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Primer Curso Internacional de Agua Subterránea y Medio Ambiente Ciudad de La Habana, Cuba

Junio 16-21, 1997

Geo

Estadística

Notas de Clase

Leslie F. Molerio León Centro de Hidrología y Calidad de las Aguas, Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos

Apartado 23, General Peraza 19210 Ciudad de La Habana, Cuba

Ciudad de La Habana 1997

Molerio León, L.F. (1997): Geoestadística: Notas de Clase Primer Curso Internacional de Agua Subterránea y Medio Ambiente Ciudad de La Habana, Junio, 1997, 59:

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a ana, mi compañera,


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geoestadística: notas de clase

índice introducción 4 conceptos básicos 9 • variables regionalizadas 9 • concepto de variograma 11 • estimación del variograma 11 • comportamiento de los grafos de variogramas 12 • comportamiento en el origen 13 • comportamiento en el infinito 13 • modelos de variograma 14 variabilidad espacial e incertidumbre de las propiedades acuíferas 20 • fuentes más comunes de error 20 • requerimientos de los datos 20 • estimación de parámetros por métodos inversos 21 • técnicas de estimación de parámetros 21 • aproximación geoestadística 22 evaluación de incertidumbre 23 • variograma o semivariograma 23 • kriging 25 • reglas de aplicación 28 • varianza del error de estimación e intervalo de confianza 30 • promediación espacial 30 modelación geoestadística temporo-espacial 31 • forma general 32 • kriging temporo-espacial 34 • análisis estructural 34 funciones empíricas ortogonales 36 • formalismo de las eof 36 • aproximación numérica 37 • influencia de la discretización espacial 38 • influencia del muestreo estadístico 39 conjuntos fuzzy 40 • subconjunto fuzzy 40 • definición 40 • subconjuntos fuzzy normales y cuasiconvexos 40 • números fuzzy 41 • número fuzzy triangulares 42 • números fuzzy l-r 42


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• producto cartesiano 42 • principio de extensión 42 • aplicaciones de los conjuntos fuzzy 43 análisis de sensibilidad 44 • selección de técnicas de procesamiento del dato básico 44 • estacionalidad 44 • estadística descriptiva 44 • autocorrelograma 45 • periodograma y espectro de varianza 46 • análisis multivariado 46 • clasificación o taxonomía numérica (clustering) 50 bibliografía 54


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Notas de Clase

Leslie F. Molerio León Centro de Hidrología y Calidad de las Aguas, Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos Apartado 23, General Peraza 19210 Ciudad de La Habana, Cuba INTRODUCCION Hasta la década de los años 60 de este siglo, en que G. Matheron desarrolló la Teoría de las Variables Regionalizadas (Delhomme. 1978), la mayoría de los métodos que se empleaban comúnmente para la interpolación y la promediación espacial de las variables hidrológicas -hidrogeológicas- tenían el inconveniente de no permitir cuantificar la precisión de los estimados o, dicho de otro modo, de evaluar la incertidumbre. En los estudios de las aguas subterráneas suele acumularse un conjunto importante de datos del objeto agua, que reflejan propiedades físicas o químicas del fluido, del medio por el que las aguas se mueven, y de indicadores que describen propiedades tanto del medio como del fluido (Peck et al., 1988). Muchas de estas variables escapan a la observación directa puesto que son derivadas de mediciones del objeto o resultan de la aplicación de recursos analíticos que se le aplican para cuantificar determinadas cualidades o propiedades de éste. Tales mediciones, ensayos o cálculos: • interesan o afectan volúmenes diferentes del espacio, • se realizan en diferentes intervalos de tiempo, • caracterizan propiedades temporales fuera del ámbito de acción del observador humano o

incluso, • varían temporal o espacialmente en dependencia del tiempo o el espacio involucrados. En la generalización de tales observaciones o en la cartografía de tales propiedades se introducen errores derivados de varias fuentes, entre las que pueden destacarse (Molerio, 1983, 1984a, 1984b, 1985a, 1985b; Jiménez, Varona y Molerio, 1992; Jiménez y Molerio, a/ en prensa): • la incertidumbre con que fueron tomados o medidos, • las que son propias de los métodos que se emplearon en su cuantificación, o • las que corresponden a los errores vinculados a los métodos de interpolación o extrapolación.


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Aquellas variables que son medidas directamente no están, tampoco, exentas de errores de distinto tipo: analíticos, instrumentales, sistemáticos, entre otros. El cuadro de la tabla 1 resume los elementos básicos de la teoría de errores. Tabla 1. Indicadores básicos de la Teoría de Errores.

TEORIA DE ERRORES

Instrumentales Fuentes Externos o ambientales Personales Graves o materiales Leyes de aparición Sistemáticos Aleatorios Estimación del error o precisión de las mediciones: Error estándar de una medición o una serie Absolutos Error medio Error probable Error de la media Error real Relativo Error absoluto/Valor obtenido Acotaciones: Error límite tolerable Error normalizado Error de interpolación: Correlacionados No correlacionados Error de redondeo Error de las funciones Error de los factores de ponderación Error de la función de ponderación Errores sistemáticos residuales Error de extrapolación Tolerancias: para la convergencia interna de análisis lógico de interpolación de extrapolación Compensación de errores: Paramétrica Correlativa

Asimismo, la variabilidad espacial de las propiedades que caracteriza el sistema de aguas subterráneas introduce un número importante de consecuencias que pueden resultar negativas en


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la evaluación de los recursos disponibles y en la toma de decisiones respecto a la forma y régimen adecuado de explotación de las aguas. A tal variabilidad espacial, que en principio es una consecuencia directa de la heterogeneidad de las rocas y del sistema de colectores conductores de las aguas que circulan por el macizo, debe añadirse la que es provocada por la anisotropía de las propiedades físicas, es decir, la dependencia respecto a la dirección en que es medida determinada propiedad del campo físico. La anisotropía constituye una propiedad intrínseca de ciertos sistemas acuíferos, en particular, aquellos en rocas fisuradas (cársicas o no). Por otro lado, también es de esperar una cierta dependencia del tiempo de algunas de las propiedades del campo físico y, obviamente, las que caracterizan la composición química o la calidad de las aguas de los acuíferos son, por definición, variables que abarcadas por esta condición. Por eso, para mejorar el nivel de certidumbre e incrementar la precisión de los datos que se representan cartográficamente, no tan sólo se han desarrollado equipos de elevadísima precisión sino que también se han desarrollado métodos de interpolación-extrapolación automática que contribuyen a la sostenida disminución del error, tanto en las fuentes de adquisición del dato o la información, como en las que resultan de su mapificación con casi total independencia, muchas veces, de la escala espacial con la que tales variables son mapeadas. Las técnicas geomatemáticas (Molerio, 1992a, 1992b; Molerio, Guerra y Portuondo, 1997) y, entre ellas, las geoestadísticas, conducen a la reducción de las fuentes de incertidumbre en la representación gráfica de las propiedades que se pretende representar en un mapa. En los últimos años, las técnicas geoestadísticas han permitido resolver el complejo problema que representa garantizar la elevada resolución espacial que se espera de los datos que requieren los modelos hidrológicos -hidrogeológicos- (Peck, et al., 1988; Molerio et al., 1996; Molerio, Guerra y Portuondo, 1997; Molerio b/ en prensa). El desarrollo de métodos de interpolación y extrapolación de los datos obtenidos en diferentes estaciones de observación o medición a distintos intervalos o escalas de tiempo garantiza, mediante un riguroso tratamiento matemático una reducción de la incertidumbre tan potente que permite la discriminación adecuada de la absoluta mayoría de las fuentes de error. Así, a los métodos ya clásicos de inter- extrapolación de: • Ponderación en función de la distancia • Interpolación polinomial • Funciones spline • Superficies de tendencia se le añaden, en los últimos años, además de las técnicas de Kriging, piedra angular de la Geoestadística, los siguientes: • Kriging Bayesiano • Co-Kriging • Kriging temporo-espacial • Conjuntos Fuzzy • Funciones Empíricas Ortogonales En los últimos años, estas técnicas han sido aplicadas en Cuba con los siguientes objetivos (Arellano et al., 1993, 1995; March et al., 1992a,1992b; Molerio y Díaz, 1992; Molerio, Núñez y Guerra, 1992; Molerio, 1984c, 1993 a,1993b, 1995a,1992b; Piñera, Molerio y March, 1992;Molerio, 1994; Molerio et al. 1995; Molerio et al., 1996Núñez, Molerio y Guerra, 1995; Yera y Molerio, en prensa; Molerio, a en prensa, c en prensa):


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• Optimizar la red de monitoreo de niveles de las aguas subterráneas en términos del mínimo número de pozos de la red y mínima frecuencia de las observaciones y mediciones que garanticen la máxima informatividad:

• Reducir los costos de los trabajos de prospección hidrogeológica, mediante la

identificación de las áreas con mayores perspectivas para una determinada demanda de calidad y cantidad de agua.

• Incrementar la efectividad de la perforación de pozos para abasto en zonas poco

acuíferas (por lo común asociadas a zonas ganaderas del país), donde el riesgo de perforación no fértil y de demanda insatisfecha son tan altos como el 60%.

Hasta el presente, el autor y sus colaboradores han aplicado algunos de los recursos de esta metodología a la resolución de los problemas y tareas siguientes: 1. Simulación del Desarrollo Espacial de Redes de Cavernas en zonas de montaña: a) para búsqueda de aguas subterráneas de abasto a Pan de Azúcar (Pinar del Río, Cuba) b) para búsqueda de aguas subterráneas de abasto a Valle Ancón (Pinar del Río, Cuba) c) para orientación de la explotación espeleológica del Sistema Cavernario Majaguas-Cantera

(Pinar del Río, Cuba) d) para orientación de la exploración hidrogeológica y espeleológica en la Meseta de Karlúkovo

(Bulgaria) e) para validar el modelo en zona inexplorada (Sistema de Trou-du-Glaz, Dent-de-Crolles,

Francia) f) para orientar pruebas de trazadores fluorescentes (Gran Caverna de Santo Tomás, Pinar del

Río, Cuba) g) para definir las fuentes de contaminación del manantial de Los Portales (Pinar del Río, Cuba) h/ para búsqueda de aguas subterráneas al poblado de Moncada (Pinar del Río, Cuba) 2. Optimización de la Red de Monitoreo de Niveles de las Aguas Subterráneas. a/ cuenca de Vento (Ciudad de la Habana, Cuba) b/ cuenca Ariguanabo (La Habana, Cuba) c/ cuenca Jaruco (Habana, Cuba) d/ cuenca Aguacate-M 1 (Habana-Matanzas, Cuba) e/ cuenca La Cana (Las Tunas, Cuba) 3. Optimización de la Red de Monitoreo Isotópico de las Aguas Subterráneas. a/ cuenca Juraguá (Cienfuegos, Cuba) b/ cuenca Santa Cruz (Pinar del Río, Cuba) 4. Caracterización de las Fuentes de Contaminación de las aguas subterráneas o superficiales. a/ del Manantial de los Portales (conjugado con el Modelo de Simulación de Cavernas, ya mencionado) b/ del río Santa Cruz del Norte (Habana, Cuba). 5. Prospección Hidrogeológica. a/ Abasto a Cárdenas (Matanzas, Cuba) b/ Valoración de fuentes de abasto en Las Galápagos (Ecuador, en apoyo a la EMPI-FAR) c/ Abasto a Cayo Saetía (Holguín, Cuba, en apoyo a la EMPI-FAR)


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6. Orientación de la Perforación de Pozos en Rocas de Baja Permeabilidad. a/ Vertientes (Camagüey, Cuba) b/ Vidot (Camagüey, Cuba) 7. Calibración de Modelos Matemáticos de Simulación. a/ Modelo AQUIMPE para la cuenca de Vento (Ciudad de La Habana, Cuba) Estas Notas de Clase constituyen un resumen del Tema Geoestadística que el autor, de conjunto con sus colegas M. Guerra y Y. Portuondo, ha impartido, regularmente, en el Curso de Postgrado Técnicas Geomatemáticas Aplicadas a Hidrogeología que ofrece el Centro de Hidrología y Calidad de las Aguas del Instituto Nacional de Recursos Hidráulicos y es parte de una obra mayor, con el mismo título, escrita en colaboración con aquellos. El autor, por ello, está sumamente agradecido de las opiniones de estos colegas, así como a los alumnos de tales cursos que contribuyeron, de manera muy eficaz, al mejoramiento sostenido del texto y la estructura de exposición de esta asignatura. Asimismo, algunos de los aspectos generales o resultados de aplicaciones diversas han sido discutidos, en diferentes oportunidades, con otros colegas a los cuales el autor también está sumamente agradecido y, por ello, desea extender su reconocimiento a L. Candela (Universidad Politécnica de Cataluña); W. Back (Servicio Geológico de los Estados Unidos); J. Gutiérrez), J. F. Santiago y O. Barros (Centro de Hidrología y Calidad de las Aguas Centro de Hidrología y Calidad de las Aguas) y a P. J. Astraín (Empresa Militar de Proyectos e Investigaciones). En especial, el autor desea agradecer a los coordinadores generales del Primer Curso Internacional de Agua Subterránea y Medio Ambiente, ings. A. González Báez y R. Feitoó Olivera, la invitación que le hicieran para impartir esta asignatura.


