Notities en Oefenvraagstukken

bij het college

Voortgezette stromingsleer b56a

F.T.M. NieuwstadtLab. Aero- en Hydrodynamica

Rotterdamseweg 1452628 AL Delft

Contents

1 Inleiding 51.1 Fluıda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Coordinaat-systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Materiele afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Kinematica 92.1 Behoud van massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Stroomfunctie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Snelheidsveld, locaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 vervormingssnelheidstensor, eij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 rotatietensor, ξij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Snelheidsveld, globaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4.1 volume expansie, ∆, gegeven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 vorticiteit, ω, gegeven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Dynamica 233.1 Behoud van impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1 materiele integralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2 impulswet in differentiaalvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3 behoud van impuls in integraalvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 De spanningstensor σij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Bewegingsvergelijking en randvoorwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4 Stromingen zonder wrijving: potentiaalstromingen 324.1 Euler-vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.2 Rotatievrije stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3 Algemene eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.4 Drie-dimensionale potentiaalstromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4.1 stroming uit een vat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.2 parallel stroming rond een bol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.3 bol, voortbewegend in een oneindig medium . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.5 Complexe functietheorie voor twee-dimensionale potentiaalstromingen . . . . . 444.5.1 analytische functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5.2 complexe potentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.5.3 Blasius-theorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5.4 Cauchy integraal theorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1

4.6 Twee-dimensionale potentiaalstromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.1 parallel stroming rond een cilinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.6.2 stroming rond een cilinder met circulatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.6.3 Conforme transformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.6.4 Stroming rond een vlakke plaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Thermodynamica 595.1 Behoud van energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.3 Energie-integraal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6 Stromingen met wrijving 656.1 De Navier-Stokes vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.2 Exacte oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2.1 een-dimensionale stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2.2 cirkel-stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2.3 Andere exacte oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Het Reynoldsgetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.4 R 1, Stokes-stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6.4.1 smeringstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766.4.2 Hele-Shaw stromingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.4.3 percolatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.5 Stokes-stroming voor een bol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.6 Oseen benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.7 R 1, grenslaagstromingen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.7.1 Vorticiteitsdynamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.7.2 Grenslaag langs een vlakke plaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

A Notaties en rekenregels 96

B Kromlijnige coordinaten. 99B.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99B.2 Cilinder-coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102B.3 Bol-coordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

2

Voorwoord

In dit college worden basisbegrippen uit de stromingsleer behandeld op een fundamentelemanier. Als zodanig vormt dit college het uitgangspunt voor de voortgezette colleges stro-mingsleer, die door de vakgroep Stromingsleer gegeven worden.

Het college is gebaseerd op het boek van G.K. Batchelor, dat als het beste moderne leerboekop het gebied van de stromingsleer beschouwd wordt. Het wordt dan ook sterk aanbevolen ditboek aan te schaffen:

G.K. BatchelorAn Introduction to Fluid DynamicsCambridge University Press, 1967.

Dit dictaat is slechts te beschouwen als een verzameling van uitgewerkte college aantekenin-gen en voor verdere toelichting en verdieping van de stof wordt naar het boek van Batchelorverwezen. Uit dit boek zullen in volgorde van behandeling de volgende hoofdstukken en sectiesaan de orde komen

1.1 1.2 2.1 appendix 22.2 2.32.4 2.5 2.63.1 3.2 3.3 (1.3, 1.4)3.3 (1.9) 2.7 6.16.2 6.3 6.8 (6.4, 6.10)6.5 (2.7) 6.63.4 (1.5) 3.5 4.14.2 4.3 4.5 (4.6)4.7 4.8 4.94.12 5.1 (5.2) 5.3 5.45.5 5.7 5.8 (5.9) 5.10 5.11 5.12

Daarnaast zijn in een appendix enige vraagstukken ter oefening tezamen met de antwoordenopgenomen. Deze vraagstukken zijn in het algemeen verre van eenvoudig en vergen vaakuitgebreid rekenwerk. Ze dienen dan ook ter verdieping van de college stof en ze zijn niet tebeschouwen als voorbeelden van tentamen vraagstukken.

Bovendien kan bij de bestudering de hiernavolgende literatuur geraadpleegd worden, waar-bij in het bijzonder het boek van Prandtl en Tietjens wordt aanbevolen.

Tenslotte wil ik vermelden dat aan het tot stand komen van dit dictaat is meegewerkt doorFons Alkemade.

3

Literatuur

L. Prandtl and O.G. Tietjens. Fundamentals of Hydro- and Aerodynamics, Dover Publica-tions, Inc., New York, 1957.

L.D. Landau and E.M. Lifshitz. Fluid Mechanics. Vol. 6. Course of Theoretical Physics.Pergamon Press, 1984

L.M. Milne-Thomson. Theoretical Hydrodynamics. Mac-Millan, 1974.

I. Shames. Mechanics of Fluids. McGraw-Hill, 1962.

R.L. Panton Incompressible Flow. John Wiley, 1984.

4

Chapter 1

Inleiding

1.1 Fluıda

Vloeibare media ofwel fluıda omvatten een groot aantal vloeibare stoffen, die voor vele toepassin-gen belangrijk zijn. Allereerst hebben we de standaard fluıda, waaronder we gassen zoals luchten vloeistoffen zoals water verstaan. Het toepassingsgebied van deze standaard fluıda is bi-jvoorbeeld: de luchtvaart, meteorologie, industrie, hydronautica en oceanografie. Daarnaasthebben we de bijzondere fluıda, die meestal gekenmerkt worden door bijzondere eigenschap-pen. Voorbeelden zijn bloed met als toepassingsgebied de biologische stromingsleer; olie inbijvoorbeeld warmtewisselaars en lagers; metalen tijdens gietprocessen en in de kern van deaarde en tenslotte plasma’s, die in de astrofysica en de kernfysica hun toepassing hebben.

Hoe kunnen we nu een vloeibaar medium in het algemeen karakteriseren? Hiertoe makenwe gebruik van het feit dat fluıda geen gegeven vorm hebben in tegenstelling tot de vaste media.Een meer kwantitatieve uitspraak is, dat voor een blijvende vervorming van een vast mediumeen continue kracht moet worden uitgeoefend. Fluıda hebben geen vaste vorm en we hoevendus geen kracht uit te oefenen om een vloeistof in rust in een willekeurige vorm te houden.Hierbij bedoelt men met vorm het reservoir waarin de vloeistof zich bevindt. Daarentegenbiedt een fluıdum wel weerstand aan een verandering van vorm.

Onder eenvoudige fluıda (simple fluids) verstaan we nu alle vloeibare media die de eigen-schap hebben dat krachten alleen samenhangen met vormveranderingen. Sommige fluıda com-bineren de eigenschappen van vaste en vloeibare media. Een voorbeeld is de klasse van visco-elastische vloeistoffen en de bestudering ervan vormt het terrein van de reologie.

De term vloeibaar medium hebben we hierboven gebruikt voor zowel vloeistoffen als gassen.Dit suggereert dat we deze twee media, die moleculair gezien totaal verschillend zijn, binnende stromingsleer op dezelfde wijze kunnen beschrijven. De achtergrond hiervan wordt gevormddoor de zogenaamde continuum-hypothese. We definieren namelijk elke fluidumeigenschap,zoals dichtheid, druk of snelheid, als een gemiddelde over een klein volume δV . Neem alsvoorbeeld de snelheidscomponent u in de x-richting. Dan volgt

u =1δV

∫ ∫ ∫δVu dV (1.1)

waarin u de locale snelheid is in elk punt van de ruimte. Het gedrag van u als functie van δVis geillustreerd in figuur 1.1. In deze figuur stelt λ de karakteristieke moleculaire schaal voor(bijvoorbeeld de vrije weglengte tussen gasmoleculen) en L de karakteristieke schaal van destroming. Als δV zeer klein is (δV ' λ3) dan zien we als het ware de bijdrage van individuele

5

Figure 1.1: Continuum-hypothese

moleculen en als gevolg zal de u sterk varieren als functie van δV . Als de δV van de ordevan de geometrie van ons stromingsprobleem wordt (δV ' L3), zal de u ook gaan varieren alsfunctie van δV , omdat nu de ruimtelijke snelheidsverschillen hun invloed doen gelden. Tussendeze twee limieten ligt in de meeste gevallen een gebied waarin de u nauwelijks een functie vanδV is. De continuum-hypothese definieert nu de snelheid in elk punt als het gemiddelde overeen dergelijk ”tussen”-volume δV , dat ook wel een vloeistofelement wordt genoemd. Hiermeewordt dus het effect van de moleculaire structuur op de snelheid uitgemiddeld. Tevens zijnhiermee de stromingsgrootheden op elke punt in de ruimte gedefinieerd als continue functies,zodat we zonder probleem differentiaal-operatoren kunnen toepassen.

Het zal echter duidelijk zijn dat gassen en vloeistoffen in sommige opzichten andere eigen-schappen zullen hebben als gevolg van het verschil in moleculaire structuur. Een gas is bijvoor-beeld comprimeerbaar terwijl een vloeistof als vrijwel incompressibel beschouwd mag worden.Daarnaast is de moleculaire structuur van belang bij uitwisselingsprocessen, die op moleculaireschaal plaatsvinden. Voorbeelden zijn warmteoverdracht en wrijving. In een gas liggen demoleculen op grote afstand van elkaar en oefenen alleen invloed op elkaar uit via botsingen. Invloeistoffen daarentegen liggen de moleculen vrijwel naast elkaar en beınvloeden elkaar recht-streeks via de intermoleculaire krachten. Als de temperatuur stijgt, wordt de impuls van demoleculen in een gas groter en de uitwisseling via botsingen zal toenemen. De intermoleculairekrachten nemen bij een toename van de temperatuur juist af. Dit betekent dat de wrijv-ingscoefficient van een gas zal toenemen maar de wrijvingscoefficient van een vloeistof juist zalafnemen als functie van de temperatuur.

1.2 Coordinaat-systemen

Er zijn twee methoden om een stroming te beschrijven: Lagrangiaans en Euleriaans. In heteerste geval gaat men uit van een vloeistofelement δV , die men op zijn weg door de stromingvolgt. Stel we markeren het vloeistofelement met een label a. X(a, t) geeft dan de plaatsvan het vloeistofelement op tijdstip t. Als functie van t stelt X(a, t) dan de baankromme oftrajectorie voor die het vloeistofelement als functie van de tijd door de stroming beschrijft. De

6

snelheid van het vloeistofelement is per definitie:

V =dX

dt. (1.2)

De vector a, waarmee we het vloeistofdeeltje identificeren, is in principe willekeurig tekiezen maar in veel gevallen wordt hiervoor de beginpositie van het deeltje op tijdstip t = t0genomen. Als a over de gehele ruimte varieert, die de vloeistof op t0 inneemt, vinden we metbehulp van X(a, t) een beschrijving van het volledige stromingsveld als functie van de tijd.

In de Lagrangiaanse beschrijving zijn a en t de onafhankelijke coordinaten en de baankrommeX(a, t) de afhankelijke variabele. We gebruiken dan ook een hoofdletter om deze baankrommete onderscheiden van een positie in ons coordinatenstelsel, die we met x aangeven.

In de Euleriaanse beschrijvingswijze schrijven we het snelheidsveld voor in de vorm van eenvectorveld u(x, t). Dit betekent dat we op elk tijdstip en op elke plaats de snelheidsvector ugeven. In dit geval zijn dus x en t de onafhankelijke coordinaten.

Het verband tussen de Lagrangiaanse en de Euleriaanse beschrijvingswijze volgt uit:

dX (a, t)dt

= u(x = X, t). (1.3)

Dit betekent dia de snelheid van een vloeistofelement ter plaatse x op tijdstip t gelijk moetzijn aan de waarde u(x, t).

Praktisch gezien heeft de Euleriaanse beschrijvingswijze de voorkeur. Als we een meetinstru-ment op een vaste plaats in een stroming zetten meten we immers een Euleriaanse snel-heid. De Lagrangiaanse beschrijvingswijze heeft voordelen als we de beweging van individuelevloeistofdeeltjes moeten volgen, bijvoorbeeld in verspreidingsproblemen.

Gekoppeld aan een Euleriaans referentiesysteem kunnen we nog enkele begrippen definieren,die we verderop zullen gebruiken.

• Stationair. De snelheid wordt gegeven door u(x). Dat wil zeggen dat het snelheidsveldgeen functie is van de tijd.

• Stroomlijn. Dit is een lijn die op elk punt aan de snelheidsvector raakt. De vergelijkingvan een stroomlijn luidt dan ook:

dx1

u1=dx2

u2=dx3

u3. (1.4)

In het algemeen zijn de stroomlijn en de trajectorie X(t) niet identiek. Voor een station-aire stroming is dit wel het geval.

• Stroombuis. Dit is een buis in de stroming, waarvan de wanden door stroomlijnengevormd worden.

• Twee-dimensionaal. Het snelheidsveld is invariant voor een translatie langs een lijn. Ditbetekent dat de stroming zich afspeelt in het vlak loodrecht op deze lijn.

7

1.3 Materiele afgeleide

Wij hebben hierboven gezegd dat de Euleriaanse beschrijvingswijze het meest gebruikt wordtin de praktijk. Toch willen we in dit Euleriaanse referentie-systeem de eigenschappen vanindividuele vloeistofelementen volgen. Beschouw hiertoe de functie G(x, t), die gedefinieerd isals een continu differentieerbare functie van de coordinaten, x, t. Kortom de partiele afgeleidenvan G bestaan. We interpreteren G als de eigenschap van een vloeistofelement ter plaatsex = X , met als voorbeelden de dichtheid, temperatuur of snelheid. We willen de veranderingvan G als functie van de tijd uitrekenen langs de baan (X(t)) die het vloeistofelement door destroming beschrijft. Dit noemen we de materiele afgeleide en de notatie ervan luidt ∂G/∂t.Hoe kunnen we deze materiele afgeleide uitrekenen in een Euleriaans coordinaten systeem? Webeschouwen hiertoe de totale differentiaal van G(x, t):

dG

dt=∂G

∂t+dxi

dt

∂G

∂xi. (1.5)

Vervolgens beperken we ons tot de afgeleide langs de baan van een vloeistofelement: dat wilzeggen voor xi = X i(t). Met behulp van (1.3) volgt dan voor de materiele afgeleide in vectoren cartesische tensor notatie:

DG

Dt=

∂G

∂t+ (u · grad)G (1.6)

DG

Dt=

∂G

∂t+ ui

∂G

∂xi. (1.7)

Voor een eigenschap G van een vloeistofelement, die niet verandert langs de baankrommevolgt dus direct de vergelijking

DG

Dt= 0. (1.8)

In dit geval wordt G een materiele grootheid genoemd. Een voorbeeld is het scheidingsvlaktussen twee media.

8

Chapter 2

Kinematica

2.1 Behoud van massa

We gaan verder met de beschrijving van een vectorveld met als voorbeeld het snelheidsveldu(x, t). Dit veld moet aan een aantal voorwaarden voldoen en de formulering van deze voor-waarden wordt ook wel kinematica genoemd. Een voorbeeld daarvan is behoud van massa endeze voorwaarde kunnen we als een eerste bewegingsvergelijking interpreteren.

Beschouw een vast (dat wil zeggen niet meebewegend met de stroming) volume V, datomsloten wordt door een oppervlak A, waarop n als buitennormaal gedefinieerd is (figuur 2.1).

Behoud van massa impliceert dat de verandering van de massa in V gelijk is aan de nettomassaflux door A, als we er tenminste vanuit gaan dat er geen bronnen in V aanwezig zijn. Invergelijkingsvorm luidt dit

∂M

∂t≡ ∂

∂t

∫ ∫ ∫Vρ dV

= −∫ ∫

Aρ u · ndA (2.1)

waarin ρ de dichtheid van het medium is. Het minteken in (2.1) hangt samen met onzetekenconventie voor n, namelijk de buitennormaal wordt positief genomen. Vergelijking (2.1)wordt de wet van behoud van massa in integraalvorm genoemd.

Figure 2.1: Illustratie van de geometrie van het volume V

9

Met het Gauss-divergentie theorema (A.9) volgt∫ ∫ ∫

V

∂ρ

∂tdV = −

∫ ∫ ∫V

div(ρu) dV. (2.2)

Omdat deze relatie voor een willekeurig volume V moet gelden volgt met gebruikmaking van(1.6)

∂ρ

∂t+ div(ρu) = 0,

Dρ

Dt+ ρ div u = 0. (2.3)

Deze vergelijkingen, die ook wel de continuiteitswet genoemd worden, geven behoud van massain differentiaalvorm.

Op basis van (2.3) kunnen we een eenvoudige interpretatie geven van het divergentie begrip.Beschouw een vloeistofelement δV (denk aan de continuum-hypothese) met een massa δM .Behoud van massa voor dit vloeistofelement luidt

DδM

Dt= 0. (2.4)

We volgen het element op zijn weg door de stroming. Daarom gebruiken we in bovenstaandevergelijking de materiele afgeleide.

Voor de massa δM kunnen we schrijven δM = ρδV , waarin δV het volume van het elementis. Na substitutie in (2.4) en na gebruikmaking van (2.3) volgt

div u =1δV

D δV

Dt≡ ∆. (2.5)

Met andere woorden de divergentie van het snelheidsveld is de relatieve volume verandering,∆, die een vloeistofelement ondergaat.

We kunnen nu een belangrijke vereenvoudiging aanbrengen. We stellen namelijkDρ/Dt = 0ofwel de dichtheid van een vloeistofelement verandert niet op zijn weg door de stroming. Eendergelijke stroming noemen we incompressibel en uit (2.3) volgt meteen dat in dit geval decontinuiteitswet reduceert tot

div u = 0. (2.6)

Een snelheidsveld die aan deze voorwaarde voldoet noemt men solenoidaal. De wet van behoudvan massa reduceert dus tot een kinematische voorwaarde voor het snelheidsveld.

We hebben hierboven alleen gesteld dat ρ voor elk vloeistofelement constant blijft. Inprincipe kan de ρ nog wel een functie van de plaats zijn. Een stroming, waarvoor dit het gevalis, noemen we heterogeen of gestratificeerd. In dit dictaat zullen we echter ook veronderstellendat naast Dρ/Dt = 0 ook geldt dat ρ 6= f(x, y, z) ofwel het medium is homogeen. In dat gevalis ρ een constante door het gehele stromingsveld onafhankelijk van de tijd.

In de praktijk blijkt Dρ/Dt = 0 een zeer goede benadering te zijn voor stromingen vanzowel gassen als vloeistoffen, mits de snelheden niet te hoog worden (dat wil zeggen de snelheidmoet veel lager blijven dan de geluidssnelheid).

10

Figure 2.2: Interpretatie van de waarde van ψ

2.2 Stroomfunctie

De voorwaarde (2.6) kunnen we in een aantal gevallen direct oplossen door het snelheidsveldte koppelen aan een scalaire functie.

Laten we ons allereerst beperken tot een twee-dimensionaal snelheidsveld als functie vande Cartesische coordinaten x en y. Definieer een functie, ψ, die voldoet aan

u =∂ψ

∂y, v = −∂ψ

∂x. (2.7)

Door substitutie is eenvoudig af te leiden dat (2.7) voldoet aan (2.6) mits uiteraard ψ tweemaaldifferentieerbaar is.

Deze functie ψ wordt de stroomfunctie genoemd en dit suggereert dat de lijn ψ = constanteen stroomlijn is. Dit laatste resultaat volgt uit de identiteit u · grad(ψ) = 0, die met behulpvan (2.7) bewezen kan worden.

De waarde van de stroomfunctie ψ kan alsvolgt geınterpreteerd worden. Beschouw tweevaste punten O en P in het stromingsveld (zie figuur 2.2). Het volume transport Q door eenlijn die de punten O en P verbindt luidt

Q = −∫ P

Ou · nd` (2.8)

waarin n de normaal op het lijnstuk is zoals aangegeven is in figuur 2.2. Het minteken is eenconventie volgens welke Q positief wordt gerekend als deze een richting heeft, die tegen dewijzers van de klok rond P gaat. Door de integrand in (2.8) te ontbinden in de componentenlangs de x− en y−as en onder gebruikmaking van (2.7) volgt

Q = −∫ P

O(unx + vny)d`

=∫ P

O(u dy − v dx)

=∫ P

Odψ = ψ(P )− ψ(O). (2.9)

11

Dit resultaat is onafhankelijk van de keuze van de verbindingslijn tussen P en O.We hebben dus gevonden dat het verschil van ψ tussen twee punten gelijk is aan het

transport door een willekeurige verbindingslijn tussen deze punten. Het volgt direct dat ditverschil niet verandert als de positie van P en O varieert langs de stroomlijnen door dezepunten. Met andere woorden het volume transport tussen twee stroomlijnen is constant. Vandit resultaat kunnen we gebruik maken als we een isolijnenplot van ψ bestuderen. Namelijk,naast het feit dat de lijnen ψ = constant stroomlijnen zijn en dus de richting van de snelheidgeven, volgt dat de afstand tussen de stroomlijnen een maat is voor de grootte van de snelheid.Immers beschouw twee dicht bij elkaar gelegen stroomlijnen ψ en ψ + dψ. Er volgt dan voorhet transport tussen deze stroomlijnen: dψ = constant ∼ qε, waarin q de snelheid langs destroomlijnen is en ε de afstand tussen deze lijnen. We vinden dus ε ∼ 1/q waarmee bewezen isdat de afstand tussen de stroomlijnen een maat voor de snelheid is.

Het begrip stroomfunctie kan worden uitgebreid naar andere, quasi-twee dimensionale ge-ometrieen, zoals rotatie- of axisymmetrische stromingen. We nemen als voorbeeld een stromingin de cilinder-coordinaten: x, σ, φ. Axisymmetrie impliceert ∂ /∂φ = 0. De continuiteitswet(2.6) wordt in dit geval

1σ

∂ (σv)∂σ

+∂u

∂ x= o (2.10)

waarin u de snelheidscomponent langs de x−as is en v de component langs de σ−as (zieappendix B).

De ψ(σ, x) voor deze geometrie moet voldoen aan

u =1σ

∂ψ

∂σ, v = − 1

σ

∂ψ

∂ x(2.11)

en wordt de Stokes stroomfunctie genoemd. De interpretatie is vergelijkbaar met de stroom-functie voor de twee-dimensionale Cartesische geometrie. Echter de afstand tussen twee stroom-lijnen kan niet meer als een directe maat voor de snelheid genomen worden.

Tenslotte, voor een bol-coordinaten systeem r, θ, φ met de snelheidscomponenten ur, uθ, uφ

(zie appendix B) volgt voor de stroomfunctie, ψ(r, θ), in een axisymmetrische geometrie(∂ /∂φ = 0)

ur =1

r2 sin θ∂ψ

∂θ

uθ = − 1r sin θ

∂ψ

∂r. (2.12)

2.3 Snelheidsveld, locaal

In de voorgaande secties hebben we een soort globale beschrijving van het stromingsveldgegeven met behulp van een stroomfunctie, die als een integraal van (2.6) te beschouwenis. Nu gaan we de locale snelheidsvariaties in de buurt van een punt bestuderen. Het doel isom inzicht te krijgen in de diverse vervormingen, die met een snelheidsveld samenhangen. Ineen later stadium zullen we deze vervormingen dan in verband gaan brengen met spanningen.

Beschouw de dicht bij elkaar gelegen materiele punten x en x + δx. In deze punten is desnelheid respectievelijk u en u+ δu (zie figuur 2.3). De δu stelt dus de relatieve beweging vande twee punten ten opzichte van elkaar voor. Op basis van een eerste orde Taylor ontwikkeling

12

Figure 2.3: Snelheidsvariatie in twee dicht bij elkaar gelegen punten

volgt

δui =∂ui

∂ xjδxj

=12(∂ui

∂ xj+∂uj

∂ xi)δxj +

12(∂ui

∂ xj− ∂uj

∂ xi)δxj

= (eij + ξij)δxj. (2.13)

De eij is een symmetrische en de ξij is een antisymmetrische tensor van de tweede orde. Webeschouwen nu achtereenvolgens de beide tensoren in detail.

2.3.1 vervormingssnelheidstensor, eij

Het symmetrische deel van (2.13) wordt de vervormingssnelheidstensor genoemd. Een inter-pretatie van de diverse termen in eij is het eenvoudigst te geven aan de hand van de vervormingvan het materiele lijnstuk δxi dat beide punten in figuur 2.3 verbindt.

Als we veronderstellen dat δxi in een eerste benadering recht blijft, dan volgt dat de ve-randering van δxi als functie van de tijd gelijk is aan het verschil van de snelheden tussen detwee eindpunten ofwel

D δxi

Dt= ui(x+ δx)− ui(x) ≡ δui

=∂ui

∂ xjδxj . (2.14)

Beschouw eerst de diagonaal elementen van de tensor eij : e11 = ∂u/∂x, e22 = ∂v/∂y ene33 = ∂w/∂z. Met behulp van (2.14) vinden we dan

∂u

∂x=

1δx

Dδx

Dt∂v

∂y=

1δy

Dδy

Dt(2.15)

∂w

∂x=

1δz

Dδz

Dt.

13

Figure 2.4: Hoekverdraaiing tussen twee materiele lijnstukken

Met andere woorden de diagonaal componenten van eij geven de reksnelheid van de materielelijnstukken langs de coordinaat assen. Terzijde merken we op dat we met dit resultaat ook derelatie (2.5) kunnen afleiden. Immers eii ≡ ∂ui/∂xi ≡ div(u) = ∆. De som van de diagonaalcomponenten van de tensor eij , die bekend staat als het spoor, geeft dus de volume verandering.

Vervolgens beschouwen we de niet-diagonaal componenten van eij . Wegens de symmetriezijn er slechts drie onafhankelijk. Neem als voorbeeld e12 = e21 = 1

2(∂u/∂y + ∂v/∂x). Ditkunnen we interpreteren als de hoekverdraaiing tussen twee lijnstukken, die aanvankelijk langsde x− en de y−as georienteerd zijn. Dit is geillustreerd in figuur 2.4. De hoekverdraaiingvan een lijnstuk dat langs de x−as georienteerd is luidt Dϕ2 = ∂v/∂x en voor een lijnstuklangs de y−as volgt Dϕ1 = ∂u/∂y. De hoekverdraaiing van de ingesloten hoek γ waarbijγ = 90 − φ1 − φ2, wordt dan Dγ/Dt = −2e12.

We hebben reeds genoemd dat eij een symmetrische tensor is. Een bekend resultaat uit detensoralgebra luidt dat het in dit geval mogelijk is om een coordinatensysteem te vinden waarinde niet-diagonaal componenten van eij gelijk aan nul zijn. Dit noemt men de hoofdassen. Dusde enige vervormingen die in dit assenstelsel overblijven zijn de lengteveranderingen langs decoordinaat assen, die de hoofdcomponenten worden genoemd.

Kortom de tensor eij kunnen we interpreteren als pure lengteveranderingen (expansie/com-pressie) in de richtingen van de hoofdassen. Voor andere coordinaat-systemen hebben we duseen combinatie van lengteverandering en hoekverdraaiing.

2.3.2 rotatietensor, ξij

De anti-symmetrische tensor ξij heeft slechts drie onafhankelijke componenten. Het is daarommogelijk deze tensor uit te drukken met behulp van een vector ωk. We stellen

ξij = −12εijk ωk, (2.16)

die voldoet aan de eigenschap van anti-symmetrie.Dit betekent dat het anti-symmetrische deel van δui volgens (2.13) alsvolgt geschreven kan

worden

δuai = −1

2εijk δxj ωk

=12εijk ωj δxk

=12ω × δx. (2.17)

14

Dit betekent dat δuai te interpreteren is als een starre rotatie van de twee punten in figuur 2.3

ten opzichte van elkaar met hoeksnelheid 12ω. Met andere woorden 1

2ω geeft de rotatie snelheidvan een vloeistofelement.

De volgende vraag luidt: hoe hangt ω met het snelheidsveld samen? Daartoe berekenenwe de expressie εmji ξij. Als we gebruikmaken van de vergelijking (A.5) volgt

ωk = εkji∂ui

∂xj. (2.18)

We hebben dus gevonden dat ω gelijk is aan de rotatie van het snelheidsveld gedefinieerdvolgens (A.8). Hiermee hebben we dus tevens de interpretatie voor de rotatie gevonden alstweemaal de locale hoeksnelheid van een vloeistofelement.

Deze grootheid zullen we in het hiernavolgende tegen komen onder de naam van wervelingof vorticiteit.

Laten we terugkeren naar het begin van deze sectie namelijk vergelijking (2.13).Op basis van de resultaten uit bovenstaande subsecties volgt dat we een snelheidsveld in

de buurt van een punt x kunnen schrijven als de som van een drietal bijdragen

ui(x+ δx) = ui(x) + eij δxj +12εijk ωj δxk. (2.19)

Naast de eerste term aan de rechterhand van (2.19), die een translatie voorstelt, hebbenwe gezien dat de tweede term een vervormingssnelheid voorstelt en de derde term een starrerotatie. De bijdrage tengevolge van vervorming kunnen we nog onderverdelen in

eij δxj = 13∆ δij + (eij − 1

3∆ δij) δxj (2.20)

Het eerste gedeelte is een isotrope volume-verandering, dat wil zeggen in alle richtingen zijn delengte-veranderingen gelijk. Het tweede gedeelte stelt een afwijking van deze isotrope volumeverandering voor en is dus te beschouwen als een pure vervorming met behoud van volume(bedenk dat δii = 3).

2.4 Snelheidsveld, globaal

We hebben gezien dat we een snelheidsveld locaal kunnen splitsen in een vervormingscompo-nent (eij) en een rotatiecomponent (ξij). We keren nu dit resultaat om. Gegeven de vervormingen de rotatie, kunnen we dan het snelheidsveld construeren?

We zullen het probleem enigszins vereenvoudigen. Stel dat we geven

∆ = div(u) (2.21)ω = rot(u) (2.22)

waarmee we dus de volume-expansie en de rotatie van een snelheidsveld voorschrijven. Inhoeverre ligt hiermee het snelheidsveld vast?

