Notas de Precalculo Unidad i Ene-jun-2012

NOTAS DE PRECLCULO CAPITULO I SEMESTRE: ENERO-JUNIO-DE 2012 ACADEMIA DE MATEMTICAS

COMISIN DE PRECLCULO

SILVERIO MERA LUNA

ROGELIO DEHEZA CRUZ

GERARDO JUARZ HERNANDEZ

IGNACIO ELIZALDE MARTNEZ

VIOLETA Y. MENA CERVANTES

AURELIO HERNANDEZ RAMREZ

PRECLCULO E.S.I.Q.I.E.-I.P.N.

PROFESOR: SILVERIO MERA LUNA ~ 2 ~ ENE-JUN-2012

INDICE DE LA UNIDAD I 1.1 Terminologa algebraica bsica ............................................................................................... 3

1.2 Exponentes y Radicales ........................................................................................................... 5

1.2.1 Notacin Exponencial ............................................................................................................ 5

1.2.2 Leyes de exponentes y radicales .......................................................................................... 5

1.3 Operaciones con polinomios ................................................................................................. 19

1.3.1. Suma de polinomios ........................................................................................................... 19

1.3.2 Resta de polinomios ............................................................................................................ 20

1.3.3 Producto de polinomios ...................................................................................................... 26

1.3.4. Divisin de polinomios ....................................................................................................... 32

1.3.4.1. Divisin larga .................................................................................................................... 35

1.3.4.2. Divisin sinttica.............................................................................................................. 40

1.4 Productos notables ................................................................................................................ 46

1.4.1 Teorema del binomio, residuo y factor ............................................................................... 52

1.4.2 Triangulo de Pascal ............................................................................................................. 55

1.5 Factorizacin ........................................................................................................................... 59

1.5.1. F. de diferencia de cuadrados ............................................................................................ 59

1.5.2. F. del Cuadrado Perfecto .................................................................................................... 61

1.5.3. F. de diferencia de cubos ................................................................................................... 63

1.5.4. F. de suma de cubos ........................................................................................................... 65

1.5.5. F. por agrupacin ................................................................................................................ 66

1.5.6. F. de un trinomio de la forma 2x mx n .......................................................................... 68

1.5.7. F. de un trinomio de la forma 2ax mx n ......................................................................... 69

1.6. Expresiones racionales ......................................................................................................... 73

1.6.1 Simplificacin de expresiones racionales ......................................................................... 73

1.6.2. Operaciones de expresiones racionales ........................................................................... 74

1.6.3. Fracciones compuestas ..................................................................................................... 84

1.6.4. Racionalizacn .................................................................................................................... 85



1.1 Terminologa algebraica bsica La unin de dos o ms conjuntos A y B , es el conjunto que consta de todos los elementos

que pertenecen a A B a ambos , y se denota A B , (ledo A unin B )

Numero Racional es aquel que puede expresarse de la forma a

b, donde a y b son enteros y

0b si su desarrollo decimal es finito infinito peridico. El conjunto de los nmeros

racionales suele denotarse con la letra .

El conjunto de los nmeros racionales es el que sus elementos cumplen con la condicin

anterior. Nmero Irracional es un nmero que no es racional, o sea, si su desarrollo decimal es infinito

no peridico. Suele denotarse con II (i mayscula doble).

El conjunto de los nmeros irracionales es el que sus elementos cumplen con la condicin

anterior. El conjunto de los nmeros reales es la unin del conjunto de los nmeros racionales con el

conjunto de los nmeros irracionales. El conjunto de los nmeros reales se denota con .

Nmero Primo: Un entero positivo " "p es primo si 1p y sus nicos divisores son 1 y el propio

" "p

Nmero compuesto es un entero positivo si no es primo ni es igual a la unidad es decir si puede

escribirse como un producto de nmeros primos.

Factores son los elementos de la multiplicacin

5 6 30

2 5 2 56 x y = 6x y

Factor Factor

Factor Factor

Factor

Producto

Producto



Trmino: cuando una expresin algebraica est escrita en forma de sucesin de expresiones

parciales, separadas entre s por signos ms o menos , cada expresin parcial unida al signo que le precede se denomina trmino.

Trminos semejantes: aquellos trminos que tienen las mismas literales y esas literales los mismos exponentes.

Monomio: se presentan como el producto de dos o ms factores, cada factor es coeficiente de los otros.

En 4xy 4 es el coeficiente numrico de xy (es comn llamar tan solo coeficiente al

coeficiente numrico); x es el coeficiente de 4y ; y es coeficiente de 4x y 4y es

coeficiente de x , etc.

Una expresin que consiste de la suma algebraica de varios trminos, se le llama multinomio.

A los multinomio de dos trminos se les llama binomios:

3 2

2

4 1 1; 5 ;y x x y

x x

Un trinomio es un Multinomios de tres trminos:

2 2 2 2

2 2

1 1 14 4 ; 8 6x xy y x y xy

x y xy

En el ltimo trinomio a 9 se le llama trmino independiente el cual est constituido por un

nmero real.

A las expresiones algebraicas de ms de tres trminos se les llama polinomios. (Aunque es

comn referirse a la mayora de las expresiones algebraicas como polinomios)

Expresin algebraica racional cuando no contiene literales bajo el signo del radical

2 2

5 2

3 2 2 3 3

1 4 2; 6 4 1; ;

x ax ay y x y x y

x x y x a

Expresin algebraica IRRACIONAL si aparecen en ella literales bajo el signo del radical

3

3

5

8 5 73 3; ; 1

4 55 1

py x y x

x

Una expresin racional es entera o polinomio cuando no contiene literales en divisores o

denominadores.

2 3 3 2 2 32

2 3 2

3 4 4; 2 3 2 3 ;

5 1 7 1 3 9; ;

8 3 3 3 4 11

x y w x y ax z y x x

xyx y x y

Una expresin racional en cuyos divisores o denominadores se presente la variable, recibe el

nombre de expresin racional fraccionaria o simplemente fraccin algebraica.

22 2

3 3 5

5 2 3 5 1; ; ;

31

b x x w zw z

x x x w z w zx



1.2 Exponentes y Radicales 1.2.1 Notacin Exponencial

Si , + entonces

n a b

2 8 64

1.2.2 Leyes de exponentes y radicales

Si y y a b m n

Entonces

i) n m n ma a a

ii)

0

10

1 0

n m

n

m m n

a si n m y a

asi n m y a

a a

si n m y a

iii) m

n n ma a

iv) n n nab a b

v) 0

n n

n

a a para b

b b

Si , 0 y a a n entonces

0 1a 1n

na

a

Exponente

Potencia Base

Exponente

Potencia

Base



Multiplicacin de nmeros (potencias) con bases iguales.

La base es un nmero real explicito 2. Ejemplo 1

3 4 7

3 4 3 4 7

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

As como 3 4 7 7 3 4 7 6 7 2 52 2 2 tambin 2 2 2 y de hecho 2 2 2 ; 2 2 2 ; etc.

Lo anterior debe comprenderse claramente ya que ser utilizado ampliamente en el desarrollo de varios ejercicios.

Cuando en los planteamientos utilicemos letras (literales) en la posicin de los exponentes se considerar que cumplen con las condiciones planteadas en las leyes antes expuestas para ocupar dicha posicin.

Cuando en los planteamientos utilicemos letras (literales) en la posicin de las bases se considerar que cumplen con las condiciones planteadas en las leyes antes expuestas para ocupar dicha posicin.

La base es un nmero real (irracional) y se aplica de igual forma, siempre y cuando el exponente

cumpla con las condiciones dadas anteriormente.

Ejemplo 2. 2 2 2x x x x x xe e e e

Si la base es un nmero real, aunque no sea explcito se aplica de igual forma.

Ejemplo 3 7 3 7 3 10x x x x

Divisin de nmeros (potencias) con bases iguales

Nuevamente la base es un nmero real explcito y recordemos que 5 tiene exponente, el cual

es1 que se omite escribirlo 15 5 . Ejemplo 4

3

3

71 n m y el denominador es diferente de cero

7

Ejemplo 5

4 3

3

5 5

5

1

3

5

5

44 3 1

3

51 5 5 segn las leyes vistas n>m 5 5 5

5

Ejemplo 6

5 5

7

3 3

3 53

5

2 2 7 7 5 22

1 1 1 3 1 1 1= segn las leyes vistas n m

9 91 3 3 3 3 33

5 5

5 7 2 2 2

7 2 7 2 2

3 1 3 1 1 pero 3 =3 3 3

3 3 3 3 3



El signo del exponente cambia si se obtiene el reciproco de la potencia.

Ejemplo 6-a. 3 3

3 5

5 3

En general

n n n

a b a para b 0, si a 0 y b 0 0

b a b

Cuidado con los signos y para cuestiones prcticas al exponente del numerador (que puede ser positivo o negativo) se le resta el exponente de denominador (que puede ser positivo o negativo), siguiendo las leyes de signos conocidas.

32

34= 32 4 = 32+4 = 32 Aunque la formalidad sera

2 4 2 2

4 2

3 3 3 3

3 3

23

23

Ahora con potencias cuyas bases son nmeros reales no explcitos en combinacin con

nmeros reales explcitos

Ejemplo 7

2 43 4 2 10 2 3 4 10 4 3 4 6 2 4 3 4 6 6

6 4 5 4 6 2 5 4 5 4 5

5 5 5 5x y z u x z u x z u x z u

y z w u y w y w y w

Potencia de una potencia, se deja la base y se multiplican los exponentes.

La base es un nmero real explicito 3. 32 3 = 323 = 36

Si la base es un nmero real, aunque no sea explcito se aplica de igual forma. 5 2 = 52 = 10

Si la base es un nmero real y el exponente "" cumple con las condiciones dadas anteriormente se aplica anlogamente.

2 = 2 = 2

2 3 = 2 (3) = 6 La potencia de un producto es igual al producto de las potencias. El producto de dos o ms nmeros (factores), elevados a un exponente es igual a elevar cada factor al exponente y que se multipliquen las potencias obtenidas.

Con nmeros reales explcitos se observa fcilmente esta propiedad. 2 3 4 2 = 22 32 42 6 4 2 = 4 9 16 24 2 = 36 16 576 576

El error ms comn es querer aplicar lo anterior a la suma de dos nmeros

+ 2 = 2 + 2 Lo cual en general es incorrecto y cuyo desarrollo adecuado lo trataremos ms adelante en productos notables.

2 2 2a b a b

Para aplicar el procedimiento mencionado, el denominador debe ser diferente de cero.

Si en el denominador estn presentes literales, estas representan nmeros reales con la condicin de que todo el denominador sea diferente de cero. Durante el presente capitulo se considerara que los ejemplos y ejercicios cumplen con la condicin mencionada.



Si , y son nmeros reales se tiene que cumplir lo anterior. 2 = 22 3 = 333

Claro que puede haber combinaciones con las dems propiedades, como con potencia de potencia. Donde cumple con los lineamientos para ser un exponente.

