Notas de Aula Probabilidade

Notas de aula de Probabilidade Avançada

Adilson Simonis (professor)Tássio Naia dos Santos (aluno)

primeiro semestre de 2012compilado 2 de abril de 2012

Notas de aula de Tássio Naia dos Santos, alunodo curso ministrado pelo professor doutor AdilsonSimonis. Os erros são meus (Tássio).

O curso segue o livroProbability and Measure

de Patrick Billingsley.

Este é um trabalho em progresso. Quaisquer inconsistências,incorreções, sugestões, fique à vontade para me1 escrever!

1Meu email é [email protected].

1

[email protected]

Sumário

Sumário 2

1 Programa 3

2 Espaços de Probabilidade 52.1 Vamos estudar a unicidade da extensão . . . . . . . . 15

3 Convergência de Variáveis Aleatórias 30

2

Capítulo 1

Programa

Sete de março de 2012 Nesta aula vimos o programa do cursoe questões burocráticas.

Estudaremos a formalização de espaços de probabilidade, o teo-rema central do limite e medidas Lebesgue-Stewltjes. Extensões— sair de um certo domínio para outro “maior”; medidas deprobabilidade de modo geral, integração, esperança e teoremasde convergência; medidas-produto e o teorema de Fubini; inde-pendência, o teorema da extensão de Kolmogorov, o teorema deRackou-Nikodym e a esperança condicional.1 - ) Espaços de Probabilidade

a - ) Medidas de Lebesgue-Stieltjes e o Teorema da Extensão de Carathédory

b - ) Medidas de Probabilidade e Variáveis Aleatórias

c - ) Integração, Esperança, Teoremas de Convergência

d - ) Medidas Produto, Teorema de Fubini

e - ) Independência

3

CAPÍTULO 1. PROGRAMA 4

f - ) Teorema de Extensão de Kolmogorov

g - ) Teorema de Radon-Nikodym e Esperança Condicional

2 - ) Leis dos Grandes Números

a - ) Convergência em Probabilidade e Convergência Quase-certa

b - ) Lei Fraca dos Grandes Números

c - ) Lemas de Borel-Cantelli

d - ) Lei Forte dos Grandes Números

3 - ) Teorema Central do Limite

a - ) Convergência em Distribuição

b - ) Funções Características

c - ) TCL para variáveis aleatórias i.i.d.

d - ) TCL para Arranjos Triangulares

Capítulo 2

Espaços de Probabilidade

Nove de março de 2012 Definição de álgebra, σ-álgebra, espaçode Borel, medida de probabilidade e espaço de probabilidade.

Considere Ω um conjunto arbitrário não-vazio (Ω será dito oespaço amostral do experimento aleatório), e F uma classe desubconjuntos de Ω.F é dita uma álgebra de subconjuntos de Ω se Ω ∈ F , se é

fechada por complementação e por uniões finitas de conjuntos deF . Isto é F é uma álgebra se

1) Ω ∈ F ,

2) A ∈ F Ô⇒ Ac ∈ F ,

3) A,B ∈ F Ô⇒ A ∪ B ∈ F .

Observação: Se vale 1, e 2, temos que 3 é equivalente a (= sufi-ciente e necessário) A,B ∈ F Ô⇒ A ∩ B ∈ F .

5

CAPÍTULO 2. ESPAÇOS DE PROBABILIDADE 6

Para verificar, lembre das operações de De Morgan1:

(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc e (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

F , classe de subconjuntos de Ω, é dita uma σ-álgebra se ela foruma álgebra fechada por uniões enumeráveis de subconjuntos deF . Isto é, F é σ-álgebra de Ω se:1) Ω ∈ F ,

2) A ∈ F Ô⇒ Ac ∈ F , e

3) A1,A2, . . . ∈ F Ô⇒ ⋃∞n=1Ai ∈ F .

Observação: Um conjunto A ∈ F é dito F-mensurável.

Observação: Definimos P(Ω) (“partes de Ω”) como o con-junto de todos os subconjuntos de Ω (também denotado 2Ω).As P(Ω) sempre são σ-álgebras. Além disso, F0 ∶= ∅,Ω é aσ-álgebra trivial, com cardinalidade ∣F0∣ = 2, e se A ⊂ F , entãoFA ∶= ∅,A,Ac,Ω é dito traço de A. Temos F0 ⊂ FA ⊂ P(Ω).

Exemplo: Ω = (0, 1], e 0 < a ≤ b ≤ 1; e seja ∣I∣ = ∣(a,b]∣ = b − a.Considere conjuntos A = ⋃ni=1(ai,bi] = ⋃ni=1 Ii onde os intervalosIi são disjuntos e contidos em Ω = (0, 1].

Essa é uma classe fechada por uniões finitas de conjuntosdisjuntos de (0, 1]. Incluindo o conjunto vazio ∅, esta classe,digamos B0, é uma álgebra.

1Augustus De Morgan, inglês nascido em Madurai, na Índia, em 1806.


