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Notas para un curso de Fourier
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"1 ¿ ¡ ....... ...../
... / , .. ,' · . . ... '" ~ "f ti\ .
. ' . ~ ."'!. ~, ........ . . . . ..
.. ' ,, "'· '\ ~~ . -... . ' . .
~ N A L I S I S D B · :r O U R I E R
I • (¡ENERALIDADBS
l.l La teor!a del an4lieia de pourier se · remonta a los primeros sfioa !iel
-- siglo pasado, cuando al -estudiar un problema · dé- la conduccidn 'del ca
lor Y.Plantear su solucidn, el aatedtico franc~s J.B.J. rourier tuvo
que coDS1'erar ciertas series trigonom4tricaa que en la actualiG.ai se
conocen cano series ,de :Jouri~r.
con el . conclirao de posterio~s aatedticos se ha desarrollado .~odo \in
modelo matuiitico, constitu:íao por una parte discreta y otra~cont!nua\~ La parte iiscreta est4 asociada con la serie trigonom,trica y la parte
cont:!nua con la integral ele Fourier.
·ES muy amplio . el campo de .apl.icaci6n del aruU.isis de :rourier; hoy en.
día es una herramienta de primer orden en ireas tales como la mecl:{nica
cudntica, áisteman lineales, ccaunicaciones, t~cnicas digitales, etc ••
1.2 Pwlcione.s J>erió&icas _ ,. ... . ,
Es una- cat~gor!a ie funciones definidas matenuhicamente como
-((1): -f(t+nr) ., rt ::=entero y en que T es llama-
lo el per!o&o de la fwici6n. -. .
Las funcio{(;} ia las siguientes !ig~~(l~on peri6dic~~ . f(f) e..--.
fig. a) ·
. '
-, . . 1
' • 1 ' ' . • • 1 1
fig. e) ·
J
,...
J , i
. :- .. -·~· .-. . . . . . .
_,
l.:--:- . ·-:·- ·. - __ .
.. . -2-
~a funci6n peri6d.ica de la figura a}representa fen&nenos naturales ta
les como: vibraciones . de -µ.u . resorte, mov~ento .. de un p~ndulo, propaga ~ · -~ . .· .. -- •.. . .
ci6n de una onda, etc. En e1 per!odo T = ia la ecuaci6n de esta
funci6n es
La figura b) i~~t:~: un~\ !°~c,i6n_ Pt!.ri~ica __ l.+_amada "diente G.e sierra";
por ejémpi.o; el barriS.o_ d!! _ un oseiloecopio es un -diente -ele sierra. En
el ~e;!odo 'f ~ ''a -l·~- f~cÍ-6n v~~n~ . ex~reeada matem,ticamente como .. ~ . ._. . ' . .
· ' •' ~ 1 ... ,. . • •
Finalmente, la funci6n pe.ricSdica de .la figura e) es llame.da un "tren de .. . ..
. "' -- ...... .
pulsos" y es mUJ" ut~lizada en . comunicaciones, t~cnicas digitales, tele visidn~ etc • . . - . . ;: ... · ' ' -
. ;,. ·
Las f~iozÍes . periddi-ca~ por _exc_elencia, son. las funciones sinusoida -·r - ., - · • • '- • • '
les, seno y coseno.: . .
una funci6n -p~~i6d1-~~- ~~edarai dete:nninada cuando se especifique su for
ma gn'1fica o su expresi6n matemAtica.
Ejemplo: Hal.lar el pér!odo de las funciones
a) ~clf
b) (!pj f -1- 5 euw ±..,. SR-« J:Í 3 7
sab~mos de la trigonometr!a que para les funciones seno y .coseno
s 1lu (e + 2 >t TT) = S-t.«. e (!ff)' e e -1- z Jt n) .::: <U!:> e __
n;;: entero (l)
a) .APli~aruio la defini~i6n de turicién periUica ( con }? ::. f ) ,
,< . --.. . ,. r .... --' • ~..,;. •
' - . \
• 1
·~~~--1·~>~·~·~-~___,r~·~~~~~~~--~-'--=--~~~~~~""""---=-~~·~·--'----··--~
,,. . . ""!
"'·
L. ,
-3-
y de (l )
d.T = 21T , 11.1ego el per!oclo de ~<if
luego seglin (l) -
de ~(1+71 , T=llf)n
de ~({rf) , L = 2i1h. -i 3 I
de ~(1{~) ,Zf =2115
h1 , Jt. , 5 son niSmeros enteros,
/. T: 2ffm > T- Gtrlt. > ~ = 5 TTS ..
de estas expresiones, la tr!ada de valores ( 1'>1,h.15) con el que se
obtiene el menor valor de -¡-_ es (15,5,i) de donde el período es
T :: · 30 'ff • como se obse;rva, es el mínimo comWi mdl tiplo de
1.3 Antes de segl.ú.r con el estud.io de las :funciones pe:riddioas es importll!!_ te definir los sigl.lientes conceptos:
a) Funciones ortogonal~& .
Sea · . ~JI),,;, conJ~t~ . de ·i...c1onea . d=finidaa e integrable• en un inter
. - valo a. L. f ¿_ b si para cada par de 'funciones del intervalo, f5j,,, .·.
e ;
......
¡
.,j,
r
--------- - ·- -
-~ ' --z~-
-4-
se cumple que b . .
Í t/>,..(t) </>11 lt)H ' ( 0
~ kn
para
diremos que ~·(f) constituye un conjunto ortogonal en el intervalo.
Ejemplos las funciones seno y coseno son ortogonaleS-en un intervalo
de lo~itud igual al per:!odo; utili?.ando la.n tA.blas de intep:rales se
demuestran las siguientes equivalenciaR ( h1 , >? enteros )
1) [
d-t1p i4.+2f' . "~n[fJt=.O n¡o 2) >e.u..urr!Jr=O a. r d p
d.+2/?
( 6:n ~~llfdt_ . o )d . 3)
4)
b) Fun9i6n seccionalmente contínua
una funcidn f(t) es seccionalmente cont!nua en un intervalo, cu.ando el
intervalo ~e puede dividir en un nilinero finito - de subintervalos dentro
de lou cual~{.¡)ª funci6n es del todo cont!nua~~Jmpln
~ ..
f
• a.
t b
t ~~..l-~~...-~~..1.-~~~~~~~
a. b
r ¡
\
/ ·
V
. '
,. .. i/ -' !
-5-
la primera es del todo cont!nua en (a,b) y por supuesto lo ser' a tra
mos; la segunda es seccio.Dal.mente cont:!nua d cont!nua a tramos. Obser
ve que las !unciones seccionalmente cont!nuas tienen discontinuidaaes
finitas, 6 sea que loe l:!mites de t(t) a derecha e izquierda de las
discontinuidad.es existen, aunque por supuesto, no son necesariamente
iguales.
1.4 Intuitivamente nos inclinamos a pensar que la suma de dos o me.a fun -
ciones peri&u.cas es tambi~n pericSdica, esto es verdad bajo cierta con
dicidn como veremos mas adelante.
Una expresidn de la forma '·
a,')IM.f+a2<;,e.u2f +a3$t,u3f~ - - - -se conoce con el nombre de Serie de Pourier, que al ser los t4rminos
de la serie funciones periddicas es l&gico esperar que la suma de to -
dos los t~rminos represente una funcidn peri&iica. Este tipo de equi"!,
' len9f~<se.: c~iioc:!a desde antee de . existir J .B.J. l'ourier.
Sea f(t) una :tunc;iÓn periddica de período T :2p , la forma :ds
com.i1n de la serie de Fourier es
--
-f(t) = ík.-fa,~rrt+a 2~i1ff 1---+b,~f{+h1Y41f +----
6 +et):-~+ i ra,,~w.,_b"S«t~ : ~ LV -, 2 n=1L' J ~t o{\co:i -
1 ·
.J... T O{ CJ i) fl\.J) 't en que JJ ::. 2 es el semiperíodo de f( t).
_ como en . toda serie, un aspecto bÚico a considerar . es la converg~ncia
de la serie. P8ra este caso hay que analizar dos cosass ,, _·_:.... -
a) El hecho de que la serie sea o no convergente en un ·per!ódo b) Si converge,' · esta ~o~ve~g~ncia sea ha~ia .tÚ)s :~ . ::_·: º · - -
- ~ · ' . " ) . -~ : ·~
¡)
. , - . El problema de la convergencia.tu~ analizado ampliamente por un mateID!.,...---
. ¡
V
7iif -
-G-
tico de apellido Dirichlet y se conoce hoy en d!a como condiciones de
Di.ri.chlet; ~stas son:
l) f(t) debe ser peri6dica con periodo T = Z p 2) f(t} 3eccional.mente cont!nua
3) La integral debe ser finita
Estas tres condiciones son suf'icientes para garantizar la existe-ncia
de la serie de Fourier, pero no necesarias, ya que existen funciones
que no cumplen las conai~i~nes pero se p~eaen hallar desarrollos en
serie de Fourier para ellas.
Con las condiciones de Dirichlet se puede demostrur que la serie de
Fourier en cualquier punto t, converge a
1) í'(t) si t es un pwito de
2) -{ (t') + --{(!~)- .si
2
continuidad
t es un punto
II • CALCULO DE LOO COEJi'ICI~NTES DE LA SERIE DE l"OUlU1'~R Y D&SARROLLOS
VARIOS
2.1
a cada par de términos seno y coseno con igual n se le llama arm6ni-
co del desarrollo; as!s
con )1 :. t. se obtiene el 1'1 arménico 6 í'undamental
n = :< arm6nico se obtiene el 20 1 l I f I , , r
f.
l •
-7-
Fara calcular a 'J1 , multipliquemos la serie de Fourier por <!bJ"'f;f, m :: entero ( +) diferente de cero, e integremos en una lo~i tud de un
período p d+2v vt nf J,.. ~ J.+if?
("$t)w, 11r1TIJ:t =~ Í ('_q,~;un · r1 f ~1>~ .lt )d. f' (l it/+i.p Yl:. I ]
+ bn St« .,, rrt <!.<n >Hlrf J:t <l. p p
Bn que e/. es un punto de inicio de libre escogencia; adeuuts, como las
funciones seno y coseno son ortogonales y ayudándonos con las integra -
les de la sección 1.3 se obtiene que ·
¡:~11 ~o . iJ~~~~Ú:o '/i:;;~(d)~=~º1bt11 p ) J..J f.. p p 7>1=.11
~ d ~ .
aplicando estos resultados en la serie anterior, se observa que todas
las integral.es del . ~miembro derecho se anulan con excepcicSn -de la ól tima
cuando n. = n1 /~ . -. ·. . ·-· -.·d-f2k .. . - '
l~ego - ( l(+ ]&l) ~ 11 = ª" fJ
d+2{> . . -
qn~-{; {-f!").~ f clf. tl+ifJ ·• · . ·.~· -- . . ._ -. -b. - ~--pi (-«f)Stt< ~b
en forma similar ~e demuestra que ,, fJ . · ~-
·'
· .. .. --~ -
·"""'~- '\ - ~·
... ··.... . ..
-8-
a o se calcula haciendo }1::. o en la expresi6n para a., y dado rd+2,, . que _ªº = t J" -(.(l)J:t , es llamado el. nivel ~.de f(t) o t~rmino
tl .
de frecuencia cero. A estas expresiones se les llama coeficientes de
Euler.
2.2 Ejemplos s ·
1) Dado el tren de pulso~{/) la siguiente figura
-. . 1
R.,___ 1 1 1 1
_..., • 1
1 . __...__......_--+~-.---+~-+--+~"'----,..-~~~~t
•Za · ·-a. ,'1 1 1
1
' 1 1 1
1 • ~
• ,____, . -R
a) Hallar su desarrollo en serie de Fouri~r
b) Basándose en el desarrollu anterior de:nostrar que
TT 1 1 1 -- f--+---4-4 -- 3 , :¡. - - - -
e) Hacer comentarios que relacionen la serie con f(t)
Soluc16ns
a) Gr!ficamente se observa que el período de la t""W.ci6n es T:2p:2a. y que f( t) tiene como ecuaci6n [ R OL. f La. .
.f(t)·= · A¿_fL2a -ll \..(.
\ 1
- {~
1 . '
de estos resultados se obtiene la serie 00 · ... ....
-· -: ----- r / ) ~ · - -~-i f1 (1~-~)llf) ~ n l1f - q'ue- expand-ida equivEF-c . -f l'./ :: L 'hU : . ~:. . \. a.
. ~,=::_L._ . ~ .. ) ____ ·- __ ., .. .... .. ·---
. ie ª f(:I)= 4R c~lft-11- ~ Hi".+ 51 'AZff!-1-----) ., ~ -r• ,,. a a a.
. -~ .. -~ . . . ..., ~ =: ~ .· -
. · , ~ ~ .\.~ .:~ . .. ·:::- .
b} De las condiciones de _p;ri~hl.et se sabe que la serie de fourier T · .. +- · t";~.;=-~1 .
la funci6n f(t) convergen ai mísmo valor en todo punto de continuidad,
en f = j;_ ·<--,--~(~) :;;~/! --~-- -:¡·~;~~- . 2 ~ -- -- ·~--...,,- ,.· ~
-...
~-----
·-z ~~ -
\
-----~--~=-~- - ~--~==~~--~---i _______ .. _ ... _.:._. ----····~
-10-
==I_.. ][ ::. 1- .!:_ -1- J_ - -4 .3 5 .
c.q.d.
e} Dada la equiv~lencia entre la ' funci6n f(t) y la serie infinita de
Fourier es l6gico que sus grá~icas sean las mismas.
La.s siguientes grií'icas muestran una secuencia que en el l!mite cuando
n ... oO confir.Llan la equivalencia, al graficarlas simul thieamen-
te •
.Al considerar s6lo el primer tl!~no . -f(f}
Pare los dos primeros tlrminos
.f(I)
Cuando se consideran tres
:<
i \
j - t .
-11-
Como vemos, si se gr~icaran infinitos términos las gr~ficas coinci -
dirían total.mente.
2 ) Hallar la serie de fourier de una fwicidn diente de sierra.
Soluci~n: consideremos el siguiente diente de sierra -{t-1)
-1a. -a. a z«.
La ecuacidn del diente en el período a es -{(-!) = 1d: t .
ser a : 2 p ::. T , f' = ~
Qn =o!¡; f. *t~~tJt: ~~[.~~ o . a~
6 Q>t = R(eo;~~~:~) ~O, 71 FO
luego la serie de Fourier para esta función es \
' .. .. \~::
\
'
y al
'"
. 1 ¡¡ ' i ' ~
l .1
¡; ,1
- ·- -~-
1 L 1·
-12-
. ':. . ~; ' ·<X> _,_ -- : - . . . - .'- .. : -_ ·: .
. -.. - -· ,,. .
r /-;t) _ R ~ A e /l_ - 2ufff j\.: -- - L }tll ~ a
2 '>1.=.I .
3) Dada la funcidn exponencial. e f" peri&iica con período 2 (( , ha.llar su serie de Fourier (ver f~ura) -
~ _/"! .fé - '
6
. ---~ : 1 ·_ -- ¡ . . ~=---- -- - :_ .· ;...----- -~ . . t -rr 7T
de a 'YI ( &z.t n =- o -
-.\ -
\ <
\ 1 : ! !
luego la serie de Fourier ~ida es
r í.J)- ~ .,,. ~r1~,,.ea,Hlf t.ln>tf- 2n~~ff(4.,'lt.,,~1 _ )~; - lT + ¿__ lT( l-1-Hl) · 7T(l+>t1
,,, = I
Jt
-13-
-{(-1):: z~[f +;¿~ t~2~(~n~-~~nlJ] con ~ n7f =(::_i/ 4) En el circuito de la figura, Des un diodo ideal. Cuando la excita-
ci.cfo sea if¡Gi'): V~kf,
a} Hallar 1Jo (f) b) Hallar la serie de Pourier de l.JfJ(-;f) ~
A este circuito se le llama rectificador de media onda, recortador 6
generador de arm6nicas.
Soluci6n1
o sea,
el diodo s6lo conducirá en los intervalos lo lfk) (zlr. "E!{' etc '" ) 11< ) 7i ) /fl. /~
-=--~-
- - 3 ~·-
¡ . /
--~..--,.,,,~~- ,--------,,,-~~----- -~ -=-- --:- - - ·- . 'j'lf . . . . ..... - : ,. ;.· .. - . : ·. •. .. . . . # •• • • •• :, ' •• - • • _ . • • . . . ... : · . • • • • • ,.'~ . . . • • ·.1· . : .. • .
1 ! ~
' .f l
¡, 1 ¡ 1 ! . !.; •
. !
~I i !
. . . . - .
-14-
La gr~i_c_a de lro (-t') es )-_ - - -- --. i!o(+
V
con >t ::. o , ªº = 2 V , para )1 = 1 a I - queda indeterm1nado; . ,, -en estos casos se evaltia el t~rmino en particular a partir de la inte
gral ·rrrin. .-. J ilf/k -a,= _b__ -[J~v~~teu-,ktdl = ~ Sat ik1J.:t =º
~ o . o . % ft"I./. J r ~k(/-11Jf ~k(1+n).11
b11 =#-(), VS&<kf~HkfltJ = ~k {ik(i-n) - 2k{l+HJ L . =l> b,, = º· 'n/: t - Jl/~
.((,""- · } ttf t w..zlflf V ~ n=1. b==l¿Jt~2Rf"J=~Lz-~;2
l,
-·
.:¡;
\
·" ·1
'/ r
.,,
- ---- ·--·-··----
-15-
_e- ·. ~ V/ 1+t.o,>tqt nld • Vo1-1)=X+:f-'>t4~f-1-L._ 7F\:: t-n2 r • • l~ ,,. ..(. )?=.¿
5) La funci6n -{{.f) = ~ '2.r~ . .u)3 /" es peri6dica, halle su serie de
Fourier.
solucic5ns casos como .!atoe, no justifican el cdl.culo directo de los a.,,, y bn ya que resultan integrales mizy laboriosas de evaluar.
Es nu!s f~cil utilizar el siguiente procedimientos 't,j.f .
de la 1'6rmula de Buler e ·- ~t + :r~:r .. se deduce que TI -rt - r.t -I/-etyj t - q_ + €. ).eM. t =- e - e. , luego
- 2 ) .z.j . ~t -I/- < ¿~ e-JI 3
- ( e '21!2 + e-zn- e3-1-3 -re,?> +e . - - -4 ~11 8
-f (-i) =-tz_[:~~i>Jte3I_t:J}(e~e-:r1)} y- nuevamente con_ l~ __ f_~rzil.ulas anteriores pan;. seno y · coseno, se obtiene -
+ (-1)= -k (2~Í-&n3f-&r.>,~ que es el desarroll.o pedido.
Observe que en este caso bn ::. O
a -1=. a -o a.,. --.1.. a.4=0,as- =-.f, ª'=-ª:¡=ª1=---:.0 l - 8 > z - > ~ - 1G -, tt::;J .
)
'·
¡
-~ - . -
'"
-i6~
---·~ ·
:_" -: _::!II~ -PAluDAD DE FU?lc1om y SERIES E.N EL SEMIDOMIÑIO . - .
3.1 Funciones pares e impares
Existen ciertas fUnciones (pericSdicaa 6 no) como la de la siguiente
figura que tienen la propiedad. de valer lo mismo en punt_os sim&tricos
~specto;_ al _ or!gen de coordenadas. Para· tales f'unciones -el eje verti
cal (eje y) es un eje de simetr!a, llamada -simetr!a axial. -f(I-)
ESte tipo de ~ciones reciben el nombre de funciones pares y maten¡¡l
ticamente cumplen con la identidad f(t)=!(~t) para todo t real.
