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Notas Aula 2u

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notas de aula de fisica matemática

Text of Notas Aula 2u

  • Fsica Matematica 1 { 2014.1

    Notas de Aula { Segunda Unidade

    Professor: Leonardo Ribeiro Eulalio CabralDepartamento de Fsica - Sala 354

    Telefone: 2126 7621E-mail: [email protected]: https://sites.google.com/site/fisicamatematicadfufpe2014/

  • AVISO

    Estas notas de aula n~ao devem ser consideradas substitutas das refere^ncias lis-tadas (ou de outras que possam ser pertinentes ao conteudo da disciplina). Re-comendo que sejam consideradas como um complemento da bibliograa, de modoa servir de guia de apoio ao estudante para um bom acompanhamento da disciplina.

    Estas notas n~ao s~ao de forma alguma completas ou livres de erros e incon-siste^ncias. Ate dito em contrario, estar~ao em estado de permanente atualizac~ao oucorrec~ao. Sugest~oes e correc~oes por parte de terceiros (quer sejam estudantes oun~ao) ser~ao bem-vindas.

    Leonardo R. E. Cabral

    Recife, Abril de 2014

    1

  • Captulo 1

    Introduc~ao

    Introduc~ao de conceitos basicos utilizados na Fsica Matematica moderna, tais como, conjuntos,func~oes, relac~oes de equivale^ncia, espacos metricos, etc.

    1.1 Conjuntos

    Denic~ao informal: \Colec~ao de objetos (elementos do conjunto) sem uma estrutura". Exemplos:estudantes de Fsica Matematica 1 em 2011.1; vetores no espaco; pontos em uma reta; eventos noespaco-tempo, etc. Seja a um elemento de um conjunto A. Diz-se que a pertence ao conjunto A oua 2 A. A negac~ao de tal armac~ao e dada por a =2 A.

    Nos conjuntos a ordem e a quantidade de vezes que os elementos est~ao listados e irrelevante.Dois conjuntos A e B s~ao iguais se e somente se (sse) cada elemento de A for tambem elemento deB e vice-versa.

    Um conjunto contendo nenhum elemento e denominado de conjunto vazio, sendo representadopor fg ou ;. O conjunto unitario (singleton de acordo com [Hassani]) e composto por um unicoelemento. Um conjunto pode ser representado pelos seus elementos delimitados por chaves, e.g.,N4 = f1; 2; 3; 4g representa os conjuntos de numeros naturais menores do que 4, enquanto queP7 = f2; 3; 5; 7; 11; 13; 17g, o conjunto dos numeros primos menores do que 18. Uma outra maneirade representac~ao e dada por

    A = fa j a goza de propriedade Pg:

    Ou seja, A e o conjunto de todos os elementos a tal que P seja verdadeira (o [ElonLages] utiliza ;ao inves de j). Desta forma, pode-se escrever o conjunto vazio fa j a 6= ag, N4 = fn 2 Nj n < 5ge P7 = fp < 18 2 Nj p 6= mn; 8 m 2 N e 8 n 2 Ng, onde N representa o conjunto dos numerosnaturais.

    As vezes, conjuntos tambem podem ser representados por intervalos. Por exemplo, [0; 1] e ointervalo fechado fx j 0 x 1g se refere a todos pontos x entre 0 e 1, incluindo os pontos 0 e 1,enquanto que (1; 1) representa o intervalo aberto fx j 1 < x < 1g onde todos os pontos x est~aoincludos, exceto os pontos 1 e 1.

    Pelo teorema fundamental da aritmetica, todo e qualquer n > 1 2 N pode ser representado de maneira unicapelo produto de um ou mais numeros primos. Por isso, n~ao se dene o numero 1 como primo porque acarretaria emmais de uma maneira de se representar um numero natural. Por exemplo, 15 = 5 3 = 5 3 1 1.

