Notes régulateur état allemand

Mitschrift ZustandsregelungMartin Vierling, 2. Februar 2008

Bei Fragen, Verbesserungen etc.: [email protected]

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Mitschrift NICHT vollstandig! Wer Interesse hat diese Fortzufuhren bitte eine Email schreiben!

Inhaltsverzeichnis

1 Stabilisierung linearer Systeme im Zustandsraum 2

1.1 Zustandsstabilitat linearer Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Kriterien fur Stabilisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Stabilisierung linearer Systeme durch Eigenwertvorgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Entwurf von Zustandsregelungen auf Fuhrungsverhalten 7

2.1 Einstellung des Fuhrungsverhaltens durch Vorgabe des Fuhrungsubertragungsverhaltens . . . . . . . 7

2.1.1 Stationare Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Dynamische Entkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

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Mitschrift - Zustandsregelung Seite 2/15

1 Stabilisierung linearer Systeme im Zustandsraum

1.1 Zustandsstabilitat linearer Systeme

Ausgangspunkt: Lineares ungeregeltes System n-ter Ordnung in der Zustandsraumdarstellung

x = Ax, x(0) = x0

Ruhelage des Systems

x = 0→ x(0) = AxR = 0

Mit det(A) 6= 0 ist xR = 0 einzige Ruhelage des Systems. System mit Anfangswertstorung, d.h. x(0) 6= 0.

Abbildung 1: Beispiel zur Stabilitat

Stabilitatsdefinition

Ein lineares System heißt asymptotisch stabil (as.st.), wenn die Zustandstrajektorie x fur t → ∞ gegen xR = 0

strebt und zwar ∀x(0) ∈ Rn

Frage: Wie lasst sich Stabilitat bei linearen Systemen nachweisen?

→ Fur lineare (zeitinvariante) Systeme kann Losung des Anfangswertproblems (AWP) geschlossen angegeben

werden!

AWP:

x = Ax, x(0) 6= 0

• Losungsansatz: Taylorreihenentwicklung der Losung x um x(0):

x(t) = x(0) + x(0)t +1

2x(0)t2 + · · · =

∞∑k=0

xk(0) · tk

k!

Da x(0) bekannt ist, kann x(0)t berechnet werden.

• Darstellung von xk(0) mittels der Zustandsgleichung:

x = Ax ; x = Ax = A2x . . . ; xk = Akx

• Damit folgt fur Losung:

x(t) = x(0) + Ax(0)t +1

2A2x(0)t2 + · · · = (I + At +

1

2A2t2 + . . . )︸︷︷︸∑∞

k=0(At)k

k!=eAt(Matrizenexponentialprodukt)

x(0)

• Eindeutige Losung des AWP

x(t) = eAt · x(0) (Abbild bzw. Fluss einer DGL)

c© Martin Vierling Stand: 2. Februar 2008


Bemerkung: Losung der inhomogenen Zustandsgleichung x = Ax +Bu kann stets durch Variation der Konstanten

bestimmt werden.

Eine Methode zur Berechnung der Matizenexponentialfunktion:

Annahme: A sei diagonalisierbar, d.h. es existiert eine regulare Matrix V der Eigenvektoren (EV) von A, so dass

A · V = V · ΛmitΛ = diag(λ · ν) Λ = Diagonalmatrix der Eigenwerte (EW)

Und λ · ν = λν(A)bzw.V −1AV = Λ

A [v1 . . . vn] = [v1 . . . vn]

λ1 · · · 0...

. . ....

0 · · · λn

; A · vi = λivi

Transformation der Matrizenexponentialfunktion:

V −1eAtV = V −1(I + At +1

2A2t2 + . . . )V

= V −1(I + At +1

2AV V −1At2 + . . . )V

= I + Λt +1

2Λ2t2 + · · · = eΛ>Ft

Fur Diagonalelemente gilt:

1 + λνt +1

2λ2νt

2 + · · · = eλνt

Damit folgt (EWe konnen komplex sein!)

V −1eAtV =

eλ1t · · · 0...

. . ....

0 · · · eλnt

= diag(eλνt)

→ eAt = V · diag(eλνt) · V −1

Losung des AWP:

x(t) = V · diag(eλνt) · V −1 · x(0)

bzw.

x(t) = [v1 . . . vn]

eλ1t · · · 0...

