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TRANSFERENCIA DE CALOR
OBJETIVO: conocer y comprender los diversos mecanismos de transferencia de calor y aplicar sus leyes en la solución de problemas de ingeniería.
UNIDAD I FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR1.1 Conceptos Básicos, definiciones, objetivo, mecanismos de transferencia de
calor.1.2 Conducción, Ley de Fourier.1.3 Convección, Ley de Newton.1.4 Radiación, Ley de Stefan-Boltzman.
UNIDAD II CONDUCCIÓN UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIA2.1 Superficies planas simples y compuestas.2.2 Superficies cilíndricas simples y compuestas.2.3 Superficies extendidas ( Aletas ).
UNIDAD III CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL ESTACIONARIA3.1 Ecuación de conducción bidimensional, condiciones de frontera.3.2 Solución analítica, series de Fourier.3.3 Solución numérica, método de diferencias finitas.
UNIDAD IV CONDUCCIÓN TRANSITORIA4.1 Análisis Global, temperatura en función del tiempo.4.2 Análisis gráfico de temperatura en función del tiempo en paredes planas,
cilindros y esferas.
UNIDAD V CONVECCION FORZADA5.1 Fundamentos de convección forzada, números adimensionales.5.2 Convección forzada en flujo laminar.5.3 Convección forzada en flujo turbulento.
UNIDAD VI CONVECCIÓN NATURAL6.1 Fundamentos de convección natural, números adimensionales.6.2 Convección natural en flujo laminar.6.3 Convección forzada en flujo turbulento.
UNIDAD VII INTERCAMBIADORES DE CALOR7.1 Generalidades de intercambiadores de calor.7.2 Análisis de intercambiadores de calor por el método LMTD.7.3 Análisis de intercambiadores de calor por el método eficiencia-NTU.
Bibliografía:1.- Transferencia de calor H. P. Holman. Edit. Mc Graw-Hill,. 8a Edición (1ª en español).
1
UNIDAD I FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
DEFINICIONES Y CONCEPTOS BÁSICOS
TERMODINAMICA: Estudia La relación entre calor y otras formas de energía.
TRANSFERENCIA DE CALOR: Analiza la razón del calor transmitido en un sistema, siempre que exista un gradiente de temperatura.
En la primera Ley de la Temperatura hay dos tipos de energía de transferencia: el calor (Q) y el trabajo (W) y se relaciona mediante la siguiente expresión: Q-W=ΔE
La primera ley de la termodinámica es conocida también como ley de la conservación de la energía.
TEMPERATURA: Es la propiedad del sistema que nos determina si este sistema esta en equilibrio térmico con otro sistema. En otras palabras, los sistemas A y B en equilibrio térmico si sus temperaturas son idénticas, esto es:
TA = TB
LEY CERO DE LA TERMODINAMICA: Si los sistemas D y C están cada uno de manera separada en equilibrio con un tercer sistema A, entonces B y C están en equilibrio.
TA = TB TB = TC, por lo tanto TC = TA
OBJETIVO DE LA TRANSFERENCIA DE CALOR:
Es describir la manera en que la diferencia de temperaturas, digamos TA y TB gobierna la magnitud de la razón de transferencia de calor entre el sistema A y sus alrededores B, es decir, Q = Q [TA, TB, tiempo, propiedades termofísicas, geometría, flujo].
2
AREAS DE APLICACIÓN DE TRANSFERENCIA DE CALOR
a) Aislamiento térmico.b) Aumento de transferencia de calor.c) Control de temperatura.
MODOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
a) Conducción.b) Convecciónc) Radiación.
a) CONDUCCION
Aplicando la 1ª Ley de la termodinámica al elemento diferencial
[Qx−Qx+ Δx ]−W =dEdt
Considerando W = 0
Qx−Qx+Δx=dEdt
E = energía internaE = mUU = energía interna especificam = masa del sistema m = VρV = AΔxρ E = ρAΔxU
3
Y a su vez:
dU = C d T E= m C ΔT
C = calor especifico
dEdt
=[ ρ ΑΔ xC ] dTdt
LEY DE FOURIER EXPERIMENTAL
Qx = -KA
dTdx
K = conductividad térmicaA = área transversaldTdx = gradiente de temperatura
Qx = -KA [
T 2 −T 1
Δx]
Qx+ Δx=Qx+ dQxdx
Δx
Qx+ Δx=−KAdTdx
+ ddx
[−KAdTdx
] Δx
4
Qx−Qx+Δx=dEdt
−KAdTdx
−[−KAdTdx
+(−KAd2Tdx 2
)Δx ]=ρ AΔxCdTdx
KAd2 Tdx 2
Δx= ρ AΔ xCdTdt
Kd2 Tdx2
=ρ CdTdt
Tratamos de obtener una solución de la forma T(x,t) para derivar
dTdx
Qx=−KAdTdx
Kd2Tdx2
=ρ CdTdt
Si divido entre K:
d2Tdx2
= ρ CK
dTdt
K= 1α
α= KρC [Difusividad térmica]
Ecuación de conducción con generación interna de calor
d2 Tdx2
+q= 1α
dTdt
K, conductividad térmica;
Wm∘K
Ley de Fourier:
5
q=−KAdTdx
q∫0
1dx=−KA∫T1
T2
dT
qx|0
2
=−KAT|T1
T 2
⇒q ( L−θ )=−KA (T 2−T 1)
q=−KA [T2−T 1
L]
NOTAS:
Las temperaturas pueden ser en ºC o ºK al final nos dará el mismo resultado. Cuando se multiplica por un diferencial de temperaturas las unidades de
temperatura no importan.
6
CONVECCCION
Ley de Enfriamiento de Newton (?)
La transferencia de calor por convección o simplemente convección es el que se lleva acabo por el flujo de un fluido.El fluido actúa como un acarreador de energía que es tomada (o entregada a ) una pared sólida.
El flujo de calor por convección obedece la Ley de Newton:
q=h (Tw−T ∞) A
Donde h: Coeficiente de transferencia de calor por convección (w
m2∘K )
La h, es el coeficiente de mayor importancia de la convección.Existen dos clasificaciones para la convección:
a) Libre o Naturalb) Forzada
7
Convección Natural: Cuando un fluido es llevado a través de una pared por efectos de flotación.
Convección Forzada: Cuando un fluido es obligado a pasar a través de las paredes.
La convección puede ser monofásica, bifásica ó puede darse con un cambio de fase (ebullición y condensación).
RADIACCION
En este caso hablaríamos de la energía radiante emitida por un cuerpo, debido a su temperatura trasmitida en el espacio.
Según Planck la radiación es trasmitida en forma de fotones discretos.
La radiación puede ser transmitida en el vació mientras que la conducción y convección requieren de un medio material.
El máximo flujo (w
m2)
en que el calor puede ser radiado de una superficie es:
q =σT rSub { size 8{s} rSup { size 8{4} } } } { ¿
Donde: TS= Temperatura absoluta en °K de la superficie
8
σ = Constante de stephan Boltman (5 .67 E−8w
m2K 4 )
La razón neta de intercambio de calor entre una superficie y sus alrededores por unidad de área es:
q =ε``T\( ital Tw rSup { size 8{4} } - T rSub { size 8{} rSup { size 8{4} } } \)} { ¿
Donde: ε = Emisividad0¿ ε≤1
Para un cuerpo negro ε=1
Cuando no me dan el valor ε , considero ε=1 Siempre la temperatura debe estar dada en °K
NOTA:273+°C=°K
9
1.-La superficie exterior de un muro de concreto de 0.2 m de espesor se mantiene a una temperatura de -5 °C, mientras que la interior se mantiene a 20°C. la conductividad térmica del concreto es 1.2 w/m°K. Determinar la perdida de calor a través del muro de 10m de largo y 3m de alto.