Ejemplo 8. 2 2 2 2

4 3 4 3 8 6 2w w wx y e x y e x y e

Ejemplo 9.

3 33 3 3 23 2 4 3 2 3 3 2 3 9 63 3

3 2 4 4 2 3 2 2

4 2 2 3 2 3 62

x zx y z x z x z x zx y z x y z

y z y y yy

3 3 33 3 2 4 9 69 6 6 63 2 4 3 3 2 3 4 3 9 6 12 9 6 6 6 9 6

4 2 3 3 4 3 2 3 12 6 6 6 6 6 6 6 6 64 2

1 1x y z x zx y z zx y z x y z x y z x y z z x z

y z y z y z y y z y y z y yy z

3 3 33 3 2 4

3 2 4 3 3 2 3 4 3 9 6 12 9 12 6 9 6

4 2 3 3 4 3 2 3 12 6 12 6 64 2

x y zx y z x y z x y z x z x z

y z y z y z y yy z

Ejercicios

3 22 2

22 4

2 10 6 101.

2 10 3 10 R.

1

54=

1

625 2 2 3 2 5 316. 3 5 2 5xy x y x y

2 4 8

4

2 3 5.

yR

x

2 1

3 4

3

5

8 16

2.

32

R. 1

3

3 2 4 2

217.

2

x yz

x y z

5

2 32

xR

y z

3 1 1

4 4 23. 16 16 16 R.1

4

3 2

5 1 2

318.

2 x y z

x y z

3

2

3

2

yR

x z

2

2 3

4. 2 10 3 5

8 4 5 3 5 6 6. 2 5 2 3 5 3 5R

12 3

2 3

419. 3

x yx y

x y

8 73R x y

2

1

1

23 4

35.

15

2

R.5

14

22 1

3 2 4

2 3

220. 2

xyx y

x y

4 12

2

x yR

0 1

1 3 1

0.6 0.16.

3 3 1

4 2 3

R. 6

33 2

121.

m n

mn

6 9

1R

m n

1 1


PROFESOR: SILVERIO MERA LUNA ~ 9 ~ AGO-DIC-2011

11

2 37.

3 4 R.

4

3

42 4

5 222.

p q

p q 13 14

1R

p q

213 3

314 4

15

58.

15

5

7. 5R

3

223.

x

x

a

a R a

30.3

2.559. 5 125 25 5 R. 5

4

2

224.

a

a

x

x

22R x

21 1 1

2 2 4 210. 2 16 4 0.64 3. 2 5R

2

3 2

425.

5

x na b

a b

5 24

5

x na bR

311. -2 4 33 2 3 2 R. 6

3 1

4 2

726.

8

m mx y

x y

1 37

8

m mx yR

3 212. 5x y xy R. 543

1 1

1 1

227.

3

n n

n n

x y

x y

2

3R

2 3 213. 3a b a x R. 343

28. m n x n

m n

a b

a b n xR a b

114. m ma a R. 2+1

2 1 3

2 2 4

529.

6

m x

m x

a b

a b

5

6

abR

7 3 2 3 2 5 1 215. 3 2 3 2 m mx y x yR. 3 9 2 8 +3+5



Leyes de los Radicales

Siguiendo la definicin de la raz cuadrada. Que es un nmero multiplicado por s mismo elevado al cuadrado sea igual al subradical o radicando:

25 5 Cumple con la definicin, 25 5 tambin cumple, pero en esta ocasin el que nos

interesa 112225 25 25 . El cual cumple con la definicin, ya que multiplicado por s mismo,

resulta el subradical o radicando 1 1 1 1 2

12 2 2 2 225 25 25 25 25 25

elevado al cuadrado

tambin resulta el subradical o radicando

21 2

12 225 25 25 25

n a

Propiedades de los radicales

a) 1

n na a

b) k

kn k nna a a

c) 1n

n n na a a a

d) 1

n n n nab a b ab

e)

11

1

n nnn

n

n

a a a a

b bbb

f) 1n

n nn nn n n nnab a b a b a b b a

g)

11 1 1 1 1n

n k k nk k k n k nna a a a a a

IMPORTANTE lo anterior aplica solo si el radicales un nmero real y para que esto suceda, si el ndice de la raz es par el subradical debe ser un numero positivo y si el ndice es impar solo trabajaremos con la parte real que proporciona.

Simplificar un radical, es dejar dentro del radical el menor nmero posible y con el menor ndice posible. Utilizando las leyes anteriores. Ejemplo 10

41

4 4 4 22248 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3

4 2 2 2 2 248 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 3 4 3

Si el radicando no es un nmero explcito representado con una literal se puede aplicar lo anterior, siempre y cuando se cumpla con las condiciones del cuadro anterior y as se considerara para el presente capitulo

Ejemplo 11.

1 2

3 2 2 2 12 2x x x x x x x x x x x x x

Nmero natural. Llamado

ndice de la raz

Radical

Radicando

Subradical



Puede haber combinaciones de nmeros reales explcitos y no explcitos: Ejemplo 12.

4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

18 9 2 3 2 3 2

3 2 3 2

x y x x y y x x y y x x y y

x x y y x y y

Ejemplo 13.

3 335 9 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 3 3 3 2 3 3 333 3 3 3 3 3

3 32 3 2

54 27 2 3 2 3 2

3 2 3 2

x y x x y y y x x y y y x x y y y

x x yyy xy x

Cuando dentro del signo del radical esta un numero racional, se desea dejar sin radical el denominador racionalizar el denominador se puede proceder como se indica en los ejemplos siguientes:

Ejemplo 14

2 2

5 5 7 5 7 5 7 5 7 35

7 7 7 7 7 77 7

Ejemplo 15.

2 2

x y xyx x y x y x y

y y y y y yy y

Ejemplo 16.

2 32 2 2 3 3

3 3 332 2 3 33

xy xyx x y x y xy

y y yy y y y y

Ejemplo 17.

3 3

3 3 3 32 2 2 3 3 3

u u w u w uw uw uw

w ww w w w w w

Ejemplo 18.

3 32 2 2 2 2 2

3 3 3 32 2 2 3 3 3

u u w u w u w u w u w

w ww w w w w w



Cuando en el denominador hay un binomio con radicales es un caso que se trabaja ms fcil con productos notables, pero lo trataremos sin ese recurso, haciendo la multiplicacin de binomios conjugados.

Ejemplo 19.

4 2 3 4 2 34 4 2 72 7 2 7 2 7 2 7 2 7 2 2 2 7

7 2

2 2

7 7

4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 2 3

2 7 5 52 7

Ejemplo 20

2 2

5 55 5

5 5 5

w x y w x yx yw w

x y x y x y x x x y y x y yx y x y

w x y w x y w x y

x y x yx y

Cambiar el orden ndice de un radical:

Ejemplo 21

1 4 21

34 26 36 6 3681 81 3 3 3 3 9

Ejemplo 22

1 4 2

6 24 4 36 6 3x x x x x

Suma y resta de radicales Para poder realizar la suma o resta dos o ms radicales el ndice y el subradical deben ser igual en las expresiones a sumar o restar:

Ejemplo 23

3 3 34 3 6 5 7 3 2 5 11 3 4 5

Ejemplo 24.

2 4 2 2 2 2 275 2 80 3 245 5 3 2 5 2 3 7 5 5 3 2 5 2 2 3 7 5 5 3 2 2 2 5 3 7 5

5 3 8 5 21 5 5 3 29 5

Ejemplo 25.

2 4 2 2 2 2 275 2 80 3 245 5 3 2 5 2 3 7 5 5 3 2 5 2 2 3 7 5

5 3 2 2 2 5 3 7 5 5 3 8 5 21 5 5 3 29 5

xy xy xy xy xy xy xy xy xy

xy xy xy xy xy xy xy xy



Ejemplo 26

2 2 2

3 2 2 3 4

2

1 2 9 1 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 6 3 2

2 3 8 2 2 3 3 2 32 2 3 2 2 2

1 1 3 1 1 3 1 2 1 3 2 1 3 1 12 6 2 2 6 2 2 6 2 2 6 2 6 2

2 3 2 3 4 2 2 3 4 4 3 4 3 42

Ejemplo 27

2 23 3 3 2 2 2

3 2 2 3

2

4 2

1 2 9 1 2 2 3 3 2 2 3 3 2

2 3 8 2 2 3 3 2 2 3 2 2

2 6 3 2 1 1 3 1 1 32 6 2 2 6 2

2 3 2 3 2 3 42 2

1 2 1 3 2 1 3 1 12 6 2 2 6 2 6 2

2 2 3 4 4 3 4 3 4

xy xy xy xy y xy y xy y y xy y xy y xy

y xy y xyy xy y xy y xy y xy y xy y xy y xy

y xy y xy y xy y xy y xy y xy y xy y xy

Multiplicacin de radicales Para poder realizar la multiplicacin de dos o ms radicales, el ndice deben ser igual en las expresiones a multiplicar:

Ejemplo 28

5 3 5 3 15

Ejemplo 29

5 3 5 3 15x y x y xy

Ejemplo 30.

2 25 3 5 3 15 15 15x x x x x x x

Ejemplo 31.

3 2 4 3 3 4 2 3 12 6

Ejemplo 32.

3 2 4 3 3 4 2 3 12 6x y y x xy x y xy xy

Ejemplo 33.

2 2 2 23 2 4 3 3 4 2 3 12 6 12 6 12 6y x y x y y x x y x y x xy



Ejemplo 34.

1 1 2 3 3 2 2 9 431 16 63 2 9 43 2 3 3 2 3 3 2 6 622 3

6 6 69 4 13 6 6 26 6 6

8 4 8 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2

Ejemplo 35.

1 1 1 1 3 2 3 3 2 23 2 2 3 2 2 3 3 2 2 23 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2

9 49 4 9 9 4 4 4 13 13 4 6 6 6 6 46 6 66 66 6

4 2 2 4 2 46 6 6

8 4 8 4 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 4 2

x x y x x y x x y x xy x xy

x xy x xy x x y x y x x x y

x x xy x xy x xy

Para la divisin de radicales, utilizando las leyes de los exponentes y radicales expuestos

anteriormente:

Ejemplo 36.

3

3 333

3

243 24327 3 3

99

Ejemplo 37.

3

3 33 333

3

486 48654 27 2 3 2 3 2

99

Ejemplo 38.

1 1 22 21 1 12 3 2 13 23 33 32 2 2

21 4 2 26 6 4

4 6 6 3 3

2 24 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

16 2 2 22 2

Tambin para cuando los nmeros dentro de radical no son conocidos: Ejemplo 39.

3 10 10

3 310 7 3373 7

x xx x x

xx

Ejemplo 40.

9 2 9 23

9 5 2 1 4 3 33 3 3 3 33553

500 500250 125 2 5 2 5 2 5 2

22

x y x yx y x y x x y x xy x xy

x yx y



Ejemplo 41.

1 1 22 21 1 12 3 2 13 2 33 32 2 2

21 4 2 26 4

4 6 6 3 3

x xx x x x x x x xx x

x x xx x

Potencia, cuando la base es un radical:

Ejemplo 42.

