Notas de La Unidad I (Numeros Complejos)

Instituto Tecnológico de Tepic Departamento de Ingeniería Industrial

M.C. Héctor Martínez Rubin Celis Unidad I Números Complejos 1

Contenido LOS NÚMEROS COMPLEJOS .................................................................................................................. 2

Aplicaciones ....................................................................................................................................... 2 Un toque de humor ........................................................................................................................... 2

Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. ...................................................... 3 Forma binómica de un número complejo ................................................................................................ 4 Conjugado de un número complejo ......................................................................................................... 4 Operaciones con Números Complejos en forma Binómica ..................................................................... 5

Suma y multiplicación de números complejos ................................................................................ 5 División de números complejos ........................................................................................................ 6 Potencia de un número complejo ..................................................................................................... 7

Módulo y argumento de un número complejo ......................................................................................... 7 Ejercicios Propuestos con Números Complejos 1 ................................................................................... 9 Operaciones de números complejos en su forma trigonométrica Polar ................................................. 14

Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Polar ................................. 14 División de números complejos en su forma trigonométrica Polar ............................................ 14 Potencia de un número complejo en su forma trigonométrica Polar ......................................... 15

Fórmula de Moivre ................................................................................................................................ 18 Anexo A ................................................................................................................................................. 19 Anexo B ................................................................................................................................................. 20 Ejercicios con Números Complejos 2 .................................................................................................... 21 Raíces n-ésimas de un número complejo ............................................................................................... 22 El logaritmo de un número complejo .................................................................................................... 27 Ejercicios de la Sección 3 ...................................................................................................................... 28 Aplicación .............................................................................................................................................. 28 Respuestas ............................................................................................................................................. 29

Sección 1 ........................................................................................................................................... 29 Sección 2 ........................................................................................................................................... 29 Sección 3 ........................................................................................................................................... 29

Fuentes de Información: ........................................................................................................................ 29



LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Cuando se estudió la solución de la ecuación de segundo grado 2 0ax bx c se analizó el signo del

discriminante 2 4b ac y su relación con las soluciones. Si el discriminante era negativo se dijo que la

ecuación no tenía raíces reales sino que las raíces eran imaginarias o complejas. Vamos ahora a estudiar

los números complejos que nos darán la idea completa de la solución de la ecuación de segundo grado y

una extensión de los conjuntos numéricos. Realizaremos lo que se llama la definición axiomática del

conjunto de los números complejos.

El concepto de número imaginario fue desarrollado por Leonhard Euler en 1977, cuando le otorgo a

1 el nombre de i (de “imaginario”)

Aplicaciones Las coordenadas polares son enormemente interesantes al estudiar fenómenos relacionados con distancias

y ángulos (a grandes rasgos se podría decir que interesan a la hora de estudiar conceptos relacionados con

elipses y circunferencias). Vamos a enumerar unos cuantos:

Cálculo de límites dobles: a la hora de calcular un límite doble el método definitivo es el método

del paso a coordenadas polares. Se pasa con ellas a un límite dependiente de una única variable,

r(en concreto r->0), utilizando las ecuaciones de cambio de rectangulares a polares y se estudia

si dicho límite depende del ángulo θ. Si no existe tal dependencia el límite inicial existe y su

valor es el obtenido en el límite en polares.

Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la expresión de las ecuaciones de

ciertas curvas. Por ejemplo, la circunferencia de centro (0,0) y radio 3 tiene a x2 + y2=9 como

ecuación en coordenadas rectangulares y a r=3como ecuación en polares.

Forma polar de un número complejo: todo punto del plano con coordenadas rectangulares (x,

y)es la representación gráfica del número complejo z=x + yi (esta forma de representar un

número complejo se denomina forma binómica del z). Pasando a polares obtenemos el módulo

(r) y el argumento (θ) de z y con ello la forma polar de z: z=rθ

Expresar los números complejos en su forma polar simplifica mucho ciertas operaciones, como

son la multiplicación, la división y el cálculo de raíces n-ésimas.

