Note di Fisica Matematica II: Meccanica Analiticacdm.unimo.it/home/matematica/sacchetti.andrea/Testo_Mec_II.pdf · Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Note di Fisica

Anno accademico 2008/09

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia

Note diFisica Matematica II: MeccanicaAnalitica

29 Settembre, 2008





Le presenti NOTE di non vogliono in nessun modo essere un

testo ma un semplice ausilio per lo studio del corso, per questomotivo la trattazione μe succinta. Anzi, μe opportuno approfondire

e studiare criticamente quanto svolto a lezione avvalendosi di testi

veri e propri. Tra i testi piμu noti si possono ricordare i seguenti:

- V.I. Arnold, Metodi Matematici della Meccanica Classica. Edi-tori Riuniti 1986.

- G. Dell'Antonio, Elementi di Meccanica. I: Meccanica Classica.Liguori Editore 1996.

- G. Gallavotti, Meccanica Elementare, Ed. Boringhieri 1986.- A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, Ed. Boringhieri1994.

Meno moderni ma sempre ricchi di interessanti spunti ed osser-

vazioni sono i seguenti:

- T. Levi-Civita, Lezioni di Meccanica Razionale, Ed. Zanichelli,Ristampa anastatica 1974 (ed. 1929)

- E. Mach, La Meccanica nel suo Sviluppo Storico-Critico, Ed.Boringhieri 1992 (prima edizione del 1883)





Sommario

1 Dinamica del punto : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1

1.1 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita . . . . . . 1

1.1.1 Equazioni di®erenziali del moto . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Caso di forze posizionali: soluzione per

quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato . . . . . . . . . . . 4

1.2.1 Forze di richiamo e forze viscose . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Oscillatore armonico smorzato . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato . . . . . . 7

1.3 Analisi qualitativa del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Studio del moto alla Weierstrass . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 Diagramma delle fasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3.3 Analisi del moto alla Weierstrass per

l'oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4.1 Equazione di®erenziale del moto . . . . . . . . . . . . 28

1.4.2 Piccole oscillazioni del pendolo semplice . . . . . . 29

1.4.3 Analisi del moto alla Weierstrass per il

pendolo semplice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale . . . 32

1.5.1 Integrali primi del moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.5.2 Forza centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5.3 Integrazione delle equazioni del moto . . . . . . . . 35

1.5.4 Stabilitμa delle orbite circolari . . . . . . . . . . . . . . . 38



VIII Sommario

1.5.5 Appendice: composizione di moti periodici . . . 39

1.5.6 Esempio di forza centrale attrattiva

direttamente proporzionale alla distanza . . . . . 41

1.5.7 Analisi del moto alla Weierstrass per il

problema di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.5.8 Orbite chiuse e condizione sul potenziale . . . . . 47

1.6 Moto di un punto su una super¯cie prestabilita . . . . 48

1.6.1 Considerazioni preliminari. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.6.2 Moto di un punto pesante sopra una

super¯cie di rotazione ad asse verticale e

priva di attrito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.6.3 Pendolo sferico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.7 Dinamica relativa del punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.7.1 In°uenza della rotazione terrestre sul moto

dei gravi nel vuoto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.7.2 Pendolo di Focault . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.7.3 Nozioni elementari di meccanica celeste . . . . . . 61

2 Dinamica dei solidi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 65

2.1 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1.1 Solidi in rapida rotazione e fenomeni

giroscopici elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.2 Solido pesante con un punto ¯sso . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2.1 Integrali primi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2.2.2 Equazioni di®erenziali del moto . . . . . . . . . . . . . 70

2.3 Giroscopio pesante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.3.1 Terzo integrale primo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.4 Rotazioni uniformi del giroscopio pesante . . . . . . . . . 72

2.4.1 Determinazione dell'angolo di nutazione . . . . . 76

2.4.2 Discussione del moto di precessione Ã(t) . . . . . 81

2.5 Trottola veloce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

2.6 Stabilitμa del moto del giroscopio pesante. . . . . . . . . . . 86

2.6.1 Stabilizzazione giroscopica e trottola

"addormentata". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3 Equazioni di Lagrange : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 91

3.1 Principio del d'Alembert e relazione simbolica della

Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91



Sommario IX

3.2 Equazioni di®erenziali del moto di un sistema

olonomo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.3 Funzione Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.4 Coordinate cicliche e Lagrangiana ridotta . . . . . . . . . 94

3.5 Esempio: problema di Keplero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3.6 Integrazione per quadrature del giroscopio pesante . . 100

4 Piccole oscillazioni : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1034.1 Teorema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.2 Moto delle piccole oscillazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

4.3 Caso unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

4.4 Coordinate normali e frequenze proprie . . . . . . . . . . . 108

4.5 Schema riassuntivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

4.6 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.6.1 Pendoli accoppiati: esempio di calcolo di

modi normali e battimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.6.2 Bipendolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5 Equazioni canoniche di Hamilton : : : : : : : : : : : : : : : : 1175.1 Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani . . . . . . . . 117

5.2 Trasformata di Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.3 Funzione Hamiltoniana nel caso dinamico . . . . . . . . . 122

5.4 Esempi di funzione Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4.1 Punto libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

5.4.2 Solido con punto ¯sso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.5 Signi¯cato ¯sico dei momenti coniugati . . . . . . . . . . . 125

5.5.1 Signi¯cato ¯sico della costante del moto

ph quando la coordinata ciclica qh μe unacoordinata cartesiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.5.2 Signi¯cato ¯sico della costante del moto phquando la coordinata ciclica qh μe un angolo . . . 127

5.6 Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville . . . . . . . . 128

5.6.1 Flusso Hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

5.6.2 Flusso Hamiltoniano per l'oscillatore armonico 130

5.6.3 Teorema di Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.7 Coordinate cicliche | formalismo Hamiltoniano . . . . 134

5.8 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135



X Sommario

6 Principio variazionale di Hamilton. : : : : : : : : : : : : : : 1376.1 Premesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.2 Principio variazionale di Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . 137

6.3 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3.1 Moto di un grave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

6.3.2 Oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

6.4 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

6.5 Esercizi (risolti) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

7 Trasformazioni canoniche : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1517.1 Struttura canonica delle equazioni di Hamilton . . . . . 151

7.1.1 Trasformazioni che conservano la struttura

canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

7.1.2 Determinazione della nuova Hamiltoniana

per e®etto di una trasformazione che conserva

la struttura canonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

7.2 Trasformazioni canoniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.3 Generatrice di una trasformazione canonica . . . . . . . . 156

7.4 Esempio: trasformazione canonica per l'oscillatore

armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8 Parentesi di Poisson : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1618.1 De¯nizione della parentesi di Poisson . . . . . . . . . . . . . 161

8.1.1 Esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.2 Proprietμa principali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

8.3 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9 Equazione di Hamilton-Jacobi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1679.1 Equazione di Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

9.2 Hamiltoniana indipendente da t ed azione ridotta . . 169

9.3 Esempio: l'oscillatore armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

9.4 Metodo di separazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . 171

9.5 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

9.5.1 L'equazione di Hamilton-Jacobi per il moto

centrale di un punto in un piano . . . . . . . . . . . . 173

9.5.2 Il metodo di Hamilton-Jacobi applicato al

problema di Keplero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175



Sommario XI

A Complementi : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 179A.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

A.1.1 Serie di Fourier in forma trigonometrica . . . . . . 179

A.1.2 Serie di Fourier in forma esponenziale . . . . . . . 180

A.1.3 Stima dei coe±cienti cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181A.2 Teorema di annullamento degli integrali . . . . . . . . . . . 182





1

Dinamica del punto

1.1 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita

1.1.1 Equazioni di®erenziali del moto

La dinamica di un punto P si fonda sull'equazione che deve esseresoddisfatta durante il moto

ma = F+ Á (1.1)

dovem μe la massa del punto, F μe la risultante di tutte le forze attiveagenti sul punto e Á la risultante di tutte le reazioni vincolari.Supponendo nota la traiettoria ° del punto P soggetto alla (1.1)

allora per caratterizzare il moto non rimane che da determinare

la legge oraria. Piμu precisamente, se s (ascissa curvilea di P )μe la lunghezza dell'arco ° fra una arbitraria origine e P , misuratapositivamente in un pre¯ssato verso, la (1.1) proiettata, in ciascun

punto della °, sulla rispettiva tangente, orientata nel verso delle screscenti, diventa:

mÄs = Ft + ©t (1.2)

dove la componente tangenziale ©t di © μe, per lo piμu, incognita.

Tuttavia vi sono dei casi in cui la ©t μe preventivamente assegnabile.In particolare: un punto vincolato a restare su di una curva

priva di attrito si muove su di essa come se fosse esclusiva-

mente soggetto all'azione della forza attiva (tangenziale),

cio¶e ©t = 0. In tal caso la (1.2) prende la forma

mÄs = Ft (1.3)



2 1 Dinamica del punto

dove la componente tangenziale Ft della forza totale μe una funzionef( _s; s; t) nota, quindi la (1.3) assumerμa la forma

mÄs = f( _s; s; t) (1.4)

e, nell'ipotesi di limitatezza, continuitμa e derivabilitμa nei tre argo-

menti della f , la (1.4) ammette una, ed una sola, soluzione (neldominio considerato) soddisfacente alle condizioni iniziali asseg-

nate. La (1.3) (piμu precisamente nella forma (1.4)) prende il nome

di equazione di®erenziale del moto ed μe su±ciente per carat-

terizzare univocamente il moto di un punto vincolato a percorrere

una traiettoria assegnata in assenza di attrito.

1.1.2 Caso di forze posizionali: soluzione per quadrature

Nel caso di forze posizionali Ft = f(s) la (1.3) assume la forma

mÄs = f(s) (1.5)

Per mostrare come la (1.5) si riduca con una quadratura ad una

equazione del I± ordine ricordiamo che l'energia cinetica T del

punto μe qui de¯nita da 12m _s2, da cui risulta: dT

dt= m _sÄs. Osser-

vando che, essendo f funzione della sola s, esiste un'altra funzioneU della sola s tale che

dU

ds= f (s): (1.6)

In virtμu della (1.5) segue che dTdt= dU

ds_s. Il secondo membro, in

quanto si consideri U come funzione di t tramite s(t), non μe altroche la derivata di U = U [s(t)] rispetto a t. Integrando rispetto at e designando con E la costante di integrazione, si ricava:

T ¡ U = E: (1.7)

Questa relazione in termini ¯niti, tra la energia cinetica T del

punto P e la sua posizione sulla curva (caratterizzata dalla fun-

zione U(s)), si chiama integrale delle forze vive. Esso fornisce,in ultima analisi, una relazione fra s e _s.Nota. Nel caso in cui si suppone prestabilita la traiettoria si

perviene alla (1.7) senza bisogno di introdurre l'ipotesi che la forza

totale F sia conservativa, basta infatti che essa sia posizionale



1.1 Dinamica del punto su traiettoria prestabilita 3

perchμe la (1.6) valga limitatamente alla mobilitμa del punto sopra

la curva °.Nota. Dalla (1.7) deriva che:

T1 ¡ T0 = U1 ¡ U0;essendo T0 e U0, T1 e U1 i valori di T e di U in due generici istanti

t0 e t1. In particolare, consideriamo due punti materiali distintidi egual massa che siano fatti partire con la medesima velocitμa da

una medesima posizione, oppure da due posizioni appartenenti alla

medesima super¯cie U = cost:. Se questi due punti si muovonosotto l'azione di una forza derivante dal potenziale U , l'uno liberoe l'altro costretto a restare sopra una curva priva di attrito,

essi attraversano ciascuna super¯cie equipotenziale con equale ve-

locitμa. Cosμ³, ad esempio, se due punti pesanti cadono, a partire

dalla quiete, uno liberamente, l'altro sopra un sostegno prestabil-

ito (privo di attrito), dopo essere discesi di una stessa quota,

hanno la stessa velocitμa.

Torniamo al problema dell'integrazione della equazione (1.5)

del moto; ponendo

u(s) =2

m[U(s) + E] ; (1.8)

l'equazione delle forze vive (1.7) si puμo scrivereÃds

dt

!2= u(s); da cui

ds

dt= §

qu(s); (1.9)

dove va preso il segno positivo o negativo secondo che la ve-

locitμa scalare dsdtsia positiva o negativa. La (1.9) μe una equazione

di®erenziale del I± ordine, sostanzialmente equivalente all'origi-naria equazione (1.5), che puμo essere integrata mediante una

quadratura e fornisce la cercata relazione in termini ¯niti

tra s e t. Le due costanti arbitrarie da cui essa deve dipenderesono date l'una dalla costante additiva dell'ultima quadratura, l'al-

tra dall'integrale E delle forze vive.




1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato

1.2.1 Forze di richiamo e forze viscose

Fra le forze posizionali meritano speciale attenzione le cosiddette

forze di richiamo, verso un'assegnata posizione O della curva

°. La proprietμa caratteristica di tali forze μe di annullarsi in O,detta posizione di richiamo, e di esplicarsi, in ogni altro punto

della °, come attrazioni (tangenziali) verso O, crescenti quantopiμu ci si allontana da O lungo la curva. In particolare si ha che

sf (s) < 0, supponendo che O abbia ascissa curvilinea s = 0 e

dove f(s) = Ft(s). μE questo il comportamento tipico delle forzeelastiche. Una espressione tipica di una forza elastica di richiamo

μe data da:

f (s) = ¡¸s (1.10)

dove ¸ μe una assegnata costante positiva.Le forze viscose dipendono, invece, dalla velocitμa del punto e

tendono, sempre, ad opporsi al moto del punto. La piμu semplice

espressione di una forza viscosa ha la forma

F = ¡bvdove v μe la velocitμa del punto e b μe una assegnata costante positiva.

1.2.2 Oscillatore armonico smorzato

Si usa designare con questo nome un sistema meccanico costituito

da un punto materiale di massa m soggetto ad una forza elastica

e ad una forza viscosa. L'equazione di®erenziale del moto prende

la forma

mÄs+ b _s+ ¸s = 0:

Ponendo poi h = b2me ! =

q¸mallora questa si scrive

Äs+ 2h _s + !2s = 0; (1.11)

che μe una equazione di®erenziale del II ordine, lineare, a coe±ci-

enti costanti e omogenea. La soluzione generale μe, tranne un caso

particolare (in cui z1 = z2), data da



1.2 Oscillatore armonico smorzato e forzato 5

s(t) = C1ez1t + C2e

z2t

dove

z1;2 = ¡h§ph2 ¡ !2

sono le soluzioni, reali o complesse, della equazione di secondo

grado

z2 + 2hz + !2 = 0:

Ai ¯ni della discussione che segue conviene porre la soluzione gen-

erale nella forma

s(t) = C1e¡¯1t + C2e¡¯2t; dove ¯1;2 = ¡z1;2: (1.12)

Nota.Mettiamo in luce la seguente proprietμa: qualunque siano

h e !2, purch¶e sia h > 0, allora

<z1;2 < 0; cio¶e <¯1;2 > 0: (1.13)

Infatti, essendo z1;2 soluzioni dell'equazione di secondo grado,

segue che

z1 + z2 = ¡2h e z1z2 = !2: (1.14)

Se z1;2 sono numeri reali allora, dalla seconda condizione (1.14),essi hanno segno concorde e questo, dalla prima condizione (1.14),

μe negativo. Se, invece, z1;2 sono numeri complessi allora, essendoi coe±cienti della equazione reali, essi sono tra loro complessi co-

niugati, cio¶e z2 = ¹z1, e la condizione (1.14) si traduce in

2<z1 = ¡2h e jz1j2 = !2 (1.15)

che pone immediatamente al risultato cercato.

In virtμu della proprietμa (1.13) e ricordando che

e¡¯1;2t = e¡<¯1;2te¡i=¯1;2t

dove e¡i=¯1;2t ha modulo 1, segue che la soluzione (1.12) s(t) dellaequazione (1.11), per assegnate condizioni iniziali, tende asintoti-

camente a zero, per t crescente, in modo esponenziale.Premesso questo risultato generale (e di importanza rilevante

nello studio della stabilitμa dei sistemi) andiamo a discutere in det-

taglio la forma della soluzione generale in funzione dei valori dei

parametri. Si hanno i seguenti tre casi:




Moto aperiodico smorzato: h2 > !2.

In questo caso abbiamo che ¯1;2 2 R+ ed il moto ha, al piμu, unasola inversione del moto (Figura 1.1).

–0.2

–0.1

0

0.1

0.2

1 2 3 4 5 6

t

Fig. 1.1. Gra¯co della legge oraria nel caso di moto aperiodico smorzato.

Moto oscillatorio smorzato: h2 < !2.

In questo caso ¯1;2 sono complessi coniugati e si possono scri-

vere come ¯1;2 = h § ik dove k = p!2 ¡ h2; con tale posizione

la soluzione generale prende la forma (prendendo le costanti ar-

bitrarie C1 e C2 complesse coniugate tra loro e facendo un po' diconti)

s(t) = C1e¡hte¡ikt + C2e

¡hteikt = e¡ht³C1e

¡ikt + C2eikt´

= Ce¡ht cos(kt+ °):

Risulta quindi essere un moto oscillatorio, di pulsazione k, conampiezza data da Ce¡pt che decresce esponenzialmente. Il nu-

mero T = 2¼=k prende il nome di pseudo-periodo (Figura

1.2). Osserviamo che nel caso limite di assenza di smorzamento

h = 0 allora la soluzione generale prende la ben nota forma

s(t) = C cos(kt + °) caratteristica delle oscillazioni armoniche diperiodo 2¼=k.




–1

–0.5

0

0.5

1

1 2 3 4 5 6

t

Fig. 1.2. Gra¯co della legge oraria nel caso di moto oscillatorio smorzato.

Moto aperiodico smorzato con smorzamento critico: h2 = !2.

In questo caso z1;2 = ¡h sono reali e coincidenti; la soluzionegenerale non ha piμu la forma (1.12) bensμ³

s(t) = C1e¡ht + C2te¡ht:

L'andamento della funzione s(t) presenta, sostanzialmente, le stessecaratteristiche del primo caso (Figura 1.1).

1.2.3 Oscillatore armonico smorzato e forzato

Se ammettiamo la presenza di un termine forzante che dipende,

in modo periodico, dal tempo t allora l'equazione di®erenziale dastudiare risulta essere la seguente:

mÄs+ b _s+ ¸s = Q(t) (1.16)

dove Q(t) μe una funzione periodica assegnata e dove b ¸ 0 e ¸ 6= 0.L'equazione di®erenziale (1.16) del II ordine, lineare, a coe±cienti

costanti e completa ha soluzione generale della forma

s(t) = s0(t) + s?(t)

dove s0(t) μe la soluzione generale della omogenea associata (1.11)e dove s?(t) μe una soluzione particolare della completa.




Nota. In virtμu delle osservazioni fatte in precedenza possiamo

a®ermare che, a regime, la funzione s(t) μe data solamente dallasoluzione particolare; infatti, comunque siano state assegnate le

costanti arbitrarie, la funzione so(t) decresce esponenzialmente equindi, dopo un certo intervallo di tempo (detto transitorio), segue

che s(t) ¼ s?(t).

Caso di forzante di tipo armonico

Supponendo, al momento, che il termine forzante Q(t) sia unafunzione armonica di periodo T1 =

2¼−data da

Q(t) = q sin(−t+ ®);

dove q > 0, − > 0 e ® sono costanti assegnate. Ricerchiamo lasoluzione particolare della forma

s?(t) = p sin(−t+ ') (1.17)

dove p e ' sono da determinarsi sostituendo la (1.17) nella equazionecompleta (1.16) e richiedendo che questa sia identicamente soddis-

fatta. Operando la sostituzione si ottiene

(!2 ¡−2)p sin(−t+ ') + 2h−p cos(−t+ ') = q sin(−t+ ®)=m

che, in virtμu delle formule trigonometriche di addizione, si trasforma

nella

a sin(−t+ ®) + b cos(−t+ ®) = 0

dove, ponendo Á = ® ¡ ',a = p[(!2 ¡−2) cosÁ+ 2h− sin Á]¡ q=m

e

b = p[¡(!2 ¡−2) sin Á+ 2h− cosÁ]:

Deve quindi essere veri¯cato il seguente sistema(a = 0b = 0

)(p[(!2 ¡−2) cosÁ+ 2h− sinÁ] = q=m¡p[(!2 ¡−2) sinÁ+ 2h− cos Á] = 0

:

Quadrando e poi sommando si ottiene immediatamente:




p =A(−2)q

mdove A(−2) =

1q(!2 ¡−2)2 + 4h2−2

(1.18)

mentre dalla seconda si ottiene immediatamente che deve essere

tan(Á) =2h−

!2 ¡−2;

con che l'angolo Á (ritardo di fase) risulta individuato subordi-natamente alla condizione ¡¼=2 < Á · ¼=2. Risulta che tan(Á) μepositiva o negativa, e quindi Á μe maggiore o minore di 0, secondoche −2 < !2 o −2 > !2.Nota. μE immediato veri¯care che

lim−!0+

A(−2) =1

!2e lim

−!+1A(−2) = 0:

Energia fornita al sistema vibrante

Osserviamo che nelle oscillazioni forzate viene fornita energia al

sistema vibrante per e®etto della sollecitazione addizionale Q(t).In particolare l'energia e fornita durante un intero periodo T1 =2¼=− μe data dal lavoro svolto dal termine forzante:

e =Z t+T1

tQ(t0) ¢ v(t0)dt0 =

Z t+T1

tQ[s(t0)] _s(t0)dt0; (1.19)

e, sostituendo a Q l'equazione del moto (1.16), segue

e =Z t+T1

t

hm _sÄs+ b _s2 + ¸s _s

idt0

=m

2

h_s2 + !2s2

it+T1t

+ 2hmZ t+T1

t_s2dt0:

A regime stabilito si ha che s = s0 + s? ¼ s? e, per la periodicitμa

di s?, la parte integrata va a zero e da ciμo

e ¼ 2hmZ t+T1

t( _s?)2dt0:

Questa formula mostra che l'energia fornita e risulta essenzial-mente positiva, ossia che, per mantenere le oscillazioni forzate,

bisogna comunicare energia al sistema vibrante. Si puμo,




in¯ne, aggiungere che a regime stabilito la soluzione μe data dalla

s?(t) (vedi (1.17)) e quindi e non dipende dall'istante t consideratoma, solamente, dal periodo T1 = 2¼=−. Piμu precisamente:

e ¼ 2hmZ T1

0( _s?)2dt = 2hm

Z T1

0p2−2[cos(−t+ ')]2dt

= 2hmp2−Z 2¼¡'

¡'[cos(μ)]2dμ = 2¼hmp2−:

Caso ideale di uno smorzamento nullo

Mettiamoci nel caso dell'ipotesi ideale dell'assoluta assenza di ogni

resistenza passiva (h = 0) e cerchiamo di determinare per la cor-

rispondente equazione

Äs + !2s = q sin(−t)=m (1.20)

una soluzione periodica della forma (1.17) (μe sempre possibile as-

sumere la fase iniziale ® nulla in virtμu di una opportuna scelta

dell'origine dei tempi t! t¡ ®=−). Sostituendo e uguagliando siottiene

Á = 0 e p =q

m(!2 ¡−2)

purchμe ! 6= −.Se poi si ha − = !, cio¶e se il periodo della forza addizionale

μe identico a quello delle vibrazioni spontanee del sistema, si ha

una contraddizione nel ricercare una soluzione periodica del tipo

(1.17); ma si veri¯ca che la (1.20), per ! = −, ammette l'integraleparticolare

s?(t) =q

2m!2t sin(!t);

il quale corrisponde ad oscillazioni del medesimo periodo ma che

sono di ampiezza inde¯nitamente crescente col tempo.

Risonanza

Tenendo ¯sse le costanti h e ! caratteristiche del sistema vibrantee l'intensitμa massima q della forza addizionale e facendone variarela frequenza − vediamo come vari conseguentemente l'ampiezza p




dell'oscillazione forzata corrispondente o, equivalentemente, il fat-

tore di ampli¯cazione A(−2). In particolare la A(−2) ammetterμa

un unico massimo raggiunto, se h μe piccola, per j−j in prossimitμa dij!j. Da qui segue la spiegazione del fenomeno della risonanza.Per studiare il fenomeno della risonanza riprendiamo la (1.18)

ponendo

−2

!2= x;

4h2

!2= ²2;

da cui

A(−2) =1

!2f(x); f (x) =

1q(1¡ x)2 + ²2x

: (1.21)

La funzione f (x) ammette punti di stazionarietμa x > 0 quando

¡2(1¡ x) + ²2 = 0; cio¶e x = 1¡ ²2=2:In particolare questo risulta essere un punto di massimo relativo

per f(x) (poich¶e la derivata seconda del radicando al denominatoreμe positiva e quindi il radicando ha un punto di minimo relativo).

Quindi A(−2) ammette un unico punto di massimo per −2 =

!2 ¡ 2h2 avente valore (Figura 1.3)

Amax = A(!2 ¡ 2h2) = 1q

4h4 + 4h2(!2 ¡ 2h2)=

1

2hp!2 ¡ h2 :

Nota. Nel caso di smorzamento lieve (h¿ 1) il punto di mas-

simo relativo si ha in corrispondenza di −2 ¼ !2, cio¶e quando lafrequenza del termine forzante μe prossima alla frequenza naturale

del sistema, ed inoltre

Amax ¼ 1

2!hÀ 1:

Battimenti

Il fenomeno noto con il nome di battimenti si veri¯ca per la

sovrapposizione di oscillazioni armoniche con frequenze diverse.

Tale caso si veri¯ca, ad esempio, quando consideriamo il caso ide-

ale di smorzamento nullo (cio¶e h = 0) e soggetto ad un termine




2

4

6

8

10

12

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x

=0.4=0.2=0.1=0.08

εεεε

Fig. 1.3. Gra¯co della funzione (1.21) per diversi valori di ².

forzante oscillatorio. In questo frangente non posiamo piμu a®er-

mare che s(t) ¼ s?(t) perch¶e il termine s0(t) ha ampiezza cherimane costante nel tempo. Piμu precisamente, volendo studiare il

termine

s(t) = s0(t) + s?(t);

dove

s0(t) = A1 cos(!t+ ®1) e s?(t) = A2 cos(−t+ ®2)

dove prendiamo A1 = A2 = A (altrimenti poniamo A1 = A2 + ~A2e isoliamo il termine con coe±ciente ~A2). Con tale ipotesi alloradalle formule di prostaferesi segue che

s(t) = 2A cos(²t+ ¯) cos(¹!t+ ¹®)

dove

¹! =− + !

2; ² =

− ¡ !2

; ¹® =®1 + ®22

; ¯ =®1 ¡ ®22

:

Il fenomeno diventa particolarmente evidente nel caso in cui − ¼!; infatti si osserva che il fattore cos(¹!t + ¹®) produce una os-cillazione che ha una frequenza molto vicina a quella dei moto

componenti. L'ampiezza di tale oscillazione risulta perμo modu-

lata (lentamente) dal fattore cos(²t+ ¯) la cui frequenza μe moltominore di quella precedente (Figura 1.4).




–1

–0.5

0

0.5

1

20 40 60 80 100

t

Fig. 1.4. Battimenti.

Caso di forzante periodica

Ai ¯ni della ricerca della soluzione particolare nel caso generale in

cui il termine forzante sia una generica funzione periodica, conside-

riamo inizialmente il caso h(t) = ½ei−t, dove ½ 2 C e− = 2¼T1. In tal

caso cerchiamo una soluzione (se esiste) della forma s?(t) = rei−t,da cui

_s?(t) = i−rei−t e Äs?(t) = ¡−2rei−t:

La sostituzione di s? nella equazione di®erenziale (1.11) porta a

¡−2rei−t + i2h−rei−t + !2rei−t = ½ei−t=m

che, dovendo essere identicamente soddisfatta per ogni t (a±nch¶es? sia soluzione dell'equazione di®erenziale), implica

r =½=m

!2 ¡−2 + 2ih−

da cui

s?(t) =1

m

½

!2 ¡−2 + 2ih−ei−t:

Prima di passare al caso generale consideriamo il caso in cui

la funzione periodica Q(t) ammetta sviluppo in serie di Fourier ditipo esponenziale ¯nito:




Q(t) =NX

n=¡Ncne

i−nt

dove cn = ¹c¡n a±nch¶e Q(t) sia a valori reali. Una soluzione par-ticolare, periodica di periodo T , μe quindi data da

s?(t) =NX

n=¡Ns?n(t); s?n(t) =

1

m

cn!2 ¡ n2−2 + in2h−

ei−nt

dove s?n(t) μe soluzione particolare della equazione di®erenziale

Äs+ 2h _s+ !2s = cnei−nt=m

da quanto abbiamo appena dimostrato. La veri¯ca μe immediata:

Äs? + 2h _s? + !2s? =NX

n=¡N

³Äs?n + 2h _s

?n + !

2s?n´

=NX

n=¡Ncne

i−nt=m = Q(t)=m:

Rimane da trattare il caso in cui Q(t) ammette sviluppo in seriein¯nita di Fourier

Q(t) =+1X

n=¡1cne

i−nt: (1.22)

Come nel caso precedente prendiamo come possibile soluzione par-

ticolare la serie di Fourier (per il momento formale):

s?(t) =+1X

n=¡1s?n(t); s

?n(t) =

1

m

cnei−nt

!2 ¡ n2−2 + i2nh−(1.23)

e cerchiamo di stabilire se questa serie converge e, nel caso in cui

converga, se μe una soluzione della equazione di®erenziale. Come

nel caso precedente si veri¯ca facilmente che questa serie μe una

soluzione purch¶e converga abbastanza velocemente in modo da

poterne calcolare la derivata prima e seconda derivando la serie

termine a termine. Ricordiamo che per potere derivare k volte laserie termine a termine, deve convergere la serie

+1Xn=¡1

dks?n(t)

dtk=1

m

+1Xn=¡1

cn(i−n)k

!2 ¡ n2−2 + i2nh−ei−nt (1.24)



1.3 Analisi qualitativa del moto 15

uniformemente rispetto a t; ricordiamo inoltre la seguente stimadei coe±cienti della serie di Fourier: jcnj · cn¡r quando la funzioneQ(t) μe di classe Cr. In virtμu di queste considerazioni abbiamo che

il termine n|esimo della serie (1.24) puμo essere stimato come¯¯ cn(i−n)kei−nt=m!2 ¡ n2−2 + i2nh−

¯¯ · c−knk

nrq(!2 ¡ n2−2)2 + 4n2h2−2

· Cnk¡r¡2

per una qualche costante C > 0 indipendente da n. Troviamo

quindi che la serie (1.24) converge uniformemente rispetto a t ser + 2 ¡ k > 1; in particolare si ha che la serie (1.23) μe soluzione

dell'equazione di®erenziale (1.16) se r+ 2¡ 2 > 1 (k = 2), cio¶e sela funzione Q(t) μe, almeno, di classe C2.

Possiamo riassumere questo risultato nel seguente teorema:

Teorema: Sia data la equazione (1.16) dell'oscillatore armon-ico smorzato e forzato, sia Q(t) una funzione periodica, di periodoT1, di classe C

2 e avente sviluppo di Fourier in forma esponen-ziale (1.22) dove − = 2¼=T1. Allora la serie di Fourier (1.23)converge uniformemente per ogni t 2 [0; T1] ed μe una soluzionedella equazione (1.16).

Nota. Analiziamo ora in cosa si traduce il fenomeno della

risonanza nel caso generale in cui Q(t) ammette uno sviluppo diFourier del tipo (1.22). Sotto l'ipotesi che Q 2 C2 si μe provato

che la soluzione particolare ha forma (1.23). Allora si vede subito

che, prendendo anche qui h su±cientemente piccolo, le armoniche

di indice n§ = §h!−

i, dove [¡] denota il numero intero piμu vicino,

vengono ampli¯cate, infatti per tali valori di n il denominatoreassume valore minimo, mentre le altre armoniche sono smorzate.

1.3 Analisi qualitativa del moto

1.3.1 Studio del moto alla Weierstrass

Consideriamo il caso in cui la forza F applicata al punto libero

P μe conservativa (o, almeno nel caso uni-dimensionale, sia po-sizionale); allora le equazioni (1.1) ammettono l'integrale (primo)

delle forze vive




T ¡ U = E;dove E μe l'energia totale costante. Riprendiamo la corrispondenteequazione delle forze vive (1.9)

_s2 = u(s); (1.25)

dove

u(s) =2

m[U(s) + E] e

du

ds=dU

ds= f(s) = Ft(s): (1.26)

La (1.25) μe una conseguenza necessaria della equazione fonda-

mentale (1.5) mÄs = f(s). Perciμo l'andamento del moto si puμo

desumere dalla (1.25) anzich¶e dalla originaria (1.5).

Circa l'equazione (1.25) supponiamo, per ¯ssare le idee, che la

funzione u(s), per tutti i valori di s che volta a volta considereremo,sia ¯nita e continua insieme con le sue derivate di tutti gli ordini.

Denotiamo con s0 e _s0 la ascissa curvilinea e la velocitμa scalare delpunto all'istante iniziale.

Dalla (1.25) distinguamo, in ordine alle condizioni iniziali, due

casi:

a) se _s0 = 0, ovvero _s20 = u(s0) = 0;b) se _s0 6= 0, ovvero _s20 = u(s0) > 0.

Caso di velocitμa iniziale nulla: _s0 = 0.

Consideriamo inizialmente il caso a) _s0 = 0. In questo caso il moto,al suo inizio, non μe completamente caratterizzato dall'equazione

delle forze vive (1.25) ed μe necessario fare un distinguo:

a1) s0 μe radice semplice di u(s), cio¶e

du(s0)

ds= 2

f(s0)

m6= 0:

In virtμu della legge del moto incipiente (in base alla quale, per

l'annullarsi della velocitμa iniziale, il mobile segue il verso della

forza attiva Ft =m2dudsche, per s = s0, μe non nulla) si ha che

il mobile si mette in moto e, subito dopo l'istante iniziale, ci

troviamo nella condizione b).




a2) s0 μe una radice multipla di u(s), cio¶e

du(s0)

ds= 2

f(s0)

m= 0:

In questo caso s ´ s0 soddisfa l'equazione del II± ordine (1.5)

con le condizioni iniziali s(t0) = s0 e _s(t0) = 0. Quindi il mobilerimane in equilibrio nella posizione iniziale s0.

Caso di velocitμa iniziale non nulla: _s0 6= 0.

Consideriamo ora il caso b) _s0 6= 0. In questo caso il moto, al suoinizio, μe completamente caratterizzato dall'equazione delle forze

vive (1.25) scritta nella forma

_s = §qu(s) (1.27)

Possiamo sempre assumere, senza perdere in generalitμa, che sia

_s0 > 0 (altrimenti μe su±ciente cambiare orientazione alla traietto-ria) e quindi:

_s0 = +qu(s0):

Prestabilito questo segno, resta determinato anche quello della

equazione di®erenziale del I± ordine (1.27) che caratterizza il moto¯no a tanto che la velocitμa non si annulla, cio¶e ¯no a quando s nonraggiunge una radice di u(s). Qui si presentano due sottocasi dis-tinti:

b1) a partire da s0 ¯no a +1, nel verso della velocitμa _s0, nonsi incontra mai una radice di u(s):

u(s) 6= 0; 8s > s0;b2) esiste, dalla parte indicata di _s0, una prima radice s? diu(s):

9s? > s0 : (u(s?) = 0 ^ u(s) > 0 8s 2 [s0; s?)) :Nel caso b1) l'equazione μe integrabile per separazione di vari-

abili ottenendo

dt =dsqu(s)

; da cui t(s) =Z s

s0

d»qu(»)

+ t0 (1.28)




funzione continua, monotona crescente al crescere di s e de¯nitaper ogni s > s0. Essa rappresenta il tempo che il mobile impiegaad arrivare in s > s0. Si ricava che per ogni s > s0 il mobilepassa in s in un tempo ¯nito, in questo caso si parla di motodiretto (o retrogrado se _s0 < 0) aperiodico. La funzione

inversa s(t), pur essa monotona, fornisce l'equazione oraria delmoto considerato.

Nel caso b2) si ha, come per il caso b1), la scomposizione (1.28)

che fornisce t(s) monotona crescente de¯nita per ogni s0 < s <s?. Quindi il mobile, se s? μe la prima radice di u(s) nel versoindicato da _s0, va, sempre muovendosi in un medesimo senso, dallaposizione iniziale s0 ad ogni posizione s < s

? in un tempo ¯nito:

t(s) =Z s

s0

d»qu(»)

+ t0; s0 · s < s?: (1.29)

Analizziamo il tempo impiegato per raggiungere s?. Si distinguonodue casi:

b21) s? μe radice semplice di u(s);b22) s? μe radice multipla di u(s).

Nel caso b21) avremo, per il Teorema di Lagrange, che in un

intorno (sinistro) di s? μe de¯nita una funzione »(s) 2 (s; s?) taleche

u(s) = (s? ¡ s)u0[»(s)] (1.30)

dove u0(s) < 0 per s in un intorno di s? poich¶e u(s) > 0 per ogni

s 2 (s0; s?) e s? μe radice semplice di u(s). L'integrale generalizzato

t? = t(s?) =Z s?

s0

dsqu(s)

+ t0 =Z s?

s0

dsps? ¡ s

qu0[»(s)]

+ t0

converge poich¶e u0[»(s)] 6= 0 in un intorno di s?. La funzionet(s) : [s0; s

?]! [t0; t?]

μe monotona crescente (e continua) e quindi essa μe invertibile e la

sua inversa

s(t) : [t0; t?]! [s0; s

?]




μe la legge del moto del mobile per t nell'intervallo [t0; t?]. Per t = t?

si ha che s(t?) = s? e _s(t?) =qu(s?) = 0 e quindi nell'istante t?

il mobile μe nelle condizioni di tipo a). Piμu precisamente, essendo

nelle condizioni di tipo a1) poich¶e u0(s?) < 0, allora il mobile si

mette in moto per t > t? di moto retrogrado. In conclusione:

nel caso in cui s? μe una radice semplice allora per ognis 2 (s0; s?) il mobile passa in s in un tempo ¯nito, arriva

in s? all'istante ¯nito t?; in corrispondenza ad s? il mobileha velocitμa nulla e si ha una inversione del moto.

Nel caso b22) avremo, per il Teorema di Lagrange, che in un

intorno (sinistro) di s? μe de¯nita una funzione »(s) 2 (s; s?) taleche

u(s) =1

2(s? ¡ s)2u00[»(s)]

e quindi l'integrale generalizzato

t(s?) =Z s?

s0

dsqu(s)

+ t0 =Z s?

s0

s2

u00[»(s)]ds

s? ¡ s + t0

non converge. Quindi, se s? μe radice multipla il mobile,

pur sempre con moto costantemente progressivo, si avvic-

ina inde¯nitamente a questa posizione, senza mai rag-

giungerla (moto a meta asintotica).