    2

  • Figura 1.1: Conjuntos de pontos em que jzj = 1:

    Alguns conjuntos numericos possuem nomen-clatura bem conhecida. Por exemplo, o conjunto dosnumeros naturais,

    N = f1; 2; 3; 4; : : :g;o conjunto dos numeros inteiros,

    Z = f: : : ; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; : : :g;e o conjunto dos numeros racionais

    Q = fpqj p 2 Z e q 2 Zg;

    onde Z = Z f0g. R representa o conjunto dosnumeros reais, cujos elementos podem ser descritosgracamente por uma reta contnua. C se refere aoconjunto dos numeros complexos, por sua vez, e podeser representado por pontos em um plano. Observa-se que N Z Q R C. Outros exemplosde conjuntos s~ao: o conjunto de todas as pote^ncias n~ao negativas de x, fx 2 R;xn; n 2 Ng; oconjunto das razes quarticas de 1, fz 2 C; z4 = 1g ou f1; i; 1; ig; o conjunto formado porvalores de z tais que fz = x + iy 2 C; jzj = 1g que dene uma circunfere^ncia de raio 1, conformemostra a gura 1.1.

    Se a 2 A para todo e qualquer a 2 B, diz-se que B esta contido em A, ou B e subconjuntode A, o que pode ser representado por B A. Se A tambem for subconjunto de B, i.e., A B,ent~ao A = B, o que signica que todo elemento de A tambem e elemento de B, ou seja, A = B(na realidade, para poder mostrar que dois conjuntos s~ao iguais, deve-se antes mostrar que A Be B A). Um subconjunto proprio de um conjunto A e qualquer subconjunto B de A, mas B 6= A(ou seja, existe a 2 A em que a =2 B).

    O conjunto ; e subconjunto de qualquer conjunto X. Isto porque se ; X n~ao fosse verdadeiro,existiria um x 2 ; tal que x =2 X. Mas x 2 ; n~ao e verdadeiro. Logo, ; X. Percebe-se tambemque, com excec~ao do conjunto vazio, um dado conjunto possui pelo menos dois subconjuntos: ; eele mesmo.

    O conjunto P(A) formado pela colec~ao de todos os subconjuntos de um conjunto A e denotadapor vezes de 2A. Este conjunto nunca e ;, pois ; 2 P(A) e A 2 P(A).Isto porque o numero desubconjuntos de um conjunto contendo n elementos e 2n

    Considere o conjunto vazio, fg. Claramente, este possui um subconjunto (ele proprio). O conjunto unitariopossui dois subconjuntos: ; e ele proprio. Um conjunto com dois elementos possui 4 subconjuntos: ;, ele mesmoe os 2 subconjuntos unitarios formados por cada um de seus elementos. Se um conjunto possui tre^s elementos,A(3) = f1; 2; 3g, os subconjuntos s~ao: ;, f1g, f2g, f3g, f1; 2g, f2; 3g, f3; 1g e A(3). Ou seja, existem 1+3+3+1 = 8subconjuntos. Verica-se, portanto, que, se A(n) = f1; 2; 3; 4; : : :g, teremos o ;,

    n1

    subconjuntos unitarios,

    n2

    subconjuntos de dois elementos, : : :,

    n

    n 1

    subconjuntos com n 1 elementos e A(n). Ou seja, onumero de subconjuntos de A(n) e

    NA(n) =

    nXp=0

    np

    =

    nXp=0

    np

    1p1np = (1 + 1)n = 2n

    3

  • Propriedades da relac~ao de inclus~ao Reexiva ! A A, 8AAnti-simetrica ! A B e B A, ent~ao A = BTransitiva ! A B e B C, ent~ao A B

    Figura 1.2:

    Das operac~oes mais comuns entre conjuntos tem-se:

    [ A uni~ao dos conjuntos A e B, A [ B, e umconjunto formado por elementos de ambos osconjuntos. Isto signica que se escolhermos umelemento x qualquer de A[B, temos que x 2 Aou x 2 B, i.e. A [ B = fx j x 2 A ou x 2 Bg.Se fBg2I (onde I e um conjunto de ndices,cujos elementos s~ao ) e uma colec~ao de conjuntos, ent~ao a uni~ao de todos esses conjuntos edenotada por [B.

