+3.5+10 = 85.5 และลาดบท�ของคะแนนนสตกลม B = T B = 15+7.5+20+…+13+19 = 124.5 และ n A = n B = 10 สถตทดสอบ : เน�องจาก H 1 : คอ M B >M A ดงน�นสถตทดสอบคอ U B โดยท� U B = n A n B + n B เขตปฏเสธ : จะปฏเสธ H 0 ถา U B ≤U 0 โดยท�คา U 0 ไดจากตาราง Mann-Whitney ของตารางท� 11 ในภาคผนวกท� n A = n B = 10 และ α = .05 ไดคา U 0 = 28 เน�องจาก P[U B ≤ 28] = .0526 และ P[U B ≤ 27] = .0446 ดงน�นจงไมสามารถปฏเสธ H 0 น�นคอ ส�งท�อาจารยผสอนเช�อไมเปนจรง

ตวอยางท� 8.6 บรษท Good Perfume ซ� งขายน�าหอมย�หอGP ไดนาน�าหอมของเขาไปขายท�หางสรรพสนคา C และ D ผจดการบรษท Good Perfume ตองการเปรยบเทยบยอดขายน�าหอมของเขาท�ขายท�หาง C และ D ดงกลาววาแตกตางกนหรอไม จงเกบยอดขายของน�าหอมท�หาง C และD มาแหงละ 9 เดอนไดขอมลดงน� หางสรรพสนคา ยอดขาย (หนวย:ลานบาท) C D 2.75 2.14 3.23 2.07 2.49 2.18 3.16 2.93 2.2 0.89 1.43 1.06 1.01 0.94 1.79 1.12 2.01 1.12 โดยกาหนดใหระดบนยสาคญ = .05 วธทา เน�องจากการสมยอดขายน�าหอมท�หางสรรพสนคา C และ D เปนอสระกน และ n C = n D = 10 ซ� งเปนตวอยางขนาดเลก และไมทราบการแจกแจงของยอดขายน�าหอมท�หาง C และ D จงใชการทดสอบของแมน-วทนย ข"นท� 1 สมมตฐาน H 0 : การแจกแจงของยอดขายน�าหอมของหาง C และหาง D ไมแตกตาง(M C =M D ) H 1 : การแจกแจงของยอดขายน�าหอมของหาง C และ D แตกตางกน (M C ≠M D ) ข"นท� 2 ใหลาดบท�ของยอดขายน�าหอมของหาง C และ D รวมกนไดดงน� หาง C ลาดบท� C 2.75 2.14 3.23 2.07 2.49 2.18 3.16 2.93 2.2

15 11 18 10 14 12 17 16 13 126=CT

หาง D ลาดบท� D 0.89 1.43 1.06 1.01 0.94 1.79 1.12 2.01 1.12

1 7 4 3 2 8 5.5 9 5.5 45=DT ข"นท� 3 45,1263 == DTT โดยท� 9== Dc nn ข"นท� 4 ( ) ( ) ( )

01262

9999

2

1=−+−

++= c

ccDcc T

nnnnU

( ) ( ) ( )8145

2

10999

2

1=−+=−

++= D

DDDcD T

nnnnU ทดสอบ : เน�องจากเปนการทดสอบสองขาง ดงน�นสถตทดสอบ = U โดยท ( ) ( ) 081,0min,min === Dc UUU เขตปฏเสธ : จะปฏเสธ 0H ถา 0UU ≤ จากตารางท� 11 ในภาคผนวกท� 921 == nn และ 025.

2=α ไดP [ ] ( )202.17 α=≤U และ

[ ] 0252.18 =≤UP จงไดคา 180 =U แต U=0 จงปฏเสธ 0H น�นคอการแจกแจงของยอดขายน�าหอมของหาง C และ D แตกตางกน หรอคามธยฐานของยอดขายของหาง Cและ D แตกตางกนท�ระดบนยสาคญ .05 � ขนาดตวอยางใหญ( 101 >n และ 102 >n ) ในกรณท�ขนาดตวอยางใหญซ�งวธของ Mann-Whitney จะถอวาถา 101 >n และ 102 >n ตวสถต U จะมการแจกแจงโดยประมาณแบบปกตจงใช Z เปนสถตทดสอบ โดยท�คาเฉล�ยของ U=E(U)=

221nn

คา แปรปรวนของ U=V(U)= ( )12

32121 nnnnn ++

สมมตฐานเพ�อการทดสอบ 0H : การแจกแจงความถ�ของประชากรท� 1 และ 2 ไมแตกตางกน ( )21 MM = 1H : การแจกแจงความถ�ของท�งสองประชากรแตกตางกน ( 21 MM ≠ ) สถตเพ�อการทดสอบ : Z ( )

( )UV

UEU − เขตปฏเสธ : จะปฏเสธ 0H คา

21α

−

> ZZ และ2

1α

−

−< ZZ ตงอยางท� 8.7 ถาเช�อวาอายการใชงานเฉล�ยของยางรถยนตย�หอ A แตกตางจากย�หอ B จงสมยางรถยนตมาย�หอละ 12 อน แลวใหรถยนตแตละคนใชยางรถยนตแตละย�หอจนกวายางจะเสยไดขอมลดงน� อายการใชงาน( หนวย: 100 กโลเมตร) A 84 128 168 92 184 92 76 104 72 180 144 120 B 140 184 368 96 480 188 180 244 480 380 480 196 จงทดสอบความเช�อขางตนท�ระดบนยสาคญ .05 วธทา จะใชวธทดสอบของแมน – วทนย เน�องขากไมทราบการแจกแจงของอายการใชงานของยางรถยนตและ 12== BA nn (นอยกวา 30) และจงสมตวอยางเปนการทดสอบคามธยฐาน สมมตฐาน : H 0 : BA MM = H 1 : BA MM ≠ สถตทดสอบ ; เน�องจาก 12== BA nn ซ� งมากกวา 10 จงใช Z เปนสถตทดสอบโดยตองเปล�ยนขอมลเชงปรมาณ (อายการใชงาน) เปนลาดบท� ดงน� A 84 128 168 92 184 92 76 104 72 180 144 120 ลาดบท� 3 9 12 4.5 14.5 4.5 2 7 1 13 11 8 5.89=AT B 140 184 368 96 480 188 480 244 440 380 480 196 ลาดบท� 10 14.5 19 6 23 16 23 18 21 20 23 17 5.210=BT ( ) ( ) ( )5.1325.89

2

13121212

2

1=−+=−

++= A

AABAA T

nnnnU

( ) ( ) ( )5.115.210

2

13121212

2

1=−+=−

++= B

BBBAB T

nnnnU ( ) ( ) 5.115.11,5.132min,min === BA UUU

( )( ) ( ) 121

2/

++

−=

−=

BABA

BA

nnnn

nnU

UV

UEUZ 493.3

300

725.11−=

−= เขตปฏเสธ : จะปฏเสธ H 0 ถา Z < -Z 96.1975. −= เน�องจาก -1.96 นอยกวา จงปฏเสธ H 0 น�นคอ คามธยฐานของอายการใชงานของยางรถยนตย�หอ A แตกตางจากย�หอ B (หรออายการใชงานของยางรถยนตย�หอ A แตกตางจากของย�หอ B) ท�ระดบนยสาคญ .05 8.5.1.3 การทดสอบของวอลค- วลฟอวทซ (The Wald-Wofowtz Runs Tests) เปนการทดสอบท�ใชหลกเกณฑเดยวกนกบ Run Test หรอ Wald-Wofowtz One-Sample Runs Test for Randomness แตในท�น�จะใชทดสอบคาลกษณะท�สนใจศกษาของ 2 ประชากร วามความแตกตางกนหรอไม โดยตวอยางท�สมจากแตละประชากร เปนอสระกน โดยเง�อนไขดงน� 1. สมตวอยางชดท� 1 ขนาด ( )

1,...., 211 nXXXn จากประชากรท� 1 และตวอยางชดท� 2 ขนาด

( )1

,...., 212 nYYYn จากประชากรท� 2 โดยตวอยางท�ง 2 ชด จะตองเปนอสระกน 2. ขอมลเปนขอมลเชงปรมาณตอเน�อง ก. ตวอยางมขนาดเลก ( 20,20 21 ≤≤ nn ) มข�นตอนการทดสอบดงน� ข"นท� 1 : ต�งสมมตฐานเพ�อการทดสอบ 0H : ตวอยาง 2 ท�งชด มาจากประชากรท�มการแจกแจงประชากรเหมอนกน 1H : ตวอยาง 2 ท�งชด มาจากประชากรท�มการแจกแจงประชากรแตกตางกน หรอ 0H : ลกษณะท�สนใจศกษาของท�ง 2 ประชากร ไมแตกตางกน ( )YX MM = 1H : ลกษณะท�สนใจศกษาของท�ง 2 ประชากร แตกตางกน ( )YX MM ≠ ข"นท� 2 : นาขอมลตวอยางท�งสองชด มารวมกน แลวเรยงลาดบจากนอยไปหามาก ข"นท� 3 : คานวณคาสถตทดสอบ R โดยแบงเปน 2 กรณ 3.1 กรณไมมขอมลเทากนระหวางขอมลชดท� 1 กบ ชดท� 2 เชน ชดท� 1 : ( )51 =nX : 3 2 9 .5 5 ชดท� 2 : ( )61 =nY : 7 9 1 .4 2.5 1 (ในตวอยางน� ท�มคาเทากน คอ 1 แตไมมขอมลในชดท� 1 ท�เทากบขอมลของชดท� 2 เลย)นามาเรยงลาดบจากมากไปนอยไดดงน�

คาขอมล .4 .5 1 1 2 2.5 3 5 6 7 9 ชด Y X Y Y X Y X X Y Y X 1 2 3 4 5 6 7 8 ในท�น� ม R หมายถงคร� งท�มการเปล�ยนแปลงจาก X เปน Y หรอ Y เปน X สถตทกสอบ R = จานวนคร� งของการว�ง ในท�น� R=8 เขตปฏเสธ 0H : จะปฏเสธ 0H ถา R ≤ คา Lower Tail ในตารางท� 19.1 ในภาคผนวก เม�อ 20,20 21 ≤≤ nn ท�ระดบนยสาคญ 05.=α (ในตารางใช 2α เพราะเปนการทดสอบแบบ 2 ขาง ) ท�งน� เน�องจากถาตวอยาง sX , และ sY , มาจากประชากรท�มการแจกแจงเหมอนกนแลวคาของตวอยางท�ง 2 ชดจะตองคละกนอยางสม จงทาให R มคามาก ดงน�น ถาตวอยางท�ง 2 ชด ไมไดมาจากประชากรท�มการแจกแจงเหมอนกนจงทาให R มคานอย

การทดสอบแบบวอรค – วลฟอวทซ (The Wald – wolfowitz Runs Test) 2 ประชากร ก. ตวอยางมขนาดเลก ( )20,20 21 ≤≤ nn 1. :0H ตวอยางท ง 2 ชด มาจากประชากรท�มการแจกแจงเหมอนกน :1H ตวอยางท ง 2 ชด มาจากประชากรท�มการแจกแจงแตกตางกน 2. นาขอมลท ง 2 ชดมาเรยงจากนอยไปหามาก 3. คานวณหาคาสถตทดสอบ R โดยแบงเปน 2 กรณ 3.1 กรณไมมขอมลเทากนระหวางขอมลชดท� 1 และ 2 Ex. ชดท� 1 : ( ) :51 =nx 3 2 9 .5 5 ชดท� 2 : ( ) :62 =ny 7 6 1 .4 2.5 1 คาขอมล .4 .5 1 1 2 2.5 3 5 6 7 9 y x y y x y x x y y x 1 2 3 4 5 6 7 8 สถตทดสอบ R = จานวนคร งของการว�ง R = 8 เขตวกฤต : จะปฏเสธ 0H ถา R ≤ Lower tail ในตาราง 19. 3 AecR →>=∴ 38 0H ตวอยางท ง 2 ชดมาจากประชากรท�มการแจกแจงเหมอนกน 3.2 กรณท�ประชากรมคาระหวางขอมลชดท� 1 และ 2 ถา sx′ บางตว = sy′ บางตว ⇒ Run 2 คร ง นบ 1R และ 2R โดยท�คา 1R < 2R 1R = คาต�าสดของจานวนคร งของการว�งของขอมลท�เรยงลาดบรวมกนท ง 2 ชด ( )21 nn + โดยใหนาคาท�ซ าหรอคาท�เทากนของขอมลชดเดยวกบชดของขอมลคา กอนหนาเรยงลาดบ 2R = คาต�าสดของจานวนคร งของการว�งของขอมลท�เรยงลาดบรวมกนท ง 2 ชด ( )21 nn + โดยใหนาคาท�ซ าหรอคาท�เทากนของชดขอมลคนละชดกบคากอนหนา เรยงลาดบกอน สถตทดสอบ