Geinspireerd door (2.19) stellen we

u = ue + uv + v (2.23)

15

waarin

∇ · ue = ∆, ∇× ue = 0 (2.24)∇ · uv = 0, ∇× uv = ω (2.25)∇ · v = 0, ∇× v = 0. (2.26)

Dit resultaat wordt ook wel de Helmholtz decompositie genoemd. In deze ray Dit resultaatwordt ook wel de Helmholtz decompositie genoemd. In deze sectie zullen we ons richten opue, die dus wordt bepaald door een isotrope volume-expansie ∆ en op uv,die volgt uit devorticiteitsdistributie ω. De component v is te beschouwen als een soort restterm, die deniet-isotrope vervormingen beschrijft. In hoofdstuk 4 zullen we zien dat deze laatste bijdragevolledig wordt vastgelegd door de voorwaarden op de rand van ons stromingsgebied.

2.4.1 volume expansie, ∆, gegeven

We kunnen aan ∇ × ue = 0 voldoen door te stellen dat ue = ∇Φe, waarin Φe een potentiaalwordt genoemd. Substitutie in ∇ · ue = ∆ resulteert in de volgende vergelijking

∇2Φe = ∆. (2.27)

Dit is een zogenaamde Poissonvergelijking en de formele oplossing in drie dimensies luidt

Φe(x) = − 14π

∫ ∫ ∫V

∆(x′)s

dV ′ (2.28)

waarin s = (x−x′)2 +(y−y′)2 +(z− z′)21/2 de afstand tussen x en x′ is en dV ′ = dx′dy′dz′.Het snelheidsveld volgt dan uit

ue ≡ ∇Φe =14π

∫ ∫ ∫V

s

s3∆(x′)dV ′ (2.29)

waarin s de verbindingsvector tussen x′ en x is .In twee dimensies luidt de oplossing van (2.27)

Φe(x) =12π

∫ ∫V

ln(σ)∆(x′)dV ′ (2.30)

met σ = (x− x′)2 + (y − y′)21/2 en dV ′ = dx′dy′. Voor het snelheidsveld volgt dan

ue ≡ ∇Φe =12π

∫ ∫V

σ

σ2∆(x′)dV ′. (2.31)

Als voorbeeld beschouwen we een aantal speciale configuraties van ∆. Stel dat ∆(x) alleenongelijk aan nul is in een volume δV rond de oorsprong van ons assenstelsel en gelijk aan nuldaarbuiten. Vervolgens beschouwen we de limiet δV → 0 zodanig dat ∆(x) δV = m. Metandere woorden we beschouwen een punt-singulariteit ∆(x) = mδ(x), waarin δ(x) de Diracdeltafunctie is. Substitutie in (2.28) en (2.29) leidt tot

Φe = − m

4πr(2.32)

ue ≡ ∇Φe =mr

4πr3. (2.33)

16

Figure 2.5: Bronstroming

Figure 2.6: Dipoolstroming

Deze stroming stelt een puntbron in de oorsprong voor met sterkte m, met m > 0 voor een bronen m < 0 voor een put (zie figuur 2.5). De vergelijkingen (2.32) en (2.33) kunnen gemakkelijkgegeneraliseerd worden voor een willekeurige positie van de bron in het assenstelsel.

Uit (2.30) en (2.31) volgt voor een puntbron in twee dimensies

Φe =m

2πln r (2.34)

ue ≡ ∇Φe =mr

2πr2. (2.35)

Een bronstroming is axisymmetrisch en er bestaat dus een Stokes-stroomfunctie. Dezeluidt

ψe = −m cos θ4π

(2.36)

voor drie dimensies enΨe =

mθ

2π(2.37)

voor twee dimensies. Er volgt dus dat stroomlijnen in dit geval rechte lijnen vanuit de oorsprongzijn.

De bronstroming is de zogenaamde fundamentele oplossing van de Poissonvergelijking(2.27). We kunnen nu de oplossing voor een willekeurige distributie van ∆x vinden doorbronstromingen te superponeren. Als voorbeeld beschouwen we de dipoolstroming. Dit is eenbron op afstand 0.5δx en een put op afstand −0.5δx van de oorsprong (zie figuur 2.6). Webeschouwen nu de limiet voor δx→ 0 met als voorwaarde

limδx→0

mδx = µ (2.38)

17

waarin µ de zogenaamde dipoolvector voorstelt, die dus de richting heeft van de bron naar deput. Met behulp van (2.32) en (2.34) volgt in de limiet δx→ 0

Φe =µ

4π· ∇(

1r) (2.39)

voor drie dimensies enΦe = − µ

2π· ∇(ln r) (2.40)

voor twee dimensies. Dit wordt een dipoolstroming genoemd.Neem als voorbeeld een dipoolvector µ die langs de x−as gericht is. De vergelijkingen

(2.39) en (2.40) reduceren in dit geval tot

Φe = − µx

4πr3(2.41)

enΦe = − µx

2πr2. (2.42)

De dipoolstromingen (2.41) en (2.42) zijn axisymmetrisch rond de x−as. De bijbehorendestroomfuncties luiden

ψ =µ sin2 θ

4πr(2.43)

voor drie dimensies enψ =

µ sin θ2πr

(2.44)

voor twee dimensies, waarin θ gedefinieerd volgens figuur 2.5.

2.4.2 vorticiteit, ω, gegeven

We beschouwen vervolgens de uv component van (2.23), die moet voldoen aan de vergelijkingen(2.25). Aan de eerste vergelijking (∇ · uv = 0) kunnen we voldoen met de keuze

uv = ∇×Bv (2.45)

waarin Bv de vectorpotentiaal wordt genoemd. Merk op dat Bv nooit eenduidig bepaald kanzijn, want B′v = Bv + grad Φ met Φ een willekeurige functie voldoet ook aan (2.45).

Substitueer (2.45) nu in de tweede vergelijking (∇ × uv = ω) van (2.25) en maak gebruikvan (A.19). We kiezen Bv zodanig dat voldaan is aan ∇ · Bv = 0 hetgeen we altijd kunnenbewerkstelligen door aan Bv de gradient van een scalaire functie toe te voegen. Er volgt dandat Bv voldoet aan de volgende vergelijking

∇2Bv = −ω. (2.46)

Dit is weer een Poisson-vergelijking en overeenkomstig (2.28) kunnen we voor de fundamenteleoplossing schrijven

Bv(x) =14π

∫ ∫ ∫V

ω(x′)s

dV ′ (2.47)

18

Figure 2.7: Wervellijn en wervelbuis

waarbij we dezelfde notatie voor s en dV gebruikt hebben als in (2.28). Voor het snelheidsveldvolgt dan

uv ≡ ∇×Bv

=14π

∫ ∫ ∫V∇x × ω(x′)

s dV ′ (2.48)

= − 14π

∫ ∫ ∫V

s× ω

s3dV ′.

Het heeft in dit geval geen zin om over twee dimensionale oplossingen te spreken omdat derotatie, ω = ∇× u, alleen bestaat in de drie dimensionale ruimte.

Voordat we enige speciale vorticiteitsverdelingen gaan beschouwen introduceren we eersteen aantal definities. Tevens zullen we zien dat de vorticiteitsverdeling niet willekeurig gekozenkan worden maar dat deze aan een aantal voorwaarden moet voldoen.

Ten eerste introduceren we het begrip wervellijn als de lijn die overal raakt aan de vor-ticiteitsvector ω (zie figuur 2.7). Dit is dus een lijn die vergelijkbaar is met de stroomlijn uitsectie 1.2. Een wervelbuis is een buis waarvan de wanden gevormd worden door wervellijnen,zoals geıllustreerd wordt in figuur 2.7. De sterkte van een wervelbuis is per definitie

κ =∫ ∫

Aω · n dA (2.49)

waarin A een willekeurige dwarsdoorsnede is die de wervelbuis doorsnijdt en n is de normaalop A. De richting van de normaal kiezen we evenwijdig aan de richting van ω in de wand vande wervelbuis. De doorsnijding van A met de wervelbuis levert een gesloten kromme Γ op.

Er kan nu worden bewezen dat de sterkte κ constant blijft langs de wervelbuis. Dit resultaatvolgt door toepassing van de voorwaarde (A.15), volgens welke de divergentie van de rotatiegelijk aan nul is, in het divergentie-theorema (A.9). Voor het integratie volume in (A.9) kiezenwe het volume omsloten door de twee doorsneden A1 en A2 (figuur 2.7) en de wand van dewervelbuis. Omdat op de wand van de wervelbuis geldt ω ·n = 0, volgt direct (2.49), waarbij wenog rekening dienen te houden met het verschil tussen de buitennormaal, die in (A.9) gebruiktwordt, en de richting van de normaal op A1 en A2 volgens figuur 2.7.

19

Figure 2.8: Lijnwervel

Uit dit resultaat, κ = constant, volgt dat een wervelbuis en daarmee ook een wervellijnniet kan eindigen in het inwendige van een stroming.

Met behulp van het Stokes-theorema (A.11) kunnen we de sterkte van de wervelbuis ookuitdrukken in een kringintegraal rond de gesloten kromme Γ, die de wervelbuis omsluit. Hetresultaat luidt

κ =∮Γu · ds. (2.50)

Op basis hiervan wordt κ ook wel de circulatie genoemd. (Let op dat de integratie-richtingrond Γ en de richting van n op A voldoen aan een rechtsdraaiende kurketrekkerregel.)

De bovenstaande resultaten suggereren dat een vorticiteitsdistributie kan worden opge-bouwd uit dunne wervelbuizen, die niet in het inwendige van de stroming kunnen eindigen.Dit betekent dat deze wervelbuizen ofwel oneindig uitgestrekt ofwel in zichzelf gesloten zijn.Laten we een aantal speciale configuraties wat nader beschouwen.

Als eerste nemen we de lijnwervel. In dit geval is alle vorticiteit geconcentreerd in eendunne buis, die in de limiet voor δA → 0 overgaat in een lijn (zie figuur 2.8). In deze limietgeldt

limδA→0

ω δA = κn (2.51)

waarin n de eenheidsvector langs de lijn is. Buiten de wervellijn is de vorticiteit overal gelijkaan nul. Op basis van het eerder afgeleide resultaat met betrekking tot wervellijnen volgtdirect dat κ constant is langs de lijnwervel.

De snelheidsverdeling van deze lijnwervel volgt met behulp van (2.49). Het resultaat luidt

uv = − κ

4π

∫s× n

s3dl (2.52)

waarbij l de lengte langs de lijn voorstelt. Dit resultaat staat bekend als de wet van Biot enSavart. De integraalgrenzen in (2.52) worden bepaald door de geometrie van de lijnwervel.

Voor het geval van een rechte lijnwervel kan (2.52) expliciet worden uitgerekend. Met denotatie geıllustreerd in figuur (2.9) vinden we

uv =κ

4π

∫ ∞

−∞s sin θs3

dl =κ

2πσ(2.53)

waarin uv de rotatie-symmetrische snelheid is in een vlak loodrecht op de lijnwervel en σ deafstand in dit vlak tot de lijnwervel. Deze snelheidsverdeling is identiek voor elk vlak loodrecht

20

Figure 2.9: Rechte lijnwervel

op de lijnwervel. Kortom het snelheidsveld is twee-dimensionaal en we spreken in dit vlak vaneen puntwervel. Voor de puntwervel kan een stroomfunctie worden afgeleid, die luidt

ψ = − κ

2πlnσ. (2.54)

Deze vergelijking laat zien dat stroomlijnen cirkels zijn.

Figure 2.10: Wervelvlak

Vervolgens beschouwen we een wervelvlak. Dat wil zeggen de vorticiteit is geconcentreerdin een dun vlak zoals geıllustreerd in figuur 2.10. We nemen de limiet voor de dikte δl → 0met als voorwaarde

limδl→0

= ω δl = Γ (2.55)

waarin de sterkte van het wervelvlak Γ een vector is die in het vlak ligt. In principe hoeft Γniet constant te zijn. De bijbehorende snelheidsverdeling luidt

uv = − 14π

∫ ∫s× Γs3

dA′. (2.56)

Het meest eenvoudige geval is een plat wervelvlak met een constante sterkte. We kun-nen dan de snelheidsverdeling expliciet uitrekenen. Voor een directe uitwerking verwijzen wenaar sectie 2.6 van Batchelor. Hier kiezen we een andere methode, waarbij dit wervelvlakgeınterpreteerd wordt als een serie van evenwijdige rechte lijnwervels met sterkte Γ dx, waarbijx de coordinaat is in het wervelvlak en loodrecht op de lijnwervels (zie figuur 2.11). Met behulpvan (2.53) volgt

uv =∫ ∞

−∞Γ sin θ2πσ

dx. (2.57)

21

Figure 2.11: Plat wervelvlak als verzameling rechte lijnwervels

De oplossing van (2.57) luidt: uv = Γ/2 boven het wervelvlak en uv = −Γ/2 onder hetwervelvlak.

We hebben dus gevonden dat een plat wervelvlak met constante sterkte Γ equivalent is meteen snelheidssprong ter grootte Γ over het vlak. Dit resultaat kunnen we ook omdraaien. Eensnelheidsdiscontinuıteit kunnen we interpreteren als een wervelvlak. Van deze interpretatiezullen we later in hoofdstuk 6 nog gebruik maken.

22

Chapter 3

Dynamica

3.1 Behoud van impuls

3.1.1 materiele integralen

Voordat we de bewegingsvergelijkingen voor een vloeistofstroming gaan formuleren, leidenwe eerst enige relaties af voor materiele grootheden. Beschouw een infinitesimaal materieelvolume δV en materieel lijnelement δx. Materieel betekent dat deze elementen met de stromingmeebewegen. We hebben reeds in sectie 2.1 en 2.3.1 besproken hoe δV en δx varieren als functievan de tijd. Laten we deze vergelijkingen hier herhalen

DδV

Dt= δV div u (3.1)

Dδx

Dt= (δx · ∇)u. (3.2)

De eerste vergelijking koppelt de volume-expansie met de divergentie van het snelheidsveld.De tweede vergelijking brengt tot uitdrukking dat de variatie van een materieel lijnelementgelijk is aan het verschil van de snelheden tussen de uiteinden.

We beschouwen nu een eindig materieel volume V en we willen de volgende integraal bereke-nen.

I =∫ ∫ ∫

Vρθ dV (3.3)

waarin θ(x, t) een willekeurige scalaire grootheid per massa is, bijvoorbeeld de temperatuur.We bepalen nu de waarde van deze integraal als functie van de tijd

DI

Dt≡ D

Dt

∫ ∫ ∫Vρθ dV (3.4)

waarbij we wederom met de notatie D/Dt aangeven dat we een materiele afgeleide nemen,dat wil zeggen we volgen het volume V door de stroming.

Er zijn twee bijdragen in (3.4), immers niet alleen de integrand is een functie van de tijdmaar ook het volume V . Met behulp van (2.3) en (3.1) volgt

DI

Dt=

∫ ∫ ∫V

D (ρθ)Dt

dV +∫ ∫ ∫

VρθD (dV )Dt

=∫ ∫ ∫

VρDθ

DtdV +

∫ ∫ ∫Vθ

(Dρ

Dt+ ρ div u

)dV

23

=∫ ∫ ∫

VρDθ

DtdV. (3.5)

Voor resultaten betreffende integralen langs materiele lijnen en over materiele oppervlakkenverwijzen we naar sectie 3.1 van Batchelor.

3.1.2 impulswet in differentiaalvorm

We gaan nu de bewegingsvergelijkingen afleiden voor een vloeistofstroming. Uitgangspunt isweer een materieel volume V . De tweede wet van Newton toegepast op V luidt

D

Dt

∫ ∫ ∫Vρui dV = Fi (3.6)

waarin Fi de resultante is van alle krachten die op V werken.De krachten Fi, die op V werken, kunnen we onderverdelen in twee typen: volume- en

oppervlaktekrachten:F = F vol + F opp. (3.7)

We richten ons eerst op F vol. Een algemene karakterisering van F vol is een kracht dieover een grote afstand werkzaam is en dus overal in het volume V zijn invloed kan uitoefenen.Voorbeelden zijn zwaartekracht, elektrische krachten, enzovoort. Wegens hun grote bereikzullen deze krachten slechts langzaam met de afstand varieren. Hieruit volgt dat hun invloedop een infinitesimaal volume dV evenredig is met dit volume. Met andere woorden

dF vol = ρf dV (3.8)

waarin f een evenredigheidsconstante is, die de dimensie van een versnelling heeft. Door onszal het meest gebruik gemaakt worden van f = g, waarin g = (0, 0,−g) de versnelling van dezwaartekracht is en waarbij we ons assenstelsel zodanig gedefinieerd hebben dat de positievez−as omhoog gericht is. Een ander voorbeeld is de stroming in een assenstelsel, dat eenversnelling f

0heeft ten opzichte van een inertiaalstelsel. In dat geval wordt f = −f

0.

Uit (3.8) volgt dat de totale volume kracht op V gelijk wordt aan

F vol =∫ ∫ ∫

Vρg dV. (3.9)

Vervolgens beschouwen we de oppervlaktekrachten. Deze oefenen hun invloed uit over eenkorte afstand, die in de orde ligt van de afstand tussen de individuele moleculen. Dit kleineinvloedsbereik heeft tot gevolg dat deze krachten alleen werkzaam zijn via het oppervlak vaneen vloeistofelement.

Voor een infinitesimaal oppervlakte-element dS volgt

dF opp = Σ dS (3.10)

waarin Σ de spanningsvector voorstelt. Deze spanningsvector is een functie van x en tmaar ookvan de orientatie van het oppervlakte-element. Deze orientatie kan worden vastgelegd door denormaal n op dS. Hierbij zullen we de volgende tekenconventie aanhouden. Zoals geıllustreerdin figuur 3.1 definieren we Σ dS als de kracht die vloeistof 2 op vloeistof 1 uitoefent via hetoppervlak dS, waarbij n dus van vloeistof 1 naar vloeistof 2 wijst.

24

Figure 3.1: Oppervlaktekracht op een infinitesimaal oppervlakte-element

Op basis van de derde wet van Newton (actie = - reactie) volgt dan voor de kracht dievloeistof 1 op vloeistof 2 uitoefent

−Σ(n, x, t) = Σ(−n, x, t). (3.11)

Met andere woorden Σ is antisymmetrisch in n.In principe kan n nog een willekeurige richting hebben en we stellen ons nu de vraag:

hoe kunnen Σ vastleggen als functie van de componenten van n? Hiertoe beschouwen we eeninfinitesimaal volume element δV in de limiet δV → 0. Door toepassing van de tweede wet vanNewton op dit volume element volgt dat de inertiaaltermen en de volume krachten O(δV ) ≡O(δL3) zijn, terwijl de oppervlaktekrachten O(δL2) zijn. Met andere woorden in de limietδV → 0 moeten de oppervlaktekrachten in evenwicht zijn. Als resultaat van dit evenwicht kaneen algemene expressie voor Σ in termen van n worden afgeleid. Dit is een bekend resultaatuit de continuummechanica, dat bekend staat als het fundamentele spanningstheorema vanCauchy. In vergelijkingvorm luidt dit theorema

Σi = σijnj (3.12)

waarin σij de spanningstensor voorstelt. De σijnj stelt dus de spanningsvector voor op eenoppervlak met nj als normaal. De betekenis van de individuele componenten van σij volgtdirect uit deze interpretatie. Bijvoorbeeld σ11 is de spanningscomponent in de x1-richting opeen vlak met eenheidsnormaal n = (1, 0, 0), σ32 is de spanningscomponent in de x3-richting opeen vlak met eenheidsnormaal n = (0, 1, 0), enzovoort. Voor verdere details met betrekkingtot de afleiding wordt verwezen naar sectie 1.3 van Batchelor.

Een tweede algemeen resultaat volgt uit een beschouwing van het impulsmoment vanbovengenoemd vloeistofelement δV . Door weer de limiet δV → 0 te beschouwen volgt dathet resulterende koppel van de oppervlaktekrachten gelijk aan nul moet zijn. Dit leidt tot devolgende voorwaarde

σij = σji (3.13)

welke bekend staat als het tweede spanningstheorema van Cauchy. Met andere woorden despanningstensor is symmetrisch.

Met behulp van (3.10) en (3.12) volgt voor de resultante van de oppervlaktekrachten op V

F opp =∫ ∫

Sσijnj dS. (3.14)

Na substitutie van (3.9) en (3.14) in (3.7) en (3.6) en na gebruikmaking van (3.5) vindenwe ∫ ∫ ∫

VρDui

DtdV =

∫ ∫ ∫Vρfi dV +

∫ ∫Sσij nj dS. (3.15)

25

Met behulp van het theorema van Gauss (A.10) en het feit dat (3.15) moet gelden voor eenwillekeurig volume V volgt

ρDui

Dt= ρfi +

∂σij

∂xj. (3.16)

Dit is een differentiaalvergelijking die de wet van behoud van impuls voor een vloeistofstrominggeeft in de meest algemene vorm.

3.1.3 behoud van impuls in integraalvorm

Een variant op de differentiaalvergelijking (3.16) is de bewegingsvergelijking in integraalvorm.We beschouwen hiertoe een vast volume V , zoals geıllustreerd is in figuur 2.1. Let op webeschouwen hier een vast volume en dus geen materieel volume.

De verandering van de impuls in dit volume wordt gegeven door

∂

∂t

∫ ∫ ∫Vρui dV = −

∫ ∫Aρui ujnj dA+∫ ∫ ∫

Vρfi dV +∫ ∫

Aσijnj dA. (3.17)

De term aan de linkerkant van (3.17) beschrijft de verandering van het impuls in V als functievan de tijd. Wegens het feit dat V een vast volume is gebruiken we partiele afgeleiden en wekunnen deze afgeleiden binnen de integraaltekens brengen. De eerste term aan de rechterkantvan (3.17) is het transport van impuls door de wand A van V . Het minteken is het gevolg vanhet feit dat we de buitennormaal n positief nemen: dus als uj tegengesteld is aan nj neemt hetimpuls in V toe. De twee laatste termen in (3.17) zijn we ook al tegengekomen in (3.15) als deresultante van de volume- en de oppervlaktekracht. De vergelijking (3.17) wordt de impulswetin integraalvorm genoemd.

Vervolgens voeren we een aantal beperkende voorwaarden in:

1. de stroming is stationair

2. de volumekrachten zijn conservatief.

De laatste voorwaarde houdt in dat de volume krachten uit een zogenaamde krachten-potentiaal kunnen worden afgeleid volgens

ρf = − grad(ρΨ). (3.18)

Onder de hierboven genoemde voorwaarden en met gebruikmaking van het divergentie-theorema (A.10) reduceert (3.17) tot∫ ∫

Aρui ujnj dA =

∫ ∫A−ρΨni + σijnj dA. (3.19)

Deze vorm van de integrale impulsbalans staat bekend als het impulstheorema. In dat gevalwordt A het controle oppervlak genoemd.

Het voordeel van (3.19) is duidelijk. We kunnen hiermee een stroming berekenen op basisvan een aantal integralen over de rand van een volume zonder dat we de details van de stromingin dat volume zelf hoeven te kennen.

26

3.2 De spanningstensor σij

Om een stroming met behulp van (3.16) of (3.19) te kunnen uitrekenen moeten we een verbandspecificeren tussen de spanningstensor σij en de vervormingen in de stroming. Een dergelijkverband wordt een constitutieve relatie genoemd.

We gaan hiertoe wat dieper in op de spanningstensor σij . We hebben gezien dat σijnj despanningscomponent in de i-richting is op een vlak met buitennormaal nj.

Wat stellen de individuele componenten van σij voor? Neem als eerste de diagonaal-componenten: i = j. De spanning staat in dat geval in de richting van de normaal op hetvlak en we spreken dan ook van een normaalspanning. Als de richting van σ evenwijdigaan n is spreken we van een trekspanning en in het andere geval een drukspanning. Tentweede beschouwen we de niet-diagonaal componenten i 6= j. De spanningscomponent staatdan loodrecht op n ofwel de σ ligt in het beschouwde vlak. In dit geval spreken van eenschuifspanning. In het algemeen heeft de schuifspanning twee componenten.

Op basis van (3.13) volgt dat σij een symmetrische tensor is. Het is dan mogelijk eenassenstelsel te vinden waarin alleen de diagonaal termen van σij ongelijk aan nul zijn (denkaan het overeenkomstige resultaat voor eij , dat we in sectie 2.3.1 besproken hebben). Eendergelijk assenstelsel noemen we weer een hoofdassenstelsel en de bijbehorende normaalspan-ningen hoofdspanningen. Kortom in een hoofdassenstelsel vinden we alleen trek- en drukspan-ningen.

Voor tensoren zoals σij kunnen we een aantal invarianten introduceren. Dit zijn groothedendie onafhankelijk zijn van de orientatie van het assenstelsel en dus invariant zijn voor eencoordinaat-transformatie. Een van deze invarianten is het spoor, dat gelijk is aan de somvan de diagonaal componenten: σ11 + σ22 + σ33 ≡ σii. Het spoor is dus gelijk aan de somvan de normaalspanningen. Hieruit volgt dat we 1

3σii kunnen interpreteren als de gemiddeldenormaalspanning. Op basis hiervan kunnen we voor de spanningstensor schrijven

σij =13σkk δij + (σij − 1

3σkk δij). (3.20)

De eerste term aan de rechterhand van (3.20) is dan te beschouwen als een isotrope normaalspanning, dat wil zeggen een spanning die in alle richtingen hetzelfde is. De tweede term is deafwijking van isotropie en dit wordt ook wel de deviatorische spanning dij genoemd.

Wat is nu het verband tussen de spanningen volgens (3.20) en de vervorming, die beschrevenwordt door de vervormingssnelheidstensor eij uit sectie 2.3.1. Het ligt voor de hand dat deisotrope spanningscomponent zal moeten samenhangen met een verandering van het volume,terwijl de deviatorische spanning juist vormverandering zal veroorzaken. Met dit als achter-grond kunnen we de relatie tussen spanning en vervorming nader uitwerken.

We beschouwen allereerst een vloeistof in rust. Uit de definitie van een vloeistof volgt datde spanningstoestand in dat geval onafhankelijk moet zijn van de vorm. Omdat we betoogdhebben dat de deviatorische spanningen bepaald worden door vormveranderingen, volgt datvoor een vloeistof in rust deze spanningsbijdrage gelijk aan nul is. Met andere woorden despanningstoestand van een vloeistof in rust wordt gegeven door

σij =13σkk δij = −p δij. (3.21)

Er is dus alleen een isotrope normaalspanning, die we per definitie de druk p noemen. De drukwordt in het algemeen positief gerekend als deze tegengesteld is aan de normaal n op een vlak,vandaar het minteken in (3.21).

27

Als we (3.21) en ui = 0 substitueren in de algemene bewegingsvergelijking (3.16) vindenwe

0 = ρfi − ∂p

∂xi. (3.22)

Deze vergelijking, die we kunnen interpreteren als een evenwicht tussen volume- en drukkrachten,beschrijft dus de spanning in een vloeistof in rust. Voor het geval dat fi = gi ≡ (0, 0,−g) volgt

∂p

∂z= −ρg. (3.23)

Deze vergelijking staat bekend als de wet van Pascal, waarmee we bijvoorbeeld de verticaledrukverdeling in onze atmosfeer kunnen berekenen. Een ander resultaat dat uit (3.22) kanworden afgeleid is de wet van Archimedes: de opwaartse kracht, die wordt uitgeoefend op eenlichaam ondergedompeld in een stilstaande vloeistof, is gelijk aan het gewicht van de verplaatstemassa. Voor details van het bewijs verwijzen we naar sectie 1.4 van Batchelor.

Vervolgens beschouwen we een vloeistof in beweging. In dat geval kunnen we vormveran-deringen verwachten en de deviatorische spanning zal in het algemeen ongelijk aan nul zijn.Niettemin voeren we ook in dit geval een isotrope drukspanning in als het gemiddelde van denormaalspanningen over alle richtingen

p = −13σii. (3.24)

Deze vergelijking is te beschouwen als een definitie van de druk in een vloeistofstroming. Deop deze manier gedefinieerde druk heeft dus in principe niets te maken met de zogenaamdethermodynamische druk, die volgt uit de toestandsvergelijking van het medium. Ter onder-scheid wordt de druk volgens (3.24) ook wel de mechanische druk genoemd. In hoofdstuk 5zullen we op het verband tussen mechanische en thermodynamische druk nog terug komen.

Er volgt nu voor de spanningstensor in een stroming

σij = −pδij + dij (3.25)

waarin de deviatorische spanning dij nog in termen van de vervormingen moet worden uitge-drukt.

Herinner nu onze beschouwing van de locale snelheidsvariaties uit sectie 2.3. Met dit resul-taat als achtergrond stellen we als hypothese dat dij lineair afhangt van de snelheidsgradient∂uk/∂xl volgens

dij = Aijkl∂uk

∂xl. (3.26)

Hierin stelt Aijkl een vierde-orde tensor voor, die de vloeistofeigenschappen beschrijft. Conformaan onze beschouwing van de locale snelheidsvariaties kunnen we schrijven

dij = Aijklekl +Aijklξkl

= Aijklekl − 12Aijklεklmωm. (3.27)

Aan de hand van enige veronderstellingen omtrent de eigenschappen van de vloeistof kunnenwe (3.27) verder uitwerken. We beperken ons tot een isotroop medium: dat wil zeggen eenmedium waarvan de eigenschappen onafhankelijk zijn van de richting. In dat geval moet Aijkl

28

een isotrope tensor zijn. De meest algemene vorm van een isotrope tensor van de vierde ordeluidt

Aijkl = µ δikδjl + µ′ δilδjk + µ′′ δijδkl (3.28)

waarin µ, µ′ en µ′′ scalaire constanten zijn.Vervolgens maken we gebruik van het feit dat dij symmetrisch is, dus Aijkl moet ook

symmetrisch zijn in de indices i en j. Hieruit volgt dat µ = µ′ en tevens dat Aijkl ooksymmetrisch is in de indices k en l. Als gevolg van dit laatste resultaat en het feit dat εklm

antisymmetrisch is, verdwijnt de laatste term in (3.27) en na substitutie van (3.28) in (3.27)blijft er over

dij = µ(eij + eji) + µ′′ekkδij. (3.29)

Op basis van de definitie (3.20) voor dij geldt dan dii = 0. Hiermee volgt µ′′ = −23µ. Het

eindresultaat luidt danσij = −pδij + 2µ(eij − 1

3∆δij) (3.30)

waarin we de notatie ∆ ≡ ekk voor de volumeverandering gebruikt hebben. De µ in (3.30)wordt de dynamische viscositeit genoemd en dit is een materiaalconstante. Vergelijking (3.30)beschrijft dus de spanningen in een vloeistof in termen van de vervormingen en dit hebben weeen constitutieve relatie genoemd.