Cálculo de integrales dobles: cuando la región de integración de una integral doble es una

circunferencia o una elipse (o parte de alguna de ellas) pasar a coordenadas polares es una

opción muy interesante ya que simplifica mucho el cálculo de los límites de integración de la

misma.

Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la

utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar

dicha actividad.

Cálculos orbitales: las razones son las mismas que en el caso anterior.

Un toque de humor Las coordenadas polares también sirven para darle un toque de humor matemático a nuestra vida:

¿Qué es un oso polar?

Un oso rectangular al que se le ha aplicado un cambio de coordenadas.

Motivación. La no existencia, en el cuerpo de los números reales, de la raíz cuadrada de

números negativos.



Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos. Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra z al conjunto de los

pares de números reales z= ,a b . Los números complejos expresan la suma de un número real a y un

número imaginario b.

En el número complejo z= ,a b llamaremos a a la parte real y a b la parte imaginaria. Note que la

suma y producto de pares no está definida en 2R .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad. , ,a b c d a c como b d

Multiplicación por un escalar. ( , ) ( , )a b a b dónde R .

Denotaremos el número complejo (0,1) con la letra i y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil

demostrar que 2 1i .

2 2(0,1) (0,1)(0,1) 0(0) 1(1),0(1) 1(0) ( 1,0) 1i

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación 2 1 0x .

2 2 2 21 0 1x x x i x i

Las soluciones de . NegativoNo carecen de sentido porque 1 no es un número real. Para dar

validez a estas expresiones surgen los números reales complejos.

Se llama Unidad Imaginaria al nuevo número i= 1

Ejemplo. Dados 2,1 =2+ i y 0, 3 =-3i, hallar:

a) 2,1 0, 3 2 0,1 ( 3) 2, 2 =2-2i

b) 2, 1 0, 3 2(0) 1( 3), 2( 3) 1(0) 3, 6 =3-6i

c) 2,1 0, 3 2 1,1 3, 6 2, 2 5, 8 =5-8i

Por la definición de número complejo dicha anteriormente, suena razonable representarlo como un punto

en un plano cartesiano, lo cual descubrió Argand, quien fue contemporáneo de Gauss y Leibniz quienes

hicieron grandes avances en el análisis complejo.

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los

mismos mediante el plano 2R (Gráfica 1) En esta representación se le dice eje real (Re) al eje de las x y

eje imaginario (Im) al eje de las y .

Figura 1: Representación del número complejo ( , )a b =a+bi.

{ a+bi a,b R}.



Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números complejos puesto que en el

plano 2 el número complejo ,0a coincide con el número real a . De este modo tenemos ( ,0)a a

cuando a . Los números complejos de la forma (0, )b son llamados imaginarios puros.

Ejemplo:

A continuación se representan algunos puntos en forma gráfica

Figura 2.

Forma binómica de un número complejo

Sea ( , )z a b un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:

( , ) ( ,0) (0, ) (1,0) (0,1)z a b a b a b

Pero como (1,0) 1 y (0,1) i , entonces ( , )a b a bi . En este caso Z= a bi se llama forma binómica

o binomia del número complejo.

Conjugado de un número complejo Si z x yi es un número complejo llamaremos conjugado del número z, al número z x yi , es

decir, al número complejo que tiene la misma parte real que z pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si 3 2z i , entonces 3 2z i y si 3 2z i , entonces 3 2z i .

Ejemplo.



Figura 3: Opuesto y conjugado

A continuación se presentan las propiedades de los conjugados

Operaciones con Números Complejos en forma Binómica

Suma y multiplicación de números complejos

1 2 3 1 2 1 2

1 2 3

y z , obteber z , s suman las partes reales de z y z y las partes imagiarias

de z y z , ; , puesto que son todos n meros reales.

Sea z a bi c di z z e

así z a c b d i ú

Obtener el producto de z1 por z2, así; z1z2= 2a bi c di ac adi bci bdi ac bd ad bc i

dado que 2 1i .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio;

por lo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede

realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se

trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si 1 (3, 2)z y 2 (4, 1)z , halle 1 2z z y 1 2z z .