221 RR

R+= เขตปฏเสธ 0H : ถา ≤R คา Lower Tail ในตาราง 19.1

ข.ตวอยางมขนาดใหญ ( 201 >n หรอ 202 >n ) โดย CLT : R จะมการแจกแจงแบบปกต Z = ( )

( )1

22

12

22121

21

−−

+−

nn

n

nR

nnnn

nn ; 21 nnn += จะปฏเสธ 0H ถา

21α

−

Ζ>Ζ ตวอยาง 8.8 10, 21 == nan :0Η ตวอยาง 2 ชดมาจากประชากรท�มการแจกแจงแบบเดยวกน :1Η ตวอยาง 2 ชดมาจากประชากรท�มการแจกแจงตางกน

→< 20, 21 nnQ ใช R และเน�องจากตวอยางท ง 2 ชด มคาซ ากน คอ 1.28 อยในชดท�1 และ2 จะตองหาคา 1R และ 2R การหาคา 1R : ทาขอมล 2 ชด มาเรยงลาดบจากนอยไปมาก ขอมล 0 0.08 0.1 .16 .26 .8 1 1.28 1.28 1.28 1.6 2 2.5 5 5.1 8 8 10 11 ชดของขอมล Y Y Y Y X Y X X Y Y X Y Y X Y X X X X � � � � � � � �

2R Y X Y � � � � 11 12 2R จะนาคาท�เทากนแตตางกลมมาตอกนเพ�อใหจานวน Runs มคามาก สถตทดสอบ 11

2

1210

221 =

+=

+=

RRR เขตปฏเสธ 0Η จะปฏเสธ 0Η ถา ≤R Lower tail ในตาราง 19.1

→=== 05.0,109 21 αnn Lower tail = 5 511 >=RQ Acc ΥΧ Μ=Μ→Η 0

แบบฝกหด 8.1 ในปจจบนน มบรษทเอกชนหลายแหงไดสงตวแทนมาสมภาษณนสตป4 ตามมหาวทยาลยตางๆเพ�อรบเขาทางาน ดงน นเพ�อชวยใหผสมภาษณตดสนใจเลอกนสตไดด จงศกษาถงความสมพนธระหวางคารบรอง (Recommendation) ของอาจารยผสอนกบผลของการปฏบตงาน โดยผศกษาเช�อวาถาคารบรองดจะไดนสตท�ปฏบตงานด ทางบรษทจงสมพนกงานใหมซ� งเพ�งรบมาทางานได 3 เดอน 8 คน แลวประเมนผลการปฏบตงาน และคารบรองโดยใชกรรมการคนละชดแลวใหคะแนนในชวง 1-20 จงทดสอบความเช�อขางตน ท�ระดบนยสาคญ 0.05 พนกงานคนท� 1 2 3 4 5 6 7 8 Recommendation 18 14 19 13 16 11 20 8 การปฏบตงาน 20 13 16 9 14 18 15 12 สมมตฐานทดสอบ ΥΧ Μ=ΜΗ :0 ΥΧ Μ≠ΜΗ :1 202,1 <nnQ ใช R Recommendation 8 9 11 12 13 13 14 14 15 16 16 18 18 19 20 20 ชดของขอมล x y x y y x x y y y x x y x x y 1234 5 6 7 8 9 หา R 2 x y x y y x 5 678 9 11 12 13 14 15

15,10 21 == RR สถตทดสอบ 5.122

1510

221 =

+=

+=

RRR เขตปฏเสธ 0Η จะปฏเสธ 0Η ถาR ≤ Lower tail ในตาราง 19.1

→=== 05.0,821 αnn Lower tail = 4 45.12 >=RQ Acc 0Η ΥΧ Μ=Μ→ ดงน น จงสรปไดวา คารบรองดของอาจารยสอดคลองกบผลการปฏบตงานจรง ท�ระดบนยสาคญ0.05

8.5.2.1 การทดสอบเคร�องหมาย(Sign Test) เปนการทดสอบท�งายท�สดในบรรดาวธการทดสอบความแตกตางของ 2 ประชากรแบบจบค เง�อนไขของการทดสอบ 1.สมตวอยาง n ค โดยแตละคอาจใชหนวยตวอยางเดยวกน หรอใชตวอยางคนละหนวย แตมการควบคมลกษณะอ�นๆเหมอนกนมากท�สด จะไดคา (X 1 ,Y 1),......(X n ,Y n ) 2. ตวอยางท0ง n คเปนอสระตอกน 3.ขอมลอยางนอยตองเปนขอมลสเกลอนดบ (Ordinal Scale ) 4. ขอมลเปนขอมลเชงปรมาณแบบตอเน�อง การทดสอบเคร�องหมายจะสนใจเฉพาะเคร�องหมายของ D i = X 1-Y 1 ; i = 1,...n น�นคอจะเปนเคร�องหมาย (+) ถา X i > Y i และเปนเคร�องหมายลบ (-) ถา X i < Y i แตถา X i = Y i จะตดขอมลคน0นออกไป ซ� งทาใหขนาดตวอยางลดลง กาหนดให r + = จานวนเคร�องหมาย + r − = จานวนเคร�องหมาย - ให M D = Median ของคาแตกตาง D i การทดสอบจะเปน ตารางท� 8.2 1 แบบ 2 ขาง 2 แบบขางเดยว 3 แบบขางเดยว

H 0 : M D = 0 H0 : M D ≤ 0 H0 : M D ≥ 0

H1 : M D ≠ 0 H1 : M D > 0 H1 : M D < 0

ถา M X = MY หรอประชากรท0ง 2 มคามธยฐานเทากน หรอลกษณะท�สาคญเหมอนกน จะทาให M D = 0 ในกรณน0 r + มคาเทากบ r − หรอเทากบ n/2 ซ� งทาใหการทดสอบวา H 0 : M D = 0 สามารถเขยนเปน H 0 : P(+) = P(-) = .5 น�นเอง โดยท� r + และ r − จะมการแจกแจงแบบทวนาม เน�องจากผลการทดลองเปน เคร�องหมาย + หรอ – โดยอาจกาหนดใหส�งท�สนใจ คอเคร�องหมาย + และใหส�งท�ไมสนใจ คอเคร�องหมาย – (การแจกแจงแบบทวนามศกษาไดจากหนงสอ “หลกสถต” ของดร.กลยา วานชยบญชา บทท� 5 หวขอ 5.3 ) ดงน0น จงสามารถเขยนการทดสอบในตารางท� 8.2 ไดดงแสดงในตารางท� 8.3 ตารางท� 8.3 การทดสอบ 1 แบบ 2 ขาง 2 แบบขางเดยว 3 แบบขางเดยว

H 0 : P(+) = P(-) H0 : P(+) ≤ P(-) H0 : P(+) ≥ P(-)

H1 : P(+)≠ P(-) H1 : P(+) > P(-) H1 : P(+) < P(-)

ตารางท� 8.4 : สถตทดสอบ และเขตปฏเสธ H 0 สมมตฐานแยง H1 สถตทดสอบ เขตปฏเสธ H 0 1. H1 : P(+)≠ P(-) r = (min r+ , r − ) P(X ≤ r n , p = .5) ≤ /α 2 2. H1 : P(+) > P(-) r − P(X ≤ r − n , p = .5) ≤ α 3. H1 : P(+) < P(-) r + P(X ≤ r + n , p = .5) ≤ α

คาP(X ≤ r n , p = .5),P(X ≤ r − n , p = .5) และ P(X ≤ r + n , p = .5) ไดจากตารางท� 20 ในภ าคผน วก ซ� ง เป น ต ารางแสดงความ น าจะ เป น แบบทวน าม (Binomial probability

distribution) สวนคา r, r − ,r + ได จากขอมลตวอยาง ดงแสดงในตวอยางท� 8.9 และ 8.10 หมายเหต การทดสอบดวยวธเคร�องหมาย (Sign Test) จะเปนการทดสอบท�มประสทธภาพมากถาขอมลอยในรปสเกลอนดบ ดงแสดงในตวอยางท� 8.10 ท0งน0 เน�องจาก Sign Test เปนการทดสอบท�ชเฉพาะเคร�องหมายของคา X i - Y i แตไมไดพจารณาถงคาแตกตางวามากนอยเพยงใด

ตวอยางท� 8.9 โรงงานแหงหน� งตองการศกษาวาการใชระบบการผลตแบบใหมจะทาใหประสทธภาพการผลตของงานดข0นหรอไม จงสมคนงานมา 21 คน และใหทางานในระบบเกา และระบบใหม และนบจานวนสนคาท�ผลตได โดยให X i = จานวนสนคาท�ผลตไดเม�อใชการผลตแบบใหมของคนงานคนท� i , Y i = จานวนสนคาท�ผลตไดเม�อใชการผลตแบบเกาของคนงานคนท� i , i , = 1,…..,21 ให α = .05 วธทา ในท�น0 เน�องจากไมทราบการแจกแจงของประชากรท0ง 2 คอ จานวนสนคาท�ผลตได โดยใชระบบการผลตแบบเกา และแบบใหม หรอการแจกแจงไมเปนแบบปกต จงใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร และเปนแบบจบค เน�องจากใชคนงานคนเดยวกนผลตสนคาท0ง 2 วธ ในท�น0 จะใช Sign Test โดยหาคา X i - Y i ; I = 1,…..,21 ดงน0

คนงานคนท� (i) จานวนสนคาผลตแบบใหม

(X i ) จานวนสนคาผลตแบบใหม

(Y i ) X i - Y i เคร�องหมายของX i -Y i 1 85 80 5 + 2 87 73 14 + 3 84 83 1 + 4 89 74 15 + 5 81 85 -4 - 6 90 95 -5 - 7 88 81 7 + 8 89 83 6 + 9 81 87 -6 - 10 73 78 -5 - 11 79 80 -1 - 12 78 75 3 + 13 70 68 2 + 14 81 75 6 + 15 80 80 -10 - 16 85 85 0 17 95 90 5 + 18 99 93 6 + 19 80 85 -5 - 20 77 75 2 + 21 89 93 -4 - เน�องจากคาดวาระบบการผลตใหมจะทาใหการผลตดข0น น�นคอ µ D > 0 หรอ P(+) > .5 เน�องจากใชการคานวณใช จานวนสนคาท�ผลตไดในระบบใหม – จานวนสนคาท�ผลตไดในระบบเกา สมมตฐาน จงเปน H 0 : M D ≤ 0 หรอ H 0 : P(+) ≤ P(-) หรอ H 0 : P(+) ≤ .5

H1 : M D > 0 หรอ H1 : P(+)>P(-) H1 : P(+) > .5 เน�องจาก P(+) + P(-) = 1 ในท�น0ขนาดตวอยางลดลง เน�องจากคนงานคนท� 16 ผลต ไดเทากนใน ท0ง 2 ระบบการผลต คอ X 16= Y 16= 85 ขนาดตวอยางจงลดลงเปน 21-1 =20 หรอ n = 20 สถตทดสอบ : r − = 8 เขตปฎเสธ H 0 : จะปฎเสธ H 0 ถา P (X ≤ r − n = 20 ,p = .5) ≤ α (0.5) ในท�น0 ม r − = 8 จงปฎเสธ H 0 ถา P (X ≤ 8 n = 20 ,p = .5) ≤ 0.5 ซ� งคา P (X = x n = 20 ,p = .5) ; x = 0,1,2,...,8 เปดไดจากตารางท� 20 ในภาคผนวก