Ejemplos l as f'mic~ones {t(I) = f..tr.j f ; -{z(I)::: f ~J. son
funciones pares •
La figura a con~ci6n muestra el caso de otro tipo de funciones
llamadas funciones imp~, para las cuale1 ~n puntos simltricos la
funcicSn tiene val.ores i.guales. pero de signo contrario en este caso
existe una sime~r!a respecto al oclgen de coorienatiae ll8lll8da simetría ++l'") central.
Matemiticamente las :funciones impares satisfacen la identidad
f(t)•-f(-~) para todo t real.
\ \
\
--
.,
.,r
Ejemplos las funciones
son ~unciones impares.
N6tese que una funci6n como
par.
-17- . '
Se puede demostrar que para las funciones pares e impares se cumple
quei -Y ~ --t' . __,,...- . ----- ,-¡
par x par = par; l.llpar x impar = par; impar x par = impar ; en forma
similar para el cociente.
Para las funciones pares e impares se cumplen las siguientes identida
des ' f!cilmente deducibla de las gráficas Q..
Si f(t)_ es par .:=> (fM)Jf = 2 ( -f<l)J:t a .
Si i'(t) es impar~ í -f(-t)d:f ~ O . -a
Ejemplos:
--l) Demostrar que c~quier funcidn se puede expresar como la suma de -
una par y una impar.
solucidns la siguiente identidad nos permite hacer la demostración
-((-t)::: 1.. -/{(1)+.{?-f)1-4- t [-«1-)-.((-t~ . i. L1
\ 1 / ~)
al cambiar t por -t · · ~si f \ 1
f(l)-1-1(--f)::; -{(--1}+.f\1) __ lue~o -{:(l)+.-(\:.1) ·, . . ... . .. . -· ~- ' :- .. :.:. . ·.. ~ . •' · -· . . . -: .
-{a)--{(-t)::: -{(-:1)--((1) ==-[+a>-{(--!) r ,, es una función
·' . par.
luego
-18--
. -=~ _ : '" _ ~ {_ (/) = .f(t ... p) p s_emipe.r!odo; demoe_-;rar que · el deaarroJho en
serie de 7ourier de f(t) no contiene armdnicoe impares.
. .. Demoatracid111 por el ,,d•~•rrpllo de FouriOr ;¡; como ' {( (-): {(f-p) ,
:¡;;)·:·~ ·+ <:t-"_~111-+ h., Y« 11) . .f<i-p)::. ~ + t, la., e,.,lff<t;t>+ h11 S4t8JCt-t>)] · .
. ~(?.,~!ft+~~~J=Z fo.,~~4>)rb.,~,r1iJ . . . ~
pero 6n1f(f-p) = ~>tll~1f+<;4tH71~7f /-
/, ) ~o Se«xlllf-f> =~lffT~~t +~NiT~lfi!íl.
00 p .1.1 cor- t> .r • luego
tf-116si~f +b1r~'J =?-: f .. ~11-t~b,e,,-~J!'l¿ t f "~~~~.'f/+ ÍJH{t4Hff)fh~1~0
1( -/ : 1 - .. -· \ ~ - .. '· ' ·. . - . . . . . que por independencia lineal del seno y del coseno
l
\
1
rl
- . , .
-------------------------·- . . -~ ~ ~ -r'5"
-19-·_-
t1ll(1-61>nñ] :.O
para >1 par e.en 'lilf ::=J. =t> º'¡/ª~. -=-o} a>i f. O
para n impar f!ro~IT:-f ~za~ :.O> luego a~= o
con el nl1.smo andlisis para b>t ( i -lo,>tll) = O se concl~e que
an : bn. :. o para Y1 impar
3) Demostrar que la paridad de una funcidn no es una propiedad intr!n
seca de una forma de onda, sino que depende en~casoe de la ubi-
cacidn del or!gen de coordenadas. · . 7 Solucidns el andlisis de la grlific~Jiguien~e nos confirma esta aseve-racidn. . · . i ~ ~ ~ ..fl
1
_ _J
Si consideramos o, Si consideramos Oi
· 1 l .<' . . i
·-· . ~· ... _< • 1 • 1-1 1 i -, ' l _f
1 O, o, o'J ! ' 1
1 . ' -4-
1
- --- -...._. _ ___.
como el or!gen d~ , coordenadas f(t) es f'unci6n par.
como el or!gen de coordenadas f(t) es " impar.
y finalmente, al considerar O~ como or!gen, la funcidn f ( ~) no tiene
ningdn tipo de paridad~
'
\ l \
. ~~-
--~ -- ----~~"
-20-
al iniciar la iptegracidn._ en d: -h , . entone ea - ·_ . -~ r p -;_
a.,::f; {-«-1-Jc,,jYfH y b11:f (-«f)~'ft~ -p -~
_ si f(t) es par, -{(l)eu, Hfff es par y -{(.1-)<;i.u 119 es impar
- r" luego .. a., =:, _,, J/f:l-)67;-,! Jt-- y:' b11 = o -
,.
si :r( t) ea impar, #)e,,, '1! ea impar y -{ (1) ),e¿,_ "f! es par
r1> -luego Í>.,::f J/(l)~f!Jt y'ª>t: O
Ejemplosi
l) Dada la .funcidn peri&iica -((/); fl _,,-¿f_¿_lf a) llallar su desarrollo en serie de Pourier
b) Basdruiose en a) demostrar que
TTz - 1:... _,. l:_. + 1:.. + - ..:_ - - - - . ~ - !z 22 3z
Soluci6ns ·
a) La grdfica de f(t) es
-37f -ZTT -71 como claramente se observa al ser, f(t) una función par, htt: O y por tal
... :
1
\ ,·-
1
i \
rl . r 1 l.
\
-21- ·
a.,, -_4_eu,niT = _4._ (-1)n - i) z f12
, como 0 0 está intedermi-
b) Hagamos t:::. rr en la serie anterior
, .
.;'
ficar se llega- ~ que c.q.d. ' . .
' ' ' • ...... '·
.... - ' .~ . - ~.:. ..-.: :" : ·. : .
~' 'T -
2) .Una función periddica tiene como ecuaci6n
·:_((:1) -{etnf o¿f¿-lf . - -t.tnt lT ¿f ¿ 2'/T
_hallar su , des~r_o_llo en serie de }'ourier • . ',
. .. . ~ . . . .. ; , : ___ :,
. .
Solucidn: Grafiquemoe la funci6ri
-~-
- - , . ~-
-~ ' · -~
-22-
f(I)
1 como se observa, la funci6n es impar y por_ tal _ a ... = --º
T:. 7T: 2 p , entonces
• Al ser ----- rl~
Í 'Tl/z.
b - 2 <!A-Jf Xu. 'Jliíf Jt =-1=. ,, - Yrl Jr/.,, <.
11/1, o
lf/z
~H-·ll + &;n(2H+J)f "~ j~-1 2n+1 u
o ~n f . . .
b.,, =~11'-1)7T .
• ----· -- -. -~ gy¡ _ ~int-::. L[St.«21+2S&<41"+3ItAD.,_] o , _f(J-) = {:¡ ~H~l)ff ff 1,n3 31'5° ~":¡. J
3) En la con.figuraci6n, el transistor emplifica no linealmente.V c.(.
Si 1}1(/).: /1 '>t«Wof y la salida es de la forma ~ ~ ... R ..... '--tJi(./) llz(f)= k, V;(l)-1- R2 7J,2(t) 11,(t)
e Hallar las frecuencias presentes en la salida.
soluci6ns Para la señal de entrada, 'll¡ (1).:: fl- S'ec.< (J)" f y como
(J)o = 2TT.(o entonces en la entrada s6lo ha.Y, la frecuencia {o y
un nivel DC cero.
'
\
·'
'"
r
·,
-23-
Ahora, 1Jz.(-I)::: /9., l}¡(l-)4 .. hz._'l!/(t)=
y como ~ 2 (J) o f = ; ( 1. - <!.In 1. WáÍ") .l entonces
' ?
V-1-(-R)=1J.k1~Wof-i !3tA2- k;R ~ 2wof- que es preci-
eamente la serie de Fourier de V"z. (./) ; al ser ()Jo: z'flf, , 2(J)u= z'ff{"l
~I: f¡, f z: ~ , en la salida se tiene: un nivel DC 6 frecuencia cero
"'R nZ debido a J:9..!!. 2
• -( i :::. Wo = 2 rr.(o = -{ 0 > ill z.rr
--~- · -- lllJo - ZTf.{o zf 6 Z - - - - o ; · sea las .frecuencias zn rr - .
3.3 series en el semidominio
y
O,{o ;2{o
cuando se analizan problemas con valor en la frontera y de otras natu
rale__g;as ee presenta el caso de tener una funci6n que solo existe en
un interva.J.o, rtendo cero. fuera deñ y que adem~, se.-neceeita repre - . . - - - ·- - - - - - - -- .r - -
sentarla mediante una serie de Fourier vdlida en el intervalo que por _)
afinidad llamaremos _(O,p).
Sea f(t) la fllllci6n definida en (O,p); al ser no peri&iica, e~ deearro !
llo en serie de :rourier se puede establecer si extendemos su ;dominio
en tal forma que la convirtamos en ~ funci6n peri6dica. Dependiendo
de 1ae condiciones de frontera asociadas con f(t), es posible que est.!
moa int.eresados en un desarrollo de :rourier de una frecuencia fundame!:
__ tal determinada ~ . y nula a'1n, de ':111 desarrollo en solo funciones cos~no (desarrollo par), solo funciones seno (desarrollo impar) o un desarro
llo completo en senos y cosenos. La anterior apreciaci6n se puede ver
=~ - "· ~-
- · . '$... • •
- W77 77zr= -=== -
-24-
claramente en el siguien~e ejemplos -_ - .f l-t") .
-~__;..___~--· f
*' Sea f(t) la funci6n del gr4fico que obviamente no es 1
peri~dica.
Si definimos f(t), f'uera del intervalo, en tal forma que se convierta
en: ~ - --- --- -- --
a) una runci6n peri6dica par, ot:>t9_f(l~ª les siguient~ extensi6n
~----~....,c:;..~......_~c__---__,;:=--ii~--~~ .. f 2f> rflt) ~
llamándose a este desarrollo
Desarrollo en el Semidominio en cosenos.
b) Una funci6n impar, como ilustra la siguiente gr4fica .f(t-) - .. -
/: fl
't., \Q l
\
- qP -// "\... \_"
~l\\ / '( En este caso a.,.;:. o y
. /> b'tl : f; ~ )9-t.t-;f f U; a este de-
sarrollo se le llama Desarrollo en el Semidominio en senos.
\
'"
.;r :
V----
;Y.. ,,,
,,
¡ 1
) .. "'
-25-
e) Una !unci6n sin ning&n=tipo d.kl)aridad, la gráí'ica ilustra este caso
' ~
---i~---~--"~~"-_.~___..~~~--+t
Al no ser f( t) ni par ni impar, su desarrollo contiene t~rminos en se -
nos y cosenos
t/..f-1/> .
011 = í [jtt)e.a,~Jt y
Ejemploss
l) La gr!rica muestra una ~unción f(t) en el intervalo (o,s) .f(-1)
_, ( .{., ... )
a) Hallar el desarrollo -en -·senos de Fourier
b) Hallar el desarrollo en cosenos de Pourier ¿ .
e) . Hallar tci: · desarrollo en senos y cosenos
solucidns
a) pe.ra hallar el desarrollo en S.enos, definimé>s a f( t) fuera del in -
terval.o (o,B) en tai forma que se convierta en una funci~n periddica
impar, como. ~e ilustra a contiriuacidn
/
con 2 p =- T ::=. J b > p - 8 ~·la ecuaci6n de la curva es
' ¡ \ ¡
r
1
11
tl
r ·~
.. . . . ·.-.... - - ~ ·- . ~
- -26-
. - . --=- ··
-
+ti)= { t ot.f¿4 \ - - --8-f 4 Lf L. f \-j
que al -ser una función impar, ª" =O • Luego,
'
\
b" =: r~~~h+i<;-l)~~J:t - o 4 oa
. b~ '::: ;2;.~ !1f => f(-1)-:. ¿ !?-,,/>tA~f!~!!ft-'n =..I t
. \ b) En este caso construimos una función par .
. .- +(I) -f (1) f ~ t14·~.uü~ ~-_ _ 4 ~-gd<l! -
_,, - g -4 4 ~ ,, r 2p=-- T = /( > p::. 8 Y como f(t) es par,
an = ~ 8l&nvrdt + {!e-t)ewqtt"7 y por tal
Gn = n~;. (2&;~-0n>tn-- t) - t
..
- ./ -
:
----~-......_- ----
con ,,., - lfl a - 2 11_v) o-g-
-27-
---\ 1 '
y la serie de ~ouríer pedida es
_f(t)= 2+ 2 ;~z(2~1-~111Tc-t)~u¡t )t=.f .
e) Si se quiere un desarrollo en senos y cosenos, definimos a f( t) en
'tre -8 y O en tal :!orma que no {{t. ;uncicSn par ni impar
4
- -- .. -. -- .. ·-16 -8 -4
.· -,
al suponer a f(t) cero entre -8 y o, los coeficientes de Fourier que
·~b~i:·¡[ºnj;~b-f r;~~Jt_¡ f !r-1)~vtu} 3 -e _ t - 4 . .
.·· • (l>t = L(2~~=-¿,.,_1) . »21! 2 . 2 .
ªº = t [c:Jt+ L~~-1)1= 2 .
byz :-gi r:.&+ f~cdJt+ it-1)~~" J_~ o . 4
-28-
\ :
1 -
\ r-l
' !
\
si multiplicamos ambos miembros por f(t}° e integramos en un período
entonces, dividiendo por p se llega a
rh 00 ( "l. ,) -í:- +(1)1t = ªº2-1-L \a.,+h>t c.q.d.
p -[, :l Yl=t
IV. FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER
4.1 Forma compleja del desarrollo de Fourier
r--··
' -
l -¡ l . ' f .:,"- . t . ~ . ...-'
\
. .
-29-
)
La forma compleja es una expresi6n e4uiV~lente de la serie de Fourier;
esta forma es muy importante en el análisis espectral de una tuncidn
peri6dica al igual que en el contenido energ,tico.
Seajc;)•:•;; ;¿_rl'ªM ~~-J. b)f Seu!!fl 7 ~ a.c.-/ TJ J
d4-lb (d+2fJ
<J..w =fi i-({-t}ec-,f/Jt' b11 = j; Jf./-))fuf/ J:t
si llamamos 11 1 - 'H 'ff frecuencia angular de la señal, entonces - \..V - f?.
-{{t)= fk +Z f a>lea-,w;t-1- b>t ~wt] ::i. .., = , L ' "-·P/1 .
a -1-J!~)~td b>t :_!:._ r+(f)~w;fd.f H - ¿., -K"t . ) . p J; .
,., d.. .
-lje + ~ De la. f&rmula _de .Euler e:- = ~ B - ~e se tiene que e.re e-re
y ~e = . , , luego la se-2 .T
estableciendo las equivalencias
-~=-
_ . ~~
..-!
1
1 - -
1
-~ -ªº' L..o- -' 2
-30-
~~:· -~
la serie de
al extender el dominio de n a los n~eros enteros la serie anterior -
se reduce a <::>O - - 00 . ·
~ 1wt., w1 -{(1-) = L_ @11 e .::: ¿<!ne
'>1.::.-oD >1::-oO
que es la llamada
la Forma Compleja de la serie de Fourier.
4 .2 Eepect1·os de amplitud y fe.se
Cuando el anfilisis ae Fourier se ,.aplica a la teoría de la modulación
son de importancia los espectros de amplitud y fase.
Dado que (! h ::: a~ 2_ Ib~
argumento <} n
es un nmnero complejo con módulo /e_,,,/ y
1
/
1
l 1
or
a
::.. _, .. e<;. -· . :: ~· ~ ., .,
~31-
:. a gráfica de /¡; ./- va: +-bf: ¡C>t - 1. uJ se le 11.e.ma
"E;a ;~ ~ ro di screto de amplitud de f(t) y a la gráfica de
~11 =. rcw_-0 ,fi."' ~ versus úJ se le llama Espectro dieo~to :.e :'ase de f (t)
:!;.a-;as gTáf'icas son discretas ya que W = plT ::..:.s ~rete porque n es un ndmero entero.
ea una variable
ea: rt.mos , (!., :: a.,, -Ib11 , e->1 =. a>i +Y b11 2 2.
por lo cual
I " (o::/ <!-n(" 1 Va:.; b~, y al ser U) - )JJT - fJ
I"YE.:dos que la g~fica l~ul V U) es una fwtción par, 6
.:.~~..,.e - e s/p;ct:~°(e b:i~d es una funci6n pa: de U)) tambi4n,
V\.U- y de la trigonometría sabemos que a~ .
.. :: Tw4 -1t._ es una f'unci6n impar, luego Etl''··e·spectro de fase es
.. ·······
'
' . - -- ·". ~- .
~B~ su s eri e co~pleja de Fourier
: .... : ~-= - ;:,.¿¡: s us es pectros discretos de
::" ... - -"""- "' .I r • - ___ ___ ,
"
- i ¡l , i
~ · · , r
1 !• 1 . 1 • ! 1
• 1 . , .... _. __ .
i . 'ii:,t.
. . : : -.. , .
tt\ <: i :l . · ,
., . "
\
·. '. '_ '
!.> ' ·. ! ··-.... ·-
¡.
.: i'
. . f:
: L , ¡ .:-: .
\ . ' '-. " . \ .
_/
-32- -- . -·
... - . ~ ... ,. - ~ · \ ~ · .; ; ,' ,,.
siendo la serie compleja . .., .. ... ¿oó ~~:._:::~:~·~ ~ 6-'.J ) ~.
, ·
n=-o0 . ..
. ;:-. b )-:-. :' . " ' : . -. . " -" .. . . . w = o/! = n = - --: --2' -1, o, 1, 2. 3' - -
' - - _ J
~ ·.. -,·
:(/!! i__~ g§ ],, e 11 = /? -~'i(HJ~ ·~ (<:11/- 85 2rr "--' ' -Jn. 1 + }1 ° - 11 -t1-rn ~
.'
n -2 U) -2 /e~/ 3f
~ 0n ... -G.3º
la tabla .que se ilustra a cQntinuación
nos ayudará para graficer
-1 o . j_ 2
-1 o 1 2 -
Go g5" bO 3g
-45° Oº . 45° &3º . Siendo los espectros los mostrados en las siguientes gréficas: - le"r .
• T . ,.• t
. '
'ºº 90° ' . . . " ~ • 1 . . .. T •. f
. ·~
' ~ .. - ~- .. - ; - .- ... ~ - -·
·"''• .,,.,,_. : •• ~.· -~· r,•<:"~ ... -..- .,,. •·. - " .. -=-- · .. ·'·-·· J~ •
i l j .
- !
¡·
•:..,,
. :~ ;
- ~ ?--,
\ .•
..
, expresarla
es ~a expresi6n deseada.
de P'ourier.
- 1
<!o= ao - . z
.... •. 2~
. ... ·- ... ··~ -~~·- ~ ··- ..•. , . . ...... -·· .-~ --~ .. _.,..,.... . ·~· .. •, ~
3) _Dada_ l~ ·;~~-¡6n· -~:~~~~c; -{(-1) = Y-4 'fj- _ . -~ ; a) HSÍiar su ::;;erf~~ -- --- ··- i.:- -·-· · ·-·:- ·e-·----· · · ------- ------- - ····,-~···--.--- -'.