10
2.- Se transfiere calor a razón de 0.1 KW a través de un aislante de fibra de vidrio (ρ=100 kg/m2) de 5cm de espesor y 2m2 de área. Si la superficie caliente esta a 70 °C, determine la temperatura de la superficie fría.
11
3.- Cuando la superficie de una placa plana de 0.1x0.5m se mantiene a 30°C, la tasa de transferencia de calor del aire caliente a 100°C que fluye a su lado es de 125W. cual es el coeficiente de transferencia de calor por convección entre la placa y el aire.
12
4.-Durante un invierno, la superficie de un rió desarrolla una capa de hielo de espesor desconocido l. se conoce la temperatura del agua del rió de es de 4°C, la temperatura del aire atmosférico es de -30°C, y la t5emperatura debajo de la capa de hielo de 0°C.
La conductividad térmica del hielo es K=2.25 w/m°K, los coeficientes de transferencia de calor sobre el lado del agua y del aire de la capa de hielo son h1=500w/m2°K y h2=100 w/m2°K respectivamente. Calcule la temperatura sobre la superficie superior de la capa de hielo y el espesor L del hielo.
5.- Un calentador radiante de franjas metálicas tiene 6mm de ancho, una longitud total de 3m la emisividad de la superficie de la franja es 0.85. A que temperatura debe estar la franja para disipar 1600W de calor a un cuarto que esta a 25°C.
13
6.- Un cilindro de 5 cm de diámetro se calienta hasta una temperatura de 200°C (473°K), mientras una corriente de aire a 30°C (303°K) y con una velocidad de 50 m/s le sopla transversalmente. Si la emisividad de la superficie es 0.7. Calcular la perdida total de calor por unidad de longitud si las paredes de la habitación en la que esta colocado el cilindro esta a 10°C.
14
7.- Una pared de 5cm de asbesto poco compacto esta colocada entre dos placas a 100 y 200 °C, calcular el calor transferido a través de la capa de asbesto (poco compacto)
15
8.- Un aislante tiene una conductividad térmica de 10 W/m°C ¿Cuál será el espesor necesario para que exista una caída de temperatura de 500°C para un flujo de calor de 400W/m2?
16
9.- Las temperaturas de las caras de una pared plana de 15cm de espesor son 370°C y 93°C. La pared esta construida con un vidrio especial que tiene las siguientes propiedades: K=0.78W/m°C, ρ=2.700 kg/m3, Cp=0.84 KJ/kg°C, ¿Cuál es el flujo de calor a través de la pared en condiciones estacionarias?
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10.- una de las caras de una pared plana se mantiene a 100°C mientras que la otra se expone al ambiente que esta a 10°C, siendo h=10W/m2°C el coeficiente de convección. La pared tiene una conductividad térmica K=1.6 W/m°C y un espesor de 40 cm. Calculese el flujo de calor a través de la pared.
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11.- Un oleoducto de 50 cm de diámetro transporta en el ártico petróleo 30°C y esta expuesto a una temperatura ambiente de -20°C. Un aislante especial de polvo de 5 cm de espesor y de conductividad térmica 7mW/m°C cubre la superficie del oleoducto, el coeficiente de transferencia de calor es 12 W/m°C. Estímese la perdida de energía del oleoducto por unidad de longitud.
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UNIDAD II
CONDUCCION UNIDIMENSIONAL ESTACIONARIA
PAREDES PLANAS SIMPLES O COMPUESTAS
El fenómeno se rige por al siguiente Ecuación:
20
d2 Tdx2
= 1α
dTdt
Por ser un fenómeno estacionario
dTdt
=0
Por lo tanto:
d2Tdx2
=0 ⇒ dTdx
=C1T|
T o
T L
C1 X|o
L
+C2
ddx
[ dTdx
]=0 ∫ o
T L dT=C1∫ oL dx+C2 T L−T o=C1 ( L−o )+C2
d [ dTdx
]=0Condiciones de frontera
T L−T o=C1 L+C2
T=C1 x+C2
∫ d [ dTdx
]=C1
x=o→T=T o
x=L→T=T L
Aplicando x=o→T=T o
T o=C1 (o )+C2
T o=C2
Aplicando x=L→T=T L
T=C1 X+T o
21
T L=C1 ( L )+T o
T L=C1 L+T o
C1=T L−To
L
T=C1 X+C2
T=T L−T o
L+T o
q=h ΑΔTq = - Κ { { ital dT } over { ital dx } } } {} } } {¿¿
¿
dTdx
=C1=T L−T o
L
q = - Κ= left [ { {T rSub { size 8{L} } - T rSub { size 8{o} } } over {T rSub { size 8{L} } } } right ]} { ¿q=q Α= - { { ΚΑ } over {L} } = left [T rSub { size 8{L} } - T rSub { size 8{o} } right ]} { ¿
=ΚΑL [T o−T L ]
22
Rt= LKA
q=T o−T L
Rt
23
PAREDES COMPUESTAS
Pared Simple Pared Compuesta
q=T o−T L
Rtq=
TC−T F
Rt
Rt=RC+R1+R2+R3+RF
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q=T C−T F
1Α [ 1
hc
+L1
Κ 1
+L2
Κ2
+L3
Κ3
+ 1hF
]U= 1
1hc
+L1
K1
+L2
K 2
+L3
K3
+ 1hF
U = Coeficiente global de transferencia de calor.
q=UΑ (T C−T F )
25
1.- La caja aislada mostrada en la figura esta diseñada para mantener el aire atrapando en ella a una alta temperatura de 50°C. La temperatura afuera es de 10°C. Para mantener constante la temperatura del aire. La transferencia de calor que sale por el aislante recupera mediante un calentador de resistencia eléctrica colocado en el centro de la caja. Calcular la potencia eléctrica disipada por el calentador; las dimensiones del espacio interno (aire) son x = 1m, y = 0.4m y z = 0.3m. La pared aislada consiste de una plana de 10 cm. de espesor de fibra de vidrio que se encuentra entre dos placas de madera de abeto cada una de 1 cm. de espesor. Los coeficientes de transferencia de calor sobre las superfi-
cies interna y externa de la pared son 5
wm2
∘Κ y
15w
m2∘Κ
respectivamente.
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PLACAS CILINDRICAS
Simples y Compuestas
a) Cilindro Simple
Q, se transfiere del centro de la tubería hacia la pared externa del mismo.
Ley de Fourier
Q=q A} {¿
Tuberías:
Ae: área exteriorAi: área interior
Q=q rSub { size 8{e} } A rSub { size 8{e} } =qi A i
q”e=(2πreL)=q”i(2πriL)q”ere=q” iri
q rSub { size 8{e} } } over {q i=ri
re
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Nota: la temperatura varia en x, hacia arriba y hacia abajo es constante.
Para un cilindro simple, las temperaturas se distribuyen de la siguiente manera:
T=T i−(T i−T e)ln (r
ri
)
ln (r e
ri
)
Calculamos de la siguiente manera:
Q= 2 π KL
ln (r e
ri
)(T i−Te )
Nota: La temperatura y el calor están en función del radio.
