Notion de fonctions - Fonctions linéaires et affines

1Séquence 1 – MA20

Séquence 1

Notion de fonctionsFonctions linéaireset affines

Sommaire

1. Prérequis2. Notion de Fonctions3. Sens de variation d’une fonction4. Fonctions linéaires et fonctions affines5. Algorithmique6. Synthèse de la séquence7. Exercices d’approfondissement

© Cned – Académie en ligne


1 Prérequis

L’ensemble des nombres réels : �

–4 –3 –2 –1 0 1 2

M

x 3 4 5 6 7 8

A tout point M d’une droite graduée, on peut faire correspondre un unique nom-bre x appelé x abscisse du point M. Lorsque M décrit la droite graduée, x décrit xl’ensemble des nombres réels.

L’ensemble des nombres réels contient tous les nombres que vous connaissez comme par exemple 1 ; –2 ; –0,7 ; 5/3 ; 2 , ≠ etc. et à chaque nombre que vous connaissez correspond un unique point de la droite graduée.

L’ensemble des nombres réels est noté � .

Avec un repère

0–1

–1

–2

–3

3

2

5

y

x

Axe desordonnées

Axe des abscisses

4

C

1

–2–3–4–5–6 6 754321

D

L A

K

J

O I

F

E

B

G

A

B


4 Séquence 1 – MA20

On peut repérer un point par ses coordonnées dans un repère orthogonal (O, I, J).

On repère par exemple le point A sur le graphique ci-après de la façon suivante :

il existe un unique point K de la droite (OI) et un unique point L de la droite (OJ) tel que le quadrilatèreOKAL soit un rectangle.

Le nombre réel repérant le point K sur la droite graduée (OI) est appelé l’abscisse du point A. C’est donc 3.

L’axe (OI) est appelé axe des abscisses.

Le nombre réel repérant le point L sur la droite graduée (OJ) est appelé l’ordonnée du point A. C’est donc 2.

L’axe (0J) est appelé axe des ordonnées.

Le couple de nombres (3 ; 2) sont les coordonnées du point A dans l repère (O, I, J ) et on note A(3 ; 2).

On remarque que I(1 ; 0) et J(0 ; 1)

À savoir

L’abscisse de B est 5, son ordonnée est 4. Donc B (5 ; 4).On détermine de même : C(–2 ; 5), D(–3 ; 3), E(4 ; –2), F(–1 ; –3), G(–1,5 ;3,75),K(3 ; 0) et L(0 ; 2).

Résolution de l’équation dupremier degré ax + b = 0.

Vous avez appris à résoudre au collège des équations du type ax b+ = 0.

Revoyons en un exemple.

Soit à résoudre l’équation 2 3 0x + = .

On peut ajouter ou retrancher la même quantité aux deux membres d’une équation.

On va ici retrancher 3 aux deux membres de l’équation de façon à ne garder que« des x » dans le membre de gauche.x

Il vient donc : 2 3 3 3x + =− −

soit 2 3x = −

On peut multiplier ou diviser les deux membres d’une équation par un même nombre non nul.

En divisant par 2 les deux membres de l’équation précédente, on trouve

x = −32

.

Exemple

C

Exemple

Plus généralement, on retiendra le résultat suivant :

L’équation ax b+ = 0 (avec a ↑ 0 )

admet pour solution xb

a= − .

À savoir



Comparaison de nombres

Comparer deux nombres réels, c’est dire s’ils sont égaux ou sinon quel est le plus grand.

a b≥≥ si et seulement si a b−− ≥≥ 0.

ce qui se lit : a est supérieur ou égal à b si et seulement sib a b− est positif ou nul.

On a aussi

a bʺ̋ si et seulement si a b−− ≤ 0.

ce qui se lit : a est inférieur ou égal à b si et seulement si b a b− est négatif ou nul.

À savoir

D



Activités

Un programme de calcul

� Le programme

On choisit un nombre.

On va lui appliquer le programme de calcul suivant, que nous appellerons f.On va d’abord multiplier le nombre choisi par 2, retrancher ensuite 6 au résultat obtenu et enfin prendre l’inverse du résultat obtenu.On peut résumer ainsi le programme de calcul f

× − =→ → →

−2 6 11x x/

Choisissons par exemple le nombre 4.

4 8 22 6multiplier par retrancher pr→ →

eendre l inverse' ,→0 5 .

Ou plus simplement

4 8 2 0 52 6 1× −→ → →

−x ,

On peut aussi faire le calcul à la calculatrice.

Manipulation Résultat Écran

entrer 4

*2 entrer 8

–6 entrer 2

x−1 entrer0,5

Le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul f à un nom-fbre x est appeléx image du nombre x par le programme de calcul x f.

Par exemple, 0,5 est l’image de 4 par le programme de calcul f.

A

Activité 1

Sur CASIO GRAPH 25+ est remplacé par et Rép est remplacé par Ansentrer EXE

2 Notion de Fonctions



a) Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

Nombre x –2 –1 1 2 2,5 3,5 4 5 7

Image de x

b) Combien d’images possède chaque nombre réel x du tableau précédent ?

c) Que se passe-t-il avec la calculatrice si on applique le programme de calcul f au fnombre réel 3 ? Comment peut-on expliquer l’affichage à l’écran ?

� Vocabulaire et notation

On note f x( ) le nombre obtenu en appliquant le programme de calcul f au fnombre x. On l’appelle x image de x par f.

Par exemple, f ( )4 (lire « f de 4 ») est le nombre obtenu en appliquant le pro-fgramme de calcul f au nombre 4.f

On a donc f ( ) , .4 0 5=

a) Que vaut f f f( ), ( , ), ( ).−1 2 5 7

b) Exprimer f x( ) en fonction de x.

On peut toujours calculer f x( ) sauf pour x = 3. Nous dirons que f est définiefsur l’ensemble D = D �− { },3 c’est-à-dire l’ensemble des nombres réels privé de3. On dira aussi que l’ensemble de définition de f est f D =D �− { }.3

Remarque

L’ensemble des nombres réels peut être représenté par une droite graduée.

3 + 8– 8– 8

vers plusl'infini

vers moins l'infini

deux intervalles ouverts :

� l’intervalle ouvert ] ; [−∞ 3 à gauche de 3 qui est l’ensemble des nombres strictement inférieurs à 3.

� l’intervalle ouvert ] ; [3 +∞ à droite de 3 qui est l’ensemble des nombres stric-tement supérieurs à 3.

On note la réunion de ces deux intervalles de la façon suivante : D = −∞ ∪ +∞] ; [ ] ; [.3 3

Le symbole −−∞∞ se lit « moins l’infini ».

Le symbole ++∞∞ se lit « plus l’infini ».

Le symbole ∪∪ se lit « union ».

f x( ) se lit « f de x » et signifie f appliqué à x.



� Courbe représentative de la fonction f.

On a dessiné ci-dessous la courbe � représentative de la fonction f dans un repère du plan.

La droite verticale passant par le point de coordonnées (3 ; 0) signifie que le réel 3 n’a pas d’image par la fonction f et que la courbef � ne coupera jamais cette droite.

–1

–1

10

1

2 3 4

�

�

5 6 7 x

y

–2

a) Placer le point A de la courbe � d’abscisse –2, le point B de la courbe � d’abscisse –1, le point C de la courbe � d’abscisse 1, le point D de la courbe � d’abscisse 2, le point E de la courbe � d’abscisse 2,5, le point F de la courbe � d’abscisse 3,5, le point G de la courbe � d’abs-cisse 4, le point H de la courbe � d’abscisse 5, le point I de la courbe � d’abscisse 7.



b) Remplir alors le tableau suivant

Point A B C D E F G H I

Abscisse x –2 –1 1 2 2,5 3,5 4 5 7

Ordonnée

c) Comparer ce tableau au précédent. Que remarque-t-on ? Comment peut-on noter l’ordonnée d’un point M de la courbe d’abscisse x ?x

� Un autre programme de calcul

Le programme de calcul g est donné par : g g x x( ) .= −2 1

a) Décrire ce programme de calcul par une phrase.

b) Calculer g g( ), ( )1 5− et g(4).gg

Étude de la période du pendule (voir MA20 p215-216)

Dispositif : Un poids est suspendu à un fil de longueur L. Ecartons-le de sa posi-tion d’équilibre ; il se met alors à osciller.

On appelle T la « période » du mouvement, c’est-à-dire le temps nécessaire pour faire un aller-retour.

T dépend de L, mais pas de la masse ni de l’amplitude. (cette loi fut découverte par Galilée vers 1600).