P (X ≤ 8 n = 20 ,p = .5) = ∑=

8

0x

P (X = x n = 20 ,p = .5) = P (X = 0 n = 20 ,p = .5) + P (X = 1 n = 20 ,p = .5) +

......... + P (X = 8 n = 20 ,p = .5) = 0+0+.0002+.0011+.0046+.0148+.0370+.0739+.1201 = .2517 ให P (X ≤ 8 n = 20 ,p = .5) = .2517 > .05 จงไมสามารถปฎเสธ H 0 ได น�นคอระบบการผลตแบบใหมไมไดมประสทธภาพดกวาแบบเกา ท�ระดบสาคญ .05 ตวอยางท�8.10 ผบรหารบรษทน0าพรกใสขวดออกจาหนายแหงหน�ง ตองการทราบวาลกคาทราบหรอไมวาสตรท�ใชผลตน0าพรกแตกตางกน จงผลตน0าพรก 2 สตร (A,B) แลวใหลกคา 20 คน ท�สมมาชมท0ง 2 สตร แลวระบวาชอบสตรใดมากท�สด ใหหมายเลข 1 ถาชอบสตรใดมากวาอกสตรหน�ง และใหหมายเลข 2 หมายถงสตรท�ชอบรองลงมาจงทดสอบท� α = .05 H1 : M D ≠ 0 หรอ H1 : P(+)≠ P(-) โดยเปรยบเทยบดงน0 ลกคา 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 สตร (A) 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 สตร(B) 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 เคร�องหมายของ A-B

- - - - + - - + +

ลกคา 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 สตร (A) 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 สตร(B) 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 เคร�องหมายของ A-B

- - - - + - + - +

สถตทดสอบ : r = (min r+ , r − ) = min(6,12) = 6; n = r+ + r − =6+12=18 เขตปฏเสธ H 0 : จะปฏเสธ H 0 ถา P (X ≤ 6 n = 18 ,p = .5) ≤ .025(α /2) จากตารางท� 20 ในภาคผนวก ได P (X ≤ 6 n = 18 ,p = .5) = ∑=

6

0x

P(X=x n =18,p=5) =0+.0001+.0006+.0031+.0117+.0327+.0708=..119 ซ� งมากกวา .025 (α /2) จงไมสามารถปฏเสธH 0 ได น�นคอ ลกคาไมทราบวาสตรน0าพรกแตกตางกน ท�ระดบนยสาคญ .05 8.5.2.2วธเคร�องหมายลาดบท�ของวลคอกซน สาหรบการทดสอบแบบจบค (The Wilcoxon

Singed Rank Sum Test for the Matched Paired Difference) ซ� งจะตองมคณสมบตดงน0 1. ขอมลเปนขอมลเชงปรมาณ แตไมไดมการแจกแจงแบบปกต 2. การสมตวอยางเปนแบบจบค

ถาตองการเปรยบเทยบประชากร 2 ประชากร (A,B) แบบจบค จะสมตวอยางมา n ค โดยใหแตละคมลกษณะตางๆท�ไมตองการทดสอบคลายกนมากท�สด

ให X Ai และ Y Bi เปนคาของขอมลตวอยางท� iจากประชากรท� 1 (A) และประชากรท� 2 (B) ตามลาดบ ;i = 1,2,…..n ข�นตอนการทดสอบของ The Wilcoxon Singed Rank Sum Test for the Matched

Paired Difference เปน ข�นท� 1 : ต0งสมมตฐานเพ�อการทดสอบ ข�นท� 2 : หาคาแตกตางระหวาง X A และ X B

โดยให D i = X Ai - X Bi ข�นท� 3 : ใหลาดบท�ของคา D โดยใหคา D i ท�มคาต�าท�สดเปนลาดบท� 1 และคา D i ท�มคารองต�าสดเปนลาดบท� 2 ,....,และ D i ท�มคามากท�สดเปนลาดบท� n กรณท�ขอมลมคาเทากนหลายคา ใหใชลาดบท�เฉล�ยของคาของมลท�เทากนน0น ถา D i = 0 จะไมพจารณา ซ� งมผลทาใหขนาดของตวอยางลดลง เชนถา n = 10 และใหคา D i = 0 จานวน 2 คาจะทาใหขนาดตวอยาง (n) ลดลงเหลอ 8 ข�นท� 4 : ใหเคร�องหมายของลาดบท�จากข0นท� 3 ตามเคร�องหมายของ D i ข�นท� 5 : หาผลบวกของลาดบท�ท�มเคร�องหมาย(จากข0นท� 4) เหมอนกนโดยให T + : ผลบวกของลาดบท�ของ D i ท�มเคร�องหมายบวก T − : ผลบวกของลาดท�ของ D i ท�มเคร�องหมายลบ

สาหรบสถตทดสอบและเขตปฎเสธจะข0นอยกบสมมตฐานท�ต0งไวดงน0 คอ

� H0 : M A ≤ M B

H1 : M A > M B ถา T + มคามากจะทาให T − มคานอยเน�องจาก T + + T− = 1+2+...+ n คาคงท�นอกจากน0นถา M A > M B จะทาให T + มคามาก เม�อ T + มคามาก T − กจะมคานอย ดงน0นสถตทดสอบคอ T − และจะปฎเสธสมมตฐาน H 0 ถา T − มคานอยหรอเทากบ T L โดยท�คา T L ไดจากตารางท� 12 ในภาคผนวกซ�งข0นกบคา n และระดบนยสาคญ α หรอ P (T− ≤ T L ) = α

� H0 : M A ≥ M B

H1 : M A < M B ถา H1 จรงคา T + จะมคานอยและ T − จะมคามาก ดงน0นสถตทดสอบคอ T + และปฎเสธ H 0(ยอมรบ H1 ) ถา T + นอยกวาหรอเทากบ T L

� H 0 : ลกษณะท�สนใจศกษาของประชากรท0งสองไมแตกตางกน (M A = M B ) H1 : ลกษณะท�สนใจศกษาของท0งสองประชากรแตกตางกน (M A ≠ M B ) สถตทดสอบคอ T = min (T+ , T − ) เขตปฎเสธ จะปฎเสธ H 0 ถา T ≤ T L โดย P(T ≤ T L ) = 2/α สรปการการทดสอบของ Wilcoxon Singed Rank Test for the Matched Paired

Difference เม�อ n ≤ 50 1. สมมตฐานเพ�อการทดสอบ H 0 : ลกษณะท�สนใจศกษาของประชากรท0งสองไมแตกตางกน (M A = M B ) � ลกษณะท�สนใจศกษาของประชากรA อยทางขวาของประชากร B (M A > M B ) � ลกษณะท�สนใจศกษาของประชากรA อยทางซายของประชากร B (M A < M B ) � ลกษณะท�สนใจศกษาของท0งสองประชากรแตกตางกน (M A ≠M B ) 2. สถตทดสอบ 2.1 T − สาหรบสมมตฐานแยง � 2.2 T + สาหรบสมมตฐานแยง � 2.3 T = min (T+ , T − ) สาหรบสมมตฐานแยง � 3. เขตปฎเสธสมมตฐาน 3.1 จะปฎเสธ H 0 ถา T − ≤ T L สาหรบสมมตฐานแยง � 3.2 จะปฎเสธ H 0 ถา T + ≤ T L สาหรบสมมตฐานแยง� 3.3 จะปฎเสธ H 0 ถา T ≤ T L สาหรบสมมตฐานแยง�

และคา T L ไดจากตาราง 12 ในภาคผนวก และ P(T− ≤ T L ) = P(T+ ≤ T L ) =α และ P(T ≤

T L ) = 2/α

กรณท�ขนาดตวอยางใหญ (n > 50)จากทฤษฎลมตสสวนกลางจะไดใชสถตทดสอบ Z แทนสถตทดสอบ T โดยท� E(T) = 4

)1( +nn และ V(T) =

24

)12)(1( ++ nnn

H 0 : การแจกแจงของท0ง 2 ประชากรไมแตกตางกน (M A = M B ) H1 : การแจกแจงของท0ง 2 ประชากรแตกตางกน (M A ≠ M B ) สถตทดสอบ : Z =

4/)1(24/)12)(1(

+−

++

nnTnnn เขตปฎเสธ จะปฎเสธสมมตฐาน H 0 ถา Z > Z 2/1 α−

ตวอยางท�8.11ถาตองการเปรยบเทยบคณภาพของกระดาษเชดหนา 2 ย�หอ (A,B) วาแตกตางกนหรอไม โดยพจารณาจากความนมนวลของกระดาษ จงใหลกคา 10 คน ทดลองใชกระดาษท0ง 2 ย�หอ แลวใหคะแนนความนมนวลของกระดาษโดยคะแนนเปน 1-10 คะแนน ถานมมาก (คณภาพด)จะใหคะแนนสงไดขอมลดงน0 ลกคาคนท� 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ย�หA 6 8 4 9 4 9 6 5 6 8 ย�หอB 4 5 5 8 1 7 2 3 7 2 โดยกาหนดให α = . 05 วธทา เน�องจากเปนการใชหนวยตวอยางเดยวกน คอใหลกคาแตละคน ทดลองใชกระดาษท0ง 2 ย�หอ ดงน0นจงเปนการเปรยบเทยบ 2 ประชากรแบบจบค n = 10 ตวอยางมขนาดเลก และไมทราบการแจกแจงของคะแนน ความนม จงใชวธการทดสอบของ Wilcoxon Singed Rank Sum Test for

the Matched Paired Difference ต0งสมมตฐานเพ�อการทดสอบ H 0 : ความนมของกระดาษย�หอ A และ B ไมแตกตางกน(M A = M B ) H1 : ความนมของกระดาษย�หอ A และ B แตกตางกน(M A ≠ M B ) หาคาความแตกตางระหวางคะแนนของกระดาษย�หอ A และ B และใหลาดบท�ดงแสดงในตารางขางลางน0

ลกคาคนท� A B A-B BA − ลาดบท�ของ BA − 1 6 4 2 2 5 2 8 5 3 3 7.5 3 4 5 -1 1 2 4 9 8 1 1 2 5 4 1 3 3 7.5 6 9 7 2 2 5 7 6 2 4 4 9 8 5 3 2 2 5 9 6 7 -1 1 2 10 8 2 6 6 10 ผลบวกของลาดบท�ทมเคร�องหมายบวก = 5+7.5+2+7.5+5+9+5+10 = 51 ผลบวกของลาดบท�ทมเคร�องหมายลบ = 2+2 = 4 สถตทดสอบ T = min (T+ , T − ) = min (51, 4) เขตปฎเสธ จะปฎเสธสมมตฐาน H 0 ถา T ≤ T L ( 05.=α , n = 10) โดยคา T L ไดจากตารางท� 12 ในภาคผนวกท�มคา n = 10 , 05.=α และเปนการทดสอบแบบสองขาง จงใช P(T ≤ 8) = .05 ได T L = 8 ตวอยางท� 8.12 เจาของรานทากญแจแหงหน�งตองเลอกซ0อเคร�องตดเหลก 2 ย�หอ (A,B) เพ�อตดเหลกทากญแจถาเจาของรานคาดวาเตร�องตดเหลกย�หอ B จะใชเวลาในการตดนอยกวาย�หอ A จงนาเหลกมา 10 ช0น แลวใหเคร�องตดแตละย�หอตดเหลกแตละช0นแลวบนทกเวลา (วนาท)ท�ใชในการตดของเคร�องแตละย�หอ ดงน0 เคร�อง A 20 29 16 19 31 44 29 14 12 35 เคร�องB 18 29 18 23 38 48 34 15 16 36 จงทดสอบความเช�อของเจาของรานทาระดบนยสาคญ .05 ถาเวลาในการใชตดเหลกไมไดมการแจกแจงแบบปกต

วธทา เน�องจากเวลาX Ai และX Bi เปนขอมลเชงประมาณ ไมไดมการแจกแจงแบบปกตและการสมตวอยางเปนแบบจบค เน�องจากใหเหลกแตละทอน ถกตดดวยเคร�อง A และ B จงถอเปนการจบค

และn = 10 จงใชการทดสอบของ Wilcoxon Singed Rank Sum Test for the Matched

Paired Difference ดงน0 H 0 : M A > M B

H1 : M A ≤ M B

AX

BX

BiAii XXD −=

iD ลาดบท�ของ iD - + 20 29 16 19 31 44 29 14 12 35

18 29 18 23 38 48 34 15 16 36

2 0 -2 -4 -7 -4 -5 -1 -4 -1

2 - 2 4 7 4 5 1 4 1

- - 3.5 6 9 6 8 1.5 6 1.5

3.5

5.41=−T 5.3=+T สถตทดสอบ T − = 41.5 เขตปฏเสธ จะปฏเสธ H 0ถา T − =≤ T l จากตารางท� 12 ในภาคผนวก ท�ม n = 10 – 1 = 9 (เน�องจาก 02 =D ) และ ระดบนยสาคญ 0.05 ไดคา 8=LT เน�องจาก 5.41=−T >8 จงไมสามารถปฏเสธ 0H ได น�นคอ เวลาท�ใชในการตดเหลกของเคร�อง A ไมมากกวาเตร�อง B

ตวอยางท� 8.13 ถเช�อวาราคาขาย (ตอกรม) กาแฟย�หอ B ตางจากย�หอ A จงสมรานคาท�ขายกาแฟท0ง 2 ย�หอมา 88 แหง คานวณหา +T ได 1,764 และ 152,2=−T จงทดสอบความเช�อขางตนท�ระดบนยสาคญ .10 ถาราคาขายของกาแฟย�หอ ไมไดมการแจกแจงแบบปกต วธทา เน�องจากราคาขายเปนขอมลเชงปรมาณ ซ� งไมมการแจกแจงแบบปกต จงใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร นอกจากน0นยงเปนการเลอกตวอยางแบบจบค เน�องจากการสมรานคาท�ขายกาแฟท0ง 2 ย�หอ จงเปนการใชหนวยตวอยางเดยวกน 88=n ซ� งมากกวา 50 จงถอเปนตวอยางท�มขนาดใหญ จงใชสถตทดสอบ Z

( ) ( ) 764,12152,1764,

:

:

1

0

===

≠

=

−+ MinTTMinT

MMH

MMH

BA

BA

สถตทดสอบ ( )( )( ) 81.