Prova: Mostramos que B0 satisfaz 1): Ω ∈ B0. Para 2), seja A ∶=(a1,a ′1]∪(a2,a ′2]∪⋯∪(an,a ′n] com a1 ≤ a2 ≤ ⋯ ≤ an. Se os (ai,a ′i]são disjuntos, então Ac = (0,a1] ∪ (a ′1,a2] ∪⋯⋯ ∪ (a ′n−1,an] ∈ B0(alguns destes intervalos podem ser vazios). Finalmente, se B ∶=(b1,b ′1] ∪ (b2,b ′2] ∪⋯ ∪ (bm,b ′m] disjuntos então

A ∩ B =n

⋃i=1

m

⋃j=1

(ai, 1 ′i] ∩ (bi,b ′i]

onde cada parcela é um intervalo disjunto ou vazio, e a união éuma união finita. Sendo assim, B0 é uma álgebra de subconjuntosde (0, 1]. ◻

E B0 não é uma σ-álgebra.

Prova: ∞⋂n=1

(x − 1n

,x] = x ∉ B0. ◻

Definição: Para uma classe A de subconjuntos de Ω, definimosσ(A) como a menor (em termos de “estar contido”) σ-álgebraque contém A. É dita a σ-álgebra gerada por A. Em outraspalavras, σ(A) é por definição a interseção de todas as σ-álgebrasque contém A.

Nota: A união de σ-álgebras não é, em geral, uma σ-álgebra.

Observação:

1) A ⊂ σ(A),

2) σ(A) é uma σ-álgebra,


3) se A ⊂ G, e G é σ-álgebra, então σ(A) ⊂ G,

4) se F é σ-álgebra, então σ(F) = F ,

5) se A ⊂ A ′, então σ(A) ⊂ σ(A ′),

6) A ⊂ A ′ ⊂ σ(A) implica σ(A ′) = σ(A).

(Verificar.)

Exemplo: Considere Ω = (0, 1] e defina A como a classe for-mada por intervalos de Ω. Seja B ∶= σ(A). Observe que A ⊂ B0 ⊂σ(A) Ô⇒ B = σ(B0).B é dita a σ-álgebra de Borel, e B ∈ B é um Boreliano. Veremos

que B não contém todos os subconjuntos de Ω!!!2 ◻

Definição: Uma função de conjuntos é uma função real (comvalor em R) definida em alguma classe de subconjuntos de Ω.

Definição: Uma função de conjuntos P definida em uma álgebraF é uma medida de probabilidade se

1) 0 ≤ P (A) ≤ 1, para A ∈ F ,

2) P (∅) = 0, e

3) se A1,A2, . . . são conjuntos disjuntos F-mensuráveis, e se vale⋃∞i=1Ai ∈ F então P (⋃∞i=1Ai) = ∑∞

i=1 P (Ai).

Observação: A condição 3) diz que P é enumeravelmente aditivo.

2A cardinalidade de B é maior que a da reta — supera ℵ0.


Observação: Se A1,A2, . . . ,An são F-conjuntos disjuntos, en-tão ⋃ni=1Ai ∈ F . Colocando An+1 = An+2 = . . . = ∅, temos queP (⋃∞i=1Ai) = P (⋃ni=1), ou seja, é finitamente aditiva.

B ⊂ L ⊂ P(Ω)

Quatorze de março de 2012 Provamos que a extensão de umamedida de probabilidade de uma álgebra para uma σ-álgebra épossível, preservando os valores da medida nos pontos da álgebra.O passo seguinte é demonstrar que essa extensão é única.

Exemplo: Ω = (0, 1], B0 intervalos que são uniões finitas deintervalos disjuntos, A ∈ B0, A ∈Ω se A = ∪ni=1Ii = ∪ni=1(ai,bi].

Defina P (A) ∶= ∑ni=1 ∣Ii∣ = ∑ni=1(bi − ai), A ∈ B0. Iremos provarque P (A) é enumeravelmente aditiva, mais tarde.

Definição: Se F é ima σ-álgebra em Ω, P uma medida em F ,então a trinca (Ω,F ,P) é dita um espaço de probabilidade.

Definição: Um suporte de P é qualquer conjuntoA, F -mensurável,tal que P (A) = 1.

Observação: Considere P uma medida de probabilidade emuma álgebra F , e A ⊂ B, então P (A) ≤ P (B). (Monótona.)


BA

Figura 2.1: Diagrama de Venn: A ⊂ B.