La variation de T en fonction de L est représentée sur le graphique ci-dessous (L est exprimé en mètres et T en secondes).

00

T (en secondes)

L (en mètres)

0,2

0,5

0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

1

1,5

2

2,5

Activité 2



� Remplir la deuxième ligne du tableau ci-dessous. Les valeurs seront arrondies au dixième près.

L(en m) 0,1 0,2 0,4 0,5 0,8 1 1,5 1,7 1,9

T (en sec)

T2

T

L

2

� Le doublement de la longueur entraîne-t-il le doublement de la période ?

� La période est-elle propo rtionnelle à la longueur ?

� Déterminer la longueur pour que la période soit 1 seconde, 2 secondes.

� Finir de remplir le tableau. Qu’y a-t-il de remarquable sur la dernière ligne ?

� Exprimer T en fonction de L en admettant le résultat constaté.

Le pendule de Foucault avait une longueur de 67 m. Quelle était sa période ?

Cours

� Fonction numérique d’une variable réelle

De nombreuses situations nous amènent à établir qu’une quantité dépend d’uneautre. Nous avons vu par exemple que la période du pendule dépend de sa longueur.Nous pouvons exprimer cela en disant aussi que la période du pendule est fonction desa longueur.

La formule yx

=−

1

2 6 définit parfaitement la valeur de y une fois que nous connaissons lay

valeur du nombre réel x ( x ↑ 3 ). On dit aussi que y est fonction de x.yNous avons vu dans les activités précédentes qu’une fonction peut être définie par :

� une formule� une courbe� un tableau de données ou tableau de valeurs.

Nous allons maintenant préciser le vocabulaire relatif aux fonctions.

B



Soit f la fonction définie surf � par

f x x( )= +2 5

a) Déterminer l’image par f du nombre –3, du nombre 0.f

b) Quels sont les nombres réels qui ont pour image 8 par f ?

a) Pour déterminer l’image du nombre réel −3 , il faut remplacer xx par −3 dans

l’expression de f x( ).

Comme f ( )x x 2= + 5

On a donc f ( )− −3 3( )2= + 5 1= 4.

14 est donc l’image du nombre −3 par la fonction f.

De manière analogue, f ( )0 02= + 5 5= .

5 est donc l’image du nombre 0 par la fonction f.

b) Pour déterminer les nombres réels qui ont pour image 8 par f,f il faut chercher

les nombres réels xx tels que f x( )= 8.

C’est donc résoudre dans � l’équation f x( )= 8, c’est-à-dire x 2 + =5 8.

Cette équation équivaut à l’équation x 2 = −8 5 = .3

Il existe deux nombres réels dont le carré est 3, les nombres − 3 et 3. Nous

dirons que − 3 et 3 sont des antécédents du nombre réel 8 par la fonction f.

L’image d’un nombre réel par une fonction est unique.Un nombre réel peut par contre peut avoir plusieurs antécédents comme dans l’exemple donné précédemment.

Remarque

DéfinitionD est une partie de l’ensemble des nombres réels. Lorsqu’à chaque nombre réel x de D, on associe un seul nombre réel y, on définit une fonction f sur l’ensemble D.

On note f : x y� ou y = f (x)

On lit fonction f qui à x associe y y égale f (x)

Si y est l’image d’un nombre réel y x parxune fonction f, alors on dit que ff x est unxantécédent de t y par la fonctiony f.

Vocabulaire

x est la variable : elle appartient à x l’en-semble de définition D de la fonction.DLe nombre réel f x( ) est l’image de xpar la fonction f.

Vocabulaire

Exemple

Solution



� Courbe représentative

Définition

Dans un repère du plan, la courbe �� repré-sentative de la fonction f est l’ensemble des points M(x ; y) tels que :� l’abscisse x décrit l’ensemble de défini-

tion D.� l’ordonnée y est l’image de x par f. Autrement ditUn point M(x ; y) appartient à la courbe �� si et seulement si :

x appartient à D et y f x= ( ). –2

–1

–1 0

1

2

4

y

x–2 21–3–4

y = f(x)

D

x

M3

�

x appartient à D se note : D x D∈∈ .

La courbe � est encore l’ensemble des points M(x ; f (f x)), avec xx x D∈∈ .

Remarque

y f x= ( ) est appelé équation de la courbe �.

Vocabulaire

Détermination graphiques d’images et d’antécédents

La courbe � d’une fonction fdéfinie sur l’intervalle fermé[−1 ; 2] (c’est-à-dire pour tout nombre réel x compris entre –1xet 2) est représentée dans le re-père ci-contre.

a) Lire graphiquement l’image de 1.

b) Lire graphiquement f (0)

c) Combien le nombre 1,75 a-t-il d’antécédents ?

d) Lire graphiquement les antécé-dents de −0,25.

e) Lire graphiquement les antécé-dents de 0.

Notation

Exemple

–1 0

1

2

y

x

21

3

�



a) L’image de 1 est l’ordonnée du point de la courbe � d’abscisse 1, puisque cepoint de la courbe a pour coordonnées ( ; ( ))1 1f . Notons A ce point.

Comme on peut lire que l’ordonnée de A est 0,5, on peut dire graphiquement que l’image de 1 par la fonction f est 0,5 ou encore que f ( ) , .1 0 5=

b) f ( )0 est l’ordonnée du point de la courbe � d’abscisse 0. Soit B ce point.

Comme on lit que l’ordonnée de B est –0,5, f ( ) , ,0 0 5= − autrement dit, l’ima-ge de 0 par la fonction f est –0,5.f

c) On cherche les points de la courbe qui ont pour ordonnées 1,75. En traçant la droite horizontale d’équation y = 1,75 on trouve que celle-ci ne rencontre la courbe � qu’une seule fois. 1,75 n’a donc qu’un seul antécédent par f, qui est f1,5 comme le montre le graphique ci-dessus.

d) La droite horizontale d’équation y = –0,25 rencontre la courbe en deux pointsdont on peut lire les abscisses –0,5 et 0,5. Le nombre –0,25 a donc deux anté-cédents par f : f −0 5, et 0,5.

e) Les antécédents de 0 sont les abscisses des points de la courbe � qui ontpour ordonnée 0. Ce sont les abscissesdes points situés sur l’axe des abscisseset repérés par des croix. On ne peut lirequ’approximativement les abscisses deces points −0 7, et 0,7. 0 a donc deux antécédents. On lit gra-phiquement que ces antécédents sontapproximativement −0 7, et 0,7.

–1 0

1

y = 1,75

y = –0,25

0,5

1,5

A

B

2

y

x

21

3

�

Les images d’un nombre réelpar une fonction f se lirontfgraphiquement sur l’axe desordonnées.

Remarque

Les antécédents d’un nombre réelpar une fonction f se liront graphi-fquement sur l’axe des abscisses.La recherche des antécédents dunombre 0 par une fonction f re-fvient à la recherche des solutionsde l’équation f x( ) .= 0

Remarque



Synthèse

D est une partie de l’ensemble des nombres réels.

Lorsqu’à chaque nombre réel x dex D, on associe un seul nombre réel D y, on définit yune fonction f sur l’ensemble D.

D →� f : x f x� ( )

fonction image de x par x f

D est appeléD ensemble de définition de la fonction f.

L’image d’un nombre réel x par une fonctionx f est funique.

D est généralement unD intervalle ou une réunion d’intervalles.

On a rencontré précédemment 3 types d’intervalles :

� L’intervalle fermé [a ; a b] qui est l’ensemble des bbnombres réels compris entre a et a b.

1

a b

2 3 4 5 6 7

� L’intervalle ouvert ]a ; +∞[ qui est l’ensemble des anombres réels strictement supérieurs au nombre réel a.

1

a

2 3 4 5 6 7 8

� L’intervalle ouvert]–∞ ; a [ qui est l’ensemble desanombres réels strictement inférieurs au nombre réel a.

–8

a

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

C

–2

–1

–1 0

1

2

4

y

x–2 21–3–4

y = f(x)

Dx

M3

�

Courbe � représentative d’une fonction f définie sur l’intervalle fermé [ ; ]−4 3 .

Cette courbe � est l’ensemble des points de coordonnées ( ; ( ))x f x .

Autrement dit, un point M(x ; y) appartient à la courbe � représentant la fonction f si et seulement si y = f (x).

y = f (x) est appelé équation de la courbe �.