. . ....

0 · · · eλnt

w

T1...

wTn

x(0)

mit der Matrix w = V −1 =

wT1...

wTn

der Linkseigenvektoren wν von A.

Darstellung der Losung x mit Links- und Rechts-Eigenvektoren

wi = Links-EV

λi , vi = Rechts-EV

x(t) =

n∑ν=1

vν · wTν · eλνtx(0) =

n∑ν=1

(wTν · x(0)

)· eλνt · vν

Interpretation (dieser Losung):

• EWe λν legen Form der Eigenbewegungen eλνt fest

• EV vν legen Verteilungen der Eigenbewegungen auf Zustandsvektor x fest



• AB x(0) bewirkt Anregung von Eigenbewegungen

Untersuchung des Stabilitatsverhaltens

limt→∞

x(t) =

n∑ν=1

(wTν x(0)

) (limt→∞

eλνt)vν

mit

limt→∞

eλνt = limt→∞

eReλνt+j Imλνt = limt→∞

eReλνt (cos(Imλνt + j sin(Imλνt)) = 0

gilt

limt→∞

x(t) = 0 ∀x(0) ∈ Rn

genau dann, wenn

Reλν < 0, ∀ν = 1, 2, . . . , n

Ergebnis: Stabilitatskriterium

Ein lineares System ist genau dann as.st., wenn Reλν < 0, ∀ν = 1, 2, . . . , n bzw. wenn alle EWe links der

Imaginarachse liegen.

Bemerkung:

• Stabilitatskriterium gilt allg., d.h. auch fur nichtdiagonalisierbare A

• Stabilitatsverhalten wird durch EWe vollstandig charakterisiert ; im Weiteren mussen nur die EWe betrachtet

werden und nicht die gesamte Losung des AWP.

1.2 Kriterien fur Stabilisierbarkeit

Stablilisierungsproblem

Gegeben sei ein lineares System n-ter Ordnung

x = Ax + Bu

mit p Eingangsgroßen u. Gesucht ist eine (vollstandige) Zustandsruckfuhrung (auch Zustandsregler genannt

u = −kx

so, dass das geregelte System

x = (A− BK)x

as.st. ist.

Bemerkung:

• Stabilisierung bedeutet in diesem Zusammenhang, dass die geregelte Strecke as.st. und durch Wahl der EWe

eine gewunchste Dynamik besitzt.

• Da zu jedem Zeitpunkt t bei Kenntnis der Zustande x(t) und der Eingange u(t) die weitere Systementwick-

lung festgelegt ist (x(t) ist eindeutige Losung des AWP), verwendet die Zustandsruckfuhrung die volle zur

Systembeeinflussung verfugbare Information.

Frage: Wann ist das Stabilisierungsproblem losbar?

→ Kriterien fur Stabilisierbarkeit

• Kalman-Kriterium

Alle EWe des Regelkreises konnen beliebig vorgegeben werden genau dann, wenn

rg(QS) = rg[B AB . . . An−1B

]= n



gilt. In diesem Fall ist das System steuerbar.

Problem: Kalman-Kriterium ist nur hinreichend fur Stabilisierbarkeit.

Beispiel:

Abbildung 2: Beispiel zum Kalman-Kriterium

λ2 ist im Stabilitatsgebiet verschiebbar ; System stabilisierbar. λ1 ist nicht verschiebbar ; System ist nicht

steuerbar, d.h. Kalmann-Kriterium nicht erfullt.

=⇒ Eigenwertbezognenes Stabilisierbarkeitskriterium verwenden

• Hautus-Kriterium

Ein Eigenwert λν (bzw. ein Eigenwertpaar λν , λν+1 = λ∗ν) ist durch eine Zustandsruckfuhrung verschiebbar

genau dann, wenn

rg [A− λνI B] = n

gilt. In diesem Fall ist der Eigenwert λν (bzw. das Eigenwertpaar λν , λν+1 = λ∗ν) steuerbar.

• Kriterium fur Stabilisierbarkeit

Ein lineares System ist stabilisierbar genau dann, wenn alle instabilen EWe λν (d.h. Re(λν) ≥ 0) steuerbar

sind.