Prova: Ideia: vide 2.1). Podemos decompor o conjunto B emB = (B∩Ac)∪A = (B∖A)∪A. Portanto, P (B) = P (B ∖A)+P (A) ≤P (A). Além disso, P (B ∖A) = P (B) − P (A). Também, tomandoB =Ω, segue que P (Ac) = 1 − P (A). ◻

Teorema 1: Se P é medida de probabilidade em uma álgebra F ,então

i) An ∶ n ≥ 1 ∈ F , A ∈ F , e An ↑ A (ou seja, para todo n ≥ 1vale An ⊂ An+1) então P (limnAn) = limn P (An).

ii) An ∶ n ≥ 1, A ∈ F , e An ↓ A então P (An) ↓ P (A).

iii) An ∶ n ≥ 1 e ⋃∞k=1Ak ∈ F , então P [∞⋃k=1Ak] ≤

∞∑k=1

P (Ak)

(enumeravelmente sub-aditivo).

Prova:


i) Temos que mostrar que P (An) ↑ P (A). Sejam B1 = A1,Bk =Ak ∩Ac

k−1.

⋰A2

A1

Bk são disjuntos, e A = ⋃∞n=1An = ⋃∞n=1 Bk. Além disso,An = ⋃nk=1 Bk. Segue que P (⋃∞n=1An) = P (A) = P (⋃∞k=1 Bk) =∑∞n=1 P (Bk) ∶= limn→∞∑nk=1 P (Bk) = limn→∞ P (⋃nk=1 Bk) =

limn→∞ P (An)

ii) An ↓ A, então Acn ↑ Ac e portanto 1 − P (An) ↑ 1 − P (A).

iii) Seja B1 = A1 e Bk = Ak⋂Ack−1⋂⋯⋂Ac

1. Os Bk ∶ k ≥ 1são disjuntos. Além disso, ⋃nk=1Ak = ⋃nk=1 Bk. Segue queP (⋃nk=1Ak) = ∑nk=1 P (Bk). Como P (Bk) ≤ P (Ak), temos queP (⋃nk=1Ak) ≤ ∑nk=1 P (Ak) (desigualdade de Boole). Segueque P (⋃nk=1Ak) ≤ ∑∞

k=1 P (Ak). Aplicando a parte i do teo-rema, o resultado segue. ◻

Considere P uma medida de probabilidade em uma álgebraF0 de subconjuntos de Ω e defina F = σ(F0). Vamos mostrar queexiste uma medida de probabilidade Q em F tal que Q(A) é iguala P (A), para todo A ∈ F0.

Iremos mostrar também que se Q ′ é outra medida de probabi-lidade em F , tal que Q ′(A) = P (A) ,A ∈ F , então Q ′(A) = Q(A)para A ∈ F0.


Definição: Para A ∈Ω, definimos sua medida exterior por

P∗ (A) ∶= inf∑n

P (An)

onde o ínfimo é tomado sobre todas as sequências, finitas ouinfinitas, A1,A2, . . . de conjuntos F0-mensuráveis satisfazendoA ⊂ ⋃nAn. (O ínfimo está bem definido porque sempre existeínfimo de uma sequência de números reais; e o somatório estádefinido porque os An estão em uma álgebra.)

Definição: Para A ∈Ω, definimos a medida interior por

P∗ (A) ∶= 1 − P∗ (Ac) .

Note que as medidas são iguais quando P∗ (A) + P∗ (Ac) = 1.

Definição: Um conjunto A ∈Ω é dito P∗-mensurável se

P∗ (A ∩ E) + P∗ (Ac ∩ E) = P∗ (E) ,

para todo E ∈Ω.

SejaM a classe definida por

M ∶= A ∶ P∗ (A ∩ E) + P∗ (Ac ∩ E) = P∗ (E) ,∀E ∈Ω∶= A ∶ A é P∗-mensurável

(Verificar.)1) P∗ (∅) = 0,

1) P∗ (A) ≥ 0 para todo A ∈Ω,

1) A ⊂ B Ô⇒ P∗ (A) ≤ P∗ (B).


Lema 2: P∗ (⋃n

An) ≤ ∑n

P∗ (An) (enumeravelmente subadi-

tiva).

Prova: Para ε > 0, escolha conjuntos Bnk que sejam F0-mensuráveistais que An ⊂ ⋃k Bnk e ∑k P (Bnk) < P∗ (An) + ε/2n, o que é pos-sível pela definição de ínfimo. Temos que ⋃nAn ⊂ ⋃n,k Bnk talque P∗ (⋃nAn) ≤ ∑n,k P (Bnk) < ∑n P∗ (An) + ε.

Portanto, como ε > 0 é arbitrário,

P∗ (⋃n

An) ≤∑n

P∗ (An) . ◻

Lema 3: M é uma álgebra.

Dezesseis de março de 2012 Continuamos buscando algumaextensão da sigma-álgebra que comporte uma medida de probabi-lidade para conjuntos interessantes, já que não conseguimos “iraté as partes” de Ω.

Retomando, definimos P∗-mensurabilidade para conjuntos deΩ.

SejaM a classe dos conjuntos P∗-mensuráveis.

Lema 4: M é uma álgebra.


