Notas de álgebra moderna, álvaro lopez

8/19/2019 Notas de álgebra moderna, álvaro lopez

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Notas de Algebra

Cristobal Rivas

Estas notas tienen un doble propósito. Por un lado, los capı́tulos 1, parte del 2, y 3 est´ anpensadas para un curso medianamente introductorio de pregrado o magister en matem´ aticas.29 lecturas (menos 3 pruebas) (de 18 de marzo a 4 de julio mas menos). Por otro lado, lostemas anteriors mas los temas mas profundos del capitulo 2, aśı como el capitulo 4 formanun curso de un a ño de nivel magister-doctorado.

Para el curso introductorio se contemplan 3 evaluaciones y se enviar´ an tareas semanalmente.

Además, durante las clases se ir án dejando ejercicios que eventualmente se utilizaran indis-tintamente en argumenteos posteriores.

Índice1 Introducci´ on a los grupos 3

1.1 Denicion abstracta y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 El Teorema de Cayley y el grupo simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Subgrupos normales y grupos cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Teorema del isomorsmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 El grupo de Automorsmos de Z/p Z : el teorema de Bezout. . . . . . . . . . 81.6 Acciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Los teoremas de Sylow y algunas aplicaciones 132.1 Los teoremas de Sylow (1870) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Grupos de cardinalidad p q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3 Fabricando nuevos grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4 Clasicacion de grupos de orden 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Algunos t´ opicos en teoŕıa de grupos 183.1 Simplicidad de An , n

≥ 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 El grupo libre y presentaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.3 Clasicacion de grupos Abelianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4 Grupos solubles y nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.5 Grupos como objetos geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.6 Representaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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4 Anillos 254.1 Deniciones y Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Ideales y anillos cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3 Dominios de Integridad y cuerpo de fracciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.4 Anillos de Polinomios y Dominios Euclideanos . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.5 Dominios de ideales principales y de factorizac ón unica . . . . . . . . . . . . 304.6 Todo DIP es DFU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.7 Algunos criterios de irreducibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.8 Un resumen esquematico de ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5 Teoŕıa de cuerpos y de Galois 395.1 deniciones básicas y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2 Automorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

6 Apéndice: un poco de historia 46

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1 Introduccí on a los grupos

1.1 Denicion abstracta y ejemplos(Preguntar si saben lo que es un grupo.)

Un operaci ón o regla de composición en un conjunto G es una funcion op : G ×G → G.En lo sucesivo, para x, y ∈ G, anotaremos op(x, y) simplemente como xy o x + y dependiendodel contexto.Denición 1.1. Un conjunto G dotado de una operaci ón op se dice grupo si la operaciónsatisface las siguientes propiedades:

1. ∀x,y,z ∈ G, (xy)z = x(yz ) (la operaci ón es asociativa).2. Existe e ∈ G tal que para todo x ∈ G vale que xe = ex = x.3. Para todo x ∈ G existe y tal que xy = yx = e.

Ejercicio 1.2. Pruebe que el neutro y los inversos son unicos. Los anotaremos con x− 1.Mas aun, pruebe que si e es un elemento de G cumple que existe g ∈ G tal que e g = g, entoncese = idG .

Denici´ on 1.3. Dado un grupo G con una operaci ón op, decimos que H ⊆ G es un subgrupo deG si op(h1, h2) ∈ H pra todo h1, h2 ∈ H . Anotamos H ≤ G.Ejemplo 1.4. • Z, Q, R, C (N?) (subgrupos)

• R∗, C∗, S 1 (subgrupos?)• Zn como subgrupo del ćırculo.• El grupo simétrico: S n y Perm (X ) = S X = Biy (X ). Decir que S X actúa en X .• Dn como subgrupo de S n y como automorphismos geometricos.• Grupos de homeomorsmos del de una variedad.• Grupos de matrices

Ejercicio 1.5. Pruebe S X (y el resto de los ejemplos) es un grupo.

Observaci´ on 1.6. Note un conjunto puede admitir varias reglas de composicion, dependi-endo de lo cual será o no un grupo (ejemplo en Z , op(n, m ) = 0 no tiene neutro, o ( Z , ·) notiene inversos.)Observaci´ on 1.7. Note que el orden de los factores si puede alterar el producto. Porejemplo en S 3, (12)(23) = (23)(12) (escribir como composicion de funciones). Otro ejemplofacil es Homeo(R ). Si xy = yx para todo x, y ∈ G, entonces diremos que G es Abeliano (ymuchas, aunque no siempre, veces anotaremos xy como x + y).Denición 1.8. Dados G y K dos grupos cuales quiera, decimos que una funci ón ψ : G → K es un homomorsmo si ψ(xy) = ψ(x)ψ(y) para todo x, y ∈ G. Dicho homomorsmo, sedice que es un isomorphismo si además ψ is inyectiva y epiyectiva.

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Ejercicio 1.9. Estudie la relación de subgrupo para los ejemplos ya dados.

Ejemplo 1.10. Sea R+ = {r ∈ R | r > 0}. Entonces ( R + ,∗) es un grupo y que log : R+ → R esun isomorphismo de grupos.ψ : S 1 → S 1 dada por ψ(z) = z2, es un homomorphismo de grupos y su kernel es Z 2 = {−1, 1}.

Proposici´ on 1.11. Sea ϕ : G → H un homomorsmo de grupos. Pruebe que1. ϕ(idG ) = idH .

2. ϕ(g− 1) = ϕ(g)− 1.

3. Vea que el núcleo del homomorsmo, Ker (ϕ) := {g ∈ G | ϕ(g) = id}, es un subgrupo de G.4. Vea que la imagen del homomorsmo, I m (ϕ) := {ϕ(g) | g ∈ G}, es un subgrupo de H .5. Pruebe que ϕ es inyectivo si y solo si ker(ϕ) = {idG}.

Dem:

Ejercicio 1.12. (Tarea) Dado g ∈ G, pruebe que la funci ón C g : G → G denida por C g : f →gfg − 1 es un isomorsmo. Pruebe ademas que para todo g, la función T g : G → G denida porT g : f → gf , es una biyecci ón de G en G, pero no un homomorsmo de G en G.Ejercicio 1.13. (Tarea) Puede ser Q isomorfo a R o a Z? Puede ser R isomorfo a R∗+ , (donde R∗+es el grupo de los reales positivos bajo multiplicaci´ on)?.

Ejemplo 1.14. Notar una operación un grupo G está completamente determinada por sutabla de mutiplicación.

Armamos que, m ódulo isomorsmo, solo existe un grupo con dos elementos, y que lomismo es cierto para un grupo con 3 elementos.

Nos apoyaremos en que T g siempre es una biyeccion de G en G, que [aa = a]

⇒ [a = id],

y usaremos la táctica del Sudoku .Dar ejemplos “concretos” en cada caso.

Ejemplo 1.15. (El grupo de automorsmos de un grupo) Sea (G, ·) un grupo. Deno-tamos por Aut(G) la colección de automorsmos de G, esto es, isomorsmos de G en G.Aut (G) bajo la composición es un grupo.

En efecto. Si f , g ∈ Aut (G), entonces f ◦g es un homomorsmo de G en G que ademases biyectivo. Por otro lado, f − 1 es otro automorsmo de G y f ◦f − 1 = f − 1 ◦ f = id, dondeid : g → g, el automorsmo identidad de G.Ejercicio 1.16. ** Pruebe que Aut ((Z 2, +)) es isomorfo a ( GL 2(Z ),

·), el grupo de matrices 2

×2

con entradas en Z y determinante ±1, bajo multiplicación de matrices.

1.2 El Teorema de Cayley y el grupo simétrico- Introducir buena notaci´ on en S n y S X .

- Denir parida e impuridad de permutaciones en S n , usar = Π i= j (α j −α i)Teorema 1.17 (Cayley 1854). Todo grupo es (isomorfo a) un subgrupo de un grupo simétrico.Mas precisamente, para todo G existe un conjunto X tal que G → S X .

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Dem: Tomamos X como el conjunto G, y consideramos la representaci´ on regularizquierda T : G → S G .Moraleja: G act´ ua en si mismo por traslaciones a izquierda. Ejercicio 1.18. (Tarea?) Calcule la cardinalidad de Zn y S n . Adem ás, dado m, calcule el menorn talque:

• Zn → S m• S n → S m

1.3 Subgrupos normales y grupos cocientesDenición 1.19. Sea H ≤ G y g ∈ G. Decimos que el conjunto gH es la clase lateralizquierda de H , donde (preguntar que piensan que es gH ?? )

gH = {gh | h ∈ H }Hg = {hg |∈ H } es la clase lateral derecha .Ejercicio 1.20. Para H ≤ G muestre que gH = f H si y solo si f − 1g ∈ H .Proposici´ on 1.21. Las clases laterales izquierdas (o derechas) de un subgrupo H en G forman una partici´ on de G. Mas a´ un, estas clases laterales tienen la misma cardinalidad.

Dem: Ver que no se intersectan a menos que sean iguales, y que cubren todo G.Ver que hay una biyección entre dos de ellas.

Denición 1.22. El conjunto de clases laterals de H en G se denota por G/H . La cardi-nalidad de este conjunto se llama ı́ndice , y se denota por [G : H ].

De la proposición anterior sigue inmediatamente el

Corolario 1.23. Sea G nito y H ≤ G. Entonces |G| = |H | [G : H ]. En particular, se deduce 1. (Teorema de Lagrange 1) En un grupo nito, el orden de un subgrupo divide al orden

del grupo.

2. En un grupo nito, el orden de cualquier elemento divide al orden del grupo.

3. Suponga que |G| = p, para p un primo. Entonces G es ćıclico (es decir, existe g ∈ Gtal que G =

g ).

Dem: Para demostrar 2 . y 3. basta hacer la primera parte del ejercicio siguiente.

Ejercicio 1.24. Para g1, g2 . . . ∈ G anotamos por g1, g2, . . . el menor subgrupo de G que contienea g1, g2 . . .. Muestre que si g ∈ G tiene orden n entonces g = {id,g,g 2, . . . , gn − 1}.Por otro lado, muestre que si el orden de g es innito, entonces g = {. . . , g− 2, g− 1, id,g,g 2, . . .}1 Es interesante notar que este teorema fue probado antes de la introducci´ on del concepto de grupo, y,

en su versi ón original, versaba asi: si a un polinomio de n variables se permutan sus variables en n ! formasdistintas, entonces la cantidad de polinomios encontrados divide a n!.

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Proposici´ on 1.25. Sea G un grupo nito y K ≤ H ≤ G. Entonces [G : K ] = [G : H ][H :K ].Dem: Dar idea y dejar de Tarea

Subgrupos normales. Puesto que un grupo G viene dotado de una operaci ón, es naturalpreguntarse cuando, dado un subgrupo H , el conjunto de las clases laterales a izquierda (oderecha) de H “hereda” una estructura de grupo.

La operanci ón naturalmente heredada en las clases laterales es

opG/H : (fH,gH ) → fgH.Esta operaci ón es natural pues, por ejemplo, si H es el subgrupo trivial, entonces opG/H coincide con la operación en G. Lamentablemente esta operaci´ on heredada no siempre induceuna estructura de grupo en G/H . La siguiente denici ón captura exactamente cuando estaoperaci ón heredada induce una estructura de grupo en las clases laterales.

Denici´on 1.26. Un subgrupo H de G se dice normal si para todo g ∈ G se tienegHg− 1 = H,

donde gHg− 1 = {ghg− 1 | h ∈ H }. En esta situaci´on, anotaremos H G.Observaci´ on 1.27. Notar que en un grupo Abeliano, todo subgrupo es normal.

Observaci´ on 1.28. Notar que el núcleo de un homomorsmo es normal.

Proposici´ on 1.29. Sea H un subgrupo de G. Las siguientes armaciones son equivalentes:

1. H es normal en G.2. Para todo h ∈ H y todo g ∈ G, se tiene que ghg− 1∈ H .3. Para todo g ∈ G, gH = Hg.4. La opreací on (gH,fH ) → f gH convierte a G/H en un grupo.