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CONCEPTOS BASICOS La Geoestadística (Delhomme, 1978; Peck et al. 1988) es una técnica del análisis Geomatemático (Molerio, 1992b; Molerio, Guerra y Portuondo, 1997) que consiste en la identificación de los estadígrafos de un conjunto de datos seriados espacialmente partiendo del principio de que la información que ellos representan constituyan elementos georeferenciados, es decir, que identifiquen el valor de una variable o grupo de ellas en un cierto punto del espacio en un instante determinado. Este tipo de variables se denominan regionalizadas. La identificación de tales estadígrafos y la discriminación adecuada de las fuentes de incertidumbre es la que conduce a que la interpolación y extrapolación de conjuntos de variables que representan: • el estado del sistema • las propiedades físicas o químicas de las componentes del sistema • la variabilidad temporal y espacial de una propiedad o un conjunto de ellas • la precisión con que tales variables o propiedades son medidas y expresadas

cartográficamente puedan ser mapeadas con absoluta exactitud aplicando recursos totalmente independientes de la subjetividad del cartógrafo, garantizando la reproducibilidad invariable de los mismos resultados bajo idénticas condiciones de contorno. En hidrogeología, las técnicas geoestadísticas se aplican, sistemáticamente, entre otras, a la cartografía de diferentes conjuntos de variables o al procesamiento de indicadores hidrogeológicos tales como: • cotas piezométricas del acuífero • índices de calidad del agua (niveles de tolerancia, concentraciones de determinados

productos o sustancias) o contaminación de las aguas • propiedades físicas y químicas de las aguas (pH, conductividad eléctrica, mineralización

macro y microconstituyentes) • propiedades del campo físico (conductividad hidráulica, transmisividad, almacenamiento,

infiltración efectiva, entre otras) • índices de transporte de masas (dispersión, difusión, advección) • análisis exploratorio de datos • simulación de tales variables • diseño y optimización de la distribución espacial de los puntos de observación de la

métrica del acuífero (variables del campo físico o del estado del sistema) • análisis de sensibilidad de modelos de simulación matemática de acuíferos • selección de variables de entrada y validación o calibración de tales modelos • regionalización hidrogeológica Variables regionalizadas: El término Regionalizado fue propuesto por G,. Matheron en 1965 (Matheron, 1965) para designar un fenómeno que se desarrolla en el espacio o en el tiempo y que posee un cierta estructura. Así, una variable que caracterice o represente un fenómeno de tal tipo sería una “variable regionalizada”. De hecho cualquier variable que describa el subsuelo, la atmósfera, el medio por donde circula el agua superficial o subterránea puede ser considerada una variable regionalizada (V.R.). Desde el punto de vista matemático una V.R. es simplemente una función z(x) que posee un valor en el punto x del espacio n-dimensional de una característica z de un fenómeno natural. Por lo general, tales funciones representan o describen el comportamiento espacial de un fenómeno lo suficientemente complejo para no ser descrito con precisión y exactitud por las expresiones analíticas clásicas.


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Este concepto, acompañado de la estructura matemática que describe el comportamiento temporo-espacial de las funciones que describen el fenómeno conduce a: • establecer las bases teóricas que permiten considerar las características estructurales d

ellos fenómenos naturales y artificiales sobre una forma matemática apropiada, siempre que, en el caso de los artificiales se trate de fenómenos que afecten la estructura o el comportamiento de las variables medidas.

• suministrar medios prácticos para resolver un conjunto de problemas de estimación de

variables a partir de un muestreo fragmentario o, incluso, incompleto. La Teoría de las V.R. posee una interpretación probabilística que permite explicar su tratamiento a partir de los modelos conceptuales de las funciones aleatorias. De este modo, la V.R. z(x) se puede interpretar como una realización de una función aleatoria Z(x) de un conjunto de funciones. Es decir, que en el rango de un mismo grupo de elementos análogos zi(x) asociados a cada punto x del espacio involucrado. De este modo, sobre el conjunto I = i de sucesos en el dominio D que representa el espacio involucrado, la función aleatoria Z se define de modo tal que: (1) ∀i ∈ I; x ∈ D; Z(x,i) = zi (x)

Asimismo, la función aleatoria Z debe satisfacer las propiedades de: • Estacionaridad de segundo orden • Hipótesis intrínseca La estacionaridad de una función aleatoria se define cuando la ley de probabilidad de un conjunto de valores definidos por una función en k puntos, es invariante por traslación del conjunto de tales puntos. De tal modo que un fenómeno es estacionario si una cierta homogeneidad espacial estadística se repite de cualquier modo en el espacio. Cada realización particular es suficiente para representar el conjunto de las relaciones eventuales. La inferencia estadística, a partir de una realización única es posible si se reemplazan los valores medios por las medias espaciales de una realización única. En este caso, se considera válida la hipótesis de estacionaridad de segundo orden que solamente impone la condición de traslación invariante a los dos primeros momentos de la serie, es decir, a la esperanza matemática y a la covarianza. Por ello, • La esperanza matemática se considera una constante, tal que, E[Z(x)] = m(x) = m

independiente de x, y • La covarianza entre dos puntos x y x’ no depende de la separación entre los puntos de

apoyo, sino solamente del vector x-x’, tal que, E[Z(x) - m] [Z(x’) - m] = K (x-x’), de tal manera que, en particular, E[Z(x) - m2] = var Z[x] = K(0) e independiente de x.

En el caso de la hipótesis intrínseca, se parte del principio de que para todo vector h, el incremento Z(x + h) - Z(x) tiene una esperanza matemática nula y una varianza independiente del punto x, tal que: (2) E[Z(x + h) - Z(x)] = 0

(3) var [Z(x + h) - Z(x)] = 2γ(h)


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En rigor, la función γ(h) se denomina semivariograma pero, en la práctica, se emplea, también con mucha frecuencia, el término variograma. Concepto de Variograma El variograma o semivariograma es la representación gráfica de la varianza (la mitad de la diferencia cuadrática) de una muestra de mediciones apareadas en función de la distancia y, opcionalmente, de la dirección entre los puntos de la muestra. Todos los posibles pares de muestra se examinan y se agrupan en clases (lags) como veremos el tratar el modo de estimación del variograma, de dirección y distancia aproximadamente iguales. De este modo, el variograma suministra un modo de cuantificar la relación comúnmente observada de que las muestras más cercanas exhiben la tendencia de parecerse más entre sí que aquellas que se encuentran más distantes. Existe, también, el denominado variograma no-ergódico, término aplicado para aquel variograma determinado como resultado de la resta de las covarianzas del lag de la varianza de la muestra. Este tipo de variograma compensa el caso de los variogramas direccionales con fuertes diferencias en las medias en dos direcciones diferentes. Este tipo de variogramas pueden ser modelados y utilizados en el kriging del mismo modo que los variogramas ordinarios. Por otro lado, el variograma relativo es aquel en el cual el valor de cada lag en el variograma ordinario se divide por el cuadrado de la media de la muestra empleada en el cálculo del lag. Es útil, sobre todo, cuando se encuentran “efectos de proporcionalidad”; es decir, cuando áreas con concentraciones más altas que la media tienen también varianzas superiores a la media. Al utilizar estos variogramas en el kriging, las desviaciones estándar del kriging (KSD) representan fracciones decimales de los valores estimados. El variograma o semivariograma de una función aleatoria intrínseca es, por definición: (4) γ(h) =½ var [Z(x + h) - Z(x)] partiendo, además de que, (5) E[Z(x + h) - Z(x)] = 0 la expresión (4) puede escribirse de la forma siguiente: (6) γ(h) =½ E [Z((x + h) - Z(x))2] de manera que expresa que 2γ(h) es el incremento cuadrático medio entre dos puntos distantes de h. Así, suponiendo que se satisface la hipótesis intrínseca, la función γ(h) se estima a partir de parejas de puntos experimentales disponibles sobre una realización única posible. Estimación del Variograma Cuando el fenómeno que se estudia se desarrolla en un espacio unidimensional (el tiempo, por ejemplo) o cuando el fenómeno es bidimensional, pero está fragmentado a lo largo de un perfil, el intervalo h a considerar, es una magnitud escalar. Si los puntos experimentales están alineados y espaciados regularmente, el variograma puede calcularse, para valores múltiples de paso de h, a partir de: N(h)


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(7) γ(h) =(½N(h)) ∑ (z(xi + h) - z(xi))2

i=1 donde z(xi) son los datos; xi, los puntos donde los datos son disponibles, simultáneamente, en xi y en (xi + h) y N(h) el número de pares de puntos distantes de h (fig. 1) Fig. 1. Ejemplo de selección y cálculo según la expresión (4) para los casos N(a)=6 (a) ; N(2a) = 5 (2a) = 3

Si el fenómeno estudiado se desarrolla en un plano, h es un vector de componentes h1, h2 de manera que x designa un punto de coordenadas x1, x2. Entonces, el variograma es ahora una función de dos variables h1, h2, o, en coordenadas polares, una función del módulo h, distancia entre los puntos, y del ángulo polar θ, tal que, (8) γ(h) ≡ γ( h1, h2) ≡ γ(h, θ) Si los puntos experimentales están distribuidos irregularmente en el plano, el procedimiento consiste en un reagrupamiento por clases de distancia y ángulo a fin de calcular los incrementos cuadráticos medios. Dicho de otro modo, ello significa distinguir, por ejemplo, todos los pares de puntos separados a una distancia inferior de 1 km, comprendidos entre 1 y 2 km diferenciando, a su vez, aquellos orientados sensiblemente N-S de los que están orientados E-W. Este es el llamado “efecto de anisotropía” que, en Geoestadística, no es más que la situación en la que un variograma exhibe un rango mayor en una dirección que en otra. Al comparar el comportamiento del variograma en las diferentes direcciones se derivan conclusiones acerca de la anisotropía geoestadística del fenómeno que se pretende estudiar. La estimación entonces, define la anisotropía como la derivada del variograma isótropo de manera que sea, entonces, una función de su módulo: (9) h = √ ( h1

2, h22)

(10) γ(h) ≡ γ √ ( h1

2, h22) ≡ γ (h)

Comportamiento de los grafos de variogramas Los gráficos de las funciones (9) y (10), por lo común, pasan por el origen, de manera que resultan nulos para h=0:γ(0) = 0 e, igualmente, crecen a medida que aumenta la distancia entre los puntos considerados. Este crecimiento, más o menos rápido, caracteriza estadísticamente la forma en que se deteriora la información que aporta una medida puntual cuando el observador se aleja del punto conocido. El análisis del gráfico γ(h) es sumamente importante y constituye la base de todo análisis geoestadístico.


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El variograma ofrece una descripción sintética de la estructura del fenómeno estudiado y permite establecer las relaciones entre tal estructura y la precisión con la que pueden ser resueltos los diferentes problemas de interpolación y de estimación.

Por tales motivos, dos análisis son básicos en el examen del variograma: 1. el comportamiento en el origen o en la vecindad del origen, es decir, a pequeñas distancias

(lags) 2. el comportamiento en el infinito, a grandes distancias (lags) de los puntos conocidos. Comportamiento en el origen: La fig. 2 muestra los diferentes tipos de variogramas. Fig. 2. Comportamiento de los variogramas en el origen: a/ derivable; b/ continuo; c/ con efecto de pepita; c/ aleatorio puro (según Delhomme, (1978:348).

