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1 Nocoes Topologicas no IRn 1
1.1 O espaco vetorial IRn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Topologia usual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Conexidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.7 Norma de uma transformacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Diferenciabilidade 25
2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3 Funcoes reais de m variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.6 Teorema/Desigualdade do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.8 As classes de diferenciabilidade Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.9 O vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.10 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Funcoes implıcitas 57
i
3.1 Motivacao: superfıcies regulares no IR3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 O Teorema da Funcao Implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.3 Generalizacao: Variedades diferenciaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Derivadas de ordem superior e a Formula de Taylor 69
4.1 Inversao na ordem de derivacao: Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 A Formula de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Referencias 77
Capıtulo 1
Nocoes Topologicas no IRn
1.1 O espaco vetorial IRn
Consideremos o conjunto IRn = (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ IR , i = 1, 2, . . . , n das n-uplas de
numeros reais.
Dados x = (x1, x2, . . . , xn) , y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ IRn e α ∈ IR, definimos:
x + y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
α.x = (αx1, αx2, . . . , αxn)
Estas operacoes fazem do IRn um espaco vetorial de dimensao n sobre o corpo IR dos
numeros reais.
Produto interno no espaco IRn:
Definimos o PRODUTO INTERNO CANONICO < , > : IRn × IRn → IR pondo:
< x, y > = x1y1 + x2y2 + . . . + xnyn ∀ x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ IRn
Normas:
A partir do Produto Interno Canonico acima definido, construımos a NORMA(?)
EUCLI-
DIANA ‖ ‖e : IRn → IR pondo:
‖x‖e =√
< x, x > ∀ x ∈ IRn
1
2 CAPITULO 1
Obs.: Outras duas normas(?)
se destacam no IRn:
A NORMA DO MAXIMO ‖ ‖m : IRn → IR dada por
‖x‖m = max |x1| , |x2| , . . . , |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn
A NORMA DA SOMA ‖ ‖s : IRn → IR dada por
‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . . + |xn| ∀ x = (x1, . . . , xn) ∈ IRn
E facil mostrar(?)
que estas duas normas nao provem de produto interno algum no IRn.
Para todo x ∈ IRn temos(?)
:
‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m
Metricas, bolas e conjuntos limitados:
A partir de qualquer norma ‖ ‖ no IRn podemos construir, de modo natural, uma metrica
d : IRn × IRn → IR (nocao de distancia), pondo:
d(x, y) = ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ IRn
Seguem definicoes de certos lugares geometricos basicos:
Definicao 1.1. Consideremos uma norma ‖ ‖ no IRn. Dados um ponto a ∈ IRn e um
numero real r > 0, definimos:
(i) BOLA ABERTA de centro a e raio r: B(a; r) = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ < r
(ii) BOLA FECHADA de centro a e raio r: B[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ ≤ r
(iii) ESFERA de centro a e raio r: S[a; r] = x ∈ IRn ; ‖x− a‖ = r
Obs.: E claro que os lugares geometricos acima definidos dependem da norma ‖ ‖considerada.
A seguir definimos uma relacao de equivalencia entre normas:
Definicao 1.2. Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao ditas EQUIVALENTES quando,
sempre que for dada uma bola aberta, considerando uma das normas, e possıvel obter uma
bola aberta de mesmo centro, considerando a outra norma, contida na primeira.
Nocoes Topologicas no IRn 3
A “equivalencia”, assim definida, alem de SIMETRICA (por definicao), e REFLEXIVA E
TRANSITIVA, sendo portanto uma RELACAO DE EQUIVALENCIA(?)
.
Proposicao 1.3.(?)
Duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes se, e somente se,
existem constantes k, l > 0 tais que:
l. ‖x‖2 ≤ ‖x‖1 ≤ k. ‖x‖2 ∀ x ∈ IRn
Ja vimos antes que ‖x‖m ≤ ‖x‖e ≤ ‖x‖s ≤ n. ‖x‖m , para todo x ∈ IRn.
Portanto as normas Euclidiana, do Maximo e da Soma sao EQUIVALENTES!
Definicao 1.4. Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (“em relacao a norma ‖ ‖”) quando existir
uma constante c > 0 tal que ‖x‖ ≤ c para todo x ∈ X.
E imediato que se duas normas ‖ ‖1 e ‖ ‖2 no IRn sao equivalentes entao um conjunto
X ⊂ IRn e limitado em relacao a norma ‖ ‖1 se, e somente se, X e limitado em relacao a
norma ‖ ‖2.(?)
Proposicao 1.5.(?)
Um conjunto X ⊂ IRn e limitado (em relacao a qualquer norma equi-
valente a Norma do Maximo) se, e somente se, todas as suas projecoes
X1 = π1(X), X2 = π2(X), . . . , Xn = πn(X)
sao conjuntos limitados em IR.
1.2 Sequencias
Definicao 1.6. Dizemos que uma sequencia (xk) no IRn converge para o limite a ∈ IRn
(“em relacao a norma ‖ ‖”) quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter um ındice
k0 ∈ IN tal que k > k0 ⇒ ‖xk − a‖ < ε. Neste caso escrevemos: a = lim xk ou xk → a.
De modo equivalente temos que, para cada ε > 0 , os termos xk estao na bola aberta
B(a; ε) (em relacao a norma considerada), para todo k suficientemente grande.
Uma consequencia importante da definicao acima e que, se duas normas no IRn sao
equivalentes, entao a convergencia de uma sequencia independe de qual das nor-
mas equivalentes e considerada(?)
.
4 CAPITULO 1
Consequencias imediatas:(?)
(i) lim xk = a ⇔ lim ‖xk − a‖ = 0
(ii) Toda sequencia convergente e limitada.
(iii) Se lim xk = a entao toda subsequencia de (xk) converge para a.
(iv) O limite de uma sequencia convergente e unico.
Uma sequencia (xk) no IRn equivale a n sequencias de numeros reais, ou seja, para todo
k ∈ IN , xk =(x
(k)1 , x
(k)2 , . . . , x
(k)n
), onde x
(k)i = πi(xk) = i-esima coordenada de xk. Essas n
sequencias sao ditas as Sequencias DAS COORDENADAS de (xk).
Proposicao 1.7.(?)
Uma sequencia (xk) no IRn converge (em relacao a qualquer norma
equivalente a Norma do Maximo) para o ponto a = (a1, a2, . . . , an) se, e somente se, para
cada i = 1, 2, . . . , n tem-se lim x(k)i = ai , ou seja, cada coordenada de xk converge para a
coordenada correspondente de a.
Corolario 1. Dadas as sequencias convergentes (xk), (yk) no IRn e (αk) em IR, sejam
lim xk = a, lim yk = b e lim αk = α. Entao:
(i) lim(xk + yk) = a + b
(ii) lim αk.xk = α.a
(iii) lim < xk, yk > = < a, b >
A seguir dois importantes resultados, onde usamos o fato de IRn ter dimensao finita:
Teorema 1.8. (Bolzano-Weierstrass)(?)
Toda sequencia limitada (em relacao a qualquer
norma equivalente a Norma do Maximo) em IRn possui uma subsequencia convergente.
Prova: Exercıcio (Sugestao: use o mesmo resultado em IR para as sequencias das coorde-
nadas, juntamente com a proposicao anterior)
Teorema 1.9. Duas normas quaisquer no espaco IRn sao equivalentes.
Demonstracao:
Sejam ‖ ‖s : IRn → IR a Norma da Soma, dada por
‖x‖s = |x1|+ |x2|+ . . . + |xn| ∀ x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn
e ‖ ‖ : IRn → IR uma norma qualquer no IRn.
Nocoes Topologicas no IRn 5
Temos:
(i) Por transitividade, se mostrarmos que ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, entao o teorema
estara demonstrado.
(ii) Para a Norma da Soma valem os resultados anteriores, pois ela e equivalente a Norma
do Maximo.
Consideremos a Base Canonica β = e1, e2, . . . , en do IRn.
Para todo vetor x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ IRn, temos:
‖x‖ = ‖x1e1 + . . . + xnen‖ ≤ |x1| . ‖e1‖+ . . . |xn| . ‖en‖ ≤ b.(|x1|+ . . . + |xn|) = b. ‖x‖s
onde b = max ‖e1‖ , . . . , ‖en‖ (repare que este b esta bem definido, pois tomamos o
maximo em um conjunto finito de numeros reais).
Logo ‖x‖ ≤ b. ‖x‖s para todo x ∈ IRn. (1)
Resta mostrarmos que existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn.
De fato: se isto nao ocorrer temos que para todo k ∈ IN e possıvel obter um xk ∈ IRn
tal que ‖xk‖s > k. ‖xk‖ (pois k nao serviria como tal a > 0 ).
Tomemos, para cada k ∈ IN, uk =xk
‖xk‖s
(note que a sequencia (uk) esta bem definida,
pois ‖xk‖s > 0 ∀k )
Como ‖uk‖s = 1 para todo k (verifique), temos que (uk) e limitada em relacao a Norma
da Soma.
Pelo Teorema de Bolzano-Weierstrass, (uk) tem uma subsequencia (ukj) convergente (na
Norma da Soma) para um ponto u ∈ IRn.
Temos entao que∥∥ukj
∥∥s→ ‖u‖s. Logo ‖u‖s = 1 , o que significa que u 6= 0.
Agora, dado ε > 0, e possıvel obter kj0 tal que∥∥ukj0
− u∥∥
s<
ε
2be
1
kj0
<ε
2.
Logo
‖u‖ ≤∥∥ukj0
− u∥∥ +
∥∥ukj0
∥∥ ≤ b.∥∥ukj0
− u∥∥
s+
1
kj0
< b.ε
2b+
ε
2= ε .
Assim ‖u‖ = 0 ⇒ u = 0 (contradicao!)
Entao, obrigatoriamente, existe a > 0 tal que ‖x‖s ≤ a. ‖x‖ ∀x ∈ IRn. (2)
Por (1) e (2), ‖ ‖s e ‖ ‖ sao equivalentes, qualquer que seja a norma ‖ ‖ no IRn.
6 CAPITULO 1
Por transitividade, temos entao que duas normas quaisquer no IRn sao equivalentes.
Obs.: A luz deste ultimo teorema, temos tambem que os resultados anteriores sao
validos para qualquer norma considerada no IRn.
Proposicao 1.10. (IRn e Banach)(?)
Uma sequencia (xk) no IRn e convergente (em
relacao a qualquer norma ‖ ‖ considerada) se, e somente se, ela e uma Sequencia de Cauchy.
Prova: Exercıcio (Sugestao: use a norma do maximo, a proposicao 1.7 e o resultado ja
conhecido para sequencias de numeros reais)
Prove tambem o resultado acima sem usar o que ja foi provado para sequencias de numeros
reais(?)
.
1.3 Topologia usual
Conjuntos abertos:
Definicao 1.11. Um ponto a e dito um PONTO INTERIOR a um conjunto X ⊂ IRn
quando existe ε > 0 tal que B(a; ε) ⊂ X. Se denotarmos por int X o conjunto dos pontos
interiores a X (INTERIOR de X), e imediato que int X ⊂ X. Se a ∈ int X entao X e dito
uma VIZINHANCA de a.
Um conjunto A ⊂ IRn e dito ser ABERTO (em IRn) quando A = int A.
Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto ABERTO EM X quando existe um conjunto
aberto (em IRn) A tal que B = X ∩ A .
Consequencias imediatas:(?)
(i) φ e IRn sao abertos.
(ii) A intersecao A = A1 ∩ . . . ∩ Al de uma colecao FINITA de abertos e um aberto.
(iii) A reuniao A =⋃λ∈L
Aλ de uma colecao arbitraria Aλλ∈L de abertos e um aberto.
(iv) Toda bola aberta B(a; r) e um conjunto aberto.
(v) Para todo X ⊂ IRn tem-se: int X =⋃
A ⊂ X
A aberto
A
Nocoes Topologicas no IRn 7
Conjuntos fechados:
Definicao 1.12. Um ponto a e dito um PONTO ADERENTE a um conjunto X ⊂ IRn
quando existe uma sequencia (xk) em X ( xk ∈ X ∀ k ) tal que xk → a . Se denotarmos por
cl X o conjunto dos pontos aderentes a X (FECHO de X), e imediato que X ⊂ cl X.
Um conjunto F ⊂ IRn e dito ser FECHADO (em IRn) quando F = cl F .
Um conjunto B ⊂ X e dito ser um conjunto FECHADO EM X quando existe um conjunto
fechado (em IRn) F tal que B = X ∩ F .
Dado X ⊂ IRn , definimos fr X = cl X ∩ cl (IRn\X) (FRONTEIRA de X).
Sejam Y ⊂ X ⊂ IRn . Dizemos que Y e DENSO em X quando X ⊂ cl Y (todo ponto
de X e limite de uma sequencia de pontos de Y ).
Consequencias imediatas:(?)
(i) a ∈ cl X ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X.
(ii) F ⊂ IRn e fechado ⇔ A = IRn\F e aberto.
(iii) φ e IRn sao fechados.
(iv) A reuniao F = F1 ∪ . . . ∪ Fl de uma colecao FINITA de fechados e um fechado.
(v) A intersecao F =⋂λ∈L
Fλ de uma colecao arbitraria Fλλ∈L de fechados e um fechado.
(vi) Toda bola fechada B[a; r] e um conjunto fechado.
(vii) Toda esfera S[a; r] e um conjunto fechado.
(viii) Qn e denso no IRn.
(ix) Para todo X ⊂ IRn tem-se: cl X =⋂
F ⊃ X
F fechado
F
Pontos de acumulacao:
Definicao 1.13. Um ponto a e dito um PONTO DE ACUMULACAO de um conjunto
X ⊂ IRn quando existe uma sequencia (xk) em X\ a ( xk ∈ X , xk 6= a ∀ k ) tal que
xk → a . Denotamos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulacao de X.
Se a ∈ X nao e ponto de acumulacao de X, entao a e um PONTO ISOLADO de X.
Se todos os pontos de X sao isolados, X e chamado um conjunto DISCRETO.
8 CAPITULO 1
Consequencias imediatas:(?)
(i) a ∈ X ′ ⇔ toda vizinhanca de a possui algum ponto de X\ a.
(ii) a ∈ X ′ ⇔ toda bola aberta B(a; r) possui uma infinidade de pontos de X.
(iii) Se X ′ 6= φ entao X e infinito.
(iv) O conjunto X ′ dos pontos de acumulacao de X e fechado.
(v) Se X ⊂ IRn e infinito e limitado, entao X ′ 6= φ (Bolzano-Weierstrass)
1.4 Limites e continuidade
Estudaremos agora nocoes de limites e continuidade para aplicacoes f : X → IRn ,
com X ⊂ IRm . Podemos sempre identificar aplicacoes como esta atraves de suas funcoes
coordenadas:
A cada aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn correspondem n funcoes f1, f2, . . . , fn : X → IR
dadas por fi = πi f ( i = 1, . . . , n ), ditas as FUNCOES COORDENADAS da aplicacao f .
Para todo x ∈ X temos f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)) .
Escrevemos f = (f1, f2, . . . , fn).
Limites:
Definicao 1.14. Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ (a e ponto de acumulacao de X).
