Universidade Federal de Mato GrossoInstituto de Cincias Exatas e da TerraDepartamento de EstatsticaNotas de aula de Estatstica - GeologiaAnderson Castro Soares de Oliveira2011SUMRIO1 Introduo 41.1 Amostragem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.1Amostragem Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.2Amostragem Sistemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3Amostragem Estraticada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Mtodo Estatstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Estatstica Descritiva 92.1 Tipo de Variveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Grcos e Tabelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.1Variveis Qualitativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2.2Variveis Quantitativas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Somatrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4 Medidas de Posio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.1Mdia Aritmtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.4.2Mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.3Moda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.4Simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.1Variveis Quantitativas Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.1.1 Dados Originais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.1.2 Dados Agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2Variveis Quantitativas Contnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2.1 Dados Originais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2.2 Dados Agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.6 Medidas de disperso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.1Amplitude Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2Varincia e Desvio Padro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.3Coeciente de Variao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6.4Erro Padro da Mdia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7.1Variveis Quantitativas Discretas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7.1.1 Dados Originais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7.1.2 Dados Agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.7.2Variveis Quantitativas Contnuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7.2.1 Dados Originais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.7.2.2 Dados Agrupados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Noes de Probabilidade 303.1 Espao Amostral e Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.1.1Operao com eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.2 Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.1Probabilidade Condicional e Independncia de Eventos . . . . . . . . . . . . 333.2.2rvores de probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2.3Varivel Aleatria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Distribuies Discretas de Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.1Esperana Matemtica e Varincia de uma VAD . . . . . . . . . . . . . . . . 393.3.2Distribuio Uniforme Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio Uniforme . . . . . . . . . 403.3.3Distribuio Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.3.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio Uniforme . . . . . . . . . 413.3.4Distribuio Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.4.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio Binomial . . . . . . . . . 433.3.5Distribuio de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3.5.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio de Poisson . . . . . . . . . 453.4 Distribuies Contnuas de Probabilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.1Esperana Matemtica e Varincia de uma fdp . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4.2Distribuio Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4.2.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio Uniforme . . . . . . . . . 503.4.3Distribuio Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5 Distribuies Amostrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.1Distribuio Amostral da Mdia(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.1.1 Teorema do Limite Central (TLC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.1.2 Distribuio t de student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.5.2Distribuio amostral para proporo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.5.3Distribuio Amostral da Varincia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5.3.1 Distribuio Qui-Quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5.3.2 Distribuio F. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594 Inferncia Estatstica 664.1 Estimao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.1.1Estimao Pontual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.2Estimao Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.2.1 Intervalo de Conana para proporop . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.2.2 Intervalo de Conana para mdia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.1.2.3 Intervalo de Conana para varincia2e para o desvio padro . 704.2 Teoria da Deciso Estatstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2.1Teste de Hiptese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2.2Teste para uma nica mdia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.2.3Teste de hipteses para propores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.2.4 Resumo das etapas aplicadas a qualquer teste de hipteses . . . . . . . . . 744.3 Regresso e Correlao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751INTRODUOEstatstica um conjunto de conceitos e mtodos cientcos para coleta, organizao, descri-o, anlise e interpretao de dados experimentais, que permitem concluses vlidas e tomadasde decises razoveis.Classicao: Usualmente, a estatstica se divide em:Estatsticadescritiva-apartequetemporobjetivoorganizar, apresentaresintetizardados observados de determinada populao, sem pretenes de tirar concluses de carterextensivo.Teoria de probabilidade - objetiva descrever e prever as caractersticas de populaes in-nitasInferncia Estatstica a parte que, baseando-se em estudos realizados sobre os dados deuma amostra, procura inferir, induzir ou vericar leis de comportamento da populao daqual a amostra foi retirada. A estatstica inferencial tem sua estrutura fundamentada nateoria matemtica das probabilidades. , tambm denida como um conjunto de mtodospara a tomada de decises.No estudo da estatstica alguns conceitos so importantes:Populao (N) - Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado fenmeno quepossuempelomenosumacaractersticaemcomum, apopulaooconjuntoUniverso.Exemplos:Todos os clientes de uma determinada empresa;Todos os produtos fabricados em uma determinada empresa;Amostra (n) - um subconjunto da populao e dever ser considerada nita, a amostra deveser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de modo que ela representetodas as caractersticas da populao como se fosse uma fotograa desta.Pesquisa Estatstica: qualquer informao retirada de uma populao ou amostra, po-dendo ser atravs de Censo ou AmostragemCenso - atividade de inspecionar (observar) todos os elementos de uma populao, objeti-vando conhecer, com certeza suas caractersticas;Introduo 5Amostragem-oprocessoderetiradadeinformaesdos"n"elementosamostrais, noqual deve seguir um mtodo criterioso e adequado (tipos de amostragem).Figura 1.1: Representao de PopulaoAmostraDados estatsticos: qualquer caracterstica que possa ser observada ou medida de algumamaneira. As matrias-primas da estatstica so os dados observveis.Varivel: aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de concluso, geralmenteas variveis para estudo so selecionadas por processos de amostragem. Os smbolos uti-lizados para representar as variveis so as letras maisculas do alfabeto, tais como X, Y,Z, ... que pode assumir qualquer valor de um conjunto de dados. As variveis podem serclassicadas dos seguintes modos:1.1 AMOSTRAGEMNarealizaodequalquerestudoquasenuncapossvel examinartodososelementosdapopulaodeinteresse. Temosusualmentedetrabalharcomumaamostradapopulao. Ainferncia estatstica nos d elementos para generalizar, de maneira segura, as concluses obtidasda amostra para a populao. errneo pensar que,caso tivssemos acesso a todos os elementos da populao,seramosmais preciosos. Os erros de coleta e manuseio de um grande nmero de dados so maiores doque as imprecises a que estamos sujeitos quando generalizamos, via inferncia, as concluses deuma amostra bem selecionada.Em se tratando de amostra, a preocupao central que ela seja representativa. Assim quedecidimosobterinformaesatravsdeumlevantamentoamostral, temosimediatamentedoisproblemas:Denir cuidadosamente a populao de interesseSelecionar a caracterstica que iremos pesquisar.Introduo 6H duas grandes divises no processo de amostragem: a probabilstica e a no-probabilstica.A amostragem probabilstica tambm chamada de amostragem aleatria ou ao acaso. Estetipo de amostragem submetida a tratamento estatstico que permite compensar erros amostrais.Hoje, dicilmenteseaceitaumaamostragemno-probabilistica, excetonos casos emqueaamostragem probabilstica no pode ser feita.A amostragem no-probabilstica, por no fazer uso de forma aleatria de seleo, no aceitadiversas aplicaes estatsticas e, por isto, preterida.Pontos importantes: muito dispendioso entrevistar cada pessoa de toda uma populao; recorremos,ento,as amostras;Usa-se a proporo de pessoas em uma amostra, portadoras de determinada caracterstica,para estimar a proporo, na populao das que tem essa caracterstica.O melhor mtodo de escolha de uma amostra a escolha aleatria, isto , que toda amostrapossvel tenha a mesma chance de ser escolhida.Antesdeseprocederaobservaodeumadeterminadapopulaosurgeaquestoseaamostragemsercomousemreposio. Seotamanhodaamostrainsignicanteemrelaopopulaooimpactodareposioserdesprezvel, porm, seaamostraforgrandeentoareposioounopodecausarumimpactosignicativonoresultadodaprobabilidade.Como as caractersticas das populaes estatsticas variam, s vezes, necessrio se adequaresta populao estatstica para submet-la a um critrio de seleo possvel, sem, contudo,perder seu carter aleatrio.1.1.1 Amostragem SimplesObjetivo: Obter uma amostra representativa quando os elementos da populao so todoshomogneos. Nesteprocessodeamostragemtodososelementosdapopulaotmamesmaprobabilidadedeseremamostrados. Acaractersticaprincipal quetodososelementosdapopulao tm igual probabilidade de pertencer amostra.Procedimento: Na prtica a amostragem aleatria simples pode ser realizada numerando-sea populao de 1 a N e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatrio qualquer, knmeros dessa seqncia, os quais correspondero aos elementos pertencentes amostra.Exemplo: Vamosobterumaamostrarepresentativa, de10%dosvalores, paraobtermosaestatura mdia de noventa alunos de uma escola:Numeramos os alunos de 01 a 90Sorteamos os nmeros, de 01 a 90, um a um, nove nmeros que formaro a amostra.1.1.2 Amostragem SistemticaObjetivo: Aumentar a representatividade da amostra dando maior cobertura populao. usada quando todos os elementos so homogneos.Introduo 7Procedimento: Quandooselementosdapopulaojestoordenados,nohnecessidadedeconstruirmos umsistemadereferncia, paraselecionarmos aamostra. Soexemplos ospronturios mdicos de um hospital, os prdios de uma rua, uma linha de produo, os nomesem uma lista telefnica, etc.Nestes casos a seleo dos elementos que constituiro a amostra podeser feita por um sistema imposto pelo pesquisador. A esse tipo de amostragem denominamos desistemtica.Exemplo: Consideremosumapopulao, comelementosordenados, detamanhoNedelatiramos uma amostra de tamanho n, atravs de uma amostragem sistemtica, da seguinte ma-neira:DenimosFS como fator de sistematizao, dado porFS= N/n.Sorteamos um nmero entre 1 e FS. Esse nmero simbolizado por m, que ser o primeiroelemento da amostra.O segundo elemento da amostra o de nmeroFS +m.O terceiro elemento da amostra o de nmero2FS +m.O k-simo elemento da amostra o nmero(k 1)FS +mExemplo: Uma rua contm 1000 prdios, dos quais desejamos obter uma amostra sistemticaformada por 100 deles.FS= 1000/100 = 10m ser um nmero entre 1 e 10. Vamos supor quem = 7. Ento temos: 1oelemento da amostra =(1 1)10 + 7 = 7 >7oelemento da populao.... 