Se souvenir des symboles :

−∞ « moins l’infini »

+ ° « plus l’infini »

∪ « union »

∈ « appartient à »



Exercices d’apprentissage

Le graphique ci-contre repré-sente l’évolution d’une popu-lation de bactéries (en mil-liers) sur un intervalle detemps déterminé.

� Préciser dans cette situa-tion, la variable et la gran-deur étudiée dépendant decette variable.

� Expliquer pourquoi on défi-nit bien une fonction.

� Quel est l’ensemble de dé-finition de cette fonction ?

ABC est un triangle équilatéral de côté a (en cm).a

� Calculer la hauteur de ce triangle équilatéral lorsque a = 10.a

� De façon générale, la hauteur h dépend de a. Exprimer h en fonction de h a.

� Définit-on ainsi une fonction lorsqu’au côté a, on associe la hauteur a h ? Dansl’affirmative, préciser son ensemble de définition.

A la taille en cm de chacune des cinq personnes d’un groupe, on associe son poids en kg.

Taille 170 172 172 175 180

Poids 68 72 81 72 85

Expliquer pourquoi on ne définit pas ainsi une fonction.

� Dans chaque cas, afficher le nombre à l’écran de la calculatrice et taper la succession de touches

× 2 – 3 EXE x 2 EXE

• 2 •4,2 • −3 2, •35

Quelle est la fonction définie par cette succession de touches ?

� Dans chacun des cas suivants, déterminer la fonction définie par la succession de touches indiquée.

a) x 2 EXE ×4 +6 EXE b) x 2 EXE +6 EXE EXE

D

0

5

10

15

20

25

y

t (en heures)21

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4



Les nombres entiers naturels sont les nombres 0, 1, 2, 3, …….L’ensemble des nombres entiers naturel est noté � .A tout entier naturel n, on associe le reste de la division den n par 3.n

� Quel nombre associe-t-on à 13 ? à 5 ? à 21.

� A-t-on ainsi défini une fonction sur �?

x et y désignent des réels strictement positifs. Un rectangle de dimensiony x et x ycm a pour aire 16 cm².

� Exprimer y en fonction de y x.

� On définit une fonction en associant à la dimension x, l’autre dimensionx y.

Quel est l’ensemble de définition de cette fonction ?

� La réponse à la question � est-elle changée si l’on sait de plus, que x est la xlargeur du rectangle et y sa longueur ?y

Soit la fonction f définie sur I = ]1 ; +∞[ par f f xx

( ) .=−2

1� Expliquer pourquoi f est une fonction définie sur l’intervalle I donné.f

� Calculer les images par f des réelsf

a) 8 b) 32

c) 1 3+ .

� Le nombre 0 a-t-il un antécédent par la fonction f ? Le nombre 1 a-t-il un fantécédent par la fonction f ?

Dans chaque cas, expliquer pourquoi f n’est pas définie sur l’intervalle E donné et fproposer un intervalle I sur lequel f est définie.f

� E = � et f xx

( ) .=+1

2 � E= [0 ; +∞[ et f x x( ) .= −1

Pour chacun des graphiques suivants, indiquer s’il s’agit de la courbe représenta-tive d’une fonction en justifiant la réponse.

a) b)

0

1

1

2

2

–1

–1

–2

–2

y

x0

1

1

2

2

–1

–1

–2

–2

y

x

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Exercice 9



c) d)

0

1

1

2

2

–1

–1

–2

–2

y

x 0

1

1

2

2

–1

–1

–2

–2

y

x

f est la fonction représentée ci-dessus. Lire sur le graphique

� L’ensemble de définition de f.

� L’image par f defa) –2 b) 0 c) 2 d) 5

� Les nombres suivants ont-ils des antécédents par f ? Si oui, les préciser avec la précision permise par le graphique

a) –1 b) 3 c) 1 d) 6

Exercice 10

0

1

–1

–2

–3

2

3

4

1–1 2 3 4 5 x

y

–2–3



La courbe � ci-dessous représente une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 5].

0

1

–1

2

1–1 2 3 4 5 x

y

�

� Parmi les points suivants, quels sont ceux dont on peut affirmer qu’ils appar-tiennent à la courbe � ?

O(0 ; 0) ; A(1 ; 1) ; B(2 ; 1,4) ; C(3 ; 1,7) ; D(4 ; 2) ; E(2,25 ; 1,5)

� Sachant que f est définie parf f x x( )= , dire par le calcul si chacun des pointsprécédents appartient ou non à la courbe � .

f est la fonction définie sur ]–1 ;+∞[ par f f xxx

( ) .=−+

2 31

Dans un repère, � est la courbe représentative de f.

� Déterminer les coordonnées du point d’intersection de � :

a) avec l’axe des ordonnées

b) avec l’axe des abscisses.

� Existe-t-il des points de la courbe � qui ont pour ordonnée 1 ?

Exercice 11

Exercice 12



Activités

Lecture graphique

On donne ci-dessous la température relevée à Rennes par une journée de printemps.

La température est fonction de l’heure de la journée où elle a été relevée.

500

2

4

6

8

1012

14

16

18

20

10 15 20 25heure t

Degrès detempérature d

30

–5 –5

0 0

5 5

10 10

15 15

20 20

RELEVÉ DE TEMPÉRATURE

a)et 24 heures ?

b) A quelle(s) heure(s) de la journée a-t-on relevé 6° ? 8° ?

c) Quelle a été la température maximale ? A quelle heure a-t-elle était relevée ?

d) Quelle a été la température minimale ? A quelle heure a-t-elle était relevée ?

e) Sur quelle plage horaire la température a-t-elle augmenté ? Sur quelles plages horaires a-t-elle diminué ?

f) Sur quelles plages horaire faisait-il moins de 14 degrés ?

Aire d’un rectangle

ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 4cm et AC = 3 cm. M est un point qui décrit le segment [AC]. On construit le rectangle AMNP où N est un point du segment [BC] et P un point du segment [AB].

A

Activité 1

Activité 2

3 Sens de variation d’une fonction



Avec un logiciel de géométrie, on a placé, dans un repère, des points d’abscisse

x = AM en cm et d’ordonnée l’aire a x( ) du rectangle AMNP en cm2.

0

1

2

3

4

1 2 3

M N

P

BA

C

a) Lorsque x =0,6, calculer MN puis l’aire du rectangle AMNP.x

b) De façon plus générale, démontrer que l’aire du rectangle AMNP est égale

à 443

2x x− .

c) Avec la calculatrice, compléter avec les arrondis au dixième le tableau suivant.

x = AM (en cm) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

a x( ) = aire du rectangle AMNP en m².

d) Comment l’aire semble-t-elle varier lorsque le point M décrit le segment [AC] ?

e) Quelle paraît être la position de M pour laquelle l’aire est maximale ?

Cours

� Fonction croissante, décroissante sur un intervalle I

f est une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative �.

B



–1 0

1

2

3

4

5

y

x–2 32

f(u)

f(v)

vu 1–1 0

1

2

3

4

5

y

x

–2–3 3 42

f(u)

f(v)

vu 1

6

7

8

DéfinitionDire que f est croissante sur l’inter-valle I signifie que pour tous réels u et v de l’intervalle I, si u vʺ , alors f u f v( ) ( ).ʺ

DéfinitionDire que f est décroissante sur l’intervalle I signifie que pour tous réels u et v de l’intervalle I, si u vʺ , alors f u f v( ) ( ).≥

Remarque

Si la courbe � représente une fonction f crois-sante sur l’intervalle I, la courbe � « monte »pour x appartenant à I.xUne fonction croissante conserve l’ordre.Pour tous réels u et u v, f u( ) et f v( ) sont rangésdans le même ordre quee u et u v.

Si la courbe � représente une fonction f décrois-sante sur l’intervalle I, la courbe � « descend » pour x appartenant à I.xUne fonction décroissante change l’ordre.

Pour tous réels u et u v, f u( ) et f v( ) sont rangés dans l’ordre contraire de e u et u v.

Si on remplace les inégalités larges par des inégalités strictes dans les définitions, on obtient alors celles defonctions strictement croissante ou strictement décroissante

Une fonction est dite monotone sur un intervalle I si elle est croissante sur I ou décroissante sur I.

Vocabulaire

� Maximum et minimum d’une fonction sur I

f est une fonction définie sur un intervalle I, de courbe représentative �.a désigne un nombre réel de I.



DéfinitionDire que f (a) est le maximum de la fonction f sur l’intervalle I, signifie que, pour tout réel x de I, f x f a( ) ( ).ʺ

DéfinitionDire que f (a) est le minimum de la fonction f sur l’intervalle I signifie que, pour tout réel x de I, f a f x( ) ( ).ʺ

� Tableau de variation

Étudier les variations d’une fonction, c’est indiquer lesplus grands intervalles sur lesquels la fonction est croissanteou décroissante. On résume ces propriétés dans un tableaude variations.