Dizemos que b ∈ IRn e o LIMITE DE f(x) QUANDO x TENDE PARA a e escrevemos
b = limx→a
f(x)
quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que
x ∈ X, 0 < ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− b‖ < ε
Proposicao 1.15.(?)
Sejam f : X ⊂ IRm → IRn e a ∈ X ′ .
A fim de que limx→a
f(x) = b ∈ IRn e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk)
em X\ a com xk → a se tenha f(xk) → b .
Proposicao 1.16.(?)
Seja a um ponto de acumulacao de X ⊂ IRm. Dada a aplicacao
f : X → IRn , cujas funcoes coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se
limx→a
f(x) = b = (b1, b2, . . . , bn) ∈ IRn se, e somente se, limx→a
fi(x) = bi ∀ i = 1, 2, . . . , n.
Nocoes Topologicas no IRn 9
Continuidade:
Definicao 1.17. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e CONTINUA NO PONTO a ∈ X
quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que
x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(a)‖ < ε
Se f como acima e contınua em todos os pontos do conjunto X, dizemos simplesmente que
f e uma aplicacao CONTINUA.
Proposicao 1.18.(?)
Seja f : X ⊂ IRm → IRn . A fim de que f seja contınua em a ∈ X
e necessario e suficiente que, para toda sequencia (xk) em X com xk → a se tenha
f(xk) → f(a) .
Proposicao 1.19.(?)
Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e contınua se, e somente se, para
cada A aberto do IRn (ou para cada F fechado do IRn ), sua imagem inversa f−1(A) e
um conjunto aberto em X (ou f−1(F ) e um conjunto fechado em X).
Proposicao 1.20.(?)
A composta de duas aplicacoes contınuas e contınua.
Proposicao 1.21.(?)
Seja a ∈ X ⊂ IRm. Dada a aplicacao f : X → IRn , cujas funcoes
coordenadas sao f1, f2, . . . , fn : X → IR , tem-se: f e contınua em a se, e somente se, cada
uma das suas funcoes coordenadas fi = πi f : X → IR e contınua no ponto a.
Corolario 1. Dadas f : X → IRm e g : X → IRn , seja h = (f, g) : X → IRm × IRn dada
por h(x) = (f(x), g(x)) . Entao h e contınua se, e somente se, f e g sao ambas contınuas.
Uma consequencia deste corolario: se f, g : X ⊂ IRm → IRn e α : X → IR sao contınuas
entao sao tambem contınuas (f + g) : X → IRn dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) ,
(α.f) : X → IRn dada por (α.f)(x) = α(x).f(x) , < f, g > : X → IR dada por
< f, g > (x) = < f(x), g(x) >.
Obs.: Se, para obtermos f(x) (onde temos f : X ⊂ IRm → IRn e f = (f1, f2, . . . , fn) ),
para cada funcao coordenada aplicada em x ( fi(x) ) submetemos as coordenadas do ponto
x = (x1, . . . , xm) a operacoes definidas por funcoes contınuas, entao f e contınua.
Exemplos: f(x, y) = (( sen x).y, x2y3, ex cos y) define uma funcao contınua f : IR2 → IR3.
A funcao determinante det : Mn(IR) → IR e contınua.
10 CAPITULO 1
Continuidade uniforme:
Ao estudarmos a continuidade de uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn num ponto do
domınio X, o δ obtido para cada ε (veja a definicao) depende, em geral, nao apenas do ε
dado, mas tambem depende do ponto onde estamos analisando a continuidade de f .
Quando, para cada ε dado, for possıvel obter um δ que dependa apenas de ε e portanto
sirva (como na definicao) para TODOS OS PONTOS DE X, temos um fenomeno conhecido
como Continuidade Uniforme:
Definicao 1.22. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita UNIFORMEMENTE CONTINUA
quando, para cada ε > 0 dado, e possıvel obter δ > 0 tal que
x, y ∈ X, ‖x− y‖ < δ ⇒ ‖f(x)− f(y)‖ < ε
Resultados relacionados com a continuidade uniforme:(?)
(i) Uma aplicacao f = (f1, . . . , fn) : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente
se, suas funcoes coordenadas f1, . . . , fn : X → IRn o sao.
(ii) Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua se, e somente se, para todo
par de sequencias (xk), (yk) em X, com lim(xk − yk) = 0 tem-se lim[f(xk)− f(yk)] = 0 .
(iii) Se f : X ⊂ IRm → IRn e uniformemente contınua entao, para todo a ∈ X ′ , existe o
limite limx→a
f(x) .
Uma fonte natural de aplicacoes uniformemente contınuas:
Definicao 1.23. Uma aplicacao f : X ⊂ IRm → IRn e dita LIPSCHITZIANA quando existe
uma constante k > 0 (chamada CONSTANTE DE LIPSCHITZ DE f) tal que
‖f(x)− f(y)‖ ≤ k. ‖x− y‖ ∀ x, y ∈ X
Alguns resultados:
(i) Toda aplicacao lipschitziana e uniformemente contınua.(?)
(ii) Toda transformacao linear A : IRm → IRn e lipschitziana (mostre), logo uniformemente
contınua e portanto contınua.
(iii) Se ϕ : IRm× IRn → IRp e uma aplicacao bilinear (linear em cada componente) entao ϕ
e lipschitziana em cada parte limitada de IRm × IRn = IRm+n.
Portanto toda aplicacao bilinear e contınua.
Exemplos: multiplicacao de numeros reais ( ϕ(x, y) = x.y ); Produto Interno Canonico
( < x, y > = x1y1 + . . . + xnyn ); multiplicacao de matrizes ( ϕ(A, B) = A.B )
Nocoes Topologicas no IRn 11
(iv) As projecoes πi : IRm → IR , dadas por πi(x) = xi ∀ x = (x1, x2, . . . , xm) ∈ IRm
( i = 1, 2, . . . ,m ), sao lineares, logo lipschitzianas e portanto contınuas.
Homeomorfismos:
Definicao 1.24. Dados os conjuntos X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , um HOMEOMORFISMO entre
X e Y e uma bijecao contınua f : X → Y cuja inversa f−1 : Y → X tambem e contınua.
Diz-se entao que X e Y sao conjuntos homeomorfos.
Resultados imediatos:
(i) O inverso de um homeomorfismo e um homeomorfismo.
(ii) A composta de dois homeomorfismos e um homeomorfismo.
(iii) Se dois conjuntos X e Y sao homeomorfos, eles possuem a mesma estrutura topologica,
ou seja, um homeomorfismo “leva” abertos de X em abertos de Y e seu inverso “leva”
abertos de Y em abertos de X.(?)
Exemplos:
1) Qualquer aplicacao linear invertıvel A : IRn → IRn e um homeomorfismo.
2) As translacoes Ta : IRm → IRm , onde Ta(x) = x + a, a ∈ IRm (fixado).
3) As homotetias Hλ : IRm → IRm , onde Hλ(x) = λ.x, 0 6= λ ∈ IR (fixado).
4) Duas bolas abertas quaisquer no IRm sao homeomorfas, o mesmo ocorrendo com duas
bolas fechadas arbitrarias no IRm ou duas esferas no mesmo espaco.(?)
5) Toda bola aberta no IRm e homeomorfa ao espaco IRm.(?)
6) Seja f : X ⊂ IRm → IRn uma aplicacao contınua. Seu GRAFICO e o conjunto G ⊂IRm × IRn formado pelos pontos (x, f(x)) , com x ∈ X . O domınio X e o grafico G da
aplicacao contınua f sao homeomorfos.
12 CAPITULO 1
7) Sejam Sm =x ∈ IRm+1 ; < x, x > = 1
⊂ IRm+1 a esfera unitaria m-dimensional e
p = (0, 0, . . . , 0, 1) ∈ Sm seu POLO NORTE.
A PROJECAO ESTEREOGRAFICA ϕ : Sm\ p → IRm e um homeomorfismo.
1.5 Compacidade
Definicao 1.25. Um conjunto K ⊂ IRn sera dito um conjunto COMPACTO quando for
limitado e fechado.
Buscaremos agora novas caracterizacoes para os compactos do IRn:
Teorema 1.26.(?)
Um subconjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda sequencia
(xk) ⊂ K possui uma subsequencia convergente para um ponto de K.
Teorema 1.27.(?)
(Propriedade de Cantor) Dada uma sequencia “decrescente” de conjuntos
compactos e nao-vazios K1 ⊃ K2 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . . , sua intersecao K =∞⋂i=1
Ki (limitada e
fechada) nao e vazia.
Lema 1.28.(?)
Todo conjunto X ⊂ IRn e separavel, isto e, possui um subconjunto enumeravel
E = x1, x2, . . . , xl, . . . ⊂ X, E denso em X.
Nocoes Topologicas no IRn 13
Lema 1.29. (Lindelof) Considere um conjunto arbitrario X ⊂ IRn . Toda cobertura aberta
X ⊂⋃
Aλ admite uma subcobertura enumeravel.
Chegamos entao ao resultado que nos interessa:
Teorema 1.30. Um conjunto K ⊂ IRn e compacto se, e somente se, toda cobertura aberta de
K admite uma subcobertura finita.
Demonstracao:
(⇐) (Exercıcio)(?)
(⇒) Borel-Lebesgue:
Suponhamos que K seja compacto (limitado e fechado).
Seja K ⊂⋃
Aλ uma cobertura aberta de K.
Pelo Lema de Lindelof, ela admite uma subcobertura enumeravel
K ⊂∞⋃i=1
Aλi= Aλ1 ∪ Aλ2 ∪ . . .
Para cada i = 1, 2, 3, . . . ∈ IN ponha
Ki = K⋂
(IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi))
Ki ⊂ K (limitado) ⇒ Ki e limitado.
Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλie aberto ⇒ IRn\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi
) e fechado. Como K e fechado, temos
entao que Ki e fechado.
Assim, para todo i ∈ IN, Ki e limitado e fechado.
Observemos agora que K ⊃ K1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ . . . ⊃ Ki ⊃ . . .
Dado x ∈ K, existe λi′ tal que x ∈ Aλi′(pois K ⊂
∞⋃i=1
Aλi) ⇒ x 6∈ Ki′
Logo∞⋂i=1
Ki = φ .
Pela Propriedade de Cantor, podemos concluir que existe i0 tal que Ki0 = φ e teremos
φ = Ki0 = K⋂ (
X\ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0))⇒ K ⊂ (Aλ1 ∪ . . . ∪ Aλi0
)
Portanto toda cobertura aberta de K admite uma subcobertura finita.
14 CAPITULO 1
Destacamos a seguir os principais resultados relativos a compacidade:
Teorema 1.31. Seja K ⊂ IRm um conjunto compacto. Se f : K → IRn e uma aplicacao
contınua, entao sua imagem f(K) e um conjunto compacto do IRn.
Corolario 1.(?)
(Weierstrass) Toda funcao real contınua f : K → IR definida num compacto
K ⊂ IRm atinge seu maximo e seu mınimo em K, isto e, existem pontos x1, x2 ∈ K tais que
f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2) para qualquer x ∈ K.
Corolario 2.(?)
Seja K ⊂ IRm compacto. Toda aplicacao contınua f : K → IRn e fechada,
ou seja, se F ⊂ K e fechado, entao f(F ) ⊂ IRn e fechado.
Corolario 3.(?)
A inversa de uma bijecao contınua definida num compacto e uma funcao
contınua, isto e, toda bijecao contınua definida num conjunto compacto e um homeomorfismo
sobre sua imagem.
Teorema 1.32.(?)
Toda aplicacao contınua f : K → IRn definida num conjunto compacto
K ⊂ IRm e uniformemente contınua.
1.6 Conexidade
Definicao 1.33. Uma CISAO de um conjunto X ⊂ IRn e uma decomposicao X = A ∪ B ,
onde A e B sao disjuntos ( A ∩B = φ ) e abertos em X.
Todo conjunto X ⊂ IRn admite a chamada CISAO TRIVIAL X = X ∪ φ .
Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO quando so admite a cisao trivial. Caso contrario
ele e dito DESCONEXO.
Nocoes Topologicas no IRn 15
Proposicao 1.34.(?)
Uma decomposicao X = A ∪ B e uma cisao de X se, e somente
se, nenhum dos conjuntos A, B contem um ponto aderente ao outro, ou seja, se tivermos
cl A ∩B = φ = A ∩ cl B .
Proposicao 1.35.(?)
X ⊂ IR e conexo se, e somente se, X e um intervalo da reta.
Destacamos a seguir o principal resultado relativo a conexidade:
Teorema 1.36. Seja X ⊂ IRm um conjunto conexo. Se f : X → IRn e uma aplicacao
contınua, entao sua imagem f(X) e um conjunto conexo do IRn.
Corolario 1.(?)
(Teorema do Valor Intermediario) Seja f : X → IR uma funcao real
contınua, definida num conjunto conexo X ⊂ IRm . Se existem a, b ∈ X e d ∈ IR tais que
f(a) < d < f(b) , entao existe c ∈ X tal que f(c) = d .
Veremos a seguir uma serie de resultados sobre conexidade:
Proposicao 1.37.(?)
(Teorema da Alfandega) Seja X ⊂ IRn . Se um conjunto conexo
C ⊂ IRn contem um ponto a ∈ X e um ponto b 6∈ X , entao C contem algum ponto da
fronteira de X.
Sugestao: use que IRn = int X ∪ fr X ∪ int (IRn\X)
Lema 1.38.(?)
Seja X = A ∪ B uma cisao do conjunto X ⊂ IRn . Se Y ⊂ X e conexo e
nao-vazio entao ou Y ⊂ A ou Y ⊂ B .
16 CAPITULO 1
Proposicao 1.39.(?)
Se X ⊂ IRn e conexo e X ⊂ Y ⊂ cl X , entao Y e conexo.
Corolario 1. Se X ⊂ IRn e conexo e Y e formado a partir de X adicionando-se alguns ou
todos os pontos de seu fecho, entao Y e conexo.
Teorema 1.40. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos com um ponto em comum e
um conjunto conexo.
Corolario 1.(?)
A fim de que X ⊂ IRn seja conexo e (necessario e) suficiente que, para
quaisquer a, b ∈ X , exista um conjunto conexo Cab com a, b ∈ Cab ⊂ X .
Corolario 2.(?)
Dados X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn , o produto cartesiano X × Y ⊂ IRm+n e
conexo se, e somente se, X e Y sao conexos.
Definicao 1.41. (Componentes conexas) Seja X ⊂ IRn . Para cada ponto x ∈ X , definimos
a COMPONENTE CONEXA do ponto x em X como sendo a reuniao Cx de todos os
subconjuntos conexos de X que contem o ponto x.
E imediato que Cx e o maior subconjunto conexo (veja o teorema anterior) de X que
contem o ponto x.
Segue tambem que, dados dois pontos x, y ∈ X , suas componentes conexas Cx, Cy em
X, ou coincidem ou sao disjuntas(?)
.
Assim, a relacao “x e y pertencem a mesma componente conexa em X” e uma relacao
de equivalencia em X(?)
e as componentes conexas dos pontos de X o dividem em classes de
equivalencia, as quais denominaremos as COMPONENTES CONEXAS de X.