Prova: Ω ∈ M, pois P∗ (∅) = 0, e P∗ (Ω ∩ E) + P∗ (Ωc ∩ E) =P∗ (E), e também é fechado por complementações. Para A,B ∈M,E ∈Ω,

P∗ (E) = P∗ (B ∩ E) + P∗ (Bc ∩ E)= P∗ (A ∩ B ∩ E) + P∗ (Ac ∩ B ∩ E)

´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶P∗(B∩E)

+

+P∗ (A ∩ Bc ∩ E) + P∗ (Ac ∩ Bc ∩ E)´¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¸¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¹¶

P∗(Bc∩E)≥ P∗ (A ∩ B ∩ E) +

+P∗ [(Ac ∩ B ∩ E) ∪ (A ∩ Bc ∩ E) ∪ (Ac ∩ Bc ∩ E)]= P∗ [(A ∩ B) ∩ E] + P∗ [(A ∩ B)c ∩ E] .

Verifique que isso é suficiente para afirmar que A ∩ B ∈M. ◻

Observação: Verifique:

(i) M é σ-álgebra e P∗-restrita a M implica ser enumeravel-mente aditiva.

(ii) F0 ⊂M.

(iii) P∗ (A) = P (A) para todo A ∈ F0.

Teorema 5: Uma medida de probabilidade (definida em umaálgebra) possui uma extensão para a σ-álgebra gerada.


Prova: ParaA ⊂Ω, definimos P∗ (A) como antes, onde a sequên-cia An ∶ n ≥ 1 são F0-conjuntos, tais que A ⊂ ⋃nAn. Temosque F0 ⊂ σ (F0) = F ⊂M ⊂ P(Ω) = 2Ω, onde M é a classe dosconjuntos P∗-mensuráveis.

Sabemos que P∗ (Ω) = P (Ω) = 1.P∗, definida nas P(Ω), restrita aM é enumeravelmente aditiva,

isto é, uma medida de probabilidade emM. Segue que P∗ restritaa F é uma medida de probabilidade em F .

Como P∗ (A) = P (A) para A ∈ F0, a medida P∗ em F é a aextensão de P em F0. ◻

2.1 Vamos estudar a unicidade da extensão

Definição: Uma classe Q de subconjuntos de Ω é um π-sistemase for fechado por interseções finitas, isto é, se A,B ∈ Q Ô⇒A ∩ B ∈ Q.

Definição: Uma classe L de subconjuntos de Ω é um λ-sistemase contém Ω, for fechado por complementação e por uniões dis-juntas enumeráveis, isto é

1. Ω ∈ L,

2. se A ∈ L, então Ac ∈ L, e

3. An ∶ n ≥ 1 ∈ L, disjuntos, então ⋃∞n=1An ∈ L.

Observação: Uma σ-álgebra é um λ-sistema. A recíproca nãovale! Tome Ω = 1, 2, 3, 4 e

L = ∅,Ω,1, 2,1, 3,1, 4,2, 3,2, 4,3, 4é λ-sistema. Mas não é σ-álgebra!


Lema 6: Uma classe em Ω que é π-sistema e λ-sistema é umaσ-álgebra.

Prova: A classe é uma álgebra pois é π-sistema e valem 1 e 2 doλ-sistema. ◻

Se An ∶ n ≥ 1 pertence à classe, então Bn = An ∩Ac1 ∩⋯ ∩Ac

n−1,pertence à classe. Como ⋃nAn = ⋃n Bn, temos que a classe éσ-álgebra.

Lema 7: (Dynkin) Se Q é um π-sistema e L é um λ-sistema,então Q ⊂ L implica que σ (Q) ⊂ L.

A prova é um exercício.Como uma álgebra é um π-sistema, a unicidade da extensão

segue do teorema a seguir.

Teorema 8: Suponha P1 e P2 medidas de probabilidade emσ (Q), com Q um π-sistema. Se P1 e P2 coincidem em Q, entãocoincidem em σ (Q).

Prova: Seja L a classe de conjuntos A ∈ σ (Q), tais que P1(A) =P2(A).

Observe que Ω ∈ L.Se A ∈ L, então P1(Ac) = 1 − P1(A) = 1 − P2(A) = P2(Ac). Se

An ∶ n ≥ 1 ∈ L e são disjuntos, então P1 (⋃nAn) = ∑n P1(An) =∑n P2(An) = P (⋃nAn), e portanto ⋃nAn ∈ L. Isto é, L é umλ-sistema!

Como Q ⊂ L (por hipótese), com Q um π-sistema, o lema deDynkin implica que σ (Q) ⊂ L. O resultado segue. ◻

(Qualquer extensão tem as mesmas medidas.)


Definição: Se P (A) > 0, a probabilidade condicional de B dadoA é dada por

P (B/A) ∶= P (A ∩ B)P (A) .

(Note que abusamos usando P, falta mostrar que essa função éuma medida de probabilidade.)

Definição: An ∶ n ≥ 1 é uma partição de Ωse ⋃nAn = Ω eAi ∩Aj para todo i ≠ j.

Observação: Se An ∶ n ≥ 1 é uma partição de Ω, então P (B) =∑n P (An)P (B/An), para conjuntos com P (An) < 0.