Uit (3.30) volgt dat de spanningen lineair afhangen van de vervormingen. Een fluıdum datvoldoet aan (3.30) noemen we Newtons. Dit blijkt een geschikt model te zijn voor vele vloeibaremedia uit de praktijk, met als bekendste voorbeelden ideale gassen zoals lucht en vloeistoffenzoals water. Echter niet alle vloeibare media voldoen aan (3.30). Voorbeelden zijn allerleipolymeren, vloeibare plastics, biologische vloeistoffen en olien. Voor dit soort materialen is deconstitutieve relatie ingewikkelder en dit vormt het onderzoeksterrein van de reologie.

3.3 Bewegingsvergelijking en randvoorwaarden

We substitueren nu de constitutieve relatie (3.30) in de wet van behoud van impuls (3.16) metals resultaat

ρDui

Dt= ρfi − ∂p

∂xi+

∂

∂xj

2µ(eij − 1

3∆δij)

. (3.31)

Deze uitdrukking is de bewegingsvergelijking in algemene vorm voor een Newtons medium.Voor onze verdere beschouwingen kunnen we (3.31) enigszins vereenvoudigen. We hebben

betoogd dat de dynamische viscositeit µ een materiaalconstante is. Voor vele media is deze µeen functie van de temperatuur en de moleculaire achtergrond hiervan hebben we in sectie 1.1besproken. Hier zullen we deze temperatuursafhankelijkheid verwaarlozen, met andere woordenµ is een constante. Bovendien beschouwen alleen incompressibele stromingen waarvoor derelatie (2.6) geldt. Hiermee reduceert de bewegingsvergelijking (3.31) tot

ρDui

Dt= ρfi − ∂p

∂xi+ µ

∂2ui

∂x2j

. (3.32)

Tezamen met de continuiteitswet (2.6) levert (3.32) vier vergelijkingen voor de vijf onbek-enden ui, ρ en p. Als we zullen ons echter beperken tot een homogene vloeistof, dat wil zeggeneen vloeistof waarvoor ρ =constant, is ρ niet langer te beschouwen als een onbekende maareerder als een nieuwe materiaal constante. In dit geval vormt (2.6) en (3.32) een gesloten

29

Figure 3.2: Randvoorwaarden

stelsel vergelijkingen. Voor het geval dat de vloeistof niet homogeen is, ofwel ρ is een functievan de plaats, moeten we een extra vergelijking introduceren. In het speciale geval van eenincompressibele stroming zouden we hiervoor de vergelijking DF/Dt= 0 kunnen gebruiken. Inde overige gevallen moeten we gebruikmaken van de energie vergelijking die we in hoofdstuk 5zullen bespreken.

We keren terug naar de incompressibele stroming van een homogeen medium. Een oplossingvan de vier bewegingsvergelijkingen (2.6) en (3.32) is alleen mogelijk mits we begincondities enrandvoorwaarden geven. De formulering van een beginconditie levert meestal geen problemenop. We zullen ons dan ook verder alleen bezig houden met de randvoorwaarden. Deze randvoor-waarden worden in het algemeen gespecificeerd op een materieel oppervlak F (x, t). We hebbenin sectie 1.3 gezien, dat een dergelijk oppervlak voldoet aan de vergelijking DF/Dt = 0. Weonderscheiden hierbij twee typen van randvoorwaarden: snelheids- en spanningsvoorwaarden.

Op basis van het feit dat F (x, t) een materieel oppervlak is, volgt dat de normaalcomponentvan de snelheid op F continu moet zijn. Daarnaast eisen we ook dat de tangentiele snelheid-scomponent continu is. Deze laatste voorwaarde ligt voor de hand omdat een discontinuıteit inde snelheid in principe een oneindige gradient impliceert. Op basis van ons Newtons vloeistof-model (3.30) betekent dit een oneindig grote schuifkracht die er meteen voor zal zorgen datde snelheidsdiscontinuıteit wordt afgevlakt, zodat aan continuıteit voldaan kan worden. Dezeverklaring houdt tevens in dat we deze tangentiele randvoorwaarde alleen kunnen toepassenop vloeibare media waarin tengevolge van viscositeit schuifspanningen kunnen optreden. Metandere woorden in een wrijvingsloos medium is deze randvoorwaarden niet van toepassing. Inhet speciale geval dat het oppervlak F stilstaat luiden de randvoorwaarden

u⊥ = 0u‖ = 0. (3.33)

De voorwaarde voor de tangentiele snelheid noemt men ook wel de ”no-slip” conditie.Vervolgens beschouwen we de randvoorwaarden voor de spanning. De geometrie is geıllustreerd

in figuur 3.2. Deze randvoorwaarden volgen uit een evenwicht van het grensvlak tussen de tweemedia. Ten eerste kan worden afgeleid dat de tangentiele spanning over F continu moet zijn.De voorwaarde voor de normaalspanning is iets ingewikkelder, want hier moeten we rekeninghouden met het effect van oppervlaktespanning.

De oppervlaktespanning hangt samen met de energie, die nodig is om het scheidingsvlak

30

tussen twee aangrenzende, niet-mengbare media te vergroten. Bij een variatie van dit scheid-ingsvlak met δA kunnen we de energieverandering kwantificeren met

δE = γ δA (3.34)

waarin de evenredigheidsconstante γ een materiaal constante is. Voor niet-mengbare media isγ > 0 en dit betekent dat we energie moeten toevoeren om het oppervlak te vergroten. Dedimensie van γ is een kracht per lengte eenheid en we kunnen γ dus ook interpreteren alseen kracht (per lengte eenheid) tangentieel aan het oppervlak. Deze kracht noemen we deoppervlaktespanning. In dat geval geeft (3.34) de toename van de energie tengevolge van dearbeid die deze kracht verricht.

Als het oppervlak gekromd is, heeft bovengenoemde kracht een resultante in de richtingvan de normaal op het oppervlak. In sectie 1.9 van Batchelor wordt voor deze resultante devolgende expressie afgeleid

γ(1R1

+1R2

) (3.35)

waarin R1 en R2 de hoofdkrommingsstralen van het oppervlak zijn.De randvoorwaarden voor de normaalspanningen worden nu dat het verschil van de nor-

maalspanningen aan beide zijden van het grensvlak gelijk moet zijn aan (3.35).In vergelijkingsvorm luiden de randvoorwaarden voor de spanningen

µ1e′′ijnjti = µ2e

′ijnjti

p′′ − 2µ1(e′′ijnjni − 1

3∆′′) = p′ − 2µ2(e

′ijnjni − 1

3∆′) +

γ(1R1

+1R2

) (3.36)

waarbij t een eenheidsvector is tangentieel aan het grensvlak en die tevens in de richting vande schuifspanning staat. Tevens geldt njni = δij. Voor een verdere verklaring van de notatieverwijzen we naar figuur 3.2.

31

Chapter 4

Stromingen zonder wrijving:potentiaalstromingen

4.1 Euler-vergelijkingen

Voor vele vloeibare media, zoals bijvoorbeeld lucht en water, kunnen we de wrijvingscoeffecientals klein beschouwen. Dit betekent dat in eerste benadering het effect van wrijving verwaar-loosbaar zal zijn. Let op, in dit stadium kunnen we deze uitspraak alleen als een kwalitatiefervaringsfeit presenteren. Pas in hoofdstuk 6 zullen we zien hoe we het effect van wrijving kun-nen kwantificeren en ook in hoeverre en in wat voor omstandigheden bovengenoemde uitspraakgerechtvaardigd is.

In dit hoofdstuk zullen we er vanuit gaan dat we wrijving volledig kunnen verwaarlozen:µ = 0. We spreken in dit geval van een zogenaamde ideale vloeistof. De algemene beweg-ingsvergelijkingen voor een incompressibele stroming in een homogeen medium (3.32) reduc-eren dan tot

ρDui

Dt= ρfi − ∂p

∂xi. (4.1)

Tezamen met de continuiteitswet (2.6) noemen we dit de Euler-vergelijkingen.Een belangrijk verschil met de volledige bewegingsvergelijkingen (3.32) is het feit dat de

Euler vergelijkingen van een lagere orde zijn. Namelijk de tweede orde termen in (3.32) zijnverdwenen. Dit heeft tot gevolg dat er een randvoorwaarde minder nodig is om de oplossingvast te leggen. In sectie 3.3 hebben we gezien dat we in een wrijvingsloos medium geenvoorwaarde voor de tangentiele snelheid kunnen opleggen. Met andere woorden de ”no-slip”-conditie vervalt.

4.2 Rotatievrije stromingen

Beschouw een oplossing van de continuıteitswet (2.6), die tevens voldoet aan de voorwaardevan rotatievrijheid. Als we ons de Helmholtz-decompositie (2.23) herinneren, betekent dit datwe nu de laatste term in deze decompositie gaan bespreken.

Kan een dergelijk snelheidsveld een oplossing van de Euler vergelijkingen (4.1) voorstellen?Om deze vraag te beantwoorden moeten we vooruitlopen op een resultaat dat we pas in sec-tie 6.7.1 zullen bewijzen: Kelvins theorema (6.87). De consequentie van dit theorema is dat

32

uitgaande van een rotatievrije beginconditie de oplossing van de Euler-vergelijkingen (4.1) ro-tatievrij blijft mits de volumekrachten in (4.1) conservatief zijn. Hieruit volgt dat de kinema-tische beperking van een rotatie- en divergentievrije stroming inderdaad tot een realiseerbareoplossing van de Euler-vergelijkingen leidt.

Als voorbeeld van dit type van stroming noemen we een belangrijke klasse van oplossingenvan de Euler-vergelijkingen: namelijk alle stromingen die vanuit rust beginnen de rusttoestandu = 0 is immers per definitie rotatie vrij). In dit hoofdstuk zullen we ook andere voorbeeldenvan rotatievrije stromingen tegenkomen. Het zal blijken dat we met deze stromingen een grootaantal praktische stromingssituaties kunnen oplossen.

Bovendien kan bewezen worden dat een rotatievrije oplossing van de Euler-vergelijkingen(4.1) ook een oplossing is van de volledige bewegingsvergelijkingen (3.32). Echter deze oplossingvoldoet niet noodzakelijkerwijze aan alle randvoorwaarden, waaraan de oplossing van (3.32)moet voldoen. Dit geldt in het bijzonder voor de ”no-slip” conditie. Alleen in die gevallenwaarin de ”no-slip” conditie geen rol speelt kunnen we de rotatievrije oplossing van de Euler-vergelijkingen tevens als oplossing van (3.32) interpreteren. Een bekend voorbeeld hiervan isde omstroming van een gasbel in een vloeistof.

We hebben reeds in sectie 2.4.1 gezien dat we aan de voorwaarde van rotatievrijheid kunnenvoldoen door de keuze

u = grad Φ (4.2)

waarin Φ de snelheidspotentiaal genoemd wordt.Substitutie van (4.2) in de continuıteitswet (2.6) leidt dan tot

∇2Φ = 0 (4.3)

die bekend staat als de Laplace vergelijking. De oplossing van de vergelijking noemen we eenharmonische functie.

Als randvoorwaarde voor de oplossing van (4.3) kiezen we de eerste voorwaarde van (3.33),namelijk de snelheid loodrecht op een oppervlak is gegeven. Dit betekent dat op een oppervlakA van ons stromingsgebied de gradient van Φ in de richting van de normaal n gegeven is. Datwil zeggen op A is ∂Φ/∂n bekend. In deze vorm wordt de oplossing van de Laplace vergelijkinghet Neumann probleem genoemd.

Enige voorbeelden van potentiaalstromingen zijn

Φ = Uixi (4.4)Φ = k(x2 − y2). (4.5)

De eerste potentiaal stelt een parallelstroming voor met een constante snelheid Ui. De tweedepotentiaal wordt een pure rekstroming genoemd. Er kan worden uitgerekend dat de enigecomponenten van de vervormingssnelheidstensor eij de e11 en de e22 component zijn, die re-spectievelijk gelijk aan k en aan −k worden. De x− en y−as zijn dus hoofdassen. Lijnelementenlangs de x−as worden dus uitgerekt en lijnelementen langs de y−as worden gecomprimeerd.In de oorsprong, x = 0 en y = 0, is de snelheid gelijk aan nul. Dit noemen we een stuwpunt.Daarom is een andere benaming voor deze stroming ook wel stuwpuntsstroming.

Een ander voorbeeld van een potentiaalstroming is de bronstroming (2.32), die we in sectie2.4.1 uitgebreid besproken hebben. We moeten in dit geval natuurlijk de singulariteit terplaatse van de bron uitsluiten, omdat in dit punt niet voldaan wordt aan de continuıteitswet

33

(2.6). Dit resultaat kunnen we natuurlijk uitbreiden tot de andere oplossingen van de Poisson-vergelijking, die we in sectie 2.4.1 hebben afgeleid, als we ons tenminste beperken tot het gebiedwaar de rechterkant van de Poisson-vergelijking gelijk aan nul is.

De Laplace vergelijking (4.3) is lineair. Dit heeft tot voordeel dat we gebruik kunnenmaken van de uitgebreide mathematische theorie, die voor lineaire vergelijkingen bekend is.Een van de resultaten van deze theorie is het zogenaamde superpositie-principe: de som vantwee oplossingen is opnieuw een oplossing. Dit principe hebben we ook in sectie 2.4.1 toegepastom de dipoolstroming (2.39) af te leiden. Deze dipoolstroming kunnen we dus weer als potenti-aalstroming interpreteren mits we de singulariteit uitsluiten. In dit hoofdstuk zullen we van hetsuperpositie-principe verder gebruik maken om andere stromingsconfiguraties te berekenen.

We hebben ons tot nu toe beperkt tot de oplossing van de Laplace vergelijking voor hetsnelheidsveld, dat voldoet aan de continuıteitswet (2.6) en dat tevens rotatievrij is. Dezebeschouwing is vergelijkbaar met die van sectie 2.4, waar we een kinematische beschrijvingvan het snelheidsveld hebben besproken. De dynamica van de Euler-vergelijkingen is tot nutoe nog buiten beschouwing gebleven. We zullen echter zien dat we voor een potentiaalstro-ming de Euler-vergelijkingen exact kunnen integreren en dat we de resulterende relatie kunnengebruiken om de druk te berekenen.

Hiertoe herschrijven we de Euler-vergelijkingen (4.1) met behulp van de relatie (A.16) als

∂u

∂t− u× ω +∇ ·

(12u2)

= −∇(p

ρ− g · x

)(4.6)

waarin we voor de volume kracht f de zwaartekracht g = (0, 0,−g) gesubstitueerd hebben. Dezwaartekracht is conservatief met als krachtenpotentiaal Ψ = −g · x. Met (4.2) en het feit datω ≡ ∇× u = 0 volgt uit (4.6)

∇(∂Φ∂t

+12u2 +

p

ρ+ gz

)= 0

∂Φ∂t

+12u2 +

p

ρ+ gz = C (4.7)

waarin C een constante is. Dit is de wet van Bernoulli voor een potentiaalstroming. Inhoofdstuk 5 zullen we nog zien hoe deze wet kunnen interpreteren in termen van behoud vanenergie in de stroming.

Ter afsluiting van deze sectie resumeren we de resultaten, die we voor potentiaalstromin-gen gevonden hebben. Op basis van (4.3) en de randvoorwaarden kunnen we het snelhei-dsveld berekenen. We zullen in sectie 4.3 afleiden dat deze oplossing van het snelheidsvelddoor de randvoorwaarden volledig wordt vastgelegd. Met het snelheidsveld en de wet vanBernoulli (4.7) vinden we vervolgens het drukveld. Dit drukveld kunnen we dan gebruiken omde krachten, bijvoorbeeld op een lichaam, uit te rekenen.

4.3 Algemene eigenschappen

In deze sectie zullen we enige algemene eigenschappen van potentiaalstromingen bespreken. Wevoeren hiertoe eerst het begrip enkelvoudig samengesteld volume (”single connected region”) in.Een dergelijk volume V met een buitenoppervlak A2 (met buitennormaal n2) en een inwendigoppervlak A1 (met binnennormaal n1) is geıllustreerd in figuur 4.1. Het begrip enkelvoudigesamengesteld wordt gekarakteriseerd door de volgende eigenschappen:

34

Figure 4.1: Enkelvoudig samengesteld volume

1. we kunnen door elke gesloten kromme Γ in V een oppervlak definieren met Γ als randzodanig dat dit oppervlak volledig in V ligt.

2. Elke gesloten kromme in V kan tot een punt worden samengetrokken zonder het volumete verlaten. (een dergelijke kromme noemen we ”reducible” ofwel reduceerbaar.)

Beschouw nu in een dergelijk enkelvoudig samengesteld volume een stroming met een po-tentiaal Φ en met gegeven normaalcomponenten van de snelheid op de randen. We kunnendan de volgende eigenschappen van deze stroming vinden.

1. De oplossing van Φ is eenwaardig. Om dit te bewijzen nemen we twee punten P en O inV . De waarde van Φ in O is gelijk aan ΦO. De waarde van Φ in P volgt uit

ΦP = ΦO +∫ P

O

∂Φ∂s

ds

ΦP = ΦO +∫ P

O∇Φ · ds

ΦP = ΦO +∫ P

Ov · ds (4.8)

waarbij het integratie-pad in V tussen O en P in V ligt maar verder willekeurig is. DeΦ is nu eenwaardig als ΦP onafhankelijk is van de keuze van het integratie-pad. Hiertoeberekenen we de integraal (4.8) langs twee integratie-wegen waarbij langs het eerste padvan O naar P integreren en langs het tweede pad van P naar O. Kortom we berekenen deintegraal langs een gesloten curve, die we Γ noemen. De hierboven genoemde voorwaardevoor eenwaardigheid impliceert dat de integraal langs het ene integratiepad van O naarP gelijk maar tegengesteld in teken moet zijn aan de integraal langs het tweede pad vanP naar O. Het verschil in teken volgt uit de integratie richting. Met andere woorden dekringintegraal langs Γ moet gelijk aan nul moet zijn∮

Γv · ds = 0. (4.9)

Om dit laatste resultaat te bewijzen nemen we een oppervlak A dat Γ als rand heeft.Omdat V enkelvoudig samengesteld is kunnen we altijd een oppervlak A vinden dat

35

volledig in V ligt. Op dit oppervlak passen we nu het theorema van Stokes (A.11) toeen wegens ω ≡ 0 in V volgt direct (4.9), zodat de eenwaardigheid van Φ bewezen is.

2. Een tweede eigenschap luidt∫ ∫ ∫Vu · u dV =

∫ ∫A2

Φu · n2 dA−∫ ∫

A1

Φu · n1 dA. (4.10)

Deze relatie kan bewezen worden met de identiteit (A.17). Omdat div u = 0 volgt hieruit∇ · (Φu) = u · ∇Φ = u · u. Vervolgens berekenen we∫ ∫ ∫

u · u dV =∫ ∫ ∫

∇ · (Φu) dV. (4.11)

Toepassing van het divergentie theorema (A.9) op (4.11) levert dan direct (4.10), waarbijrekening gehouden moet worden met het feit dat n1 een binnennormaal is.

3. Met behulp van (4.10) kunnen we de derde eigenschap bewijzen die luidt: de potentiaalΦ is uniek op een constante na bij gegeven randvoorwaarden op A1 en A2. Met anderewoorden de oplossing van de Laplace vergelijking en daarmee dus het snelheidsveld wordtvolledig vastgelegd door de randvoorwaarden. Het bewijs gaat alsvolgt. Stel er bestaantwee verschillende oplossingen Φ en Φ∗ in V met ∇Φ = u en ∇Φ∗ = u∗, die beide aandezelfde randvoorwaarden voldoen. Dat wil zeggen op A1 en A2 geldt ∂Φ/∂n = ∂Φ∗/∂nofwel u · n = u∗ · n. De oplossing is uniek als we kunnen aantonen dat Φ ≡ Φ∗. Om ditte bewijzen passen we (4.10) toe op Φ−Φ∗ met als resultaat∫ ∫ ∫

V(u− u∗)2 dV =

∫ ∫A2

(Φ− Φ∗)(u− u∗) · n2 dA−∫ ∫A1

(Φ− Φ∗)(u− u∗) · n1 dA. (4.12)

Omdat u ≡ u∗ op A1 zowel als op A2 volgt dat de rechterzijde van (4.12) gelijk aan nulis. Hieruit volgt dat u = u∗ overal in V en dit betekent dat Φ = Φ∗ op een constante na.Deze constante heeft verder geen consequenties voor het snelheidsveld.

Een gevolg van bovenstaand resultaat is dat een verandering van de randvoorwaarde opA1 of A2 tot gevolg heeft dat het snelheidsveld instantaan verandert door het gehele stro-mingsvolume V . Kortom de informatie-overdracht van de randen naar het gehele snelhei-dsveld is oneindig snel. De fysische achtergrond hiervan is gelegen in de veronderstellingvan incompressibiliteit (2.6), waardoor de geluidssnelheid, die de voortplantingssnelheidvan kleine verstoringen c.q. informatie voorstelt, oneindig groot wordt.

4. We kunnen (4.10) ook gebruiken om een expressie voor de kinetische energie in V uitte drukken met behulp van oppervlakte integralen. De kinetische energie in V is perdefinitie

T =12ρ

∫ ∫ ∫Vu · u dV. (4.13)

Vervolgens passen we (4.10) toe op (4.13) waarbij het oppervlak A2 → ∞. Met anderewoorden we beschouwen de kinetische energie in een oneindig volume. We beperken onstot de situatie waarvoor u→ 0 als A2 →∞. In sectie 2.9 van Batchelor wordt bewezendat in dat geval

limA2→∞

Φ = C (4.14)

36

waarin C een constante is. Tevens volgt uit continuiteit (2.6) tezamen met het divergentietheorema (A.9) dat ∫ ∫

A2

u · n2 dA =∫ ∫

A1

u · n1 dA. (4.15)

Hiermee wordt T tenslotte gelijk aan

T =12ρ

∫ ∫A1

(C − Φ)u · n1 dA. (4.16)

Voor het bijzondere geval dat∫ ∫

u · ndA = 0, dat wil zeggen het volume transport dooreen gesloten oppervlak is gelijk aan nul, volgt

T = −12ρ

∫ ∫A1

Φu · n1 dA. (4.17)

Met deze vergelijking wordt nogmaals uitgedrukt dat een potentiaalstroming volledigdoor de randvoorwaarden wordt vastgelegd.

5. Met betrekking tot de kinetische energie kunnen we een stap verder gaan. Er volgtnamelijk dat voor een potentiaalstroming de kinetische energie minimaal is. Om dit re-sultaat te bewijzen beschouwen we twee oplossingen u en u∗ van ons stromingsprobleemin V , waarbij u een potentiaalstroming en dus rotatie vrij is, terwijl u∗ een snelhei-dsveld met rotatie is. Beide oplossingen voldoen aan de bewegingsvergelijkingen en zijndus divergentievrij. Ze voldoen tevens aan dezelfde voorwaarden op de rand van onsstromingsgebied. Er volgt nu

T ∗ − T =12ρ

∫ ∫ ∫V

(u∗ 2 − u2) dV

=12ρ

∫ ∫ ∫V

(u∗ − u)2 dV + ρ

∫ ∫ ∫V

(u∗ − u) · u dV. (4.18)

Beschouw nu de identiteit ∇ · (u∗ − u)Φ = ∇ · (u∗ − u)Φ + (u∗ − u) · ∇Φ, waarbijwegens divergentie vrijheid de eerste term aan de rechterzijde gelijk aan nul is, zodat∇ · (u∗ − u)Φ = (u∗ − u) · u. Er volgt dan na substitutie in (4.18)

T ∗ − T =12ρ

∫ ∫ ∫V

(u∗ − u)2 dV + ρ

∫ ∫ ∫V∇ · (u∗ − u)Φ dV

=12ρ

∫ ∫ ∫V

(u∗ − u)2 dV + ρ

∫ ∫A

Φ(u∗ − u) · n dA

=12ρ

∫ ∫ ∫V

(u∗ − u)2 dV > 0 (4.19)

waarbij we gebruik gemaakt hebben van het divergentie theorema (A.9) en het feit datu∗ en u voldoen aan dezelfde randvoorwaarden op A. Uit (4.19) volgt dat voor elke keuzevan u∗ de potentiaalstroming u minder energie heeft.

6. Tenslotte noemen we hier nog enige eigenschappen die gelden voor oplossingen van deLaplace vergelijking, waarbij we voor het bewijs naar sectie 6.2 van Batchelor verwijzen.

Φ kan geen extreme waarde aannemen in het inwendige van V . Een extreme waarde,dat wil zeggen een minimum of een maximum, kan dus alleen op de randen voorkomen.

37

Figure 4.2: Notatie en geometrie voor de stroming uit een vat

Hiermee kunnen we aantonen dat de maximale snelheid en de minimale druk alleen opde rand van het stromingsgebied kan voorkomen. Let op: dit resultaat geldt alleen voorde maximale snelheid en de minimale druk. De minimale snelheid (= 0) en de maximaledruk kunnen wel in het inwendige van een stromingsgebied voorkomen.

In stromingen van vloeistoffen zoals water kunnen gebieden met minimale druk somsaanleiding geven tot negatieve waarden van de druk. De vloeistof kan deze negatievedruk ofwel trekspanning niet weerstaan en er ontstaan gasbellen. Dit verschijnsel noemtmen cavitatie. In een wat meer fysische terminologie betekent dit dat de druk lokaallager wordt dan de dampspanning en de vloeistof gaat als het ware koken. Op basis vanbovengenoemde resultaten kunnen we cavitatie dus allereerst verwachten aan de rand vanonze stroming ofwel op de wand van een lichaam. Een onplezierige bijkomstigheid is datjuist op de wand de meeste schade door cavitatie optreedt als dampbellen imploderen.

4.4 Drie-dimensionale potentiaalstromingen

4.4.1 stroming uit een vat

We zullen eerst een voorbeeld van een potentiaal stroming beschouwen zonder het snelheidsveldin detail uit te rekenen. Uitgangspunt is een vat, zoals geıllustreerd in figuur 4.2, dat tot eenhoogte h boven de uitstroomopening gevuld is met een vloeistof met dichtheid ρ. De stromingstart vanuit rust. Als we de vloeistof als ideaal kunnen beschouwen, volgt op basis van hetKelvins theorema (6.87) dat dit een potentiaalstroming is.

We bepalen eerst de uitstroomsnelheid door toepassing van de wet van Bernoulli (4.7). Terplaatse van het vrije oppervlak is de snelheid ≈ 0 en de druk gelijk aan p0, terwijl ter plaatsevan de uitstroomopening de druk wederom p0 is en de snelheid gelijk aan q. Er volgt dan

p0

ρ=p0

ρ+

12q2 − gh (4.20)

met als resultaatq =

√2gh. (4.21)

We merken op dat dit de snelheid is, die een object krijgt na een vrije val over een verticaleafstand h.

38

Figure 4.3: Geometrie en definitie van het assenstelsel voor een bolstroming

Uit nauwkeurige waarneming vinden we dat de doorsnede van de straal kleiner wordt na-dat deze de uitstroomopening heeft verlaten. Op enige afstand van het vat noemen we dedoorsnede αS, waarbij S het oppervlak van de uitstroomopening is. De α wordt ook wel decontractiecoefficient genoemd. Toepassing van het impulstheorema (3.19) voor de impulscom-ponent in de richting van de uitstroomsnelheid over een controle oppervlak leidt tot

ρq2αS = −∫ ∫

A(p− p0)n dA

2ρghαS = ρghS (4.22)

waarin A het zogenaamde bevochtigde oppervlak is dat in figuur 4.2 gestippeld is. In deintegraal heffen de drukken op de voor- en de achterzijde van het vat elkaar op behalve terplaatse van de uitstroomopening. Dit leidt tot de uitwerking van de integraal zoals gegeven in(4.22).

Uit (4.22) volgt dat contractiecoefficient α = 12 . Dit resultaat staat bekend als de Borda

contractie. Om tot dit resultaat te komen hebben we in (4.22) overal langs de wand de snelheidverwaarloosd. Dit is een benadering, zodat we in experimenten meestal een iets grotere waardevan α vinden.

Voor andere voorbeelden van dit type van potentiaal stromingen verwijzen we verder naarsectie 6.3 van Batchelor.

4.4.2 parallel stroming rond een bol

We gaan ons nu bezighouden met stromingen rond drie-dimensionale lichamen. Hier zullenwe dit type van stroming illustreren aan de hand van een speciaal geval, namelijk de stromingrond een bol.

In sectie 6.4 van Batchelor vindt men een zeer algemene behandeling van de stroming rondeen willekeurig lichaam. Het blijkt echter dat ver van elk lichaam de stroming toch als eenbolstroming te benaderen is, zodat we de stroming rond een bol als een soort fundamenteleoplossing kunnen beschouwen.

We kunnen deze stroming construeren door een superpositie van een parallel stroming (4.4)langs de x−as en een dipool (2.39) met dipoolvector µ = (µ, 0, 0). De geometrie en de definitie

39

van het assenstelsel is geillustreerd in figuur 4.3. Er volgt dat deze stroming axisymmetrischis rond de x−as, zodat er volgens sectie 2.2 een Stokes-stroomfunctie bestaat. De potentiaalφ en de Stokes-stroomfunctie ψ voor deze configuratie luiden

Φ = −Ux − µx

4πr3(4.23)

ψ = −12Ur2 sin2 θ +

µ sin2 θ

4πr. (4.24)

Uit (4.24) volgt dat de r−coordinaat die voldoet aan µ/(2πr3U) = 1 een stroomlijn voorstelt.Deze vergelijking stelt een boloppervlak voor met een straal a met µ = 2πa3U . Kortom decombinatie van een parallelstroming en een dipool levert de stroming rond een bol op. Alswe gebruikmaken van de hierboven gevonden uitdrukking voor de bolstraal a kunnen we devergelijking voor de potentiaal en de Stokes-stroomfunctie herschrijven tot

Φ = −Ur cos θ

(1 +

12a3

r3

)(4.25)

ψ = −12Ur2 sin2 θ

(1 − a3

r3

). (4.26)

Voor het snelheidsveld vinden we hiermee

ur = −U cos θ

(1 − a3

r3

)(4.27)

uθ = U sin θ

(1 +

12a3

r3

). (4.28)

Er volgt dat op de bol ur(r = a) = 0. Dit is een direct gevolg van het feit dat het boloppervlakeen stroomlijn is. Voor uθ(r = a) vinden we

uθ =32U sin θ. (4.29)

Deze snelheidsverdeling op de bol leidt tot

uθ = ur = 0 θ = 0, π (4.30)

uθ max =32U θ =

π

2. (4.31)

We vinden dus stuwpunten op de voor- en achterkant van de bol en de maximale snelheid opde zijkant.