1 2 (3,2) (4, 1) 3 2 4 7z z i i i

2

1 2 (3,2)(4, 1) (3 2 )(4 ) 12 3 8 2 (12 2) ( 3 8) 14 5z z i i i i i i i

Obtener



División de números complejos

La división de números complejos se realiza mediante la multiplicación del numerador y del denominador

por el conjugado del denominador:

Dado que

entonces

1

2 2 2

2 2

( ) ( )z a bi a bi c di ac bd ad bc i ac bd ad bc i

z c di c di c di c d z

Ejemplo. Dados 1 2 3z i y 2 1 2z i , halle: (a) 2z y (b) 1

2

z

z.

(a) Como 2 1 2z i entonces 2 1 2z i

(b) Para hallar 1

2

z

z multiplicamos y dividimos por el conjugado 2z .

Si z≠0, entonces z > 0 y z tiene un inverso multiplicativo, denotado mediante 1/z 0 z-1 y dado por

_

11 zz

z z

Resolviendo en ejemplo anterior

Ejemplos:

Obtener

1

2

2

2 2

2 3 2 3 1 2 (2 3 )( 1 2 )

1 2 1 2 1 2 ( 1 2 )( 1 2 )

2 4 3 6 8 8 1

5 5 5( 1) (2)

z i i i i i

z i i i i i

i i i ii

2 2

2 2 2

2

1 21 2

2 2

( 1) 2 1 4 5

( 1 2 ) 2 4 3 6 8 8 1(2 3 )

5 5 5 5 5

z z z

z z i i i i iz i i

z z



Potencia de un número complejo

i0 = 1, i1 = i, i2 = −1, i3 =i2. i=-1.i=−i, i4 =i2 .i2=-1. -1=1, i5=i4 . i=1.i=i

Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una

determinada potencia de i , se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente

de la potencia equivalente a la dada.

Ejemplos:

Módulo y argumento de un número complejo Sea ( , )z a b a bi un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo o magnitud del número

complejo z , al número real dado por 2 2a b y lo denotaremos por z . El módulo se interpreta como

la distancia al origen del número z y también se expresa por r (Gráfica 4a).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo z a bi , al ángulo comprendido entre el

eje x y el radio vector que determina a z . El argumento de z se denota por arg( )z , que también se

expresa como θ se calcula mediante la expresión:

θ= arg( ) arctanb

za

, donde -π < arg z < π

2 2 de zMagnitud z r a b



Figura 4a: Módulo y argumento de un número complejo. Figura 4b: θ=arg (z).

A continuación se presentan diversas formas de comportamiento para θ dados diversos comportamentos

de a y de b:

1er. Cuadrante

180 2do. Cuadrante

arctan180 3er. Cuadrante

360 4o. Cuadrante

o

o

o

b

a

b

ab

ba

a

b

a

Propiedad: 2

z z z

Demostración:

2 2 2

22 2 2 2 2 2

( )( )

0

z z a bi a bi a abi abi y i

a b ab ab i a b i a b z

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado

Si el discriminante de la ecuación 2 0ax bx c es negativo, debe sustituirse el signo negativo por 2i y

de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.

Ejemplo. Resolver la ecuación 2 2 6 0x x .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

2( 2) ( 2) 4(1)(6) 2 4 24 2 20

2(1) 2 2x

Se puede ver que el discriminante es 20 lo cual puede escribirse como 220i . Por lo tanto:



22 20 2 20 2 2 51 5

2 2 2

i ix i

Así, las raíces complejas de la ecuación son: 1 1 5x i y 2 1 5x i .

Ejercicios Propuestos con Números Complejos 1

1) Dados los números complejos (3,2)z y ( 1, 4)w , halle:

(a) z w , (b) z w , (c) 3 4z w , (d) ( 1,0)w , (e) (0, 2)z .

2) Muestre que (0,0) es el elemento neutro para la suma de números complejos.

3) Muestre que (1,0) es el elemento neutro para la multiplicación de números complejos.