Graphiquement, on peut lire que la fonction f représentée ci-fcontre est croissante sur l’intervalle [–2 ; –1], décroissante surl’intervalle [–1 ; 1] et de nouveau croissante sur l’intervalle[1 ; 2].

D’où le tableau de variations de la fonction f.

x –2 –1 1 2

f x( ) 4 4

–1,3 –1,3

0

1

1

y

x

f(a)

f(x)

xa

�

–1

–1

0

1

2

4

5

y

x

f(x)

f(a)

a x1

�

–2 0

2

1

-1

3

y

x–1 21

4

�

Les nombres de la première ligne d’un tableau de varia tion se lisent surl’axe des

abscisses. Les nombres de la seconde ligne d’un tableau de variations se lisent sur l’axe des ordonnées.



Synthèse

Fonction croissante sur l’in-tervalle I

Pour tous les nombres réels u et u v de l’intervalle I,

Fonction décroissante sur l’intervalle I

Pour tous les nombres réels u etu v de l’intervalle I,

La fonction f La fonction f change l’ordre


a) b)

–2 0

2

1

-1

3

y

x

–3–4 –1 2 3 41

4

�

–2 0

2

4

3

5y

x–3–5 –4 –1 2 31

�

1

� est la courbe représentative d’une fonction fdans un repère.

� Lire le sens de variation de f.

� Dresser ensuite le tableau de variations de la fonction f.

Voici le tableau de variations d’une fonction f.

x –2 0 0,5 3 +∞

f x( ) –1

–20

4

� Quel est l’ensemble de définition de la fonction f ?

C

D

Exercice 13

Exercice 14


si u≤v

Alors

si u v≥

Alors f (u ) ≥≥f (v )

conserve l’ordre

f(u)≤f(v)


� La fonction f est-elle :fa) croissante sur [–2 ; 2] ? sur [0 ; 1] ?

b) décroissante sur [3 ; 10] ? sur [–2 ;1]

� Donner f f f( ), ( ), ( , ).0 2 0 5−

� Tracer une courbe � susceptible de représenter la fonction f dans un repère.f

Voici le tableau de variation d’une fonction h.

x –2 0 3 4

h x( ) –12,5

0,57

� Comparer (au sens de l’ordre) les nombres suivants

a) h( )−2 et h( )−1 b) h( )13

et h( )32

c) h( , )2 6 et h( , )2 7 d) h( )72

et h (4).h

� Peut-on comparer h( )−1 et h( ).1 Pourquoi ?

Voici des tableaux de variations d’élèves. Ils ont commis des erreurs dans chacun des tableaux de variation. Retrouver lesquelles.

�

x –3 7/2 3 10

h x( ) 32,5

0,57

�

x 0 1 2 5

f x( ) –1

–24/5

2

x désigne un réel de l’intervalle [0 ; 4] .x

On note A x( ) l’aire de la couronnecolorée ci-contre.

a) Calculer A( ).2

b) Sans faite de calcul dresser le ta-bleau de variation de la fonction Asur l’intervalle [0 ; 4].

Exercice 15

Exercice 16

Exercice 17

x

4



La courbe ci-contre est la représentation graphique d’une fonction f définie surfl’intervalle [–3 ; 5].

Lire sur cette courbe

� Le maximum de f sur chacun des inter-fvalles :

a) [–3 ; 5] b) [– 2; 3] c)[1 ; 5]

� Le minimum de f sur chacun des intervallesf

a) [–3 ; 5] b) [–1 ; 4] c) [0 ; 2]

Voici le tableau de variations d’une fonction f définie sur l’intervalle [–3 ; 6]. f

x –3 –2 1 4 6

f x( ) 3

–1 1

00,5

Sur chaque intervalle, donner le maximum et le minimum de la fonction f et pré-fciser pour quelles valeurs de x ils sont obtenus.x� [–3 ; 6] � [–2 ; 4] � [1 ; 6].

La fonction f est définie sur f � par f x x( ) ( ) .= − −3 2 2

� Calculer f ( )2 , puis f x f( ) ( ).− 2� En déduire que la fonction f admet un maximum que l’on précisera.f

On donne ci-contre la représenta-tion graphique de la fonction f défi-fnie sur � par f x x x( ) .= −2 4

� Conjecturer le minimum de la fonction f ; pour quelle valeur de fx semble-t-il atteint ?x

� Démontrer que f admet un mini-fmum et le déterminer.

Exercice 18

–2 0

2

1

-1

-2

y

x

–3 –1 2 3 4 51

�

Exercice 19

Exercice 20

Exercice 21

0

1

–1

–2

–3

–4

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 x

y

–1



Activités

Consommation d’essence

Un constructeur automobile annonce dans une publicité que son véhicule consomme 6,5 litres de carburant aux 100 km.

a) Calculer la consommation pour 200 km, 500 km, 150 km, 70 km.

b) Cette voiture a parcouru x km. Exprimer en fonction de x x le nombre de litres xde carburant consommés.

c) Représenter graphiquement le nombre de litres consommés en fonction du nombre de km parcourus.

On prendra comme unité 1 cm pour 20 km sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 10 litres d’essence sur l’axe des ordonnées.

d) Le réservoir de la voiture contient 45 litres et il est plein. Quelle distance peut-elle parcourir ?

Une facture EDF

Pour calculer le montant hors taxe d’une facture, EDF prend en compte deux élé-ments : l’abonnement et la consommation. L’abonnement est de 7,70€ par mois (quelle que soit la consommation) et pour l’autre partie, le tarif est de 0,08€ par kWh consommé.

a) Quel est le montant annuel de l’abonnement ?

b) Calculer le montant hors taxe d’une facture EDF pour une consommation an-nuelle de 1500 kWh, 2500 kWh, 0 kWh.

c) Calculer le montant hors taxe d’une facture EDF pour une consommation an-nuelle de x kWh.x

d) Représenter graphiquement le montant hors taxe d’une facture EDF en fonc-tion du nombre de kWh consommés (unités : 1 cm pour 250 kWh en abscis-ses ; 1 cm pour 25 € en ordonnée).

A

Activité 1

Activité 2

4 Fonctions linéaireset fonctions affines



e) Calculer la différence entre deux factures lorsque l’écart de consommation estde 100 kWh, 1 000 kWh, 2 000 kWh, t kWh. Qu’y a-t-il de remarquable ?

f) Calculer la consommation en kWh correspondant à une facture de 250 €.

Signe de 3x −−55

a) Recopier et compléter le tableau :

x –1 0 1 3 4 5

f x x( ) = −3 5 –8 10

Signe de f x( )– +

b) Dans le repère suivant, marquer les points de coordonnées ( ; ( ))x f x connus par le tableau de valeurs

� par des croix + s’ils correspondent au cas où f x( ) est positif.� par des points . s’ils correspondent au cas où f x( ) est négatif.

Comment sont-ils situés par rapport à l’axe des abscisses ?

c) Tracer la représentation graphique D de la fonction D f.

d) Sans calcul, par lecture graphique, compléter le tableau

x –1,4 1,32 2 ≠ 11/3

Signe de f x( )

e) Sans calcul, par lecture graphique, remplacer les pointillés du tableau de signesuivant par un signe + ou –.

x –∞ 53 +∞

Signe de f x( ) … 0 …

Activité 3



0 1

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

–9

–10

–11

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

x–1–2 2 3 4 5

Cours

�

DéfinitionSoit a un nombre réel fixé. La fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels �� par f x ax( )= est une fonction linéaire. Dans ce cas, les grandeurs x et f x( ) sont proportionnelles.

L activité consommation d essence : L’activité consommation d’essence : xx étant le nombre de kilomètres parcourus et étant le nombre de kilomètres parcourus etxx yyle nombre de litres de carburant consommés, on a vu que y = 0,065x.

La fonction f définie sur f � par f x x( ) ,= 0 065 est une fonction linéaire.

Dans l’activité consommation d’essence, nous avons considéré la restriction decette fonction linéaire à l’intervalle [ ; [0 +∞ car le nombre de kilomètres parcou-rus ne peut pas être négatif.

B

Exemple



Propriété : Courbe représentative d’une fonction linéaire

La fonction linéaire f définie sur �� par f x ax( ) = est représentée graphiquement par la droite d’équation y ax= . Cette droite passe par l’origine du repère.