55

3 3 3 3 3 3 32 2 5 10 3 3 3 3 3 3 33 3 3 39 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

Ejemplo 43.

5

2 2 5 10 3 3 3 3 3 3 333 3 3 3 3 3 3 3 33y y y y y y y y y y y y y y y y

Ejemplo 44.

1 124 4

3 3 12 12 62 2x x x x x x

Ejemplo 45.

3 3 332 2 2 3 6 3 4 2 4 3 2 4 3 2 3 24 4 4 4 4 4 44 4xy xy x y x y x y y y x y y x y y x y

Raz de un radical

Ejemplo 46.

1 4 2

6 3 18 94 4 4 218 18 92 2 2 2 2 2

Ejemplo 47.

1 4 2

6 3 18 94 4 4 218 18 9x x x x x x

Ejemplo 48.

3 4 48xy xy



Ejercicios Simplifica a su mnima expresin (extrayendo la mayor cantidad posible del radical)

1. 50 R. 5 2 3 8 106. 1250a b

2 3 23. 5 10R a b a b

4 72. 50x y

R. 522 23 37. 128

3. 4 2R

33. 32 R. 2 23

2 6 1138. 128x y z

2 3 2 23. 4 2R y z x z

5 834. 32x y

R. 22 4223

49. 405

4. 3 5R

35. 1250 R. 5 103

3 8 14410. 405x y w

2 3 3 24. 3 5R y w x w

Simplifica realizando la suma

1. 75 2 80 3 245

R. 5 3 + 29 5

5. 44 9 25

5 5 81

4. 5

3R

2. 75 2 80 3 245xy xy xy

R. 5 3 + 29 5

6. 2

42

4 9 25

5 5 81

x x x

y y y

4. 5

3R xy

y

3. 3 18 2 50 5 72 R. 29 2

7. 3 3 4

4 9 25

5 5 81

2 23 31 1. 4 5 9 5 55 9

R

2 3 2 3 2 34. 3 18 2 50 5 72x y x y x y

. 29 2R xy y

8. 3 3 4

4 9 25

5 5 81ab ab ab

2 23 31 1. 4 5 9 5 55 9

R ab ab ab

Determina los productos siguientes y simplifica

1. 5 3 R. 15 3 37. 3 6 2 9

3. 18 2R

2. 5 3x y R. 15 3 2 2 238. 3 6 2 9x x y

23. 18 2R x xy

3. 5 20 R. 10 39. 8 4 6. 4 2R

4. 5 20x x R. 10 310. 8 4x 26. 4 2R x

5. 3 2 4 3 R. 12 6 2 811. 5 5

4.

5R



6. 3 2 4 3w z R. 12 6 2 812. 5 5

xy x

4.

5R x y

Realiza las divisiones con radicales y simplifica

4

3

81.

4 R. 2

12

3

4

97.

27

121

.3

R

24

3

82.

4

x y

xy R.

22

12

2 23

3 34

98.

27

x y

x y

121

.3

Rxy

3 43.

3 .

4

3

3 4

4

4

259. 1 64

3 25

3.

2R

3 244.

3

x

xy R.

16

936

2 2 34

4

4

2510. 1 64

3 25

x y z

xyz

243

.2

R xyz

3

5 4

45.

4

. 4710

3

3 211.

ab

a b 2

.b

Ra

3

4 4 45

46.

4

xy

x y

103 3

16384.R

x y



Simplificar

2

1. 4 R. 4 11. 9 8 R. 3 84

2

2. 4xy R. 4 2 312. 9 8x x R. 3 834

32

33. 9

R.1

81 13. 4

R. 2

8

3

3 24. a

2

1.R

a 2 214. 4a b

R. 2

8

4

35. 3 3

5 3. 3 3R 3 4 4815. 2 . 4R

4

36. 3 3w

5 3. 3 3R w w 3 4 48 4816. 2 w 2. 4R w

2

3 27. 5

3. 5 5R 17. 1 6 5 16

. 2R

2

2 2 238. 5 x y

3. 5 5R xy xy 2 4 4 8 8 16 16 3218. 6 5 16x y x y x y x y

2. 2R xy

4 39. 25 R. 56

519. 0.00032

1.

5R

4 3 210. 25x R. 56

25

510 15

0.00032 20.

u

w z

5

2 3.

5

yR

w z

Racionalizar el denominador

151.

2 3 R.

5 3

2

56.

7 2 2

p

s r 2

35 10 2.

49 8

ps p rR

s r

152.

2 3

x

y R.

5 3

2

87.

3 2 2

8 3 2 2.

5R

43.

3 2 5

R. 4 3 2 5

11

88.

3 2 2

x

x x

8 3 2 2.

5

x x xR

x

44.

3 2 5

w

z u R.

4 3 2 5

92 20

3 2 69.

3 2 6

. 2 3R

55.

7 2 2

R.5 7 + 2 2

41

3 2 610.

3 2 6

x y

x y

3 4 3 1.

3

x y xyR

x y



1.3 Operaciones con polinomios

1.3.1. Suma de polinomios

En la aritmtica, los nmeros positivos se suman, pero en el algebra, la adicin puede realizarse entre nmeros tanto positivos como negativos.

Para esto se dan los siguientes enunciados:

1 La suma de dos trminos semejantes son signos iguales (ambos positivos o negativos) es otro termino semejante cuyo coeficiente es igual a la suma de los valores absolutos de sus coeficientes numricos procedidos del signo comn.

2 La suma de dos trminos semejantes con signos diferentes es otro trmino semejante, donde el coeficiente se obtiene sustrayendo el valor absoluto menor de sus coeficientes numricos del mayor valor absoluto y tomando el signo del coeficiente numrico del que tiene mayor valor absoluto.

Encontrar la suma de:

Ejemplo 1:

4 7 4 74 7 11

xy xy xy

xy xy xy

Ejemplo 2:

2 8 8 2

2 8 6

2 8 6

ab ab ab

ab ab ab

ab ab ab

Ejemplo 3:

2 3 2 5 7 3 4xy x y x y xy

2 3 2 5 7 3 4xy x y x y xy

2 3 5 2 7 4 3 . xy xy x x y y Propiedad asociativa

2 1 3 5 2 7 4 3 8 9 1xy x y xy x y



Ejemplo 4:

2 2 22 5 4 7 3x x x x x x

Para efectuar este tipo de dos operaciones se aplicaran los enunciados 1 y 2, resolviendo las sumas

por pares de sumandos, hasta llegar al resultado final.

2 2 25 7 2 4 3 x x x x x x Propiedad asociativa

2 21 5 7 4 2 3x x x x 2 26 7 2 3x x x x

2 27 6 3 2x x x x

1.3.2 Resta de polinomios

SUSTRACCION

Se puede encontrar la diferencia de dos expresiones algebraicas de las siguientes formas: 1 Encontrando la suma del minuendo ms el inverso aditivo del sustraendo. El inverso aditivo del sustraendo se obtiene cambiando los signos de cada uno de los trminos de ste. Ejemplo 5:

Encontrar la diferencia si 4 3 8 x y z se sustrae de 5 4 3 x y z . El inverso aditivo de

4 3 8 x y z es 4 3 8 x y z .

Sumando:

5 4 3 Minuendo

4 3 8 Sustraendo

9 11 Diferencia

x y z

x y z

x y z

2 Cambiando los signos del sustraendo mentalmente.

Ejemplo 6:

Encontrar la diferencia si a 8 3 2 x y z se le resta 4 2 5 x y z

Restando

8 3 2 Minuendo

4 2 5 Sustraendo

4 7 Diferencia

x y z

x y z

x y z

SIGNOS DE AGRUPACIN

Al realizar las operaciones algebraicas, es a veces necesario colocar o quitar parntesis (u

otros signos de agrupacin) de una expresin algebraica.



El parntesis puede estar precedido de los signos ms (+) menos (-).

a) Cuando el parntesis est precedido de un signo ms (+):

6 4 8 1 6 4 8 x y x y elemento neutro multiplicativo.

1 6 1 4 1 8 x y propiedad distributiva.

6 4 8 x y

b) Cuando el parntesis est precedido de un signo menos (-):

6 4 8 1 6 4 8

6 4 8

x y x y

x y

Ejemplo 7: Eliminar los signos de agrupacin en la siguiente expresin:

5 3 4 2

5 3 4 2

5 2 3 2

5 2 3 2

3 5

3 5

x x x y y y

x x x y y y

x x y y

x x y y

x y

x y

NOTA: SE RECOMIENDA ELIMINAR PRIMERO EL SIGNO DE AGRUPACION QUE SE

ENCUENTRE CONTENIDO EN OTRO. ASIMISMO SE REDUCIRAN LOS TERMINOS

SEMEJANTES CORRESPONDIENTES.

Como lo muestran estos ejemplos, los signos de agrupacin precedidos de un signo ms,

pueden colocarse o ser removidos sin cambiar los signos de la expresin. Si lo que precede

al signo de agrupacin es un signo menos, los signos de todos los trminos deben

cambiarse al retirar los parntesis.

Convencionalmente, cuando a un signo de agrupacin no le antecede ningn signo, se

entiende que ste es un signo ms (+).



A) Realizar las operaciones indicadas.

1) 5 9 8 y y y

2) 3 8 x x

3) 6 5 a a a

4) 5 6 7 a a a

5) 6 mn mn mn

B) Encontrar la suma de las dos expresiones en cada uno de los siguientes problemas, y

despus sustraer la segunda expresin de la primera.

1) 3 11 17

8 9 11

x y

x y 2)

4 7 4 5

4 8 7 14

x xy yz

x xy yz 3)

5 4 6 7

9 8 3 9

mn m n

mn m n

C) Sumar las tres expresiones en cada uno de los siguientes problemas y despus

sustraer la tercera expresin de la suma de las dos primeras.

1) 8 2 12 ; 15 11 11 ; 9 9 14 a b c a b c a b c

2) 4 5 2 ; 3 5 8 ; 4 2 6 xy yz x x xy yz yz x xy

3) 3 4 8 ; 5 4 6 ; 3 4 9 r rs s s r rs rs s r

D) Eliminar los smbolos de agrupacin y reducir a su mnima expresin.

1) 2 x y z x y z

2) 4 3 2 5 2 x y x y z

3) 5 3 2 4 x y y z y x x z

4) 4 3 5 4 2 3 xy xy x y xy x xy

5) 3 4 4 6 7 2 4 a ab b a ab b a b

E) Reducir trminos semejantes.

1) 3 2 2 3 2 3 3 23 2 2 3 2 3 4 3 2 x y x y xy x y x y xy xy

2) 2 2 2 21 2 1 1 1 72

3 3 6 5 4 8x xy x x xy y x

3) 2 3 3 2 3 2 3 2 2 3 3 3 2 32 3 5 8 6 10 6x y x y y x x y x y x y y x

4) 7 2

4 3x x



5) 8.5 2.3p px x

6) 2 1 2 2 1

23 5 3 3 7ab a b ab a b

7) 6.5 7.3 9.2 9.3 11.5 1.3 2a b c d a b c d

F) Eliminar parntesis y reducir trminos semejantes.