28
CILINDRO COMPUESTO
Q=T C−T F
Rt
Rt= 1h i Α i
+
ln (r1
ri)
2π K 1 L+
ln (r2
r1)
2π K2 L+
ln (r e
r2)
2 π K3 L+ 1
he Αe
Αi=2 πri L Αe=2 πr e L
Nota: Los problemas se resuelven hasta donde me lo permitan los datos.
Ejemplo: Datos:
Twext
Q=T wext−T F
Rt
TF como solo tengo he
he
Rt=1
he Αe
Q=T wext−T F
1he Αe
= 1he Αe (T wext−T F )
Convección
q=hA (T w−T∞ )⇔Q=he Αe (T wext−T F )Convección
29
2.- Una tubería de 2 in cedula 40, tiene una conductividad e 47 w/m°C. el fluido dentro del tubo tiene un coeficiente de convección de 170 w/m2°C, la superficie exterior de la tubería es cubierta con un aislante de fibra de vidrio de 12.5 mm de espesor y K=0.04 w/m°C. el coeficiente de convección para la superficie exterior del aislante es 12 w/m2°C. la temperatura del fluido dentro de la tubería es 160 °C y la temperatura ambiente es 21°C. Calcular:
a) la perdida de calor por metro de longitudb) la temperatura en cada una de las interfaces de la tubería y el aislante.
Q=T i−T e
1L [ 1
hi 2 π r i
+
ln(r1
ri)
2 π K 1
+
ln(re
r1)
2π K2
+ 1he 2 π re
]Rt= 1
h i Α i
+
ln(r1
ri)
2π K 1 L+
ln (re
r1)
2π K2 L+ 1
he Αe
30
SUPERFICIES EXTENDIDAS
ALETAS
Al desarrollar el balanceo de energía se obtiene la siguiente ecuación diferencial de la aleta.
KΑCd2Tdx2
−hP (T−T ∞ )=0
Resolviéndose para:
1) Aleta larga2) Aleta corta aislada en el extremo3) Aleta corta con convección en el extremo
ALETA LARGA
Siθ=T (x )−T ∞ T ( x )=T ∞+(T b−T ∞ )e−mx
θb=T b−T ∞ Si x = 0
m=√ hPKAe
T x=T ∞+ (T b−T∞) e−m (0)
T x=T ∞+Tb−T ∞(1 )T x=T b
31
θ=θb exp (−mx )T ( x )−T ∞=(T b−T∞ )exp (−mx )
Nota: x debe ser en el punto donde se desea conocer la temperatura
qb=θb ( KAC hρ )1
2
ALETA CORTA AISLADA EN EL EXTREMO
θ=θb
cosh [m ( L−x ) ]cosh (mL )
qb=θb ( KAe hP )1
2 tgh (mL)
ALETA CORTA CON CONVECCION EN EL EXTREMO
θ=θb
cosh [m ( L−x ) ]+(hmK )senh [m ( L−x ) ]
cosh (mL )+(hmK )senh [mL ]
qb=θb ( KAe hP )1
2 tgh (mLC )
Donde: LC=L+
AC
P
32
EFICIENCIA DE ALETA
η= transferencia de calor realMax transferencia de calor
=qb
h Aexp θb
Donde:Aexp= área expuesta
qb=η h Aexp θb
33
3.- El contenedor cilíndrico de una motocicleta es construido de duraluminio y tiene una altura de 0.15 mts. Y un diámetro externo de 50 mm. bajo condiciones típicas de operación la superficie exterior del cilindro esta a una temperatura de 500 ºK y expuesta al
aire ambiente que se encuentra a 300ºK, con un coeficiente de convección de 50
wm2 ºK
.Aletas anulares de perfil rectangular son agregadas para incrementar la transferencia de calor a los alrededores. Se agregan 5 de estas aletas con un espesor de 6 mm. y una longitud de 20 mm., igualmente espaciadas ¿Cuál es el incremento de transferencia de calor debido a la adición de las aletas?
34
T ∞==300 ºK
h=50w
m2 ºK
4.- Una tubería de vapor de radio externo de 4 cm esta cubierta con una placa de asbesto de 1 cm de espesor, que a su vez esta cubierto con fibra de vidrio con 3 cm de espesor. La superficie de la tubería de vapor esta a 330°C y la superficie exterior de la fibra de vidrio esta a 30°C.
CALCULAR:
a) La temperatura de interfase entre el asbesto y la fibra de vidriob) La transferencia de calor por metro de longitud de la tubería.
35
UNIDAD III
CONDUCCION BIDIMENSIONAL ESTABLE
Condiciones de frontera
x=0 T=T b y=0 T=T ∞x=L T=T ∞ y=H T=T ∞
Cambio de variableθ(x , y )=T (x , y )−T ∞
θ=T−T∞dθ=dTd2θ=d2T
Sustituyendo (3) en (1)
d2θ
dx2+ d2 θ
dy2=0
36
d2 T
dx2+ d2 T
dy 2=0
x=0 θ=Tb−T ∞
θ=θ bx=L θ=0y=0 θ=0y=H θ=0
Separación de variables
dθdx
=x ' ydθdy
=xy '
d2θdx2
=x '' yd2 θdy2
=xy ''
x y+ ital xyy
=0
x+xy } over {y} } } over {x} } =0} { ¿¿¿¿¿x} over {x} } + { {y
y=0
x} over {x} } = - { {yy
= λ2
x} over {x} } =λ rSup { size 8{2} } } {¿¿¿x=λ rSup { size 8{2} } x} {¿
x=λ` rSup { size 8{2} } x} {¿
x - λ rSup { size 8{`2} } x=0} {¿
− y } over {y} } =λ` rSup { size 8{2} } } {¿¿¿− y =λ rSup { size 8{`2} } y} {¿
37
− y+λ 2 y=0
x=eαx
x '=α eαx
x=α rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αx} } {} # α rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αx} } - λ̀ rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αx} } =0 {} # e rSup { size 8{αx} } left [α rSup { size 8{2} } - λ̀ rSup { size 8{2} } right ]=0 {} # α rSup { size 8{2} } =λ̀ rSup { s i ze 8 {2 } } {} # α = +- λ {} } } {¿
¿y=eαy
y '=αeαy
y =α rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αy} } {} # α rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αy} } +λ̀ rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αy} } =0 {} # e rSup { size 8{αy} } left [α rSup { size 8{2} } +λ̀ rSup { size 8{2} } right ]=0 {} # α rSup { size 8{2} } = - λ̀ rSup { size 8 {2 } } {} # α = +- i λ {} } } {¿
¿
x ( x )=C1e λx+C2e− λx
y ( y )=C3 eiλy+C4 e−iλy