4) Calcule:

(a) 3i , (b) 4i , (c) 5i , (d) 1

i , (e)

2

1

i.

5) Calcule:

(a) 4ni , (b) 4 1ni , (c) 4 2ni , (d) 4 3ni .

6) Dado el número complejo ( , )x y halle el par ( , )u v tal que ( , ) ( , ) (1,0)x y u v . Al par se le llama

inverso multiplicativo de ( , )x y . Concluya que el par ( , )u v es único y que el (0,0) no tiene inverso

multiplicativo.

7) Verifique que z z .

8) Verifique que uv y uv son conjugados.

9) Calcule:

(a) 3 3

2 4

i

i

, (b)

1 3

2 2

i

i

.

10) Resuelva la ecuación ( 2 ) 3i z i .

11) Halle z tal que (2 )(1 ) 2i i z i .

12) Calcule y represente en el plano complejo los números z x yi , tales que:

(a) 5z , (b) 5z .

13) Calcule y represente en el plano complejo los números z x yi tales que:

(a) 2 5z , (b) z i z i , (c) 2

z z z .

14) Resuelva la ecuación cuadrática 2 3 3 0x x .



17) Resuelva la ecuación 4 213 36 0x x .



Forma trigonométrica o polar de un número complejo La forma trigonométrica o Polar de un número complejo se establece observando la Figura 5:

Figura 5: Forma Trigonométrica o Polar de un número complejo

En este caso se tiene que ( , )r z x y y que 1arg( ) tany

zx

.

Luego:

s s n

cos cos

yen y r e

r

xx r

r

Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica, todo punto P del plano corresponde a un

par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la

recta dirigida OP que va de O a P. El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido horario.

La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es

la «coordenada angular» o «ángulo polar».

Comportamiento de las funciones trigonométricas Seno, Coseno y Tangente en el plano cartesiano

Tabla con valores trigonométricos para los ángulos más comunes (α = θ)

http://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorario

http://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_antihorario



Ejemplo: Obtenga el argumento de los siguientes números complejos:

Ejemplo:

Escriba los siguientes números complejos en forma polar usando sus argumentos principales.

Como se muestra en la figura 6.



Como se muestra en la figura 6.

Figura 6

Y se muestra en el Anexo A más adelante qué cos s nie i e , como cos(-θ)=cosθ y sen(-θ)= -senθ,

también se tiene cos( ) s n( ) cos s nie i e i e

La anterior formula se denomina Identidad de Euler. Sí se utiliza la identidad de Euler y las fórmulas de

x e y en función de θ, se tiene

( , ) cos s n (cos s n ) iz x y x yi r i r e r i e re

Por ejemplo

Ésta es la llamada forma Ttrigonométrica del número complejo, la cual está en términos del módulo y el

argumento. Se denota comúnmente por iz re . Así, el número complejo z=a+bi en su forma Polar o

forma Exponencial se puede escribir de la siguiente manera:

iz r re

Esta expresión es la llamada forma exponencial o Polar del número complejo. Note que la forma

exponencial es equivalente a la trigonométrica pues dependen de los mismos elementos: módulo y

argumento del número complejo z . Esta forma es muy cómoda pues podemos efectuar la

multiplicación, división y potenciación o raíces n-ésimas empleando las leyes del álgebra.

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de 1z i .



Hallemos 2 2(1) ( 1) 2r y 1 1

tan1 4

.

Note que está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

4

41 2 cos s n 2 cos s n 2 2

4 4 4 4z i i e i e e

.

Ejemplo: Halle la forma trigonométrica de 3z i .

Hallemos 2 2(3) ( 1) 2r y 1 01tan 330

63

.