El comportamiento en el origen define la continuidad de la variable regionalizada. Por orden decreciente de regularidad se distinguen cuatro tipos primarios clásicos: • Parabólico: que caracteriza una variable en extremo regular y, por ello, derivable en media

cuadrática, como puede ser el caso de los variogramas de cota piezométrica. • Lineal: que se corrresponde con una variable menos regular que la anterior y, por ello, continua

en media cuadrática pero no derivable; ejemplo del cual puede ser el espesor del acuífero, los niveles de cavernamiento o la potencia de determinada capa geológica.

• Discontinua: también llamada con “efecto de pepita” y que significa que la variable es muy irregular (no continua en media cuadrática), de modo tal que dos puntos distintos pero próximos presentan uno de varianza al menos igual al efecto de pepita EP; que es el caso, por ejemplo de la variación espacial de la lluvia subre el acuífero o del escurrimiento superficial de un grupo de cuencas.

• Aleatorio puro: o de “efecto puro de pepita” que corresponde al caso en que Z(x) y Z(x + h) carecen de correlación para cualquier distancia h no nula. Este es, además, el caso límite de la ausencia total de estructura; como es el caso de la variación anual de la lluvia.

Comportamiento en el infinito: Del análisis del variograma se derivan también otras propiedades. En particular, el variograma indica la distancia (lag) a partir del cual las correlaciones entre los pares de valores son nulas. De otro modo, indica la extensión de la zona de influencia de un punto experimental. Ciertos efectos, como la presencia de periodicidades, superposición de variaciones de escalas diferentes, existencia de correlaciones negativas o fluctuaciones en el grafo son debidas, muchas veces, a que la mayor parte de los valores de γ(h) son estimados a partir de un número pequeño de pares.


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Cualquier variograma presenta tres zonas perfectamente definidas que poseen un significado geoestadístico particular. Tales zonas se muestran en la fig. 3 y se definen del modo siguiente:

• Rango: Es la distancia (lag), en el modelo esférico, a la cual el modelo de variograma alcanza su valor máximo o “sill”. En los modelos exponenciales y gaussianos, que se apreoximan asintóticamente al sill, el rango práctico o efectivo se puede tomar como el punto donde la funcion alcanza, aproximadamente, el 95% de su valor máximo.

• Sill: Es el límite superior de cualquier variograma excepto el lineal. • Nugget o efecto pepita: Es la distancia, desde el origen, en el eje de la función γ(h) que

comienza el variograma.

Fig. 3. Términos del variograma

Modelos de Variograma: La fig. 4 muestra los modelos básicos (simples y combinados) de variogramas. Estos modelos se describen, matemáticamente, por distintas formas de la función γ(h). En (a), se trata de modelos del tipo hλ y ωhλ , para λ < 2; (b) es un modelo esférico, tal que, ω[3/2 (h/a) - ½ (h/a)3], para h < a; (c), es un modelo exponencial de la forma ω[1 - exp (-h/a)]; (d) es el típico modelo Gaussiano en que ω1 - exp [-(h/a)]; (e) es un modelo cúbico donde ω[ 7(h/a)2 - 8,75(h/a)3 + 3,5 (h/a) - 0,75 (h/a)7]. El caso (f) representa un ajuste de modelo lineal más el esférico, del tipo 13,3 + 60 [3/2 (h/1,5) - ½ (h/1,5)3] < 1,5 y 13,3h + 60 para h > 1,5. Para los ajustes a determinados modelos, los cálculos de varianza resulten positivos cuando se apliquen combinaciones lineales del tipo: n (11) Y = ∑ λi Z(xi) i=1 Para cualquier conjunto de n puntos (xi) y de n coeficientes que verifiquen la condición ∑ λi=0 que satisface la hipótesis intrínseca, entonces, la función γ(h) debe ser tal que: n n (12) var (Y) = - ∑ ∑ λiλjγ (xi - xj) ≥ 0 i=1 i=j


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Fig. 4. Modelos de Variograma (según Delhomme, 1976, de Marsily, 1986, Peck, et al., 1988)

La presencia del nugget se traduce, por lo común, en la adición de una cierta cantidad C a un modelo clásico γ0 en el origen. En ciertos casos, aún con la certeza de que el modelo es continuo y se descartan errores de medición, el intervalo de muestreo puede suponer un crecimiento rápido del variograma correspondiente a efectos locales. En tales casos, es recomendable sustituir el nugget por una componente esférica. La estimación del variograma, el examen del comportamiento del gráfico y su ajuste a un modelo, conducen a: • explicar la variabilidad espacial del fenómeno • definir las ecuaciones correspondientes a la interpolación o extrapolación del fenómeno

estudiado • determinar el radio de búsqueda de los puntos cercanos reales y simulados • reducir al mínimo la incertidumbre del proceso de inter- extrapolación • esclarecer las fuentes de error de medición


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Fig. 5. Variograma del logaritmo10 del coeficiente de Transmisividad en el Complejo de Metamorfitas del Norte de la Isla de la Juventud, Cuba.

Las figs. 5 y 6 muestran, respectivamente, el variograma y el correspondiente mapa de isolíneas del logaritmo10 de la transmisividad en el complejo de metamorfitas del norte de la Isla de la Juventud, Cuba. La interpolación se realizó mediante la ecuación del variograma con nugget de la fig. 5, efectivo para una longitud de correlación de 4 km y una precisión del 88%. Fig. 6. Isolíneas del logaritmo10 del coeficiente de Transmisividad en el Complejo de Metamorfitas del Norte de la Isla de la Juventud, Cuba, ajustada a un variograma con efecto nugget y longitud de correlación de 4 km.


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Por su parte, las figs. 7-10 muestran el comportamiento semejante de los variogramas de concentración de hidrocarburos en las aguas subterráneas en dos instantes diferentes de muestreo de una misma red de monitoreo. Fig. 7. Variograma de concentración de hidrocarburos (1995)

Fig. 8. Variograma de concentración de hidrocarburos (1996)


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Fig. 9. Aureola de dispersión de los hidrocarburos (1995)

P-1P-3P-4P-6

P-5

PICKER

P-7p-8

a.cura

m eireles5

p-24

alcazabar

m eireles7

gabin

m eireles 6

355.00 355.50 356.00 356.50 357.00 357.50 358.00 358.50 359.00 359.50 360.00350.00

350.50

351.00

351.50

352.00

352.50

353.00

353.50

354.00

354.50

355.00

Fig. 10 . Aureola de dispersión de los hidrocarburos (1996)

A.Cura

pozo7

pozo4

pozo5

355.00 355.50 356.00 356.50 357.00 357.50 358.00 358.50 359.00 359.50 360.00350.00

350.50

351.00

351.50

352.00

352.50

353.00

353.50

354.00

354.50

355.00


20

Fig. 11. Variograma de cotas piezométricas de la cuenca de Vento..

Fig. 12. Mapas de hidroisohipsas, de regionalización geomorfológica y de validación de las estructura del campo h en la cuenca de Vento, aplicando kriging.


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VARIABILIDAD ESPACIAL E INCERTIDUMBRE DE LAS PROPIEDADES ACUIFERAS Fuentes más comunes de error: En el examen de las propiedades acuíferas de los sistemas de aguas subterráneas suelen aparecer diferentes fuentes de error vinculadas con los métodos de adquisición de la información, las técnicas de generalización espacial, del modelo conceptual que impone un determinado conjunto de acciones exteriores, modulación de respuestas y la forma que tales respuestas adquieren en los dominios frecuencial, temporal y espacial. Así, en resumen, las fuentes más comunes de error se encuentran:

− En la estimación de las propiedades del acuífero a partir de pruebas de bombeo o en la observación del régimen de las aguas subterráneas.

− En la interpolación y el promedio espacial y temporal de las propiedades del acuífero y los datos del régimen.

− En la localización de los límites acuíferos y las condiciones de contorno que ellos establecen.

− En las condiciones iniciales que se asumen. − En las acciones sobre el acuífero.

Requerimientos de los datos: En la modelación geoestadística es conveniente diferenciar los siguientes conceptos. Valores locales: Parámetros o variables que no pueden medirse directamente; se estiman indirectamente interpretando los resultados de un experimento (prueba de bombeo, inyección de trazadores) “in situ” o en una muestra. Errores paramétricos: Se derivan de los métodos de medición y del uso de datos de la muestra para estimar valores en localidades donde no se dispone de mediciones u observaciones. Errores de medición: Dependen de las características de los instrumentos de medición, de los métodos de manejo y procesamiento de los datos y de los métodos de análisis. Los errores de salida de un modelo como consecuencia de los errores en los parámetros de entrada pueden estimarse por métodos convencionales que involucren la identificación de las variables independientes y la estimación de sus derivadas parciales. Este es el denominado método de análisis de sensibilidad. La variación espacial de las propiedades acuíferas requiere la definición de subdominios o zonas en las que se asumen propiedades uniformes. Cuando existe más de una observación en una zona definida es necesario escoger un método adecuado para promediar el valor de la propiedad.


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Propiedad Tipo de acuífero Medida de la Media

K, T Capas horizontales Media aritmética o armónica

K, T No uniforme con K, T diferentes en una matriz altamente conductora.

Media geométrica y aritmética

K, T Anisotrópicos de flujo difuso (cársicos). Mediana

K, T Anisotrópicos de flujo concentrado, heterogéneos.

Media geométrica y mediana

K, T Anisotrópicos homogéneos. Media geométrica y aritmética. Se debe definir el número de mediciones (muestras) necesario para estimar la media geométrica dentro de valores prefijados de límites de error de su valor real en un número dado de casos. Estimación de parámetros por métodos inversos: Categorías: Aproximación directa Aproximación indirecta Aproximación geoestadística Aproximación directa: Los parámetros del flujo (incógnitas) se definen como variables dependientes. Métodos de solución: 1. Problema de Cauchy (función continua del espacio) 2. Técnicas gráficas inversas. 3. Ajuste polinomial de series discretas. 4. Simulación de Monte Carlo. 5. Programación lineal. 6. Programación cuadrática. Aproximación indirecta: Las cargas hidráulicas son variables dependientes y los estimados de los parámetros se obtienen minimizando los residuales de las cargas hidráulicas. La principal dificultad se encuentra en la no linearidad entre las h simulado y los parámetros a estimar. Métodos de solución. 1. Optimización no lineal 2. Optimización lineal 3. Programación cuadrática. Técnicas de estimación de parámetros: 1. Mínimos cuadrados ponderados. 2. Estimación de Bayes. 3. Máxima semejanza. − Mínimos cuadrados ponderados: Estimador que minimiza la suma modificada de los errores

cuadrados. Se fundamenta en que las fuentes de incertidumbre pueden caracterizarse por la media y la covarianza.


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− Estimación de Bayes: Las incógnitas son variables aleatorias con una cierta función de distribución. En rigor, no puede aplicarse ala solución del PI toda vez que h es una función no lineal de p.

− Máxima semejanza: Asume los parámetros a estimar como desconocidos, pero

determinísticos en lugar de ser aleatorios como en Bayes. Su aplicación es independiente de la relación no lineal entre h y los parámetros de flujo.

Aproximación geoestadística: Los parámetros de flujo se consideran como una realización individual de una función espacial aleatoria. Métodos de solución: Parten de la definición de la estructura geoestadística del campo. 1. Kriging 2. Simulación condicional (Kriging como base). 3. Cokriging (datos faltantes).