1.3 Stabilisierung linearer Systeme durch Eigenwertvorgabe

Herleitung der Synthesegleichung

Geregelte Strecke

x = (A− BK)x

Vorgabe der n EWe λν , ν = 1, 2, . . . n der geregelten Strecke fuhrt auf

det(λI − A+ BK)!

=

n∏ν=1

(λ− λν) = λnan−1λn−1 + · · ·+ a0

Auswertung der Determinante

λn + an−1(k)λn−1 + · · ·+ a0(k)!

= λn + an−1λn−1 + · · ·+ a0

Koeffizientenvergleich liefert Synthesegleichung

an−1(k) = an−1, . . . , a0(k) = a0

=⇒ n Gleichungen fur pn unbekannte Elemente in der Zustandsreglermatrix Kp×n

Eigenschaften der Synthesegleichung bei p Eingangsgroßen

1. Eingroßensysteme, d.h. p = 1

• lineare Synthesegleichung

• eindeutige Losung, falls System steuerbar



2. Mehrgroßensysteme, d.h. p > 1

• nicht lineare Synthesegleichung

• unendlich viele Losungen, wenn System steuerbar

Problem: Losung der nichtlinearen Synthesegleichung im Mehrgroßenfall

→ nicht die Elemente von K ab Entwurfsparameter verwenden.

Ansatz: Allgemeine Losung des Eigenwertvorgabeproblems durch Verwendung anderer Entwurfsparameter

Darstellung der Reglermatrix K durch Eigenwerte und Parametervektoren

Annahme: A− BK sei diagonalisierbar

Bestimmungsgleichung der Regelungseigenvektoren vν , ν = 1, 2, . . . , n

(λI − A+ BK)vν = 0, ν = 1, 2, . . . , n

von K abhangiger Term auf eine Seite

(A− λνI)vν = B Kvν︸︷︷︸pν

= Bpν

mit den invarianten Parametervektoren pν , v = 1, 2, . . . , n, der Regelung.

Annahme: Strecken- und Regelungseigenwerte samtlich voneinander verschieden ; det(A− λνI) 6= 0

Darstellung von vν in Abhangigkeit von λν und pν

vν = (A− λνI)−1Bpν

Darstellung von K in Abhangigkeit von λν und pν

Kvν = pν , v = 1, 2, . . . , n

Zusammenfassung in Matrixgleichung

K [v . . . vn] = [p1 . . . pn]

mit vν folgt Zustandsreglerformel der Vollstandigen Modalen Synthese

K = [p1 . . . pn] [v . . . vn]−1

mit

vν = (A− λνI)−1B pν , ν = 1, 2, . . . , n

→ K kann in Abhangigkeit der neuen Entwurfsparameter λν und pν dargestellt werden.

→ allgemeine Losung des Eigenwertvorgabeproblems mit diesen Entwurfsparametern moglich (siehe Beiblatt #3)

Bemerkung:

• Multiplikation der Parametervektoren mit Konstanten cν 6= 0 verandert Reglermatrix nicht ; Entwurfspara-

meter λν und pν besitzen pn Freiheitsgrade

• Die nach der Eigenwertvorgabe noch vorhandenen n(p − 1) Freiheitsgrade werden durch Parametervektoren

erfasst

→ Regelungseigenvektoren

vν = (A− λνI)−1Bpν

konnen innerhalb des Unterraums

Bild{

(A− λνI)−1B}

vorgegeben werden.



2 Entwurf von Zustandsregelungen auf Fuhrungsverhalten

2.1 Einstellung des Fuhrungsverhaltens durch Vorgabe des Fuhrungsubertragungsver-

haltens

Abbildung 3: Beispiel zum Fuhrungsubertragungsverhalten

→ Einschwingvorgang bei Einstellung einer neuen Fuhrungsgroße ( 6= Istwert) ist durch die Fuhrungssprungantwort

festgelegt.

Struktur der Zustandsregelung

Abbildung 4: Struktur der Zustandsregelung

Annahmen

• w mit konstantem Endwert w∞

• dim u = dim y = dimw = m

Zustandsregler mit Fuhrungsgroßenaufschaltung

u = −kx + Mw︸︷︷︸Fuhrungsgroßenauf-

schaltung (Steuerung)

2.1.1 Stationare Entkopplung

Forderung: Im stationaren Zustand soll gelten

y∞!