Caso di moto periodico

Merita particolare attenzione il caso in cui la posizione iniziale s0sia compresa fra due radici semplici s+ > s¡ consecutive di u(s):

u(s§) = 0; s0 2 (s¡; s+) e u(s) 6= 0 8s 2 (s¡; s+):In tal caso si dimostra la periodicitμa del moto e si calcola il

periodo come:

T = 2Z s+

s¡

dsqu(s)

: (1.31)

Infatti, una volta arrivato il punto in s+ in un tempo




t+ =Z s+

s0

dsqu(s)

+ t0

qui si arresta e poi si inverte il moto; quindi il mobile si rimette in

moto a partire da s+ nel verso delle ascisse decrescenti. Ripetendol'analisi appena svolta prendendo il segno negativo nella equazione

_s = §qu(s) si ottiene che il mobile arriva in s¡ all'istante

t¡ =Z s¡

s+

ds

¡qu(s)

+ t+:

In¯ne in s¡ il mobile inverte nuovamente il moto ed arriva in s0all'istante

T + t0 =Z s0

s¡

dsqu(s)

+ t¡ =Z s0

s¡

dsqu(s)

+

Z s¡

s+

ds

¡qu(s)

+ t+

=

Z s0

s¡

dsqu(s)

+

Z s¡

s+

ds

¡qu(s)

+

Z s+

s0

dsqu(s)

+ t0

da cui segue l'espressione (1.31) per T . Si osserva che in s0 per

t = t0+T il mobile ha la stessa velocitμa iniziale data da _s =qu(s0)

e quindi, per il Teorema di unicitμa della soluzione del problema di

Cauchy, il moto si riproduce con le stesse modalitμa.

1.3.2 Diagramma delle fasi

Ripartiamo dal Teorema di conservazione dell'energia meccanica,

piμu precisamente si ha che la grandezza meccanica

1

2m _s2 + V (s) = E (1.32)

si conserva durante il moto dove

E =1

2m _s20 + V (s0)

e dove

V (s) = ¡U(s) = ¡Zf (s)ds




denota l'energia potenziale. Dalla (1.32) segue immediatamente

che il moto del punto P su una curva ° prestabilita avviene neitratti di ° per i quali vale la condizione V (s) · E; cio¶e le regioni

fs 2 R : V (s) > Egsono interdette al moto del punto P dovendo essere _s2 ¸ 0. Os-

serviamo inoltre che durante il moto t ! s(t) non si puμo passaretra due regioni distinte per la proprietμa di continuitμa della legge di

moto. I valori s, per i quali V (s) = E, dividono le diverse regionie sono cruciali per la discussione sul tipo di moto.

Fig. 1.5. Il moto del punto P puμo avvenire solamente all'interno delle regioni perle quali E ¸ V (s). Nell'esempio in questione abbiamo associato ad E due motipossibili, uno dei quali μe un moto periodico tra s¡ < s+.

De¯niamo spazio delle fasi l'insieme R2 avente elementi (s; _s).Ad ogni punto (s; _s) nel piano delle fasi si associa, in modo univoco,una posizione ed una velocit¶a del punto materiale sulla traiettoria.

Possiamo quindi identi¯care il moto del punto materiale con la

traiettoria del punto (non materiale) nel piano della fasi.

Sia de¯nita ora la funzione nello spazio delle fasi

E(s; _s) = 1

2m _s2 + V (s):

Per il teorema di conservazione dell'energia meccanica ogni trai-

ettoria f(s(t); _s(t)) 2 R2; t 2 Rg nel piano delle fasi (s coincide




con il parametro lagrangiano) μe contenuta in una curva di livello

di equazione

E(s; _s) = Edove E = E(s0; _s0) si determina in base alle condizioni iniziali. Lostudio del mobile P su ° viene e®ettuato studiando l'andamentodel corrispondente punto (immaginario) sulle curve di livello nello

spazio delle fasi. Le curve di livello sono simmetriche rispetto

all'asse delle ascisse s ed μe importante individuare gli eventualipunti critici, cio¶e le coppie (s; _s) in cui non μe ben de¯nito ilvettore tangente alla curva di livello, cio¶e tali che

@E@s

= 0 e@E@ _s

= 0 )(V 0(s) = 0_s = 0

; V 0(s) =dV

ds= ¡f (s)

Si nota quindi che tutti i punti critici sono le coppie del piano

delle fasi (s; 0) dove s μe un punto di massimo, di minimo o di°esso dell'energia potenziale V ; questi punti si dicono anche puntistazionari. In corrispondenza a tali punti, poich¶e v = 0 e Ft = 0,abbiamo traiettorie stazionarie per il mobile. Notiamo che al di

fuori di questi punti non esistono traiettorie stazionarie poich¶e

v 6= 0 o Ft 6= 0 e quindi la con¯gurazione corrispondente non μe diequilibrio.

Nota.Ogni arco di curva di livello, non contenente punti critici,

μe percorso dalla evoluzione (s(t); _s(t)), t 2 R. Piμu precisamente lacurva μe percorsa da sinistra verso destra nel semipiano superiore

_s > 0, nel semipiano inferiore _s < 0 μe invece percorsa da destra

verso sinistra.

Nota. Se, inoltre, la curva μe chiusa allora il moto μe periodico

ed il periodo del moto μe

T = 2Z s+

s¡

d»q2m[E ¡ V (»)]

dove s§ sono tali che V (s§) = E (osserviamo che i punti (s§; 0)sono l'intersezione tra la curva chiusa e l'asse delle ascisse).

Nota. Se la curva di livello contiene un punto critico (¹s; 0) con¹s corrispondente ad un punto di minimo per il potenziale, allorale traiettorie possibili sulla curva di livello (almeno in un intorno

¯nito di (¹s; 0)) si riducono alla sola traiettoria stazionaria (¹s; 0).




Nota. Se la curva di livello contiene un punto critico (¹s; 0)con ¹s corrispondente ad un punto di massimo o di °esso peril potenziale, allora, essendo tale punto critico, esso stesso sarμa

una traiettoria stazionaria, ma la curva di livello consterμa di piμu

traiettorie: una traiettoria stazionaria e almeno due asintotiche,

cio¶e tali che

(s§(t); _s§(t))! (¹s; 0) per t! §1:Vediamo ora in dettaglio come si dispongono le traiettorie nel-

l'intorno di un punto critico corrispondente ad un minimo ed a un

massimo.

Caso I: ¹s μe un punto di minimo per il potenziale V

Tenendo conto che V 00(¹s) > 0 (per comoditμa facciamo questa

ipotesi), allora

E(s; _s) = 1

2m _s2 + V (¹s) +

1

2V 00(¹s)(s¡ ¹s)2 +O((s¡ ¹s)3)

¼ 1

2m _s2 + V (¹s) +

1

2V 00(¹s)(s¡ ¹s)2 (1.33)

dove O((s¡ ¹s)3) rappresenta il resto ed μe un in¯nitesimo di ordinesuperiore al secondo per s¡¹s! 0. Quindi per E = E(¹s; 0) = V (¹s)l'equazione E = E si riduce a

1

2m _s2 +

1

2V 00(¹s)(s¡ ¹s)2 ¼ 0; V 00(¹s) > 0;

quindi abbiamo f(¹s; 0)g come unica curva di livello. Mentre perE > V (¹s) la (1.33) μe, a meno di in¯nitesimi d'ordine superiore,l'equazione di un ellisse di centro (¹s; 0):

1

2m _s2 +

1

2V 00(¹s)(s¡ ¹s)2 ¼ E ¡ V (¹s) > 0:

Abbiamo quindi una traiettoria periodica corrispondente alla curva

di livello chiusa approssimata da un ellisse (Figura 1.6) e il mobile

oscilla tra i due valori s§ tali che V (s§) = E, dove V 0(s¡) < 0 e

V 0(s+) > 0, con periodo

T (E) = 2

Z s+(E)

s¡(E)

d»q2m[E ¡ V (»)]

: (1.34)




Fig. 1.6. Comportamento delle curve di livello in un intorno di un punto di minimorelativo. Per energia E1 minore del minimo relativo V (¹s) dell'energia potenzialenon sono ammessi moti (in un intorno del punto di minimo); per energia E2 coin-cidente con il minimo relativo dell'energia potenziale μe ammesso solamente il motostazionario s(t) = ¹s; per energia E3 maggiore del minimo relativo dell'energia poten-ziale si ha un moto periodico tra s¡ < s+ attorno alla con¯gurazione di equilibrio¹s.

Caso II: ¹s μe un punto di massimo per il potenziale V

Tenendo conto che V 00(¹s) < 0 (per comoditμa facciamo questa

ipotesi), allora

E(s; _s) = 1

2m _s2 + V (¹s) +

1

2V 00(¹s)(s¡ ¹s)2 +O((s¡ ¹s)3)

dove O((s¡ ¹s)3) rappresenta il resto ed μe un in¯nitesimo di ordinesuperiore al secondo per s¡ ¹s! 0. Quindi la curva di livello per

E = E(¹s; 0) = V (¹s) contiene 4 traiettorie asintotiche a (¹s; 0) oltreche a quella stazionaria f(¹s; 0)g:

E(s; _s) = E =) 0 = E2 ¡ V (¹s) ¼ 1

2m[ _s2 ¡ c2(s¡ ¹s)2];

dove

c2 =1

mjV 00(¹s)j:

Per E 6= V (¹s) (e comunque prossima su±cientemente ad V (¹s)) sitratta di rami di iperbole (a meno di in¯nitesimi di ordine superi-

ore)




1

2mh_s2 ¡ c2(s¡ ¹s)2

i= E ¡ V (¹s) 6= 0

corrispondenti a due traiettorie con inversione del moto se E <V (¹s) e a due traiettorie che superano il colle se E > V (¹s) (Figura1.7).

Nel caso di punto di massimo o di °esso ci si puμo rendere conto

della presenza di traiettorie asintotiche (s(t); _s(t)) ! (¹s; 0) pert! +1 o per t! ¡1 poich¶e l'integrale generallizato

t(¹s)¡ t(s0) = §Z ¹s

s0

d»q2m[V (¹s) ¡ V (»)]

;

che esprime il tempo impiegato dal mobile per andare da s0 a ¹s(supponendo V (¹s)¡ V (s) > 0, 8s 2 [s0; ¹s)), risulterμa non conver-gente a causa dell'ordine in¯nito dell'integrando (ad esempio: di

ordine almeno 1 per punti di massimo e 3=2 per punti di °esso).

Fig. 1.7. Comportamento delle curve di livello in un intorno di un punto di massimorelativo. Per energia E2 coincidente con il massimo relativo dell'energia potenzialesono ammessi, oltre al moto stazionario s(t) = ¹s, moti asintotici; per energie E1 eE3, rispettivamente, minori e maggiori del massimo relativo dell'energia potenzialesi hanno, rispettivamente, due traiettorie con e senza inversione del moto.




1.3.3 Analisi del moto alla Weierstrass per l'oscillatore armonico

Studiamo il moto di un punto vincolato a scorrere senza attrito su

una retta e soggetto ad una forza elastica. L'equazione del moto μe

mÄx = ¡kx, m; k > 0. Dimostriamo, attraverso la formula (1.34)

che il periodo del moto μe indipendente da E. Sia

V (x) =1

2kx2 + c

l'energia potenziale della forza attiva. L'equazione per deter-

minare i punti critici V 0(x) = 0 ha soluzione ¹x = 0. Scegliendo

la costante c tale che V (¹x) = 0 (cio¶e c = 0) abbiamo il seguente

diagramma delle fasi (Figura 1.8):

- per E = V (¹x) = 0 abbiamo un minimo e quindi l'unica traiet-

toria μe la traiettoria stazionaria f(0; 0)g;- per E < 0 tutti i valori di x sono non ammessi al moto poich¶esi avrebbe E ¡ V (x) < 0 per ogni x 2 R;

- per E > 0 il moto della particella avviene nella regione (clas-

sicamente permessa) x¡(E) · x · x+(E) dove x§(E) sonosoluzioni della equazione E = V (x§):

x§ = §q2E=k:

Le traiettorie (s(t); _s(t)) nello spazio delle fasi sono ellissi perogni valore positivo dell'energia; infatti l'equazione per le curve di

livello μe esattamente

E =1

2m _s2 +

1

2ks2;

cio¶e l'equazione di un ellisse con assi coincidenti con gli assi coor-

dinati e di lunghezzaq2E=k e

q2E=m rispettivamente. Quindi

per ogni E > 0 abbiamo un moto periodico di periodo

T (E) = 2Z x+(E)

x¡(E)

dxq2m[E ¡ V (x)]

=

s2m

E

Z +p2E=k

¡p2E=k

dxq1¡ kx2=2E

= 2

rm

k

Z +1

¡1dxp1¡ x2 = 2

rm

k[ arcsin x]+1¡1 = 2¼

rm

k:




Fig. 1.8. Comportamento delle curve di livello dell'oscillatore armonico.

1.3.4 Esercizi

1) Studiare qualitativamente il moto uni-dimensionale di equazione

mÄx = ¡kx3, m; k > 0, e dimostrare che il periodo T (E) delmoto μe tale che

limE!minV (x)+0

T (E) = +1:

2) Studiare qualitativamente il moto uni-dimensionale di equazione

mÄx = ¡®x ¡ ¯x2, per (in grandezze adimensionali) m = 1,

® = 2 e ¯ = 3g, g > 0. Piμu precisamente, disegnare il di-

agramma delle fasi e, per i diversi possibili livelli di energia,

discutere quali sono i moti possibili.

3) Calcolare il periodo del moto di un punto soggetto alla forza

peso e vincolato a scorrere, senza attrito, su un arco di cicloide.

Dimostrare il perfetto isocronismo.

4) Discutere il problema dei due corpi introducendo il potenziale

e±cace e impostando la discussione del moto alla Weierstrass.

5) Sia dato un corpo puntiforme P di massa m vincolato a scor-

rere senza attrito lungo una circonferenza di centro O e raggio

` posta in un piano verticale che ruota attorno all'asse verticale(O; z) con velocitμa angolare ! = _μk con μ = μ(t) nota. Sia

(O1; x1; y1; z1) il sistema di riferimento relativo con O ´ O1,l'asse (O1; z1) coincidente con l'asse di rotazione e con il piano




(O1; x1; z1) contenente la circonferenza; il sistema μe ad un gradodi libertμa ed assumiamo come parametro lagrangiano l'angolo

formato dal segmento P ¡ O ed il semi-asse verticale discen-

dente. Si domanda:

i) calcolare il potenziale e l'energia cinetica rispetto all'osser-vatore relativo;

ii) calcolare le con¯gurazioni di equilibrio relativo e studiarnela stabilitμa;

iii)disegnare il diagramma delle biforcazioni per le con¯gu-razioni di equilibrio relativo in funzione del parametro posi-

tivo adimensionale ° = g!2`;

iv)assegnando, ad esempio, ° = 2:3 disegnare il diagrammadelle fasi e per i diversi possibili livelli di energia, discutere

quali sono i moti possibili.

1.4 Pendolo semplice

1.4.1 Equazione di®erenziale del moto

Trascurando il peso dell'asta possiamo assimilare il pendolo sem-

plice ad un punto pesante vincolato a restare su una circonferenza

(Figura 1.9) non orizzontale. Sia ® l'angolo formato tra il pianocontenente la circonferenza ed il piano orizzontale e si ¯ssi sul pi-

ano inclinato un sistema di riferimento (O; x; y) dove O coincide

con il centro della circonferenza, l'asse x μe diretto normale allaverticale e l'asse y ha la direzione della massima pendenza.Il sistema μe a un grado di libertμa e possiamo assumere come

parametro lagrangiano l'angolo μ che l'asta forma con il semiassedelle y negative, orientato verso il basso. L'equazione del moto

diventa, essendo s = `μ e Ft = ¡mg sin® sin μ,

Äμ = ¡g sin®`

sin μ (1.35)

dove ` μe la lunghezza dell'asta. Questa μe una equazione di®eren-ziale del II ordine (non lineare) e non μe possibile ottenere in modo

semplice una sua soluzione. Si puμo procedere studiando il moto

delle piccole oscillazioni linearizzando l'equazione (1.35) op-

pure e®ettuando l'analisi del moto alla Weierstrass.



1.4 Pendolo semplice 29

Fig. 1.9. Il pendolo semplice.

1.4.2 Piccole oscillazioni del pendolo semplice

Considerando il moto del pendolo semplice in un intorno della con-

¯gurazione μ = 0 possiamo, in prima approssimazione, assumere

sin μ ¼ μ. Con questa approssimazione (linearizzazione attorno aduna con¯gurazione di equilibrio stabile) l'equazione (1.35) prende

la forma lineare

Äμ = ¡g sin®`

μ (1.36)

che ammette soluzione geneale μ(t) = A cos(!t + ') dove ! =qg sin®`

e dove A e ' dpendono dalle condizioni iniziali. Nel limte dipiccole oscillazioni si ottiene quindi un moto periodico con periodo

T = 2¼=! indipendente dall'ampiezza delle oscillazioni (isocro-nismo approssimato del pendolo semplice).

1.4.3 Analisi del moto alla Weierstrass per il pendolo semplice

L'integrale delle forze vive assume la forma T + V = E dove T =12m`2 _μ2 e V (μ) = ¡mg` sin® cos μ + c, scegliamo c = mg` sin® inmodo che sia V (0) = 0. Da ciμo segue che:

1

2m`2 _μ2 ¡mg` sin®(cos μ ¡ 1) = E




ovvero

_μ2 =2g sin®

`(cos μ + e); (1.37)

dove la costante e = E=(mg` sin®)¡ 1 viene determinata in basealle condizioni iniziali. In base ai valori di e abbiamo i diversi motipossibili (Figura 1.10).

Fig. 1.10. Diagramma delle fasi per il pendolo semplice.

Moti rotatori o rivolutivi

Per E > 2mg` sin®, ovvero e > 1, sarμa sempre _μ 6= 0. Quindi

il punto passa in¯nite volte per ciascun punto della circonferenza

con velocitμa angolare mai nulla. Si tratta di unmoto rivolutivo.

Essendo la posizione del pendolo de¯nita da μ modulo 2¼, risultaperμo essere un moto periodico.

Stati di equilibrio

Per E = 2mg` sin® (rispettivamente E = 0), ovvero e = 1 (risp.

e = ¡1) il secondo membro della (1.37) ammette l'unica radicedoppia μ = 0 (per e = ¡1) o μ = ¼ (per e = +1). Quindi il

punto P , abbandonato senza velocitμa iniziale ( _μ0 = 0) sia nella



1.4 Pendolo semplice 31

posizione piμu bassa sia nella posizione diametralmente opposta vi

permane inde¯nitamente. Si noti che il valore e = ¡1 μe compat-ibile soltanto con l'equilibrio (stabile) nella posizione piμu bassa.

Invece per e = +1 il moto puμo avvenire a partire dalla posizione

iniziale P0, sempre nello stesso senso della velocitμa iniziale, versoil punto corrispondente a μ = ¼, meta asintotica cui il mobiletende al crescere inde¯nito del tempo.

Moti oscillatori

Passiamo ad esaminare il caso in cui si ha 0 < E < 2mg` sin®,ovvero ¡1 < e < 1. L'espressione a destra della (1.37) ammette

le due radici semplici μ+ = arccos(¡e) e μ¡ = ¡μ+. Perciμo il

pendolo oscilla periodicamente fra le posizioni estreme P0 e P00 di

anomalia, rispettivamente, μ+ e ¡μ+ con periodo dato da

T = 2

s2`

g sin®

Z μ+

0

dμpcos μ ¡ cos μ+ :

Per calcolare il periodo T si sostituisce sin(μ=2) = u sin(μ+=2) eponendo k = sin(μ+=2) < 1 si avrμa

T = 4

s`

g sin®

Z 1

0

duq(1¡ u2)(1¡ k2u2)

si riduce quindi ad un integrale ellittico di prima specie che

si risolve sviluppando in serie di Taylor il termine (1¡ k2u2)¡1=2essendo k2u2 < 1 su tutto l'intervallo di integrazione. Piμu precisa-mente si osservi che

(1¡ k2u2)¡1=2 =1Xn=0

cn(ku)2n

dove

c0 = 1; cn =1 ¢ 3 ¢ 5 ¢ ¢ ¢ (2n¡ 1)2 ¢ 4 ¢ 6 ¢ ¢ ¢ 2n : (1.38)

Sostituendo questa espressione all'interno dell'integrale e inte-

grando per serie si ottiene:




T = 4

s`

g sin®

1Xn=0

cnk2nZ 1

0

u2nduq(1¡ u2)

= 2¼

s`

g sin®

1Xn=0

c2nk2n = 2¼

s`

g sin®

1Xn=0

c2n sin2n μ02

essendo Z 1

0

u2nduq(1¡ u2)

= cn¼

2: (1.39)

Se l'anomalia μ+ μe piuttosto piccola allora possiamo ottenerecon buona approssimazione

T = 2¼

s`

g sin®

Ã1 +

1

4sin2

μ+2+O(μ4+)

!:

Cio¶e il termine principale dello sviluppo asintotico μe dato dal pe-

riodo dell'oscillatore armonico ottenuto linearizzando la (1.35) at-

torno alla con¯gurazione di equilibrio stabile μ = 0. Da questo

risultato appare chiaro che, in generale, il periodo del pendolo sem-

plice dipende dall'ampiezza delle oscillazioni; solamente nel lim-

ite di piccole oscillazioni possiamo sostenere la legge (approssi-

mata) dell'isocronismo del pendolo semplice: il periodo di

oscillazione μe indipendente dall'ampiezza di oscillazione.

1.4.4 Esercizi

1) Dimostrare le formule (1.38) e (1.39).

1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale

1.5.1 Integrali primi del moto

Designamo con integrale primo ogni equazione della forma

g(x; y; z; _x; _y; _z; t) = costante arbitraria (1.40)

la quale sia conseguenza necessaria della (1.1), cio¶e risulti iden-

ticamente veri¯cata (per un opportuno valore della costante) da

ogni terna di funzioni x(t); y(t); z(t) soddisfacenti alle (1.1).



1.5 Moto di un punto soggetto ad una forza centrale 33

Esempi di integrali primi.

a) Consideriamo il caso di una forza, applicata ad un punto materi-

ale P libero, costantemente perpendicolare ad una retta

¯ssa. Assumendo l'asse z quale retta si ha Fz = 0, da ciμo

mÄz = 0 e quindi m _z = c1 detto integrale della quantitμa dimoto rispetto all'asse z.

b) Consideriamo il caso di una forza, applicata ad un punto mate-

riale P libero, costantemente incidente ad una retta ¯ssa.Quindi il vettore F, pensato applicato nel punto, ha momento

nullo rispetto alla retta ¯ssa. In particolare, assumendo z qualeretta (avente direzione individuata dal versore k), si avrμa

ma£ (O¡ P ) ¢ k = m(xÄy ¡ yÄx) = 0; (1.41)

da cui

m(x _y ¡ y _x) = cost:Questo integrale primo prende il nome di integrale delle aree

o del momento della quantitμa di moto. In particolare se la

forza F μe centrale di centro O (una forza centrale μe una forza

sempre diretta verso un punto ¯sso detto centro), sarμa

v£ (O ¡ P ) = c = cost: (1.42)

c) Consideriamo il caso in cui la forza F applicata al punto libero

P μe conservativa; allora le equazioni (1.1) ammettono l'inte-grale (primo) delle forze vive

T ¡ U = E;

dove E μe l'energia totale costante.

1.5.2 Forza centrale

Consideriamo il moto di un punto P , libero di muoversi nellospazio tridimensionale R3, soggetto unicamente ad una forza cen-trale (P;F). Ricordiamo che una forza (P;F) si dice centrale seil vettore F della forza μe sempre diretto verso un punto ¯sso,

detto centro della forza, e se inoltre l'intensitμa della forza dipende

solo dalla distanza del punto P dal centro. Quindi, denotando con




O il centro della forza, segue che ogni forza centrale si puμo scriverecome

F = f (r)(P ¡O)jP ¡Oj ; r = jP ¡Oj (1.43)

dove f : R+ ! R μe una funzione assegnata.Nel caso di un punto libero P soggetto ad una forza centrale, di

centro O, sussiste l'integrale primo vettoriale (1.42). Quindi ilmoto avviene in un certo piano passante per il centro O della forzae ortogonale al vettore c de¯nito nella (1.42), identi¯cato mediante

le condizioni iniziali v0 e P0 (μe possibile il caso particolare in cuiv0 μe parallelo a P0 ¡ O, in tale caso c = 0 ed il moto avviene su

una retta). Scegliendo il sistema di riferimento con centro in O in

modo opportuno identi¯chiamo tale piano con il piano z = 0 e la(1.42) si riduce alla

x _y ¡ y _x = c e z ´ 0 (1.44)

fornendo una e®ettiva relazione fra le due coordinate incognite di

P e le loro derivate.

Inoltre ogni forza centrale (1.43) μe conservativa de¯nendo, a

meno di una costante additiva, il potenziale U (r) =R rr0f (r0)dr0 e

da ciμo segue l'integrale primo delle forze vive

1

2mv2 ¡ U(r) = E: (1.45)

Come vedremo in seguito dalle (1.44) e (1.45) segue l'integra-

bilitμa per quadrature del problema (ridotto al piano xy).Nota. Osserviamo che μe stato possibile derivare le (1.44) e

(1.45) dalle leggi di Newton; viceversa, escludendo il caso di trai-

ettorie circolari, dalle (1.44) e (1.45) seguono le equazioni di®eren-

ziali del moto. Infatti dall'integrale primo delle aree derivato si

ottiene che deve essere

xÄy ¡ Äxy = 0mentre dall'integrale primo dell'energia meccanica derivato si ot-

tiene che deve essere

_xÄx+ _yÄy = u(x; y; _x; _y)




per una qualche funzione u. Queste due equazioni si possono risol-vere rispetto a Äx e Äy (cosμ³ da pervenire alle equazioni newtonianedel moto), purch¶e non sia identicamente nullo il determinante dei

coe±cienti di Äx e Äy nelle due equazioni. Questo determinante μedato da

¡x _x¡ y _y = ¡12

dr2

dt

che risulta diverso da zero ad esclusione del caso r = cost: checorrisponde appunto alle eventuali traiettorie circolari. Da ciμo si

desume che, quando di un punto soggetto ad una forza centrale si

vogliono studiare le eventuali orbite circolari, non basta tener

conto degli integrali primi delle aree e della energia cinetica, ma

bisogna riprendere le originarie equazioni del moto.

Nota. Disponendo della costante additiva possiamo, se U(r)tende ad un limite ¯nito per r ! 1, assumere tale valore 0. Sel'energia totale μe negativa, allora dalla (1.45), sarμa U(r) ¸ ¡E > 0durante il moto; quindi U non si annulla mai ed r deve ammettereun limite superiore ¯nito. Cio¶e: se il potenziale U(r) di unaforza centrale si mantiene regolare all'in¯nito (annullan-

dosi all'in¯nito) e l'energia totale del mobile μe negativa,

l'orbita si svolge tutta a distanza ¯nita.

1.5.3 Integrazione delle equazioni del moto

Passiamo ora alla integrazione del sistema (1.44), (1.45) riferendolo

a coordinate polari r e μ, aventi il polo in O e l'asse polare secondol'asse orientato delle x. Queste diventano:(

r2 _μ = c12m( _r2 + r2 _μ2) = U (r) + E

: (1.46)

Si distinguono due casi:

a) c = 0;b) c 6= 0.Il caso a) corrispondente a c = 0 (costante delle aree nulla) darμa

luogo a due possibilitμa:

a1) r ´ 0 stato di quiete nel punto O;




a2) _μ ´ 0 moto rettilineo (lungo la retta avente inclinazione

μ0 = μ(0)) e la determinazione di r(t) si ridurrμa allo studiodell'equazione uni-dimensionale delle forze vive, che assume la

forma

_r2 =2

m[U(r) + E] :

Nel caso b) corrispondente a c 6= 0 si ha che _μ mantiene semprelo stesso segno, che potremo supporre (senza perdere in generalitμa)

positivo; quindi μ(t) cresce con t. Da ciμo potremo procurarci l'e-quazione di®erenziale della traiettoria eliminando dalle (1.46)

il tempo e assumendo come variabile indipendente, in lu-

ogo di t, l'anomalia μ, il che μe lecito, in quanto μ μe funzionemonotona (crescente) di t. Integrando poi l'equazione di®eren-ziale cosμ³ ottenuta, si determina la traiettoria r = r(μ), allora lalegge temporale del moto verrμa in¯ne completamente determinata

risolvendo l'equazione di®erenziale del primo ordine _μ = cr¡2 dover = r(μ).Per dedurre dalle (1.46) l'equazione di®erenziale che caratter-

izza l'incognita r = r(μ) dell'orbita si elimina _μ per mezzo dell'e-quazione delle aree, dove

_r = _μdr

dμ= ¡ _μr2d(1=r)

dμ= ¡cd(1=r)

dμ;

ottenendo l'equazione di®erenziale del I± ordine

mc2

2

24Ãd 1rdμ

!2+1

r2

35 = U (r) + E: (1.47)

Eseguendo il cambiamento di variabile u = r¡1 e ponendo

©(u) =2

mc2

·Uμ1

u

¶+ E

¸¡ u2; (1.48)

la (1.47) assume la formaÃdu

dμ

!2= ©(u): (1.49)

Essa μe quindi integrabile con una sola quadratura. Pertanto il

problema del moto di un punto libero, sollecitato da una

forza centrale, μe sempre integrabile con due quadrature.




In particolare, nel caso piμu interessante in cui il valore iniziale

u0 = r¡10 , r0 = r(0), sia compreso (estremi inclusi) fra due radicisemplici u1 < u2 della ©(u), fra le quali ©(u) si mantenga regolaree positiva, la funzione u(μ), al crescere di μ, andrμa inde¯nitamenteoscillando, in modo periodico, fra i valori estremi u1; u2 e ad ognipassaggio μ si accrescerμa di

£ =Z u2

u1

duq©(u)

: (1.50)

L'orbita si svolge quindi tutta nella corona circolare, compresa

fra le due circonferenze concentriche in O, di raggi r2 = 1=u2 er1 = 1=u1 e tocca, alternativamente, l'una o l'altra. Questi puntidi contatto si dicono apsidi e l'angolo £ che li separa si dice

angolo apsidale. Quando £ μe commensurabile con 2¼, l'orbita μechiusa (Figura 1.11 a sinistra), mentre, nel caso opposto, si avvolge

in¯nite volte intorno al centro riempiendo densamente la corona

circolare (Figura 1.11 a destra).

Fig. 1.11. Nel caso in cui l'angolo apsidale μe commensurabile con 2¼ allora l'or-bita μe chiusa (gra¯co a sinistra). Nel caso opposto, in cui l'angolo absidale μe noncommensurabile con 2¼, allora l'orbita riempie densamente una regione dello spazio(gra¯co a destra); cio¶e ogni introno di ogni punto della corona circolare viene, primao poi, visitato dalla traiettoria.

Nel caso particolare, in cui il valore iniziale u0 di u sia radicemultipla della ©(u), la u conserva, comunque varii μ, il valore u0 esi ha il caso semplice di un'orbita circolare di raggio r0 = 1=u0,la quale, in virtμu della legge delle aree, risulta percorsa con velocitμa

angolare costante c=r20, e quindi di moto circolare uniforme.




1.5.4 Stabilitμa delle orbite circolari

Scrivendo che l'accelerazione (radiale) per un moto centrale deve

essere uguale alla analoga corrispondente della forza, cio¶e a f(r),e applicando la formula del Binet otteniamo l'equazione del II±

ordine

¡mc2

r2

Ãd2 1

r

dμ2+1

r

!= f(r): (1.51)

La (1.51), mediante il cambio di variabili u = 1=r, diventa

d2u

dμ2= ª(u); dove ª(u) = ¡ 1

mu2c2fμ1

u

¶¡ u (1.52)

Perch¶e esista un'orbita circolare soddisfacente a questa equazione,

la quale sia un cerchio di raggio r0, occorre e basta che la (1.52)sia soddisfatta dalla soluzione costante u0 = r¡10 , cio¶e si abbiaª(u0) = 0. Ammessa l'esistenza di una tal radice u0 di ª(u) alloraquesta orbita sarμa stabile se ª 0(u0) < 0 e instabile se ª 0(u0) ¸ 0.Infatti, consideriamo una orbita prossima all'orbita circolare:

u(μ) = u0 + ²(μ); (1.53)

con ²(μ) funzione incognita che possiamo assumere in¯nitesima.Essendo

ª(u) = ª(u0) + ²ª0(u0) +O(²2) = ²ª 0(u0) +O(²2)

allora l'equazione linearizzata a partire dalla (1.52) ha forma

d2²

dμ2= ²ª 0(u0)

che ha soluzione del tipo ² = p cos(!μ + q) dove abbiamo posto!2 = ¡ª 0(u0) assumendo ª 0(u0) < 0. Osserviamo in¯ne che in

tale caso l'orbita (1.53) ha una angolo absidale dato da

£ =¼

!=

¼q¡ª 0(u0)

: (1.54)




Esempio

Se f (r) = kr¡º , k < 0, allora le orbite circolari sono stabili se, e

solo se, º < 3. La veri¯ca μe immediata: la funzione ª(u) prendela forma ª(u) = k0uº¡2 ¡ u dove k0 μe una costante positiva. L'e-quazione ª (u) = 0 ha almeno una soluzione per º 6= 3, infatti:a) se º > 3 allora limu!0+ ª(u) = 0¡ e limu!+1 ª(u) = +1;b) se º < 3 allora limu!0+ ª(u) = 0+ e limu!+1 ª(u) = ¡1.Abbiamo poi che ª 0(u) = k0(º ¡ 2)uº¡3 ¡ 1 e quindi ª 0(u0) =

º ¡ 3 da cui segue la tesi.

1.5.5 Appendice: composizione di moti periodici

Consideriamo nel piano (O; x; y) la composizione di due moti pe-riodici di periodo T1 e T2. Possiamo ricondurci, senza perdere

in generalitμa, al caso del moto di un punto P nel piano (O; x; y)avente leggi di moto:

x(t) = cos(!1t); y(t) = cos(!2t)

dove abbiamo posto !j =2¼Tj. Vale il seguente risultato:

Teorema. Il moto del punto P μe:

i) periodico se, e solo se, T1 e T2 sono commensurabili, cio¶e es-istono m; n 2 N primi tra loro tali che T1

T2= m

n; il periodo T

del moto vale

T = nT1 = mT2;

ii) aperiodico se, e solo se, T1 e T2 sono incommensurabili e, intal caso, la traiettoria di P ricopre densamente il quadrato Q =[¡1;+1]£ [¡1;+1]; cio¶e per ogni P0 = (x0; y0) 2 Q e per ogni² > 0 esiste t 2 R+ tale che jP (t)¡ P0j · ².Dimostrazione: Dimostriamo la prima parte dove, inizialmente,

supponiamo P (t) periodico di periodo T . Dovrμa essere




x(t+ T ) = cos(!1t+ !1T ) = cos(!1t) = x(t)

e

y(t+ T ) = cos(!2t+ !2T ) = cos(!2t) = y(t)

per ogni t. Pertanto deve essere !1T = 2n¼ e !2T = 2m¼ per unqualche n; m 2 N. Vale immeditamente anche il viceversa. Daciμo segue la prima proposizione. Per ciμo che riguarda la seconda

proposizione da quanto detto prima segue che il moto μe aperiodico

se, e solo se, T1 e T2 sono incommensurabili. Per dimostrare chela traiettoria di P riempe densamente il quadrato Q consideriamo

le funzioni

μ(t) = !1t e Á(t) = !2t

de¯nite modulo 2¼, ovvero sul toro bidimensionale. Fissato P0 inQ esso corrisponde a due angoli μ0 e Á0 andiamo ora a determinarein quale istante t il punto P , individuato dalle due funzioni μ(t) eÁ(t), ha μ(t) coincidente con il valore iniziale μ0. Se in tale istanteanche Á(t) coincide con Á0 allora P (t) coincide con P0. Se invece Áμe diversa da Á0 ma su±cientemente vicino allora P (t) μe prossimoa P0. L'equazione

μ(t) = μ0(mod2¼)

ha in¯nite soluzioni

tn =μ0!1+ nT1 =

1

!1(μ0 + 2n¼):

Consideriamo ora la dinamica discreta sul toro unidimensionale

(che, ricordiamo, μe un insieme compatto) rappresentata dalla suc-

cessione di punti

Án = Á(tn)(mod2¼) =·!2!1

μ0 + 2n¼!2!1

¸(mod2¼):

Questi punti sono tutti distinti tra loro poich¶e le due frequenze

sono incommensurabili. Poich¶e il toro unidimensionale T 1 μe uninsieme compatto, esisterμa almeno un punto di accumulazione ¹Áper tale successione e quindi possiamo estrarre da Án una sotto-successione di Cauchy . Quindi, per ogni ² > 0 esistono n1 e n2(n2 > n1) tali che




0 < jÁn2¡n1j = jÁn2 ¡ Án1 j = d · ²:Cio¶e il punto Án2¡n1 sul toro uni-dimensionale ha distanza minoredi ² dall'origine del toro (posta in corrispondenza di Á = 0). Abbi-amo cio¶e e®ettuato una rotazione sul toro T 1 di apertura angolare

d < ². Ripetendo questa rotazione ¹n =hÁ0d

ivolte allora il punto

Á¹n(n2¡n1) disterμa da Á0 a meno di d < ² e da ciμo la tesi.

1.5.6 Esempio di forza centrale attrattiva direttamente

proporzionale alla distanza

In questo caso f (r) = ¡kr dove k > 0 μe una costante positiva

assegnata. L'orbita μe un ellisse avente il centro coincidente con il

centro O di forza (o, caso degenere, il moto avviene su due rette

passanti per l'origine). La veri¯ca μe immediata. Basta risolvere

il sistema di equazioni di®erenziali

Äx = ¡!2x; Äy = ¡!2y; !2 =k

m;

che ammette soluzione generale

x(t) = A cos(!t+ ®) e y(t) = B cos(!t+ ¯)

dove A, B, ® e ¯ sono costanti da determinarsi a partire dallecondizioni iniziali.

In questo caso si osserva anche che l'angolo apsidale vale

£ =Z u2

u1

uduq2Emc2u2 ¡ k2

mc2¡ u4

=1

2

Z ½2

½1

d½q2Emc2½¡ k2

mc2¡ ½2

=1

2

Z ½2

½1

d½q¡(½¡ ½1)(½¡ ½2)

dove ½1;2 sono le radici del radicando date da

½1;2 =mc2

2k2

24 2Emc2

§s4E2

m2c4¡ 4k2

mc2

35 :Facendo il cambio di variabili z = 1 + 2 ½¡½2

½2¡½1 si ottiene

£ =1

2

Z 1

¡1d½p1¡ z2 =

1

2[arcsin(z)]+1¡1 =

¼

2:




Quindi l'angolo apsidale μe commensurabile con 2¼ ed il moto μe pe-riodico. Questo risultato era evidente sapendo che il moto avviene

su ellissi e sull'ellisse si passa dal punto corrispondente al semi-asse

maggiore a quello corrispondente sul semi-asse minore dopo un in-

cremento di ¼=2 dell'anomalia (Figura 1.12).

Fig. 1.12. Nel caso forza centrale attrattiva direttamente proporzionale alla dis-tanza allora l'orbita μe sempre un ellisse (tranne il caso degenere in cui si riduce adun segmento rettilineo) e l'angolo absidale vale sempre 1

2¼.

1.5.7 Analisi del moto alla Weierstrass per il problema di Keplero

In questo caso la forza ha intensitμa che dipende inversamente dal

quadrato della distanza del punto P dal centro: f(r) = ¡ kr2dove

k > 0 μe una opportuna costante positiva.