Met behulp van de wet van Bernoulli (4.7) kunnen we de drukverdeling op de bol berekenen.We voeren een drukcoefficient cp in die gedefinieerd is als

cp =p− p∞12ρU

2(4.32)

waarin p∞ de statische druk op oneindig ver van de bol is. Met (4.31) volgt nu

cp = 1 − 94

sin2 θ. (4.33)

40

Figure 4.4: Snelheids en drukverdeling langs de bol

De snelheids- en drukverdeling is geıllustreerd in figuur 4.4, waar de waarde van uθ/U ende cp langs de gestippelde lijn is uitgezet. We vinden de minimale druk (cp = −5/4) ter plaatsevan de maximale snelheid.

Op basis van de drukverdeling (4.33) kunnen we de kracht uitrekenen die de stroming opde bol uitoefent. We hebben een wrijvingsloos medium dus er zijn alleen drukspanningen. Ervolgt dan voor de resulterende kracht F op de bol

F = −∫ ∫

Sp ndS

= −∫ ∫

S(p − p∞)n dS (4.34)

waarin S het boloppervlak is en n de buitennormaal op dit oppervlak. De tweede stap in (4.34)volgt uit het feit dat een constante druk op een gesloten oppervlak geen resulterende krachtoplevert.

Laten we (4.34) uitwerken voor de x−component van de kracht, dat wil zeggen de compo-nent in de richting van de parallelstroming U . Deze component noemen we in het algemeende weerstand. We vinden met gebruik van (4.33) en nx = cos θ

Fx = −∫ π

0(p− p∞) cos θ 2πa sin θ adθ

= −πa2ρU2∫ π

0(1 − 9

4sin2 θ) sin θ cos θdθ

= 0 (4.35)

waarbij de oppervlakte-integraal hebben uitgevoerd over cirkelvormige ringen ter grootte2πa sin θ adθ voor 0 < θ < π.

We vinden dus dat de weerstand gelijk aan 0 is. Hetzelfde resultaat blijkt te gelden voor depotentiaalstroming rond een willekeurig lichaam in een parallelstroming. Gezien de duidelijketegenspraak met de praktijk staat dit resultaat bekend als de paradox van d’Alembert. In devolgende sectie zullen we op de achtergrond van deze paradox terugkomen.

41

4.4.3 bol, voortbewegend in een oneindig medium

In de vorige sectie hebben we de stroming rond een bol berekend in een assenstelsel dat gefixeerdis ten opzichte van de bol. Met behulp van deze oplossing kunnen we nu de stroming rond eenbol berekenen, die zich met een snelheid U voortbeweegt in een stilstaand medium. Met anderewoorden we beschouwen de stroming in het assenstelsel dat gefixeerd is ten opzichte van hetstilstaand medium op oneindig. De potentiaal en de stroomfunctie voor dit geval vinden wedoor van (4.25) en (4.26) de bijdrage van de parallelstroming af te trekken met als resultaat

Φ = −12Ua3 cos θ

r2(4.36)

ψ = +12Ua3 sin2 θ

r. (4.37)

We houden dus alleen de dipool bijdrage over. Dat dit inderdaad de stroming rond een zichvoortbewegende bol voorstelt, kan men inzien door uit (4.36) of (4.37) de snelheid op hetboloppervlak te berekenen. Het resultaat luidt: ur(r = a) = U cos θ. Als we bedenken dat debol zich met snelheid U langs de x−as voortbeweegt, is U cos θ deze voortbewegingssnelheidgeprojecteerd op de normaal op het boloppervlak. Hiermee is voldaan aan de randvoorwaardedat de normaal component van de snelheid op een materieel oppervlak continu moet zijn.

In tegenstelling met de bolstroming uit sectie 4.4.2 is in dit geval de stroming instationair,immers de bol verandert van positie in het assenstelsel. Met andere woorden het boloppervlakis niet langer een stroomlijn, hetgeen ook volgt uit de hierboven genoemde randvoorwaardeop het boloppervlak. De uitdrukkingen (4.36) en (4.37) geven de potentiaal en stroomfunctieop het moment dat de bol de oorsprong passeert. Noem dat tijdstip t = 0. We kunnen(4.36) en (4.37) ook voor een willekeurig tijdstip t gebruiken mits in dat geval r en θ wordenberekend ten opzichte van de positie, die de bol op het betreffende tijdstip inneemt: r =(x − Ut)2 + y2 + z21/2 en θ = cos−1(x − Ut)/r. Bedenk tevens dat bij toepassing van dewet van Bernoulli (4.7) in deze stroming de term ∂Φ/∂t niet vergeten wordt.

Laten we voor deze stroming de kinetische energie uitrekenen. We voldoen aan de voor-waarde om gebruik te kunnen maken van (4.17). Met behulp van (4.36) vinden we

T = −12ρ

∫ ∫A

Φu · n dA

= −12ρ

∫ π

0−1

2Ua cos θ U cos θ 2πa2 sin θ dθ

=π

2ρU2a3

∫ π

0cos2 θ sin θ dθ

=π

3ρU2a3. (4.38)

We kunnen nu twee gevallen onderscheiden.

• U = constant.

In dat geval volgt uit (4.38) dat T =constant ofwel dT/dt = 0. De verandering van dekinetische energie kunnen we interpreteren als de arbeid die via de bol op de stroming wordtuitgeoefend, als we tenminste de bijdrage van potentiele energie kunnen verwaarlozen. Metandere woorden: dT/dt = DU . Hierbij stelt D de component van de kracht op de bol voorin de richting van de voortbewegingssnelheid, die we de weerstand genoemd hebben. Uit het

42

resultaat dT/dt = 0 volgt dus dat de weerstand van de bol gelijk aan nul is. Dit hebbenwe in sectie 4.4.2 de paradox van d’Alembert genoemd. We vinden dus hier de achtergrondvan deze paradox, die we nu tevens kunnen uitbreiden naar alle potentiaalstromingen rondwillekeurige lichamen. In een potentiaalstroming is dus geen arbeid nodig om een lichaam meteen constante snelheid in beweging te houden. Anders gezegd in een potentiaalstroming vaneen ideale vloeistof zijn geen verliesprocessen.

• U = f(t).

In dit geval volgt uit (4.38) dat de kinetische energie verandert als functie van de tijdvolgens

dT

dt=

23πρa3 dU

dtU

= MvdU

dtU. (4.39)

Hierin is Mv gelijk aan de helft van de verplaatste vloeistofmassa en dit wordt de virtuele oftoegevoegde massa genoemd. Deze virtuele massa is te interpreteren als de extra massa, diewe aan de bol moeten toekennen, om rekening te kunnen houden met de kinetische energie vande vloeistofstroming. Als we de bol versnellen moeten we dus een extra kracht uitoefenen omals het ware de omringende vloeistof mee te versnellen.

Het begrip virtuele massa kunnen we generaliseren voor de potentiaalstroming rond eenwillekeurig lichaam waarbij de exacte uitdrukking voor Mv natuurlijk zal afhangen van devorm van het lichaam. Voor details verwijzen we naar sectie 6.4 van Batchelor. De beweg-ingsvergelijking voor een willekeurig lichaam in een ideale vloeistof luidt nu

(M + Mv)dU

dt= F (4.40)

waarin M de massa van het lichaam is en F de resultante van alle krachten, die op het lichaamwerken.

Als voorbeeld keren we terug tot onze bolgeometrie. Uit (4.40) volgt dat de beweging vaneen bol in een stilstaand of eenparig voortbewegend medium volgt uit

(M +12M0)

dU

dt= (M − M0)g (4.41)

waarin M0 de verplaatste massa vloeistof voorstelt. De term aan de rechterzijde geeft hetgewicht verminderd met de Archimedeskracht. Voor een gasbel in een vloeistof kunnen westellen dat M = 0. Er volgt dan voor de verticale versnelling: dU/dt = −2g. De versnellingvan een opstijgende gasbel is dus tweemaal zo groot als de zwaartekrachtsversnelling.

In een versnellend medium met de snelheid V = V (t) luidt de bewegingsvergelijking vooreen bol

(M +12M0)

d (U + V )dt

= (M − M0)g −MdV

dt+M0

dV

dt. (4.42)

In linkerkant in deze vergelijking staat de relatieve versnelling van de bol ten opzichte vanhet medium. Met andere woorden we beschouwen de bolstroming in een assenstelsel datvast zit aan het versnellende medium. De rechterkant van (4.42) geeft alle krachten die indit assenstelsel op de bol werken. De eerste term is wederom het gewicht verminderd met

43

de Archimedes kracht tengevolge van de zwaartekracht. De tweede en de laatste term zijnrespectievelijk de schijnkracht op de bol en de extra Archimedes kracht tengevolge van hetversnellende assenstelsel, die we bij de bespreking van vergelijking (3.8) genoemd hebben. Eenuitwerking van (4.42) voor een gasbel (M ≈ 0) en voor g = 0 leidt tot

dU

dt= 3

dV

dt. (4.43)

We vinden dus dat de versnelling van de bel driemaal zo groot is als de versnelling van devloeistof.

Tot nu toe hebben we de stroming rond een bol besproken in een oneindig medium. Latenwe deze geometrie eens modificeren door een vaste wand aan te brengen op een afstand d vande bol. Op deze wand luidt de randvoorwaarde dat de normaalsnelheid gelijk aan nul moetzijn. Hieraan kunnen we voldoen door de dipool, die de bol voorstelt, te spiegelen ten opzichtevan de wand. Het stromingspatroon tengevolge van beide dipolen heeft dan per definitie eennormaalsnelheid gelijk aan nul op de wand.

Het resultaat stelt bij benadering de stroming rond een bol in de buurt van een vaste wandvoor. We spreken van een benadering omdat we nu niet meer aan een dipool voldoende hebbenom de stroming rond de bolgeometrie volledig te beschrijven. Echter de benadering wordt beternaarmate de bol verder van de wand ligt, met andere woorden er moet voldaan worden aana/d 1.

De toepassing van spiegeling om een vaste wand in rekening te brengen is een algemeentoegepaste methode bij potentiaalstromingen. Het wordt aan de lezer overgelaten om anderestromingsconfiguraties, zoals een bronstroming in de buurt van een vaste wand, te onderzoeken.

4.5 Complexe functietheorie voor twee-dimensionale potenti-aalstromingen

We beschouwen een potentiaalstroming met twee snelheidscomponenten u en v als functie vande coordinaten x en y. Bovendien voeren we een stroomfunctie ψ in. Per definitie geldt

u =∂Φ∂x

, v =∂Φ∂y

(4.44)

u =∂ψ

∂y, v = −∂ψ

∂x. (4.45)

Bovenstaande relaties kunnen we herschrijven als

∂Φ∂x

=∂ψ

∂y

∂Φ∂y

= −∂ψ∂x

. (4.46)

Uit (4.46) volgt direct dat equi-potentiaallijnen (Φ = constant) loodrecht op stroomlijnen(ψ = constant) staan, want

grad Φ · gradψ = 0. (4.47)

Kortom de functies Φ en ψ vormen een stelsel van orthogonale lijnen.

44

Echter de relaties (4.46) hebben een belangrijke betekenis binnen de complexe functiethe-orie. In die context worden ze de Cauchy-Riemann vergelijkingen genoemd. Van de complexefunctietheorie kunnen we met voordeel gebruik maken bij de berekening van twee-dimensionalepotentiaalstromingen. Alvorens hierop in te gaan zullen we eerst enige grondbegrippen uit decomplexe functietheorie kort herhalen.

4.5.1 analytische functie

We definieren een complexe variabele z volgens

z = x+ i y (4.48)

waarin i per definitie gelijk is aan√−1. De x wordt het reele deel <(z) en de y het imaginaire

deel =(z) van z genoemd. De waarde van z kunnen we voorstellen als een punt in een vlak,waarin we het reele deel langs de x−as uitzetten en het imaginaire deel langs de y−as.

We voeren vervolgens een complexe functie in

w(z) = Φ + i ψ (4.49)

waarvan Φ(x, y) het reele en ψ(x, y) het imaginaire deel vormt.Als Φ(x, y) en ψ(x, y) voldoen aan de Cauchy-Riemann vergelijkingen (4.46) noemen we

w(z) een analytische functie van z. De term analytisch betekent dat in elk punt z de afgeleidedw/dz uniek is en niet afhangt van de richting in het z-vlak.

Voor een formeel bewijs verwijzen we naar een boek over complexe functietheorie. Hierzullen we het begrip ”analytische functie” illustreren door de afgeleide van w(z) uit te rekenenvoor twee richtingen. Allereerst nemen we de x−as als differentiatie-richting. In dat gevalgeldt dz = dx en hiermee volgt op basis van (4.48)

dw

dz=

∂Φ∂x

+ i∂ψ

∂x= u − i v. (4.50)

Vervolgens nemen we de y−as als differentiatie-richting en dan leidt (4.48) tot dz = i dy zodat

dw

dz=

1i

∂Φ∂y

+∂ψ

∂y

= u − i v (4.51)

waarbij we gebruik gemaakt hebben van de Cauchy-Riemann vergelijkingen (4.46)Beide richtingen leveren dus hetzelfde resultaat op.

4.5.2 complexe potentiaal

We keren terug naar de twee-dimensionale potentiaalstromingen. In dat geval noemen we w(z)gedefinieerd volgens (4.49) de complexe potentiaal. De Cauchy-Riemann condities (4.46) voorde potentiaal en stroomfunctie garanderen dat w(z) een analytische functie is. We hebbentevens gevonden in (4.50) en (4.51) dat we de afgeleide van w eenduidig kunnen relateren aande snelheidscomponenten u en v.

Bovenstaand resultaat kunnen we ook omkeren. Dit betekent dat we elke analytischefunctie kunnen interpreteren als een twee dimensionale potentiaalstroming. Enige voorbeeldenvan complexe potentialen zijn

45

• parallel-stroming:w = Uz (4.52)

waarin U , die in principe complex mag zijn, de richting en grootte van de parallelstromingvoorstelt.

• bronstroming in z0:w =

m

2πln(z − z0) (4.53)

waarin m de sterkte van de bron voorstelt.

• dipoolstroming in z0:w = − µ

2π(z − z0) (4.54)

waarin µ een complexe constante is, die grootte en richting van de dipoolvector geeft.

• lijnwervel in z0:

w = − i κ2π

ln(z − z0) (4.55)

waarin κ de sterkte of circulatie van de lijnwervel voorstelt.

Het wordt aan de lezer overgelaten om deze complexe potentialen te vergelijken met deuitdrukkingen voor de bron- en de dipoolstroming, die we in sectie 2.4.1 gevonden hebben.Hier zullen we wat nader ingaan op de potentiaal (4.55) van de lijnwervel. Deze volgt directuit de rechte wervellijn, die we in sectie 2.4.2 besproken hebben. Daar hebben we tevensaangetoond dat in dat geval het bijbehorende snelheidsveld twee-dimensionaal is. Om aan tetonen dat de potentiaal van deze wervellijn door (4.55) gegeven wordt, splitsen we (4.55) inhet reele en imaginaire deel, waarbij we z0 = 0 stellen:

Φ =κ

2πθ (4.56)

ψ = − κ

2πln r (4.57)

waarin r en θ poolcoordinaten zijn gegeven door

x = r cos θy = r sin θ. (4.58)

Uit (4.57) volgt dat de stroomlijnen cirkels zijn rond de positie van de lijnwervel. Tevensvolgt dat het snelheidsveld gegeven wordt door

ur = 0

uθ =κ

2πr(4.59)

hetgeen overeenkomt met (2.52).

46

Figure 4.5: Geometrie van een twee dimensionaal lichaam in het x, y−vlak

4.5.3 Blasius-theorema

Door gebruik te maken van complexe functietheorie kunnen we een aantal algemene resultatenvoor twee dimensionale potentiaalstromingen op een compacte manier afleiden. In deze sectiezullen we dit doen voor de kracht op een gesloten lichaam in een stationaire twee-dimensionalepotentiaalstroming.

Analoog aan (4.34) schrijven we voor de kracht op een twee-dimensionaal lichaam

F = −∮

Bp nds (4.60)

waarin B de omtrek van het lichaam en n de buitennormaal op deze omtrek voorstelt (ziefiguur 4.5).

Uitgeschreven in de componenten langs de x- en y-as wordt deze kracht

Fx ≡ X = −∮

Bp cos θ ds = −

∮Bp dy (4.61)

Fy ≡ Y = −∮

Bp sin θ ds =

∮Bp dx. (4.62)

Beschouw vervolgens de complexe grootheid X − i Y dan volgt

X − i Y = −i∮

Bp dz (4.63)

waarin dz de complex geconjugeerde van dz voorstelt, die per definitie gelijk is aan dz =dx − i dy.

Met de wet van Bernoulli (4.7) voor een stationaire stroming kunnen we de druk in desnelheid op het lichaam uitdrukken. Met behulp van (4.50) vinden we

X − i Y =12i ρ

∮B

dw

dz

dw

dzdz (4.64)

waarbij we gebruikmaken van de identiteit dat | z |2= zz.Vervolgens passen we de randvoorwaarde op het lichaam toe. Voor een stationaire stroming

moet de wand van het lichaam een stroomlijn zijn en dit betekent dat de normaalsnelheid op hetlichaam gelijk aan nul moet zijn. Met andere woorden de snelheid en de wand hebben dezelfde

47

richting. In complexe notatie kunnen we voor de snelheid en het wandelement schrijven:u + i v = |u |ei θ en dz = |dz |ei θ, waarin dus op basis van bovengenoemde randvoorwaarde deθ’s in beide formules gelijk zijn. Er volgt dan (u + i v)dz =|u | ei θ |dz | e−i θ = (u − i v) dz =dw/dz dz. Substitutie in (4.64) resultaat leidt nu tot

X − i Y =12i ρ

∮B

(dw

dz

)2

dz (4.65)

dat bekend staat als het Blasius-theorema.In (4.65) moeten we nog een kringintegraal uitrekenen over de wand van het lichaam,

hetgeen voor een willekeurig lichaam vrij lastig kan zijn. Echter, hier schiet ons de complexefunctie theorie weer te hulp met het Cauchy integraal-theorema, dat we in de volgende subsectiekort zullen bespreken.

4.5.4 Cauchy integraal theorema

Beschouw de volgende kringintegraal in het complexe vlak∮f(z) dz (4.66)

waarin f(z) een analytische functie is behalve op een beperkt aantal punten, die we singular-iteiten noemen. Stel dat een van deze singulariteiten zich bevindt ter plaatse van z = z0, dankunnen we rond dit punt de f(z) ontwikkelen in een zogenaamde Laurent-reeks, die luidt

f(z) =∞∑

n=−N

an(z − z0)n. (4.67)

Als N 6= ∞ noemen we de singulariteit een pool. Het residu (Res) van een pool is nu decoefficient voor de term in (4.67) met de macht −1 ofwel het residu is gelijk aan a−1.

Het Cauchy integraal theorema stelt nu dat∮f(z) dz = 2πi

∑Res (4.68)

waarbij over de residuen van alle polen binnen de kringintegraal gesommeerd moet worden.Kortom, om een kringintegraal van een complexe functie uit te rekenen behoeven we dus

alleen de singulariteiten binnen de integratie-curve te inventariseren en van deze singulariteitenhet residu te bepalen.

Toepassing van het Cauchy integraal theorema (4.68) op (4.65) leidt dan tot

X − i Y = −πρ∑

Res

(dw

dz

)2. (4.69)

4.6 Twee-dimensionale potentiaalstromingen

4.6.1 parallel stroming rond een cilinder

In section 4.4.2 hebben we gezien dat de combinatie van een dipool en een parallelstroming destroming rond een bol voorstelt. In deze sectie beschouwen deze combinatie in twee dimensies.

48

Figure 4.6: Cilinder in een parallelstroming

We zullen vinden dat het resultaat een cilinderstroming is. Met behulp van (4.52) en (4.54)volgt voor de complexe potentiaal

w = −Uz − µ

2πz(4.70)

waarin de µ een reeel getal is. Dit betekent dat we de dipool-vector langs de x−as gekozenhebben.

De potentiaal en de stroomfunctie van deze stroming volgt uit het reele en imaginairegedeelte van (4.70) met als resultaat

Φ = −Ux − µx

2πr2(4.71)

ψ = −Uy +µy

2πr2(4.72)

waarbij de notatie en de geometrie geıllustreerd zijn in figuur 4.6.Uit (4.72) volgt direct dat de straal r =

√µ/(2πU) een stroomlijn is. Met andere wo-

orden we hebben de stroming rond een cilinder met straal a =√µ/(2πU) gevonden. Als

we de dipoolvector elimineren met behulp van de cilinderstraal worden de potentiaal en destroomfunctie

Φ = −Ur cos θ (1 +a2

r2) (4.73)

ψ = −Ur sin θ (1 − a2

r2). (4.74)

Het bijbehorende snelheidsveld volgt bijvoorbeeld uit (4.73) met ur = ∂Φ/∂r en uθ =(1/r) ∂Φ/∂θ. Voor de snelheid op de cilinder vinden we dan

ur = 0, uθ = 2U sin θ. (4.75)

Er zijn stuwpunten op de voor- en achterkant van de cilinder: θ = 0, π. De maximale snelheidgelijk aan 2U vinden we voor θ = π/2. Het bijbehorende drukveld volgt door toepassing van dewet van Bernoulli (4.7). Het wordt aan de lezer overgelaten om met behulp van dit drukveld de

49

kracht op de cilinder uit te rekenen. Het resultaat levert dan weer de paradox van d’Alembertop.

Via een beschouwing vergelijkbaar met die van sectie 4.4.3 kunnen we de stroming bereke-nen van een cilinder die zich voortbeweegt in een oneindig stilstaand medium. We moetenin dat geval van (4.70) de bijdrage van de parallelstroming aftrekken, zodat alleen de dipooloverblijft. Van deze stroming kunnen we wederom met (4.17) de kinetische energie uitrekenen(bedenk dat we nu de integraal over een gesloten curve in het x− y vlak moeten uitvoeren inplaats van over een gesloten oppervlak). Zonder verdere uitwerking geven we hier alleen hetresultaat

T =12ρπa2U2. (4.76)

Hieruit volgt dat de virtuele massa van een cilinder gelijk is aan

Mv = ρπa2. (4.77)

De Mv is gelijk aan de verplaatste massa vloeistof en is dus tweemaal groter dan de waarde(4.39), die we voor een bol gevonden hebben.

Tenslotte berekenen we met behulp van het Blasius theorema (4.69) de kracht, die destroming op de cilinder uitoefent. Hiertoe moeten we de residuen bepalen van (dw/dz)2, diebinnen de cilinder liggen. De enige singulariteit bevindt zich ter plaatse van de oorsprong enmet behulp van (4.70) volgt

(dw

dz)2 = U2(1− 2

a2

z2+a4

z4). (4.78)

Hieruit volgt dat de coefficient voor de term z−1 gelijk aan nul is. Met andere woorden hetresidu is nul en er is dus geen kracht op de cilinder. Dit is in overeenstemming met de paradoxvan d’Alembert, die we in sectie 4.4.2 besproken hebben.

4.6.2 stroming rond een cilinder met circulatie

We breiden nu de cilinderstroming, die we in de vorige sectie besproken hebben, uit met eenlijnwervel in de oorsprong. Met behulp van (4.70) en (4.55) volgt voor de complexe potentiaal

w = −Uz − Ua2

z− i κ

2πlnz

a(4.79)

waarbij we een constante gelijk aan i κ/(2π) ln a bij de potentiaal (4.55) van de lijnwervelhebben opgeteld. De lijnwervel is gefixeerd in de oorsprong en dit noemen we een gebondenwervel in tegenstelling met een zogenaamde vrije wervel, die met de stroming meebeweegt.

Uit het reele en het imaginaire deel van (4.79) volgt voor de potentiaal en de stroomfunctie

Φ = −Ur cos θ(1 +a2

r2) +

κθ

2π(4.80)

ψ = −Ur sin θ(1 − a2

r2)− κ

2πlnr

a. (4.81)

We vinden opnieuw dat r = a een stroomlijn is. Kortom (4.79) stelt nog steeds de stromingrond een cilinder voor.

Beschouw de tangentiele snelheidscomponent op de cilinder. Deze luidt

uθ =1r

∂Φ∂θ

|r=a = 2U sin θ +κ

2πa. (4.82)

50

Stel κ > 0. We vinden dan voor de maximale snelheid

uθ max = 2U +κ

2πa(4.83)

ter plaatse θ = π/2. Dit betekent dat naarmate κ toeneemt, deze maximale snelheid steedsgroter wordt met als gevolg dat de druk boven op de cilinder afneemt ten opzichte van de drukaan de onderkant.

Vervolgens kijken we naar de stuwpunten waar ur = uθ = 0. De positie van deze stuwpuntenvolgt uit de vergelijking

0 = 2U sin θ0 +κ

2πa. (4.84)

Voor κ/(4πUa) < 1 vinden we twee stuwpunten beide op de onderkant van de cilinder terplaatse

θ0 = − sin−1 κ

4πUaθ0 = −π + sin−1 κ

4πUa. (4.85)

Als κ/(4πUa) = 1 vallen beide stuwpunten samen ter plaatse θ = −π/2 dus precies op deonderkant van de cilinder. Voor κ/(4πUa) > 1 verplaatst het stuwpunt zich naar het inwendigevan de stroming. Dit heeft onder andere tot gevolg dat de snelheid langs de cilinder overaldezelfde richting heeft. Het hierboven beschreven stromingspatroon wordt geıllustreerd infiguur 4.7.

Als gevolg van de hierboven besproken asymmetrie in het snelheidsveld en de daarmeesamenhangende de asymmetrie in het drukveld mogen we verwachten dat de kracht tengevolgevan de stroming op de cilinder ongelijk aan nul is. We berekenen deze kracht weer met behulpvan het Blasius-theorema (4.69). De enige singulariteiten bevinden zich weer in de oorsprongen de bijbehorende reeksontwikkeling luidt

(dw

dz

)2

=

(−U + U

a2

z2− i κ

2πz

)2

= U2 + iκU

π

1z

+O

(1z2

). (4.86)

Hieruit volgt direct dat het residu (de coefficient voor de term z−1) in dit geval gelijk is aani κU/π. Substitutie in (4.69) leidt dan tot het resultaat

X = 0Y = ρUκ. (4.87)

De eerste uitdrukking laat zien dat de kracht in de richting van de parallelstroming, die wede weerstand genoemd hebben, gelijk aan nul is. Dit blijft dus in overeenstemming met deparadox van d’Alembert. Er is echter wel een kracht loodrecht op de parallel stroming, die weeen liftkracht noemen.

De conclusie van deze sectie luidt dat een gebonden lijnwervel in een parallel stromingaanleiding geeft tot een kracht, die loodrecht staat zowel op de parallelstroming als op dewervel. Het optreden van deze kracht staat bekend als het Magnus-effect. De consequentieservan komen we in de praktijk tegen als we ons bezig houden met draaiende golf- of tennisballen.

51

Figure 4.7: Stromingspatroon rond een cilinder met circulatie

De meest belangrijke toepassing van het Magnus-effect is echter de verklaring van lift van eenvliegtuigvleugel.

We zullen nu de belangrijke punten van de stroming rond een vliegtuigvleugel illustrerenaan de hand van een vereenvoudigd voorbeeld: de stroming rond een vlakke plaat, die ondereen hoek in een parallelstroming staat. Uitgangspunt is de stroming rond een cilinder. Omvan deze cilinderstroming naar de stroming rond een vlakke plaat te komen zullen we eerst eentransformatie moeten toepassen. In de complexe functie theorie kunnen we daarbij gebruikmaken van een zogenaamde conforme transformatie. In de volgende sectie volgt eerst een korteinleiding op deze conforme transformaties.

4.6.3 Conforme transformaties

Beschouw een functieζ = f(z) (4.88)

met z = x + i y = rei θ en ζ = ξ + i η = ρei ν . De functie f is analytisch, behalve in eenbeperkt aantal singulariteiten.

Met behulp van (4.88) kunnen we elke kromme in het z−vlak transformeren tot een krommein het ζ−vlak, zoals geıllustreerd is in figuur 4.8. Met andere woorden (4.88) is een transfor-matie van het z−vlak naar het ζ−vlak. Bij deze transformatie blijft de hoek tussen tweelijnstukken behouden. Om deze reden spreken we van een conforme transformatie. Voor het

52

Figure 4.8: Conforme transformatie van het z- naar het ζ-vlak

Figure 4.9: De conforme transformatie ζ = z1/2

bewijs van deze eigenschap en een meer uitgebreide bespreking verwijzen we naar sectie 6.5van Batchelor.

Van deze transformatie kunnen we nu alsvolgt gebruik maken. We hebben gezien dat hetreele en het imaginaire deel van de complexe potentiaal w(z): Φ(x, y) en ψ(x, y), een stelsel vanorthogonale lijnen vormen. Deze eigenschap blijft dus per definitie bewaard bij een conformetransformatie. Dit betekent dat de getransformeerde potentiaal opnieuw een potentiaal vaneen stroming oplevert maar nu in een andere geometrie. Dit resultaat volgt eigenlijk ook uit hetfeit dat de conforme transformatie van een analytische functie opnieuw een analytische functieoplevert. We kunnen dus concluderen dat de getransformeerde Φ(ξ, η) en ψ(ξ, η) wederom depotentiaal en stroomfunctie van een twee-dimensionale potentiaalstroming voorstellen.

Dit resultaat passen we nu alsvolgt toe. Stel: we moeten in het z−vlak een stromingoplossen in een ingewikkelde geometrie. Met behulp van een conforme transformatie trans-formeren we deze ingewikkelde geometrie tot een meer eenvoudige configuratie in het ζ−vlak.Vervolgens lossen we dit eenvoudiger stromingsprobleem in het ζ−vlak op met als resultaateen complexe potentiaal w(ζ). De stroming, die uit deze potentiaal volgt, voldoet onder andereaan de juiste randvoorwaarden: bijvoorbeeld op de getransformeerde geometrie. Vervolgens,vinden we de stroming in het oorspronkelijk z-vlak door de w(ζ) terug te transformeren totw(z). Omdat de transformatie conform is zal ook in het z-vlak aan de juiste randvoorwaardenvoldaan worden.