.b) Hallar su serie compleja de Fo~rier •. ------ _:._' __ --·· · -- _____ _::: _____ _
e) , gráficar su espectro dis_:re_to __ de amplitud . e- ~ --: ·-·· :.·· __ í : ... :~ _.> ___ _ Soluci6n: .:· . 1~ · 1 -- : \ f-1 .:~ \
.·~<iii'~·· .· 7 . '"·'· .. . ·- ... . ... ~ -- . - - ··· ·· .• .f 't ....... ."..J~ _ ... : . .... . · · Utilizando identidades t · 1 · - ·-···-··----·-· rigo,nom~tricas se obtiene que - . - · > '
f(f):: ·Seu '1;f = ~ / - . g (l)
·'f a) si T es el período : .
~(f+T)= ~4(t+T) ~¡- ~ e.ry(zt+:a)~ i ep,(4f44T)
<!.en (G+2~n) =~e .·" !
como n , entero ··~
·:. - • +) •
de <;,u-> (zt-1- 2T) , 2 T- 2Tí'n1 ni-o -tt-t-2+.3,---- . ') ~- ,-_. 1- ,- -~
y d~ 6:rJ(4f.¡.4T), 4T=21Th. ) h = o)!. t ) ~ 2, ±. 3, - - .;. -. - -
\
y
'·
~4f-.2 - 8-
la serie compleja pedida.
-34-
~· ~:
e> Dado que T=. 2p ~ 7r , W=f =- 2n· y con el desarrollo
de la parte b) podernos construir la siguiente tabla
n -2 -1 o 1 2 w -4 -2 o 2 .. .. 4 ,,
·e Yl 1- J_ 3 ..:. t _1_
8 --:¡-¡:: - 4- 4- 1G .7~}1/ i 1. ..2.. :L .. '.:L. -··
r;: -;¡:- e.? I 1G ' '
' -Con estos datos se construye el siguiente espectro
- -· - -. (~H. / - : . ....... -.. o . .s-· ..... _ ·--· ~ - ~·; ,6-. .....
(.J -'.,
. -. \
'.~ - · ~_;_ . ~::. .\ .. ~:·_; .:t ..
. r · ·• .. . ., . .
< -=.~ -
/
' , , _;
4) ft(f) y f z.(1) son funciones.· ~~z-Í6cticas de períodos 7, = 2 p1 ' ~~-e~~~cti·v~me~te; · ~ajo ~ué ~o~~:ciones --s.ere {, (i)+ {i(f)
,. - ..... ····.·., - -. - • r
. ' 'i.' '
peri6dica ? · . • _,..,J '.
f~' .. e";: -:---~-.· · .•
... ¡
~ .
• 1
- - .. 4-'.'
r l
; I
o
(.'
?···, - f·;~
.. F ¡: ~;
' /~
¡. ·--
'\,."¡ l .:~ !i
-- ... ~ ... _ ; . ~.(l) .
. ...: ... .. ... . ~,.. ........ - ""'·--. • .', . 'r
· ¡,. j
~-.· ..
'
•.'' ~ . ... ": ·; -···.- · · .. ..
entero
·:¡ ;. ... -.~~ ·.r- _: 1'f .. }: .:, ··: ··>:. .. ~:~--~~ 1 'L.:1.~:t:;-:!J ·I'
entero •. . .
"' ""' -.. --·-- -~ -:- J
6
ser~ peri6dica siempre y cuando que 7i4-. . / 12
sea un nthiero racional •
~ 5) Basándose en el desarrollo de FolU'ier de :{ {!):: e_t" O c:._j-<::.2 TT
---
\ .
, .
·, \ ' ·· ' ' ' \ '·
-}6-
! . . .
hallar el valor numérico de la serie infinita
1-+_l.-+_!:__-+ L + J.. 1+J.Z 1+22. J..+32.
··-:.:· . . . . ...... ,_.
. f' .y . . -.::. ) )
!V / ..
<¿jiL· ,
---- . .. ·- ,~ .. -4n . I¡
U1/ _,.... ·, .- ;' l/'I
en el ejercicio # 1 de esta secci6n v1.mos que f · ·, . oo zff J 1.1f Z°'° /Jiff I / ,\ JU -., ·· ; -~ e - 1 e ... '<:. - t.....'+Jii;f!. f(-f)=L_2TT(t~]}1) .::: 2ll(t+>t1
)
. n::.-o0 n =-"' . Seglin el criterio de Dirichlet, en t=O, esta serie de Fourier converge
.....
I
al valor 27r - . J +: ,•n- . . ·. ~ -· ·. e -f l ' luego .. f.,f o r~-' . ·. 2 oO ezlr 1 ef"+ 1. - ~ (- ~ \ (t + Jn)º . /por igualdad de - _ ~ z~i+n~
' 2. n = -ce o0 ur -" ,, nómerc complejos (!_ 2ff_ 1 ~-· e - Í _ X----'L--
.... + =- L- 27! 1.+n!-2- . )t::::-oO .
/ exp. andiendo e) lÚ timo resultado .. ·. --·
( e~rr+ í · · 2
·:z · · 2 · ·" . · ~1T~7T . rr ~~rr_ i . = t-1- 1+1 z, -f. 1-4-2z.._-+ 1+ 3 "2 + - - -- -
. _. . . 1.. . , :t. . : i. + 1- -f - - ~ - - . _:: .1.. + 7T ~ T / • .i + 1+1" ~ 1+2 1 3 2\f\ ··· - 2· ~ · ..
..... : '• -.! ,.. . .;. ... : "" _.,. . .. '-..
: .. ' ~ ·- ,. . ·~ ... ,, ~ ,.. ....
. .. ~- :
-.
'-
" ,
-31-
6. Si :f{x,y)
es una serie doble de Fourier, hallar
Soluci6n:
Lle.mando . l •
oc> .... . ·
: ._ . .:,_ __ _ ,.
:<>,f(x·,·j J' ~ ·z-;<n Se4 ~ n : / · , que al ser un desarrollo en senos
{Í<~.j)~ ~;~-d:J o F . .. ~} ·. ·' . . ~- .
Si aplicamos el mismo razonamiento a (1) ' " l .:
(. :~ ~ m{,{d;t_ ~~>u~ = fi~• o . .o
_.,. .• - .r ."" -~-.. ;, .C9d~ <::~7'"J '· . -~- ,' ~:.. " . .. ,.-. ~-: ,'.~ '·': ~ ...:
cuando se tiene una funci6n peri6dica f(t) de período
Ior. R.M.S. 6 valor efectivo se define como
j_ {'7_r y_,)d:t 2p -p
~ . :\ '-.
;. ;. -
, ~el va -
,Por ejemflo, si {(t) = ~<;eu..kf de período T= _]f, entonces
l.4M.S. = \r k{;~~,,);_fJ.¡."1= _/]_ .· .. ·. y. ~lf -1!"/h .. . V21 . . . : ~-: .. -·
en · far.na similar, para una Ol'Jda coseno VR.M.~ = y para , ,,. 1
;
1' ¡
r t r
t ¡ !. i
f¡ 1 ,. r
! i
. j.
_i
i
. ¡ r. - - -
~;:
t .
:f(t)=Xzcte su valor efectivo é's VR.M . s:;= K :, . - ..... ~~ .... '.. ·~~•, _ ..._ \--
La potencia de una funci6n perÍ.6dica se define como el cuadrado de su
valor R.M.S. ó sea
P- .!.. - 2p t . ' :.:. ' ~ 1 .
Si 1!(/) e Z(-i-) son los voltajes y corrientes instantl:Úle os respec~
tivamente sobre una resistencia Rr de la teoría de los circuitos se
sabe que la potencia disipada por R es
. ,·.,p~ i 2(t) R =. ui-t) . R \· ~~ ". . . -
Luego, si f(t) es una onda peri6dica de corriente 6 de volta je, la ex
presi6n ,: p
t ..
·~ " ;~ .. y:;.. .. :. ,".~·nP. . 1 (-+ z(-f )dt. ' \ , , L. ' · " ~~\ .~ -~~ '., . =j Jr. . - . .
•!. ; .. ' : \ " · - ' ., " . . .- /,,, .. ~ ¡·:.~ ,-
--"-
/ .
~ ... ··
--se interprete como la potencia dis :J.pada sobre urut resistencia de l n
veamos ahora como la identidad de . parseval nos permite establecer un
teorema importante en _la teor!a de la energía de las funciones perió-
diCas . . • - - • ,, . • t :. • -: _ ... ~ 1:; ..
Nota: la energía asociada a _cualquier .fur1ci6n f(t) se def"ine como
E~ {°:t1) cJÍ-----, ~::~'-- ~-~~- '-, - -/ -t ..- . , ' ~ , <.; .
oO ,•
./··' -Teorema: La potencia de una función periódica es it=;ual a la suma de
, . , r·
las potencias de sus armónicos. '-·· · " ..... . . \ ~
i .- . ... '.} 'J
nem~strac1-~0: +sea :;. ·~nr· e.:. e,..F _º.ur:,,·ef.~ +. -. bM (A· : fol!." 1. . -··:"'·+{/) = : "'V{)) vd~,c ,, ~ n
>t = t
...,. •. --.: ..... ... , ____ . ______ • _________ _, ___ _ ----::---:-···-.· - .. - .::.:.. --:... .-.:~.-=: .... ....-.·._ ..... ,...,.,-.:. . ..:_, , • .••. :.. .... ,,; ,_ ... ;'."" ...... ~,.;_..:;:-.:.: _:¡..,....~-~-""".;.;;.,.~.~'.<i~.l--'"1~ "''<;""''~"-~'l:';-Y""K'""",t:~~~~V":~~-~~~""'-~
~~=-=--=· --.·~=·•,.w•«~" ·-,.-~,~· ·"•~~-··· ~----~---~~ -~- ,. -,,.,: . ... ~ • .._, , . .-~ - .. ...... ~----·"'' ..... f
-i.
,¡.,-;,
u
· · ~
' ~· j'
·. º l
-39-
del "'siguiente triángulo se tie'ne que
en -que
mino D.c. que es • Ahora, la potencia de u.na funcidn sinu-
soidal es igual al cuadrado de su valor R.M.S.
2
potencia de ac> , es tl..9 · , arm6nico de orden cero .l . 4 . - . '
Va~ +b; 'i;;(11f -o{) . ' •• ª""+b~ "z.
··. potencia de
.. ¡ 1 .
la potencia del a.rm6nico en~sillió• , . •
y es
/
como el t~rmino integral es la potenci& de f(t), se deduce rdcilll'lente · ~ue Í
·.·~"· / /
·Potencia f(t) ~ Suma de las potencias de'los arm6nicos c.q.d.
Nota: cuando una funci6n no es peri6dica la potencia se define como
f Tlz ·
i -{ l(-1) c{f- ~n que obviamente la integral debe
T · ser convergente. - 7/z.
..... ' , -~>~k:> ~~ .-~ .
, , • ..-... ..:;"''..,-·~~1~_ .. :~
.. - ~--
1
-40-. ~ ... : -
Ejemplo:
' séan · -{,(i) l -f:z(I.) dos í'unciones peri6dicas del mismo período; qu~ condici6n deben satisfacer las funciones" para que
.POtencia d·e -f.(l) + ·;~tencia de {z(I} -= Poten~ia .de [f,{.J) +-{2 {f)]
soluci6n: t •
Potencia de fz(I) / . ~ - -
son· ortogomües en un período; 4sta es la condici6n pedida • .. .., ,· -::. " -. "' , .. ... .
4o4 Ancho de banda de . una !unci6n peri6dica '--- ~ ·. ~ ·~!".~ I _ / • , · ' - : •
- : : ._ . ~ -- ~ ....
Según teorema de la secci6n anterior, la potencia de una rU:nci6n peri6-
dica est~ contenida én sus inf'initos arm6nicos, 6 sea
- . ..~ . "' . ' .;:, '"" . ,_.
;:·.,_
•·
' ! ~ ,.
-41-
ahora, en la meyor!a de los casos un gran porcentaje de la potenci·a
de una señal est~ contenida en los primeros arm6nicos, ya que la am
plitud de los arm6nicos de orden superior es pequeña y la energía aso
ciada a ellos es despreciable.
Por ~sto, es costumbre definir un concepto llamado ancho de banda de
la señalo
El ancho de banda de una funci6n peri6dica se define . como e{ interva
lo de :f'recuenciea, partiendo de la frecuencia cero ( ª¡!<) , den -
tro _del cual est~ contenido el 90~ de la potencia de la señal.
Ejemplos_: - 't~
.• ... :.
~) sea f'( t) la función peri6d.f (t-)de la situiente figura
R . /
;...;""-~-----F.----'-----''----+---fll> . t a. 1 2a.i
1 1 ~ l.
· t-·---1 1 1 . 1
/ . ____ ,'. 1 · ~. :
.:. ... · ~ ..
a) Hallar su ser~e compleja d~ Fourier
b) Graficar sus espectros de ampljtud y de fase
e) Si a::;. /Q-':f seg., hallar RU ancho de bahda
.. ~oluci6n:
a) El período es
1
• •
' ~ ,
·' ·..,,. . ¡·.
' ·~·1 ~.
I
t ! ,
•fl
l.
i ¡
1
' 1
.
/1 ·- fl Lo_ --4
b) La tabla de Ía .página ~iguiente nos " ayudar~ a gra.í'icar.
~-.
. - _:ii
con los datos de dicha tabla, loa espect1~s de amplitud y de fase son _ - / l ~., I . A\H . , .,· o.s-, -· · - . -·. ' · ·9o :f'l • •
1 . . ... ~ • ' ( ' :. . • 1
' .;a _zll _Ir ú. a. el
;, :: .. ~ ·: ~ ' ~; .. ...,, . .. .. .. \
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1 1 .
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]Tí 37!W -a a.
• .z •• •· ' ·'< ~ ·.
_3i[ -i·rr _,Tf o 1T lJI 3Tr ~ Gi Jl ü o.. o.. 1
1 1
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(1)
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P . ~ · '"';~' ¡· •.. ,,.~:!f¡;¡.'$ '- ., . "' ' , . ··: ..
¡ .. f.i·
~ r~ · -43-
-·-
Y1 ... 3 -2· ~1 o t · 2 3 w- ~11
_ 3rr 2rr =--- - --. --u:. .a_ - ·'2-
TT o TT/a 2TT 3rr --a.. -a -a. ' . e)'l ~.!.¡ +I. _AJ
z $( 11, 47T gt~.f~1 - !l. ~1-Y li T ~!-i 2 112 .,,. 4 ~ ~ rr) -4Tr 'Jf!l. TT,
' ..
/e)tl O.!G ~ o.og ~ 0.4911 .. _B:_ 0.4~R . . .
4 0.08/.1 0.1(,fi -
rp" - g(; o ~
- 90" -f-8º o 1g.º 90° gGº .
'I
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... ' • J .. • O~ ' ·, - r I O·- o' •'
• I~ - '••
"l .- 2/J --3
; -
. verunos cuántos té1 ;¡¡j.nos hay q_ue tomar _ tal que su suma sea o.t/1 '¡i
apr.oxirnadamente
' . z
--.....__
·., - ··,-•. ·' .
'(:
. potencia l
,,,.,,_
Potencia •· ... . ~ ... - . '"'
potencie
'.
Potencia
potencia
7 - • ¡ ..... . ' - .. , .. ·, ~ - ~·.; \
? nivel DC s O.Oi25 /1
' \
l• a:rm6nico .. ,.... __ ... .. ' -
2•
3si
4'1 . .
~6nico
arm6nico
arm6nico
=
=
=
:::
0.4802
b.0128
0.0512
0.0032
• . ' .
~'l
Ri. -- --- ....
R '2.
A2
S~ando las potencias hasta )1 = 3 se obtiene el 90~ de p, luego
Y·{= 3 . 2a.
que al ser a.. -:¡. :: /O seg.
\ ·' ·, entonc Efs _·_ . ( ., . \ ''\ "· ;. -t 3 - J?': Megahertz - · -:f -~110 ~
es el ancho de banda pedido.
?) Un generador trif~sico genera voltaj es iguales pero desfasados en -
trP. s! 120° , m~(.fjticament~ hablando
/ ~ -- • . .
. ·. :
~ - -· ;. '
) : . . ~-·-~
1T, (+}= f}~(wt+ e) · U-z.(+) =A-· ·~ (wr-1-e+ 120°) -
ü3 (+) =A'r.(wf+9-1-Z40~ Demostrar que:
/
r·~-:~~~~~;..:....::,¡,t,. .. ;,&j,¡¡j.,~~-· ;.,.'".:. .... ;.,"'"'"".;,,,;;.w)~~:.i::.., .;. ~ ..... _;;.~~,~,~----·~-;,~----~""~;...,_,.:..;~l:ü:'{cl.;,.-~---- ·-- - --~ , .. ,~ ... ~-·-:'14 .. . j
1 ! ·>· .
-f'!
' ' - '• .' l
;, ·. ,;
,
~ \ ~
- .
•"
-45-
a} En_ todo instante l}¡ (f-) +V¿ tf) + Vj (/-) =. O
b) La potencia to};al instantMea entregada por las tres :fases es co?lll - tante.
l)emostraci~ns ,... -. . .
a) Por identidades trigonom~tricas
6
llz (i )= f/-SGu.. (wr+ e)~r20+ A 6n(w~+e)~ 120º
lJ3 (1) = ft ~ (()),f +e) &n 240"-1- fl-&> (wt+B)~ 240º
V-i (f) = -0.,1;·11~(wt+e)-1- V[ ft ~(wt-+e) _.tl3 (-t) =--o. ~ll'Al(wt +e) _JB 1-f ~(wf +e) . . . 2
_ . Y . V-, (1 )= f! ~(wt-+e) ., -~·. · __ -'lh(f)+ lJz(f)+~(-f}-:.Oc.q.d.
4 • j
. b) segdn de~imm.os, la pote~cia- inst~ntW1ea de ·una señ~ 1'( t) es { 2'~)
Potencia llt (/.) =: /J~2-(w:f +GJ) -. ': ~
·. . ' ~~ . ·. .
Potencia llz (1) = 0.2>4 kl(w.tw )+-}- ~ ~/~t+e )- cl?J fl~(¡pf+e ~!Y-e) - . . . . .. -.. . -· . . . - . . . - - z. . . - .
· Potencia lJ;(+) =Ó.2~11.~Z(_<Uf+e)-1-J _lt°&n2((l)f+e)i '1! fiz.[A(w~~)~w:t'-ff;)
.1 - • . .-
/ ~ - - ... ,.
Potencfa [Vi(;) +ü• (f )+ ~(/} 1.= JSll2CA ~(wf +e)+ -{ 11 ~~(wT+e)
.. . .. - f.)I:¡' r~¡(wt'+e)+in2{wt-zaJ]= 1JilJ2.:::.<fti 1 1-i
'.
-46-
. ~( ·~ ... .,¡
3) Graf'ica: y hacer ·comentar7~~tJºbre el espectro de. la siguieQ.:te
f'uncidn -P.
• . 1
Soluci6n:
A
con T-~ ~ b ,- el . en · de ia serie compleja cte Fourier es
(l . -=- l:. . r1(; fe-; .f771
f--=- _.i.. r:{ 2
;;: J!j ~. ? nlT a . . 11 __ T )¿ . T -a . nrr . . T
~ - . .
-· ' y construimos la siguiente tabla
. · .. : .