100oelemento da amostra =(100 1)10 + 7 = 997 >997oelemento da populao.1.1.3 Amostragem EstraticadaObjetivo: Melhorar a representatividade da amostra quando os elementos da populao soheterogneos, porm, podem ser agrupados em subpopulaes (ESTRATOS) contendo elementoshomogneos.Procedimento: A populao dividida em grupos ou estratos contendo elementos homogneose as amostras so retiradas separadamente de cada um desses grupos.Exemplo;Dada a populao de 50.000 operrios da indstria, selecionar uma amostra pro-porcional estraticadade5%deoperriosparaestimarseusalriomdio. Usandoavarivelcritrio "cargo"para estraticar essa populao, e considerando amostras de 5% de cada estratoobtido, chegamos ao seguinte quadro:1.2 MTODO ESTATSTICOO Mtodo Estatstico pode ser descrito pelas etapas a seguir:Introduo 8CARGO POPULAO 5% AMOSTRAChefes de seo 5000 5(5000)/100 = 250 250Operrios especializados 15000 5(15000)/100 = 750 750Operrios no especializados 30000 5(30000)/100 = 1500 1500TOTAL 50000 5(50000)/100 = 2500 2500Denio do problema - Consiste na:formulao correta do problema;examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo (reviso da literatura);saber exatamenteoquesepretendepesquisar denindooproblemacorretamente(variveis, populao, hipteses, etc.)Planejamento -Determinar o procedimento necessrio para resolver o problema:Como levantar informaes;Tipos de levantamentos: Por Censo (completo); Por Amostragem (parcial).Cronograma, Custos, etc.Coletadadados-Consistenaobtenodosdadosreferentesaotrabalhoquedesejamosfazer.;A coleta pode ser: Direta - diretamente da fonte ou Indireta - feita atravs de outrasfontes.Os dados podem ser obtidos pela prpria pessoa (primrios) ou se baseia no registrode terceiros (secundrios).Apurao dos dados - Consiste em resumir os dados, atravs de uma contagem e agrupa-mento. um trabalho de coordenao e de tabulao.Apresentao dos dados - a fase em que vamos mostrar os resultados obtidos na coleta ena organizao. Esta apresentao pode ser:Tabular (apresentao numrica)Grca (apresentao geomtrica)Anlise e interpretao dos dados - a fase mais importante e tambm a mais delicada.Tira concluses que auxiliam o pesquisador a resolver seu problema.2ESTATSTICA DESCRITIVAA estatstica descritiva parte da estatstica que lida com a organizao, resumo e apresen-tao de dados. Esta feita por meio de:Tabelas;Grcos;Medidas Descritivas (mdia, varincia, entre outras).2.1 TIPO DE VARIVEISAs variveis podem ter valores numricos ou no numricos.VariveisQualitativas(oucategricas)-soascaractersticasquenopossuemvaloresquantitativos, mas, ao contrrio, so denidas por vrias categorias, ou seja, representamuma classicao dos indivduosVariveis nominais: no existe ordenao dentre as categorias.Exemplos: sexo, cor dos olhos, fumante/no fumante, doente/sadio.Variveis ordinais: existe uma ordenao entre as categorias.Exemplos: escolaridade(1o, 2o, 3ograus), estgiodadoena(inicial, intermedirio,terminal), ms de observao (janeiro, fevereiro,..., dezembro).VariveisQuantitativas- soascaractersticasquepodemsermedidasemumaescalaquantitativa, ou seja, apresentam valores numricosVariveis discretas: so aquelas variveis que pode assumir somente valores inteirosnum conjunto de valores. gerada pelo processo de contagemExemplos: nmero de lhos, nmero de empregados, nmero de processos.Variveis contnuas: so aquelas variveis que podem assumir um valor dentro de umintervalo de valores. gerada pelo processo de medioExemplos: pressoarterial, idade, salrio, atrasodetransmissodebytesporumarede de internet.Estatstica Descritiva 102.2 GRFICOS E TABELAS2.2.1 Variveis QualitativasPararesumirdadosqualitativos, utiliza-secontagens, propores, porcentagens, taxaspor1000, taxaspor1.000.000, etc, dependendodaescalaapropriada. Porexemplo, seencontrar-mosque7empresascomfaturamentomensal acimadeR$20.000,00emumaamostrade500propriedades, poderamos expressar isto como uma proporo (0,014) ou percentual (1,4%).Freqentementeo primeiro passo da descrio dedados criaruma tabela defrequncias.Antes de montar a tabela de distribuio de frequncias temos algumas denies:Frequncia-medidaquequanticaaocorrnciadosvaloresdeumavarivelaumdadoconjunto de dados. As frequncias podem ser:Absoluta (fa) - contagem das observaes de uma varivel;Relativa (fr) - diviso da frequncia absoluta pelo total de observaesfr =fanPercentual (fp) - a frequncia relativa multiplicada por 100fp = 100 frExemplo:Para estudar a hidrodinmica foram coletadas 16 amostras no esturio de um de-terminado rio, em que foram obtidos as seguintes variveis:Tabela 2.1: Variveis observadas de 16 amostras no esturio de um determinado rio.amostra Microoganismo Abundnciia amostra Microrganismo Abundnciia1 Foraminferos Raro 9 Palinomorfos Frequente2 Foraminferos Frequente 10 Palinomorfos Muito Frequente3 Foraminferos Frequente 11 Tecamebas Raro4 Foraminferos Frequente 12 Tecamebas Raro5 Foraminferos Muito Frequente 13 Tecamebas Raro6 Foraminferos Muito Frequente 14 Tecamebas Frequente7 Palinomorfos Raro 15 Tecamebas Frequente8 Palinomorfos Raro 16 Tecamebas Muito FrequenteNeste apresentado duas variveis qualitativas sendo:Microrganismos - varivel qualitativa nominal;Abundncia - varivel qualitativa ordinal.Pararesumirseparadamentecadavarivel podemosutilizaratabelassimples, quesonamaioriadasvezessucientesparadescreverdadosqualitativosespecialmentequandoexistempoucas categorias.Para a varivel Microrganismos , podemos utilizar as frequncias apresentadas na tabela 2.2:Estatstica Descritiva 11Tabela2.2: Distribuiodefrequnciademicrorganismode16amostrasnoesturiodeumdeterminado rio.Microrganismo Frequncia Frequncia FrequnciaAbsoluta Relativa Percentual(fa) (fr) (fp)Foraminferos 6 0,375 37,50%Palinomorfos 4 0,250 25,00%Tecamebas 6 0,375 37,50%Total 16 1,000 100,00%Paraavarivel qualidadenoatendimento, almdasfrequnciasutilizadasparaavarivelMicrorganismos, podemos utilizar mais duas frequncias:Frequncia Acumulada (FA)- obtida pelo soma das frequncias absolutas;Frequncia Percentual Acumulada (FP) - obtida pela soma das frequncias percentuais.Tabela 2.3: Distribuio de frequncia de abundncia de 16 amostras no esturio de um deter-minado rio.Abundncia Frequncia Frequncia Frequncia Frequncia FrequnciaAbsoluta Relativa Percentual Acumulada Percentual(fa) (fr) (fp) (FA) Acumulada(FP)Raro 6 0,375 37,50% 6 37,50%Frequente 6 0,375 37,50% 12 75,00%Muito Frequente 4 0,250 25,00% 16 100,00%Total 16 1,000 100,00%Dados qualitativos so usualmente bem ilustrados num simples grco de barras onde a alturada barra igual frequncia. O grco na Figura 2.1 apresenta as frequncias percentuais daTabela 2.2.Em alguns casos podemos estar interessados em resumir duas variveis qualitativas ao mesmotempo, neste caso vamos estudar a relao entre duas variveis qualitativas que pode ser repre-sentada em uma tabulao cruzada. Nesta tabela conta-se quantos valores correspondem a cadapardepossveisresultados, paraasduasvariveis. Oresultadopodeserapresentadocomofrequncia absoluta ou relativa, em relao as colunas ou as linhas (nunca ambas).Tabela 2.4: Distribuio de frequncia absoluta de 16 amostras no esturio de um determinadorio de acordo com abundncia e o tipo de microrganismosMicrooganismo AbundnciaRaro Frequente Muito Frequente Total geralForaminferos 1 3 2 6Palinomorfos 2 1 1 4Tecamebas 3 2 1 6Total geral 6 6 4 16Ogrcodebarras, combarrasjustapostasdeacordocomcategoriasdiferentes, podeserusado para apresentar a relao entre duas variveis qualitativas.Estatstica Descritiva 12Figura 2.1: Abundncia de microrganismos em 16 amostras no esturio de um determinado rioFigura 2.2: Distribuio de frequncia absoluta de 16 amostras no esturio de um determinadorio de acordo com abundncia e o tipo de microrganismos2.2.2 Variveis QuantitativasDamesmaformaqueasvariveisqualitativas, podemosresumirdadosquantitativospormeio de tabelas de frequncias, entretanto a distino entre as variveis quantitativas discretase contnuas na forma de preparao destas tabelas.A tabela de distribuio de frequncias de uma varivel discreta , em geral bastante seme-lhante das variveis qualitativas ordinais, pois os valores inteiros que a varivel assume podemser considerados como "categorias", ou "classes naturais".Exemplo: Sejam dados referentes a um levantamento onde observou-se 20 rochas, nas quaiscontou-se o nmero de minerais comuns encontrados em cada rocha.Estatstica Descritiva 13Tabela 2.5: Nmero de minerais comuns encontrados em 20 rochas.2 3 5 62 4 5 62 4 5 72 5 5 72 5 5 7Observa-sequeadisposiodavarivel nmeromineraiscomunssemelhanteadeumavarivel qualitativa ordinal com 6 categorias e sua distribuio de frequncia pode ser vista natabela 2.6. A representao grca pode ser feita por meio de um grco de colunas conformegura 2.3.Tabela 2.6:Distribuio de frequncias do nmero de minerais comuns encontrados em 20 rochas.Abundncia Frequencia Frequencia Frequencia Frequencia FrequenciaAbsoluta Relativa Percentual Acumulada Percentual(fa) (fr) (fp) (FA) Acumulada(FP)2 5 0,25 25% 5 25%3 1 0,05 5% 6 30%4 2 0,10 10% 8 40%5 7 0,35 35% 15 75%6 2 0,10 10% 17 85%7 3 0,15 15% 20 100%Total 20 1,00 100%Figura 2.3: nmero de minerais comuns encontrados em 20 rochas.A construo de tabelas de distribuio de frequncias para variveis quantitativas contnuasfeitaagrupandoosdadosemclasseseobtendoasfrequnciasobservadasemcadaclasse. importante notar que ao resumir dados referentes a uma varivel contnua sempre se perde algumaEstatstica Descritiva 14informao j que no temos idia de como se distribuem as observaes dentro de cada classe.Para isso temos duas denies:Amplitude (A) - corresponde a diferena enter o maior valor e o menor valor de um conjuntode dados;Amplitude da classe (c) - consiste na diferena entre o limite superior e o limite inferior deuma classe em uma distribuio de frequncia.O procedimento para construir tabelas de distribuio frequncias para variveis quantitativascontnuas envolve os seguintes passos (algoritmo):Decidir sobre o numero de classesk, entre 5 e 20. Para que a deciso no seja totalmentearbitrria pode-se usar a raiz quadrada do total de valores como o nmero de classes, ouseja,k =nDeterminar a amplitude dos dados: A = Max - Min.Determinar a amplitude de classe c:c =Ak 1Determinar o limite inferior da primeira classeLI1:LI1= Min c2Determinar o limite superior da primeira classeLS1:LS1= LI1 +csendo que o limite inferior da segunda classeLI2 igual aoLS1, e assimLS2= LI2 +ce assim, sucessivamente todas as classes vo sendo construdas.Aps a construo das classes, so contados quantos dados esto contidos em cada classee se obtem as frequncias.Tabela 2.7: Dados ordenados, relativos ao teor de enxofre em jazidas de carvo.3,70 5,43 6,49 6,77 7,42 7,76 8,304,58 5,45 6,53 6,95 7,49 7,85 8,314,60 5,66 6,64 7,09 7,56 8,11 8,764,73 5,80 6,72 7,15 7,62 8,14 9,055,30 6,16 6,72 7,27 7,71 8,17 9,63Estatstica Descritiva 15k =30 = 5, 91 6A = Max Min = 9, 63 3, 70 = 5, 93c =Ak 1=5, 934= 1, 19LI1= Min c2= 3, 70 1, 192= 3, 7 0, 6 = 3, 10Tabela 2.8: Distribuio de frequncias, relativa ao teor de enxofre em jazidas de carvo.Classes Frequncia Frequncia Frequncia Frequncia FrequnciaAbsoluta Relativa Percentual Acumulada Percentual(fa) (fr) (fp) (FA) Acumulada(FP)6,277,62 3 0,10 10% 3 10%7,628,97 7 0,23 23% 10 33%8,9710,32 10 0,33 33% 20 67%10,3211,67 6 0,20 20% 26 87%11,6713,02 4 0,13 13% 30 100%30 1,00 100%Uma forma de representar gracamente distribuio de frequncia das variveis contnuas por meio do histograma e do polgono de frequncia . Para elaborao deste grco comumutilizar a chamada densidade de frequncia absoluta (dfa)dfa =frcO histograma semelhante ao grco de barras verticais, no eixo vertical pode-se utilizar asfrequncias ou densidades de frequncias e no eixo horizontal as classes.O polgono de frequncias um grco de linhas em que no eixo vertical pode-se utilizar as frequncias ou densidades defrequncias e no eixo horizontal o ponto mdio de cada classe.Muitas vezes, a anlise da distribuio de frequncias acumuladas mais interessante do quea de frequncias simples, representada pelo histograma. O grco usado na representao grcada distribuio de frequncias acumuladas de uma varivel contnua a ogiva,apresentada naFigura??. Paraaconstruodaogiva, sousadasasfrequnciasacumuladas(absolutasoupercentuais) no eixo vertical e os limites superiores de classe no eixo horizontal.O primeiro ponto da ogiva formado pelo limite inferior da primeira classe e o valor zero,indicandoqueabaixodolimiteinferiordaprimeiraclassenoexistemobservaes. Da pordiante, sousadososlimitessuperioresdasclassesesuasrespectivasfrequnciasacumuladas,at a ltima classe, que acumula todas as observaes. Assim, uma ogiva deve comear no valorzero e, se for construda com as frequncias relativas acumuladas, terminar com o valor 100.Estatstica Descritiva 16Figura 2.4: Histograma e Polgono de frequncias do relativa ao teor de enxofre em jazidas decarvoFigura 2.5: Ogiva para o teor de enxofre em jazidas de carvo.Estatstica Descritiva 172.3 SOMATRIOUmsomatrioumoperador matemticoquenospermiterepresentar facilmentesomasmuito grandes ou at innitas. representado com a letra grega sigma, e denido por:n