= w∞



Voraussetzung: Regelkreis ubertragungsstabil, damit sich Endwert einstellt.

Bestimmung der Form von Fw (s)

Fuhrungsubertragungsverhalten

y(s) = C(sI − A+ BK)−1BM︸︷︷︸Fw (s)

W (s)

Endwertsatz der Laplace-Transformation

y∞ = lims→0

sY (s)

= lims→0

sFw (s)W (s)

= Fw (0) lims→0

sW (s)︸︷︷︸=w∞=const.

Stationares Fuhrungsubertragungsverhalten

y∞ = Fw (0)w∞!

= w∞ ; Fw (0)!

= I

→ Fuhrungsverhalten muss stationar entkoppelt sein, d.h. stationar konnen konstante Fuhrungsgroßen unabhangig

voneinander ubertragen werden

Bestimmungsgleichung des Vorfilters

Fw (0) = C(−A+ BK)−1BM!

= I

; M =[C(−A+ BK)−1B

]−1

Frage: Wann existiert Vorfilter?

1© det(−A+ BK) 6= 0, wenn keine Regelungseigenwerte bei 0

2© Wann existiert [. . . ]−1?

→ abhangig von invarianten Nullstellen

Definition invarianter Nullstellen (fur dim y = dim u) Die Losung η von

detP (η) = 0

mit der Rosenbrock-Matrix

P (s) =

[A− sI B

C 0

]heißen invariante Nullstellen (inv. NS) der Strecke.

Frage: Warum sind η Nullstellen des Systems?

Betrachten fur η 6= λi(A) ∀i = 1, 2, . . . , n

detP (η) = det

[A− ηI B

C 0

]= det

[I 0

−C(A− ηI)−1 I

]︸︷︷︸

=1

· det

[A− ηI B

C 0

]

= det

[A− ηI B

0 C(ηI − A)−1B

]= det(A− ηI) · detC(ηI − A−1)B︸︷︷︸

F (η)



mit Streckenubertragungsmatrix F (s) = C(sI − A)−1B

Ergebnis: Nullstellen von detF (s) sind invariante Nullstellen

(; Eingroßensysteme: detF (s) = det Z(s)N(s) = Z(s)

N(s)

!= 0 ; Z(s)

!= 0 )

Beachte:

• detF (s) = 0 kann nicht zur Bestimmung der invarianten Nullstellen verwendet werden, wenn η = λi(A) fur

ein i

• invariante Nullstellen sind Systemgroßen des Zustandssystems nicht des Ubertragungsverhaltens

Frage: Warum heißen die Nullstellen invariant?

Betrachten [A− sI B

C 0

]︸︷︷︸Rosenbrockmatrix

der Strecke

[I 0

−K M

]︸︷︷︸Regular, falls

detM 6= 0

=

[A− BK − sI BM

C 0

]︸︷︷︸

Rosenbrockmatrix

der Regelung

Ergebnis: Die invarianten Nullstellen werden durch Zustandsregler

u = −Kx +Mw, M 6= 0

mit regularer Fuhrungsgroßenaufschaltung nicht verandert, d.h. das geregelte System besitzt die gleichen invarianten

Nullstellen wie die Strecke

Beantwortung der Frage 2©

Betrachten[A B

C 0

]︸︷︷︸

=P (0)

[I 0

−K I

]︸︷︷︸

regular

[I −(A− BK)−1B

0 I

]︸︷︷︸

regular (det(A− BK)

6= 0 vorausgesetzt)

=

[A− BK B

C 0

] [I −(A− BK)−1B

0 I

]=

[A− BK 0

C C(−A+ BK)−1B

]

; detP (0) = det(A− BK)︸︷︷︸6=0(siehe 1©)

det(C(−A+ BK)−1B

)

Ergebnis: Kriterium fur stationare Entkoppelbarkeit

Eine Strecke ist stationar entkoppelbar (d.h. M =[C(−A+ BK)−1B

]−1existiert), wenn

• keine Regelkreis-Eigenwerte bei 0 und

• keine invarianten Nullstellen bei 0

Wahl von K: Stabilisierung des Regelkreises.