Vinte-um de março de 2012 Limites de conjuntos. Exibimoso exemplo de um conjunto não-Boreliano que está nas partes de(0, 1].

Definição: An ∶ n ≥ 1 eventos (ou seja, conjunto mensuráveis).Sejam

lim supn

An ∶=∞⋂n=1

∞⋃k=1Ak, e

lim infn

An ∶=∞⋃n=1

∞⋂k=1Ak.


Definição: Se lim infnAn = lim supnAn = A então escrevemoslimnAn ∶= lim infnAn lim supnAn, isto é, An →n→∞ A.

Exemplo: Seja A ⊂ B, propriamente, e defina A2n ∶= A e A2n+1 ∶= B, para n ≥ 1. Então A = lim infnAn ≠ lim supnAn = B.

Teorema 9:

P(lim infn

An) ≤ lim infn

P (An) ≤ lim supn

P (An) ≤ P(lim supn

An)

(Obs:Uma maneira de descrever lim inf de uma sequência de nú-meros é como o maior ponto de acumulação abaixo da sequência.)

Prova: Sejam Bn ∶= ⋂∞k=nAk e Cn ∶= ⋃∞k=nAk. Então Bn ↑⋃∞n=1 Bn = lim infnAn e Cn ↓ ⋂∞n=1Cn = lim supnAn. Pela conti-nuidade (por cima e por baixo) já provada, temos que

P (An) ≥ P (Bn)→ P(lim infn

An) e

P (An) ≤ P (Cn)→ P(lim supn

An) .

Portanto

P(lim infn

An) ≤ lim infn

P (An)⎛⎝

pois lim inf e lim sup deuma sequência sempreexistem.

⎞⎠

≤ lim supn

P (An) ≤ P(lim supn

An) . ◻


Veremos agora um exemplo de conjunto em (0, 1] que não eBorel-mensurável. Faremos algumas observações para embasar oexemplo.

O que fizemos até agora: estendemos a medida para umaσ-álgebra, e mostramos que a extensão é única. Exibimos mono-toicidade e continuidade da medida P na trinca (Ω,F ,P). Justifi-camos agora nosso trabalho, mostrano que de fato existe gente quenão podemos pegar com esse modelo.

Antes, porém, comentamos o Axioma da Escolha.

Observação: Axioma da Escolha: Suponha Aθ ∶ θ ∈ Θ umadecomposição de Ω — isto é, uma partição não-enumerável de Ω;em outras palavras ⋃θAθ = Ω e vale Aθ ∩ Aθ ′ = ∅ se θ ≠ θ ′.O Axioma da Escolha estabelece que existe ao menos um conjuntoC que contém exatamente um ponto de cada Aθ, isto é, Aθ ∩C éum conjunto unitário para todo θ ∈ Θ, com Aθ ≠ ∅,∀θ ∈ Θ.

Observação: Uma relação definida em um conjunto Ω é umafunção de Ω ×Ω que vale 1 ou 0 (função booleana). Isto é, dadosx,y ∈ Ω, ou x se relaciona com y (indicamos x ∼ y), ou x não serelaciona com y (x ≁ y). Uma relação é de equivalência se é

a) reflexiva: x ∼ x para todo x ∈Ω;

b) simétrica: x ∼ y Ô⇒ y ∼ x para todo x,y ∈Ω; e

c) transitiva: x ∼ y ∧ y ∼ z Ô⇒ x ∼ z, para todo x,y, z ∈Ω.

Dada uma relação de equivalência ∼, e x ∈ Ω, a classe de equi-valência de x são todos y ∈ Ω tais que x ∼ y. As classes deequivalência formam uma decomposição de Ω. Observe que duasclasses (em uma relação de equivalência) ou são idênticas ou sãodisjuntas.


Passamos agora à construção do conjunto não-Boreliano, de-vida a Vitali.

Exemplo: Definimos a adição módulo 1 em (0, 1]: para x,y ∈(0, 1],

x⊕ y ∶=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

x + y se x + y ≤ 1x + y − 1 caso contrário

Definimos ainda A⊕x ∶= [a⊕x ∶ a ∈ A], onde usamos colchetesporque não necessariamente tratamos de um conjunto.

Defina a classe L de subconjuntos de Ω = (0, 1] por:

L ∶= A ∶ A ∈ B, A⊕ x ∈ B e λ(A⊕ x) = λ(A)

onde B são os borelianos do intervalo (0, 1], e λ é o comprimento(medida de Lebesgue: λ((a,b]) ∶= b − a).

Veja que L é um λ-sistema contendo os intervalos, e portantoB ⊂ L (usando o lema de Dynkin). Segue que A ∈ B Ô⇒ A⊕x ∈ Be λ(A⊕ x) = λ(A).