1) 3 5 2 5 2 3 2 4 2 3 1x y x y x y y x y

2) 24 3 2 7x x x x

3) 2 3 4 1 2 3x x x x x

4) 2 3 2 3x x x x

5) 2 2 2 2 2 23 2x xy y x xy y x y

6) 3 2 5 3 4 12 1 9 2 3 2a a a a a a

7) 7 3 3 2 3 8 1 4 3x x x x x x x x x

8) 2 22 3 2 2 3x x x x x x

9) 3 2 2 3 2 2 3 4 3 2 16 5a a a a a

10) x x y x y z x y y

11) 2 4a b c d a c d

12) 3 5 2 2 5 x t n t nn x y y x y x

13) 3 2 2 7 2 6x y x y y x x y

14) 2 5 3 2 2 3 2 5 4x x x x y x y x y y x y

15) 6 2 3 2 2 6 6u u w u w w u z u w



16) 2 2 23 12 4 2 3 2 3 3 2 2x x x x x x x x x x

G) Calcular la suma de los polinomios indicados.

1) 10 7 3 ; 4 2 6 ; 5 9 8xy xz yz xy xz yz xy xz yz

2) 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 34 2 6 ; 7 ; 4 3a a b b a a b b a a b b

3) 2 2 2 2 2 2 22 7 1 1 1 1 3

; ; 63 8 5 6 10 3 5a ab b a ab b a b

4)

5 5 3 2 4 5 4 2 5

5 4 3 2 4 5 4 2 5

1 3 1 3 5 1 ; ; ;

10 4 6 5 6 9

2 12 ;

5 4

x y x y xy y x y x y y

x x y x y xy y x y x y x

H) De la primera expresin, restar la segunda.

1) 2 2 2 2 24 3 ; 3 2 3x y xy y x x y y

2) 4 3 211 ; 5 3x x x x x

3) ; a b c d a b c d

4) 2 2 2 22 ; 2a ab b a ab b

5) 5 3 3 5 6 6 4 2 3 3 56 18 42 ; 8 9 1a b a b ab a a a b a b ab

6) 2 2 2 22 7 1 1 1 ;

3 8 5 6 10a ab b a ab b

7) 3 2 2 3 43 1 1 134 1 ; 3

2 3 6 2x x x x x x x

I) Restar el primer polinomio del segundo.

1) 2 2 ; 3 2a b c a b c

2) 2 2 2 2 26 ; 4 1a b c a c

3) 2 24 ; 2a ab b

4) 2 22 3 ; 1a b

5) 1 1 1

; 2 3 2 6

abmn mx ab mn mx



6) 3 2 2 25 7 5 1 1

6 ; 6 8 8 4 3a ab a b ab

7) 3 3 ; 0a b

J) Efectuar las operaciones indicadas.

1) Restar 25 6 4x x , de la suma de 23 3 1x x con 22 5 7x x

2) Restar la suma de 3 2 33 4x x y y con 3 2 32 5 7x x y y de 3 22 5x x y

3) Restar 3 2 32 3 4x x y y de la suma de 2 2 3 3x y x y con 2 3 3 2 22x y x y x y

4) Restar la suma de 2 3 1a b con 2a b c , de a b c



1.3.3 Producto de polinomios Primero estudiemos las expresiones algebraicas de un solo termino monomios

23 x y

23 x y

La forma de realizar la multiplicacin de monomios es multiplicar los coeficientes numricos de las expresiones a multiplicar, respetando las reglas de la multiplicacin de nmeros reales. Y en la parte literal, se multiplican las letras respectivas utilizando las leyes de los exponentes antes vistas.

Ejemplo 1

3 3

2 42 2 4 3 2 2 4 3 1 2 3 3 2 3

2

153 5 3 5 15 15

x zxy x y z x x y y z x y z x y z

y

Ejemplo 2.

8

2 32 5 3 3 2 3 5 3 5 3 1 8 62 3 1 2 3 6 6y w

x y x y w x x y y w x y w x y wx

El coeficiente numrico puede ser un nmero racional de la forma a

b. Recordemos que el

producto de este tipo de nmeros es multiplicar numerador por numerador y denominador por denominador:

5 3 5 3 15Ejemplo3:

7 2 7 2 14

9 3 9 27Ejemplo4 : 3

11 1 11 11

4 5 11 4 5 11 2 11 22

Ejemplo 5: 3 7 10 3 7 10 3 7 21

No olvides simplificar siempre que sea posible

Ejemplo 6.

3 32 42 2 4 3 2 2 4 3 1 2 3 3 2 3

2

3 3 3 3 9 9 9

4 7 4 7 28 28 28

x zxy x y z x x y y z x y z x y z

y

Ejemplo 7.

2 32 5 3 3 2 3 5 3 5 3

81 8

1 6 28 1 6 28 8

3 7 5 3 7 5 5

8 8

5 5

x y x y w x x y y w x y w

y wx y w

x



La multiplicacin de un monomio por un polinomio de dos o ms trminos. El procedimiento es multiplicar el monomio por cada uno de los trminos del polinomio y reducir los trminos resultantes de ser posible.

Ejemplo 8:

3 2 2 33 2 5x y x y z

3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3

5 2 3 5

3 2 5 3 2 3 5 3 2 3 5

6 15

x y x y z x y x x y y z x x y x y y z

x y x y z

Ejemplo 9.

2 3 3 22 5 3x y x y

2 3 3 2 2 3 2 3 3 2 2 3 2 3 3 2

5 2 3 5

2 5 3 2 3 5 3 2 3 5 3

6 15

x y w x y x x y y w x y x x y x y y w

x y x y w

Para realizar la multiplicacin de un polinomio de dos o ms trminos que multiplica a otro u otros polinomios tambin de dos o ms trminos es, cada trmino del primer polinomio por cada trmino del segundo polinomio as sucesivamente:

Ejemplo 10.

2 3 5 3 2 2 5

2 2 3 2 2 2 2 5

3 3 3 3 2 3 2 5

5 5 3 5 2 5 2 5

3 2 3 4 4 5 2 4 3 3 3 8 8 2 56 6

3 4 2 7 2 6 5

3 7 3 2 3 6 3 5

4 7 4 2 4 6 4 5

2 7 2 2 2 6 2 5

21 6 18 15 28 24 28 10 4 4 12

x xy y xy y x x y

x xy x y x x x x y

xy xy xy y xy x xy x y

y xy y y y x y x y

x y x y x x y x y xxy xy yx y y x y

2 10

3 2 3 4 4 5 2 4 3 3 3 8 8 2 65 2 10

10

21 6 18 15 28 24 20 4 1 62 10

x y

x y x y x x y x y x y x y x y x y xyy



Ejemplo 11.

2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2 3 3 5 7

2 2 3 3 3 5 7

2 2 3 3 3 5 7 2 5 3 3 5 7

2 5 3 3 5 7

2 3 2 5 2 7 5 3 5 5 5 7

3 3 3 5

x y x y xy xy x y

x x x y y x y y xy xy x y

x xy xy y xy xy x y x xy y xy xy x y

x xy y xy xy x y

x xy x xy x x y xy xy xy xy xy x y

y xy y x

2 2 2

3 4 2 2 3 4

3 4 2 2 3

2 3 2 3

2 3

3 2

4

3 2

3 2

3 7

26 14 15 9 15

6 14 1

10 35

4 5 9 15

5

5

21

46

y y x y

x y x y x y xy xx y xx y x y y

x y x y x y xy

y

x yx xyy

Cuando solo esta presente una literal como por ejemplo " "x se le llama polinomio en " "x como el siguiente:

3 4 22 5 4 6x x x x

Tales expresiones es conveniente escribirlas en orden, respecto a los exponentes de la literal presente que puede se ascendente o descendente:

4 3 24 2 5 6x x x x Cuando en los polinomios falte algn trmino segn la secuencia de los exponentes, se puede completar el trmino faltante, con coeficiente numrico cero. Lo anterior ser muy til en varios procedimientos operacionales.

2 5 2 5 4 2 35 4 202 1 3 7 6 3 6 2 7 1 3 6 2 7 1x x x x x x x x x x x xx

Multiplicacin de polinomios por coeficientes separados

3 2 23 4 5 2 5x x x x x

Primero ordenamos cada polinomio en orden descendente segn el exponente de la literal presente

3 2 24 3 5 2 5x x x x x Hacemos un arreglo semejante al que realizamos en una multiplicacin aritmtica de los cursos recibidos en la escolaridad bsica. Usando solo los coeficientes de los polinomios a multiplicar

Ejemplo 12.

3 2 24 3 5 2 5x x x x x



5 4 3 2

4 1 3 5

2 1 5

20 5 15 25

4 1 3 5

8 2 6 10 8 6 25 18 10 25

8 6 25 18 10 25x x x x x

Ahora hacemos el desarrollo de un ejemplo en el cual es conveniente llenar los espacios en la secuencia descendente (tambin puede ser ascendente) de los exponentes, algunos autores prefieren tan solo dejar los espacios en blanco, en donde falta algn exponente de la secuencia.

Ejemplo 13:

4 2 2 4

3

2 2

4 2 2

6 5 4 3 2

6 4 3 2

5 4 6 9 4 Ordenando 4 5 6 9 4

Completando 4 5 6 9 4

4 0 1 5 6

9 0 4

16 0 4 20 24

0 0 0 0 0

36 0 9 45 63

36 0 7 45 67 20 24

36 0 7 45 67 20 24

36 7 45 67 20 2

0 0

4

x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x

x x x

x x

x x



Extendamos lo antes visto a polinomios con dos literales, observemos y analicemos el ordenamiento que deben presentar sus trminos.

Ejemplo 14:

4 3 2 2 4 2 2

4 3 2 2 3 4 2 2

6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 5 4 2 3 3 2 4 6

5 7 3 3 2

5 7 0 3 3 0 2

1 5 7 0 3

3 0 2

2 10 14 0 6

0 0 0 0 0

3 15 21 0 9 3 15 19 10 23 0 6

3 15 19 10 23 0 6

3 15 19 10 23 6

a a m a m m a m

a a m a m am m a am m

a a m a m a m a m am m

a a m a m a m a m m

Ejercicios

1. x y x y R. 2 + 2 + 2 1 1 1 111. 2 3 3 2

a b a b

2 2a 5ab b

R. 6 36 6

2. a b a b R. 2 2

2 21 1 1 2 312. 2 3 4 3 2

x xy y x y

R. 3 2 2 3x 35x y 2xy 3y

3 36 3 8

3. 5 10 x x R. 2 5 50 3 2 2 2 22 1 1 1 2 513. 7 2 5 4 3 6

x xy x y x xy y

R.

5 4 3 2 2 3 4x 101x y 69x y x y 5xy

14 420 280 6 12

2 24. x xy y x y R. 3 3 R.