La fonction linéaire f définie sur par f f x x( ) ,= 0 065 est représentée par la droited’équation y x= 0 065, .

Pour la tracer, il suffit de connaître un point de cette droite.

L’ordonnée du point de la courbe représentative de f d’abscisse 500 est f f ( )500et f ( ) , , .500 0 065 500 32 5= × =

La courbe représentative de la fonction linéaire f définie parf f x x( ) ,= 0 065 est donc la droite passant par le point A (500 ; 32,5) et l’origine O du repère.

0 50

y = 0,065x

–10

–20

–30

10

20

30

y

x–50–100–150–200–250–300–350 100 150 200 250 300 350 400 450 500

A

� Fonction affine

DéfinitionSoient a et b deux nombres réels fixés. La fonction f définie sur �� par f x ax b( )= + est une fonction affine.

� Si b = 0, b f x ax( )= et dans ce cas la fonction f est linéaire. Les fonctions flinéaires sont donc des cas particuliers de fonctions affines.

� Si a = 0, a f x b( )= et dans ce cas la fonction f est constante. Les fonc-ftions constantes sont donc des cas particuliers de fonctions affines.

Remarque

Exemple



L’activité facture EDF : x désignant le nombre de kWh consommé dans l’année etxy le montant hors taxe de la facture, on a vu que y y x= +0 08 92 4, , .

La fonction f définie sur f � par f x x( ) , ,= +0 08 92 4 est une fonction affine.

Dans l’activité facture EDF, nous avons considéré la restriction de cette fonction àl’intervalle [ ; [0 +∞ car le nombre de kWh consommés ne peut pas être négatif.

La fonction affine f définie surf � par f x x( ) , ,= +0 08 92 4 est représentée parla droite d’équation y x= +0 08 92 4, , . Pour la tracer, il suffit de connaître deuxpoints de cette droite.

L’ordonnée du point de la courbe représentative de f d’abscisse 0 estf ( ) , .0 92 4=

L’ordonnée du point de la courbe représentative de f d’abscisse 1500 estff ( ) , ,1500 0 08 1500 92 4= × + = 212,4.

La courbe représentative de la fonction affine f définie par f x x( ) , ,= +0 08 92 4est donc la droite passant par le point A (0 ; 92,4) et le point B (1500 ; 212,4).

Exemple

Propriété : Courbe représentative d’une fonction affine

La fonction affine f définie sur �� par f x = ax + b( ) est représen-tée graphiquement par la droite d’équation y = ax + b. Cette droite passe par le point de coordonnées (0 ; b).

Exemple



� Sens de variation d’une fonction affine

Propriété : Soit f une fonction affine définie sur �� par f x = ax +b( ) avec a≠0.

a > 0aLa fonction affine f

est strictementcroissante sur ��

a < 0aLa fonction affine f

est strictementdécroissante sur ��

Démonstration

Soit deux nombres réel u et u v tels quev u < u v .vAlors, en multipliant par le nombre a stricte-ament positif, on a au av<Puis en ajoutant b à chaque membre de l’équa-btion, on a au b av b+ < + .donc f (u )<f (v ).

f est donc strictement croissante sur f ��

Démonstration

Soit deux nombres réel u et u v tels quev u <u v .vAlors, en multipliant par le nombre a stricte-ment négatif, on a ff au av>Puis en ajoutant b à chaque membre de l’équa-btion, on a au b av b+ +> .donc f (u )>f (v ).

f est donc strictement décroissante sur �

f x x: � 3 5+ est strictement croissante sur � car a = 3 est strictement positif.

g t t: � − +2 1 est strictement décroissante sur � car a = −2 est strictement négatif.

� Application à l’étude du signe de ax +b (b a non nul), a et a b fixés. b

Pour étudier le signe d’une expression du type ax b+ , avec a ↑ 0, on peut d’abord résoudre l’équation ax b+ = 0 et utiliser la propriété ci-dessus.

Exemple



Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de l’expression 2 3x - et vérifier les résultats obtenus en représentant la fonction affine f définie par f x x( ) = 2 - 3.

Résolvons d’abord l’équation 2 3 0x − = .

Celle-ci est équivalente à l’équation 2 3x = soit x = =32

1 5, .

La fonction affine f définie parf f x x( )= −2 3 est strictement croissante sur �car a = 2 et 2 0> .

On en déduit que, si x > 1,5 alors f x f( ) ( , )> 1 5 soit f x( )> 0 soit 2 3 0x − > .

et, si x<1,5 alors f x f( ) ( , )< 1 5 soit f x( )< 0 soit 2 3 0x − < .

On en déduit alors le signe de 2 3x − que l’on peut consigner dans un tableau de signes.

x –∞ 1,5 +∞

Signe de f x( ) – 0 +

Représentation graphique

Graphiquement, on constate bien que

� si x< 1,5 alors la droite d’équation y x= −2 3 représentant la fonction f est au-dessous de l’axe des abscisses ce qui signifie que 2 3 0x − < .

� si x> 1,5 alors la droite d’équation y x= −2 3 représentant la fonction f est fau-dessus de l’axe des abscisses ce qui signifie que 2 3 0x − > .

Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de l’expression − +3 4x et vérifier les ré-sultats obtenus en représentant la fonction affine f définie par f x x( ) .= − +3 4

Résolvons d’abord l’équation − + =3 4 0x .

Celle-ci est équivalente à l’équation 3 4x = soit x =43

.

Exemple 1

Exemple 2



La fonction affine f définie par f f x x( )= − +3 4 est strictement décroissante sur � car a = −3 et − <3 0.

On en déduit que, si x > x43

alors f x f( ) ( )<43

soit f x( )< 0 soit − + <3 4 0x .

et, si x<43

alors f x f( ) ( )>43

soit f x( )> 0 soit − + >3 4 0x .

On en déduit alors le signe de − +3 4x que l’on peut consigner dans un tableaude signes.

x –∞ 4/3 +∞

Signe de f x( ) + 0 –


Graphiquement, on constate bien que

� si x < 43

alors la droite d’équation y x= − +3 4 représentant la fonction f est f

au-dessus de l’axe des abscisses ce qui signifie que − + >3 4 0x .

� si x >43

alors la droite représentant la fonction f est au-dessous de l’axe des f

abscisses ce qui signifie que – .3 4 0x + <



SynthèseSoit a et a b deux nombres réels donnés.b

La fonction f définie sur f � par f x ax b( )= + est une fonction affine.


La courbe représentative de la fonction affine f est la f droite d’équation y ax b= + .

Les fonctions affines sont les seules fonctions représentées par des droites.

Variations

Si a > 0af est strictementcroissante sur �

Si a < 0af strictement

décroissante sur �

Si a = 0f x b( )= et f est

constante

Cas particulier important

Si b = 0, la fonction affine f définie sur f � par f x ax( )= est dite linéaire.

Elle est représentée par une droite qui passe par l’origine.

La relation f x ax( )= traduit que les quantités x etx f x( ) sont proportionnelles.


Cette droite représente une fonction affine f.

� Déterminer graphiquement la valeur de x pour laquelle x f x( ) .= 0

C

D

Exercice 22



� Le signe de f x( ) quand x < 3 ; quand x > 3.

� Recopier et compléter le tableau de signe :

x –∞ … +∞

Signe de f x( ) 0

Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de l’expression x − +2 5x et vérifier lesrésultats obtenus en représentant la fonction affine f définie par f x x( ) .= − +2 5

À l’aide du graphique ci-contre, dresser sans justifications un tableau de signe des fonc-tions f,f g et g h définies par h f x x( ) ,= − + 3g x x( ) , – , = 1 5 3 h x x( ) .= +2 4

Sur la figure ci-après, le segment [AB] est de longueur 10, le triangle AMN est équilatéral et MBCD est un carré.Le point M est variable sur le segment [AB]. On note x la distance AM.x

On note f x( ) le périmètre du triangle AMN et g x( ) le périmètre du carré MBCD.

� Calculer f x( ) et g x( ) .

� Représenter les fonctions f et f g sur gle même graphique.

� Pour quelle valeur de� x,x f x g x( ) ( )?=

Exercice 23

Exercice 24

Exercice 25

D C

B

MA

N

x



Un libraire décide de réduire de 5 % le prix des livres quand il est compris entre 10€ et 50€.� Combien sera vendu un livre dont le prix était de 20€ ? 30€ ?� Montrer que le nouveau prix du livre s’exprime en fonction de l’ancien prix x à x

l’aide d’une fonction linéaire sur à l’intervalle [10 ; 50] que l’on déterminera.� Représenter graphiquement cette fonction.�

� Quel était le prix initial d’un livre vendu 33,25€ ?�

Un vidéo-club propose deux tarifs pour la location de vidéos.