i=1xiem que corresponde a soma dos termos "xi, em que o ndicei varia de 1 an.Regras do somatrio:Somatrio de uma constanteSek uma constante, enton

i=1k = k +k +k +... +k = nkSomatrio do produto de uma constante por uma varivelSek uma constante exi uma variveln

i=1kxi= kx1 +kx2 +kx3 +... +kxn= k(x1 +x2 +x3 +... +xn) = kn

i=1xiSomatrio de uma soma algbricaO somatrio de uma soma de variveis igual soma dos somatrios de cada variveln

i=1(xi +yi) =n

i=1xi +n

i=1yiSea eb so constantes exi uma variveln

i=1(a +bxi) =n

i=1a +n

i=1bxi= na +bn

i=1xiObservaes:n

i=1xiyi=n

i=1xin

i=1yin

i=1x2i=_n

i=1xi_2Exemplos: SejaX= {4, 7, 9, 12, 3}, Obter5

i=1xi= 35,4

i=12xi= 64,5

i=23xi= 93Estatstica Descritiva 18Sabendo que3

i=1xi= 6,3

i=1x2i= 14, determinara)3

i=1(xi + 1) =3

i=1xi +3

i=11 = 6 + 3 = 9b)3

i=1(xi 1)2=3

i=1_x2i 2xi + 1_=3

i=1x2i 23

i=1xi +3

i=11 = 14 12 + 3 = 52.4 MEDIDAS DE POSIOMedidasdePosio-Somedidasdetendnciacentral, ouseja, representativasdovalorcentral, ao redor do qual se agrupam a maioria dos valores.2.4.1 Mdia AritmticaA mdia de uma populao ou amostra a soma de todos os elementos da populao (amostra)dividida pelo nmero de elementos. Esta medida apresenta a mesma unidade dos dados.Para a populao a mdia representada por =N

i=1xiNem queN o tamanho da populaoPara a amostra a mdia representada porX=n

i=1xinem quen o tamanho da amostra.Quando os dados so agrupados (Distribuio de freqncia) a mdia representada porX=n

i=1faixin

i=1faiem quepara variveis discretasxi o prprio valor da varivelpara variveis contnuasxi o ponto mdio da classe fai o freqncia absoluta dexiEstatstica Descritiva 19Amdiacalculadadosdadosoriginaisedadosagrupadospodemserdiferentes, devidoaoerro de agrupamento. O erro de agrupamento obtido fazendo a diferena entre o valor obtidopelos dados originais e o valor obtido pelos dados agrupados.2.4.2 MedianaNum conjunto de dados ordenados, a mediana (Md) o valor que deixa metade da freqnciaabaixo dele. A mediana, como a mdia, possui a mesma unidade de cada observao.A mediana pode ser obtida por meio da expresso:Md=___Xn+12sen for mparXn2+Xn+222sen for parPara calcular a mediana em dados agrupados necessrio observar a freqncia acumuladapara denir a classe mediana.A posio da mediana (P) obtida fazendoP=___n+12sen for mparn2sen for parDenida a classe mediana utiliza-se a expresso abaixo para obter a medianaMd= LIi +n1n2cem que: LIi o limite inferior da classe medianac a amplitude da classe mediana n1 a diferena entre a Posio da mediana e a freqncia acumulada da classe anterior aclasse mediana n2 a freqncia absoluta da classe mediana2.4.3 ModaAmodaModeumconjuntodedadosovalormaisfreqenteetambmtemamesmaunidade dos dados. Para obter a moda basta observar qual o dado que mais se repete.Para dados agrupados de variveis continuas a moda se localiza na classe de maior freqncia(classe modal) e obtida por meio da expresso:Mo= LIi +11 + 2c LIi o limite inferior da classe modal;Estatstica Descritiva 20c a amplitude da classe modal; 1adiferenadafreqnciadaclassemodal eafreqnciadaclasseimediatamenteanterior; 2adiferenadafreqnciadaclassemodal eafreqnciadaclasseimediatamenteposterior.2.4.4 SimetriaA determinao das medidas de posio permite discutir sobre a simetria da distribuio dosdados.Distribuio simtrica -X= Md= MoDistribuio assimtrica - ocorrem diferenas entre os valores da mdia, mediana e moda.A assimetria pode ser: direita -X> Md> Mo esquerda -X< Md< Mo2.5 EXEMPLOS2.5.1 Variveis Quantitativas DiscretasSejam dados referentes a um levantamento onde observou-se 25 rochas, nas quais contou-seo nmero de minerais comuns encontrados em cada rocha.Tabela 2.9: Nmero de minerais comuns encontrados em 25 rochas1 3 4 5 62 3 4 5 62 3 4 5 62 3 5 5 72 4 5 5 82.5.1.1 Dados OriginaisPara calcular a mdia temos:X=n

i=1xin=1 + 2 +... + 825=10525= 4, 2 = 4Para calcular a mediana temosn = 25 (mpar), entoMd= Xn+12= X25+12= X13= 4Para calcular a moda, basta vericar o valor que mais se repete, logo 5.Estatstica Descritiva 212.5.1.2 Dados AgrupadosTabela 2.10: Distribuio de freqncia para o nmero de minerais comuns encontrados em 25rochasNmero de fa fa x FAfolhas atacadasx1 1 1 12 4 8 53 4 12 94 4 16 135 7 35 206 3 18 237 1 7 248 1 8 25total 25 105MdiaX=n

i=1faixin

i=1fai=10525= 4, 2 = 4Mediana- obter a classe medianan + 12=25 + 12= 13Md=4 Moda - valor que mais repete 52.5.2 Variveis Quantitativas ContnuasTabela 2.11: Dados ordenados, relativos ao teor de enxofre em jazidas de carvo.6,94 7,27 7,46 7,97 8,03 8,378,56 8,66 8,88 8,95 9,30 9,339,55 9,76 9,80 9,82 9,98 9,9910,14 10,19 10,42 10,44 10,66 10,8810,88 11,16 11,80 11,88 12,25 12,342.5.2.1 Dados OriginaisPara calcular a mdia temos:X=n

i=1xin=7, 27 + 7, 46 + 7, 97 + 8, 03 +... + 12, 34200=291, 6630= 9, 722 = 9, 72Estatstica Descritiva 22Para calcular a mediana temosn = 30 (par), entoMd=Xn2+Xn+222=X302+X30+222=X15 +X162=9, 80 + 9, 822= 9, 812.5.2.2 Dados AgrupadosTabela 2.12: Resumo da distribuio de freqncias,relativa ao teor de enxofre em jazidas decarvo.Classes x Frequencia fa x FrequenciaAbsoluta Acumulada(fa) (FA)6,277,62 6,94 3 20,82 37,628,97 8,29 7 58,03 108,9710,32 9,64 10 96,4 2010,3211,67 10,99 6 65,94 2611,6713,02 12,34 4 49,36 30Total 30 290,55Assim,X=n

i=1faixin

i=1fai=290, 5530= 9, 685 = 9, 68Para dados agrupados, primeiro vamos obter a classe medianan2=302= 15Assim a classe mediana a que contm a freqncia acumulada 15, ou seja a classe 8, 9710, 32.Ento temos: LIi= 8, 97c=1,35 n1= 15 10 = 5 n2= 10Substituindo nas formula, temosMd= LIi +n1n2c = 8, 97 +5101, 35 = 8, 97 + 0, 67 = 9, 64Para obter a moda, primeiro vamos obter a classe modal.A maior freqncia absoluta 10, assim a classe modal 8, 9710, 32. Assim, temosMo= LIi +11 + 2cEstatstica Descritiva 23 LIi= 8, 97; c = 1, 35; 1= 10 7 = 3; 2= 10 6 = 4Mo= LIi +11 + 2c = 8, 97 +33 + 41, 35 = 8, 97 + 0, 58 = 9, 55Natabela2.13apresentadoumacomparaodosvaloresobtidospelosdadosoriginaiseagrupados.Tabela 2.13: Comparao dos valores obtidos pelos dados originais e agrupadosMedida Descritiva Dados Originais Dados Agrupados Erro de agrupamentoX 9,72 9,68 0,04Md9,81 9,64 0,17M0no se aplica 9,55 Estatstica Descritiva 242.6 MEDIDAS DE DISPERSOAsmedidasdeposiosoimportantesparacaracterizarumconjuntodedados, masnoso sucientes para caracterizar completamente a distribuio dos dados. Para isso necessrioobter as medidas de disperso, que medem a variabilidade dos dados.Por exemplo: Considere as amostras referentes a altura, em cm, de dois grupos de pessoas.Grupo A: 185 185 185Grupo B: 187 183 185As mdia para os dois a mesmaXA= 185 eXB= 185.Baseando-seapenasnamdia, osdoisgrupossoconsideradoscomodemesmaaltura. Ogrupo A tem todas as observaes iguais a mdia. J no grupo B ocorre uma certa disperso nosdados.Variabilidade a disperso dos dados em torno de um valor central.2.6.1 Amplitude TotalAmplitude Total (A) a diferena entre o maior e o menor valor da amostra. Essa medida bastante simples, e obtida pela expresso:A = Max MinPara dados agrupados a amplitude total a diferena entre o ponto mdio da ltima e daprimeira classe.Para expressar variabilidade a amplitude total no muito usada, pois baseia-se em apenasdois dados.2.6.2 Varincia e Desvio PadroA varincia baseada pela quadrado dos desvios dos dados em relao mdia.Esta medida expressa na unidade dos dados ao quadrado.Para a populao a varincia representada por2=N

i=1(xi )2Nem queN o tamanho da populaoPara a amostra a varincia representada porS2=n

i=1_xi X_2n 1em quen o tamanho da populaoPara dados agrupados, a varincia obtida por meio da expresso:Estatstica Descritiva 25Para a populao a varincia representada por2=k

i=1(xi )2faik

i=1faiPara a amostra a varincia representada porS2=n

i=1_xi X_2faik

i=1fai 1O desvio padro a raz quadrada positiva da varincia. Esta medida expressa na mesmaunidade dos dados.Para a populao o desvio padro representada por=2Para a amostra o desvio padro representada porS=S2em quen o tamanho da populao2.6.3 Coeciente de VariaoO coeciente de variao(CV ) uma medida de disperso que expressa o desvio padro emtermos da mdia de forma percentualCV= 100SXSe as amostras tiverem unidade diferentes ou mdias diferentes o CV pode ser utilizado paracomparar a variabilidade entre duas amostras.2.6.4 Erro Padro da MdiaOerropadrodamdiaumamedidadedispersoquedaprecisocomqueamdiapopulacional est sendo estimada. obtido pela frmulaS(X) =Snem que: S o desvio padro da amostra;Estatstica Descritiva 26 n o tamanho da amostra.2.7 EXEMPLOS2.7.1 Variveis Quantitativas DiscretasSejam dados referentes a um levantamento onde observou-se 25 rochas, nas quais contou-seo nmero de minerais comuns encontrados em cada rocha.Tabela 2.14: Nmero de minerais comuns encontrados em 25 rochas1 3 4 5 62 3 4 5 62 3 4 5 62 3 5 5 72 4 5 5 82.7.1.1 Dados OriginaisA amplitude totalA = Max Min = 8 1 = 7Temos que a mdia X= 4 e como se trata de uma amostra temos:S2=n

i=1_xi X_2n 1=_(1 4)2+ (2 4)2+... + (8 4)2_25 1= 3, 041666667 = 3, 04O desvio padroS=S2=_3, 04 = 1, 7435595 = 2O coeciente de variaoCV= 100SX= 10024= 50%O erro padro da mdioS(X) =Sn=225= 0, 42.7.1.2 Dados AgrupadosA amplitude totalA = Max Min = 8 1 = 7Estatstica Descritiva 27Tabela 2.15: Distribuio de freqncia para o nmero de minerais comuns encontrados em 25rochasNmero de fa fa x FAfolhas atacadasx1 1 1 12 4 8 53 4 12 94 4 16 135 7 35 206 3 18 237 1 7 248 1 8 25total 25 105Temos que a mdia X= 4 e como se trata de uma amostra temos:S2=n

i=1_xi X_2faik

i=1fai 1=(1 4)21 + (2 4)24 + (3 4)24 + (4 4)24 + (5 4)27 + (6 4)26 + (7 4)21 + (8 4)2125 1=7324= 3, 041667 = 3, 04O desvio padroS=S2=_3, 04 = 1, 7435595 = 2O coeciente de variaoCV= 100SX= 10024= 50%O erro padro da mdioS(X) =Sn=225= 0, 42.7.2 Variveis Quantitativas ContnuasTabela 2.16: Dados ordenados, relativos ao teor de enxofre em jazidas de carvo.6,94 7,27 7,46 7,97 8,03 8,378,56 8,66 8,88 8,95 9,30 9,339,55 9,76 9,80 9,82 9,98 9,9910,14 10,19 10,42 10,44 10,66 10,8810,88 11,16 11,80 11,88 12,25 12,34Estatstica Descritiva 282.7.2.1 Dados OriginaisAmplitude totalA = Max Min = 12, 34 6, 94 = 5, 40Temos que a mdia X= 9, 72 e como se trata de uma amostra temos:S2=n