3.240

19581764

24121

4/1−=

−=

+++−

=nnn

nnTZ

เขตปฏเสธ : จะปฏเสธสมมตฐาน 0H ถา 2/1 α−> ZZ โดยท� 95.2/1 ZZZ =>−α จากตารางท� 4 ในภาคผนวกได 65.195. =Z น�นคอจะปฏเสธ 0H ถา 65.1>Z เน�องจาก 81.0=Z ซ� งนอยกวา 1.65 จงไมสามารถปฏเสธ 0H ได น0นคอ ราคาขายกาแฟย�หอ A และ B ไมแตกตางกน ท�ระดบนยสาคญ .10

ตวอยางท� 8.13 ถาสารวจจราจรในถนนสขมวทวางแผนในการแกปญหาการจราจรไว 2 แผน คอ แผน A และ B จงทาการทดสอบใชแผน A ในเดอนมกราคม และแผน B ในเดอนกมภาพนธ แลวสมผท�ขบรถในถนนสขมวทเปนประจามา 10 คน สอบถามแตละคนถงสภาพการจราจรในเดอนมกราคม และกมภาพนธ โดยท�ใหเปนคะแนนจาก 1-10 ถาการจราจรด (รถไมคอยตด) จะใหคะแนนสง ไดขอมลดงน0 ผขบรถคนท� 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 คะแนนของแผน A 7 4 8 9 3 6 8 10 9 5 คะแนนของแผน B 9 5 8 8 6 10 9 8 4 9

ถตารวจจราจรเช�อวาแผน B มสทธภาพดกวาแผน A จงทดสอบความเช�อดงกลาวท�ระดบสาคญ 0.05 วธทา เน�องจากผขบรถแตละคนไดขบรถท0งในเดอนมกราคม และกมภาพนธ จงเปนการจากดอทธพลอ�นๆ ท�เก�ยวกบของออกไป จงใชวธทดสอบของ Wilcoxon Signed Rank Test For

Paired Difference

0H : ประสทธภาพของแผน B ไมดกวาแผน A ( )AB MM ≤ หรอ BA MMH ≥:0 :1H ประสทธภาพของแผน B ดกวาแผน A ( )AB MM > หรอ BA MMH <:0

หาคาแตกตางของคะแนนของแผน A และแผน B แลวเรยงลาดบท�จากนอยไปมากดงน0

จากสมมตฐานท�ต0งไว ตวสถตทดสอบคอ +T 5.1595.42 =++=+T เขตปฏเสธ : จะปฏเสธสมมตฐาน 0H ถา LTT ≤+ โดยคา LT ไดจากตารางท� 12 ในภาคผนวกท�มขนาดตวอยาง 91101 =−=−= n เน�องจากมคา 0883 =−=D จงไมพจารณาขอมลตวท� 3 ขนาดตวอยางจงลดลงไป 1 เหลอเพยง 9 และท�ระดบนยสาคญ .05 จากตารางท� 12 ได 8=LT แตเน�องจาก 85.15 >=+T จงไมสามารถปฏเสธ 0H ได น�นคอ ประสทธภาพของแผน B ไมดกวาแผน A ท�ระดบนยสาคญ = 0.05

ผขบรถ คะแนน คะแนน BAD −= BAD −= ลาดบท�ของ BA −

เคร�องหมายของ Rank 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7 4 8 9 3 6 8 10 9 5

9 5 8 8 6 10 9 8 4 9

-2 -1 0 1 -3 -4 -1 2 3 -4

2 1 0 1 3 4 1 2 3 4

4.5 2 - 2 6 7.5 2 4.5 9 7.5

-4.5 -2 - 2 -6 -7.5 -2 4.5 9 -7.5

McNemar Test เปนการทดสอบเพ�อเปรยบเทยบลกษณะท�สนใจของ 2 ประชากรแบบจบคมลท�อยในรปความถ�โดยขอมลจะตองเปนสเกลนามกาหนด (Norminal Scale) เทาน,น เชน ความคดเหน, เพศ ฯลฯ และจะมคาไดเพยง 2 คา เหมอนกบการแจกแจงแบบทวนาม คอ สนใจ และไมสนใจ หรอ ใช (Yes) และไมใช (No) หรอใหคาสนใจ หรอใชเปน 1 และไมสนใจ หรอไมใชเปน 0 ตารางขอมลท�จะใชใน Manemar Test จะตองอยในรปตารางความถ�ขนาด 22× ตวอยางเขน ถามผสมครเปนประธานในโรงเรยน 2 คน คอ นาย ก. และนาย ข.ทางโรงเรยนใหนาย ก. และ นาย ข. มากลาวถงนโยบายการทางานใหนกเรยนฟง แลวสมนกเรยนท�ฟงท,งนาย ก. และนาย ข. มา N คน แลวถาส�งนาก ก.และนาย ข. พดหนาสนใจหรอไม ไดความถ� ตารางท� 8.5 นาย ก. นาย ข. รวม 1 (นาสนใจ) 0 (ไมนาสนใจ) 1 (นาสนใจ) 0 (ไมนาสนใจ) A C B D A + B C + D รวม A +C B +D N จานวนนกเรยนท�สนใจส�งท�นาย ก. พด A + B คน จานวนนกเรยนท�สนใจส�งท�นาย ข. พด A+C คน =1p สดสวนของนกเรยนท,งหมดท�สนใจส�งท�นาย ก. พด โดยท�

N

BAp

+=

∧

1 =2p สดสวนของนกเรยนท,งหมดท�สนใจส�งท�นาย ข. พด โดยท�

N

CAp

+=

∧

2 เง�อนไข 1.สมตวอยาง n ค )( , ii YX ; I = 1,…,n ; iX =1,0 ; iY = 1,0 2.ขอมลเปนสเกลนามกาหนดท�มได 2 คา 3.ตวอยางแตละคเปนอสระกน กาหนดให =1p สดสวนส�งท�สนใจของตวแปรท� 1 = P (X = 1) =1p สดสวนส�งท�สนใจของตวแปรท� 2 = P(Y = 1) สมมตฐานเพ�อการทดสอบ

� 210 : PPH = � 210 : PPH ≤ � 210 : PPH ≥ 210 : PPH ≠ 210 : PPH > 210 : PPH <

ก. เม�อตวอยางมขนาดเลก (n = B+C≤ 20) เม�อ n = B+C≤ 20 จะใชสถตทดสอบ = B เขตปฏเสธ 0H จะใชคาความนาจะเปนแบบทวนามท�ไดจากตารางท� 20 ในภาคผนวก โดยมรายละเอยดดงน, แสดงในตารางท� 8.6 ตารางท� 8.6 เขตปฏเสธ 0H เม�อ n = B+C≤ 20 สมมตฐานแยง 1H สถตทดสอบ เขตปฏเสธ 0H � 210 : PPH ≠ � 210 : PPH > � 210 : PPH <

B B B

2/)5.,( α≤=≤ pnBXP α≤=≤ )5.,( pnBXP α≤=≤ )5.,( pnBXP

โดยท� คา ∑=

====≤B

X

pnxXPpnBXP0

)5.,()5.,( และคา )5.,( =≤ pnxXP ไดจากตารางท� 20 ในภาคผนวก ข. เม�อตวอยางขนาดใหญ )20( >+= CBn กรณท� 20>+= CBn จะใชทฤษฎลมตเขาสสวนกลางจงใช Z (ปกตมาตรฐาน) (ศกษาเร�องการประมาณคาความนาจะเปนแบบทวนามดวยแบบปกตในหนงสอ “หลกสถต” ของ ดร. กลยา วานชยบญชา บทท� 4 หวขอ 6.2.1)เปนสถตทดสอบ โดยท�

CB

CBZ

+

−=

เขตปฏเสธ 0H จะกลายเปน ตารางท� 8.7 : เขตปฏเสธ 0H เม�อ n = B+C≤ 20 สมมตฐานแยง 0H สถตทดสอบ เขตปฏเสธ 0H

210 : PPH ≠ 210 : PPH > 210 : PPH >

Z Z Z

2/1 α−> ZZ α−> 1ZZ α−< 1ZZ

ขอสงเกต ในการทดสอบแบบ 2 ขาง 211 : PPH ≠ เม�อ n = B+C≤ 20 อาจใชสถตทดสอบไคสแควร โดยท� 22 )(

CB

CBX

+

−= และจะปฏเสธ 0H เม�อ 2

12

α−> XX ท�องศาอสระ 1 ท, งน,เน�องจาก 22 XZ = ตวอยางท� 8.15 ในการเปรยบเทยบคณภาพของยาทาแผล 2 ชนด (M,N) วาแตกตางกนหรอไม โดยการใหคนไขคนเดยวกนใชยาท,ง 2 ชนด โดยทายาแตละชนดคนละชวงเวลา แลวสอบถามวาไดผลหรอไม ไดผลลพธดงน, ยา N ยา M รวม ไดผล ไมไดผล ไดผล ไมไดผล 26 7 15 37 41 44 รวม 33 52 45 สมมตฐานเพ�อการทดสอบ 0H : คณภาพยาท,ง 2 ชนดไมตางกน หรอ NM PP = :1H คณภาพยาท,ง 2 ชนดตางกน หรอ NM PP ≠ โดยท� =MP สดสวนของคนไขท�ทายา M แลวไดผล =NP สดสวนของคนไขท�ทายา N แลวไดผล สถตทดสอบ คอ Z เน�องจาก B+C =15+7=22>20 71.1

715

715=

+

−=

+

−=

CB

CBZ เขตปฏเสธ 0H : จะปฏเสธ 0H ถา 2/1 α−> ZZ หรอ )05.(96.1975. ==> αZZ ในท� น, Z=1.71<1.96 จงไมสามารถปฏเสธ 0H ได น,นคอ คณภาพของยาท,ง 2 ชนดไมตางกนท�ระดบนยสาคญ .05 ข อ ส ง เก ต เ น� อ ง จ าก เป น ก ารท ด ส อ บ 2 ข า ง อ า จ ใช ส ถ ต ท ด ส อ บ ไค ส แ ค ว ร