Nocoes Topologicas no IRn 17
Proposicao 1.42.(?)
Seja h : X → Y um homeomorfismo. Se Cx e a componente conexa
do ponto x em X, entao Dy = h(Cx) e a componente conexa do ponto y = h(x) em Y .
Portanto, um homeomorfismo h : X → Y estabelece uma bijecao entre as componentes
conexas de X e as componentes conexas de Y .(?)
(Exemplos)
Um CAMINHO num conjunto X ⊂ IRn e uma aplicacao contınua f : I → X definida
num intervalo I ⊂ IR.
Dizemos que os pontos a, b ∈ X PODEM SER LIGADOS POR UM CAMINHO EM X
quando existe um caminho f : I → X tal que a, b ∈ f(I)
Por exemplo, se X e convexo entao cada dois pontos a, b ∈ X podem ser ligados por um
caminho em X, a saber, o caminho retilıneo [a, b] = t.a + (1− t).b ; t ∈ [0, 1] .
Se a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho f : I → X entao existe um caminho
ϕ : [0, 1] → X tal que ϕ(0) = a e ϕ(1) = b.(?)
Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONEXO POR CAMINHOS quando cada dois pontos
a, b ∈ X podem ser ligados por um caminho em X.
Por exemplo: todo conjunto convexo e conexo por caminhos.
Teorema 1.43. Todo conjunto conexo por caminhos e conexo. (Exercıcio)
Obs.: Nem todo conjunto conexo e conexo por caminhos:
Exemplo: X = (x, sen 1/x) ; x ∈ (0, +∞) ∪ (0, 0) ⊂ IR2 e conexo mas nao e conexo
por caminhos.
Isto nao ocorre se o conjunto em questao for aberto:
Teorema 1.44. Se A ⊂ IRn e aberto e conexo entao A e conexo por caminhos.
Prova: Exercıcio.
18 CAPITULO 1
1.7 Norma de uma transformacao linear
Seja A : IRm → IRn uma transformacao linear.
Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , existe c > 0 tal que
‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm
Temos entao: ‖x‖m = 1 ⇒ ‖Ax‖n ≤ c e podemos definir ...
Definicao 1.45. Fixadas duas normas: ‖ ‖m em IRm e ‖ ‖n em IRn , definimos
uma norma(?)
em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm pondo, para cada transformacao linear
A : IRm → IRn ∈ L(IRm; IRn) :
‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m = 1
Proposicao 1.46. Nas condicoes da definicao acima, temos:
‖A‖ = sup ‖Ax‖n ; ‖x‖m ≤ 1
= inf c > 0 ; ‖Ax‖n ≤ c. ‖x‖m ∀ x ∈ IRm
Obs.: Note que para cada par de normas fixadas, em IRm e IRn, temos uma norma
em L(IRm; IRn) = Mn×m(IR) = IRnm . De qualquer jeito, nao vamos esquecer que as normas
obtidas neste ultimo espaco sao todas equivalentes.
Proposicao 1.47.(?)
Nas mesmas condicoes da definicao anterior, temos:
‖Ax‖n ≤ ‖A‖ . ‖x‖m ∀ x ∈ IRm
‖AB‖ ≤ ‖A‖ . ‖B‖ se B ∈ L(IRp; IRm) e A ∈ L(IRm; IRn)
Obs.: Na segunda parte da proposicao acima, consideramos a mesma norma em IRm .
Nocoes Topologicas no IRn 19
1.8 Exercıcios
1. Se c ∈ [a, b] = t.a + (1− t).b ; t ∈ [0, 1] entao ‖b− a‖ = ‖b− c‖+ ‖c− a‖ . Se a norma
provem de um produto interno, vale a recıproca. Para uma norma arbitraria, pode-se ter a
igualdade acima com c 6∈ [a, b] .
2. Se a norma provem de um produto interno e a 6= b em IRn sao tais que ‖a‖ ≤ r e ‖b‖ ≤ r
entao ‖(1− t).a + t.b‖ < r para todo t ∈ (0, 1) (ou seja, a esfera nao contem segmentos de
reta).
3. Qualquer que seja a norma adotada no IRn (n > 1), a esfera unitaria Sn−1 = x ∈ IRn ; ‖x‖ = 1 e um conjunto infinito.
4. Um conjunto X ⊂ IRn e dito CONVEXO quando, para todos os pares de pontos a, b ∈ X,
o SEGMENTO (RETILINEO) [a, b] = t.a + (1− t).b ; t ∈ [0, 1] que os liga cumpre [a, b] ⊂X . Mostre que a intersecao de uma famılia arbitraria de conjuntos convexos e um conjunto
convexo.
5. Dado X ⊂ IRn, a ENVOLTORIA CONVEXA DE X e a intersecao co (X) de todos os
subconjuntos convexos do IRn que contem X. Prove que co (X) e o conjunto de todas as
combinacoes lineares α1x1 + . . . + αkxk tais que x1, . . . , xk ∈ X , α1 ≥ 0, . . . , αk ≥ 0 e
α1 + . . . + αk = 1 .
6. Mostre que o fecho de qualquer conjunto convexo no IRn e tambem convexo.
7. As seguintes afirmacoes a respeito de uma sequencia (xk) de pontos do IRn sao equivalentes:
(a) lim ‖xk‖ = +∞ ;
(b) (xk) nao possui subsequencia convergente ;
(c) Para todo conjunto limitado L ⊂ IRn, o conjunto dos ındices k tais que xk ∈ L e finito.
8. Prove que lim xk = a em IRn se, e so se, lim < xk, y > = < a, y > para todo y ∈ IRn .
9. Toda matriz n× n e limite de uma sequencia de matrizes invertıveis n× n .
10. Se nenhum ponto do conjunto X ⊂ IRn e ponto de acumulacao entao se pode escolher,
para cada ponto x ∈ X, uma bola aberta Bx, de centro x, de tal maneira que, para x 6= y
em X se tenha Bx ∩By = φ .
11. Todo conjunto discreto e enumeravel. Em outras palavras: todo conjunto nao-enumeravel
contem (pelo menos) um ponto de acumulacao.
20 CAPITULO 1
12. Se A ⊂ IRn e aberto entao sua fronteira fr A tem interior vazio. De exemplo de um
conjunto X ⊂ IRn cuja fronteira fr X seja um conjunto aberto.
13. Se F ⊂ IRn e fechado entao sua fronteira fr F tem interior vazio.
14. Seja E ⊂ IRn um subespaco vetorial. Se E 6= IRn entao int E = φ .
15. A ⊂ IRn e aberto se, e somente se, A ∩ cl (IRn\A) = φ .
16. Seja B(X; ε) a reuniao das bolas abertas B(x; ε) de raio ε e centro em algum ponto
x ∈ X . Prove que cl X =⋂ε>0
B(X; ε) .
17. (i) Mostre que para toda sequencia decrescente F1 ⊃ F2 ⊃ . . . ⊃ Fk ⊃ . . . de conjuntos
fechados e nao-vazios Fk ⊂ IRn , com lim diam Fk = 0 ( diam X = sup d(x, y) ; x, y ∈ X ),
existe um ponto a ∈ IRn tal que∞⋂
k=1
Fk = a.
(ii) (Teorema de Baire) Mostre que se F =∞⋃
k=1
Fk , onde cada Fk e fechado em IRn e tem
interior vazio, entao int F = φ . (Sugestao: olhe o livro sobre Espacos Metricos do Elon)
(iii) O que podemos concluir se IRn =∞⋃
k=1
Fk , onde cada Fk e fechado no IRn ?
18. Seja f : X → IRn contınua. Dada uma sequencia xk em X com lim xk = a ∈ X e
‖f(xk)‖ ≤ c para todo k ∈ IN entao ‖f(a)‖ ≤ c .
19. Sejam f, g : X → IRn contınuas no ponto a ∈ X . Se f(a) 6= g(a) entao existe uma
bola B de centro a tal que x, y ∈ B ⇒ f(x) 6= g(x) .
20. Seja f : X → IRn contınua no ponto a ∈ X . Se f(a) nao pertence a B[b; r] ⊂ IRn
entao existe δ > 0 tal que x ∈ X, ‖x− a‖ < δ ⇒ f(x) 6∈ B[b; r] .
21. Sejam f : X → IRn e a ∈ X . Suponha que, para todo ε > 0 , exista g : X → IRn ,
contınua no ponto a, tal que ‖f(x)− g(x)‖ < ε para todo x ∈ X . Entao f e contınua no
ponto a .
22. Seja f : IRm → IRn contınua. Se X ⊂ IRm e limitado entao f(X) ⊂ IRn e limitado.
23. Se f : IRm → IRn e contınua entao, para cada parte limitada x ⊂ IRm , a restricao f |Xe uniformemente contınua.
Nocoes Topologicas no IRn 21
24. Se a aplicacao linear A : IRm → IRn e injetiva, entao existe c > 0 tal que ‖Ax‖ ≥ c ‖x‖para todo x ∈ IRm .
25. Se B e a bola aberta de centro na origem e raio 1 no IRn, a aplicacao contınua f : B → IRn
definida por f(x) =x
1− ‖x‖nao e uniformemente contınua.
26. Considerando as sequencias de pontos zk = (k, 1/k) e wk = (k, 0) no IR2 , prove que
a aplicacao ϕ : IR2 → IR dada por ϕ(x, y) = xy nao e uniformemente contınua. Use
um argumento analogo para provar que uma aplicacao bilinear ϕ : IRm × IRn → IRp so e
uniformemente contınua se for identicamente nula.
27. O cone C =
(x, y, z) ∈ IR3 ; z ≥ 0 , x2 + y2 − z = 0
e homeomorfo ao IR2 .
28. Estabeleca um homeomorfismo entre IRn+1\ 0 e Sn × IR .
29. O quadrante P =
(x, y) ∈ IR2 ; x ≥ 0 , y ≥ 0
e homeomorfo ao semi-plano superior
S = (x, y) ; y ≥ 0 .
30. Os conjuntos X =
(x, y) ∈ IR2 ; y = 0 , 0 < x < 1
e Y =
(x, y) ∈ IR2 ; y = 0
sao homeomorfos, mas nao existe um homeomorfismo h : IR2 → IR2 tal que h(X) = Y .
31. Estabeleca um homeomorfismo entre os conjuntos X = x ∈ IRn ; 0 < ‖x‖ ≤ 1 (bola
unitaria fechada menos a origem) e Y = y ∈ IRn ; ‖y‖ ≥ 1 (complementar da bola unitaria
aberta).
32. Seja f : IR2 → IR definida por f(x, y) =(x2 − y)y
x4se 0 < y < x2 e f(x, y) = 0 nos
demais pontos. Prove que o limite de f(x, y) e zero quando (x, y) tende para (0, 0) ao
longo de qualquer reta que passe pela origem, mas nao se tem lim(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0 .
33. Seja f : IR2 → IR definida por f(0, 0) = 0 e f(x, y) =x2 − y2
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0) .
Mostre que limx→0
(limy→0
f(x, y)
)6= lim
y→0
(limx→0
f(x, y))
.
34. O conjunto das matrizes invertıveis n× n e aberto no IRn2
.
35. O conjunto das aplicacoes lineares injetivas e aberto em L(IRm; IRn) . Idem para as
sobrejetivas.
36. f : X → IRn e contınua se, e so se, para todo Y ⊂ X , tem-se f(X ∩ cl Y ) ⊂ cl f(Y ) .
22 CAPITULO 1
37. O conjunto das matrizes n × n com determinante 1 e um conjunto fechado, ilimitado e
com interior vazio em IRn2
.
38. O conjunto dos valores de aderencia de uma sequencia limitada e um conjunto compacto
e nao-vazio.
39. As matrizes ortogonais n× n formam um subconjunto compacto do IRn2
.
40. Todo conjunto infinito X ⊂ IRn possui um subconjunto nao-compacto.
41. Seja X ⊂ IRn . Se todo conjunto homeomorfo a X for limitado, entao X e compacto.
42. Seja f : IRm → IRn contınua. As seguintes afirmacoes sao equivalentes:
(a) limx→∞
f(x) = ∞ ;
(b) A imagem inversa f−1(K) de todo compacto K ⊂ IRn e compacta.
43. Sejam X ⊂ IRm , K(compacto) ⊂ IRn , f : X ×K → IRp contınua e c ∈ IRp . Suponha
que, para cada x ∈ X , exista um unico y ∈ K tal que f(x, y) = c . Prove que esse y
depende continuamente de x .
44. Toda aplicacao localmente lipschitziana definida num conjunto compacto e lipschitziana.
45. Um subconjunto conexo nao-vazio X ⊂ Qn consta de um unico ponto.
46. Um conjunto conexo enumeravel X ⊂ IRn possui no maximo um ponto.
47. O conjunto das matrizes invertıveis n× n e um aberto desconexo em IRn2
. Tambem e
desconexo (mas nao aberto) o conjunto das matrizes ortogonais.
48. Se X ⊂ IRn e compacto, entao toda aplicacao contınua aberta f : X → Sn e sobrejetiva.
49. Seja X ⊂ IRm . Uma aplicacao f : X → IRn diz-se localmente constante quando
para cada x ∈ X existe uma bola B de centro x tal que f |(B∩X) e constante. X e conexo
se, e somente se, toda aplicacao localmente constante f : X → IRn e constante.
50. Se X ⊂ IRn e conexo por caminhos e f : X → IRn e contınua, entao f(X) e conexo
por caminhos.
51. Se X ⊂ IRm e Y ⊂ IRn sao conexos por caminhos entao X × Y ⊂ IRm+n e conexo por
caminhos.
Nocoes Topologicas no IRn 23
52. A reuniao de uma famılia de conjuntos conexos por caminhos com um ponto em comum
e conexa por caminhos.
53. O fecho de um conjunto conexo por caminhos pode nao ser conexo por caminhos.
54. As componentes conexas de um subconjunto aberto em IRn sao conjuntos abertos.
55. Dada uma aplicacao linear A : IRm → IRn e fixadas normas em IRm e IRn, a imagem por
A da esfera unitaria S = x ∈ IRm ; ‖x‖ = 1 e um conjunto limitado no IRn . Pondo, para
cada A ∈ L(IRm; IRn) , ‖A‖ = sup ‖Ax‖ ; x ∈ S , a funcao A 7→ ‖A‖ e uma norma no
espaco vetorial L(IRm; IRn) , para a qual vale a desigualdade ‖Ax‖ ≤ ‖A‖ · ‖x‖ para todo
x ∈ IRm . Alem disso, se A ∈ L(IRm; IRn) e B ∈ L(IRn; IRp) entao, fixadas normas em
IRm , IRn e IRp , tem-se ‖BA‖ ≤ ‖B‖ · ‖A‖ .
56. Seja G o grupo das matrizes invertıveis n×n . Mostre que se A ∈ G e ‖Ax‖ ≥ |c| . ‖x‖para todo x ∈ IRn entao ‖A−1‖ ≤ 1/c . Conclua que se X ∈ G e ‖X − A‖ < c/2 entao
‖X−1‖ ≤ 2/c . Em seguida, use a identidade X−1 − A−1 = X−1(I − XA−1) para mostrar
que limX→A
X−1 = A−1 . Logo, f : G → G dada por f(X) = X−1 e contınua.