Potenziale e±cace

La legge di conservazione dell'energia meccanica puμo essere riscritta

come

_r2 =2

m[E ¡ Veff (r)] dove Veff (r) =

mc2

2r2¡ mk

r

prende il nome di potenziale e±cace. Si veri¯ca immediata-

mente che il potenziale e±cace μe tale che




limr!0+

Veff (r) = +1; limr!+1 Veff (r) = 0

¡

ed ha minimo in rmin = c2=k di valore V (rmin) = ¡m2k2

2c2. Dal

gra¯co del potenziale e±cace (Figura 1.13) appare che quando

E < 0 il moto del punto avviene con r(t) che oscilla periodicamentetra due valori r¡ < r+ ¯niti e non nulli (detti rispettivamente

perelio e afelio) tali che Veff (r§) = E.

0

V(r)

E

0 rrr r- +

Fig. 1.13. Gra¯co del potenziale e±cace Veff . Nel caso in cui l'energia E μe negativaallora il moto avviene all'interno della corona circolare di raggio r§.

Orbite circolari

Il caso in cui una orbita μe circolare (r = cost:) si esaurisce conconsiderazioni dirette ed elementari. In tal caso la legge delle aree

implica la costanza della velocitμa orbitale ( _μ = costante),cosicch¶e si tratta di un moto uniforme. In particolare si

hanno orbite circolari per E corrispondente al minimo del poten-

ziale e±cace: E = V (rmin) = ¡m2k2

2c2.

Orbite degeneri

Consideriamo come caso particolare quello in cui si annulla la

costante c delle aree: c = 0. Escluso il caso r ´ 0 si ha _μ = 0




e quindi il moto ha luogo lungo una retta passante per il centro

di forza S. La legge temporale, secondo cui varia r su tale retta μede¯nita dall'integrale delle forze vive, che qui si riduce a:

1

2m _r2 =

mk

r+ E: (1.55)

Distinguiamo due casi:

a) E < 0, il moto si svolge tutto a distanza ¯nita r · ¡k=Emcadendo, con al piμu una inversione del moto, nel centro di forza

S.b) E ¸ 0, in questa ipotesi il secondo membro della (1.55), per

r > 0, non si annulla mai e si mantiene sempre positivo, quindiil moto non puμo presentare inversioni di senso. Se la velocitμa in-

iziale μe diretta verso il centro ( _r0 < 0) il mobile, dopo un tempo¯nito, andrμa a cadere nel centro di forza con la sua velocitμa in-

tensiva cresce oltre ogni limite (come nel caso a)). Se invece

_r0 > 0 il mobile, sulla sua traiettoria rettilinea, si allontana

inde¯nitamente dal centro.

Orbite generali

Supponiamo ora c 6= 0 e ricaviamo dalla seconda delle (??) (in-

tegrale delle aree) che la μ μe funzione monotona, e quindi uni-vocamente invertibile, del tempo, e quindi si puμo assumere come

variabile indipendente. Si perviene cosμ³ all'equazione di®erenzialeÃd1r

dμ

!2=2E

mc2+2k

c21

r¡ 1

r2; (1.56)

che caratterizza l'equazione polare r = r(μ) dell'equazione generaledel moto essendo

_r =dr

dμ_μ =

dr

dμ

c

r2= ¡cd1=r

dμ:

Qui μe particolarmente comodo porre u = 1r¡ k

c2(anzich¶e r = 1=u

come nella teoria generale), con che la (1.56) assume la formaÃdu

dμ

!2=2E

mc2+k2

c4¡ u2; (1.57)




ma la costante 2Emc2

+ k2

c4, per la (1.57) stessa, μe somma di due

quadrati e quindi risulta necessariamente positiva, salvo quando

si annulla identicamente la u, il che si ha solamente nel caso diorbite circolari (caso giμa discusso).

Ponendo q2 = 2Emc2

+ k2

c4, con q > 0, si ottiene l'equazione dif-

ferenziale dell'orbita sotto la forma de¯nitivaÃdu

dμ

!2= q2 ¡ u2:

Il suo integrale generale, come si veri¯ca immediatamente per sep-

arazione di variabili, μe dato da u = q cos(μ ¡ μ0) dove μ0 μe lacostante di integrazione; quindi, sostituendo a u la sua espressioneotteniamo per l'orbita l'equazione polare

1

r=k

c2+ q cos(μ ¡ μ0) ossia r =

c2

k

1 + c2qkcos(μ ¡ μ0)

:(1.58)

Si osservi che ora μe possibile determinare con una quadratura la

legge oraria μ(t) soluzione della equazione di ®erenziale del primoordine

_μ =c

r2=c

p2(1 + e cos μ)2:

L'equazione (1.58) μe l'equazione polare di una conica

avente un fuoco nel centro di forza, l'asse inclinato di μ0sull'asse polare, il parametro p = c2

ke l'eccentricitμa

e =c2q

k=

s1 +

2Ec2

mk2: (1.59)

Pertanto: nel moto di un punto soggetto ad una forza cen-

trale, inversamente proporzionale al quadrato della dis-

tanza, (esclusi i casi di moto rettilineo caratterizzati dall'an-

nullarsi della costante delle aree), l'orbita μe sempre una conica;

e fra le costanti meccaniche di integrazione E e c (energiatotale e doppio della velocitμa areolare) e gli elementi geometrici

caratteristici dell'orbita e e p (eccentricitμa e parametro) inter-cedono le relazioni sopra descritte. Per dimostrare che μe una

conica passiamo dalle coordinate polari a quelle cartesiane. Dalla




relazione (possiamo assumere μ0 = 0 con una opportuna scelta

degli assi coordinati)(x = r cos μy = r sin μ

; r =p

1 + e cos μ

si ottiene

cos μ =x

p¡ ex; sin μ =y

p¡ exe quindi, usando la relazione cos2 μ + sin2 μ = 1, si ottiene

y2 + (1¡ e2)x2 + 2pex = p2

che risulta essere l'equazione di una conica dipendente dal parametro

e. Se ci restringiamo al caso e < 1 allora μe un ellisse che puμo esserescritto nella forma

y2 + (1¡ e2)μx+

pe

1¡ e2¶2=

p2

1¡ e2ovvero

(x¡ x0)2a2

+y2

b2= 1; x0 = ¡ pe

1¡ e2 (1.60)

con

a2 =p2

(1¡ e2)2 ; b2 =p2

(1¡ e2)La (1.59) mette in luce il risultato fondamentale che la specie

della conica descritta dal mobile dipende esclusivamente dal segno

della energia totale E. In particolare, essendo c 6= 0, risulta, per la(1.59), e < 1 o e = 1 o e > 1 secondo che E < 0 o E = 0 o E > 0.In altre parole l'orbita μe ellittica, parabolica o iperbolica

secondo che l'energia totale μe negativa, nulla o positiva.

Si noti che questo criterio risulta applicabile anche nel caso c = 0inteso come criterio limite c! 0.

Noi siamo arrivati alla determinazione della traiettoria (1.58) ri-

solvendo una equazione di®erenziale del primo ordine data dall'in-

tegrale primo dell'energia (facendo anche uso dell'integrale primo

delle aree); μe possibile determinare la traiettoria risolvendo una

equazione di®erenziale del secondo ordine che deriva dalla equazione

di Newton dove facciamo uso delle formule di Binet.




Caso Kepleriano

Fissiamoci sul moto ellittico proprio, caratterizzato da E < 0 e

c 6= 0 per cui e < 1. μE facile riconoscere che, in questo caso, il motodel punto attratto dal centro P0 μe un moto Kepleriano, cio¶e unmoto soddisfacente alle prime due leggi di Keplero. Infatti: il moto

μe centrale rispetto ad 0, essendo tale la forza; l'orbita μe un ellisse

avente un fuoco in 0; ed in¯ne sussiste la legge delle aree. Che la

conica sia un ellisse segue dalle (1.60) che danno 0 < b < a. Perveri¯care che P0 sia in uno dei fuochi ricordiamo che per un ellissedi equazione (1.60) allora i fuochi sono posti in (x0 §

pa2 ¡ b2; 0)

e nel nostro caso si ha x0 +pa2 ¡ b2 = ¡ pe

1¡e2 +pe1¡e2 = 0 e quindi

0 coincide con uno dei due fuochi.

In¯ne, si tratta di un moto periodico di periodo T , dove

T = 2¼qa3

k: Infatti, il periodo, per la legge di conservazione

del momento angolare di modulo K = mc (ovvero per la costanzadella velocitμa areolare), si ha che 2mA = TK dove A = ¼ab μel'area dell'ellisse e dove μe noto che

a =p

1¡ e2 e b =pp1¡ e2 =

ppa = c

ra

k

e quindi

T =2m¼ab

K=2m¼ca3=2

k1=2K= 2¼

a3=2

k1=2:

1.5.8 Orbite chiuse e condizione sul potenziale

Da quanto mostrato segue che anche nel caso di potenziale New-

toniano tutte le orbite (limitate) sono chiuse. Questa proprietμa

osservata per il potenziale elastico e per il potenziale Newtoniano

non μe veri¯ca da altri tipi di forze centrali. Piμu precisamente μe

possibile dimostrare che:

Teorema. In un campo centrale tutte le orbite limitate sonochiuse se, e solo se, l'energia potenziale V (r) ha una delle seguentiforme

V (r) = kr2 o V (r) = ¡kr

con k costante positiva.




1.6 Moto di un punto su una super¯cie prestabilita

1.6.1 Considerazioni preliminari.

Consideriamo il moto di un punto materiale P che, sotto la sol-

lecitazione di forze attive di risultante F, sia costretto a muoversi

su di una super¯cie ¾ priva di attrito avente equazione

f (x; y; z; t) = 0: (1.61)

L'equazione del moto μe data da

ma = F +© (1.62)

dove © μe la reazione vincolare esercitata dalla super¯cie al punto.

Si osserva che se la super¯cie μe ¯ssa e priva di attrito

allora vale il teorema delle forze vive: dT = dL dove dL μe il lavoroin¯nitesimo compiuto dalle sole forze attive (in caso di attrito si

dovrebbe tenere conto anche del lavoro in¯nitesimo compiuto dalle

reazioni vincolari). Inoltre, se la forza sollecitante μe conservativa

ed U μe il suo potenziale, segue che dT = dU e, per integrazione:

1

2mv2 ¡ U = E;

cio¶e l'energia totale del mobile rimane costante durante il

moto, ovvero essa μe un integrale primo del moto. In particolare,

denotando con v0 e U0 i valori delle velocitμa e del potenziale inuna generica posizione P0, l'equazione precedente dμa:

1

2m³v2 ¡ v20

´= U ¡ U0: (1.63)

Nota. Dalla (1.63) segue che se si fanno partire due punti ma-

teriali dotati di egual massa da una stessa posizione P0 con lamedesima velocitμa e sotto l'azione di una stessa forza conserva-

tiva, anche se uno si suppone libero e l'altro vincolato ad una

super¯cie priva di attrito, essi giungono in punti, nei quali il

potenziale ha lo stesso valore, con la medesima velocitμa.

Nella ipotesi che ¾ sia priva di attrito (sia poi ¾ indipendente

o no dal tempo) allora la reazione © = ©N, incognita, sarμa ortog-onale alla super¯cie, pertanto avrμa componenti



1.6 Moto di un punto su una super¯cie prestabilita 49

© = ¸@f

@x³ + ¸

@f

@y^+ ¸

@f

@zk; ¸ =

©

jgrad f j 2 R

dove ¸ designa un fattore di proporzionalitμa a priori incognito.Proiettando la (1.62) sugli assi si ottengono le tre equazioni8><>:

mÄx = Fx + ¸@f@x

mÄy = Fy + ¸@f@y

mÄz = Fz + ¸@f@z

F = Fx³ + Fy^+ Fzk (1.64)

che insieme alla (1.61) formano un sistema di quattro equazioni

nelle quattro incognite x; y; z (fondamentali) e ¸ (ausiliaria).

Moto spontaneo e geodetiche

Se si suppone che le forze attive siano nulle, cio¶e il moto di Pavviene su ¾ per e®etto della velocitμa iniziale v0, ed in assenzadi attrito allora la traiettoria del punto μe una geodetica,

descritta con velocitμa costante. Infatti dalla (1.63) segue che

v μe costante e quindi Äs = 0; da ciμo segue che l'accelerazione ha solocomponente normale: akn. D'altra parte la (1.62) impone che siaakN, essendo F = 0, e quindi deve essere n = N (o n = ¡N) che μela proprietμa caratteristica delle geodetiche sulle super¯ci immerse

in R3.

1.6.2 Moto di un punto pesante sopra una super¯cie di rotazione

ad asse verticale e priva di attrito.

Sia data una super¯cie di rotazione ad asse verticale de¯nita, in

coordinate polari, attraverso la funzione ½ = f (z), con f(z) ¸ 0

assegnata, e sia il punto pesante P mobile su questa super¯cie

senza attrito. Nel caso in cui sul mobile sia applicata la sola

forza peso μe possibile studiare il moto del punto attraverso l'uso

di integrali primi invece che ricorrere alle equazioni (1.64) che in-

troducono una incognita ¸ ausiliaria. Orientando l'asse z verso laverticale ascendente l'integrale delle forze vive assume la forma

1

2mv2 +mgz = E:




D'altra parte, la forza peso μe sempre parallela all'asse z, e quindisussiste sempre l'integrale delle aree relativo al piano z = 0:

x _y ¡ y _x = c:Questi due integrali primi, espressi in coordinate cilindriche (μ; ½; z),assumono la forma8<: 1

2mh_z2(1 + f 02) + f 2 _μ2

i+mgz = E

f 2 _μ = c(1.65)

dove ½ = f(z) de¯nisce la super¯cie di rotazione ed essendo

v2 = ( _½2 + ½2 _μ2 + _z2) = ( _z2f 02 + f2 _μ2 + _z2):

Se si suppone c = 0, escludendo gli eventuali stati di equilibrioin punti della super¯cie situati sull'asse (½ = 0), si ha μ = cost: equindi si tratta di un moto su una curva piana di equazione

_z2 =2(E=m¡ gz)1 + f 02

;

che risulta integrabile per quadrature.

Sia c 6= 0, in particolare possiamo sempre supporre c > 0, e la

legge temporale si deduce con una quadratura dall'integrale delle

aree, non appena si μe determinata la traiettoria, per es. esprimendo

z in funzione di μ (cosa sempre possibile poich¶e _μ > 0 per ogni te quindi la funzione μ(t) μe monotona crescente e, in particolare,invertibile) dove

_z =dz

dμ_μ =

dz

dμ

c

f 2:

Per questa funzione z(μ) si trova la equazione di®erenzialeÃdz

dμ

!2=f2 [2(E=m¡ gz)f2 ¡ c2]

c2³1 + f 02

´ (1.66)

integrabile con una quadratura.




1.6.3 Pendolo sferico.

Il caso particolare in cui f (z) μe de¯nita dalla equazione ½2 = `2¡z2si denota con pendolo sferico ed μe il caso di un punto pesante

vincolato (o appoggiato) ad una sfera di raggio `. Ponendo f (z) =p`2 ¡ z2 la (1.65) assume la forma8<: 1

2mh`2 _z2

`2¡z2 + (`2 ¡ z2) _μ2

i+mgz = E

(`2 ¡ z2) _μ = c : (1.67)

Nell'ipotesi c > 0, assumendo come variabile indipendente la

μ in luogo della t, la funzione z(μ), che basta a determinare sullasfera la traiettoria del pendolo, μe caratterizzata dall'equazione dif-

ferenziale ricavata dalla (1.66), integrabile con una quadratura,

c2`2Ãdz

dμ

!2= ©(z)

dove 1 + f 02 = `2

`2¡z2 e dove

©(z) = (`2 ¡ z2)2©1(z); ©1(z) = 2(¡gz + E=m)(`2 ¡ z2) ¡ c2:Per lo studio quantitativo della soluzione z(μ) giocano un ruolo

importante le radici della funzione ©1(z). Piμu propriamente, stu-diamo l'equazioneÃ

dz

dt

!2=

Ãdz

dμ

!2_μ2 =

c2

(`2 ¡ z2)21

c2`2©(z) =

1

`2©1(z):

Osservando che ©1(z) μe un polinomio in z di grado 3 tale che(Figura 1.14)

©1(§`) = ¡c2 < 0 e limz!+1©1(z) = +1

allora esiste z3 > +` tale che ©1(z3) = 0. Le altre due radici z1e z2 sono comprese in (¡`;+`). Infatti notiamo che deve esserejz0j · `; piμu precisamente, poich¶e si μe escluso il caso c = 0, sarμa

jz0j < `, dove z0 μe la quota della posizione iniziale. In particolarela condizione di realtμa del moto ©(z0) ¸ 0 implica ©1(z0) ¸ 0.

Discutiamo separatamente i due casi ©1(z0) > 0 e ©1(z0) = 0.




zz z z1 2 3

-l l

Fig. 1.14. Gra¯co del polinomio ©1(z). Le 3 radici sono tali che z3 > +` mentre¡` < z1 · z2 < +`.

a) ©1(z0) > 0, in questa ipotesi la funzione z(μ) oscilla periodica-mente tra due paralleli di quote z1 e z2 comprese nell'intervallo(¡`;+`) dove z1 e z2 sono radici semplici di ©1(z). Si osservache il piano equidistante dai due paralleli di quote z1 e z2μe sempre al di sotto dell'equatore (di equazione z = 0).Infatti la funzione ©1 puμo essere scritta come

©1(z) = 2gz3 ¡ 2E`=mz2 ¡ 2g`2z ¡ c2 + 2E`2=m

= 2g(z ¡ z1)(z ¡ z2)(z ¡ z3)da cui segue che deve essere

z1z2 + z2z3 + z1z3 = ¡`2 cio¶e (z1 + z2)z3 = ¡(`2 + z1z2):Ricordando che z3 > 0 e che jzjj < `, j = 1; 2, segue z1+z2 < 0,cio¶e la tesi.

b) ©1(z0) = 0, in questo caso se la radice μe semplice allora rientri-amo nel caso a) ed il punto si trova inizialmente su uno dei due

paralleli che limitano la zona entro cui serpeggia la traiettoria.

Se, in¯ne, z0 non μe radice semplice (e quindi non puμo essereche doppia) allora μe ben noto che durante il moto si conserva

z = z0, cio¶e la traiettoria μe il parallelo di quota z0 (situato sotto

l'equatore); in quest'ultimo caso si ha anche _μ = cost:, cio¶e siha un moto rotatorio uniforme. Il fatto che sia z0 < 0 segue




dal fatto che ©1(z) = 2g(z ¡ z3)(z ¡ z0)2 da cui dovrμa essere(poich¶e z0 ´ z1 = z2) 2z0z3 = ¡(`2z20) < 0 e quindi z0 < 0.In ultima analisi segue che il moto del punto P avviene, ad

esclusione del moto rotatorio uniforme, tra due quote z1 e z2 e lafunzione z(μ) μe periodica ed impiega un angolo £ per raggiungere

la quota piμu bassa partendo dalla quota piμu alta (Figura 1.15

£ = c`Z z2

z1

dzq©(z)

:

Fig. 1.15. Il moto del pendolo sferico avviene, in generale, tra due quote z1 e z2ruotando sempre nello stesso verso e toccando, in modo periodico, i due paralleli.

Come osservazione ¯nale notiamo che il moto di P sulla super-

¯cie sferica μe periodico se e solo se £ e ¼ sono commensurabilitra loro.

Calcolo dei periodi

Escludendo il caso particolare di moto rotatorio uniforme si μe sta-

bilito che il moto del punto sulla super¯cie sferica avviene tra due

quote z1 e z2 e la funzione z(t) μe una funzione periodica. Per

calcolarne il periodo ripartiamo dalla relazione



54 1 Dinamica del puntoÃdz

dt

!2= Uc;E(z) dove Uc;E(z) =

1

`2©1(z);

questa equivale a studiare un moto su una retta con potenziale Uc;Eal livello di energia E0 = 0. Equivalentemente, poich¶e `2¡z2

`2>

0 8z 2 (¡`; `), si puμo studiare dal punto di vista qualitativo ilproblema con energia potenziale e±cace 2gz + c2

`2¡z2 al livello dienergia 2E=m. In ogni caso la funzione z(t) risulta essere unafunzione periodica di periodo

T1 ´ T1(c; E) = 2Z z2

z1

dzr³2Em¡ 2gz ¡ c2

`2¡z2´`2¡z2`2

= 2

Z z2

z1

dzqUc;E(z)

:

Supponendo poi nota z(t) si ottiene

μ(t) =Z t

0

c

`2 ¡ z2(¿ )d¿ + μ0:

Osserviamo che la funzione c`2¡z2(t) μe una funzione periodica di

periodo T1 e quindi ammetterμa uno sviluppo in serie di Fourier;quindi, portando la serie fuori dall'integrale, otteniamo

μ(t) = μ0 + c0t+ Á(t):

Ponendo !1 = 2¼=T1 allora la funzione

Á(t) =Xn 6=0

Z t

0cne

i!1n¿d¿ =Xn6=0

cn!1n

hei!1nt ¡ 1

iμe una funzione periodica di periodo T1. Inoltre la costante c0 vale

c0 =1

T1

Z T1

0

c

`2 ¡ z2(t)dt

=2

T1

Z z2

z1

c

`2 ¡ z2s`2 ¡ z2`2

dzq2Em¡ 2gz ¡ c2

`2¡z2

=2

T1

Z z2

z1

c`

(`2 ¡ z2)3=2q

2Em¡ 2gz ¡ c2

`2¡z2dz:



1.7 Dinamica relativa del punto 55

Quindi μ(t) (de¯nito modulo 2¼) μe dato dalla composizione di duemoti periodici; uno di periodo T1 ed uno di periodo T2 = 2¼=c0.Di conseguenza il moto del pendolo ¯sico μe periodico se, e solo se,

T1 e T2 sono commensurabili.

1.7 Dinamica relativa del punto

1.7.1 In°uenza della rotazione terrestre sul moto dei gravi nel

vuoto

Prescindiamo dalla resistenza dell'aria e degli altri corpi celesti (es.

il sole, la luna, etc.) e consideriamo il moto, rispetto alla Terra,

di un punto materiale P di massa m in prossimitμa di essa. Sotto

tali ipotesi la forza (assoluta) totale agente su P si riduce alla

attrazione terrestre che, assumendo m = 1, designeremo con G.

Perciμo rispetto ad un riferimento galileiano l'accelerazione a di Pμe data da

a = G: (1.68)

Perμo a noi normalmente interessa il moto relativo di P rispetto

alla Terra, cio¶e piμu precisamente la sua accelerazione relativa a1:

a1 =G¡ a¿ ¡ ac: (1.69)

In ¡ma¿ riconosciamo quella forza F¿ chiamata forza di trasci-namento, mentre la ¡mac dicesi forza di Coriolis. Ricordiamoche mG ¡ma¿ = mG + F¿ non μe altro che il peso del grave P ,cio¶e la forza mg che si puμo de¯nire come direttamente oppostaa quella che occorrerebbe applicare al grave (in quiete) per im-

pedirne la caduta.

Per intervalli di tempo piccoli, rispetto ad un anno, possiamo

ridurre F¿ alla forza centrifuga dovuta al moto diurno, la cui ve-

locitμa angolare ! μe costante e diretta secondo l'asse polare dellaTerra, da Sud a Nord. La forza peso mg = mG + F¿ , come ben

sappiamo, μe e®ettivamente variabile, di intensitμa e di direzione, da

luogo a luogo ma, entro un raggio di pochi chilometri, μe lecito riten-

erla costante sia in grandezza che in direzione. Piμu in dettaglio,

consideriamo l'e®etto della rotazione della Terra sugli esperimenti

in un laboratorio. Dato che la terra ruota praticamente uniforme-

mente, si puμo supporre che _! = 0 dove ! = 2¼24¢3600 . Il rapporto




tra la forza centrifuga e la forza peso assume il massimo valore

all'equatore, dove vale

F¿(P )

g=!2R

g=(7:3 ¢ 10¡5)2 ¢ 6:4 ¢ 106

9:8¼ 3

1000

dove R μe la distanza del punto dal centro della terra (cio¶e R coin-

cide con il raggio della terra). Questo rapporto varia di poco nei

limiti di un usuale laboratorio. Piμu precisamente si ha che

F¿(P +¢P )

g=F¿ (P )

g(1 +O(¢P=R)) :

Quindi μe lecito, in prima approssimazione, ritenere la forza cen-

trifuga costante e la forza peso avente intensitμa costantemente

uguale a mg. Concludiamo quindi che all'equazione vettoriale

(1.69) del moto di P rispetto alla Terra si puμo dare la forma de¯ni-tiva

a1 = g ¡ 2! £ v1: (1.70)

Moto dei gravi e deviazione verso oriente

Supponiamo che il moto avvenga nell'emisfero boreale e adottiamo

come riferimento terrestre la terna destra che si ottiene assumendo:

a) L'origine in un punto O solidale con la Terra, in prossimitμa del

luogo dove avviene il moto;

b) L'asse z sulla linea di azione della forza peso in O (verticale del

luogo) orientata verso l'alto, cio¶e la verticale ascendente;

c) L'asse x nel piano meridiano di O, orientato verso il Nord.

L'asse y risulta cosμ³ univocamente determinato; proiettando l'e-quazione vettoriale (1.70) su tali assi abbiamo g = (0; 0; g) e, se °μe l'angolo (acuto) formato da g con il piano equatoriale (latitudine

geodetica), le componenti del vettore ! sono date da

p = ! cos °; q = 0; r = ! sin °; (1.71)

cosicch¶e dalla (1.70) risulta8><>:Äx = 2 _y! sin °Äy = 2! (¡ _x sin ° + _z cos °)Äz = ¡g ¡ 2 _y! cos °

: (1.72)




Sono queste, nella schematizzazione appena precisata, le equazioni

di®erenziali del moto di un grave (di massa qualunque) nel vuoto,

ove si tenga conto della rotazione della Terra. Queste equazioni

sono integrabili elementarmente e, restringendoci al caso piμu in-

teressante, assumiamo le condizioni iniziali

x0 = y0 = z0 = 0 e _x0 = _y0 = _z0 = 0:

Sotto queste condizioni dalla prima e dalla terza delle (1.72) si

deduce che

_x = 2y! sin °; _z = ¡gt¡ 2y! cos ° (1.73)

che sostituite nella seconda delle (1.72) segue che

Äy + 4!2y = ¡2g!t cos °che μe una equazione di®erenziale lineare completa, a coe±cienti

costanti, del II± ordine il cui integrale generale vale

y(t) = ¡g cos °2!

t+ r cos(2!t+ μ0):

Imponendo le condizioni iniziali si determinano in¯ne r e μ0 otte-nendo

y(t) = ¡g cos °2!

μt¡ sin 2!t

2!

¶:

Sostituendo questa nelle (1.73) si perviene in¯ne alle

x(t) = ¡g sin ° cos °μ1

2t2 ¡ 1¡ cos 2!t

4!2

¶;

z(t) = ¡12gt2 + g cos2 °

μ1

2t2 ¡ 1¡ cos 2!t

4!2

¶:

Prendendo intervalli di tempo tali che !t ¿ 1 e sviluppando in

serie di Taylor le soluzioni trovate e trascurando i termini di ordine

superiore (o uguale) in !t al primo si trova

x(t) = O(!2t4); y(t) = O(!t3); z(t) = ¡12gt2 +O(!2t4);

cio¶e si ritrovano le equazioni del moto dei gravi nel vuoto. Se

invece si prendono in considerazione i termini d'ordine superiore

in !t si ha che




x(t) = O(!2t4)y(t) = ¡g cos °

4!2

h(2!t)3=6 +O(!5t5)

i= ¡1

3g!t3 cos ° +O(!3t5)

z(t) =1

2gt2 +O(!2t4):

Quindi rimane inalterata la legge per la quota del mobile ma il

moto avviene nel piano (O; y; z) secondo la legge

y2 = ¡89

!2 cos2 °

gz3:

Si osservi in¯ne che y < 0 per ogni t > 0; si prova quindi la

deviazione di un grave verso Est. Quindi, nell'emisfero set-

tentrionale, la forza di Coriolis spinge verso oriente ogni corpo

che cade sulla Terra; nell'emisfero meridionale la forza di Coriolis

spinge verso la parte opposta.

Esempio

Un sasso viene gettato (senza velocitμa iniziale) dalla cima di una

torre alta 250 mt. alla latitudine 60±. Calcoliamo di quanto si

allontana dalla verticale:

y =2! cos °

3

q2jzj3=g = 7:3 ¢ 10¡5

3

q2 ¢ 0:253=9:8 ¼ 0:04345 metri:

Invece, quanto si allontana dalla verticale una secchia viene get-tata (senza velocitμa iniziale) dalla cima della torre Ghirlandina di

Modena.

1.7.2 Pendolo di Focault

Discutiamo ora il pendolo sferico considerando il contributo della

rotazione della terra. In particolare, il punto P , di massa m, simuove come se fosse libero e sollecitato simultaneamente dalla

forza peso e dalla reazione vincolare ©; quindi, a partire da

quanto stabilito in merito al pendolo sferico nel paragrafo 1.6.3

la equazione di®erenziale del moto assume la forma vettoriale:

ma1 = ©+mg ¡ 2m! £ v1 (1.74)




dove riguardiamo il vettore g come costante in grandezza e di-

rezione e dove assumiamo costante il contributo della acceler-

azione di trascinamento (questa attitudine μe giusti¯cata poich¶e, as-

sumendo solamente il contributo della rotazione terrestre e assunto

questo uniforme, allora la variazione della forza di trascinamento

all'interno di un laboratorio μe trascurabile). Proiettando sugli assi

aventi origine nel centro M della sfera (assi scelti come nel caso

(1.72) orientando l'asse z diretto come la verticale ascendente) eintroducendo per le componenti della reazione il moltiplicatore di

Lagrange ¸ otteniamo le tre equazioni scalari:8><>:mÄx = ¸x+ 2m _y! sin °mÄy = ¸y + 2m!(¡ _x sin ° + _z cos °)mÄz = ¸z ¡mg ¡ 2m _y! cos °

(1.75)

dove il punto μe obbligato a muoversi sulla sfera di raggio ` e centroM = (0; 0; 0) e ° μe la latitudine geodetica del luogo. Assumendopiccole oscillazioni, quindi z ¼ ¡` e _z ¼ Äz ¼ 0 e 2 _y! cos ° trascur-abile di fronte a g poich¶e ! ¿ 1, si ha dalla terza delle (1.75)

¡¸`¡mg = 0; ¸ = ¡mg=`dando alle prime due la forma(

Äx = ¡gx=` + 2 _y! sin °Äy = ¡gy=`¡ 2 _x! sin ° : (1.76)

Ponendo !1 = ¡! sin ° si conclude che le piccole oscillazionidel punto P o, meglio, della sua proiezione Q sul piano orizzontalez = 0, son de¯nite dalle due equazioni lineari(

Äx = ¡gx=`¡ 2 _y!1Äy = ¡gy=` + 2 _x!1 : (1.77)

Denotando con a = Äx³+Äy^ e v = _x³+ _y^ l'accelerazione e la velocitμa(orizzontali) di Q e con k il versore verticale ascendente, possiamo

riassumere la (1.77) nell'unica equazione vettoriale:

a = ¡g(Q¡M)=` + 2!1k£ v: (1.78)

Si consideri allora, nel piano z = 0, per l'origine M una cop-

pia di assi ortogonali x1y1, congruente agli assi xy e che ruotino




attorno ad M con velocitμa angolare costante !1k. L'accelerazionea1, rispetto a x1y1 della proiezione Q di P μe legata alla acceler-

azione a, rispetto a xy della proiezione Q di P , secondo il teoremadi composizione delle accelerazioni:

a1 = a + (¡!)£ [¡! £ (Q¡M)] + 2(¡!)£ v= a ¡ !21(Q¡M)¡ 2!1k£ v = ¡

μg

`+ !21

¶(Q¡M):

Quindi il moto della proiezione Q di P , nel piano x1y1, μe un motoarmonico in due dimensioni avente integrale generale

x1(t) = a cosμt

rg

l+ !21 + '

¶¼ a cos

μt

rg

l+ '

¶e

y1(t) = b cosμt

rg

l+ !21 + Á

¶¼ b cos

μt

rg

l+ Á

¶:

Imponendo le codizioni iniziali _x(0) = _y(0) = 0 e x(0) = x0e y(0) = 0, facendo coincidere gli assi x e y con gli assi x1 e y1all'istante t = 0 si ottiene _x1(0) = 0 e _y1(0) = ¡!1x0 e quindi

x1(t) = x0 cosμt

rg

l

¶; y1(t) = ¡!1x0

sl

gsin

μt

rg

l

¶:

Cio¶e la traiettoria del punto Q sul piano orizzontale z = 0 (caso

del Pendolo del Focault) μe un ellisse avente i semi-assi a = jx(0)j eb =

¯!1a

q`=g

¯¿ a; si tratta quindi di un'ellisse molto schiacciata

e quindi assimilabile ad un segmento dell'asse x1. Quindi il motodel punto μe sensibilmente quello di un moto oscillatorio ordinario

del piano zx1; ma questo piano non μe ¯sso bensμ³ animato di unavelocitμa angolare !1 = ! sin ° variabile con la latitudine che, perquanto piccola, col tempo ¯nisce a rendersi manifesta.

Nota. Possiamo giungere alle stesse conclusiosi risolvendo la

equazione (1.77) nel seguente modo. Se poniamo w = x + iyallora il sistema (1.77) prende forma

Äw ¡ 2i!1 _w + g

`w = 0:

Per determinare la soluzione generale siano




¸1;2 = i!1 § iq!21 + g=` ¼ i!1 § i

rg

l

e la soluzione generale ha forma

w = c1e¸1t + c2e

¸2t ¼ ei!1tμc1e

itpg=` + c2e

¡itpg=`¶:

Quindi, per !1 = 0 si ottengono le consuete oscillazioni armonichedel pendolo sferico e l'e®etto della forza di Coriolis consiste in una

rotazione uniforme di tutto il sistema con una velocitμa angolare

pari a !1.

1.7.3 Nozioni elementari di meccanica celeste

Le leggi di Keplero

Per i moti dei pianeti intorno al Sole valgono le tre leggi di Keplero

determinate sperimentalmente:

1) Le orbite dei pianeti sono degli ellissi e il Sole ne occupa

uno dei fuochi.

2) Le aree descritte dal raggio vettore, che va dal Sole

ad un pianeta, sono proporzionali ai tempi impiegati a

percorrerli.

3) I quadrati dei tempi impiegati dai vari pianeti a per-

correre le loro orbite (durante le rivoluzioni) sono pro-

porzionali ai cubi dei semi-assi maggiori (nel senso che la

costante di proporzionalitμa non dipende dal pianeta).

Problema diretto di Newton

A causa della enorme distanza tra la stella piμu vicina e il sistema

solare e a causa della proponderanza della massa solare rispetto

agli altri pianeti si puμo ritenere che l'attrazione sulla Terra sia

sostenzialmente quella che proviene dal Sole. Trascurando le altre

si riguarda la coppia Terra-Sole come isolata nell'Universo. Per

il principio di azione e reazione le accelerazioni del Sole e della

Terra sono inversamente proporzionali alle loro masse; si

puμo pertanto trascurare la piccolissima accelerazione solare dovuta

alla Terra, il che equivale a considerare, in prima approssimazione,

il Sole come ¯sso. Perveniamo pertanto a schematizzare, in prima




approssimazione, il moto della Terra intorno al Sole come quello di

un punto materiale P attratto da un centro ¯sso S con una forzadi intensitμa km0m

r2, dove m0 ed m denotano le masse del Sole e

della Terra, r la loro distanza e k ¶e una costante positiva. Il motosoggetto a questa legge dμa luogo, nel nostro caso (poich¶e il moto si

svolge tutto a distanza ¯nita dal Sole) ad una traiettoria ellittica

avente un fuoco nel Sole. Quindi la legge di Newton implica la

validitμa delle prime due leggi di Newton. Quanto alla terza risulta

4¼2a3

T 2= km0 (1.79)

da cui si vede che il rapporto a3=T 2 dipende solamente dallacostante k e dalla massa del Sole.

Problema dei due corpi

Piμu in generale, consideriamo due corpi P0 e P , di masse m0; m,che noi consideriamo isolati nell'Universo; indichiamo con F

il vettore della forza che P0 esercita su P , per il III± principio

di Newton allora il vettore della forza esercitata da P su P0 sarμa¡F ed entrambi saranno diretti sulla congiungente. L'equazione

di Newton sui due punti, rispetto ad un osservatore inerziale, sarμa

data da

m0d2P0dt2

= ¡F; md2P

dt2= F

da cui emerge immediatamente che la quantitμa di moto (m0+m)vGsi conserva e da cui segue che il baricentro dei due punti si muove

di moto rettilineo uniforme. Per determinare poi il moto dei due

punti rispetto al loro baricentro o, equivalentemente, il moto di un

punto rispetto all'altro (ad esempio il moto di P rispetto a P0),introduciamo un osservatore relativo centrato in P0 e traslante;allora la equazione del moto di P rispetto al nuovo osservatore

μe data da m³d2Pdt2

´P0= F ¡ ma¿(P ). ricordando che il nuovo

osservatore trasla allora a¿ (P ) =d2P0dt2

e quindi la equazione prende

la forma

mm0

m+m0

Ãd2P

dt2

!P0

= F: (1.80)




Questa equazione di®erenziale del moto relativo di uno dei due

corpi rispetto all'altro si identi¯ca, come si vede, con quella che

reggerebbe il moto di P , se P0 fosse ¯sso (o animato di motorettilineo uniforme rispetto ad un osservatore assoluto), e, pur at-

traendo P secondo la legge F, avesse, anzich¶e la massa e®ettiva

m, la massa ridotta mm0

m+m0. Questo problema rientra, come caso

particolare di moto centrale, in quello generale discusso nella

Sezione precedente; quindi abbiamo che si tratta di un moto pi-

ano, per il quale sussistono simultaneamente l'integrale delle

forze vive e quello delle aree rispetto al centro di forza P0.Si dimostra che, nel caso in cui la forza di vettore F coincida

con la forza di attrazione gravitazionale, qualunque sia l'ordine di

grandezza di m rispetto a m0 l'orbita (relativa) di P rispetto a

P0 μe una conica; perciμo nel caso dell'orbita ellittica valgono per ilmoto di P rispetto a P0 le prime due leggi di Keplero. Se poi,

in tal caso, si introducono il semi-asse maggiore a dell'orbita e ladurata T della rivoluzione, sussiste la relazione

4¼2a3

T 2= k(m0 +m); (1.81)

e per un altro corpo P 0 di massam0, che, come P , descriva, sotto laesclusiva azione di P0, un'orbita (relativa) ellittica, si ha analoga-mente, con ovvio signi¯cato dei simboli,

4¼2a03

T 02= k(m0 +m

0): (1.82)

In conclusione, quando nella trattazione newtoniana del moto dei

corpi celesti, si spinge la schematizzazione ¯no al problema dei

due corpi, si mantengono valide, in generale, soltanto le prime due

leggi di Keplero. La terza puμo sussistere solo in via approssimata.