Ú) o i 1 7l !21T -+ 3TT i4Tr t 5ff +011
1~1 A r+ v:;i Aif31 o R'f3l /t '/?) o - - - - ~
27{: 4ff :... - 3 &lT 1071
· . /
/,
con 0:..1.'*1 T=º4ft4 > W- nlT_ O -t 7T 7f1 -t 3ff -t2n- 1- 5!r 7 "llT ?- / > .. d -y - ,-¡-, - ,- 2 >- 11>...,... 2 ,- ?
' . ... l
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-~ · ~~
w o -!. rr¡~ -!_ T1 -t ?,fT --'2.
/€lf/ Jl A {+fi) jJ_ - ----41T G "2Tf 3Tf
' ·
!2/T
Aif31 -&rr
-1 ~IT - _..,. 2
A -IOTT
-t ~Tl
o
--·
l f:
Utilizando los resultados de las tablas anteriores podemos graficar
dos e~p~tros diferen.tes, correspondientes ·a
....
T=.. 2 . seg., T:.. 4 seg~ como se/ilustra o.HA 1 e" .
. .. .. .
• 1
_I 1
1
' t . 1
' . . 1
1
' •· ,. 1
• 1 1
,, t
' .
••• 1
1 1
•
•
• '• Í.
. ,T~4· seg.
1. 1 ~---------e-------"-+-t---'-.....;..-'-_.__@-~'----a.~~ (JJ
;.. 4lT - 311 ..,.l.'([ -rr " ]lf 3ll 41l ....
,.. IA-.,. ·--· ...- ·-- - · """'" - ,-f, ,. . ...,._. ~..,. . _.,,, ... ··--- .: -~.,.
........ .. --
De las gr~ficas observamos que cuando el período de f(t) aumenta, el
nillnero de ?º!'.llPOnentes en frecuencici. ( arm6nicos), .en un intervalo dado
(o~ w ¿_ 3ll , por ejemplo ), aumenta haci~nttose por lo cual ~
·- denso e l espectro. Tainbién notemos que a mayor densidad espectral la
amplitud de loa arm6nic os· disminuye.
cuando el período tienda a infj~ito, de f(t) no quedar~ sir.o el pulso
entre -a y ()_ ', 6 sed. r( t) se convert iré! en una función no peri6di
ca y su espectro será una función cont!nua de fJJ
......... r-- ·-
. .~~.:;,;~~}-- JJ ' · 1
¡: ! ,.
-49-
V• INTEGRAL Y TRANSFORMADA DE FOURIER ,, .. --~··:
).1 La serie de Fourier es una herramienta de primer orden en teoría de
señales; . sin embargo,' existe Wla infinidad de problemas pr~cticos que
involucran funciones no peri6dicas y para las cuales es deseable esta
blecer una representacidn en ~l análisi$ de Fourier.
~; En . cier-¡;a 1·orma, una funcidn no peri6dice. se puede cvnsiderar como el
límite de una funci6n peri6dica cuando su período tiende a infini t o.
consideremos la funci6n, no peri6dica, f(t) del siguiente ~fico . _f (-t)
La función -sólo exist~ entre - a. y . b , fuera vale cero.
Fara obtener una representaci 6n de f( t) en el amUisis de Fourier po-
· ' ·,, . drunos co~iderar la siguiente secLlencia.
6onstr~yamos _a partir de f(t) una funci6n peri6dica {r{t) como ilua
tra la siew..ente gráfica
' -·~ - - - -· ..
/ ~=-f . -a. ,, ' / '4
/
.. ,:.· 'e:~ -claro que . . -~(/) =: · :~ {r (1) 6 sea que en el l!rnite
T--.oD tiende a l~ fµri.ci6n no peri6dica f(-¡;) . ,._ .
. Dado que w ··~ 111r ·. -F· J;.. - · T ~ semiperíodo, definamos un fJW en la !/-2~
__ .. ' .-. ' ..... ··.
~ 11 ',,.,,. •. ~-
r
• .~;¡.,.~...._ ;'.~.."'.~' _,...¡;- . :....-~...,~---~;.".'~;1'~~.~_,.,...,~=··':<:=>=··.:,~,-~=,'0-=."""f=· ="-=·---,-~.~-~,.~~~,---~_,,..~"!"":~:_;c'f'l.~,:.~~'=• ~!:·i~=~=··~="'~=""'-=,~~~--=--~~---~~,,=!..~::_" ~_:::· "Jit~__:,•:::_'r.~·~=""""=· -.::_-:-__~~-~·~· _. ·-~_.,,,,_~_"_"'t;~~··_"'~''----111:_:.~_. '""'-~~~_,,~~""'-.'-"'~~.~- _.,,.....,_~-'~~~~. :: .... -~ .. ;-o--•·_••"'~·J
---- .... -· ----·--o ..
~~~- ~-~~~47.;;¡,.¡;,"1*;.~~ .. ......,. .. ~ •. ~~<-".'•;~'~'""~ ""~~ ;.~- :-~~=;'-:- ·-:-:..:.::: - ~-·-:--~~; -~·-:::·:::· --~ --:,,.. .,.,.., ... ~- ·""
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1
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1- f'. t:' ¡. ,,,.--.
-49-
. ~ ..... - .
forma 'que· es la diferenéia entre dos
valores- consecutivos de W . Al igual que el tlltimo ejemplo de la
se~ci6n anterior cuando T-+ oO 6 p ~ QO , el espectro de {r(I) tiende a ser cont!nuo ya que (Jj serd wia variable cont!nua •
. . Al tender r ... oO , /J.aJ-• o y la frecue~cia de aparici6n de !(t)
tiende a cero, convirti~ndose ~r(f) en funcidn no peri6dica f(t).
veamos entonces qué sucede con la serie de Foilrier cuando fo~ O()
Segdn la forma compleja de la serie de Fourier
. (Í' Jwt' · ~ /b Jwf C11 =/y, LÍ-r<+)e-n , -trM = ~"°'->1 e
/i) 1. [P, J'U)S , luego '--11. = ip _pr(s ){ d S
1 ( p _:rws Iw1 ~. -( r(s)e ds e y como 2,., l_Jn -
>t =-"° ( ....
. c , ~ ;.· r .(.') ·Lo0 01-(~(s)e-JttJe~~ --~--.1 · ,. í . -:{'" = 2.'IT J . ~ . -p . -·
. ' al llamar ... ~:~cw)= [J{f<s)e-r1eJw~ ~rM·· reduc•
e f r( f) =. Z _í-{ w) t,IJ) , y al tender p,,. c0
n::..:.c0
.: -fr(k) se convierte en la. funcidn no peri6dica f(t) cuya repree'enta -
par&. evitar confusi6n, sea
' -.
cO
Ír(f) .:.L . ::.•, '·
.; ' "j
-~'"""··- .... .,.._ \ .....
(.
-50-
cu
con f(W) = e!wf( r ) _ Jw5 _ -t(s e ds 2 .,,- ... <X)
- .1
6 a esta expres16n se ie cq-
·_. 'V · . . ..- .. .. ..
- nace con el nombre de Integral de Fourier.
Si definimos la transformada de Fourier como
.. · oO
~{w) = (_{<s)e-;1~ entonces la i~tegral de Fou-
· rier se reduce a - . o(J ·
-fa); ~~.{!{w)id~ . , . '. '-- ' -- ~. - .,....
\ _,. , ' . : .
· \ ~. En .... la simbología del análisis de Fourier, ~ ( ()J) se representa
' jlw)=+ [-ra)] '/ +<-1)= r-r~{~)l ¡
como
En forma similar a las series discretas de Fourier, a las gr~ficas
· . l 1{w)1 · _versus . . 0.) _ p versus W se les llama ESpectros
/
contínuo- de amplitud y de fase, de f(t) re;pe~tivamente; ÍJ es el
'°' .-~ngulo _ .ªe~ complej~ _ -J (w) .
· Ejemplos:
~ ~- • • ' f· ~~-R .. -,; :_ ~ ~ , '
l) .. Es,tablecer un pararíg6n entre las transformadas de :rourier y Leplace.
" -:- } - ---- -~- - - ~- J.
! ¡ 1 · ¡ ¡ ¡ t
1 1
1
1
t l ! i ~ ¡
~
.i.~
~
1 .
~· t.
~-·
co-
'OU-
~- .
\ .~
¡·
no
' -A
e.
-51-
Al ser + [+<~)] -----.
~(w) = Ci{s)e-;f'4 f[-f{f)] F{5)
o0 st · y - J-!«t)r[u -
. o
podemos notar que ambas . son transfo~cione·s lineales. ·
Una funci6n f(t) es causal cuando cumple que
f(I) = [-((1) ff>.O o LO
Si f(t) es causal, entonces r [ .{(f)] = (-«s)e-~~~ . . o . .
- ] ( CX) Jwf . > 4 L +<-1:) -== L-((1) e- d
. ·- .· '·~ ·º
6
con ·. S = 1W en la transformad.a de Laplace deducimos que
¡ {f(I)]: [ [-r{~)JS=JW
i i
Del anl1lisis de las transformadas de Fourier y de Le.place se conclu,yo
fdcilmen~e que son independientes y que ninguna es una generalisaci6n
d.e la otra.
" El . í'uerte de la transformada de Laplace radica en su versatilidad co
mo herramienta mat~mática ya que nos tI'1:1slHda del dominio de una va -
riabie real t ·a una vuriab1e abstr&cta s,. ya que en general 5:;. d -1 .J{?J ea un nWriero complejo.
. La tran.SforinH-da de Fourier es .fuerte en el aspecto concept~l ~a qu.e
nos traslada del dominio del tiempo al dominio de la frecuenci.a y am
.bas son variables físicas reales.
2) Dado el siguiente pulsoa
--~·.·'V,,..--.• ,,-,: ... ••~ •· ·•; ¡e••!'''• V
. s' ~ ; ,
t " '
L • ¡
l r
t~ '
1 1 1. ¡:'
1
1 1 ¡
/f{LQ
/t/>a a) Hallar su transformada de Fourier
b) Graficar su espectro para A ::.1 , a. :. 1. e) Evaluar la siguiente integral
(- ~5utw&nwt dúJ -CXJ w .{ (-J:)
soluci6n:
·a} A
~~~~~'---1----1~~~~~---.t -a Q
( ~;
-· . . .
ypera es-
.· ¡
1 1,
t ! i
... f
t !
·~.i~."':"~~~~ .. ,..,_;:~;.::~:: ~;;;.7~~~;;.;;;"-1-;:,"*-~~.--~- -~~..,,.~·~- <'>~ · -~«...,.~~'!!~-~-~~-~~-~~~~'°;':l""~~~-~...-':"'"'.-''"''"~'r.~ry-:~ .. ,~~1'1'~-"":~~~"''"'·w· .• ,. _ _,..,.
t -'{··
f f,
~ F i ¡t !,
·L. ¡ !
~ ¡;
¡. r '
. r
' "· k
1 ~-
. . ·;. ' . l.'
-
¡~ ~'-~ T. ... (. r
b}" con
-
-~(W) =. 2Se«W úJ'
en la parte ió.)
11 / ,{w)/ = 2 / ~':/1 / -- de a~u! observs.oos que la gr~ic~ es una curva decreciente que toe~ nl
eje horizontal en loa puntos en que ~W .:. O , tenidndoae el si -
guiente espectro, f 1{w) I ~ ., -
------1'1~-+-~----+-~~-'-~~--4-~---~..-...w -3H -zl1 -11 rr i11 31T
_ e) SegWl- la parte a)
· · (1w.111a. ?"'tdw ::: JI ..((t-) ) - w ttA ---DO
en todo punto en qua t(t) es cont!
nua; en f::.+Q. ..{(.¿.)= luego con· Q ::.J. , ft..:. t
... .. ... .)
,
1 i . ¡ '
¡
1
1 l . l ¡i
1 ¡ • ¡ j ¡
- 1 .: · 1 ¡, j-... r ¡ ·1 ¡
1
··"-'l"•
' r · l
\ ·' . ' \ · ....
llegando a que
.... _::....·
- . , - ~
,. ;.., ~·· •. -... _.· .. ,..:.., ...... -- ~. ,:, . ~. : ... ':_""'•".\:;;_~·:·_.,::.: ...... .;::. ... ,.,.;...¿-.~., .•.. J.·.;:.f.. -: :.. • . , .· •. ,,, .. ;-~~...;....... . , ••• _...');•;.......,;,.t~·,,,; ¡:._.,.
-54-
Tf /f/Lf 7T ltl= 1
-/1/ > 1 3) Dada la func16n
so1lici6n:
-( (-/) :: ~ a> o . , gra.í'icar su espectro
Hallemos ~{w) , · · · o0 .
. ((:t:). _Jws JS:,,a_s~w>J -I{~as~wsdc; ~ ! :\ - . $e4a.S <2 dS= . rr?/' S . T{S
lWJ - ffS -rP . -oo · . . -- ~~ .. .. . . .
Stu.a_s ~ws respecto a 5 es una función impar, luego
JTS
f ªisS...ttl~Js~o y llo~ndo a . a 5 : u en la. primera integral
.· -00 - : .. . -o0 . . . . í
:· . t~•:•" q:e ~ (w) _:: -#. (~"'ª~~a Ju. ; ~ora, pQr la
' l '.
1. : ~~ ·-:Í: : ~~
' ·'
•; ,,
' ' -• · 1 i .. ¡ .
f• "
'
o
t ..
~ , ,
. 1 f B~ .. : 1 t
· ~ .
i; t· ;.
\
y ,la gr¡{í'ica espectral
1 ·' .. . '
t
-55-
1 ~lw)I !
a..
.. - .
.. , .
.W
La g~fica 6 espectro de f(t) es cero ~uera del intervalo {a,~). A e!. te tipo de funciones se les llama funciones de banda limitada y son
bastante importantes en la teoría de. comuni~aciones. En teor!a de canu . -nicaciones a f(t)=13ent/t se le conoce con el nombre gen~rico de :tun -
ci6ñ de muest/,~ . ~X
. . . ... , ,53a.{x) .= X
't) s~~ -f{ f _.;;,/ r,;,,ción oe variable
·transformada de .Fourier.
real y ~(w)= T { +<+>°] su
/
~(-UJ) son complejas conjugadas
00 . : r 1·(-tU) ~ .(w)dw· -oO .
uLkmoatr~que ·1{w) Y
b) l)emostrar que . . oó .
~ -~(t)-(,(t)dt ==1 . - .
e} Demostrar que la ener~!a de f(t) es . oO .. z
t == _t [ I ~(w)/ 4.4J __ 27f -oO ; ·-
. . /
Soluci6n:. De la traní'ormada a e Fourier de f(t)
a) . ) (7() _JwS - r7<s)w,wsds~J(-ks)~wSdS d(W ~ _:5 f_ ds - J_oe .. o0
L ,
-5~.!-
.\ _ .,.
, \ "
/
• ' ~/" f ~ f ~~·
'
-57-
e) con ft(-l) :::fl-(+) :: +(+) en la parte b), se ob1¡.i.ene
[]t1)Jf = f¡¡ [](-w)ff{w)dw 2
por la par•• ª, ff r..{J) >7rwJ= e a. -1 bi(a -bJ J =- a ~+b 2 =- t ~ rw > 1
y como
oO . r -f 1(t )ctt •• por definici6n la energía de f(t),
-d.J •
entonces c . q.d.
: . .:., .
'· Esta expresi6n es llamada la Identidad de .Parseval para integrales de
Fouri~r y / ~(w)j 1. es la .funci6n densidad de e~erg~a espectral de
f(t).
_ 5) Evaluar la integral
' - oO
.. :. :,-.. :[ . ~2w du.J - úJ 2.
-c:Q
• Q /.W) Se.«., W y por la integral de Fouri·er .. • Q lC = U)
., '
' !, t
¡
l
' ,·
.~> (~~li'j,'.~~:# -,;,:~~\~f-~~,~-;;;,\,~_;lil#.);~43:~~-%T.:•irtft'í~- -'?-·4 .... tWn•?Wm .;; .·, .... ;' :'0tm"ri'-l!il.#i~ ~• · ; ' >i>. •::i,;,-;,;>. ~~--- - .;,..f~~d.~~ •
-..... ..... .
.... .. ·. f,
·..¡,5g_
- r 00 .+ - coo- :rwf ~uJ . SlV-< r (:t) =-J;_ {-a (úJ)e dlJJ =- rr:1.. -¡¡;- e d w
. -t 2Tr _f; 2 -<V
como la 6.ltima integral es cero ( por qué ; )
f r¡)_ i .{. Se,,w ___ en __ wt d w ; al 4tilizar la parte c) del 1-l' 2lT IJJ .
- -oO
ej ercic;io 2), -{(./) = ):;_ 1
7( / ;f / ¿ 1_ 27f .
y,:. r-~':-dw=2'' íZt1-)Jt=2;f/k= 1T 12.1a. ,- -~
5.2 -Propiedades de la transformada de Fourier
.Al igual que en otro tipo de transformadas, no todas las funciones de
váriable real tienen transformada de Fourier . La condici6n suficiente
para q~e 1 (W) = ¡ {..f-(f)] exista es de que
(<X) / ' J ... J-f{s)/dS ~ ~ 6 sea, la integral debe ser finit.a.
--
--- _rw > I ~- - s En efecto, como e = ~WS - ~LV ~ I -Jws¡. .
(2 ::= 1.
y
!
1 ! t-¡ l
' ¡
\ ·
-59-
oó .
luego si f . -/-{(5)/ds _e(>
' [_~sk~~ entonces es
La Condici6n [ i f{S )/ d 5 -oO
{_j«s>i1<ts
finita y por supuesto
¡: ¡I I '
H ~I ! !,
l ~ u j '
es finita,
.~<w)_ existe.
no es condici6n necesaria porque
trataremos ejemplos en que Llf s)/ d. S no es acotada y ~(w) · existe.
La transformada de Fourier tiene, entre otras·, las siguientes propia-
dades:
_¡) sea f(t) wia función de variable real y 1(W): + {f(:t) J ; si
~{tu) es real, entonces, en general f(t) es par y á~ '(W) ea
. . ginaria pura, f'( t.) es. :L"tlpar. . · J<
ima-
/
! i
es real, entonces
•.. • r
óO ' . r .f(s)YM.wsds =o -00
que al ser ·' ' ~ .
una funci6n impar con respecto a s, :f(t) debe ser par ya que ~ws
.f(s)~ws ser!a impar y la integral se anula siempre.
~.
¡. ¡ }
1 1
l .l r l l
1 ¡
t ¡
l
(? ·
~ forn:a simil~_r se analiza si__ 1 (W) es imaginaria pura • .l; "t
"~ . 2) Propiedad lineal
. l {af,<f)-t b,+.ui] =a T {!dt-i}+b J[utg =ª7,w>+ b7,rw) ' "'
Demostración: · · . 00
:}{afdtl+bMtlj:: (f {crs)+htz<sJe_:/s$::: a {.:rs)e-;:/ O<.) ' '
-1- b { -(, (s) e-1;~:: a 71 <w) -1 b ¡ ,(w) e. ip 1 ~ ó(,) • . ' '
· , 3) Pro?ii>dad de escalom1mento
6 sea, contrecci6n en el dominio de t es equivalente a la expansi6n en el dominio · de U)
Uémostraci6ri: · ,l. · - ~
. . /\:v: ; ~;:_, (.:.~- : -: j ' -- - ·:'. ).':, - • ·, e . ,
' ' -, ' O<.) '
f { -{Ml] = (f(~s)e-~~
·a) a. >O con _ a 5 =U.. , u >o , entonces
¡ &<a:e)J = ~~e-:~ :: ; ~ {~) = t;I ~ { ~) ' ·" .
ya que si a es pos_Hivo, (1 =/a_/ . _ _ ~
t
J
f t
í :
-61-
/ b) , et¿ o con a. s ~ a . . ' L1 ·<'.'.'.: o , entonces
• ~ · +ú(a1)J:[:~)e-~ =-et fa!~é~~ · y al ser a¿Q 1 1.. .