i=1_xi X_2n 1=_(6, 94 9, 72)2+ (7, 27 9, 72)2+... + (12, 34 9, 72)2_30 1= 2, 074986 = 2, 0750O desvio padroS=S2=_2, 0750 = 1, 4404760 = 1, 44O coeciente de variaoCV= 100SX= 1001, 449, 72= 14, 81%O erro padro da mdiaS(X) =Sn=1, 4430= 0, 262906 = 0, 262.7.2.2 Dados AgrupadosTabela 2.17: Resumo da distribuio de freqncias,relativa ao teor de enxofre em jazidas decarvo.Classes x Frequencia x X (x X)faAbsoluta(fa)6,277,62 6,94 3 7,5076 22,52287,628,97 8,29 7 1,9321 13,52478,9710,32 9,64 10 0,0016 0,01610,3211,67 10,99 6 1,7161 10,296611,6713,02 12,34 4 7,0756 28,3024Total 30 74,6625Assim, Amplitude totalA = Max Min = 12, 34 6, 94 = 5, 40Estatstica Descritiva 29Temos que a mdia X= 9, 68 e como se trata de uma amostra temos:S2=n

i=1_xi X_2faik

i=1fai 1=74, 662529= 2, 5745689 = 2, 5746O desvio padroS=S2=_2, 5746 = 1, 604556 = 1, 60O coeciente de variaoCV= 100SX= 1001, 609, 68= 16, 53%O erro padro da mdiaS(X) =Sn=1, 6030= 0, 29Tabela2.18: ComparaoentreasmedidasdedispersoobtidaspelodadosnoagrupadoseagrupadosMedida Descritiva Dados Originais Dados Agrupados Erro de agrupamentoA 5,40 5,40 0S22,0750 2,5746 0,4996S 1,44 1,60 0,16CV 14,81% 16,53% 1,72S(X) 0,26 0,29 0,033NOES DE PROBABILIDADEJvimosqueparaseobterinformaessobrealgumacaractersticadapopulao, podemosutilizar uma amostra. Estudaremos agora a probabilidade, que uma ferramenta usada e neces-sria para se fazer ligaes entre a amostra e a populao, de modo que a partir de informaesda amostra se possa fazer armaes sobre caractersticas da populao.As probabilidades so utilizadas para exprimir a chance de ocorrncia de determinado evento.O estudo das probabilidades importante pois elas so a base para o estudo estatsticoA teoria de probabilidades tem por objetivo o estudo de fenmenos aleatrios. Um fenmeno chamado de aleatrio se ele tem a seguinte propriedade: quando observado repetidamente sobas mesmas condies ele produz resultados diferentes. Mesmo que a chance da ocorrncia sejaalta, os resultados no so conhecidos antes de ocorrer, mas de certa forma, mantm uma certaregularidade, o que permite determinar a chance de ocorrncia; a Probabilidade.Exemplos:Jogar uma moeda repetidamente e observar o resultado da face de cima;Jogar um dado e observar o nmero mostrado na face superior;Nmero de lhos de um casal;Observao: quando a possibilidade de repetir o fenmeno est na mo do experimentador,este fenmeno aleatrio chamado de experimento aleatrio.3.1 ESPAO AMOSTRAL E EVENTOSEspao amostral() - o conjunto de todos os possveis resultados de um experimento.Um espao amostral Exemplo:Lanamento de um dado no viciado. Neste caso o espao amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Lanar uma moeda duas vezes e observar as faces obtidas = {(Ca, Co), (Ca, Ca), (Co, Ca), (Co, Co)}Noes de Probabilidade 31No lanamento de um dado pode-se interessar, por exemplo, somente na ocorrncia de nmerompares. O subconjuntoA = {1, 3, 5} do espao amostral representa o evento A denido pelaocorrncia de nmeros mpares.Evento - um subconjunto do espao amostral que representa um resultado denido.Ponto amostral - apenas um elemento do espao amostral.3.1.1 Operao com eventosSejamAeBdoiseventosdeummesmoespaoamostral OeventointersecodeAeB,denotadoA B, e o evento em que A e B ocorrem simultaneamente.Dois eventos A e B so mutuamente exclusivos ou disjuntos se eles no podem ocorrer simul-taneamenteA B= .OeventoUniodeAeB, denotadoA B, eoeventoemqueAocorreouBocorre(ouambos).O evento complementar de A, denotadoAc, o evento em que A no ocorre.Exemplo: Seja o espao amostral = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e considere os eventos:A = {1, 3, 5} B= {2, 4, 6} C= {3, 4, 5, 6}Vamos fazer as seguintes operaes:A B = Conjuntos mutuamente exclusivos ou disjuntoA C = {3, 5}A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A Bc= {1, 3, 5} = A os elementos de que no esto no conjunto B Bc{1, 3, 5}Noes de Probabilidade 323.2 PROBABILIDADEProbabilidade- freqnciarelativaassociadaaumvarivel descritoradeumapopulao.Numespaoamostral , aprobabilidadedeocorrerumeventoA, representadopor P(A), dado pela medida de A em nas seguintes condies: Exemplo: A probabilidade de ocorrer facempar no lanamento de um dado no viciado P(A) =nN=36=12= 0, 5 = 50%Algumas propriedades de probabilidade:A probabilidade de ocorrncia de vale 1, ou seja,P() = 1Probabilidade de em evento certo e de um evento impossvelP() = 1; P() = 0A probabilidade de ocorrncia do evento A no negativa, ou seja,P(A) 0Domnio da Probabilidade0 P(A) 1Regra da Adio de probabilidades de dois eventosA eB:P(A B) = P(A) +P(B) P(A B)No exemplo do lanamento de um dado seja os eventosA = {2, 4, 6} eB= {3, 4, 5, 6}. Aunio entre os dois conjuntos daria {2, 3, 4, 5, 6}. Assim:P(A B) =56= 0, 83 = 83%Utilizando a regra da adio teriamos:P(A B) = P(A) +P(B) P(A B) =36+46 26=56= 0, 83 = 83%em queA B= {4, 6}Probabilidade complementarP(Ac) = 1 P(A)No exemplo do lanamento de um dado seja o eventoA= {3, 4, 5, 6}, entoAc= {1, 2},logoP(A) =46e P(Ac) =26utilizando a regra da probabilidade complementar teriamos:P(Ac) = 1 P(A) = 1 46=6 46=26Noes de Probabilidade 33Numa pesquisa sobre esporte na escola entrevistou-se 500 alunos, e obteve os seguintes dados:200 alunos no praticam esporte (evento A);150 alunos praticam futebol (evento B);200 alunos praticam basquetebol (evento C)Qual a probabilidade de um aluno escolhido ao acasopraticar futebol e basquetebol?no praticar esporte?praticar futebol ou basquetebol?Probabilidade de praticar futebol e basquetebol. P(B C)200 + 150 + 200 = 550 550 500 = 50 (n de alunos que praticam ambos esportes)P(B C=50500= 0, 10Probabilidade de no praticar esporte?P(A) =200500= 0, 4Probabilidade de praticar futebol ou basquetebol. P(B C)P(B C) = P(B) +P(C) P(B C) =150500+200500 50500=300500= 0, 603.2.1 Probabilidade Condicional e Independncia de EventosA probabilidade condicional surge,por exemplo,quando se deseja calcular a probabilidadede um evento A ocorrer sabendo que um evento B j ocorreu.Sejam A e B dois eventos associados a um mesmo espao amostral . Denota-se por P(A|B)a probabilidade condicionada do eventoA, quando o eventoB tiver ocorrido.Semprequecalculamos P(A|B), estamos essencialmentecalculandoP(A) emrelaoaoespaoamostral reduzidodevidoaBterocorrido, emlugardefaze-loemrelaoaoespaoamostral original.Dados dois eventos A e B , a probabilidade condicional de A dado que ocorreu B represen-tada porP(A|B) e denida porP(A|B) =P(A B)P(B), P(B) = 0.Isso signica que a probabilidade deA ocorrer, dado queB ocorreu, igual probabilidadede ocorrncia simultnea deA eB dividida pela probabilidade de ocorrncia deB.Exemplo: Na tabela a seguir temos dados referentes a alunos matriculados em trs cursos deuma universidade em dado ano.Qual a probabilidade de escolhermos um aluno ao acaso e ele ser:Noes de Probabilidade 34Tabela 3.1: Dados referentes a alunos de uma dada universidade.Cursos Sexo TotalFeminino MasculinoAdministrao 70 40 110Psicologia 10 20 30Geologia 20 15 35Total 100 75 175Homem(H) e da Administrao(Adm)?P(H Adm) =40175= 0, 2285b) Homem(H) ou da Administrao(Adm)?P(H Adm) = P(H) +P(Adm) P(H Adm)=75175+110175 40175=145175= 0, 8285Psicologia(Psi) ou Geologia(Geo)?P(Psi Geo) = P(Psi) +P(Geo) P(Psi Geo)=30175+35175 0 =65175= 0, 3714De ser um aluno da psicologia dado que mulher.P(Psi|M) =P(Psi M)P(M)=10175100175=10175175100=10100= 0, 10Das expresses acima resulta a regra do produto, que se refere ao clculo da probabilidadedo evento interseo,P(A B) = P(A|B).P(B)Aordemdocondicionamentopodeserinvertida. Paratrseventos, porexemplo, pode-seescrever:P(A B C) = P(A).P(B|A).P(C|A B) (3.1)Dois eventosA eBso independentes se a ocorrncia de um no altera a probabilidadede ocorrncia do outro, isto ,P(A|B) = P(A) ouP(B|A) = P(B), ou ainda, a seguinte formaequivalente:P(A B) = P(A).P(B)Noes de Probabilidade 353.2.2 rvores de probabilidadeA contruo de uma rvoredeprobabilidade fornece uma ferramenta muito til para asoluo de problemas envolvendo duas ou mais etapas. A rvore consiste em uma representaogrca na qual diversas possibilidades so representadas, juntamente com as respectivas proba-bilidades condicionadas a cada situao. Isso permite, pela utilizao direta da regra do produtodas probabilidades, associar a cada n terminal da rvore a respectiva probabilidade.Ousodasrvoresdeprobabilidadeajudamesimplicamoentendimentodaaplicaodedois teoremas que sero apresentados a seguir, conforme ser visto no exemplo.Exemplo: Em certo colgio, 5% dos homens e 2% das mulheres tm mais de 1,80m de altura.Poroutrolado, 40%dosestudantessohomens. Sorteando-seumestudantealeatoriamente,qual a probabilidade de:Ser mulher(M) e ter mais de 1,80m?P(M > 1, 80) = 0, 60 0, 02 = 0, 012Ter mais de 1,80m?P(> 1, 80) = P(M > 1, 80) +P(H > 1, 80)P(H > 1, 80) = 0, 40 0, 05 = 0, 02P(> 1, 80) = 0, 012 + 0, 02 = 0, 032Um estudante escolhido ao acaso e tem mais de 1,80m. Qual a probabilidade de que oestudante seja mulher?P(M| > 1, 80) =P(M > 1, 80)P(> 1, 80)=0, 0120, 032= 0, 375Noes de Probabilidade 363.2.3 Varivel AleatriaVarivel Aleatria - varivel descritora de populaes, cujos valores so associados a proba-bilidades de ocorrncia.Exemplo: Um estudante submetido a trs questes de mltipla escolha, em cada questotinha cinco alternativas. Logo a chance de acerta uma questo no chute 20%Correto (C) -P(C) = 20% =15Errado (E) -P(E) = 80% =45A questes e resultados possveis so: = {CCC, CCE, CEC, CEE, ECC, ECE, EEC, EEE}Supondoquesuavarivelaleatriaacertaraquesto, temosqueoocorrncianoespaoamostral pode ser: =_CCC3, CCE2, CEC2, CEE1, ECC2, ECE1, EEC1, EEE0_As probabilidade dos pontos amostrais so:P(CCC) =151515=1125P(CCE) =151545=4125P(CEC) =154515=4125P(CEE) =154545=16125P(ECC) =451515=4125P(ECE) =451545=16125P(EEC) =454515=16125P(EEE) =454545=64125Noes de Probabilidade 37Pode-se construir uma tabela, em queX o nmero de questes corretas e f(x) a probabi-lidade de ocorrer o resultado X.x 0 1 2 3f(x) 64/125 48/125 12/125 1/125Nesta tabelaXassume os valores(X=0, 1, 2, 3) que so valores numricos que descrevemos resultados da experincia, logo os valores de X so de uma varivel aleatria.Uma funo que transforma em resultados de um espao amostral em nmeros reais, chama-sevarivel aleatria. X o nome da varivel aleatria denida. Ex. nmero de questes corretas; x so os valores assumidos pela varivel. Ex. x = 0, 1, 2, 3.Noes de Probabilidade 383.3 DISTRIBUIES DISCRETAS DE PROBABILIDADEA distribuio discreta descreve quantidades aleatrias (dados de interesse) que podem as-sumir valores particulares e os valores so nitos. Por exemplo, uma varivel aleatria discretapode assumir somente os valores 0 e 1, ou qualquer inteiro no negativo, etc.Exemplos1. Lana-se uma moeda 10 vezes e anota-se o nmero de caras. Este nmero pode ser 0, 1, 2...10.2. Emumapesquisademercadofeitacom200pessoas, perguntam-seestescompramumdeterminado produto. O nmero de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200.3. Conta-se o nmero de acidentes que ocorrem em uma rodovia num feriado prolongado. Onmero de acidentes em questo pode ser: 0, 1, 2... Como no temos um valor que limiteesse nmero, supomos que o nmero de acidentes qualquer inteiro no negativo.4. Nmero de chamadas telefnicas que chegam a uma central em um intervalo de tempo.Existemvriasdistribuiesdiscretasoumodelosprobabilsticosdiscretosquepodemserusados em diversas situaes prticas. O problema determinar qual modelo mais adequadopara a situao em estudo, e como aplic-lo adequadamente.A distribuio discreta uma funof(x) que associa a cada valorx da varivel aleatria asua respectiva probabilidade. Esta funo deve atender duas condies:1. f(x) 0;2.