Tarif A : 4 euros pour la location de chaque vidéo ;

Tarif B : 90 euros pour l’abonnement annuel et 1 euro pour la location de chaque vidéo.

Soit x le nombre de vidéos louées par un adhérent en un an. On note x f x( ) le prix total payé avec le tarif A et g x( ) le prix total payé avec le tarif B.� Exprimer f x( ) et g x( ) en fonction de x.� Représenter sur le même graphique les fonctions f etf g (On considérera pour g

cette question x nombre réel compris entre 0 et 40).x� Déterminer graphiquement pour quelles valeurs de � x chaque tarif est plus x

intéressant que l’autre(pour l’adhérent).

On considère un ressort de longueur 6 cm. L’une des extrémités est fixée. A l’autre, on peut suspendre des objets qui ont pour effet d’allonger le ressort. L’allongement est proportionnel à la masse suspendue lorsque celle-ci est inférieure à 300g.

Si on suspend une masse de 50g, la longueur du ressort est alors de 6,6 cm.� Calculer sa longueur si la masse suspendue est 120g.� Soit m la masse suspendue. Exprimer en fonction de m la longueur du ressort.m� Représenter graphiquement cette fonction.�

Un cycliste part de son domicile pour s’entraîner. On a représenté ci-contre la distance parcourue en fonction de la durée t écoulée depuis son départ.t

� A quelle durée correspond une gra-duation sur l’axe des abscisses ?

� Quelle distance totale a-t-il parcou-ru ? En combien de temps ?

� a) Quelle distance a-t-il parcouru au bout d’une heure ?

b) Calculer sa vitesse moyenne sur cette première heure.

Exercice 26

Exercice 27

Exercice 28

Exercice 29



� Quelle distance parcourt-il pendant les 30 minutes suivantes ?�

Quelle est sa vitesse moyenne sur cette période ?

� Que� fait le cycliste entre 1 h 30 et 2 h après son départ ?

� Calculer sa vitesse moyenne sur la dernière heure.�

Dans ma ville, le prix à payer pour une course de taxi s’obtient en additionnant deux nombres :

� La prise en charge, qui ne dépend pas du nombre de kilomètres parcourus

� le prix des kilomètres parcourus, proportionnel au nombre de kilomètres.

J’ai payé 6€ pour une course de 10 km et 9€ pour une course de 16 km. Exprimer le prix y (en €) d’une course en fonction de la distance x (en km). x

Exercice 30



Historique

Le mot algorithme est une déformation du nom du mathématicien arabe, ou pluseexactement persan Al Khwarizmi (788–850) latinisé au Moyen Âge en i Algoritmi.Le « z » est devenu «z t » sous l’influence du mot grec t arithmos (qu’on retrouve aujourd’hui dans arithmétique) parce que le mot ainsi créé avait une consonanceeeplus mathématique !

Al Khwarizmi fut l’un des premiers à décrire les règles de manipulations sur lesinombres entiers.

Définition

Un algorithme est la liste descriptive des étapes à appliquer de manière systématique à un objet. A l’issue de l’algorithme on obtient encore un autre objet.

L’objectif, ici, est de décrire clairement ces étapes afin qu’après transcription, une L’ bj if i i d dé i l i é fi ’ è i imachine (calculatrice, ordinateur) puisse les traiter.

� Partons de deux nombres a eta b, cherchons à en calculer le produit. L’algo-brithme est ce qu’on appelle simplement la multiplication. L’objet obtenu esttun nombre.

� Lorsqu’on cherche un mot dans un dictionnaire. L’objet de départ est le mottdont on cherche la définition. L’algorithme consiste à comparer la premièrelettre du mot avec celle où le dictionnaire est ouvert puis, suivant leurs po-sitions relatives dans l’ordre alphabétique, à tourner les pages en avant ouen arrière pour faire correspondre la lettre du dictionnaire avec celle du mot.Ensuite, on applique à nouveau l’algorithme avec les deuxièmes lettres desmots recherchés et du dictionnaire. On recommence jusqu’à obtenir le motrecherché. L’objet qu’on obtient à partir de cet algorithme est la définition dumot recherché.

� On peut aussi faire un parallèle culinaire : un algorithme est une recette de cuisine. Les objets dont on part sont les ingrédients, l’algorithme est la recette.L’objet obtenu est le plat.

A

Exemple

5 Algorithmique



Vocabulaire – Tableaude fonctionnement

� Entrées - Sorties

On constate que les objets de départ et ceux obtenus peuvent être de natures différentes (mot / définition, couple de nombres (a, b) / nombrebb a b× , ingrédients / plat). On utilise le vocabulaire suivant.

Définition

Dans un algorithme, l’objet de départ s’appelle l’entrée. L’objet obtenu s’appelle la sortie.

Reprenons les exemples précédents.

� Pour la multiplication de deux nombres a eta b, l’entrée est le couple (b a, b) et bbla sortie le nombre a b× .

� Pour la recherche d’une définition dans le dictionnaire, l’entrée est le mot et la sortie la définition.

� Pour la recette de cuisine, l’entrée est l’ensemble des ingrédients et la sortie le plat.

� Variables (Type – Affectations)

L’algorithme de recherche de la définition d’un mot dans le dictionnaire consiste à comparer la lettre du dictionnaire, d’abord avec la 1re lettre du mot, puis avec la 2e lettre, puis avec la 3e lettre, etc.

Autrement dit, au cours du déroulement de l’algorithme la lettre à laquelle on s’intéresse change. C’est ce qu’on appelle une variable.

Définition

Une variable correspond à une case à certains endroits de la mémoire de la machine (calculatrice, ordinateur).

� Dans l’algorithme de multiplication de deux nombres a eta b, on peut utiliser bdes variables appelées a et a b. Celles-ci peuvent par exemple être du type b en-tier ou du typer réel suivant les besoins du problème. On peut envisager delregrouper les deux variables du type entier en une seule variable appelée Lsous la forme d’une liste notée (a, b). Les éléments de la liste seront alors à bbleur tour des entiers, des réels selon les besoins du problème.

B

Exemple

Exemple



� Dans l’exemple du dictionnaire, appelons LaLettre la lettre qui change. LaLet-tre est une variable. Lors de la recherche de la définition du mot e EPIPHORE, auEcours du déroulement de l’algorithme la variable LaLettre va successivementeêtre égale à E, puis à E P, puis à P I, puis à I P, puis à P H, etc. On dit que lesH affec-tations de la variable LaLettre sont successivement e E puis E P puis P I, puisI P,etc. On dit aussi qu’on affecte la valeur E, puis la valeur E P, etc. (le motP valeur est à prendre au sens large) à la variable LaLettre. La variablee LaLettre est uncaractère (une lettre de l’alphabet). On dit que le type de la variable LaLettre est le caractère. Le mot dont on cherche la définition lui aussi peut changer.eOn pourra utiliser une variable appelée LeMot de type t chaîne de caractèrespour « mémoriser » ce mot.

� Nous aurons besoin plus tard dans ce cours, du type booléen. Une variablenest du type booléen lorsqu’on peut lui affecter deux valeurs seulement. Ces valeurs sont notées VRAI et FAUX.

Résumons

DéfinitionLe type d’une variable définit sa nature. On utilise couramment les types: entier, réel, chaine de caractères, booléen. Affecter quelque chose à une variable c’est recopier dans son contenu une valeur qui respecte son type. On peut regrouper plusieurs variables à l’aide d’un même nom sous la forme d’une liste.

Dans un algorithme, lorsqu’on rencontre la phrase

« DANS a, METTRE le nombre 4 »aceci signifie que

– la variable a est, par exemple, du type entier ou réel – la valeur entière 4 est affectée à cette variable.

� Tableau de fonctionnement d’un algorithme

S

�

Définition

Le tableau de fonctionnement d’un algorithme décrit, à chaque étape de l’algorithme, le contenu des variables (une colonne par variable).