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EVALUACION DE INCERTIDUMBRE Para evaluar la incertidumbre de los datos de variables del campo de propiedades físicas son útiles, especialmente, las funciones de autocorrelación, el semivariograma, la distribución de frecuencia y el kriging. Aquí nos referiremos solamente al semivariograma y al kriging. Variograma o Semivariograma El semivariograma permite examinar la varianza de las diferencias entre los valores de una variable espacial, medida en diferentes estaciones, con un mismo lag de tiempo, en función de ese lag. Obdam (1983) define la relación entre el correlograma r(h) y el semivariograma t(h) de la forma siguiente: N(h) (13) γ(h) = 1/2 N(h) Σ [F (ri ) - F (ri = h)]² i en la que, N(h) es el número de pares a una distancia relativa o un cierto lag h; f, es la variable espacial; r , la i-ésima posición de la variable espacial medida. La esperanza matemática E( ) de una variable cualquiera para 1 /N Σ( ) puede plantearse como: (14) γ(h) = 1/2 E [F(r) - F(r + h)]² de manera que, (15) γ(h) = var (F) - covar [ F(h)] en la que var (F) es la varianza de F y covar [F(h)] la covarianza de F. Del mismo modo, como la función de autocorrelación: (16) ρ(h) = covar F(h) / var (F) la expresion (16) equivale a: (17) γ(h) / var (F) = 1 - r(h) Para variables que carezcan de tendencia pueden aplicarse las ecuaciones (15) y (17), de manera que, en el caso de la primera ecuación, el aumento de h conduce a F(h) a cero y γ(h) tiende a var(F), de ahí que, para esta última, la función de covarianza puede graficarse en función de lag h como en el semivariograma. La expresion (15), asimismo, muestra que -sin tendencia- la función de covarianza es el complemento del semivariograma respecto a la varianza de F. Asumiendo cuatro escalas de heterogeneidad, una para cada espacio constitutivo del carso, de manera que cada nivel de escala i- contenga Ni unidades del nivel i, y el número total de muestras sea N x N2 x N3 x N4, puede realizarse el análisis de varianza de cualquier variable del campo físico, incluidas las componentes de varianza de las propiedades de cada espacio (matriz, poros, grietas y cavernas). El test de Fisher (F) puede emplearse para comprobar la significación de las varianzas diferentes. La tabla 2 muestra el esquema de cálculo correspondiente. El test de significación de Vi sobre Vi+1 , en caso de Vi > Vi+1, es:


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(18) Vi/Vi+1 < F1-a [Gli, GLi+1] y, en el caso de Vi+1 > Vi, el test es de Vi+1 sobre Vi. La varianza total: (19) σ²tot = σ²1 + σ²2 +σ²3 + σ²4 Los símbolos de la tabla 2 y de las ecuaciones (23) y (24) son los siguientes: xijkl, valor l-ésimo de la variable espacial x al nivel 4 de la subdivisión; xijk, valor k-ésimo medio de la variable espacial xijkl, al nivel 4 de la subdivisión; N4, número de observaciones al nivel 4 de la subdivisión por unidad del tercer nivel; σ²4, varianza teórica de la variable espacial al nivel 4 de la subdivisión dentro de las unidades del tercer nivel; σ²3, varianza teórica entre unidades del nivel 3 dentro de unidades del nivel 2; F1-αGLi, GLi+1, distribución F de Fisher para una confiabilidad (1 -α) 100 % del test con GLi y GLi+1 grados de libertad de las varianzas con subíndices i e i+1. Para espacios crecientes involucrados en el análisis, con el consiguiente incremento de la distancia relativa entre los puntos de muestreo disminuye la influencia de la covarianza de las diferentes escalas de heterogeneidad, de manera que predomina solamente la componente regional, como se muestra en la fig. 4. Obsérvese que la función de covarianza reproduce las curvas de efecto de escala (Molerio, 1984a, 1988), indicando los órdenes de homogeneidad (o heterogeneidad) relativos en el sistema y la dependencia del área ensayada respecto a los límites físicos, reales, del area elemental representativa del sistema. Tales relaciones son extendidas por Obdam (1983) al estudio de la relación costo-beneficio de la red de monitoreo. Señala éste que: "Cuando los costos totales de un ciclo de muestreo, designado como C, se separa en los costos para grupos de muestras (= C1) y los costos de una muestra individual (= C2), puede obtenerse la expresion siguiente: C = C1 N1 + C2 N1 N2. Aquí, N1 y N2 son, respectivamente, el número de grupos de muestras y el número de muestras en un grupo o el número de subgrupos dentro de un grupo principal. Tomando la relación costo beneficio como punto de partida, puede formularse una relación entre los costos, expresados como antes se mencionó, y la cantidad de información que puede obtenerse, que puede expresarse como la varianza del valor medio del grupo principal de valores muestreados”.


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Tabla 2. Análisis de Varianza. Test de significación de Vi respecto a Vi+1:Vi/Vi+1 < F 1-α (DGFi,DGFi+1) en el caso de Vi > Vi+1; para Vi+1 > Vi el test es de Vi+1 respecto a Vi. La varianza total σtot 2 = σ1

2+ σ22+σ3

2+σ42 (según Obdam, 1983)

Nivel de la subdivisión

Grados de libertad (DGF)

Suma de los cuadrados

Media de los cuadrados (estimados óptimos)

Componentes de la varianza estimados mediante la media de los cuadrados

1 N1 - 1 S1= N2N3N4 Σ (xi - x)2

V1=S1/(N1-1) σ42 + N4σ3

2+ N3N4σ2

2 + N2N3N4σ1

2 2 N1 (N2 - 1) S2= N3N4 Σi

Σj (xij - xi)2

V2=S2/(N1(N2-1)) σ42 + N4σ3

2+ N3N4σ2

2

3 N1 N2(N3 - 1) S3= N4 Σi Σj Σj(xijk - xij)2

V3=S3/(N1N2- (N3-1))

σ42 + N4σ3

2

4 N1N2N3 (N4 - 1) S4= N4 Σi Σj Σj Σk Σl (xijkl - xijk)2

V4=S4/(N1 N2 N3 (N4-1))

σ42

N1N2N3 N4 - 1 S= ΣI Σj Σj Σk Σl (xijkl - x)2

S/N1 N2 N3 N4-1

En principio, se estiman como: (20) var xi = var1 N1 = σ²2 /N1 N2 + σ²1 / N1 Para optimizar los costos de información obtenida, en la siguiente expresión, F se minimiza para N1 y N2 : (21) F = (C1 N1 + C2 N1 N2 ) (σ²2 / N1 + σ²2 /N1 N2) = (C1 + C2 N2 ) (σ²2 + σ²2 / N2) en la que F es independiente de N1. Esto resulta en: (22) N2 = σ2/σ1 t C1/C2 N1 = C/(C1 + C2 N2 ) = C/(C1 + σ2/σ1 t C2 C1)


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Kriging El método de kriging o de las variables regionalizadas tiene dos propiedades importantes: 1/ Se trata de un interpolador espacial exacto. Para calcular el valor Z en un punto x(k) en el que se ha efectuado una medición tal que,

xk Ε (x1,..., xn) entonces se obtiene, (23) Z*

K = ZK lo que significa que, (24) tk

k = 1, tik = 0 para i = k, y,

(25) var (Z*

k - Zk) = 0 es decir, que no hay incertidumbre en el punto medido. Fig 13. Función de covarianza con efecto de factor de escala.

2/ El kriging no depende de los valores Z(i) medidos, por lo que solamente requiere de las coordenadas x(i) de las estaciones de i medición para calcular las ponderaciones ti. El empleo del método se plantea de este modo. Para un cierto número de estaciones x(1) a x(n), con valores medidos de una variable (carga hidráulica, transmisividad, por ejemplo), designadas Z(x) a Z(xn), se pretende estimar el valor de la variable Z(x0)en el punto (x0). Los estimados se suponen como una combinación lineal de la data que se resuelve hallando las ponderaciones ti. n (26) Z(x0) = Σ λi Z(xi) i=1


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Tales valores de λ(i) dependen de la esperanza matemática de Z(x) y de la forma de la función K(h), en la que h es un vector. En la práctica, se asume que la esperanza es un polinomio de orden k para k £ 2y que los modelos apropiados para la covarianza K(h) son también polinomios de orden ≤ 2k+1. Esto permite establecer los siguientes modelos (tabla 3). Tabla 3. Modelos para el estimado de la covarianza generalizada K(h) (según Matheron (1973, fide Brouwer y Defize (1983) Modelo Orden k Función(*) Constante 0 K (h) = cov δ (h) + a1 h Lineal 1 K (h) = cov δ (h) + a1 h + a3

h3 Cuadrático 2 K (h) = cov δ (h) + a1 h + a3

h3 + a5 h5

(*) δ (h)= 1 para (h) = 0 y, δ (h) = 0

cov ≥ 0, a1 ≤0, a5 ≤ 0, a3 ≥ 10/3(a,a5)1/2

El algoritmo simplificado de cálculo parte de determinar, inicialmente, el grado de deriva o drift). Ello se logra buscando puntos vecinos a uno típico para,

K (h) = - (h) siendo k=0, 1, 2 y, aplicando al punto típico los tres órdenes de k, se jerarquizan, entonces, los errores de interpolación y se selecciona el orden con el rango medio mínimo. Este criterio toma como fundamento: 1/ considerar la covarianza generalizada como una función valida para cada k; 2/ las ponderaciones t(i) son independientes de los coeficientes a1. La estimación de los coeficientes de K h se asume, para algunos, un valor cero. Para k= se dispone de un cierto número de modelos de covarianza generalizada tales como: (27) K h = cov δ h K h = a1 h K h = a3 h3 K h = cov δh + a1h K h = cov δ h + a3 h3 K h = a1 h + a3 h3 K h = cov δ h + a1h + a3 h3 Los coeficientes de K h se determinan a partir de los incrementos generalizados para cada punto. Estos incrementos son combinaciones lineales de los datos, tomados como estacionarios en el modelo estadístico asumido. En consecuencia, para la combinación lineal:


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p (28) Σ = m1 z i=1 la varianza teórica es igual a: p p (29) varteor = Σ Σ mi mj K(i,j) i=1 j=1 Finalmente se selecciona la función de covarianza con mejor ajuste, mediante la comparación, para el orden k, de la relación var (observada)/var (kriging), toda vez que la varianza es el cuadrado del error de interpolación. Reglas de aplicación: Para aplicar las técnicas de interpolación espacial mediante kriging se deben observar los siguientes requisitos. 1. El parámetro de interés Z(x) es tal que representa un valor local donde x son las coordenadas en

una, dos o tres dimensiones, disponiéndose de valores locales de al parámetro en n localidades definidas como Zi = Z(xi) para i=1,…,n. Así, el problema de la interpolación radica en definir la forma en que Zi debe utilizarse para estimar el valor Zo en la localidad xo. Disponiendo, entonces, de la información necesaria debe ser posible estimar todo el campo de Z y, en atención al formalismo del kriging, se denominará Zo* al valor estimado en la locación xo, en tanto Zo será el valor verdadero desconocido y, así, el error de estimación equivale a Zo* - Zo.

2. Para la aplicación del kriging se considera, como hemos señalado en páginas anteriores, que el

parámetro Z es la realización de una función aleatoria Z(x,ξ) donde en el espacio es la variable de estado en el espacio de las realizaciones. Aceptando esta notación, Z(x,ξo) es la realización de Z para el valor ξo de la variable de estado, en tanto, (xo,ξ) es la variable aleatoria, es decir, todo el conjunto de las realizaciones posibles de Z en la localidad xo, partiendo del principio, ya enunciado, de que la función aleatoria Z cumple las condiciones de estacionaridad, intrínseca y de ser una función aleatoria de orden k, válida para todos los procesos que tengan una tendencia en el espacio.

3. La condición intrínseca es la que más se ajusta a los problemas hidrogeológicos, e implica que

E[Z(x + hξ)] = m para todas las x, lo que significa que el valor esperado de Z es independiente de x en el espacio de las realizaciones E[ ] para todos los valores de ξ y no sobre el espacio geométrico de x, lo que, en la práctica, significa que la realización única Z(x,ξ) fluctúa, en el espacio, alrededor de un valor medio m sin ninguna tendencia definida en cualquier dirección. Por otro lado, la varianza var [Z(x + hξ) - Z(x,ξ)] no es una función de x, sino de h, vector espacio (lag), por lo que x y x+h son dos locaciones en el espacio a una distancia h. Ello es lo que permite definir la función γ(h) que representa el variograma y cuya expresión más común es: γ(h) = ½ var [Z(x + hξ) - Z(x,ξ)] = ½ E[Z(x + hξ) - Z(x,ξ)], Por otro lado, es la condición de estacionaridad la que provoca que el término [Z(x + hξ) - Z(x,ξ)] tenga una media cero.