θ( x , y )=x ( x ) y ( y )
θ( x , y )=[C1eλx+C2e−λx ] [C3e iλy+C4e−iλy ]Identidades de Euler
e λx=Cosh λ x+Senh λ xe− λx=Cosh λ x+Senh λ xe iλy=Cosh λ y+iSenh λ ye−iλy=Cosh λ y−iSenh λ y
θ( x , y )=[ [C1 (Cosh λ x+Senh λ x ) ] [C2 (Cosh λ x+Senh λ x ) ] ]¿ [ [C3 (Cosh λ y+iSenh λ y ) ] [C4 (Cosh λ y−iSenh λ y ) ] ]θ( x , y )=K [Senh ( λ x )+ ACosh ( λ x ) ] [Sen ( λ y )+BCos ( λ x ) ]
Donde:
K=C1 C3
A=C2
C1
B=C4
C3
38
Aplicar condiciones de frontera
X = L θ = 0
0=K [ Senh λ L+ ACosh λ L ] [ Senh λ y+B Cosh λ y ]Senh λ L+ACosh λ L=0
A=−Senh λ LCosh λ L
Sustituimos
θ( x , y )=K [Senh λ L+(−Senh λ LCosh λ L )+Cosh λ L] [ Sen λ y+B Cos λ y ]
Senh λ L−Senh λ LCosh λ LCosh λL
Senh (a±b )=Senh a Cosh b±Senh b Cosh aSenh λ LCosh λ L−Senh λ L Cosh λ LCosh λ LSenh [ λ ( x−L ) ]Cosh ( xL )
θ( x , y )=KSenh [ λ ( x−L ) ]Cosh ( λ L )
[ Sen λ y+B Cos λ y ]
y = 0 θ = 0
0=KSenh [ λ ( x−L ) ]
Cosh ( λ L )[Sen λ (0 ) +B Cos λ (0) ]
B=0
θ(x , y )=KSenh [ λ (x−L ) ]
Cosh ( λ L )Sen λ y
39
y = H θ = 0
0=KSenh [ λ ( x−L ) ]Cosh ( λ L )
Sen λ H
Sen λ H=0λ H =nπ
λ=nπH
θ( x , y )=∑n=1
∞
Kn
SenhnπH
( x−L )
CoshnπH
LSen
nπH
y
x = 0 θ = θb
Sustituyendo y para una Kn en particular
θb=K n
SenhnπH
(0−L )
CoshnπH
LSen
nπH
y
θb=−K n tghnπH
LSennπH
Y
θb∫0
H
(SenmπH
yd y)=−K n tghnπH
L∫0
H
SennπH
y (SenmπH
yd y)
∫0
H
SenmπH
yd y=−Hmπ
CosmπH
y|0
H
=−Hmπ
[ Cosm π−Cos 0 ]
¿−Hmπ
[ Cosmπ−1 ]
Con valores de:
0 para n par2Hmπ para n impar
∫0
H
SennπH
ySenmπH
yd y
40
= 2 H
m∏ ¿¿
Con valores de:
O para m≠nH
2 para m = n
θb2 Hmπ
=−Kn tghnπ L
HH2 m = n = impar
Kn=−4 θb
n π tghnπ L
H
θ( x , y )=−4 θb
π ∑n=1
∞
K n1
ntghn π L
H
Senhn πH
( x , L )
Coshn πH
LSen
nπH
y
41
Ecuación de condición
d2 Tdx2
+ d2 Tdy 2
= 1α
dTdt
d2Tdx2
+ d2Tdy 2
=0
Para x son valores en yPara y son valores en xCondiciones en la frontera
x=0 θ=θb y=0 θ=0x=L θ=0 y=H θ=0
Separación de variablesθ( x , y )=x ( x ) y ( y )
dθdx
=x ' ydθdy
=xy '
d2θdx2
=x '' yd2θdy2
=xy ''
42
Sustituimos en Ec.1
d2 θdx 2
+d2 θdy2
=0
x y+ ital xy =0
Dividido entre “y”x+ { { ital xy
y¿=0¿
Dividido entre “x”
x} over {x} } + { {yy
=0
x} over {x} } = - { {yy
= λ 2
λ 2=0λ 2≥0λ 2≤0
x} over {x} } =λ rSup { size 8{`2} } } {¿¿¿x=λ rSup { size 8{`2} } x} {¿
x - λ rSup { size 8{`2} } x=0} {¿
− y } over {y} } =λ rSup { size 8{`2} } } {¿¿¿− y =λ` rSup { size 8{`2} } y} {¿
λ 2 y+ y=0} {¿
Resolvemos x - λ rSup { size 8{``2} } x=0} { ¿
x=e αx
x '=α eαx
x=α` rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αx} } {} # {} } } {¿
¿
43
α 2eαx−λ 2eαx=0e αx [α2−λ 2 ]=0
α 2−λ 2=0α=λ 2
α=± λ
x ( x )=C1 e λx+C2 e− λx
Resolvemos y +λ rSup { size 8{``2} } y=0} {¿
y=eαy
y '=α eαy
y =α rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αy} } {} # α rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αy} } +λ̀ rSup { size 8{2} } e rSup { size 8{αy} } =0 {} # e rSup { size 8{αy} } left [α rSup { size 8{2} } +λ rSup { size 8{̀ 2} } right ]=0 {} # α rSup { size 8{2} } = - λ̀ rSup { size 8 {2 } } {} # α = +- i λ {} } } {¿
¿
y ( y )=C3 eiλy+C4 e−iλy
Decimos entonces:
θ( x , y )=x ( x ) y ( y )
θ( x , y )=[C1eλx+C2e−λx ] [C3 Sen λ y+C4Cos λ y ]
Condiciones de Frontera
x=L→∞ θ=0
0=[C1 eλL+C2 e−λL ] [C3 Sen λy+C4 Cos λ y ]λ=1 C1=0
∴θ ( x , y )=C2e−λx [C3Sen λ y+C4 Cos λ y ]
44
Y=0 θ=0
0=C2 e−λx [C3 Sen0+C4Cos 0 ]0=C2 e−λx [C3 (0 )+C4 (1 ) ]C4=0
θ( x , y )=C2 e−λx [C3 Sen λ y ]θ( x , y )=C2C3 e− λx Sen λ y
C2C3=K
θ( x , y )=Ke− λx Sen λ y
Y=H θ=0
0=Ke− λx Sen λ HSen λ H=0∴ λH=nπ
λ=nπH
θ( x , y )=∑n=1
∞Kn e
−nπH
XSen
nπH
y
X=0 θ=0
θb=∑n=1
∞K n Sen
nπH
y
Para una n en particular
θb [∫0
H
SenmπH
yd y]=Kn∫0
H
SenmπH
y [SenmπH
yd y]∫0
H
SenmπH
yd y=∫0
HmπH
SenmπH
yd y=Hmπ [−Cos
mπH
y ]¿−H
mπCos
mπH
y ]0
H
=−Hmπ
[Cosm π−1 ]
Con valores de:
45
0 para m par2Hmπ para m impar
Integral de Fourier
∫0
H
SenmπH
y [SenmπH
yd y ] Con valores de:
0 para m≠nH
2 para m = n
θb2 Hmπ
=−KnH2
Kn=θb
2 Hnπ
H2
=θb2 H (2 )nπH
=4θb
nπ
θ( x , y )=−4θb
π∑
n=1,2,3
∞ e−nπ
HX
SennπH
y
n
46
METODO DE DIFERENCIAS FINITAS
47
48
Ejemplo 2
49
UNIDAD IV CONDUCCION TRANSITORIA
ANALISIS POR BLOQUES
Este es el caso más sencillo de conducción transitoria ya que se considera que el gradiente de temperatura dentro de un cuerpo es despreciable y por lo tanto la única variable independiente es el tiempo (t).
Aplicando la primera Ley de la Termodinámica
Razón del flujo de = Razón de incremento de energíaCalor hacia el sólido interna del sólido
hA [T∞−T (t ) ]=ρ VCdTdt
(−1 ) hAρVC [T ∞−T (t ) ]=
dTdt
− hAρVC [−T ∞+T ( t ) ]=
dTdt
m=ρV
50
Si m= hA
ρ VC
−mdt=dT ( t )
T ( t )−T ∞
−m∫o
tdt=∫T i
T ( t )dT ( t )
T ( t )−T ∞
−mt=ln [T (t )−T ∞ ]−ln (T i−T ∞)
−mt=lnT ( t )−T ∞
T i−T ∞
e−mt=T ( t )−T ∞
T i−T ∞
T (t )=T ∞+ (T i−T ∞ )e−mt
Temperatura en función del tiempo.