Note que está en el cuarto cuadrante. Por lo tanto:

6

63 2 cos s n 2 cos s n 2 26 6 6 6

z i i e i e e

Ejemplo: Represente en forma binómica la siguiente representación polar

a) ei = cos+ i sen = -1

b) 3ei/2 = 3(cos[ / 2] + i sen[ / 2]) = 3i

c) 2ei/6 = 2(cos[ / 6] + i sen[ / 6]) = 3 i

Ejemplos: Pasar de la forma binómica a la polar o trigonométrica (α = θ):

z = 260º = 2(cos 60º + i

sen 60º)

z = 2120º

=2(cos 120º + i sen 120º)

z = 2240º

=2(cos 240º + i sen 240º)

z = 2300º

=2(cos 300º + i sen 300º)

z = 2

z = 20º

=2(cos 0º + i sen 0º)

z = −2

z = 2180º

=2(cos 180º + i sen 180º)

z = 2i

z = 290º

=2(cos 90º + i sen 90º)

z = −2i

z = 2270º

=2(cos 270º + i sen 270º)

Pasar de la forma trigonométrica o polar a la forma binómica:

z = 2120º



Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma

trigonométrica

rθ = r (cos θ + i sen θ)

z = 2 · (cos 120º + i sen 120º)

Operaciones de números complejos en su forma trigonométrica Polar

Multiplicación de números complejos en su forma trigonométrica Polar

La multiplicación de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número

complejo cuyo módulo es igual al producto de sus módulos y cuyo argumento es igual a la suma de los

argumentos.

Sean 1

iz re y 2

iz se

Entonces: ( )

1 2

i i iz z re se rs e .

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos. Su argumento es la suma de los argumentos.

. .r s r s e

Como 1 2

iz z rs e

. En forma trigonométrica tenemos:

1 2 cos( ) s n( )z z rs i e

Demostración:

1 2

2

( )

cos s n cos n

cos cos cos s n s n cos s n s n

cos cos s n s n (cos s n s n cos )

cos( ) s n( )

( )

i i

i i

i

z z re se

rs e e

rs i e ise

rs i e i e i e e

rs e e i e i e

rs i e

rs e

Para su mejor comprensión ver Anexo B.

Ejemplo: Producto

645° · 315° = (6 . 3)45o

+150o = 1860°

División de números complejos en su forma trigonométrica Polar



La división de dos números complejos en su forma trigonométrica da como resultado un número

complejo cuyo módulo es igual al cociente de sus módulos y cuyo argumento es igual a la resta de los

argumentos.

Entonces: ( )1

2

ii

i

z re re

z sse

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos. Su argumento es la diferencia de los argumentos.

r r

s s

Ejemplo: Cociente

645° / 315° = 230°

Potencia de un número complejo en su forma trigonométrica Polar

La potencia de un número complejo es su forma trigonométrica da como resultado un

número complejo cuyo modulo es el modulo es igual modulo elevado a la potencia y

cuyo argumento es igual a la potencia por el argumento.

.( ) ( )n n nnz r r

Ejemplo: Potencia 4 4

30 4.30 120(2 ) (2) 16o o o

Ejemplos:

Visto de otra manera:



Se obtiene

Que es la forma polar de un número complejo con valor absoluto r1r2 y argumento θ1 + θ2 que es la forma

polar de un número complejo con valor absoluto r1r2 y argumento 1 + θ2. Esto demuestra que

La fórmula (1) dice que para multiplicar dos números complejos, se multiplican sus valores absolutos y se

suman sus argumentos. Vea la figura 7.

Figura 7

De igual modo, al usar las identidades trigonométricas de resta para seno y coseno, es posible demostrar

que

Por tanto

Y se ve que para dividir dos número complejos se dividen sus valores absolutos y se restan sus

argumentos.

Como caso especial del último resultados se obtiene una fórmula para el rescíproco de un número

complejo en forma polar. Al hacer z1=1 (y por lo tanto θ1=0) y z2=z ( y por lo tanto θ2=θ), se obtiene lo

siguiente

Ver figura 8



Figura 8

Ejemplo:

Esto implica que

Por lo tanto, se tiene un método para encontrar el seno y el coseno de un ángulo como π/12, que no es un

ángulo especial, sino que puede obtenerse como una suma o diferencia de ángulo especiales.

Ejemplo: Sea 41 6

i

z e

y 42 3

i

z e

. Entonces 21 2 18 6

i

z z e i

y (0)1

2

2 2ize

z .