2

Dinamica dei solidi

2.1 Equazioni di Eulero

Consideriamo un solido avente un suo punto O0 ¯sso. L'ipotesi

su O0 suggerisce di scegliere in esso il centro di riduzione dei mo-menti e quindi le equazioni cardinali della dinamica, riferite ad un

osservatore (O; x; y; z), assumono la loro forma piμu semplice.

dQ

dt= Re +©e; (2.1)

dK(O0)dt

= −e(O0) (2.2)

dove Re ed −e(O0) denotano il risultante e il momento risultante,

rispetto al punto ¯sso O0, delle forze esterne direttamente ap-plicate e dove ©e denota il risultante della reazione in O0, pertale motivo segue che ªe(O0) = 0.Poich¶e il solido con un punto ¯sso ha tre gradi di libertμa l'e-

quazione vettoriale (2.2) corrisponde a 3 equazioni scalari e quindi

basta da sola a caratterizzare il moto. La (2.1) serve per deter-

minare le reazioni incognite in O0 noto il moto.L'equazione cardinale dei momenti risulta, talvolta, piμu signi-

¯cativa se riferita ad una terna solidale (O0; x0; y0; z0) avente originein O0: Ã

dK(O0)dt

!O0+ ! £K(O0) = −e(O

0); (2.3)



66 2 Dinamica dei solidi

dove ! designa la velocitμa angolare della terna solidale, cio¶e del

corpo stesso, rispetto agli assi (O; x; y; z) e³dK(O0)dt

Ó0la derivata di

K(O0) rispetto a t e®ettuata rispetto all'osservatore (O0; x0; y0; z0).La (2.3) diventa particolarmente signi¯cativa quando si assume

come terna (O0; x0; y0; z0) quella dei tre assi principali di inerzia delsolido nel suo punto O0, in questo caso K(O0) ha componenti

Kx0 = Ap; Ky0 = Bq; Kz0 = Cr: (2.4)

Denotando con −x0; −y0 e −z0 le componenti secondo gli assi sol-

idali del momento risultante −e(O0), rispetto ad O0, delle forze

attive esterne la (2.3) conduce alle equazioni scalari8><>:A _p¡ (B ¡ C)qr = −x0;B _q ¡ (C ¡ A)rp = −y0 ;C _r ¡ (A¡B)pq = −z0:

(2.5)

Le (2.5) si dicono equazioni di Eulero del moto di un solido

intorno ad un suo punto ¯sso. Si noti che le componenti di −e(O0)

vanno considerate, nel caso piμu generale, come note in funzione,

oltre che del tempo, delle velocitμa dei singoli punti del solido e, in

piμu, delle loro posizioni nello spazio o, che μe lo stesso data l'ipotesi

di rigiditμa, della orientazione del solido intorno ad O0. Tramitela formula fondamentale della cinematica rigida abbiamo che le

velocitμa dei punti dipendono dai parametri di orientazione e dalle

p; q; r; inoltre le p; q; r stesse sono legate a questi parametridi orientazione da relazioni di tipo di®erenziale. Scegliendo, ad

esempio, come parametri lagrangiani gli angoli di Eulero μ; '; Ãdella terna solidale rispetto alla ¯ssa allora aggiungeremo alle (2.5)

le note equazioni, puramente cinematiche8><>:p = _μ cos'+ _Ã sin' sin μ

q = ¡ _μ sin'+ _Ã cos' sin μ

r = _Ã cos μ + _'

(2.6)

si ottiene un sistema di equazioni di®erenziali del primo ordine

nelle 6 incognite μ; '; Ã; p; q e r.

Moto di un solido libero intorno al baricentro

μE noto che la (2.3) sussiste anche nel caso del moto di un solido

libero intorno al baricentro poich¶e ªe(G) = 0 in quanto non



2.1 Equazioni di Eulero 67

ci sono reazioni vincolari. La (2.3) proiettata sulla terna princi-

pale di inerzia (con G = O0) dμa ancora luogo alla (2.5) ma conuna di®erenza fondamentale: il momento −e(G), al pari della sol-lecitazione attiva, va considerato dipendente non solo dagli argo-

menti μ; '; Ã; p; q e r (e t), tutti inerenti al moto relativo albaricentro, ma anche dalla posizione e dalla velocitμa (asso-

lute) del baricentro stesso. Inoltre la (2.1) assume la formadQdt= Re e va ad aggiungersi alle (2.3) per la determinazione del

moto.

2.1.1 Solidi in rapida rotazione e fenomeni giroscopici elementari

Consideriamo un solido con punto O0 ¯sso e dove l'ellissoide d'in-erzia rispetto a questo punto μe rotondo: cio¶e sia tale che A = B,chiameremo (O0; z0) asse giroscopico.

Equazioni di Eulero per un solido a struttura giroscopica

La terza delle (2.5), essendo A = B si riduce aC _r = −z0 (2.7)

mentre le altre due, ove si denoti con −1 il componente equato-

riale del momento risultante delle forze esterne rispetto ad O0, sipossono unire nell'unica equazione vettoriale:

A _e¡ (C ¡ A)rk0 £ e = −1 (2.8)

dove abbiamo posto e = p³0+q^0. Quindi nel caso in cui −z0 = 0,

ad esempio quando le forze esterne sono equivalenti ad

una unica forza applicata in un punto dell'asse (O0; z0),allora si ha che r = r0 = costante.

Fenomeni giroscopici

Si hanno le seguenti proprietμa:

a) Principio della permanenza o tenacia degli assi giro-

scopici: cio¶e se imprimiamo una rapida rotazione del solido in-

torno al suo asse giroscopico (O0; z0) allora si vede che per e®et-tuare uno spostamento (pre¯ssato) dell'asse giroscopico (O0; z0),




in rapida rotazione, l'intensitμa della sollecitazione, applicata al-

l'asse giroscopico, necessaria a tale spostamento μe tanto piμu

grande quanto maggiore μe la velocitμa di rotazione dell'asse giro-

scopico.

b) Principio della tendenza al parallelismo: cio¶e se applichi-

amo un data forza F in un generico punto A dell'asse giro-

scopico (O0; z0) (riuscendo a vincere la tenacia e farlo deviare),avente momento −(O0) rispetto al punto ¯sso, allora l'assetende a disporsi nella direzione e nel verso di −(O0) (questaproprietμa μe veri¯cata non solo nel caso di un solido a struttura

giroscopica ma basta supporre che l'asse intorno a cui avviene

la rapida rotazione coincida con un asse principale d'inerzia del

solido).

Per dimostrare tali proprietμa supponiamo, per ¯ssare le idee,

che sia (O0; z0) l'asse giroscopico e che gli assi (O0;x0) e (O0; y0)siano principali di inerzia dove A = B. Quindi possiamo scrivere! = e+ rk

0dove e = p³0+ q^0 e consideriamo uno spostamento che

sposti k0, cio¶e l'asse giroscopico. Poich¶e K(O) = Ae+Crk0 ¼ Crk0

per rÀ 1 segue che

dK(O0)dt

= Adedt+ C d(rk

0)

dt¼ C d(rk

0)

dt

ricordando che r μe costante nel caso in cui la forza sia ap-plicata in un punto dell'asse, allora, facendo uso della seconda

equazione cardinale della dinamica, si ha che

dk0

dt¼ 1

CrdK(O0)dt

=1

Cr−e(O0):

Da ciμo appare che quando si vuole e®ettuare uno sposta-

mento pre¯ssato di un corpo ruotante intorno all'asse

giroscopico bisogna applicare all'asse di riduzione sforzi

riducibili ad una coppia tanto piμu intensi quanto piμu rap-

ida μe la rotazione; inoltre si osserva pure che lo spostamento μe

caratterizzato dal momento −e(O0), cio¶e se un corpo ruota in-torno ad un asse, una coppia giacente nel piano dell'asse

tende a spostarlo in direzione normale al piano stesso.



2.2 Solido pesante con un punto ¯sso 69

2.2 Solido pesante con un punto ¯sso

2.2.1 Integrali primi

Consideriamo il caso di un corpo solido pesante con punto ¯sso O0

e peso p = pk, p = ¡mg. Escludiamo il caso G = O0 poich¶e, intal caso, si ricadrebbe su di un moto alla Poinsot.

Integrali primi

Supponendo che nella terna ¯ssa (O; x; y; z) l'asse z sia verticale

(di versore k) e orientato verso l'alto e che la terna (O0; x0; y0; z0)solidale con il corpo coincida al solito con la terna principale di

inerzia allora per la omogra¯a di inerzia si ha

K(O0) = Kx0 ³0 +Ky0^

0 +Kz0 k0;

dove

Kx0 = Ap; Ky0 = Bq; Kz0 = Cr: (2.9)

Le forze esterne (e la reazione in O0) hanno momento nullorispetto alla verticale (O0; z) quindi

Kz = Kz;0 = cost:

in virtμu della equazione dei momenti della quantitμa di moto. Es-

sendo °1; °2 e °3 i coseni direttori della terna solidale rispetto alla

terna ¯ssa, cio¶e k = °1³0 + °2^

0 + °3k0, si ha

Kz ´K(O0) ¢ k ´ Kx0°1 +Ky0°2 +Kz0°3 = Kz;0 = cost:;

ossia per le (2.9)

Ap°1 + Bq°2 + Cr°3 = Kz;0: (2.10)

In secondo luogo poich¶e il peso μe una forza conservativa (e i

vincoli non dipendono dal tempo), vale l'integrale delle forze vive

T ¡U = E cio¶e, essendo p = ¡mg il peso del corpo (m ne denota

la massa) e x0G; y0G; z

0G le coordinate del baricentro

1

2

³Ap2 + Bq2 + Cr2

´¡ pzG = E; (2.11)




dove

zG = °1x0G + °2y

0G + °3z

0G:

μE da notare che dai teoremi generali sul moto dei sistemi non

si possono trarre altri integrali primi oltre alla energia mec-

canica totale ed alla componente verticale del momento

della quantitμa di moto (2.10) e (2.11) ¯nch¶e non si introducono

ulteriori ipotesi sulla distribuzione delle masse e in relazione al

punto ¯sso O0. Poich¶e si tratta di un problema di tre gradi di lib-ertμa, vale a dire in tre incognite essenziali, μe manifesto che questi

due integrali primi non bastano a caratterizzarlo completamente.

2.2.2 Equazioni di®erenziali del moto

Essendo −e(O0) = pk£ (O0 ¡G) allora la (2.3) diventaÃ

dK(O0)dt

!O0+ ! £K(O0) = pk£ (O0 ¡G): (2.12)

Inoltre, essendo k ¯sso rispetto agli assi (O; x; y; z) si ha

0 =

Ãdk

dt

!O

´Ãdk

dt

!O0+ ! £ k (2.13)

Le equazioni (2.12) e (2.13) proiettate sugli assi principali di in-

erzia x0; y0; z0 danno luogo alle sei equazioni di®erenziali scalari8><>:A _p¡ (B ¡ C)qr = ¡mg(y0G°3 ¡ z0G°2)B _q ¡ (C ¡ A)rp = ¡mg(z0G°1 ¡ x0G°3)C _r ¡ (A¡ B)pq = ¡mg(x0G°2 ¡ y0G°1)

(2.14)

8><>:_°1 = °2r ¡ °3q_°2 = °3p¡ °1r_°3 = °1q ¡ °2p

(2.15)

di cui le prime tre sono, naturalmente, le equazioni di Eulero rel-

ative al nostro caso. Complessivamente si ha un sistema di sei

equazioni di®erenziali (2.14), (2.15) del primo ordine fra le sei fun-

zioni incognite del tempo p; q; r; °1; °2; °3 che, unitamente allacondizione °21+°

22+°

23 = 1, dipende da cinque costanti arbitrarie.



2.3 Giroscopio pesante 71

Supponendo risolto il sistema (2.14), (2.15) si trovano gli angoli

di Eulero Ã; μ; ' che risolvono completamente il problema. Infattidalle solite equazioni fondamentali

°1 = sin' sin μ; °2 = cos' sin μ; °3 = cos μ (2.16)

si traggono le espressioni di μ e ' in termini ¯niti di °1; °2; °3 equindi del tempo. Dopo di che l'angolo di precessione Ã si ottienecon una quadratura dalla equazione (se °1 6= 0)

p = °1 _Ã + _μ cos': (2.17)

La quadratura, che fornisce la Ã, introduce una nuova costantearbitraria che, insieme con le 5 dell'integrale generale del sistema,

dμa le sei costanti da cui deve dipendere il piμu generale moto del

solido pesante con punto ¯sso (sistema olonomo a tre gradi di

libertμa).

2.3 Giroscopio pesante

2.3.1 Terzo integrale primo

Denominiamo giroscopio ogni solido il cui ellissoide bari-

centrale di inerzia sia rotondo, cio¶e tale che, ad esempio,

A = B e che l'asse giroscopico (O0; z0) contenga il baricen-tro; in tal caso l'ellissoide d'inerzia risulta rotondo anche

rispetto ad ogni altro punto dell'asse.

Consideriamo un giroscopio pesante, ¯ssato in un generico

punto O0, appartenente all'asse giroscopico e distinto dal baricen-tro G. Perciμo, rispetto alla solita terna solidale (O0; x0; y0; z0), in cui(O0; z0) sia l'asse giroscopico, le ipotesi strutturali caratteristichedel problema, si traducono nelle condizioni

A = B; x0G = y0G = 0; (2.18)

dove abbiamo orientato l'asse giroscopico in modo che sia z0G > 0.Il punto della semiretta (O0; z0) che dista 1 da O0 si chiama verticedel giroscopio e si denota con V .Il momento delle forze attive si riduce alla forma

−e(O0) = pz0Gk

0 £ k; (2.19)




dove p = ¡mg denota il peso della trottola, da questa segue imme-diatamente che −0

z = 0. Le equazioni di®erenziali, prese sotto la

forma (2.14) e (2.15), danno l'ulteriore integrale primo Kz0;0che implica

C _r = 0 ) r ´ r0: (2.20)

Abbiamo dunque, intanto, provato che in ogni moto del giro-

scopio pesante la velocitμa angolare giroscopica si mantiene

costante.

Inoltre i due integrali primi del momento verticale delle quantitμa

di moto (2.10) e dell'energia meccanica (2.11) qui, in base alle

prime due della (2.18), assumono la forma

A (p°1 + q°2) + Cr°3 = Kz;0; (2.21)

1

2A³p2 + q2

´+1

2Cr2 ¡ Pz0G°3 = E; (2.22)

con r costante. Osserviamo che in questo problema abbi-

amo i 3 integrali primi del moto Kz, Kz0 ed E dati dalle

(2.20), (2.21) e (2.22) e ciμo rende possibile l'integrazione

per quadrature del problema.

2.4 Rotazioni uniformi del giroscopio pesante

Si noti subito che sotto le ipotesi di simmetria (2.18) qui ammesse

abbiamo il seguente risultato:

Teorema. Il giroscopio pesante μe suscettibile di in¯nite ro-tazioni uniformi attorno all'asse giroscopico nelle quali

l'asse giroscopico μe verticale e la velocitμa angolare ! =

!k0, k

0= k, ha verso ed intensitμa completamente arbi-

traria. Ogni altra retta del giroscopio (non necessariamente co-incidente con l'asse giroscopico) passante per O diventa asse dirotazione permanente soltanto quando sia disposta lungo

la verticale in uno, ben de¯nito, dei due versi possibili, dopodi che risulta determinato univocamente il valore assoluto dellacorrispondente velocitμa angolare (mai inferiore ad un dato valorecritico).



2.4 Rotazioni uniformi del giroscopio pesante 73

Dimostrazione: Ricordiamo ora che il moto del giroscopio pe-sante μe caratterizzato dall'equazione dinamica (equazione cardi-

nale dei momenti)ÃdK(O0)dt

!O

=

ÃdK(O0)dt

!O0+ ! £K(O0)

= Pz0Gk0 £ k (2.23)

e dalla equazione cinematicaÃdk

dt

!O

=

Ãdk

dt

!O0+ ! £ k = 0; (2.24)

subordinatamente alle ipotesi strutturali, speci¯che nel nostro

caso,

A = B; x0G = y0G = 0; (2.25)

nonch¶e alla condizione convenzionale z0G > 0. Tenendo conto che

sussiste l'integrale r = cost: allora per la velocitμa angolare ! vale

l'espressione vettoriale

! =1

AK(O0) +

A¡ CA rk

0; (2.26)

con r costante. Le rotazioni uniformi richiedono l'esistenza per

la (2.24) di momenti K(O0) per cui la espressione (2.26) della !risulti costante (indi®erentemente riferibile agli assi ¯ssi e soli-

dali). Quindi derivando (rispetto all'osservatore assoluto) rispetto

al tempo la (2.26) e tenendo presente le (2.23) e (2.24) e la formula

di Poisson d^k0

dt= ! £ k0 si ottiene

! = costante ,h(A¡ C)r! ¡ Pz0Gk

i£ k0 = 0 (2.27)

dalla quale risulta che il vettore

(A¡ C)r! ¡ Pz0Gk (2.28)

per ogni eventuale rotazione uniforme del giroscopio pesante, deve

risultare parallelo a k0o nullo. Osserviamo che tale vettore μe

costante rispetto all'osservatore ¯sso, poich¶e per una rotazione uni-

forme si ha ! costante.




Consideriamo prima il caso in cui questo vettore costante sia

parallelo a k0; questo implica che k

0deve essere ¯sso rispetto allo

spazio e quindi ! = rk0, allora la (2.27) si riduce a k £ k0 = 0.

Da ciμo si conclude che: il giroscopio pesante μe suscettibile di

in¯nite rotazioni uniformi (o permanenti) attorno all'asse

giroscopico, le quali hanno tutte per asse, nello spazio, la

verticale del punto ¯sso. Se lungo questa verticale si dispone

l'asse giroscopico, indi®erentemente all'ingiμu o all'insμu, la velocitμa

angolare μe il verso della rotazione restano completamente arbitrari.

Consideriamo ora il caso in cui il vettore (2.28) sia nullo, cio¶e

si abbia

(A¡ C)r! = Pz0Gkda cui segue che l'asse di rotazione permanente deve essere dis-

posto verticalmente, cio¶e ! = !k e dove, denotando al solito conμ l'angolo di nutazione (assunto diverso da 0 e ¼ per non ricaderenel caso precedente) vale la relazione

r = ! cos μ:

Pertanto si trova che deve valere la condizione

(A¡ C)!2 cos μ = Pz0Ge viceversa, tutte le volte che tale relazione μe soddisfatta per due

valori μ e !, allora il corrispondente momento K(O0) sodisfa allaseconda equazione cardinale della Dinamica. Osserviamo ora che,

pre¯ssata la direzione ed il verso, cio¶e μ, solo un solo valore di ! μepermesso e viceversa. In ogni caso il valore assoluto della velocitμa

angolare non puμo scendere mai al di sotto di un dato valore criticovuut¯¯ Pz0GA¡ C¯¯:

Inoltre si osserva anche che nelle rotazioni uniformi del giro-

scopio pesante (quando l'asse giroscopico non μe verticale)

il baricentro si mantiene sempre al di sotto o sempre al

di sopra del piano orizzontale del punto ¯sso, secondo che

l'ellissoide rotondo d'inerzia, rispetto ad O μe allungato

A > C o schiacciato A < C.




Precessioni regolari del giroscopio pesante

Cerchiamo qui le precessioni regolari del giroscopio pesante, aventi

per asse di precessione la verticale del punto ¯sso e per asse

di ¯gura l'asse giroscopico. Poniamo dunque ! = ¹k0+ ºk

denotando con ¹ e º le componenti costanti di ! secondo l'asse

giroscopico e la verticale ascendente (dette rispettivamente ve-

locitμa angolare propria e velocitμa angolare di precessione

del corpo). Sostituendo nella (2.26) e risolvendo rispetto al mo-

mento K(O0), si trova

K(O0) = (A¹¡ [A¡ C]r) k0 +Aºk; (2.29)

quindi tutto si riduce a cercare se sia possibile soddisfare con una

tale espressione diK(O0), dove r, ¹ e º siano costanti, all'equazionedinamica (2.23) del moto del giroscopio pesante. Sostituendo la

(2.29) nella (2.23) e ricordando che0@dk0dt

1AO

= ! £ k0 = ºk£ k0

si ottiene

f(A¹¡ [A¡ C]r) º + Pz0Gg k0 £ k = 0

dove in ogni precessione regolare, che non si riduca ad una semplice

rotazione intorno all'asse giroscopico, deve essere k0 £ k 6= 0, si

ottiene quindi la seguente equazione scalare

(A¹¡ [A¡ C]r) º + Pz0G = 0: (2.30)

Esplicitando, oltre che rispetto ai caratteri intrinseci del giro-

scopio A, C, p e z0G, rispetto ai parametri caratteristici della pre-cessione e in particolare rispetto all'angolo costante μ di nutazione

si ottiene r = ! ¢ k0 = ¹+ º cos μ e la (2.30) diventa(A¡ C) º2 cos μ ¡ C¹º + Pz0G = 0: (2.31)

μE questa la condizione necessaria e su±ciente perch¶e i

parametri ¹; º; μ de¯niscano per il dato giroscopio pe-

sante una precessione regolare. Notiamo che ¯ssando arbi-

trariamente (entro certi limiti) due dei tre parametri ¹; º; μ sidetermina univocamente il terzo.




In particolare si ottiene che risolvendo l'equazione di II± grado(2.31) in º, essendo ¯ssati μ e ¹ con ¹ À 1, si ottengono le due

soluzioni che, trascurando le potenze di ¹¡1 con esponente mag-giore di 1, sono date da:

º1 ¼ C¹(A¡ C) cos μ ; º2 ¼ ¡Pz

0G

C ¹¡1:

Abbiamo quindi ottenuto il seguente risultato:

Teorema. Qualunque sia la semiretta per O0, solidale con ilcorpo (e diversa dall'asse giroscopico) che (in un dato istante) sidisponga verticalmente (all'ingiμu o all'insμu), per ogni valore abbas-tanza grande della velocitμa propria ¹ intorno all'asse giroscopico,sono possibili per il giroscopio due diverse precessioni regolari, perle quali la rotazione precessionale μe rapida nell'una (º dello stessoordine di ¹), lenta nell'altra (º dell'ordine di ¹¡1).Osserviamo che le precessioni corrispondono, nell'analisi fatta

in precedenza, alle soluzioni s = s1 = s2 doppie della equazionef(s) = 0 interne all'intervallo (¡1;+1).

2.4.1 Determinazione dell'angolo di nutazione

Tenendo conto degli integrali (2.21) e (2.22) e delle equazioni gen-

erali (2.15) (basta la terza), si ottiene la equazione di®erenziale

del primo ordine

_s2 = ©(s); dove s = °3 = cos μ:

In particolare ponendo

CA = c; ¡2Pz

0G

A = ½2; ¡ E

Pz0G= h;

Kz;0

A = ½k; r = ½¸;(2.32)

dove c e ½ sono due costanti positive dipendenti esclusivamentedalla distribuzione delle masse nel corpo; mentre h; k; ¸ (al paridi E; Kz;0 e r da cui di®eriscono per un coe±ciente di omogeneitμa)sono costanti di integrazione ridotti a numeri puri. Con tali po-

sizioni gli integrali primi (2.21) e (2.22) assumono la forma

p°1 + q°2 = ½(k ¡ çs); (2.33)




p2 + q2 = ½2(¡s+ h ¡ ç2); (2.34)

onde sostituendo nella identitμa

(p°1 + q°2)2+ (p°2 ¡ q°1)2 =

³p2 + q2

´(1¡ °23)

=³p2 + q2

´(1¡ s2) (2.35)

e tenendo conto della terza delle equazioni (2.15), si ottiene per la

s l'equazione preannunciata

_s2

½2= (1¡ s2)(¡s+ h¡ ç2)¡ (çs¡ k)2: (2.36)

Essa costituisce la risolvente del problema del moto del giro-

scopio pesante perch¶e non appena si μe determinata l'espressione

s = °3 dalla (2.36) in funzione del tempo, si trovano (vedremopoi come) con eliminazioni e quadrature le analoghe espressioni

degli altri elementi incogniti del moto, cio¶e di °1; °2; p; q (r μecostante) o, addirittura, dei due angoli di Eulero Ã; '. Resta

cosμ³ stabilita la integrabilitμa per quadrature del problema

del moto del giroscopio pesante.

Discussione della equazione risolvente

Escludiamo il caso ¸ = 0 (cio¶e il caso r = 0 che ci riporterebbe alcaso caso di rotazione nulla attorno all'asse giroscopico e quindi al

pendolo sferico) e studiamo l'andamento qualitativo delle soluzioni

della equazione risolvente (2.36). Tale discussione si fonda sulla

indagine delle radici (reali) del polinomio di terzo grado che com-

pare nella (2.36):

f (s) = f (s;¸; h; k)

= (1¡ s2)(¡s+ h¡ ç2)¡ (çs¡ k)2: (2.37)

Anzitutto si osservi che

lims!§1 f(s) = §1:

Inoltre si hanno i seguenti casi:

a) ç 6= §k allora f (§1) = ¡(§¸c ¡ k)2 < 0 e quindi f(s) am-mette certamente una radice s3 > +1; inoltre, a seconda del

valore che f (s0) ¸ 0 assume (s0 μe il valore iniziale), si ha che:




a1)f(s0) > 0 allora il trinomio f(s) ammette tre radici realisemplici s1; s2; s3 con s3 > +1 e s1; s2 appartenenti all'in-tervallo (¡1;+1);

a2)f(s0) = 0, se s0 μe radice doppia s1 = s2 = s0 allora la terzaradice s3 μe comunque maggiore di +1 e la funzione f (s) simantiene negativa in tutto l'intervallo (¡1;+1)¡ fs0g;

a3)se invece f(s0) μe semplice allora, come nel caso a1) la fun-zione f(s) ammette due radici s1 e s2 interne all'intervallo(¡1;+1) e la terza s3 maggiore di +1.

b) Per ç = ¡k, il polinomio f(s) assume valore negativo in +1ed μe nullo in ¡1, quindi f (s) ammette certamente una radices3 > +1; inoltre, si hanno due possibilitμa:

b1)¡1 μe radice doppia, s1 = s2 = ¡1, allora il polinomio f(s) μenegativo all'interno dell'intervallo (¡1;+1] ed ha una terzaradice s3 > +1;

b2)se invece s1 = ¡1 μe radice semplice allora deve essere neces-sariamente s2 interna all'intervallo (¡1;+1).

c) In¯ne nel caso ç = +k il polinomio f(s) ammette la radice+1; ma, all'infuori di questa circostanza si possono presentare

per le altre due radici tutti i casi possibili:

c1)f(s) ha una radice tripla e questa μe necessariamente +1;c2)f(s) ha una radice semplice in +1 ed una radice doppiaall'interno di (¡1;+1);

c3)f(s) ha una radice doppia in +1 ed ha una radice sempliceesterna all'intervallo (¡1;+1);

c4)f(s) ha una radice doppia in +1 ed ha una radice sempliceinterna all'intervallo (¡1;+1).

Caso delle radici semplici: moti con nutazione dell'asse giroscopico

Nel caso di due radici semplici ¡1 < s1 < s2 < +1 la funzione

s = cos μ, al trascorrere del tempo, oscilla inde¯nitamente fra i duevalori estremi s1 ed s2; il che, nei riguardi del giroscopio, vuol direche l'asse descrive nello spazio una super¯cie conica sempre com-

presa fra i due coni di rotazione ad asse verticale di semi-apertura

cos¡1 s1 = μ1 > μ2 = cos¡1 s2, e raggiunge alternativamente l'unoe l'altro (moto di nutazione dell'asse giroscopico). In parti-

colare la traiettoria (sferica) del punto V (detta traiettoria del




vertice) μe tutta compresa fra i due paralleli μ1 e μ2 e va, alterna-tivamente dall'uno all'altro in modo periodico.

Andamento della curva al vertice

Sempre nel caso di due radici semplici ¡1 < s1 < s2 < +1 siamo

interessati ora a studiare l'andamento della curva del vertice Vsulla super¯cie sferica con particolare riguardo al caso in cui tocca

i paralleli. Si ricerca l'angolo ® che la tangente alla curva al vertice,in un suo generico punto, forma con il meridiano passante per essa

di versore u. Questo versore, come ortogonale a k0e parallelo al

piano verticale k; k0, risulta parallelo al componente equatoriale

di k, cio¶e a °1 ³0 + °2^

0, quindi si puμo scrivere

u =°1³

0 + °2^0q

1¡ °23=°1³

0 + °2^0

p1¡ s2 : (2.38)

D'altra parte la velocitμa del vertice V , estremo libero del versore

k0applicato in O0, μe data da

dk0

dt= ! £ k0 )

¯¯dk

0

dt

¯¯2

= p2 + q2:

Per la de¯nizione di prodotto scalare si ha

cos2 ® =

¯d^k0

dt¢ u¯2

¯d^k0

dt

¯2 =_s2

(1¡ s2)(p2 + q2) : (2.39)

dalle (2.38) e dalla terza delle equazioni (2.15). Quindi nell'is-

tante in cui il vertice va a trovarsi sull'uno o sull'altro dei paralleli

estremi, essendo _s = 0 ed essendo s1;2 6= §1 si ha cos® = 0

(supponendo inoltre che nell'istante considerato p e q non sonoentrambi nulli); il che vuol dire che in generale la curva del

vertice risulta tangente ai paralleli estremi nei punti, in

cui alternativamente, li raggiunge.

Resta il caso eccezionale in cui p = q = 0 quando il vertice

raggiunge un parallelo estremo. Dalla (2.39) segue che per _s 6= 0

devono essere, necessariamente, p e q non nulli. Poich¶e poi, in




corrispondenza di una delle due radici s = s1 o s = s2 sia p = q = 0μe necessario che per una tale radice sussistano simultaneamente

dalle (2.33) e (2.34) le due equazioni

k ¡ çs = 0; ¡s+ h¡ ç2 = 0:Se poniamo ¹s = k=ç allora la condizione necessaria a±nch¶esia p = q = 0 in corrispondenza a s = s1 o s = s2 μe che sia

k

ç= h¡ ç2 (2.40)

e che s1 = ¹s o s2 = ¹s. Nel caso sia veri¯cata la condizione (2.40)le (2.34) e (2.36) prendono la forma

p2 + q2 =½2

ç(¡çs+ k)

e

_s2 =½2

ç(1¡ s2)(¡cs¸ + k)¡ ½2(cs¸¡ k)2;

e la (2.39) in questo caso si puμo scrivere

cos2 ® = 1 + ççs¡ k(1¡ s2)

e mostra che, quando s tende al suo valore estremo ¹s = k=ç,cos® tende a 1; quindi, dato il carattere oscillatorio della s, lacurva del vertice, nei punti che ha comuni con il parallelo

considerato, presenta una cuspide a tangente meridiana.

Si aggiunge, in¯ne, che una tale eventualitμa puμo presentarsi

soltanto sul parallelo superiore. Infatti, la soluzione s1;2 =¹s = k=ç μe, per il polinomio f(s) la maggiore delle due radici

semplici comprese tra ¡1 e +1 poich¶ef 0(s = k=ç) = ¡½2(1¡ k2=c2¸2) < 0:

Quindi, per ¡1 < s1 < s2 < +1 e ad esclusione del caso kç=

h ¡ ç2, il vertice tocca i paralleli minimo e massimo in

modo tangente; nel caso particolare kç= h ¡ ç2 il vertice

tocca in modo tangente il parallelo minimo e forma una

cuspide verticale quando tocca il parallelo massimo.




2.4.2 Discussione del moto di precessione Ã(t)

Andiamo a studiare l'andamento dell'angolo di precessione Ã du-rante il moto. Dalla (2.21) e dal fatto che Cr = Kz0;0 μe un integrale

primo del moto si ottiene che

p°1 + q°2 =Kz;0 ¡Kz0;0 cos μ

A :

D'altra parte le (2.6) e le (2.16) danno

p°1 + q°2 = ( _μ cos'+ _Ã sin' sin μ) sin' sin μ +

+(¡ _μ sin'+ _Ã cos' sin μ) cos' sin μ

= _Ã sin2 μ

ottenendo in¯ne

_Ã =Kz;0 ¡Kz0;0 cos μ

A sin2 μ =a¡ bs1¡ s2 = ½

k ¡ çs1¡ s2

dove s = cos μ, a = Kz;0

A = ½k e b =Kz0 ;0A = cr = ½ç.

Se ¹s = ç=k μe interno all'intervallo (s1; s2) allora la velocitμa diprecessione sui paralleli, de¯niti da μ1 e μ2, μe opposta e il vertice Vsi muove sulla super¯cie sferica tracciando una curva con dei nodi;

se invece μe esterno allora il moto di precessione μe monotono; in¯ne

abbiamo il caso limite in cui uno dei due valori s1 o s2 coincide con¹s, questo caso μe giμa stato visto in precedenza e la curva presentauna cuspide quando tocca una delle due quote (necessariamente

quella corrispondente al parallelo massimo).

Caso delle radici multiple e moti Merostatici

Esaminiamo il caso in cui il polinomio f(s) ammetta nell'inter-vallo da ¡1 a +1 (estremi inclusi) una radice multipla s0. Esclusal'eventualitμa ç = k, sappiamo che non puμo trattarsi se non di unaradice doppia s0, isolata nel senso che il polinomio f (s) in ogni al-tro punto dell'intervallo risulta negativo. Il moto corrispondente

μe di necessitμa un moto merostatico, in cui conserva inde¯ni-

tamente il suo valore iniziale s0. Ciμo vuol dire che l'asse

giroscopico appartiene costantemente al cono di rotazione intorno

alla verticale di angolo μ0 = cos¡1 s0. μE facile veri¯care che

il moto del solido si riduce ad una precessione regolare:




! =eq1¡ °23

k +

0@r ¡ e°3q1¡ °23

1A k0;dove r = r0 e °3 = s0 sono costanti. Infatti, dalla costanza di

°3 = s0 risulta pure costante la somma jej2 = p2 + q2. D'altra

parte la costanza di °3 implica l'ulteriore relazione °2p¡ °1q = 0,cio¶e p=q = °1=°2, da cui segue che deve essere

e =eq1¡ °23

(°1 ³0 + °2^

0) =eq1¡ °23

³k¡ °3k0

´

da cui segue la tesi.

Determinazione completa del moto

Facciamo in¯ne vedere che, una volta determinata °3 integrandola (2.36), anche gli altri elementi (p, q, °1 e °2) si possono calcolarecon quadrature. Dalle (2.33) e (2.35) segue che

p°1 + q°2 = £1(t) e q°1 ¡ p°2 = £2(t)dove £1 e £2 denotano due funzioni note una volta sia noto s =s(t). Denotando ³ = p + iq e ¹ = °1 + i°2 segue che

³ ¹¹ = £1 + i£2 ovvero ³ = ¹£1 + i£2

1¡ °23: (2.41)

D'altra parte dalle (2.15) risulta

_¹ = ¡ir¹ + i°3³che, unitamente alla (2.41) dμa

d log¹

dt= ¡ir + i°3£1 + i£2

1¡ °23che, mediante una quadratura, permette di determinare ¹ = ¹(t)e quindi °1(t) = <¹ e °2 = =¹. Inoltre, nota ¹(t), μe possibiledeterminare poi ³(t), e quindi p(t) e q(t), dalla (2.41).



2.5 Trottola veloce 83

2.5 Trottola veloce

Ipotizziamo che la componente costante r della velocitμa angolaregiroscopica sia, durante tutto il moto, rilevante non solo di fronte

alle altre due componenti p e q, ma anche di fronte alla costantestrutturale ½ de¯nita dalla relazioni (2.32); da quest'ultima ipotesisegue che anche la costante ¸ de¯nita dalle (2.32) va ritenuta moltogrande. Quindi una trottola si dice "veloce" se l'energia cinetica

di rotazione μe molto maggiore dell'energia potenziale, cio¶e se

1

2Cr2 À mgz0G:

Inoltre dall'integrale primo dell'energia nella forma (2.34) segue

che

h = ç2 + h1; h1 =p2 + q2

½2+ s (2.42)

dove h1 μe indipendente da ¸ e molto piccolo rispetto a ¸ stesso.Analogamente l'integrale primo (2.33) del momento assiale della

quantitμa di moto si puμo scrivere

k = çs+R1; R1 =p°1 + q°2

½(2.43)

dove il termine R1 μe un termine indipendente da ¸; cosicch¶e se netrae

s = °3;0 ¡ R1ç; (2.44)

dove R1=ç si mantiene trascurabile di fronte alla grandezza

costante ¹s = °3;0 = k=ç. Riconosciamo cosμ³ che, quando il

giroscopio μe animato di una rotazione rapida intorno al suo asse,

questo conserva sensibilmente un'inclinazione costante

sulla verticale (cos ¹μ = ¹s = k=ç).

Piccole oscillazioni del moto di nutazione

Porremo quindi come valore approssimato di k

k = ç¹s; (2.45)




e riterremo ¹s 6= §1, cio¶e escluderemo k 6= §ç. Per studiare le

piccole oscillazioni di s intorno ad ¹s, cio¶e il moto di nutazione,porremo

s = ¹s+ ¾; (2.46)

dove ¾ = O(¸¡1) va trattato come una quantitμa del primo ordine.Se ¹s (6= §1) μe esattamente radice doppia del polinomio f(s), ilmoto del giroscopio si riduce ad una precessione regolare e si ha

rigorosamente s ´ ¹s, cio¶e ¾ = 0. Esclusa questa eventualitμa _snon si annulla identicamente e, derivando la (2.36) rispetto a t edividendola per _s, si ricava

2Äs

½2= f 0(s);

e basta sostituirvi ¹s+¾ ad s e tenere conto che ¾ va trattato qualeuna quantitμa del primo ordine per ottenere, come caratteristica di

¾, l'equazione lineare

Ä¾ ¡ 1

2½2f 00(¹s)¾ ¡ 1

2½2f 0(¹s) = 0:

Questa equazione di®erenziale prende la forma

Ä¾ + c2r2¾ ¡ a½2 = 0;dove abbiamo posto

2a = f 0(¹s) = ¡2¹s(¡¹s+ h1)¡ (1¡ ¹s2) = ¡1¡ 2h1¹s+ 3¹s2

e

f 00(¹s) = ¡2c2¸2 ¡ 2h1 + 6¹s ¼ ¡2c2¸2:Ponendo, in¯ne, ¾1 = ¾ ¡ a½2

c2r2=¾ ¡ a

c2¸2assume la forma ¯nale

Ä¾1 + c2r2¾1 = 0;

che μe quella caratteristica dei moti armonici e che ha integrale

generale

¾1(t) = ²0 cos[cr(t¡ t0)]dove ²0 e t0 sono due costanti. Quindi



2.5 Trottola veloce 85

s = ¹s+ ²0 cos[cr(t¡ t0)] + a

c2¸2

da cui, essendo s(0) = ¹s+O(¸¡1) e _s(0) = _¹s si ottiene ²0 = O(¸¡1).In particolare, essendo ¹s 6= §1, il divario angolare ² = μ¡ ¹μ si puμoporre sotto la forma ² = ²1 + ²2 dove il primo addendo

²1 = ¡ a

c2¸2 sin ¹μ(2.47)

μe un numero dipendente dalle costanti iniziali e, in ogni caso pic-

colo per e®etto del denominatore c2¸2; mentre il secondo addendoμe dato da:

²2 = ¡ ¾1sin ¹μ

= ~²0 cos[cr(t¡ t0)]; ~²0 = ²0sin ¹μ

= O(¸¡1): (2.48)

Si ottiene la formula

μ ¡ ¹μ = ²1 + ~²0 cos [cr(t¡ t0)] ¼ ~²0 cos [cr(t¡ t0)] ; (2.49)

la quale fornisce l'espressione approssimata della nutazione, tanto

piμu attendibile quanto piμu μe rilevante ¸. La frequenza delle piccoleoscillazioni attorno a ¹s μe data da

!nut = cr =CAr:

Moto di precessione e di nutazione nel caso di piccole oscillazioni

Da quanto μe noto le espressioni degli altri due angoli di Eulero Ãe ' soddisfano alle due equazioni

_Ã =½(k ¡ çs)1¡ s2 ; _' = r ¡ _Ãs: (2.50)

Poich¶e s di®erisce da ¹s = k=ç per termini dell'ordine 1=¸ e ½¸ =

r, la _Ã assume la forma

_Ã = ¡cr s¡ ¹s1¡ s2 ¼ ¡

cr²01¡ ¹s2 cos[cr(t¡ t0)] + º

dove abbiamo posto º = ½aç(1¡¹s2) . Da qui si desume

Ã = ºt+²0

1¡ ¹s2 sin [cr(t¡ t0)] + cost: (2.51)




Come si vede, Ã risulta dalla somma di due termini, di cui il primo,proporzionale al tempo, corrisponde ad una rotazione uniforme

dell'asse di ¯gura, lenta di fronte alla rotazione giroscopica (di ve-

locitμa angolare r), mentre il secondo, periodico (di periodo 2¼=cr),dμa luogo a piccole oscillazioni intorno a tale moto precessionale.