Dem: Claramente 1 es lo mismo que 2. Supongamos que H es normal y tomamos g ∈ G yh ∈ H . Por 2., ghg− 1 = h ∈ H . Por lo tanto gh = h g. Luego gH = Hg. Argumentando deatras hacia adelante se prueba que 3 tambien implica 1.Finalmente, probamos la equivalencia de 1 y 4. Supongamos 1 y dotemos a G/H de la

operaciongHfH = gfH. (1)

Para ver que esto induce una estructura de grupo, lo primero y mas importante es vericarque esta denici ón depende esclusivamente de la clase lateral, y no de su representante(ver ejercicio 1.20). Supongamos que g H = gH y f H = fH . Tenemos que demostrarque gfH = g f H , o sea que g f (gf )− 1 ∈ H . Ello sigue pues g f (gf )

− 1 = g f f − 1g− 1 =(g g− 1)g(f f − 1)g− 1∈ H. Una vez hecho esto, es facil ver que H es el neutro en G/H y que(gH )− 1 = g− 1H . Lo que muestra que G/H hereda la estrucura de grupo.

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Conversamente, supongamos que (1) induce una estructura de grupo en G/H (note queal asumir esto estamos tácitamente asumiendo que dicha multiplicaci´ on no depende delrepresentante). Entonces el coset H ∈ G/H es el neutro para dicha multiplicación. Enparticular, para todo g ∈ G y todo h ∈ H , gH = hHgH = hgH . Asi, sigue del Ejercio 1.20,que ghg− 1∈ H . Como g y h eran cualquiera, esto prueba que H es normal en G. Ejercicio 1.30. Pruebe que para H ≤ G y g ∈ G, se tiene que gHg− 1 ≤ G. Deduzca además quesi G tiene un único subgrupo de cardinalidad r , entonces este subgrupo es normal (compare conEjercicio 1.12).

Ejemplo 1.31. R2 cortado con un subespacio de dimension 1. Ver independencia del representante.

Ejemplo 1.32. Notar que por ser Abeliano, todo subgrupo de Z es normal. Sea nZ el subgrupo

{. . . , −2n, −n, 0, n, 2n , . . . }. De este modo, Z/n Z hereda la suma en Z, pero identicando a(nZ )con b(nZ ) si y solo si a −b ∈ nZ , lo que equivale a que a −b = kn para algun k. Decimos que a ≡ bmódulo n .Usando el algoritmo de la división, es facil ver que todo a ∈ Z es equivalente modulo n a un

único b ∈ R = {0, 1, 2, . . . , n −1}. En particular n = [Z

: nZ

] = |Z

/nZ

|. Usualmente anotaremosa(nZ ) como a. De la Proposici ón 1.29, se sigue que a + b = a + b.Ver suma Reloj.

Ejemplo 1.33. Denir Aut (G). Probar que I nn (G) es un subgrupo normal.

Ejercicio 1.34. ** Pruebe que Aut (Z 2) es GL2(Z ), las matrices invertibles 2x2 con entradas enZ .

Ejercicio 1.35. (Tarea) Recuerde que

Z n = exp ( 2iπk/n )n − 1k=0

bajo la multiplicación (e identicaci ón) de numeros complejos. Pruebe que Zn Z /n Z .Ejercicio 1.36. (Tarea) Sea H ≤ G y N G. Verique que HN es un subgrupo de G. Vale lomismo si solo se asume que N ≤ G?.Ejercicio 1.37. (Tarea) Pruebe que la condicion N G puede ser relajada: basta asumir queH ≤ Norm G (N ) := {g ∈ G | gng− 1 = N } para concluir que HN es un subgrupo de G.

1.4 Teorema del isomorsmoTeorema 1.38 (del isomorsmo). Sea ϕ : G → H un homomorsmo. Entonces, Im(ϕ) G/Ker (ϕ).Dem: Sea K = ker(ϕ). Denimos ϕ : G/K → H por ϕ(gK ) = ϕ(g). Vericamos que- ϕ esta bien denido.

- ϕ es un homo inyectivo .- ϕ es sobreyectivo sobre I m(ϕ).

Observaci´ on 1.39. Todo subgrupo normal es el kernel de algun homomorsmo: el homo-morsmo proyeccion: a cada elemento le asocio su clase.

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Observaci´ on 1.40. Sea ϕ : G → H un homomorsmo. Sea K ≤ H . Entonces ϕ− 1(K ) ={g ∈ G | ϕ(g) ∈ K } es un subgrupo de G.Corolario 1.41. Sea N G. Entonces existe una biyeccion entre los subgrupos H ≤ G/N y los subgrupos de G que contienen a N . Mas aun, esta biyeccion manda subgrupos normales en subgrupos normales.

Dem: Idea: usar el Teorema del isomorsmo para ϕ : G → G/N , donde ϕ(g) = gN .Sea S GN := {H ≤ G | N ≤ H }, y S G/N = {H ≤ G/N }.Antes de deducir otros dos importantes corolarios (usualmente conocidos como segundo

y tercer teorema del isomorsmo), introducimos el siguiente subgrupo. Para H ≤ G y N Ganotamos HN := {hn | h ∈ H, n ∈ N }.Corolario 1.42. H/ (H ∩N ) (HN )/N (Mostrar Diagrama).Dem: Sea ϕ : H → HN/N denida por ϕ(h) = hN . Vericamos que ϕ es un homosobreyectivo y que ker(ϕ) = H

∩N .

Corolario 1.43. Sean H y N subgrupos normales de G tal que N ≤ H . Entonces G/H (G/N )/ (H/N ).Dem: Denimos ϕ : G/N → G/H por ϕ(gN ) = gH .ϕ es homo, sobreyectivo. Ker (ϕ) = H/N .

1.5 El grupo de Automorsmos de Z/p Z : el teorema de Bezout.Ver como ejercicio Aut (Z ), Aut (Q )(?).

Antes de seguir, vamos a estudiar Aut (G) para G sencillo: G

Z /n Z . Comenzamos con

la identidad de Méziriac (tambien conocida como de Bézout 2).

Denici´on 1.44. Decimos que a, b ∈ N son coprimos, si MCM (a, b) = ab, o, equivalente-mente (ejercicio), si M CD (a, b) = 1.Proposici´ on 1.45 (Méziriac, Bézout) . Para a, b ∈ N, coprimos, existe x, y ∈ Z tales que 1 = ax + by.Dem: Sea D = {ax + by | x, y ∈ Z}. Observe que d ∈ D ⇔ −d ∈ D. Sea d0 = min {|d| |d ∈ D}. Si d0 = 1 listo.Supongamos que d0 > 1, d0 = ax0 + by0.

Sea ra el resto de dividir a por d

0. r

a ∈ D pues r

a = a

−ld

0 = a

−ax

0 −by

0. Como

es resto vale que |r a | < d 0. Lo mismo siendo cierto para rb, el resto al dividir b por d0. Porminimalidad de d0, concluimos entonces que r a y r b son cero.Esto es, d0 divide a a y b. Ahora, si c es un comun divisor, de a y b, entonces c divide a

d0 = ax 0 + by0. Luego d0 = M CD (a, b) = 1.

Denici´on 1.46. Para n ∈N denimos (Z /n Z )∗= {a ∈Z /n Z | a y n son coprimos}.Por ejemplo para p primo, (Z /p Z )∗= {1, . . . , p −1}.2 Méziriac probo la identidad para n´ umeros y Bezout para polinomios.

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Como aplicación del teorema de Bezout, podemos probar la

Teorema 1.47. (Z /p Z )∗ es un grupo bajo el producto k k = kk .Este grupo es isomorfo a Aut(Z /p Z ). (Dejar caso Zn como Tarea)

Dem: Primero probamos que es grupo

• Ver que la denici ón del producto , no depende del representante (facil).• Cerradura: k, k ∈ (Z p)∗⇔ p no divide a k ni k ⇔ p no divide a kk ⇔ kk = 0.• 1 es la identidad.• Inversos. Para ver que hay inversos podemos hacer de dos maneras:

– Usando Bezout: Para k = 0 tomamos x, y tales que kx + py = 1. Asi, kx = 1.– Usamos que multiplicar dene una aplicaci´on invectiva: Sea M ̄k : Z∗P →Z∗ p dada

por x̄

→ kx. Esta aplicaci ón es invectiva pues si kx = ky entonces kx = ky + p .

Luego k(x −y) = p , lo que implica que x̄ = ȳ (pues k no es divisible por p).Veamos que ( Z p)∗ es isomorfo a Aut (Z p). Sea M : (Z p)∗→ Aut (Z p), M k : x → kx.• M k ∈ Aut (Z p) pues M k(x + y) := k(x + y) = kx + ky = M k(x) + M k(y), por lo tantoM k es homomorsmo. Ademas M k es biyectivo pues M ̄k(ā) = 0̄ ⇔ ā = 0̄.• M es homomorsmo, inyectivo.• M es epiyectivo: Si α ∈ Aut (Z p), denimos k = α(1). Sea 0 ≤ a ≤ p −1. Por un ladoM k(a) = ka, y por otro, α(a) = α(1 + . . . + 1) = k + . . . + k = k + . . . + k, a-veces.

Luego α(a) = ka.

1.6 Acciones(una o dos clases)

Denici´on 1.48. Decimos que un grupo G act úa por izquierda en un espacio X si existeun homomorsmo ψ : G → S X . Usualmente anotaremos ψ(g)(x) simplemente como g(x).Decimos ademas que la acci ón es el si para todo g ∈ G, g = id, existe x ∈ X tal queg(x)

= x.

Ejercicio 1.49. (Tarea) Pruebe que G actúa por izquierda en X si y solo si existe una aplicacionG ×X → X , (g, x) → g.x, que satisface:

• Para todo x ∈ X y para todo g, h ∈ G, vale gh.x = g.(h.x )• id.x = x para todo x ∈ X .

Observaci´ on 1.50. Sea ψ : G → S X una acción de G en X . Entonces, la accion es el si ysolo si, ker(ψ) = {id}.9


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En este nuevo lenguaje el Teorema de Cayley se expresa como

Teorema 1.51 (Cayley) . Todo grupo actua el en algun espacio X .

Dem: X = G y la acción es la acción por traslaci ón a izquierda.

Denici´on 1.52. Sea ψ : G → S X una accion de G en X , y sea x ∈ X . Llamamos órbitabajo G de x al conjunto OrbG (x) := {g(x) | g ∈ G} (Hacer Dibujo!).Llamamos estabilizador en G de x al conjunto StabG (x) = {g ∈ G | g(x) = x}.Observaci´ on 1.53. StabG (x) es un subgrupo de G.

Ejemplo 1.54. (Este es un buen ejemplo) Muchas veces, cuando el espacio X tiene algunapropiedad interesante (e.g. métrica) estudiamos acciones que preserven esa estructura.

• Por ejemplo, una acci ón de Z por homomorsmos de X = R , no es mas que ...

• Se imaginan una acci ón de Z2 por homeos de R ??.

• ACA se puede hacer un APARTADO y hablar de conjunto generador (nito) de ungrupo.• Decir que encontrar una acci´on equivale a encontrar una pareja de homeos que con-mutan.

Proposici´ on 1.55. Suponga que G act´ ua en X , y sea x ∈ X . Entonces, existe una biyeccion entre OrbG (x) y G/Stab G (x). En particular, si G es nito, la cardinalidad de una ´ orbita divide a la cardinalidad del grupo.

Dem: Para comenzar hacemos la siguiente observacion.

f (x) = g(x) ⇔ f − 1g ∈ StabG (x).Luego denimos la aplicación ω : OrbG (x) → G/Stab G (x), ω : g(x) → gStabG (x).• ω esta bien denida.• ω es biyeccion

Para ver que la cardinalidad de la orbita divide a la del grupo, basta notar que

|G

| = [G : Stab(x)]

|Stab(x)

| =

|Orb(x)

| |Stab (x)

|.