4. Al comparar la hipótesis intrínseca con la de estacionaridad sucede que aquella es menos

feurte que la estacionaridad del segundo momento que define la covarianza cov(h) = E[Z(x + hξ - m) - Z(x,ξ) - m]y, del mismo modo que para una función aleatoria a la que puede definírsele tanto la covarianza como el variograma, es fácil demostrar que γ(h) = cov(o) - cov (h), tal como se muestra en la fig. 14. Debe tenerse en cuenta, no obstante que, en muchos casos, la función aleatoria Z no es estacionaria, sino intrínseca, lo que implica que no puede definirse la covarianza sino sólo el variograma.


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Fig. 14. Función de covarianza y variograma según Marsily (1986)

5. A partir del conjunto de mediciones Zi, debe determinarse el variograma del parámetro Z, para lo

cual se añade la presunción de la hipótesis ergódica, que permite la inferencia estadística de las propiedades estocásticas de la función aleatoria Z a partir de una realización única de Z realizando promedios espaciales de Z en lugar de promedios del conjunto de valores en el espacio de las realizaciones, por lo que el variograma es inferido, consecuentemente, a partir de la conocida relación:

(30) γ(h) = ½ E [(Z(x + hξ) - Z(x))2]

6. Debe tenerse en cuenta que la aproximación estocástica suministra una posibilidad superior de

comprensión de la naturaleza de la incertidumbre y de la variabilidad espacial. 7. Las n mediciones de Zi permiten construir n(n+1)/2 pares de mediciones con localizaciones xi y

xj. Cada par puede asociarse con un vector hij=xi-xj y los pares agrupados en un número limitado de clases de tal modo que pueda disponerse de un número significativo de pares en cada clase que, por lo común, no debe ser inferior a 25. Si Z no es isotrópico -en sentido geoestadístico- las clases se definen tanto en longitud como en dirección del vector hij.

8. Para definir la condición de anisotropía, es recomendable, primero, calcular γ en función de la

distancia y el ángulo y, s los resultados muestran que γ no depende de este último, recalcular γ con las clases definidas sólo por las distancias. Para cada clase i, definiendo como ni el número de pares en la clase i; hi, di, los promedios de las distancias reales xp - xq y de las direcciones dpq de los pares de la clase i; Zp y Zq son las mediciones reales del parámetro Z en las locaciones xp, xq separadas, entre sí, por el vector hpq de la clase i. El variograma experimental, entonces, se calcula según la expresión:

(31) γ(hi, di) = ½ni ∑ (Zp - Zq)2

9. El variograma experimental se construye, en el caso de la anisotropía, como una función de la

distancia γ(h) con tantas curvas como clases de direcciones. Muchas veces, cuando el variograma experimental es anisotrópico, el parámetro Z no es realmente intínseco y tiene una tendencia definida en el espacio. En la dirección de esta tendencia, γ(h) se incrementa mucho más que en la dirección ortogonal a ella. En tal caso, al comprobarse que realmente existe tal tendencia en esa dirección, debe procederse mediante una aproximación de una función aleatoria intrínseca de orden k. De este modo, resulta posible cambiar el sistema de coordenadas mediante una transformación lineal x’ = αx en cada dirección, a fin de remover el efecto de la anisotropía. El sistema original de coordenadas x debe seleccionarse, previamente, en correspondencia con el de la anisotropía.

Al disponerse, entonces, de un variograma experimental, se requiere ajustar la expresión analítica

que lo describa según se describe en la fig. 4. Es básico comprobar que el variograma satisfaga dos condiciones: 1/ γ debe ser definida condicionalmente positiva y 2/ γ(h) para h → ∞ debe crecer menos rápidamente que h2.


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10. El estimador Zo* es lineal por definición y la suma se toma para todas las mediciones n. Cuando

existe un número grande de observaciones, la sumatoria se toma para subconjuntos n’ de las mediciones más cercanas al punto de estimación xo. En tal caso, las incógnitas del problema son los factores de ponderación λo

i, que dependen tanto del punto xo como de los puntos de medición xi.

11. Finalmente, los λ se calculan bajo dos condiciones: 1/ Se asume que la esperanza matemática

del estimado Zo* es igual al de la función aleatoria verdadera Zo y 2/ el error de estimación es un mínimo.

Varianza del error de estimación e intervalo de confianza: La varianza del error de estimación se determina de acuerdo con la expresión siguiente: (32) var (Zo* - Zo) = E[(Zo* - Zo)2] ya que E (Zo* - Zo) = 0. El miembro izquierdo de esta ecuación puede sustituirse definiendo el mínimo de la forma cuadrática en λ y µ, igualando a cero sus derivadas parciales respecto a λo

i y µ.. De este modo, (33) var (Zo* - Zo) = ∑ λo

i γ (xi - xo) + µ i El resultado de (33) no basta para determinar el intervalo de confianza de los estimados, aunque por lo común se asume normal, en cuyo caso, el intervalo de confianza equivaldría a ± 2σ, siendo σ, la desviación estándar; es decir, (34) σ = var (Zo* - Zo)1/2

de manera que el estimado, al 95% de precisión de Zo equivale a: (35) Zo* = ∑ λo

i Zi ± 2σ Promediación espacial: En el caso que se requiera un estimado del parámetro Z promediado sobre un área So del tipo de la malla de la red de un modelo de simulación matemática de acuíferos, las indicaciones anteriores pudieran no ser de muy satisfactorias toda vez que Zo* es un “valor local”, es decir, constituye la estimación del valor de la medición local que pudiera haberse realizado en la locación xo. En el caso de los modelos matemáticos lo que se necesita, comúnmente, es un estimado del valor medio Z sobre el área So, en cuyo caso se aplica la expresión siguiente: (36) ZSo = 1/So ∫So Z(x)dx Como el kriging es un estimador lineal, (36) es un operador lineal, por lo cual el estimado del promedio puede construirse directamente como una combinación lineal de las mediciones locales: (37) ZSo* = ∑ λo

i Zi Este procedimiento conduce a la posibilidad de utilizar las mediciones de Z como promedio sobre el área Sj en tanto Zi sigue siendo un valor local, de modo que γ (xi - xj) puede ser reemplazado, en las ecuaciones de kriging por:


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(38) γ*(Sj,So) = 1/SoSj ∫So ∫Sj γ(x -y) dx dy Ello permite utilizar, simultáneamente, datos colectados por diferentes métodos (por ejemplo, en el caso de las transmisividades, la combinación de resultados obtenidos por diferentes métodos de ensayo; conductividades hidráulicas derivadas de mediciones en muestras o en afloramientos; velocidades definidas por distintos métodos de trazadores, y otras). En tales casos el método adecuado, es el Co-kriging. De modo general, es posible determinar el variograma del promedio Z sobre un volumen V, a partir del variograma del valor local de Z, procedimiento que se conoce como regularización o cambio de escala (Journel y Huijbregts, 1978). En este caso, si h es muy superior a V, entonces γV(h) ≈ γV(h) - γ(V,V).


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MODELACIÓN GEOESTADISTICA TEMPORO-ESPACIAL Rouhani y Myers, bien en trabajos conjuntos o independientemente (Rouhani, y Hall, 1989; Rouhani y Myers, 1990; Rouhani y Wackernagel, 1990; Myers, 1982, 1984, 1985, 1988a, 1988b, 1989, 1990, 1992) han desarrollado, fundamentalmente este complejo de aplicaciones del kriging. Un resumen muy completo se presenta en Myers (1992), a quien seguiremos en lo fundamental. Muchas de las variables hidrogeológicas se asumen temporalmente constantes; es decir, invariantes respecto al tiempo, como es el caso de la transmisividad, el almacenamiento o la conductividad hidráulica aunque, en rigor, como han señalado diferentes autores, exhiben una clara dependencia del tiempo (Molerio, 1983; Myers, 1988b; Rouhani y Myers, 1990). Sin embargo, otras variables, como la cota piezométrica o la concentración de sustancias contaminantes son, dependientes, simultáneamente, del tiempo y del espacio. Si tales características, sean invariantes o dependientes del tiempo, requieren ser analizadas de conjunto, entonces se requiere incorporar la variabilidad temporo-espacial en las técnicas geoestadísticas y, en particular en las de simulación condicional o co-kriging. Para ello se dispone de los siguientes recursos: • incorporación de la dependencia temporal en la no-estacionaridad • incorporación de la dependencia espacial solamente en los parámetros del variograma • separación de las dependencias espaciales y temporales tratando diferentes puntos del

tiempo como variables separadas cuya interdependencia y dependencia espacial sea caracterizada por variogramas simples y cruzados

La aproximación basada en distinguir la dependencia mediante la simulación del variograma como una suma de las componentes espaciales y temporales no ha sido exitosa; por el contrario, el variograma tiene que describir tanto los lags temporales como los espaciales. Forma general: En los problemas que comúnmente se analizan en hidrogeología existen numerosas variables de interés, por lo que es natural considerar m funciones Z1(x,t),…, Zm(x,t) donde x denota un punto en el espacio de referencia. En cualquier caso real, como en los problemas de transporte de masas, aunque algunas de las variables que intervienen se pueden describir como una función de ambas condicionales, una o más de esas funciones pueden depender de una sola de ellas, es decir, bien del tiempo o del espacio. El problema geoestadístico consiste en: 1/ determinar una o más de esas funciones en determinado punto del espacio y del tiempo partiendo de un grupo de datos temporo-espaciales, o 2/ establecer las relaciones de causalidad entre ellas habida cuenta que la causalidad puede estar expresada en términos estocásticos y no determinísticos. En estos casos, suele ocurrir también que algunos o la totalidad de los datos de base, como ocurre en el problema del transporte de contaminantes, no poseen soporte puntual en el tiempo, el espacio, o en ambos, como pudiera ser, por ejemplo, el caso de niveles piezométricos “instantáneos”, que representen la distribución de las cargas en un instante dado. Cada función Zj(x,t) puede ser considerada, separadamente, como una función aleatoria de media Mj(x,t) y variograma (h,s) o covarianza C(h,s). Si se estima por separado, la forma del (los) estimado(res) del kriging no cambiarían con la incorporación del tiempo. En el caso particular de componentes cercanas a la no correlación, de modo tal que Zi(x’,t’’), Zj(x,t) no correlacionene para todo x’,t’’,x,t excepto cuando t’’=t y x’=x, los variogramas cruzados presentan una forma peculiar, de manera que se presentarán solamente tres casos. Primer caso: Sea y(x,t) una variable definida en una región del espacio y en un dominio del tiempo, que puede ser, por ejemplo, la tasa de infiltración en una locación x en un día t. Una de las formas de definir las variables es del modo siguiente:


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(39) z1(x) = ∫ y(x,t) dt (40) z2(x) = (1/T) ∫ y(x,t) dt Es importante destacar que la medición del tiempo, en días, puede enmascarar una medición instantánea respecto a la acumulada o a la media del día. Lo propio puede ocurrir con los valores medios mensuales o anuales. Por ello, para períodos de tiempo suficientemente largos, los valores deben leerse como réplicas de la misma variable en el espacio. Para series cortas de períodos de tiempo a intervalos intermedios, los valores de la serie deben tratarse como variables diferentes. Segundo caso: La dependencia espacial puede ser removida empleando promedios areales: (41) w1(t) = ∫ y(x,t) dx (42) w2(t) = (1/A) ∫ y(x,t) dx Tercer caso: La dependencia respecto al tiempo y al espacio puede separarse. Así, la función aleatoria puede ser no estacionaria, pero la componente aleatoria depende sólo de la locación o del tiempo, pero no de ambas, como en las representaciones: (43) Zj(x,t) = Mj(x,t) + Yj(x) (44) Zj(x,t) = Mj(x,t) + Yj(t) En tanto el variograma o la covarianza dependan de x,t diferirá el variograma que dependa solamente de x o de t por una función determinística. La dependencia respecto a x,t también pudiera separarse de los modos siguientes: (45) Zj(x,t) = Yj1(x) Yj2(t) (46) Zj(x,t) = Mj(x) + Yj(t) (47) Mj(x,t) = mj1(x) + mj2(t) (48) Mj(x,t) = mj1(x) mj2(t) En caso de que el interés se reduzca a las funciones de un grupo finito de puntos temporales, la dependencia del tiempo puede ser suprimida de acuerdo con: (49) Wjk(x) = Zj(x,tk); k = 1,…,p o, indistintamente para remover la dependencia espacial o temporal del modo siguiente: (50) Vj(z) = ∫tiUj(t) < z Uj(t) dt (51) D(t’,t’’) = ∫ [Zj(x,t’) - Zj(x,t’’)] dz