Resta da valutare '. Sostituendo anche nella espressione (2.50)di _' a s il suo valore medio ¹s, si ottiene

_' ¼ r ¡ _Ã¹s;

da cui

' = (r ¡ º¹s)t¡ ¹s²0sin ¹μ

sin [cr(t¡ t0)] + cost: (2.52)

che in prima approssimazione si riduce a ' ¼ rt.

2.6 Stabilitμa del moto del giroscopio pesante.

2.6.1 Stabilizzazione giroscopica e trottola "addormentata".

Ci proponiamo di discutere la stabilitμa, ridotta ai parametri

p; q; r; s, delle rotazioni permanenti del giroscopio pesante intornoall'asse giroscopico diretto verticalmente all'insμu (s = +1; ¸arbitrario) essendo manifesta la stabilitμa nel caso dell'asse verti-

cale disposto all'ingiμu. Faremo vedere che per velocitμa abbastanza

grandi si ha stabilitμa (fenomeno di stabilizzazione giroscopica)

mentre per velocitμa inferiori di un certo valore si ha instabilitμa.

Un esempio classico di questo risultato μe costituito dalla trottola.

Infatti, mentre per una trottola, appoggiata al suolo con l'asse

disposto verticalmente all'insμu, μe instabile, al pari dello stato di

equilibrio, ogni rotazione lenta, basta imprimerle una velocitμa an-

golare rilevante perch¶e essa risulti stabile; questo caso prende il

nome di trottola addormentata o dormiente; infatti per ro-

tazioni molto veloci essa appare "ferma" (relativamente al moto

dell'asse giroscopico) e non appena, per e®etto dell'attrito, la ve-

locitμa di rotazione diminuisce sotto una certa soglia la trottola si

"sveglia", cio¶e il moto dell'asse giroscopico diventa osservabile.

Per studiare la stabilizzazione giroscopica assumiamo come

soluzione (merostatica) campione ¹¾ una qualsiasi delle rotazioniuniformi intorno all'asse giroscopico, diretto verticalmente all'insμu,



2.6 Stabilitμa del moto del giroscopio pesante. 87

cio¶e una ¹¾ per cui sia s = +1; p = 0; q = 0 mentre a ¸ e, quindi,ad r compete un valore costante generico. Consideriamo ora unagenerica ¾ inizialmente prossima a ¹¾; cio¶e tale che il valore in-iziale s0 di s sia prossimo a +1 e i valori iniziali p0 e q0 di p eq siano prossimi a zero (r coincide sempre con r0 e lo prendiamocoincidente con quello di ¹¾). Ora dall'integrale delle forze vive

p2 + q2 = ½2(¡s+ h ¡ ç2); (2.53)

valida sia per la ¾ che per ogni altra soluzione, si deduce che lastabilitμa relativa alle s; p; q (ed r) non si diversi¯ca da

quella ridotta all'unico parametro s. Infatti, se la s di ¾si mantiene prossima al suo valore iniziale s0, allora altrettantoavviene per p2 + q2 che inizialmente ha il valore di p20 + q

20 che μe

prossimo a zero e quindi sia p che q si mantengono piccoli. Con-seguentemente possiamo limitarci a controllare il divario tra s e+1.

Come sappiamo l'andamento della s(t) corrispondente a tale¾ si rileva dalla posizione (e dalla molteplicitμa) delle radici che ilpolinomio

f(s; ¹ + ¸1; ¹h+ h1; ¹k + k1) (2.54)

eventualmente ammette nell'intervallo da s = ¡1 ad s = 1. ¸1 =h1 = k1 = 0 corrispondono al caso ¹¾ e le costanti di integrazione¹h; ¹k sono date in termini della corrispondente ¹ dalle

¹h = c¹2 + 1; ¹k = c¹; (2.55)

poich¶e ¹p = ¹q = 0 e f(s; ¹; ¹h; ¹k) ha per s = 1 soluzione almeno

doppia. Quindi la (2.37) si riduce a

f (s; ¹; ¹h; ¹k) = (1¡ s)2(1¡ c2¹2 + s) (2.56)

che ha radici ¹s1 = ¹s2 = +1 e ¹s3 = c2¹2 ¡ 1. μE manifesto che, perragioni di continuitμa, per ¸1; h1; k1 prossimi a zero il polinomio(2.54) avrμa due radici s1; s2 prossime entrambe a +1 e, in piμu,una terza radice s3 prossima a ¹s3 = c

2¹2 ¡ 1. Si prova che:a) Ogni rotazione permanente ¹¾, la cui velocitμa angolare rendasoddisfatta la disuguaglianza




j¹j >p2

c(2.57)

μe stabile; infatti, in tal caso ¹s3 > +1 e quindi il polinomio (2.54)ha due radici s1 e s2 prossime a +1 ed una s3 > +1; quindi il

moto avviene con s(t) che oscilla tra s1 e s2, cio¶e in prossimitμadi +1;

b) Altrettanto puμo dirsi nel caso limite

j¹j =p2

c; (2.58)

in cui ¹s3 = +1, che dμa luogo alla radice tripla s = +1, giacch¶equi ancora la piμu grande delle tre radici corrispondenti ad una

generica ¾, inizialmente prossima a ¹¾, μe di necessitμa vicina a+1.

c) Se invece la ¹s3 μe interna all'intervallo (¡1;+1), cio¶e se j¹j <p2c, quindi la ¾ ha tre radici ¡1 < s3 < s1 · +1 · s2 e quindi

la s oscilla inde¯nitamente tra s1 ed s3 e quindi si scosta da +1per un intervallo ¯nito dando luogo alla instabilitμa di ¹¾.

Si puμo concludere che: delle rotazioni uniformi del girosco-

pio pesante intorno all'asse giroscopico, disposto vertical-

mente con il baricentro al di sopra del punto ¯sso, quelle

veloci (c2¸2 ¸ 2) sono stabili. La velocitμa critica, al di sottodella quale si perde la stabilitμa μe data da

jrj = 2

CqAjpjz0G:

Instabilitμa delle precessioni regolari del giroscopio pesante

Si assuma come soluzione campione ¹¾ una generica precessioneregolare per cui la s = cos μ conserva, durante tutto il moto, ilsuo valore iniziale ¹s0 = cos ¹μ0 dove ¹s0 μe una radice doppia delpolinomio f(s) interna all'intervallo (¡1;+1) (μe interna altrimentisi rientrerebbe nel caso precedente). Il polinomio f(s) ammettequindi, per ogni altra soluzione ¾ prossima a ¹¾, due radici realiprossime a ¹s0 e quindi nei riguardi del solo parametro s ogniprecessione regolare risulta stabile. Ma questa stabilitμa ridotta

non implica, a di®erenza del caso precedente, la stabilitμa globale



2.6 Stabilitμa del moto del giroscopio pesante. 89

relativa ai parametri p e q. Infatti in virtμu dell'integrale delle forzevive

p2 + q2 = ½2(¡s+ h ¡ ç2); (2.59)

la somma p2+q2 si mantiene prossima al suo valore iniziale p20+q20

e quindi a ¹p20 + ¹q20 (che non μe arbitrariamente piccolo) ma ciμo non

implica che p e q si mantengano, rispettivamente prossimi a p0 eq0.





3

Equazioni di Lagrange

3.1 Principio del d'Alembert e relazione simbolica della

Dinamica

Distinguendo tra forze attive e vincolari durante il moto var-

ranno le equazioni fondamentali

mas = Fs + Ás; s = 1; : : : ; N; (3.1)

che si possono scrivere

Fs ¡mas = ¡Ás: (3.2)

Per sistemi a vincoli perfetti la relazione

NXs=1

Ás ¢ ±Ps ¸ 0 =)NXs=1

(Fs ¡msas) ¢ ±Ps · 0 (3.3)

μe da considerarsi valida per tutti e soli gli spostamenti virtuali

±Ps, a partire dalla con¯gurazione assunta dal sistema, durante ilsuo moto, nel generico istante che si considera. La (3.3) prende

il nome di relazione simbolica della Dinamica; nel caso di

spostamenti invertibili va sostituita alla corrispondente equazione

NXs=1

(Fs ¡msas) ¢ ±Ps = 0 (3.4)

detta equazione simbolica della Dinamica.



92 3 Equazioni di Lagrange

3.2 Equazioni di®erenziali del moto di un sistema

olonomo

Riferiamo il nostro sistema olonomo ad una n¡upla qualsiasi dicoordinate lagrangiane indipendenti qh, dove n denota il grado dilibertμa del sistema. Le relazioni Ps = Ps(q; t) derivate rispetto altempo danno le velocitμa

vs =nXh=1

@Ps@qh

_qh +@Ps@t

(3.5)

e gli spostamenti virtuali

±Ps =nXh=1

@Ps@qh

±qh ; (3.6)

dove le n componenti ±qh sono arbitrarie e indipendenti.

Riprendendo la equazione simbolica della Dinamica, considerata

valida per tutti gli spostamenti virtuali invertibili, si ha:

NXs=1

msas ¢ ±Ps =NXs=1

Fs ¢ ±Ps : (3.7)

Il secondo membro μe il lavoro virtuale ±L delle forze attive e valel'identitμa

NXs=1

Fs ¢ ±Ps =nXh=1

Qh±qh

dove

Qh =NXs=1

Fs ¢ @Ps@qh

(3.8)

μe la componente della sollecitazione attiva secondo la co-

ordinata Lagrangiana qh. Quanto al primo membro della (3.7)esso si puμo scrivere, dalla (3.6), come

NXs=1

msas ¢ ±Ps =nXh=1

¿h±qh; dove ¿h =NXs=1

msas ¢ @Ps@qh

: (3.9)

In base alla arbitrarietμa dei termini ±qh e alle due identitμa (3.8)e (3.9) l'equazione simbolica della Dinamica (3.4) equivale alle nequazioni:



3.2 Equazioni di®erenziali del moto di un sistema olonomo 93

¿h = Qh; h = 1; 2; : : : ; n: (3.10)

Si conclude cosμ³ che per ogni sistema olonomo, a vincoli lisci

e bilateri le n equazioni (3.10) equivalgono alla equazionesimbolica della Dinamica e devono essere soddisfatte du-

rante il moto.

Le (3.10) si possono poi scrivere nella seguente forma, dette

equazioni di Lagrange:

d

dt

@T

@ _qh¡ @T

@qh= Qh; h = 1; 2; : : : ; n: (3.11)

La dimostrazione μe immediata e segue ricordando che

T =1

2

NXs=1

msvs ¢ vs

e notando che dalla (3.5) risulta

@vs@ _qh

=@Ps@qh

ed

dt

@Ps@qh

=@

@qh

dPsdt

=@vs@qh

;

allora

@T

@qh=

NXs=1

msvs ¢ @vs@qh

e

@T

@ _qh=

NXs=1

msvs ¢ @vs@ _qh

=NXs=1

msvs ¢ @Ps@qh

:

Derivando quest'ultima rispetto al tempo si ottiene che

d

dt

Ã@T

@ _qh

!=

NXs=1

msas ¢ @Ps@qh

+NXs=1

msvs ¢ @vs@qh

= Qh +@T

@qh:

Notiamo che, nelle (3.11), tutto ciμo che dipende dalla sol-

lecitazione attiva μe riassunto nelle sue componenti lagrangiane Qh,

tutto quello che attiene alla struttura materiale del sistema μe sin-

tetizzato nell'unico elemento globale T , cio¶e nella forza viva. Essedanno la completa impostazione del problema del moto di un




sistema olonomo; sotto l'aspetto analitico, costituiscono un sis-

tema di®erenziabile del II± ordine nelle n funzioni incognite qh(t),riducibile a forma normale.

Noti i valori q0h e _q0h di qh e _qh in un determinato istante, cio¶e

assegnate la con¯gurazione iniziale del sistema e le velocitμa iniziali

dei singoli punti, allora avremo, per i noti teoremi di esistenza ed

unicitμa delle equazioni di®erenziali, una unica soluzione qh = qh(t)delle (3.11) che darμa, necessariamente, il moto del sistema. Cio¶e:

assumendo i vincoli perfetti, bilateri e olonomi e le neces-

sarie condizioni di regolaritμa sulle forze e sulle relazioni che

de¯niscono le con¯gurazioni del sistema a partire dalle coordi-

nate lagrangiane, dai teoremi di esistenza e unicitμa delle soluzioni

delle equazioni di®erenziali segue che le soluzioni delle equazioni

di Lagrange, assegnate le condizioni iniziali, sono uniche e quindi

devono necessariamente coincidere con le leggi del moto; ovvero

le soluzioni delle equazioni di Lagrange danno il moto del

sistema.

3.3 Funzione Lagrangiana

Supponiamo che le forze attive Fs derivino da un potenziale Us;quindi U = U(q; t) =

PNs=1 Us(Ps) e, in coordinate lagrangiane,

Qh =@U@qh. Da ciμo, e dalla indipendenza di U da _qh, le equazioni

di Lagrange assumono la forma

d

dt

@L@ _qh

¡ @L@qh

= 0; h = 1; 2; : : : ; n; (3.12)

dove si μe posto

L( _q;q; t) = L = T + U = T ¡ V: (3.13)

Alla funzione L si dμa il nome di funzione Lagrangiana.

3.4 Coordinate cicliche e Lagrangiana ridotta

Assegnata la funzione Lagrangiana L = L( _q;q; t), de¯niamo mo-menti cinetici le derivate ph =

@L@ _qh.



3.4 Coordinate cicliche e Lagrangiana ridotta 95

Se supponiamo che la funzione Lagrangiana L sia indipendenteda una (o piμu) delle variabili qh, per esempio dalla q1, allora l'e-quazione (3.12) di indice h = 1 fornisce immediatamente l'inte-

grale primo

p1 =@L@ _q1

= Cost:: (3.14)

Gli integrali di questo tipo si dicono integrali primi dei mo-

menti e le coordinate qh, che non comparendo nella funzione La-grangiana danno luogo a tali integrali, si chiamano ignorabili o

cicliche.

Se nella funzione Lagrangiana L alcune (per ¯ssare le idee le

prime m) coordinate qk, k = 1; : : : ;m, sono cicliche, cio¶e

L = L( _q1; : : : ; _qn; qm+1; : : : ; qn; t) = L( _q;q0; t);q0 = (qm+1; : : : ; qn)allora il corrispondente sistema lagrangiano ammette gli m inte-

grali primi dei momenti

pk =@L@ _qk

= ck = cost:; k = 1; 2; : : : ;m: (3.15)

Supponiamo che il sistema delle m equazioni (3.15) sia risolubile

rispetto ad m delle _q; ciμo μe sempre vero quando il rango dellamatrice Hessiana Ã

@2L@ _qh@ _qk

!h=1;:::;n; k=1;:::;m

μe uguale a m. Nel caso particolare in cui L = T +U allora l'Hes-

siano μe una matrice de¯nita positiva e quindi il minore formato

dalle prime m righe e colonne ha determinante non nullo; cosicch¶e

le equazioni (3.15) sono risolubili rispetto alle derivate _qk delle mcoordinate cicliche qk ottenendo

_qk = _qk( _q0;q0; t); q0 = (qm+1; : : : ; qn): (3.16)

Le ultime n¡m equazioni di Lagrange

d

dt

@L@ _qh

¡ @L@qh

= 0; h = m+ 1; : : : ; n;




che giμa per ipotesi non contengono le q1; : : : ; qm, si possono quindirendere indipendenti anche dalle componenti _qk; Äqk, k = 1; : : : ;m,sostituendo a ciascuna di queste l'espressione in termini delle qh,_qh, Äqh(h > m) e delle ck fornita dalle (3.16). Si perviene cosμ³ adun sistema di®erenziale del secondo ordine, che coinvolge soltanto

le n¡m incognite qh (h = m+ 1; : : : ; n).μE possibile provare che questo sistema nelle residue n ¡m co-

ordinate lagrangiane conserva ancora la forma Lagrangiana dove

per Lagrangiana si ha la funzione Lagrangiana ridotta data

da

L? = L¡mXk=1

ck _qk; (3.17)

dove alle _qk vanno sostituite le loro espressioni in termini delleqh; _qh, h = m + 1; : : : ; n e ck, k = 1; : : : ;m, date dalla (3.16).Le veri¯ca μe immediata, per ¯ssare le idee assumiamo m = 1 e

la sola prima coordinata ciclica in modo che sia (esprimendo la

dipendenza)

L? = L?( _q0;q0; c1; t)= L [ _q1( _q0;q0; c1; t); _q0;q0; t]¡ c1 _q1( _q0;q0; c1; t)

dove q0 = (q2; : : : ; qm) e quindi

@L?@qh

=@L@qh

+@L@ _q1

@ _q1@qh

¡ c1 @ _q1@qh

=@L@qh

; h > 1;

in virtμu delle (3.15). Analogamente si ottiene

@L?@ _qh

=@L@ _qh

+@L@ _q1

@ _q1@ _qh

¡ c1 @ _q1@ _qh

=@L@ _qh

; h > 1:

Il caso m > 1 μe perfettamente analogo.Una volta risolte le equazioni di Lagrange per la Lagrangiana

ridotta e quindi determinate le n ¡ m funzioni qh(t), h > m, ladeterminazione delle rimanenti qk(t), k · m, funzioni avviene perquadratura delle equazioni di®erenziali

_qk = ¡@L?

@ck:

Infatti, assumendo ancora m = 1,



3.5 Esempio: problema di Keplero. 97

@L?@c1

=@L@ _q1

@ _q1@c1

¡ c1@ _q1@c1

¡ _q1 = ¡ _q1in virtμu delle (3.15).

3.5 Esempio: problema di Keplero.

Consideriamo il moto, rispetto ad un osservatore assoluto, di un

sistema costituito da 2 punti liberi. Poich¶e l'energia potenziale

d'interazione di due particelle dipende soltanto dalla distanza tra

di loro allora la funzione Lagrangiana μe data da

L = 1

2m1v

21 +

1

2m2v

22 + U(juj); u = P2 ¡ P1:

Volendo studiare il moto rispetto ad un sistema di riferimento

relativo poniamo l'origine del sistema di riferimento (traslante)

nel baricentro dei due punti, questo punto G deve soddisfare la

usuale relazione

m1(P1 ¡G) +m2(P2 ¡G) = 0da cui segue che deve essere

(P1 ¡G) = m2

m1 +m2

u =m

m1

u

e

(P2 ¡G) = ¡ m1

m1 +m2

u = ¡ mm2

u

dove abbiamo introdotto la massa ridotta m = m1m2

m1+m2e dove ab-

biamo posto u = P2 ¡ P1 il vettore aventi estremi coincidenti coni due punti. Introducendo, invece che le coordinate dei due punti

quali parametri lagrangiani, la posizione del baricentro ed il vet-

tore u, allora, in virtμu del teorema di KÄonig e di quanto detto la

Lagrangiana assume la forma

L = 1

2(m1 +m2)v

2G +

1

2m1

Ãd(P1 ¡G)

dt

!2+1

2m2

Ãd(P2 ¡G)

dt

!2+ U(u)

=1

2(m1 +m2)v

2G +

1

2m1

m22

(m1 +m2)2_u2 +

1

2m2

m21

(m1 +m2)2_u2 + U(u)

=1

2(m1 +m2)v

2G +

1

2m _u2 + U(u) :




dove u = juj. Osserviamo che la Lagrangiana μe indipendente

dalle coordinate (xG; yG; zG) del baricentro e quindi queste sonocoordinate cicliche. Avremo quindi

px =@L@ _xG

= (m1 +m2) _xG = costante

py =@L@ _yG

= (m1 +m2) _yG = costante

pz =@L@ _zG

= (m1 +m2) _zG = costante

da cui segue che il baricentro si muove di moto rettilineo uniforme.

La Lagrangiana ridotta diventa

L? = L ¡ px _xG ¡ py _yG ¡ pz _zG= ¡ 1

2(m1 +m2)(p2x + p

2y + p

2z) +

1

2m _u2 + U(u):

In conclusione, essendo il potenziale sempre de¯nito a meno di una

costante additiva, si ha che la Lagrangiana ridotta diventa

L? = 1

2m _u2 + U(u)

che corrisponde al problema del moto di un punto P di

massa m in un campo esterno dato da U(u) dove u = P¡O1

con O1 ¯sso. Una volta determinata u(t) μe possibile determinarepoi il moto dei due punti.

Introducendo poi le coordinate polari sferiche (r; μ; ') la La-grangiana ridotta assume la forma

L? = 1

2m( _r2 + r2 _μ2 + r2 sin2 μ _'2) + U(r)

da cui segue immediatamente che ' μe una coordinata ciclica equindi

p' =@L?@ _'

= mr2 sin2 μ _' = costante (3.18)

dove questa costante viene calcolata in virtμu delle condizioni in-

iziali. Ora, assegnata la posizione iniziale e la velocitμa iniziale di

P , possiamo sempre scegliere il sistema di riferimento centrato in



3.5 Esempio: problema di Keplero. 99

O1 in modo che sia v(0) incidente sull'asse z e quindi _'0 = 0. Conquesta scelta e dalla relazione (3.18) segue che deve essere

p' = mr2 sin2 μ _' ´ 0

e quindi ' ´ '0, cio¶e il moto avviene in un piano ¯sso con-tenente O1 (e quindi anche il baricentro tra i due punti).Riducendo ulteriormente la Lagrangiana otteniamo, dove ora μ

e r hanno il signi¯cato di coordinate polari su tale piano, che lanuova Lagrangiana (denotata sempre nello stesso modo) diventa

L? = 1

2m( _r2 + r2 _μ2) + U(r) ;

da cui risulta una ulteriore coordinata ciclica (per questa La-

grangiana ridotta) data da μ e avremo che

pμ =@L?@ _μ

= mr2 _μ = costante: (3.19)

Questo integrale primo coincide con l'integrale primo dei mo-

menti e dμa la costanza della velocitμa areolare. μE in¯ne possibile

ridurre ulteriormente la Lagrangiana ottenendo come (ultima) La-

grangiana ridotta la seguente

L? = 1

2m( _r2 + r2 _μ2) + U(r)¡ pμ _μ

=1

2m

Ã_r2 + r2

p2μm2r4

!+ U(r)¡ pμ pμ

mr2

=1

2m _r2 ¡ 1

2

p2μmr2

+ U(r) =1

2m _r2 ¡ Ueff (r);

dove abbiamo introdotto il potenziale e±cace

Ueff(r) =1

2

p2μmr2

¡ U(r):

Per completare lo studio di questo problema non utiliziamo le

equazioni di Lagrange ma, facendo uso dell'integrale primo della

energia meccanica

E =1

2m _r2 ¡ Ueff (r)




si ottiene

_r =

s2

m[E + Ueff(r)] =

s2

m[E ¡ U (r)] + p2μ

m2r2

da cui, per separazione di variabili,

t =Z drr

2m[E ¡ U (r)] + p2

μ

m2r2

+ costante;

che, integrata, dμa r = r(t). Per la determinazione di μ(t) si integraper quadrature la equazione

_μ = ¡@L?

@pμ=

pμmr2

cio¶e μ(t) =Z pμmr2(t)

dt

che, con il cambio di variabili t! r per il quale dr = _rdt, si ottienela equazione delle traiettorie

μ(r) =Z pμmr2(t)

1r2m[E ¡ U(r)] + p2μ

m2r2

dr:

3.6 Integrazione per quadrature del giroscopio pesante

Studiamo ora il problema facendo uso delle equazioni di Lagrange

invece che degli integrali primi del moto dedotti attraverso le

equazioni cardinali della Dinamica.

Calcolo della Lagrangiana e coordinate cicliche

Introduciamo la funzione Lagrangiana che, in virtμu delle (2.6) as-

sume la seguente forma:

L = T + U = 1

2A³p2 + q2

´+1

2Cr2 + Pz0G cos μ

=1

2A³_μ2 + _Ã2 sin2 μ

´+1

2C³_Ã cos μ + _'

´2 ¡mgz0G cos μ:Appare quindi immediatamente che le coordinate ' e Ã sono ci-

cliche e quindi abbiamo i due integrali primi



3.6 Integrazione per quadrature del giroscopio pesante 101

p' =@L@ _'

= C( _Ã cos μ + _') = Cr = Kz0;0 (3.20)

e

pÃ =@L@ _Ã

= A sin2 μ _Ã + C cos μ³_Ã cos μ + _'

´= Kz;0: (3.21)

Osserviamo che tali integrali primi coincidono con le componenti

del momento della quantitμa di moto relativa all'asse (O0; z0) e(O0; z). Come terzo integrale primo abbiamo, al solito, l'energiameccanica totale (2.11) che scriveremo in coordinate lagrangiane

come

A2

³_μ2 + _Ã2 sin2 μ

´+C2

³_Ã cos μ + _'

´2+mgz0G cos μ = E:(3.22)

Dalle (3.20) e (3.21) si ricava immediatamente

_Ã =pÃ ¡ p' cos μA sin2 μ e _' =

p'C ¡ cos μ

pÃ ¡ p' cos μA sin2 μ (3.23)

che eliminate in (3.22) permettono di ottenere

1

2A _μ2 + Veff(μ) = E0

dove E0 = E ¡mgz0G ¡ p2'=2C e

Veff(μ) =(pÃ ¡ p' cos μ)22A sin2 μ ¡mgz0G(1¡ cos μ)

da cui risulta che il problema μe solubile mediante 3 quadrature.

Escludendo i casi particolari pÃ = §p' andiamo a discuterela regione di variazione dell'angolo di nutazione μ; questa regionesarμa de¯nita dalla condizione E0 ¸ Veff(μ). Poich¶e la funzione

Veff (μ) tende a +1 per i valori μ = 0; ¼ e passa per un min-imo nell'intervallo (0; ¼) allora l'equazione Veff(μ) = E0 avrμa dueradici μ1 e μ2 (eventualmente coincidenti) che danno gli angoli lim-ite d'inclinazione dell'asse della trotola rispetto alla verticale. La

discussione delle due radici μ1 e μ2 μe giμa stata e®ettuata nel para-grafo precedente.





4

Piccole oscillazioni

4.1 Teorema di Dirichlet

Ricordiamo che per un sistema meccanico a n gradi di libertμa, convincoli perfetti, bilateri, olonomi (e nel seguito supporremo anche

scleronomi) e soggetto ad un sistema di forze conservative valgono

le equazioni di Lagrange

d

dt

@L@ _qk

=@L@qk

; k = 1; : : : ; n (4.1)

dove L = T + U μe la funzione Lagrangiana. Cio¶e le soluzioni

qk = qk(t), k = 1; : : : ; n, di tali equazioni soddisfacenti ad as-segnate condizioni iniziali sono le equazioni del moto del sis-

tema, e viceversa. Le con¯gurazioni di equilibrio sono le soluzioni

stazionarie qk(t) ´ q?k del sistema (4.1), dove i valori q?k sono le

soluzioni del sistema

@U

@qk= 0; k = 1; : : : ; n:

In generale le equazioni (4.1) costituiscono un sistema di n equazionidi®erenziali del II ordine non integrabile; con il metodo delle pic-

cole oscillazioni si propone un approccio che, mediante un'ap-

prossimazione, vuole determinare le caratteristiche principali del

moto prossimo ad una soluzione stazionaria qk(t) ´ q?k corrispon-dente ad una con¯gurazione C? ´ q? = (q?1; : : : ; q

?n) di equilibrio

stabile. Premettiamo il seguente risultato:

Teorema di Dirichlet: Sia dato un sistema meccanico a vin-coli perfetti, bilateri, olonomi e scleronomi e soggetto ad un sis-



104 4 Piccole oscillazioni

tema di forze conservative; sia C? = q? un punto di minimo rel-ativo in senso stretto per l'energia potenziale V = ¡U (suppostaregolare a su±cienza), cio¶e esiste un intorno I di q? tale che

8q = (q1; : : : ; qn) 2 I;q 6= q? ) V (q) > V (q?): (4.2)

Sotto tali ipotesi si ha che

8² > 0 9± > 0 : jqk(t0)¡ q?kj+ j _qk(t0)j · ± (4.3)

allora il moto avviene in un intorno della con¯gurazione di equi-librio:

jqk(t)¡ q?kj+ j _qk(t)j · ² 8t ; (4.4)

dove t0 μe l'istante iniziale e qk(t0) e _qk(t0) le condizioni inziali delmoto qk(t).Ricordando che un punto di minimo relativo per l'energia

potenziale corrisponde ad una con¯gurazione di equilibrio stabile

allora il signi¯cato meccanico della (4.4) μe evidente: se inizialmente

prendiamo il sistema prossimo alla con¯gurazione di equilibrio sta-

bile e con velocitμa su±cientemente piccole allora il moto del sis-

tema a partire da tali con¯gurazione iniziale rimane prossimo in-

de¯nitamente alla con¯gurazione di equilibrio stabile e con velocitμa

che si mantegono piccole.

Una condizione su±ciente a±nch¶e l'ipotesi (4.2) sia soddisfatta

μe che l'energia potenziale abbia tutte le derivate parziali @V@qk

nulle

in q? = (q?1 ; : : : ; q?n) e che la matrice Hessiana di V calcolata in q?

sia de¯nita positiva (cio¶e abbia tutti gli n autovalori strettamentemaggiori di zero). La dimostrazione generale di questo teorema

si basa sul principio di conservazione dell'energia meccanica. Sia

E l'energia meccanica del sistema che, in virtμu delle condizioni in-

iziali e per continuitμa, μe prossima al valore dell'energia potenziale

in corrispondenza al punto di minimo relativo: E ¼ V (q?) per ±su±cientemente piccolo. Se V ha un punto di minimo relativo

in q? allora V si puμo approssimare, almeno localmente, con un

paraboloide in n dimensioni avente vertice nella con¯gurazione diequilibrio; se il sistema si allontana troppo dalla con¯gurazione di

equilibrio o se le velocitμa diventano grandi allora l'energia poten-

ziale o l'energia cinetica aumentano e la somma T + V non puμo

mantenersi uguale a E.



4.2 Moto delle piccole oscillazioni 105

Dimostrazione: Possiamo sempre assumere, senza perdere ingeneralitμa, q?k = 0 e U (q?) = 0. Poich¶e q? = (q?1; : : : ; q

?n) μe un

punto di massimo e®ettivo per U , cio¶e di minimo relativo e®ettivoper V = ¡U , segue che esiste un ± > 0 tale che per ogni q =

(q1; : : : ; qn) 6= (0; : : : ; 0) e tale che jqkj · ± allora V (qk) > 0. Se

consideriamo poi l'espressione dell'energia totale

E(q1; : : : ; qn; _q1; : : : ; qn) = T + Ve se ricordiamo che T > 0 se almeno una delle _qh μe non nullaallora segue che E(q1; : : : ; qn; _q1; : : : ; qn) > 0 se almeno una delle _qke qk μe non nulla (subordinatamente alla condizione jqkj · ±) e cheE(0; : : : ; 0) = 0. Cio¶e l'energia totale E(q1; : : : ; qn; _q1; : : : ; qn) haun minimo e®ettivo in M = (0; : : : ; 0) 2 R2n. Fissato 0 < ²0 < ±su±cientemente piccolo e data la sfera B(M; ²0) nello spazio dellefasu R2n avremo, per quanto detto,

E(q; _q) > 0 8(q; _q) 2 B(M;²0)¡ f(0; : : : ; 0)ge inoltre, essendo @B un insieme compatto e E(q; _q) una funzionecontinua, segue che esiste non nullo il minimo

E? = m(²0) = min(q; _q)2@B(M;²0)

E(q; _q) > 0:

Inoltre, sempre per la continuitμa di E(q; _q) esisterμa 0 < ±0 < ²0tale che

E? > M(±0) = max(q; _q)2B(M;±0)

E(q; _q) > 0:

Quindi, se all'istante iniziale (q0; _q0) 2 B(M; ±0) allora E(q0; _q0) =E0 · M(±0) < E? e quindi il moto (q(t); _q(t)) avviene sempre al-l'interno della sfera B(M; ²0) perch¶e, dovendo conservarsi l'energiameccanica totale, non potrμa mai aversi E(q; _q) ¸ E?, condizione

che si veri¯ca quando il punto (q; _q) μe sul bordo di B(M;²0).

4.2 Moto delle piccole oscillazioni

Nel seguito, per semplicitμa supporremo, senza perdere in gener-

alitμa, che sia q?k = 0 (altrimenti operiamo la traslazione qk !qk ¡ q?k). Ricordando che




T = T2 + T1 + T0 ; dove T =1

2

nXi;k=1

ai;k(q) _qi _qk

per sistemi scleronomi, scriviamo la funzione Lagrangiana met-

tendo in evidenza i termini di secondo grado nelle qk e _qk:

L = T + U = ~L+R; dove ~L = ~T + ~U:

Piμu precisamente poniamo

T =1

2

nXi;k=1

ai;k(q) _qi _qk = ~T +RT ;

dove

~T =1

2

nXi;k=1

~ai;k _qi _qk; ~ai;k = ai;k(0)

μe ottenuto calcolando lo sviluppo in serie di Taylor delle funzioni

ai;k attorno a q? = 0, e

U = U(0) +nXk=1

@U(0)

@qkqk +

1

2

nXi;k=1

@2U(0)

@qk@qiqkqi +RU

= ~U +RU ; ~U =1

2

nXi;k=1

@2U(0)

@qk@qiqkqi +RU

μe ottenuto calcolando lo sviluppo in serie di Taylor della funzione

U attorno a q? = 0. Ricordiamo che, essendo l'energia poten-

ziale sempre de¯nita a meno di una costante additiva, possiamo

assumere U (0) = 0 e che, essendo q? = 0 una con¯gurazione di

equilibrio,@U (0)@qk

= 0. Il termine RT μe un resto di ordine 1 nelleqk e di ordine 2 nelle _qk, il termine RU μe un resto di ordine 3 nelleqk; complessivamente, il resto totale R = RT + RU μe di ordine 3nelle qk e _qk. La funzione ~L( _q;q) = ~T ( _q) + ~U (q) prende il nomedi Lagrangiana ridotta.

De¯nizione: Si chiama moto delle piccole oscillazione delsistema meccanico attorno alla con¯gurazione di equilibrio stabileq? un qualunque moto associato alla Lagrangiana linearizzata ~L.Si osserva immediatamente che il grande vantaggio di operare

con la Lagrangiana linearizzata, invece che con la Lagrangiana



4.3 Caso unidimensionale 107

iniziale, μe che le equazioni di Lagrange risultano essere lineari e a

coe±cienti costanti, e quindi risolubili con metodi elementari:

d

dt

@ ~L@ _qk

=d

dt

@ ~T

@ _qk=d

dt

nXi=1

~Ti;k _qi =nXi=1

~Ti;kÄqi

e

@ ~L@qk

=@ ~U

@qk=

nXi=1

~Ui;kqi

da cui le (4.1) per la Lagrangiana ridotta assumono la forma

desiderata:nXi=1

~Ti;kÄqi =nXi=1

~Ui;kqi; k = 1; : : : ; n: (4.5)

Si osserva anche che la validitμa di questa approssimazione μe gius-

ti¯cata dal Teorema di Dirichlet, il quale garantisce, a priori, che

qk(t) e _qk(t) rimangono piccole inde¯nitamente (ricordiamo cheabbiamo preso q?k = 0 per semplicitμa) e quindi il contributo del

resto R ¶e trascurabile.

4.3 Caso unidimensionale

Nel caso unidimensionale (n=1) allora, denotando con q l'unicoparametro lagrangiano e supponendo che q? sia una con¯gurazionedi equilibrio stabile tale che U 00(q?) < 0, si ha

T =1

2a(q) _q2 e U = U(q)

da cui (non facciamo qui la posizione di comodo q? = 0)

~T =1

2a(q?) _q2 e ~U =

1

2U 00(q?)(q ¡ q?)2:

Le (4.5) diventano semplicemente

a(q?)Äq = U 00(q?)(q ¡ q?) ) Äz + !2z = 0

dove si μe posto z = q¡ q? e !2 = ¡U 00(q?)a(q?)

> 0; e questa si riconosce

essere l'equazione dell'oscillatore armonico che ha soluzione gen-

erale data da




z(t) = A cos(!t+ ®) ) q(t) = q? +A cos(!t+ ®)

dove A e ® sono costanti che si determinano mediante le condizioniiniziali. T = 2¼=! e ! rappresentano il periodo e la pulsazionedelle piccole oscillazioni. Riassumendo quanto detto possiamo con-

cludere che:

Teorema: Per un sistema meccanico (a vincoli perfetti, olonomi,bilateri, scleronomi e soggetto ad un sistema di forza conservative)ad un grado di libertμa il periodo delle piccole oscillazioni attornoad una con¯gurazione di equilibrio stabile q?, in cui si suppone siaU 00(q?) < 0, μe dato da

T =2¼

−= 2¼

vuut¡ a(q?)