    \ A intersec~ao dos conjuntos A e B, A \ B, eo conjunto formado pelos elementos comuns aA e B. Ou seja, dado um elemento qualquerx 2 A \ B, x 2 A e x 2 B, i.e., A [ B =fx j x 2 A e x 2 Bg. Se A \ B = ;, osconjuntos A e B s~ao chamados de disjuntos.Note que A\B A e A\B B. Se fBg2Ie uma colec~ao de conjuntos, ent~ao a intersec~aode todos esses conjuntos e denotada por \B.

    Algumas das propriedades das operac~oes [ e \ est~ao listadas abaixo:

    A [ ; = A A \ ; = ;A [ A = A A \ A = AA [B = B [ A A \B = B \ A(A [B) [ C = A [ (B [ C) (A \B) \ C = A \ (B \ C)A [B = A, B A A \B = A, A BA [ (B \ C) = (A [B) \ (A [ C) A \ (B [ C) = (A \B) [ (A \ C)

    ou n A diferenca entre os conjuntos A e B, denotada por AB ou AnB, 'e o conjunto de elementosde A que n~ao pertecem a B, ou seja, A B = fx j x 2 A e x =2 Bg. Se A e B disjuntos,AB = A. Desta forma, pode-se dizer que AB = A (B \ A)

    ou { Quando B A, A B tem o mesmo signicado que o complementar de B em relac~ao aA, A B (denotado tambem por {AB). Isto pode ser escrito como A B = fx j x 2A e x =2 B Ag Se existe um conjunto universal E subjacente, cujos subconjuntos s~aoos conjuntos A, B, etc, escreve-se A ou {A o complementar de A (ver gura). Note que (A [B) = ( A) \ ( B) e que (A \B) = ( A) [ ( B).

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  • 1.2 Produto Cartesiano

    Dados dois objetos a e b, diz-se que (a; b) e um par ordenado, onde a e b s~ao a primeira e segundacoordenada do par, respectivamente. Denota-se o produto cartesiano dos conjuntos A e B porA B = f(a; b) j a 2 A e b 2 Bg Se B = A, i.e., A A = A2 = f(a; a) j a 2 Ag, denota-sediagonal de A2.

    Pode-se ainda existir o produto cartesiano de n conjuntos A1, A2, : : :, An, A1A2 : : :An =f(a1; a2; : : : ; an) j ai 2 Aig que e o conjunto de seque^ncias ordenadas de n elementos ou n uplaou n tuplo.

    Os cartesianos mais comuns s~ao aqueles em que A = R. Por exemplo, R2 e o conjunto de paresordenados (x1; x2) que designam os pontos no plano Euclidiano, enquanto que R3 e o conjunto detripletos ordenados (x1; x2; x3) que designam os pontos no espaco Euclidiano.

    1.3 Relac~oes de Equivale^ncia

    Os elementos de um conjunto podem ser agrupados utilizando alguma relac~ao entre eles. Comoexemplo, a um determinado campo magnetico ~B pode-se associar um conjunto de potenciais vetoresf ~Ag, onde ~A ~A0 = rf , f sendo uma func~ao bem comportada , pois qualquer um destes potenciaisvetores produz o mesmo campo magnetico.

    Uma relac~ao em um conjunto A e um teste comparativo entre pares ordenados de elementosdeste conjunto. Se o par ordenada (a; b) 2 A A for verdadeiro perante esse teste, diz-se que aesta relacionado a b ou a B b. Por exemplo, tome A o conjunto de alunos de Fsica Matematica 1em 2011.1. Considere um par ordenado de estudantes e os relacione por fulano (a) e mais velho doque sicrano (b), ou seja, aB b. Esta e uma relac~ao entre os estudantes de Fsica Matematica 1 em2011.1 onde n~ao existe simetria, i.e., se aB b for verdadeiro, bB a n~ao o e.

    Uma relac~ao de equivale^ncia em A e uma relac~ao em A que possui as seguintes propriedades:

    aB a, 8a 2 A (reexividade).aB b ) bB a, 8a; b 2 A (simetria).aB b e bB c ) aB c, para a; b e c 2 A (transitividade).

    Desta forma, a e equivalente a b. Por vezes, a relac~ao de equivale^ncia ser representada por ./.Observe que o pro