2 2 2 21 1 1 3 1 114. 3 2 5 4 2 4

a b ab a ab b

4 3 2 2 3 4a 19a b 47a b ab b

4 60 120 5 8



4 2 2 4 2 25. m m n n m n R. 6 6 15. 5 3 a a

R. 2a 2a 15

1 26. 1 x x xa a a a

R. +3 + 2+2 + 2+1 +

216. 3 1 1a x x

R. 2 2 23a x 3a

1 2 3 1 2 37. 2 5 3 n n n n n nx x x x x xR. 102+2 72+1 + 22 221 322

2 2 217. 1 1 1x x x

R. 6 4 2x x x 1

2 2

4 3 3 4

8. 2

. 2 2

a b a ab b a b

R a a b ab b

18.

2 23 5 3 5x x7 3 7 3

R. 49 25

x49 9

3 2 2 3 2 32 1 5 1 39. 3 2 6 9 4

m m n mn n m n

R.1

253 +

3

844

5

835

1

1226

19.

3 4 5 1 x x x x

R.

4 3 2x 3x 21x 43x 60

2 1 1 1 2 1 2 2 3 2 2 110. 3 4 2 10 4 a x a x a x a x a x a xx y x y x y x y x y x yR. 23+123 + 4322 + 28322 30332+1

Realiza las siguientes multiplicaciones por coeficientes separados

3 2 21. 1 x x x x

R. 5 4 + 2

4 2 4 22. 8 3 6 5 x x x x

R. 8 26 504 + 582 15

6 4 3 4 23. 3 5 8 4 3 4 n n n n n n

R. 10 68 + 57 + 136 235 84 + 443 122 32 + 16

2 34. 1 2 1 x x

R. 25 23 + 2 1

10 6 4 2 8 10 6 4 2 6 2 45. 5 3 6 4 5 x x y x y y x x y y x y

R. 16 14 2 12 4 10 6 8 8 6 10 4 12 2 14 16x 4x y 10x y 21x y 28x y 23x y 9x y 33x y 6y

2 2 2 2 1 2 1 3 1 3 3 16. 3 5 3 5 6 a a a a a a ax x x x x x x

R. 5a 3 5a 2 5a 1 5a 5a 1 5a 26x 23x 12x 34x 22x 15x

3 3 2 2 3 2 37. 6 5 4 m n mn m n m mn n



R. 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6m 5m n 2m n 20m n 19m n 10mn n

5 4 3 2 2 3 5 2 28. 3 6 4 2 4 x x y x y x y y x y

R.

7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 72x 6x y 8x y 20x y 24x y 18x y 4y

1.3.4. Divisin de polinomios

Primero estudiemos la divisin de expresiones algebraicas de un solo termino monomios

La forma de realizar la divisin de monomios es dividir los coeficientes numricos de las expresiones a dividir, respetando las reglas de la divisin de nmeros reales. Y en la parte literal, se dividen las letras respectivas utilizando las leyes de los exponentes antes vistas.

Ejemplo 1:

6

6 3 3

3

xx x

x

Ejemplo 2:

44 4 4

7 7 4 3 4 3 3 3

25 25 1 55 5 5

55

yy y y

y y y y y y y y

Ejemplo 3:

5 3 5 3 3 1 2 2

2 2

3

4 4 4 4

3 3 33

x y x y x yx y

x y

Ejemplo 4:

7 4 3

7 3 4 2 3 4 2 3

3 2

16 164

44

x y wx y w x y w

x y

Ejemplo 5:

a 4a 4 a 2 a 4 a 2 2

a 2

2x2x 2x 2x

x

Ejemplo 6:

Para aplicar el procedimiento mencionado, el denominador debe ser diferente de cero.

Durante el presente capitulo se considerara que los ejemplos y ejercicios cumplen con la condicin mencionada.



m 3 m 1m 3 4 m 1 2 m 1 m 3

4 2

12x y 12 3x y x y

8 28x y

El coeficiente numrico puede ser un nmero racional de la forma a

b. Recordemos que para la

divisin de este tipo de nmeros hay tres procedimientos comunes.

Ejemplos

a) El numerador de primer nmero racional se multiplica por el denominador del segundo numero racional:

5 3 5 3 10 9 3 9 33 3

7 2 7 2 21 11 1 11 9

b) El nmero racional que divide (divisor) se sustituye por su reciproco y queda replanteada una

multiplicacin de nmeros racionales, la cual se resuelve como las multiplicaciones antes vistas:

5 7 5 5 3 5 3 5 7 7 9 7 7 1 7 9

9 3 9 9

3

7 3 3 7 21 5

1

7 9 4595 1 5 5

Procedimiento anterior ser extremadamente importante en el tema divisin de fracciones algebraicas.

c) Tanto el numerador como el denominador son ocupados por nmeros racionales. Se procede a multiplicar medios por medios, que ser el denominador del resultado y se multiplica extremos por extremos que ser el numerador del resultado, como se indica a continuacin:

5

5 9 4578 7 8 56

9

La ventaja de usar uno u otro de los procedimientos descritos depender de cmo est planteada la operacin a realizar. Pero con cualquiera de ellos, si se aplica de manera correcta estar bien realizado.

Ejemplo 7:

3 5 2 2 3 2 5 2 33 8 3 8 27

7 9 7 9 56x y x y x y xy

Ejemplo 8:



6 56 5 3 9 6 5 6 56 5 3 9

33 99

5 3 35 7 5 7 5 5 99

73 9 3 9 3 3 7

x yx y x y z x y x yx y x y z

x yx y z z

3 53 7x y 4

6 3 3 3

4 4 4

15 15 15

7 7 7

y z

x x x

y z y z y z

Ejemplo 9:

3 73 7

3 73 2 7 3 4

2 3 2 32 3

5 525 25 259 9

6 35 356 36

5 5

w zw z w z

w z wzw z w z

w z

Divisin de un polinomio entre un monomio Ahora en el numerador se encuentra un polinomio de dos o ms trminos y en el denominador hay un monomio. Este tipo de divisiones es muy fcil de realizar, ya que replantea asignndole cada trmino del numerador el monomio como denominador y el problema queda reducido a varias divisiones de monomio entre monomio las cuales ya han sido estudiadas. En el siguiente ejemplo se aplican las leyes de los exponentes de distintas maneras para reducir.

Ejemplo 10:

5 6 4 4 9 5 3 3 2 5 6 4 4 9 5 3 3 2

3 2 3 2 3 2 3 2 3 2

3

5 3 6 2

15 18 27 3 15 18 27 3

3 3 3 3 3

5 6

x y w x y w xy w x y x y w x y w xy w x y

x y x y x y x y x y

x xx y w

2y 2 9

3

y w

x 2y

5 2 3 3 32 4 2 9

3 1 2

9 91 5 6 1

y w y wx y w y w

x x

Ejemplo 11:

x m x 1 m 1 x 2 m 2 x m x 1 m 1 x 2 m 2

3 4 3 4 3 4 3 4

x 3 m 4 x 1 3 m 1 4 x 2 3 m 2 4 x 3 m 4 x 2 m 5 x 1 m 6

2a b 6a b 3a b 2a b 6a b 3a b

2a b 2a b 2a b 2a b

3 3a b 3a b a b a b 3a b a b

2 2 Ejemplo 12:

4 6 64

4 2 6 2 2 4

2 2 2

3 5 5315 25 15 252 3 32

2 2 2 4 6 4 6

5 5 5

x x xxx x x x

x x x

Ejemplo 13:



2 3 32

7 2 7 3 5 47 7 7

3 5 5315 25 15 252 3 32

2 2 2 4 6 4 6

5 5 5

x x xx

x x x xx x x

1.3.4.1. Divisin larga

Divisin de un polinomio entre un polinomio de dos o ms trminos De forma general tendremos

Dividendo Residuo

CocienteDivisor Divisor

Desarrollemos un ejemplo

Ejemplo 1:

3 4 2 231x 9x 35x 9x 5x 3x

Ordenamos cada polinomio (tanto en divisor como el dividendo) de forma descendente respecto al exponente de la literal presente y si falta algn exponente en la secuencia, colocaremos cero como coeficiente numrico:

4 3 24 3 2 2

2

35x 31x 9x 9x35x 31x 9x 9x 5x 3x

5x 3x??

No es indispensable agregar el trmino faltante cuando este estara al final del polinomio (termino constante). Ejemplo 1 Ahora procedemos de manera similar como lo haramos en una divisin aritmtica:

Divisor

Dividendo



Incluyendo a las literales

2

2 4 3 2

4 3 2

3 2

3 2

2

7x 2x 3

5x 3x 35x 31x 9x 9x

35x 21x 0x 0x

0 10x 9x 9x

10x 6x 0x

0 15x 9x

15 9x

0 0

Por coeficientes separados

7 2 3

5 3 35 31 9 9

35 21 0 0

0 10 9 9

10 6 0

0 15 9

15 9

0 0

Importante el residuo fue cero.

Dividendo Residuo


4 3 22

2

35x 31x 9x 9x7x 2x 3

5x 3x

4 3 22

2

35x 31x 9x 9x7x 2x 3

5x 3x

Ejemplo 2 4 2Dividir 5y 2y y 3 entre y-1

Residuo

Cociente

Dividendo

Divisor

Dividendo

Divisor Cociente



4 3 24 3 2

3 2

4 3 2

4 3

3 2

3

5y 0y y 2y 35y 0y y 2y 3 y 1

y 1

Incruyendo a la literal Por coeficientes separados

5y 5y 6y 4

y 1 5y 0y y 2y 3

5y 5y

0 5y y 2y 3

5y

2

2

2

5 5 6 4

1 1 5 0 1 2 3

5 5

0 5 1 2 3

5 55y

0 6 2 30 6y 2y 3 6 66y 6y

0 4 30 4y 34 44y 4

0 10 1

Div

4 3 24 3 2 3 2

idendo ResiduoCociente

Divisor Divisor

5y 0y y 2y 3 15y 0y y 2y 3 y 1 5y 5y 6y 4

y 1 y 1

Ahora ejemplifiquemos con un polinomio de dos literales, observemos la tendencia de los exponentes para poder acomodarlos: Debemos elegir a una de las dos literales para ordenar el polinomio respecto a ella, para el siguiente ejemplo usaremos x Ejemplo 3

Residuo

Divisor

Residuo

Residuo

Cociente



3 2 2 3 4

2 2 3

3 2

x y x y 5xy y

x y

Ya esta acomodado en secuencia descendente para la literal "x"

Incluyendo a las literales Por coeficientes separados

x y 2xy 3y

x y x y x y

2 3 4

3 2 2

2 2 3 4

2 2 3

3 4

3 4

4

3 2 2 3 4 42 2 3

1 2 3

5xy y 1 1 1 1 5 1

x y x y 1 1

0 2x y 5xy y 0 2 5 1

2 22x y 2xy 0 3 10 3xy y

3 33xy 3y

0 20 2y

x y x y 5xy y 2yx y 2xy 3y

x y x y

Resolvamos el ejemplo anterior, pero en esta ocasin elegiremos a la literal y para ordenar

respecto a ella y no olvidemos que se ordena tanto divisor como dividendo: Ejemplo 4



3 2 2 3 4 4 3 2 2 3x y x y 5xy y y 5xy x y x y

x y y x

Ahora ya esta acomodado en secuencia descendente para la literal "y"


3 2 2 3

4 3 2 2 3 4

4 3

3 2 2 3 4

3 2 2

2 2 3 4

2 2 3

3 4

2 4

4


y 4xy 3x y 2x 1 4 3 2

y x y 5xy x y x y 0x 1 1

y xy

0 4xy x y x y 0x

4xy 4x y

0 3x y x y 0x

3x y 3x y

0 2x y 0x

2x y 2x

0 2x

4 3 2 2 3 43 2 2 3

1 5 1 1 0

1 1

0 4 1 1 0

4 4

0 3 1 0

3 3

0 2 0

2 2

2

Dividendo ResiduoCociente

Divisor Divisor

y 5xy x y x y 2xy 4xy 3x y 2x

y x y x



En el ejemplo siguiente los coeficientes no proporcionan divisiones exactas nmeros enterosla mecanica es la misma, solo hay que hacer las operaciones respectivas con nmeros racionales.