Proposici´ on 1.56. Las orbitas de G en X particionan X . Asi, para X nito vale

|X | =orbitas

|OrbG (x)|. (2)

Aplicaci´ on:

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Teorema 1.57 (Cauchy, 1845) . Si un primo p divide al orden de un grupo G, entoncesexiste g ∈ G con |g| = p.Dem: Sea p un primo que divide al orden del grupo G. Sea X := {(x1, . . . , x p) ∈ G p |x1 . . . x p = id}. Como tenemos total libertad en elegir los p−1 componenetes de un elementoen X , tenemos que

|X

| =

|G

| p− 1.

Ahora notamos que si ( x1, . . . , x p) ∈ X , entonces (x2, . . . , x p, x1) ∈ X . Luego, X admiteuna accion del grupo cı́clico de p elementos C p (decir que la acción en X es una mı́mica dela acción de C p en si mismos por traslaciones).

Finalmente notamos que las obritas bajo C p tienen cardinalidad 1 o p, y que, un puntode X es jo si y solo si es de la forma (a , . . . , a ) con a p = id.

Con esto tenemos que

|X | = |G| p− 1 =orbitas

|Orb(x)|,es divisible por p, pero, el lado derecho se escribe como 1+cosas de cardinalidad 1 o p (Verlotambién como una ecuaci´on modulo p). Asi se conluye que existen al menos p

−1 unos en

este lado derecho, lo que prueba el teorema

Algunas acciones naturales:

• G actuando por izquierda en G, o en las clases laterales de H ≤ G.• G actuando por conjugacion en G, o en K G: denir Centro ( Z (G)) y centralizadorde g ∈ G (Centr (g))o de H ≤ G (Centr (H )).• Aut(G) actuando en G y GL 2(R ) actuando en R2, Homeo(M ) actuando en M .

• Para H, K

≤ G la accion por traslacion de K en G/H . Ver StabK (H ) = K

∩H .

La ecuaci´ on de clases: Es contar orbitas bajo la accion de conjugacion:

|G| =Clases de conjugacion

|C |Ejemplo 1.58. La ecuacion de clases de S 3, el grupo de simetrias del triangulo, es |S 3| =6 = 1 + 3 + 2: correspondiendo a la identidad, las reexiones, y dos rotaciones no triviales.

De S 4: Introducir buena notacion.

Ejercicio 1.59. La ecuacion de clases de D4, el grupo de simetrias del cuadrado.

|D4| = 8 = 1+.... ?Aplicaci´ on:Ya hemos visto que todo grupo de orden primo es ćıclico, y por lo tanto Abeliano. Como

aplicación veremos

Teorema 1.60. Todo grupo de ordep p2, p un primo, es Abeliano.

Necesitamos el siguiente

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Lema 1.61. Todo grupo G de orden pn , p primo, tiene centro no trivial.

Dem: Consideramos la ecuacion de clase para G, y observamos que, dada una clase deconjugación C ⊂ G, |C | divide a |G| (pues Orb(x) esta en biyeccion con G/Stab (x)). Deeste modo, puesto que |C (id)| = 1, concluimos que debe existir C con |C | = 1, o sea central.(Usamos que no hay entero p tal que pn = 1 + pk. Se ve reduciendo mod p.) Dem del teo: Suponemos |G| = p2, y que Z (G) no es todo G. Sea x ∈ G \Z (G). Centr (x)en es subgrupo estrictamente mas grande que Z (G), de modo que es G, lo que implica quex ∈ Z (G) que es contrario a nuestra suposicion.

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2 Los teoremas de Sylow y algunas aplicacionesLos teoremas de Sylow son una herramienta fundamental a al hora de comprender las posiblesestructuras de grupo en un conjunto de carnalidad.

2.1 Los teoremas de Sylow (1870)Una nocióno importante a la hora de probar (y enunciar) los teoremas de Sylow es la de p-grupo.

Denici´on 2.1. Sea p un primo. Decimos que un grupo nito es un p-grupo, si |G| = pk .Proposici´ on 2.2. Sea G un p-grupo nito acutando en un espacio X . entonces vale

|X | ≡ |F ix X (G)| (mod p),donde F ix X (G) := {x ∈ X | G.x = x}.Dem: En efecto, sabemos que en general

|X

| =

orbitas

|OrbG (x)

|, y que la cardinalidad de

una órbita divide a la del grupo. Luego, en un p-grupo la cardinalidad de una orbitas eso bien 1 (en el caso la orbita es ja) o bien divisible por p. La proposición sigue pasandomodulo p.

Teorema 2.3 (Sylow I). Sea p un primo y G un grupo nito digamos de cardinalidad pkm,donde p no divide a m. Entonces, existe H ≤ G con |H | = pk . A un tal H lo llamamos un p-subgrupo de Sylow.Dem: Probaremos algo mas fuerte, a saber, que para todo i ≤ k existe un H ≤ G con |H | = pi . La prueba es por inducci ón.Comenzamos invocando el Teorema de Cauchy, que nos dice que G contiene un subgrupode orden p. Llamemoslo H 1. Ahora, tomemos i < k y supongamos como hypotesis deinducción que existe H i un subgrupo de orden pi . Consideramos la accion por traslacion aizquierda de H i en G/H i , las clases laterales de H i . La Proposici ón 2.2 nos dice que

|G/H i| ≡ |Fix H i (G/H i)| (mod p).Como i < k , la parte derecha, luego la parte izquierda, es divisible por p. Concluimosentonces que H i ja al menos p de sus clases laterales. Pero que H i je una clase lateral gH i ,quiere decir que

hgH i = gH i ∀h ∈ H i ,lo que equivale a decir que

g− 1hg

∈ H i

∀h

∈ H i ,

es decir g ∈ Norm G (H i) = {g ∈ G | gH ig− 1 = H i} el normalizador de H i . Concluimosentonces queF ix H i (G/H i) = {gH i | g ∈ Norm G (H i)}.

Pero ciertamente {gH i | g ∈ Norm G (H i)} = Norm G (H i)/H i , por lo tanto | Norm G (H i)/H i |es divisible por p. Ahora, como H i Norm G (H i), nuevamente por el Teorema de Cauchy,sabemos que existe H ≤ Norm G (H i) subgrupo de cardinalidad p. Tomando la imageninversa, encontramos H ≤ G tal que H i ≤ H y [H : H i] = p. Luego H i+1 = H tienecardinalidad pi+1 .

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Teorema 2.4 (Sylow II). Sean P y Q dos p-subgrupos de Sylow de un grupo nito G.Entonces, P y Q son conjugados.

Dem: Considere la accion por multiplicacion a izquierda de Q en G/P . La Proposici ón 2.2nos dice que

|G/P

| ≡ |F ix G/P (Q)

| (mod p).

Puesto que el lado izquierdo no es divisible por p, concluimos que existe algun punto jogP ∈ G/P para la acci ón de Q. Esto dice que para todo q ∈ Q, qgP = gP , de donde sigueque g− 1qg ∈ P para todo q ∈ Q. Concluimos entonces que g− 1Qg ⊂ P . La igualdad siguede la nitud de P y Q. Corolario 2.5. Sea G es un grupo nito, p un primo que divide a |G| y P un p-Sylow de G. Entonces vale que P G si y solo si P es el unico p-Sylow de G.Teorema 2.6 (Sylow III). Para p primo, sea n p ∈ N la cantidad de p-subgruops de Sylow en un grupo nito G, digamos |G| = pkm, donde p no divide a m. Entonces

1. n p = 1 (mod p),

2. n p divide a m,

3. n p = [G : Norm G (P )], donde P es cualquier p-subgrupo de Sylow.

Dem: Probamos 1). Sea P un p-subgruop de Sylow. Considere la accion por conjugaci´on deP en Syl p(G), el conjunto de todos los p-subgrupos de Sylow. Nuevamente por la Proposici´ on2.2, tenemos que

n p = |Syl p(G)| ≡ |F ix Syl p (G)(P )| (mod p).Armamos que el unico p-Sylow jo por P es P . En efecto, si Q

∈ Syl p(G) es jo por P ,

tenemos que P ≤ Norm G (Q). Pero Q es un subgrupo normal de Norm G (Q). Pero, por otrolado, por el Teorema de Sylow II aplicado a Norm G (Q), tenemos que P y Q son conjugadosdentro de Norm G (Q), lo que contradice la normalidad de Q en Norm G (Q). Esto pruebaque Q = P . Concluimos entonces que |Fix Syl p (G)(P )| = 1, y por ende que n p ≡ 1 (mod p).Para probar 3), consideramos la accion por conjugaci´ on de G en Syp p(G). Pro el Teoremade Sylow II, esta accion tiene una sola orbita. Luego tenemos que

n p = |Syl p(G)| = [G : StabG (P )].Pero para esta accion, el estabilizador de P claramente es Norm G (P ). Luego n p = [G :Norm G (P )].

El punto 2) sigue inmediatamente del 3). En efecto

m = [G : P ] = [G : Norm G (P )][Norm G (P ) : P ] = n p[Norm G (P ) : P ].

Comparar con un diagrama.

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2.2 Grupos de cardinalidad p q En esta secci ón utilizamos los resultados de Sylow para probar

Teorema 2.7. Sean p ≤ q dos n´ umeros primos tales que p no divide a q − 1 y G un grupo de cardinalidad p q . Entonces G es Abeliano. Si adem´ as p y q son distintos, entonces G Z p ×Z q.Observaci´ on 2.8. Esto no vale para 2 y 3 pues existe S 3 que no es Abeliano. El caso donde p divide a q −1 tampoco vale en general por el Teorema de Cauchy. Veremos donde aparecenestos casos en la demostración.

Para comenzar, hablaremos un poco del producto directo:Sea N G y H ≤ G. En este caso N H ≤ G.Ademas tenenmos α : H → Aut (N ), h → αh : n → hnh − 1.α es un homomorsmo.Esta accion aparece naturalmente al vericar que N H es un grupo!.

Proposici´ on 2.9. Suponga que en la situaci´ on precedente vale que α es trivial. Suponga tambíen que H ∩N = {id}. Entonces NH N ×H .Dem: Observamos primero que en este caso ( nh )(n h ) = nn hh . Lo que dice que N conmuta con H .

Denimos ψ : NH → N ×H por ψ(nh ) = ( n, h ). Como H ∩N es trivial, esta aplicaciones una funcion bien denida.ψ es homomorsmo.Epiyectivo.Inyectivo.

ψ(N ) = ( N,id ), ψ(H ) = ( id,H ).

Observaci´ on 2.10. Esto NO vale si α no es trivial, pues en dicho caso existe h talqueαh = Id, lo que dice que existe n tal que αh (n) = n, lo que dice que h y n no conmutan.Observaci´ on 2.11. La proposicion anterior NO dice que N y H sean Abelianos, solo diceque entre ellos conmutan.

Ahora estamos listos para terminar la demostraci´ on del Teorema 2.7.El caso p = q fue tratado en el Teorema 1.60. En lo que sigue, supondremos p < q .Por Sylow I existen H p p-Sylow y H q q -Sylow. Por Sylow III, nq = 1, o sea H q G.

Observamos que H q

∩ H p =

{id

}, lo que implica que H qH p = G. De este modo, para

ver que G H q × H p, basta probar que α : H p → Aut(H q), el automorsmo inducidopor conjugaci ón, es trivial. Pero, si α no fuera trivial, tendriamos que su imagen tienecardinalidad p, que por hypotesis no divede a q −1, la cardinalidad de Aut (H q) (Z /q Z )∗.

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2.3 Fabricando nuevos gruposSea N G y H ≤ G. Queremos entender mejor el grupo HN cuando la accion por conju-gación de H en N no es trivial. Para ello introducimos la siguiente construcci´ on.Producto semi-directo de grupos:

Sea H y G grupos. Sea α : G → Aut (H ) un homomorsmo.Denimos en el producto semi-directo de H por G via α, H α G como sigue: El conjuntosubyacente a H α G no es mas que H ×G. La estructura de grupo en cambio viene dadapor

(h, g)(h , g ) := ( hα g(h ), gg ).