924.2)71.1( 222=== ZX และเปดตารางท� 6ในภาคผนวกได 84.32

1,95. =X เน�องจาก 2.924<3.84 จงไมสามารถปฏเสธ 0H ได

8.6 การทดสอบความแตกตางระหวางประชากร k ประชากร โดยท� k ≥ 3 การทดสอบความแตกตางระหวางประชากร k ประชากร โดยท� k ≥ 3 สามารถทาไดท,งการทดสอบท�ใชพารามเตอรและการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร การทดสอบท�ใชพารามเตอรเปนการทดสอบความแตกตางระหวางคาเฉล�ยของประชากรต,งแต 3 ประชากรข,นไป โดยแตละประชากรจะตองมการแจกแจงแบบปกตหรอใกลเคยงกบแบบปกต และคาแปรปรวนของแตละประชากรตองเทากน ดงไดกลาวโดยละเอยดในบทท� 6 กรณท�จาแนกขอมลดวยตวแปรเพยงตวเดยว ซ� งแบงเปน 1. การทดลองแบบสมโดยสมบรณ (CRD) ซ� งเปนการสมตวอยาง k ชดอยางมอสระกน โดยใชสถตทดสอบ F 2. การทดลองแบบสมโดยสมบรณภายในกลม (RCB) เปนการเลอกตวอยางแบบไมเปนอสระตอกน โดยใชตวอยางมลกษณะอ�นๆ ท�มผลตอลกษณะท�จะวดคลายคลงกนมากท�สด โดยใชสถตทดสอบ F กรณท�ไมทราบการแจกแจง k ประชากร หรอแตละประชากรมการแจกแจงแบบอ�นๆ ท�ไมใชแบบปกตและคาแปรปรวนของแตละประชากรไมเทากน และตวอยางมขนาดเลกหรอขอมลอยในรปความถ�หรอมาตราแสดงลาดบ เม�อตองการทดสอบความแตกตางระหวางประชากร k ประชากร กรณท�จาแนกขอมลดวยตวแปรเพยงตวเดยว จงตองใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร โดยแบงเปน 1. การทดลองแบบสมโดยสมบรณ (CRD) ซ� งเปนการสมตวอยาง k ชดอยางมอสระกนจะใชสถตทดสอบของครลส – วลลส (Kruskal - Wallis H Test) 2. การทดลองแบบสมโดยสมบรณภายในกลม (RCB) ซ� งเปนการเลอกตวอยางท,ง k ชดอยางยางไม เปนอสระตอกน จะใชการทดสอบของฟรดแมน (The Friedman rF test for Randomized Block Design) 8.6.1 การทดสอบความแตกตางระหวาง k ประชากร ( k ≥ 3 ) โดยสมตวอยางแบบเปนอสระกนหรอเม�อเปนการทดลองแบบ CRD เม�อตองการเปรยบเทยบลกษณะใดลกษณะหน� งเพยงลกษณะเดยวของ k ประชากร แตไมทราบลกษณะการแจกแจงของท,ง k ประชากร หรอแตละประชากรไมมการแจกแจงแบบปรกต และไมไดมคาแปรปรวนเทากน และมตวอยางขนาดเลกหรอขอมลอยในรปลาดบท� จะใชการทดลองท�ไมใชพารามเตอร และเม�อสมตวอยางท,ง k ชดจาก k ประชากรอยางเปนอสระกน จะใชการทดสอบ Median Test และการทดสอบของ ครสคล - วลลส (Kruskal - Wallis H Test)

8.6.1.1 Median Test เปนการทดสอบวาประชากรท,ง k ประชากรมลกษณะท�สนใจศกษาตางกนหรอไม โดยมเง�อนไขดงน, 1. สมตวอยาง k ชดอยางเปนอสระกน จากประชากรท�มคามธยฐาน kMMM ,...,, 21 ตามลาดบ 2. ขอมลอยในรปสเกลอนดบหรอสเกลอนตรภาค ข,นตอนการทดสอบของ Median Test มดงน, ข,นท� 1 นาขอมลท, ง k ชดมารวมกน (จานวนขอมลตวอยางท, ง ,1

1∑=

=

k

i

nn =in ขนาดตวอยางชดท� i) แลวเรยงลาดบขอมลเพ�อหาคามธยฐานตวอยางรวม = m สรางตารางแจกแจงความถ� โดยนบจานวนความถ�ของขอมลแตละชดวามากกวา m หรอวานอยกวาหรอเทากบ m ดงแสดงในตารางท� 8.8 ตารางท� 8.8 ตวอยางชดท� 1 2 ... ... k รวม

> m ≤ m 11O 12O … … kO1

21O 22O … … kO2 1a 2a รวม 1n 2n … … kn n

โดยท� =jO1 จานวนขอมลในตวอยางชดท� i ท�มคามากกวาคามธยฐานตวอยางรวม =jO2 จานวนขอมลในตวอยางชดท� i ท�มคานอยกวาหรอเทากบคามธยฐานตวอยางรวม 1a = จานวนขอมลท,งหมดท�มคามากกวาคามธยฐานตวอยางรวม 2a = จานวนขอมลท,งหมดท�มคานอยกวาหรอเทากบคามธยฐานตวอยางรวม =+= 21 aan ∑=

k

i

n1

1 0= ท,ง k ประชากรไมตางกนหรมคามธยฐานประชากรเดยวกนคอ M แลว 1a และ 2a ควรมคาพอๆ กน สถตทดสอบ ∑∑= =

−=

2

1 1

2

2)(

i

k

j ij

ijij

E

EOχ ............................. (8.1)

โดยท� jiij naE = ,2,1; =I kj ,..,2,1; = ปฏเสธ 0Η จะปฏเสธ 0Η ถา 21

2αχχ

−> ท�องศาอสระ k-1 ขอจากด จะใชสตร 2χ ในสมการ (8.1) ไดถา n ≥ 20 และ ≥in 5

ตวอยางท� 8.16 ในการเปรยบเทยบคณภาพยาทาแผล 4 ชนด (A, B, C, D) โดยสมคนไขมา 4 กลมๆ ละ 12 คน ใหในแตละกลมทายาชนดเดยวกน แลวสอบถามระยะเวลาท�แผลหายหลงจากท�ใชยาแลว ไดขอมลดงน, ระยะเวลา (วน) A B C D

7.1 7.2 7.4 7.6 7.6 7.7 7.7 7.9 8.1 8.4 8.5 8.8 6.9 7.0 7.1 7.2 7.3 7.3 7.4 7.6 7.8 8.1 8.3 8.5 7.8 7.9 8.1 8.3 8.4 8.4 8.4 8.4 8.6 8.9 9.2 9.4 6.4 6.6 6.7 7.1 7.6 7.8 8.2 8.4 8.6 8.7 8.8 8.9

ใชระดบนยสาคญ .05 วธทา DCBA MMMM ===Η :0 :1Η ม ji MM ≠ อยางนอย 1 ค =≠ jiji ,;; A, B, C, D นาขอมลท, งหมดขนาด n = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 มาเรยงลาดบเพ�อหาคามธยฐานตวอยางรวมได m = 8.1 เปรยบเทยบคาขอมลแตละชดกบ 8.1 แลวนบจานวนไดดงน, A B C D รวม > m

≤ m 3 2 9 6 9 10 3 6 20 28 รวม 12 12 12 12 48 คานวณคา ijE เชน ,548

)12(201 ==AE 7

48

)12(282 ==CE สถตทดสอบ 222222

1

2

7

)76(

7

)73(...

5

)52(

5

)53()( −+−++−+−=−=∑∑= =i

D

Aj ij

ijij

E

EOχ

286.10= เขตปฏเสธ 0Η : จะปฏเสธ 0Η ถา 295.

2 .χχ > ท�องศาอสระ 4 – 1 = 3 เปดตารางท� 6 ในภาคผนวกได 81.73;95.2 =χ จงปฏเสธ 0Η น�นคอคณภาพของยาทาแผลตางกนอยางนอย 2 ชนดท�ระดบนยสาคญ .05 8.6.1.2 การทดสอบของครสคล - วลลส (Kruskal - Wallis H Test) การใชการทดสอบของครสคล – วลลสได จะตองมคณสมบตดงน, 1. สมตวอยาง k ชดอยางเปนอสระตอกน 2. kini ,...,2,1;5 =≥ โดยท� in = ขนาดตวอยางชดท� i สาหรบข,นตอนการทดสอบของครสคล – วลลส เปนดงน, ข�นท� 1 ต,งสมมตฐานท�ตองการทดสอบ ดงน, :0Η ลกษณะท�เราสนใจศกษาของท,ง k ประชากร ท�ไมแตกตางกน

:1Η ลกษณะท�เราสนใจศกษาของท,ง k ประชากรแตกตางกนอยางนอย ประชากร ข�นท� 2 ใหลาดบท� (Rank) แกขอมลท,งหมด (1, 2, ..., n) โดยเรยงลาดบจากนอยไปมาก น�นคอ ใหคาต�าสดเปนลาดบท� 1 และคาสงสดเปนลาดบท� n โดยท� ∑=

=

k

iinn

1

กรณท�คาของขอมลเทากน ใหใชลาดบท�เฉล�ยของขอมลท�เทากนและกาหนดให iΤ ผลบวกของลาดบท�ของขอมลตวอยางชดท� i ; i = 1, …,k สถตทดสอบ )1(3

)1(

12

1

2

+−

Τ

+=Η ∑=

nnnn

k

i i

i โดยท�สถตทดสอบ H จะมการแจกแจงโดยประมาณคาแบบไคสแควรท�องศาอสระ k - 1 หรอ ( ) ;2

1−−Η kχ เขตปฏเสธ 0Η : จะปฏเสธสมมตฐาน 0Η ถา ( ) αχ −−≥Η 1;12

k โดยท� ( ) αχ −− 1;12

k ไดจากตารางท� 6 ในภาคผนวก ตวอยางท� 8.17 ถาตองการเปรยบเทยบผลผลตของขาว 3 พนธ (A, B, C) วาแตกตางกนหรอไมจงสมพ,นท�เพ�อปลกขาวพนธละ 5 แปลง ทาการปลกขาวและไดผลผลตขาวดงน, พนธขาว ผลผลต (ตน / ไร) A B C

14 12.1 9.6 8.2 10.2 8.4 5.1 5.5 6.6 6.3 6.9 7.3 5.8 4.1 5.4 กาหนดระดบนยสาคญ .05

วธทา ในท�น, ตองการเปรยบเทยบลกษณะประชากรเพยงลกษณะเดยว คอปรมาณผลผลตของขาว 3 พนธและสมพ,นท�ปลกขาวแตละพนธอยางเปนอสระตอกน 5=== CBA nnn แปลง โดยเปนตวอยางขนาดเลก จงใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร 0Η : การแจกแจงของปรมาณขาวท,ง 3 พนธไมแตกตางกน หรอ CBA MMM == :1Η การแจกแจงของปรมาณขาวท,ง 3 พนธแตกตางกนอยางนอย 2 พนธ หรอ ji MM ≠ อยางนอย 1 ค ji ≠; จานวนตวอยางท,งหมด = n = 15555 =++=== CBA nnn ใหลาดบท�ของขอมลท,งหมด (ลาดบท� 1, 2, …,15) โดยเรยงขอมลจากนอยไปหามาก ไดดงน, พนธขาว ลาดบท� พนธขาว ลาดบท� พนธขาว ลาดบท� 14 12.1 9.6 8.2 10.2

15 14 12 10 13 8.4 5.1 5.5 6.6 6.3

11 2 4 7 6 6.9 7.3 5.8 4.1 5.4

8 9 5 1 3 AΤ = 64 BΤ = 30 CΤ = 26 สถตทดสอบ )1(3)1(

12

1

2

+−

Τ

+=Η ∑=

nnnn

k

i i

i )16(3

5

)26(

5

)30(

5

)64(

)16(15

12 222

−

++= 72.8= เข ต ป ฏ เส ธ 0Η : จ ะ ป ฏ เส ธ 0Η ถ า αχ −−>Η 1);1(

2k น� น ค อ จ ะ ป ฏ เส ธ 0Η ถ า

99.595;.22 =>Η χ สรปผลการทดลอง: ปฏเสธ 0Η น�นคอ ปรมาณผลผลตของพนธตางกนอยางนอย 2 พนธท�ระดบนยสาคญ .05

8.6.2 การเปรยบเทยบเชงซอน (Multiple Comparisons) การทดลองท�ไมใชพารามเตอรในการเปรยบเทยบ k ประชากร ท�มการสมตวอยางแบบเปนอสระกน เม�อปฏเสธ 0Η kMMM === ...: 21 จะตองทาการทดสอบตอไปวาประชากรใดบางท�แตกตางจากประชากรอ�นๆ เชนเดยวกบการทดสอบท�ใชพารามเตอร คอ แทนท�จะทา Wilcoxon Rank Sum Test หรอ Mann –Whitney U Test หรอ Wald – Wolfowitz ในการทดสอบ ji Μ=Μ ทละค ถง