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En cualquiera de estos casos en que se examinan dependencias temporo-espaciales, las mayores dificultades se encuentran en la modelación del variograma o la covarianza y no existe un criterio unánime acerca de los criterios más adecuados sobre la efectividad de determinados modelos y, por ello, se han empleado, por ejemplo, para simular y krigear composición química atmosférica, variogramas de tipo “nested”; para datos piezométricos de acuíferos, funciones intrínsecas aleatorias e, incluso, ecuaciones de estado para derivar la covarianza temporo-espacial. Kriging temporo-espacial: Si el tiempo se considera otra dimensión, no hay cambios en la forma del estimador de kriging ni en las ecuaciones de krigeado. Es decir, si (xo,to) es un punto no muestreado en el espacio-tiempo considerado en un sistema de datos Z(x1,t1),…,Z(xn,tn), entonces Zo se estima según: (52) Z*(xo,to) = ∑ λiZ(xi,ti) donde no se asume ninguna interrelación entre las coordenadas espacio-temporales del punto, de manera que el estimador interpolará o extrapolará tanto en espacio como en tiempo. En este caso, la definición de variograma o covarianza para Y es completamente análoga al caso espacial y es definida estrictamente condicional positiva para satisfacer los requerimientos de la solución única. Así, en el espacio-tiempo que se considera, Z(x,t) satisface la hipótesis intrínseca en tiempo y espacio si, para cualquier incremento (h,k): (53) E[Y(x + h,t + k) - Y(x,t)] = 0 (54) 0.5 Var [Y(x + h,t + k) - Y(x,t)] = γ(h,k) no dependen de h o de k. Análisis estructural: La modelación de un variograma en el espacio-tiempo se fundamenta en la separación de ambas componentes. Tomando como base: (55) γ(h,k) = [1/(2N(h,k)] ∑ Z(xi + h,ti + k) - Y(xi,ti)2 la modelación temporo-espacial del variograma se ha intentado a partir de las expresiones siguientes (Myers, 1992): (56) C(h,t) = Ct(t)Ch(h)……………………………………….. Rodríguez - Iturbe & Mejía (1974) (57) γ(h,t) = δ0 + γt(t) + γh(h) + γh,t [(gh2 + t2)]………………Bilonick (1987) (58) GC(h,t) = GCt(t) + GCh(h)……………………………….Rouhani y Hall (1988) donde C, es la covarianza temporo-espacial; Ct, la covarianza temporal; Ch, la covarianza espacial; γ, variograma espacio-temporal; δ0, el variograma con efecto de pepita puro; γt y γh los variogramas temporal y espacial, respectivamente; γh,t, el variograma isotrópico espacio-temporal; GCt y GCh, las covarianzas generalizadas temporales y espaciales, respectivamente; g, es el coeficiente geométrico de nisotropía entre el tiempo y el espacio y t y h, finalmente, son los lags temporales y espaciales, respectivamente.


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FUNCIONES EMPIRICAS ORTOGONALES (EOF) Las Funciones Empíricas Ortogonales (EOF) se han adaptado al análisis de campos espaciales continuos resolviendo una ecuación integral de Fredholm en la que las EOF se tratan como funciones propias del kernel de covarianza dependiendo, fuertemente, del límite del dominio finito de integración. El método es de muy reciente desarrollo (Buell, 1971, 1975; Fortus, 1975; North et al., 1982; Obled y Creutin, 1986; Mac Veigh, Barnier & Le Provost, 1987; Obled y Braud, 1989; Braud y Obled, 1989; Braud, 1992), aunque ya en 1960, Obukov desarrolló, estadísticamente, las EOF. El método se ha aplicado, sobre todo, en la simulación de campos aleatorios, de campos no estacionarios y, en general, en el análisis de campos variables del espacio tiempo, de manera que, un método que, originalmente no fue considerado de tipo geoestadístico, al estudiarse los campos continuos con técnicas de reconocimiento de patrones del tipo de Análisis en Componentes Principales (ACP), se ha incorporado a estos de modo exitoso. En esencia, la aplicación de las EOF resulta una aplicación del ACP en la que la estructura estadística del campo continuo, en lugar de ser investigada mediante vectores propios o una matriz de covarianza, lo es a través de las funciones propias (eigenfunciones) del kernel de covarianza continua. Esta es el conjunto de soluciones de la ecuación integral de Fredholm que considera, explícitamente, el dominio bajo estudio, por lo que el kernel de covarianza puede desarrollarse utilizando un número finito de funciones propias, las Funciones Empíricas Ortogonales, aplicarlos en problemas de interpolación, como alternativa del kriging. Formalismo de las EOF: El proceso aleatorio X(ξ,x) definido en un dominio limitado D del plano X=x,y, donde ξ es la realización aleatoria de X y todas las realizaciones se suponen independientes. El proceso tiene media cero; es decir, la esperanza matemática E, tal que E[X(ξ,x)] = 0 y X(ξ,x)se asume con una varianza finita, E[X2(ξ,x)], tal que la covarianza C(x,x’) = E[X(ξ,x) X(ξ,x’)]. Con esta presunción no se requiere establecer, apriorísticamente, la hipótesis de que la función de covarianza sea invariante por traslación. La aplicación del análisis de la EOFa X(ξ,x), consiste en hallar un desarrollo de la forma: ∞ (59) X(ξ,x) = ∑ Zk(ξ) Fk(x) k=0 minimizando el error medio cuadrático sucesivamente para K=1,…,K = ∞. Es decir, (60) E [ ∫DX(ξ,x) - Xk(ξ,x)2 ] donde, K (61) Xk(ξ,x) = ∑ Zk(ξ) Fk(x) k=1 de manera que, para lograr una solución única, es necesario normalizar las funciones Fk(x): (62) ∫D F2

k(x) dx = 1 lo cual permite satisfacer dos condiciones básicas:


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• Fk(x) son funciones ortornormales sobre D que se derivan como funciones propias (eigenfunciones) del kernel de covarianza C(x,x’) y,

(63) ∫D Fk(x) Fm(x) dx = δkm (delta de Kronecker)

(64) ∫D C(x,x’) Fk (x’) dx = λkFk(x)

• Zk(ξ) son variables no correlacionadas de media cero y varianzas λk decrecientes: (65) E [Zk(ξ) Zm(ξ)] = λk δkm donde la proyección del proceso X(ξ,x) sobre la función Fk(x), equivale a: (66) Zk(ξ) = ∫DX(ξ,x) Fk(x) dx mediante la cual, el kernel de covarianza puede ser desarrollado sobre el conjunto de

eigenfunciones: (67) C(x,x’) = ∑ λk(ξ) Fk(x) Fk(x’) Aproximación numérica: La aproximación general consiste en escoger un conjunto de funciones canónicas de base ei(x), i=1,…,P, tal que, (68) ei(xi) = δij i,j=1,…,P de manera que la función de covarianza puede aproximarse como: P P (69) C*(x,x’) = ∑ ∑ C(xi,xj) ei(x) ej(x’) i=1i=j donde C(xi,xj) representa la covarianza “verdadera” entre dos puntos (xi,xj) cualesquiera de la red. Las eigenfunciones se aproximan sobre la misma base ei(x), de modo que se determinan los coeficientes fik. (/0) F*k(x) = ∑ fik ei(x) lo que conduce, sustituyendo apropiadamente C(x,x’) y Fk(x) por sus valores aproximados en la expresión (62) a la solución del problema matricial: (71) C E F = F ∆ donde C, es la matriz de covarianza; E, la matriz simétrica positiva de los productos internos de las funciones F, es la matriz de las fik y ∆, la matriz diagonal de los valores propios, de modo que sus elementos son: (72) Ejm = ∫D ej(x) emi(x) dx por lo que Zk(ξ) viene dado por el producto matricial:


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(73) Z = X E F donde ahora X es la matriz de las N observaciones o campos disponibles muestreados en los puntos xj, j =1,…,P.

Los productos matriciales muestran las diferencias básicas entre el ACP y las EOF, que radica en la introducción de la matriz de los productos escalares E que toma en consideración, explícitamente, el dominio bajo estudio y la forma de la red.

Esta aproximación numérica permite obtener las funciones propias en un número finito de puntos de la red y, en su determinación se introducen dos tipos de errores: • debidos a la discretización espacial, que involucra el número finito de puntos de la red, la

regularidad de ésta y la selección de las funciones de base ei(x), • a la dimensión finita N de la muestra que introduce errores en la estimación de la matriz de

covarianza C. Influencia de la discretización espacial: La fig. 15 muestra el efecto del dominio sobre los patrones de EOF Fig. 15. EOF 2 y EOF 15 para el kernel de covarianza C = 1/ln (λ/β) [Ko (βr) - Ko (λr)] para λ=2, β=1 en círculos de radio R=2 con distancias adimensionales

Los efectos pueden resumirse del modo siguiente: • Mientras mayor es la densidad de la red, mejor es la estimación de las EOF pero la

precisión mejora rápidamente en tanto la discretización es consistente con el rango (o la longitud de correlación) del modelo; esto es particularmente válido para funciones ortogonales empíricas de órdenes grandes, como se muestra en la tabla 4 (columna sombreada).


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Tabla 4. Coeficiente de determinación entre las EOF analíticas y su aproximación numérica en función de la densidad de la red (P)

P 113 269 441 1025 EOF 1 0.94 0.997 0.997 0.999 EOF 4 0.71 0.998 0.999 0.999

EOF 13 0.53 0.96 0.99 0.99 EOF 20 0.74 0.76 0.95 0.99

• La precisión de las EOF es más elevada con una red regular que con una aleatoria, y esta

precisión decrece rápidamente cuando la red es irregular y el orden de la EOF se incrementa, como se muestra en la tabla 5.

Tabla 5. Coeficiente de determinación entre las soluciones analíticas y numéricas respecto a la regularidad de un red de P=113 locaciones. Regularidad de la red Cuadrada Triangular Estratificada Aleatoria

EOF 1 0.95 0.999 0.997 0.997 EOF 4 0.71 0.999 0.999 0.999

EOF 13 0.5 0.99 0.81 0.94 EOF 20 0.74 0.99 0.61 0.6

• La selección adecuada de las funciones de base es especialmente importante solo cuando las

EOF se emplearán para la interpolación. De este modo, los efectos negativos de la discretización se minimizan atendiendo a los siguientes criterios:

• Discretización espacial consistente con la longitud de correlación • Red lo más regular posible y, en especial, de tipo triangular

Influencia del muestreo estadístico: Como se muestra en la tabla 6, la longitud finita N de la muestra, es el punto más crítico en la aplicación de las EOF. Cuando N decrece, disminuye la calidad del estimado de las EOF, ya que, como consecuencia de la proximidad de los eigenvalores varias funciones empíricas ortogonales se mezclan dando la posibilidad a que se establezcan correlaciones significativas entre diferentes soluciones numéricas y analíticas. Sin embargo, cuando N tiende al infinito no significa, forzosamente, que mejoren proporcionalmente los resultados; antes bien, se descubren algunas pérdidas importantes de precisión. Tabla 6. Coeficientes de determinación entre las eigenfunciones analíticas y sus aproximaciones, respecto a la longitud de la muestra. N = ∞, significa que C se ajustó mediante un modelo exacto.