57. Dada A ∈ L(IRm; IRn) , supomos fixadas normas em IRm e IRn e definimos, como antes,
‖A‖ = sup ‖Ax‖ ; x ∈ IRm , ‖x‖ = 1 . Mostre que, com essa definicao de ‖A‖ , temos
tambem ‖A‖ = inf c ∈ IR ; ‖Ax‖ ≤ c ‖x‖ para todo x ∈ IRm .
58. Defina convergencia e convergencia absoluta (ou normal) de uma serie∑
xk , cujos
termos xk = (xk1, xk2, . . . , xkn) pertencem ao IRn . Prove que a serie∑
xk converge (resp.
converge absolutamente) se, e somente se, para cada i = 1, . . . , n , a serie∑
k xki converge
(resp. converge absolutamente). Conclua que toda serie absolutamente convergente no IRn e
convergente.
59. Dada uma sequencia de aplicacoes lineares Ak : IRm → IRn , suponha que para todo
x ∈ IRm exista Ax = limk→∞
Akx . Prove que a aplicacao linear A : IRm → IRn assim definida e
linear, que lim Ak = A relativamente a qualquer norma em L(IRm; IRn) e que a convergencia
Akx → Ax e uniforme em qualquer parte limitada de IRm .
60. Mostre que para toda aplicacao X ∈ L(IRn) ' IRn2
, a serie∞∑
k=0
Xk
k!e absolutamente
convergente. Indiquemos sua soma por eX . Usando que eX · eY = eX+Y se XY = Y X ,
conclua que para toda X ∈ L(IRn) temos que eX e invertıvel, com (eX)−1 = e−X .
Capıtulo 2
Diferenciabilidade
2.1 Definicao: diferenciabilidade de uma aplicacao
Definicao 2.1. Uma aplicacao f : U → IRn , definida no aberto U ⊂ IRm diz-se diferenciavel
no ponto a ∈ U quando existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo
v ∈ IRm com a + v ∈ U , temos
f(a + v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
A diferenciabilidade de f no ponto a significa que podemos obter uma “boa aproximacao
linear”para f numa vizinhanca de a. Essa boa aproximacao de f(a+ v) por f(a)+T (v) numa
vizinhanca de a e expressa pela condicao limv→0
r(v)
‖v‖= 0.
Pondo ρ(v) =r(v)
‖v‖se v 6= 0 e ρ(0) = 0 , podemos exprimir a diferenciabilidade de f no
ponto a por:
f(a + v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0
ρ(v) = 0
Alguns resultados imediatos:
Seja f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U .
Entao existe uma transformacao linear T : IRm → IRn tal que, para todo v ∈ IRm com
a + v ∈ U :
f(a + v) = f(a) + T (v) + ρ(v) · ‖v‖ com limv→0
ρ(v) = 0
25
26 CAPITULO 2
(A) f e contınua em a
Antes do proximo resultado apresentaremos o conceito de derivada direcional.
Seja f : U → IRn definida num aberto U ⊂ IRm.
A derivada direcional de f num ponto a ∈ U , relativamente a um vetor v ∈ IRm e, por
definicao:∂f
∂v(a) = lim
t→0
f(a + tv)− f(a)
t∈ IRn quando existir tal limite
Se f = (f1, f2, . . . , fn) , onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de
f , entao∂f
∂v(a) =
(∂f1
∂v(a) , . . . ,
∂fn
∂v(a)
)
Quando v = ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm, escrevemos∂f
∂xj
(a).
(B) T (v) =∂f
∂v(a) ∀ v ∈ IRm
Diferenciabilidade 27
Consequencias de (B):
(i) A derivada direcional de f em a , se f e diferenciavel em a, depende linearmente do
vetor relativamente ao qual e considerada.
(ii) A transformacao linear T : IRm → IRn que da a boa aproximacao para f perto de
a e unica e chamada a derivada de f no ponto a , que indicaremos por f ′(a) ou Df (a).
(iii) Podemos obter a matriz que representa a transformacao linear f ′(a) em relacao as
bases canonicas de IRm e IRn, que sera uma n×m matriz chamada a matriz jacobiana de f
no ponto a e indicada por Jf(a). Sua j-esima coluna e dada por
f ′(a).ej = T (ej) =∂f
∂xj
(a) =
(∂f1
∂xj
(a) , . . . ,∂fn
∂xj
(a)
)∈ IRn
onde ej e o j-esimo vetor da base canonica do IRm (j = 1, 2, . . . ,m).
Entao:
Jf(a) = [f ′(a)] =
∂f1
∂x1
(a)∂f1
∂x2
(a) . . .∂f1
∂xm
(a)
∂f2
∂x1
(a)∂f2
∂x2
(a) . . .∂f2
∂xm
(a)
......
...
∂fn
∂x1
(a)∂fn
∂x2
(a) . . .∂fn
∂xm
(a)
(C) Temos: f(a + v) = f(a) + f ′(a)(v) + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
Se f = (f1, f2, . . . , fn) e r = (r1, r2, . . . , rn) , a condicao acima e equivalente a
fi(a + v) = fi(a) +
[∂fi
∂x1
(a)∂fi
∂x2
(a) . . .∂fi
∂xm
(a)
]· v + ri(v) com lim
v→0
ri(v)
‖v‖= 0
para todo ∀ i = 1, 2, . . . , n.
Temos entao o ...
28 CAPITULO 2
Teorema 2.2. A aplicacao f : U → IRn e diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se,
cada uma das suas funcoes coordenadas f1, f2, . . . , fn : U → IR e diferenciavel em a.
Corolario 1. A aplicacao f = (g, h) : U → IRn × IRp , dada por f(x) = (g(x), h(x)) e
diferenciavel no ponto a ∈ U se, e somente se, cada uma das aplicacoes g : U → IRn e
h : U → IRp e diferenciavel em a.
Em caso afirmativo, temos: f ′(a) = (g′(a), h′(a)) : IRm → IRn × IRp.
2.2 Exemplos de aplicacoes diferenciaveis
A) Aplicacoes constantes: Uma aplicacao constante e diferenciavel em todo ponto e sua
derivada em qualquer ponto e a transformacao linear nula O .
B) Transformacoes lineares: Qualquer transformacao linear T : IRm → IRn e diferen-
ciavel em todos os pontos a ∈ IRm e DT (a) = T ′(a) = T ∀ a ∈ IRm.
C) Aplicacoes bilineares: Qualquer aplicacao bilinear ϕ : IRm×IRn → IRp e diferenciavel
em cada ponto (a, b) ∈ IRm × IRn e ϕ′(a, b) = Dϕ(a, b) : IRm × IRn → IRp e a transformacao
linear dada por:
ϕ′(a, b) (v, w) = ϕ(v, b) + ϕ(a, w) ∀ (v, w) ∈ IRm × IRn
Diferenciabilidade 29
D) Aplicacoes k-lineares: Qualquer aplicacao k-linear µ : IRm1× IRm2× . . .× IRmk → IRp
e diferenciavel em cada ponto (a1, a2, . . . , ak) e
Dµ(a1, . . . , ak) (v1, . . . , vk) = µ(v1, a2, . . . , ak) + µ(a1, v2, a3, . . . , ak)+. . .+ µ(a1, . . . , ak−1, vk)
Exemplo: det : IRn2
= IRn × IRn × . . .× IRn → IR e n-linear e portanto e diferenciavel em
cada n× n matriz real A. Dada A = (A1, A2, . . . , An) , onde cada Ai = (ai1 ai2 . . . ain) e
a i-esima linha de A, temos que det′(A) : IRn2 → IR e a transformacao linear dada por
det′(A)(V ) =n∑
i=1
det(A1, . . . , Ai−1, Vi, Ai+1, . . . , An) ∀ n× n matriz real V
30 CAPITULO 2
E) A derivada da “analise na reta” :
Sejam f : U (aberto) ⊂ IR → IR e a ∈ U .
Dizemos que existe a derivada de f em a quando existir o limite
limt→0
f(a + t)− f(a)
t= f ′(a) ∈ IR
Ja vimos que f e derivavel em a se, e somente se, existir uma constante c ∈ IR tal que,
para todo t ∈ IR onde a + t ∈ U , tenhamos
f(a + t) = f(a) + c · t + r(t) com limt→0
r(t)
t= 0
Em caso afirmativo, temos ainda que f ′(a) = c.
Se considerarmos a transformacao linear T : IR → IR dada por T (x) = c.x ∀x ∈ IR e
observarmos que limt→0
r(t)
t= 0 ⇔ lim
t→0
r(t)
|t|= 0 podemos entao concluir que
f e derivavel em a ⇔ f e diferenciavel em a
F) Caminhos diferenciaveis:
Um caminho em IRn e uma aplicacao f : I → IRn cujo domınio e um intervalo I ⊂ IR.
O vetor velocidade (vetor tangente) do caminho f : I → IRn em um ponto a ∈ int I e
definido por:
df
dt(a) = lim
t→0
f(a + t)− f(a)
t∈ IRn desde que esse limite exista
Diferenciabilidade 31
Temos f = (f1, f2, . . . , fn) , fi : I → IR , i = 1, 2, . . . , n.
O caminho f possui vetor velocidade em um ponto a se, e somente se, cada fi for derivavel
(ou seja, diferenciavel) em a. Isto ocorrera portanto se, e somente se, f for diferenciavel em
a. (ver teorema 2.2).
Teremos, em caso afirmativo:
df
dt(a) =
df1
dt(a)
...
dfn
dt(a)
=
f ′1(a)
...
f ′n(a)
que pode ser “visto” tanto como um vetor em IRn (o vetor velocidadedf
dt(a) de f em a)
quanto como uma transformacao linear de IR em IRn (a derivada de f em a, dada por
f ′(a)(t) =df
dt(a) · t ).
Aplicacao: Dada uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn diferenciavel em a ∈ U ,
tentaremos obter, via caminhos, uma interpretacao para f ′(a)(v) , onde v ∈ IRm.
Dado v ∈ IRm, consideremos um caminho α : (−ε, ε) → U ⊂ IRm dado por
α(t) = a + tv
Temos que ∃ dα
dt(0) = lim
t→0
α(0 + t)− α(0)
t= lim
t→0
a + tv − a
t= v (v e o vetor veloci-
dade de α em t = 0)
Geometricamente, a imagem do caminho α e uma curva (neste caso um segmento de reta)
em U , passando pelo ponto a e tendo v como vetor tangente em a.
Vamos agora olhar para o caminho γ = f α : (−ε, ε) → f(U) ⊂ IRn , correspondente a
aplicacao de f ao caminho α (composicao).
Geometricamente, a imagem do caminho γ e uma curva em f(U) , passando por f(a).
Temos:
∃ dγ
dt(0) = lim
t→0
(f α)(t)− (f α)(0)
t= lim
t→0
f(a + tv)− f(a)
t=
∂f
∂v(a) = f ′(a)(v)
32 CAPITULO 2
Portanto, f ′(a)(v) e o vetor velocidade de γ em t = 0 (geometricamente, e o vetor tangente
a imagem de γ, em f(a) ):
2.3 Funcoes reais de m variaveis
Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao real de m variaveis definida num aberto U ⊂ IRm.
Temos: f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existe uma transformacao linear
T : IRm → IR (funcional linear) tal que, sempre que a + v ∈ U , temos:
f(a + v) = f(a) + T (v) + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
Em caso afirmativo, temos T = f ′(a) ∈ (IRm)∗ , derivada de f em a.
Equivalentemente, f e diferenciavel em a ∈ U se, e somente se, existirem constantes
A1, A2, . . . , Am tais que, para todo v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a + v ∈ U , tem-se:
f(a + v) = f(a) + A1v1 + A2v2 + . . . + Amvm + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
Como Jf(a) =
[∂f
∂x1
(a)∂f
∂x2
(a) . . .∂f
∂xm
(a)
], chegamos a outra definicao equivalente:
f e diferenciavel em a ∈ U se, e so se, existirem as derivadas parciais∂f
∂x1
(a), . . . ,∂f
∂xm
(a)
e, para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm com a + v ∈ U tivermos
f(a + v) = f(a) +∂f
∂x1
(a).v1 + . . . +∂f
∂xm
(a).vm + r(v) com limv→0
r(v)
‖v‖= 0
Diferenciabilidade 33
A diferencial
Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IR uma funcao diferenciavel em a ∈ U .
Sua derivada f ′(a) , em a, e uma transformacao linear f ′(a) : IRm → IR, ou seja, um
funcional linear sobre IRm, que denotaremos por df(a) e chamaremos a diferencial de f
no ponto a:
df(a) = f ′(a) : IRm → IR , df(a) ∈ (IRm)∗
Para todo vetor v = (v1, v2, . . . , vm) ∈ IRm, temos: df(a)(v) =∂f
∂v(a) =
m∑j=1
∂f
∂xj
(a).vj
Nosso interesse agora sera, uma vez que df(a) ∈ (IRm)∗, exprimir df(a) como combinacao
linear de funcionais que formem uma base de (IRm)∗. Para tal, utilizaremos a base dual da
base canonica de IRm:
Sejam B = e1, e2, . . . , em a base canonica do IRm e B∗ sua base dual, em (IRm)∗.
Temos B∗ = π1, π2, . . . , πm , onde πj : IRm → IR e dado por πj(x1, . . . , xm) = xj , para
todo j = 1, 2, . . . ,m (πj e a projecao na j-esima coordenada).
E comum denotarmos πj por xj . Logo B∗ = x1, x2, . . . , xm (aqui cada xj e um
funcional linear).
Para todo j = 1, . . . ,m temos que xj = πj : IRm → IR e uma transformacao linear, logo
diferenciavel em todos os pontos de IRm e sua derivada (diferencial) em cada ponto e a propria
transformacao linear xj .
Portanto: xj = dxj(x) ∀ x ∈ IRm, ∀ j = 1, . . . ,m. Logo escreveremos xj = dxj , para
todo j = 1, . . . ,m.
Assim, B∗ = dx1, dx2, . . . , dxm e a base dual da base canonica do IRm.
Para todo j = 1, . . . ,m temos: df(a)(ej) =∂f
∂xj
(a) e pela relacao entre B e B∗ , temos:
df(a) =∂f
∂x1
(a).dx1 +∂f
∂x2
(a).dx2 + . . . +∂f
∂xm
(a).dxm
Conseguimos portanto escrever df(a) como combinacao linear dos funcionais da base B∗
(que sao tambem diferenciais), dual da base canonica B de IRm.
34 CAPITULO 2
Uma util condicao suficiente
Teorema 2.3. Se uma funcao f : U (aberto) ⊂ IRm → IR possui derivadas parciais em todos
os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e cada uma delas e contınua no ponto a ∈ U , entao
f e diferenciavel em a.
Diferenciabilidade 35
Um exemplo interessante
Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua definida num aberto U ⊂ IR2.
Considere o conjunto S = gr f = (x, y, f(x, y)); (x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f).
Seja g : U → S a aplicacao dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)).