' ---- -a.. - /a../ . , luego
"J;[-{(af)]- /~ ~(/f)c.q.d.
• > . + [-{<.cf) J.:: <j (-w)
Demoat:taci6n:
· .. ·+{r(-t)] = (~-s)e-~~s, ~~=-ti ,b=;-ds
' .
. "'f {!(f)] ~ [jZ)f/(~) = iE«)it): 7<-w)c.q.d.
... : ·' -."'?
5) Desplazamien~o en el' tlémpo
+ ~(f-lo)] - e-r¡t:v). . /.~
Demostraci6n: · · -
·¡[-f{f-f.)]:: C1(5-fo)e-1d~ con S-f.,:ti.1 tb:dS
•
,1,
'""''"~4¡~~'-. '~
1 L
¡ ¡· i
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1
1 !
¡
\_ .~ · ..
. \ ..... ··~ .
. , ) J;,.rwof J] \ .. -t- Lt. -(.(t = ~(lV-Wo) c;q.d.
¡ 1
/
7) Propledad de Simetr!a
Sea ·.
· Demm~traci6n:
. ( 00
) JWS Dado que ~{uJ):; '\_i(S (!_- d S entonces por la .integral de
.. :
.··•'.'· •·"···· ..
l ¡ ¡ ¡
· ¡ ¡ . t . f
f (
¡
t- ~~
.a. ' ¡ ! ¡ ~
,.. f· !
;------., ., ¡ 1
t V r--F ¡
!· !
t. ~-
t ti
f l ~· L
-63-
como esta integral es ~efinid~, kJ es una variable · muda, luego al
cambiar . w por s , ·r oO rsf
2 1l{(-t)~ . 1<s)e-cl5 -cQ
y si hacemos f::. W ~e concluye que
ztr+(-1())~ { f sJZ__r:tl 7-TG<ti]c.q.d.
8~ Si ~(t) tiene la propiedad de que
L -Í-(~::: Q (eJO: es una asíntota), entonces
:f ... ±o0 ' . , ¡-{-f'(I)] =- IW1{w)
Demostración: ~ . 1
· -¡pt1il = [~'<s)e~::t~ /
-I(QS d . / '-' con 11.: e y 'lf: .( (s~;
·-.. - ~ -
en lR integrací~n por partes obtenemos que
¡ [ + (/1] = e-~5J_j {-f we'1<~)dS · ahora, es acotada ya que /
-Iws/ /, ,-1 e . /= 1 y como~ -{(11=0 t_.:!cD
í
1
1 I.,:
.-• ...... -~--
¡
¡
. ! ·- ¡
F ¡
1 l ! ¡
1
1
f
1 l ! . · 1
1 1
1
1
1
·_ · ,-;· . - ·
. 1
-64-
-. ·entonces
-JW ] oO (!_ -{-(S) . =- O
-cO
oO
t) sea {~t).lf::.o y W~() , entonces
·: __ ,· . ... ,<,
Demostraci6n: f
Hagamos (; (f) =- {_j,(-1 )Ji ~ G '(.J.h-((~) ; ya que
t ..
es claro que L [o0-(.~-1-) Jf = Q . l-1> ± cX:)
luego
\ , . por la. propieda-d anterior . ' ', . °f {0 ;(tiJ= :rwf [G<tJ = T {+{t)}= 1{w) ~ ¡{r;¿t}= J/:) 6 +- f[jNJJt-] = .. 1(a;)
LJ IW c.g.a..
1 . ) ·. • .•
. )· ..... · ·- ' - ~'·- .. . ..... . -- .
. 5.3 convolución de funciones
Es una operaci6n que combinada con le transformada de Fourier tiene un
gran significado te6rico-p~ctico.
sean f. t-1) , .{z..(+ y_ des funciones -de ~~.1..able real t, ~ª convolu
ci6n de . -f"t {f) con -(. 2. {-/) se de:fine como otra fu.nci6n f(t) tal .
t ¡ 1 ' i j
1 ! ~
1
~ .
,,-~,, .=:;"ii..•i .. ,;~~; •. ,~~~·-""-:~~:.~~~~~::-~:.~~~~~:::_ := ___ ~ ·· - · ~~~~-:_~,-==~~~::~ ;¡:'":_7"':: ___ :~: __ ---------__ j' H ~
l·r.· i. l ~
-65-
que . .. {CI):.. (~<s ).(, (-t·:. s)ds
. simb6licamente t si 11 0 11 representa la convolución, esta operaci6n se •. . f-
L -·· representa como "·_ -. oO .
· f(t) = -(,NLo -{,(t) = [~(s){,(t-s)Js La parte importante de esta operaci6n radica en sus propiedades, que
¡--.... entre otras, se tienen las siguientes:
1) Propiedad conmutativa
-(((~)0{2(-t) =-(i.(!)o-(1(1) Demostraci6n: °" .
. . . .f!tt• f z (f) = b;s ).(,(f. s}ds ; si hacernos f-s =Ll en-tone es -
- O(; có
::{ 1 (1) ;;{, (.¡.) =. (f ,(t. a).{, ( 1.1.) (-da) = [+ z {u. ){',(l-4.)b. := .(2 ('-)o{; {f) ' f"° ,p;.J e q d . . .
.2) __ I·~·~·1iü:::ad asocia ti va {Í«t) o{, (f ~ o{3(.f.) ::: .{¡(!)
0 {Uf)
0 -(-,, (-f)I
. De..ooe<traci6n: J} /.!. . .. '!J. I#do izquierdo: · ·
. - .
' [.r, (-f )of 2 (f ~ 0{3 {!) ::: e: [f,6) o{.{sil ~(f- s)' s ' ' '
= C[r.~(a){,(s-a)l.u ]t3(t-s)ds =L: l:~{,(s-a)l(t-s)hLd's .... .. --
{~:~ 0/j:;:;º~lt il =' [f, (t) of3 (# )] 0 Í<{f) = rl,(s)o Í 3{sg{i{~- s)tfs
,~
p
~i (;
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, .
' • - • - · , ·' '.· :;._ .. · - _,.._,...<., __ ·---- ~:-.:·· '.~ ··'· ·--~ · .. - ~'~~~L-.. ..>... c. - c.. ., .... , .• · - ' . ,; · · C ..... .. ¿ ;, .· -· ·, ;., ~t ·,..l'Tá(Af.,¡.C.:: .. ;- -·~~~~:--.: J .... ,;r,-',,.;,.._,,¡.,.·~~-i J :..~ ..... ;:~--.'.a..ttn·w;¡;;;;-m.,ir-:r-; · -:&?"•.:--~..;,~:::.;.·J&.~sr&AA""!.•'.f&?tSPfM-,,.., ~-...o::TOi'%l"fP't:srro-t1mwe=-<~ -a...~, - - - - - __ _ ._ .. ·--:--- ~
--.
', \ .~ .. -. \ '.
-66-
y 1'inalment e llamando il f 7,/:; S. , tenemos que . l: r1(L<)-/¿{5-u)-(~(t-s)~<f5 -{i(l)o~,(t)of,(t'J -
que comparado con el resultado para el laao izquierdo, se tiene que
. f ,M)o {f d~)ofl1g = {ft<1Jo-h r-1-f/0 -(., (-t) c.q.d.
3) La ·convol uci6n de cualquier í'unci6n .f( t), con .la f!l11Ci6n impulso
da ,la niisma fWlci6n .f(t), esto es
-{(!)o cf(I) = -t<I) cS ·sea ó(¡) es el módulo d~ la operaci6n convoluci6n •
...
l)emostraci6n: · oO ··
· .. .{(l)oó(J.) ~ [ -{(1-s),f(-;)ds . . -c:W .
pero por la propiea.ad ael muestreo de la función impulso
· ··· Ii(f-fo) <}(-.!) tÍ:f: <j{I,;), entonces con to: O • .
~ roO fJYD:rv +C-t)oó(I)= f-<.t-sXfcs>ds .= -{(!) c.q.d.
~ -oo con esta propiedad tambi4n se puede demostrar que
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1
1 - i 1
J f t ! .. l i • t
::.
-~
- "; .
t f 1
-.
a)-{(,f)o Ó(t:..t,) =-f{f~:f;) b)f(f _fJo Ó(f-ti) ::-{{f-f,-f:.)
4) convoluci6n en el tiempo
La transformada de Fourier de ima convoluci6~ e~ - igual al 'producto de '
las transformadas, esto es .
r [f,(1) o f, (1-)]::: ~ i(w) ~ ¿ (w)
~;·&,~:;~f di)]= e: p,(s) o{z (5)] e -J~; . , , .:; (~ {~(u)_{,(s-JÁ)Ju ]itt í: ff<s-u)ei$s {i(tl)k
_e()
..
por la propiedad del desplazamiento en el tiempo de la transformada . .
de Fourier, . (o0 _.rw-s _Jtvíl. .-
' J_,ii<s-.u)e cts :: e ~,(w) • luegooO . , -
f l(,(l)o-{d~)J . (]fJw){t(a)dtc: ~,(w) Í~\a_)[~
. • ~. _ .. --r-[r,(-ih-{z(i-) ]- }z M)Cj1(W) c.q.d.
5) convoluci6~ en la frecuencia . . .
~ {f¡(-1-)-(,(lil::: 2~ ~i(w)o 9 ,_{w)
. ~ .... : ~;_::__~~ ~;v:z~~~:·". -~~
. ..;;.
-68-
\ ' · ~. . ... que es precisamente la convolución · ' \
Ejemplos varios
• ~ -,1 • - - - .- ·-
i) Demostrar que si f( t) es una funcicfo de variable real, su espectro es una funci6n p~r de W
1 .-·
Demostraci6ns ··
Por definici6n,
" ¡
' t ¡ ¡ r i
1 i ¡
. ' -
'
'~
1 l .. - .. 1 [ ! . i. ..
~,,..._ ____ .,~--_,:. '-~ .· -
\ ,
. '-' :. ;_,, .· ~,.o._'""~·-"""' .... "'"'-"''.ÓO ~'>· 1' >Y0 ... 4
·- ,_,_ . · -~' -"'· ,,,:_.,;,.,., •• ..:.k-'"'''""'-..'""'->-'"""''""""'"''"''. ,,,,,,~G,c,, .. =.~=-~ ;,,.,,,,.,, ,.,,.,,;_ili;¡~~;¡!~"W.;.,,;e,_ "! ~ <. -
-69-
llamando
a,«v>= {~s)~w5Js, a.<w) = [Es)Se«wsd~ y al ser' ~e= <!.D-J(-e) ' '~e= - Sü< (.e) conqluimos que las
funciones a I ( W} Y á z ( W) son par e impar respectivamente con .:.~es-
pecto a {J)
luego ~ {w ).=a.(w) - J-a l.(w)
ahora, / ~<-wJ(::: a/<-IJJ>+a:~w) - que
nosmue~-~ra la conclusi6n d~ ~ue (9(w) (::: / ~ (..;.W) /es identifica -
.~le como fun~i6n par de W . . · c.q.d.
2) Demostrar que si ~ (W) -_ f [-r6f)] v~w) = + {-Jf((i)J
Demostra9i6n:
, . ent ~mees
~ ·
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i ! ' i
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1 .!·-' •
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1 ~} .t•!•{·,·· · ~""r<~!4J'!l::~tt;.j~~~~~;,,"'C-t"!""-''~f:l'!:'l!;'\~ .•• ~~~:m.-._,:tt:'~.l'tl'>·""~'Xl-._,...,.,~~":'w-1.f'"'.~'~·~~~"':~;~~- .·~~'.+.':"~~"l'<'~·_;:•'"r'~~~~'!C'"J:."f:'":::~,'P'"...,~!"."~'""'~-~·."""<."':".T'?-.,.,~.~~-"'í<"'"-"Y'" :>C.J.~.--"7'f';."';~P'l~.'f¡,..~;,_~¡('}_ '
~ ~ ' " ,. ,' ~.,. .... ~--:;_ '.:.,~·./:,,' ,·'.;-"<, ' "'.·N! J..'!: '
. ./
-70-
'.
~ 3) Hallar la transfonnad11 de Fourier · de la funci6n
y gra:ficar su espectro, a. .:>O
Soluci6n:
Al ser
guiente:
_<ft/ e ~ -
, luego el espectro tiene la f'orma si -
I ~(wJ/
t i i
' ' ' .
. . '
4 } calcular l<-- transformada de FOurier d~ -{(..J.)= __ 1___,,..,,.. a '2.+f-2
Solución:
Por la propiedad de simetría, si j ( W) = + [+c-:f)] entonces r [1{f) 7==2 lT .{(-w) ; aplicando es•a propiedad al ejemplo an~
' i ,__
terior,. q {w) .:: . 2 a . y q (1) = . 2 a. luego ... e
• d . ai+w2 { a 2+ti
t [~Ci)] = f [a~iJ z 2Tr [ e-a/t/¡:~7(?-lllwl tenit!ndose finalmente que . { /
·· · ~{ í ]- lT - ª w . . -t a2-tfZ - Q e · 5.) .a) ;;lar -la transformado. rie Fourier de la funci6n
- -a:t - - r (-!) == { e t :>o a·> o .
· ) 0 !-LO
b ) Hállar la siguiente transformada inversa ,-1[ . i ] . + _; ( !+JW)i
soluci6n:
B. ) . o oQ .
\[ ] · ) ( · ( ~5 __ JWS -¡- _-/-(-i) ==- ~(w = L:'.:Jt+ ¡/'.- ,e ds
. / '
[
Q:J · -(a-rJw)s ] o0 fo) ] _(a +.Jw)s /J . -r / -rc::r :: e d.. s :: ___:(:.=------ -
ó -(a+Iw) . 0
-
f.. Rta.
a..+.IW
__...- ·-- \ {; ' . ) ~ ;, {
i
;.
t .,,, .,;.,,.:;;,.;~~:.,i .. ~~.,4~;;. ·¿~: '::oo.;.·~~,;~.!.f~~"'-~->~.~~.,¿~,~-~-=-l~~:::~::..;.;:.~1;.r_:a.._...._~ .. > ~·.· . . ,:_. '~!..-..J:.:L~-.:...~.,_.-,__ ~~-.. t..;~~v--..,'"".,:.~ .. .;.,.~ .---~" - "· -···-..- --..,.;=.:::¡~P~-· ~·· .... ·& l
~
\_ ~ .:. . \, .....
-12-·
. . l~ COI1yoluci~n . en el tiempo, sabemos que
¡ [fi~;)o{-~(-fiJ=11(W)f.(«}, luego ·
:+ ~¡{w)1tfw)J =. {i(f)o-f',(t) , para este caso
a,(w)::qz.tw) .. = 1 teniéndose de la parte a) _d d . 1+JW . -t . :
f1(1)=I~M) = 'f-Y;t!JU}= {: ::~}=e- ~&-) '· .
entonces,
. - t -f a-s - ~f-5) . (ce:_t i ..{(1-)=iult)oetiil)= e u(s)e tt.(1-s)i.s:;: )~e iL(t-s)ds
-oO o
Y como . ll (f-S) = ·¡ J . SL. ft se t1~ne finalmente que / [o S> · · ·. -fC+) =(~.:td $ = te-; :bo cf -{(!):= t-e-~c1)
9) ·nemostrar0
que si f(t) es la banda llin:itada, 6 lo que es lo mismo
~(w)=f /j<f)l o para / w/ /U.Je ' entonces
f(J)o 5ita:t _=-((1) en que O..>Wc
1 1
! í 1 !
1
' ¡ 1
f ¡
. ~·.
~ ., ' ~-
,. . ..,,.,..,~, ... ,,,,.,.,,.,..,"'"~',.....~~-..,.~:-,.,.....,'O"c.,,~'~"""""'!""~·,..!<''·""'~·"'.,,.~""""""'·""'"""''~-·11!1"~:".'-"';="""'"""""-·~,~·'i:~'?:¡'~]''"'"'"'.""".'["-~-'--·~· -~ o~--·~·-""""-' ~'!-....,,.Z~· .'. ··'·~·-''·"'~~~--,
-73-
:nemostraci6n:
Por la propiedad. de convoluci6n en el tiempo
r [ t6f )0 ~f]:: T [+<!>]. + [~t] ahora, por el ejemplo 3) de la secci6n 5.1 el espectro de ~~?e;;:cf~ es un pulso segifu la siguiente figura
\ ll¡LuJ)\
1
1 1 . 1
.Al comparar el pulso con el espectro de f(t),
Wc L á. . Y ( W /~{!Je . . .... . : . .
1{w):¡o Y' f [~at} -1
... luego para w·c. ¿_·a ...
observamos que para . .
~: ; . ~ GJ ( tip 7-:· ~· . G) LU.JL
·· f {+c+)o ~f} f {+(1-~fo , ··- ·· · , al ser iguales las transformadas, las funciones también lo son, conclu
•. yéndose que •.
f(I) o ~ai = -{C-f) rrl · .··· .·.· c.q.d.
VI .APLICACIONES GENERALES
\
\
'' . ..
-74-
Ei.l Tranáf'ormadas de las funciones más comunes
l) Transformada de la f'unci6n impulso Ó(f-a.)
r [&:1-a.) J = [~s..a.)e-Jd~ ; por la propiedad del mues -
treo f_~(f-fo)sbl'R-)Jt = c/>{fo) , entonce~- . _ .. .
r [ Ó(f-a.)] = e_Jws¡s=: ~-:rwa corolario: segdn la integral de Fo.urier,
como hemos notado en ~jemplos anteriores, las transformadas de Fourier
de funciones de variable r eal tienen espectros acotados cuando /úJ/ crece. . ¡-,,.r, )· 7 _ Jwa. + L o(f-a.. 'J = (¿ y por su -para la función impulso,
puesto , luego el espec-
tro de la funci6n impulso es constante/ . I + [Jc-1-a.)J . 1
r -75-
·-··· i: - ·
ESta gráfica nos indica que todas las frecuencias del espectro de la
funci6n impulso tienen la misma amplitud. Por ejemplo, es pqr esto que
la corriente impulsiva en la ca:!da de un rayo genera ondas electromag
néticas de todas las frecuencias y que son captadas por todo ' tipo de
receptort!s ( radio, televisión, radar, etc. ) •
2) Tra[nsfo]rmada ("ao oma :;::ante J< (º _j(J.15 + k. = J_~e Je, = ¡¿ )_~ ds
ahora, si hacemos t=O en el corolario del ejercicio anterior, oO
[
oo Jwa. .( -.Ja.S 0(-a.) = Ó(a) = J._ e- d UJ ~ .!::. e d 5
ZlT o0 ZIT -oO
, entonces
"ff!J = k" WÓ(w) . 21rk.J"(w)
La siguiente grt!fica muestra el espectro de una constante . . (~ajf .\
;. ~'
------::,-,,...,,\ -, ---..~impulso 2TT k Ó(W) ,· ..
.1
-- .. ---i--
. ' · ~t.·~··- .. .-, _ \ · -,.~~ ~; / #· - J .' \ .':·:., . : . .;_·~' _, \- \ t. .. · -:_- ,~; - ~ ........ , '. :··· .. .