Nota:
a)
−z=lnxy
e− z=xy
b)ln x−ln y=ln
xy
c) eº=1
Definimos la longitud característica como:
Ls=VA
51
−mt|ot =ln [(T ( t )−T ∞) ]|
T +i¿T ( t )
¿
Donde:V, volumen de la piezaA, área de la pieza
Definimos al Número de Biot como:
Bi=hLs
K Donde: K: Conductividad térmica de la pieza
Si Bi≤0. 1 entonces aplicaremos la teoría anterior.
CONDUCCION TRANSITORIA UNIDIRECCIONAL
T ( x , t )→ d2 Tdx2
− 1α
dTdt
=0
Solución T ( x , t )
En la figura se observa una placa de espesor 2L que inicialmente se encuentra a la
temperatura T i y que es inmensa en un medio que esta a temperatura T ∞ .
52
53
Si definimos:
θ ( x ,t )=T ( x , t )−T ∞
el problema se puede expresar como:
d2θdx2
=1x
dθdt
Esta expresión es la ecuación de conducción unidimensional considerando al tiempo como variable, con condición inicial.
θ=θi en t=0
Donde θi=T i−T ∞
Y condiciones de frontera
dθdx
=0 En x = 0
−Kdθdx
=hθ En x = 1
Utilizado el método de separación de variables y colocándoles las condiciones de frontera iniciales, se llega a una solución
θ ( x ,t ) Para la cual se emplean series de Fourier para las siguientes 3 casos:
a) Placa planab) Cilindro largoc) Esfera
Graficado mediante tres parámetros
1) Número de Biot
Bi=hLK
óhro
K
54
2) número de Fourier
Fo=α T
L2ó
α Tr
o2
3) Parámetro Geométrico
xL
órro
Tomar L de tabla 2.3Utilizar tablas 2.3, 2.38 y 2.39
Nota: Esfera
V=43
π r3
A=π D2
55
PROBLEMAS UNIDAD IV
1.- La temperatura de una corriente de gas es medida con un termocople, el acoplamiento puede ser aproximado como una esfera de diámetro 1mm, con una conductividad de 25 W/m2°C entre el acoplamiento, la densidad es igual a 8400 kg/m3 y un Cp= 400 J/kg°C. con un coeficiente de transferencia de calor de 560 W/m2°C entre el acoplamiento y el gas ¿Cuánto tiempo le toma al termocople registrar el 99% de la diferencia de temperaturas aplicada?
56
2.- Una placa de hierro de 5cm de espesor, esta inicialmente a 225°C de repente la placa se expone a un ambiente que se encuentra a 25°C y con un coeficiente de transferencia de calor de 500 W/m2°C. calcular la temperatura en el centro de la placa y a 1cm de profundidad a 2 minutos de comenzar el enfriamiento. Determinar la energía removida de la placa por metro cuadrado durante los 2 minutos.
57
3.- Una barra de acero dulce de 6cm de diámetro a 38°C de repente se sumerge en un liquido a 93°C con un coeficiente de transferencia de calor de 110 W/m2°K. Determinar el tiempo requerido para que la barra se caliente hasta 88°C.
58
4.- Una esfera de cobre de 5cm de diámetro esta inicialmente a una temperatura uniforme de 250°C. La esfera se expone de forma rápida a un ambiente a 30°C y con un coeficiente de transferencia de calor de 28 W/m2°C. Utilizando el método de análisis de la capacidad global, calcular el tiempo necesario para que la esfera alcance una temperatura de 90°C.
59
UNIDAD V
CONVECCION FORZADA
Conceptos básicos de Convección.
La convección es el mecanismo de transferencia de calor debido al movimiento de un fluido. El problema fundamental en la transferencia de calor por convección consiste en determinar la relación entre el flujo de calor a través de la pared de un sólido (q”) y la
diferencia de temperaturas (T w−T ∞ ) que existe entre la pared y el fluido. El coeficiente que relaciona las dos cantidades anteriores han sido ya establecidos como:
q”=h(T w−T ∞ )Donde h: Es el coeficiente de transferencia de calor por convección.
La convección puede ser libre o forzada; el flujo es forzado cuando otro mecanismo lo empuja a pasar por un cuerpo sólido. En convección libre o natural el movimiento del fluido ocurre por si mismo sin asistencia de un mecanismo externo, se debe a la flotación relativa en diferentes regiones del fluido.
Los flujos pueden ser internos o externos, laminares o turbulentos.
Los fluidos pueden estar en una fase, bifásico o en cambio de fase (condensación y ebullición).
PARAMETROS ADIMENCIONALES
Reynolds:Re=
uLv
Prandtl:Pr=
C p N
K
Nusselt:Nu=
hLK
Donde: u, velocidad del fluidoL, longitud característicaCp, capacidad caloríficaK, conductividad térmicav, viscosidad cinemáticaμ, viscosidad dinámica del fluido
NOTA: Si hablamos de tubería L = Ø
60
Si hablamos de una placa L = longitud de la placaFLUJO LAMINAR EN DUCTOS
Factor de fricción y caída de presión.
f =64ReD
ΔP= fL2 Dh
ρ u2
Dh=4 ΑP
m=ρ uΑ
ReD=uDh
v
Donde: Dh = diámetro hidráulicoA = área de la sección transversal P = perímetroρ = densidad
61
Dh=4 ΑP
=4[ π
4D2]
π D=
4 π D2
4π D
1
=4 π D2
4 π D=D
Dh=D
Dh=4 (a ) (a )4 a
=4 a2
4 a=a
Dh=a
Dh=4 [ (a ) ( a )
2 ]3a
=
4 a2
23a1
=4 a2
6 a=2a
3
TRANSFERENCIA DE CALOR EN FLUJO LAMINAR
Cuando el flujo esta completamente desarrollado y es laminar, el valor del coeficiente de transferencia de calor h, se puede obtener a través de una tabla (tabla 6.1). Existen dos casos:
a) Tubería a temperatura constanteb) Tubería con flujo de calor constante
La evaluación de las propiedades físicas del fluido se hacen a la temperatura promedio:
K
hD
K
hLNu h
62
T b=12 (T i+T o)
(Definición básica de convección)ΔT =(T w−T ∞)
Nota: si me dan longitud y me piden To, propongo una temperatura.
DIFERENCIA DE TEMPERATURAS MEDIA LOGARITMICA
ΔT LM=LTMD
ΔT LM=ΔT 1−ΔT 2
lnΔT 1
ΔT 2
FLUJO TURBULENTO A TRAVES DE UN DUCTO
a) Factor de fricción y caída de presión
Δp= fL2 D
ρ u2
Thq "
63
- diagrama de moody (tuberías lisas y rugosas)
ff =0 . 316 R
e
−14 Re<2 E4
- Lisasf =0 .184 R
e
−15 2 E4<Re<1 E6
a) Fórmula analítica de Colburn
st=
f8
P
r
23
Donde: St = es el número de Stanton
st=h
ρ C p u
b) Fórmula pata tubería lisa.