We nemen als voorbeeld de transformatie

ζ = z1/2 (4.89)

die in figuur 4.9 geıllustreerd is. Het is eenvoudig te controleren dat met (4.89) het halfvlak<(ζ) > 0 overgaat in het gehele z-vlak met uitsluiting van de positieve reele as. We kunnen

53

deze transformatie dan ook interpreteren als een wand ter plaatse =(ζ) = 0 in het ζ-vlak, diein het z-vlak overgaat in een half oneindige plaat Re(x) > 0.

We willen nu de stroming rond het uiteinde van deze half oneindige plaat berekenen. Inde getransformeerde geometrie in het ζ-vlak wordt dit de stroming langs een vlakke plaat. Deoplossing hiervan is een parallelstroming met de potentiaal w(ζ) = Aζ. De oplossing van hetstromingsprobleem in het z−vlak wordt dan gegeven door de inverse transformatie met alsresultaat

w = Az1/2. (4.90)

Op basis van deze potentiaal volgt dat het snelheidsveld gelijk wordt aan

u− i v =dw

dz=A

21z1/2

. (4.91)

Hiermee vinden we boven op de half-oneindige vlakke plaat, y = 0, x > 0 ofwel θ = 0,

u =A

2r1/2, v = 0 (4.92)

terwijl onder op de plaat, θ = 2π,

u = − A

2r1/2, v = 0. (4.93)

De normaalsnelheid v op de plaat is dus overal gelijk aan nul. Dit bevestigt dat we inderdaadde omstroming rond een half oneindige plaat berekend hebben. Tevens vinden we dat terplaatse van de scherpe rand op r = 0 de snelheid gelijk aan oneindig wordt.

Laten we vervolgens de kracht op de plaat uitrekenen met behulp van het Blasius-theorema.Het residu van (dw/dz)2 is in dit geval A2/4, zodat met (4.69) volgt

X = −π4ρA2, Y = 0. (4.94)

We vinden dus een netto kracht op de plaat langs de negatieve x-as.De enige krachten in een potentiaalstroming zijn drukkrachten. Om die reden lijkt het resul-

taat (4.94) enigszins paradoxaal. De plaat is oneindig dun en dit betekent dat de drukkrachtenin de x−richting op een oppervlak gelijk aan nul aangrijpen. Echter, we hebben gezien datde snelheid op de scherpe rand oneindig groot wordt en dit betekent dat volgens de wet vanBernoulli (4.7) de druk ook oneindig wordt. Het produkt van een oneindige druk op eenoneindig klein oppervlak levert dus hier een eindig resultaat op, wat als de paradox van Cisottibekend staat. Het zal echter duidelijk zijn dat zowel een oneindige snelheid als druk niet ergrealistisch zijn.

In sectie 6.5 van Batchelor wordt verder aandacht besteed aan de generalisatie van detransformatie (4.89) tot ζ = zn. Hiermee kunnen we de stroming in een hoek beschrijven.

Hier zullen we verder gaan met de zogenaamde Joukowsky-transformatie

z = ζ +λ2

ζ(4.95)

waarin λ een reele parameter is.

54

Figure 4.10: Joukowsky transformatie

Allereerst bekijken we het effect van deze transformatie op een cirkel in het ζ-vlak. Webeschouwen hiertoe een cirkel met de oorsprong als middelpunt en met een straal λ (zie figuur4.10). Er volgt met ζ = λei ν

z = λei ν +λ2

λe−i ν = 2λ cos ν. (4.96)

Als ν varieert tussen 0 < ν ≤ 2π beweegt de oplossing in het z−vlak zich langs een lijnstukop de reele as met −2λ ≤ x ≤ 2λ. De ν = 0 en ν = π corresponderen respectievelijk metde voor- en achterkant van het lijnstuk. Met andere woorden, volgens de transformatie (4.95)gaat een cirkel (met straal λ) over in een vlakke plaat. Het wordt aan de lezer overgelaten omte bewijzen dat cirkels met een straal ρ > λ overgaan in ellipsen met een halve lange-as langsde x-as gelijk aan (ρ + λ2/ρ) en een halve korte-as langs de y-as gelijk aan (ρ + λ2/ρ). Ditbetekent dat we met de Joukowsky-transformatie de stroming rond een vlakke plaat maar ookrond een ellips kunnen berekenen.

4.6.4 Stroming rond een vlakke plaat

Op basis van deze Joukowsky transformatie (4.95) kunnen we nu de liftkracht uitrekenen opeen vlakke plaat, die onder een hoek in een parallelstroming staat.

We kiezen de orientatie van de vlakke plaat langs de x−as. De parallelstroming maakteen hoek α met de x−as (zie figuur 4.11). De plaat heeft een lengte 4λ. We hebben in devorige sectie gezien dat deze vlakke plaat met behulp van de transformatie (4.95) tot een cirkelmet straal λ getransformeerd kan worden. De ingewikkelde geometrie van een plaat, die ondereen hoek wordt aangestroomd, wordt dus in een vanuit stromingsoogpunt meer eenvoudigecilinder-geometrie getransformeerd.

Vervolgens beschouwen we cilinder-stroming in het ζ−vlak. Deze stroming hebben weuitgebreid besproken in sectie 4.6.1. Door op (4.70) de transformatie z = ζe−i α toe te passen,dat wil zeggen een rotatie over een hoek α, volgt voor de oplossing van de cilinder-stroming inhet ζ−vlak

w(ζ) = −Uei αζ − Uλ2

ζe−i α. (4.97)

55

Figure 4.11: Stroming rond een vlakke plaat

De inverse Joukowsky-transformatie luidt

ζ =12(z +

√z2 − 4λ2). (4.98)

Door toepassing op (4.97) volgt de stroming rond de vlakke plaat in het z-vlak. Het resultaatluidt

w(z) = −12Uei α(z +

√z2 − 4λ2) + e−i α(z −

√z2 − 4λ2). (4.99)

Laten we met behulp van deze potentiaal de snelheidsverdeling op de plaat uitrekenen. Ervolgt

u− i v ≡ dw

dz=dw

dζ

dζ

dz|ζ=λei ν =

= −U sin(α+ ν)sin ν

. (4.100)

We vinden dat langs de vlakke plaat v = 0 ofwel er is alleen een component langs de x−as.Dit is in overeenstemming met de randvoorwaarde, dat de normaalcomponent van de snelheidgelijk aan nul moet zijn. Op de voor- en de achterrand van de plaat, die corresponderen metν = 0 en ν = π, wordt de snelheid oneindig. Dit is vergelijkbaar is met de omstroming van descherpe rand van sectie 4.6.3. Boven en onder op de plaat ter plaatse van ν = −α en ν = π−αvinden we stuwpunten. Hier is dus de snelheid gelijk aan nul. Deze stuwpunten hebben we infiguur 4.11 aangegeven.

We worden dus wederom geconfronteerd met niet-realistische, oneindig grote snelhedenzowel op de voor- als de achterrand. Op de voorrand (ν = 0) kunnen we dit vermijden door descherpe rand af te ronden. Dit gebeurt inderdaad bij een vleugelprofiel. De oneindige snelheidop de achterrand vergt meer aandacht.

Voor de oplossing van dit probleem moeten we een iets ingewikkelder stroming beschouwen.We voegen namelijk aan de cilinder-stroming in het ζ−vlak een lijnwervel met sterkte κ toe. Depotentiaal voor deze stroming hebben we uitgebreid in sectie 4.6.2 besproken. Toevoeging vaneen lijnwervel betekent dat we de potentiaal (4.97) met een term (−i κ)/(2π) ln(ζ/λ) uitbreiden.

56

Figure 4.12: Gladde afstroming van de achterrand van een vlakke plaat

We rekenen dan opnieuw de snelheidsverdeling (4.100) langs de vlakke plaat uit. Het resultaatluidt

u− i v ≡ dw

dz= −U sin(α + ν) + κ

4πUλ

sin ν. (4.101)

De circulatie κ is in principe nog onbekend. We kiezen nu deze circulatie zodanig dat eenstuwpunt op de achterrand komt te liggen. In dat geval hebben we niet langer een oneindigesnelheid rond de achterrand maar een gladde afstroming zoals in figuur 4.12 geillustreerd wordt.De achterrand correspondeert met ν = π. Toepassing van bovengenoemde voorwaarde levertdan

sin(α + π) +κ

4πUλ= 0 (4.102)

die een vergelijking voor κ geeft.De vergelijking (4.102) staat bekend als de Kutta-Joukowsky conditie. Deze stelt dat er

rond een vlakke plaat onder een hoek in een parallelstroming een circulatie bestaat, die ervoorzorgt dat de afstroming van de achterrand glad verloopt. Omdat we de vlakke plaat als eeneerste benadering van een vleugel profiel genomen hebben, geldt dit resultaat dus ook voor eenvleugelprofiel.

In sectie 4.6.2 hebben we echter gevonden dat een dergelijke circulatie tengevolge van eengebonden wervel aanleiding geeft tot een liftkracht ter grootte van

L = ρκU

= 4πρU2λ sinα (4.103)

waarbij we (4.102) gebruikt hebben om κ te elimineren.Laten we deze liftkracht uitdrukken met behulp van een dimensieloze liftcoefficient cL. Deze

is gedefinieerd als

L = cL12ρU2 c (4.104)

waarin c = 4λ de koorde van de plaat voorstelt. Er volgt dan voor de liftcoefficient van eenvlakke plaat

cL = 2π sinα. (4.105)

De liftcoefficient neemt dus toe met de hoek α, die de plaat met de parallelstroming maakt.Deze hoek wordt ook wel de invalshoek genoemd.

De liftkracht L staat loodrecht op de parallelstroming U , zoals getekend in figuur 4.12.Met andere woorden de weerstand is weer gelijk aan nul en dit is in overeenstemming met de

57

paradox van d’Alembert. Echter, we weten dat in een potentiaalstroming alleen drukkrachtenvoorkomen. Op het eerste gezicht lijkt het er op dat de resultante van deze drukkrachten opde vlakke plaat langs de y−as moet staan. Bedenk echter dat langs de voorrand van de plaatde snelheid nog steeds oneindig is. Hier geldt weer de paradox van Cisotti (4.94), die ervoorzorgt dat de totale resulterende kracht loodrecht op de parallelstroming staat.

58

Chapter 5

Thermodynamica

5.1 Behoud van energie

De potentiaalstromingen, die in het vorige hoofdstuk besproken zijn, hebben vele, belangrijketoepassingen: bijvoorbeeld draagvlaktheorie, golven enzovoort. Niettemin heeft dit type vanstromingen fysisch gezien een belangrijke tekortkoming, die het best geıllustreerd wordt doorde paradox van d’Alembert. Het kost geen energie om een stationaire potentiaalstroming instand te houden.

In sectie 4.4.3 hebben we deze paradox van d’Alembert teruggevoerd tot het ontbrekenvan verliesprocessen. Dit hangt natuurlijk samen met het feit dat we de potentiaaltheorie ineerste instantie hebben toegepast als een oplossingsmethode voor de Euler-vergelijkingen, datwil zeggen voor een ideale vloeistof. Visceuze schuifkrachten zijn in een dergelijk fluıdum gelijkaan nul. We moeten dus concluderen dat we met een ideale vloeistof niet alle aspecten van eenrealistische stroming kunnen beschrijven en dit geldt met name voor het aspect weerstand.

Het sleutelwoord hierboven is ideale vloeistof, want we hebben in sectie 4.1 betoogd dat eenoplossing van potentiaalprobleem tevens een oplossing van de volledige bewegingsvergelijkingen(3.32) inclusief wrijving vormt. Hier ligt een schijnbare paradox. Echter, we hebben ookbenadrukt dat een potentiaalstroming als oplossing van de volledige bewegingsvergelijkingenin het algemeen niet voldoet aan de ”no-slip”-conditie. Kortom deze randvoorwaarde en dusde aanwezigheid van schuifkrachten op de wand is de basis van weerstand en daar zullen we inhoofdstuk 6 nog uitgebreid op terugkomen.

Laten we terug keren naar de volledige bewegingsvergelijkingen (3.32). Voordat we deoplossingen van deze vergelijkingen gaan afleiden, zullen we eerst in het algemeen de rol vande viscositeit µ in deze vergelijkingen beschouwen. Dit doen we door het introduceren van eennieuwe vergelijking, die behoud van energie beschrijft.

Ons uitgangspunt is weer een materieel vloeistofelement met volume δV en massa δM ,dat per definitie met het stromingsveld meebeweegt. Dus door de wanden van dit elementvindt geen transport plaats. Dit betekent dat we het vloeistofelement als een gesloten systeemkunnen beschouwen. Hierop kunnen we dus de eerste hoofdwet van de thermodynamica voorgesloten systemen toepassen. Per eenheid van massa luidt deze wet

∆Etot = Q+W (5.1)

waarin ∆Etot de verandering van de totale energie van het vloeistofelement is, Q de aan hetelement toegevoegde warmte en W de op het element verrichte arbeid.

59

De totale energie is gelijk aan

Etot = E +12u2 (5.2)

waarin E de interne energie per massa eenheid voorstelt en 12u

2 de kinetische energie van hetsnelheidsveld. Om de interne energie E in andere grootheden te kunnen uitdrukken zullenwe gebruikmaken van de klassieke thermodynamica voor evenwichtstoestanden. We veronder-stellen dat ons vloeistofelement steeds in thermodynamisch evenwicht is. Het zal duidelijk zijndat een stroming per definitie niet in evenwicht kan zijn. Echter de afwijkingen van evenwichtzullen voor elk vloeistofelement verwaarloosbaar zijn als de tijdschaal van stroming veel groteris dan de moleculaire tijdschaal, op basis waarvan het thermodynamisch evenwicht zich instelt.Dit laatste is in vrijwel alle praktische stromingen het geval.

Voor een systeem in evenwicht is de E een zogenaamde toestandsgrootheid. De evenwicht-sthermodynamica stelt tevens dat een homogeen systeem volledig beschreven kan worden metbehulp van slechts twee toestandsgrootheden, die ook wel toestandsvariabelen genoemd wor-den. Homogeen betekent hierbij dat overal in het systeem het medium een gelijke samenstellingheeft. Er zijn dus geen fase-overgangen of chemische reacties waarbij nieuwe componentengeıntroduceerd worden. Voor de twee basistoestandsvariabelen kiezen we de dichtheid ρ en deabsolute temperatuur T . Terzijde merken we nog op dat de extrapolatie van deze thermody-namische toestandsvariabelen naar een niet-evenwichtstoestand zoals een stromend mediumniet geheel triviaal is. Dit geldt met name voor de temperatuur. Voor een meer uitgebreidebespreking verwijzen we naar sectie 3.4 van Batchelor.

Er volgt nu voor interne energie van een stromend medium, dat aan de hierboven genoemdebeperkingen met betrekking tot het evenwicht voldoet

E = f(ρ, T ). (5.3)

Deze vergelijking staat bekend als de calorische vergelijking. Voor een ideaal gas geldt

E = cvT (5.4)

waarin cv de specifieke warmte bij constant volume is.Daarnaast voeren we de thermodynamische toestandsvergelijking in, die een betrekking

geeft tussen de thermodynamische toestandsvariabelen. Deze luidt

pe = f(ρ, T ) (5.5)

waarin pe de thermodynamische druk wordt genoemd. Voor een ideaal gas geldt

pe = RρT. (5.6)

De pe is in principe niet zonder meer gelijk aan de mechanische druk (3.24), die we als degemiddelde normaalspanning hebben gedefinieerd. Alleen als evenwicht exact geldig is, dat wilzeggen in een stilstaand medium, geldt dat pe = p ≡ −1

3σkk. Echter op basis van de hierbovengenoemde hypothese dat afwijkingen van het evenwicht in een stroming klein zijn, zullen weook in een stromend medium stellen dat

pe = −13σkk. (5.7)

Dit betekent dat we de druk, zoals die in de algemene bwegingsvergelijkingen (3.32) voorkomt,met behulp van (5.5) in de andere toestandsgrootheden, ρ en T , kunnen uitdrukken.

60

We keren nu terug tot de eerste hoofdwet voor een materieel vloeistofelement (5.1). Uit-gaande van dit resultaat berekenen we de verandering van energie van een materieel volume Vmet oppervlak S en buitennormaal n. Met gebruikmaking van (3.5) vinden we

∫ ∫ ∫VρDEtot

DtdV =

∫ ∫ ∫Vρfiui dV +

∫ ∫Sσijui nj dS +

∫ ∫Sk∂T

∂xini dS. (5.8)

De eerste twee termen aan de rechterkant van (5.8) stellen de arbeid voor, die respectievelijkverricht wordt door de volume- en de oppervlakte-krachten. De derde term in (5.8) is dewarmte, die aan het volume wordt toegevoerd door moleculaire geleiding. Hierbij heet k dewarmtegeleidingscoefficient.

Met behulp van het divergentie theorema (A.10) kunnen we de oppervlakte-integralen in(5.8) in volume-integralen uitdrukken. We stellen nu dat de resulterende integraal moet geldenvoor elk volume V , zodat we de integrand links en rechts gelijk kunnen stellen, met als resultaat

ρDEtot

Dt= ρfiui +

∂ (uiσij)∂xj

+∂

∂xi(k∂T

∂xi). (5.9)

Met (5.2) en (3.16) volgt dan

ρDE

Dt= σij

∂ui

∂xj+

∂

∂xi(k∂T

∂xi). (5.10)

Deze vergelijking geeft een algemene uitdrukking in differentiaalvorm voor de verandering vande interne energie in een stroming.

Vervolgens substitueren we in (5.10) de constitutieve relatie (3.30) voor een Newtonsmedium. We vinden dan

ρDE

Dt= −p∆ + 2µ(eij − 1

3∆δij)

∂ui

∂xj+

∂

∂xi(k∂T

∂xi)

= −p∆ + 2µ(e2ij −13∆2) +

∂

∂xi(k∂T

∂xi)

= −p∆ + 2µ(eij − 13∆δij)2 +

∂

∂xi(k∂T

∂xi) (5.11)

waarbij we in de laatste stap gebruik gemaakt hebben van de identiteit (eij − 13∆δij)2 =

e2ij − 23eij∆δij + 1

9∆2δij2, die met δ2ij = δii = 3 en δijeij = ∆ overgaat in e2ij − 13∆2.

De eerste term aan de rechterzijde van (5.11) is de arbeid, die verricht wordt door hetisotrope deel van de spanningstensor. We hebben betoogd dat dit deel de expansie/compressiein de stroming vertegenwoordigt. Met andere woorden deze term stelt de volumeverander-ingsarbeid voor.

De tweede term is de arbeid door de deviatorische spanningen, die ook wel de vervormingsar-beid genoemd wordt. We vinden dat deze vervormingsarbeid altijd positief is! De achtergrondhiervan is dat in een reele vloeistof (µ 6= 0) kinetische energie wordt omgezet in interne energie(warmte) ten gevolge van wrijving. Dit is het verliesproces, waar we in het begin van dezesectie naar verwezen hebben. Om te benadrukken dat deze term een verliesproces voorsteltwordt hij ook wel dissipatie genoemd.

De derde term in (5.11) geeft de verandering van de interne energie tengevolge van warmte-toevoer door moleculaire geleiding.

61

We kunnen uit (5.11) concluderen, dat er in een reele vloeistof verliezen optreden. Datwil zeggen om de stroming in stand te kunnen houden moeten we continu arbeid verrichten.Deze arbeid kan vertaald worden als de weerstand, die een lichaam in een stroming van eenreele vloeistof ondervindt. Hiermee hebben we een fundamenteel onderscheid gevonden metstroming van ideale vloeistoffen, die geen verliesprocessen kennen.

5.2 Entropie

Het effect van visceuze dissipatie kunnen we ook zichtbaar maken met behulp van een anderevorm van de eerste hoofdwet. Deze luidt

TDS

Dt=DE

Dt+ p

D

Dt

(1ρ

)(5.12)

waarin S de entropie voorstelt. De entropie is een toestandsvariabele, die een maat voor dewanorde van het systeem voorstelt. We kunnen (5.12) als een definitie van entropie beschouwen.

Met behulp van de continuiteitswet (2.3) volgt D(1/ρ)/Dt = ∆/ρ. Na substitutie van ditresultaat in (5.12) en na gebruikmaking van (5.11) volgt

TDS

Dt= 2

µ

ρ(eij − 1

3∆δij)2 +

1ρ

∂

∂xi(k∂T

∂xi). (5.13)

Uit deze vergelijking volgt dat dissipatie altijd gepaard gaat met een toename van de entropieofwel met een vergroting van de wanorde van een systeem. Met andere woorden, nuttigemechanische arbeid (kinetische energie) wordt via dissipatie omgezet in wanordelijke molecu-laire bewegingen (warmte).

Tevens volgt uit (5.13) dat voor een ideale vloeistof (µ = 0 en k = 0) de energie-vergelijkingin compacte vorm geschreven kan worden als

DS

Dt= 0. (5.14)

De entropie is in dit geval een materiele eigenschap en blijft dus constant als we een vloeistofele-ment volgen. Een dergelijk proces noemt men ook wel isentropisch.

5.3 Energie-integraal

Het is vaak gebruikelijk de energie-vergelijking te formuleren in termen van een zogenaamdeenergie-integraal. Ons uitgangspunt is (5.9) voor een incompressibele stroming en een Newtonsmedium. Er volgt dan

D

Dt(E +

12u2

i ) = uifi − 1ρ

∂ (uip)∂xi

+1ρ

∂

∂xj

2µui

(eij − 1

3∆δij

)+

1ρ

∂

∂xi(k∂T

∂xi). (5.15)

We maken nu de volgende veronderstellingen:

• De volume krachten (fi) zijn conservatief.

62

Er is dus een kracht-potentiaal, Ψ, die voldoet aan

fi = − ∂Ψ∂xi

. (5.16)

Er volgt dan

uifi = −ui∂Ψ∂xi

= −DΨDt

(5.17)

omdat ∂Ψ/∂t ≡ 0.

• De stroming is stationair.

Dit betekent dat p 6= p(t) ,zodat

−1ρ

∂ (uip)∂xi

= −pρ

∂ui

∂xi− ui

ρ

∂p

∂xi

=p

ρ2

Dρ

Dt− 1ρ

Dp

Dt(5.18)

= − D

Dt

(p

ρ

).

Substitutie van (5.17) en (5.18) in (5.15) leidt tot de volgende uitdrukking

DH

Dt=

1ρ

∂

∂xj

2µui

(eij − 1

3∆δij

)+ k

∂T

∂xi

(5.19)

waarin de variabele H gelijk is aan

H = E +12u2

i +p

ρ+ Ψ. (5.20)

Aan een vloeistofelement kunnen we dus een grootheid H toekennen die alleen varieertonder invloed van wrijving en warmtegeleiding. Voor een ideale vloeistof (µ = 0 en k = 0)kunnen we (5.19) direct integreren met als resultaat

H = constant (5.21)

langs de baan van een vloeistofelement. Omdat we een stationaire stroming beschouwen, isdeze baan is gelijk aan een stroomlijn. Het resultaat (5.21) staat bekend als de algemene wetvan Bernoulli.

In termen van de klassieke mechanica kunnen we (5.21) interpreteren als T +V = constant,waarbij T = E + 1

2u2i de totale kinetische energie voorstelt (dat wil zeggen de som van de

moleculaire en de macroscopische kinetische energie) en V = p/ρ + Ψ de potentiele energie.Om deze reden wordt (5.21) ook wel een energie-integraal genoemd.

Voor het speciale geval van een incompressibele stroming, waartoe we ons tot nu toe beperkthebben, kunnen we (5.20) nog vereenvoudigen tot

H =12u2

i +p

ρ+ Ψ = constant. (5.22)

63

Immers we hebben betoogd dat de interne energie E een functie is van twee toestandsvariabelen.We kiezen voor deze variabelen S en ρ. Dan volgt

DE

Dt=(∂E

∂ρ

)S

Dρ

Dt+(∂E

∂S

)ρ

DS

Dt. (5.23)

Echter zoals we in sectie 2.1 gezien hebben is de voorwaarde voor een incompressibele stromingDρ/Dt = 0, terwijl voor een ideale vloeistof de energie-vergelijking reduceert tot DS/Dt = 0(5.14). Met (5.23) leidt dit tot het resultaat dat E constant is voor een vloeistofelement. Wekunnen de E dus in de integratie-constante van (5.21) incorporeren. Hiermee volgt dan direct(5.22).

We hebben hierboven bewezen dat voor een stationaire stroming van een ideale vloeistof degrootheid H constant is langs een stroomlijn. In principe kan H wel variereren van stroomlijntot stroomlijn. We zullen nu een vergelijking voor deze ruimtelijke variatie van H afleiden.

Beschouw hiertoe de definitie van S (5.12) maar nu uitgedrukt als een ruimtelijke gradient

T∇S = ∇E + p∇1ρ. (5.24)

Vervolgens nemen we de gradient van (5.20)

∇H = ∇E +∇(12u2

i ) +∇(p

ρ) +∇Ψ. (5.25)

Omdat we de wet van Bernoulli (5.21) beschouwen, beperken we ons tot een ideale vloeistof,waarvoor de Euler-vergelijkingen (4.1) geldig zijn. Voor een stationaire stroming volgt uit dezevergelijkingen

(u · ∇)u = −∇Ψ− 1ρ∇p. (5.26)

Met de vector relatie (A.16) kunnen we deze vergelijking herschrijven als

∇(12u2) +∇Ψ +

1ρ∇p = u× ω (5.27)

waarin ω = ∇× u.Door combinatie van (5.24), (5.25) en (5.27) volgt nu de uitdrukking

∇H = T∇S + u× ω (5.28)

die bekend staat als Crocco’s theorema.Vergelijking (5.28) laat zien dat H door de stroming varieert tengevolge van een tweetal bi-

jdragen. De eerste term in (5.28) beschrijft de variatie van de entropie, bijvoorbeeld tengevolgevan een dichtheidsvariatie. Een medium met variabele dichtheid hebben we ook wel heterogeengenoemd. We hebben ons tot nu toe beperkt tot een homogeen medium en we zullen dit nuuitbreiden tot ∇S = 0. Dit noemen we een homentrope stroming.

De tweede bijdrage in (5.28) laat zien dat H 6= f(x), indien de stroming naast homentroopook rotatievrij is (ω = 0). In sectie 4.2 hebben we afgeleid dat ω = 0 de voorwaarde voor eenpotentiaalstroming is. Met andere woorden voor een potentiaalstroming geldt H = constant,waarbij de constante niet meer varieert tussen de stroomlijnen. Dit resultaat bevestigt de wetvan Bernoulli (4.7) die we in sectie 4.2 hebben afgeleid. We hebben dus hier gevonden dat dezewet geinterpreteerd kan worden als een energie-integraal.

64

Chapter 6

Stromingen met wrijving

6.1 De Navier-Stokes vergelijkingen

In dit hoofdstuk zullen we oplossingen van de volledige bewegingsvergelijkingen (3.32) be-spreken. Deze vergelijkingen staan ook wel bekend als de Navier-Stokes vergelijkingen vooreen incompressibele stroming. Bovendien hebben we temperatuurvariaties verwaarloosd, zodatµ als een constante beschouwd kan worden.

We zullen ons ook beperken tot een homogeen medium ofwel ρ = constant. Als we onsverder limiteren tot de zwaartekracht als enige volume-kracht met g = (0, 0,−g) en tot eenstromingsveld waarin geen vrij-oppervlak aanwezig is, kunnen we de Navier-Stokes vergelijkin-gen vereenvoudigen. We hoeven in dat geval de zwaartekrachtsterm in (3.32) niet explicietmee te nemen. We kunnen deze in de druk incorporeren met behulp van een zogenaamdegemodificeerde druk P , die alsvolgt gedefinieerd is

p = p0 + ρg · x+ P. (6.1)

Door substitutie van (6.1) in (3.32) volgt

Dui

Dt= −1

ρ

∂P

∂xi+ ν

∂2ui

∂x2j

(6.2)

waarin ν = µ/ρ de kinematische viscositeit wordt genoemd. In het vervolg zullen we van(6.2) gebruikmaken waarbij we voor de gemodificeerde druk P weer de kleine letter p zullengebruiken.

Het effect van wrijving in (6.2) wordt gerepresenteerd door de kinematische viscositeit ν.In tabel (6.1) ontleend aan Batchelor zijn de waarden van ν voor enige vloeistoffen vermeld.Uit deze tabel volgt bijvoorbeeld dat voor de oplossing van vergelijking (6.2) kwik effectief eenmeer wrijvingsloos medium is dan water.

In de volgende secties zullen we enige oplossingen van de Navier-Stokes vergelijkingenbespreken.

6.2 Exacte oplossingen

Voor de oplossing van de volledige Navier-Stokes vergelijkingen (6.2) bestaat geen algemenetheorie zoals voor potentiaalstromingen. De moeilijkheid zit in de niet-lineaire convectieve

65

Table 6.1: Enige waarden voor dynamische en de kinematische viscositeit

µ ν(g cm−1s−1) (cm2s−1)

lucht 0.00018 0.15water 0.011 0.011kwik 0.016 0.0012olijf olie 0.99 1.08glycerine 23.3 18.5

termen uj∂ui/∂xj . Echter in bepaalde omstandigheden wordt deze niet-lineaire term exactgelijk aan nul. In deze gevallen is het vaak mogelijk een exacte oplossing van de Navier-Stokesvergelijkingen te vinden.

6.2.1 een-dimensionale stromingen

We nemen als eerste voorbeeld een een-dimensionale stromingsgeometrie. In dat geval heeft desnelheidsvector u de volgende vorm: u = (u, 0, 0). Er is dus slechts een snelheidscomponent,namelijk de x−component, die ongelijk aan nul is. De continuiteitswet (2.6) reduceert tot∂u/∂x = 0 en hiermee volgt dat u 6= f(x). Voor de bewegingsvergelijkingen (6.2) vinden wein dit geval

ρ∂u

∂t= −∂p

∂x+ µ

(∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)

0 = −∂p∂y

(6.3)

0 = −∂p∂z.