Temos g = (g1, g2, g3) , sendo suas funcoes coordenadas dadas por:
g1(x, y) = x , g2(x, y) = y , g3(x, y) = f(x, y)
Ja vimos que g e um homeomorfismo de U em S, ou seja, S e topologicamente identico a
um “pedaco” U do plano (S e uma superfıcie).
Consideremos agora f diferenciavel em a ∈ U .
E imediato entao que g e diferenciavel em a (olhe para as funcoes coordenadas de g).
Fixemos v ∈ IR2.
O caminho α : (−ε, ε) → U dado por α(t) = a + tv e geometricamente um segmento de
reta passando por a e tem v como um vetor tangente em a (vetor velocidade em t = 0)
Temos entao (veja Aplicacao do exemplo F) que g α : (−ε, ε) → S e um caminho cuja
imagem e uma curva em S, passando por g(a) e tendo neste ponto g′(a)(v) como vetor tan-
gente:
36 CAPITULO 2
Procedendo desta forma para cada vetor v ∈ IR2, temos que g′(a)(v) fornece um vetor
tangente a uma curva na superfıcie S, no ponto g(a)
Vamos dar uma olhada para
Jg(a) = [g′(a)] =
∂g1
∂x(a)
∂g1
∂y(a)
∂g2
∂x(a)
∂g2
∂y(a)
∂g3
∂x(a)
∂g3
∂y(a)
=
1 0
0 1
∂f
∂x(a)
∂f
∂y(a)
(matriz de g′(a) em relacao as bases canonicas)
Temos que a dimensao da imagem de g′(a) e igual a 2 e portanto o conjunto dado por
Tg(a)(S) =g(a) + g′(a)(v), v ∈ IR2
e um plano (plano tangente ao grafico S de f em
g(a) = (a, f(a)) ).
Diferenciabilidade 37
2.4 Exercıcios
1. (Derivadas direcionais) Sendo f ′(x)(h) = limt→0
f(x + th)− f(x)
te admitindo a existencia
das derivadas em questao, calcule:
a) f ′(z)(h), com z = (4,−1), h = (1, 2) e f : IR2 → IR2 dada por f(x) = (x2 + y, x + y2).
b) ϕ′(x)(v), onde x, v ∈ IRm sao vetores quaisquer e ϕ : IRm → IR e definida por
ϕ(x) = f(x).g(x), sendo f, g : IRm → IR funcionais lineares.
c) ξ′(x)(h), onde h ∈ IRm e um vetor arbitrario e ξ : U → IR e definida do seguinte modo
no aberto U ⊂ IRm : sao dadas f, g : U → IRp diferenciaveis e ξ(x) = < f(x), g(x) > , para
todo x ∈ U , e o produto interno dos vetores f(x) e g(x).
2. (Diferenciabilidade) Seja E o espaco das matrizes n× n (se achar conveniente, identifique
E com IRn2
). Defina f : E → E pondo f(X) = X3 para cada matriz X. Mostre que f e
diferenciavel em todos os pontos de E (use o metodo do exercıcio anterior para determinar o
candidato a f ′(X)).
3. (Diferenciabilidade) Sejam U ⊂ IRm e f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U ,
com f(a) = g(a). Mostre que f ′(a) = g′(a) se, e so se, limv→0
f(a + v)− g(a + v)
‖v‖= 0.
4. (Diferenciabilidade e matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR4 dada por
f(x, y, z) = (x2 − y2, xy, xz, zy)
a) Prove que f e diferenciavel em todos os pontos de IR3 e calcule sua matriz jacobiana.
b) Mostre que a derivada f ′(x, y, z) : IR3 → IR4 e uma transformacao linear injetora, exceto
no eixo Oz (isto e, para x = y = 0).
c) Determine a imagem de f ′(0, 0, z) : IR3 → IR4.
5. (Derivada) Seja f : U → IRn diferenciavel no aberto U ⊂ IRm. Se, para algum b ∈ IRn, o
conjunto f−1(b) possui um ponto de acumulacao a ∈ U entao f ′(a) : IRm → IRn nao e injetiva.
6. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR2 → IR3 dada por
f(x, y) = (x2, y2, (x + y)2)
Mostre que f ′(x, y) : IR2 → IR3 tem posto 2, exceto na origem (isto e, f ′(x, y)(e1) e f ′(x, y)(e2)
sao linearmente independentes salvo quando x = y = 0).
7. (Derivada) Seja f : IRm → IRm diferenciavel, com f(0) = 0. Se a transformacao linear f ′(0)
nao tem valor proprio 1 entao existe uma vizinhanca V de 0 em IRm tal que f(x) 6= x para
todo x ∈ V − 0.
38 CAPITULO 2
8. (Derivada; matriz Jacobiana) Seja f : IR3 → IR3 dada por
f(x, y, z) = (x + y + z, x2 + y2 + z2, x3 + y3 + z3)
Mostre que f ′(x, y, z) : IR3 → IR3 e uma aplicacao biunıvoca, salvo se duas das coordenadas
x, y, z sao iguais.
9. (Diferenciabilidade) Seja E = IRn2
o espaco vetorial formado pelas matrizes n × n. Indi-
cando com X∗ a transposta de uma matriz X, considere a aplicacao f : E → E definida por
f(X) = XX∗. Descreva a derivada f ′(X) : E → E. Mostre que f ′(X)(H) e simetrica, para
cada H ∈ E e que se X e ortogonal (isto e, X∗ = X−1) entao, para toda matriz simetrica S,
existe pelo menos uma matriz H tal que f ′(X)(H) = S.
10. (Maximos e mınimos relativos interiores) Seja U ⊂ IRm aberto. Se f : U → IR atinge um
maximo (ou mınimo) relativo no ponto x ∈ U , e f e diferenciavel no ponto x, entao f ′(x) = 0
(transformacao linear nula).
11. (Condicoes necessarias, nao suficientes) Obtenha aplicacoes f : U(aberto)⊂ IRm → IRn
tais que:
a) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas nao existem todas as derivadas
direcionais (f nao e diferenciavel neste ponto).
b) Existem todas as derivadas parciais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto
(f nao e diferenciavel neste ponto).
c) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto mas f nao e contınua nesse ponto
(f nao e diferenciavel neste ponto).
d) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse
ponto, mas a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, nao depende
linearmente de v (f nao e diferenciavel neste ponto).
e) Existem todas as derivadas direcionais de f em um ponto a ∈ U , f e contınua nesse ponto,
a derivada direcional de f em a, relativamente a um vetor v ∈ IRm, depende linearmente de v,
mas f nao e diferenciavel neste ponto.
12. (Derivada do determinante) Seja E = IRn2
o espaco vetorial das matrizes n× n. Sabemos
que a funcao determinante det : E → IR e diferenciavel em toda matriz A ∈ E (ver exemplo
D nas notas de aula). Verifique, para as matrizes 4× 4, a validade da expressao
∂ det
∂xij
(A) = (−1)i+j det A[i,j], onde A[i,j] e a n−1×n−1 matriz obtida eliminando-se a i-esima
linha e a j-esima coluna da matriz A (a expressao foi obtida tambem no exemplo D), escolhendo
uma variavel xij.
Diferenciabilidade 39
13. (Caminhos diferenciaveis) Determine as equacoes parametricas das retas tangentes as
seguintes curvas em IR3 nos pontos especificados:
a) g : t → (x, y, z) = (t, t2, t3) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.
b) f : t → (x, y, z) = (t− 1, t2, 2) nos pontos correspondentes a t = 0 e t = 1.
c) h : t → (x, y, z) = (2 cos t, 2 sen t, t) nos pontos correspondentes a t = π/2 e t = π.
14. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema de obter um caminho
y = y(t) : I ⊂ IR → IRp tal que:
y(n)(t) = F (t, y(t), y′(t), y′′(t), ..., y(n−1)(t))
y(0) = η1
y′(0) = η2
...
y(n−1)(0) = ηn
Sao dados
F : IRnp+1 → IRp
η1, η2, ..., ηn ∈ IRp
Mostre que podemos resolver este problema resolvendo um sistema de equacoes de primeira
ordem, que equivale ao problema da forma:
x′1(t) = f1(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
x′2(t) = f2(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
...
x′n(t) = fn(t, x1(t), x2(t), ..., xn(t))
x1(0) = η1
x2(0) = η2
...
xn(0) = ηn
x1, x2, ..., xn : I ⊂ IR → IRp
Sao dados
f1, f2, ..., fn : IRnp+1 → IRp
η1, η2, ..., ηn ∈ IRp
Mostre agora que podemos reduzir o problema acima a um outro, na forma:
x′(t) = f(t, x(t))
x(0) = η0
x : I ⊂ IR → IRnp
Sao dados
f : IRnp+1 → IRnp
η0 ∈ IRnp
Finalmente, se quisermos, podemos ainda reduzir o problema acima a um outro, autonomo
(“independente” de t):w′(t) = g(w(t))
w(0) = ηw : I ⊂ IR → IRnp+1
Sao dados
g : IRnp+1 → IRnp+1
η ∈ IRnp+1
40 CAPITULO 2
15. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Usando a ideia do exercıcio anterior, reduza cada pro-
blema abaixo a um formado por uma unica equacao de primeira ordem:
a) y′′ + y′2 = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR
b) (1− t2)y′′ − 2ty′ + 2y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y = y(t) : I ⊂ IR → IR
c) y′′′ − 2y′′ + 3y′ − y = 0, y(0) = a, y′(0) = b, y′′(0) = c, y = y(t) : I ⊂ IR → IR
16. (Caminhos diferenciaveis, EDOs) Consideremos o problema:x′(t) = f(t, x(t))
x(0) = x0
Sao dados
f : IRn+1 → IRn, contınua
x0 ∈ IRn
a) Mostre que x = x(t) : I ⊂ IR → IRn e solucao do problema acima se, e somente se:
x(t) = x0 +
∫ t
0
f(s, x(s)) ds , para todo t ∈ I
b) Um importante resultado (Teorema de Picard) assegura que, se f e lipschitziana em relacao
a variavel x (existe uma constante k > 0 tal que ||f(t, x)− f(t, y)|| ≤ k ||x− y||, para todos
(t, x), (t, y) ) numa vizinhanca de (0, x0) entao existe uma solucao para o problema acima,
definida numa vizinhanca de t = 0 de modo unico. Mais ainda, o Teorema de Picard fornece
uma sequencia de caminhos x1, x2, ... : I → IRn que converge para a solucao, sequencia esta
dada por:
x1(t) = x0 , x2(t) = x0 +
∫ t
0
f(s, x1(s))ds , ..., xn+1(t) = x0 +
∫ t
0
f(s, xn(s))ds ,...
Use a sequencia acima para obter a unica solucao x = x(t) : IR → IRn do problema:x′(t) = A(x(t)) (x′ = Ax)
x(0) = x0
A : IRn → IRn, linear, n× n matriz de coef. constantes
x0 ∈ IRn
OBS.: Boas justificativas para o estudo de sistemas lineares de coeficientes constantes
x′ = Ax se encontram nao so no fato de que uma serie de problemas sao desta natureza,
bem como em um outro resultado importante, o Teorema de Hartman, que de um certo modo
diz que, dado um problema x′ = f(x), f ∈ C1 (note que f nao e necessariamente linear), se
x0 e ponto singular (f(x0) = 0) e os autovalores de Df(x0) tem todos parte real nao nula
(neste caso x0 e dito ser um ponto singular hiperbolico), entao o comportamento das solucoes
x = x(t) numa vizinhanca de x0 pode ser aproximado pelo comportamento das solucoes do
sistema linear x′ = Df(x0)x (repare que este e linear) numa vizinhanca de 0 (origem do IRn).
Diferenciabilidade 41
17. (Funcoes reais de m variaveis) Mostre que se uma funcao f : U(aberto)⊂ IRm → IR possui
derivadas parciais em todos os pontos de uma vizinhanca de a ∈ U e m−1 delas sao contınuas
no ponto a, entao f e diferenciavel em a.
18. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Seja f : U ⊂ IR2 → IR uma funcao contınua
definida num aberto U ⊂ IR2. Tomando S = (x, y, f(x, y))|(x, y) ∈ U ⊂ IR3 (grafico de f),
sabemos que g : U → S dada por g(x, y) = (x, y, f(x, y)) e um homeomorfismo entre U e S
(de uma olhada na Secao 2.3). Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ U entao e imediato que
g tambem e diferenciavel em a e sabemos que existe o Plano Tangente a S (grafico de f) no
ponto g(a): Tg(a)(S).
Seja f : IR2 → IR a funcao dada por f(x, y) = x2 + y2.
Faca um esboco de S (grafico de f).
Fixemos um ponto a ∈ IR2, digamos a = (2, 1). Dado um vetor v ∈ IR2, consideremos o
caminho γ = γ(t) : IR → IR2 dado por γ(t) = a + tv (geometricamente a imagem de γ e uma
reta em IR2, passando por a e tendo em a vetor tangente igual a v). Sabemos que (g γ)(IR)
e uma curva em S (lembremos que g(x, y) = (x, y, f(x, y)), conforme acima) e que o vetor
tangente a (g γ)(IR) no ponto g(a), dado por (g γ)′(0) = g′(a)(v), e um vetor tangente a S
em g(a) (g(a) + g′(a)(v) ∈ Tg(a)(S)).
Dados os vetores v1 = e1 = (1, 0), v2 = e2 = (0, 1), v3 = (2, 1), v4 = (1, 3), v5 = (3,−2)
em IR2, utilizando a Matriz Jacobiana de g em a = (2, 1), calcule g′(a)(vi), i = 1, ..., 5 (alguns
vetores tangentes a S em g(a) = (2, 1, 5)), faca um esboco considerando os vetores tangentes
g′(a)(v1) e g′(a)(v2) e finalmente verifique que todos esses cinco vetores tangentes a S em
g(a) = (2, 1, 5) sao coplanares, como era de se esperar.
19. (Graficos de funcoes, planos tangentes) Com as mesmas consideracoes do exercıco anterior
para uma funcao f : U ⊂ IR2 → IR definida num aberto U ⊂ IR2, determine os Planos
Tangentes a S (grafico de f) nas situacoes abaixo (faca os esbocos):
a) f1(x, y) = x2 + y2 . Determine T(0,0,f1(0,0))(S) e T(1,2,f1(1,2))(S) .
b) f2(x, y) = x2 − y2 . Determine T(0,0,f2(0,0))(S) e T(1,2,f2(1,2))(S) .
c) f3(x, y) = (4− (x2 + y2))1/2
. Determine T(0,0,f3(0,0))(S) e T(1,1,f3(1,1))(S) .
42 CAPITULO 2
2.5 A Regra da Cadeia
Teorema 2.4. (Regra da Cadeia) Sejam U ⊂ IRm e V ⊂ IRn conjuntos abertos,
f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel no ponto a ∈ U , com f(U) ⊂ V e g : V → IRp
uma aplicacao diferenciavel no ponto b = f(a) ∈ V .
Entao a aplicacao composta g f : U → IRp e diferenciavel no ponto a e temos ainda que
(g f)′(a) = g′(b) f ′(a) : IRm → IRp
Diferenciabilidade 43
Algumas consequencias:
(A) Interpretacao geometrica para f ′(a)(v):
Corolario 1. Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel em a ∈ U . Dado v ∈ IRm,
seja α : (−ε, ε) → U um caminho em U , diferenciavel em t = 0 (existe vetor velocidade em
t = 0), com α(0) = a e α′(0) = v.