2.1.2 Dynamische Entkopplung

Problem: Betrachten Fuhrungsverhalten eines Zweigroßensystems

Abbildung 5: Fuhrungsverhalten eines Zweigroßensystems

[y1(s)

y2(s)

]=

[f11(s) f12(s)

f21(s) f22(s)

]︸︷︷︸

Fw (s)

[w1(s)

w2(s)

]

→ Anderung in w1 beeinflusst y1 und y2

; Einschwingvorgange fur y1 und y2 beeinflussen sich gegenseitig

; Fuhrungsverhalten kann nicht getrennt fur y1 und y2 eingestellt werden

Abhilfe: Dynamische Entkopplung, d.h. Dynamik des Fuhrungsverhaltens fur y1 und y2 ist entkoppelt

→ Fuhrungsubertragungsfunktionsmatrix Fw (s) muss diagonal sein.

Fuhrungsentkopplung durch Zustandsruckfuhrung

Gesucht ist ein Zustandsregler

u = −Kx +Mw, detM 6= 0

so, dass

Fw (s) = diag(fi i(s)

)(dynamische Entkopplung)

mit

Fw (0) = I (stationare Entkopplung)

gilt.

Gestalt der Ubertragungsfunktionen fi i(s)

Zur Spezifizierung von fi i(s) werden der Differenzgrad Si benotigt.

Betrachten i-te Ausgangsgroße yi mit cTi i-te Zeile von C



yi = cTi x

yi = cTi x = cTi Ax + cTi B︸︷︷︸=0T

u

yi = cTi Ax = cTi A2x + cTi AB︸︷︷︸

=0T

u

y δi−1i = cTi A

δi−1x + cTi Aδi−2B︸︷︷︸

=0T

u

y δii = cTi Aδi x + cTi A

δi−1B︸︷︷︸6=0T

u

→ u wirkt sich erstmalig auf y δii aus.

Definition des Differenzgrades δi der i-ten Ausgangsgroße yi

Ausgangsgroße yi hat Differenzgrad δi , wenn

cTi AkB = 0T , k = 0, 1, . . . , δi−2

cTi Aδi−1B 6= 0T

Die Summe

δ = δi + · · ·+ δm, δ ≤ n

heißt Differenzgrad des Systems

Der Differenzgrad kann durch (statische) Zustandsruckfuhrungen mit regularem Vorfilter M nicht verandert werden

→ bleibt im geregeltem System erhalten

Fuhrungsubertragungsgunktionen fi i(s)

Anforderungen an fi i(s) = zi i (s)ni i (s) :

• stationare Genauigkeit ; fi i(0) = 1

• Differenzgrad δi ; deg ni i(s)− deg zi i(s)!

= δi

Annahme: fi i(s) habe keine Nullstellen

→ Gestalt von fi i(s)

fi i(s) =

∑δiµ=1(−λiµ)

(s − λi1) · . . . · (s − λiδi ), i = 1, 2, . . . , m

Bestimmung des Entkopplungsreglers

Vereinfachende Annahme: einfache Regelungseigenwerte ; A− BK diagonalisierbar.

Bestimmungsgleichung fur Reglermatrix K und Vorfilter M

Fw (s) = C(sI − A+ BK)−1BM!

= diag(fi i(s)

)Frage: Wann existiert Losung (K,M) der Bestimmungsgleichung?

1© Wegen Fw (0)!

= I muss Strecke stationar entkoppelbar sein

2© diag(fi i(s)

)besitzt δ Pole und keine Nullstellen

; n − δ Eigenwerte mussen mit invarianten Nullstellen kompensiert sein

; Strecke muss genau n − δ invariante Nullstellen besitzen



Da auch die Umkehrung von 2© gezeigt werden kann, folgt das Kriterium fur dynamische Entkoppelbarkeit.

Ein System ist dynamisch entkoppelbar ganau dann, wenn fur die Rosenbrock-Matrix P (s) der Strecke

deg detP (s) = n − δ

gilt, d.h. die Strecke genau n − δ invariante Nullstellen besitzt.

Bestimmung von K

Partialbruchzerlegung (PBZ) von Fw (s) mit A− BK = V ΛV −1

Fw (s) = C (sI − (A− BK))−1BM

= C(sI − V ΛV −1

)−1BM mit: (AB)−1 = B−1A−1

= CV(sI − Λ

)−1V −1BM

= C[v1, . . . , vn

] 1

s−λ1· · · 0

.... . .