f(x) = 1Ex.: Para a trs questes, considerandoXnmero de acertos e x=(0,1,2,3)x 0 1 2 3f(x) 64/125 48/125 12/125 1/125Vericao da duas condies:1. f(x) 0;Parax < 0 f(x) = 0Para0 x 2 f(x) > 0Parax > 2 f(x) = 02.

f(x) =64125+48125+12125+1125=125125= 1Uma funo de probabilidade discreta pode ser representada porf(x) ou P(x) ou P(X= x)Noes de Probabilidade 39Outra forma de representar uma distribuio de probabilidade de uma varivel alearia pormeio de sua funo de distribuio acumulado, que denida porF(x) = P(X x) =n

i=1P(X= xi)Utilizando o exemplo das questes, temos que a funo de distribuio x 0 1 2 3f(x) 64/125 48/125 12/125 1/125Assim a funo de distribuio acumulada dada porx 0 1 2 3F(x) 64/125 112/125 124/125 125/125E sua representao grca:3.3.1 Esperana Matemtica e Varincia de uma VADDenio: SejaXumaV.A.D., comvalorespossveisx1, x2, ..., xn; SejaP(xi)=P(X=xi), i = 1, 2, ..., n. Ento, o valor esperado de X (ou Esperana Matemtica de X), denotado porE(X) denido comoE(X) =

i=1xiP(xi)esta expresso tambm denominado o valor mdio deX.Denio: SejaXuma V.A.D. . Dene-se a varincia deX, denotada porV (X) ou2X, daseguinte maneira:V (X) =

i=1(xi E(X))2P(xi) =ouV (X) = E(X2) (E(X))2e a raiz quadrada positiva de V(X) denominada o desvio-padro de X, e denotado porX.Noes de Probabilidade 40No exemplo das questesE(X) =4

i=1xiP(xi) = 064125+ 148125+ 212125+ 31125= 0 +48125+24125+3125= 0, 60V (x) =4

i=1(xi E(X))2P(xi) = (0 0, 60)264125+ (1 0, 60)248125+ (2 0, 60)212125+ (3 0, 60)21125= 0, 3664125+ 0, 1648125+ 1, 9612125+ 5, 761125=23, 04125+7, 68125+23, 52125+5, 76125=60125= 0, 48V (X) = E(X2) (E(X))2E(X2) =4

