NORMALSPÄNNING

I BÖJDA BALKAR

INTRODUKTION

x

y

P

x

y

Py

• xy är symmetrisk plan för balken och lasten.• y är symmetrisk axel för tvärsnittet.

Med dessa förutsättningar har man ett plan problem, böjningen äger rum i planen xy.

snitt : PV

M

Den vertikala lasten P ger upphov till en tvärkraft V och ett böjande moment M i balken.

Tvärkraften V ger upphov till små skjuvdeformationer som ofta kan försummas, och till skjuvspänningar som kommer att studeras vid nästa föreläsningen.

Böjande momentet M ger upphov till töjningar

och normalspänningar som studeras i denna kapitel.

Byggnadsmekanik gk 5.1

REN BÖJNING

Vi förutsätter först att belastningen ger upphov till ett konstant böjande momentet M i balken. Detta innebär att tvärkraften V är noll (V = dM/dx).

Exempel

Mo

Mo

0

M

- Mo

0

M

MoMo

( Ren böjning mellan de två krafter )

a a

P P

M

0

P a

Byggnadsmekanik gk 5.2

Mo Mo

dragnings sida

trycknings sidamedellinje

KRÖKNINGBalken brevid utsätts för ett konstant böjande moment M = - Mo

Dragning råder i överkanten av balken. Tryckning råder i underkanten av balken.

1

: krökningen

: krökningsradien

I detta fall är M < 0 och > 0

Det böjande momentet ritas på dragnings sida(om x-axeln representerar medellinjen)

Moment diagram

x

y Mo Mo

x

y

Byggnadsmekanik gk 5.3

M = - Mo

TÖJNING

Balken a b c d utsätts för ett konstant böjande moment M = - Mo

Dragning råder i delen a e f c. Tryckning råder i delen e b d f.

Medellinjen ef behåller sin längd dx under deformationen och

blir en cirkelbåge med radie . Medellinjen tas som x-axeln.

Snitten ab och cd är fortfarande plana och vinkelrätta till medellinjen efter deformationen.

dd x längd för mn efter deformationen :

ddd)(mn yx y L

töjning för mn :x

y x

x L

dd

ddmn

y y

a

b

c

d

e fm n

y

d

Byggnadsmekanik gk 5.4

Mo

M = - Mo

x

y

e f

dx

y

a

b

c

d

m n

y

z

Mo

NORMALSPÄNNING

Materialet är linjärt och elastikt :

y E E

Normalkraften N är noll

A A

A y A N 00 dd

x

y

tryckning 0

dragning 0

0

y

zO

O är tvärsnittets tyngdpunkt. Medellinjen går genom tvärsnittets tyngdpunkt

A

A y E A y MA

dd 2

A

A y E M d2II

Samband mellan M och

I : Yttröghetsmoment kring z-axeln

yM

I

Byggnadsmekanik gk 5.5

ICKE KONSTANT BÖJANDE MOMENT

Analysen som har gjorts gäller balkar som utsätts för ett konstant böjande moment M. Om balken utsätts för ett icke konstant moment, närvarandet av tvärkraften V ger upphov till skjuvspänningar och skjuv-deformationer.

Man kan visa att inflytandet av dessa effekter på normalspänningen är försumbart och att resultaten i sidorna 6.4 och 6.5 kan användas även om balken utsätts för ett icke konstant böjande moment.

Exempel 150 kN

3 m 2 m

x

y

2

46

00440

105875

m.

m.

A

I

II2

46

00440

106673

m.

m.

R

R

A

I

100

80

20

20

20

y

z 100

44

y

z

Maximala dragspänning och tryckspänning

i balken med I eller R tvärsnitt ?

Byggnadsmekanik gk 5.6

Det böjande momentet måste först ritas för att hitta snittet där de maximala spänningarna finns.

yM

I

50 kN

20 kN 30 kNB

60 kNm

M

Slutstas : de maximala spänningarna finns i snitt B.

MPa).(

MPa).(

MPa).(

MPa).(

tryckmax

dragmax

tryckmax

dragmax

M

M

M

M

818050

818050

537050

537050

RR

RR

II

II

I

I

I

I

MPa 188

MPa 188

R

y

z

y

z

MPa 375

MPa 537

I

Spänningsfördelning i snitt B

För samma area, ger I-tvärsnittet maximala spänningar som är 34% lägre en ett rektangulärt tvärsnitt.

Byggnadsmekanik gk 5.7

KOMBINATION AV N OCH M

Om belastningen ger upphov till både en normalkraft N och ett böjande moment M i

balken, kan normalspänningen erhållas genom att superponera spänningen som kommer från N och spänningen som kommer från M.

yM

AN

I

Akta : detta samband förutsätter en viss konvention för M och y :

- M > 0 dragning på underkanten.

- y neråt.

Exempel 2

0.3

0.1

0.10.

3

y

0.15z

45

2

1085

060

m

m.

A

I

Maximala dragspänning och tryckspänning i balken ?

5 kN

2 m 2 m

P = 60 kNBA

C

Byggnadsmekanik gk 5.8

N och M diagram

kN P 60

N

kNm 10

M

Slutsats :

kritiska snitt i del AB : omedelbart till vänster om B

kritiska snitt i del BC : omedelbart till höger om B

omedelbart till vänster om B ( N = 0 )

MPa.).(dragmax y M

7651150 I

MPa).(tryckmax . y M

250I

_

+

MPa.

MPa. 9412

5 kN

2 m 2 m

P = 60 kNBA

C

Byggnadsmekanik gk 5.9

omedelbart till höger om B ( N = - P )

_

_

MPa A

P1

MPa. 7650

MPa. 9413

+ =_

+

MPa A

P1

_

+

MPa.

MPa. 9412

yM

AN

I

MPa.).(dragmax y M

AP

7650150 I

MPa).(tryckmax . y M

AP

250I

Slutsatser : Maximal dragspänning i balken : snitt omedelbart till vänster om B, överkanten.

Maximal tryckpänning i balken : snitt omedelbart till höger om B, underkanten.

MPa.dragmax 7651 MPatryckmax .

Byggnadsmekanik gk 5.10

Exempel 3

L = 6 m

0.1

m

q = 5 kN/m

P = 600 kN

A

Betong balk

y

0.3 m

0.4

m z2

4

120

00160

m.

m.

A

I

Varför behövs det en tryckkraft P ?

Utan tryckkraften P

kNm qL

902

2

M

snitt A+

_

MPa. 2511

MPa. 2511

De maximala spänningarna finns i snitt A

Lasten q skapar dragspänningar i överkanten av balken. Dessa spänningar är maximala vid stödet. Eftersom betongen inte kan ta emot dragspänningar, behövs en tryckkraft P.

Byggnadsmekanik gk 5.11

Med tryckkraften P

Kraften P kommer från förspända kablar som placeras vid ett avstånd e = 0.1 m från tvärsnittets tyngdpunkt.

Kraften P ger upphov till en konstant normalkraft N = – P och ett konstant böjande moment M = P e i balken.

Med kraften P finns ingen dragspänning i balken och den maximala tryckspänningen minskar.

PP e=

P

e

MPa AP

P 5

MPa.max . e P

e 20I

MPa 5

MPa 5

_

_

+

_MPa .

MPa .

+ + =

MPa .

MPa .

_

_

last q tryckkraft P moment P e total

+

_

MPa. 2511

MPa. 2511

Byggnadsmekanik gk 5.12

snitt A