U 00(q?):

4.4 Coordinate normali e frequenze proprie

Vediamo ora come determinare nella pratica l'integrale generale

del sistema (4.5) nel caso in cui esso derivi da una Lagrangiana

linearizzata ~L = ~T + ~U rispetto a un punto di equilibrio stabile

q? = 0: A tal ¯ne μe utile adottare la notazione matriciale:

~T =1

2_qtA _q e ~U = ¡1

2qtBq; (4.6)

dove le matrici A = ( ~Ti;k), B =³¡@2U(0)

@qi@qk

´sono entrambe sim-

metriche ed A μe de¯nita positiva; la matrice B, nel caso incui (come supporremo) q? μe di equilibrio stabile, μe, in generale,

de¯nita positiva. A di®erenza delle notazioni adottate in prece-

denza qui μe piμu comodo denotare con q il vettore colonna di com-

ponenti qk e qt il suo trasposto, cio¶e qt μe il vettore riga con glistessi componenti. Con tale notazione la Lagrangiana linearizzata

si scrive

~L(q; _q) = 1

2

h_qtA _q¡ qtBq

i(4.7)

e le equazioni di Lagrange, lineari per costruzione, si scrivono in

modo sintetico come:



4.4 Coordinate normali e frequenze proprie 109

AÄq+Bq = 0: (4.8)

Come suggerisce la teoria dei sistemi di equazioni lineari ordinarie

a coe±cienti costanti, cerchiamo una soluzione della (4.8) della

forma

q = [C cos(!t+ °)]w; (4.9)

dove w μe un vettore (colonna) di Rn da determinarsi e ! 2 Cdipende dalle caratteristiche del sistema, C e ° sono costanti dadeterminarsi in funzione delle condizioni iniziali. Sostituendo (4.9)

in (4.8) questa diventa

[C cos(!t+ °)](¡!2A+B)w = 0

che risulta identicamente soddisfatta se ! e w sono tali che (B ¡!2A)w = 0; siamo quindi indotti a studiare il seguente problema

generalizzato agli autovalori

det(B ¡ ¸A) = 0: (4.10)

Richiamiamo il seguente risultato dell'algebra lineare (che per

completezza dimostro):

Lemma: L'equazione (4.10) de¯nisce gli autovalori di Brispetto ad A ed ammette esattamente n soluzioni ¸i, i =1; : : : ; n, reali e positive.Dimostrazione del Lemma: L'esistenza degli autovalori reali di

B rispetto ad A (con i corrispondenti autovettori w) si ottiene

sfruttando il fatto che la matrice A μe simmetrica e de¯nita pos-itiva (μe una matrice cinetica) e che la matrice B μe simmetrica e

de¯nita positiva (μe la matrice Hessiana di U relativa ad un punto dimassimo relativo per U). Essendo la matrice A simmetrica e pos-itiva, esiste un'unica matrice simmetrica e positiva il cui quadrato

μe uguale ad A e che pertanto puμo essere a buon diritto indicata conA

12 (la radice quadrata di A). Infatti, poich¶e A μe simmetrica esiste

una matrice ortogonale M (cio¶e M t =M¡1) che diagonalizza A:

MAM¡1 =MAM t = ®; dove ® =

0BBBB@®1 0 : : : 00 ®2 : : : 0

0 0. . . 0

0 0 : : : ®n

1CCCCA (4.11)




dove appunto ®1; ®2; : : : ; ®n sono gli autovalori di A. La positivitμadi A assicura che gli autovalori ®1; ®2; : : : ; ®n sono tutti stretta-mente positivi, quindi possiamo de¯nire

A12 =M¡1®

12M; dove ®

12 =

0BBBB@p®1 0 : : : 0

0p®2 : : : 0

0 0. . . 0

0 0 : : :p®n

1CCCCA : (4.12)

ed μe immediato veri¯care che (A12 )2 = A e che A

12 μe simmetrica e

positiva. Infatti

(A12 )2 = A

12A

12 =M¡1®

12MM¡1®

12M =M¡1®

12®

12M

=M¡1®M = A

e

(A12 )t =

³M¡1®

12M

´t=³M t®

12M

´t=M t(®

12 )t(M t)t

=M t®12M = A

12

poich¶e ®12 μe diagonale. In¯ne, dato un qualunque vettore q si ha

che

qtA12q = qtM t®

12Mq = (Mq)

t®12 (Mq)

da cui segue la positivitμa di A12 come immediata conseguenza della

positivitμa di ®12 . Mediante il cambiamento di variabili

y = A12q , q = [A

12 ]¡1y (4.13)

la (4.8) prende la forma

A12 Äy+B[A

12 ]¡1y = 0 , Äy+ [A

12 ]¡1B[A

12 ]¡1y = 0 (4.14)

per cui la (4.10) equivale a

det [C ¡ ¸I] = 0: (4.15)

dove si μe posto C = [A12 ]¡1B[A

12 ]¡1. Essendo C simmetrica e

de¯nita positiva (la veri¯ca di ciμo μe, sostanzialmente, analoga a

quell'e®ettuata per A12 ) segue che i suoi autovalori ¸i sono reali e

positivi dimostrando cosμ³ il Lemma.



4.5 Schema riassuntivo 111

In tal modo otteniamo l'esistenza di un sistema fondamentale

di soluzioni Qi(t)wi, dove Qi(t) = Ci cos(!it + °i), detti modi

normali, e la soluzione generale del sistema (4.5) μe data da una

loro combinazione lineare.

4.5 Schema riassuntivo

Per risolvere le equazioni di Lagrange linearizzate (4.8) intorno a

una con¯gurazione di equilibrio stabile q? (non poniamo ora la

condizione q? = 0), si risolve il problema agli autovalori

(B ¡ ¸A)w = 0

dove

A = ( ~Ti;k); ~Ti;k = Ti;k(q?); e B =

Ã¡@

2U (q?)

@qi@qk

!:

Gli autovalori ¸i, i = 1; : : : ; n, di B rispetto ad A sono, nel caso dicon¯gurazioni di equilibrio stabile, numeri reali positivi; le rispet-

tive radici !i =p¸i prendono il nome di pulsazioni proprie

o normali del sistema e 2¼=!i prendono il nome di frequenzeproprie o normali del sistema. Per avere gli n modi normalisi determinano gli autovettori wi, di componenti wik, k = 1; : : : ; n,soluzioni di

(B ¡ ¸iA)wi = 0; i = 1; :::; n: (4.16)

Allora, ad ogni pulsazione normale !i corrisponde una partico-lare oscillazione del sistema, detta oscillazione normale data da

Qi(t) = Ci cos(!it ¡ °i). La n-upla di coordinate originarie q(t)risulta dal sovrapporsi di tutte le oscillazioni proprie:

q(t) = q? +nXi=1

Ci cos(!it+ °i)wi; (4.17)

cio¶e

qk(t) = q?k +

nXi=1

wikCi cos(!it+ °i); k = 1; : : : ; n: (4.18)

Le 2n costanti Ci e °i vengono determinate a partire dalle con-dizioni iniziali q±k e _q

±k.




4.6 Esempi

4.6.1 Pendoli accoppiati: esempio di calcolo di modi normali e

battimenti

Due pendoli A e B di massa m e lunghezza `, in un campo digravitμa g, hanno i punti di sospensione PA e PB alla stessa quota;la distanza tra PA e PB μe d. Una molla di costante elastica k

2 e

lunghezza a riposo d, collega le due masse. Come parametri la-grangiani assumiamo i due angoli μ1 e μ2 tra i pendoli e le rispettiveverticali. Studiamo i seguenti punti:

a) Trovare una con¯gurazione di equilibrio stabile;

b) Calcolare le corrispondenti pulsazioni proprie;

c) Determinare i modi normali;

d) Nel caso k2 << mg=`, evidenziare il fenomeno dei battimentiovvero del trasferimento d'energia.

a) Ponendo un sistema di riferimento avente origine in PA, conl'asse y verticale ascendente e con il punto PB sull'asse x avremole seguenti relazioni cinematiche:(

xA = ` sin μ1yA = ¡` cos μ1 ;

(xB = d+ ` sin μ2yB = ¡` cos μ2

da cui

B ¡ A = `(¡ sin μ1 + sin μ2 + d)³ + `(¡ cos μ2 + cos μ1)´:Segue che l'energia potenziale del sistema μe:

V = mgyA +mgyB +1

2k2(jA¡ Bj ¡ d)2 = ¡mg`(cos μ1 + cos μ2) +

+1

2k2μq

d2 + 2d`(sin μ2 ¡ sin μ1) + 2`2 ¡ 2`2 cos(μ2 ¡ μ1) ¡ d¶2:

Come ci si aspetta, la funzione V (μ1; μ2) ha un minimo relativonella con¯gurazione (0; 0) in corrispondenza al quale ha il valoreV (0; 0) = ¡2mg`.b) L'approssimazione quadratica di V (μ1; μ2) in un intorno di

(0; 0) μe:



4.6 Esempi 113

~V = ¡mg`μ1¡ 1

2μ21 + 1¡

1

2μ22

¶+1

2k2μq

[d+ `μ2 ¡ `μ1]2 ¡ d¶2

=1

2mg`2(μ21 + μ22) +

1

2k2`2(μ2 ¡ μ1)

2 + costante

=1

2

hμ21(mg` + k

2`2) + μ22(mg`+ k2`2)¡ 2k2`2μ1μ2

i+ costante:

D'altra parte l'energia cinetica μe

T =1

2m`2( _μ21 + _μ22) ´ ~T :

Quindi le matrici A e B sono:

A = m`2Ã1 0

0 1

!; B =

Ãmg` + k2`2 ¡k2`2¡k2`2 mg`+ k2`2

!:

L'equazione secolare det(B ¡ ¸A) = 0 assume la forma (mg` +k2`2 ¡m`2¸ )2 ¡ k4`4 = 0. Da ciμo si ottengono gli autovalori e lepulsazioni proprie:

¸1 = g=`; ¸2 = g=`+ 2k2=m ) !1 =

qg=`; !2 =

qg=` + 2k2=m:

c) Per avere i due modi normali determiniamo i due autovettori

wj ; j = 1; 2, tali che (B ¡ ¸A)w = 0: Avremo il sistema (per

semplicit¶a poniamo ` = m = g = 1)((1 + k2 ¡ ¸)w1 ¡ k2w2 = 0¡k2w1 + (1 + k2 ¡ ¸)w2 = 0 :

Sostituendo ¸1 = 1 avremo

k2w1 ¡ k2w2 = 0; cio¶e w1 =

Ã1

1

!:

Sostituendo ¸2 = 1 + 2k2 avremo

¡k2w1 ¡ k2w2 = 0; cio¶e w2 =

Ã1

¡1!:

Allora nel primo modo normale si haÃμ1(t)μ2(t)

!=

Ã1

1

!Q1(t) =

Ã1

1

!C1 cos(!1t+ °1)




ovvero

μ1(t) = μ2(t) = C1 cos(!1t+ °1)

cioμe i pendoli oscillano in fase (la molla non lavora). Nel secondo

modo normale:Ãμ1(t)μ2(t)

!=

Ã1

¡1!Q2(t) =

Ã1

¡1!C2 cos(!2t+ °2)

ovvero

μ1(t) = ¡μ2(t) = C2 cos(!2t+ °2)cioμe i pendoli oscillano in opposizione di fase.

d) Supponiamo che per t = 0 sia (μ01 ; μ02) = (0; 0), _μ02 = 0,

e che ad uno dei due pendoli sia impressa una velocitμa _μ01 = v.Proviamo che dopo qualche istante T il primo pendolo μe

quasi immobile e tutta l'energia passa al secondo. Dalle

relazioni precedenti i dati iniziali si traducono come:

Q1(0) = 0; Q2(0) = 0; _Q1(0) = _Q2(0) =vp2:

Ora, le posizioni iniziali implicano:

Q1(t) = c1 sin t; Q2(t) = c2 sin!t

dove

! =p1 + 2k2 » 1 + k2 +O(k4) per k2 << 1

e le velocitμa inziali comportano: c1 =vp2e c2 =

v!p2. Allora la

soluzione ha la forma8>><>>:μ1 =

1p2

³vp2sin t+ v

!p2sin!t

´μ2 =

1p2

³vp2sin t¡ v

!p2sin!t

´ :Ora ! » 1 + k2 e quindi !¡1 » 1¡ k2 e quindi si ottiene8>><>>:

μ1 ¼ v2(sin t+ sin!t) = v cos

³!¡12t´sin

³!+12t´

μ2 ¼ v2(sin t¡ sin!t) = ¡v cos

³!+12t´sin

³!¡12t´ :



4.6 Esempi 115

con !¡12» k2

2e !+1

2» 1. Quindi μ1 oscilla con pulsazione

!+12

che μe dell'ordine di 1 e con ampiezza che varia lentamente secondo

la legge v cos(k2t=2). L'oscillazione del primo pendolo sarμa quasinulla dopo un tempo T = ¼

k2, allorch¶e oscillerμa praticamente solo

il secondo pendolo. Dopo un tempo 2T oscillerμa praticamente

solo il primo pendolo, e cosμ³ via (battimenti, ovvero trasferimento

periodico dell'energia da un pendolo all'altro).

4.6.2 Bipendolo

Consideriamo il sistema meccanico costituito da due aste rigide

AB e BC di uguale massa m e lunghezza 2`, incernierate in B. Ilpunto A μe ¯sso e il sistema oscilla in un piano verticale soggettoalla sola forza peso. Andiamo a studiare le piccole oscillazioni di

questo sistema, usualmente denominato bipendolo, attorno alla

sua posizione di equilibrio stabile. Il sistema ha due gradi di libertμa

e possiamo assumere come parametri lagrangiani gli angoli μ1 eμ2 che formano le due aste con il semiasse verticale discendente.L'energia cinetica ed il potenziale, di cui tralasciamo il calcolo

dettagliato, sono date da

T =1

2m`2

·16

3_μ21 + 4cos(μ1 ¡ μ2) _μ1 _μ2 +

4

3_μ22

¸e

U = mg`(3 cos μ1 + cos μ2):

μE immediato veri¯care che il sistema ammette le 4 con¯gurazioni

di equilibrio (0; 0); (0; ¼); (¼; 0) e (¼; ¼) in cui la sola (μ1 = 0; μ2 =0) μe stabile. Seguendo l'analisi appena esposta scriviamo la La-

grangiana linearizzata dove

~T =1

2m`2

·16

3_μ21 + 4 _μ1 _μ2 +

4

3_μ22

¸e

~U = ¡12mg`(3μ21 + μ22):

Introducendo le matrici A e B abbiamo che




A =

Ã163m`2 2m`2

2m`2 43m`2

!; B =

Ã3mg` 00 mg`

!:

L'equazione che fornisce gli autovalori della matrice B rispetto allamatrice A μe data da

det

0@³3mg`¡ 163m`2¸

´(¡2m`2¸)

(¡2m`2¸)³mg`¡ 4

3m`2¸

´1A = 0;ossia

28

9¸2 ¡ 28

3!2¸ + 3!4 = 0; !2 = g=`

che ha soluzioni

¸1;2 = !2·3

14(7§ 2

p7)

¸da cui le due frequenze proprie sono dunque

!j =q¸j = !

vuut3Ã12§ 1p

7

!; j = 1; 2:

Denotate con Q1(t) e Q2(t) le coordinate normali, le oscillazioniproprie sono date da

Qj(t) = Cj cos(!jt+ °j); j = 1; 2

dove le costanti Cj e °j sono da determinarsi attraverso le con-dizioni iniziali. Volendo in¯ne tornare alle coordinate iniziali μ1 eμ2 siano

w1 =

Ã7+2

p7

3

¡35¡ 16p7!e w2 =

Ã7¡2p73

¡35 + 16p7!

gli autovettori associati agli autovalori ¸1 e ¸2. Allora si ottiene

μ1(t) = C17+2

p7

3cos(!1t+ °1) + C2

7¡2p73

cos(!2t+ °2);

μ2(t) = C1(¡35¡ 16p7) cos(!1t+ °1) + C2(¡35 + 16

p7) cos(!2t+ °2):



5

Equazioni canoniche di Hamilton

5.1 Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani

Sia dato un sistema lagrangiano, cio¶e un sistema di n equazionidi®erenziali del II± ordine

d

dt

@L@ _qh

¡ @L@qh

= 0; h = 1; 2; : : : ; n; (5.1)

in n funzioni incognite q = q(t) della variabile indipendente t,q = (q1; q2; : : : ; qn); dove L = L( _q;q; t) = T ¡ V μe la funzioneLagrangiana. Sostituiamo ora al sistema (5.1) un sistema di 2nequazioni di®erenziali del I± ordine avente come incognite le nfunzioni qh e n funzioni indipendenti ph, h = 1; : : : ; n. Il nuovosistema si ottiene sostituendo al sistema (5.1) la relazione che lega

le p; q; _q e t attraverso la relazione implicita

ph =@L@ _qh

; h = 1; 2; : : : ; n: (5.2)

Le ph si dicono variabili coniugate o anche momenti.Quando la funzione Lagrangiana proviene da un problema di

moto di un sistema olonomo e a vincoli ideali (eventualmente

dipendenti dal tempo), soggetto a forze conservative , si ha

L = T + U; T = T2 + T1 + T0

con

T2 =1

2

nXh;k=1

ah;k _qh _qk; T1 =nXh=1

ah _qh; (5.3)



118 5 Equazioni canoniche di Hamilton

mentre T0 e il potenziale U , al pari dei coe±cienti ah;k; ah; dipen-dono soltanto dalle q ed, eventualmente, dal tempo t. La (5.2)

assume la forma

ph =nXk=1

ah;k _qk + ah; h = 1; 2; : : : ; n; (5.4)

che, risolta rispetto alle _q, diventa

_qh = uh =nXk=1

ah;k(pk ¡ ak); h = 1; 2; : : : ; n: (5.5)

dove ah;k indica il generico elemento della inversa (ah;k) della ma-trice (ah;k). Le (5.2), da quanto visto, forniscono n equazioni risol-ubili rispetto alle _q sotto la forma

_qh = uh(p;q; t); h = 1; 2; : : : ; n; (5.6)

mentre d'altra parte, le (5.1), in base alle (5.2) e alle loro equiv-

alenti (5.6), danno le

_ph =

Ã@L@qh

!_q=u(p;q;t)

; h = 1; 2; : : : ; n; (5.7)

con che le derivate delle nuove incognite p risultano espresse intermini delle p, q e t. Si perviene cosμ³ al sistema normale del

primo ordine nelle 2n funzioni incognite p, q, costituito dalle (5.7)e (5.6).

In particolare si ha che i secondi termini delle (5.6) e (5.7) si

possono esprimere nel seguente modo:(_ph = ¡ @H

@qh

_qh =@H@ph

; h = 1; 2; : : : ; n; (5.8)

dove

H =nXh=1

@L@ _qh

_qh ¡ L (5.9)

va qui considerata espressa in termini delle p; q; t tramite le (5.2)e (5.6):



5.1 Forma hamiltoniana dei sistemi lagrangiani 119

H(p;q; t) =nXh=1

ph _qh ¡ L( _q;q; t); (5.10)

interpretandovi le _q come simboli delle corrispondenti funzioni di

p; q; t fornite dalle (5.6).Ogni sistema del primo ordine che soddisfa alle (5.8), qualunque

sia la funzione H(p;q; t), si dice canonico o Hamiltoniano e lep e q si chiamano variabili canoniche. Nello studio dei sis-

temi canonici si interpretano le 2n variabili canoniche p; q comecoordinate cartesiane ortogonali in uno spazio lineare a 2n dimen-sioni chiamato spazio delle fasi. In questo spazio ogni soluzione

p = p(t); q = q(t) del sistema canonico μe rappresentata da unacurva (integrale), che spesso, considerando la t come misura deltempo, si chiama pur essa traiettoria.

Per dimostrare le (5.8) consideriamo le p, q e t come variabiliindipendenti e le _q come espresse in funzione di esse dalle (5.6);

e®ettuando il di®erenziale di H rispetto alle sole variabili p e q,

cio¶e immaginando di tenere ¯ssa la t, si ha che

±H =nXh=1

"@H

@ph±ph +

@H

@qh±qh

#:

D'altra parte, in base alle (5.10) questa variazione si puμo scrivere

±H =nXh=1

"_qh±ph ¡ @L

@qh±qh +

Ãph ¡ @L

@ _qh

!± _qh

#:

Confrontando queste due espressioni, ricordando le (5.2) e (5.7) e

in forza della arbitrarietμa di ±qh e ±ph si trova che devono essereveri¯cate le (5.8).

Osserviamo anche che di®erenziando la (5.10) tenendo ora vari-

abile t si ottengono le relazioni

dH =nXh=1

"@H

@phdph +

@H

@qhdqh

#+@H

@tdt

e

dH =nXh=1

"_qhdph ¡ @L

@qhdqh +

Ãph ¡ @L

@ _qh

!d _qh

#¡ @L@tdt




che, oltre a dare nuovamente le equazioni canoniche, implicano la

relazione

@H

@t= ¡@L

@t: (5.11)

5.2 Trasformata di Legendre

La trasformazione (5.9) che fa passare dalla funzione Lagrangiana

L alla funzione Hamiltoniana H μe un caso particolare di trasfor-

mazione piμu generale che prende il nome di trasformata di Legen-

dre.

Consideriamo, inizialmente, il caso n = 1. Sia f (x) una fun-zione di classe C2(a; b), dove (a; b) μe eventualmente non limi-

tato, e convessa, cio¶e tale che f 00(x) > 0 per ogni x. L'e-

quazione f 0(x) = y, per y in un opportuno intervallo (c; d), am-mette una unica soluzione x = x(y). Tale funzione x(y) ha unainterpretazione geometrica elementare: introduciamo la funzione

d(x; y) = xy ¡ f(x) che corrisponde alla distanza (con segno) trail punto sulla curva di ascissa x ed il punto sulla retta, passanteper l'origine e con coe±ciente angolare y; il punto x(y) μe quelloche rende, localmente, massima tale distanza.

Per costruzione il gra¯co di f(x) μe tangente alla retta con co-e±ciente angolare y in x(y).De¯nizione. Si chiama trasformata di Legendre di f (x) la

funzione

g(y) = d[x(y); y] = x(y)y ¡ f [x(y)]:

Si prova ora che:

Teorema. La trasformata di Legendre μe involutiva; cioμe latrasformata di Legendre di g μe la f .Dimostrazione: per prima cosa dimostriamo che g00(y) > 0 per

ogni y 2 (c; d); infatti:g0(y) = x(y) + yx0(y)¡ f 0[x(y)]x0(y) = x(y)

e quindi

g00(y) = x0(y) = ff 00[x(y)]g¡1 > 0:



5.2 Trasformata di Legendre 121

Fig. 5.1. Interpretazione geometrica della trasformata di Legendre.

La trasformata di Legendre di g(y) sarμa de¯nita a partire dallasoluzione della equazione g0(y) = x che, essendo g0(y) = x(y), cidice che y(x) altro non μe che l'inversa della funzione x(y). Pre-messo ciμo calcoliamo la trasformata di Legendre h(x) di g(y):

h(x) = xy(x)¡ g[y(x)] = xy(x)¡ [xy(x)¡ f(x)] = f(x):Le considerazioni precedenti si estendono al caso di una fun-

zione f(x), x = (x1; : : : ; xn) di classe C2(Rn) e tali che la forma

quadratica associata alla matrice Hessiana @2f@xh@xj

sia de¯nita pos-

itiva (o negativa) in modo da invertire il sistema

@f

@xh= yh

de¯nendo la funzione vettoriale y = y(x). Si de¯nisce la trasfor-

mata di Legendre di f (x) come

g(y) = y ¢ x¡ f [x(y)]:μE immediato veri¯care che se la funzione f dipende anche da

m parametri ® = (®1; : : : ; ®m):




f = f (x; ®) = f(x1; : : : ; xn;®1; : : : ; ®m)

allora sarμa y = y(x;®) e x = x(y;®), inoltre anche g dipendedagli stessi parametri e

@g

@®h

¯¯y=y(x)

= ¡ @f

@®h

¯¯x=x

; h = 1; : : : ;m: (5.12)

Infatti si avrμa che x = x(y; ®) e quindi g(y; ®) = x(y; ®)y ¡f [x(y; ®); ®] da cui

@g

@®h

¯¯y=y(x)

=nXj=1

"@xj@®h

yj ¡ @f

@xj

@xj@®h

#¡ @f

@®h= ¡ @f

@®h:

Il passaggio tra la Lagrangiana e la Hamiltoniana si ottiene

e®ettuando la trasformata di Legendre della Lagrangiana sulle solo

variabili cinetiche _qh e lasciando invariate le altre qh. Infatti bastaporre x = _q e y = p e prendere come parametri ®0 = t e ®h =qh, inoltre f (x;®) = L( _q;q; t). La trasformazione x = x(y) μe

implicitamente de¯nita dalla relazione

yh =@f

@xh; ovvero ph =

@L@ _qh

e la trasformazione di Legendre sarμa de¯nita come

H =nXh=1

_qh(p;q; t)ph ¡L[ _q(p;q; t);q; t]:

Se applichiamo poi la relazione (5.12) allora segue @H@qh

= ¡ @L@qh

e@H@t= ¡@L

@t. Da questa relazione, e tenendo conto che _ph =

@L@qh

dalle equazioni di Lagrange, segue _ph = ¡ @H@qh. La relazione _qh =

@H@ph

vale poich¶e la trasformata di Legendre μe involutiva. In questo

modo si sono ritrovate le equazioni canoniche di Hamilton.

5.3 Funzione Hamiltoniana nel caso dinamico

Per il Teorema di Eulero applicato alla (5.3) sussiste l'identitμa

nXh=1

@L@ _qh

_qh =nXh=1

@T2@ _qh

_qh +nXh=1

@T1@ _qh

_qh = 2T2 + T1 = T + T2 ¡ T0;



5.4 Esempi di funzione Hamiltoniana 123

e quindi la (5.10) assume la forma

H = (T2)¡ T0 ¡ U; (5.13)

dove

(T2) =1

2

nXh;k=1

ah;k(pk ¡ ak)(ph ¡ ah) (5.14)

denota la funzione delle p; q; t che dalla T2 si deduce sostituendovial posto delle _q le loro espressioni (5.5).Se, in particolare, i vincoli non dipendono dal tempo allora

l'energia cinetica si riduce alla sua parte quadratica T2 e si ha piμusemplicemente

H = (T )¡ U ; (5.15)

cio¶e la funzione Hamiltoniana non μe altro che l'energia meccanica

totale del sistema (espressa nelle coordinate p e q). In particolare

si ha che

(T ) =1

2

nXh;k=1

ah;kpkph: (5.16)

Se poi T nelle _q μe di forma diagonale

T =1

2

nXh=1

ah;h _q2h;

tutto si riduce, oltre che alla sostituzione delle variabili, al cambi-

amento di ciascun coe±ciente ah;h nel suo reciproco 1=ah;h:

(T ) =1

2

nXh=1

1

ah;hp2h:

Quando i vincoli non dipendono dal tempo, sostituendo la

(5.16) nella (5.15) si riconosce che la funzione Hamiltoniana μe una

funzione quadratica nelle p de¯nita positiva, omogenea e a coe±-

cienti dipendenti dalle q.

5.4 Esempi di funzione Hamiltoniana

5.4.1 Punto libero

1) Punto libero di massa m riferito ad un sistema di coordinate

cartesiane (x; y; z). Abbiamo che




T =1

2

³m _x2 +m _y2 +m _z2

´:

La corrispondente energia cinetica riferita nelle variabili coniu-

gate, vale

(T ) =1

2

Ãp2xm+p2ym+p2zm

!:


polari sferiche (r; μ; '). Abbiamo che

T =1

2

³m _r2 +mr2 _μ2 +mr2 sin2 μ _'2

´:


gate, vale

(T ) =1

2

Ãp2rm+

p2μmr2

+p2'

mr2 sin2 μ

!:


polari cilindriche (r; μ; z). Abbiamo che

T =1

2

³m _r2 +mr2 _μ2 +m _z2

´:


gate, vale

(T ) =1

2

Ãp2rm+

p2μmr2

+p2zm

!:

5.4.2 Solido con punto ¯sso

Consideriamo un solido ¯ssato in un punto O e assumiamo come

parametri lagrangiani gli angoli di Eulero μ, ' e Ã. Con una

scelta opportuna del sistema di riferimento solidale con origine in

O l'energia cinetica ha la forma

T =1

2

³Ap2 + Bq2 + Cr2

´dove si ricorda (??)



5.5 Signi¯cato ¯sico dei momenti coniugati 1258><>:p = _Ã sin μ sin'+ _μ cos' = ®3 _Ã + _μ cos'

q = _Ã sin μ cos'¡ _μ sin' = ¯3 _Ã ¡ _μ sin'

r = _Ã cos μ + _' = °3 _Ã + _'

essendo 8><>:®3 = sin μ sin'¯3 = sin μ cos'°3 = cos μ

i coseni direttori dell'asse ¯sso (O; z) rispetto agli assi solidali. Imomenti coniugati valgono8>>>>>><>>>>>>:

pμ =@T@ _μ= Ap cos' ¡Bq sin';

p' =@T@ _'= Cr;

pÃ =@T@ _Ã= Ap®3 + Bq¯3 + Cr°3

:

Da tale relazione si trae8><>:Ap = pμ cos'+ ¾ sin'Bq = ¡pμ sin'+ ¾ cos'Cr = p'

dove ¾ =pÃ ¡ p' cos μ

sin μ

e quindi

(T ) =1

2

"(pμ cos'+ ¾ sin')

2

A +(pμ sin'¡ ¾ cos')2

B +p2'C#:

5.5 Signi¯cato ¯sico dei momenti coniugati

Supponiamo che una coordinata qh sia ciclica, cio¶e L non dipendeesplicitamente da qh. In questo caso il momento coniugato ph =@L@ _qh

si conserva poich¶e

_ph =d

dt

@L@ _qh

=@L@qh

= 0

e esse assumono, sotto alcune circostanze, un signi¯cato ¯sico

notevole.




5.5.1 Signi¯cato ¯sico della costante del moto ph quando lacoordinata ciclica qh μe una coordinata cartesiana

Consideriamo la Hamiltoniana nel caso dinamico. Si prova il

seguente risultato:

Teorema. Se qh μe tale che una sua variazione rappresentiuna traslazione rigida del sistema meccanico in una datadirezione a allora ph μe proporzionale alla componente dellaquantitμa di moto lungo la direzione a:

ph = cNXs=1

msvs ¢ a; (5.17)

dove c μe un fattore moltiplicativo.Dimostrazione: Per ipotesi ogni variazione di qh causa una

traslazione rigida di ogni punto Ps lungo la direzione a, cio¶e siha: @Ps

@qh= ca, s = 1; : : : ; N , dove c μe indipendente da s poich¶e si

tratta di una traslazione rigida. Usiamo ciμo per trovare il signi¯-

cato di ph:

ph =@T

@ _qh=

NXs=1

msvs ¢ @vs@ _qh

(5.18)

dove

@vs@ _qh

=@

@ _qh

"nXi=1

@Ps@qi

_qi +@Ps@t

#=@Ps@qh

= ca (5.19)

che sostituita nella precedente ci permette di ottenere la (5.17);

ovvero ph μe proporzionale alla componente della quantitμa di motolungo la direzione di traslazione.

Se il sistema meccanico μe invariante per traslazioni in

una certa direzione, cio¶e la Lagrangiana (o, in modo equiva-

lente, la Hamiltoniana) resta immutata dopo aver traslato tutti i

punti materiali in tale direzione come se fossero un corpo rigido,

allora si conserva la componente della quantitμa di moto

totale in tale direzione. Infatti, se il sistema meccanico μe in-

variante per traslazioni in una direzione a, le coordinate si pos-

sono scegliere in modo tale che sia ciclica una di esse, qh, quelladi traslazione nella direzione a: Allora si conserva il momento co-niugato ph e quindi la quantitμa di moto lungo a: Ad esempio: sia



5.5 Signi¯cato ¯sico dei momenti coniugati 127

L = m2( _x2+ _y2)+U(x) invariante per traslazioni (dell'unico punto)

parallele all'asse y, quindi m _y = costante.

5.5.2 Signi¯cato ¯sico della costante del moto ph quando lacoordinata ciclica qh μe un angolo

si prova il seguente risultato:

Teorema. Se qh μe tale che una sua variazione rappresenti unarotazione rigida del sistema meccanico attorno ad un dato

asse (O; a) allora ph μe proporzionale alla componente del mo-mento della quantitμa di moto lungo la direzione a:

ph = cK(O) ¢ a = ca ¢NXs=1

msvs £ (O ¡ Ps);

dove c μe un fattore moltiplicativo.Dimostrazione: Per ipotesi la variazione di qh causa una ro-

tazione rigida di ogni punto Ps attorno a un asse (O; a). Quindi,dalla cinematica rigida: @Ps

@qh= ca £ (Ps ¡ O), s = 1; : : : ; N , per

una opportuna costante c indipendente da Ps, da cui segue

@vs@ _qh

=@Ps@qh

= ca£ (Ps ¡O) :

Sostituendo tale relazione nella (5.19) otteniamo

ph = cNXs=1

msvs ¢ a£ (Ps ¡O) = cNXs=1

msvs £ (O ¡ Ps) ¢ a:

Da questo teorema segue che se il sistema meccanico μe in-

variante per rotazioni rigide intorno a un certo asse, allora

si conserva la componente del momento angolare totale

rispetto a quell'asse. Ad esempio: nel moto per inerzia di un

corpo rigido con punto ¯sso O, si conserva il momento ango-lare rispetto a un qualunque asse. Infatti, facendo uso degli

angoli di Eulero

! = _Ãk + _μN + _'k0

si hanno le componenti della velocitμa angolare rispetto ad assi

solidali



128 5 Equazioni canoniche di Hamilton8><>:p = _Ã sin μ sin'+ _μ cos'

q = _Ã sin μ cos'¡ _μ sin'

r = _Ã cos μ + _':

(5.20)

Nel moto per inerzia L = T = 12(Ap2+Bq2+Cr2) μe indipendente

da Ã e quindi invariante per rotazioni intorno all'asse (O; z) poich¶el'angolo Ã individua le rotazioni rigide attorno a tale asse. Dunquesi conserva il momento angolare rispetto all'asse z. Per l'assenzadi forze esterne in realtμa z si puμo scegliere a piacere, dunque siconserva il momento angolare.

5.6 Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville

5.6.1 Flusso Hamiltoniano

Sarμa utile nel seguito introdurre una notazione vettoriale per le

equazioni canoniche di Hamilton (5.8). Sia

x =

Ãp

q

!e J =

ÃOn ¡InIn On

!

dove In e On sono, rispettivamente, la matrice identitμa e la matricenulla di ordine n; nella notazione matriciale conviene assumere pe q come vettori colonna.

Nota bene: Con abuso di notazione indichiamo indi®erente-

mente x = (p;q), vettore riga, o x =

Ãp

q

!, vettore colonna, a

seconda delle circostanze.

Le equazioni canoniche di Hamilton assumono quindi la seguente

forma:

_x = J grad H(p;q) = J

Ã@H@p@H@q

!(5.21)

dove il gradiente μe e®ettuato facendo prima le derivate rispetto

alle p e poi alle q. L'operatore J grad (p;q) viene talvolta chiamato

gradiente simplettico.

Osserviamo che questa notazione suggerisce la seguente inter-

pretazione:



5.6 Flusso Hamiltoniano e teorema di Liouville 129

J grad (p;q)H =

Ã¡@H@q

@H@p

!(5.22)

de¯nisce un campo vettoriale sullo spazio delle fasi e le (5.21)

sono le equazioni per le linee di °usso di tale campo. Questo campo

prende anche il nome di campo Hamiltoniano. Si dimostra che

tale campo vettoriale μe solenoidale:

Teorema. Se H ammette derivata continua ¯no al secondoordine nelle q e p allora

divhJ grad (p;q)H

i= 0:

Dimostrazione: La dimostrazione μe immediata, infatti

divhJ grad (p;q)H

i=

nXh=1

"@2H

@ph@qh¡ @2H

@qh@ph

#= 0

in virtμu delle ipotesi e del Teorema di Schwartz sullo scambio del-

l'ordine di derivazione.

Vale inoltre la seguente proprietμa:

Teorema. Se H = H(p;q) μe indipendente dal tempo, il campoHamiltoniano (5.22) μe tangente ad ogni punto regolare della su-per¯cie di energia costante H(p;q) = E:Dimostrazione: Infatti il gradiente di H μe sempre ortogonale al

gradiente simplettico di H:

grad (p;q)H ¢ J grad (p;q)H =nXh=1

@H

@qh

@H

@ph¡ @H

@ph

@H

@qh= 0:

Da cui segue la tesi poich¶e grad (p;q)H μe normale alla super¯cie

H(p;q) = costante.

De¯nizione. Ad ogni punto x0 =

Ãp0q0

!2 R2n dello spazio

delle fasi si puμo associare il punto x(t) =

Ãp(t)q(t)

!, ottenuto inte-

grando le equazioni canoniche di Hamilton con la condizione in-iziale x(0) = x0, per ogni t appartenente ad un dato intervallo(t1; t2) contenente t0 = 0 (e dipendente da x0). Questa trasfor-mazione viene denotata

St : R2n! R2n

x0 7! x(t) = St(x0)




e prende il nome di °usso nello spazio delle fasi associato

alla Hamiltoniana H.L'intervallo (t1; t2) sarμa il massimo intervallo di de¯nizione della

soluzione delle equazioni canoniche di Hamilton, in alcuni casi esso

coincide con l'intero asse reale e, per semplicitμa, pensiamo di essere

sempre in questo caso.

Si puμo dimostrare che se la funzione Hamiltoniana μe in-

dipendente dal tempo allora St μe un gruppo ad un parametrodi trasformazioni dello spazio delle fasi su se stesso, in

particolare si ha che³St ± Ss

´(x0) = S

t [Ss(x0)] = St+s(x0) = S

shSt(x0)

i=³Ss ± St

´(x0):

5.6.2 Flusso Hamiltoniano per l'oscillatore armonico

Sia n = 1, quindi lo spazio delle fasi μe il piano (p; q) 2 R2, esia H = H(p; q) = 1

2(p2 + !2q2) la funzione Hamiltoniana per

l'oscillatore armonico. In ogni punto del piano delle fasi μe applicato

il campo Hamiltoniano

J grad (p;q)H =

Ã@H@p

¡@H@q

!=

Ãp

¡!2q!

che μe il secondo membro delle equazioni canoniche:(_p = ¡!2q_q = p:

: (5.23)

Per ! = 1 la curva di livello H(p; q) = E μe un cerchio. Ebbene:

mentre grad (p;q)H =

Ãpq

!μe ortogonale al cerchio, il campo Hamil-

toniano J grad H(p;q) =

Ã¡qp

!μe tangente al cerchio, che μe e®etti-

vamente la traiettoria dell'oscillatore armonico nel piano delle fasi.

Se ! 6= 1; la curva di livello di H μe un'ellisse, alla quale risulta

tangente il campo J grad (p;q)H. Per calcolare il °usso dell'oscilla-tore armonico conviene derivare la prima delle (5.23) e sostituirvi

la seconda ottenendo Äq = ¡!2q. Alla soluzione generale:




Fig. 5.2. Gradiente e gradiente simplettico per l'oscillatore armonico.

(q(t) = A cos(!t) +B sin(!t)p(t) = ¡A! sin(!t) +B! cos(!t)

si impone (p(0); q(0)) = (p0; q0) e si ottiene il °usso di fase:

StÃp0q0

!!