N 100 300 1000 ∞

EOF 1 0.42 0.65 0.91 0.99 EOF 4 0.83 0.94 0.8 0.97

EOF 13 0.19 0.4 0.66 0.77 EOF 20 0.11 0.25 0.41 0.85


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CONJUNTOS FUZZY El término “fuzzy” se ha aplicado, en los últimos años, para designar aquella información que no puede cuantificarse exactamente y que, sin embargo, puede expresarse en términos cualitativos que, con toda su relatividad y ambigüedad, sin embargo, caracterizan, para el conjunto de observadores que lo aplican al mismo problema, un cierto grado de informatividad. Aplicar variables lingüísticas del tipo “buena”, “escasa”, “pobre”, “mala”, “insuficiente” o del tipo de desigualdades, como “mayor que…”, “mejor que…” pueden sin embargo, expresarse de modo cuantitativo, previa formalización matemática y ser, empleados, entonces, para operar matemáticamente. Estas técnicas se conocen como “Análisis de Conjuntos Fuzzy” y los primeros trabajos acerca del tema datan de 1965 (Zadeh, 1965) pero, sobre todo, a partir de 1980 (Dubois & Prade, 1980; Kauffman & Gupta, 1985, 1988; Zimmermann, 1985; Duckstein, 1994). El análisis de conjuntos fuzzy se ha aplicado, sobre todo en la toma de decisiones y en el análisis de problemas de contaminación de las aguas superficiales y subterráneas; en particular, aquellos que entrañan una componente de riesgo que debe ser cuantificada. En este epígrafe expondremos una breve introducción a los conjuntos y números fuzzy. Subconjunto fuzzy: En los conjuntos comunes la relación de pertenencia es binaria; es decir, un elemento pertenece o no pertenece a determinado conjunto. En los conjuntos fuzzy, sin embargo, el grado de pertenencia se asocia a cada elemento, por lo que el valor de pertenencia de un elemento puede variar de 0 a 1 y, así, mientras mayor es el valor mayor pertenencia tiene el elemento que se trate al conjunto en cuestión. Por ello, un subconjunto fuzzy es aquel conjunto de pares ordenados de elementos dados y su valor de pertenencia al conjunto. Definición: Siendo A el subconjunto fuzzy del universo X, A posee elementos pares ordenados tal que: (74) A = (x, mA(x)) ; x. ∈. X; mA(x).∈. [0,1] donde mA(x) es el grado de pertenencia de x al conjunto A. Un número ordinario no-fuzzy tiene una función de pertenencia en el conjunto (0,1) igual a 1 si x está en A y cero si no. Al tratar con conjuntos fuzzy, sin embargo, es posible definir talñ pertenencia de un modo más ambiguo, por ejemplo, diciendo que los números 90, 108 o 120 “pertenecen a un subconjunto fuzzy con un orden de magnitud mayor de 10”. Como el grado de pertenencia está asociado con cada x en A, puede pensarse en pertenencias de diferentes niveles. Así, el h-ésimo nivel del subconjunto fuzzy A se define como todos los elementos cuyo grado de pertenencia es h o mayor; esto es: (75) Ah = (x, mA(x)) ; mA(x) ≥ h; h.∈. [0,1] Subconjuntos fuzzy normales y cuasiconvexos: Un subconjunto fuzzy normal es aquel donde existe, al menos un valor x.∈.A tal que mA(x) = 1 o, lo que es lo mismo, que el máximo de la función equivalga a la unidad. El conjunto es cuasiconvexo para toda q entre 0 y 1 y x.∈.A, y.∈.A, (76) mA(qx + (1 - q) y) ≥ mín mA(x), mA(y)


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La diferencia con la convexidad odinaria se define comparando el miembro izquierdo dela expresión (76) con la combinación convexa q.MA(x) + (1 - q) mA(y), de manera que (76) se interpreta como que la función de pertenencia no posee extremos locales. Números Fuzzy: Un número fuzzy M es un subconjunto fuzzy normal del conjunto de los números reales. Las figs 16 y 17 muestran las funciones de pertenencia para dos casos. Fig. 16. Esquema de dos posibles funciones de pertenencia del número fuzzy C “Alrededor de 20 pero no mayor de 35”

Fig. 17. Función de pertenencia de la probabilidad de seguridad p(45)

La propiedad de convexidad limita la forma que pueden adquirir tales funciones de pertenencia, de manera que siempre son no decrecientes a la izquierda del pico y no crecientes a la


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derecha. En las figs. 16 y 17 se presentan dos valores de x donde la función de pertenencia alcanza el valor cero y, al menos, uno donde alcanza el valor de 1. El número fuzzy puede ser caracterizado por esos tres puntos y la forma de la curva definirse por un par de funciones, respectivamente, para cada lado del pico, habida cuenta que no se requiere simetría en la forma de la función.

Un número real es un número fuzzy cuyos elementos alcanzan sólo un número con un valor de pertenencia no cero e igual a 1.

Número Fuzzy Triangulares: Los números fuzzy triangulares (TFN) son el tipo más simple de número fuzzy, como el que aparece representado en la fig. 17, donde es lineal a cada lado del pico. El número A puede describirse por los valores de x en los puntos a1=0, a2=20, a3=35, de manera que A=(a1,a2,a3) caracteriza, completamente, el número que se trata. Números Fuzzy L-R: Cualquier número fuzzy no triangular es, por definición, de forma no lineal como aparece en B (fig. 17) donde la caracterización de su pertenencia tiene que incluir la funcional de las funciones a la derecha y la izquierda del pico. Formalizando adecuadamente, un conjunto fuzzy A en el conjunto de los números reales es un número fuzzy L-R si su pertenencia a x puede calcularse como: L [(A-x)/b)] para x ≤ A, b > 0 (77) mA(x) = R[(x-A)/c)] para x > A, c > 0

donde L y R son funciones continuas estrictamente decrecienctes en [0,1] y,

(78) L(z) = R(z) = 1 si z ≤ O (79) L(z) = R(z) = 0 si z ≥ 1 por lo que el número fuzzy L-R, A puede escribirse, simbólicamente, como: (80) A = (A, b, c) (L-R) Producto Cartesiano: Si (X1),…,X(I) son conjuntos; A(1),…,A(I) son subconjuntos fuzzy de X(1),…,X(I), los productos cartesiano es A=A(1) ><,…,>< A(I) es el subconjunto fuzzy X(1)><,>< X(I), con una función de pertenencia: (81) mA(x(1),…,x(I)) = mín mA(i)(x(i)): i=1,…,I donde x(i) .∈.X(I).


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Principio de Extensión: Es un método para extender, punto a punto, las operaciones con conjuntos fuzzy. Constituye la base de la aritmética fuzzy. Sea f un punto mapeado de un conjunto X a un conjunto Y, de manera que, (82) f = (x,y): x.∈.X; y.∈.Y; y=f(x) y f, entonces, puede extenderse a una situación de conjunto fuzzy haciendo A un subconjunto fuzzy de X con función de pertenencia mA. La imagen de A en Y es el subconjunto fuzzy B con la función de pertenencia siguiente: (83) mB(y) = sup mA(x); y = f(x): x.∈.X, y (84) mB(y) = 0 si no existe un x.∈.X tal que f(x) = y. Si X se define como un producto cartesiano, entonces mA(x) en (84) debe ser reemplazado por la expresión (81), de manera que, (85) mB(y) = sup mín mA(i)(x(i)): i=1,…,I y = f(x): x.∈.X (86) mB(y) = 0 si no existe un x.∈.X tal que f(x) = y. Aplicaciones de los conjuntos fuzzy: El análisis de conjuntos fuzzy se ha aplicado, con preferencia, a las solución de las siguientes situaciones: • La descripción de una situación: “El día de hoy es frío” puede expresarse como “El día x

pertenece al conjunto B de los días fríos con un valor de pertenencia mB (x) = 0.8”. • La preferencia sobre el valor de un atributo, x, como puede ser el Oxígeno disuelto en las

aguas y otro indicador de calidad, en cuyo caso, la función de pertenencia en el conjunto A de los valores deseables se incrementa en forma de S hasta que se alcanza una concentración del 100% desde donde decrece hasta la insaturación (fig. 18).

• La imprecisión, entre otras, de la interpolación, o en el análisis de riesgos.


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Fig. 18. Ejemplo de función de pertenencia de la concentración relativa Z de Oxígeno disuelto en el conjunto A de valores de agua de buena calidad.

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD. Se recomienda cuando hay dudas respecto a la precisión del input y se conoce que pueden provocar efectos críticos. Permite detectar:

1. Efectos de la carga hidráulica (h) sobre los campos de transmisividad (T) y almacenamiento (S) y viceversa.

2. Efectos de la anisotropía del campo T y S. 3. Efectos de parámetros que varían con la profundidad. 4. Errores en las condiciones de contorno. 5. Errores en la recarga asumida. 6. Efecto de la matriz sobre los procesos de transporte. 7. Efectos del diámetro efectivo de las grietas y los conductos.

Selección de técnicas de procesamiento del dato básico: Las técnicas geomatemáticas como el análisis en componentes principales y la clasificación numérica (clustering) y el procesamiento geoestadístico de las variables involucradas en el análisis hidrogeológico, resultan herramientas lo suficientemente poderosas para esperar resultados satisfactorios en términos lógicos y coherentes. Las técnicas geoestadísticas utilizadas fueron: • Estacionalidad • Estadística descriptiva • Autocorrelograma • Periodograma y espectro de varianza. • Análisis multivariado. • Clasificación Numérica (Clustering).


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El contenido básico del análisis se describe a continuación. • Estacionalidad. Una serie temporal confeccionada por períodos (días, meses, trimestres) puede ser analizada a través de la estacionalidad. A través de esta técnica es posible determinar cuantas estaciones tiene el período analizado. En Cuba deben esperarse dos estaciones en un año, como se observa en la fig. 19. • Estadística descriptiva Con estos estadígrafos es posible determinar las característica de una serie como son: - Tamaño de la muestra - Varianza - Promedio - Desviación estándar - Mediana - Error estándar - Moda - Valor mínimo y máximo - Media geométrica - Rango - Coeficiente de variación Fig. 19. Serie cronológica de cotas piezométricas de un pozo en un acuífero cársico.

Niveles AL-3

-2.004.00

6.008.00

10.0012.00

14.0016.0018.00

Ene-

73JU

LEn

e-74

JUL

Ene-

75JU

LEn

e-76

JUL

Ene-

77JU

LEn

e-78

JUL

Ene-

79JU

LEn

e-80

JUL

Ene-

81JU

LEn

e-82

JUL

Ene-

83JU

LEn

e-84

JUL

Ene-

85JU

LEn

e-86

JUL

Ene-

87JU

LEn

e-88

JUL

Ene-

89JU

LEn

e-90

JUL

Ene-

91JU

LEn

e-92

JUL

Ene-

93JU

LEn

e-94

JUL

Ene-

95JU

LEn

e-96

JUL

Ene-

97

Tiempo (mes)

Niv

el (p

rof.)

• Autocorrelograma. La función de autocorrelación (fig. 20) caracteriza la estructura interna de las procesos aleatorios y expresa la dependencia correlativa entre los valores de un proceso, entiéndase un vector de serie temporal para parejas arbitrarias de instantes de tiempo T1 y T2. Para cada pareja de instantes, el valor de la función de autocorrelación es igual al coeficiente de autocorrelación, entre las respectivas series de valores.


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Fig. 20. Autocorrelograma de cotas piezométricas con valor de truncamiento equivalente a un tercio de la longitud de la serie.

Función de autocorrelaciónCotas piezométricas

179.1 .0000172.2 .0000166.9 .0000166.0 .0000165.4 .0000165.3 .0000164.0 .0000163.5 .0000163.0 .0000162.4 .0000161.6 .0000159.2 .0000150.8 .0000137.0 .0000129.5 .0000126.0 .0000124.8 .0000122.2 .0000102.7 .000087.21 .000039.69 .0000

41 -.155 .0758 39 -.155 .0771 37 -.041 .0783 35 -.057 .0795 33 +.014 .0807 31 +.082 .0818 29 +.048 .0830 27 +.058 .0841 25 +.060 .0852 23 +.006 .0863 21 -.049 .0874 19 -.147 .0885 17 -.223 .0895 15 -.207 .0906 13 -.119 .0916 11 -.103 .0926 9 +.003 .0936 7 +.271 .0946 5 +.196 .0956 3 +.373 .0966 1 +.615 .0976

-1 -0.5 0 0.5 1

En un proceso aleatorio estacionario (sin componentes periódicas) es característico que las dependencia de correlación entre las variables aleatorias se reduzcan en el tiempo tendiendo a infinito, y las variables se vuelven independientes. En los procesos absolutamente aleatorios no hay autocorrelación para ningún desfasaje. Las series periódicas presentan funciones de autocorrelación periódicas. Estos coeficientes de correlación pueden usarse para comprobar la estacionalidad u otra periodicidad, o como un paso preliminar para determinar un modelo paramétrico apropiado para sus datos. El autocorrelograma suministra información sobre la memoria del sistema, equivalente a su capacidad inercial respecto a un estímulo de valores. • Periodograma y espectro de varianza. Fourier estableció que cualquier serie de tipo aleatoria, definida en un intervalo finito puede representarse como una suma de senos y cosenos. Una forma común de determinar y analizar una serie temporal en estadística es estimando un espectro de frecuencia que permite descomponer la varianza de los datos en contribuciones sobre un rango de frecuencias. El periodograma (fig. 21)está hecho a escala de tal forma que si la media de la serie es cero la suma de las ordenadas se igualan a la suma de los valores de los datos al cuadrado; permite, asimismo, verificar si los datos en una serie temporal son aleatorios o no. El procesamiento identifica si hay estacionalidad, o sea, si los datos tienen tendencia cíclica o no.