Entao f ′(a)(v) e o vetor velocidade do caminho f α : (−ε, ε) → IRn em t = 0 (geometri-
camente e o vetor tangente a curva (f α) (−ε, ε) em f(a) ).
(B) Derivada da aplicacao inversa:
Corolario 2. Seja f : U → IRn diferenciavel em a ∈ U ⊂ IRm e suponha que f admite uma
inversa g = f−1 : V → IRm , V ⊂ IRn (f(U) = V, g(V ) = U, f g = idV e g f = idU)
que e diferenciavel no ponto b = f(a).
Entao f ′(a) : IRm → IRn e um isomorfismo cujo inverso e g′(b) : IRn → IRm e em particular
temos que m = n.
44 CAPITULO 2
(C) Regra da Cadeia e derivadas parciais:
Corolario 3. No teorema anterior, suponha f = (f1, f2, . . . , fn) e g = (g1, g2, . . . , gp).
Entao para cada i = 1, . . . , p e j = 1, . . . ,m , temos:
∂(gi f)
∂xj
(a) =n∑
k=1
∂gi
∂yk
(b) · ∂fk
∂xj
(a)
(D) Regras de diferenciacao:
Corolario 4. Sejam f, g : U → IRn diferenciaveis no ponto a ∈ U (aberto) ⊂ IRm e λ um
numero real. Entao:
f + g : U → IRn e diferenciavel em a , com (f + g)′(a) = f ′(a) + g′(a)
λf : U → IRn e diferenciavel em a , com (λf)′(a) = λ · f ′(a)
Se ϕ : IRn × IRn → IRp e uma aplicacao bilinear entao a aplicacao ϕ(f, g) : U → IRp ,
definida por x 7→ ϕ(f(x), g(x)) e diferenciavel no ponto a , com
[ϕ(f, g)] ′(a)(v) = ϕ (f ′(a)(v), g(a)) + ϕ (f(a), g′(a)(v))
Diferenciabilidade 45
Algumas aplicacoes:
(i) “Derivada do produto”: Sejam f, g : U ⊂ IR → IR diferenciaveis (derivaveis) em
a ∈ U . Entao fg : U → IR dada por fg(x) = f(x) · g(x) e derivavel em a com
(fg) ′(a) = f ′(a) · g(a) + f(a) · g′(a)
(ii) Seja f : IRm → IR dada por f(x) = ‖x‖2 = < x, x > . Entao
f ′(a)(v) = 2 < v, a > ∀ v, a ∈ IRm
(iii) Seja n : IRm → IR dada por n(x) = ‖x‖ = < x, x >1/2 (norma proveniente de um
produto interno). Entao
n′(a)(v) =< v, a >
< a, a >1/2∀ v ∈ IRm, a 6= 0 ∈ IRm
46 CAPITULO 2
2.6 Teorema/Desigualdade do valor medio
Tentaremos agora generalizar o Teorema do Valor Medio de Lagrange, estudado no
curso de analise na reta.
Teorema 2.5. (Generalizacao do TVM de Lagrange da “Analise na Reta”)
Seja f : U ⊂ IRm → IR diferenciavel em todos os pontos do segmento de reta aberto
(a, a + v) = a + tv , 0 < t < 1 ⊂ U e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado
[a, a + v] ⊂ U seja contınua.
Entao existe t0 ∈ (0, 1) tal que f(a + v)− f(a) = f ′(a + t0v)(v)
OBS.: Apesar de conseguirmos acima generalizar o Teorema do Valor Medio de La-
grange para funcoes (contradomınio = IR), o mesmo nao pode ser feito para aplicacoes
f : U ⊂ IRm → IRn em geral, conforme ilustra o contra-exemplo abaixo.
Contra-Exemplo:
Seja f : IR → IR2 a aplicacao (caminho) dada por f(t) = (cos t, sen t) ∀ t ∈ IR
Para todo t ∈ IR , temos: f ′(t) = (− sen t, cos t) 6= (0, 0)
Agora f(2π)− f(0) = (0, 0) 6= f ′(t).2π ∀ t ∈ IR
OBS.: Conforme veremos a seguir, o teorema do valor medio, quando temos uma aplicacao
f : U ⊂ IRm → IRn , n > 1, aparece sob a forma de desigualdade.
Isto nao impede que dele seja extraıda uma serie de resultados significativos, conforme
veremos adiante.
Diferenciabilidade 47
Teorema 2.6. (“Versao fraca” da Desigualdade do Valor Medio)
Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de
reta aberto (a, a + v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a + v] ⊂ U seja
contınua.
Entao existem uma constante real θ > 0 e um ponto ci0 ∈ (a, a + v) tais que
‖f(a + v)− f(a)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ θ. ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖
Em particular, se ‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ (a, a + v) , temos
‖f(a + v)− f(a)‖ ≤ θ.M. ‖v‖ se ‖f ′(x)‖ ≤ M
48 CAPITULO 2
Teorema 2.7. (“Versao completa” da Desigualdade do Valor Medio)
Dado U ⊂ IRm , aberto, seja f : U → IRn diferenciavel em cada ponto do segmento de
reta aberto (a, a + v) e tal que sua restricao ao segmento de reta fechado [a, a + v] ⊂ U seja
contınua.
Se ‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ (a, a + v) entao ‖f(a + v)− f(a)‖ ≤ M. ‖v‖.
Demonstracao: veja em Lima, E.L. - Analise no Espaco IRn - Capıtulo 5, Teorema 2, pag.
27 (1a Edicao).
OBS.: Se a norma considerada em IRn provem de um produto interno, entao podemos
garantir ainda que existe um ponto ci0 ∈ (a, a + v) tal que
‖f(a + v)− f(a)‖ ≤ ‖f ′(ci0)(v)‖ ≤ ‖f ′(ci0)‖ . ‖v‖
A demonstracao neste caso fica mais simples e pode ser encontrada em Bartle, R.G. - Ele-
mentos de Analise Real - Capıtulo 7 (Secao 40), pags. 329-330 (2a Edicao).
Algumas consequencias:
(A) Uma fonte natural de aplicacoes Lipschitzianas:
Corolario 1. Seja U ⊂ IRm aberto e convexo. Se f : U → IRn e diferenciavel, com
‖f ′(x)‖ ≤ M para todo x ∈ U entao f e Lipschitziana, com ‖f(y)− f(x)‖ ≤ M. ‖y − x‖quaisquer que sejam x, y ∈ U .
OBS.: Para concluırmos que f e Lipschitziana basta a “Versao fraca”(Teo 2.6)
Diferenciabilidade 49
(B) Generalizacao de um resultado canonico:
Corolario 2. Se f : U → IRn e diferenciavel no aberto e conexo U ⊂ IRm e f ′(x) = O
(transformacao linear nula) para todo x ∈ U entao f e constante.
(C) Um lema muito util:
Corolario 3. Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, a + v] ⊂ U e f : U → IRn diferenciavel em cada
ponto do segmento aberto (a, a + v) com f∣∣[a,a+v]
contınua.
Seja T : IRm → IRn uma transformacao linear.
Se ‖f ′(x)− T‖ ≤ M ∀ x ∈ (a, a + v) entao ‖f(a + v)− f(a)− T (v)‖ ≤ M. ‖v‖
50 CAPITULO 2
2.7 Exercıcios
1. (Regra da Cadeia) a) Se f(x, y) = x2 + y2 e g(t) = (3t + 1, 2t− 3), seja F (t) = (f g)(t).
Calcule F ′(t) diretamente e aplicando a Regra da Cadeia.
b) Se f(x, y, z) = xyz e g(s, t) = (3s + st, s, t), seja F (s, t) = (f g)(s, t).
Calcule∂F
∂se
∂F
∂tdiretamente e aplicando a Regra da Cadeia.
2. (Regra da Cadeia) Seja f : U → IRn\ 0 diferenciavel no aberto conexo U ⊂ IRm. A fim de
que seja ‖f(x)‖ =constante, e necessario e suficiente que f ′(x)(v) seja perpendicular a f(x),
para todo x ∈ U e todo v ∈ IRm (considere a norma euclidiana e o produto interno canonico).
3. (Regra da Cadeia) Sejam U(aberto)⊂ IRm e p ∈ IRm\U . Prove que a funcao f : U → IR
dada por f(x) = ‖x− p‖, para todo x ∈ U (funcao distancia a p) e diferenciavel em U e
obtenha df(a)(v) = f ′(a)(v), onde a ∈ U e v ∈ IRm.
4. (Regra da Cadeia: mudanca de coordenadas e EDPs) Suponhamos que se queira obter
solucoes para a equacao da onda :
∂2u
∂t2= c2∂2u
∂x2, onde c ∈ IR, c 6= 0, e u = u(x, t) : U(aberto)⊂ IR2 → IR
Introduzindo a mudanca de variaveis (ξ, η) = m(x, t), onde
ξ = m1(x, t) = x + ct
η = m2(x, t) = x− ct, temos:
(ξ, η) = (x + ct, x− ct) = (m1(x, t), m2(x, t)) = m(x, t)
Fazendo v(ξ, η) = u(x, t), temos u = v m.
Impondo a equacao acima, mostre que chegamos a∂2v
∂ξ∂η= 0 .
Obtenha v = v(ξ, η), solucao geral desta ultima equacao, “volte” atraves da mudanca de
variaveis m para obter u = u(x, t), solucao da equacao inicial, e verifique algumas solucoes
particulares.
5. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm um aberto e f : U → IRn. Suponha que
U contem os pontos a, b e o segmento de reta [a, b] que os une, e que f e diferenciavel em
todo ponto de [a, b]. Mostre que existe uma transformacao linear L : IRm → IRn tal que
f(b)− f(a) = L(b− a).
6. (Desigualdade do valor medio) Sejam U ⊂ IRm aberto, [a, b] ⊂ U, f : U → IRn contınua
em [a, b] e diferenciavel em (a, b). Mostre que para cada y ∈ IRn existe cy ∈ (a, b) tal que
< f(b)− f(a), y > = < f ′(cy)(b− a), y >.
Diferenciabilidade 51
7. (Desigualdade do valor medio) Seja U ⊂ IRm convexo. Dada f : U → IRn diferenciavel,
considere as seguintes afirmacoes:
a) ‖f ′(x)‖ ≤ c para todo x ∈ U ;
b) ‖f(x)− f(y)‖ ≤ c ‖x− y‖ para quaisquer x, y ∈ U ;
c) f e uniformemente contınua ;
d) Para todo x0 ∈ cl U , existe limx→x0
f(x) ;
e) Se U e limitado entao f(U) e limitado.
Mostre que a ⇔ b ⇒ c ⇒ d ⇒ e , mas as demais implicacoes sao todas falsas.
2.8 As classes de diferenciabilidade Ck
A aplicacao derivada e a Classe C1
Seja f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn uma aplicacao diferenciavel.
Definimos a APLICACAO DERIVADA DE f como a aplicacao
f ′ : U → L(IRm; IRn)
x 7→ f ′(x)
Agora questionamos: dado a ∈ U , quando a aplicacao derivada f ′ e contınua em a ?
Para cada x ∈ U vamos identificar f ′(x) com sua Matriz Jacobiana:
Jf(x) =
∂f1
∂x1
(x)∂f1
∂x2
(x) . . .∂f1
∂xm
(x)
∂f2
∂x1
(x)∂f2
∂x2
(x) . . .∂f2
∂xm
(x)
......
...
∂fn
∂x1
(x)∂fn
∂x2
(x) . . .∂fn
∂xm
(x)
onde fi : U → IR (i = 1, . . . , n) sao as funcoes coordenadas de f : f = (f1, f2, . . . , fn).
52 CAPITULO 2
Observamos entao que
∂fi
∂xj
: U → IR
x 7→ ∂fi
∂xj
(x)
i = 1, . . . , n
j = 1, . . . ,m
sao as funcoes coordenadas da aplicacao derivada (de f) f ′ : U → L(IRm; IRn).
Ora, sabemos que uma aplicacao e contınua em um ponto se, e somente se, suas funcoes
coordenadas sao contınuas nesse ponto.
Podemos entao concluir: a aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua em um
ponto a ∈ U se, e somente se, as funcoes∂fi
∂xj
: U → IR sao contınuas em a , para todos
i = 1, . . . , n e j = 1, . . . ,m.
Dizemos que f pertence a classe C1(U) se, e somente se, sua aplicacao derivada
f ′ : U → L(IRm; IRn) e contınua (em todos os pontos de U).
As classes de diferenciabilidade Ck
Definicao 2.8. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e dita ser de classe Ck
(k = 1, 2, . . .) no aberto U ⊂ IRm quando existem e sao contınuas em U todas as derivadas
parciais de ordem ≤ k das funcoes coordenadas de f . Notacao: f ∈ Ck(U) .
Dizemos que f e de classe C0 se f e contınua.
Dizemos que f e de classe C∞ em U quando f ∈ Ck(U) para todo k = 0, 1, 2, . . . .
Obs.: Dizer que f ∈ Ck(U) (k = 1, 2, 3, . . .) equivale a dizer que f e diferenciavel e sua
aplicacao derivada f ′ : U → L(IRm; IRn) e uma aplicacao de classe Ck−1 em U .
Temos, com o estudo das derivadas de ordem superior, que a condicao acima ainda e equiva-
lente a dizer que f e k vezes diferenciavel e sua derivada de ordem k, f (k) , e contınua em U .
O resultado a seguir e um corolario da Regra da Cadeia e fica como exercıcio:
Proposicao 2.9. A composta de duas aplicacoes de classe Ck e tambem de classe Ck.
Diferenciabilidade 53
2.9 O vetor Gradiente
Definicao 2.10. (Vetor Gradiente)
Seja f : U ⊂ IRm → IR uma funcao definida num aberto U ⊂ IRm .
Se f e diferenciavel em um ponto a ∈ U entao existe um unico vetor ua ∈ IRm tal que
df(a)(v) = f ′(a)(v) = < ua, v > para todo v ∈ IRm ,
onde <,> e o produto interno canonico no IRm (Justifique).
Tal vetor ua e chamado o vetor gradiente de f em a, sera denotado por grad f(a) ou ∇af
e e dado por:
grad f(a) =
(∂f
∂x1
(a),∂f
∂x2
(a), ...,∂f
∂xm
(a)
)
Consideremos o caso em que grad f(a) 6= 0 (vetor nulo) e f ∈ C1 .
Podemos obter informacoes interessantes sobre o crescimento de f a partir do ponto a e do
vetor gradiente de f em a.
• O gradiente aponta para uma direcao segundo a qual f e crescente (EXERCICIO).
Os vetores v que apontam para direcoes ao longo das quais a funcao f cresce sao aqueles
tais que∂f
∂v(a) = < grad f(a), v > e positivo, ou seja, sao aqueles que formam um angulo
agudo com grad f(a) ).