Uit de laatste twee vergelijkingen en u 6= f(x) volgt dan dat de drukgradient ∂p/∂x alleen eenfunctie van de tijd kan zijn. We voeren de volgende notatie in

∂p

∂x= −G(t). (6.4)

We verdelen de oplossing van (6.3) in twee gevallen.

stationaire stroming

Voor een stationaire stroming, geldt dat G = constant. We beperken ons tot een axisym-metrische stromingsgeometrie, zoals geillustreerd is in figuur 6.1. In dat geval reduceert deeen-dimensionale Navier-Stokes vergelijking (6.3) voor de u-component tot

1r

∂

∂r

(r∂u

∂r

)= −G

µ. (6.5)

Deze vergelijking kunnen we interpreteren als een krachtenbalans op elk vloeistofelement, waar-bij de drukgradient G in evenwicht is met de wrijvingskrachten. Omdat de stroming door een

66

Figure 6.1: Stroming in een buis

krachtenevenwicht bepaald wordt en de versnelling van alle vloeistofelementen dus per definitiegelijk aan nul is, volgt dat de dichtheid ρ geen rol meer kan spelen. Het resultaat is dat dedichtheid ρ wegvalt uit de vergelijkingen. Met andere woorden we hebben hier een statisch engeen dynamisch probleem

De differentiaalvergelijking (6.5) kan worden opgelost met als resultaat

u = −Gµ

(14r2 +A ln r +B) (6.6)

waarin A en B integratie-constanten zijn. De waarden van A en B volgen uit de randvoor-waarden. We nemen u = 0 voor r = a. Tevens stellen we dat de oplossing voor de snelheidoveral begrensd dient te blijven, zodat we A gelijk aan nul moeten stellen. Het resultaat luidtdan

u =G

4µ(a2 − r2). (6.7)

Dit stelt de stroming voor in een buis onder invloed van de drukgradient G, hetgeen ook bekendstaat als de Poiseuille stroming.

Een vergelijkbaar probleem is de stroming tussen twee vlakke wanden op een afstand d vanelkaar. De bewegingsvergelijking (6.3) voor u wordt in dit geval

∂2u

∂y2= −G

µ(6.8)

waarbij de y−coordinaat loodrecht op beide wanden staat. Stel dat de onderste wand op y = 0stilstaat en dat de bovenste wand op y = d beweegt met een snelheid U in zijn vlak. Met dezerandvoorwaarden wordt de oplossing van (6.8)

u =G

2µy(d− y) +

Uy

d. (6.9)

De tweede term in deze oplossing stelt de stroming tussen twee ten opzichte van elkaar bewe-gende vlakke platen voor en staat bekend als de Couette-stroming.

Voor verdere stationaire oplossingen voor de een-dimensionale geometrie verwijzen we naarsectie 4.2 van Batchelor.

instationaire stroming

We nemen in dit geval G = 0, dat wil zeggen er is geen externe forcering van de stroming.Hiermee volgt voor de bewegingsvergelijking (6.3)

∂u

∂t= ν

(∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

). (6.10)

67

Figure 6.2: Snelheidsdiscontinuiteit ter plaatse y = 0

Dit is een bekende vergelijking uit de mathematische fysica die bekend staat als de diffusiev-ergelijking en die, zoals de naam zegt, een verspreidingsproces beschrijft.

Als voorbeeld voor een oplossing van de diffusievergelijking (6.10) beschouwen we het vol-gende probleem. Op tijdstip t = 0 nemen we als begincondities

u = U , y > 0u = −U , y < 0 (6.11)

zoals geillustreerd in figuur 6.2. Dit stelt een discontinuiteit van de tangentiele snelheid voorter plaatse van het vlak y = 0. In sectie 2.4.2 hebben we afgeleid dat een dergelijke snelheids-discontinuiteit geinterpreteerd kan worden als een wervelvlak. Dit is een geometrie waarbij dewervelverdeling in een vlak geconcentreerd is met een sterkte Γ = 2U .

Hoe evolueert deze snelheidsdiscontinuıteit ofwel wervelverdeling als functie van de tijd?Laten we eerst een kwalitatieve beschouwing geven. Ter plaatse van y = 0 is de snelheids-gradient ∂u/∂y op t = 0 in principe oneindig. Dit betekent dat de visceuze schuifkrachtenhier ook oneindig zullen zijn. Deze schuifspanningen zullen er voor zorgen dat de snelheids-discontinuıteit zich niet kan handhaven. Het snelheidsverschil, dat eerst ter plaatse van y = 0geconcentreerd was, wordt uitgesmeerd langs de y−richting. Dit noemt men een diffusieproces.

We leiden nu een expliciete oplossing van (6.10) af voor dit probleem. De beginvoorwaardenzijn (6.11) terwijl we als randvoorwaarden opleggen

u = U , y →∞u = −U , y → −∞. (6.12)

Dit betekent dat ver van het discontinuiteitsvlak de snelheid ongestoord blijft.Er zijn verschillende methoden bekend om dit probleem op te lossen:

• Greense functies, zoals in sectie 4.3 van Batchelor wordt toegepast

• Fourier of Laplace transformaties

• Gelijkvormigheidsoplossingen

We zullen hier de laatste methode (gelijkvormigheidsoplossingen) toepassen omdat dezevaak met succes voor stromingsproblemen kunnen worden gebruikt. De basis van de geli-jkvormigheidsoplossing is het vinden van een natuurlijke lengteschaal in termen van de an-dere parameters in het probleem. Deze methode werkt dus alleen voor problemen, die geenopgelegde lengteschaal hebben.

68

Uitgangspunt van de gelijkvormigheidsmethode is deze hypothese. We stellen dat de oploss-ing in de volgende dimensieloze vorm geschreven kan worden

u

U= f(

y

`) (6.13)

waarbij U een snelheidsschaal is. Het ligt voor de hand om de snelheid ter weerskanten vande discontinuıteit als de snelheidsschaal te nemen. De ` is een nog onbekende lengteschaal. Inprincipe geldt ` = `(t) en dit impliceert dat de tijdsafhankelijkheid van de oplossing volledigin ` verborgen is. In een andere formulering betekent dit: als we het snelheidsprofiel opverschillende tijdstippen schalen met de bijbehorende ` vinden we een identieke uitdrukking.Dit is de essentie van gelijkvormigheid.

Uitgaande van (6.13) vinden we voor de diverse afgeleiden

∂u

∂t= −U η

`

df

dη

d`

dt(6.14)

∂2u

∂y2= U

1`2d2f

dη2(6.15)

waarin η = y/`. Substitutie in (6.10) met ∂ /∂z = 0 leidt tot

d2f

dη2+`

ν

d`

dtηdf

dη= 0. (6.16)

We hebben hierboven betoogd dat de gelijkvormigheidsoplossing geen expliciete functie van detijd mag zijn. Dit is alleen mogelijk als

`

ν

d`

dt= C (6.17)

waarin C een constante is. Deze vergelijking heeft als oplossing

`2 = 2Cνt. (6.18)

We vinden hiermee een uitdrukking voor de lengteschaal in termen van de fysische variabelen inons probleem. Dit hebben we hierboven een natuurlijke lengteschaal genoemd. Fysisch gezienstelt ` de breedte van het gebied voor, waarin de snelheidsdiscontinuiteit wordt uitgesmeerd.Dit gebied groeit dus als de wortel van de tijd. Dit resultaat is een fundamentele eigenschapvan een oplossing van de diffusievergelijking.

Vervolgens substitueren we (6.18) met de waarde 2 voor de constante C in (6.16). Inprincipe is de C willekeurig te kiezen maar de waarde 2 leidt tot een vereenvoudiging van hetrekenwerk. Er resulteert een gewone differentiaalvergelijking, die we met de standaardmethodevan scheiding van variabelen kunnen oplossen. De oplossing luidt

f =∫ η

0Ae−η2

dη +B (6.19)

waarin A en B integratiecontanten zijn. Deze vinden we door toepassing van de randvoor-waarden (6.12). Er volgt dan B = 0 en A = 2/

√π, zodat de volledige oplossing voor het

snelheidsprofiel luidtu

U=

2√π

∫ η

0e−η2

dη = erf(η). (6.20)

69

Figure 6.3: Ontwikkeling van een snelheidsdiscontinuiteit als functie van de tijd

waarin erf de ”error”-functie voorstelt.Deze oplossing kunnen we ook uitdrukken in termen van de vorticiteitscomponent ωz =

−∂u/∂ymet als resultaat

ωz = − U√πνt

e−y2/(4νt). (6.21)

Laten we bovenstaande oplossing die in figuur 6.3 geıllustreerd is, eens samenvatten voorwat betreft de belangrijkste aspecten.

• in termen van de snelheidsverdeling:Op t = 0 is de snelheidsdiscontinuiteit geconcentreerd ter plaatse y = 0. Voor t >0 wordt deze discontinuiteit uitgesmeerd over de y−as tengevolge van de moleculaireschuifkrachten, die als het ware de vloeistof onder en boven het y = 0-niveau meesleuren.De dikte van de laag die door deze schuifkrachten beinvloed wordt neemt toe met de tijdvolgens

√νt.

• in termen van de vorticiteitsverdeling:Op t = 0 is alle vorticiteit geconcentreerd in een wervelvlak ter plaatse y = 0. Voort > 0 spreidt de vorticiteit zich uit over het gebied onder en boven y = 0 tengevolge vanmoleculaire diffusie. Dit betekent dat een gebied van de stroming, dat eerst rotatievrijwas, via het proces van moleculaire diffusie een vorticiteit ongelijk aan nul krijgt. Hetgebied, waar de stroming niet meer rotatievrij is, neemt toe met de tijd volgens

√νt.

Een probleem, dat direct samenhangt met de hierboven beschreven oplossing, is het zoge-naamde eerste Rayleigh probleem. We beschouwen hierbij een stilstaande vloeistof boven eenvlakke plaat ter plaatse y = 0. Op t = 0 zetten we de plaat in beweging met een snelheid tergrootte U in zijn vlak.

Ten gevolge van de ”no-slip”-randvoorwaarde wordt de vloeistof in de buurt van de wandmeegesleept. Het gebied in de vloeistof waar de snelheid ongelijk aan nul is, neemt toe alsfunctie van de tijd volgens de oplossing

u = U − U erf(y√4νt

). (6.22)

70

Figure 6.4: Definitie poolcoordinaten

Dit resultaat volgt direct uit(6.20).Deze oplossing kunnen we alsvolgt interpreteren. Als de plaat in beweging wordt gezet,

introduceren we een wervelvlak ter plaatse y = 0, die ervoor zorgt dat we aan de ”no-slip”-randvoorwaarde op de plaat kunnen voldoen. Vervolgens wordt ten gevolge van moleculairediffusie dit wervelvlak over de vloeistof uitgesmeerd conform de tweede interpretatie, die wehierboven besproken hebben. In de buurt van de wand ontstaat er een gebied dat groeit alsfunctie van de tijd en waarin de stroming niet meer rotatievrij is. In dit gebied, dat we in sectie6.7 een grenslaag zullen noemen, wordt de snelheid als het ware aangepast van de waarde 0 opgrote afstand van de plaat tot de waarde U op de plaat.

6.2.2 cirkel-stromingen

Een andere stroming, waarvoor de niet-lineaire termen in de Navier-Stokes vergelijkingen exactgelijk aan nul worden, is een cirkelgeometrie: dat wil zeggen alle stroomlijnen zijn cirkels. Hetligt voor de hand deze stroming in cilindercoordinaten te beschrijven met u = (ux, ur, uθ),zoals geillustreerd in figuur 6.4. Vanwege de cirkelgeometrie geldt dat ur = 0. We kiezentevens ux = 0, dat wil zeggen er is geen axiale snelheid. Uit de continuiteitswet (2.6) inpoolcoordinaten volgt dan dat ∂uθ/∂θ = 0 ofwel uθ 6= f(θ). Met andere woorden de stromingis axisymmetrisch.

Op basis van de bewegingsvergelijkingen in cilindercoordinaten, die in appendix B.2 zijngegeven, volgt

ρv2

r=

∂p

∂r(6.23)

∂v

∂t= ν(

∂2v

∂r2+

1r

∂v

∂r− v

r2) (6.24)

waarbij we voor de snelheidscomponent uθ de notatie v gebruikt hebben.De eerste vergelijking beschrijft een radiele drukverandering tengevolge van de centrifugale

versnelling.De tweede vergelijking geeft de tangentiele snelheidsverandering tengevolge van visceuze

schuifkrachten. In deze vergelijking komen geen drukkrachten voor en dit betekent dat dezestroming alleen via een randvoorwaarde kan worden aangedreven.

71

stationaire stromingen

Stationaire oplossingen moeten voldoen aan

0 =∂2v

∂r2+

1r

∂v

∂r− v

r2. (6.25)

Dit is een zogenaamde differentiaalvergelijking van Euler met als algemene oplossing

v = Ar +B

r(6.26)

waarin A en B integratie constanten zijn.We kunnen op basis van (6.26) twee oplossingen vinden:

1. de stroming in een cilinder die met hoeksnelheid Ω ronddraait.Omdat de snelheid eindig moet blijven geldt B = 0. Uit de voorwaarde v = ΩR op dewand r = R van de cilinder volgt A = Ω. De oplossing luidt dan

v = Ωr. (6.27)

Dit betekent dat overal in de cilinder de vloeistof met constante hoeksnelheid ronddraait.Anders gezegd de vorticiteit is constant en gelijk aan 2Ω.

2. de stroming buiten een cilinder die met hoeksnelheid Ω ronddraait.In dat geval wordt A = 0 uit de voorwaarde dat de snelheid eindig moet blijven. Uitv = ΩR op de wand r = R van de cilinder volgt dat B = ΩR2. Het resultaat wordt

v =ΩR2

r. (6.28)

Merk op dat volgens (4.59) dit snelheidsveld behoort bij een lijnwervel met sterkteκ = 2πΩR2. Met andere woorden de stroming buiten de cilinder voldoet aan een poten-tiaalwervel, waarbij de sterkte van de wervel gelijk is aan de vorticiteit geintegreerd overhet cilinderoppervlak.

instationaire stromingen

In dit geval moeten we de volledige bewegingsvergelijking (6.24) oplossen. Het is soms handigom deze vergelijking te herschrijven in termen van de axiale component van de vorticiteit.Op basis van de uitdrukkingen van appendix B.2 volgt: ωz = ∂v/∂r + v/r = (1/r)∂(rv)/∂r.Substitutie in (6.24) leidt tot

∂ω

∂t= ν

1r

∂

∂r

(r∂ω

∂r

)(6.29)

waarin we ω voor ωz geschreven hebben. Deze vergelijking stelt weer de diffusievergelijkingvoor maar nu in poolcoordinaten.

Batchelor beschouwt in zijn sectie 4.5 de oplossing van deze vergelijking voor een stromingbinnen een cilinder, die op t = 0 vanuit rust opstart met een hoeksnelheid Ω. De oplossing vanhet snelheidsveld nadert in dat geval tot vergelijking (6.27) in de limiet t→∞.

Hier zullen we als voorbeeld het uitdempen van een lijnwervel in de oorsprong beschouwen.Dit probleem is vergelijkbaar met de evolutie van het wervelvlak uit sectie 6.2.1.

72

Figure 6.5: Snelheidsverdeling lijnwervel als functie van de tijd

Als voorwaarde op t = 0 nemen we alle wervelsterkte geconcentreerd in de oorsprong inde vorm van een lijnwervel. Dit betekent dat de vorticiteitsverdeling de vorm heeft van eencirkelsymmetrische delta-functie met sterkte C

ω =C

2πrδ(r). (6.30)

Het bijbehorende snelheidsveld luidt volgens (4.59)

v =C

2πr. (6.31)

De oplossing van (6.29) met (6.30) als beginvoorwaarde noemen we een puntbron en ditvormt de fundamentele oplossing van de diffusievergelijking in poolcoordinaten. Deze luidt

ω =C

4πνtexp(− r2

4νt). (6.32)

Voor de snelheidsverdeling volgt dan

v =C

2πr1 − exp(− r2

4νt) (6.33)

en deze is in figuur 6.5 geıllustreerd.Dit resultaat kunnen we alsvolgt interpreteren. De vorticiteit, die aanvankelijk in de oor-

sprong geconcentreerd is, wordt door moleculaire diffusie over de stroming uitgesmeerd. Hierbijgroeit de straal van het gebied, waar de vorticiteit ongelijk aan nul is, volgens

√νt. We vin-

den dus wederom dat door diffusie vorticiteit in een aanvankelijk rotatievrij stromingsgebiedgeıntroduceerd wordt.

De totale vorticiteit geıntegreerd over het gehele gebied (r ≥ 0) wordt

2π∫ ∞

0rω dr = C (6.34)

en blijft dus steeds gelijk aan de oorspronkelijke sterkte C van de lijnwervel. Er gaat dus tengevolge van de visceuze diffusie geen vorticiteit verloren. Met andere woorden vorticiteit is indeze stromingsgeometrie een conservatieve grootheid.

73

6.2.3 Andere exacte oplossingen

In de sectie 6.2.1 en 6.2.2 hebben we enige exacte oplossingen van de Navier-Stokes vergeli-jkingen voor eenvoudige geometrien gepresenteerd. De essentie hierbij was dat de niet-lineairetermen in de vergelijkingen gelijk aan nul werden. Exacte oplossingen van de volledige Navier-Stokes vergelijkingen (inclusief de niet-lineaire termen) zijn bijzonder zeldzaam en zijn meestalgebaseerd op een gelijkvormigheidsoplossing, die voldoet aan een bepaalde symmetrie. Er zijndrie van deze oplossingen bekend

1. Stroming in een twee-dimensionaal convergent/divergent kanaal (Batchelor, sectie 5.6).

2. De stroming in de buurt van een oneindige wand die roteert in zijn vlak (Batchelor, sectie5.5).

3. De stroming tengevolge van een puntbron van impuls (de Landau-straal, Batchelor sectie4.6).

De details van de oplossingen van deze stromingen kunnen in de aangegeven secties vanBatchelor gevonden worden.

6.3 Het Reynoldsgetal

De exacte oplossingen van de Navier-Stokes vergelijkingen van de vorige secties hebben onsgeleerd dat moleculaire wrijving gekarakteriseerd kan worden als een diffusief proces. Hierdoorkan zowel impuls als vorticiteit over het stromingsgebied uitgesmeerd worden. We zoeken nunaar een objectieve parameter, waarmee we de invloed van viscositeit kunnen afschatten tenopzichte van de andere processen in de bewegingsvergelijkingen, zoals bijvoorbeeld traagheid.

Hiertoe schrijven we de Navier-Stokes vergelijkingen (6.2) in een dimensieloze vorm. Voerin een lengteschaal L en snelheidsschaal U . Merk op dat de vergelijkingen (6.2) zelf geenparameters met de dimensie lengte of snelheid bevatten. De schalen L en U moeten dus uitde randvoorwaarden volgen. Met deze lengte- en snelheidsschaal definieren we de volgendedimensieloze variabelen

u′ =u

U(6.35)

x′ =x

L(6.36)

t′ =tU

L(6.37)

p′ =p− p0

ρU2(6.38)

waarin p0 een referentiedruk voorstelt. Ter verklaring van de definitie van dimensieloze drukp′ merken we op dat we nog steeds uitgaan van de gemodificeerde druk, die we in sectie 6.1hebben geıntroduceerd. Dat wil zeggen drukveranderingen in (6.2) hangen op de eerste plaatssamen met snelheidsvariaties en in dat geval leert de wet van Bernoulli (5.21) dat de drukgeschaald moet worden met de dynamische druk ρU2.

We substitueren de dimensieloze variabelen (6.35-6.38) in vergelijking (6.2) met als resultaat

∂u′i∂t′

+ u′j∂u′i∂x′j

= − ∂p′

∂x′i+

1R

∂2u′i∂x′2j

(6.39)

74

Figure 6.6: Dynamische gelijkvormigheid

waarin de parameter R gedefinieerd is als

R =ρUL

µ=UL

ν. (6.40)

Deze parameter is een dimensieloos kental en wordt het Reynoldsgetal genoemd.Als resultaat van (6.39) volgt dat de algemene oplossing van de Navier-Stokes vergelijkingen

in dimensieloze vorm geschreven kan worden als

u′i = f(x′i, t′, R) (6.41)

waarbij voor andere variabelen zoals de druk p′ een vergelijkbare uitdrukking kan wordenopgeschreven.

Op basis van deze oplossing kunnen we het begrip ”dynamische gelijkvormigheid” invoeren.Beschouw hiertoe twee geometrisch gelijkvormige stromingsconfiguraties zoals geıllustreerd infiguur 6.6. Geometrisch gelijkvormig betekent dat beide configuraties via een schaling op elkaarafgebeeld kunnen worden. Met andere woorden beide configuraties verschillen alleen van elkaarvoor wat betreft de schalen U en L. In dimensieloze vorm, dat wil zeggen in termen van dedimensieloze coordinaten x′i en t′, zijn beide geometrien identiek.

Als consequentie van (6.41) volgt nu dat de oplossingen voor beide configuraties gelijk zijnmits de Reynoldsgetallen voor beide gevallen dezelfde waarde hebben. Dit wordt dynamischegelijkvormigheid genoemd. Van deze dynamische gelijkvormigheid maken we gebruik als we eenmodelproef, bijvoorbeeld in een windtunnel, doen om een stromingsprobleem te bestuderen.

Op basis van (6.41) volgt ook dat de weerstandcoefficient, cd, alleen een functie van R kanzijn. Met andere woorden

cd =D

ρU2L2= f(R) (6.42)

waarin D de weerstand voorstelt. Voor geometrisch gelijkvormige lichamen, die teven aan dy-namische gelijkvormigheid voldoen, is dus de weerstandscoefficient identiek. Dit is een resultaatwat ook direct op basis van dimensie-analyse kan worden afgeleid.

Wat is nu de fysische betekenis van het Reynoldsgetal? Beschouw hiertoe de verhoudingvan de traagheidsterm ten opzichte van de wrijvingsterm in (6.2) en schrijf deze verhouding indimensieloze variabelen. Er volgt dan

|ρDui/Dt ||µ∂2ui/∂x2

j |= R

|Du′i/Dt′ ||∂2u′i/∂x′2j |

. (6.43)

Als U en L inderdaad de karakteristieke schalen van de stroming zijn volgt per definitie dat|Du′i/Dt′ | ≈ O(1) en | ∂2u′i/∂x

′2j | ≈ O(1). Dan impliceert (6.43) dat het Reynoldsgetal de

verhouding van de traagheid ten opzichte van de wrijving kwantificeert.

75

Figure 6.7: Hele-Shaw stroming

Met behulp van het Reynoldsgetal kunnen we dus objectief vaststellen of een stromingofwel door traagheid ofwel door wrijving gedomineerd wordt. Bij onze verdere beschouwingenzullen we het Reynoldsgetal dan ook als criterium gebruiken om stromingen te onderscheidenin

• R 1: de traagheid is verwaarloosbaar en er is dus een balans tussen viscositeit en druk.Dit leidt tot het zogenaamde Stokes-probleem dat we in sectie 6.4 zullen bespreken.

• R 1: de wrijving is verwaarloosbaar en de stroming wordt in de eerste plaats bepaalddoor een balans tussen traagheid en druk. Echter, wrijving blijkt niet overal in hetstromingsveld verwaarloosbaar te zijn maar blijft beperkt tot een zogenaamde grenslaagdie we in sectie 6.7 zullen bespreken.

6.4 R 1, Stokes-stromingen

We beschouwen eerst de stromingen, waarin de traagheidskrachten verwaarloosbaar zijn (R1). Dit worden Stokes-stromingen genoemd. De bewegingsvergelijkingen (6.2) reduceren tot

0 = −∇p+ µ∆u. (6.44)

Deze vergelijking kan geınterpreteerd worden als een lokale balans tussen de druk- en wrijv-ingskrachten op elk vloeistofelement. Kortom een Stokes stroming beschrijft een statisch engeen dynamisch probleem. De consequentie is dat in de vergelijkingen (6.44) de dichtheid ρniet meer voorkomt.

In sectie 4.8 van Batchelor worden enige algemene eigenschappen van Stokes-stromingenafgeleid. De oplossing van (6.44) bestaat en is eenwaardig. Bovendien voldoet deze oploss-ing aan een minimumprincipe namelijk: minimale dissipatie. Herinner ter vergelijking hetminimumprincipe voor potentiaalstromingen dat we in sectie 4.3 hebben afgeleid.

Hierboven hebben we betoogd dat Stokes-stromingen worden beheerst door een balanstussen druk en wrijving. Een dergelijke balans zijn we ook tegengekomen bij de een-dimensionalestromingen, die we in sectie 6.2.1 behandeld hebben. We mogen dan ook verwachten dat deStokes-vergelijkingen geldig zijn voor stromingsconfiguraties, die slechts weinig afwijken vande een-dimensionale geometrie. Hiervan zullen we in de drie volgende secties voorbeeldenbehandelen.

6.4.1 smeringstheorie

Het eerste voorbeeld is een buis met een langzaam varierende diameter D = D(x), waarbijdus dD/dx 1. In dit geval kunnen we in elke doorsnede de stroming beschouwen als een

76

Figure 6.8: Hele-Shaw stroming rond een cirkel als illustratie van een twee dimensionale po-tentiaalstroming rond een cilinder

Poiseuille stroming (6.7) onder invloed van een lokale drukgradient ∂p/∂x.Vervolgens berekenen we de hoeveelheid vloeistof Q, die door een doorsnede van de buis

getransporteerd wordt. Er volgt

Q =∫ D/2

0u 2πr dr

= − πD4

128µ∂p

∂x(6.45)

waarbij we vergelijking (6.7) gebruikt hebben om Q te berekenen.Continuıteit vereist dat door elke doorsnede dezelfde hoeveelheid vloeistof gaat en dit

betekent dat Q = constant. Omdat D bekend is kunnen we (6.45) als een differentiaalvergeli-jking voor de druk interpreteren, die we kunnen oplossen als randvoorwaarden aan het beginen het einde van de buis gegeven zijn. Deze oplossing levert de druk langs de buis, op basiswaarvan we de Q en het snelheidsverloop kunnen berekenen.

Een ander voorbeeld van dit type van stroming is een nauwe spleet. Deze configuratiekomt met name voor in glijlagers. Dit verklaart dat deze stroming van groot belang is voorsmeringstheorie. Voor verdere details verwijzen we naar sectie 4.8 van Batchelor.

6.4.2 Hele-Shaw stromingen

Een tweede voorbeeld van een quasi een-dimensionale geometrie zijn twee vlakke platen opeen kleine afstand d van elkaar. Deze geometrie is geıllustreerd in figuur 6.7. De stroming zaldus in de eerste plaats evenwijdig zijn aan beide platen. Tussen de platen bevindt zich eenobstakel met een afmeting L zodanig dat L d.

77

Figure 6.9: Percolatie

De traagheid tengevolge van de stroming langs dit obstakel schaalt als ρU2/L, terwijl dewrijving van de stroming tussen beide platen schaalt als µU/d2. De verhouding van beide ter-men is gelijk aan Rd d/L, waarin het Reynoldsgetal Rd gedefinieerd is als Rd = Ud/ν. Er volgtnu dat voor L d traagheidskrachten verwaarloosbaar zijn zonder dat Rd noodzakelijkerwijsklein is. De stroming tussen beide platen wordt dan beschreven door de vergelijkingen

0 = −∂p∂x

+ µ∂2u

∂z2

0 = −∂p∂y

+ µ∂2v

∂z2(6.46)

waarin u en v de snelheidscomponenten parallel aan de platen voorstellen.De oplossingen van (6.46) luiden

u = − 12µ

∂p

∂xz(d− z)

v = − 12µ

∂p

∂yz(d − z) (6.47)

waar we gebruik gemaakt hebben van de ”no-slip”-condities op beide wanden.Laten we van dit snelheidsveld de vorticiteit uitrekenen. Er volgt

ωz =∂v

∂x− ∂u

∂y= 0 (6.48)

ofwel het snelheidsveld is rotatievrij en kan dus worden voorgesteld als een potentiaalstroming.We vinden hiermee een op zichzelf merkwaardig resultaat dat een door wrijving gedomineerdestroming hetzelfde resultaat oplevert als een potentiaalstroming, die we hebben afgeleid vooreen ideale, wrijvingsloze vloeistof. Met behulp van de Hele-Shaw stroming kunnen we dustwee-dimensionale potentiaalstromingen zichtbaar maken. Een voorbeeld hiervan is gegevenin figuur 6.8, waar de stroming rond een cirkelvormig lichaam tussen de beide platen wordtgetoond.

6.4.3 percolatie

Als laatste voorbeeld van quasi een-dimensionale stroming beschouwen we een poreus materiaaldat is opgebouwd uit een groot aantal vaste deeltjes met daartussen kleine porien of kanaaltjes.Door deze kanaaltjes stroomt een vloeistof. Een voorbeeld is zand of klei.

Voor de verhouding van traagheid ten opzichte van wrijving in deze kanaaltjes kunnen wedezelfde beschouwing geven als in sectie 6.4.2. Als resultaat vinden we ρUd2/(µL), waarin d

78

een karakteristieke diameter van een kanaaltje is en L een karakteristieke lengte. Als d Lvolgt dat traagheid verwaarloosbaar is en hieraan kan altijd voldaan worden als de porien kleinzijn.

Dit betekent dat de stroming door de porien benaderd kan worden met de Poiseuille-stroming (6.7). Uit deze vergelijking volgt dat de gemiddelde snelheid ud in een kanaaltje metdiameter d gelijk is aan

ud =4πd2

∫ d/2

0u 2πr dr

= − d2

32µ∇p (6.49)

waarin ∇p de lokale drukgradient is in de richting van het kanaal.Deze vergelijking geldt voor een afzonderlijk kanaaltje ofwel op microscopisch niveau. We

zijn echter niet zozeer geınteresseerd in deze microscopische snelheid maar eerder in de macro-scopische stroming. Deze definieren we als de snelheid gemiddeld over een groot aantal kanaalt-jes in een volume d3. (In sectie 4.8 van Batchelor wordt een enigszins andere definitie ge-bruikt. Daar wordt de macroscopische snelheid bepaald op basis van een volume flux door eenrepresentatief oppervlak dat veel groter is dan d2). We maken nu gebruik van het feit dat inelk kanaaltje de stroming door een Poiseuille-achtige oplossing beschreven kan worden en ditbetekent dat volgens (6.7) u ∼ ∇p. Hiermee volgt

u = −kµ∇p (6.50)

waarin de overstreping een gemiddelde over het hierboven genoemde macroscopische volumevoorstelt. De k in (6.50) wordt de permeabiliteit genoemd en deze hangt af van de doorsnedeen de verdeling van de porien in het materiaal. Het resultaat (6.50), dat een verband beschrijfttussen de forcering (dat wil zeggen de drukgradient) en de snelheid in een poreus materiaal,wordt de wet van Darcy genoemd.