Ejemplo 5.

3 4 4 3 23 4 7x 3x 2x 3 3x 7x 0x 2x 37x 3x 2x 3 2x 3

2x 3 2x 3

Ahora ya esta acomodado en secuencia descendente para la literal "x" :


3 2

4 3 2

4 3 2

23

3 2

2

2

3 4 15 61x x x

2 5 8 16

2x 3 2x 33x 7x 0x

93x x 0x 0x 0

2

50 2x 30xx2

5 150x 0x x

2 4

15 2x 30 x4

15 450x x

4 8

610 3x8

61 183x

8 16

135016


3 43 4 3 2

3 4 15 61

2 5 8 16

2 3 3 7 0 2 3

93 0 0 0

2

50 0 2 32

5 150 0

2 4

15 2 304

15 450

4 8

610 38

61 183

8 16

135016

7x 3x 2x 3 3 57x 3x 2x 3 2x 3 x x

2x 3 2 4

Dividendo ResiduoCociente

Divisor Divisor

3 2 3 2

13515 61 16x8 16 2x 3

3 5 15 61 135 3 5 15 61 135x x x x x x

2 4 8 16 2 4 8 16 32x 4816 2x 3



1.3.4.2. Divisin sinttica Algunas divisiones se pueden hacer por un procedimiento menos laborioso que el descrito anteriormente, la condicin para poder utilizar la divisin sinttica es que el divisor sea un binomio

de la forma x a , un binomio en el cual la literal tenga coeficiente y exponente igual ha "1" , ms o menos una constante.

Ejemplo 1:

22x x 6

x 2

No olvidemos ordenar, el presente ejemplo ya lo est

2 1 6

4 6 2

2 3 0

Dividendo Residuo


22x x 6 02x 3 2x 3

x 2 x 2

+

Ejemplo 2:

4 2 4 3 25x 2x x 3 5x 0x x 2x 3

x 1 x 1

5 0 31 2

15 5 6 45 5 6 4 1

4 2 4 3 2

3 25x 2x x 3 5x 0x x 2x 3 15x 5x 6x 4x 1 x 1 x 1

El siguiente ejemplo de inicio parece que no se puede hacer por divisin sinttica, al no cumplir con la condicin de que el coeficiente de la literal en el denominador es diferente de "1" . Pero podemos hacer un arreglo previo como se muestra:

Ejemplo 3:

2 3 3 2 3 25x 7x 2 7x 5x 0x 2 1 7x 5x 0x 2

12x 1 21x2 x

22

Dividendo

ordenado

Constante del divisor

Con signo cambiado

Residuo

Cociente



Aunque el tema de factorizacin se estudiara ms adelante aqu utilizaremos una factorizacin muy elemental con el objetivo de dejar en "1" al coeficiente de la literal en el divisor.

La parte que est entre los corchetes es en la que podemos aplicar la divisin sinttica y ya que tengamos la divisin sinttica resuelta no debemos olvidar multiplicar por el numero que previamente fue factorizado.

3 21 7x 5x 0x 2

12x

2

7 5 0 2

7 17 17 1

2 4 8 2

17 17 3372 4 8

2 2 2

331 17 17 1 17 17 33 1 17 17 3387x x 7x x 7x x

12 2 4 2 2 4 2 2 4 8x 41x 8 x

2 2

22 21 17 17 33 7x 17x 17 33 7 17 17 337x x x x

2 2 4 8x 4 2 4 8 16x 8 2 4 8 16x 8



Ejercicios

6 8

6

2m n1.

3mn

5 82R. m n3

8 8 6 6 2 3 2 38. 6a b 3a b a b entre 3a b

6 5 4 3R. 2a b a b 1

7 6 8

4 10

108a b c2.

20b c

7 2 227R. a b c5

4 7 6 9 5 6 8 8 7 9 2 36 9 3 1 59. x b x b x b x b 3x b entre x b5 7 4 2 3

6 5 5 6 4 6 3 3 2 43 9 27 9 18R. x b x b x b x b x b10 5 35 20 25

m 3 m 1

2 2

7x y3.

8x y

m 1 m 37R. x y8

m m 2 m 4 310. 2a 3a 6a entre 3a

m 3 m 1 m 12R. a a 2a3

n 1 n 1

n 1 n 1

4x y4.

2x y

R. 2 2m 1 x 3

2m 2 x 4

30a b11.

6a b

R. 5ab

9 2 7 4 5 6 3 8 25. 8m n 10m n 20m n 12m n entre 2m

7 2 5 4 3 6 8R. 4m n 5m n 10m n 6mn

3 1 2 2n 1 m 2 n m 1 n 1 m 3 26. a x a x a x entre a x

4 8 3 5

n 4 m n 3 m 1 n 2 m 215 5 5R. a x a x a x8 16 3

x 4 m 1 x 3 m 2 x 2 m 3 x 2 m 47. 4a b 6a b 8a b entre 2a b

2 3 2R. 2a b 3ab 4b

Por divisin larga



21. 14x 12 22x entre 7x 3

R. 2 x 2

12 6 6 8 4 2 10 8 6 2 4 4 2 66. x x y x y x y entre x x y x y x y

4 2 2 4R. x x y y

5 2 22. 3y 5y 12y 10 entre y 2

3R. 3y 6x 5

2 21 5 1 1 1

7. a ab b entre a b6 36 6 3 2

1 1

R. a b2 3

4 2 23. a a 2a 1 entre a a 1

2R. a a 1

6 3 5 2 4 28. x 6x 2x 7x 4x 6 entre x 3x 2

2R. x 2x 3

3 1 2 4 19 37 15 4 2 3 34. x x x x x entre 2 2x x

5 2 3 5 30 40 3

22

3 3 3

33 1 3 3 1 1 x 9 xR. + x+ x + -

80 4 10 40 80 206x x 6 6x x 6 6x x 6

5 3 2 2 3 4 4 3 2 25. 3a 10a b 64a b 21a b 32ab entre a 4ab 5a b

4 2R. 3a 6ab 8b




6 5 4 2 31. 8x 16x 6x 24x 18x 36 entre 4x 3x 6

3 2R. 2 x 2x 3

6 4 2 5 3 3 5 2 4 6 2 2

2. a 7a b 7ab 12a b a b 13a b b entre a b 2ab

4 3 2 2 3 4R. a 3a b 2a b 5ab b

6 3 7 2 4 5 2 3

3. x 56 13x x 19x 3x 11x entre 2x 7 x

4 3 2R. x 3x 5x 8

2 35 3 1 1 1 12 2 3 3 2 24. xy x y y + x entre xy y x

3 36 8 3 3 4 2

2 3R. x y

3 2



Por divisin sinttica

21. a 2a 3 entre a 3

R. a 1

4x 817.

x 3

3 2 162R. x 3x 9x 27x 3

32. 2x 2 4x entre 2 2x

2R. x x 1

3x 18.

x 1

2R. x x 1

4 23. x 9x 3 x entre x+3

3 2R. x 3x 1

3x 89.

x 1

2 9R. x x 1x 1

24. 14x 12 22x entre 7x 3

R. 2 x 2

3 23 3 49 2 3

10. m m m entre m 28 2 30 5 2

21 2 1R. m m4 3 5

4 2 35. 4y 13y 4y 3y 20 entre 2y 5

3 2R. 2y 3y y 4

247 5 3 1

11. x x entre x12 8 2 4

2 5

R. x3 2

6x 646.

x 2

5 4 3 2R. x 2x 4x 8x 16x 32



1.4 Productos notables

Dentro de la multiplicacin de polinomios hay ciertos casos en que despus de desarrollar la multiplicacin, la expresin a la que llegamos cumple con un formato repetitivo en el que solo cambia los nmeros y las literales usadas pero la estructura es la misma como son:

Ejemplo 1:

2

2 2 2 2a b a b a b a ab ab b a 2ab b

2

2 2 2 2x y x y x y x xy xy y x 2xy y

De los ejemplos anteriores podemos observar la tendencia que presenta el producto, lo que lo hace un producto notable o evidente, ahorrndonos el trabajo de desarrollar toda la multiplicacin como lo vimos anteriormente, en su lujar concluimos que

Tras desarrollar un binomio al cuadrado llegamos a:

El cuadrado del primer trmino ms menos el doble del primer trmino por el segundo trmino ms en cuadrado de segundo trmino

Importante tanto el primer como el segundo trmino pueden ser expresiones con ms de un carcter.

Aunque el objetivo de aplicar productos notables es arrojar el resultado de forma directa, hay veces que conviene hacer el planteamiento de la regla cuando no se tiene prctica en este tema y poco a poco ser innecesario el paso intermedio que se muestra.

Ejemplo 2:

2 2 2 2 22x 3y 2x 2 2x 3y 3y 4x 12xy 9y

Con lo anterior nos damos cuenta que en realidad solo es aplicar las leyes de los exponentes y multiplicaciones algebraicas, por lo cual se recomienda al estudiante trabajar con productos notables solo despus de haber practicado las leyes de los exponentes y multiplicaciones algebraicas.

Ejemplo 3:

2 2 2

2 3 3 4 2 3 2 3 3 4 3 4 4 6 5 4 4 6 2 82x y 5x yw 2x y 2 2x y 5x yw 5x yw 4x y 20x y w 25x y w

Otro desarrollo que permite comprender el signo que le corresponde a cada trmino es: primero plantear todos positivos, a cada trmino colocarle su signo en el planteamiento y hacer las operaciones correspondientes para conocer que signo finalmente le corresponde a cada trmino.