Este resultado era de esperarse ya que la funci6n ' constante no tiene
- ·'- ·--...,..
ninguna componente en frecuencia; 6 sea, su ancho de banda es cero •
.rwof-3) Transformada de e . ' O() . ' .
{ JW t-, ·-(- C() JWoS -IWS ( :r(cua-W)? + L<2 • J-= ·~ ~ ~ J.s "= t.f!. d.s -oO
.• : ·• . . . .. ~-
que seglin el corolario del ejercicio 1)
· . . , .. ---·~r= : • • - ,........ ,._...,_..,,... •••-• .~ . ' .; ·~ ... .,.,._ ... !",-..... ,~._.....~_,_._, .~· ·~'~M:~#WMiF)
¡'
¡
j'
i -
1. ¡
:t i '
~ ! ¡
11
1
1
-76-
4) Transformada del seno y del coseno
Segdn el ejercicio anterior . f . -t Jw.
+{éWotJ~.:: 2lf ó(w~CJJo) le.uw.o e- 0
ÓT}Ulc,/±'JW-<Wof · · r,
iL~;;.~1: r~~:~r:;~7>-Awo-tJ= 2Tró(w-w.) ·
---~ r [ <[JWo-I] = r {~wof ]-J r { ~w.tJ 2zrcf(w-KVo)
luego, por suma y resta de las anteriores transformaciones
T [ ~w.t] .; rr [crcw+Wo) + 5{{1)-Woij
f [~w.~ =rrI[S(w+w.)- Ó(UJ-llJoJ
@ 5) Transformada de.la funci6n escal6n
Se conoce con el nombre de Funci6n Signum (Sgn) a la mostrada en la si
guiente figura:
( 1
j 1 \ Í ¡
------------------- - · -- - -
-77-
i-------
-------i-1
-~
-78-
Demostraci6n: i . U. f . Si la V2riable es /5 , .l(. (J- ir) ::: [O '• 'lJ' ~f , luego
¡ [{f(¡r)dv-]:: ¡ { (i(l-v-)-((1/)cfv]
.. f ex>. I2 (scu-)f(ir)dvJE~w:= f :fí~oit)e~~J-((v}d_zr .. " _e/..)
pero r:(>-;)e-~i::: f {u<t-v-)] == e-~wr {itCt}] _o() . .
le. funci6n impulso tiene, entre otras, la propiedad de que
-{-(1.-) d(i) = -f(o) d(-1), -de donde TT Ó(w)~(w) := lTr¡/o) Orw)
:. ¡ [ {f y-)d¡r] . ~ + lT~(o) dCW) c.q,d.
, ! \;
- ----------- -----------
·""-·
-79-
7) Demostrar que la funci6n escal6n se puede expresar como
Ll(-1-) :::. J. + J_ (oO ~uf!' d uJ . ;¿ 7T ) /1 (jJ ' o
:} {ft(+)] =:_ ¡¡cf{w) + :r:U y por la integral como vimos,
Demostración:
ex)
de Fourier b_(-I) == 2~ r L rr&w)+_i;;] eIIJfv -00
Segtin la propiedad del muestreo de la funCión impulso . - - ·- - . - . f 'Jl~) e3~(() . e rw~¡ ::: L en ta~~.. . . .
il(I)= ¡+ir [};:'Jw :;:¡[(~:1~+(~ . />-... r . . . r ~&,,wf- c!w =:o
y como ':::'":VW es una función impa~, -r-w {)] . , -CO ..i
- · - · "T" -. .. . -· oO
/J.. {f )::. .i ~· _j_ · ( Se.u. wf d lU c_. q.d. luego
8) Demostrar que
... nemostracióni
~ ~ lT Jo W
En un ejemplo anterior demostramos queJi {w) .,{-IÍ"-/(:!)7 . 1{w)= + {-({:!J] , entonces ~ = + / ~
.. .
"
·~ , .. -...... . ~ ... .
-80-
luego para este caso, \ {¡14-1) 7 - - j,_ jL {!{ <Í{w) -1- _LJ -+ L i: J - I 4-U!_ [ 11 Sw ·
~ +!!~(ti]:= JTT Ó1(w) - ~ c.q . d.
9) S_ea:f(t)_una función peri6dica, demostrar -· que · -----.:-:::cc_:c =---=-
-¡-(j{-1-J ~ 2rr ¿ ~n o({JJ-ff},p = Tlz i1 = -oO
Demostración:
ahor-d , por el corola1·io del ejercicio 1) de esta secci6n, se concluye 00 qf [+~>] = 21(¿~~no(-¡JLw):=21T ¿e;,~ a(w-W)
c.q.d .
•.2 Sistemas lineales
Podemos considerar un Sistema como un conjunto de elementos que cumplen
ciertas leyes y con cierto comportamiento. Son de utilidad los sistemas
cuyos comportamientos en el tiempo son predecibles de antemano ; cuando
un sistema es estimulado,. la respuesta al estímulo depende en todos los
~ ·
- -- ··-- - - - ---
-81-
ca.sos de los pa~etros internos del sistema.
Respecto al estímulo y la respuesta, los sistemas tienen en general
varios puntos 6 puertos de entrada. y salida. En ingenier:!a,:~los sis
temas controlables tienen una importancia de primer orden.
En esta sección nos ocuparemos de los sistemas llamados lineales. pe.
ra ~sto, consideremos un sistema con una entr&da y una salida como
se muestra a continuación,
-(, (-1-) -[i.(1-) Sistema
Entrada ______ __. salida
supongamos ~ue el sistema se excita con las funciones de entrada
-(¿(.f)° , 1i (~)- --Óbte~iénd~s~ las respuestas fo{I- ), ~o {-f)
res.pec ti vament e;- si al excitarlo con la fUnción ft.[¡(J-) +_ ~ ~ "·~) .~.. .:>·
la respuesta es diremos que el sistema es
lineal ·( 6 lo que es lo mismo; cumple el p±incipio de súpez-Posici6n )
Ejemplo:
-Da.do el circuí to RLC de la figure -- ~ -- -
+ L
V(f)
-· Si la entrada es la funci6ri .·~ V(f) y la salida la corriente ).,
0
{;f-) - demostrar que es un sistema lineal.
-82-
Demostraci6ns
Por l.a ley de l:irchoff de voltajes
U(I)= L dj;j'>+l<t(f)+ ¿ fi(-l)h derivando con respecto a t, se tiene que
_ _ _ l-d 1-1:(1) + R-d1._"(f) + 1=- / ~-)-.- .r/V(f) ·-- -- - d..t ~ dJ-. e -<-- l~ - - df cuando la entrada es .. Út (-f) la salida es ¿, ( I) tal que
L d2z~(I) + R d- ~i,(l)-1- .:!:_ ·¿ (f-) = ?Í"llt (f) d.:f 2- . ¿y ~ ( ctf (a)
cuando la entrada es 1 r- / I) 1 1 · . ,~ ¡_¿) -V 2 ·l~ a sa ida es ,... z.cr · tal que
-L cPj¡jf} + t< tLf;/1->+t-i,_c-1) == dv-,,c-1) (b) .if
cuando la entrada sea A i l (/) + f3 lz_ (-f) veamos como es la salida;
reemplazando en la ecuación diferencial
L tP fni.r(f-l+ 6 t, (i )1-1- R el ~ l{iJ+ B út-7+ L frh;c-1-l+-N~ (1-j 7 _ ? -¡¡:it1 J #LH I 2 1- ~L" J - .
A/L- d'.l/i)+Dd,t,~{I) ¿r-1)l+B{ dZ;{t\Rdid-t)+¿(-f) =- ( agrupando tenemos j e 7F ~(!T+ <rJ LL {D.< D e .
por las ecuaciones (a) y (b) se tiene que
L ¡¡..{a,;c1)+ Bi,(I]+ R Íz fot; {I )+Bi,{lg + Ai, (f~-f Bi.(!):::. J{_Av¡tt )+B 0-.(IJ
--------------___....,,~ ---
-83-
que nos muestra que al estimular con A i,(-f) f \f)'i.z(-1)
la respuesta es F/-lJ; (f) + B llz.(1-) siendo el sistema lineal,
ya que cumple el principio de superposici6n. c . q.d.
Para este sli.stema, la ecuaci6n que relaciona la salida con la entrada es
que como vemos es una ecuación diferencial lineal.
En forma general,un sistema lineal estd gobernado por ecuaciones dife renciales lineales.
consideremos el siguiente sistema lineal
- -- v- .• . . -- "' .
al ser un sistema lineal aa entrada y la salida las ·podemos relacionar en la forma
9n(f) d'1f-tJ+a~-1(f) 'J.~r: ----- + qi_ dj¡~J +a.-{.(:l) == . m m
brn (1-)cl]jf!J + h .. -1 tf)1o'"1,:-~J+ 7 "_ + b, (-1-)d:fjJ-J-1 M1){«1-)
que al llamar .),,..., - d , entonces . (-' - -dt: f.; f{-1) = dn+c-1-J d.:f h
y la anterior ecuaci6n se convierte en . ·
· t driif)f/-(o(I) - 2_ b»i(+)p4¡(1-) ~=O . ~:O
1 ~
l •· ¡
1
-84-
~on la simplificaci6n
n n A(b):::L_Onf>,
tt=-0
obtenemos finalmente que
R {p )-{o(-1-) _ B(f; )-(~·(/) e} fo (-f) a · la e.xpresi 6n . ·~ = 1-/(f>} -l se le llama funci6n ope-
racional del sistema y seg~n lo hemos definido es un operador lineal.
Esta funci6n operacional depende de los parámetros internos del siste
ma, tales como R, L y e en l .os sistemas el~ctricos.
Operacionalmente la salida la escribiremos comWilnente como
. -(oM)-"' tt(f> )-{df) = L {+¡_{1g un sistema lineal e invariante en el tiempo es aquel que cumple
2) igual desfase para entrada y salida
L [-r« (-J-f,)] ::: -{o(f-fo)
se puecie demostrar que cuando un sistema lineal es invariante los coe-·
El circuito RLC considerado anteriormente es un ejemplo de lo que se
conoce como sistema físico pasivo.
Una propiedad de los sistemas físicos pasivos es que siempre que no hay
estímulo, no hay respuesta diferente a las condiciones internas del sis
tema.
~1 - ·-·-------
-85-
O sea, si para f ¿fo , -{¡ (f):: O entonces tambi~n ·
-(o(f)::: L {+~:(tJ]=.O -~ f¿fº
a los sistemas que satisfacen las condiciones anteriores se les conoce
con el nombre de Sistemas causales.
Es demostrable, en general, que todos los sistemas físicamente realiza
bles son causales.
En este articulo haremos un tratamiento de los sistemas lineales en el
dominio de la frecuencia .
En los sistemas lineales las respuestas a las funciones impulso <:J°(t) y escal6n /.J. (J) se representan simbólicamente por J¡ (/) y f}(-:f) respectivamente; 6 sea
Ó(J) ~l..__ _s_. L_. --J~f) Ll~>[ s. l.I ....... e~(t) _ h(+) =· L [ Ó(-J)] A(-1) L [ ll{t)]
Un teorema importante de los sistemas lineales y en relación con la
función impulso, es el sigUiente:
Teorema (I)
Sea h tf) la respuesta al impulso de un sistema lineal e invariante,
demostrar que l'R respuesta a cualquier otra funci6n {..t·~) se puede
expresar como
fo (1) = f<(t)o ltCf) =- (.Zcs)Mt-sJJ,s ,,. , -OCJ
6 sea, que si de alguna forma se puede conocer la respuesta del siste
ma al impulso, se puede hallar con 11s6lo 'papel y lápiz" la respuesta a
cualquier otra funéi6n, sin conocer la . estructura interna del sistema.
' n
1 v··
J
··--· -------- -- -- ·--
-86-
Demostraci6ns
como d(f) es el m6dulo de la convoluci6n,°.
y como por definici6n
-(1 .. .' (f) ::: -{i.(-:f) o Ó(-1) (propiedad de la convoluci6n)
jo(/) :: L [+~·(-/-)] , entonces
:{0 (¡:)= t{J,:(:f)oÓ<JV-=L [[~·(5)J(f_5)dsf
que al ser f_ un operador lineal en la variable t,
-(0 (1)= ('Z-cs)L[oct-sgds ahora, si el sistema es
_o()
invariante L { cf<t-sU = n(t-s) , luego
. . - · . o(}. · - .. - ·· .
-(o(-1) = ( .f.,:(s)h(t-s) ds = .{,_"(i-) o M1-) -CO
c.q.d.
En todo sistema linealt la transfon:::;ada de For:.rier de la respue&ta al
impulso se llama función del Sistema y se representa como /-1 { W)
6 sea ft(w)::: +{ti (1-)]
Un teorema importante :relacionado co!":i la funci6n del sistema es el si -
guiente:
Teorema (II) :
Sean -{¡ tt) Y .{o(f) el estimulo y la respuesta de un sistema lineal,
si +{Jd1)] ::: qdw) Y T{fo(t-)]= ~o{W)
.. ~ · -
-¡'~
demostrar que
Demostraci6n:
-87-
~o(w) ~i(W)
Del teorema (I) sabemos que la salida viene dada por
{o(-!) :=-("-(f)o h(f), entonces
+ [f.(f )] = 1 .{w) = r [í•<~)o h c~g y por la propiedad de la convoluci6n en el tiempo,
+[-{.{f)]:::. io(w) _ 'f {f,_tt)] 'J[Mf)J d
- . - - .. - - - ·- - - - . -- -- - --· - -·- -- - -- - -
~ 0(w)=1,_'(w)H(w) ~ H(w) == 1o(W) . . <j1.(w) .
.c.q.d.
Ejemplos
1) considere un sistema lineal causal con una ~ntrada ~·(..¡.) , demos
trar que la salida { 0 (J.) se puede expresar como
(o(:f) = r f,-{a)A {t _a)k =-r ¡. (t-u.) lt{_a) k -~ o .
Demostraci.6n:
Según el teorema (I) la salida viene dada por . -{o(-i) :::-{~{f)oh(-1-) • , o() . .
y por la definici6n de convolución fo(-f)= (_i-'-"{t-.a)n('!-}tÍLl
qUe por serf(t) ca;,.,;i, entonces -Ío{f )=. [)'<{f-M)/¡(ll)k . . o '
con el cambio de variable Í- tl . lr, .
1 ' i
-88-
-oD
-{ o(t) = (Z(.J-a) l.(a) k := Í/dv-)h_(t~v-) (:-dv)
.t O~ fo(f )=:: [ .{i[zr)h(f-v-)Jl/ y al ser V una variable muda
_fX)
_ _ ___ . . _Ú~(t) e::( t(á) li( f-~) "- = ~ _;; (t -~) /¡ (Íl) ~L c .-q. d.
-ro . o
2) Un sistema lineal e invariante en el tiempo est~ excitado con la
r . /_ ) Jwof · ·· í /...1) funci6n -t l. l:¡ = e ' hallar la respuesta -tº<..;:r
Soluci6ris
Hallemos qi.·(w) {~ ,-/lVu-w)S - - --- .. - c-ó JWoS -JlVS - e .J le r [ft."Cfij = [$ . "Á e ds ~ .. . ~-oO . " d 5
cuando vimos la transformada de Ó(l-a..) ' demostramos que
Í 00
J{l-tt..)W . ) .. e_ " dUJ = 2 ll <f"(l-a por lo cual
-«..> ¡ [.?¿H·)]:: zTT cf(w0 :...w) = 21Td(0-Wc)
y por el teorema (II)
+{fo(+)]:: H(w) J {rdt-)] = 27Tcf(w-wo) H(r.u) que por la integral de Fourier se tiene
ahora, por la propiedad del muestreo obtenemos finalmente,
- -·· --.-·~-. -~
\ ·
-89-
fo {f )= /-l{wo) e. IUJof y en general,
+ _¿ ~) = eJwt' la ~es puesta será
-{o (!) = 1-f (w) e_Iw:f
si la excitaci6n es
1~ 3) Hallar la respuesta de un sistema. lineal a las funciones seno y co
-----, \
seno.
Soluci6n:
Sean -(s {/) , .k (f) las respuestas del sistema a las funciones
seno y coseno respectivamente, 6 sea
· ,. que .
por ser lineal · . .
L [e:rwtJ = L {&iwl + :ri;e,,_wt] - íd,)+ J {s(I-)
y como por el ejercicio anterior, al ser {t!. (i) , -(5 {-i) funciones
de var:f_~ble real __ y_ de _
/.l(w )í!, Jwf__ -(~ (i) + I Ís (1)
se concluye que:
respuesta a ~UJf" es la parte real de /-1-(w) e:rwt" y
{-/-(w) eiw:t respuesta a ~wf ·es la parte imagina.ria de
4) Demostrar que la respuesta de un sistema lineal a una-f'unci6n perii
dica es tambi4nperi6dica.
J)emostraci6n:
' ¡
1 ¡
l 1
~ ~
-90-
f, <t) ~.___s_._L_.,___¡¡._.,¡~--rº_<;t~
Si ~·(t-) es peri6dica, su forma compleja del desarrollo de Fourier
es oO r1t 1 i:(-1) :=; Len e_
en que (L)
de donde segifu ejercicio (2) - . . - - - -JHTT/"- ~ - --oo ( n ir) /J p -
-{o(-1-) = L {!Y1 H b ~ Y1.:. -oO
que obviamente es peri6dica.
?) Se tiene un sistema lineal, el sistema no distorsiona las señales
aplicadas cuando la respues·ts es una réplica exacta de la entrada,
aunque pueden ser de diferente amplitud; 6 sea, matemáticamente ha -
blando
fo {-f ):::.. k ..(,/f--fo) , ésto indica que eventualmente
puede existir un desfase entre salida y entrada.
Hallar la funci6n /-f (W) para un sistema que
/--l(w) +{fo{!)] + [-f~"<-1!)]
Soluci6ns
Por definici6n
no distorsiona.
,
1
1
1
- ··-- · --
-91-
y por la propiedad del desplaza.miento en el tiempo de la transf'ormada de Fourier
¡[(o(t)]"' f {td«t-t.~ k e-;7w)= k<!-~f;{k·éfj
entonces -IWÍo !:<. (!_ Rta.
J-Átt) j O
•) El circuito de una punta de osciloscopio es de la forma
····--·-----+-,,___'""' . - l?.1
(! I
Halle la relación entre {21 , R2 , (!, l y {! ;¿ para que sea un sistema sin distorsi6n.
Solución: :
La función de transferencia de voltaje para este circuito es
C{s)- J[v-,(1)] = V2{s) _Rz_"--1.~~ - -f[v-;,(-t)]_ L/. {(s) Ri.C2 St1 R, +~i.
d._ R,c,s+t. RzCz.S+i
:.~
" ~ í
i
'
,. ,.
1
1 !
1
t _ --
-92-
con S := IW la funci6n del sistema es
¡ I ·' ) f-t(l'J
que por el
luego
R,R2.(e,-te-¿)JW-+ R, -r 1<2 _J(j)fo
ejercicio anterior /-f {W }= k <2. 6
./ "Z. 7. z ? 7'>"2. 1 \J R, Rl-~t r.u +f'.')
al elevar al cuadrado obtenemos 2 R/ Ri.-ze,7,w'-+ 12: = k 2'!2,i.R2@-1+e2) "2. {.{)?. + k 7.. ( R, + 12 2
)
esta expresi6n es v"1lida para toda frecuencia angular W , luego por
independencia lineal se tiene que
~---- R,zR,.Yl, 2=. k Í<.,'-R/-(e ,+~1) c. Y . Í2i.2 = k 2( f<,-+ R.~)
2
- -· . -· - - -- -- . . I al eliminar f<. de las anteriores expresiones ?e llega a que
{2,C{ = /2~ C2 que es la condición de no distorsi6n y también que
¡,..¡ - j2 2.. .¿_ llamado factor de atenuaci6n .