Écrivons l’algorithme de multiplication de deux entiers :

ENTRER a et a b DANS c, METTRE a b× AFFICHER c

Exemples

Exemple



Faisons fonctionner cet algorithme sur un exemple : prenons a = 7 et b = 5.b

A chacune des trois étapes de l’algorithme, précisons le contenu des variables a,b et c. Rassemblons le tout dans un tableau de fonctionnement :c

a b c

Entrée 7 5

Traitement 7 5 35

Sortie 35

� On s’intéresse à l’algorithme suivant :

ENTRER a et a b DANS a, METTRE b DANS b, METTRE a AFFICHER a et b

Compléter les tableaux de fonctionnement de cet algorithme :

a b a b

Entrée 11 4 Entrée – 9 12

Traitement Traitement

Sortie Sortie

� a) Compléter l’algorithme suivant agissant sur les variables a eta b de telle bsorte que le contenu de la variable a en sortie soit égal au contenu de la avariable b en entrée et le contenu de la variable b en sortie soit égal au contenu de la variable a en entrée.a

ENTRER a et a b (1)bDANS c METTRE … (2)DANS … METTRE … (3)DANS … METTRE … (4)

AFFICHER a et b (5)

b) Faire fonctionner l’algorithme complété et remplir le tableau de fonction-nement suivant:

a b c

13 7

Traitement

Sortie

Exemple 1



� L’affectation d’une nouvelle valeur efface l’ancienne valeur ete recopie la nou-evelle valeur.

a b a b

Entrée 11 4 Entrée – 9 12

Traitement4 4

Traitement12 12

4 4 12 12

Sortie 4 4 Sortie 12 12

(1) On met le contenu de b(4) dans b a.

(2) On met le contenu de a(4) dans b.

� a) Nous allons affecter à la variable a le contenu de la variable ab (à l’étape 3) puis le contenu de la variable b a à la variablea b (àl’étape 4). Mais l’étape 3 va effacer le contenu de la variable a. Il faut donc auparavant soigneusement copier le contenu en entrée de la va-riable a. C’est ce que nous faisons à l’étape 2 en affectant le contenu de a à la variable a c.

ENTRER a et a b (1)b

DANS c METTRE a (2)a

DANS a METTRE b (3)b

DANS b METTRE c (4)c

AFFICHER a et b (5)b

b) Faisons fonctionner l’algorithme complété avec les valeurs a = 13 et a b =7 en entrée :

a b c

13 7

Traitement

13 7 13

7 7 13

7 13 13

Sortie 7 13

Nous verrons en exercice une astuce de calcul qui permet, pour cet exemple,d’éviter le recours à la variable supplémentaire c.

Réponses




Faire fonctionner l’algorithme suivant

ENTRER xDANS a METTRE 1 – xaDANS x METTRE 1 – x aDANS x METTRE x x + x aDANS a METTRE a + a x

AFFICHER a sur x = 3 puis sur x = –1 et enfin sur x x = x K.

Compléter l’algorithme suivant afin qu’en sortie le contenu des entrées a et a b soit échangé.

ENTRER a et a bDANS a METTRE a a + a bDANS b METTRE b a – a bDANS a METTRE …

AFFICHER a et b

L’expressionf x( ) d’une fonction f peut s’obtenir en faisant opérer un algorithmefdans lequel l’entrée est le nombre réel x et la sortie la valeurx f x( ) .

Soit f x x( )= 2 . Cette expression est obtenue à l’aide de l’algorithme

ENTRER xDANS c METTRE 2× x

AFFICHER c

� Appuyez-vous sur l’exemple précédent pour qu’à l’issue de l’algorithme sui-vant soit affiché l’expressionf x x( ) .= +2 3

ENTRER …

DANS c METTRE … ou directement :

DANS d METTRE … DANSd d METTRE …dAFFICHER d

� On considère l’algorithme dont les tâches sont définies de la manière suivante

Entrée

X réel

Traitement

Prendre l’opposé de X

Puis Ajouter 4

Sortie

Afficher le résultat

C

Exercice 31

Exercice 32

Exercice 33

Exemple



Compléter l’algorithme suivant afin qu’il respecte la succession d’instructions ci-dessus (une seule opération par étape).

ENTRER …

DANS c METTRE …

DANS d METTRE …dAFFICHER …

� On considère l’algorithme effectuant les tâches suivantes

Entrée

X réel

Traitement

Dans A mettre X+1

Dans B mettre A^2

Dans C mettre B–1

Sortie

Afficher C

On note f la fonction définie sur f � et qui à un réel X associe la valeur C obtenueà la sortie de l’algorithme.

Déterminer parmi les expressions suivantes, celle qui détermine f.

a) f x x x( )= +2 2 b) f x x( )= 2 c) f x x x( )= − +2 2 2 .



Généralités

D est une partie de l’ensembleDdes nombres réels.

Lorsqu’à chaque nombre réel xde D, on associe un seul nombre Dréel y, on définit uney fonction fsur l’ensemble D.

D → � f : f x � f (x)

fonction image de x par x f

D est appeléD ensemble de défini-tion de la fonction f.

L’image d’un nombre réel x par xune fonction f est unique.f

D est généralement unD intervalleou une réunion d’intervalles.

On a rencontré pour l’instant 3 ty-pes d’intervalles :

� L’intervalle fermé [a ; a b] qui estbbl’ensemble des nombres réels compris entre a et a b.

1

a b

2 3 4 5 6 7

� L’intervalle ouvert ]a ; +∞[ qui est l’ensemble des nombres réels strictement asupérieurs au nombre réel a.

1

a

2 3 4 5 6 7 8

� L’intervalle ouvert]–∞ ; a [ qui est l’ensemble des nombres réels strictement ainférieurs au nombre réel a.

–8

a

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

–2

–1

–1 0

1

2

4

y

x–2 21–3–4

y = f(x)

D

x

M3

�

b

Courbe � représentative d’une fonction f définie sur l’intervalle fermé [ ; ]−4 3 .Cette courbe � est l’ensem-ble des points de coordonnées( ; ( )).x f x

Autrement dit, un point M(x ; y) appartient à la courbe � repré-sentant la fonction f si et seule-ment si y = f (x).y = f (x) est appelé équation de la courbe �

6 Synthèsede la séquence



Variations

Fonction croissante sur l’intervalle I

Pour tous les nombres réels u et u v de l’inter-valle I,

si u vʺ

Alors f u f v( ) ( )ʺ̋

La fonction f conserve l’ordre

Fonction décroissante sur l’intervalle I

Pour tous les nombres réels u etu v de l’inter-valle I,

si u vʺAlors f u f v( ) ( )≥≥

La fonction f change l’ordre

–1 0

1

2

3

4

5

y

x

–2–3 3 42

f(u)

f(v)

vu 1

6

7

8

–1 0

1

2

3

4

5

y

x–2 32

f(u)

f(v)

vu 1

0

1

1

y

x

f(a)

f(x)

xa

�

y

La courbe « monte » lorsque x décrit I de xgauche à droite.

Dire que f(a) est le maximum de la fonction) fsur l’intervalle I, signifie que,

pour tout réel x de I, x f x f a( ) ( ).ʺ

La courbe « descend » lorsque x décrit I dexgauche à droite.

Dire que f(a) est le minimum de la fonction (( fsur l’intervalle I signifie que,

Pour tout réel x de I,x f a f x( ) ( ).ʺ

–1

–1

0

1

2

4

5

y

x

f(x)

f(a)

a x1

�



Fonctions linéaires et affines

Soit a et a b deux nombres réels donnés.b

La fonction f définie sur f � par f x ax b( )= + est une fonction affine.


La courbe représentative de la fonction affine f est laf droite d’équation y ax b= + .

Les fonctions affines sont les seules fonctions représentées par des droites.

Variations

Si a > 0a Si a < 0a Si a = 0f est strictement croissante sur� f strictement décroissante sur� f x b( )= et f est constante

Cas particulier important

Si b = 0, la fonction affine f définie sur f � par f x ax( )= est dite linéaire.

Elle est représentée par une droite qui passe par l’origine.

La relation f x ax( )= traduit que les quantités x etx f x( ) sont proportionnelles.



(x) = x +1

Calculer f a f a fa

f a f a f( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; 2

Soit la fonction f définie sur 1

�* par f x

1 5 3+ − ((

Un agriculteur souhaite construire un enclos rectangulaire. Il dispose d’un rou-leau de grillage de 40 m.

On note x etx y les dimensions de l’enclos réalisé en utilisant la totalité du grillage ypour clôturer l’enclos.