2

k ค จะเปนการเสยเวลามาก จงใชการเปรยบเทยบเชงซอนของวธการทดสอบแบบไมใชพารามเตอร เม�อใช Kruskal - Wallis H Test ทดสอบความแตกตางของ k ประชากรแลวปฏเสธ 0Η จะตองทาการทดสอบตอไปน, คานวณ ji Τ−Τ แลวเปรยบเทยบกบ SEqk ∞, โดยท� 12

)1)(( +=

nknknSE

น�นคอ จะสรปวา ji Μ≠Μ ถา SEqkji ∞>Τ−Τ , โดยท� คา SEqk ∞, ไดจากตารางท� 8 ในภาคผนวกท�ระดบนยสาคญ α ตวอยางท� 8.18 จากตวอยางท� 8.17 อยากทราบวาพนธขาวชนดใดบางท�ใหปรมาณผลผลตแตกตางกน ใหทดสอบโดยกาหนดนยสาคญ α = 0.05 วธทา 12

)1)(( +=

nknknSE 10

12

)115)(15(5=

+= เปดตารางท� 8 ในภาคผนวกไดคา

∞,3q ท� α = 0.05 เปน 3.31 จะสรปไดวา ji Μ≠Μ ถา 1.33)10(31.3 =>Τ−Τ ji i - j ji Τ−Τ SEqk ∞, ผลสรป A – B A – C B – C

64 – 30 = 34 64 – 26 = 38 30 – 26 = 4 33.1 33.1 33.1

BA Μ≠Μ CA Μ≠Μ CB Μ=Μ พนธขาว A B C น�นคอ ปรมาณผลผลตขาวพนธ A ตางจากพนธ B และพนธ C ท�ระดบนยสาคญ 0.05

8.6.3 การทดสอบความแตกตางระหวางประชากร k ประชากร (k 3≥ ) โดยท�สมตวอยางแบบไมเปนอสระกนหรอเม�อการทดลองแบบ RBD เม�อตองการทดสอบความแตกตางของลกษณะใดลกษณะหน�งเพยงลกษณะเดยวของท,ง k ประชากร โดยท�ท,ง k ประชากรไมไดมการแจกแจงแบบปกต และตวอยางมขนาดเลก โดยการสมตวอยางแบบไมเปนอสระตอกน คอใหตวอยางแตละชดมจานวนหนวยตวอยางเทากน คอ b หนวย หรอ b บลอก โดยใหตวอยางแตละหนวยในแตละบลอกมลกษณะอ�นๆใกลเคยงกนหรอเหมอนกน น�นคอกาจดอทธพลอ�นๆออกไป ยกเวนส�งท�ตองการวดจงเปนการทดลองแบบสมโดยสมบรณภายในกลม (Randomized Block Design : RBD) จงใช 1. การทดสอบท� ไมใชพาราม เตอรของฟรดแมน (The Friedman rF Test for a Randomized Block Design) 2. Cochrn’s Test 8.6.3.1 การทดสอบท�ไมใชพารามเตอรของฟรดแมน (The Friedman rF Test for a Randomized Block Design) มเง�อนไขดงน, 1. จะตองสมทรทเมนตหรอลกษณะของประชากรใหกบแตละบลอกอยางสม 2. จานวนบลอกหรอจานวนทรทเมนทจะตองมากกวา 5 หรอ max (b , k) > 5 ข-นท� 1 ต-งสมมตฐาน 0Η : ลกษณะท�สนใจศกษาของท,ง x ประชากรไมแตกตางกน :1Η ลกษณะท�สนใจศกษาของท,ง x ประชากรแตกตางกนอยางนอย 2 ประชากร ข-นท� 2 ใหลาดบท�แกขอมลภายในแตละบลอก โดยเรยงจากนอยไปมาก น�นคอในแตละบลอกจะมลาดบท� 1 ถงลาดบท� k เน�องจากจะเรยกลกษณะท�สนใจศกษาวา ทรทเมนท (Treatment) ดงน, นจงม k ทรทเมนท (ประชากร) และมบลอก b บลอก น�นคอภายในแตละบลอกม k ทรทเมนท และจานวนขอมลท,งหมด = bk คา ข-นท� 3 หาผลบวกของลาดบท�ของแตละทรทเมนท น�นคอให =Τi ผลบวกของลาดบท�ของทรทเมนทหรอตวอยางชดท� i; i= 1, 2, …,k สถตทดสอบ ( ) )1(3)1(

12

1

2 +−Τ+

= ∑=

kbkbk

Fk

iir เขตปฏเสธ จะปฏเสธสมมตฐาน 0Η ถา αχ −−> 1);1(

2krF โดยคา αχ −− 1);1(

2k ไดจากตารางท� 6 ในภาคผนวก

ตวอยางท� 8.19 ถาตองการทดสอบรสชาตของกาแฟ 3 ย�หอ (D, E, F) วาแตกตางกนหรอไม จงทาการทดลอง โดยใชนกด�มกาแฟ 6 คน โดยใหแตละคนทานกาแฟ 3 ถวย (ย�หอละถวย) โดยไมไดบอกผด�มกาแฟวาเปนย�หอใดแลวใหผชมใหคะแนนรสชาตกาแฟโดยใหคะแนน 1 ถารสชาดไมถกใจและให คะแนน 3 ถารสชาตดท�สดจากท,ง 3 ย�หอ ไดขอมลดงน, นกด�มกาแฟ 1 2 3 4 5 6 ย�หอ D ย�หอ E ย�หอ F 1 2 1 1 2 1 3 3 2 3 3 3 2 1 3 2 1 2 โดยใหระดบนยสาคญ .05 วธทา ในท�น,นกด�มกาแฟแตละคนไดชมกาแฟท,ง 3 ย�หอ ดงน,นนกด�มกาแฟ คอ บลอก โดยท�แตละบลอกม 3 ทรทเมนท น�นคอ k=3 และ b=6 จงใชการทดสอบแบบฟรดแมน เน�องจากขอมลอยในรปมาตราแสดงลาดบ ไมทราบการแจกแจงของประชากร และตองการทดสอบความแตกตางของกาแฟท,ง 3 ย�หอ โดยพจารณาจากรสชาตเพยงอยางเดยว สมมตฐานท�ตองการทดสอบ 0Η : รสชาดของกาแฟท,ง 3 ย�หอไมแตกตางกน :1Η รสชาตของกาแฟท,ง 3 ย�หอแตกตางกนอยางนอย 2 ย�หอ เน�องจากขอมลท�มอยเปนลาดบท�ของกาแฟภายในแตละบลอก ดงน,นจงคานวณหาผลบวกของลาดบท�ของกาแฟแตละย�หอไดดงน, =ΤD 1 + 2 + 1 + 1 + 2 + 1 = 8 =ΤE 3 + 3 + 2 + 3 + 3 + 3 =17 =ΤF 2 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 = 11 สถตทดสอบ )1(3)()1(

12 222 +−Τ+Τ+Τ+

= kbkbk

F FEDr [ ] 0.7)13)(6)(3(11217282)13(6

12=+−++

+= เขตปฏเสธ จะปฏเสธสมมตฐาน 0Η ถา 95);.13(

2−> χrF หรอ 99.5>rF ในท�น, 7=rF จงปฏเสธ 0Η น�นคอ รสชาตของกาแฟท,ง 3 ย�หอแตกตางกนท�ระดบนยสาคญ .05

ตวอยางท� 8.20 ในการเปรยบเทยบประสทธJ ภาพของยารกษาโรคผวหนงสนข 3 ชนด (A, B, C) ซ� งทาการทดลองโดยการสมสนขท�เปนโรคผวหนงมา 8 ตว แลวทายาท,ง 3 ชนดลงบนผวหนงของสนขแตละตวโดยสนขแตละตวจะไดรบยา 3 ชนดๆ ละ 1 ตารางน,ว หลงจากน,น 1 สปดาหจงใหสตวแพทยตรวจโดยใหคะแนนผลของยาแตละชนดจาก 1-10 ไดขอมลดงน, สนข 1 2 3 4 5 6 7 8 ชนดยา A ชนดยา B ชนดยา C

6 9 6 5 7 5 6 6 5 8 9 8 8 7 7 5 3 4 3 6 9 6 5 7 กาหนดใหระดบนยสาคญ .01 วธทา จะตองพบวาในการทดลองน, ไดกาจดอทธพลของตวแปรอ�นๆ ออกไป เพ�อท�จะวดประสทธภาพของยารกษาโรคผงหนงเพยงอยางเดยว จงใหสนขแตละตวไดรบยาท,ง 3 ชนด ดงน,นจานวนสนข = b = 8 และจานวนชนดของยา = k = 3 จงใชการทดสอบของฟรดแมน ดงน, 1. ต,งสมมตฐานเพ�อการทดสอบ

0Η : ประสทธภาพของยารกษาโรคผงหนงท,ง 3 ชนดไมแตกตางกน :1Η ประสทธภาพของยารกษาโรคผงหนงท,ง 3 ชนดแตกตางกนอยางนอย 2 ชนด 2. ใหใสลาดบท�ของขอมลภายในแตละบลอก และหาผลรวมของลาดบท�ของยาแตละชนดไดดงน, สนข A ลาดบท� B ลาดบท� C ลาดบท� 1 2 3 4 5 6 7 8

6 9 6 5 7 5 6 6

3 3 2 1 1 1 2 2

5 8 9 8 8 7 7 5

2 2 3 3 2 3 3 1

3 4 3 6 9 6 5 7

1 1 1 2 3 2 1 3 =ΤA 15 =ΤB 19 14=ΤC

สถตทดสอบ [ ] 15.1)13)(8)(3(141915)13)(3(8

12 222 =+−+++

=rF เขตปฏเสธ จะปฏเสธสมมตฐาน 0Η ถา 99;..22χ>rF ซ� ง 99;..2

2χ หรอ 21.915.1 <=rF จงไมสามารถปฏเสธ 0Η ได น�นคอ ประสทธภาพของยารกษาโรคผงหนงท,ง 3 ชนด(A, B, C) ไมแตกตางกนท�ระดบนยสาคญ 0.01

8.6.3.2 Cochran’s Test Cochran’s Test หรอ cochran’s Q Test เปนวธการทดสอบความแตกตางระหวางประชากร

k ประชากร (k≥ 3) ตวอยางท�ไดไมเปนอสระตอกน(RBD)sinv9y;vpjk’c9j]t=6f,u8;k,ly,ryoTNdyo Cochran’s Q Test เปนการทดสอบท�ขยายจากการทดสอบ McNemar น�นคอ ขอมลตองเปนสเกลนามกาหนดมคาไดเพยง 2 คา คอ สนใจหรอ (1) และไมสนใจ (0) โดยใหหนวยตวอยางแตละหนวยไดรบท#ง k ทรทเมนท โดยมเง�อนไขดงน# 1. จะตองสมทรทเมนทหรอลกษณะประชากรใหกบแตละบลอกอยางสมโดยท�ม b บลอกและม k ทรทเมนท 2. ขอมลจะเปนสนใจหรอ “1” และไมสนใจ หรอ “0” ( 1,0=ijX ) ขอมลท�จะใช Cochran’s Q Test จะอยในรปตารางขางลางน# บลอก ทรทเมน 1 2 3 … … k ผลรวม 1 2 . . B

11X 12X 13X … … KX1 21X 22X 23X … … KX 2 . . . . 1bX 2bX 3bX … … bkX

1B 2B . . bB ผลรวม 1T 2T 3T … … KT N โดยท� ijX = 0 , 1 ; i = 1,…,b ; j = 1,…,k สมมตฐานเพ�อการทดสอบ 0Η : ลกษณะท�สนใจของ k ประชากร ไมแตกตางกน 1Η : ลกษณะท�สนใจของ k ประชากร แตกตางกนอยางนอย 2 ประชากร สถตทดสอบ

Q = ∑∑

=

=

−

−−−

b

ii

k

jj

Bkn

nkTkk

1

2

2

1

2 )1()1( …………………....... (8.2)

การหาคา jT และ iB ในสตรของสมการท� (8.2) ไดจากการตดบลอกท�มคา 0 ท#งหมดออกและตดบลอกท�มคา 1 ท#งหมดออก เขตปฎเสธ 0Η : จะปฎเสธ 0Η ถา Q > 21 αχ −