Nu=0 . 023 Re0 .8 P
r
13 Considerando 2 E4<Re<1 E6
c) Fórmula de Dittus - Boelter
Considerando:
0 .7≤Pr≤120
2500≤Re≤1 . 24 E5
n = 0.4, si el fluido se esta calentando, T w>Tb
n = 0.3, si el fluido se esta enfriando, T w<Tb
d) Fórmula de Seider – Tate
Nu=0 . 027 Re0 . 8 P
r
13[ μ
μw ]0 .14
nreu PRN 8.0023.0
64
Preferentemente para fluidos muy viscosos.
Donde: μw , es la viscosidad del fluido a la temperatura de la pared (Tw)μ , viscosidad dinámica a Tb
En todos los casos:
Nu=hdK , de donde se despeja la h
65
PROBLEMAS UNIDAD V
1.- Por tubo de 60mm de diámetro entra agua a una temperatura de 20°C y un flujo masico de 0.01 Kg/s. considere que por la pared del tubo se transfieren 2000 W/m2 Calcular:
a) la longitud del tubo requerida para obtener una temperatura de salida de 80°Cb) b) la temperatura superficial en la salida del tubo
66
2.- Fluye agua a una razón de 0.5 kg/seg a través de una tubería de 10cm de longitud con un diámetro interior de 2 cm. La tubería esta siendo calentada con flujo uniforme de calor en la pared de 5E10 W/m2. Evalué las propiedades del agua a 20°C.
Calcular:a) la caída de presión a lo largo del tubob) el coeficiente retransferencia de calor basado en la teoría de Colburnc) el coeficiente de transferencia de calor con la teoría de Dittus-Beelterd) la diferencia de temperaturas de la pared y la temperatura local media del aguae) el incremento de la temperatura experimentada por la temperatura media del agua
desde la entrada hasta la salida.
67
68
3.- fluye agua a una razón de 5kg/seg a través de una tubería de 5 cm de diámetro y 10 m de longitud estando la pared a 80°C. Si el agua entra a 20°C, calcular la temperatura de salida del agua.
69
70
4.- Considere el flujo de agua a una razón de 0.015 kg/seg a través de un ducto cuadrado de 2 cm de lado cuyas paredes se mantienen a una temperatura unidor me de100°C. Considere que es un flujo hidrodinámicamente y térmicamente desarrollado. Determine la longitud del ducto requerido para calentar agua desde 30°C hasta 70°C.
71
72
5.- Considere el calentamiento de aire atmosférico fluyendo a una velocidad de 0.5 m/seg dentro de un tubo de pared delgada de 2.5 cm de diámetro en una región térmicamente desarrollada. El calentamiento puede ser hecho ya sea por condensamiento de vapor sobre la superficie inferior del tubo, de manera que se mantiene la temperatura constante o por calentamiento por resistencia eléctrica de manera que se mantiene una superficie con flujo de calor uniforme. Calcular el coeficiente de transferencia de calor para ambas condiciones de calentamiento, considerando propiedades del aire a 350°K en promedio.
73
UNIDAD VI
CONVECCION NATURAL
Convección: fluido con una pared sólida, existe transferencia de calor entre ellos (T c−T F ) .- Genera una h de valor pequeño.- El aire es el elemento que presenta mayor convección natural.- Debido a la diferencia de densidades el aire y una pared presentan
convección natural.
En algunas situaciones de convección el movimiento del fluido es establecido sin forzar la velocidad.
Consideremos una placa vertical caliente colocada en un fluido en reposo que esta a temperatura uniforme menor que la placa. La transferencia de calor se realizara primero por conducción pura y un gradiente de temperatura se establecerá en el fluido. Esta variación de temperatura dentro del fluido generara un gradiente de densidad provocando un movimiento convectivo como resultado de las fuerzas de flotación y es denominando convección natural o convección libre.
El movimiento en convección natural generalmente es menor que en convección forzada y por lo tanto la transferencia de calor por convección natural es menor que en la forzada.
74
En el esquema anterior se muestra el desarrollo del campo de velocidades enfrente de la placa vertical caliente debido a fuerzas de flotación. El fluido calentado enfrente de la placa sube entrando fluido de la región exterior en reposo. Una capa limite de velocidades es desarrollada con una velocidad pico que cae en algún lugar de la capa limite. La velocidad es cero, tanto en la superficie de la placa como en el borde de la capa limite.
PARAMETROS ADIMENSIONALES DE CONVECCION LIBRE
Número de Grashof (Gr)
Gr=gβ L3 (T w−T ∞)
v2
La ecuación anterior representa el radio de las fuerzas de flotación a las fuerzas viscosas
actuando sobre el fluido.β es el coeficiente volumétrico de expansión térmica.
β=−1ρ [ dρ
dT ] ρ
L, es una longitud característicag, es la gravedad
Re=Fuerzas
Fuerzas , vis cos as
En convección libre la transición de flujo laminar a turbulento es gobernada por el valor critico del número de Grashof.
Algunas veces el parámetro adimensional denominado número de Rayleig esta definido como:
Ra=Gr Pr=gβ L3 [T w−T ∞ ]
vα
α , difusividad térmica
Esta ecuación es usada en lugar de Grashof para correlacionar la transferencia de calor en convección natural, esto es:
Nu=f (Ra , Pr )
Mientras más viscoso sea un fluido mas pequeño es Reynolds.
75
Re=uDv
EVALUACION DE PROPIEDADES
T f=12 [T w−T ∞ ]⇒
Para encontrar propiedades del fluido1T (Para gases donde la temperatura es dad en ºK)
βVer apéndice para líquidos.
Transición de Laminar a Turbulento
Gry=Ray
Pr
Ray≤1 E9 ( lamin ar )Pr≥1 E9 (turbulento )
Con 1 E−3≤Pr≤1 E3 y
Gry=gβ y3 (T w−T ∞ )
v2
Para el aire:
Pr=0 . 72 , la ecuación anterior se reduce a:
Nuy=0 .68+0 . 515 ( Ray )1
4
Nota: Si Gry=
Ray
Pr
≈1 E9
y para [1 E−3≤Pr≤1 E3 ]el régimen es laminar.
Si Gry>1 E9 ,el régimen es turbulento
PARED ISOTERMICA VERTICAL(Placa vertical)
a) Laminar
76
Nu=0 . 671[ Pr
Pr+0 . 986 P
r
12
+0 . 492 ]1
4 (Ray )1
4
Donde:
Ray=gβ y3 (T w−T∞ )
vαDonde: Y = altura de la placa
b) Turbulento
La siguiente ecuación cubre todos los rangos (lamina y turbulento)
Nuy=[0. 825+0. 387 (Ray )
16
[1+( 0. 492P r
)9
16]827 ]
2
77
78
Para el aire: Pr=0 . 72se reduce a :
Nuy=[0.825+0.325 (Ray )1
6 ]2
Nota:Nu=
hLK ;
Si la placa es vertical
L = y
Si la placa es horizontal
L= ΑP
PARED VERTICAL CON FLUJO DE CALOR UNIFORME
Cuando q rSub { size 8{w} } } { ¿ es constante, la temperatura en la pared crece monotonicamente en la
dirección “y”. La diferencia de temperaturas (T w−T ∞) se incrementa en función y1
5.
Una correlación valida para todos los números de Rayleig y Prandtl es la siguiente:
Nuy=[0. 825+0 .387 (Ray )
16
[1+( 0. 437P r
)9
16]8 27 ]2
En esta expresión, iRay es basada en la diferencia de temperaturas promedio en “y”,
denominada T w−T ∞ .