� a) Déterminer le périmètre et l’aire du rectangle en fonction de x et x y. Quelle yrelation lie x etx y ?y

b) En déduire que l’expression de l’aire de l’enclos en fonction de x est xS x x x( ) ( )?= −20

� Dans un repère (A, I, J) (unités : 0,5 cm sur chaque axe), on définit les pointsB(x ; 0), C(0 ; x y) et D(yy x ; y).yya) Placer les points B, C, D correspondant à trois valeurs différentes de x (x = 5 ;

x = 10 ; x = 16).

b) Justifier que les points D sont situés sur une droite que l’on tracera.

c) Remplir le tableau de valeurs suivant

x 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S x( )

d) Tracer la courbe de la fonction S dans un autre repère (unités : 0,5 cm sur l’axe Sdes abscisses, 0,1 cm sur l’axe des ordonnées). Que remarquez-vous ?

� a) Placer sur le graphique du � d) le point D correspondant à l’enclos qui aura l’aire la plus grande.

b) Lire les dimensions de cet enclos.

Le tableau ci-dessous indique pour chacune des six planètes connues du temps de Képler :

� sa période de révolution T en années autour du Soleil ;T

� sa distance moyenne a au soleil, l’unité étant la distance moyenne de la Terre aau soleil.

Exercice I

Exercice II

Exercice III

7 Exercicesd’approfondissement



Planète T a

Mercure 0,24 0,39

Vénus 0,62 0,72

Terre 1 1

Mars 1,88 1,52

Jupiter 11,86 5,2

Saturne 29,46 9,54

� Conjecturer (c’est-à-dire essayer de deviner) une relation entre a3aa et 3 T2TT (Képler 2

publia cette formule en 1619).

� La période de la planète Uranus est de 84 ans. A l’aide de la relation précé-dente, calculer la distance moyenne de cette planète au soleil.

ABCD est un trapèze rectangle en A et D tel que : AB= 6 cm et CD ʺ AB.

On note b la longueur CD, b h la hauteur du trapèze( en cm) et h A son aire( en cm²).A

� Exprimer l’aire A en fonction de A b et b h.

� Dans chacun des cas suivants, construireun trapèze vérifiantles conditions don-nées et calculer A.

a) b = 2 et h = 5. h

b) b = 3,5 et b h = 4 ;h

c) b = 5,2 et b h = 3,5.

� A quels intervalles I et J doivent appartenir b et b h ?

� A chaque couple (b ; b h ) avec h b dans I et b h dans J, on associe une valeur uniquehde l’aire A duAtrapèze ; on définit ainsi une fonction f à deux variables : ff : (f b ; b h ) h � A.

a) Calculer f ( ; )2 3 , c’est-à-dire l’aire du trapèze de base b = 2 et de hauteurbh = 3. Calculer de même : hf f f( ; ), ( ; , ), ( ; , ).2 4 4 3 6 5 3 6

b) On pose h = 2.hTracer dans un repère la courbe représentative de la fonction qui à b associe b A.

c) On pose b = 4.bTracer dans un repère la courbe représentative de la fonction qui à h associe A.h

Exercice IV

D C

BA 6 cm

h

b



Le directeur d’un cirque sait que le nombre de spectateurs par séance est fonction du prix de la place ; il veut fixer ce prix à un nombre entier d’euros et s’assurer une recette maximale. Il sait qu’il reçoit en moyenne 500 spectateurs par séance lorsque le prix de la place est fixé à 19€. Mais, à chaque fois qu’il baisse le prix de la place de 1€, il a 80 spectateurs de plus.

� Lequel des deux graphiques suivants représente le mieux la recette en fonc-tion de la baisse du prix ?

00

2000

5 10 15 20

4000

6000

8000

10000

12000

14000

00

2000

5 10 15 20

4000

6000

8000

10000

12000

14000

�

recette maximale.

� Soit n le nombre d’euros dont le prix baisse.n

a) Quelles sont les valeurs que peut prendre n ?

b) Montrer que la recette est ( ) ( ).19 500 80− × + ×n n

c) Déterminer s’il faut baisser le prix de 6 ou de 7 euros pour avoir unemeilleure recette ?

a est un nombre réel strictement positif.

� Quel est l’aire de ce rectangle

� Exprimer son périmètre P en fonction de P a.

� Démontre quePa

a− =

−4

2 1 2( ).

� Quel est le signe de P – 4 ?

Quel est le périmètre dans le cas où a = 1 ?

� Quel est le plus petit périmètre possible pour un tel rectangle ?

Exercice V

Exercice VI

1

a

a

BA

D C



Deux villes A et B sont distinctes de 300 km.

Au même instant :

Un automobiliste part de A et se dirige vers B ; sa voiture consomme 8L au 100 km.

Un automobiliste part de B et se dirige vers A ; sa voiture consomme 12L aux100km.

Ces deux voitures se croisent en un point M situé à x km de A.x

� Exprimer en fonction de x les volumes x f x( ) et g x( ) d’essence( en L) consom-més par chacune des deux voitures pour arriver en M.

� a) Sur quel intervalle f et f g sont-elles définies ?gb) Dans un même repère, tracer les courbes représentatives de f et f g.

� Trouver la position du point M pour que les quantités d’essence soient égales :

a) graphiquement

b) par le calcul.

À l’issue de la correction des copies d’un examen, le jury décide de remonter les notes. Il va procéder de manière suivante :

� Si la note obtenue est comprise entre 0 et 12, elle sera multipliée par un certain nombre de sorte que la note 12 sera remplacé par 15.

� Pour les autres notes, on appliquera une fonction affine telle que la note 12 sera remplacée par la note 15 et les candidats qui auront obtenu 20 auront leur note inchangée.

� Représenter graphiquement les nouvelles notes en fonction des notes initiales.

� Déterminer les fonctions qui permettent de transformer les notes dans les deux cas.

� Calculer les notes attribuées après transformation lorsque les candidats ont obtenu les notes : 4, 10, 16 , 18.

� Calculer la note initiale lorsque la note finale est 10, 15, 5, 18.

� Lorsque la note est comprise entre 0 et 12 avant transformation, exprimer sa hausse en pourcentage.

Dans un pays imaginaire, le revenu imposable est désigné par R en euros.R

� Si R < 4 000 €, il n’y a pas d’impôt.R

� Pour la tranche de revenu comprise entre 4000 € et 8000 €, l’impôt à payer est de 7,5 % sur la partie de revenu qui dépasse 4000 €.

� Si 8 000 < R < 14 000, on paie déjà 7,5 % de 8 000 – 4 000 soit 4 000 €, puis R21 % sur ce qui dépasse 8 000 €.

� Si R est compris entre 14 000 et 23 000, on paie déjà 7,5 % sur 4 000, puis 21 % sur 14000 – 8000 soit 6 000 € et enfin 31 % sur ce qui dépasse 14 000 €.

Exercice VII

Exercice VIII

Exercice IX



� Calculer l’impôt à payer pour un revenu de 5000€, de 10 000€, de 20 000€.

� Déterminer en fonction de R l’impôt à payer si :R

a) 4 000 ʺ R ʺ 8 000 b) 8 000 < R < 14 000R c) 14 000 23 000ʺ ʺR

� Soit f la fonction qui au revenu f R fait correspondre l’impôtR f R( ) à payer pour0 ʺ ʺR 23 000 .

Donner une représentation graphique de f.

Deux gares G et G’ sont distantes de 300 km.

Au même instant :

� un train part de G et se dirige vers G’ à la vitesse constante de 80 km/h

� un train part de G’ et se dirige vers G à la vitesse constante de 120 km/h

� Super hirondelle part de G et vole vers G’ le long de la voie ferrée à la vitesseconstante de 240 km/h.

Quand elle rencontre le train venant de G’, elle fait demi-tour et repart vers G ;

Elle vole ainsi d’un train à l’autre jusqu’à ce que les deux trains se croisent.

Quelle distance parcourt Super hirondelle ?

Donner un algorithme dont l’entrée est un nombre réel a et la sortie le nombrearéel b égal àb ( )a − +1 92 . A chaque étape il ne devra pas y avoir plus d’une opé-ration à choisir parmi+ − ÷ ×, , , .

On considère l’algorithme suivant.

Entrée A, B entiers naturels (B B non nul)B

TraitementDANS C METTRE C

AB

DANS F METTRE 1 – F CSortie

Afficher F

� Faire fonctionner l’algorithme pour :

a) A = 5 et A B = 8 B b) A = 1 et A B = 10B

� On notef a b( ; ) la valeur de F obtenue en sortie de l’algorithme pour F A =A aet B = B b.

Calculer pour tout réel non nul x,

a) f x( ; )1 b) f f x1 1; ( ; )( ) c) f f f x1 1 1; ; ( ; )( )( )

Exercice X

Exercice XI

Exercice XII


Documents

Notion de fonctions - Fonctions linéaires et affines