ท�องศาอสระ k-1 โดย 1;12

−− kαχ ไดจากตารางท� 6 : ความนาจะเปนแบบไคสแควรในภาคผนวก ตวอยางท� 8.21 ถาตองการทดสอบรสชาตของกาแฟ 4 ย�หอ (A,B,C,D)วาแตกตางกนหรอไมจงทาการทดสอบโดยใหนกด�มกาแฟ 11 คน โดยใหแตละคนด�มกาแฟท#ง 4 ถวย (ย�หอละถวย) แลวใหระบวาชอบหรอไมชอบ ชอบใสเลข 1 ไมชอบใสเลข 0 ไดขอมลดงน# นกด�มกาแฟคนท� 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ย�หอ A ย�หอ B ย�หอ C ย�หอ D 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 ใหระดบนยสาคญ .05 วธทา ในท�น#นกด�มกาแฟไดด�มกาแฟทกย�หอ นกด�มกาแฟ คอ บลอก b = 11 คนมกาแฟ 4 ย�หอ k = 4 และขอมลเปน 0 หรอ 1 จงใช Cochran’s Q Test สมมตฐานเพ�อการทดสอบ 0Η : รสชาตของกาแฟ ท#ง 4 ย�หอไมแตกตางกน 1Η : รดชาดของกาแฟท#ง 4 ย�หอแตกตางกนอยางนอย 2 ย�หอ ในท�น# จะตดนกด�มกาแฟท�ไมชอบกาแฟท#ง 4 ย�หอคอขอมลเปน 0 หมด จงตดนกด�มกาแฟคนท� 3 ออก และตดนกด�มกาแฟท�ชอบกาแฟท#ง 4 ย�หอ คอขอมลในบลอกท� 1 หมดจงตดนกด�มคนท� 2, 5 และ 11 จงเหลอนกด�มกาแฟ b = 7 ดงแสดงในตารางน# นกด�มกาแฟคนท� ย�หอกาแฟ ผลรวม A B C D 1 4 6 7 8 9 10

1 0 1 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0 0

0 1 0 1 0 0 0

0 1 1 1 1 0 0

1 3 2 3 2 1 1 ผลรวม 6 1 2 4 13

ในท�น# AT = 6, BT = 1, CT = 2, DT = 4; 13;2,3,1 85741091 ======== nBBBBBBB สถตทดสอบ : Q =

i

b

i

D

Aj

j

Bkn

nkTkk

∑∑

=

=

−

−−−

1

2

22 )1()1( =

)1123231()13(4

)13)(14()4216)(14(42222222

22222

++++++−−−+++− = 7.70 เขตปฏเสธ 0Η : จะปฏเสธ 0Η ถา Q > 95,.3

2χ เปดตารางท� 6 ในภาคผนวกได =7.815 เน�องจาก Q = 7.70 < 7.815 สรปผลการทดสอบ : ไมสามารถปฏเสธ 0Η น�นคอ รสชาตของกาแฟท#ง 4 ย�หอไมแตกตางกนท�ระดบนยสาคญ . 05 8.7 การทดสอบความสมพนธระหวางลกษณะหรอตวแปร2 ลกษณะ/ตวแปรโดยใหลาดบท�ของขอมล การทดสอบความสมพนธระหวางตวแปร 2 ตวแปรวามความสมพนธกนหรอไม หรอมความสมพนธกนในทศทางตามกนหรอในทศทางตรงกนขาม เชน รายไดและรายจายเปนตวแปร 2 ตวท�อาจมความสมพนธกนในทศทางตามกน คอถารายไดมากรายจายจะมาก เราเรยกวามความสมพนธในทางบวก หรอความสมพนธอาจจะอยในทางตรงกนขามหรอความสมพนธในทางลบ เชน จานวนคแขงขนกบยอดขาย การทดสอบความสมพนธดงกลาว อาจจะใชการทดสอบท�ใชพารามเตอร ซ� งการแจกแจงของตวแปรท�ตองเปนแบบปรกตจะไดกลาวถงไวในบทท� 9 และ 10 แตถาการแจกแจงของตวแปรท�ตองการทดสอบไมเปนปรกตหรอไมทราบการแจกแจงของประชากร และตวอยางมขนาดเลกจะใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอรซ� งเรยกวา การทดสอบสมประสทธ$สหสมพนธของลาดบท�ของสเปยรแมน (Spearman’s Rank Correlation Coefficient) ซ� งมข#นตอนการทดสอบดงน# 1. ต#งสมมตฐานเพ�อการทดสอบ 2. ใหลาดบท�ของขอมลแตละชดในท�น# จะมขอมลตวอยาง 2 ชด โดยท�ขอมลแตละชดเปนคาของตวแปรแตละชด และจานวนตวอยางในแตละชดจะตองเทากนคอ n ดงน#นในขอมลตวอยางแตละชดจะมลาดบท�ของขอมล คอ 1,2,…,n

ใหลาดบท�ของขอมลชดท� 1 คอ iR1 และชดท� 2 คอ iR2 ;i =1,..,n กรณท�มคาของขอมลเทากนหลายคา ใหใชลาดบท�เฉล�ยของลาดบท�ของขอมลท�ทคาเทากนน#น 3. หาคาแตกตางระหวางลาดบท�ของขอมลท#ง 2 ชด คาแตกตาง = ii RRd 211 −= สถตทดสอบ

)1(

61

21

2

3 −−=∑=

nn

dr

n

ii เขตปฏเสธ จะข#นอยกบชนดของสมมตฐานท�ต#งไวดงน# การต*งสมมตฐานแบบ 2 ขาง กาหนดให =3ρ สมประสทธ8 สหสมพนธระหวางลาดบท�ของคาตวแปรท#งสอง ดงน#น =3r สมประสทธ8 สหสมพนธของตวอยางระหวางลาดบท�ของคาตวแปรท#งสอง

0: 30 =Η ρ 0: 31 ≠Η ρ สถตทดสอบ : 3r เขตปฏเสธ จะปฏเสธ 0Η ถา 2/,33 αrr ⟩ หรอ 2/,33 αrr ⟨− โดยท� 2/,3αr ไดจากตารางท� Spearman’s Rank Test ซ� งเปนตารางท� 13 ในภาคผนวกซ�งจะข#นอยกบคา n และระดบนยสาคญ α การทดสอบสมมตฐานแบบขางเดยว

0: 30 ≤Η ρ 0: 31 ⟩Η ρ สถตทดสอบ 3r เขตปฏเสธสมมตฐาน 0Η α,33 rr ⟩

0: 30 ≥Η ρ 0: 31 ⟨Η ρ สถตทดสอบ 3r เขตปฏเสธสมมตฐาน 0Η α,33 rr ⟨−

ตวอยางท� 8.22 ถาคาดวาการท�หญงต#งครรภสบบหร�มากจะทาใหน#าหนกของเดกแรกเกดลดลง จงสมตวอยางสตรท�สบบหร�ขณะต#งครรภมา 15 คน และจดบนทกถงจานวนบหร�ท�สบตอวนและน#าหนกของเดกแรกเกดไดดงน# คนท� 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 จานวนบหร�ท�สบน� าหนกเดกแรกเกด (ก.ก)

12 3.7

15 4.1

35 2.9

21 4.2

20 4.6

17 4.3

19 5.4

46 3.8

20 4.3

25 0.2

39 2.4

25 3.9

30 4.0

27 2.1

29 4.6

กาหนดระดบนยสาคญท� 0.05 วธทา ในท�น#ตองการทดสอบความสมพนธของ 2 ตวแปร (ประชากร) คอ จานวนบหร�ท�สบตอวนกบน#าหนกของเดกแรกเกด โดยไมไดกลาวถงลกษณะการแจกแจงของประชากรท#ง 2 ท#งสองทาใหไมแนใจวาการแจกแจงของประชากรท#งสองจะเปนแบบปกตหรอไม จงใชการทดสอบสมประสทธ8 สหสมพนธของลาดบท�ของเพยรสนของลาดบท�ของสเปยรแมน และตวอยางขนาดเลก ให =ρ สมประสทธ8 สหสมพนธของลาดบท�ของจานวนบหร� ท�สบตอวนกบลาดบท�ของน#าหนกเดกแรกเกด ต#งสมมตฐานท�ตองการทดสอบ H 030 == ρ H 01< ใสลาดบท�ใหขอมลแตละชด โดยเรยงลาดบจากนอยไปหามากแลวแตคานวณหาคา idและ 2id ผหญง จานวนบหร� /วน ลาดบท�

1R น#าหนกเดกแรกเกด(กก) ลาดบท� 2R 21 RRd −= d 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

12 15 35 21 20 17 19 46 20 25 39

1 2 13 7 5.5 3 4 15 5.5 8.5 14

3.7 4.1 2.9 4.2 4.6 4.3 5.4 3.8 4.3 1.2 2.4

5 9 4 10 13.5 11.5 15 6 11.5 1 3

-4 -7 9 -3 -8 -8.5 -11 9 -6 7.5 11

16 49 81 9 64 72.25 121 81 36 56.25 121

ผหญง จานวนบหร� /วน ลาดบท� 1R น#าหนกเดกแรกเกด(กก) ลาดบท� 2R

21 RRd −= d 12 13 14 15

25 30 27 29 8.5 12 10 11

3.9 4.0 2.1 4.6 7 8 2 13.5

1.5 4 8 -2.5 2.25 16 64 6.25 795 สถตทดสอบ

( ) ( )( ) 42.011515

79561

1

61

221

3 −=−−−−=∑=

nn

d

r

n

ii เขตปฏเสธ จะปฏเสธสมมตฐาน 0Η ถา 441.05.0,33 −=⟨−rr จากตารางท� 13 เม�อ n =15,α =.05ได 441.05;.3 −=r ในท�น# −⟩−= 42.3r .441 จงม�สามารถปฏเสธสมมตฐาน 0Η ไดน�นคอ จากขอมลตวอยางไมสามารถสรปไดวา จานวนบหร�ท�หญงต#งครรภสบตอวนมความสมพนธทางลบกบน#าหนกแรกเกดท�ระดบนยสาคญ .05 8.7 การทดสอบการแจกแจงของประชากรวามการแจกแจงแบบปกตหรอไม จะพบวาเง�อนไขของการทดสอบสมมตฐานในบทท� 5-6 และท�จะกลาวถงในบทท� 9-10 น#นประชากรจะตองมการแจกแจงแบบปกต ดงน#นเม�อสมตวอยางจากประชากรท�ไมทราบการแจกแจงจะตองนาขอมลน#นมาทดสอบเสยกอนวามการแจกแจงปกตหรอไม ถาผลของการทดสอบสรปไดวาประชากรมการแจกแจงแบบปกตจงจะสามารถทาการประมาณคาหรอทดสอบสมมตฐานท�ใชพารามเตอรได ในบทท� 7 หวขอ 7.2.3 ซ� งใชสถตทดสอบ ( 2χ )ในการทดสอบการแจกแจงของประชากร สวนในบทน#จะกลาวถงการทดสอบการแจกแจงแบบปกตโดยใชเทคนคท�ไมใชพารามเตอร 2 วธคอ 1. Kolmogorov- Smirnov Test เปนเทคนคท�ไมใชพารามเตอรในการทดสอบการแจกแจงของประชากรอาจจะทดสอบวาประชากรมการแจกแจงแบบตางๆ เชน แบบปกต แบบทวนาม แบบปวซอง เชนเดยวกบ 2χ - Test 2. lilliefor Test เปนเทคนคท�ไมใชพารามเตอรสาหรบการทดสอบวาประชากรมการแจกแจงแบบปกตหรอไมเทาน#น 8.8.1 Kolmogorov-Smirnov Test