Observe que con ésta denicion de producto se tiene que

• H α G contiene copias isomorfas de G y H , a saber (id,G) y (H,id ).• La accion por conjugación de la copia de G en la copia de H es via el grupo deautomorsmo de H dado por α . Mas precisamente

(id,g) (h,id ) ( id,g)− 1 = ( αg(h), id)

• Si la imagen de α es trivial, H α G H ×G.Proposici´ on 2.12. H α G es un grupo.

• Cerradura se cumple por def.• Asociatividad (largo y facil).

• Neutro e Inversos (facil).Proposici´ on 2.13. Sea N G y H ≤ G, tales que H ∩N = {id}. Entonces HN N α H ,donde α es el homomorsmo natural de H en Aut (N ).Dem: Como H ∩ N es trivial, se tiene que la aplicacion ψ : HN → N α H está biendenida.

ψ es homomorsmo. Inyectivo y epiyectivo.

Ejemplo 2.14. S 3 Z 3 α Z 2, donde α es al automorsmo inversion.Sea N = (123) = {(123), (132), id} S 3 y H = (12) = {(12), id}.El grupo del farolero (producto en corona):

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2.4 Clasicacion de grupos de orden 12Sea G un conjunto de orden 12. En esta secci ón clasicamos todas las posibles estructurasde grupo posibles en G (modulo isomorsmo).

Sea H 2 el 2-Sylow y H 3 el 3-Sylow de G.

• n3 puede ser 1 o 4. Si es 4 solo cabe un único 2-Sylow. Luego, siempre hay un Sylownormal.Caso H 4 G: Este caso se divide en dos casos:

1. H 4 Z4: En este caso tenemos que H 3 conmuta con H 2, luego G Z4 ×Z 3. Enefecto, basta probar que Aut(Z 4) no contiene elementos de orden 3. Esto ultimo esfácil si notamos que ϕ(1) puede ser 1 o 4. Luego ϕ2(1) = 1.

2. H 4 Z2 ×Z 2: De igual modo que el caso anterior, probaremos que Aut(Z 2 ×Z 2) nocontiene elementos de orden 3, y por lo tanto G

H 3

×H 2.

Observamos que ϕ manda base en base. Luego si escribimos H 2 como a ×b entoncesϕ(a) puede ser a o b o a + b = ( a, b).

a → a , b → a + b → a + a + b = b

Case H 3 G:

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3 Algunos t´ opicos en teoŕıa de grupos

3.1 Simplicidad de An , n ≥ 5.Def: simplicidad.

Ejemplo 3.1. Z p, pero él es fome pues es Abeliano. Adem´as, él no tiene subgrupos!! Ver que si Gno hay subgrupos entonces es ciclico nito.

El grupo de rotaciones de una gura geométrica:

• Rotaciones del triangulo: accion de Z3• Rotaciones y reexiones del triangulo: accion de S 3 = D3.• Rotaciones y reexiones del cuadrado: accion de D4 ≤ S 4.El dodecaedro: Ver maqueta:

Caras: 12Vertices: 20aristas: 30El grupo de rotaciones del dodecaedro:

Teorema 3.2. El grupo de rotaciones del dodecaedro, G, es simple.

Dem: Paso 1: Calculamos la cardinalidad de G.- Caras: por cada cara hay 4 rotaciones por 6 caras (no contamos dos veces las caras).

O sea 24.- Vertices: 2 por cada uno por 10: 20 rotaciones mas.

- Aristas: 1 por 15: 15 rotaciones mas.Esto suman 60. Ejercicio: todo otro movimento del dodecaedro es uno de estos.

Paso 2: Calculamos la ecuaci ón de clases de G.

60 = 1 + 20 + 12 + 12 + 15 .

En efecto, las reexiones de aristas son todas conjugadas, por eso el 15.Las rotaciones en los vertices tambien, por eso el 20.Las rotaciones en las caras forman 2 orbitas: en efecto, una rotacion en 2 π/ 5, R, en unacara, manda cualquier vertice de esa cara en otro vecino, lo que no es cierto para R2. Ellociertamente es un invariante por conjugacion, puesto que ser vecino es preservado. Por otraparte, R es conjugada a R− 1. Por eso 24 = 12 + 12.

Para ver que la estructura de grafo es necesaria trabajamos el siguiente

Ejemplo 3.3. En S 5, la rotacion (12345) es conjugada a su cuadrado (13524). En efecto

(24)(25)(23)(12345)(23)(25)(24) = (13524) .

Notar que (24)(25)(23) no preserva la vecindad.

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Paso 3: Si H G entonces |H | es suma de ecuaciones de clase: OBVIO.De este modo concluimos: 60 = 2∗2∗3∗5.

Ejercicio 3.4. Ver que Dn esta generado por una reexion y una rotacion de angulo minimo.

Introducir la buena notaci´ on.Calcular cosas en S n .

Teorema 3.5. Para n ≥ 5, An es simple.Dem: Ver Artin.

3.2 El grupo libre y presentaciones de gruposConstrucci´ on del grupo libre: Construiremos F 2 y quedara de ejercicio el caso general.

Sea W (x, y) el conjunto de todas las palabras en x, y, x− 1 e y− 1. Este conjunto es cerrado

bajo yuxtaposicion: ( u, v) → u∗v. Además, W (x, y) posee un neutro para esta operaci´ on, asaber, , la palabra vaćıa. El problema es que W (x, y) no tiene inversos. Para hacer aparecerlos inversos, debemos cocientar por una relacion de equivalenca adecuada. Quisieramos quexx − 1 = x− 1x = , lo mismo para y e y− 1.

Introducimos la siguente relaci´on de equivalencia. Decimos que dos palabras u y v estanrelacionadas: u ∼ v si v se puede obtener de u usando una cantidad nita de los siguientescambios:

1. Insertar xx − 1, x− 1x, yy− 1 o y− 1y al comienzo, al nal o entremedio de las letras de u.

2. Borrar xx − 1, x− 1x,yy− 1 o y− 1y.

Veamos que ∼ es una relacion de equivalencia. Claramente u ∼ u. Ademas u ∼ vimplica v ∼ u pues los movimientos 1 y 2 son inversos uno del otro. Finalmente u ∼ v yv ∼ w implica que puedo pasar por un numero nito de movimientos de u a v y luego dev a w, lo que prueba que u ∼ w. Además, notamos que esta relacion se lleva bien con layuxtaposicion. Precisamente se tiene queu ∼ v , u ∼ v ⇒ u∗u ∼ v∗v . (3)

Denotamos por ū, la clase de equivalencia de u. Tenemos

Proposici´ on 3.6. W (x, y)/

∼ es un grupo bajo la operaci´ on ūv̄ := u v. Denotaremos a este

grupo por F 2, el grupo libre a dos generadores.

Dem: Por denicion, la operaci ón es cerrada, y no depende del representante por (3).La asociatividad sigue de la asociatividad de la yuxtaposici´ on.el neutro es .̄el inverso sigue tb.

Hemos construido el grupo libre F 2. Como ejercicio queda la construcci ón del grupo libreen n generadores.

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Convencion: De ahora en mas, a los elementos de un grupo libre, por ejemplo F (a1, a2, . . .),los designaremos por palabras en a± 1i , y no por su clase de equivalencia. Tendremos el cuidadoeso si, de identicar palabras en una misma clase de equivalencia, por ejemplo a1a− 11 a2 = a2.

El grupo F 2 posee una interesante propiedad que es la raz´ on de porque el apodo libre .

Teorema 3.7. Sea G un grupo que admite un sistema generador con dos elementos. En-tonces, existe ϕ : F 2 → G, un homomorsmo sobreyectivo. En particular G F 2/ker (ϕ).

El teorema sigue directamente del siguiente

Lema 3.8. Sea F 2 el grupo libre sobre {x, y}. Sea G un grupo cualquiera y f : {̄x, ȳ} → Guna funci´ on. Entonces, existe homomorsmo ϕ : F 2 → G que extiende a f , esto es ϕ(x̄) =f (x̄) y ϕ(ȳ) = f (ȳ).Dem de Lema 3.8: Vamos a denir ϕ en una palabra de W (x, y), y ver que esto tiene laspropiedades que necesitamos.

Sea w = w(x, y) una palabra cualquiera en las letras x± 1 e y± 1. Denimos ϕ(w) simple-mente como w(f (x̄), f (ȳ)), es decir, la misma palabra pero en las letras f (x̄)± 1 y f (ȳ)± 1.Observamos lo siguiente: Si w ∼ w entonces ϕ(w) = ϕ(w ).En efecto w ∼ w implica que puedo pasar de una a la otra mediante un numero nito decambios 1 y/o 2 descritos mas arriba. Luego basta probar que ϕ(w) = ϕ(w ) en el caso queun solo cambio me lleva de w a w . Y esto es muy facil pues en cualquier grupo f (x̄)f (x̄)− 1representa siempre el elemento trivial.

Esto nos dice que en realidad ϕ esta denida en F 2 = W (x, y)/ ∼: ϕ(w(x, y)) =w(f (x̄), f (ȳ)). Esta denicion ciertamente extiende a f pues ϕ(x̄) = f (x̄), ϕ(ȳ) = f (ȳ).Veamos que ϕ es homomorsmo.

ϕ(u(x, y) v(x, y)) = ϕ(u(x, y)∗v(x, y)) = u(f (x), f (y)) v(f (x), f (y)) = ϕ(u(x, y))ϕ(v(x, y)).

Observaci´ on 3.9. F 1 Z .Observaci´ on 3.10. Claramente F 2 se mete en F n para n ≥ 2. Pero hay un teorema quedice que F n se mete en F 2 para ttodo n.Ejercicio 3.11. (Tarea) Decimos que una palabra es reducida si no contiene − 1 con ∈{x± 1, y± 1}. Pruebe que para todo w ∈ W (x, y), existe w ∼ w con w reducida.Presentaciones de grupos. Una presentaci ón de un grupo es una expresion de la forma

a1, a2, . . . | r1, r2, . . . , (4)donde cada r i pertenece a F (a1, a2, . . .), grupo libre sobre el conjunto {a1, a2 . . .}. Pordenicion el grupo con presentacion (4) es el grupo

F (a1, a2, . . . )/N (r 1, r2, . . .),

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donde N (r 1, r2, . . .) := r 1, r2, . . . , es el subgrupo normal generado por los r i’s. Los aise llaman generadores y los r i se llaman relaciones . Decimos que un grupo es nitopresentable si admite una presentacion con nitos generadores y nitas relaciones.

Ejemplo 3.12. F 2 = F (x, y), el grupo libre a dos generadores admite la presentaci´ on

x, y

|. En efecto, F 2 F 2/ {id}.Observaci´ on 3.13. Sea G el grupo con presentaci ón (4), y sea N = N (r 1, r2, . . . ). En-tonces, tenemos un homomorsmo canonico de F (a1, a2, . . .) en G, a saber, a i → a iN . Dadacualquier palabra w = w(a i), el homomorsmo canonico manda w(a i) en w(a iN ), la mismapalabra pero en las letras aiN ’s. Mas aún, puesto que es un homomorsmo se tiene quew(a iN ) = w(a i)N . En particular tenemos que S = {a iN } es un conjunto generador de G.

Observamos también lo siguiente (recall Tarea). Si w ∈ F (a1, a2, . . .) es tal que w →wN = id ∈ G, entonces w ∈ N . Por el ejercicio de la tarea, esto dice que w = g1r i1 g− 11 . . . gkr ik g− 1kpara algunos g j ∈ F (a1, a2, . . .) y algunos r i j ∈ {r ± 11 , r± 12 , . . .}. Esto sugiere la siguiente in-terpretaci´on de G.Vamos a mirar G, el grupo con la presentaci ón (4), como un cociente de W = W (a1, a2, . . .),

el monoide libre en {a1, a2, . . .}. Diremos que dos palabras u y v en W están relacionadas,y anotaremos u ∼ v si puedo obtener v a partir de u usando una cantidad nita de lossiguientes movimientos:1. Insertar algun r i , r − 1i o alguna palabra trivial (i.e un palabra del tipo aia

− 1i ) al principio,

nal o entremedio de u.