Las últimas relaciones nos dan las igualdades siguientes entre las diversas formas de escribir un número

complejo Z:

( , ) (cos s n ) iz a b a bi r i e re r



Ejemplo. Sea 4

1 2i

z e

y 4

2 3 cos 34 4

i

z i sen e

.

Entonces (0)

1 2 6 6 cos(0) s n(0) 6iz z e i e

Para calcular (1+i)8, primero re-escribimos 1+i como i /42e

. Entonces

8 8i /4 i8( /4) 2 i2e 2 e 16e 16

Así, puesto que z z ,

Si i m rez

, entonces - i m rez

Fórmula de Moivre

Ahora, suponga que escribe un número complejo i m rez

. Entonces

( ) ( ) cos n + i sen nn

n n i n ni nz r e r e r

Así;

n

n n

nz r r

y tomando 1r , tenemos:

cos s n (cos( ) s n( ))n nn

nz i e r n i e n r

.

Esta expresión es la llamada fórmula de Moivre.

Dicho de manera diferente, se tiene

En palabras, el teorema de De Moivre dice que para calcular la n-ésima potencia de un número complejo

se evalúa la n-ésima potencia de su valor absoluto y su argumento se multiplica por n.

Ejemplo:



La figura 9 muestra

Figura 9

Anexo A Vamos a asumir que se siguen cumpliendo, como en los números reales, los conceptos de función,

derivadas, series, etc. Vamos a demostrar la fórmula de Euler:

cos s nie i e .

Empleemos el desarrollo en serie de potencias de la función 0 !

nx

n

xe

n

, suponiendo que sea válido para

cuando la variable x es un número complejo z .

2 3

0

1 ..... ...! 1! 2! 3! !

n nz

n

z z z z ze

n n

Si tomamos z i , nos queda:

2 3

0

2 3 4 52 3 4 5

2 3 4 5

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 ..... ...

! 1! 2! 3! !

1 ...1! 2! 3! 4! 5!

1 ....1! 2! 3! 4! 5!

n ni

n

i i i i ie

n n

i i i i i

i i i

Agrupando tendremos:



2 4 3 5

1 .... ....2! 4! 1! 3! 5!

ie i

Estos son los desarrollos de cos y sin respectivamente. Así que cos s nie i e .

Sea (cos s n )z r i e un número complejo donde r es su módulo y su argumento. Entonces

mediante el empleo de la fórmula de Euler se obtiene:

(cos s n ) iz r i e r e .

Anexo B Trigonometría Aplicada: producto de complejos

Recordemos las siguientes igualdades trigonométricas:

cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β

sen(α + β) = sen α cos β + cos α sen β

cos(α − β) = cos α cos β + sen α sen β

sen(α − β) = sen α cos β − cos α sen β

Notad que las dos segundas (a través de las que daremos una expresión del cociente de

números complejos) se siguen inmediatamente de las dos primeras (que nos sirven para expresar el

producto de dos números complejos).

Escribamos z1 = r

1 (cos θ1 + i sen θ

1 ) y z2 = r

2(cos θ

2 + i sen θ2 ). Entonces

z1 z2 = r

1(cos θ

1 + i sen θ1 )r2

(cos θ2 + i sen θ

2 )

= r1r

2

cos θ1 cos θ

2 − sen θ1 sen θ

2 + i(sen θ1 cos θ

2 + cos θ1 sen θ

2 )

= r1r

2

cos(θ

1 + θ2 ) + i(sen θ

1 + θ2) ,

de donde se sigue que para multiplicar números complejos en forma módulo argumental, se

multiplican los módulos y se suman los argumentos.



Ejercicios con Números Complejos 2 1) Represente:

(a) en la forma trigonométrica el número complejo 3 3i .

(b) en la forma binómica el número complejo 2 cos s ni e .

2) Represente:

(a) en la forma trigonométrica el número complejo 2 2i .

(b) en la forma binómica el número complejo 2 cos s n3 3

i e

.