i=1x2iP(xi) = 0264125+ 1248125+ 2212125+ 321125= 064125+ 148125+ 412125+ 91125= 0 +48125+48125+9125=105125= 0, 84V (X) = 0, 84 (0, 60)2= 0, 84 0, 36 = 0, 483.3.2 Distribuio Uniforme Discretaamaissimplesdasdistribuiesdiscretaserecebeonomedeuniformeporquetodososvalores da varivel aleatria so assumidos com a mesma probabilidade.Exemplo o lanamento de um dado no viciado, denindo como X, a varivel aleatria querepresenta a face voltada para cima, X assume os valoresx = 1, 2, 3, 4, 5, 6 com a mesma proba-bilidade1/6.A distribuio uniforme neste caso dada porf(x) =16parax = 1, 2, 3, 4, 5, 6Generalizado obtm-se a funo de probabilidadef(x) =1kparax = x1, x2, x3, ..., xkk numero de termos.Verica-se ento quef(x) depende dek.3.3.2.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio Uniforme1. Mdia =k+12No exemplo dos dados =6+12= 3, 52. Varincia2=k2112No exemplo dos alrgicossigma2==62112= 2, 92 s3.3.3 Distribuio BernoulliNa prtica existem muitos experimentos que admitem apenas dois resultados. Exemplos:Noes de Probabilidade 411. Uma pea classicada como boa ou defeituosa;2. Um entrevistado concorda ou no com a armao feita;3. Um servidor de internet est ativo ou no;4. Numa linha de produo observa-se se um item defeituoso ou no.Situaes com alternativas dicotmicas podem ser representadas genericamente por respostasdo tipo sucesso-fracasso.EssesexperimentosrecebemonomedeensaiodeBernoulli eoriginamumavarivel alea-tria com distribuio Bernoulli. Neste caso, consideramos uma experincia com dois possveisresultadosSucesso P(sucesso) = p;Fracasso P(fracasso) = q.Temos que: = {Sucesso, Fracasso} P() = 1p +q= 1 q= 1 p3.3.3.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio Uniforme1. Mdia = pNo exemplo dos dados =6+12= 3, 52. Varincia2= pqNo exemplo dos alrgicossigma2==62112= 2, 92 s3.3.4 Distribuio BinomialNa maior parte das vezes, so realizadosn ensaios de Bernoulli. O interesse est no nmeroXde ocorrncias de sucessos.Exemplos:1. lanar uma moeda cinco vezes e observar o nmero de caras;2. numa linha de produo, observar dez itens, e vericar quantos so defeituosos;3. vericar,num dado instante,o nmero de processadores ativos,num sistema com multi-processadores;Uma experimento binomial dado da seguinte forma:1. consiste emn ensaios de Bernoulli;2. cujos ensaios so independentes; e3. para o qual a probabilidade de sucesso em cada ensaio sempre igual ap,0 < p < 1Noes de Probabilidade 42AvarivelaleatriaX, correspondenteaonmerodesucessosnumexperimentobinomial,tem distribuio binomial com parmetrosn ep, com funo de probabilidade dada porf(x) = CnxpxqnxA frmula de clculo de uma combinao a seguinte:Cnx=_nx_=n!x! (n x)!A funo f(x) permite calcular a probabilidade de acontecer o resultado x (nmero de sucessosda varivel aleatria), no importando a ordem de ocorrncia dex dentro da experincia.Exemplo: Numa famlia comn = 5 lhos, qual a probabilidade de no haver homens?Quala probabilidade de haver dois homens?n = 5, p =12, q=12f(x) = C5xpxq5x; x = 0, 1, 2, 4, 5A varivel aleatria representa o nmero dehomens (lhos do sexo masculino) encontradoem famlias de 5 lhos1. x = 0 homemf(x) = C50p0q50=5!0! (5 0)!_12_0_12_5=132= 0, 0313 ou 3, 13%2. x = 2 homensf(x) = C52p2q52=5!2! (5 2)!_12_2_12_3=2021418=1032= 0, 3125 ou 31, 25%Exemplo: Lanada oito moedas (ou uma moeda oito vezes), qual a chance de obterTrs caras?no mximo trs caras?no mnimo quatro caras?A varivel aleatria x neste caso o nmero de caras obtidos no lanamento, logo neste casoo sucesso sair cara nas moedas lanadas. Assim temos:n = 8,p =12= 0, 5 q= 1 q= 1 0, 5 = 0, 5Noes de Probabilidade 43A funo de probabilidadef(x) = CnxpxqnxProbabilidade de sair trs carasP[X= 3] = C83p3q83=8!3! (8 3)!(0, 5)3(0, 5)5= 56 0, 125 0, 03125 = 0, 2187 ou 21, 87%Probabilidade de sair no mximo trs carasP[X 3] = P[X= 0] +P[X= 1] +P[X= 2] +P[X= 3]P[X= 0] = C80p0q80= 0, 0039P[X= 1] = C81p1q81= 0, 0313P[X= 2] = C82p2q82= 0, 1094P[X= 3] = 0, 2187P[X 3] = 0, 0039 + 0, 0313 + 0, 1094 + 0, 2187 = 0, 3633 ou 36, 33%Probabilidade de sair no mnimo quatro carasP[X 4] = P[X= 4] +P[X= 5] +P[X= 6] +P[X= 7] +P[X= 8]ouP[X 4] = 1 P[X< 4] = 1 (P[X= 0] +P[X= 1] +P[X= 2] +P[X= 3])= 1 0, 3633 = 0, 6367 ou 63, 67%3.3.4.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio Binomial1. Mdia = np2. Varincia2= npq3. Desvio Padro= npqUtilizando o exemplo das moedas temos:1. Mdia = np = 8 0, 5 = 42. Varincia2= 8 0, 5 0, 5 = 23. Desvio Padro= npq=2 = 1, 41Noes de Probabilidade 443.3.5 Distribuio de PoissonA distribuio de Poisson empregada em experimentos nos quais no se est interessado nonmero de sucessos obtido emn tentativas, como ocorre no caso da distribuio binomial, massim no nmero de sucessos ocorridos durante um intervalo contnuo, que pode ser um intervalode tempo, espao, comprimento, rea, ou volume. Alguns exemplos de variveis que podem tera distribuio de Poisson so:1. nmero de defeitos por centmetro quadrado;2. nmero de acidentes por dia;3. nmero de clientes por hora;4. nmero de chamadas telefnicas recebidas por minuto;5. nmero de falhas de um computador num dia de operao;6. nmero de relatrios de acidentes enviados a uma companhia de seguros numa semana.A distribuio de Poisson tem a seguinte funo de probabilidadef(x) = exx!,x = 0, 1, 2, 3, ....em que: x uma varivel aleatria discreta; e base dos logaritmos neperianos (2,718...) - mdia da distribuio(p)Exemplo: O nmero mdio de dias por ano que ocorrem chuvas acima de 50mm.h1em umadeterminada regio 1,5. Quala probabilidadedehaver mais dedois dias comchuvas acimadessa intensidade.P[X= x] = exx!P[X> 2] = 1 P[X 2] = 1 (P[X= 0] +P[X= 1] +P[X= 2])P[X= 0] = = e1,51, 500!= 0, 2231P[X= 1] = = e1,51, 511!= 0, 3347P[X= 2] = = e1,51, 522!= 0, 2510P[X> 2] = 1 (0, 2231 + 0, 3347 + 2510) = 1 0, 8088 = 0, 1912 ou19, 12%A distribuio de Poisson tambm conhecida na prtica com lei dos eventos raros. Eventoraro pode ser considerado quando n 50 e p 0, 10.Nestes casos podemos utilizar a distribuiode Poisson para probabilidades de situaes que seriam utilizadas uma distribuio binomial.Noes de Probabilidade 45Exemplo: A probabilidade de que um indivduo apresente reao alrgica aps a aplicaodeumsorode0,002. Essemesmosorofoi aplicadoaumgrupode1800pessoas, qual aprobabilidade de que duas pessoas apresentem reao alrgica?n=1800 p=0,002 = 1800 0, 002 = 3, 6 alrgicosP[X= x] = exx!P[X= 2] = = e3,63, 622!0, 1770ou 17, 70%3.3.5.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio de Poisson1. Mdia = No exemplo dos alrgicos = 3, 62. Varincia2= No exemplo dos alrgicos2= 3, 6 s3. Desvio Padro=No exemplo da sementes= 3, 6 = 1, 9Noes de Probabilidade 463.4 DISTRIBUIES CONTNUAS DE PROBABILIDADESodistribuiesdevariveisaleatriascontnuas. Umavarivel aleatriacontnuatomaum numero innito no numervel de valores (intervalos de nmeros reais), os quais podem serassociados com medidas numa escala contnua. Exemplos:1. Mede-se a altura de uma mulher em uma cidade. O valor encontrado um nmero real.Aqui tambm sabemos que esse nmero no passa de 3 metros, mas conveniente considerarqualquer numero real positivo.2. Em um exame fsico para selecionar um jogador de futebol medido o peso de cada candi-dato; aqui tambm consideramos que o resultado pode ser qualquer nmero real positivo.3. Em campanhas preventivas de hipertenso arterial comum de tempos em tempos medir-seo nvel de colesterol. O valor de cada medida pode ser um nmero real no negativo.4. Para pacientes que se apresentam num hospital a primeira atitude medir-se a temperatura;o valor da temperatura um nmero real que se pode considerar compreendido entre 35oe 42oC.5. Retira-se uma lmpada da linha de produo e coloca-se a mesma em um soquete acendendo-a; observa-se a mesma at que se queime. O tempo de durao da lmpada um numeroreal no negativo.As variveis continuas cam completamente denidas por qualquer uma das seguintes funesFuno densidade de probabilidadef(x) - denida para todo o x em que a varivel estdenida.Funo Acumulada ou de distribuioF(x) - representa a probabilidade acumulada atxF(x) = P(X x)Seavarivel aleatriacontnuaasuafunodeprobabilidadeumafunocontnuaconhecida por funo de densidade de probabilidade (fdp). Esta funo atende duas condies:1. f(x) 0 x R2._Rf(x)dx = 1Das duas condies verica-se queP(a < x < b) =_baf(x)dxNoes de Probabilidade 47Calculo de probabilidades em variveis continuasP(X a) = F(a) =_af(x)dxP(a X b) = F(b) F(a) =_baf(x)dxP(X> a) = 1 F(a)P(X= a) = 0, para todo o valor deaNo casa das variveis contnuas a funo de distribuio acumulada, que denida porF(x) = P(X x) =_xf(x)dxE sua representao grca:Ex.: O tempo gasto,em minutos,por um estudante para responder a uma questo de umteste uma varivel aleatria contnua com funo dada porf(x) =_x4para 1 x 30 para outros valoresPela notao verica-se que o estudante gasta um tempo entre 1 e 3 minutos.Vericar as duas condies1. f(x) 0 x RParax < 1 f(x) = 0Para1 x 3 f(x) > 0Parax > 3 f(x) > 02._Rf(x)dx = 1_f(x)dx =_x4dx =_31x4dx =14_31xdx =14x22_31=14_322122_=14_92 12_=1482= 1Noes de Probabilidade 48Para obter a probabilidade utiliza-se a integral, por exemplo,P(2 < x < 3) =_32x4dx=14_32xdx=14x22_32=14_322222_=14_92 42_=1452=58= 0, 6253.4.1 Esperana Matemtica e Varincia de uma fdpDenio: SejaXumaV.A. continua, comfdpf(x). Ento, ovaloresperadodeX(ouEsperana Matemtica de X), denotado por E(X) denido comoE(X) =_xf(x)dxesta expresso tambm denominado o valor mdio deX.Denio: SejaXuma V.A.D. . Dene-se a varincia deX, denotada porV (X) ou2X, daseguinte maneira:V (X) =_(x E(X))2f(x)dx ouV (X) = E(X2) (E(X))2em queE(X2) =_x2f(x)dxe a raiz quadrada positiva de V(X) denominada o desvio-padro de X, e denotado porX.No exemplo da o tempo gasto, em minutos, por um estudante para responder a uma questode um teste, temos que:E(X) =_xf(x)dx =_31xx4dx = 2, 17V (X) =_(x E(X))2f(x)dx =_31(x 2, 17)2x4dx = 0, 30E(X2) =_x2f(x)dx =_31x2x4dx = 5, 00V (X) = E(X2) (E(X))2= 5 (2, 17)2= 0, 30Noes de Probabilidade 493.4.2 Distribuio UniformeSeX uma V. A. C. assumindo qualquer valor num intervalo(a, b) pertencente a R, com amesma probabilidade, diz-se queXtem distribuio uniforme.A funo de densidade