2 2 2

2 3 3 4 2 3 2 3 3 4 3 4 4 6 5 4 4 6 2 82x y 5x yw 2x y 2 2x y 5x yw 5x yw 4x y 20x y w 25x y w



Ejemplo 4:

2

2 2 2 3 53 5 3 3 5 5 6 10

6

2 2 x y2 x 2 y 2 x 2 x 2 y 2 y 2x 2y2

4 3 4 4 3 3 16 4 3 9

2x

8

2 3 5x y

4

106 3 5 102y 1 1 2x x y y

9 8 3 93

Se insiste en la importancia de que se debe arrojar el resultado final de forma directa, recuerda que los desarrollos intermedios solo son con fines didcticos

Ejemplo 5:

23 5

6 3 5 102 x 2 y 1 1 2x x y y4 3 8 3 9

Ejemplo 6:

2 2 22 2 55 5 5 5 5 5 5 5 5 3 5 10

3 1 3 1 1 3 3 2 1 63 13 3 3 3

3

10 2 5 10 10 2 5 10

2 1 6 633 23 3

3y3y 3w 3y 3w 3y 3y 3w 3w 18y w 9w2

y y y y yxx x x xx

9y 18y w 9w 9y 18y w 9w

y yxxx x

Ejemplo 7:

2 2 2 2 m 22m m 2 2m 2m m 2 m 2 4m 2m m 2 4m 2m m 2 2m 4x y x 2 x y y x 2x y y x 2x y y

Polinomios al cuadrado:

Ejemplo 8:

2 2 22 2 2

22 2 2

2 2 2

2x y 3z si a 2x y a 3z a 2 a 3z 3z a 6az 9z

pero si a 2x y a 6az 9z 2x y 6 2x y z 9z

4x 4xy y 12xz 6yz 9z

2 2 2 2

2 2 22x y 3z 2x y 3z 2 2x y 2 2x 3z 2 y 3z 4x y 9z 4xy 12xz 6yz



Si ahora incluimos un signo menos, conviene plantear todos positivos y a cada colocarle su signo respectivo recordando que el positivo se omite escribirlo. Y posteriormente solo se realizan las operaciones respectivas.

Ejemplo 9:

2 2 2 2

2 2 22x y 3z 2x y 3z 2 2x y 2 2x 3z 2 y 3z 4x y 9z 4xy 12xz 6yz

Ejemplo 10:

2 2 2 22

2 2 2 2

a 2b 3c 4d a 2b 3c 4d 2 a 2b 2 a 3c 2 a 4d

2 2b 3c 2 2b 4d 2 3c 4d a 4b 9c 16d 4ab 6ac 8ad 12bc 16bd 24cd

Binomio al cubo Ejemplo 11:

32 2 3 2 2 2 2 3

33 2 2 3

a b a b a b a b a 2ab b a b a a b 2a b 2ab ab b

a b a 3a b 3ab b

Tras desarrollar un binomio al cubo llegamos a:

El cubo del primer trmino, ms menos el triple del primer trmino al cuadrado por el segundo trmino, ms el triple del primer trmino por el segundo al cuadrado, ms o menos el cubo del segundo trmino.

Importante tanto el primer como el segundo trmino pueden ser expresiones con ms de un carcter.

Ejemplo 12:

3 3 2 2 33 2 2 3

3 3 2 2 33 2 2 3

x y x 3 x y 3 x y y x 3x y 3xy y

x y x 3 x y 3 x y y x 3x y 3xy y

La regla anterior comienza a no ser tan fcil, una forma de comprenderla es observar el

comportamiento de los exponentes de las literales, para la "x" disminuyen en cambio para "y"

aumenta, los coeficientes respectivos son el mayor problema por lo que ms adelante utilizaremos otros recursos como el triangulo de pascal y el teorema del binomio de Newton.

Ejemplo 13:

2 2 323 2 3 2 3 3 33 3 3 33 2

2 2 2 2 6 2

2 3

2 6 9 2 6 96 4 3 6 4 3

3 2 x y y yy y y y2x 2x 3 2x 3 2x 8x 6x

2 2 2 2 2 2 2

6x y y 3x y y8x 6x y 8x 6x y

4 4 2 4

Ejemplo 14:

3 3 2 2 3

m n m m n m n n 3m 2m n m 2n 3n

3m 2m n m 2n 3n

2a 3a 2a 3 2a 3a 3 2a 3a 3a 8a 36a a 54a a 27a

8a 36a 54a 27a



Ms adelante retomaremos binomios elevados a un exponente mayor. Pero ahora continuemos con otros productos notables.

Producto de binomios conjugados El nombre de producto de binomios conjugados es porque un trmino es igual en ambos factores (parntesis) mientras que el otro trmino cambia de signo.

Ejemplo 15:

2a b a b a ab ab 2 2 2b a b

Tras desarrollar un producto de binomios conjugados llegamos a:

El cuadrado del trmino que no cambia de signo, menos el cuadrado del trmino que cambia de signo

Los trminos pueden estar desacomodados

Ejemplo 16:

2 2x y y x y x

Los trminos pueden incluir ms de un carcter

Ejemplo 17:

2 2

1 2232 2 2 23 3 3 3 3

5 x 5 x 5 x 25x 25x 25x3y w 3y w 3y w 9y w 9y w 9y w

2 2 2 4 4 4

Ejemplo 18:

2 2 2 a 1a 1 a 1 a 1 2x 2x 2 x 2 x 2 x 4 x 4

Ejemplo 19:

2 2 2 2

2 2 222 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 4 4 65 3 5 3 5 3 5 3 25 9ax a x ax a x ax a x a x a x a x a x2 2 2 2 2 2 2 2 4 4

Ejemplo 20:

22

2 2 222

x y 1 x y 1 si a x y a 1 a 1 =a 1

a 1 x y 1 x 2 x y y 1 x 2 xy y 1

Producto de binomios con un trmino comn En general tendremos

Ejemplo 21: 2 2a b a c a ac ab bc a b c a bc

Al desarrollar el producto de dos binomios con un trmino comn, llegamos al cuadrado del trmino comn, ms el producto del comn por la suma de los no comunes, ms el producto de los no comunes.

Observa con cuidado el signo de cada trmino y en que influye al producto



Ejemplo 22:

2 2x 5 x 7 x 5 7 x 5 7 x 12x 35

2

2x 5 x 7 x 5 7 x 5 7 x 2x 35

2

2x 5 x 7 x 5 7 x 5 7 x 2x 35

2

2x 5 x 7 x 5 7 x 5 7 x 12x 35

Claro que cada trmino puede tener ms de un carcter

Ejemplo 23:

2 23x 6 3x 10 3x 6 10 3x 6 10 9x 48x 60

Ejemplo 24:

2

2 2 2 2 2 2 24x y 5w 4x y 3w 4x y 5w 3w 4x y 5w 3w 16x y 8x y w 15w

Ejemplo 25:

2 2

22 2 2 2

x y 4 x y 9 si a x y a 4 a 9 a 4 9 a 4 9

a 13a 36 x y 13 x y 36 x 2xy y 13x 13y 36

El siguiente producto notable no tiene nombre formal pero es extremadamente importante para el

tema de factorizacin y es ms conocido por la expresin que produce diferencia de cubos

Ejemplo 26:

2 2 2 2 2 23 2

a b a ab b a a a ab a b b a b ab b b

a a b

2ab 2a b 2ab

3 3 3

2 2 3 3

b a b

Por lo cual :

a b a ab b a b

Vemos que en el primer parntesis es una diferencia de nmeros reales representados por dos literales y que al multiplicarse por un trinomio formado por el cuadrado del primero, mas el primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo. Obsrvese que en el trinomio todos los trminos son positivos

Llegamos al producto 3 3a b DIFERENCIA DE CUBOS

Ejemplo 27:

3 32 3a 5 a 5a 25 a 5 a 125

Ejemplo 28:

32 332 3y 1 y y yx x xy x x

7 7 49 7 343



Ejemplo 29: 3 32 4 2 2 2 6 33x 2y 9x 6x y 4y 3x 2y 27x 8y

Ejemplo 30: 2 3 332a b 3 2a b 3 2a b 9 2a b 3 2a b 27

Ejemplo 31:

3 2 6 3 2 4

3 3 6

3 33 2 9 6

3 3

4 m n 2 x y 16 m n 8 m n x y 4 x y

3 95x 15x 25x

4 m n 2 x y 64 m n 8 x y

3 275x 125x

Tambin el siguiente producto notable no tiene nombre formal pero es extremadamente importante

para el tema de factorizacin y es ms conocido por la expresin que produce suma de cubos Ejemplo 32:

2 2 2 2 2 23 2

a b a ab b a a a ab a b b a b ab b b

a a b

2ab 2a b 2ab 3 3 3b a b

Vemos que en el primer parntesis es una suma de nmeros reales representados por dos literales y que al multiplicarse por un trinomio formado por el cuadrado del primero, menos el primero por el segundo, ms el cuadrado del segundo. Obsrvese que en el trinomio los trminos comienzan con signo positivo y despus se alterna

Llegamos al producto 3 3a b SUMA DE CUBOS

Ejemplo 33: 3 32 3a 5 a 5a 25 a 5 a 125

Ejemplo 34:

32 332 3y 1 y y yx x xy x x

7 7 49 7 343

Ejemplo 35: 3 32 4 2 2 2 6 33x 2y 9x 6x y 4y 3x 2y 27x 8y

Ejemplo 36: 2 3 332a b 3 2a b 3 2a b 9 2a b 3 2a b 27

Ejemplo 37:

3 2 6 3 2 4

3 3 6

3 33 2 9 6

3 3

4 m n 2 x y 16 m n 8 m n x y 4 x y

3 95x 15x 25x

4 m n 2 x y 64 m n 8 x y

3 275x 125x



1.4.1 Teorema del binomio, residuo y factor

Teorema del binomio

Si desarrollamos

x a x b x c x d

Llegaremos a

4 3 2x a b c d x ab ac ad bc bd cd x abc abd acd bcd x abcd

*La potencia ms alta de "x" es n"x " y se forma tomando la letra "x" de cada uno de los factores

*El trmino 3 n 1x x se forma tomando la letra "x" de cualquiera de los tres n 1 factores restantes y una de las letras a,b,c,d a,b,c,d,...k; del factor restante. El coeficiente de

3 n 1x x en el producto final es la suma de a,b,c,d a,b,c,d,...k; , denotmoslo por 1S

*El trmino 2 n 2x x se forma tomando la letra "x" de cualquiera de los dos n 2 factores restantes y dos de las letras a,b,c,d a,b,c,d,...k; de los dos factores restantes. El coeficiente de

2 n 2x x en el producto final es la suma de productos de las letras a,b,c,d a,b,c,d,...k;tomadas de dos en dos, denotmoslo por

2S

Y en general, los trminos en n 2x se forman tomando la letra "x" de cualquiera de los "n r"

factores y "r" de las letras a,b,c,d,...k; de los "r" factores restantes. Luego el coeficiente de n r""x en el producto final, es la suma de los productos de las letras a,b,c,d,...k; tomadas de "r"

en "r" , denotmoslo por r

"S "

Por lo tanto

n n 1 n 2 n r1 2 r n 1 nx a x b x c ... x k x S x S x S x S x S

En

1S el nmero de trminos es "n" , en

2S el nmero de trminos es igual al nmero de

combinaciones de "n" objetos letras a,b,c,d,...k; tomados de dos en dos y as sucesivamente.