Voor het geval dat k =/ f(x) volgt uit (6.50) dat ∇×u = 0 ofwel de stroming is rotatievrij.We kunnen dus gebruikmaken van onze theorie van potentiaal stromingen waarbij in dit gevalde druk de potentiaal is. De druk volgt dus direct uit de potentiaaloplossing zonder gebruikte maken van een wet van Bernoulli, zoals we tot nu toe bij potentiaalstromingen hebbentoegepast.

6.5 Stokes-stroming voor een bol

Ter afsluiting van het onderwerp Stokes stromingen zullen we een beroemd probleem bespreken:de stroming rond een bol. Beschouw een bol met straal a, die zich voortbeweegt met eensnelheid U langs de x-as (zie figuur 6.10). We stellen R = ρUa/µ 1, zodat aan de voorwaardevan een Stokes-stroming voldaan is. In de praktijk betekent deze voorwaarde dat we onsbeperken tot de beweging van bolletjes met een kleine straal a.

De bewegingsvergelijkingen voor dit probleem zijn (6.44) tezamen met de continuıteitswet(2.6). Door toepassing van de divergentie- en de rotatie-operator kunnen we deze vergelijkingenmodificeren tot

∇2p = 0 (6.51)∇2ω = 0 (6.52)

79

Figure 6.10: Definitie coordinaten van de bolstroming

waarin ω = ∇× u. We vinden dus dat zowel p als ω aan de Laplace vergelijking voldoen.Voor de randvoorwaarde van dit stromingsprobleem kiezen we ten eerste dat de snelheid

continu is op het boloppervlak. Deze voorwaarde moet gelden zowel voor de normale als detangentiele component. In dit opzicht verschillen deze randvoorwaarden van de condities diewe voor de potentiaalstroming rond een bol hebben genomen (zie sectie 4.4.3). Deze laatstebetroffen alleen randvoorwaarden voor de normaalcomponent. De reden is uiteraard dat wenu de stroming van een visceus medium beschouwen. In dat geval moeten we de volledige setvan randvoorwaarden uit sectie 3.3 toepassen. Als tweede randvoorwaarde stellen we dat destroming tot de ongestoorde waarde nadert op grote afstand van de bol. In vergelijkingvormluiden deze voorwaarden

r = a, ur = U cos θuθ = −U sin θ (6.53)

r →∞, u→ 0p→ p0.

De oplossing van (6.51) heeft in principe de volgende algemene vorm: p, ω = f(x,U, a).Op basis van de randvoorwaarden (6.53) volgt dat deze oplossing lineair in de snelheid Umoet zijn. Hiermee kunnen we bijvoorbeeld voor de druk de volgende uitdrukking afleiden:p = (U · x)f(r/a) waarin r = |x|. Verder volgt dat p een standaardoplossing van de Laplace-vergelijking moet zijn. Deze oplossingen worden nader besproken in sectie 2.9 van Batcheloren op basis daarvan vinden we de volgende oplossing die aan alle eisen voldoet

p− p0

µ= C

U · xr3

(6.54)

ω = CU × x

r3(6.55)

waarin C een constante is. Dat de C in beide vergelijkingen dezelfde waarde heeft volgt uit desubstitutie van (6.54 ) en (6.55) in (6.51) en (6.52).

Vervolgens leiden we uit (6.55) het snelheidsveld af. Omdat dit snelheidsveld axisym-metrisch is kunnen we gebruik maken van de Stokes-stroomfunctie ψ, die gedefinieerd is in(2.12). Uitgaande van de definitie van vorticiteit in bolcoordinaten, die in appendix B.3 gegevenis, volgt

1r

∂ (ruθ)∂r

− 1r

∂ur

∂θ= ωφ =

CU r sin θr3

(6.56)

80

waarmee voor ψ de volgende vergelijking resulteert

1r sin θ

∂2ψ

∂r2+

1r3

∂

∂θ(

1sin θ

∂ψ

∂θ) = −CU r sin θ

r3. (6.57)

Een particuliere oplossing van deze vergelijking kunnen we vinden door substitutie van ψ =U sin2 θf(r) met als resultaat de volgende vergelijking voor f

d2f

dr2− 2fr2

= −Cr. (6.58)

De algemene oplossing van deze gewone differentiaalvergelijking, die van het Euler-type is,luidt

f = Ar2 +B

r+

12Cr (6.59)

waarin A en B integratie constanten zijn. Toepassing van de randvoorwaarden (6.53) leidt tot

A = 0

C =32a (6.60)

B = −14a3.

Hiermee volgt voor deze oplossing van de Stokes stroming rond een bol

ψ = U sin2 θ(34ar − 1

4a3

r) (6.61)

ur = 2U cos θ(34a

r− 1

4a3

r3) (6.62)

uθ = −U sin θ(34a

r+

14a3

r3) (6.63)

p− p0

µ=

32aU cos θr2

(6.64)

Uit deze oplossing volgt dat de snelheidscomponenten uitdempen als u ∼ 1/r voor r →∞. Ditgedrag is langzamer dan de potentiaalstroming (4.36) waarvoor u ∼ 1/r3 geldt. Dit resultaatbetekent dat de invloed van een visceuze stroming rond een bol tot op grote afstand van debol merkbaar is.

In figuur 6.11 hebben we de stroomlijnen en het vorticiteitspatroon geschetst. We ziendat dit patroon volledig symmetrisch is ten opzichte van een verticale as. De oplossing in oftegengesteld aan de richting van U is hetzelfde. De oorzaak van dit resultaat is de randvoor-waarde (6.53), die ook deze symmetrie vertoont, terwijl de bewegingsvergelijkingen (6.51) en(6.52) geen voorkeursrichting hebben.

Wat kunnen we zeggen over de fysische achtergrond van deze oplossing? In de vorigesecties hebben we gezien dat we het effect van wrijving kunnen interpreteren in termen van dediffusie van vorticiteit. Deze interpretatie geldt ook hier want de vergelijking (6.52) is als eenstationaire diffusievergelijking op te vatten. Tevens hebben we bij de oplossing van het eersteRayleigh probleem in sectie 6.2.1 gezien dat de toepassing van de ”no-slip”-randvoorwaardegelijk is met het aanbrengen van een wervelvlak. Volgens dit beeld betekent de bovenstaandeoplossing dat vorticiteit, die via de ”no-slip”-randvoorwaarde aan het boloppervlak gecreeerd

81

Figure 6.11: Stroomlijnen en vorticiteitspatroon voor de Stokes stroming rond een bol

wordt, tengevolge van wrijving de stroming in diffundeert. Met andere woorden we kunneneen Stokes-stroming interpreteren als een puur diffusie-probleem van vorticiteit.

Omdat de diffusie-vergelijking geen voorkeursrichting heeft en omdat de randvoorwaarde(6.53) symmetrisch zijn, vertoont de oplossing de hierboven genoemde symmetrie. Dit resultaatis alleen geldig als de diffusie-snelheid veel groter is dan de voortbewegingssnelheid U . Dezestelling lijkt ver van de bol niet houdbaar en hierop zullen we in de sectie 6.6 nog terug komen.

Vervolgens beschouwen we het drukveld. Voor de drukcoefficient cp op de bol (r = a) volgt

cp =p− p012ρU

2= 3

cos θR

. (6.65)

Op de voor- en achterzijde van de bol, waar stuwpunten zijn, volgt

θ = 0 : cp =32

θ = π : cp = −32. (6.66)

De druk op de bol is dus asymmetrisch in tegenstelling tot het resultaat dat we voor depotentiaalstroming hebben gevonden. (zie sectie 4.4.3). We kunnen dan ook verwachten dater in dit geval een netto kracht in de x-richting is ofwel er is een weerstand ongelijk aan nul.Laten we deze weerstandskracht berekenen.

Voor de weerstand schrijven weD = Dp +Dw (6.67)

waarbijDp de resultante van alle drukkrachten is enDw de resultante van de wrijvingskrachten.Merk op dat we in tegenstelling tot de potentiaalstroming nu ook rekening moeten houden metwrijving bij de berekening van krachten.

We beschouwen eerst Dp waarvoor geldt

Dp = −∫ ∫

S(p − p0)nx dS (6.68)

waarin S het boloppervlak voorstelt en nx de component van de normaal in de x−richting.Wegens de axisymmetrie van de oplossing rond de x-as kunnen we deze integraal weer oplossen

82

Figure 6.12: Wrijvingsspanningen op de bol

met behulp van ringvormige segmenten ter grootte van 2πa sin θ adθ. Er volgt dan met (6.65)

Dp = −∫ π

0

32aµU cos θ

a2cos θ 2πa sin θ adθ = −2πµUa. (6.69)

Om de wrijvingskracht te berekenen maken we gebruik van de notatie zoals geillustreerd isin figuur 6.12. We kunnen schrijven

Dw = −∫ ∫

S(drr cos θ − drθ sin θ)dS (6.70)

waarin drr en drθ de deviatorische spanningen zijn. In appendix B.3 worden deze spanningenin bolcoordinaten gegeven. Er volgt

drr = 2µerr = µ∂ur

∂r= 0

drθ = 2µerθ = µ

r∂

∂r

(uθ

r

)+

1r

∂ur

∂θ

=

32µU sin θ

a3

r4. (6.71)

Substitutie in (6.70) en toepassing van dezelfde integratie-methode als gebruikt bij (6.69) leidttot

Dw = −∫ π

0

32µU sin θ

a3

r4sin θ 2πa sin θ adθ = −4πµUa. (6.72)

Hiermee wordt de totale weerstand van de bol

D = 6πµUa. (6.73)

Dit resultaat kan worden uitgedrukt in een weerstandcoefficient

cD =D

12ρU

2A=

24Rd

(6.74)

waarin A = πa2 het frontale oppervlak is en Rd = 2aU/ν het Reynoldsgetal betrokken op dediameter. Dit resultaat staat bekend als de wet van Stokes en uit experimenten volgt dat dezegeldig is tot Rd ∼ 1.

Als toepassing beschouwen we de vrije val van een klein bolletje met dichtheid ρ in eenmedium met dichtheid ρ. Uit een evenwicht tussen het gewicht (gecorrigeerd voor de opwaartseArchimedes kracht) en de weerstand volgt voor de valsnelheid

U =29a2g

ν(ρ

ρ− 1). (6.75)

83

6.6 Oseen benadering

Keer terug naar de basisveronderstelling van de Stokes-stroming namelijk: de traagheid-skrachten moeten verwaarloosbaar zijn ten opzichte van de wrijvingskrachten. Laten we con-troleren of de oplossing voor de bol (6.61 - 6.64) aan deze voorwaarde voldoet.

De grootte van de viskeuze krachten schatten we met behulp van

µ∇2u ' µ∂2ur

∂r2∼ µUa

r3. (6.76)

Voor de traagheidskrachten moeten we rekening houden met het feit dat we met een insta-tionaire stroming te maken hebben. De bol beweegt door een stilstaand medium. De totaleversnelling, die wordt gegeven door de materiele afgeleide (B.1) heeft dan twee bijdragen: delokale afgeleide ∂u/∂t en de convectieve afgeleide (u.∇)u. De lokale afgeleide brengt tot uit-drukking dat de bol beweegt in een stilstaand assenstelsel verbonden aan het medium. Immersals we een assenstelsel vast aan de bol beschouwen is de stroming stationair en deze termwordt dan gelijk aan nul. Dit betekent dat we ∂u/∂t kunnen afschatten op basis van eentranslatie-transformatie, zodat voor deze bijdrage aan de traagheid volgt

ρ∂u

∂t' ρ(U.∇)u ' ρU

∂ur

∂r∼ ρU2 a

r2. (6.77)

Voor de niet-lineaire convectieve term volgt nu

ρ(u.∇)u ' ρur∂ur

∂r∼ ρU2 a

2

r3. (6.78)

Voor beide afschattingen bepalen we de verhouding van de traagheids- en wrijvingskrachtenmet als resultaat

ρ ∂u/∂t

µ∇2u' Rd

r

a(6.79)

ρ(u.∇)uµ∇2u

' Rd. (6.80)

Uitgaande van de veronderstelling dat het Reynoldsgetal Rd 1 vinden we op basis van(6.80) dat de convectieve versnellingsterm inderdaad verwaarloosbaar is ten opzichte van dewrijvingsterm. Echter voor de lokale versnellingsterm volgt uit (6.79) een ander resultaat. Deverhouding van deze term ten opzichte van wrijving blijkt een functie te zijn van de afstandtot de bol. Dit betekent dat alleen in de buurt van de bol wrijving domineert. Echter,naarmate we verder van de bol komen, worden traagheidskrachten belangrijker en deze zijnvanaf een bepaalde afstand niet meer verwaarloosbaar. We moeten dus concluderen dat deStokes-oplossing hier niet meer geldig is.

Een andere formulering van dit resultaat is dat ver van de bol de voortbewegingssnelheidniet meer verwaarloosd kan worden is ten opzichte van de diffusiesnelheid. Hierop hebben we alin de vorige sectie gezinspeeld. Dit betekent dat er ver van de bol inderdaad een voorkeursricht-ing in het vorticiteitsveld geıntroduceerd wordt, die dus samenhangt met translatie van de bol.Als we een oplossing willen vinden, die ook geldig is ver van de bol, moeten we de Stokes-bewegingsvergelijking (6.52) corrigeren. Op basis van de afschatting (6.77) volgt dat het effectvan de lokale versnelling in rekening gebracht kan worden met de volgende uitbreiding van deStokes-vergelijking (6.52)

−(U.∇)ω = ν∇2ω (6.81)

84

Figure 6.13: het stroomlijnen en vorticiteitspatroon rond een cilinder voor een tweetal waardenvan het Reynoldsgetal

die bekend staat als de Oseen-vergelijking. De oplossing van deze vergelijking geeft een goedebenadering van de bolstroming over het gehele stromingsgebied. De vergelijking (6.81) is teinterpreteren als een balans tussen diffusie en transport van vorticiteit. Immers we hebben inde vorige sectie gezien dat de term aan de rechterhand diffusie beschrijft, terwijl de term aande linkerhand het transport van vorticiteit tengevolge van de voortbeweging van bol voorstelt.

We hebben betoogd dat transportterm in de Oseen-vergelijking (6.81) tot een voorkeursricht-ing en dus tot een asymmetrie in het vorticiteitsveld leidt. De afschatting (6.79) suggereert

85

dat naarmate het Reynoldsgetal Rd groter wordt deze asymmetrie op een kleinere afstand vande bol een rol gaat spelen. Dit wordt in figuur 6.13 geıllustreerd voor het geval van een zichvoortbewegende cilinder voor een tweetal waarden van het Reynoldsgetal. De vorticiteit dievanaf het cilinder oppervlak via diffusie in het stromingsgebied is gekomen kan na verloopvan tijd de cilinder als het ware niet meer bij houden en blijft achter. Het is uit deze figuurduidelijk dat dit effect sterker wordt naarmate het Reynoldsgetal toeneemt.

Op basis hiervan kunnen we een alternatieve interpretatie van het Reynoldsgetal for-muleren. De waarde van het Reynoldsgetal Rd is omgekeerd evenredig met de (dimensieloze)afstand, waar de convectieve term in (6.81) van belang wordt.

De hierboven besproken resultaten kunnen we generaliseren tot een kwalitatieve beschrijv-ing van de stroming rond een willekeurig lichaam. Voor kleine waarden van het karakteristiekeReynoldsgetal wordt een groot gebied van de stroming beınvloed door diffusie van de vor-ticiteit, die als gevolg van de ”no-slip”-conditie op de wand van het lichaam wordt opgewekt.De vorticiteit is dan ongelijk aan nul over een groot gebied dat zich uitstrekt in alle richtingenvanaf van het lichaam.

Als het Reynoldsgetal groter wordt, wordt het bereik van diffusie beperkt. De vorticiteit kanin dat geval slechts over een kleine afstand stroomopwaarts in het stromingsgebied doordringen,voordat het door de transport term als het ware wordt meegevoerd. Dit heeft tot gevolg datvoor een toenemende waarde van het Reynoldsgetal het gebied, waar vorticiteit ofwel viscositeitvan belang is, kleiner wordt en zich beperkt tot een zog achter het lichaam. Dit wordt duidelijkgeıllustreerd in figuur 6.13.

6.7 R 1, grenslaagstromingen.

Op basis van een extrapolatie van de resultaten, die we in sectie 6.6 besproken hebben,beschouwen we nu stromingen met een grote waarde van het Reynoldsgetal. Dat wil zeggenstromingen die door traagheid gedomineerd worden.

In de limiet R→∞ zou men kunnen verwachten dat het invloedsgebied van de viscositeittot nul nadert. Immers zodra vorticiteit via de ”no-slip”-conditie gecreeerd is, wordt dezemeegevoerd door transport. Dit is inderdaad het geval voor speciale geometrische configuraties,die we gestroomlijnd noemen. Voorbeelden zijn een vlakke plaat of een vleugelprofiel. Hetkleine gebied waarbinnen de invloed van viscositeit gelimiteerd is, wordt een grenslaag genoemden hierop zullen we in sectie 6.7.2 ingaan.

Bedenk dat we altijd zo’n grenslaag nodig hebben (zelfs in de limiet R → ∞) om aan de”no-slip”-randvoorwaarde te kunnen voldoen. De stroming van een reele vloeistof, die aan deNavier-Stokes vergelijkingen voldoet, verschilt in dit opzicht dus wezenlijk van de oplossingenvan de Eulervergelijkingen voor ideale vloeistoffen. Hierop hebben we al gewezen bij eenbespreking van de randvoorwaarden in secties 3.3 en 4.1.

Voor niet-gestroomlijnde lichamen is de situatie ingewikkelder en dit wordt met namegeıllustreerd door de cilinderstroming van figuur 6.13. Voor grote waarden van het Reynolds-getal kan zich alleen op de voorkant van de cilinder een grenslaag ontwikkelen. Door dedominante invloed van de convectieve versnellingsterm wordt in dat geval de vorticiteit naarde achterzijde van de cilinder getransporteerd, waar we dus een gebied van geconcentreerdevorticiteit aantreffen. Dit gebied wordt ook wel het loslatingsgebied genoemd.

Het loslatingsgebied blijft vrijwel ongewijzigd bestaan voor toenemende waarde van hetReynoldsgetal. Hier geldt dus niet dat het invloedsgebied van de viscositeit afneemt voor

86

Figure 6.14: Materiele kromme Γ

toenemend Reynoldsgetal. Dit resultaat betekent dat deze oplossing van de Navier-Stokesvergelijkingen in de limiet R→∞ wezenlijk anders is dan de oplossing van de Eulervergelijkin-gen, die we voor een cilinderstroming in sectie 4.6.1 besproken hebben. Dit lijkt in tegenspraakmet het feit dat we de Eulervergelijkingen uit de Navier-Stokes vergelijkingen kunnen afleidendoor in (6.39) de limiet R → ∞ te nemen. Echter, door het nemen van deze limiet in devergelijkingen verlagen we de orde en we verminderen daarmee het aantal randvoorwaarden,die we voor een oplossing nodig hebben. Met andere woorden door het nemen van de limietR → ∞ in de vergelijkingen veranderen we het type van vergelijking. Een dergelijke limietnoemen we singulier.

6.7.1 Vorticiteitsdynamica

We hebben gezien dat we stromingen met wrijving kunnen beschrijven in termen van hetgedrag van de vorticiteit, waarbij we de ”no-slip”-voorwaarde aan de wand als bron van vor-ticiteit geınterpreteerd hebben. Het lijkt daarom verstandig om in meer algemene zin naar dedynamica van vorticiteit in een stroming te kijken.

We zullen eerst enige eigenschappen herhalen, die we in sectie 2.4.2 besproken hebben.

• Een wervellijn is een lijn, die overal raakt aan de vector ω.

• Een cilindervormig lichaam, waarvan de wanden uit wervellijnen bestaan, noemen we eenwervelbuis.

• De sterkte van een wervelbuis is κ =∫ ∫

A ω.n dA, waarbij A een dwarsdoorsnede door debuis is en n de normaal op deze doorsnede.

• Met behulp van de voorwaarde ∇ · ω = 0 volgt dat κ =constant langs de wervelbuis.Hieruit volgt dat een wervellijn niet in de stroming eindigen kan. Dit wordt ook welHelmholtz’ eerste vorticiteitstheorema genoemd.

Deze eigenschappen zouden we de kinematica van vorticiteit kunnen noemen.We zullen nu de consequentie van de bewegingsvergelijkingen onderzoeken ofwel de dy-

namica van vorticiteit. We zullen ons hierbij richten op de circulatie C, die gedefinieerd isals

C =∮Γu · d` (6.82)

87

waarbij de integratie plaatsvindt langs een gesloten materiele kromme Γ (zie figuur 6.14 enwaarin d` een infinitesimaal lijnelement langs deze kromme is. Via het theorema van Stokes(A.11) kan C aan de vorticiteit gekoppeld worden. We gaan nu berekenen hoe deze circulatieverandert als functie van de tijd, met andere woorden we bepalen DC/Dt. Bedenk dat Γ eenmateriele kromme is. Er volgt

DC

Dt=

D

Dt

∮Γu · ∂y

∂sds

=∮Γ

Du

Dt

∂y

∂sds+

∮Γu · ∂

2y

∂s∂tds

=∮Γ

Du

Dt

∂y

∂sds +

∮Γu · ∂u

∂sds

=∮Γ

Du

Dt

∂y

∂sds +

∮Γd12u2. (6.83)

Het snelheidsveld is eenwaardig en dit betekent dat de tweede bijdrage aan de rechterkant van(6.83) identiek aan nul wordt. Substitutie van de bewegingsvergelijkingen (3.32) in de eersteterm van (6.83) leidt tot

DC

Dt= −

∮Γ

1ρ∇p · ∂y

∂sds+

∮Γf · ∂y

∂sds+

∮Γν∇2u · ∂y

∂sds. (6.84)

Beschouw eerst de drukterm aan de rechterkant van (6.84). Als het medium homogeen is(dat wil zeggen ρ = constant), volgt

−∮Γ

1ρ∇p · ∂y

∂sds = −

∮Γ∇(

p

ρ) · ∂y∂s

ds = −∮Γd(p

ρ) = 0. (6.85)

Kortom, in een homogeen medium kunnen drukkrachten geen vorticiteit produceren.Vervolgens beschouwen we de tweede term van (6.84). We beperken ons tot een conser-

vatieve volumekracht, waarvoor geldt f = −∇Ψ met Ψ de krachtpotentiaal. Er volgt∮Γf · ∂y

∂sds = −

∮Γ∇Ψ · ∂y

∂sds = −

∮ΓdΨ = 0 (6.86)

waarbij we verondersteld hebben dat Ψ eenwaardig is. Een conservatieve volumekracht kandus geen vorticiteit genereren.

Als we ons tenslotte beperken tot een ideale vloeistof, waarvoor ν = 0, volgt

DC

Dt= 0. (6.87)

In woorden betekent dit resultaat dat de circulatie langs een gesloten materiele kromme ineen ideale, homogene vloeistof onafhankelijk is van de tijd. Dit resultaat staat bekend alsKelvins circulatietheorema. Als direct gevolg van dit theorema volgt dat in een stromingwaarin op tijdstip t1 langs elke gesloten materiele kromme de circulatie gelijk aan nul is, decirculatie overal gelijk aan nul blijft. Ofwel een stroming, die eenmaal rotatievrij is, blijftrotatievrij. Hiervan hebben we reeds gebruik gemaakt in sectie 4.2 bij de bespreking vanpotentiaalstromingen.

Op basis van Kelvins theorema kunnen we een aantal consequenties voor de vorticiteitafleiden. Beschouw hiertoe een wervelbuis. Definieer in de wand van deze buis een gesloten

88

Figure 6.15: Wervelbuis op twee verschillende tijdstippen

kromme Γ. De circulatie langs deze kromme is per definitie gelijk aan nul, omdat overal opde wand van de wervelbuis geldt dat

∫ ∫A ω · ndA = 0. Kelvins circulatie theorema zegt dat

de circulatie langs Γ altijd nul blijft. Met andere woorden de kromme blijft in de wand vande wervelbuis liggen en omdat we een materiele kromme beschouwd hebben betekent dit datde wervelbuis met de stroming meebeweegt. Dit resultaat wordt ook wel Helmholtz’ tweedevorticiteitstheorema genoemd.

Vervolgens beschouwen we een kromme Γ, die de wervelbuis omcirkelt. Ook voor dezekromme geldt Kelvins theorema en dit betekent dat de sterkte van de wervelbuis onafhankelijkvan de tijd is. Dit is Helmholtz’ derde vorticiteitstheorema.

We kunnen dus concluderen dat een wervelbuis zich met de stroming meebeweegt en daarbijzijn sterkte behoudt. Kortom de circulatie van een wervelbuis is een materiele eigenschap.

Hoe gedraagt zich nu de vorticiteit? We beschouwen hiertoe een dunne wervelbuis, zoalsgeıllustreerd in figuur 6.15. Op tijdstip t1 heeft de buis een dwarsdoorsnede δA1. We nemenδA1 hierbij loodrecht op de richting van de buis, zodat de sterkte van de wervelbuis gelijk isaan ∼ ω1δA1 waarin ω1 de component van de vorticiteit langs de wervelbuis voorstelt. VolgensKelvins theorema moet de sterkte van de wervelbuis constant blijven. Dus voor tijdstip t2geldt

ω1 dA1 = ω2 dA2. (6.88)

Verder beschouwen we een incompressibele stroming. Dit betekent dat het volume van eenvloeistofelement constant blijft ofwel

dA1 δ`1 = dA2 δ`2 (6.89)

waarin δ` een lengte langs de wervelbuis voorstelt. Uit (6.88) en (6.89) volgt

ω1

ω2=δ`1δ`2

. (6.90)

De grootte van de vorticiteitsvector is dus rechtevenredig met de lengte van een vloeistofelementparallel aan de vorticiteit. Dit betekent dat in het geval een wervelbuis wordt uitgerekt, devorticiteit toeneemt (dus niet de sterkte van de wervelbuis zelf). Op basis van de interpretatievan de vorticiteit gegeven in sectie 2.3.2 volgt hieruit dat de vloeistofelementen sneller gaanroteren. Dit verschijnsel noemt men wervellijnstrekking en het is kwalitatief te interpreterenals de wet van behoud van impulsmoment uit de mechanica.

89

Figure 6.16: Grenslaag langs een vlakke plaat

We hebben dus gevonden dat in tegenstelling tot de circulatie, de vorticiteit zelf wel kanveranderen onder invloed van de vervormingen van het stromingsveld. Hierbij hebben wegezien dat de vorticiteit zich op dezelfde manier gedraagt als een materieel lijnelement. Ditresultaat wordt in sectie 5.2 van Batchelor verder uitgewerkt.

Onder welke omstandigheden kan de circulatie langs een gesloten kromme Γ wel veranderen?Om deze vraag te beantwoorden keren we terug naar de termen in vergelijking (6.84). Beschouwwederom de drukterm. We hebben gezien dat deze term verdwijnt voor een homogeen medium.We kunnen dit resultaat extrapoleren tot een zogenaamd barotroop medium, dat voldoet aande toestandsvergelijking p = f(ρ). Voor een willekeurig medium, waarvoor p 6= f(ρ) verdwijntde drukterm in (6.84) niet. Een dergelijk vloeistof noemen we baroklien en de verandering vande circulatie wordt dan gegeven door

DC

Dt= −

∮Γ

1ρ∇p · ds. (6.91)

Deze vergelijking speelt een belangrijke rol bij de beschrijving van stromingen in onze atmosfeeren hij wordt in deze context het theorema van Bjerknes genoemd.

Een andere methode om de circulatie langs een gesloten materiele kromme te veranderenis via de laatste term in (6.84): de wrijvingsterm. Dit resultaat hangt rechtstreeks samen hetverschijnsel van diffusie van vorticiteit door viscositeit. Hierop zijn we al uitgebreid ingegaanin de voorgaande secties.

6.7.2 Grenslaag langs een vlakke plaat

Laten we terugkeren naar stromingen, die gekarakteriseerd worden door een groot Reynolds-getal. We zullen eerst de karakteristieke eigenschappen herhalen, die we in sectie 6.6 voordeze stroming besproken hebben. We nemen als voorbeeld de stromingsgeometrie geschetst infiguur 6.16, waarbij een parallelstroming langs een vlakke plaat stroomt. We kunnen bij dezestroming de volgende aspecten onderscheiden.

• Zo gauw de vloeistof de voorkant van de plaat bereikt moet aan de ”no-slip”-randvoorwaardevoldaan worden. Dit betekent dat er een snelheidsdiscontinuiteit of wervelvlak op devoorrand van de plaat geintroduceerd wordt.

• De ontwikkeling van dit wervelvlak is in eerste benadering vergelijkbaar met het Rayleighprobleem uit sectie 6.2.1. De oplossing van dit probleem luidt dat het gebied waartengevolge van diffusie de vorticiteit ongelijk aan nul is, groeit volgens:

δ ∼√νt. (6.92)

90

• Tijdens het proces van diffusie loodrecht op de plaat zal de vorticiteit worden meegevoerddoor het snelheidsveld. Dit noemen we transport of convectie. In eerste benadering geldtdat de convectiesnelheid gelijk is aan U , de ongestoorde parallelstroming. Dit betekentdat in een tijd t de vorticiteit over een afstand ` verplaatst wordt gelijk aan

` = Ut (6.93)

waarin ` dus de afstand tot de voorrand van de plaat voorstelt.