...

0 · · · 1s−λn

w

T1...

wTn

BM=

n∑ν=1

CvνwTν BM

s − λν

=

n∑ν=1

Rν(Residuenmatrix)

s − λν

mit Residuenmatrizen zum Pol λνRν = Cvνw

Tν BM

Bemerkung: Die in Fw (s) auftretenden Eigenwerte λν heißen (Ubertragungs-) Pole der Regelung. Damit der Pol

λiµ, i = 1, 2, . . . , m︸︷︷︸Zeilen vonFw

, µ = 1, 2, . . . , δi︸︷︷︸Pole in i-ter Zeile

in der i-ten Zeile und Spalte auftritt, muss fur seine Residuenmatrix

Riµ = CvνwTν BM = eie

Ti riµ︸︷︷︸

i-te Zeile→

0

riµ0

i-te Spalte

Anforderung an die Regelkreis-Eigenvektoren

Cviµ!

= ei (= Rk-EW λiµ tritt in i-ter Zeile auf) (*)

Bemerkung: Wenn Strecke steuerbar, dann wTiµB 6= 0T und mit detM 6= 0 ; wTiµBM 6= 0T

Fur die Regelkreis-EV gilt nach der VMS

viµ =(A− λiµI

)−1B · piµ

;(A− λiµI

)viµ − B · piµ = 0 (**)

Zusammenfassung von * und ** in Matrizengleichung[A− λiµI B

C 0

]︸︷︷︸

P (λiµ)

[viµ−piµ

]=

[0

ei

]i = 1, 2, . . . , m

µ = 1, 2, . . . , δi

Ergebnis:



• δ Anforderungen an die Paare (λiµ, piµ)

• losbar, falls detP (λiµ) 6= 0 ; λiµ verschieden von den inversen Nullstellen vorgeben

Noch fehlende n − δ Anforderungen

→ n−δ Eigenwerte λν , ν = δ+1, . . . , n treten in Fw (s) nicht auf ; Kompenstation mit invarianten Nullstellen,

d.h. zugehorige Residuenmatrizen Rν mussen verschwinden.

Also

Rν = CvνwTν BM

!= 0

fur

Cvν!

= 0 (***)

Bemerkung: Mit dieser Forderung werden Eigenwerte λν unbeobachtbar gemacht, denn es gilt Hautus-Kriterium

in Eigenvektor-Form.

Ein Eigenwert λν ist beobachtbar genau dann, wenn fur seine Eigenvektoren vν

Cvν 6= 0

gilt.

Zusammenfassung von ** (Seite 12) und *** (Seite 13) in Matrizengleichung

[A− λνI B

C 0

]︸︷︷︸

P (λν)

[vν−pν

]=

[0

0

]ν = δ + 1, . . . , n

Ergebnis:

• weitere n − δ Anforderungen an die Paare (λν , pν) ; K uber Zustandsreglerformel festgelegt.

• nichttriviale Losung (vν , pν) existiert, falls detP (λν) = 0 ; λν gleich den invarianten Nullstellen vorgeben.

Bestimmung von M

Forderung nach stationarer Entkopplung

; M = [C(−A+ BK)−1B]−1

Frage: Sichert dieses Vorfilter auch ein diagonales Fw (s)?

• zeilenweise Entkopplung: K stellt zeilenweise Vorgabe der Regelkreis-Pole sicher

• spaltenweise Entkopplung durch Wahl von M

Betrachten i-te Zeile von Fw (s)

f Tiw = [fi1(s) . . . fi i(s) . . . fim(s)]

Gestalt der Elemente von Fw (s)

fi j(s) =zi j(s)

ni j(s)

Es gilt

deg ni j(s)︸︷︷︸1©

− deg zi j(s)︸︷︷︸3©

= δi︸︷︷︸2©

1© = δi , da δi Pole in i-ter Zeile vorgegeben



2© – Differenz kann nicht kleiner sein als δi , da Differenzgrad invariant gegenuber Zustandsruckfuhrung

– Differenz kann nicht großer sein als δi , da nur δi Pole in i-ter Zeile

3© ; deg zi j(s) = 0 bzw. deg zi j(s) = zi j = const.