• Dentre todas as direcoes ao longo das quais a funcao f cresce, a direcao do gradiente e
a de crescimento mais rapido, ou seja, se v for um vetor tal que ‖v‖ = ‖ grad f(a)‖, entao
∂f
∂v(a) ≤ ∂f
∂ grad f(a)(a) (EXERCICIO).
Veremos (nos exercıcios a seguir) uma terceira e importante propriedade do vetor gradiente.
54 CAPITULO 2
2.10 Exercıcios
1. (Gradiente) Para cada uma das funcoes f : U(aberto)⊂ IR2 → IR dadas abaixo, faca:
a) Um esboco do grafico de f .
b) Considerando um ponto a ∈ U dado, tente, a partir de seu esboco e sem calcular o grad f(a),
descobrir a direcao ao longo da qual f tem o crescimento mais rapido a partir do ponto a dado.
c) Calcule o gradiente de f no ponto a e verifique se sua tentativa na letra b) acima foi bem
sucedida.
i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto a = (1, 2).
ii) f2(x, y) = (4− x2)1/2
no ponto a = (1, 1).
iii) f3(x, y) = (9− (x2 + y2))1/2
no ponto a = (2, 2).
2. (Pontos crıticos, valores regulares, etc.) Seja f : U → IRn uma aplicacao diferenciavel
definida num aberto U ⊂ IRm.
Pontos crıticos de f : dizemos que um ponto a ∈ U e um ponto crıtico de f quando a
derivada f ′(a) : IRm → IRn nao e sobrejetiva. Neste caso dizemos que a imagem f(a) ∈ IRn do
um ponto crıtico a e um valor crıtico de f .
Valores regulares de f : um ponto c ∈ IRn que nao e um valor crıtico de f (ou seja, nao e
imagem por f de nenhum ponto crıtico de f) e dito um valor regular de f .
a) Se f : U ⊂ IRm → IR e uma funcao diferenciavel, entao caracterize seus pontos crıticos.
Um resultado importante (veremos mais tarde) nos garante que se f : U ⊂ IRm → IR e
uma funcao diferenciavel, f ∈ C1(U) (o que equivale a dizer que as derivadas parciais de f sao
contınuas) e c ∈ f(U) e um valor regular de f , entao o conjunto
M = f−1(c) = x ∈ U ; f(x) = c
e uma VARIEDADE DIFERENCIAVEL DE DIMENSAO m− 1, o que significara que:
• M e localmente homeomorfo ao espaco IRm−1
• M e “suave” (sera de classe C1, neste caso)
Dois casos serao de nosso maior interesse:
i) m = 2 : neste caso temos f : U ⊂ IR2 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 1 : M sera uma
curva (de nıvel c)
ii) m = 3 : neste caso temos f : U ⊂ IR3 → IR e M = f−1(c) tera dimensao 2 : M sera uma
superfıcie (de nıvel c)
Diferenciabilidade 55
Por enquanto nos restringiremos ao segundo caso (superfıcies).
b) Para cada uma das superfıcies M dadas abaixo, faca: um esboco de M , verifique as condicoes
para que o resultado acima enunciado possa ser valido e descreva qual a superfıcie dada.
i) f1(x, y, z) = x− 2y + 3z, M1 = f−11 (3)
ii) f2(x, y, z) = x2 + y2 + z2, M2 = f−12 (4)
iii) f3(x, y, z) = x2 + y2 + z, M3 = f−13 (−1)
iv) f4(x, y, z) = x2 + y2, M4 = f−14 (1)
c) Mostre agora que, nas condicoes do resultado apresentado anteriormente, o vetor gradiente
da funcao f no ponto a ∈ M = f−1(c) e perpendicular a variedade M em a, ou seja, para
todo caminho diferenciavel γ : (−ε, ε) → M em M (sua imagem e uma curva contida em M)
passando pelo ponto a ∈ M , o vetor grad f(a) (gradiente de f em a) e perpendicular ao vetor
tangente a curva γ(−ε, ε) em a. Dizemos tambem que o gradiente e perpendicular ao espaco
tangente a M no ponto a (Ta(M), que tem a mesma dimensao de M).
(Sugestao: olhe para a composicao f γ e aplique a Regra da Cadeia)
d) Para cada uma das superfıcies M da letra b) escolha um ponto a ∈ M e tente, sem calcular
o gradiente de f em a obter a direcao do gradiente (visualmente mesmo!). Agora calcule o
gradiente de f em a e verifique a validade da letra c) anterior.
3. (Mais superfıcies) Seja f : U(aberto)⊂ IR2 → IR diferenciavel e tal que f ∈ C1(U).
Ja fizemos uma serie de consideracoes a respeito de S = (x, y, f(x, y)) ; (x, y) ∈ U(grafico de f) (ver Secao 2.3).
a) Mostre, indo na direcao do resultado utilizado no exercıcio anterior, que S e a imagem
inversa de um valor regular c de uma funcao h = h(x, y, z) de classe C1.
Consequencia importante deste fato: o vetor gradiente de h em um ponto b = (a, f(a)) ∈ S
(obtenha grad h(b)) e o vetor normal ao plano tangente a S em b = (a, f(a)) (Tb(S)).
b) Obtenha as equacoes dos planos tangentes aos graficos das seguintes funcoes nos pontos
especificados abaixo (tente fazer um esboco):
i) f1(x, y) = x2 + y2 no ponto b1 = (−1, 3, 10)
ii) f2(x, y) = x2 − y2 no ponto b2 = (0, 2,−4)
iii) f3(x, y) = cos y no ponto b3 = (2, π,−1)
Capıtulo 3
Funcoes implıcitas
3.1 Motivacao: superfıcies regulares no IR3
Definicao 3.1. Um subconjunto S ⊂ IR3 e uma SUPERFICIE REGULAR quando, para
cada ponto p ∈ S existem uma vizinhanca V de p em IR3 e uma aplicacao χ : U → V ∩ S
definida num aberto U ⊂ IR2 tal que:
(1) χ ∈ C∞(U) (χ e “suave”);
(2) χ e um homeomorfismo;
(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.
Observacoes:
Uma aplicacao χ como acima e dita uma PARAMETRIZACAO LOCAL de S em (uma
vizinhanca de) p. Temos χ = χ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) .
(u, v) ∈ U sao ditas COORDENADAS LOCAIS de S em (uma vizinhanca de) p.
Se p = χ(u0, v0) , χ(u0, v) e χ(u, v0) sao ditas CURVAS COORDENADAS por p.
57
58 CAPITULO 3
Dado q ∈ U , temos: Jχ(q) =
∂x
∂u(q)
∂x
∂v(q)
∂y
∂u(q)
∂y
∂v(q)
∂z
∂u(q)
∂z
∂v(q)
Portanto χ′(q) tem posto 2 se, e somente se, χ′(q) e injetora e isto ocorre se, e somente se,
as colunas da matriz acima sao vetores L.I. no IR3 , ou equivalentemente, um dos determinantes
abaixo e nao-nulo em q :
det
[∂(x, y)
∂(u, v)
]=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂x
∂u
∂x
∂v
∂y
∂u
∂y
∂v
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ , det
[∂(y, z)
∂(u, v)
], det
[∂(x, z)
∂(u, v)
]
O teorema seguinte (consequencia do Teorema da Aplicacao Inversa), e bem util para
garantirmos a continuidade da inversa χ−1 : χ(U) → U :
Teorema 3.2. Seja χ : U (aberto)⊂ IR2 → IR3 tal que:
(1) χ ∈ C1(U)
(2) χ : U → χ(U) e BIJECAO;
(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IR2 → IR3 tem posto 2, isto e, χ′(q) e injetora.
Entao χ−1 : χ(U) → U e contınua (o que implica em χ ser um homeomorfismo).
Exemplos:
(A) Todo plano π ⊂ IR3 e uma superfıcie regular.
Funcoes implıcitas 59
(B) Esfera S2 ⊂ IR3. S2 =
(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 + z2 = 1.
Obs.: Nao e possıvel obter uma unica parametrizacao para toda a esfera (global), pois
a esfera e um compacto do IR3 e a parametrizacao deve ser um homeomorfismo entre um
aberto U ⊂ IR2 e sua imagem.
Funcoes implıcitas 61
(C) Cilindro: C =
(x, y, z) ∈ IR3 ; x2 + y2 = 1.
(D) Este exemplo vem sob a forma de proposicao (e um caso geral):
Proposicao 3.3. Seja f : U (aberto) ⊂ IR2 → IR uma funcao “suave”(C∞).
Entao o grafico de f : G = (u, v, f(u, v)) ; (u, v) ∈ U e uma superfıcie regular.
62 CAPITULO 3
3.2 O Teorema da Funcao Implıcita
Teorema 3.4. (Teorema da Funcao Implıcita)
Sejam Ω (aberto) ⊂ IRm×IR = IRm+1 e (a, b) ∈ Ω , de forma que a = (a1, . . . , am) ∈ IRm
e b ∈ IR .
Seja f : Ω → IR uma funcao, f = f(x, y) = f(x1, . . . , xm, y) , tal que
f ∈ Ck(Ω) , f(a, b) = r ∈ IR e∂f
∂y(a, b) 6= 0 .
Entao existem uma bola U = B(a; δ) ⊂ IRm e um intervalo J = (b− ε, b + ε) tais que
1) U × [b− ε, b + ε] ⊂ Ω e∂f
∂y(x, y) 6= 0 para todo (x, y) ∈ U × [b− ε, b + ε] ;
2) Para cada x ∈ U existe um unico y = ξ(x) ∈ J tal que
f(x, y) = f(x, ξ(x)) = r ,
sendo a funcao assim definida ( ξ : U → J ) de classe Ck e suas derivadas parciais em cada
ponto x ∈ U dadas por
∂ξ
∂xi
(x) = −
∂f
∂xi
(x, ξ(x))
∂f
∂y(x, ξ(x))
“Descricao Esquematica”:
64 CAPITULO 3
(E) Finalmente relacionamos superfıcies regulares com o Teorema da Funcao Implıcita:
Proposicao 3.5. Seja f : Ω (aberto) ⊂ IR3 → IR uma funcao “suave”(C∞).
Se r ∈ IR e um VALOR REGULAR de f , ou seja, f−1(r) nao possui pontos crıticos de
f , entao o conjunto S = f−1(r) e uma superfıcie regular.
Funcoes implıcitas 65
Observacao:
No Teorema da Funcao Implıcita nao existe nada de especial em relacao a ultima coorde-
nada (y), alem da simplificacao da escrita na demonstracao.
Em geral: Se em c ∈ Ω temos f(c) = r e∂f
∂xj
(c) 6= 0 , entao existe uma certa vizinhanca
V de c tal que f−1(r) ∩ V e o grafico de uma funcao ξ : U(aberto) ⊂ IRm → IR de classe
Ck, onde xj = ξ(x1, . . . , xj−1, xj+1, . . . , xm, y) para os pontos do grafico dessa funcao ξ .
3.3 Generalizacao: Variedades diferenciaveis
Neste capıtulo foi introduzido o conceito de SUPERFICIE REGULAR no IR3 como mo-
tivacao para o estudo do Teorema da Funcao Implıcita, uma vez que este Teorema se relaciona
fortemente com a obtencao de superfıcies atraves de imagens inversas de valores regulares de
funcoes de IR3 em IR (veja Proposicao 3.5).
Na verdade o conceito de superfıcie regular no IR3 faz parte de uma nocao mais geral, ja
abordada em exercıcios sobre Gradiente (veja final do Capıtulo 2), a qual veremos a seguir.
Definicao 3.6. (Variedades Diferenciaveis)
Um subconjunto M ⊂ IRn e uma VARIEDADE DIFERENCIAVEL DE DIMENSAO m
(m ≤ n ) quando, para cada ponto p ∈ M existem uma vizinhanca V de p em IRn e uma
aplicacao χ : U → V ∩M definida num aberto U ⊂ IRm tal que:
(1) χ ∈ C∞(U) (χ e “suave”);
(2) χ e um homeomorfismo;
(3) Para todo q ∈ U , a derivada χ′(q) : IRm → IRn tem posto m, isto e, χ′(q) e injetora.
66 CAPITULO 3
Observacoes:
1) Comparando as definicoes apresentadas, e facil ver que uma superfıcie regular no IR3 e,
em particular, uma variedade diferenciavel de dimensao 2 no IR3 .
As variedades de dimensao 2 sao geralmente chamadas SUPERFICIES e as de dimensao 1
sao chamadas CURVAS.
2) Assim como utilizamos fortemente o Teorema da Funcao Implıcita para obtermos su-
perfıcies regulares, atraves da Proposicao 3.5 e utilizando funcoes de IR3 em IR , e possıvel
produzir variedades diferenciaveis de dimensao m no IRm+1, quando olhamos imagens inversas
de valores regulares de funcoes de IRm+1 em IR e utilizamos o mesmo Teorema da Funcao
Implıcita.
3) Existe tambem a definicao de variedade de classe Ck, quando na primeira condicao pede-
se que a parametrizacao χ seja apenas de classe Ck em U (k ≥ 1).
4) A terceira condicao na definicao de variedade diferenciavel, que χ′(q) : IRm → IRn seja
uma transformacao linear injetora para todo q ∈ U , confere a chamada REGULARIDADE a
variedade, garantindo a existencia de um ESPACO TANGENTE a variedade em cada um de
seus pontos.
Se a variedade em questao tem dimensao m, entao esse espaco tangente (em cada ponto)
e um espaco vetorial m-dimensional. No caso particular das SUPERFICIES (de dimensao 2)
temos o chamado PLANO TANGENTE em cada um de seus pontos.
3.4 Exercıcios
1. Utilizando a Proposicao 3.5, mostre que os exemplos (A) (PLANO), (B) (ESFERA) e
(C) (CILINDRO) representam superfıcies regulares no IR3 .
2. Consideremos uma circunferencia e uma reta, coplanares e disjuntas, no IR3. Girando
a circunferencia em torno da reta, obtemos um solido de revolucao chamado TORO.
Mostre que o Toro e uma superfıcie regular no IR3 e faca um esboco.
(Sugestao: Use a Proposicao 3.5 e, para simplificar as contas, considere o caso em que a reta
- eixo de rotacao - e um dos eixos cartesianos).
Funcoes implıcitas 67
3. Seja f : U → IR de classe C1 no aberto U ⊂ IRn . Se f nao possui pontos crıticos,
prove que a imagem f(A) de todo aberto A ⊂ U e um conjunto aberto em IR , ou
seja, f e uma “aplicacao aberta”. Conclua que as projecoes πi : IRn → IR , dadas por
πi(x1, x2, . . . , xm) = xi sao aplicacoes abertas.
4. Considerando toda a notacao adotada no Teorema da Funcao Implıcita e os resultados
obtidos no mesmo, exceto as expressoes para as derivadas parciais de ξ , use a Regra da
Cadeia em f(x, ξ(x)) = r ∀ x ∈ B para DEDUZIR as expressoes obtidas paras as derivadas
parciais de ξ .
5. Seja f : IR3 → IR dada por f(x, y, z) = x4 + 2x · cos y + sen z .
Prove que numa vizinhanca de 0 = (0, 0, 0), a equacao f(x, y, z) = 0 define z como funcao
de classe C∞ das variaveis x e y e obtenha as derivadas parciais dessa funcao.