Ahora supongamos que a,b,c,d,...k; cada una es igual a "a" , entonces 1S es igual a 1"C a" , 2S es

igual a 2n 2

" C a " , 3

S es igual a 3n 3

" C a " y as sucesivamente. Luego

n

n n 1 2 n 2 3 n 3 n

n 1 n 2 n 3 n nx a x C a x C a x C a x C a

Sustituyendo

n 1 n 2C , C por sus desarrollos obtenemos:

n n n 1 2 n 2 3 n 3 n

n n

n n 1 n n 1 n 2x a x n a x a x a x C a

1 2 1 2 3



Ejemplo 1:

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6

6 6 5 4 2 3 3 2 4

5 6

6 6 5 4 2

x y x C x y C x y C x y C x y C xy C y

6 6 1 6 6 1 6 2 6 6 1 6 2 6 36x y x x y x y x y x y

1 1 2 1 2 3 1 2 3 4

6 6 1 6 2 6 3 6 2 6 6 1 6 2 6 3 6 2 6 1xy y

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6

6 5 6 5 4x y x 6x y x y

1 2 1

3 3 2 4 5 6

6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

6 5 4 3 6 5 4 3 2 6 5 4 3 2 1x y x y xy y

2 3 1 2 3 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6

x y x 6x y 15x y 20x y 15x y 6xy y

Ejemplo 2:

5 5 4 3 2 2 32 4 2 2 4 2 4 2 4

4 52 4 4

52 4 10 8 4 6 8 4 12 2 16 20

5 5 4 5 4 32x 3x 2x 2x 3x 2x 3x 2x 3x

1 1 2 1 2 3

5 4 3 2 5 4 3 2 12x 3x 3x

1 2 3 4 1 2 3 4 5

2x 3x 32x 240x y 720x y 1080x y 810x y 243y

Ejemplo 3:

6 2 33 3 3 3

6 5 4 35 5 5 5 5

4 5 63 3 3

25 5

63 3

6 55 5 5

b 6 b 6 5 b 6 5 4 ba a a a a

2 1 2 1 2 2 1 2 3 2

6 5 4 3 b 6 5 4 3 2 b 6 5 4 3 2 1 ba a

1 2 3 4 2 1 2 3 4 5 2 1 2 3 4 5 6 2

b ba a 6 a

2 2

2 3 4 5 63 3 3 3 3

4 3 25 5 5 5

63

5 30 25 3 20 6 15 9 10 12 5 15 18

b b b b b15 a 20 a 15 a 6 a

2 2 2 2 2

b 15 5 15 3 1a a 3a b a b a b a b a b b

2 4 2 16 16 64

Teorema del residuo

Un polinomio de la forma 3 2x 5x 3x 4 es entero porque ninguno de sus trminos tiene literales en el denominador y es racional porque ninguno de sus trminos tiene raz inexacta. Este polinomio es entero, racional en "x" y su grado es tres.



El teorema del residuo nos dice:

El residuo de dividir un polinomio entero y racional en "x" entre un binomio de la forma x a , se obtiene sustituyendo el valor de a por la x en el polinomio dado

Ejemplo 4:

3 2x 5x 3x 4 entre x 3


2

1 5 3 4

3 24 63 3

1 8 21 67

x 8x 21 Cociente

67 Residuo

podramos haber sustituido el tres del divisor en lugar de la "x , en el dividendo

3 2

3 2

x 5x 3x 4

3 5 3 3 3 4 27 5 9 9 4 27 45 9 4 67

Ejemplo 5: 3 2x 5x 3x 4 entre x 3


2

1 5 3 4

3 6 27 3

1 2 9 31

x 8x 21 Cociente

31 Residuo

podramos haber sustituido el tres del divisor en lugar de la "x , en el dividendo

3 2

3 2

x 5x 3x 4

3 5 3 3 3 4 27 5 9 9 4 27 45 9 4 31



Ejemplo 6:

4 2 4 3 25x 2x x 3 5x 0x x 2x 3

x 1 x 1

5 0 1 2 3

5 5 6 4 1

5 5 6 4 1

3 25x 5x 6x 4 Cociente

1 Residuo

El residuo es uno, hubiramos llegado al mismo si sustituimos el "1" del divisor x 1 en lugar de "x" del polinomio que ocupa el lugar del dividendo

4 2

4 3 2

5x 2x x 3

5 1 2 1 1 3 5 1 2 1 1 3 1

Teorema del Factor

Un polinomio en " "x tiene un factor x a si y slo si el polinomio es nulo cuando se evala en a .

Si un factor x a aparece n en la factorizacin de un polinomio, entonces a es una raz de multiplicidad n , de la ecuacin que resulta de igualar el polinomio con cero.

1.4.2 Triangulo de Pascal Para el siguiente ejemplo se recomienda primero escribir las literales, como se haba mencionado los exponentes para una de ellas disminuye y para la otra aumenta. Se debe dejar espacio suficiente para incluir el coeficiente correspondiente.

Ejemplo 1:

4

4 3 2 2 3 3x y x x y x y xy y

Ahora recurrimos al triangulo de pascal del formulario para colocarle el coeficiente que le corresponde a cada trmino.

4

4 3 2 2 3 3x y x 4 x y 6 x y 4 xy y

En caso de haber signos, primero hacemos un planteamiento con todos los signos positivos y en el desarrollo a cada trmino se le coloca con su signo respectivo y se realizan las operaciones que lo involucren

Ejemplo 2:

4 2 3 3

4 3 2x y x x y x y x y y

Colocamos coeficientes segn el triangulo de pascal

4 2 3 4

4 3 2x y 1 x 4 x y 6 x y 4 x y 1 y



Hacemos las ltimas operaciones para dejar los signos correspondientes

4

4 3 2 2 3 4x y x 4 x y 6 x y 4 xy y

Ejemplo 3:

5

x y =

Planteamos las potencias correspondientes

5 2 3 4 5

5 4 3 2x y = x + x -y + x -y + x -y + x -y + -y

Colocamos coeficientes segn el triangulo de pascal

5 2 3 4 5

5 4 3 2x y = 1 x + 5 x -y + 10 x -y + 10 x -y + 5 x -y + 1 -y

5

5 4 3 2 2 3 4 5x y = x 5 x y 10 x y 10 x y + 5 xy y

Ejemplo 4:

5 5 4 3 2 2 33 2 4 3 2 3 2 4 3 2 4 3 2 4

4 53 2 4 4

5 5 5 4 4 3 3 25 4 3 23 2 4 3 2 3 2 4 3 2 4

2 2 32 33 2 4

2x w 3y = 1 2x w + 5 2x w 3y + 10 2x w 3y + 10 2x w 3y +

5 2x w 3y + 1 3y

2x w 3y = 1 2 x w + 5 2 x w 3 y + 10 2 x w 3 y +

10 2 x w 3 y

4 54 53 2 4 4

53 2 4 15 10 12 8 4 9 6 8 6 4 12 3 2 16 20

53 2 4 15 10 12 8 4 9 6 8 9 4 8 3 2 16 20

+ 5 2 x w 3 y + 1 3 y

2x w 3y 1 32x w 5 16 3x w y 10 8 9x w y 10 4 27x w y 5 2 81x w y 243y

2x w 3y 32x w 240x w y 720x w y 1080x w y 810x w y 243y



Ejercicios

2

21. c b

3

5

14. a b

2

3 12. 2y y 6

315. 5xy x y

2

13. a b

2

4

16. 6a 7b 5

2

4. 5x 2y

5

117. x

2

2

3 25. 9x 7x 18. a b c a b c

6. a b a b 19. 5t 4s 1 5t 4s 1

2 27. 5xy 4xy 5xy 4xy 10

220. x y 2x

3 2 2 32 1 1 28. a b b a3 2 2 3

21. a x y a x y

9. x 5 x 3 m n m n22. a a a a

10. 6x 8 6x 5 7

x 223. a 1

11. 8 3x 3 3x 24. 6x b 8 6x b 7

3

12. a y 25. x y 1 x y 1

3

2 2 35 313. ax a x2 2



RESPUESTAS

1)

2 222 4 4bc b c b

3 3 9

2) 23 1 6 2 22y y 4y 4y y

3)

22 21 1a b a ab b

2 4

4) 2 2 25x 2y 25x 20xy 4y

5) 23 2 6 5 49x 7x 81x 126x 49x

6) a b a b a b

7) 2 2 2 2 2 45xy 4xy 5xy 4xy 25x y 16x y

8)

3 2 2 3 4 62 1 1 2 1 4a b b a b a3 2 2 3 4 3

9) 2x 5 x 3 x 2x 15

10) 26x 8 6x 5 36x 18x 40

11) 28 3x 3 3x 9x 33x 24

12) 3 3

32 2a y a 3a y 3 ay y

13)

32 2 3 3 6 4 7 5 8 6 95 3 125 225 135 27ax a x a x a x a x a x

2 2 8 8 8 8

14) 5 5 4 3 2 2 3 4 5a b a 5a b 10a b 10a b 5ab b

15) 63 6 6 8 6 10 6 12 6 14 6 16 6 18 65xy x y 15625x y 18750x y 9375x y 2500x y 375x y 30x y x y

16)

42 3 3 4 4

2 2 2 3 2 2 3

6a 7b 5 625 3500b 3000a 5400a 4320a 6860b 2401b 1296a 12600ab

7350b 15120a b 17640ab 6048a b 10584a b 8232ab 5

5 4 3 21 5 5 5 5 117) x x x x x x2 2 2 4 16 32

18) 2 2a b c a b c a b c

19) 2

5t 4s 1 5t 4s 1 5t 4s 1

20)

102 20 10 19 9 18 8 17 7 16 6 15 5

14 14 13 3 12 2 11 10

x y 2x x y 20x y 180x y 960x y 3360x y 8064x y

13440x y 15360x y 11520x y 5120x y 1024x

21) 2 2 2a x y a x y a 2ay x y

22) m n m n 2m 2na a a a a a

23) 7x 2 7x 14 6x 12 5x 10 4x 8 3x 6 2x 4 2xa 1 a 7a 21a 35a 35a 21a 7a 1

24) 2 26x b 8 6x b 7 36x 12xb 6x b b 56

25) x y 1 x y 1 x 2 x y y 1



1.5 Factorizacin

Factores son los elementos de la multiplicacin

5 6 30

2 5 2 56 x y = 6x y

Cabe mencionar que solo es escribirlo de otra forma en este caso en forma de factores, en forma de multiplicacin, la cual tiene mucha utilidad en mltiples procesos matemticos. Es un tema indispensable.

Factorizacin es plantear una expresin con factores (en forma de multiplicacin)

1.5.1. F. de diferencia de cuadrados

Recordemos que

2Ejemplo1.

a b a b a ab ab

2 2 2

2 2 2 2

DiferenciadeFactor FactorCuadrados

b a b

a b a b a b por lo tanto a b a b a b

Documents

Notas de Precalculo Unidad i Ene-jun-2012