3) Multiplicando el mismo número complejo n veces, efectúe y emplee identidades trigonométricas para

comprobar que si

1 1 1 1(cos s n )z r i e ,

2 2 2 2(cos s n )z r i e

, …,

(cos s n )n n n nz r i e

entonces

(a) 2 2

1 1 1 1cos(2 ) s n(2 )z r i e

(b) 1 1 1 1cos( ) s n( )n nz r n i e n

(c) 1 2 ...

1 2 1 2... ... n

n nz z z r r r e

.

Extienda el resultado a las potencias enteras negativas.

4) Calcule:

(a) 9

1 3i , (b)

7

1

2 2i

5) Dados 2 2u i y 2 2v i , emplee la forma exponencial para hallar:

(a) uv , (b) u v .

6) Dados 2 2u i y 2 3v i , emplee la forma exponencial para hallar:

(a) uv , (b) u v .

7) Halle

4

6

3

1 3

i

i

.

8) Halle

84

9

1

1

i

i



Raíces n-ésimas de un número complejo

Para obtener las raíces n-ésimas de un número complejo se parte de que la raíz n-esima de un número

complejo es otro número complejo. Así sean

n s w

Elevando al cuadrado ambos términos

n n

n s w , así

n

ns w

Igualando los módulos y argumentos

S=wn y α=nβ con lo que y =nw sn

El argumento α se repite cada ciclo n veces

0

0

0

360

720

para k=0, 1, 2,...,n-1:

360 k

n

donde k es el número

de vueltas (Existen n distintas raíces que están uniformemente distribuidas en el círculo unitario).

por lo que 0360 k

zn

.

Si es una raíz de índice 3 al representar y unir sus afijos obtenemos un triángulo. Si es de índice 4 un

cuadrado, si es de índice 5 un pentágono y así sucesivamente.

En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma

trigonométrica(o exponencial) o Polar un mismo número complejo tiene infinitas representaciones

diferentes, ( 2 )i kz r e con k . Para cada valor de k habrá una representación diferente del número

complejo z .



En la forma binómica de un número complejo la representación es única, mientras que en la forma

trigonométrica(o exponencial) o Polar un mismo número complejo tiene infinitas representaciones

diferentes, ( 2 )i kz r e con k . Para cada valor de k habrá una representación diferente del número

complejo z .

Existen n distintas raíces. Estas están uniformemente distribuidas en el círculo unitario.

Para obtener las raíces n-ésimas de un número complejo

0

1

2

de las Raíces r=

*00

k *1 = 1 =

*22 =

n

n

Modulo R

kn

RArgumentos k

n n

kn

Obtenemos tantas soluciones como tenga el índice de la raíz n. Las expresamos como rϕ

Ejemplo:

En foma polar, -27 = 27(cos π + isen π ). Se tiene que las raíces cúbicas de -27 están dadas por



Como muestra la figura 10, las tres raíces cúbicas de -27 están

igualmente espaciadas 2π/3 radianes (120o) alrededor de un

círculo de radio 3 con centro en el origen,

Figura 10: Raíz cúbica de -27

En general, la formula (2) implica que las raíces n-ésimas de z=r(cos θ + i sen θ) se hallaran en un círculo

de radio

1

nr con centro en el origen. Más aún, estarán igualmente espaciados 2π/n radianes (360o). Por

ende, si se puede encontrar una raíz n-ésima de z, las restantes raíces n-ésimas de pueden obtenerse al

rotar la primera raíz en incrementos sucesivos de 2π/n radianes. De haber sido esto en el ejemplo anterior

podría haber usado el hecho de que la raíz cúbica real de -27 es -3 y entonces rotarla dos veces un ángulo

de 2π/n radianes (120o) para obtener las otras dos raíces cúbicas.

Ejemplo:

Ejemplo: Hallar las 6 raíces sextas de



Ejemplo: Hallar las 2 raíces cuadradas de 1 i .

41 2i

i e

. Por lo tanto 42 2s y 2

4

2

k , con 0,1k . Entonces:

Para 0k , tenemos 4 81 2

i

z e

.

Para 1k , tenemos 9

4 82 2

i

z e

.

