Norma, unutrasnji proizvod i ortogonalnost

8. Norma vektora

(8.01) Euklidova vektorska normaZa vektor x ∈ Rn (ili iz Cn) (Rn tumacimo kao prostor kolona-matrica oblika n× 1),

euklidova norma od x je definisana sa

• ‖x‖ = (∑n

i=1 x2i )

1/2=√x>x kadgod je x ∈ Rn,

• ‖x‖ = (∑n

i=1 |xi|2)1/2

=√x∗x kadgod je x ∈ Cn.

�

(8.02) Standardni unutrasnji proizvodSkalarni proizvod definisan sa

x>y =n∑

i=1

xiyi ∈ R i x∗y =n∑

i=1

xiyi ∈ C

se zove standardni unutrasnji proizvod za Rn i Cn, redom. �

(8.03) Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz (CBS) nejednakost

|x∗y| ≤ ‖x‖ ‖y‖ za sve x,y ∈ Cn.

Jednakost vrijedi ako i samo ako y = αx za α = x∗y/x∗x. �

(8.04) Nejednakost trougla

‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ za svaki x,y ∈ Cn.

�

(8.05) p-normeZa p ≥ 1, p-norma vektora x ∈ Cn je definisana sa ‖x‖p = (

∑ni=1 |xi|p)1/p. �

(8.06) Opsta vektorska normaNorma za realni ili kompleksni vektorski prostor V je funkcija ‖ ? ‖ koja preslikava V u R i

zadovoljava sljedece uslove:‖x‖ ≥ 0 i ‖x‖ = 0⇐⇒ x = 0,

‖αx‖ = |α|‖x‖ za sve skalare α,

‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.