2. Borrar algun r i , r − 1i , o alguna palabra trivial de la palabra u.

Proposici´ on 3.14. ∼ es una relaci´ on de equivalencia. Mas aun, esta relacion de equiva-lencia cumple que u ∼ v y u ∼ v entonces u∗v ∼ u ∗v .Dem: u ∼ u.u ∼ v ⇒ v ∼ u.u ∼ v y v ∼ w ⇒ u ∼ w. Luego ∼ es relacion de equivalencia.Finalmente la ultima parte tambien sigue.

En lo que sigue, denotaremos a la clase de equivalencia de u ∈ W por ū.Proposici´ on 3.15. W (a1, a2, . . .)/ ∼ es un grupo bajo la operaci´ on ū v̄ := u∗v. Este grupoes isomorfo a G, el grupo con la presentaci´ on (4).Dem: Veamos primero que W/ ∼ es un grupo.La operación esta bien denida por la proposicion anterior. Ella es cerrada por denicion.

Si es la palabra vacia, ¯ es el neutro.El inverso sigue.Veamos que ( W (a1, a2, . . .)/ ∼) G = F (a1, a2, . . .)/N (r 1, r 2, . . .). Para probar esto,dada w ∈ W , designaremos por w̄ la clase en W/ ∼ y por wN la clase en G. Denimosψ : W (a1, a2, . . .)/ ∼→ G, denida por ψ( w̄) = wN .

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• ψ esta bien denida. En efecto, basta ver cuando estan a distancia 1, en cuyo caso setiene que si w ∼ w entonces w se obtiene de w, digamos al introducir r en alguna parte:w = w1rw 2, con w = w1w2. Vemos entonces que w N = w1rw2N = w1NrNw 2N =w1Nw2N = wN .

• es homomorsmo (facil)

• Epiyectiva (facil)• Inyectiva (Es la tarea: si w ∈ N entonces w ∈ r i , ergo w̄ = ¯)

Ejemplo 3.16. En general, una presentaci´on de grupo puede estar representando al grupotrivial. Por ejemplo a | a . Otro ejemplo es G = a | a2, a3 , pues se tiene que a = a2a =a3 = id, luego G = {id}.Observaci´ on 3.17. Muchas veces las presentaciones vienen dadas de la forma a, b | r1 =r2 . En estos casos se entiende que la presentacion es a, b | r1r − 12 .

Observamos que en este caso wr1w ∼ wr2w . En efecto ...

Ejemplo 3.18. Z2 G = a, b | ab = ba . En efecto, de la observacíon anterior se sigueque toda palabra w se relaciona a una palabra de la forma an bm , es decir w ∼ an bm , dondean = a∗a∗. . .∗a n veces.Denimos ψ : Z 2 → G, (n, m ) → an bm .Es homo, epi (facil)Para ver que es inyectiva, notamos que r = aba− 1b− 1 es balanceada (esto es la suma de

los exponentes de a y b es cero). Luego, toda palabra w ∼ es balanceada tambien (puestoque lo es). Asi, si w = an bm ∼ se tiene que n = 0 = m.Ejemplo 3.19. Otro ejemplo de una presentacion del grupo trivial es la presentaci´ on sigu-iente

a,b,c | a3, b3, c4, ac = ca− 1,aba− 1 = bcb− 1 .En efecto, en dicho grupo se tiene id = ab3a− 1 = ( aba− 1)3 = ( bcb− 1)3 = ac3b− 1, luego c3 = id,luego c = id, luego a = a− 1, luego a = id. luego b = id.

3.3 Clasicacion de grupos Abelianos

3.4 Grupos solubles y nilpotentesDado G un grupo y g, h

∈ G, denimos el conmutador de g y h como

[g, h] = ghg− 1h− 1.

Con esto, denimos el subgrupo derivado (o conmutador) de G como

[G, G] = [g, h] | g, h ∈ G ,el subgrupo generado por todos los conmutadores de G. Mas generalmente dados H, K ≤ G,denimos [H, K ] = [h, k ] | h ∈ H k ∈ K .

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Proposici´ on 3.20. Sea [G, G] el grupo derivado de G. Entonces

1. [G, G] es un subgrupo normal (caracteristico) de G.

2. G/ [G, G] es Abeliano,

3. Si K G y G/K es Abeliano, entonces K

⊆ [G; G].

Dem: super facil

Asociamos a un grupo G, dos ltraciones:

• La serie derivada: . . . Gi Gi− 1 . . . G1 G,con G1 = [G, G] y Gi = [Gi− 1, G i− 1].

• La serie central: . . . G(i) G(i− 1) . . . G(1) G,con G(1) = [G, G] y G(i) = [G, G (i− 1) ].

Denición 3.21. Dado G un grupo, decimos que G es soluble si existe k ≥ 1 tal queGk = {id}. Decimos que G es nilpotente si existe k ≥ 1 tal que G(k) = {id}. Al menor kque hace la gracia, se le llama grado de solubilidad o de nilpotencia según corresponda.Ejemplo 3.22. Todo grupo Abeliano es nilpotente y soluble, en ambos casos de grado 1.Por otro lado si G no es Abeliano (i.e. [G, G] = {id}) y no posee subgrupos normales notriviales, entonces G = [G, G], y por ende G no es soluble ni nilpotente.

• Todo grupo nilpotente es soluble: en efecto se tiene que G1 = G(1) y en generalGk⊆ G(k) (induccion facil).

• El grupo S

3 = D

3 es soluble pero no nilpotente: en efecto, K =

(1, 2, 3) es

normal y el cociente es Abeliano. Por otro lado, S 3 no tiene centro (f ácil, hay dos tiposde movimientos del tri ángulo, ninguno central), luego S 3 no puede ser central, puesG(k− 1) esta en el centro de un grupo nilpotente de grado k.

Vamos a ver que todo p-grupo (nito) es nilpotente. Para ello necesitamos una equiva-lencia a ser nilpotente. Para ello deńımos recusrivamente unos subgrupos de G.

Z 1 = Z (G) el centro de G. Z j es el subgrupo de G que proyecta sobre Z (G/Z j − 1), esdecir Z j /Z j − 1 es el centro de G/Z j − 1.

Teorema de Lie para grupos solubles de matrices.

3.5 Grupos como objetos geometricosTeorema 3.23 (Cayley) . Todo grupo nito generado actúa elmente por isometrias de unespacio métrico.

Demostraci´ on: El grafo de Cayley.El grupo libre y su propiedad universal.

Teorema 3.24 (Dehn?) . Todo grupo nito generado es un cociente de algun grupo libre.

Teorema 3.25 (poincaré?, klein?) . SL 2(Z ) es virtualmente libre. (Ejercicio?)

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3.6 Representaciones de gruposCaracteres.

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4 Anillos

4.1 Deniciones y EjemplosDenici´on 4.1. Un conjunto A dotado de dos operaciones + y ∗, se llama anillo si el triple(A, + ,∗

) satisface:

1. + y ∗ son cerradas.2. A con la operación + es un grupo Abeliano. En particular existe un neutro al que

llamaremos 0.

3. A es un monoide bajo ∗. Es decir, ∗ es asociativa, y existe un neutro que llamaremos1.4. ∗ distribuye sobre +, es decir

a

∗

(b + c) = a

∗

b + a

∗

c y (b + c)

∗

a = b

∗

a + c

∗

a.

Ejercicio 4.2. (Tarea) Pruebe que las siguientes armaciones valen en un anillo ( A, + ,∗).

1. Existe una única identidad aditiva. Lo mismo vale para el inverso aditivo y para laidentidad multiplicativa.

2. Para todo a ∈ A, a∗0 = 0 = 0∗a.3. Si 0 = 1 entonces A tiene solo un elemento. En este caso decimos que A es el anillo

cero.

Denici´on 4.3. En el caso donde (A \ {0},∗) además posea inversos, es decir (A \ {0},∗)sea un grupo, diremos que ( A, + ,∗) es un cuerpo (Abeliano o no, dependiendo de ∗).Ejemplos:

• Z .• R , C, Los cuaterniones H (cuerpos).• Z/p Z para p primo es cuerpo. En general Z/n Z es un anillo.• Z[x], R[x] o C[x] o A[x].

• M n (A) matrices n por n con coecientes en A.Ejemplo 4.4. (Los cuateriones de Hamilton 1843: el primer cuerpo no conmutativo de lahistoria y el unico, aparte de los numeros complejos, cuerpo de dimension nita que contienea los reales).Sean i, j, y k números tales que i2 = j 2 = k2 = ijk = −1. Observe que esto implica losiguiente (TAREA):

• k = ij , i = jk , j = ki. Ademas vale que xy = −yx para x, y ∈ {i,j ,k }.25


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H = {a + bi + cj + dk | a,b,c,d ∈ R}. La suma es la suma por coordenadas y lamultiplicacion es simplemente aplicar la regla de distribucion, teniendo cuidado de el ordenen que se multiplica (vea Wikipedia para una formula explicita).

Demuestre que H es un cuerpo (TAREA).Denici´on 4.5. Sean A y B dos anillos. Decimos que ϕ : A

→ B es un homomorsmo

de anillos si ϕ(a + a ) = ϕ(a) + ϕ(a ) y ϕ(a∗a ) = ϕ(a)∗ϕ(a ).Decimos que dos anillos son isomorfos si existe un homomorsmo biyectivo entre ellos.

Ejercicio 4.6. (TAREA) Sea A el conjunto de matrices de la forma

x y

−y x, con x, y ∈R .

Pruebe que A es un cuerpo bajo suma y multiplicacion de matrices. Prueba que este cuerpoes isomorfo al cuerpo de los numeros complejos C.

Ejemplo 4.7. (Anillo de grupos) Sea G, un grupo y (A, + ,∗) un anillo. Vamos a denir unnuevo anillo que contiene a G como grupo y a A como anillo.Sea A[G] el conjunto de funciones de G a A con soporte nito, esto es

A[G] := {α : G → A | f (g) = 0 salvo en un numero nito de g ∈ G}.Dados α y β en A[G] denimos α + β y α∗β como sigue:

α + β : g → α(g) + β (g),α∗β : g →

g1 g2 = g

α(g1)∗β (g2) =g2 ∈G

α(gg− 12 )∗β (g2).

Veamos que esto dene un anillo. Para α ∈ A[G], denotamos su soporte por sop(α).• α + β ∈ A[G] pues sop(α + β ) ⊆ sop(α)∪sop(β )• α∗β ∈ A[G]. En efecto, para cada g ∈ G, α∗β (g) es un elemento de A pues la sumasolo toma nitos valores distintos de 0.

Por otra parte, α∗β tiene soporte nito, pues si α∗β (g) = 0, entonces existe g1 y g2tales que g = g1g2 y α (g1)∗β (g2) = 0. Esto implica quesop(α∗β ) ⊆ sop(α) sop(β ) := {g1g2 | g1 ∈ sop(α) , g2 ∈ sop(β )}.

• (A[G], +) es un grupo (f ácil). Su neutro es la funci ón constante 0.• (A[G],∗), es un monoide. Su neutro es la funci ón δ id .• ∗ distribuye sobre + (f´acil).Observe G vive dentro de A[G] via g → δ g, y A vive dentro de A[G] via a → a∗δ id .

Ejercicio 4.8. (TAREA) Pruebe que A[x] A[Z ]26


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4.2 Ideales y anillos cocientesDenici´on 4.9. Un subconjunto S de un anillo A se dice subanillo si es un anillo con la +y ∗ de A.Un subconjunto I de un anillo A se dice ideal (motivar denicion viendo kernels de homo-morsmo) si I es un subanillo de A tal que

• aIb ⊆ I para todo a, b ∈ A. En este caso decimos que I es un ideal (bilatero).• aI ⊆ I para todo a ∈ A. En este caso decimos que I es un ideal izquierdo.• Ia ⊆ I para todo a ∈ A. En este caso decimos que I es un ideal derecho.