- R, -1-R4
En el osci l oscopü; 1 k:¿ es la. resistencia a.~ er:trada (Mega -"'4): (! ¿
le. capacidad fisica de entrada, R1 es una resistencia fi:)t. ·_ colocado
dentro d3 la :p!1.n:i;a y <! ¡ e.s un capaci to:r variable también inter-.ao ,
que se v.ju.sta pa.ra ohtener t:l fin deseado.
7) Dado un sistema lineal que no distorsiona, -hallar la respuesta
del sistema a la funci6n impulso.
soluci6ns
Sabemos que para un sistema que no distorsiona
-93-
lü.ego por la integral de Fourier, . { oOJw{f-11 1 1 (O<.) JWf o Jwf- k e d. Me+) = ¡-'(¡-1 cw> =-zfr 1 _~e " e dw = m -<>-> ,, 0
y corr;o vimos
luego
8) ----~--
a) Ha~er comentarios frecuenciales relacionados con fi{w) b) Definir el concepto de filtro al igual que las clases de filtros.
e) Realizabilidad de loa filtros.
d) Estudiar un ejemplo en particular.
Soluci6n:
a) consideremos -f., --
el circuito· LC de la siguiente figura -1 ------- -+ ---Q
L
. ) ' -t ) y sea -Ut (-:f- ..= <2. · ,l{ (-1 ; dado que la transformada de Fourier ,
de l.J1 {{) es ':: '·.,. ' , ' -- ·- · -· oO
· .· ( s· -JlVS t ~ ( {t_¡J) =- (¿_~'¡( (¿_ "'d s = i +JUJ
o ' '
el espectro de entrada es
1 [
Lc:/LCf/ .. ¡-l
Cr>n LC l
-94-
La funci6n - ·--de transferencia d~ _ _!_01 taje, - en el dominio __ d-e s_, es
' "Z..
G(s).= Vz.(s) = s V,(s) 52+1
luego la funci6n del sistema será
/-1-(w)= G(s)( == 5=. :rw
- -
y la transformada de Fourier de la salida se halla - a:sf-: ---
q z (UJ)
- - ----- --- -- ... --·- -- '2 .
) w f/-{w) q dw = (u.-»~- i f t+rw)
\'
y como { a ,, /·· - ·\ úJ 4
· / '- ( W) - ., {)J '_ W 4- {.() 1+ 1 el espectro de salida
' lo gra.ficamos fáci2.Iilerite eu la si,suiente fcrma:
/ q z(W) / es cero para ÚJ :::.0 y W.:: -+ cO ; sue puntos d e
márima y mínimos son los valores ÚJ::. O , + i ( verif':Íquelo)
en que d~ ! ~ ,{w)( = { {JJ ~ ú_/ ... w ~1), 4w~l{/{Gw~4UJ~2W) vale cero , obteniéndose el espectro
\
-95-
-1
Los espectros de V, ( f) y U:ir. (-f-) son 16gicamente diferentes, y nos
muestran el hecho de que el operador 1-/-{W) al operar sobre 91 {(J)) condiciona su espectro para obtener el espectro de salida; alterando
en una u otra_for:na la _amplitud de las componentes en frecuencia de
la entrada.
b) El análisis anterior nos induce a pensar en .La posibilidad de uti
lizar a H(ú.J) como una funci6n discriminadora de frecuencias. un filtro idetl es un sistema que atenúa totalmente parte del espectro
de una señal; dependiendo de la porci6n del espectro que aten~e tene
mos los siguientes tipos:
1-Filtro pasabajos
ES un -sistema- lin,ea.l cuya función del sistema. es
f/{w)::. e . para
[
-JaJ/"c
Q para
el espectro de este filtro es { lf(W) {
~ ti
____ _.i .... c--+i-· - ... L-(-_-----l~ .. ())
/ !
i ;
- · ------- -- ·- -
/ úJ/¿_ Wc
/ w! > Wc
¡j .. p ¡l ,! j .l
ll 1
1
·1 ¡I 1
i ¡-' i
-96-
2-Filtro pasaaltos
}'S.rs ··estos filtros la funci.6ri del sistema es
[
~-Jwfo
. o ~(w)
y su gnlfica tiene la r:r~) 1 ___ _
__ ; ..__.__! -------- {)) -Wc. 1 ())c.
}-Filtro pasabanda
Que son aquellos de la
En gclficas:
-w,
forma
tl JuJf o UJ/-t W/ L UJ2 .
rO 1
fuera del intervalo anterior
c~mbine.ndo los caso& anteriores~ se obtienen otros tipos de fil troa
con nombres específicos.
c) Un aspecto importante asociado con los filtros ea su implementa -
ci6n práctica; 6 lo que es lo mismo, su realizabilidad. Este aspecto
lo entendemos con el siguiente ejemplos
Hallar la respuesta de un filtro pasabajos ideal a la funci6n impulso
-97-
como
Ó(t-a.)
H(w) y
[e- JUJfo I w I <( Wc
1-t(w)= - I I ¡,, O W >wc
- ·· -¡;a: ·siguiente figura ilustra la respuesta {o(:f) - ----
. Wc. Tf
Dado que Ó(:f -_a.-) -=a -:>·O ~:, -es- cero para f¿ '1... , la grá.- .
f L.._ fica anterior nos muestra que la respuesta no es cero para
6 sea, el sistema responde antes de ser estimulado lo cual no tiene
sentido físico. Esta situaci6n es interpretada en el sentido de que
un filtro pasabajos ideal no es fisicamente realizable. Se demuestra
que los sistemas causales son físicamente realizables; la condici6n
de realizabilidad est~ contenida eriel siguiente crj.terio, llamado
criterio de Paley-Wiener:
la condici6n necesaria y suficiente para que
realizable es que
!
/ t /
H(W) s~a físicamente
! ! :i d ,1
;I !
r1 'I '. i lf l
• t j i
l i
~ .
-98-
d) Un circuito real que representa un filtro pasabajos es el siguien-
te:
+-•--=--- -~- _'a'"_ Lrn-~----- +
Üt (-t) R. ~ ·v-;_(¡ ) _
J- 7 / ~ t) ~ -------.L.-----'----4
Q_, - ~ -· La funciun de transferencia de voltajes, ene.l dominio des, es
G (s \ - . i _. --------_V, (s) J - Lcf 52 ..¡.. ~ + _1._) · - -- \l¡(s)
't !<C LC ·
al hacer R == Y ~ ' y a = 1{ fe 1 1 entonces
az G (s) = ~ _ s-+as-+a' · _
1 r- (-t 1 _ '1/ t ) _pJ_· {7' f:rl )J - -P LJJ(f) 1:: i V 1 ... I - q /...."':t" ' L u l ' · J - l_ __ ; con
_.:-·
-99-
6
y en gráficas
Como veremos en otro ejemploJ _Ja !..unción del sistema para este circui to es
( µ.(w)j ª2 ·~.
El siguiente gráfico muestra el espect:i;o dé h (f) .: { H-(W) I \
~
~~~~~~ª~4/~~a.__~~~~-..~w V21 tfi1
Como se observa la respuesta de este circuito, como filtro, es bastan
¡ 1
1
i 1;
1 ~ 1, q
íl d 1 i 1; ¡ ; 1' iL !I ' _,., 1! .
. !L JI¡ iil ,., ii 1
111 ' ;¡¡ ;!l · •11 .
'. l1' . ~ t l
' ¡ ¡ ¡ j ' j
. ¡
! i !
-100-
te parecida a la del filtro pasabajos ideal (línea punteada) .
9) EJ. circuito a continuaci6n es alimentado con una corriente cuya
forma de onda está indicada en ia figura adjunta . \
¿,(J)
lfo(t)
1 .. 1-- ;-----: 1 ·-, 1 1 1 1
Si el circuito se encuentra en estado estacionario y R = l.....Q.,
e = lf,
a) hallar el voltaje de salida
b) calcular la potencia entregada al circuito
soluciÓni
a) como la entrada es una señal peri6dica, hallemos su serie de
ÍI. - 1 l-( ~ r~ 'dK(/f + Í ~iít] = ~'AutJ 1 o ·n .fo
\.A..1 -r )o . t L »1T º . 1 lA1 Ji- ,f ·:.1 TT
(
fi ñ 1 "" · '>t.Tlf '_ ;_-c:ff)M ar. (L( ::.1 o n ::: ~eJ.A. -1... - --C ) )1(Í
o o oO
.. " X=I
La funci6n de transferencia para este ejemplo es
. R t G(s)- VoCs) - __ ::- ---- T.(S) - l<.CSf-i - 5+ i
R=l..Q.. ya que:
e= lf
y con 5 =- Juj se obtiene la funci6n del sistema
Fourier
-101-
H(w) =-1-i+sw
1-SuJ i+-W 2
Segiin ejercicio anterior, la respuesta del sistema a una función seno
es la parte imaginaria de H(w) e_.rwt- ; ia respuesta ª s~ wr es:
¡- 1 - IW )( e_ rwr 7 J W =- n lT L ÍfWZ J Imag.
y como 1-JW eJwt ~wt+WXL<.wf-f I(St.u.wf-f1J~wt) l+lUl i+ú.J2
teniéndose finalmente que:
respuesta al nivel DC, 1/2 es 1/2 · \
(1 .. /f,_ uTT") - . i -~ '>fT/ ~•- (,,. rrl" T;i .. -f TT' res pues ta a - '==U.),, u },«< n lí l.. es~ . . -, · ·J«<. 1 ,, lj .\. - l ""'4.(. 'tt11¡ . ~lT \ .. u • • rrnv1+rt 2n1 . \
' .
y por tal : oó . \ )
, I ( ) i 111."--~ ,:j \-:~hl{ ··i- 'r --(n fff- 7 0.U-~TT V O -f = - -t - · - --=-~; · 2. g•l, '~ .
2 rr . 1f.·1 ~ >1lif>i lT . h-:.1
; ,¡
1 1
t i
J ¡¡ !I
11 ll ' l a ! l !i
-1
1
-.••. "'-"··.,...--)..- .. '¡.,'-
-102-
.. + ------] Rta.
- - · - --- - . - -
b) La potencia 6 energ:f.a por unidad de tfempo entregad.a al circuito- -
es por definici6n,
- P = l:_ ( +:ro{:I-) i(f)IÍff en qu~ 2 p::. 2 zp -p .
aomo se demostrará posteriormente, si ifo(/} e ,i.(f) 00 >
se expresan
cono U-o{t)-::- Vo +- ¿ V11 ~{wr+A»)- - -rt:. I
-- - l{t) - Io + f I11 (J_q,(wú<i~) 11 ::. I
-103-
pero
lO) cua.n•o el pulso rectangular mostrado se aplica a cierto sistema
lineal, la reepuesta es -(0 ( f) =.f. [t<. (f-2)- ll(f-4) 1 .( ¡ (i: \ 2 'J
i--_-__ , ____ _ 1 1
-~----!...---... t 1.
a) Hallar lQ función del sistema
b) Hallar la respuesta al impulso
Solucilns - -- -:-- -::-- - - - ·- - -:::..-
/
a) -(,:(+ lJ 1 Jo(f) '1 S. L. _ _ r
Utiliza.mi.e fun,___cl.-. o-n-es-e-sc-a-lo~n-es, la entrada ea t-<."(i-) = 11.(/ J-/1. (f-f) luego - • 7 ·. . . , + [io(tJ] __ f'Lf u(f-2)-f 11.(f-4)J
H(w J = ···~:f+i('V-: + [11: c1 ).:..u <t-1)] .
¡¡
¡¡ 'i ;¡ " 11 '.!
-104-
y al simplificar . •· . .
f+(w)=ir {ir~ ((41-wi fe-21f e_3rw7 z. 1 - e-Jw z L < J
b r ])e.do que -ff (W J :::: + l-~ ( f)] , por -la integral de Fourier
hu+ .i t'ftcw)e-31w :o -.i . ( f (iz!e~3)lp)l'~tu 2TT }_bO 2Tf ) _oa
cu2.::ido hellamos la transformada de Fourier del impulso, C.ernostrB.mos
. que
-........
-105-
11) El circuito mostrado a continuación es excitado con la señal
v-, (J) -= 2e-1-u<-t) · · R .
~ ··.ED ·· L
Si R = 2 S2 , L = lh, hallar j(-_:f) soiuci6n:
Hallemos la funci6n h(t), respuesta del sistema al impulso!
La corriente en el dominio de S es
, I(s) == v<cs) = . lit es) ~--Pª-;;;.- -- u-,(-!-):.;: J"<I), i<.+LS 5+2 · -
i •
entonces I (5) .:::: Í 5+2 . -
siendo i(~)::: h (.f >~f-'( s! 2 7 _z"f -1 =e ,U.(+) (sistema causal)
12) Dado el siguiente sistema lineal \ l ¡ ( t
!
,¡,·.~ .. ;_,
-106-
...
Út-) ~-· _s_. _L_. --11
Demostrar que cuando se estimula con la deriva da -(1
((,/-)
ta es {i (.J-) · la respues-
----Demostraci6n: ·
Por propiedad-anterior
- si estimulamos al sistema con -(/(1-). la respuesta es.
00
Ío{t) = -[,'C-l-) o h(:f) = f -{,'(t--5) h (s)cls
. _ _ 6 {o(r) :/¡ {C~(f_s)h~~ds} =-J {E~~)~h(t-J que por (1)
./o {-f) := t [fz{f)] '=JI> {o(f) = {/(/-) c.q.d. ,-,
13) Se tiene un sistema ca:.i.sal en que ~· 'f) t2mbiér. es causal 1
si
)
( K
G(S es la función de transferencie. de, Laplace, d.ernastrar que
1-f{w) = G(s) /s=-:rv
(1)
-107- .
como s y t son variables mudas, de (1) ,\• (2
)
1-1 (U))= G(s) I c.q.d . ¡.,.
1=..JW
14) ~(t) es una función causal que no º'' ''l:iene una í'unci6n impulso en el origen. Si + {-tNij = 'j {w) ::: R(w)-+ :r X(i.U) ,
f< (úJ) ' X{W) funciones de variabl.. "•l, demostrar que
rv )-.iro-Jx(11)c1.u ·1 KlW - lT {jj-U
-oO
. - j_ f oO R!_ L{! k f Transfonnada _de _Hilbert
X{w) _ rr -w-# -_oO
Demostraci6n:
Ya vimos que en gen~ral cualquier funJ c~ 11t1 f(t) se pued~ descomponer en
la suma de una funci 6n par [ ÍP {f) > "''ª impar [ .{,_ { f) J , 6 sea
-((-t)_:;:.(p(f)-fj~:(-1)' Y po,. : ~1 ___ _ - ' .. . . -- -·-· . oO .
+ [P~Ü= 7rw) = ~(w)+ Ix(v) = {(;(5)ifts-1{5ts)(tlti al ser par,
un número real y siendo
-("-· (-f) impar ,. c0 "' ...Jw5 { _t«s)e d s. es v ·. · -1
' !\1fuero imaginario puros
. ' .
·· ::.~·;;;s~=.!~ .. ~~;,.~.,;;,~:;,""":"...:;f~==~::.:;~:: ' -~~"~::t:'.";':i'::.::::.~~ --'"--~-' · .
¡ ', ' Í:
J -~
· .~
d-
tif !Jti iJ nr·
\ ¡,:,
~---~--- "l~-¡·
' . i d . l
j 1
' "' _ , . ___ , " ... - ~ _,. - ...... ' • , ... ·, -:.;:!;
-108-
y por igualdad . de números complejos . ... .
J_f{s)e-~w¿ :o T[ft,(1-J]~ R{w)(a)
como f(t) es causal, f(t)=O, f <..O 6 -{ (/-) = ~(f)U.(f) (e)
de esta tiltima -((-i) = ~{-f)ll.(-f);
pero /)_(-t) = O .f >O luego para f >O . { 1 fLO +<-t) := o (d)
anteriormente vimos que
fr(-1-):=; {-f(l)+-((-t)] J,(l)=i [+{!-) ~{(~;)Ty por el
resultado (d), para f >O f-kl) =- {P (f ).= {i(-f) (e)
ahora 1 f(f) ~ [ r;(f )+.{i(f) luego por (e) para f ¿O
{p(f) =-f1..(f) (f), utilizando la funci6n Sigr:um en (e) y
( f) escribimos
De la transformada áe Fourier de la funci6n Signum
[ + [sirllJ] .= 3(u ] y de una propiedad de la convoluci6n jun-
to oon los resultados (a) y (b) se ;:lega a que
-109-
o-?
X (w):: 1- f /2(4.)k c.q.dº 7T _el) (i) _Jl
15) La densidad espectral de f( t) es ~ ( aJ) = + [+<t)] Sí :f(t) surre una distorsión tal que la nueva d~n~id~d--e~p~~t~l es. -
' 11(w) . +//ftff~ j{w){1+2c{~a;7l e(_ y T ctes
hallar f l ( f) Solución: Por la integral de Fourier .
. .. ' ., ' ~
" ¡
-110-
16) Un sistema retrasa la señal de entrada en f 0 unidades de tiempo
y despues resta la versi6n retrasada de la señal original.
Halle la funci6n 1-/-({lJ) de este sistema .
Soluci6n: - - - -~~·~-~- - · -· -- -
La. gráfica de esta si tuaci6n es
Por definici6n
vimos antes que si
17) Los espectros de amplitud y fase de una funci6n f(t) se muestran a
continuaci6n • Hallar f( t)
-111-
tJ(w)
-
---~7Tl2.
--''---+--...;¡_______. w -lL a.
Soluci6n:
- Tf&r-------~ Si 1 { W) = R (lv) -f J)~{ (!)) y con el siguiente triángulo
entonces
Por la integral de Fourier
•. ·. ·-
. continuaci6n; 18) Dado el sistema lineal 'e invaria~t·e que se ilustra en la página a
. .
si _ ltJ) , 7..í{/-) ·so1/funciones de la forma:
;\
'I
1 1
l 1 1 • 1 1
~· i ¡;
-112-
DO
¡ (-1) = Io + Z [vi eu; (wf + !3)1) )( = I
vR):: Vo + ~/ V11 <!,u) ( ()}f +ocH)
J . ."(1)
HaJ.lar . la potencia entregada por V(f) al sistema.
3oluci6n:
al evaluar cad~ integral
- 113-
1J Lioiodt ::: .2 r Voio .
· Í_~(wt +f?~)u = ~ { ~(wt-1~i; 4f l/P +(j ... )-Í!Attf/TF ifJ~ :=¿ (~ ... "~¡g ... - ~s ... ~ikll) =-o
en forma similar
b [ ~(wt+o!~)Jt- =o -p
y da do que - - · - - - - - -- - -- - -- - .
ó sea para rn ::/:VI u:na de i as dos sumas e .. oera y por supues t o i a doble surnat ori a ; para rn ::: n
hr
; ~ ¡; n ¡: + ,. l l ! !
1 .i
- . . . •. ~
- 114-
este resultado significa que todos los t~rminos de una de las sumato
rias es cero , exceptuando rn .=. Y1 y por tal
00 .
oO
i 2 v" r"~ e~,, -ci)1J P -- Vo Io.--l- -:;-'- }..t:: {
o
6.3 :Moa.ulaci6n :
Es un concepto íntimamente ligado con la transmisi6n de la inform&~
ci6n .