Definimos x e y equivalentes (x ∼ y) se x⊕ r = y, para algumr racional. Considere H o subconjunto de (0, 1] formado por umrepresentante de cada classe de equivalência, e considere a classe(enumerável) de conjuntos H⊕ r, com r racional em (0, 1]. Estesconjuntos são disjuntos e cada ponto de (0, 1] cai em algum dessesconjuntos. Segue que (0, 1] = ⋃r(H⊕ r), uma união enumerávelde conjuntos disjuntos.

Se H ∈ B, então λ((0, 1]) = ∑r λ(H ⊕ r). Isto é impossível(porque o lado esquerdo é 1 e o direito é zero ou +∞).

Vinte-três de março de 2012 Independência entre σ-álgebras.

* * *


Da aula passada, apresentamos um conjunto que não estavana σ-álgebra gerada por Borel.

• x,y ∈ (0, 1], e definimos x⊕ y;

• x ∼ y se x⊕ r = y para algum racional;

• a cardinalidade de cada classe é enumerável.

1 = λ((0, 1]) = λ⋃r

H⊕ r =∑r

λ(H⊕ r) ⋆=∑r

λ(H) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

0+∞

.

Onde ⋆= decorre de o comprimento ser independente de transla-ções. ◻

Agora vamos definir propriedades daquilo que queremos me-dir.

Definição: Eventos A e B (mensuráveis em alguma σ-álgebra)são ditos independentes se P (A ∩ B) = P (A)P (B). (Motivação:nossa definição de probabilidade condicional.)

Uma coleção finita Ai ∶ 1 ≤ i ≤ n de eventos é independentese P (Ak1 ∩Ak2 ∩⋯ ∩Akj

) = ∏ji=1 P (Aki) onde 2 ≤ j ≤ n, e ainda

1 ≤ k1 < k2 < ⋯ < kj ≤ n.Ou seja, para n eventos, é preciso verificar (n2) + ⋯ + (n

n) =

2n −n − 1 equações.

Exemplo: Tome, por exemplo Ω = 1, 2, 3, 4,F = P(Ω), eP (x) = 1/4. Considere eventos A = 1, 4,B = 2, 4,C = 3, 4.Então P (A ∩ B) = P (A ∩C) = P (B ∩C) = P (4) = 1/4 =P (A)P (B) = P (A)P (C) = P (B)P (C) = (2/4)2.

Mas P (A ∩ B ∩C) = 1/4 ≠ 1/23. Não são independentes. ◻


Uma coleção infinita de evendos é dita indepentente se qualquerde suas coleções finitas o for.

Exibimos agora uma definição equivalente de independência,que usaremos amiúde.

Definição: Podemos definir independência para uma coleçãofinita de eventos também da seguinte maneira: a coleção Ai ∶ 1 ≤i ≤ n é independente se e somente se

P (B1 ∩ B2 ∩⋯ ∩ Bn) =n

∏i=1

P (Bi) ,

onde Bi = Ai ou Bi =Ω para todo i = 1, . . .n.

Agora vamos falar de independência entre classes, passo inter-mediário para falar de independência entre σ-álgebras.

Considere A1,A2, . . . ,An classes de subconjuntos de Ω, todoscontidos na σ-álgebra F . As classes Ai ∶ 1 ≤ i ≤ n são ditasindependentes se, para cada Ai ∈ Ai, a coleção Ai ∶ 1 ≤ i ≤ n sãoindependentes.

Teorema 10: Se A1,A2, . . . ,An são classes independentes e cadauma delas um π-sistema, então σ (A1) ,σ (A2) , . . . ,σ (An) sãoindependentes.

Prova: Sejam Ci ∶ 1 ≤ i ≤ n as classes Ai com a inclusãode Ω. Cada Ci é um π-sistema e são classes independentes.Para C2,C3, . . . ,Cn eventos fixados em C2,C3, . . . ,Cn, respectiva-mente, seja L a classe dos eventos C1 em F que satisfazem acondição de independência. L é um λ-sistema! L contém umπ-sistema C1 e portanto σ (C1) = σ (A1). Segue que C1,C2, . . . ,Cnem σ (A1) ,C2,C3, . . . ,Cn satisfazem a condição de independên-cia, isto é, σ (A1) ,C2,C3, . . . ,Cn são independentes. Repetindo oargumento, o resultado segue. ◻


Exemplo: Encontre contra-exemplo para o caso em que a hipó-tese “π-sistema” do teorema não vale.

Sabemos que existem σ-álgebras independes. Queremos vero que acontece no limite dessas sequências. Ademais, quem émensurável no limite?

Vamos derivar uma σ-álgebra τ ∶= ⋂∞n=1 σ (An,An+1, . . .) queestá “lá para o fim da sequência” (σ-álgebra caudal), e veremos oque acontece quando os eventos são independentes.

A ∈ τ Ô⇒ P (A) = 0 ou 1 (lei 0-1 de Kolmogorov).

E depois partimos para a questão da convergência, em que usamos“Ω na reta”, e poderemos trabalhar com números (esperança,variância) associados às funções X ∶Ω↦ R.