Ejemplo 4.10. En A, A y {0} son siempre ideales.Otro ejemplo es ker(ϕ).Teorema 4.11. Un anillo no trivial A es un cuerpo si y solo si sus únicos ideales izquierdosson los triviales, y sus únicos ideales derechos son los triviales.

Dem: Sea I un ideal izquierdo de un cuerpo k que contiene un elemento a = 0. Luego1 = a− 1a ∈ I , lo que implica que I = k. Esto muestra que en un cuerpo solo hay dos idealesizquierdos.Suponga A es un anillo no trivial que contiene solo dos ideales izquierdos: {0} y A. Seaa ∈ A un elemento no nulo, queremos probar que a es invertible. Para ello consideramos

(a) = Aa = {b ∈ A | b = ra , con r ∈ A}.Armamos que (a) es un ideal de A. En efecto, es cerrado bajo producto, y bajo suma(factorizando). Luego ( a) = A, lo que implica que existe r

∈ A tal que ra = 1. Para ver que

a es invertible a derecha, repetimos el argumento con aA. Asi, encontramos un inverso de apor izquierda, r y otro por derecha s. Finalmente vemos que ras = 1 s y por ende r = s.

Teorema 4.12. Sea I un ideal bilatero de A. Entonces, existe un anillo B y un morsmoϕ : A → B tal que ker(ϕ) = I .Dem: I = ker(ϕ) es obvio.

Para ver la conversa, fabricamos el anillo cociente. Sea I un ideal bilatero, y sea

A/I := {a + I | a ∈ A}.En A/I denimos + y

∗:

(a + I ) + ( b∗I ) = a + b + I (a∗i)∗(b + I ) = ab∗I .Se comprueba fácilmente que esto es un anillo y que ademas a → a + I es un morsmode anillos de A en A/I con núcleo I . Proposici´ on 4.13. Sea A un anillo y I un ideal bilatero maximal. Entonces M/I es uncuerpo.

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4.3 Dominios de Integridad y cuerpo de fraccionesPregunta (Mal’cev): Cuándo un anillo se realiza como un subanillo de un cuerpo?

Una condicion necesaria para que un anillo A esté incrustado en un cuerpo k es queen A no haya divisores de cero. Es decir, dos elementos a, b ∈ A distintos de 0 tales queab = 0. En efecto, en este caso no puede haber un inverso de a, pues si ca = 1 entoncesb = cab = c 0 = 0, contradiciendo que b = 0.En esta secci ón veremos que para anillos conmutativos, la ausencia de divisores de 0basta para responder armativamente la pregunta.

Denici´on 4.14. Sea A un anillo. Decimos que A es un Dominio de Integridad si

• A es Abeliano, i.e. ab = ba para todo a, b ∈ A.• A no tiene divisores de 0, i.e. para todo a, b ∈ A \ {0}, ab = 0.

Observaci´ on 4.15. En un Dominio de Integridad A hay cancelacion:

ab = ac ⇒ b = c.Esto no vale si hay divisores de 0:

0 = ab = a0

Teorema 4.16. Sea A un Dominio de Integridad. Entonces existe k un cuerpo (conmutativo)tal que A se incrusta en k.

Dem: Construimos el cuerpo de fracciones de A.Sea X = A ×A. En X introducimos la siguiente relacion de equivalencia:

(a, b) ∼ (c, d) ⇔ ad = cb.Veamos que esto es una relacion de equivalencia:

• Es reeja.• Es simétrica (conmutatividad!)• Es transitiva (usamos que hay cancelacion).

En X/ ∼ denimos las siguientes operaciones.(a, b) + ( c, d) = ( ad + cb, bd)

(a, b)(c, d) = ( ac, bd).

Estas deniciones no dependen del representante.Armamos que k = X/ ∼ es un cuerpo. Lo llamamos el cuerpo de fracciones de A:Frac (A).• Neutro aditivo (0 , 1), inverso facil.

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• Neutro multiplicativo (1 , 1). Inverso facil.• distribucion y asociatividades.Finalmente notamos que a → (a, 1) es una inyeccion de A en Frac (A).

Corolario 4.17. El cuerpo de fracciones de un Dominio de Integridad A, es el menor cuerpoAbeliano que contiene a A. Mas precisamente, para todo cuerpo Abeliano k tal que A → k,se tiene que Frac (A) → k.Dem: Sea ϕ : A → k una inyeccion de A en k. Denimos ϕ((a, b)) = ϕ(a)ϕ(b)− 1. Basta verque es un homomorsmo (pues es no trivial):

ϕ((a, b)(c, d)) = ac(bd)− 1

ϕ((a, b) + ( c, d)) = ϕ((ad + bc, bd)) = ( ad + bc)(bd)− 1 = ab− 1 + cd− 1.

4.4 Anillos de Polinomios y Dominios EuclideanosComenzemos por caracterizar los ideales de Z . Notemos previamente que Z es un anilloAbeliano, por ende las tres nociones de ideales coinciden.

Proposici´ on 4.18. Sea I un ideal de Z . Sea a el menor entero positivo en I . EntoncesI = ( a).

Dem: Buscando una contradicci´on, supongamos que existe b un elemento de I que no es dela forma na . SPG b es positivo y mayor que a. Dividimos b en a. b = na + r , con r positivomenor que a. Esto implica que b

−na = r

∈ I , contradiciendo que a era el menor positivo.

Denici´on 4.19. Un Dominio de Integridad A se dice Dominio Euclideano si existe f :A \ {0} →N tal que

• Para todo a, b ∈ A \ {0} existen q y r ∈ A tal que a = bq + r con r = 0 o f (r ) < f (b).• Para todo a, b ∈ A \ {0}, vale que f (a) ≤ f (ab).

Decimos que f es una valuación de A.

Ejemplo 4.20. Z con el valor absoluto.

Otro ejemplo son los polinomios sobre un cuerpo y el grado.Algoritmo de la division para polinomios:

Sea k un cuerpo, y k[x] el anillo de polinomios con coecientes en k. Para p(x) =an xn + . . . + a0, an = 0, denimos gr ( p(x)) = n, el grado de p(x). Se tiene que gr ( p(x)q (x)) =gr ( p(x)) + gr(q (x)).

Para ver que k[x] es un Dominio Euclideano, falta probar que gr se comporta bien conla division de polinomios. Para ello, introducimos el algoritmo de la division: Mostrarcon ejemplos.

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El anillo de enteros Gaussianos Z[i]:Ver que es anillo.Para z = a + bi ∈C denimos N (z ) = a2 + b2. Observe que N (zw) = N (z )N (w).Veamos que N se comporta bien con la division.Sea a y b dos enteros gaussianos no nulos. Sea z el numero complejo a/b . Si z ∈ Z[i]

entonces tenemos que a = zb + 0.En caso que z no sea entero, tomamos z 0 el entero gaussiano mas proximo a z en C . Enparticular, tenemos que N (z −z 0) < 1. Se tiene:

a = zb = z 0b−z 0b + zb = z 0b + b(z −z 0).Sea r = b(z − z 0). Tenemos que a = z 0b + r . En particular r ∈ Z[i]. Mas aun, N (r ) =N (b)N (z −z 0) < N (b), lo que dice que Z[i] es un Dominio Euclideano.Observaci´ on 4.21. En un dominio Euclideano A con valuación f vale que los elementosinvertibles de A son precisamente los elementos que realizan el mı́nimo de f .

En efecto, sea N

n0 = minf (A

\ {0

}). Si b es invertible y a0 realiza el mı́nimo de f ,

entonces vale que f (b) ≤ f (bb− 1a0) = n0. Contrariamente, si f (a) = n0, entonces al dividir1 por a se tiene que 1 = ba + r, con r = 0, lo que dice que a era invertible.Proposici´ on 4.22. Todo ideal en un Dominio Euclideano es principal.

Dem: Sea I un ideal en un Dominio Euclideano A, y sea f : A → Z su valuación. Seaa ∈ A un elemento realizando el minimo de f (I ). Sea b ∈ I . Dividiendo b en a obtenemosque b = ca + r con f (r ) < f (a). Por otra parte, tenemos que r = b−ca ∈ I , de lo que sededuce que r = 0, lo que a su vez implica prueba la proposici ón. Observaci´ on 4.23. Note que para ver que k[x] es un Dominio Euclideano, usamos el hechoque k era cuerpo. En efecto, los polinomios con coeciente no necesariamente en un cuerpo,no forman siempre un Dominio Euclideano.

Por ejemplo los polinomios con coecientes en Z , x no es divisible por 2x. Pero podŕıahaber una valuaci´on distinta. El siguiente argumento prueba que no: Consideremos I =2, x el ideal generado por 2 y por x. Supongamos que existe p(x) tal que I = p(x) .Claramente gr( p(x)) = 0, pues de lo contrario 2 /∈ p(x) . Por otro lado I no es todo Z[x],por lo que p(x) = 2. Pero x no es múltiplo de 2.

Ejercicio 4.24. (Enteros de Eisenstein) Sea w ∈ C una ráız cubica de la unidad = 1. SeaZ [w] = {a + bw | a, b ∈ Z}. Vea que Z[w] es un anillo. Pruebe ademas Z[w] es un DominioEuclideano con la valuaci ón f (a + bw) = a2 −ab + b2.Ejercicio 4.25. Pruebe que R[x, y], los polinomios en dos variables (que conmutan) es unanillo sin divisores de cero. Pruebe que él no es un Dominio Euclideano.

4.5 Dominios de ideales principales y de factorizac´ on unicaHemos denido la clase de Dominios de Integridad, y la clase de Dominios Euclideanos.Vimos ademas, que todo ideal en un Dominio Euclideano era generado por un solo elemento.La conversa no es valida pues tenemos el siguiente teorema cuya demostraci´ on pospondremospor el momento.

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Denici´on 4.26. Decimos que un Dominio Integridad es un Dominio de Ideales Prin-cipales , si todo ideal es generado por un solo elemento.

Teorema 4.27. El cuerpo Q[√ −19] contiene un anillo que es un Dominio de ideales prin-cipales, pero no es un dominio Euclideano (el anillo en cuesti´ on son los enteros algebraicos del cuerpo).

A continuaci ón introducimos una tercera clase de Dominios de Integridad, los llamadosDominios de Factorizaci´ on Unica . Para ello necesitamos algunas deniciones.

Denici´on 4.28 (Generalizando la nocion de primo para Z). Sea A un Dominio de Inte-gridad (D.I.), sean a, b ∈ A. Denotamos por A∗ el conjunto de unidades de A, esto es, elconjunto de elementos invertibles para la multiplicacion en A.

• Decimos que a divide a b si existe c ∈ A tal que b = ac (Obs: en un contexto noconmutativo, habria que decir si a es un divisor a derecha de b o a izquierda).

• Decimos que a ∈ A \ A∗

es irreducible si [a = bc] ⇒ [b o c ∈ A∗

].

• Decimos que a es primo si a divide a bc implica a divide a b o a c.

Observaci´ on 4.29. Observe que para A = Z la nocion de primo e irreducible coinciden.En general, para A un D.I. y a ∈ A, vale que a primo implica a irreducible.En efecto, si a es primo y a = bc, entonces a divide a b o a c. Si a divide a b se tieneb = ad, por lo que a = adc lo que implica 1 = dc, lo que dice que c ∈ A∗.Ejemplo 4.30. La rećıproca de la observacion anterior no es cierta. Por ejemplo en A =Z [√ −5] = {a + b√ −5 | a, b ∈Z} se tiene que 6 = 2∗3 = (1 + √ −5)(1 −√ −5).