da distribuio uniforme dada porf(x) =_1bapara x (a, b)0 para x (a, b)em que: a o menor valor assumido porx; b o maior valor assumido porx;A representao grca def(x) a seguinte:A funo de distribuio dada por:F(x) =___0 se x < axabase a x b1 se x > brea de um retnguloA = B.h= (b a)_1b a_A = 1Outra forma de ver a rea:A =_ba1b adx=1b a_badx=1b ax_ba=1b a(b a) = 1Noes de Probabilidade 50Realmente uma funo de densidade, pois af(x) 0 e a rea igual a 1.Exemplo. Se uma VAC assume qualquer valor no intervalo(2, 3) com a mesma probabili-dade, a distribuio uniforme tem a seguinte funo de densidade:f(x) =_13(2)=15para x (2, 3)0 para x (2, 3)Qual a probabilidade de x estar entre 0 e 2?P(0 x 2) = b.h = 2.15=25= 0, 4P(0 x 2) = F(2) F(0)F(2) =2 + 25=45F(0) =0 + 25=25P(0 x 2) =45 25=25= 0, 43.4.2.1 Parmetros Caractersticos da Distribuio Uniforme1. Mdia =a +b2No exemplo = 2 + 32= 0, 52. Varincia2=(b a)212No exemplo2=(3 (2))212=2512= 2, 083. Desvio Padro=b a12No exemplo=3 (2)12=512= 1, 443.4.3 Distribuio NormalAdistribuioNormal correspondeamaisimportantedistribuiodevariveisaleatriascontnuas, em razo da sua enorme aplicao nos mais variados campos do conhecimento. Suafuno de densidade de probabilidade dada por:f(x) =122exp_(x )222_, < x < em que os parmetros e2so respectivamente a mdia e a varincia da distribuio.A distribuio normal apresenta a seguinte propriedades:1. simtrica em relao a;2. O ponto mximo de f(x) ocorre em x = . Neste ponto as trs medidas de posio (mdia,moda e mediana) se confundem;Noes de Probabilidade 513. A rea compreendida abaixo da curva normal e a acima do eixo x vale 1 ou 100%;A distribuio Normal com mdia=0 e varincia2=1 conhecida como distribuioNormal reduzidaoupadronizada. Umavarivel aleatriacomessadistribuiogeralmentesimbolizada pela letraZ.OclculodeprobabilidadesdeumadistribuioNormal feitopelaintegral denidanointervalo da varivel objeto de estudo:_ba122exp_(x )222_dxDevido a diculdade de resoluo dessa integral, procurou-se mtodos alternativos para obten-o das probabilidades. Uma das formas mais utilizadas por meio de tabela de probabilidadesde uma distribuio Normal padro (Z).Uma propriedade interessante de uma varivel aleatriaXque segue qualquer distribuioNormal a de que ela pode ser transformada em uma varivel normal padroZ,por meio daexpressoz=x As reas referentes varivelZso geralmente tabeladas do tipoP(0 < Z< z)Exemplo: Aproduodiriadeumafabricantedetintasumavarivel aleatriaXcomdistribuionormal commdia=10000galesevarincia2=1000000gales2. Adireodessafabricaquercriarumbnusdeincentivoaosfuncionrios, queserpagoseaproduomdia diria exceder 11000gales. Qual a probabilidade da empresa pagar o bnus?Quero saberP(X> 11000), primeiro vamos padronizar esta varivel, sendo=2=1000000 = 1000Primeiro vamos padronizar esta varivelz=x =11000 100001000= 1, 0Assim,P(X> 11000) = (Z> 1, 0)Noes de Probabilidade 52Como a tabela me fornece apenas o valor de que est entre 0 e z, ento temosP(X> 11000) = P(Z> 1, 0) = 0, 5 P(0 < Z< 1, 0) = 0, 5 0, 3413 = 0, 1587Assim a probabilidade da empresa pagar o bonus de 0,1587.Um membro da direo da fbrica diz que se a empresa tiver produo mdia diria entre9000 e 9500 gales em um ms anterior, no tem como pagar o bnus mesmo que o funcionriostenha excedido os 11000gales. Nesse caso qQual a probabilidade no pagar o bnus.Quero saberP(9000 < x < 9500), primeiro vamos padronizar esta varivelz1=x1 =9000 100001000= 1 z2=x2 =9500 100001000= 0, 5EntoP(9000 < x < 9500) = P(1 < z< 0, 5)Como na tabela tem apenas valores postivos e a distribuio normal simtrica temos queP(1 < z< 0, 5) = P(0, 5 < z< 1, 0)Utilizando a tabela temos queP(0, 5 < z< 1, 0) = P(0 < z< 1, 0) P(0 < z< 0, 5) = 0, 3413 0, 1915 = 0, 1498Assim, a probabilidade deP(9000 < x < 9500) = 0, 1498Noes de Probabilidade 53Qual a probabilidade da empresa produzir entre 9500 e 11000 gales por dia. Utilizando aspadronizaes j realizadas temos queP(9000 < x < 11000) = P(0, 5 < z< 1, 0)Assim,P(0, 5 < z< 1, 0) = P(0 < z< 1, 0) +P(0 < z< 0, 5) = 0, 3413 + 0, 1915 = 0, 5328Noes de Probabilidade 54Tabela 3.2: Distribuio Normal - probabilidade do valor de z padronizado estar entre 0 e o valortabulado nas margensz 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,36211,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,38301,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,40151,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,41771,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,43191,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,44411,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,45451,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,46331,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,47061,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,47672,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,48172,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,48572,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,48902,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,49162,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,49362,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,49522,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,49642,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,49742,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,49812,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,49863,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,49903,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,49933,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,49953,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,49973,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,49983,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,49983,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,49993,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000Noes de Probabilidade 553.5 DISTRIBUIES AMOSTRAISAo retirarmos uma amostra aleatria de uma populao e calcularmos a partir desta amostraqualquer quantidade,encontramos a estatstica,ou seja,chamaremos os valores calculados emfuno dos elementos da amostra de estatsticas.3.5.1 Distribuio Amostral da Mdia(X)Se considerarmos o processo de seleo de uma amostra aleatria simples como um experi-mento,a mdia da amostraXa descrio numrica do resultado do experimento. Assim,amdia da amostra X uma varivel aleatria. Como resultado, tal como outras variveis aleat-rias, X tem uma mdia ou um valor esperado, uma varincia e uma distribuio de probabilidade.ComoosvalorespossveisdeXsoosresultadosdediferentesamostrasaleatriassimples, adistribuio da probabilidade de X chamada de distribuio amostral. Pode-se assim dizer quea mdia aleatria X o valor esperado de , isto , E(X) = , em que a mdia da populao.Seja2Xa varincia da distribuio de amostragem deX; por propriedade da varincia estsera2X=2n3.5.1.1 Teorema do Limite Central (TLC)Aoselecionaramostrasaleatriassimplesdetamanhonapartirdeumapopulaocomparmetros(, 2) a distribuio amostral da mdia das amostrasXpode ser aproximada peladistribuio normal de probabilidade medida que o tamanho de amostra se torna maior.Assim:Seapopulaotemdistribuionormal, entoamdiaamostral terumadistribuioaproximadamente normal, independentemente da forma da distribuio de frequncias dapopulao de onde foi retirada a amostra;Seotamanhondaamostraforsucientementegrandemaiorouigual a30elementos),ento a mdia de uma amostra aleatria retirada de uma populao ter uma distribuioaproximadamente normal, independentemente da forma da distribuio de frequncias dapopulao de onde foi retirada a amostra.Portanto, adistribuiodamdiaamostral aproximadamentenormal eseusvaloresdemdia e desvios padro esto relacionados com mdiaX= e varincia2X=2nNoes de Probabilidade 56Como a distribuio da mdia amostral uma distribuio normal, podemos transforma-laem uma varivel normal padroZ, por meio da expressoz=x nExemplo: Uma industria eltrica fabrica lmpadas que tm vida til distribuda com mdiade800horas e varincia igual1600(horas)2. Qual a probabilidade de uma amostra aleatria detamanhon = 64 ter vida til superio a806, 65horasTemos que = 800 e2= 1600 e= 40, entoX= 800 e2X=160064,QueremosP(X> 10, 0), primeiro vamos padronizarz=x n=806, 65 8004064=6, 65408= 1, 33Ento:P(X> 806, 65) = P(z> 1, 33) = 0, 5 P(0 < z< 1, 33) = 0, 5 0, 4082 = 0, 09183.5.1.2 Distribuio t de studentA distribuio t de Student aparece naturalmente no problema de se determinar a mdia deuma populao (que segue a distribuio normal) a partir de uma amostra. Neste problema, nose sabe qual a mdia ou o desvio padro da populao, mas ela deve ser normal.A varivel aleatria T dada por:t =X S/nsegue uma distribuio t de Student com= n 1 graus de liberdade, e a funo de densidade dada porf(t) =(+12) (2)_1 +t2_(+12),Grau de liberdade pode ser entendido como nmero de termos independentes (dimenso daamostra) a serem avaliados na populao.Algumas caractersticas da distribuio t de student:Noes de Probabilidade 57 simtrica em relao a zero;Todas curvas tem mximo emt = 0;Existe uma curva para cada tamanho de amostra (n) e o valor = n1 (nmero de grausde liberdade) usado para obteno de valores na tabela;A medida quen cresce a distribuiot se aproxima da normal padroz;Valores de probabilidade de t so obtidos em tabelas. A tabela det informa o valor acimado qual se encontra a areaExemplo: Sejaumaamostran=15. Qual ovalorde t acimadoqual tem-se5%deprobabilidade. = 0, 05, = 15 1 = 14, pela tabela temos que t=1,761Exemplo: Qual ovalordetacimadoqual tem-se90%deprobabilidade=0, 90; =15 1 = 14, pela simetria da distribuio o valor que deixa 10% da rea sua esquerda com osinal negativo.=0, 10; =15 1=14, entot =1, 345, pelasimetria=0, 90; =15 1=14,t = 1, 345Noes de Probabilidade 583.5.2 Distribuio amostral para proporoConsidere que uma populao a proporo de elementos que portadores de certa caractersticap . Denindo uma varivel aleatria, da seguinte maneiraX=_1 se o indivduo for portador da caractristica0 se o indivduo nofor portador da caractristicaLogoE(X) = p eV ar(X) = 2.Comoosresultadosindividuaisso0(fracasso)ou1(sucesso), temosque Y =