Vinte-oito de março de 2012 Introdução a σ-álgebra caudal evariáveis aleatórias.

Demonstramos na aula anterior o teorema abaixo.

Teorema 11: (Ω,F ,P), e Ai ∶ i = 1, . . . ,n classes em F , inde-pendentes e cada uma um π-sistema. Então σ (Ai) ∶ i = 1, . . . ,nsão independentes.

Veremos agora uma “σ-álgebra caudal”.

Lema 12: (Borel-Cantelli, parte I.) Se ∑n P (An) < ∞ (i.e., con-verge) então

P(lim supn

An) = 0.


Prova: Como lim supnAn ∶= ⋂∞n=1⋃∞k=nAk ⊂ ⋃∞k=nAk,∀n ≥ 1,temos

P(lim supn

An)sub-aditiva

≤ P(∞⋃k=n

Ak)Bonferroni

≤∞∑k=n

P (Ak) −−−→n→∞ 0. ◻

Lema 13: (Borel-Cantelli, parte II.) Se An ∶ n ≥ 1 são eventosindependentes, e ∑∞

n=1 P (An) = +∞ então

P(lim supn

An) = 1.

Prova: É suficiente mostrar que P (⋃∞n=1⋂∞k=nAck) = 0. Assim,

basta provar que P (⋂∞k=n) = 0 para qualquer n ≥ 1.Temos, para todo j,

P(n+j⋂k=n

Ack) =

n+j∏k=n

P (Ack) =

n+j∏k=n

(1 − P (Ak)),

que podemos limitar usando a desigualdade 1 − x ≤ e−x, obtendo

n+j∏k=n

(1 − P (Ak) ≤n+j∏k=n

e−P(Ak) = e−∑P (Ak) −−−→j→∞

0. ◻

Definição: Ai ∶ i ≥ 1 eventos em (Ω,F ,P). Considere τ ∶=⋂∞n=1 σ (An,An+1, . . .). Dizemos que τ é σ-álgebra caudal.

Teorema 14: (Lei 0-1 de Kolmogorov.) Seja An ∶ n ≥ 1uma sequência de eventos independentes, A evento τ-mensurável(dessa sequência!). Então P (A) é zero ou um.


Prova: Segue do teorema anterior que

σ (A1) , . . . ,σ (An−1) , . . .σ (An,An+1, . . .)

são independentes. Se A ∈ τ (Ai é τ-mensurável), então vale queA ∈ σ (An,An+1, . . .) para todo n ≥ 1. Portanto, A1,A2, . . . ,An−1,Asão independentes.A ∈ τ ⊂ σ (A1,A2, . . .) e como A ∈ σ (A), além, é claro, de

A ∈ σ (A1,A2, . . .), segue que A é independente dele próprio. Istoé, P (A ∩A) = P (A)P (A), o que implica que P (A) é zero ou éum.

E agora atingimos, no curso, um marco. Passamos para a retareal.

Definição: Em (Ω,F ,P), definimos X ∶ Ω ↦ R como uma va-riável aleatória simples se X assume um número finito de valores ese

ω ∈Ω ∶ X(ω) = x ∈ F ,x ∈ R.

Observação: X = x é uma notação para ω ∶ X(ω) = x.

Usamos a seguinte notação para a função indicadora 1A(a) deum conjunto A (com a ∈ A):

1A(a) ∶=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1 se x ∈ A,0 caso contrário.

Definição: Dizemos que X = ∑ni=1 xi1Ai(ω) é uma variável ale-

atória se Ai ∶ 1 ≤ i ≤ n forma uma partição finita de Ω comAi ∈ F .


Observação: Toda variável aleatória simples pode ser represen-tada pela soma definida acima.

Observação: Considere G uma sub-σ-álgebra de F (quer dizerque ambas são σ-álgebra, mas G ⊂ F . Seja X uma v.a. (variávelaleatória) simples. Dizemos que X é famg-mensurável se X = x ∈G para todo x ∈ R.

Observação: X é sempre F mensurável.

Observação: X ∈ H = ⋃x∈HX = x (Por agora essa união éfinita, já que a v.a. é simples.)

Definição: σ (X), σ-álgebra gerada por X, é a menor σ-álgebraem que X é mensurável.

Observação: Para uma sequência Xi ∶ i ≥ 1 de v.a.’s simples,σ (X1,X2, . . .) é a menor σ-álgebra em que cada Xi é mensurável.

Teorema 15: Xi ∶ 1 ≤ i ≤ n v.a.’s simples. Então a σ-álgebraσ (X1, . . . ,Xn) é formada pelos conjuntos

(X1, . . . ,Xn) ∈ H ∶= ω ∶ (X1(ω),X2(ω), . . . ,Xn(ω)),

para H ⊂ Rn. Além disso, H pode ser escolhido como finito.


Trinta de março de 2012 Ainda não sei.

Retomando da aula passada, vamos provar o teorema enunci-ado.