Agora obtenha essa funcao explicitamente e verifique os resultados obtidos acima.
6. Seja f : IR3 → IR dada por f(x, y, z) = x2 · y · z .
Prove que numa vizinhanca de (1, 1, 1), a equacao f(x, y, z) = 1 define x como funcao de
classe C∞ das variaveis y e z e obtenha as derivadas parciais dessa funcao.
Agora obtenha essa funcao explicitamente e verifique os resultados obtidos acima.
7. Seja g : IR5 → IR dada por g(u, v, w, x, y) = uy + vx + w + x6 .
Prove que numa vizinhanca de (2, 1, 0,−1, 0), a equacao g(u, v, w, x, y) = 0 define x como
funcao de classe C∞ das variaveis u, v, w e y, x = ξ(u, v, w, y) , e obtenha grad ξ (2, 1, 0, 0) .
Agora pense como seria difıcil (senao impossıvel !) obter a expressao explıcita da funcao
x = ξ(u, v, w, y) .
Perceba entao a forca do Teorema da Funcao Implıcita ao garantir a existencia de tal funcao
(de classe C∞ !!!), mesmo que nao possamos obter sua expressao explıcita. De “bandeja”,
pudemos tambem obter grad ξ (2, 1, 0, 0) .
8. Prove que a esfera unitaria S[0; 1] no IRm+1 e uma variedade diferenciavel de dimensao
m (por isso usamos a notacao Sm: S1 e a circunferencia unitaria no IR2, S2 e a esfera unitaria
no IR3, etc.).
Capıtulo 4
Derivadas de ordem superior e a
Formula de Taylor
4.1 Inversao na ordem de derivacao: Teorema de Schwarz
Seja f = (f1, f2, . . . , fn) : U(aberto) ⊂ IRm → IRn .
Para todos j = 1, 2, . . . ,m temos as derivadas parciais de 1a ordem (m aplicacoes):
∂f
∂xj
: U → IRn
x 7→ ∂f
∂xj
(x)
Admitindo que cada uma dessas aplicacoes pode ser derivada parcialmente, temos para
todos k, j = 1, 2, . . . ,m as derivadas parciais de 2a ordem (m2 aplicacoes):
∂2f
∂xk∂xj
: U → IRn
x 7→ ∂2f
∂xk∂xj
(x)
(primeiro em relacao a xj e depois em relacao a xk)
Prosseguindo desta forma (se possıvel), temos as derivadas parciais de 3a ordem, de 4a
ordem, etc.
A questao e: Mudancas na ordem de derivacao parcial alteram o resultado ?
Por exemplo:∂2f
∂x1∂x3
=∂2f
∂x3∂x1
?
69
70 CAPITULO 4
Veremos uma condicao suficiente: se as derivadas parciais em questao sao contınuas entao
elas coincidem.
Observacoes:
1) Como∂f
∂xj
=
(∂f1
∂xj
,∂f2
∂xj
, . . . ,∂fn
∂xj
), podemos considerar, sem perda de generali-
dade, f : U(aberto) ⊂ IRm → IR (funcao).
2) Como derivadas parciais de ordem superior a 1 sao sempre tomadas iteradamente
Exemplo:∂3f
∂x1∂x3∂x2
=∂
∂x1
(∂2f
∂x3∂x2
)vamos considerar, novamente sem perda de generalidade, f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR , para
obtermos∂2f
∂y∂x=
∂2f
∂x∂ysob certas condicoes.
O lema tecnico abaixo ira nos ajudar na obtencao do resultado desejado
Lema 4.1. Sejam f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR e (a, b) ∈ U .
Se existem∂f
∂xe
∂2f
∂y∂xem U e
∂2f
∂y∂x: U → IR e contınua em (a, b) entao
∂2f
∂y∂x(a, b) = lim
(h,k)→(0,0)
f(a + h, b + k)− f(a + h, b)− f(a, b + k) + f(a, b)
h · k
Demonstracao:
Seja dado ε > 0 . Como∂2f
∂y∂xe contınua em (a, b) , existe δ > 0 tal que
|h| < δ , |k| < δ ⇒∣∣∣∣ ∂2f
∂y∂x(a + h, b + k) − ∂2f
∂y∂x(a, b)
∣∣∣∣ < ε (I)
Fixemos |k| < δ e definamos para todo |h| < δ :
Bk(h) = f(a + h, b + k)− f(a + h, b)
Como existe∂f
∂xem U , temos que Bk e derivavel e
B′k(z) =
∂f
∂x(a + z, b + k)− ∂f
∂x(a + z, b) (II)
Derivadas de ordem superior e a Formula de Taylor 71
Observemos que A(h, k) = f(a+h, b+k)−f(a+h, b)−f(a, b+k)+f(a, b) = Bk(h)−Bk(0)
e segue portanto do Teorema do Valor Medio de Lagrange que
A(h, k) = B′k(h0) · h , com 0 < |h0| < |h|
Agora, de (II) e novamente do TVML, temos
B′k(h0) =
∂f
∂x(a + h0, b + k)− ∂f
∂x(a + h0, b) =
∂2f
∂y∂x(a + h0, b + k0) · k , com 0 < |k0| < |k|
Assim, obtemos:
A(h, k)
h · k=
∂2f
∂y∂x(a + h0, b + k0) , com
0 < |h0| < |h|0 < |k0| < |k|
(III)
De (I) e (III) temos finalmente:
0 < |h| < δ , 0 < |k| < δ ⇒∣∣∣∣ A(h, k)
h · k− ∂2f
∂y∂x(a, b)
∣∣∣∣ < ε
Finalmente temos o ...
Teorema 4.2. (Schwarz) Sejam f : U(aberto) ⊂ IR2 → IR e (a, b) ∈ U .
Se existem∂f
∂x,
∂f
∂y,
∂2f
∂y∂xem U e
∂2f
∂y∂x: U → IR e contınua em (a, b) , entao
existe∂2f
∂x∂y(a, b) e temos ainda
∂2f
∂x∂y(a, b) =
∂2f
∂y∂x(a, b) .
72 CAPITULO 4
Corolario 1. Se f : U(aberto) ⊂ IRm → IRn e de classe Ck em U entao suas derivadas
parciais ate a ordem k nao dependem da ordem em que sao calculadas.
Observacoes:
1) Seja f : IR2 → IR dada por f(x, y) =xy(x2 − y2)
x2 + y2se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0 .
Temos:∂2f
∂y∂x(0, 0) 6= ∂2f
∂x∂y(0, 0) (faca as contas)
Este exemplo mostra que a simples existencia das derivadas parciais de segunda ordem nao
garante o resultado obtido com o Teorema de Schwarz.
2) Existe uma outra versao do Teorema de Schwarz, pela qual exigimos apenas que f
seja k−vezes diferenciavel (veremos o significado das derivadas de ordem superior na proxima
secao) para garantirmos que as derivadas parciais ate a ordem k nao dependam da ordem em
que sao obtidas, ou seja, as aplicacoes nao precisam ser rigorosamente de classe Ck .
Derivadas de ordem superior e a Formula de Taylor 73
4.2 Derivadas de ordem superior
Vamos comecar estudando as derivadas de segunda ordem...
Definicao 4.3. Dizemos que uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 VEZES
DIFERENCIAVEL no ponto a ∈ U quando existe um aberto V ⊂ IRm , com a ∈ V ⊂ U ,
tal que f e diferenciavel em V (∃ f ′(x) ∀ x ∈ V ) e a aplicacao derivada f ′ : V → L(IRm; IRn)
x 7→ f ′(x)e diferenciavel em a .
Observacoes:
1) Uma aplicacao e diferenciavel num ponto se, e somente se, suas funcoes coordenadas sao
todas diferenciaveis neste ponto.
2) As funcoes coordenadas de f ′ : V → L(IRm; IRn) sao as m.n derivadas parciais
∂fi
∂xj
: V → IR .
Pelas observacoes acima, temos entao a seguinte caracterizacao:
Proposicao 4.4. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 vezes diferenciavel no
ponto a ∈ U se, e somente se, f e diferenciavel numa vizinhanca aberta V de a (V ⊂ U) e
as m.n derivadas parciais∂fi
∂xj
: V → IR sao todas diferenciaveis em a.
Obs.: Fixado v = (v1, . . . , vm) ∈ IRm temos, para cada x ∈ V na proposicao acima:
∂f
∂v(x) = f ′(x)(v) = f ′(x)(v1e1 + . . . + vmem) =
= v1f′(x)(e1) + . . . + vmf ′(x)(em) = v1
∂f
∂x1
(x) + . . . + vm∂f
∂xm
(x)
Conseguimos assim uma nova caracterizacao:
Proposicao 4.5. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 vezes diferenciavel no
ponto a ∈ U se, e somente se, f e diferenciavel numa vizinhanca aberta V de a (V ⊂ U) e,
para cada vetor v ∈ IRm , a derivada direcional∂f
∂v: V → IRn e diferenciavel em a.
Consideremos entao, a partir de agora, uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn , 2
vezes diferenciavel em um ponto a ∈ U .
74 CAPITULO 4
O que e f ′′(a) ?
Como f ′′(a) e a derivada de f ′ : V ⊂ IRm → L(IRm; IRn)x 7→ f ′(x)
no ponto a , temos entao
f ′′(a) : IRm → L(IRm; IRn) (LINEAR), ou seja,
f ′′(a) ∈ L( IRm; L(IRm; IRn) )
Ora, existe um isomorfismo natural entre L( IRm; L(IRm; IRn) ) e o espaco L(2 IRm; IRn)
das aplicacoes BILINEARES de IRm × IRm no IRn .
De fato, dada ϕ ∈ L( IRm; L(IRm; IRn) ) , ϕ pode ser vista como uma aplicacao bilinear
ϕ : IRm × IRm → IRn da seguinte forma:
ϕ(v, w) = [ϕ(v)] (w) ∀ v, w ∈ IRm
E claro que ϕ e bilinear, pois ϕ ∈ L( IRm; L(IRm; IRn) ) .
Voltando a derivada segunda de f no ponto a, tınhamos f ′′(a) ∈ L( IRm; L(IRm; IRn) ) .
Podemos portanto enxergar f ′′(a) ∈ L(2 IRm; IRn) da seguinte forma:
f ′′(a)(v, w) = [f ′′(a)(v)] (w) ∀ v, w ∈ IRm
Portanto f ′′(a) e uma aplicacao bilinear de IRm × IRm no IRn !!!
Uma vez esclarecida a natureza de f ′′(a) , vamos agora tentar enxergar melhor sua atuacao
enquanto aplicacao bilinear.
Dados v, w ∈ IRm , temos:
f ′′(a)(v, w) = [f ′′(a)(v)] (w) =
[∂f ′
∂v(a)
](w) =
[limt→0
f ′(a + tv)− f ′(a)
t
](w) =
= limt→0
[f ′(a + tv)− f ′(a)
t
](w)
= lim
t→0
f ′(a + tv)(w)− f ′(a)(w)
t=
= limt→0
∂f
∂w(a + tv)− ∂f
∂w(a)
t=
∂
∂v
(∂f
∂w
)(a) =
∂2f
∂v∂w(a) .
Derivadas de ordem superior e a Formula de Taylor 75
Obs.: Considerando ainda o Teorema de Schwarz (∂2f
∂v∂w(a) =
∂2f
∂w∂v(a) quando f e
2 vezes diferenciavel em a) segue que f ′′(a) e uma aplicacao bilinear e SIMETRICA.
Podemos portanto resumir os resultados obtidos da seguinte forma:
Se f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e 2 vezes diferenciavel no ponto a ∈ U entao
f ′′(a) e uma aplicacao bilinear e simetrica de IRm × IRm no IRn e temos
f ′′(a)(v, w) =∂2f
∂v∂w(a) ∀ v, w ∈ IRm .
Definimos entao diferenciabilidade para ordens superiores, de maneira indutiva:
Definicao 4.6. Uma aplicacao f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e dita k VEZES DIFEREN-
CIAVEL no ponto a ∈ U quando existe um aberto V ⊂ IRm , com a ∈ V ⊂ U , tal que
f e diferenciavel em V e a aplicacao derivada f ′ : V → L(IRm; IRn)
x 7→ f ′(x)
e (k − 1) vezes
diferenciavel em a .
Prosseguindo de forma analoga ao estudo que fizemos para a derivada segunda, podemos
chegar a conclusoes semelhantes para derivadas de 3a ordem, de 4a ordem, etc.
Assim, de um modo geral, podemos concluir que...
Se f : U (aberto) ⊂ IRm → IRn e k vezes diferenciavel no ponto a ∈ U entao
f (k)(a) e uma aplicacao k-linear e simetrica de IRm × . . .× IRm (k vezes) no IRn e
temos
f (k)(a)(v1, . . . , vk) =∂kf
∂v1∂v2 . . . ∂vk
(a) ∀ v1, . . . , vk ∈ IRm .
Obs.: NOTACAO: Dado v ∈ IRm , iremos considerar
f (k)(a) · v(k) = f (k)(a)(v, . . . , v) .
sendo (v, . . . , v) ∈ IRm × . . .× IRm (k vezes).
76 CAPITULO 4
4.3 A Formula de Taylor
A Formula de Taylor infinitesimal
Lema 4.7. Seja B ⊂ IRm uma bola aberta de centro 0. Se r : B → IRn e s vezes diferenciavel
em B, s + 1 vezes diferenciavel no ponto 0 e, alem disso, r(j)(0) = 0 para 0 ≤ j ≤ s + 1 ,
entao
limx→0
r(x)
‖x‖s+1 = 0 .
Teorema 4.8. (Taylor infinitesimal) Seja U (aberto) ⊂ IRm . Se f e s vezes diferenciavel
em U e, num ponto a ∈ U , existe f (s+1)(a) , entao
f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +1
2!f ′′(a) · h(2) + . . . +
1
(s + 1)!f (s+1)(a) · h(s+1) + r(h) ,
com
limh→0
r(h)
‖h‖s+1 = 0
A Formula de Taylor com resto integral
Teorema 4.9. (Taylor com resto integral) Seja f : U ⊂ IRm → IRn uma aplicacao de classe
C(s+1) . Se o segmento de reta [a, a + h] esta contido no aberto U , entao
f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +1
2!f ′′(a) · h(2) + . . . +
1
s!f (s)(a) · h(s) + r(h) ,
com
r(h) =
∫ 1
0
(1− t)s
s!f (s+1)(a + th) · h(s+1) dt .
A Formula de Taylor com resto de Lagrange
Teorema 4.10. (Taylor com resto de Lagrange) Seja f : U ⊂ IRm → IRn; uma aplicacao de
classe C(s+1) . Se o segmento de reta [a, a + h] esta contido no aberto U e se tivermos ainda∥∥f (s+1)(x) · w(s+1)∥∥ ≤ M. ‖w‖(s+1) para todo x ∈ [a, a + h] e todo w ∈ IRm , entao
f(a + h) = f(a) + f ′(a) · h +1
2!f ′′(a) · h(2) + . . . +
1
s!f (s)(a) · h(s) + r(h) ,
com
‖r(h)‖ ≤ M
(s + 1)!‖h‖s+1 .