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Fig. 21. Periodograma de cotas piezométricas.

Análisis Espectral (Periodograma de cotas Piezométricas)No. de casos: 102 (paso de tiempo mensual)

Frecuencia

Valo

res

del P

erio

dogr

ama

0

20

40

60

80

100

120

0

20

40

60

80

100

120

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

El espectro de varianza (fig. 22) no es más que la descomposición de los armónicos en que se divide la serie, para conocer a través de ellos la frecuencia de los ciclos que afectan el sistema.

• Análisis multivariado. El análisis multivariado, incluye métodos estadísticos muy desarrollados, como lo son la taxonomía numérica (Cluster Análisis) y componentes principales, además brinda la posibilidad de confeccionar la matriz de correlación de los elementos o variables que se utilizan para la aplicación de estos métodos. Este tipo de análisis pretende definir informatividad o relaciones entre variables y cuáles son los factores que consideran los geosistemas en estudio, a través de técnicas potentes de reconocimiento de patrones. Los pasos del análisis son los siguientes: • Conformación de la matriz observacional o de evidencias • Estandarización y/o normalización de la matriz • Solución de la matriz en términos de valores y vectores propios • Selección del criterio de valor propio mínimo permisible • Definición del límite aceptable de varianza explicada • Cálculo de las comunalidades • Selección del método de extracción de factores • Selección del método de rotación de la matriz


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Fig. 22. Espectro de varianza de cotas piezométricas

Análisis de Densidad EspectralNo. de casos: 102 (paso de tiempo mensual)

Pesos de Hamming:.0357 .2411 .4464 .2411 .0357

Frecuencia

Den

sida

d Es

pect

ral

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

Tabla 7. Valores propios y varianza explicada. Componente Valor propio % varianza Varianza acumulada

1 .031 52.5 52.5 2 .211 18.5 70.9 3 5.773 9.6 80.6 4 1.056 8.7 89.2 5 .155 6.3 95.5 6 .0000806 1.9 97.4 7 .099 1.4 98.8 8 .00019 .9 99.7 9 2.034 .3 99.99

10 .952 .001 99.99 11 .688 .0007 100.00

De ella puede derivarse dos importantes conclusiones, la primera indica que bajo el criterio de aceptación de valores propios que cumplan la condición λ ≥ 1 tres (3) factores resumen todas las variables de la matriz de evidencias que permiten explicar el 80.6% de la varianza total. Un valor de 0..95 pudiera ser tomado como límite inferior y entonces, puedes explicar hasta el 89.2% de la varianza total. En ambos casos, el alto valor explicado permite aceptar la compoción de evidencias representada en la matriz observacional. Atendiendo a ello, se prepararon dos tests de análisis factorial en modo variable (AF-R), uno con tres factores y otro con cuatro. Las comunalidades estimadas para las dos variantes se presentan en la tabla 8.


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Tabla 8. Comunalidades estimadas

Variable 3 factores 4 factores HCO3 .78 .79

Cl .98 .99 SO4 .91 .94 Ca .85 .87 Mg .89 .9 Na .94 .95

K .58 .63 SST .99 .99

PT .3 .96 CT .81 .90

D_Mar .81 .89 Como puede apreciarse, no hay cambios notables en la comunalidad de SST, que se mantiene como el patrón de discriminación más importante. Igualmente, HCO3, Cl, SO4, Ca, Mg y Na apenas sufren variación. Sin embargo, destaca, especialmente, el efecto sobre la profundidad total, cuyo peso, ahora, con cuatro factores, adquiere un especial significado por encima, incluso, de otros índices geoquímicos. Tal resultado, sugiere que la selección de cuatro factores permite incluir elementos geométricos en la matriz de transición que, por ello, pudieran ser importantes para explicar el control que tales variables ejercen sobre la hidrodinámica geoquímica del sistema. Las figs. 23 y 24 muestran la distribución de las variables sobre el plano factorial I-II, una vez rotadas las matrices estandarizadas por el método Varimax. Seleccionando tres factores, la tabla 9 muestra la composición y peso de las variables que las conforman. Tabla 9. Matriz factorial rotada (Varimax) para tres factores principales Variable Factor 1 Variable Factor 2 Variable Factor 3

Cl .966 CT .883 HCO3 .776 SST .945 D_Mar .863 SO4(?) .615 Mg .908 Ca .891 Na .888

En el primer factor predominan las variables asociadas a la fuente de suministro de iones cloruro que influyen en la mineralización total, en particular el Mg y Na. La aparición del Ca puede deberse a sustitución iónica. La posición del Mg en la escala de informatividad sugiere que, en la actualidad, existe un proceso de adquisición de Mg por sustitución del Ca, que bien pudiera estar ajustado a la mezcla de aguas dulces y salobres y, en menor medida a dedolomitización. Las variables del segundo factor también favorecen el criterio de que el proceso de adquisición de la composición química actual se encuentra dominado por la intrusión marina, sobre todo, por la segunda variable, que considera la distancia al mar del punto de muestreo. En este test, por su parte, el papel de CT no está muy claro. En el tercer factor, finalmente, predomina, de modo absoluto, el HCO3, indicando la composición base del acuífero carbonatado. Incluir el SO4 no haría más que confirmar el papel de la intrusión marina en el proceso pero, su peso informativo, es bastante menor y puede no necesariamente estar incluída en este factor.


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Fig. 23. Plano factorial para tres factores (rotación Varimax)

La matriz no rotada no mostró variación en la posición ni composición de los factores 2 y 3. En el factor 1 aparecieron, por este orden: SST, Na, Cl, Mg, SO4.

Por su parte, la tabla10 muestra la matriz factorial para cuatro factores. Tabla 10. Matriz factorial rotada (Varimax) para cuatro factores principales Variable Factor 1 Variable Factor 2 Variable Factor 3 Variable Factor4

Cl .966 CT .932 HCO3 .814 PT .965 SST .954 D_Mar .911 Mg .915 Na .903 Ca .866


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Fig. 24. Plano factorial para cuatro factores

Obsérvese que la composición de los tres primeros factores no varía. En el primer factor solamente cambia la posición del Na y el Ca, de manera que ratifica el predominio de los iones asociados a la intrusión marina en el proceso de adquisición de la composición química de las aguas subterráneas. En el tercer factor, el SO4, que había sido tomado con reservas en la rotación para tres factores, ahora, definitivamente, no interviene de modo significativo en la hidrodinámica geoquímica del sistema. • Clasificación o Taxonomía numérica (Clustering). Método de clasificación numérica que se basa en una medida de las distancias entre las variables objetivos. En nuestro caso se utilizó como el marco de agrupamiento el del vecino más cercano, que no es más que establecer cuál o cuáles son los elementos patrones más similares al objeto, que estamos clasificando; esto ofrece la posibilidad de extrapolar las cualidades de sus vecinos más cercanos. Para este tipo de análisis existen varias funciones de semejanza, entre ellas la distancia matricial y la distancia euclidiana, ambas entre puntos. Para definir relaciones de asociatividad entre los diferentes puntos de muestreo se aplican las técnicas de Análisis de Cluster. En este ejemplo, se aplicaron los métodos de K-medias para tres y cinco clusters , aplicando, en cada caso, medidas desde el centro de cada cluster y observaciones a intervalos constantes, cuyos resultados se presentan en las tablas 11-14. También, se construyeron los dendrogramas por los métodos de Ward, con distancia Euclideana, y de Enlace Completo, con medida del cuadrado de la Distancia Euclideana cuadrada. Las figs. 25 y 26 muestran los árboles correspondientes.


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Tabla 11. Clusters definidos por K-medias con medida de distancia al cluster central (tres grupos) Cluster 1 Cluster 2 Cluster 3 Cerritos 1 Cerritos 31 La Caoba Sumidero Peñate Marcelo 2 Sumidero Santo Tomás Arroyo de la Tierra Río Frío Máximo Galería del Accidente Sumidero del Bolo Río Frío 2do. pico Resolladero Santo Tomás Alejo máximo Las Palmas Marcelo 1 Sumidero Santo Tomás Base Río Frío base Tabla 12. Clusters definidos por K-medias con medida de distancia al cluster central (cinco grupos) Cluster 1 Cluster 2 Cluster 3 Cluster 4 Cluster 5 Cerritos 1 Río Frío 2do. Pico Bolo Cerritos 31 La Caoba Sumidero Peñate Alejo Máximo Sumidero Sto.

Tomás Marcelo 2 Galería Accidente

Arroyo de la Tierra

Resolladero Sto. Tomás Base

Río Frío Máximoc Resolladero Sto. Tomás

Marcelo 1 Palmas Río Frío Base Fig. 25. Dendrograma para los puntos de muestreo (Método de Ward con distancia Euclideana)

DendrogramaMétodo de Ward

Distancia Euclideana

Medida de Distancia

ALEJOMÁXR.FRÍO2P

RFRÍOBASMARCELO2MARCELO1

R.FRÍOMÁ CERRI31

RESSTOMBSUMS.TOM

BOLORESS.TOM

PALMASG.ACCIDE CAOBAA.LATIER

S.PEÑATE CERRI1

0 200 400 600 800 1000 1200


53

Fig. 26. Dendrograma para los puntos de muestreo (Método de Enlace Completo con el Cuadrado de la Distancia Euclideana)

Dendrograma Enlace Completo

Cuadrado de la Distancia Euclideana

Distancia

ALEJOMÁXR.FRÍO2P

RFRÍOBASMARCELO2MARCELO1

R.FRÍOMÁ CERRI31

RESSTOMBSUMS.TOM

BOLORESS.TOM

PALMASG.ACCIDE CAOBAA.LATIER

S.PEÑATE CERRI1

0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000

Tabla 13. Clusters definidos por K-medias con medida de distancia a intervalos constantes (tres grupos) Cluster 1 Cluster 2 Cluster 3 Cerritos 31 La Caoba Cerritos 31 Marcelo 2 Marcelo 2 Sumidero Peñate Río Frío Máximo Sumidero Santo Tomás Arroyo de la Tierra Río Frío 2do. pico Galería del Accidente Bolo Alejo máximo Resolladero Santo Tomás Marcelo 1 Las Palmas Río Frío base Sumidero Santo Tomás Base Tabla 14. Clusters definidos por K-medias con medida de distancia a intervalos constantes (cinco grupos) Cluster 1 Cluster 2 Cluster 3 Cluster 4 Cluster 5 La Caoba Cerritos 1 Marcelo 2 Cerritos 31 Río Frío 2do. pico Sumidero Sto. Tomás

Sumidero Peñate Río Frío Base Río Frío Máximo Alejo Máximo

Galería Accidente Arroyo de La Tierra

Marcelo 1

Resolladero Sto. Tomás

Bolo

Palmas Resolladero Sto. Tomás Base


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La distancia euclideana no es más que la longitud o valor absoluto de una variable, medida desde el origen del eje cartesiano. Matemáticamente se expresa como la raíz cuadrada de la variable al cuadrado o la expresión más generalizada, su valor absoluto o la raíz cuadrada de este, siempre buscando semejanza en un espacio afín que se toma como referencia. La distancia matricial, a grandes rasgos, es la distancia referida al coeficiente de correlación. La mayor semejanza entre objetos viene dada por el mayor coeficiente de correlación.


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