Ejemplo: Hallar las 3 raíces cúbicas de

3

0

330

1

2

de las Raíces r= 8 2

30 *00 10

3

8 30 k 30 *1 = 1 = 130

3 3

30 *22 = 250

3

o

oo

o oo

oo

Modulo

k

Argumentos k

k



En esta figura se observa su representación gráfica

Ejemplo:

Calcula 6 729i y representa las 6 raíces y une sus afijos.



En la siguiente figura se observa su representación gráfica

Ejemplo: Hallar las cuatro raíces cuartas de 4 1 3 i

060Como1 3 2i , dado que el argumento es

3

=60° y el modulo es 2. Por lo tanto 42 2s y

24

2

k , con 0,1k . Entonces:

Para 0k , tenemos 4 31 2

i

z e

.

Para 1k , tenemos 9

4 32 2

i

z e

.

Ejemplo:

4

0

460

1

2

3

de las Raíces r= 2

60 *00 15

4

2 60 k 60 *1 = 1 = 105

4 4

60 *22 = 195

4

60 *33 285

4

o

oo

o oo

oo

oo

Modulo

k

Argumentos k

k

k

Por lo que las raíces son 04

150Z = 2 , 04

1050Z = 2 , 04

1950Z = 2 , y 04

2850Z = 2

El logaritmo de un número complejo Al igual que para los reales, vamos a definir el logaritmo de un número complejo como la operación

inversa de la exponencial, esto es:

log zz w e w .

Supóngase que iw re es un número complejo de módulo r y argumento , entonces:



( 2 ) ln ( 2 )z i ke r e w z r i k .

Ejemplo. Sea (0)1 1 ie . Por tanto log (1) ln(1) (2 ) 2i k k i , con k .

Ejercicios de la Sección 3 1) Halle las raíces cuadradas de 1 y verifique que son i y i .

2) Halle las raíces cúbicas de 1.

3) Halle las raíces cúbicas de 1 .

4) Halle las raíces cuadradas del número 1 3 i y expréselas en la forma binómica.

5) Halle las raíces cúbicas del número 1 3i y expréselas en la forma binómica.

6) Halle las raíces cuadradas de 2 2i y represéntelas en el plano complejo.

7) Muestre que log( 1) i .

8) Halle:

(a) log( )e , (b) log( )i , (c) log( )ei .

9) Muestre que 1

log(1 ) ln 22 4

i i

.

Aplicación



Respuestas

Sección 1 1) a) (2, 2) , b) (5, 14) , c) (13, 22) , d) (1, 4) , e) (4, 6)

6) 2 2 2 2

, ,x y

u vx y x y

9) a) 3 9

10

i

11) 3 i

13) a) 2 22 25x y , círculo de radio 5 centrado en (2,0) y su interior.

15) 1

12

i

17) 2 , 3i i

Sección 2

1 a) 3

3 2 cis4

5) a) 2, b) i

7) 10

31

4

i

e

Sección 3

3) 1 3

2 2i

5) 4 10 16

9 9 92 ,2 ,2i i i

e e e

8) a) 1 2k i , c) 12

i

Fuentes de Información: Algebra Lineal, una introducción moderna David Pool 3ª. Edición anexo: números complejos

http://temasmatematicos.uniandes.edu.co/Complejos/paginas/intro.htm

Algebra Lineal 6ta Edicion Stanley Grossman, Anexo 1

www.campusoei.org/cursos/centrocima/matematica/complejo.pdf

www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos.html

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm


http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejo

s_operaciones.htm

http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/cuadernillo_041.pdf


http://www.campusoei.org/cursos/centrocima/matematica/complejo.pdf

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-complejos.html

http://wmatem.eis.uva.es/~matpag/CONTENIDOS/Complejos/marco_complejos.htm


http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htm

http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Numeros_complejos_operaciones/Numeros_complejos_operaciones.htm

http://www.tesoem.edu.mx/alumnos/cuadernillos/cuadernillo_041.pdf

Documents

Notas de La Unidad I (Numeros Complejos)