L
KNh u
79
PLACAS HORIZONTALES ISOTERMICAS
NuL=0 .54 R
aL
14
(1 E4<RaL<1 E7)
NuL=0 .15 RaL1/3 (1 E7<RaL<1 E10 ) A
NuL=0 .27 R
aL
14
(1 E5<RaL<1 E10 )B
RaL=gβ (T w−T ∞) L3
vα
Siendo L= Α
P
Donde: A, área de la superficie plana
P, perímetro del área
80
CILINDRO HORIZONTAL
NuD=[0 . 6+0 .387 (Ra )
16
[1+( 0 . 559Pr
)9
16]8 27 ]2
1 E−5<RaD<1 E12
ESFERA
NuD=2+0 .589 (RaD )
14
[1+( 0 . 469Pr
)9
16 ]4
9
Pr≥0 . 7 y RaD≤1 E } {¿
En ambos casos:
RaD=gβ D3 (T w−T∞ )
α v
81
PROBLEMAS UNIDAD VI
1.- Un calentador de inversión para agua consiste en una placa vertical delgada de forma rectangular de 8cm de altura y 15 cm de ancho, la placa es calentada eléctricamente y mantenida a 55°C, mientras que la temperatura promedio del agua que la rodea es de 15°C. Calcular: la razón de transferencia de calor eliminado por el calentador dentro del agua.
82
83
2.- Flujo de aire a través de un ducto de calentamiento rectangular largo de 0.75 de ancho y 0.3 m de alto, mantiene la superficie del ducto a 45°C. Si el ducto no estuviera aislado y esta expuesto al aire que esta a 15°C ¿Cuál es la perdida de calor del ducto por metro de longitud?
84
85
UNIDAD VII
INTERCAMBIADORES DE CALOR:
Se engloba a todos aquellos dispositivos utilizados para transferir energía de un medio a otro. Los radiadores de calefacción, los calentadores de agua, las baterías frigoríficas... son algunos ejemplos de cambiadores de calor.
CLASIFICACIÓN:
La clasificación más general que puede realizarse de los cambiadores de calor, se efectúa atendiendo al grado de contacto entre los fluidos. Según este criterio, los cambiadores de calor se dividen en dos grandes grupos:
- Intercambiadores de contacto directo.
- Intercambiadores de contacto indirecto.
Estos últimos pueden a su vez dividirse en alternativos y de superficie.
Los intercambiadores de contacto directo, también conocidos como cambiadores de mezcla, son aquellos dispositivos en los que los fluidos sufren una mezcla física completa, realizándose, como consecuencia, la transferencia energética entre ellos.
Pertenecen a este grupo, entre otros tipos de cambiadores, las denominadas torres de refrigeración o torres húmedas, así como los enfriadores de gases.
En cuanto a los intercambiadores alternativos, ambos fluidos recorren un mismo espacio de forma alternada, sin coincidencia entre ellos, de forma tal que la mezcla física de ambos fluidos puede considerarse despreciable. El elemento fundamental de est subgrupo de cambiadores es la superficie que alternativamente recibe y cede la energía térmica.
Por otra parte, se denominan intercambiadores de superficie a aquellos equipos o dispositivos en los que la transferencia térmica se realiza a través de una superficie, plana o cilíndrica, que separa físicamente las corrientes de ambos fluidos, no existiendo por tanto ninguna posibilidad de contacto directo o contaminación entre dichos fluidos, salvo en el caso de rotura de la antedicha superficie de separación.
CLASIFICACIÓN DE LOS CAMBIADORES DE CALOR DE SUPERFICIE:
La clasificación más usual de este grupo de cambiadores, se realiza en base a la dirección relativa de los flujos de ambos fluidos, pudiéndose hablar entonces de cambiadores de flujos paralelos y de cambiadores de flujos cruzados, según sus direcciones sean paralelas en el espacio o formen cualquier ángulo en él.
Los cambiadores de flujos paralelos, son generalmente utilizados en el intercambio térmico líquido-líquido, mientras que los de flujos cruzados se utilizan generalmente en el intercambio líquido-gas.
Como se decía anteriormente se denomina cambiadores de calor de flujos paralelos a aquellos cambiadores en los que circulan ambos fluidos con direcciones paralelas en el espacio, si además de tener ambos flujos la misma dirección, tienen el mismo sentido, reciben el nombre
86
de “en equicorriente”, denominándose en “contracorriente” a aquellos en los que los flujos tienen sentidos contrarios.
Dentro del subgrupo de cambiadores de flujos paralelos, se emplean entre otros, los denominados “de placas”, “de tubo”, también llamados “de doble tubo”, de “inmersión”, “multitubulares” o de “carcasa y tubos”.
En los cambiadores multitubulares o de carcasa y tubos, es normal combinar la clasificación anterior con otra, basada en el número de veces que cada partícula delos fluidos recorre el cambiador, recibiendo el nombre de paso cada recorrido, así, un cambiador en equicorriente o contracorriente, sería un cambiador de un paso por carcasa y un paso por tubos.
INTERCAMBIADORES DE HAZ TUBULAR Y CARCASA:
Este tipo de aparato es el más extendido. En principio, el haz alojado en el interior de una carcasa se ha mantenido en la construcción de condensadores y rehervidores igualmente. El aparato está constituido por un haz de tubos montados sobre dos placas tubulares que llevan un número determinado de placas deflectoras. Por cada extremo se fijan las cajas de distribución que aseguran la circulación del fluido por el interior del haz, en varias fases. El haz está alojado en una carcasa provisto de una tobera de entrada y otra de salida para el segundo fluido que circula por el exterior de los tubos, siguiendo el camino impuesto por las placas deflectoras. Todos los elementos que entran en la construcción de los intercambiadores, han sido objeto de una normalización publicada por T.E.M.A (Estándar of Tubular exchanger Manufactures Association), que especifica las características mecánicas y térmicas correspondientes a las diversas condiciones de funcionamiento.
Carcasa:
El material más usado para la construcción de las carcasas es el acero al carbono. Para diámetros inferiores a 24”, en la carcasa se emplea un tubo de acero L.P.S (Schedule 30 hasta 12” y 1 cm de espesor entre 12” y 24”), si la presión de servicio es inferior a 20 Kg/cm2.
Para más de 24” la carcasa se realiza con planchas de acero enrolladas y soldadas. Por cada extremo se sueldan las bridas que llevarán las tapas y las cajas de distribución. Las toberas de entrada y salida se sueldan, o no, con una placa de refuerzo según la presión de servicio. Por último la carcasa se podrá equipar con anillos para poder levantarla y llevará, además, la placa de identidad del aparato.
Las perforaciones de los huecos en estas placas están normalizadas, efectuándose según una disposición, ya sea de paso cuadrado o paso triangular. Teniendo en cuenta la orientación del haz en relación a la dirección general del fluido que circula en la carcasa, se obtienen las cuatro disposiciones de las figuras siguientes.
87
El paso triangular permite colocar alrededor de un 10% de tubos más que en el paso cuadrado sobre una placa tubular de diámetro dado pero, en contrapartida, la disposición de los tubos
hace imposible la limpieza exterior, introduciendo rascadores a través del haz. Para estos aparatos, es necesario recurrir a la limpieza química y reservar su empleo a productos limpios.