Ãp(t)q(t)

!=

Ãcos(!t) !¡1 sin(!t)¡! sin(!t) cos(!t)

!Ãp0q0

!:(5.24)

Esso μe, per ogni t, una trasformazione lineare. Nel caso speciale! = 1 μe una rotazione di angolo t intorno all'origine. Osserviamoche la St μe la mappa di evoluzione al tempo t. Non dipendendopoi esplicitamente H dal tempo, allora anche il campo vettoriale

J grad (p;q)H dipende solo dal punto (p; q). Quindi Ss, applicata

al punto St(p0; q0), dμa risultato uguale a quello della mappa St+s

applicata a (p0; q0):

5.6.3 Teorema di Liouville

Il °usso Hamiltoniano (5.24) per l'oscillatore armonico μe de¯nito

attraverso la trasformazione lineare associata alla matrice



132 5 Equazioni canoniche di HamiltonÃcos(!t) !¡1 sin(!t)¡! sin(!t) cos(!t)

!Si osserva facilmente che questa matrice ha determinante 1, ciμo

signi¯ca che la trasformazione lineare del piano su s¶e stesso lascia

inalterate le misure dei volumi. Questa μe una notevole proprietμa

generale del °usso Hamiltoniano valida per ogni sistema. Infatti,

vale il seguente:

Teorema di Liouville: Il °usso Hamiltoniano nello spaziodelle fasi conserva i volumi.Dimostrazione: Dobbiamo fare vedere che per ogni t l'immagine

−(t) = St(−) di un qualsiasi dominio− ½ R2n di frontiera regolareha la stessa misura di−. A tal ¯ne introduciamo la funzione v(t) =volume[−(t)] e consideriamo la funzione _v(t). La variazione di

volume nell'intervallo in¯nitesimo dt μe data, a meno di in¯nitesimidi ordine superiore, da

dv =Z@−(t)

hJ grad (p;q)H

ind¾dt =

Z−(t)

divhJ grad (p;q)H

idV dt

da cui segue

_v =Z−(t)

divhJ grad (p;q)H

idV

dovehJ grad (p;q)H

in=hJ grad (p;q)H

i¢ N essendo N la normale

esterna; pertanto _v(t) μe il °usso del campo uscente attraverso lasuper¯cie @−(t). Da ciμo, dal teorema della divergenza e dal fatto

che la divergenza del campo vettorialehJ grad (p;q)H

iμe nulla segue

_v = 0.Da questo Teorema si ha la seguente proprietμa: chiamando

punti singolari le soluzioni costanti della equazione

_x = J grad (p;q)H

allora si dimostra che ogni punto singolare del sistema _x =

J grad (p;q)H con divhJ grad (p;q)H

i= 0 non puμo essere asin-

toticamente stabile. Infatti se x0 fosse asintoticamente stabile

allora esisterebbe una sfera di centro x0 tale che le traiettorie in

essa originate tenderebbero asintoticamente a x0; il volume del-

l'immagine della sfera tenderebbe quindi a zero per t ! 1 con-

traddicendo il Teorema di Liouville.




Fig. 5.3. Flusso Hamiltoniano e trasformazione del dominio −(t).

Osserviamo che il teorema di Liouville asicura la conservazione

dei volumi, non della forma. Infatti si possono presentare situ-

azioni diverse che, per analogia, possono essere simili a quanto

succede quando misceliamo due liquidi diversi. Ad esempio, se

versiamo dell'olio in un bicchiere d'acqua e mescoliamo il com-

posto (immaginiamo, per analogia, che l'operazione di mescola-

mento eequivalga alla trasformazione indotta dal °usso Hamilto-

niano nel piano delle fasi) si ha che i due liquidi rimangono sep-

arati e quindi abbiamo sia la conservazione del volume dell'olio

(ovvia) che, sostanzialmente, della forma. Se invece misceliamo

due vernici di tinta diversa (ad esempio una tinta rossa su una

base bianca) e mescoliamo il composto abbiamo ancora la conser-

vazione del volume delle due vernici, ma non della forma; infatti le

molecole della vernice rossa sono, approssimativamente, uniforme-

mente distribuite all'interno della vernice bianca. Tornando alle

trasformazioni nello spazio delle fasi si denotano come ergodiche o

mixing le trasformazioni che soddisfano caratteristiche del secondo

tipo.




5.7 Coordinate cicliche | formalismo Hamiltoniano

Una coordinata qh μe detta ciclica o ignorabile quando non ¯guranella Hamiltoniana. Ciμo equivale a non ¯gurare nella Lagrangiana,

come si vede dal fatto che:

@H

@qh= ¡ _ph = ¡ d

dt

Ã@L@ _qh

!= ¡ @L

@qh: (5.25)

Oppure, ricordando che

H =nXj=1

pj _qj(p;q; t)¡ L[ _q(p;q; t);q; t]

si ha immediatamente che

@H

@qh=

nXj=1

pj@ _qj@qh

¡nXj=1

@L@ _qj

@ _qj@qh

¡ @L@qh

= ¡ @L@qh

:

In particolare si possono avere i risultati giμa noti nella meccanica

Lagrangiana nel caso di variabili cicliche; infatti se la funzione

L( _q;q; t) di un sistema lagrangiano non dipende da una data qh,altrettanto accade nelle (5.2) e nelle (5.6) (che derivano dalle (5.2)

risolvendole rispetto alle _q).

Si ha il seguente risultato:

Teorema. Se vi μe una coordinata ciclica qh allora il momentoconiugato ph μe un integrale primo del moto; inoltre il problema siriconduce a equazioni di Hamilton di un sistema ad n¡ 1 gradi dilibertμa.Dimostrazione: Supponiamo per semplicitμa h = 1, cio¶e sia H

indipendente da q1, quindi si ha@H@q1

= 0, e risulta dalla corrispon-

dente equazione (5.8) che sussiste l'integrale

p1 = Cost: = ®: (5.26)

Se ne consegue che la funzione Hamiltoniana H(p;q; t) dipenderμadalle 2(n¡1) variabili (p2; : : : ; pn; q1; : : : ; qn), da t (eventualmente)e dal parametro ®. Le equazioni (5.8) si riducono ad un sistema di2(n¡1) equazioni e, una volta risolto questo, la residua equazione_q1 =

@H@®puμo essere risolta per quadrature ottenendo

q1(t) = q1(t0) +Z t

t0

@H[p2(t); : : : ; pn(t); q2(t); : : : ; qn(t);®; t]

@®dt:



5.8 Esercizi 135

Osserviamo che nel formalismo lagrangiano il fatto che q1 siaciclica non diminuisce il numero di gradi di libertμa: in generale la

Lagrangiana resta funzione della velocitμa generalizzata _q1 e restanoda risolvere n equazioni in n incognite (a meno di non introdurrela Lagrangiana ridotta con che si riduce il sistema di un grado

di libertμa). Nel formalismo hamiltoniano, invece, la coordinata

ciclica μe davvero "ignorabile". Infatti:

q1 ciclica ) p1(t) ´ ® ) H = H(p2; :::; pn; q2; :::; qn; ®; t):

Di fatto ora la Hamiltoniana descrive un sistema con n¡1 gradi dilibertμa: la coordinata ciclica μe tenuta in considerazione solo tramite

la costante ®, da determinare in base ai dati iniziali.

5.8 Esercizi

1) Sia data un'asta AB rigida omogenea, di lunghezza ` e massam, mobile nel piano (O; x; y), (O; y) verticale ascendente, e vin-colata in A a scorrere senza attrito sull'asse (O; x). Sull'astaagisce, oltre che alla forza peso, una forza costante (B;F = F ³),F > 0. Assumendo come parametri lagrangiani la coordinata

ascissa di A e l'angolo che l'asta forma con l'asse orizzontale, sidomanda:

i) la funzione Lagrangiana;ii) la funzione Hamiltoniana;iii)le equazioni canoniche di Hamilton.

3) Consideriamo un oscillatore accoppiato costituito da due punti

materiali P1 e P2 di massa m, vincolati a scorrere lungo l'assex e collegati tra loro mediante 3 molle con la prima e ultimamolla avente estremi ¯ssati in due punti A e B distanti ` traloro:

A ¡ molla ¡ P1 ¡ molla ¡ P2 ¡ molla ¡ B:

Denotando con k la costante di elasticitμa delle due molle esternee con K quella della molla interna e assumendo quali parametri

lagrangiani le distanze tra A e P1 e tra P2 e B si domanda:

i) la funzione Lagrangiana;ii) la funzione Hamiltoniana;iii)le equazioni canoniche di Hamilton.





6

Principio variazionale di Hamilton.

6.1 Premesse

Si μe giμa visto come tutte le leggi della Meccanica dei sistemi ma-

teriali a vincoli privi di attrito siano sostanzialmente sintetizzate

nel principio dei lavori virtuali o nella conseguente relazione

simbolica della Dinamica. μE comunque possibile ottenere for-

mulazioni sostanzialmente equivalenti in modo diverso richiedendo

che le leggi della Meccanica soddis¯no a certe principi variazionali.

In questo capitolo studieremo il principio di minima azione di

Hamilton. In ogni caso supporremo che si tratti di sistemi ma-

teriali soggetti esclusivamente a vincoli bilaterali e privi di

attrito.

6.2 Principio variazionale di Hamilton

Consideriamo un arbitrario sistema olonomo con coordinate in-

dipendenti q = (q1; q2; : : : ; qn) e la funzione Lagrangiana L( _q;q; t):L'integrale

A =Z t2

t1L[ _q(t);q(t); t]dt (6.1)

μe detto azione (nel senso di Hamilton) durante un intervallo di

tempo (t1; t2) pre¯ssato. L'azione A μe un funzionale che dipendedalle funzioni q(t) = (q1(t); q2(t); : : : ; qn(t)).Se speci¯chiamo arbitrariamente le funzioni qh(t), h = 1; : : : ; n,

otteniamo un dato moto cinematicamente possibile (che μe un moto



138 6 Principio variazionale di Hamilton.

compatibile con i vincoli). Nello spazio delle con¯gurazioni q 2 Rnconsideriamo tutte queste possibili curve, o "traiettorie", passanti

per due determinati punti dello spazio q1 e q2, ¯ssati i tempi

iniziale e ¯nale t1 e t2. Diversamente i moti sono arbitrari. Questa

Fig. 6.1. Esempio di due "traiettorie" ammissibili, cio¶e tali che all'istante inizialee all'istante ¯nale sono in punti pre¯ssati.

classe di moti viene denominataM(t1;t2;q1;q2) ed μe de¯nita come

M(t1;t2;q1;q2) = fq 2 C2([t1; t2];Rn) : q(t1) = q

1;q(t2) = q2g:

Quindi

A :M(t1;t2;q1;q2) ! R

ovvero il funzionale azione A ha M(t1;t2;q1;q2) come dominio e

dipende dalla legge q = q(t): A = A(q).Nella impostazione classica si sono determinate le equazioni di

Lagrange come conseguenza delle leggi di Newton e del principio

dei lavori virtuali. μE tuttavia possibile fare derivare le equazioni

di Lagrange partendo dal seguente postulato:



6.2 Principio variazionale di Hamilton 139

Postulato (principio variazionale di Hamilton): Sia datoun sistema meccanico olonomo ad n gradi di libertμa con La-grangiana L( _q;q; t): Ogni legge del moto q(t) nell'intervallo ditempo [t1; t2] con prescritti valori agli estremi q(t1) = q1 =

(q11 ; : : : ; q1n) e q(t2) = q2 = (q21 ; : : : ; q

2n) rende stazionaria

l'azione di Lagrangiana L:

A(q) :=Z t2

t1L [ _q(t);q(t); t] dt: (6.2)

Quindi: fra tutte le traiettorie cinematicamente possibili du-

rante [t1; t2] che il sistema potrebbe scegliere e che hanno gli stessivalori agli estremi, viene selezionata quella che rende stazionaria

(ad es. minima) l'azione di Lagrangiana L.Andiamo a precisare meglio questa osservazione: consideriamo

i moti variati sincroni

q(t;®) = q(t) + ®´(t)

dove ® 2 R μe un parametro reale e ´ = (´1; : : : ; ń) 2 M(t1;t2;0;0),

cio¶e

´ 2 C2([t1; t2];Rn) e ´(t1) = ´(t2) = 0 (6.3)

e si calcola su di essi il funzionale azione:

A[q(¢;®)] =Z t2

t1L[ _q(t;®);q(t;®); t]dt:

Osserviamo che il nuovo termine che otteniamo dipende dal

numero reale ® e dalle funzioni q ed ´; se pensiamo che questefunzioni sono ¯ssate allora abbiamo costruito una funzione

I : R! R® 7! I(®) = A[q(¢;®)]

che dipende da q ed ´ intesi come parametri. In quanto funzionedipendente da una variabile reale ne possiamo calcolare la derivata

ed il di®erenziale:

dI :=dI

d®

¯¯®=0

d®




che sarμa dipendente da q e ´.De¯nizione. Si dice che il funzionale A(q) μe stazionario per

una dato q se

dI = 0; 8´ 2M(t1;t2;0;0): (6.4)

Il principio variazionale di Hamilton puμo quindi essere formu-

lato nel seguente modo: q = q(t) μe la legge del moto se, e solose, q soddisfa alla (6.4).

In particolare se q risulta un minimo per il funzionale allora

il funzionale μe stazionario in q e quindi q μe la legge del moto.

6.3 Esempi

Questa postulato (come tutti i postilati) si basa su osservazioni

empiriche. Consideriamo alcuni esempi signi¯cativi per i quali si

osserva la validitμa del postulato.

6.3.1 Moto di un grave

Scegliamo il riferimento in modo che il moto naturale abbia

equazioni

x0(t) = vxt; y0(t) = 0; z0(t) = ¡12gt2 + vzt

avendo assegnata la velocitμa iniziale v = (vx; 0; vz). I moti variatisincroni sono de¯niti da

x®(t) = vxt+ ®´x(t); y®(t) = ®ý(t); z®(t) = ¡12gt2 + vzt+ ®´z(t)

dove ´ = (´x; ý; ´z) 2 C2([t1; t2];R3) tale che ´(t1) = ´(t2) = 0

per assegnati t1 e t2. l'azione Hamiltoniana μe data da

A =Z t2

t1L( _q;q; t)dt =

Z t2

t1

·1

2mv2 ¡mgz

¸dt:

Determiniamo ora la di®erenza dell'azione tra due moti: quello

naturale e quello variato sincrono; μe immediato veri¯care che

risulta



6.3 Esempi 141

I(®)¡ I(0) = 1

2m®2

Z t2

t1

h_2x + _2y + _2z

idt

che dμa dI = 0 e che risulta positiva per ogni perturbazione non

nulla. Quindi, in questo esempio, i moti naturali risultano non

solo stazionari per l'azione ma rendono minima l'azione.

6.3.2 Oscillatore armonico

Scegliamo il riferimento in modo che il moto naturale abbia

equazioni

x0(t) = a sin(!t) e y0(t) = z0(t) = 0

avendo assegnata la velocitμa iniziale v = (vx; 0; 0) e avendo operatouna opportuna scelta dell'origine dei tempi, a μe una costante reale.I moti variati sincroni sono de¯niti da

x®(t) = a sin!t+ ®´x(t); y®(t) = ®ý(t); z®(t) = ®´z(t)

dove ´ = (´x; ý; ´z) 2 C2([0; t0];R3) tale che ´(0) = ´(t0) = 0 per

un assegnato t0. l'azione Hamiltoniana μe data da

A =Z t2

t1L( _q;q; t)dt = 1

2mZ t0

0

hv2 ¡ !2(x2 + y2 + z2)

idt

dove L = 12mv2 ¡ 1

2m!2(x2 + y2 + z2). Determiniamo ora la

di®erenza dell'azione tra due moti: quello naturale e quello variato

sincrono; μe immediato veri¯care che risulta

I(®)¡ I(0) = I1 + I2dove

I1 =1

2m®2

Z t2

t1

h( _2x + _2y + _2z)¡ !2(´2x + ´2y + ´2z)

idt

e

I2 = m®Z t2

t1( _x0 _x ¡ !2x0´x)dt

dove il secondo integrale si annulla essendo, per integrazione per

parti,




I2 = m®Z t2

t1( _x0 _x ¡ !2x0´x)dt = ¡m®

Z t2

t1(Äx0 + !

2x0)´xdt = 0:

Si puμo quindi concludere che la variazione I(®) ¡ I(0) valutatasul moto naturale μe di ordine 2 rispetto alla perturbazione, da cui

segue la stazionarietμa di A. Osserviamo in¯ne che, assumendo persemplicitμa t1 = 0:

j´(t)j =¯Z t

0_(t0)dt0

¯· pt

sZ t

0_2(t0)dt0 · pt

sZ t2

0_2(t)dt

da cui segue

I(®)¡ I(0) = 1

2m®2

Z t2

0

³_2 ¡ !2´2

´dt

¸ 1

2m®2

μ1¡ 1

2!2t22

¶Z t2

0_2(t)dt:

Quindi l'azione Hamiltoniana risulta minima sul moto naturale se

t2 <p2=!; per t2 maggiori non μe necessariamente minima l'azione.

Ad esempio si consideri la variazione data da ´x = sin2(¼t=t2) eý = ´z = 0; per prima cosa si osservi che

I(®)¡ I(0) = 1

2m®2

Z t2

0

³_2 ¡ !2´2

´dt

= ¡12m®2

Z t2

0

³Ä + !2´

´´dt

integrando per parti, sostituendo ora l'espressione di ´ si ottiene

I(®)¡ I(0) = ¡12mC®2;

dove

C =Z t2

0

"2¼2

t22cos2

μ¼t

t2

¶+

Ã!2 ¡ 2¼2

t22

!sin2

μ¼t

t2

¶#sin2

μ¼t

t2

¶dt ;

che risulta necessariamente negativa quando !2 ¡ 2¼2

t22> 0, ovvero

t2 > ¼=p2! ed in questo caso la variazione μe negativa.

6.4 Equazioni di Eulero

Teorema (equazioni di Eulero-Lagrange dedotte dal prin-

cipio variazionale di Hamilton): Condizione necessaria e suf-¯ciente a±nch¶e l'azione (6.2) di Lagrangiana L assuma un valore



6.4 Equazioni di Eulero 143

estremo q(t) μe che q(t) sia soluzione delle equazioni di Eulero-Lagrange

d

dt

Ã@L@ _qh

!¡ @L@qh

= 0; h = 1; :::; n: (6.5)

Dimostrazione: Consideriamo i moti variati sincroni

q(t;®) = q(t) + ®´(t) ; ¡1 · ® · 1 ;tali che ´(t1) = ´(t2) = 0. Se q(t) μe estremale allora deve essere

0 = dI ´ dI(®)

d®

¯¯®=0

d®; 8´ 2M(t1;t2;0;0) (6.6)

dove

I(®) =Z t2

t1L[ _q(t;®);q(t;®); t]dt:

Derivando questa relazione rispetto a ® e portando la derivata

sotto il segno di integrale (assumendo siano valide le condizioni di

regolaritμa per potere fare ciμo) si ottiene

dI(®)

d®

¯¯®=0

=nXh=1

Z t2

t1

"@L@qh

@qh@®

+@L@ _qh

@ _qh@®

#dt:

Osservando che @ _qh@®

= _h, integrando per parti e ricordando che

´h(t) si annulla agli estremi, segue cheZ t2

t1

"@L@qh

@qh@®

+@L@ _qh

@ _qh@®

#dt =

=

Z t2

t1

@L@qh

@qh@®

dt+

"@L@ _qh

@qh@®

#t2t1

¡Z t2

t1

@qh@®

d

dt

Ã@L@ _qh

!dt

=

Z t2

t1

"@L@qh

¡ d

dt

Ã@L@ _qh

!#´h(t)dt:

Da cui segue che

dI(®)

d®

¯¯®=0

=nXh=1

Z t2

t1

"@L@qh

¡ d

dt

Ã@L@ _qh

!#´h(t)dt: (6.7)




Ora, dovendo essere valida la (6.6) ed essendo le funzioni ´h(t)indipendenti, otteniamo n integrali uguali a 0 e, essendo ogni´h(t) arbitraria, per il teorema di annullamento degli integrali (siveda in Appendice A.2) si annulla identicamente ogni espressione

@L@qh

¡ d

dt

Ã@L@ _qh

!= 0; 8t 2 [t1; t2]; h = 1; :::; n; (6.8)

quando L sia calcolata in q(t). Si osservi che l'a®ermazione inversaμe banale: se una q = q(t) soddisfa le equazioni di Eulero-Lagrange,automaticamente la variazione del funzionale (6.7) μe nulla. In-

fatti basta percorrere a ritroso la stessa dimostrazione, ma senza

bisogno di applicare il teorema di annulamento degli integrali.

Dunque, nel caso dinamico, le equazioni di Lagrange si pos-

sono riguardare come equazioni di Eulero per il calcolo vari-

azionale. Si noti che la proprietμa di curva di essere es-

tremale di un funzionale non dipende dal sistema di co-

ordinate.

Poich¶e dal principio di Hamilton derivano le equazioni di La-

grange in coordinate indipendenti (e viceversa), il principio di

Hamilton puμo essere posto a fondamento della dinamica

dei sistemi olonomi. Ad ogni modo c'μe una di®erenza fonda-

mentale tra le equazioni di®erenziali del moto e i principi vari-

azionali. Le prime, essendo equazioni di®erenziali, caratteriazzano

localmente il moto mentre il principo variazionale, essendo una re-

lazione integrale, caratterizza l'intera traiettoria nel suo complesso.

6.5 Esercizi (risolti)

1. Moto di un mobile vincolato su una sfera in assenza di campodi forze (moto inerziale su una sfera).Soluzione: la Lagrangiana, in coordinate sferiche (dove r μe il

raggio della sfera), prende la forma

L = 1

2mv2 =

1

2mr2( _μ2 + sin2 μ _'2):

Le equazioni di Lagrange sono

d

dt

@L@ _μ¡ @L@μ

= 0 e@L@ _'

= cost



6.5 Esercizi (risolti) 145

poich¶e ' μe una coordinata ciclica; esplicitando (e sempli¯candoper mr2) si ottiene

Äμ ¡ sin μ cos μ _'2 = 0; sin2 μ _' = sin2 μ0 _'0 = 0

dove abbiamo assunto _'0 = 0 (ipotesi sempre lecita poich¶e pos-

siamo scegliere il sistema di riferimento in modo che la velocitμa

iniziale v0 sia diretta lungo un meridiano ' = costante). Quindi

segue dalla prima equazione _μ = costante e v0 = costante, in parti-colare quindi la traiettoria equivale al moto uniforme lungo un arco

di circonferenza. Questo risultato si traduce nel dire che l'azione

ha un "punto" di stazionarietμa lungo gli archi di circonferenza.

Per discutere se questo "punto" di stazionarietμa corrisponde, o no,

ad un minimo denotiamo con A0 il moto lungo un dato arco °0 dicirconferenza e con A1 il moto lungo un arco °1 qualunque sullasuper¯cie sferica avremo

A1 ¡ A0 = 1

2mZ t1

t0(v2 ¡ v20)dt

= mv0

Z t1

t0(v ¡ v0)dt+ 1

2mZ t1

t0(v ¡ v0)2dt

¸mv0Z t1

t0(v ¡ v0)dt = mv0(`1 ¡ `0)

dove `1 μe la lunghezza di °1 e `0 μe la lunghezza di °0. μE immediatoosservare che la lunghezza dell'arco di circonferenza °0 μe minoredella lunghezza °1 di ogni altra curva sulla sfera congiungente duestessi punti vicina (in un certo senso) a °0; per tale ragione A1 >A0, cio¶e il moto rende minimo il funzionale. Osserviamo checiμo μe valido solo quando `0 < ¼r. Se `0 > ¼r allora `0 non sarμasempre minore di `1 e il valore minimo dell'azione A sarμa ottenutosu un arco ausiliario di circonferenza.

2. Trovare le curve t ! q(t) tali che q(0) = 0, q(¼=2) = 1 eche rendono stazionario il funzionale di lagrangiana L( _q; q; t) =_q2 ¡ q2.Soluzione: consideriamo il seguente funzionale

A(q) =Z ¼=2

0

h_q(t)2 ¡ q(t)2

idt:

de¯nito sul dominioM0;¼=2;0;1 dove




Mt1;t2;x1;x2 =nq 2 C2([t1; t2];R) : q(t1) = q1 e q(t2) = q2

o:

L'equazione di Eulero-Lagrange assume la forma

d

dt[2 _q(t)] = ¡2q(t); cio¶e Äq + q = 0:

La soluzione generale μe quindi q(t) = c1 cos t + c2 sin t; i dati albordo determinano le costanti:(

q(0) = 0 quindi c1 = 0q(¼=2) = 1 quindi c2 = 1

; pertanto q(t) = sin t:

3. Determinare le curve t! q(t), q 2M0;1;0;1; di stazionarietμaper il funzionale di Lagrangiana L( _q; q; t) = _q2 + 12tq.Soluzione: il funzionale risulta essere

A(q) =Z 1

0[ _q(t)2 + 12tq(t)]dt; q 2 M0;1;0;1:

L'equazione di Eulero-Lagrange ha la forma

d

dt[2 _q(t)] = 12t; cio¶e Äq ¡ 6t = 0:

La soluzione generale μe quindi q(t) = t3 + c1t+ c2; i dati al bordodeterminano le costanti:(

q(0) = 0 quindi c2 = 0q(1) = 1 quindi c1 = 0

; pertanto q(t) = t3:

4. Esempio di un problema che non ammette minimo.Soluzione: non μe detto che esistano sempre soluzioni del prob-

lema variazionale assegnato, come nel seguente esempio: sia

A =Z t2

t1q(t)2dt; x 2Mt1;t2;q1;q2:

L'equazione di Eulero-Lagrange assume la seguente forma 2q(t) =0. Quindi se q1 = q2 = 0 allora q(t) ´ 0 μe nel dominioMt1;t2;q1;q2

e minimizza il funzionale. Se, invece, q1 6= 0 o q2 6= 0 allora il fun-zionale non si minimizza con funzioni di classe C2([t1; t2];R). Ciμoμe evidente perch¶e si puμo scegliere una successione qn 2 Mt1;t2;q1;q2

tale che




limn!1 qn(t) =

8><>:q1; t = t10; t1 < t < t2q2; t = t2

Allora,

infnA(qn) = 0;

ma il funzionale non ammette minimo perch¶e A(q) > 0, 8q 2Mt1;t2;q1;q2.

5. Lunghezza di una arco di curva nel piano.Soluzione: sia data una curva ° nel piano R2 avente rappre-

sentazione cartesiana x = x(t) (invece della notazione piμu usualey = y(x)) con t 2 [t1; t2] e congiungente i punti (t1; x1) e(t2; x2), cio¶e tale che x(t) 2 Mt1;t2;x1;x2. Determiniamo la curva

x 2 Mt1;t2;x1;x2 di lunghezza minima. Il funzionale da minimiz-

zare (denotato ora L poich¶e ora indica la lunghezza di una curva)μe quello che ad ogni curva t! x(t) ne associa la lunghezza:

L(x) =Z t2

t1

q1 + _x(t)2dt:

L'equazione di Eulero-Lagrange μe:

d

dt

2 _x

2q1 + _x(t)2

= 0 da cui_xq

1 + _x(t)2= costante

che ha come soluzione generale x(t) = c1t+ c2. Quindi, nel piano,le curve di lunghezza minima sono i segmenti di retta.

6. Super¯cie di rotazione di area minima.Soluzione: avendo pre¯ssato i due estremi (t1; x1) e (t2; x2) con

t2 > t1 e x1; x2 > 0, determinare la curva t! x(t) la cui rotazioneattorno all'asse delle ascisse t genera una super¯cie di area minima.L'area della super¯cie di rotazione generata da t ! x(t), x 2Mt1;t2;x1;x2, μe

A(x) = 2¼Z t2

t1x(t)

q1 + _x(t)2dt: (6.9)

Abbiamo quindi un funzionale di Lagrangiana L( _x; x) = xp1 + _x2.L'equazione di Eulero-Lagrange associata μe




d

dt

@L@ _x¡ @L@x

= 0:

Osserviamo che quando L μe indipendente da t l'equazione diEulero-Lagrange puμo essere scritta come

@2L@ _x2

Äx+@2L@ _x@x

_x¡ @L@x

= 0;

ossia, moltiplicando per _x ambo i membri (riconosciamo la fun-zione Hamiltoniana):

d

dt

Ã@L@ _x

_x¡ L!= 0 cio¶e

@L@ _x

_x¡ L = c1; 8t:

Nel nostro caso si ha:

c1 =x _x2p1 + _x2

¡ xp1 + _x2 =x _x2 ¡ x¡ x _x2p

1 + _x2

e quindi

x = c1p1 + _x2:

μE facile veri¯care che una soluzione generale di questa equazione

di®erenziale μe data da x(t) = c1 cosh[(t¡ c2)=c1] dove c1 e c2 sonodue costanti da determinare; questa μe una famiglia di catenarie,la rotazione delle quali genera una super¯cie dette catenoidi. Lecostanti sono determinate dalle condizioni:(

c1 cosh[(t1 ¡ c2)=c1] = x1c2 cosh[(t2 ¡ c2)=c1] = x2 :

A seconda dei valori di (x1; x2) si avranno 1, 2 o 0 soluzioni.7. La Catenaria. Consideriamo il seguente problema: data una

catena pesante ¯ssata agli estremi e di lunghezza L assegnata, de-terminare la curva della catena.Soluzione: supponiamo la catena omogenea e °essibile, in modo

che la curva abbia rappresentazione x! y(x) regolare con la con-

dizione y(x1) = y1 e y(x2) = y2, cio¶e y 2Mx1;x2;y1;y2 .μE immediato

osservare che la curva della catena sarμa tale da minimizzare il fun-

zionale

y ! A(y) = altezza del baricentro;




dove A(y) ha, a meno di una costante moltiplicativa, la seguenteespressione simile alla (6.9):

A(y) =1

m

Z x2

x1y(x)½

q1 + y0(x)2dx;

infattiq1 + y0(x)2dx rappresenta la lunghezza dell'elemento in-

¯nitesimo di curva, ½ = mLμe la densitμa costante e y(x) l'altezza di

tale elemento di catena. Poich¶e in questo caso A(y+c) = A(y)+cdove c μe una costante allora la traiettoria μe de¯nita a meno di unacostante additiva e quindi la soluzione generale μe

y(x) = c+ c1 cosh[(x¡ c2)=c1]dove c, c1 e c2 si determinano imponendo le condizioni ai bordi e¯ssando la lunghezza della corda:

L = c1 fsinh[(x2 ¡ c2)=c1]¡ sinh[(x1 ¡ c2)=c1]g ; x1 < x2:





7

Trasformazioni canoniche

7.1 Struttura canonica delle equazioni di Hamilton

7.1.1 Trasformazioni che conservano la struttura canonica

Un cambio di coordinate X = X(x; t) trasforma un sistema di

equazioni di®erenziali _x = f(x; t) in un altro sistema _X = F (X; t)

in un modo che μe determinato dalla matrice jacobiana ª =³@X@x

´.

Nel caso delle equazioni di Hamilton, con

x =

Ãp

q

!e campo

J grad (p;q)H =

Ã¡@H@q

@H@p

!; dove J =

Ã0in ¡InIn 0in

!

una trasformazione x =

Ãp

q

!! X =

ÃP

Q

!de¯nita dalla mappa

X = X(x; t), con inversa x = x(X; t), produce un sistema cor-rispondente

_Xk =2nXh=1

@Xk

@xh_xh +

@Xk

@t=

2nXh=1

ªk;h _xh +@Xk

@t(7.1)

ovvero

_X = ªJ gradx H [x(X; t); t] +@X

@t(7.2)



152 7 Trasformazioni canoniche

che, in generale, non μe Hamiltoniano, dove ª =³@X@x

´μe la matrice

Jacobiana della trasformazioneX = X(x; t). Tra le trasformazionidi coordinate possibili ne caratteriziamo quelle che conservano la

struttura canonica.

De¯nizione. Una trasformazione

Qh = Qh(p;q; t); Ph = Ph(p;q; t) (7.3)

di®eomorfa (ovvero biunivoca e bidi®erenziabile), in qualche aperto,delle variabili canoniche q = (q1; : : : ; qn) e p = (p1; : : : ; pn) con-serva la struttura canonica delle equazioni di Hamilton

se, comunque scelta una funzione Hamiltoniana H(p;q; t) es-iste una corrispondente funzione K(P;Q; t), detta nuova Hamil-toniana, tale che il sistema di equazioni di Hamilton per H(

_ph = ¡ @H@qh

_qh =@H@ph

; (7.4)

equivalga al sistema: (_Ph = ¡ @K

@Qh

_Qh =@K@Ph

:

La de¯nizione individua quelle trasformazioni tali che il nuovo

campo μe Hamiltoniano, cioμe esiste una funzione K(X; t) tale che

ªJ gradx H[x(X; t); t] +@X

@t= J gradX K(X; t): (7.5)

Osserviamo che questa proprietμa μe intrenseca della trasformazione

x ! X e non deve dipendere invece dalla Hamiltoniana H che μe

arbitraria.

QuandoX(x; t) conserva la struttura canonica delle equazioni edipende esplicitamente da t, @X

@tμe un campo Hamiltoniano relativo

a una certa funzione K0 tale che:

@X

@t= J gradX K0; (7.6)

che dipende solo dalla trasformazione stessa e si puμo pensare come

la nuova Hamiltoniana corrispondente ad H ´ 0.



7.1 Struttura canonica delle equazioni di Hamilton 153

7.1.2 Determinazione della nuova Hamiltoniana per e®etto di una

trasformazione che conserva la struttura canonica

Osserviamo che, anche quando X = X(x) μe una trasformazione

indipendente dal tempo che conserva la struttura canonica delle

equazioni canoniche di Hamilton, non μe detto che la nuova Hamil-

toniana K(X; t) sia uguale alla H vista nelle nuove variabili:

H[x(X); t]. Vediamo il seguente esempio: sia n qualunque e sia(p;q) ! (®p; ¯q) = (P;Q). A tal¯ne consideriamo si conserva

la struttura delle equazioni canoniche, ma con nuova Hamiltoni-

ana K = ®¯H . Infatti si veri¯ca immediamente che K(P;Q) =®¯H(®¡1P; ¯¡1Q) μe tale che8<: _Q = @K

@P= ®¯ @H

@p®¡1

_P = ¡@K@Q= ¡®¯ @H

@q¯¡1

()(¯ _q = ¯ @H

@p

® _p = ¡® @H@q

Cosμ³ in questo esempio esiste una costante c = ®¯ tale cheK(X) =cH[x(X)]. Si puμo provare che questa μe la situazione usuale in forzadel seguente Teorema:

Teorema. Sia X = X(x; t) un di®eomor¯smo che conservala struttura canonica delle equazioni di Hamilton. Alloraesiste un fattore c (dipendente al piμu da t) tale che la Hamil-toniana K corrispondente ad H μe data da

K(X; t) = cH[x(X; t); t] +K0(X; t) (7.7)

dove K0 μe la Hamiltoniana corrispondente ad H ´ 0, ossia taleche J gradX K0 =

@X@t. In particolare K(X; t) = cH[x(X); t] se la

trasformazione μe indipendente dal tempo. Il termine c μe tale che

¡ªJ ªT J = ci: (7.8)

dove ª =³@X@x

´μe la matrice Jacobiana della trasformazione.

Dimostrazione: Se X(x; t) conserva la struttura canonica allorala K(X; t) μe legata alla H tramite la (7.5). Una volta veri¯cata

che vale la (7.8) con c dipendente al piμu da t, veri¯chiamo che la(7.7) soddisfa la (7.5); infatti

J gradX K = ciJ (ªT )¡1gradx H [x(X; t); t] + J gradX K0(X; t)

= ciJ (ªT )¡1gradx H [x(X; t); t] +@X

@t




e, dalla (7.5), deve essere

ciJ (ªT )¡1 = ªJ; cio¶e ci = ¡ªJ ªT Jpoich¶e J J = ¡i. Rimane quindi da dimostrare la (7.8), a tal ¯neintroduciamo il seguente Lemma:

Lemma: Sia A(x; t), (x; t) 2 R2n £ R, una funzione regolarea valori nello spazio delle matrici quadrate reali 2n £ 2n. Se ilcampo Agradx f μe irrotazionale, cio¶e il rotore di tale campo μenullo, per ogni funzione f : R2n ! R regolare allora esiste unafunzione c : R! R tale che A = c(t)i.Dimostrazione del Lemma: Se Agradx f μe irrotazionale allora

dovrμa essere

@(Agradx f )h@xj

=@(Agradx f )j

@xh; 8h; j = 1; : : : ; 2n; (7.9)

per ogni f . In particolare per f (x) = xj questa relazione implicala seguente relazione sui coe±cienti della matrice A:

@Ah;j@xj

=@Aj;j@xh

; 8h; j = 1; : : : ; 2n;

per f (x) = x2j si ottiene l'ulteriore relazione sui coe±cienti dellamatrice A:

@Ah;jxj@xj

=@Aj;jxj@xh

; 8h; j = 1; : : : ; 2n:

Da queste due relazioni segue necessariamente che deve essere

Ah;j = Aj;j±hj , cio¶e la matrice A μe diagonale. Pertanto dovrμa

anche essere@Aj;j@xh

= 0 se h 6= j e quindi potremo scrivere

Ah;j(x; t) = ch(xh; t)±hj . Con questa posizione la (7.9) prende la

forma

ch@2f

@xj@xh= cj

@2f

@xh@xj; h 6= j;

da cui segue (in virtμu del Teorema di Schwartz sull'invertibilitμa

delle derivate) che deve necessariamente essere

ch(xh; t) ´ cj(xj; t) ) ch(t) ´ cj(t) ´ c(t)



7.2 Trasformazioni canoniche 155

da cui segue la dimostrazione del Lemma.

Siamo ora in grado di completare la dimostrazione del Teo-

rema. Infatti sottraendo alla (7.5) quella corrispondente a H ´ 0si ottiene la relazione

gradX (K ¡K0) = ¡J ªJ gradx H[x(X; t); t]= ¡J ªJ ªTgradX H(X; t)

dove abbiamo posto H(X; t) = H[x(X; t); t]. Per l'arbitrarietμa

di H e poich¶e il termine gradX (K ¡K0) μe manifestamente irro-

tazionale allora il Lemma prova la (7.8).

Esempio: Nel caso della trasformazione canonica (p; q) !(®p; ¯q) considerata in precedenza segue che

Ã =

Ã@P@p

@P@q

@Q@p

@Q@q

!=

Ã® 00 ¯

!e quindi

¡ÃJÃT J = ¡Ã® 00 ¯

!Ã0 ¡11 0

!Ã® 00 ¯

!Ã0 ¡11 0

!

= ¡Ã0 ¡®¯ 0

!Ã0 ¡®¯ 0

!

= +

Ã®¯ 00 ®¯

!= ®¯i

da cui si ottiene c = ®¯.

7.2 Trasformazioni canoniche

Il Teorema consente di circoscrivere l'interesse al caso c = 1; cioμedi trattare le trasformazioni canoniche vere e proprie:

De¯nizione. Un di®eomor¯smo X = X(x; t) che conserva lastruttura canonica delle equazioni di Hamilton si dice trasfor-mazione canonica se e solo se l'Hamiltoniana K corrispondentea un arbitraria Hamiltoniana H si scrive

K(X; t) = H[x(X; t); t] +K0(X; t) (7.10)

dove K0 μe tale che J gradX K0 =@X@t: Una trasformazione canon-

ica X = X(x) indipendente dal tempo si dice completamentecanonica.




7.3 Generatrice di una trasformazione canonica

In una trasformazione canonica, tra le 4n variabili p;q;P;Q, solo2n saranno indipendenti proprio a causa di (7.3). Una trasfor-

mazione canonica, che per ogni t agisce da un aperto di R2n adun aperto di R2n, μe quindi assegnata se sono assegnate 2n funzioni(sotto alcune proprietμa) di 2n variabili. μE conveniente disporre

di una funzione generatrice della trasformazione canonica.