• In de grenslaag ofwel het gebied dat door viscositeit beinvloed wordt, geldt een balanstussen diffusie en convectie. Hiermee volgt als eerste benadering voor de vergelijkingwaaraan de grenslaag voldoet: U ∂u/∂x = ν ∂2u/∂y2. Voor de dikte van de grenslaagvolgt dan uit (6.92) en (6.93) door eliminatie van t

δ

`' (

U`

ν)−1/2 = R−1/2. (6.94)

• Uit (6.94) volgt dat voor R ∼ 1: δ ∼ ` ofwel de vorticiteit spreidt zich uit over een gebiedvergelijkbaar met de plaatlengte `. Voor R → ∞ wordt de invloed van de wrijvinggeconcentreerd in een dunne laag: de grenslaag. Tevens vinden we dat de dikte van dezegrenslaag groeit als functie van ` volgens (6.94).

Bovenstaande opmerkingen kunnen we generaliseren tot de stroming rond een willekeuriggestroomlijnd lichaam. Voor R → ∞ kan de stroming worden opgesplitst in twee gebieden.Ten eerste een zogenaamd buitengebied, waarin de stroming rotatievrij is een dus als eenpotentiaalstroming beschouwd kan worden. Ten tweede een grenslaag, waar de stroming doorviscositeit beınvloed wordt, zodat aan de ”no-slip”-randvoorwaarde op het lichaam voldaankan worden.

In deze sectie zullen we ons in wat meer detail bezig houden met een stationaire stromingover een vlakke plaat geometrie en we zullen zien hoe we de hierboven besproken algemeneaspecten kunnen kwantificeren. Hierbij zullen we twee gevallen onderscheiden:

1. De ongestoorde stroming heeft een component loodrecht op de vlakke plaat.

2. De ongestoorde snelheid is parallel aan de vlakke plaat.

snelheid loodrecht op de plaat

Voorbeelden van dit geval zijn de vlakke plaat met afzuiging en de stuwpuntsstroming. Er is duseen snelheidscomponent direct tegengesteld aan de diffusierichting. De diffusie vanaf de wandwordt als het ware tegengewerkt door convectie en het gevolg is dat er een vorticiteitsgebiedmet constante dikte ontstaat. Deze dikte volgt uit een balans tussen diffusie en transport. Ditprobleem blijkt analytisch oplosbaar te zijn.

Laten we de vlakke plaat met afzuiging in wat meer detail bekijken. Beschouw een station-aire, twee-dimensionale stroming over een oneindige vlakke plaat langs de x−as, die voldoetaan de volgende randvoorwaarden

y = 0, u = 0v = −V (6.95)

y →∞, u → U

91

waarin U de ongestoorde snelheidscomponent is parallel aan de plaat. Gezien het feit dat deplaat oneindig lang is stellen we dat de stroming onafhankelijk is van de x-coordinaat langs deplaat. Uit de continuiteitswet (2.6) volgt dan dat de snelheidscomponent v, loodrecht op deplaat, constant moet zijn en op basis van de randvoorwaarden (6.95) volgt: v = −V . Hiermeewordt de bewegingsvergelijking voor deze stroming

−V ∂u∂y

= ν∂2u

∂y2. (6.96)

De oplossing van deze vergelijking, die aan de randvoorwaarden voldoet, luidt

u = U1 − exp(−V y/ν). (6.97)

Hieruit volgt dat de dikte van de laag, die door viscositeit beınvloedt wordt, gelijk is aanδ ∼ ν/V . Voor details van de stuwpuntsstroming verwijzen we naar sectie 5.5 van Batchelor.

snelheid parallel aan de plaat

Het tweede geval betreft een stromingsgeometrie waarin de ongestoorde stroming ter grootteU parallel aan de vlakke plaat is. In dit geval staat de transportrichting loodrecht op dediffusierichting. Uit (6.94) volgt dat voor grote Reynoldsgetallen de dikte van de grenslaag δklein wordt ten opzichte van de lengte ` van de plaat. Hiervan zullen we gebruik maken om deorde van grootte van de diverse termen in de bewegingsvergelijkingen af te schatten.

De volledige bewegingsvergelijkingen voor het geval van een twee-dimensionale, incompress-ibele en stationaire stroming luiden

∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (6.98)

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν(

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2) (6.99)

u∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+ ν(

∂2v

∂x2+∂2v

∂y2) (6.100)

We nemen voor een karakteristieke lengteschaal loodrecht op de plaat de grenslaagdikte δterwijl we voor de lengtemaat langs de plaat ` gebruiken. Voor een snelheidsschaal zullen weU nemen. Hiermee volgt

∂

∂x∼ 1

`(6.101)

∂

∂y∼ 1

δ(6.102)

u ∼ U. (6.103)

Toepassing van deze schalingsregels in de continuiteitswet (6.98) leidt tot een orde van grootteschatting van de y-component van de snelheid, die luidt

v ∼ δ

`U. (6.104)

Vervolgens passen we de schalingsvergelijkingen (6.101 - 6.104) toe op (6.99) en (6.100). Eenvoorbeeld is ∂2u/∂x2 ∼ U/`2 en ∂2u/∂y2 ∼ U/δ2. Als we nu gebruikmaken van (6.94) voor

92

R → ∞ volgt dat ∂2u/∂x2 verwaarloosbaar wordt ten opzichte van ∂2u/∂y2. Toepassing opde overige termen leidt dan tot de volgende vergelijkingen

∂u

∂x+∂v

∂y= 0

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν

∂2u

∂y2(6.105)

∂p

∂y= 0 (6.106)

die bekend staan als de grenslaagvergelijkingen.We vinden dus dat de diffusie in de x−richting verwaarloosbaar is ten opzichte van diffusie

in de y−richting. Tevens volgt dat drukverschillen over de grenslaag klein zijn. Dit betekentdat de druk in de grenslaag gelijk is aan de druk in de rotatievrije stroming in het buitengebied.Op basis van de wet van Bernoulli (4.7), die in het buitengebied geldig is, volgt dan

−1ρ

∂p

∂x= U

dU

dx(6.107)

zodat de impulsverglijking van (6.105) geschreven kan worden als

u∂u

∂x+ v

∂u

∂y= U

dU

dx+ ν

∂2u

∂y2. (6.108)

Deze vergelijking is het eerst door Prandtl in 1905 afgeleid.De randvoorwaarden waaraan de oplossing van deze vergelijking moet voldoen luidt

y = 0, u = 0v = 0 (6.109)

y →∞, u → U.

De vergelijkingen (6.98) en (6.108) tezamen met de randvoorwaarden (6.109) vormen eengesloten stelsel. We zullen nu de oplossing van dit stelsel beschouwen voor de vlakke plaatgeometrie met U = constant.

Omdat we een twee-dimensionale stroming beschouwen, kunnen we gebruik maken van destroomfunctie ψ gedefinieerd volgens (2.7). Hiermee wordt de continuiteitswet (6.98) als hetware geintegreerd. We zoeken voor deze stroomfunctie de volgende gelijkvormigheidsoplossing

ψ = Uδ f(y

δ) (6.110)

waarin de δ = δ(x) de schaal van de stroming in de y−richting geeft. Substitutie in de definitievan ψ (2.7) leidt tot

u = Udf

dη(6.111)

v = −U dδdx

(f − ηdf

dη) (6.112)

waarin η = y/δ. Volgens substitueren we deze snelheidscomponenten in (6.108) met als resul-taat

d3f

dη3+Uδ

ν

dδ

dxfd2f

dη2= 0. (6.113)

93

Figure 6.17: Snelheidsprofiel in een grenslaag over een vlakke plaat

De voorwaarde voor een gelijkvormigheidsoplossing luidt dat de coefficienten in (6.113) geenfunctie van x mogen zijn. Dit betekent

Uδ

ν

dδ

dx= constant. (6.114)

Voor de constante kiezen we de waarde 12 . De oplossing van (6.114) wordt dan

δ =√νx

U. (6.115)

Hiermee volgt voor de vergelijking van de grenslaag

d3f

dη3+

12fd2f

dη2= 0 (6.116)

die bekend staat als de Blasius-vergelijking.De oplossing van de Blasius-vergelijking moeten voldoen aan de randvoorwaarden (6.109):

df /dη |η=0= 0, f(0) = 0 en df /dη |η→∞= 1. Deze oplossing, waarvoor geen gesloten uit-drukking bekend is en die dus numeriek berekend moet worden, is geillustreerd in figuur 6.17.Dit snelheidsprofiel staat bekend als het Blasiusprofiel.

Op basis van deze oplossing kunnen we een aantal andere grootheden berekenen. Eenvoorbeeld is de schuifspanning op de wand

τ0 = µ∂u

∂y|y=0= µ

U

δ

d2f

dη2|η=0= ρU2(

ν

Ux)1/2 d

2f

dη2|η=0 . (6.117)

Uit de oplossing volgt d2f/dη2 |η=0= 0.33. Hiermee volgt voor de wrijvingsweerstand van eendubbelzijdige plaat met een lengte `

D = 2∫ `

0τ0dx

= 1.33 (ν

U`)1/2ρU2`. (6.118)

Een andere parameter is de grenslaagdikte. Deze wordt meestal gekoppeld aan de afstandtot de plaat waar de snelheid in de grenslaag slechts 1% afwijkt van de ongestoorde snelheid

94

U . Op basis van (6.111) volgt dat de waarde van η ter plaatse van de grenslaagdikte gegevenwordt door de vergelijking 0.99 = f |η99

. Uit de oplossing van de Blasius-vergelijking volgt datη99 = 4.9 met als resultaat voor de grenslaagdikte

δ99 = 4.9(νx

U)1/2. (6.119)

We merken op dat deze vergelijking onze schaling (6.94) bevestigd .Tenslotte beschouwen we de verdringingsdikte δ1, die gedefinieerd is als

δ1 =∫ ∞

0(1 − u

U)dy. (6.120)

De verdringingsdikte geeft de afstand waarover de stroming in het buitengebied verplaatstwordt tengevolge van de verminderde snelheid in de grenslaag. Uit de Blasius-oplossing volgt

δ1 = 1.72(νx

U)1/2. (6.121)

Ter afsluiting maken we nog enige opmerkingen over grenslaag stromingen, waarin dedrukgradient UdU/dx ongelijk aan nul is. Voor een afnemende drukgradient (dat wil zeggendU/dx > 0) kan de grenslaag zich langs de plaat handhaven. Het snelheidsprofiel wordt echtermeer gekromd ten opzichte van het Blasius-profiel van figuur 6.17.

Voor een toenemende drukgradient langs de vlakke plaat (dat wil zeggen dU/dx < 0) neemtde dikte van de grenslaag toe en de snelheid in de buurt van de plaat wordt kleiner. Als eenbepaalde waarde van de drukgradient overschreden wordt, wordt de snelheid in de buurt van deplaat zelfs tegengesteld aan de ongestoorde snelheid U en de grenslaag laat als het ware los vande vlakke plaat. We krijgen dan een loslatingsgebied, zoals we dit ook in sectie 6.6 besprokenhebben. Dit feit vormt een aanvulling van onze discussie aldaar, waar we betoogd hebbendat achter een niet-gestroomlijnd lichaam een loslatingsgebied wordt gevormd. We vindenhier dat dit loslatingsgebied geınterpreteerd kan worden als een loslating van de grenslaag,die zich op de voorkant van het lichaam ontwikkeld heeft, onder invloed van drukgradienten.Voor de verdere details met betrekking tot grenslagen onder de invloed van drukgradienten enkwantitatieve resultaten verwijzen we naar sectie 5.9 van Batchelor.

95

Appendix A

Notaties en rekenregels

We zullen gebruik maken van een rechthoekig, rechtsdraaiend assenstelsel, zoals geıllustreerdin Figuur A.1. Een vector wordt aangeduid met een onderstreping.

In dit assenstelsel worden de coordinaten en snelheidscomponenten in vector notatie geschrevenals

r = x i + y j + z k

u = u i + v j + w k (A.1)

en in Cartesische tensor-notatie als

ri = x1 e1 + x2 e2 + x3 e3

ui = u1 e1 + u2 e2 + u3 e3 (A.2)

waarin r ≡ ri de plaatsvector is.Bij de hierna volgende afleidingen zullen we meermalen gebruik maken van relaties uit de

vector-algebra en de vector-analyse.We definieren uitgaande van de vectoren a en b een inwendige produkt en een uitwendig

produkt volgens

a · b ≡ aibi (A.3)

Figure A.1: Notatie assenstelsel.

96

a× b ≡ εijkajbk (A.4)

waarin εijk de permutatie tensor voorstelt: εijk = 0 als twee of meer indices dezelfde waardehebben; εijk = 1 wanneer de indices in een cyclische volgorde staan, bijvoorbeeld ε123 = 1en εijk = −1 voor een anti-cyclische volgorde van de indices. Een belangrijke relatie voor depermutatie tensor, die we verschillende malen zullen gebruiken, luidt

εimjεikl = δmkδjl − δmlδjk. (A.5)

Vervolgens voeren we de gradient, de divergentie en de rotatie-operator in:

∇Φ ≡ grad Φ ≡ ∂Φ∂xi

(A.6)

∇ · u ≡ div u ≡ ∂ui

∂xi(A.7)

∇× u ≡ rotu ≡ εijk∂uk

∂xj. (A.8)

De grad geeft de gradient van de functie Φ in de richting van de normaal op het oppervlakΦ = constant. Een interpretatie van div en rot zullen we later tegenkomen.

Tenslotte geven we de enige integraal-betrekkingen. Ten eerste het divergentie-theoremavan Gauss ∫ ∫ ∫

Vdiv u dV =

∫ ∫Su · n dS (A.9)∫ ∫ ∫

V

∂ui

∂xidV =

∫ ∫Suini dS (A.10)

waarin V een volume met oppervlak S voorstelt en n ≡ ni de normaal vector op het oppervlakis, die naar buiten gericht positief wordt genomen.

Ten tweede het theorema van Stokes:∫ ∫Sn · rotu dS =

∮u · ds (A.11)∫ ∫

Sni εijk

∂uk

∂xjdS =

∮ui dsi (A.12)

waarin S een oppervlak voorstelt met rand s. De richting van de normaal n ≡ ni op S voldoetaan een rechtsdraaiende kurketrekkerregel met de integratierichting langs s.

Tussen de hierboven genoemde vectorgrootheden kunnen een groot aantal relaties afgeleidworden, waarvan we hieronder enkele zonder bewijs zullen geven:

a× (b× c) = (a · c)b− (a · b)c (A.13)∇× (∇Φ) = 0 (A.14)∇ · (∇× u) = 0 (A.15)

(u · ∇)u =12∇(u · u)− u× (∇× u) (A.16)

∇ · (Φu) = Φ∇ · u+ (u · ∇)Φ (A.17)∇× (Φu) = Φ× (∇× u) + grad Φ× u (A.18)

97

∇× (∇× u) = ∇(∇ · u)− (∇ · ∇)u (A.19)∇ · (u× ω) = ω · (∇× u)− u · (∇× ω) (A.20)∇× (u× ω) = (ω · ∇)u− ω(∇u)− (u · ∇)ω + u(∇ · ω) (A.21)

∇(u · ω) = (ω · ∇)u+ (u · ∇)ω +ω × (∇× u) + u× (∇× ω) (A.22)

98

Appendix B

Kromlijnige coordinaten.

B.1 Theorie

De definitie van materiele afgeleide (1.6) en (1.7) geldt in principe voor de verandering vanelke stromingsgrootheid langs de baan van een vloeistofelement. Toepassing van (1.6) op desnelheid u(x, t) levert de uitdrukking

Du

Dt=∂u

∂t+ (u · grad)u (B.1)

die de versnelling van een vloeistofelement in een Euleriaans coordinatensysteem voorstelt. InCartesische tensor-notatie reduceert (B.1) tot

Dui

Dt=∂ui

∂t+ uj

∂ui

∂xj. (B.2)

Let op: de uitdrukking (B.2) geldt alleen in een Cartesisch assenstelsel. In een algemeenkromlijnig assenstelsel krijgen we extra termen, de zogenaamde krommingstermen. Deze zijnhet gevolg van het feit dat in een dergelijk assenstelsel de richting van de eenheidsvectoreneen functie van de plaats is. We zullen hier kort ingaan op de formulering van de diversevectorgrootheden in een rechthoekig, kromlijnig assenstelsel.

Beschouw de volgende transformatie

ξ1 = ξ1(x1, x2, x3)ξ2 = ξ2(x1, x2, x3) (B.3)ξ3 = ξ3(x1, x2, x3).

We veronderstellen dat (B.4) omkeerbaar is, zodat we kunnen schrijven

x1 = x1(ξ1, ξ2, ξ3)x2 = x2(ξ1, ξ2, ξ3) (B.4)x3 = x3(ξ1, ξ2, ξ3).

We kunnen nu (B.5) en (B.4) als een coordinaat-transformatie opvatten, waarbij (B.5)de componenten van de plaatsvector r voorstellen in een Cartesische assenstelsel. Dit isgeillustreerd in figuur B.1. Beschouw nu de totale differentiaal

dr =∂r

∂ξ1

dξ1 +∂r

∂ξ2dξ2 +

∂r

∂ξ3dξ3. (B.5)

99

Figure B.1: Kromlijnige coordinaten

De ∂r/∂ξ1 is per definitie een vector in de ξ1-richting en voor de overige partiele afgeleidenin (B.5) geldt een vergelijkbare interpretatie. We definieren nu de locale eenheidsvectoren inhet ξi-assenstelsel als

e1 =1h1

∂r

∂ξ1

e2 =1h2

∂r

∂ξ2(B.6)

e1 =1h3

∂r

∂ξ3

waarin

h1 = | ∂r∂ξ1

|

h2 = | ∂r∂ξ2

| (B.7)

h3 = | ∂r∂ξ3

|

de schaalfactoren genoemd worden. Hiermee volgt voor (B.5)

dr = h1dξ1e1 + h2dξ2e2 + h1dξ3e3. (B.8)

Vervolgens beschouwen we de totale differentiaal van een scalaire functie Φ,

dΦ =∂Φ∂ξ1

dξ1 +∂Φ∂ξ2

dξ2 +∂Φ∂ξ3

dξ3. (B.9)

Als we gebruik maken van de definitie dΦ = dr · grad Φ volgt met (B.9) voor de definitievan de gradient operator

∇Φ ≡ grad Φ =1h1

∂Φ∂ξ1

e1 +1h2

∂Φ∂ξ2

e2 +1h3

∂Φ∂ξ3

e3. (B.10)

Hiermee hebben we een uitdrukking gevonden voor de nabla-operator in het kromlijnige as-senstelsel

∇ =e1h1

∂

∂ξ1+e2h2

∂

∂ξ2

+e3h3

∂

∂ξ3. (B.11)

100

Met deze nabla operator kunnen we als vector manipuleren om vergelijkingen voor de di-vergentie en de rotatie in het kromlijnige coordinaten-systeem te krijgen. Hierbij dienen weechter te bedenken dat de orientatie van de eenheidsvectoren e1, e2, e3 in (B.11) functies vande coordinaten ξ1, ξ2, ξ3 zijn. Om deze functies af te leiden beschouwen de identiteit

∂

∂ξ3 ∂r∂ξ1

· ∂r∂ξ2

= 0. (B.12)

De geldigheid van deze relatie volgt uit het feit dat ∂r/∂ξ1 een vector langs de ξ1-as is en dusloodrecht staat op de vector ∂r/∂ξ2 langs de ξ2-as.

Na enige manipulatie kunnen we (B.12) herschrijven tot

0 =∂r

∂ξ3∂ξ1

· ∂r∂ξ2

+∂r

∂ξ1

· ∂r

∂ξ3∂ξ2

=∂

∂ξ1(∂r

∂ξ3

· ∂r∂ξ2

) +∂

∂ξ2(∂r

∂ξ3· ∂r∂ξ1

)− 2∂r

∂ξ3

· ∂r

∂ξ2∂ξ1. (B.13)

De eerste twee termen aan de rechterkant van (B.13) zijn gelijk aan nul wegens orthogonaliteitvan de vectoren ∂r/∂ξ1, ∂r/∂ξ2 en ∂r/∂ξ3. Er volgt dus:

∂r

∂ξ3· ∂r

∂ξ2∂ξ1= 0. (B.14)

Nu weten we dat ∂r/∂ξ3 langs de ξ3-as ligt en hieruit volgt dat ∂2r/∂ξ2∂ξ1 een vector is diedoor e1 en e2 wordt opgespannen. Met behulp van (B.8) vinden we dan

∂

∂ξ1(h2e2) =

∂

∂ξ2

(h1e1)

e2∂h2

∂ξ1+ h2

∂e2∂ξ1

= e1∂h1

∂ξ2

+ h1∂e1∂ξ2

(B.15)

en omdat zowel de linker- als de rechterzijde van (B.15) alleen een lineaire combinatie van deeenheidsvectoren e1 en e2 kan zijn volgt

∂e1∂ξ2

=1h1

∂h2

∂ξ1

e2 (B.16)

∂e2∂ξ1

=1h2

∂h1

∂ξ2

e1. (B.17)

De relaties voor de overige afgeleiden volgen uit cyclische verwisseling van de indices in (B.16)en (B.17).

Vervolgens beschouwen we ∂e1/∂ξ1. Voor een orthogonaal, rechtsdraaiend assenstelsel geldte1 = e2 × e3, zodat

∂e1∂ξ1

=∂e2∂ξ1

× e3 + e2 ×∂e3∂ξ1

=1h2

∂h1

∂ξ2

e1 × e3 +1h3

∂h1

∂ξ3e2 × e1

= − 1h2

∂h1

∂ξ2

e2 −1h3

∂h1

∂ξ3e3 (B.18)

101

waarbij we gebruik gemaakt hebben van (B.17) en een vergelijkbare relatie voor ∂e3/∂ξ1. Derelaties voor de overige afgeleiden, zoals ∂e2/∂ξ2 volgen zonder problemen uit (B.18) doorcyclische permutatie van de indices.

Met behulp van (B.11) en door toepassing van (B.16)-(B.18) kunnen we bijvoorbeeld eenuitdrukking vinden voor de divergentie. Deze luidt

div u =e1h1· ∂u∂ξ1

+e2h2· ∂u∂ξ2

+e3h3· ∂u∂ξ3

=1

h1h2h3(∂(h2h3u1)

∂ξ1+∂(h3h1u2)

∂ξ2+∂(h1h2u3)

∂ξ3

). (B.19)

Voor de convectieve term in de materiele afgeleide volgt

(u. grad)u = [u1

h1

∂u1

∂ξ1

+u2

h2

∂u1

∂ξ2+u3

h3

∂u1

∂ξ3+

u2

h1h2(u1

∂h1

∂ξ2− u2

∂h2

∂ξ1

) +

u3

h1h3(u1

∂h1

∂ξ3− u3

∂h3

∂ξ1

)]e1 +

[· · ·]e2 +[· · ·]e3. (B.20)

In de eerste drie termen aan de rechterkant van (B.20) herkennen we termen vergelijkbaar met(B.2). De overige termen in (B.20) zijn dus te beschouwen als krommingstermen.

In Batchelor zijn deze uitdrukkingen nader uitgewerkt voor enkele veel gebruikte assen-stelsels, zoals bol- en de cilindercoordinaten. Omdat we hiervan in de loop van dit dictaatmeermalen gebruik van zullen maken, zijn deze uitdrukkingen in volgende sectie van dezeappendix overgenomen.

B.2 Cilinder-coordinaten

De transformatie-vergelijkingen voor cilinder-coordinaten met (ξ1 = x, ξ2 = σ en ξ3 = φ)luiden

x = x

y = σ cos φ (B.21)z = σ sinφ

en met behulp van (B.8) voor de schaalfactoren vinden we dan

h1 ≡ hx = 1h2 ≡ hσ = 1 (B.22)h3 ≡ hφ = σ.

De eenheidsvectoren zijn alleen een functie van de φ-coordinaat. Door toepassing van devergelijkingen (B.16)-(B.18) afgeleid in sectie B.1 volgt

∂ex

∂φ= 0

102

∂eσ

∂φ= eφ (B.23)

∂eφ

∂φ= −eσ

De ex, eσ en eφ zijn onafhankelijk van x en σ.Voor de gradient, de divergentie en de rotatie-operatoren volgt dan

∇Φ =∂Φ∂x

ex +∂Φ∂σ

eσ +1σ

∂Φ∂φ

eφ (B.24)

∇ · u =∂ux

∂x+

1σ

∂(σuσ)∂σ

+1σ

∂uφ

∂φ(B.25)

∇× u = 1σ

∂(σuφ)∂σ

− 1σ

∂uσ

∂φ ex +

1σ

∂ux

∂φ− ∂uφ

∂x eσ +

∂uσ

∂x− ∂ux

∂σ eφ. (B.26)

Voor de Laplace vergelijking volgt

∇2Φ =∂2Φ∂x2

.+1σ

∂

∂σ.(σ

∂Φ∂σ

) +1σ2

∂2Φ∂φ2 . (B.27)

De Navier-Stokes vergelijkingen in cylindercoordinaten hebben de volgende vorm

ρ(∂ux

∂t+ ux

∂ux

∂x+ uσ

∂ux

∂σ+uφ

σ

∂ux

∂φ) =

−∂p∂x

+ (∂dxx

∂x+

1σ

∂ (σdxσ)∂σ

+1σ

∂dxφ

∂φ) (B.28)

ρ(∂uσ

∂t+ ux

∂uσ

∂x+ uσ

∂uσ

∂σ+uφ

σ

∂uσ

∂φ− u2

φ

σ) =

− ∂p∂σ

+ (∂dσx

∂x+

1σ

∂ (σdσσ)∂σ

+1σ

∂dσφ

∂φ) (B.29)

ρ(∂u

φ

∂t+ ux

∂uφ

∂x+ uσ

∂uφ

∂σ+uφ

σ

∂uφ

∂φ+uφuσ

σ) =

− 1σ

∂p

∂φ+ (

∂dxφ

∂x+

1σ2

∂(σ2dφσ

)∂σ

+1σ

∂dφφ

∂φ.) (B.30)

Voor de deviatorische spanningen volgt met op basis van (3.30)

dxx = 2µ [∂ux

∂x− 1

3∇ · u]

dσσ = 2µ [∂uσ

∂σ− 1

3∇ · u]

dφφ = 2µ [(1σ

∂uσ

∂φ+uσ

σ)− 1

3∇ · u]

dxσ = µ [∂ux

∂σ+∂uσ

∂x] (B.31)

103

dxφ = µ [1σ

∂ux

∂φ+∂uφ

∂x]

dσφ = µ [1σ

∂uσ

∂φ+ σ

∂

∂σ(uφ

σ)].

B.3 Bol-coordinaten

De transformatie vergelijkingen voor bol-coordinaten met (ξ1 = r, ξ2 = θ en ξ3 = φ) luiden

x = r cos θy = r sin θ cos φ (B.32)z = r sin θ sinφ

en met behulp van (B.8) voor de schaalfactoren vinden we

h1 ≡ hx = 1h2 ≡ hr = r (B.33)h3 ≡ hφ = r sin θ.

Door toepassing van de vergelijkingen (B.16)-(B.18) afgeleid in sectie B.1 volgt voor deeenheidsvectoren

∂er∂r

= 0

∂er∂θ

= eθ

∂er∂φ

= sin θ eφ

∂eθ∂r

= 0

∂eθ∂θ

= −er (B.34)

∂eθ∂φ

= cos θ eφ

∂eφ∂r

= 0

∂eφ∂θ

= 0

∂eφ∂φ

= − sin θ er − cos θ eθ.

Voor de gradient-, de divergentie- en de rotatie-operatoren volgt dan

∇Φ = er∂Φ∂r

+eθr

∂Φ∂θ

+eφ

r sin θ∂Φ∂φ

(B.35)

∇ · u =1r2∂(r2ur

)∂r

+1

r sin θ∂ (sin θ uθ)

∂r+

1r sin θ

∂uφ

∂φ(B.36)

∇× u = ∂ (uφ sin θ )∂θ

− ∂uθ

∂φ err sin θ

+

104

1sin θ

∂ur

∂φ− ∂ (r uφ)

∂reθ

r+ (B.37)

∂ (r uθ)∂r

− ∂ur

∂θeφ

r.

Voor de Laplace vergelijking volgt

∇2Φ =1r2

∂

∂r(r2

∂Φ∂r

) +1

r2 sin θ∂

∂θ

(sin θ

∂Φ∂θ

)+

1r2 sin2 θ

∂2Φ∂φ2 . (B.38)

De Navier-Stokes vergelijkingen in bolcoordinaten hebben de volgende vorm

ρ(∂ur

∂t+ ur

∂ur

∂r+uθ

r

∂ur

∂θ+

uφ

r sin θ∂ur

∂φ− u2

θ + u2φ

r) =

−∂p∂r

(B.39)

+(1r2∂(r2drr

)∂r

+1

r sin θ∂ (sin θ drθ)

∂r+

1r sin θ

∂drφ

∂φ− dθθ + dφφ

r)

ρ(∂uθ

∂t+ ur

∂uθ

∂r+uθ

r

∂uθ

∂θ+

uφ

r sin θ∂uθ

∂φ+uruθ

r− u2

θ cot θr

) =

−1r

∂p

∂θ(B.40)

+(1r2∂(r2dθr

)∂r

+1

r sin θ∂ (sin θ dθθ)

∂r+

1r sin θ

∂dθφ

∂φ+dθr

r− cot θ

rdφφ)

ρ(∂uφ

∂t+ ur

∂uφ

∂r+uθ

r

∂uφ

∂θ+

uφ

r sin θ∂uφ

∂φ+uφur

r+uθuφ

rcot θ) =

− 1r sin θ

∂p

∂φ(B.41)

(1r2∂(r2dφr

)∂r

+1

r sin θ∂ (sin θ dφθ)

∂r+

1r sin θ

∂dφφ

∂φ+dθφ

r+

2cot θr

dθφ).

Voor de deviatorische spanningen volgt op basis van (3.30)

drr = 2µ [∂ur

∂ r− 1

3∇ · u]

dθθ = 2µ [(1r

∂uθ

∂ θ+ur

r)− 1

3∇ · u]

dφφ = 2µ [(1

r sin θ∂uφ

∂ φ+ur

r+uθ cot θ

r)− 1

3∇ · u]

drθ = µ [r∂

∂r(uθ

r) +

1r

∂ur

∂ θ] (B.42)

drφ = µ [1

r sin θ∂ur

∂ φ+ r

∂

∂r(uφ

r)]

dθφ = µ [1

r sin θ∂uθ

∂ φ+

sin θr

∂

∂ θ(uφ

sin θ)].

105