En general :
-115-
Modular es el m~todo de procesar una sefial para obtener una transmisi6n
mÁs eficiente.
Un caso t!pico de motulaci6n está basado en la traslación del espectro
de una ~eñal. Elil comilli que en esta traslaci6n se altere la amplitud, fa
se, frecuencia, etc de una señal llamada portadora. El siguiente teore
:na tiene que ver cen estos caso~ de modulaci6ns
Teorena: Sea !(t) una funci6n de banda limitada; si {!q;())cf es una
señal peri'4iica de frecuencia mayor que las que componen a f(t), enton
ces con el :producto f (1) <!m Wc. f se traslada el espectro de f( t) •
DemHtraei6n:
Ya viil•• q_ue + { einwcf]::: rr ó (w-w.) + rr ó (w :.¡ wc) y T [.rdt)-{i(lil . }ir ~ 1 (W) " i 2 cW) . luego
r [.rr1)~úk-t] = Íft frJ<111-1tk)+rr&w+()lcg o fw)
que per propiedades ie la funci6n i~pulso
T[R1)~wcf1= f e¡( (JJ.w.) + { ,(wfltk) e .q.d
•.
La siguiente secuencia"' nos muestra claramente la implicación del teorema
cuyas &ráficas ilustradas a continuaci6n muestran a f(t) y su espectro,
'íl ,1 , · t !! ~ \¡ \l i J : )¡
-116-
f (-f)
---'-----4----L.----iiP' __ U) ----w.,,:, __ :__ - --
y las siguientes gráficas nos muestran la señal produ~to y su ~spectroo .f (-t)~wc:t . { ~L-f<t)~Wc.ÍJ/
, " \
" \ I
I \, -_,
\ \ /
/,, -Wc -u.t,_{.f)
"' I
' ' -..j
:.,a gré.fica de -{(-f)V:;-¡W;;..f indica que la amplitud de (!.ff)(l.}cf
va.ría e.l ritmo de le.s .variaciones de f( t) en tal fonrre. que la er.vol1ren
t3 (línea pun-i-:efada) es une réplica :ic' f( t). E;l producto -{-('f) é;) U.k .. f es uJ1e í'orma d~ 18 lleL:iada t.iodulaci6n de amplitud (A.M.). En este:. oper.'.:
~ión') el espect:rc " / • .¡¡..
<.!..r..".; '. !.J ;:_ .t oe f(t) Lié ~:r2sladado all'ededor de -t W'' ·_,, . • En estos
\ . - '-
es L .. e.D.arla lH. pcn;ad0rE: 6 señal de al tB frecuencia.
Si f(t) '°-S de banda limitada, -{(-J:)r?...tnf.1)c:.t es también de banda lir:ü
tada.
una pregunta pertinente: Por qué para transmitir una señal se traslada
su espectro? En lóS cursos de antenas se demuestra que una señal es ra
diada en forma más eficiente cuando la longitud de la antena es del or
den de un décimo 6 más de la logitud de onda de la frecuencia de la se
ñal que se transmite. Lo anterior quiere decir que si se transmite una
,,,----..., .
-ll7-
señal de audio cuya frecuencia mAxima sea 10 Xhertz, y al ser
la longitud de la antena ~s corta para transmitirla ser~
~~ L = O. 1 A = _3_'t_l0_?1 ___ "f 0.1 = 3 ~
'º4 Obviamente, una antena de esta longitud es casi imposible de construir.
Estas consideraciones justifican la traslaci6n del espectro, porque al
elevar las fre8u.encias, necesariamente se reduce la longitud de la ante
na a dimensiones razonables; he aquí la importancia de la modulaci6n! !
consideremos ahora una señal de banda limitada m Et) tal que
- --- -la forma usual de la señal modulada en amplitud es
F(t) k [1+ >1fóf ~ ~Wcf e.a que ~ Wc. f es la portadora 6 señal de alta :frecuencia y nt(-f) es la información que se transmite 6 señal moduladora.
ya que Wc.. =::.. 2Tf~~ , en ~a transmisi6n comercial de .Á..M.,
550 xnertz ¿_fe.~ HiOO lChertz; y en F.M., 88Mhertz "'-{c.<..l08Mhertz
Ejemplos Para una señal modulada en amplitud, si h{(/)=l-U.o~c..t.Jw<f
a) Graficar la informaci6n, la portadora y la selí.al modulada en ampli-
tud.
b) Graficar el espectro de la señal medulada.
e) Hacer consideraciones ene±géticas.
l
1 1
1
-118-
a) Las sig~ientes gráficas ilustran la respuesta ~~ifJ ' -,,_
-~ -- -- --1
í
, ', I '
I ' ' \ '
/
I
/ '
I
I '·
/ I
I
f
\ - - - -- ---- -- - -
b) Por la identidad ÓJ) .,f_ eóJ f3 ::: f [ l!a:>(of -/3) + ('.;ry ( ol + /3) 1 la señal modulada se puede escribir como
r-(-t) = k ( 1-+ ~o~LV~l<t J ~a> uJc. .t \ /
- - • )' 1 - J/ - / . ''' ) + : , .. ..¡;._ ~-(z ::: K 6;;) UJc f + ~-~ ( ü..lc -1.JJvrt Á + K!?f o Gtr.J(Wc+C1.A-;;) l ,¿ .z
y como vimos + [('.,t;-, Wo-i] ::: Tf cf (oi Hth) + )7 cf ( l!J- U.!•)
0
~{;;)r·11 k [ ~(w+wc)+ó(w-Cll)] + k~"rr{s(w+wc-m..) + Ó (w-l<h +Wm)] + K~· lI [ cf(co-Wc-w,..) +cf(w+uJc +ah•i]
-119-
el anterior resultado muestra que el espectro est~ fonnado por un con -
jU."'ltO de funciones impulsos; en t~f;)crs
anda central
w -w .f{IJ e >'1 o luc+W>tt
A la po~taa•ra lVG se le llama banda central y a las frecuencias por
encima y p•r debajo (wc. +wm , Wc - W"M.) se les llama bandas
laterales. Un aspecto para resaltar aqui, y en cu_8:_1~~:_: __ A.~-M~ ,_ es el_
-- -- -- --- h-echo de -Ji.a.e· ihá i:n:fomación está contenida solamente en la~ bandas la-
r---..
terales ( ya que contienen a lLJ.;;;-).
c) En un ejercicio anterior vimos que la potencia de la señal fl~a.J:!
es P:: ~~ 2
luego por la identidad de Parseval, lá potencia
de la señal A.M. es
k < 2 '?
PA-M = - + k m. -t-2 ------ ~ - . -- "l - ..
D /< llamando re = p BL -:z.. , vemos que
'ntoi ; ~sto quiere decir que en las bandas laterp.les,
.. que son las que transportan informaci6n, est~
contenida s6lo una fracq._i6n de Ja potencia tctal PA .A.;
La energía en la informaci6n es m~:tlma __ cuando >no=- 1 ci6n); de donde en milxima modulacicfo
1 3
indicandonos que un 66:' de la energ:!a radiada
?h
!:
:L t
:! ,, l
,; .
1i '
'¡j
:1 '1 1
1 11
!
,4Mr444
-120-
por una antena está contenida en la portadora., que no lleva informaci6n • .. Esto se considera un desperdicio de enerefa. conclusi6ns la A.M. normal
es un tipo de transmisi6n energéticamente deficiente.
En la expresión modulada en amplitud F(-f) = k Ú+ru(f)~tDcf, la
informaci6n /11 (1:) y la portadora k ~ Wc -f están mezcladas; al
proceso de separar 'f11(f) de la señal modulada se le llama Detecci~n 6
Demodulac-i_6n; e~~e proceso- faene-- q\ie_~er éon el siguiente ___ t_eorema:
La multiplicaci6n de la señal modulada en amplitud por la portadora per
mite recuperar la información.
Demostraci6ns
Dada la A.M.
ñal producto es
ahora, por la identidad
Esta función contiene:
Un nivel DC: k/2
, entonces la se-
km (t-) + ~ ;n(-1)<!.m2 WcT 2 ;¿
La informaci6n: k ">?! (f) 2
y las señales de alta frecuencias /< ~ 2Wcf , -~ nt(-1- )~2Wcf 2 ~ /
con un condensador apropiado se elimina el nivel DC, como muestra la si-
guiente figura: -f- ._. -----t( I e {=p(f-)
•+ l-l(t)
=
. _,--....._
en que
' ·__ . .;. ..: .... -
,-
Finalmente, si R(t) se hace pasar a.travt$s de un filtro pasabajos cuya
frecuencia de corte sea menor que Wc se recupera la informaci6n,
como se ilustra a continuaci6n
- Filtro pasaba.jos, -- -
frecuencia de cor -- te ¿_.:()Je -.-
-t
~ rn(t-) 2.
A todo el proceso anterior se le llama Detecci6n 6 Demodulaci~n por pro
ducto; existen otros tipos de detecci6n diferentes al producto.
se puede demostrar que la deteccicfo tambi~n se· lleva·a-c·aoo,- -m.Ultiplica::_
do a la Beñal A.M. por cual:qu±er-funci6n peri6dica Q.e frecuencia (J)c •
Este producto se realiza internamente en el receptor, ya que mediante un
comportamiento a.lineal del dispositivo aparecen, entre otros t~rminos,
·. . { k[1-1-rlf(lij~wcd2 que al analizarlo se observa que se puede llevar a cabo la detecci6n • .... El ejemplo anterior nos mostré que la A.M. comercial y en el mejor de
los casos, la señal ~e _!-nforiiaci6n __ i'Z1 tf) s6lo contiene el 33~( de __ la -
potencia de transmisi6n; luego una pregunta 16gica seria: si el 66~ de
la potencia se desperdicia, por qu~ es tan comWi la transmisión .A.M. ?
la respuesta es la siguiente:
.Al transmitir I<. m(+) ~wct es obvio que no se transmite la por
tadora; pero para efectuar la detecci6n, el receptor debe generar inter
namente la portadora mediante un oscilador local va'riable que es mucho
~8s caro que el receptormismo, obtándose: más bién, por transmitir tam
bi~n la portadora ante el encarecimiento de la recepción.
Sin embargo, existe la transmisi6n sin portadora pero al nivel de radio
aficionados-,llamada doble banda lateral (D.B.L.) . La señal D.B.L. se
muestra a continuacj.6n:
" 7 a nana
-122-
••
Es claro que en la D.B.L., lu informaci6n est~ contenida en ambas ban
das laterales.
Tambi~n existen transmisiones _en que est~.n eliminadas la portadora y
una de las bandas laterales; a esta transmisi6n se le llama banda late
ral 6nica (B.L.u.). Desde el punto de vista potencia, la transmisi6n
B.L.U. es 6ptima.
En televisi6n, la señal de video es A.M. y la señal de audio es modul&
ci6n en frecuencia (F.M.).
Ejercicios:
1) Sea f(t) una función peri6dica de período T y coeficientes comple -
jos <:>11 ; para la fu..'1.Ci6n (A.M. ) J .f(f)~ YnWo-f demostrar que
sus coeficientes complejos son:
(</,) 1J ') Pk ::. ; tk-m + Liu'i'PI en que
,.._ /
Demostracióni
Wo ;;;. J.7T y m es un entero. {
Sabemos - que por ser periddica -[(;!) ;:; (1) en que
r-r 2JnTrt e VI ::_ f J ~/)e-" ~ ( 2)
o En forma similar, si . F(-1) .=-{.61)~ lrt Wo -;f
··~
-123-
reemplazando (1) en (3), obtenemos que
o0 T 2ITT(n-k)L/.
n"' j,_ L en f ~ ?!f!'ti e r: d¿¡ . . T n::-o0 o
calculando los limites PR = O ' exceptuando n - k = -+ >n para los cuales . · -¡-
r T 2Jrr 110_ fo . _ 2 Jlf ''"-'· º . . :f.. /J /1 - 2mna /) -r J.,_¡. -l /!)"' em ?M~- e TJ. J r I< =- - Ck+m \......(J/ ~ ~ ""o.u.. T Ct< - Jf.1 . T x au., T ·· · · o -o - -· .
y al evaluar las inteerales
' .
2) sea </X W) la fase de J ÜV) , demostrar que <}r (1)) = _ f f-w) 6 sea, el espectro de fase es una función impar •
. Demostración: segifu la transformada de Fourier oO · .
~{(J})= ¡+:s)e-;r¿ -_ L'ffs)~wsds -sf :<s) ~ w5ds _o0
(3)
T
-124-
ento1.:ces J¡ - ( i¡1f w) = I OA.-
J i<s) &nwsdS
cambiando W por -W y sabiendo que:
5-eu (-e).:::- Seue <!_15) (=e) ~ ·f!.o5 {) -- -=-- -
I ) -1 TOM.-(-e -= - Ta«- e oC>
(_-;f{5) X4w5dS
r_:-«s) 4-i w sd 5
C>4
- -- -, ;:w-. ) . T -' !fs)':Atw>d~ J./a;) . o 'f:{-ú.J =-(Úú. J~o0 =-y-c.q.d.
. · fFJ,s)~ws's
3) Un dispositivo que varía el dngulo de fa;: f,f w} de una funci6n
f( t) es llamada un sistema Defasador • .H.2.llar 1-/(w) para un sistema '-·
que desvía un á.'1.gulo o(_ la fase de todas las componentes en frecuencia d.e la función f(t).
Solución:
Si ~ ¿-:-(' /-t-)' 7 _- (,fd' Í ¡, ,.)\ + f-L~ ¿_] LVJ , entonces
en que f {r.iJ) es la fase de_ f ( t). Para el sistema
f(t-) - ~ 1 - Defasaci.or -
'---------J
¡ 1
1 1
1 ! 1 J 1
1 í
-125-
J #/)fa;) q D (w) ::: ¡ [-fo(f¡] = I ~p(w)/ e .
luego
0
~·/ ~unc:J6n d~ :;:)•: ~·¡ 9 clw) / (!T{ j 5 ((JJ 8 n lw = t1 (wT - ~(w) /
(/J~ (w) = <{Jt>(w)- p(w); - -en que
para este sistema </;1>(W) - /rw) =. d.. y además, si queremos
que el sistema no distorsione, la magnitud de /l(llJ) debe ser unita-
ria.~ luego
1-k_w) = Jd e --, cuya te:áe
Ps(w) G(
- - - - - - ----- - - - .
en grdficaa es
--~~~----t-~~~~~~~•l.lJ
Esta :f?s~ :._:P.-º-- ~~ - ~jusj;a __al resul tado-JieLejercicio-anterior ya que {s(a1 •no es una :función impar; luego si hacemos <}5 (W) ~-d.. para frecue~ cias negativas, la convertimos en una funci6n impar como se muestra. a
continuaci6n p,(w) ~ti:¡--_
----4-1--__ ____...,.,,.. {1J
-t-tt resulte.ndo que
... -•· 1
¡, 11
I L
¡1 ,¡
l ..
¡¡ ~ ¡
1.'' ~. ¡ ,
J!I A
-126-
~s{W):={d_ -d..
/).. (W) funci6n escal6n
w>o = 2 d_t,({w) --cl.
WLO
siendo la funci6n del sistema pedida]
µ{11Jj::: e :J [:u.a(w)_~~
4) Un modular balanceado es aquel que genera señales moduladas en ampli
tud (A.M.) con portadora suprimida, -( {-1) etn Wc f Dado el siguiente sistema,
...-------· ·--.... +odulodor balanceado l--a--{_,_<J_~_) ___
1 o- t ec-Jwcf .L .U.
t ~ s~wcf~ 1
r rt) . ll - j J.;D\'. .----...._____. _ rr¡
2 Modulador balanceado 1 _ __.p;.Ml~..__z._(_'-f_) __
("---\ ' , defasador ( 2)
Demostrar que -Íc (-f) + -{ z_ ( f) es una señal de banda lateral única
. .-
-----~----~- - ···----r- ·-· ~-..--. - ~· .. ~-~- -~· - - -.-· . -
-127-
(B .L.U)
Soluci6ns Para los defasadoree (1) y (2) la funci6n f{{(J)) es
(segdn ejercicio anterior) ] J [- 2 .,:Jf tl{w) ..f TT/-¿ - TI tí. (v) 1
H( w) = <2 = I e luego las salidas de los moduladores balanceados son:
-(,t.f);: -{.(-f) ~ (J)cf
1 -f l ( J) = -{O ( f) 0t Wc f
y en ~I ;;)~ºf !f~r;:~~'¡] .· 1iú»)=+ftD(l~SIA~1· --.ne las transformadas del Seno y Coseno . - - - ·
q 1 {w) = frr 1 (w) o frr J°(waj + rr Ó(w-uk H = i G (ww,_ )+ 1 ( /IJ-Wcy .
1,lw) = 2~bMJ1 r <twJl(jº {rrr J<w+lVc)~rrró(0-Ukj .... . ~f fo{w®c)ef~úPfWo~1(w~)["[u(w-wc)]J- .
_ y al sumar los resultados anteriores - ·
"<e-{¡ . ~ ·, r [ -7TLL{w.µpc)1) . , ( _n(L(a,.a!)l/ -f tf,(t)++~C-f)J-=-~ [7{w+1Lt) 1-e · . j+~{w-UlcJ{L-1~ J;
. .
. ~, •• '• ' •• -;"' .• ·l.!:.:.. - .
t r: t ! l
¡ '
1 1
1
-128-
W <'.'.'. -ú.Jc -· ahora, ,ll(w-t-wc)::: [ 10 ··y por tal
ÚJ )- lUc
-TTtl{W+UJc.)J o ÚJ ¿-úJ, 1- <2 2Ll(W+UJc)
2 w >-Wc
Teniéndose finalmente que
La sieuiente secuencia de gráficas nos muestra que
es una señal de banda lateral muca
~ . espectro de f(t)
~-----------~----+----------------~~~LV .
~ /0· espectro de -{C-l:)~wc-f
Wc p
-Wc. w
~ /í de -(¡ {¿ )+.{z (f) • 1 espectro ' ...._, ./
-UJc lth:. trw
como se observa, en el proceso se eliminan las bandas laterales su -
periores.
En forma similar se demuestra que
bandas laterales superiores.
contiene s6lo
,...--...
.· .. . <
-129-
5) El espectro de amplitud de una fwici6n f(t) estd mostrado en la fi
gura a); si f(t) es la ten.ei6n de entrada de un circuito cuadrAtico cu
ya característica es Uo(i) .=. R Ü¡"Z.(f-) , demuestre que la salida-
tiene el espectro triangular de la figura b). ( '.} [ tTo(t)l I
a)
1 1 . •
b)
-2Wn.. o
/<z.W'rtt 7T
2W»t
solución: asumiendo que el espectro de fase de f(t) es lineal, entoncee . . _JW"fo
1(w) :::(c¡(w)/ e ' fo :o cte . y por tal
·. ("° }. _Jf.Vfo JWf J< ~WtK (-f-fo) +c.j) ~fn: ) f t(UJ) ~ ~e dw Tr(f-f o)
_e{)
ahora, . . _ _ Ú o (-f) =:. A ?J¡'(f) = · fl k ~ ... ~ «J}w. (f-fo) , y . . rr2 . ----rt ~t~F -- --~ ---, -
~ { \] Ak:2J~}e,,_ia;,..(s-t.2e-~i t llo(f I :: Tl 2- _o0 (j_-i~ z.
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-130..,.
-- - - -- ... - ··. - _· -- ·- ··· ·¡ 4-'árv,.,- úJ) Za · z \
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..... . 1 Teri..iÉndose el espect:co . (c.¡ / ,)!
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