หลกเกณฑของ Kolmogorov-Smirnov Test ในการทดสอบการแจกแจงของประชากรคอ การเปรยบเทยบความนาจะเปนสะสมของตวอยาง (S(x)) กบความนาจะเปนสะสมภายใตสมมตฐานวาง 0Η (F(x)) 0Η : ประชากรมการแจกแจงตามท�คาดไว 1Η : ประชากรไมไดมการแจกแจงตามท�คาดไว สมมตฐานวาง 0Η จรง (S(x)) และ (F(x)) จะมคาใกลเคยงกนทคาของ x แตถา 0Η ไมเปนจรงคอประชากรไมไดมการแจกแจงตามท�คาดไว คา(S(x)) และ (F(x)) จะแตกตางกนมากสาหรบบางคาของ x โดยท� F(x) = P(X≤ x) ∑ ≤x

xXP0

)( ถา x เปนตวแปรสมแบบไมตอเน�อง หรอ F(x) = ∫

∞−

x

dxxf )( ถา x เปนตวแปรสมแบบตอเน�อง สถตทดสอบ D = max )()( xSxF − เขตปฏเสธ ถา D มคามากแสดงวา F(x) และ S(x) แตกตางกนมากจงปฏเสธ 0Η น�นคอถา D > คาวกฤตกจะปฏเสธสมมตฐาน 0Η น�นคอ ประชากรไมไดมการแจกแจงตามท�คาดไวแตถา D < คาวกฤต จากตารางท� 14 ในภาคผนวกจะตองยอมรบ 0Η น�นคอ ประชากรมการแจกแจงตามท�คาดไว ตวอยางท� 8.23 ถาสมตวอยางยอดขายรายเดอนของสนคาชนดหน�งมา 8 เดอนไดขอมลดงน# 10,14,6,5,11,6,5,6 ลานบาท จงทดสอบวายอดขายรายเดอนของสนคาน# มการแจกแจงแบบปกตท�มยอดขายเฉล�ย = 8 ลานบาท คาเบ�ยงเบนมาตรฐาน = 2 ลานบาทท�ระดบนยสาคญ .05 วธทา X = ยอดขายรายเดอนของสนคา (หนวย : ลานบาท) 0Η : ยอดขายสนคารายเดอนมการแจกแจงแบบปกตท�มยอดขายเฉล�ย= 8 ลานบาท และมยอดขายเบ�ยงเบนมาตรฐาน (σ ) = 2 ลานบาท 1Η : ยอดขายสนคารายเดอนไมไดมการแจกแจงแบบปกตท�มยอดขายเฉล�ย= 8 ลานบาท และมยอดขายเบ�ยงเบนมาตรฐาน (σ ) ≠ 2 ลานบาท ในท�น#กาหนด 80 == µµ , 20 == σσ คานวณหาความนาจะเปนสะสมของ X ภายใต 0H น�นคอ X normal (8,4) ดงน# ( ) ( )xXPxF ≤= = 2

0

0

0 µσµ −≤

− x

P = ( )zZP

xZP ≤=

−≤

2

8

เชน ( )

−<=2

81010 ZPF = ( )1<ZP 8413.=

( )

−<=2

866 ZPF = ( )1−<ZP = ( )1<ZP = 1- ( )1<ZP = 1- .8413 = .1587 สวนการหา S ( )X ใหคานวณจากขอมลตวอยาง ในท�น# 8=n เดอน แลวการหา S(X) จะตองนาขอมลมาเรยงจากนอยไปหามากดงน# 5 5 6 6 6 10 11 14 S ( )x = P ( )1<Z = 1- .8413 = .1587 เชน ( )

( ) ( ) 625.08/58/326

25.08/25

==+=

==

S

S ( ) ( ) 75.08/68/13210 ==++=S ( ) ( ) 9332.08/78/113211 ==+++=S ( ) ( ) 0.18/88/113210 ==+++=S x ( )xS ( )2

8−=

xZ ( ) ( )xXPxF ≤=

( )zZP ≤=

( ) ( )xSxF − 5 6 10 11 14

0.25 0.625 0.75 0.9332 1.0

-1.5 -1.0 1.0 1.5 3.0

0.0668 0.1587 0.8413 0.9332 0.9987

0.1832 0.4663 =D 0.0913 0.582 0.0013 สถตทดสอบ ( ) ( )xSxFD −= max = 0.4663 เขตปฏเสธ จะปฏเสธ H 0 ถา >D ถาคาวกฤตจากตารางท� 14 ในภาคผนวกซ�งข#นอยกบระดบนยสาคญกบขนาดตวอยาง ในท�น# ในระดบนยสาคญ = 0.05, n = 8 ไดคาวกฤต = 0.454 จงปฏเสธ H 0 น�นคอ ยอดขายรายเดอนของสนคาน#ไมไดมการแจกแจงแบบปกต ท�ม

8=µ และ 2=σ ลานบาท

8.8.2 Lilliefors Test Lilliefors Test เปนการทดสอบการแจกแจงของประชากรวามการแจกแจงแบบปกตหรอไม โดยตางจาก Kolmogorov-Smirnov Test คอ Kolmogorov-Smirnov Test จะตองกาหนดคาเฉล�ย 0µµ = และคาเบ�ยงเบนมาตรฐาน 0σσ = ไวในสมมตฐาน 0H แต Lilliefors Test จะไมกาหนดคาเฉล�ยและคาเบ�ยงเบนมาตรฐาน จงตองประมาณ µ ดวย X และประมาณ σดวย S :0H ประชากรมการแจกแจงงแบบปกต :1H ประชากรไมไดมการแจกแจงแบบปกต สถตทดสอบ : max=D ( ) ( )xSxF − โดย ( ) ( ) =≤= xXPxF

−<

s

xxZP เขตปฏเสธ : จะปฏเสธ 0H ถา D > คาวกฤตท�ไดจากตาราง Lilliefors Test ซ� งอยในตารางท� 15 ในภาคผนวก ตวอยางท� 8.24 จงทดสอบวาขอมลตวอยาง 10 คา ตอไปน# คอ 15,16,6,15,8,12,16,3,14,15 สมจากประชากรท�มการแจกแจงแบบปกตท�ระดบนยสาคญ 0.05 วธทา ให =X คาของขอมลตวอยาง , 10=n :0H X มาจากประชากรมการแจกแจงงแบบปกต :1H X มาจากประชากรไมไดมการแจกแจงแบบปกต คานวณหา x

10

1514...1615 ++++= 0.12=

2S ( )81.21

1

2

=−

−=∑

n

XX i หรอ 67.4=S เรยงลาดบขอมลจากนอยไปหามากไดดงน# 3,6,8,12,14,15,15,16,16

x ( )xS ( )s

xZ

8−= ( ) ( )xXPxF ≤=

( )zZP ≤=

( ) ( )xSxF − 3 6 8 12 14 15 16

1/10 =0.10 2/10 =0.20 3/10 =0.30 4/10 =0.40 5/10 =0.50 8/10 =0.8 10/10 =1.0

-1.93 -1.28 -0.86 0 0.43 0.64 0.86

0.0268 0.1003 0.1949 0.50 0.6664 0.7389 0.8051

0.732 0.0997 0.1051 0.10 0.1664 0.0611 สถตทดสอบ ( ) ( ) 1949.0max =−= xSxFD จากตาราง Lilliefors ตารางท� 15 ในภาคผนวกเม�อ 05.0,10 == αn จะไดคาวกฤตได = 0.258 เขตปฏเสธ จะปฏเสธถา D มากกวาคาวกฤต ดงน#นจะสรปวายอมรบ 0H เน�องจาก

<= 1949.0D คาวกฤต น�นคอ ประชากรมการแจกแจงแบบปกต 8.8.3 ขอแตกตางระหวางสถตทดสอบเก�ยวกบการแจกแจงแบบปกต จากบทท� 7 และ 8 สถตท�ใชทดสอบวาประชากรมการแจกแจงแบบปกตหรอไมท�กลาวถงม 3 วธ คอ ,2 Test−χ Kolmogorov-Smirnov Test และ Lilliefors Test มสวนแตกตางกน ดงน# 1. Test−2χ ใชทดสอบวาประชากรมการแจกแจงตามท�คาดไวหรอไม เชนแบบปกต แบบทวนาม แบบปวซอง สาหรบการทดสอบวาประชากรมการแจกแจงแบบปกตหรอไมนบ

Test−2χ จะใชความถ�ท�เกดข#นในแตละชวงและตองมขนาดจานวนขอมลตวอยาง ( )n มากพอควร ดงแสดงในตวอยางท� 7.8 และ 7.9 2. Kolmogorov-Smirnov Test ใชทดสอบวาประชากรมการแจกแจงตามท�คาดไวหรอไม อาจจะใชการทดสอบการแจกแจงแบบปกต ทวนาม ฯลฯ แตเปนการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร และขนาดตวอยางเลก สาหรบการทดสอบของ Kolmogorov-Smirnov Test ท�ใชการทดสอบการแจกแจงแบบปกต จะตองระบคาเฉล�ยและคาแปรปรวนของประชากร 3. Lilliefors Test เปนการทดสอบท�ไมใชพารามเตอรเชนเดยวกบ Kolmogorov-Smirnov Test แต Lilliefors Test ใชการทดสอบการแจกแจงแบบปกตเทาน#น และจะมาระบคาเฉล�ยและคาแปรปรวนของประชากร

0.1949=D

8.9 ขอควรระวงในใชการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร เม�อเปรยบเทยบการทดสอบท�ใชพารามเตอร (บทท� 5) กบการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร จะพบวา การทดสอบท�ไมใชพารามเตอรสะดวกกวาและงายกวา แตการทดสอบท�ไมใชพารามเตอร จะใชไดกตอเม�อไมทราบการแจกแจงของประชากร ขนาดตวอยางเลก และขอมลในรปมาตราแสดงลาดบ แตเม�อพจารณาตวอยางท� 8.11 ซ� งขอมลคอจานวนหองวางของโรงแรมซ�งเปนขอมลเชงปรมาณ จงควรใชการทดสอบแบบใชพารามเตอร คอ testF − ของ WAY−1 ANOVA แตเน�องจากไมทราบการแจกแจงของจานวนหองวางและขนาดตวอยางเลก จงใชการทดสอบของ WallisKruskal − ซ� งงายกวา testF − แตเม�อเปรยบเทยบความผดพลาดประเภทท� 2 ของการทดสอบ ( )β จะพบวาคา β ของ testF − จะมคาต�ากวาของ WallisKruskal − เน�องจากวธของ WallisKruskal − มการปรบขอมลเชงปรมาณใหอยในรปลาดบท�มาตราแสดงลาดบ และนาเพยงขอมลท�แสดงลาดบท�มาคานวณเทาน#น ไมไดนาคาท�แทมาคานวณ จงเปนการสญเสยรายละเอยดของขอมลจรง ซ� งทาใหความผดพลาดของประเภทท� 2 สงกวาการทดสอบท�ใชพารามเตอร 8.10 การเปรยบเทยบสรปการทดสอบสมมตฐานท�ใชพารามเตอรและไมใชพารามเตอร การทดสอบท�ใชพารามเตอร การทดสอบท�ไมใชพารามเตอร 1. การทดสอบคาเฉล�ยของประชากรเดยว สถตทดสอบ Z: หรอ t 1. การทดสอบเก�ยวกบคามธยฐานของประชากรเดยว สถตทดสอบ:Wilcoxon Signed- Rank Test 2. การทดสอบความแตกตางของคาเฉล�ย 2 ประชากร 2.1 การสมตวอยางแตละชดมาอยางเปน อสระกน สถตทดสอบ : Z หรอ t 2.2 การสมตวอยางแตละชดอยางไมเปนอสระกน (แบบจบค) สถตทดสอบ : t

2. การทดสอบความแตกตางของ 2 ประชากร 2.1 การสมตวอยางแตละชดมาอยางเปน อสระกน สถตทดสอบ : Wilcoxon Rank Sum Test หรอ Mann-Whitney U Test หรอ Wald-Wolfowitz Runs Test 2.3 การสมตวอยางแตละชดอยางไมเปนอสระ กน สถตทดสอบ :Signed Test หรอ Wilcoxon Signed- Rank Test for Matched Paired Difference Method หรอ McNemar Test

การทดสอบท�ใชพารามเตอร การทดสอบท�ไมใชพารามเตอร 3. การทดสอบความแตกตางของคาเฉล�ย kประชากร 3.1 สมตวอยางท#ง k ชดแบบอสระกน (CRD) สถตทดสอบ : F 3.2 สมตวแบบไมเปนอสระกน (RBD) สถตทดสอบ : F

3. การทดสอบความแตกตางของคาเฉล�ย kประชากร 3.1 สมตวอยางท#ง k ชดแบบอสระกน (CRD) สถตทดสอบ : Median Test หรอ Kruskal-Wallis H Test 3.2 สมตวแบบไมเปนอสระกน (RBD) สถตทดสอบ : Friedman For Test for a Randomized Block Design หรอ Cochran ’s Test