A© Nebendiagonalelemente: i 6= j

stationare Genauigkeit: fi j(0) = 0 ; zi j = 0

→ Fw (s) ist Diagonalmatrix

B© Diagonalelemente: i = j

stationare Genauigkeit: fi i(0) = 1 ; zi i = ni i(0)

→ Diagonalelemente besitzen die geforderte Form

Entwurfsvorschriften fur die Regelungseigenwerte und die Parametervektoren einer vollstandigen Fuhrungsentkopp-

lung (siehe Beiblatt 4)

Stabilitatsuntersuchung der Entkopplungsregelung

Fallunterscheidung

1© δ = n: alle Eigenwerte werden beliebig vorgegeben ; Regelkreis asymptotisch stabil

2© δ < n:

– δ Eigenwerte werden beliebig vorgegeben

– n − δ Eigenwerte sind durch invariante Nullstellen festgelegt

→ Regelkreis asymptotisch stabil falls alle invarianten Nullstellen links der jw -Achse

Hinreichende Bedingung fur Stabilitat der Entkopplungsregelung

Die Entkopplungsregelung ist asymptotisch stabil, wenn die Strecke minimalphasig ist, d.h. fur alle inversen Null-

stellen ηiRe ηi < 0

gilt.

Frage: Kann ein nichtminimalphasiges System stabil entkoppelt werden?

→ System muss dynamisch entkoppelbar sein ohne dass”

instabile“ Nullstellen kompensiert werden.

Dann gilt fur ein Diagonalelement fj j(s) von Fw (s)

fj j(s) =s − η

(s − λj1) . . . (s − λjδj+1)·∏δj+1

µ=1(−λiµ)

−η

mit Re η ≥ 0 und j ist durch Strecke festgelegt.

Bestimmung von j fur eine einfache Nullstelle η, Re η ≥ 0

Betrachten [rT qT

] [A− ηI B

C 0

]︸︷︷︸

=P (η),detP (η)=0

[I 0

−K M

]︸︷︷︸

regular fur

detM 6= 0

[I −(A− BK − ηI)−1BM

0 I

]︸︷︷︸

regular und kein Rk-EW

bei η, da η unkompensiert

=

=[rT qT

] [A− ηI − BK BM

C 0

] [I −(A− BK − ηI)−1BM

0 I

]=

=[rT qT

] A− ηI − BK 0

C C(ηI − A+ BK)−1BM︸︷︷︸Fw (η)

!=0T



Ergebnis: Fur jede durch stabilisierende Zustandsruckfuhrung u = −Kx+Mw erzielte Fuhrungsubertragungsmatrix

Fw (s) gilt

qTFw (η) = 0T , qT 6= 0T (wegen vorrausgesetzter Stabilisierbarkeit)

Damit ist folgendes Ergebnis plausibel.

Ergebnis: Eine invariante Nullstelle kann in Fw (s) in der j-ten Zeile vorgegeben werden ohne Verkopplung zu bewirken

genau dann, wenn [rT qT

] [A− ηI B

C 0

]= 0T ; qT = eTj

Denn dann gilt

eTj Fw (η) =[0 . . . 0 fj i(η) 0 . . . 0

]= 0T

Die invariante Nullstelle η heißt dann non-interconnecting-zero (n-i-z).

Kriterium fur stabile Entkoppelbarkeit

Eine dynamisch entkoppelbare Strecke ist stabil entkoppelbar (d.h. Regelkreis ist asymptotisch stabil) genau dann,

wenn alle in Re s ≥ 0 liegenden inversen Nullstellen non-interconnecting-zeros sind.

Berechnung des Entkopplungsreglers bei non-interconnecting-zeros

Unterschied zur bisherigen Vorgehensweise:

η sei n-i-z mit Re η ≥ 0 in j-ter Zeile

→ Vorgabe von δj+1 Polen in j-ter Zeile, damit Differenzgrad δj erhalten bleibt.

Beispiel zur Fuhrungsentkopplung

siehe Beiblatt #5 (Wichtig fur Klausur!)

Frage: Was kann man tun, wenn Strecke nicht stabil oder dynamisch entkoppelbar ist?

• teilweise Fuhrungsentkopplung

→ nur zeilenweise Entkopplung

• mittels dynamischer Erweiterung kann jedes lineare System stabil entkoppelt werden


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Notes régulateur état allemand