Armamos que 2 es irreducible, pero que no divide a (1 + √ −5) ni a (1 −√ −5), lo quedice que 2 no es primo en Z[√ −5].Suponga que 2 = ( a + b√ −5)(c + d√ −5). Queremos probar que uno de los factores esinvertible. Tenemos ( a + b√ −5)(c+ d√ −5) = ac−10bd+( ad + bd)√ −5. De donde obtenemosdos ecuaciones:2 = ac −10bd0 = ad + bc

Que hay que vericar que no tienen soluciones enteras. Sin embargo, esto es un pocotedioso, por lo que mejor haremos un analisis geometrico. Dado que Z [√

−5] es un subanillo

de C, tenemos a nuestra disposicion la norma al cuadrado en C , a saber

N (a + b√ −5) = a2 + 5 b2.Tenemos que si z ∈Z [√ −5] no es cero, entonces N (z ) ≥ 1, y si ademas z no es real, entoncesN (z ) ≥ 5. Ademas la norma separa multiplicacion.De lo anterior se sigue que si 2 = (a + b√ −5)(c + d√ −5), entonces

4 = N (2) = N (a + b√ −5) N (c + d√ −5).31


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La unica posibilidad es que ambos factores sean reales, es decir, b = d = 0, lo que dice que2 = ac, lo que dice que a o c es ±1, que ciertamente es una unidad en Z [√ −5], lo que pruebaque 2 es irreducible.

Para ver que 2 no divide a 1 + √ −5 ni a 1−√ −5, observamos simplemente que 2( a +b√ −5) = 2a + 2 b√ −5, que nunca sera igual a 1 ±√ −5, lo que prueba que 2 no es primo.Ahora introducimos la nueva clase de anillos.

Denición 4.31. Decimos que un D.I. A es un Dominio de Factorizacion Unica (DFU),si para todo a ∈ A \ (A∗∪{0}) existe una factorización de a en irreducibles y esta factor-ización es unica modulo unidades. Mas precisamente si a ∈ A \ (A∗∪{0}), entonces existenirreducibles f 1, . . . , f k tales que

a = f 1 . . . f k ,

y sia = e1 . . . e ,

con ei irreducibles, entonces = k, y modulo reordenamiento f i = δ iei , con δ i

∈ A∗.

Proposici´ on 4.32. En un DFU todo irreducible es primo.

Dem: En efecto, suponga que a es irreducible y que a divide a bc, es decir existe v tal queav = bc. Queremos probar que a divide a b o a c.

Factorizamos va = bc = b1 . . . bkc1 . . . cn en irreducibles de b y de c. Como a es irreduciblea tiene que apareces, modulo una unidad, en la descomposicion anterior. Esto implica que aaparece en la descomposicion de b o de c, lo que prueba que a divide a b o c, lo que pruebaque a es primo.

Corolario 4.33. Z[√ −5] no es un DFU.

4.6 Todo DIP es DFUEn esta secci ón vamos a probar

Teorema 4.34 (Kaplansky) . Todo DIP es DFU.

Comenzamos la prueba dando una caracterizacion de los DFU.

Proposici´ on 4.35. Un Dominio de Integridad A es un DFU si y solo si todo elemento noinvertivle de A se puede factorizar como producto de primos.

Dem: Suponga que A es un DFU. Por la Proposición 4.32, se tiene que todo irreducible esprimo, luego todo elemento se factoriza como producto de primos.Reciprocamente, suponga que A es un DI donde todo elemento no invertible se factoriza

como producto (nito) de primos. Como todo primo es irreducible, solo falta probar que lafactorizacion en primos es única modulo unidades.

Sea a ∈ A \ A∗ un elemento no nulo, y sea p1 . . . pn = q 1 . . . q m dos factorizaciones enprimos del elemento a. Tenemos que probar que n = m y que, modulo reordenar, pi = q i .Claramente p1 divide a q 1 . . . q m , luego p1 divide a algun q i , digamos q 1. Esto es, existe

δ 1 talque δ 1 p1 = q 1. Pero q 1 es irreducible, luego δ 1 ∈ A∗.32


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La proposicion sigue repitiendo el argumento para p2 y q 2 . . . q m , y asi sucesivamente. El siguiente teorema implica facilmente el Teorema de Kaplansky de mas arriba. Vamos

a decir que que un ideal I de un Dominio de Integridad A es primo , si cada vez que ab ∈ I se tiene que a o b esta en I .Teorema 4.36 (Kaplansky) . Un Dominio de Integridad A es un DFU si y solo si para todoideal primo P se tiene que existe un primo p ∈ A tal que p ∈ P .Veamos como este teorema implica el Teorema 4.34: Sea A es un DIP, queremos verque A es DFU. Sea P A es un ideal primo. Como A es DIP, P = c . Como P es primo,se tiene que si ab ∈ P , entonces a o b estan en P . Esto dice que si c divide a ab enonces cdivide a a o b. Luego c es primo. Luego el Teorema 4.36 dice que A es DFU.

Antes de probar el Teorema 4.36, necesitamos un ´ ultimo lemma que es muy importanteen varias ramas de la matem´atica y una observaci´on trivial:

Lema 4.37 (Zorn, 1935). Si P es un conjunto parcialmente ordenado, tal que toda cadenaascendente tiene un elemento maximo enP

, entonces

P tiene al menos un elemento maximal.

Observaci´ on 4.38. Sean I y J dos ideales bilateros de un anillo A. Entonces I + J =

{i + j | i ∈ I , j ∈ J } es un ideal bilatero.Dem del Teorema 4.36: Sea A es DFU y P A es un ideal primo. Queremos demostrarque P contiene un primo. Sea a ∈ P un elemento no nulo ni invertible (en ambos casos seconcluye facilmente). Factorizamos a = p1 . . . pn como producto de irreducibles. Sabemosque los pi’s ademas son primos. Luego como P es primo, ya sea p1 o p2 . . . pn esta en P . Enel primer caso ganamos y en el segundo iteramos el argumento para probar que existe unprimo pi ∈ P .

Reciprocamente suponga que A es un Dominio de Integridad con la propiedad que todoideal primo contiene un primo. Queremos ver que A es un DFU.

Sea S = {a ∈ A \ {0} | a ∈ A∗ o a se factoriza en primos}. Observe que S es cerradobajo producto. Si S = A \{0}, la Proposicion 4.35 dice que A es un DFU. En caso contrario,existe a0 ∈ A \ S , a0 = 0. Veamos qu esto lleva a una contradiccion.Sea M un ideal maximal que contiene a a0 y que no intersecta a S . Dicho M existe porel lema de Zorn: I , la colección de ideales que no intercepta a S y que contienen a a0, es unacolección no vaćıa (pues contiene a a0 ) que cumple las hypotesis del Lema de Zorn (puesla union de ideales encajados es un ideal).Armacion: M es un ideal primo. Note que esto implica que M contiene un primo p y porende M intercecta a S , que es la contradicci ón que buscábamos.

Finalmente probamos que M es un ideal primo por contradiccion. Si M no es primo,entonces existe u, v tales que uv ∈ M pero ni u ni v estan en M . Por maximalidad, losideales M + u y M + v intersectan a S . Asi, existen x ∈ (M + u )∩S y y ∈ (M + v )∩S .Luegoxy = ( m + αu)(m + α v) = m + αα uv ∈ M,

pero S es cerrado bajo producto, lo que dice que xy ∈ S , lo que contradice que M nointercepta a S . Corolario 4.39 (de la prueba) . Todo anillo tiene un ideal maximal.

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Dem: En efecto, por el lema de Zorn, podemos encontrar un elemento ideal maximal en laclase de anillos que no contienen a 1. Ciertamente, dicho ideal es Maximal (pensar porqueesto no ”vale” en un grupo).

Proposici´ on 4.40. Sea A un Dominio de Integridad e I un ideal maximal. Entonces A/I es un cuerpo.

Dem: Basta ver que A/I no tiene ideales no triviales. Mirar el homomorsmo proyeccí on.

Proposici´ on 4.41. Sea k un cuerpo conmutativo, k[x] su anillo de polinomios, y p(x) un polinomio. Entonces, el ideal p(x) es maximal si y solo si p(x) es irreducible. En conse-cuencia, todo ideal primo de k[x] es maximal.Dem: En general, si p es un elemento reducible en un Dominio de Integridad A, entoncesexiste a, b ∈ A ambos no invertibles tales que p = ab. Armamos que p esta estrictamentecontenido en a . En efecto, si fueran iguales, tendŕıamos que a = mp = mba luego b erainvertible. Esto prueba que si p es un ideal maximal, entonces p es irreducible.En la otra direcci ón, usamos que k[x] es un Dominio de Ideales Principales. Pues si p esirreducible y M es un ideal maximal que contiene a p, entonces existe f tal que M = f .Esto dice que p = qf , pero, siendo p irreducible, y M maximal (en particular no es todo elanillo), se tiene que q es una unidad. Lo que dice que M = p . Ejemplo 4.42. En R[x], el polinomio p(x) = x2 + 1 es irreducible, pues de escribirse comoproducto de dos polinomios no invertibles, estos tendŕıan que tener grado uno, lo que diŕıaque p(x) tendrı́a raı́ces reales.

Por lo tanto, el ideal x2 + 1 es maximal. Esto implica que R[x]/ x2 + 1 es un cuerpo.Armamos que C R [x]/ x2 + 1 .En efecto, denotamos por I a x

2

+ 1 , y notamos que ( x + I )2

= x2

+ I = −1 + I . Asi,si quisiéramos asociar r + I a r para cada real r, tiene sentido asociar x + I a i. Veamosque esto funciona. Notamos primero que p(x) + I siempre puede ser representado por un p (x) + I con gr( p (x)) ≤ 1. Ademas, este representante es ´unico.Denimos ϕ : R[x]/I →C via ax + b → ai + b

4.7 Algunos criterios de irreducibilidadHemos visto que en un anillo de polinomios k[x], los ideales maximales son ideales generadospor un primo o irreducible. Esto nos provee de una construcci´ on de un gran numero decuerpos (por ejemplo C). En esta secci ón revisaremos algunos criterios de irreducibilidad

para polinomios en Q[x]. Esto nos provee, veremos, de una cantidad innita de cuerpos quecontienen a Q . Veremos también que estos cuerpos pueden ser realizados como subcuerposde los números complejos.

Nuestro primer resultado importante ser´ a que irreducibilidad en Q[x] equivale a irre-ducibilidad en Z[x] (salvo en el caso de las constantes).

Denici´on 4.43. Un polonimio f (x) = an xn + . . . + a0 ∈ Q[x] se dice primitivo si suscoecientes son enteros, si el maximo comun divisor de sus coecientes es 1 y si an espositivo.

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Lema 4.44 (Gauss) . Un entero ( i.e. polinomio de grado cero) es un primo en Z [x] si y solosi es un entero primo. En particular

1. un primo p ∈Z divide a p(x)q (x) si y solo si divide a uno de ellos.2. el producto de elementos primitivos en Q[x] es primitivo.

Dem: Sea p ∈Z un entero primo. Suponga que p divide a q (x)r (x), pero no a q (x) ni r (x).Entonces hay coecientes r i0 y q j 0 que no son divisibles por p. Elegimos i y j lo mas chicoposible. Pero el coeciente de xi+ j en q (x)r (x) es

i+ j = io + jo

r iq j = ( r i0 + j j 0 ) +i+ j = i0 + j 0 , i= i 0

r iq j .

Pero la ultima sumatoria es divisible por p, pues si i > i 0 entonces j < j 0 y viceversa. Estoentrega una contradiccion. Reciprocament, si n ∈Z no es entero primo, entonces claramenteno es primo en Z[x]. Las armaciones 1 y 2 siguen inmediatamente. Lema 4.45. Sea f (x) un polinomio no constante con coecientes en Q . Luego, f (x) = cf 0(x)con c un racional y f 0(x) un polinomio primitivo. Esta descomposici´ on es ´ unica. Mas aun,c es un entero si y solo si f (x) tiene coecientes enteros, en cuyo caso c corresponde al m´ aximo com´ un divisor de los coecientes de f (x).