Ad esempio:

1. Se, per ogni t, una data funzione F1(q;Q; t) ha det@2F1@Q@q

6=0 in un aperto di R2n, allora una trasformazione μe individuataimplicitamente dalle 2n equazioni

ph =@F1@qh

e Ph = ¡ @F1@Qh

; h = 1; 2; : : : ; n: (7.11)

Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Qh (essendo det@2F1@Q@q

6=0) si ottiene Qh = Qh(pk; qk; t) che sostituete nelle seconde dμaPh = Ph(pk; qk; t). Nel caso particolare in cui F1(Q;q; t) sia linearenelle qh allora si trova Q = Q(p; t) e P = P(p;q; t). In questocaso la trasformazione canonica μe detta libera; cio¶e le Q e q sono

indipendenti. Tra le funzioni del primo tipo (F1 μe funzione dellevecchie e nuove coordinate) vi μe quella che scambia il ruolo tra

coordinate e impulsi: F1 =Pnh=1 qhQh.

2. Se, per ogni t, una data funzione F2(q;P; t) ha det@2F2@q@P


ph =@F2@qh

e Qh =@F2@Ph

; h = 1; 2; : : : ; n: (7.12)

Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Ph (essendo det@2F2@P@q

6= 0)si ottiene Ph = Ph(pk; qk; t) che sostituendo nelle seconde dμaQh = Qh(pk; qk; t). In questo rientra, come vedremo tra poco,

la trasformazione identitμa Q = q e P = p: l'identitμa μe necessari-

amente non libera perch¶e Q = q implica che Q e q non sono

indipendenti. Le funzioni generatrici del secondo tipo (dove F2μe funzione delle vecchie coordinate e dei nuovi impulsi) compren-

dono la trasformazione identitμa; infatti, a partire da



7.3 Generatrice di una trasformazione canonica 157

F2(q;P) =nXh=1

qhPh

segue che

ph =@F2@qh

= Ph; Qh =@F2@Ph

= qh; K = H:

3. Se, per ogni t, una data funzione F3(p;Q; t) ha det@2F3@p@Q


qh = ¡@F3@ph

e Ph = ¡ @F3@Qh

; h = 1; 2; : : : ; n: (7.13)

Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Qh (essendo det@2F3@Q@p

6=0) si ottiene Qh = Qh(pk; qk; t) che sostituendo nelle seconde dμaPh = Ph(pk; qk; t).

4. Se, per ogni t, una data funzione F4(p;P; t) ha det@2F4@p@P


qh = ¡@F4@ph

e Qh =@F4@Ph

; h = 1; 2; : : : ; n: (7.14)

Infatti, risolvendo la prima rispetto alle Ph (essendo det@2F4@P@p

6= 0)si ottiene Ph = Ph(pk; qk; t) che sostituendo nelle seconde dμa Qh =

Qh(pk; qk; t).Il numero di tipi di funzioni generatrici non si riduce a 4, ma μe

molto maggiore; tante quante sono le collezioni di n nuove coordi-nate Qi1 ; : : : ; Qik ; Pj1 ; : : : ; Pjn¡k , in modo tale che, con le vecchiecoordinate p; q si ottengano 2n coordinate indipendenti.Queste quattro trasformazioni de¯nite implicitamente dalle re-

lazioni (7.11)|(7.14) si dimostrano essere canoniche. A tal

¯ne μe stata fatta la scelta del segno negativo nelle (7.11) e (7.13).

Nel seguito, per semplicitμa, limitiamo la nostra analisi alle

trasformazioni con funzione generatrice del tipo F1 anche se ilrisultato che segue, del quale ne omettiamo la dimostrazione, vale

per gli altri tipi di trasformazione.




Teorema su funzioni generatrici di tipo F1: Sia F1(q;Q; t)una funzione regolare de¯nita in un aperto Aq£BQ di R2n, 8t 2 R,e tale che

det

Ã@2F1@q@Q

!6= 0; 8(q;Q) 2 Aq £ BQ; 8t 2 R : (7.15)

Allora F1(q;Q; t) μe la funzione generatrice di una trasfor-mazione canonica. La trasformazione canonica si ottiene per es-plicitazione dalle 2n equazioni

ph =@F1@qh

; Ph = ¡ @F1@Qh

(7.16)

con nuova Hamiltoniana

K(P;Q; t) = H[p(P;Q; t);q(P;Q; t); t] +@F1[q(P;Q; t);Q; t]

@t:

Osserviamo che se F1 μe indipendente da t allora la trasfor-mazione μe completamente canonica. Osserviamo anche che la fun-

zione generatrice F1 μe de¯nita a meno di un termine additivofunzione di t (e per il resto arbitrario). Infatti, questo terminenon cambia la trasformazione generata da F1.

7.4 Esempio: trasformazione canonica per l'oscillatore

armonico

Per l'oscillatore armonico uni-dimensionale, dove assumiamo la

massa unitaria, di Hamiltoniana

H(p; q) =1

2[p2 + !2q2]; p; q 2 R; (7.17)

ecco una trasformazione canonica (p; q) ! (P;Q) che rende Qciclica. La trasformazione μe generata dalla funzione di primo tipo:

F1(q;Q) =1

2!q2 cotQ

da cui segue



7.4 Esempio: trasformazione canonica per l'oscillatore armonico 159

p =@F1@q

= !q cotQ; P = ¡@F1@Q

=1

2

!q2

sin2Q(7.18)

Ricavando q =q

2P!sinQ e p =

p2!P cosQ, troveremo H in

funzione di Q;P :

K(P;Q) =H [p(P;Q); q(P;Q)] =1

2

·2!P cos2Q+ !2

2P

!sin2Q

¸= !P:

Quindi Q μe coordinata ciclica. Le equazioni canoniche di Hamiltonnelle nuove coordinate prendono la forma:

_P = ¡@K@Q

= 0 ) P = ® = cost:

e

_Q =@K

@P= ! ) Q = !t+ ¯:

Riportando alle coordinate originarie:

q(t) =

s2®

!sin(!t+ ¯):

Le costanti di integrazione sono due e hanno il signi¯cato atteso: ®determina l'ampiezza e ¯ la fase iniziale dell'oscillazione armonica.Da questo esempio segue che μe molto utile trovare una trasfor-

mazione canonica che renda una o piμu coordinate cicliche. Quando

si riescono a rendere cicliche tutte le coordinate, esse sono spesso

interpretabili come variabili angolari. Quando H(p;q) ammetteuna trasformazione canonica tale che i nuovi momenti risultano

costanti e le nuove coordinate risultano lineari rispetto al tempo

K = ! ¢P =nXh=1

!hPh; Ph = ®h; Qh = !ht+ ¯h

allora, le variabili Ph si dicono azioni e le variabili Qh si dicono

angoli.





8

Parentesi di Poisson

8.1 De¯nizione della parentesi di Poisson

De¯nizione. Una quantitμa osservabile μe una funzione g(p;q; t)delle coordinate, dei momenti generalizzati ed eventualmente deltempo (ad esempio l'energia, il momento angolare rispetto a unasse, etc.). La parentesi di Poisson tra due osservabili f; g μede¯nita come:

ff; gg :=nXh=1

Ã@f

@ph

@g

@qh¡ @f

@qh

@g

@ph

!: (8.1)

8.1.1 Esempio

Consideriamo un punto materiale libero e, denotando con Kj e pj ,j = 1; 2; 3, le componenti del suo momento della quantitμa di moto(rispetto ad un dato polo coincidente con l'origine) e dei momenti

coniugati si osserva immediatamente che

fp1; K3g = p2; fp2;K3g = ¡p1; fp3;K3g = 0e analogamente per K1 e K2. Infatti, ricordando che per un punto

libero pj = m _qj, da cui K3 = m(q1 _q2¡q2 _q1) = q1p2¡p1q2. Quindi

fp1; K3g =nXj=1

Ã@p1@pj

@K3

@qj¡ @p1@qj

@K3

@pj

!= p2:

Inoltre si prova che



162 8 Parentesi di Poisson

fK1;K3g =nXj=1

Ã@K1

@pj

@K3

@qj¡ @K1

@qj

@K3

@pj

!

=nXj=1

Ã@(q2p3 ¡ p2q3)

@pj

@(q1p2 ¡ p1q2)@qj

¡ @(q2p3 ¡ p2q3)@qj

@(q1p2 ¡ p1q2)@pj

!

=@(q2p3 ¡ p2q3)

@p2

@(q1p2 ¡ p1q2)@q2

¡ @(q2p3 ¡ p2q3)@q2

@(q1p2 ¡ p1q2)@p2

= q3p1 ¡ p3q1 = K2

e analogamente si prova che

fK1;K2g = ¡K3 e fK2; K3g = ¡K1:

In¯ne segue che

fKj; K2g = 0 dove K2 = K2

1 +K22 +K

32 :

8.2 Proprietμa principali

μE immediato osservare che la parentesi di Poisson μe una forma

bilineare antisimmetrica:

f¸1f1 + ¸2f2; gg = ¸1ff1; gg+ ¸2ff2; gg; (8.2)

ff; gg = ¡fg; fg; (8.3)

ff; fg = 0: (8.4)

Inoltre, si controlla facilmente che:

fqh; qkg = 0; fph; pkg = 0; fph; qkg = ±kh (8.5)

e, assegnata una funzione H = H(p;q; t),

fH; qhg = @H

@ph; fH; phg = ¡@H

@qh;

quindi le equazioni di Hamilton, dove H rappresenta una funzione

Hamiltoniana, si scrivono in modo simmetrico:(_ph = fH; phg_qh = fH; qhg :

Valgono, inoltre le seguenti ulteriori proprietμa:



8.2 Proprietμa principali 163

1) Regola di Liebniz: ff1f2; gg = f1ff2; gg+ f2ff1; gg;2) Identitμa di Jacobi: ff; fg; hgg+ fh; ff; ggg+ fg; fh; fgg = 0;3) Vale la seguente relazione:

@ff1;f2g@t

=nf1;

@f2@t

o¡nf2;

@f1@t

o.

La regola di Liebniz e la proprietμa 3) sono una conseguenza im-

mediata della de¯nizione della parantesi di Poisson e dell'usuale

proprietμa relativa alla derivata del prodotto. Per dimostrare l'iden-

titμa di Jacobi osserviamo che tale termine μe costituito da somme

di prodotti tra la derivata (parziale) seconda di un osservabile per

le derivate prime delle altre due e svolgiamo poi il calcolo esplicito

del termine

ff; fg; hgg =8<:f;

nXj=1

@g

@pj

@h

@qj¡ @g

@qj

@h

@pj

9=; ==

nXj;`=1

"@f

@q`

@

@p`

Ã@g

@pj

@h

@qj¡ @g

@qj

@h

@pj

!¡ @f

@p`

@

@q`

Ã@g

@pj

@h

@qj¡ @g

@qj

@h

@pj

!#:

Se consideriamo il termine che contiene le derivate seconde di gesso μe dato da

nXj;`=1

"@f

@q`

@2g

@qj@p`

@h

@pj¡ @f

@q`

@2g

@pj@p`

@h

@qj¡ @f

@p`

@2g

@q`@qj

@h

@pj+@f

@p`

@2g

@q`@pj

@h

@qj

#

ed il termine che contiene le derivate seconde di h sarμa anal-

ogo mentre la funzione f compare esclusimante attraverso le suederivate prime. Le derivate seconde di g compaiono anche nel-l'altro termine fh; ff; ggg = ¡fh; fg; fgg che μe simile a quelloappena calcolato a meno del segno e dello scambio tra f e h, piμuprecisamente si ha che questo contributo μe dato da

¡nX

j;`=1

"@h

@q`

@2g

@qj@p`

@f

@pj¡ @h

@q`

@2g

@pj@p`

@f

@qj¡ @h

@p`

@2g

@q`@qj

@f

@pj+@h

@p`

@2g

@q`@pj

@f

@qj

#

cio¶e μe uguale ed opposto al termine precedentemente calcolato (in

virtμu del Teorema di Schwartz sullo scambio di derivate). Da

ciμo segue che il termine ff;fg; hgg+ fh;ff; ggg+ fg; fh; fgg noncontiene derivate seconde di g e, in modo analogo, di f e h e quindideve essere necessariamente nullo.



164 8 Parentesi di Poisson

8.3 Applicazioni

Il seguente Teorema riguarda l'evoluzione temporale di una osserv-

abile:

Teorema. La parentesi di Poisson tra l'Hamiltoniana H edun'osservabile arbitraria g = g(p;q; t) determina la variazione neltempo dell'osservabile quando essa μe calcolata sulle orbite p(t) eq(t) generate da H. Piμu precisamente:

dg[p(t);q(t); t]

dt=@g[p(t);q(t); t]

@t+ fH; gg: (8.6)

Dimostrazione: Basta derivare rispetto a t su un'orbita t !(p(t);q(t)):

dg

dt=@g

@t+

nXh=1

@g

@qh_qh +

nXh=1

@g

@ph_ph

=@g

@t+

nXh=1

Ã@g

@qh

@H

@ph¡ @g

@ph

@H

@qh

!=@g

@t+ fH;gg:

come immediato corollario segue che:

Corollario: Se g = g(p;q) allora _g = fH; gg.Segue inoltre che:

Teorema di Poisson: Se f1 e f2 sono due integrali primi alloraanche la loro parentesi di Poisson ff1; f2g μe un integrale primo.Dimostrazione: La dimostrazione del Teorema μe, di fatto, una

immediata conseguenza dell'identitμa di Jacobi. Infatti, essendo f1e f2 integrali primi segue che durante il moto

0 =df1dt

=@f1@t

+ fH;f1g e 0 =df2dt

=@f2@t

+ fH;f2g: (8.7)Si tratta ora di provare che

dff1; f2gdt

=@ff1; f2g

@t+ fH;ff1; f2gg = 0 (8.8)

Ora, dall'identitμa di Jacobi, e dalla proprietμa 3) segue che la (8.8)

prende la forma(f1;@f2@t

)¡(f2;

@f1@t

)+ ff1; fH; f2gg ¡ ff2; fH; f1gg



8.3 Applicazioni 165

che μe nullo per le (8.7).

Osserviamo che, in generale, il nuovo integrale primo non μe

indipendente dai due primitivi, anzi puμo essere costante o nullo.





9

Equazione di Hamilton-Jacobi

9.1 Equazione di Hamilton-Jacobi

Sappiamo che la risoluzione delle equazioni di Hamilton diventa

elementare se riusciamo, mediante una opportuna trasformazione

canonica, a rendere cicliche tutte le coordinate. Una situazione

speciale in cui ciμo avviene si ha quando la nuova Hamiltoniana a

seguito di una trasformazione canonica μe identicamente uguale

a zero. Quindi, se riusciamo a trovare una trasformazione canon-

ica (dipendente dal tempo in generale) per e®etto della quale la

nuova Hamiltoniana si annulla (o μe una costante o, eventual-

mente, funzione della sola variabile t) allora abbiamo risolto ilproblema della soluzione delle equazioni di Hamilton. Se

la trasformazione canonica μe, ad esempio, generata a partire da

una funzione generatrice (che nel seguito sarμa denotata con S in-vece che F2) del II

± tipo dipendente da P; q e t allora cerchiamo,se esiste, una funzione S(P;q; t) tale che

fp;q;H(p;q; t)g !(P;Q; K = H +

@S

@t´ 0

)(9.1)

In tal caso nelle nuove coordinate le equazioni canoniche di Hamil-

ton si risolvono banalmente:

P(t) ´ P0 e Q(t) ´ Q0:

Applicando la trasformazione inversa (P;Q)! (p;q) si risolve ilproblema originario. Tutto ciμo sembra molto semplice; in realtμa



168 9 Equazione di Hamilton-Jacobi

abbiamo spostato la di±coltμa nella determinazione della genera-

trice S che rende vera la (9.1).Entrando in maggiore dettaglio e ricordando le prescrizioni di

una funzione generatrice di secondo tipo(ph =

@S@qh

Qh =@S@Ph

; da cui q = q(P;Q; t);

la (9.1) si traduce nella seguente equazione

H

"@S

@q;q; t

#+@S

@t= 0 : (9.2)

Questa μe chiamata equazione di Hamilton-Jacobi: μe un'e-

quazione di®erenziale alle derivate parziali del primo ordine (che

ammette tutta una propria trattazione matematica) nell'incognita

S. Osserviamo ancora che se una tale trasformazione esiste allorale equazioni canoniche nelle nuove variabili si integrano

immediatamente e danno

Ph = P0h = ®h e Qh = Q

0h = ¯h costanti

poichμe

_Ph = ¡ @K@Qh

= 0 e _Qh =@K

@Ph= 0:

Quindi la funzione S dipenderμa da S(®;q; t), cio¶e da n variabili qhe da n parametri ®h piμu, eventualmente, il tempo.De¯nizione. Se S = S(®;q; t) μe una funzione delle n + 1

variabili q1; : : : ; qn; t e di n parametri (costanti) ®1; : : : ; ®n sod-disfacente l'equazione (9.2) e alla condizione

det

Ã@2S

@®h@qk

!6= 0

allora S si dice una soluzione completa dell'equazione di

Hamilton-Jacobi La funzione S(®;q; t) μe detta funzione azione.Essendo K(P;Q; t) ´ 0 allora segue che anche le nuove co-

ordinate Qh, costanti poich¶e _Qh = 0, sono legate alla S tramite

la:



9.2 Hamiltoniana indipendente da t ed azione ridotta 169

@S(®;q; t)

@®h= Qh = ¯h: (9.3)

La condizione det³

@2S@®h@qk

´6= 0 serve precisamente a garantire

che l'equazione (9.3) puμo essere risolta rispetto a q = q(®; ¯; t)trovando q = q(t). Quindi: trovare una soluzione completaS dell'equazione di Hamilton-Jacobi equivale a risolvere

il sistema delle equazioni di Hamilton.

Nell'equazione di Hamilton-Jacobi le variabili indipendenti sono

il tempo t e i parametri lagrangiani qh. Conseguentemente l'in-

tegrale completo di questa equazione dipenderμa da n+ 1 costantiarbitrarie. D'altra parte, la funzione S μe presente nell'equazionesoltanto attraverso le sue derivate e quindi una delle sue costanti

arbitrarie appare nell'integrale completo come una grandezza

additiva, cio¶e l'integrale completo dell'equazione di Hamilton-

Jacobi prende la forma generale S(®;q; t)+c dove ® = (®1; : : : ; ®n)e c sono costanti arbitrarie. Poich¶e la determinazione di c μeinessenziale ai ¯ni dello studio del moto (possiamo sempre pen-

sare di inglobarla nelle ¯h attraverso le relazioni (9.3)), in generalequesta costante sarμa assunta nulla.

9.2 Hamiltoniana indipendente da t ed azione ridotta

Teorema. Se l'Hamiltoniana H non dipende esplicitamente daltempo, allora il problema si riconduce all'equazione caratteris-tica di Hamilton-Jacobi

H

Ã@W

@q;q

!= ®1 (9.4)

dove l'incognita W (®;q) μe detta azione ridotta. La funzionegeneratrice μe allora data da S = W ¡ Et dove ®1 ´ E (energia,determinata dai dati iniziali). Le soluzioni q = q(®;¯; t) si rica-vano in termini delle n costanti Ph = ®h e di altre n costanti diintegrazione ¯h tramite le seguenti relazioni:

t+ ¯1 =@W (®;q)

@®1; ¯h =

@W (®;q)

@®h; h = 2; : : : ; n; (9.5)

supponendo sempre che sia det³

@2W@®h@qk

´6= 0.




Dimostrazione: Se H = H(p;q) allora esiste l'integrale primodell'energia meccanica E e, ponendo ®1 = E = H[p(t);q(t)],risulta naturale cercare S nella forma

S(P;q; t) =W (P;q)¡ Et:Con tale separazione fra variabili spaziali e temporale l'equazione

di Hamilton-Jacobi (9.2) prende la forma:

H

Ã@W

@q;q

!¡ E = 0 (9.6)

da cui risulta la (9.4). Come nel caso precedente risulta Qh = ¯he Ph = ®h costanti, tra cui P1 = ®1 = E. Ricordando poi che

Q = @S@Psi ottiene

¯h = Qh =@W

@®h; h = 2; : : : ; n; e ¯1 = Q1 =

@S

@®1=@W

@®1¡ t

da cui segue la (9.5) completando cosμ³ la dimostrazione.

La risoluzione del moto consiste in due passi distinti. Nel primo

passo si risolve l'equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi (9.4)

costituita da una equazione di®erenziale alle derivate parziali del

I± ordine. Nel secondo passo, una volta determinata la W , sirisolvono le n equazioni (9.5) (ora non di®erenziabili) che deter-minano il moto del sistema.

Osserviamo che le n ¡ 1 equazioni ¯h = @W (®;q)@®h

, h = 2; : : : ; n,nelle n incognite qh permettono di determinare la "traiettoria" delsistema nello spazio delle con¯gurazioni, cio¶e de¯niscono gli aspetti

puramente geometrici del moto. La prima equazione t + ¯1 =@W (®;q)@®1

μe invece l'unica che contiene il tempo t ed μe quella checaratterizza l'aspetto cinematico del moto, cio¶e determina la legge

oraria del punto q sulla traiettoria nello spazio delle con¯gurazioni.

Osserviamo anche che il parametro ¯1 μe inessenziale in quantoride¯nisce solamente l'origine della scala dei tempi.

9.3 Esempio: l'oscillatore armonico

L'Hamiltoniana dell'oscillatore armonico unidimensionale μe

H(p; q) =1

2m

³p2 +m2!2q2

´; !2 =

k2

m



9.4 Metodo di separazione delle variabili 171

da cui segue che l'equazione di Hamilton-Jacobi ha la forma

1

2m

24Ã@S@q

!2+m2!2q2

35+ @S

@t= 0:

Ponendo S = W (E; q) ¡ Et allora l'equazione caratteristica diHamilton-Jacobi (9.4) si riduce a

1

2m

24Ã@W@q

!2+m2!2q2

35 = Eche ha soluzione (de¯nita a meno di una costante additiva che

possiamo sempre assumere nulla)

W (E; q) =p2mE

Z q

q0

s1¡ m!2x2

2Edx =

Z q

q0

p2mE ¡m2!2x2dx

=

smE

2

24qs1¡ m!2q2

2E+

s2E

m!2arcsin

0@sm!22E

q

1A35dove abbiamo assunto, per semplicitμa q0 = 0. Quindi

¯ = ¯0 + t =@W

@E=

s2m

E

Z q

q0

dxq1¡ m!2x2

2E

=1

!arcsin

0@sm!22E

q

1Ada cui troviamo

q =

s2E

m!2sin(!t+ ¯0)

e

p =@W

@q=p2mE

s1¡ m!2q2

2E=p2mE cos(!t+ ¯0):

9.4 Metodo di separazione delle variabili

Nel seguito ci limitiamo a considerare solo Hamiltoniane indipen-

denti dal tempo e mostreremo che ci sono casi in cui l'equazione




di Hamilton-Jacobi sia risolubile mediante quadrature. μE il caso

delle variabili separabili.

De¯nizione. Sia H(p;q) una Hamiltoniana che non dipendeesplicitamente dal tempo e sia

H

Ã@W

@q1; : : : ;

@W

@qn; q1; : : : ; qn

!= E

la corrispondente equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi. Levariabili qh sono separabili se una funzione del tipo

W (®;q) = W1(®; q1) +W2(®; q2) + : : : +Wn(®; qn) (9.7)

decompone l'equazione di Hamilton-Jacobi in n equazioni dellaforma

Hh

Ã@Wh

@qh; qh; ®1; : : : ; ®n

!= ®h; h = 1; : : : ; n: (9.8)

In ogni equazione (9.8) ¯gura solo una coordinata qh, con lacorrispondente derivata di W rispetto a questa qh. Quindi vieneseparata l'equazione alle derivate parziali in n equazioni ordinarie.Poich¶e sono equazioni ordinarie del primo ordine, si possono risol-

vere per quadratura: basta esplicitare rispetto a @Wh

@qhe poi integrare

rispetto a qh.Osserviamo che:

Teorema. Se in una Hamiltoniana indipendente dal tempotutte le coordinate, tranne una, sono cicliche, allora si puμo ap-plicare il metodo di separazione delle variabili, cio¶e le variabilisono separabili.Dimostrazione: Assumendo che sia la prima coordinata la-

grangiana la coordinata non ciclica allora possiamo scrivere H =

H(p1; : : : ; pn; q1). Da ciμo segue, per prima cosa, che W μe una

soluzione del tipo W (®;q) = W1(®; q1) +Pnh=2Wh(®h; qh). In-

fatti, poich¶e i momenti coniugati ph alle coordinate cicliche sonocostanti, le equazioni di trasformazione ph =

@S@qh

= @W@qh

per h > 1

possono scriversi

@Wh

@qh=@W

@qh= ph = ®h; h > 1;



9.5 Esempi 173

da cui Wh = ®hqh per h > 1 e quindi

W (®;q) =W1(®; q1) +nXh=2

®hqh: (9.9)

Allora l'equazione di Hamilton-Jacobi si riduce a:

H

Ã@W1

@q1; ®2; : : : ; ®n; q1

!= ®1 (9.10)

con ®1 = E (energia totale). Si μe quindi trovata un'equazione

ordinaria del primo ordine; ricavando @W1

@q1e integrando rispetto a

q1 si ottiene W1(®; q1).Osserviamo che questo non μe l'unico caso risolubile mediante

separazione di variabili. Consideriamo ora il caso in cui l'Hamil-

toniana H μe indipendente dal tempo e si puμo scrivere come

H(p;q) =nXh=1

Hh(ph; qh): (9.11)

Allora, ponendo

W (®;q) =nXh=1

Wh(®h; qh)

l'equazione di Hamilton-Jacobi puμo essere decomposta nelle nequazioni

Hh

Ã@Wh

@qh; qh

!= eh(®h)

con eh funzione (regolare) arbitraria tale chePnh=1 eh(®h) = E.

Questo μe il caso, da come vedremo poi, del problema di Keplero.

9.5 Esempi

9.5.1 L'equazione di Hamilton-Jacobi per il moto centrale di un

punto in un piano

Applichiamo il metodo di separazione delle variabili ad un caso

particolare: al caso del punto mobile nel piano e soggetto ad una

forza centrale.




Teorema. Per il moto piano in coordinate polari (r; μ) di unpunto sottoposto a forza centrale il metodo di Hamilton-Jacobi for-nisce direttamente r = r(t) e l'equazione della traiettoria r = r(μ).Dimostrazione: La funzione Hamiltoniana, in coordinate polari

piane, risulta essere

H =1

2m

μp2r +

1

r2p2μ

¶+ V (r)

e quindi l'unica coordinata da cui dipende H μe q1 = r, cio¶e q2 = μμe una coordinata ciclica. Perciμo l'azione ridotta viene ricercata

nella forma (9.9)

W (r; μ; ®1; ®μ) = W1(r; ®) + ®μμ dove ®μ = pμ = mr2 _μ

μe il momento angolare Kz rispetto all'asse ortogonale al piano e

passante per il centro della forza (ovvero la velocitμa areale molti-

plicata per 2m). L'equazione caratteristica di Hamilton-Jacobi

(9.10) assume la forma:

1

2m

24Ã@W1

@r

!2+®2μr2

35+ V (r) = ®1 ´ Eda cui

@W1

@r=q2m[®1 ¡ V (r)]¡ ®2μ=r2:

Da ciμo l'espressione dell'azione ridotta:

W (®1; ®μ; r; μ) =Z q

2m[®1 ¡ V (r)]¡ ®2μ=r2dr + ®μμ:

Senza risolvere tale integrale (d'altra parte non abbiamo ancora

de¯nito l'espressione di V (r)) andiamo a determinare il moto delsistema tramite le

t+ ¯1 =@W

@®1=

Z mdrq2m[®1 ¡ V (r)]¡ ®2μ=r2

; (9.12)

e

¯2 =@W

@®μ

= μ ¡Z ®μdr

r2q2m[®1 ¡ V (r)]¡ ®2μ=r2

: (9.13)



9.5 Esempi 175

dove le costanti di integrazione ¯1; ¯2 sono determinate dai datiiniziali. Ebbene, la (9.12) dμa la legge r = r(t) e la (9.13) dμa latraiettoria r = r(μ).Studiamo in dettaglio la (9.13) nel casoNewtoniano (o Coulom-

biano) dove il potenziale μe dato da V = ¡k=r dove k μe una costanteassunta positiva. Sostituendo u = 1=r e pensando ¯2 come μ = μ0all'istante iniziale otteniamo l'equazione di una conica rispetto a

uno dei suoi fuochi, infatti:

μ = ¯2 +Z dur

2m®2μ(®1 ¡ V )¡ u2

= μ0 +Z dur

2m®2μ(®1 ¡ ku)¡ u2

= μ0 +Z dup

a+ bu¡ u2 = μ0 + arccosμu¡ cd

¶dove

a =2m®1®2μ

; b = ¡2mk®2μ

; c =b

2e d =

pa+ c2 :

Da qui segue che

1

r= u = c+ d cos(μ ¡ μ0) e quindi r =

p

1 + e cos(μ ¡ μ0)

dove

p =1

ce e =

d

c=

r1 +

a

c2

μE immediato osservare che l'eccentricitμa jej risulta minore, ugualeo maggiore di 1 a seconda che l'energia E = ®1 sia minore, ugualeo maggiore di 0.

9.5.2 Il metodo di Hamilton-Jacobi applicato al problema di

Keplero

La possibilitμa di separare le variabili nell'equazione di Hamilton-

Jacobi non si limita ovviamente al caso di un'unica coordinata non

ciclica. Ad esempio per un punto mobile nello spazio e soggetto a

forze centrali allora la funzione Hamiltoniana in coordinate polari

sferiche ha la forma




H =1

2m

·p2r +

1

r2p2μ +

1

r2 sin2 μp2'

¸+ V (r)

dove solo l'angolo ' μe coordinata ciclica. Eppure l'equazione carat-teristica di Hamilton-Jacobi ammette facilmente separazione delle

variabili. Cerchiamo la soluzione W (r; μ; '; ®), ® = (®1; ®2; ®3),dell'equazione (caratteristica) di Hamilton-Jacobi nella forma

W = W1(r; ®) +W2(μ; ®) +W3('; ®) ;

cio¶e:

1

2m

24ÃdW1(r)

dr

!2+1

r2

ÃdW2(μ)

dμ

!2+

1

r2 sin2 μ

ÃdW3(')

d'

!235++V (r) = ®1 ´ E (9.14)

Notiamo che la (9.14) deve essere identicamente soddisfatta per

ogni r; μ e ' e che ' compare solo nella derivata di W3. Quindi

la derivata di W3 μe una costante ®3. Sostituendo tale costante

in (9.14) abbiamo di nuovo un'identitμa rispetto ad r e μ, dove μcompare solo nel blocco (W 0

2)2+®23(sin

2 μ)¡1. Quindi anche questoblocco μe una costante (che chiameremo ®22). Ottenendo in¯ne ilsistema 8>>><>>>:

dW3

d'= ®3;³

dW2

dμ

´2+

®23sin2 μ

= ®22;³dW1

dr

´2+

®22r2= 2m [®1 ¡ V (r)]

(9.15)

da cui si ottiene

W3 = W3('; ®3); W2 = W2(μ; ®2; ®3) e W1 = W1(r; ®1; ®2)

per quadrature. Si osservi che, dalle tre leggi di conservazione

(9.15) si puμo ricavare la funzione generatriceW = W1(r)+W2(μ)+W3('), mediante tre integrali inde¯niti.Osserviamo poi che le costanti ®1, ®2 e ®3 hanno un signi¯cato

¯sico notevole:

®1 = E; ®22 = K

2; ®3 = Kz:

Infatti, ®1, come sappiamo, μe l'energia in quanto μe uguale al-

l'Hamiltoniana; ®3 =@W@'μe il momento p' = Kz (a causa della



9.5 Esempi 177

prescrizione della funzione generatriceW di secondo tipo) e, poichμe

' μe angolo di rotazione attorno a (O; z), allora ®3 μe il momento an-golare rispetto a tale asse. Osserviamo poi che, scegliendo in modo

opportuno gli assi, abbiamo _'0 = 0 e quindi ®3 = p' = Kz = 0,

da cui W3 = cost e quindi ' = '0 = cost, cio¶e il moto avvienein un piano e r e μ si riducono alle coordinate polari in questopiano. Con questa posizione allora ®22 = K2 come abbiamo visto

nell'esempio precedente e il problema, ora nel piano ed in coordi-

nate polari, puμo essere risolto seguendo quanto fatto nella sezione

precedente.





A

Complementi

A.1 Serie di Fourier

A.1.1 Serie di Fourier in forma trigonometrica

Sia data una funzione f(t) periodica di periodo T . Si de¯nisce

serie di Fourier associata a f (t) la seguente serie (al momentoformale):

f(t) » 1

2a0 +

1Xn=1

·an cos

μ2n¼

Tt¶+ bn sin

μ2n¼

Tt¶¸

(A.1)

in cui i coe±cienti di Fourier an e bn sono dati da

an =2

T

Z T

0f (t) cos

μ2n¼

Tt¶dt; n = 0; 1; : : : ; (A.2)

e

bn =2

T

Z T

0f (t) sin

μ2n¼

Tt¶dt; n = 1; 2; : : : : (A.3)

La serie (A.1) associata a f(t) μe, al momento, solamente formalee per questo motivo utiliziamo il simbolo »; infatti non possiamoancora dire nulla sulla sua convergenza e, nel caso in cui converga,

a cosa converge. A tal merito vale il seguente:

Teorema di Dirichlet: Sia data una funzione periodica f (t) diperiodo T e continua a tratti insieme alla sua derivata prima f 0(t).Allora la serie (A.1) associata a f(t) con i coe±cienti (A.2) e(A.3) converge a f(t) nei punti in cui f (t) μe continua, nei punti t0



180 A Complementi

in cui la funzione f(t) μe discontinua allora la serie (A.1) convergea

f (t0 + 0) + f (t0 ¡ 0)2

:

Si noti che il termine costante nella (A.1), dato da

1

2a0 =

1

T

Z T

0f(t)dt;

corrisponde al valore medio di f (t) in un periodo. Osserviamo

poi che, a causa della periodicitμa della funzione f(t), possiamoesprimere i valori dei coe±cienti di Fourier an e bn scegliendo comeestremi di integrazione c e c + T con c qualunque. Ad esempio,per c = ¡T=2 segue che

an =1

¼

Z T=2

¡T=2f(t) cos (2n¼t=T ) dt; n = 0; 1; : : : ;

e

bn =1

¼

Z T=2

¡T=2f(t) sin (2n¼t=T ) dt; n = 1; 2; : : :

in virtμu dell'osservazione precedente.

A.1.2 Serie di Fourier in forma esponenziale

Facendo uso delle formule di Eulero si puμo dare una espressione

diversa della serie di Fourier. Infatti, ricordando che

cos® =1

2

³ei® + e¡i®

´; sin® =

1

2i

³ei® ¡ e¡i®

´;

e ponendo

a¡n = an; b¡n = ¡bn; per n 2 N; e b0 = 0

allora la serie di Fourier assume la forma

f (t) =1

2a0 +

1Xn=1

·an cos

μ2n¼

Tt¶+ bn sin

μ2n¼

Tt¶¸

=1

2a0 +

1Xn=1

·an cos

μ2n¼

Tt¶+ bn sin

μ2n¼

Tt¶¸



A.1 Serie di Fourier 181

=1

2a0 +

1Xn=1

"an ¡ ibn

2ei

2n¼Tt +

an + ibn2

e¡i2n¼Tt

#

=1X

n=¡1

an ¡ ibn2

ei2n¼Tt =

1Xn=¡1

cnei 2n¼Tt (A.4)

=1X

n=¡1cne

i 2n¼Tt (A.5)

che μe detta serie di Fourier in forma esponenziale, dove i coe±cienticn sono dati da

cn =1

2(an ¡ ibn) = 1

T

Z T

0f(t)e¡

i2n¼T

tdt; n 2 Z: (A.6)

Si osserva immediatamente che, se la funzione f(t) μe a valori reali,allora cn = ¹c¡n.

A.1.3 Stima dei coe±cienti cn

Teorema: Sia la funzione periodica f(t) di classe Cr([0; T ]) conr ¸ 1, cio¶e sia continua insieme alle sue derivate ¯no all'ordiner. Allora si ha che

jcnj · cjnj¡r

dove la costante c, indipendente da n, μe data da

c =·T

2¼

¸rmaxt2[0;T ]

jf (r)(t)j:

Dimostrazione: Ricordando che la derivata di una funzione pe-riodica (e derivabile) μe ancora una funzione periodica si ottiene,

integrando per parti r volte, la seguente espressione per cn:

cn =1

T

Z T

0f(t)e¡

i2n¼T

tdt

=1

T

·f (t)

T

¡i2n¼e¡ i2n¼

Tt¸T0¡ 1

T

Z T

0f 0(t)

T

¡i2n¼e¡ i2n¼

Ttdt

=1

T

T

i2n¼

Z T

0f 0(t)e¡

i2n¼T

tdt =1

T

·T

i2n¼

¸r Z T

0f (r)(t)e¡

i2n¼T

tdt:

Quindi



182 A Complementi

jcnj · 1

T

"T

2jnj¼#r Z T

0jf (r)(t)j

¯e¡

i2n¼T

t¯dt

· 1

jnjr1

T

·T

2¼

¸r Z T

0jf (r)(t)jdt · c

jnjrdove c μe la costante indipendente da n che vale

c =·T

2¼

¸rmaxt2[0;T ]

jf (r)(t)j:

A.2 Teorema di annullamento degli integrali

Il teorema di annullamento degli integrali dice che se f μe continuae se

R ba f(x)g(x)dx = 0 per ogni g continua segue che f(x) ´ 0.

Piμu precisamente:

Teorema. Una funzione f 2 C([a; b]) μe identicamente nullasull'intervallo considerato se, e solo se,Z b

af (x)g(x)dx = 0; 8g 2 C([a; b]): (A.7)

Dimostrazione: in un senso la dimostrazione μe ovvia. Assumi-amo soddisfatta la (A.7) e supponiamo, per assurdo che f non siaidenticamente nulla. Se f non μe identicamente nulla allora esistex0 2 (a; b) tale che f(x0) 6= 0, in particolare supponiamo, per ¯s-

sare le idee e senza perdere in generalitμa, che sia f (x0) > 0. Per

continuitμa esiste ² > 0 tale che

(x0 ¡ 2²; x0 + 2²) ½ (a; b)e

f(x) ¸ 0; 8x 2 (x0 ¡ 2²; x0 + 2²)f(x) ¸ 1

2f(x0); 8x 2 (x0 ¡ ²; x0 + ²):

Consideriamo ora una funzione continua 0 · g(x) · 1 tale che

g(x) =

(1 se x 2 (x0 ¡ ²; x0 + ²)0 se x =2 (x0 ¡ 2²; x0 + 2²)



A.2 Teorema di annullamento degli integrali 183

Per costruzione si haZ b

af (x)g(x)dx =

Z x0+2²

x0¡2²f (x)g(x)dx

¸Z x0+²

x0¡²f(x)g(x)dx

¸Z x0+²

x0¡²1

2f(x0)1dx = ²f(x0) > 0

contraddicendo la (A.7).



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Note di Fisica Matematica II: Meccanica Analiticacdm.unimo.it/home/matematica/sacchetti.andrea/Testo_Mec_II.pdf · Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Note di Fisica