ni=1xiototaldeindivduosderesultadosemnensaios, quecorrespondemaossucessos(indivduoforportadordacaracterstica), porqueaosresultadosquecorrespondemaosfracassos, estoassociados o valor zero.Assim, Ytem distribuio binomial com parmetros n (tamanho da amostra) e p (proporode indivduos portadores da caracterstica), em que: p =Yn=n

i=1xinou seja,p igual mdia da varivel aleatriaXComoYtem distribuio binomialb(n, p), com mdia = np e varincia2= npq. Conse-quentemente,E[p] = E_Yn_=1nE[Y ] =1nnp = pV ar[p] = E_Yn_=1n2E[Y ] =1n2npq=pqnAssim, pelo Teorema Limite Central, quando n grande (n > 30), a proporo amostral p desucessos emn ensaios de Bernoulli tem distribuio aproximadamente normal com mdia = pe varincia2=pqn , e assim podemos utilizar a padronizao:z= p = p p_pqnexemplo:Noes de Probabilidade 593.5.3 Distribuio Amostral da Varincia3.5.3.1 Distribuio Qui-QuadradoHcasosemqueseestmaisinteressadonavarinciadoquenamdiadaamostra. Porexemplo, em las de espera. Mesmo conhecendo-se o tempo mdio de espera, a informao dograudevariabilidadedestetempoimportante. Adistribuiousadanestecasoconhecidacomo Distribuio Qui-Quadrado, denida como:2=(n 1)S22e a funo de densidade dada porf(x) =12/2(/2) x/21ex/2I{x0},Da mesma forma que a distribuio t, existe uma curva para distribuio Qui-quadrado paracada tamanho de amostra(n) e o valor= n 1 (nmero de graus de liberdade) usado paraobteno de valores na tabela.A tabela de2fornece o valor acima do qual encontra-se a reaExemplo: Umaamostracomn=15. Qual ovalorquedeixasuadireita5%darea? = 0, 05, = 15 1 = 14, pela tabela temos que t=1,7613.5.3.2 Distribuio FA distribuio F est entre aquela distribuies de probabilidade mais importantes na esta-tstica, tem maior destaque na rea de experimentao agrcola. Essa distribuio denida pelaNoes de Probabilidade 60varivel resultante da razo duas varincias:F=S2121S2222e a funo de densidade dada porf(x) =_1+22__12_12x12 1_12__22__1 +1x2_1+22Para se obter valores tabelados da distribuio F, necessrio observar dois graus de libera-dade1=n1 1 e2=n2 1,o primeiro associado varincia amostral do numerador,e osegundo associado varincia amostral do denominador.A tabela deFinforma o valor acima do qual se encontra a area e existe uma tabela paracada valor e diferentes combinaes de1 e2.Exemplo: Para duas amostras de FNoes de Probabilidade 61Tabela 3.3: Distribuio t de student - valores para P(t >tc) =, considerando =0, 250;0, 200;0, 150;0, 100;0, 050;0, 025;0, 010;0, 005;0, 001.GL = n 1 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,025 0,010 0,005 0,0011 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 318,2892 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 22,3283 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 10,2144 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 7,1735 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 5,8946 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,2087 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,7858 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 4,5019 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,29710 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,14411 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,02512 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,93013 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 3,85214 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,78715 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,73316 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 3,68617 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3,64618 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 3,61019 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,57920 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,55221 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3,52722 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,50523 0,685 0,858 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3,48524 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,46725 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3,45026 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,43527 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,42128 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,40829 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,39630 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3,38540 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3,30750 0,679 0,849 1,047 1,299 1,676 2,009 2,403 2,678 3,26160 0,679 0,848 1,045 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3,23280 0,678 0,846 1,043 1,292 1,664 1,990 2,374 2,639 3,195100 0,677 0,845 1,042 1,290 1,660 1,984 2,364 2,626 3,174120 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3,160240 0,676 0,843 1,039 1,285 1,651 1,970 2,342 2,596 3,125480 0,675 0,842 1,038 1,283 1,648 1,965 2,334 2,586 3,107700 0,675 0,842 1,037 1,283 1,647 1,963 2,332 2,583 3,1021000 0,675 0,842 1,037 1,282 1,646 1,962 2,330 2,581 3,098Noes de Probabilidade 62Tabela 3.4: Disitruio Qui-quadrado - Valores de 2para P(2> 2ccom =0, 995;0, 9900, 975;0, 950;0, 900;0, 750;0, 500;0, 250;0, 100;0, 050;0, 025;0, 010;0, 005.n 0,995 0,990 0,975 0,950 0,900 0,750 0,500 0,250 0,100 0,050 0,025 0,010 0,0051 3,93E-05 1,57E-04 0,001 0,004 0,016 0,102 0,455 1,323 2,706 3,841 5,024 6,635 7,8792 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 0,575 1,386 2,773 4,605 5,991 7,378 9,210 10,5973 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 1,213 2,366 4,108 6,251 7,815 9,348 11,345 12,8384 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 1,923 3,357 5,385 7,779 9,488 11,143 13,277 14,8605 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 2,675 4,351 6,626 9,236 11,070 12,832 15,086 16,7506 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 3,455 5,348 7,841 10,645 12,592 14,449 16,812 18,5487 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 4,255 6,346 9,037 12,017 14,067 16,013 18,475 20,2788 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 5,071 7,344 10,219 13,362 15,507 17,535 20,090 21,9559 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 5,899 8,343 11,389 14,684 16,919 19,023 21,666 23,58910 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 6,737 9,342 12,549 15,987 18,307 20,483 23,209 25,18811 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 7,584 10,341 13,701 17,275 19,675 21,920 24,725 26,75712 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 8,438 11,340 14,845 18,549 21,026 23,337 26,217 28,30013 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 9,299 12,340 15,984 19,812 22,362 24,736 27,688 29,81914 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 10,165 13,339 17,117 21,064 23,685 26,119 29,141 31,31915 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 11,037 14,339 18,245 22,307 24,996 27,488 30,578 32,80116 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 11,912 15,338 19,369 23,542 26,296 28,845 32,000 34,26717 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 12,792 16,338 20,489 24,769 27,587 30,191 33,409 35,71818 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 13,675 17,338 21,605 25,989 28,869 31,526 34,805 37,15619 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 14,562 18,338 22,718 27,204 30,144 32,852 36,191 38,58220 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 15,452 19,337 23,828 28,412 31,410 34,170 37,566 39,99721 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 16,344 20,337 24,935 29,615 32,671 35,479 38,932 41,40122 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 17,240 21,337 26,039 30,813 33,924 36,781 40,289 42,79623 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 18,137 22,337 27,141 32,007 35,172 38,076 41,638 44,18124 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 19,037 23,337 28,241 33,196 36,415 39,364 42,980 45,55825 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 19,939 24,337 29,339 34,382 37,652 40,646 44,314 46,92826 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 20,843 25,336 30,435 35,563 38,885 41,923 45,642 48,29027 11,808 12,878 14,573 16,151 18,114 21,749 26,336 31,528 36,741 40,113 43,195 46,963 49,64528 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 22,657 27,336 32,620 37,916 41,337 44,461 48,278 50,99429 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 23,567 28,336 33,711 39,087 42,557 45,722 49,588 52,33530 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 24,478 29,336 34,800 40,256 43,773 46,979 50,892 53,67240 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 33,660 39,335 45,616 51,805 55,758 59,342 63,691 66,76650 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 42,942 49,335 56,334 63,167 67,505 71,420 76,154 79,49060 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 52,294 59,335 66,981 74,397 79,082 83,298 88,379 91,95270 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 61,698 69,334 77,577 85,527 90,531 95,023 100,425 104,21580 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 71,145 79,334 88,130 96,578 101,879 106,629 112,329 116,32190 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 80,625 89,334 98,650 107,565 113,145 118,136 124,116 128,299100 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 90,133 99,334 109,141 118,498 124,342 129,561 135,807 140,170Noes de Probabilidade 63Tabela 3.5: Limites unilaterais de F ao nvel de 10% de probabilidade com os graus de liberdade1 e2211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 39,863 49,500 53,593 55,833 57,240 58,204 58,906 59,439 59,858 60,195 60,4732 8,526 9,000 9,162 9,243 9,293 9,326 9,349 9,367 9,381 9,392 9,4013 5,538 5,462 5,391 5,343 5,309 5,285 5,266 5,252 5,240 5,230 5,2224 4,545 4,325 4,191 4,107 4,051 4,010 3,979 3,955 3,936 3,920 3,9075 4,060 3,780 3,619 3,520 3,453 3,405 3,368 3,339 3,316 3,297 3,2826 3,776 3,463 3,289 3,181 3,108 3,055 3,014 2,983 2,958 2,937 2,9207 3,589 3,257 3,074 2,961 2,883 2,827 2,785 2,752 2,725 2,703 2,6848 3,458 3,113 2,924 2,806 2,726 2,668 2,624 2,589 2,561 2,538 2,5199 3,360 3,006 2,813 2,693 2,611 2,551 2,505 2,469 2,440 2,416 2,39610 3,285 2,924 2,728 2,605 2,522 2,461 2,414 2,377 2,347 2,323 2,30211 3,225 2,860 2,660 2,536 2,451 2,389 2,342 2,304 2,274 2,248 2,22712 3,177 2,807 2,606 2,480 2,394 2,331 2,283 2,245 2,214 2,188 2,16613 3,136 2,763 2,560 2,434 2,347 2,283 2,234 2,195 2,164 2,138 2,11614 3,102 2,726 2,522 2,395 2,307 2,243 2,193 2,154 2,122 2,095 2,07315 3,073 2,695 2,490 2,361 2,273 2,208 2,158 2,119 2,086 2,059 2,03720 2,975 2,589 2,380 2,249 2,158 2,091 2,040 1,999 1,965 1,937 1,91330 2,881 2,489 2,276 2,142 2,049 1,980 1,927 1,884 1,849 1,819 1,79440 2,835 2,440 2,226 2,091 1,997 1,927 1,873 1,829 1,793 1,763 1,73750 2,809 2,412 2,197 2,061 1,966 1,895 1,840 1,796 1,760 1,729 1,70360 2,791 2,393 2,177 2,041 1,946 1,875 1,819 1,775 1,738 1,707 1,680120 2,748 2,347 2,130 1,992 1,896 1,824 1,767 1,722 1,684 1,652 1,625240 2,727 2,325 2,107 1,968 1,871 1,799 1,742 1,696 1,658 1,625 1,5982112 13 14 15 20 30 40 50 60 120 2401 60,705 60,903 61,073 61,220 61,740 62,265 62,529 62,688 62,794 63,061 63,1942 9,408 9,415 9,420 9,425 9,441 9,458 9,466 9,471 9,475 9,483 9,4873 5,216 5,210 5,205 5,200 5,184 5,168 5,160 5,155 5,151 5,143 5,1384 3,896 3,886 3,878 3,870 3,844 3,817 3,804 3,795 3,790 3,775 3,7685 3,268 3,257 3,247 3,238 3,207 3,174 3,157 3,147 3,140 3,123 3,1146 2,905 2,892 2,881 2,871 2,836 2,800 2,781 2,770 2,762 2,742 2,7327 2,668 2,654 2,643 2,632 2,595 2,555 2,535 2,523 2,514 2,493 2,4828 2,502 2,488 2,475 2,464 2,425 2,383 2,361 2,348 2,339 2,316 2,3049 2,379 2,364 2,351 2,340 2,298 2,255 2,232 2,218 2,208 2,184 2,17210 2,284 2,269 2,255 2,244 2,201 2,155 2,132 2,117 2,107 2,082 2,06911 2,209 2,193 2,179 2,167 2,123 2,076 2,052 2,036 2,026 2,000 1,98612 2,147 2,131 2,117 2,105 2,060 2,011 1,986 1,970 1,960 1,932 1,91813 2,097 2,080 2,066 2,053 2,007 1,958 1,931 1,915 1,904 1,876 1,86114 2,054 2,037 2,022 2,010 1,962 1,912 1,885 1,869 1,857 1,828 1,81315 2,017 2,000 1,985 1,972 1,924 1,873 1,845 1,828 1,817 1,787 1,77120 1,892 1,875 1,859 1,845 1,794 1,738 1,708 1,690 1,677 1,643 1,62630 1,773 1,754 1,737 1,722 1,667 1,606 1,573 1,552 1,538 1,499 1,47840 1,715 1,695 1,678 1,662 1,605 1,541 1,506 1,483 1,467 1,425 1,40250 1,680 1,660 1,643 1,627 1,568 1,502 1,465 1,441 1,424 1,379 1,35460 1,657 1,637 1,619 1,603 1,543 1,476 1,437 1,413 1,395 1,348 1,321120 1,601 1,580 1,562 1,545 1,482 1,409 1,368 1,340 1,320 1,265 1,232240 1,573 1,552 1,533 1,516 1,451 1,376 1,332 1,302 1,281 1,219 1,180Noes de Probabilidade 64Tabela 3.6: Limites unilaterais de F ao nvel de 5% de probabilidade com os graus de liberdade1 e2211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 161,448 199,500 215,707 224,583 230,162 233,986 236,768 238,883 240,543 241,882 242,9832 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,330 19,353 19,371 19,385 19,396 19,4053 10,128 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,812 8,786 8,7634 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,999 5,964 5,9365 6,608 5,786 5,409 5,192 5,050 4,950 4,876 4,818 4,772 4,735 4,7046 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,147 4,099 4,060 4,0277 5,591 4,737 4,347 4,120 3,972 3,866 3,787 3,726 3,677 3,637 3,6038 5,318 4,459 4,066 3,838 3,687 3,581 3,500 3,438 3,388 3,347 3,3139 5,117 4,256 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,230 3,179 3,137 3,10210 4,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,135 3,072 3,020 2,978 2,94311 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948 2,896 2,854 2,81812 4,747 3,885 3,490 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849 2,796 2,753 2,71713 4,667 3,806 3,411 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767 2,714 2,671 2,63514 4,600 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699 2,646 2,602 2,56515 4,543 3,682 3,287 3,056 2,901 2,790 2,707 2,641 2,588 2,544 2,50720 4,351 3,493 3,098 2,866 2,711 2,599 2,514 2,447 2,393 2,348 2,31030 4,171 3,316 2,922 2,690 2,534 2,421 2,334 2,266 2,211 2,165 2,12640 4,085 3,232 2,839 2,606 2,449 2,336 2,249 2,180 2,124 2,077 2,03850 4,034 3,183 2,790 2,557 2,400 2,286 2,199 2,130 2,073 2,026 1,98660 4,001 3,150 2,758 2,525 2,368 2,254 2,167 2,097 2,040 1,993 1,952120 3,920 3,072 2,680 2,447 2,290 2,175 2,087 2,016 1,959 1,910 1,869240 3,880 3,033 2,642 2,409 2,252 2,136 2,048 1,977 1,919 1,870 1,8292112 13 14 15 20 30 40 50 60 120 2401 243,906 244,690 245,364 245,950 248,013 250,095 251,143 251,774 252,196 253,253 253,7832 19,413 19,419 19,424 19,429 19,446 19,462 19,471 19,476 19,479 19,487 19,4923 8,745 8,729 8,715 8,703 8,660 8,617 8,594 8,581 8,572 8,549 8,5384 5,912 5,891 5,873 5,858 5,803 5,746 5,717 5,699 5,688 5,658 5,6435 4,678 4,655 4,636 4,619 4,558 4,496 4,464 4,444 4,431 4,398 4,3826 4,000 3,976 3,956 3,938 3,874 3,808 3,774 3,754 3,740 3,705 3,6877 3,575 3,550 3,529 3,511 3,445 3,376 3,340 3,319 3,304 3,267 3,2498 3,284 3,259 3,237 3,218 3,150 3,079 3,043 3,020 3,005 2,967 2,9479 3,073 3,048 3,025 3,006 2,936 2,864 2,826 2,803 2,787 2,748 2,72710 2,913 2,887 2,865 2,845 2,774 2,700 2,661 2,637 2,621 2,580 2,55911 2,788 2,761 2,739 2,719 2,646 2,570 2,531 2,507 2,490 2,448 2,42612 2,687 2,660 2,637 2,617 2,544 2,466 2,426 2,401 2,384 2,341 2,31913 2,604 2,577 2,554 2,533 2,459 2,380 2,339 2,314 2,297 2,252 2,23014 2,534 2,507 2,484 2,463 2,388 2,308 2,266 2,241 2,223 2,178 2,15515 2,475 2,448 2,424 2,403 2,328 2,247 2,204 2,178 2,160 2,114 2,09020 2,278 2,250 2,225 2,203 2,124 2,039 1,994 1,966 1,946 1,896 1,87030 2,092 2,063 2,037 2,015 1,932 1,841 1,792 1,761 1,740 1,683 1,65440 2,003 1,974 1,948 1,924 1,839 1,744 1,693 1,660 1,637 1,577 1,54450 1,952 1,921 1,895 1,871 1,784 1,687 1,634 1,599 1,576 1,511 1,47660 1,917 1,887 1,860 1,836 1,748 1,649 1,594 1,559 1,534 1,467 1,430120 1,834 1,803 1,775 1,750 1,659 1,554 1,495 1,457 1,429 1,352 1,307240 1,793 1,761 1,733 1,708 1,614 1,507 1,445 1,404 1,375 1,290 1,237Noes de Probabilidade 65Tabela 3.7: Limites unilaterais de F ao nvel de 2,5% de probabilidade com os graus de liberdade1 e2211 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111 647,789 799,500 864,163 899,583 921,848 937,111 948,217 956,656 963,285 968,627 973,0252 38,506 39,000 39,165 39,248 39,298 39,331 39,355 39,373 39,387 39,398 39,4073 17,443 16,044 15,439 15,101 14,885 14,735 14,624 14,540 14,473 14,419 14,3744 12,218 10,649 9,979 9,605 9,364 9,197 9,074 8,980 8,905 8,844 8,7945 10,007 8,434 7,764 7,388 7,146 6,978 6,853 6,757 6,681 6,619 6,5686 8,813 7,260 6,599 6,227 5,988 5,820 5,695 5,600 5,523 5,461 5,4107 8,073 6,542 5,890 5,523 5,285 5,119 4,995 4,899 4,823 4,761 4,7098 7,571 6,059 5,416 5,053 4,817 4,652 4,529 4,433 4,357 4,295 4,2439 7,209 5,715 5,078 4,718 4,484 4,320 4,197 4,102 4,026 3,964 3,91210 6,937 5,456 4,826 4,468 4,236 4,072 3,950 3,855 3,779 3,717 3,66511 6,724 5,256 4,630 4,275 4,044 3,881 3,759 3,664 3,588 3,526 3,47412 6,554 5,096 4,474 4,121 3,891 3,728 3,607 3,512 3,436 3,374 3,32113 6,414 4,965 4,347 3,996 3,767 3,604 3,483 3,388 3,312 3,250 3,19714 6,298 4,857 4,242 3,892 3,663 3,501 3,380 3,285 3,209 3,147 3,09515 6,200 4,765 4,153 3,804 3,576 3,415 3,293 3,199 3,123 3,060 3,00820 5,871 4,461 3,859 3,515 3,289 3,128 3,007 2,913 2,837 2,774 2,72130 5,568 4,182 3,589 3,250 3,026 2,867 2,746 2,651 2,575 2,511 2,45840 5,424 4,051 3,463 3,126 2,904 2,744 2,624 2,529 2,452 2,388 2,33450 5,340 3,975 3,390 3,054 2,833 2,674 2,553 2,458 2,381 2,317 2,26360 5,286 3,925 3,343 3,008 2,786 2,627 2,507 2,412 2,334 2,270 2,216120 5,152 3,805 3,227 2,894 2,674 2,515 2,395 2,299 2,222 2,157 2,102240 5,088 3,746 3,171 2,839 2,620 2,461 2,341 2,245 2,167 2,102 2,0472112 13 14 15 20 30 40 50 60 120 2401 976,708 979,837 982,528 984,867 993,103 1001,414 1005,598 1008,117 1009,800 1014,020 1016,1372 39,415 39,421 39,427 39,431 39,448 39,465 39,473 39,478 39,481 39,490 39,4943 14,337 14,304 14,277 14,253 14,167 14,081 14,037 14,010 13,992 13,947 13,9254 8,751 8,715 8,684 8,657 8,560 8,461 8,411 8,381 8,360 8,309 8,2835 6,525 6,488 6,456 6,428 6,329 6,227 6,175 6,144 6,123 6,069 6,0426 5,366 5,329 5,297 5,269 5,168 5,065 5,012 4,980 4,959 4,904 4,8777 4,666 4,628 4,596 4,568 4,467 4,362 4,309 4,276 4,254 4,199 4,1718 4,200 4,162 4,130 4,101 3,999 3,894 3,840 3,807 3,784 3,728 3,6999 3,868 3,831 3,798 3,769 3,667 3,560 3,505 3,472 3,449 3,392 3,36310 3,621 3,583 3,550 3,522 3,419 3,311 3,255 3,221 3,198 3,140 3,11011 3,430 3,392 3,359 3,330 3,226 3,118 3,061 3,027 3,004 2,944 2,91412 3,277 3,239 3,206 3,177 3,073 2,963 2,906 2,871 2,848 2,787 2,75613 3,153 3,115 3,082 3,053 2,948 2,837 2,780 2,744 2,720 2,659 2,62814 3,050 3,012 2,979 2,949 2,844 2,732 2,674 2,638 2,614 2,552 2,52015 2,963 2,925 2,891 2,862 2,756 2,644 2,585 2,549 2,524 2,461 2,42920 2,676 2,637 2,603 2,573 2,464 2,349 2,287 2,249 2,223 2,156 2,12130 2,412 2,372 2,338 2,307 2,195 2,074 2,009 1,968 1,940 1,866 1,82740 2,288 2,248 2,213 2,182 2,068 1,943 1,875 1,832 1,803 1,724 1,68250 2,216 2,176 2,140 2,109 1,993 1,866 1,796 1,752 1,721 1,639 1,59460 2,169 2,129 2,093 2,061 1,944 1,815 1,744 1,699 1,667 1,581 1,534120 2,055 2,014 1,977 1,945 1,825 1,690 1,614 1,565 1,530 1,433 1,376240 1,999 1,958 1,921 1,888 1,766 1,628 1,549 1,497 1,460 1,354 1,2894INFERNCIA ESTATSTICANasgeologia, assimcomoemqualqueroutracincia, existeanecessidadedeobter-secon-cluses(fazerinferncias)arespeitodeparmetrosdeumapopulao. Aimpossibilidadedeavaliar toda a populao faz com que a partir de amostras possamos obter estimativas daquelesparmetros. Ateoriadaestimaopreocupa-secomaobtenodorespectivoesti