Dem: Primero multiplicamos f (x) por un entero d de modo que los coecientes de f 1(x) =df (x) sean entero. Luego extraemos el m áximo común divisor de los coecientes de f 1(x) yajustamos el signo de modo que f 1(x) = cf 0 tenga coeciente lider positivo. Asi obtenemosque f (x) = cd f 0(x) como queriamos.

La unicidad de esta descomposici ón sigue pues si f 0(x) y f 0(x) son polinomios primitivos

tales que cf 0(x) = c f 0(x), entonces existe un entero d tal que dc f 0(x) = dc f 0(x) tienecoecientes enteros. Observamos ahora que si un entero primo p divide dc f 0(x) = dc f 0(x),si y solo si divide a dc y a dc . Esto dice que los divisores primos de dc son los mismos quelos de dc , lo que implica que dc = dc , lo que a su vez implica f 0(x) = f 0(x).

El resto de las armaciones sigue inmediatamente de lo hecho hasta ahora. .

Teorema 4.46. Sea f 0(x) un polinomio primitivo y g(x) un polinomio con coecientes en-teros. Si f 0(x) divide a g(x) en Q[x], entonces tambien lo divide en Z[x]. Ademas, si dos polinomios enteros f (x) y g(x) tienen un divisor com´ un no constante en Q [x] entonces tienen un divisor com´ un no constante en Z[x]. En particular, si f (x) es reducible en Q[x], tambíen lo es en Z[x].

Dem: Suponga que g(x) = f 0(x)q (x) con q (x) un polinomio con coecientes racionales.Veremos que q (x) tiene coeientes enteros. Escribimos g(x) = cg0(x) y q (x) = c q 0(x), cong0 y q 0 primitovos. Luego g(x) = cg0(x) = c f 0(x)q 0(x). Como f 0(x)q 0(x) es primitivo, porla unicidad de la proposicion anterior se tiene que g0(x) = f 0q 0 y c = c . Pero c era enteropues g(x) lo era, luego q (x) era entero.

La segunda armaci ón sigue de la primera, pues si h(x) divide a f (x) y g(x), entonces suprimitivo asociado h0(x) divide a f y g en Q [x]. Luego los divide en Z[x]. Asi, h0 es divisorcomún de f y g en Z[x].

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Proposici´ on 4.47. Sea f (x) ∈ Z[x] un polinomio con coeciente lider positivo. Entoncesf (x) es irreducible en Z [x] si y solo si es un entero primo o es un polinomio primitivo que esirreducible en Q[x]. En consecuencia, todo irreducible de Z[x] es primo.

Dem: La proposición, en el caso que f (x) sea constante, sigue del Lema de Gauss. Sea f (x)un polinomio no constante. Supongamos que f (x) es irreducible en Z[x]. En particular, noes divisible por ningún entero primo. Puesto que su coeciente ĺıder es positivo, se tiene quef (x) es primitivo. Finalmente el Teorema 4.46 implica que f (x) es irreducible en Q[x].

Reciprocamente, todo polinomio no constante, primitivo y reducible en Z[x], es tambiénreducible en Q[x].

Veamos ahora que todo polinomio no constante e irreducible en Z[x] es primo. Sea f (x)un tal polinomio y suponga que f (x) divide a q (x)r (x). Ya vimos que en este caso, f (x)es irreducible en Q[x], y , como Q[x] es un DFU (es un DIP!) tenemos que f (x) es primoen Q[x]. Luego divide a q (x) o a r (x) en Q[x]. Pero el Teorema 4.46 dice que entonce f (x)divide a q (x) o a r (x) en Z[x].

Corolario 4.48. Z[x] es un DFU (que ya vimos que no es DIP). Todo polinomio f (x) se factoriza unicamente como

f (x) = p1 . . . pn q 1(x) . . . q m (x),

con pi enteros primos y q i(x) primitivos e irreducibles.

Dem: En efecto un polinomio de primitivo de grado n se factoriza a lo mas en n polinomios.Esto dice que la factorizacion en irreducibles existe. La proposici´on anterior dice que losirreducibles son primos. Asi el corolario sigue de la Proposicion 4.35

Hemos visto, entre otras cosas, que los irreducibles de Q[x] corresponden de maneracanónica a irreducibles en Z[x]. Ahora damos dos criterios muy útiles de irreducibilidad.

Para enunciar el primero, dado p un entero primo, y F p = Z /p Z , el cuerpo con p elemen-tos. Denimos ψ p : Z [x] → F p[x], por

ψ p(an xn + . . . + a0) = ān xn + . . . + ā0,

donde ā i es el residuo p. Queda como ejercicio de la guı́a vericar que φ p es un homomorsmode anillos.

Proposici´ on 4.49. Sea p un primo y f (x) = an xn + . . . + a0|in Z [x] un polinomio con coeciente lider no divisible por p. Si f̄ = ψ p(f ) es irreducible en F p[x], entonces f es irreducible en Q[x].Dem: Sea f como en la proposición. Probaremos que si f es reducible, entonces f̄ tambíen.

Si f = gh es una factorizacion no trivial en Q[x], en particular, el grdo de g y h espositivo. Ademas, podemos suponer por el Teorema 4.46 que dicha factorizacion ocurre enZ [x].

Como ψ p es un homomorsmo y ān = 0, tenenmos que f̄ = ḡh̄, y gr(f ) = gr( f̄ ) =gr (ḡ)+ gr (h̄). Esto implica que gr(g) = gr(ḡ) y gr(h) = gr(h̄), lo que dice que la factorizacionen F p[x] era no trivial

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Lema 4.50 (Criterio de Einsestein) . Sea f (x) = an xn + . . . + a0 un polinomio con coecientesentros. Sea p un entero primo. Suponga que los coecientes de f (x) satisfacen lo siguiente

• p no dicide a an ,

• p divide a an − 1, . . . , a 0,

• p2 no divide a a0.Entonces f (x) es irreducible en Q[x].

Por ejemplo x4 + 5 x3 + 5 x2 + 5 y x + 2 son irreducibles.

Dem: Sea f (x) = an xn + . . . + a0 un polinomio satisfaciendo las hypotesis, en particular f (x)no es constante. Denotamos por f (x) su residuo modulo p. Se tiene que f (x) = ān xn = 0.Si f (x) fuera reducible en Q[x] entonces por el Teorema 4.46, se tiene que f (x) se factorizaen polinomios no constantes en Z [x], digamos f (x) = g(x)h(x), donde b(x) = br xr + . . . + b0,h(x) = hkxk + . . . + h0. Psando modulo p esto queda f̄ (x) = ḡ(x)h̄(x) = ān xn . Esto implicaque

ḡ(x) = b̄r xr y h̄(x) = h̄kxk ,

es decir, p divide a todos los coecientes, salvo el primero, de g y h. Pero esto implica quea0 es divisible por p2, lo que contradice las hypotesis. Luego f era irreducible.

Damos ahora una aplicaci´ on: para un primo p, el polinomio

Φ p(x) = x p− 1 + x p− 1 + . . . + x + 1

es irreducible en Q[x]. Estos polinomios se llamand ciclotomicos .cambiar x por y + 1.

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4.8 Un resumen esquematico de ejemplos

Z [S 5]

M n × n (R )

DIZ [√ −5]

DFUZ [x]

Z [x, y]

R [x, y]

DIP

Q [√ −19] DE

Z R[x]

Z [i]

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5 Teoŕıa de cuerpos y de Galois

5.1 deniciones b´ asicas y ejemplosDenici´on 5.1. Si K y F son cuerpos tales que F ⊆ K , entonces decimos que K es unaextension de F . Anotamos la dimension de K como F -espacio vectorial la anotaremos por[K : F ] y usualmente lo llamaremos grado de la extension.

Ejemplo 5.2. 1. Las extensiones nitas de Q las llamamos cuerpos algebraicos (o denúmeros). C es una extension de grado 2 de R , mientras que R es una extension degrado innito de Q (no se puede enumerar!).

2. Para k un cuerpo, anotamos k[x] su anillo de polinomios y por k(x) = {f (x)/g (x) |f, g ∈ k[x], g = 0} el cuerpo de fracciones de k[x].3. Anotamos por k((x)) el cuerpo de sumas formales con coeciones en k o el cuerpo de

series de Laurent en k:

k((x)) =∞

n = n 0

an xn | n0 ∈Z , an ∈ k ,

con la suma obvia y el producto∞

n = n 0

an xn∞

n = n 1

bn xn =∞

n = n 0 + n 1 i+ j = n

a ib j xn .

Observamos que k((x)) tiene inversos. En efecto, podemos restringirnos a elementosde la forma f (x) = 1 + a1x + a2x2 + . . ., y en este caso tenemos que g(x) = f − 1(x) =b0 + b1x + . . . se obtiene por recurrencia usando la regla del producto, pues el coecientede xn en f (x)g(x) es:

bn a0 + bn − 1a1 + . . . + b0an = 0,

lo que implica que si sabemos b0, . . . , bn − 1, podemos despejar bn . Finalmente notamosque k((x)) es una extension de k(x).

4. Sea a ∈C , y seaQ (a) := i

α ia i

i β ia i | α i , β i ∈Q , β ibi = 0 .

Luego Q (a) es una extension de Q que puede ser de grado nito o innito. Por ejemplosi a = √ −1, entonces [Q (a) : Q ] = 2. En efecto, {1, a} es una base para esta extensionpues

i α iai

i β ia i = i

α̃2i + i α̃2i√ −1i β̃ i + i β̃ i√ −1

,

que facilmente se puede escribir de la forma x + y√ −1.

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5. Sea p(t) = t3 − 2 en Q[t]. Luego, p(t) es irreducible al no tener ráıces racionales.Entonces el ideal p(t) en Q[t] es maximal y por lo tanto K = Q[t]/ p(t) es uncuerpo.Mas aun, es fácil ver que el conjunto de clases laterales {a + p(t) | a ∈Q} es isomorfoa Q bajo la identicaci ón a

→ a + p(t) . De este modo, podemos ver Q [t]/ p(t) como

una extension de Q .Ahora, usando el algoritmo de la division, todo f (t) ∈ Q[t] se escribe como f (t) =q (t) p(t) + r (t) con r = 0 o grado(r (t)) < 3. Mas aun, f (t) y r(t) generan el mismocoset en K = Q[t]/ p(t) . De esto se sigue que todo elemento en K es de la formaa0 + a1t + a2t2 + p(t) . Por lo tanto [ K : Q ] = 3 pues 1 + p(t) , t + p(t) , t2 + p(t)forman una base de K .

Finalmente observamos que si a = t + p(t) ∈ K , entoncesa3 −2 = t3 − p(t) −(2 + p(t) ) = t3 −2 − p(t) = 0.

Luego a es una raı́z de t3

−2 en K .Denici´on 5.3. Sea K una extension de F y X un subconjunto de K . Anotamos por F [X ](resp. F (X )) la interseccion todos los subanillos (resp. subcuerpos) de K que contienena F y a X . En el caso que X = {a1, . . . , a n} anotamos F [X ] = F [a1, . . . , a n ] y F (X ) =F (a1, . . . , a n ).

La siguiente proposici ón hermana la notaci´on recién introducida con la notaci´ on usadaen el punto 4 del ejemplo anterior

Proposici´ on 5.4. Sea K una extension de F y a ∈ K . Entonces F [a] = {f (a) | f (x) ∈ F [x]} y F (a) = {f (a)/g (a) | f, g ∈ F [x] , g = 0}.

Mas aun, F (a) es el cuerpo cociente de F [a].

Dem: La aplicación evaluación en a, eva : F [x] → K es un morsmo de anillos que ademases F -lineal. De esto se sigue fácil todas las coclusiones. Ejercicio 5.5. Generalize la proposición anterior para conjuntos X de mas de un elemento.

Proposici´ on 5.6. Sea K una extension de F , y sea X ⊆ K . Entonces F (X ) =

{F (a1, . . . , a n )

| a1, . . . , a n

∈ X

},

donde la union se toma sobre

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Notas de álgebra moderna, álvaro lopez