El haz de tubos lleva deflectoras transversales que tienen por finalidad alargar el camino del fluido que circular por la carcasa y mejorar así, la transmisión por el exterior de los tubos. Estas deflectoras están constituidas, generalmente, por un disco que tiene un diámetro ligeramente inferior al de la carcasa y que posee un segmento libre igual al 25% del diámetro interior de Dc de la carcasa. El espaciado B, entre deflectoras, que condiciona directamente la velocidad del fluido, está comprendida entre Dc/5 y Dc.
Además estas reflectoras aseguran la rigidez del haz y son solidarias de la placa tubular fija por medio de unos tirantes.
En ciertos casos se emplean deflectoras longitudinales constituidas por una simple chapa inserta en el medio del haz. Esta disposición obliga a efectuar al fluido un ir y venir en la carcasa y se tiene en este caso, un aparato que se denomina “dos pasos del lado carcasa”.
88
89
ANÁLISIS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR
Estudiaremos dos métodos diferentes de análisis para los intercambiadores de calor.
a) Método de diferencia de temperatura media logarítmica (LMTD)b) Método de número de unidades de transferencia (NTU).
Método LMTD
Considerando un intercambiador de calor de doble tubería, los fluidos pueden circular tanto en corrientes paralelas como a contracorrientes y se calcularía la transferencia de calor en este dispositivo mediante:
q =U ΑΔT rSub { size 8{m} } } { ¿
Si consideramos un intercambiador de calor distinto del de doble tubería, la transferencia de calor se calculara utilizando un factor de corrección que se aplica a la LMTD para un dispositivo de doble tubería a contracorriente con las mismas temperaturas fría y caliente para el fluido, entonces la ecuación anterior se expresa de la siguiente manera:
q =U ΑΔT rSub { size 8{m} } F} { ¿
U = 11hi
+LK
+1he
Determinando los coeficientes de convección (hi , he ) obtendremos una U.Donde: U, coeficiente global de transferencia de calor
A, superficie de transferencia de calor consistente con la definición de UΔT m , diferencia media de temperaturas apropiada a través del cambiador de calorF, factor de corrección para diversos tipos de intercambiadores de calor. ((Ver tablas 10.8 a 10.11).
Nota: Cuando interviene un cambio de fase, como el caso de la condensación o la ebullición (evaporación), el fluido permanece normalmente a una temperatura prácticamente constante y las relaciones se simplifican, entonces:
F = 1, para ebullición o condensación
El factor de corrección depende también del tipo de intercambiador de calor.
90
a) Flujo paralelob) Contra flujoc) Flujo cruzado
La diferencia de temperatura media logarítmica se expresaría de la siguiente manera:
ΔT m=ΔT 1−ΔT 2
lnΔT 1
ΔT 2
Balance de Energía
q=(mC p ΔT )Fluido frío = (mC p ΔT )
Fluido caliente
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ANALISIS DE INTERCAMBIADORES DE CALOR POR EL METODO EFICIENCIA (Є)-NTU
El método LMTD para el análisis de intercambiadores de calor, es útil cuando las temperaturas de entrada y salida son conocidas o se pueden obtener con facilidad. Cuando tenemos que evaluar las temperaturas de entrada o salida de un intercambiador determinado, el análisis se debe realizar mediante un procedimiento iterativo, debido a la función logarítmica que aparece en la LMTD.
En estos casos podemos realizar un análisis más fácil basado en la eficiencia del intercambiador de calor durante la transferencia de una entrada determinada de calor. Este método ofrece también ventajas para el análisis de problemas donde se tiene que comparar varios tipos de intercambiadores de calor, para elegir el mas adecuado para un objetivo de transferencia de calor particular.
Definiremos la eficiencia como:
ε=Transferencia de calor realMáxima transferencia de calor posible
= qqmax
Donde podemos calcular a q como:
q=(mC p ΔT )Fria (mC p ΔT )Caliente
Mientras qmax para el intercambiador es conocido.
Debemos primero reconocer que este máximo valor podría ser alcanzado si uno de los fluidos desarrolla un cambio de temperatura igual a la máxima diferencia de temperaturas presente en el intercambiador de calor; que es la diferencia de las temperaturas de entrada entre los fluidos frío y caliente. El fluido que podría alcanzar esta máxima diferencia de
temperatura es el que tiene un mínimo valor de (mC p ) ya que el balance de energía requiere que la energía recibida por un fluido sea igual al del otro fluido que se esta suministrando.
qmax=(mC p )min [T Centrada
−T Fentrada ]
Las expresiones para el cálculo de la eficiencia en función del flujo son:
a) Flujo Paralelo
ε=1−exp [−NTU (1+C ) ]
1+C
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b) Contra Flujo
ε=1−exp [−NTU (1+C ) ]
1−C exp [−NTU (1+C ) ]
Para Ambas
NTU= UACmin
C=Cmin
Cmax
Cmin=(mC p )min
Cmax=(mC p )max
Donde: NTU, number of thernal units (número de unidades de transferencia).A, área de transferencia de calor.U, coeficiente global de transferencia de calor.
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PROBLEMAS UNIDAD VII
1.- Un intercambiador de calor de tubo y coraza debe ser diseñado para calentar 2.5 kg/seg de agua desde 15°C hasta 85°C. El calentamiento se realiza pasando aceite de motor caliente que entra a 160°C. El aceite tiene un coeficiente de convección promedio de 400 W/m2°K sobre la parte exterior de los tubos.
10 tubos pasan el agua a través de la coraza, cada tubo es de pared delgada con un diámetro de 25 mm y hace 8 pasos a través de la coraza, si el aceite deja el intercambiador de calor a 100°C ¿Cuál es la razón de flujo de aceite? ¿Qué longitud deben tener los tubos para alcanzar el calentamiento deseado?
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2.- Gases calientes de escape entran a 300°C a un intercambiador de calor de flujo cruzado y salen a 100°C. Estos gases son usados para calentar agua que entran a una razón de 1kg/seg desde 35°C hasta 125°C. El calor especifico de los gases de escape es aproximadamente 1KJ/kg°K, el coeficiente global de transferencia de calor basado en la superficie del lado del gas es igual a 100 W/m2°K. Determinar el área requerida usando el método NTU.
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3.- Se utiliza aceite (cp = 2.1 KJ/Kg. 0K) para calentar agua en u n intercambiador de calor de tubos y casco con un solo recorrido por el casco y dos por los tubos. El coeficiente total de transferencia de calor es de 525 W/m2 0K. Las velocidades de flujo masico son de 7 Kg./s para el aceite y de 10 Kg./s para el agua. El aceite y el agua entran en el intercambiador de calor a 240º C y 20º C, respectivamente. Se tiene que diseñar el intercambiador de calor de modo que el agua salga de el a una temperatura mínima de 80º C. Calcule el área para la transferencia de calor necesaria para lograr esta temperatura.
DATOSDATOS
SOLUCION:SOLUCION:
Th,sal = 69.46 C. A =
2509290(525 )(68. 93 )
=70 . 4m2
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4. En un intercambiador de calor de tubos y casco se introduce agua a 35 ºC para calentarla utilizando aceite hasta 75º C, que entra a 110 ºC y sale a 75 ºC. El intercambiador esta dispuesto a contra flujo, donde el agua tiene un recorrido por el casco y el aceite tiene dos recorridos por los tubos. Si la razón del flujo del agua es de 68 Kg. por minuto y el coeficiente total de transferencia de calor se estima en 320 W/m2 ºK de acuerdo con la tabla 8.1 calcule el área de intercambio necesaria.
DATOS
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