Prova: Seja M a classe ω ∶ (X1(ω), . . . ,Xn(ω)) ∈ H. Temosque

(X1, . . . ,Xn) = (x1, . . . ,xn) =n

⋂i=1

Xi = xi ∈ σ (X1, . . . ,Xn) .

Além disso,

ω ∶ (X1(ω), . . . ,Xn(ω)) ∈ H = ⋃finita

(X1, . . . ,Xn) = (x1, . . . ,xn),

paraM ⊂ σ (X1, . . . ,Xn).M é álgebra pois:

i) Ω = ω ∶ (X1(ω), . . . ,Xn(ω)) ∈ Rn,

ii)

ω ∶ (X1(ω), . . . ,Xn(ω)) ∈ Hc == ω ∶ (X1(ω), . . . ,Xn(ω)) ∈ Hc,

iii)

⋃j

ω ∶ (X1(ω), . . . ,Xn(ω)) ∈ Hj =

= ω ∶ (X1(ω), . . . ,Xn(ω)) ∈⋃j

Hj

Cada Xi é M-mensurável pois ω ∶ Xi(ω) = x pode ser co-locado na forma (X1, . . . ,Xn) ∈ H tomando H = (x1, . . . ,xn) ∈Rn,xi = x. Portanto σ (X1, . . . ,Xn) ⊂ M, o que por sua vezimplicaM = σ (X1, . . . ,Xn). ◻


Observação: H pode ser tomado finito:

H = H ′ ∩⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

⋃finita

(x1,...,xn)

(X1 = x1, . . . ,Xn = xn)⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭

.

Exemplo: Ω = 1, 2, 3, 4,F = P(Ω).

X(ω) =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1 ω é par0 ω é ímpar

Note que ∣Imagem X∣ = 2, e a v.a. é simples.

ω ∶ X(ω) = 1 = 2, 4ω ∶ X(ω) = 0 = 1, 3 X ∈ Q = 2, 4,1, 3,∅,Ωω ∶ X(ω) = x,x ≠ 0 ou 1 = ∅

Defina Y(ω) ∶=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

1 se ω é parω caso contrário

. Qual a σ-álgebra σ (X,Y)?

Pelo teorema ela é ω ∶ (X(ω),Y(ω)) ∈ H,H ⊂ R2 ◻

Teorema 16: Uma v.a. simples Y é σ (X1, . . . ,Xn)-mensurável se,e somente se, Y = f(X1, . . . ,Xn para alguma f ∶ Rn ↦ R.

Prova: (⇒) Assuma que Y(ω) = f(X1(ω), . . . ,Xn(ω)) para todoω ∈ Ω. Como Y = y pode ser escrito como (X1, . . . ,Xn) ∈ H,com H consistindo de pontos x = (x1, . . . ,xn) tais que f(x) = y,segue, pelo teorema anterior, que Y é σ (X1, . . . ,Xn) mensurável.(Ω −→

xx −→yy(x).)


(⇐) Considere y!my2, . . . ,yr os diferentes valores que Y assume.Pelo teorema anterior, existem conjuntos H1,H2, . . . ,Hr em Rn,tais que ω ∶ Y(ω) = yi = ω ∶ X1(ω), . . . ,Xn(ω) ∈ Hi. Es-creva f = ∑ri=1 yi1Hi

. Os Hi’s podem não ser disjuntos, masneste caso são, pois se Hi e Hj têm algum ponto em comum daforma (X1(ω), . . . ,Xn(ω)) então Y(ω) = yi e Y(ω) = yj, o que éimpossível, se i ≠ j. ◻

Capítulo 3

Convergência de VariáveisAleatórias

Considere X1,X2, . . . v.a.’s definidas em (Ω,F ,P). Vamos estudaro evento ω ∶ limnXn(ω) = X(ω).

Observação: O complementar desse evento, Xn(ω) /Ð→ X(ω),acontece se e só se existe algum ε > 0 tal que para nenhum m, com∣Xn(ω)∣ −X(ω)∣ < ε, para todo n ≥m.

Em outras palavras, Xn /Ð→ X(ω) se e só se, para algum ε > 0sabemos que ∣Xn(ω)∣ − X(ω)∣ < ε acontece infinitas vezes, ouacontece para uma quantidade infinita de n’s.

Portanto, o limnXn = xc = ⋃ε>0∣Xn − X∣ > ε i.v., onde i.v.abrevia infinitas vezes.

30

CAPÍTULO 3. CONVERGÊNCIA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS31

Observação: Como a união é monótona, os conjuntos ↑ (cres-cem) para ε ↓ 0 (decrescente para zero), e, portanto, podemospegar ε racionais1!!!

A seguir vamos discutir convergência “quase-certa”, “em pro-babilidade”, e o conceito de “esperança”.

1Quando existe o limite, toda subsequência tem o mesmo limite, e podemostomar, em particular, a uma subsequência formada por racionais.

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Notas de Aula Probabilidade