Notiunile Fundamentale Si Teoremele Generale Ale Dinamicii

11. Noţiunile fundamentale şi teoremele generale ale dinamicii

95

11. NOŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEOREMELE

GENERALE ALE DINAMICII

Rezolvarea problemelor de dinamică se face cu ajutorul unor teoreme, numite teoreme generale, deduse prin aplicarea principiilor mecanicii, folosind câteva noţiuni fundamentale: lucrul mecanic, puterea mecanică, randamentul mecanic, energia cinetică, energia potenţială, energia mecanică, impulsul sau cantitatea de mişcare, momentul cinetic.

11. 1. Lucrul mecanic

11.1.1. Lucrul mecanic al unei forţe care acţionează asupra unui punct material

Se consideră în figura 11.1 un punct material M care se deplasează pe traiectoria ( )Γ sub acţiunea unei forţe variabile F. La momentul t punctul material se află în poziţia M definită de vectorul de poziţie r , iar la momentul

dt t + punctul se află în poziţia 1M definită de vectorul de poziţie rdr + .

Fig. 11.1 Se numeşte lucru mecanic elementar al forţei F , corespunzător deplasării elementare rd , o mărime dL egală cu produsul scalar dintre forţa F şi deplasarea elementară rd rdFdL ⋅= (11.1)

( )BtB

v ( )dttM +1

( )tM

( )AtA( )00 =tM

rd α

a

F rdr +

z

k

i x y O

j

s

r

Dinamica

96

Deoarece dtvrd = şi vdtdsrd == expresia lucrului mecanic

elementar mai poate fi scrisă: cosα ds Fcosαdt vFdt vFdL ==⋅= (11.2) undeαeste unghiul dintre vectorul forţă şi vectorul viteză. Folosind expresia analitică a vectorilor F şi rd relaţia (11.1) devine: dtvFdtvFdtvFdzFdyFdxFdL zzyyxxzyx ++=++= (11.3)

Din definiţia lucrului mecanic elementar rezultă câteva proprietăţi importante: - Lucrul mecanic elementar este o mărime scalară având ca unitate de măsură în sistemul internaţional de unităţi joule-ul [J] ( mN1J1 ⋅= ).

- Lucrul mecanic elementar este pozitiv când

∈2

π0,α şi se numeşte

lucru mecanic motor.

- Lucrul mecanic elementar este negativ când ]π,2

πα

∈ şi se numeşte

lucru mecanic rezistent.

- Dacă 0dL ,2

α =π= şi se numeşte lucru mecanic nul.

Corespunzător unei deplasări finite a punctului între două poziţii A şi B pe traiectoria curbilinie ( )Γ sub acţiunea forţei variabile F , lucrul mecanic finit sau total are expresia:

(11.4) α cosdtvF

α cosdsFdtvFdtvFdtvFdzFdyFdxFrdFL

B

A

B

A

t

t

B

A

B

A

B

A

t

tzzyyxxzyxBA

∫

∫ ∫ ∫∫

=

==++=++=⋅=−

Se demonstrează că lucrul mecanic elementar al unui cuplu de moment 0M , corespunzător unei rotaţii elementare θd este egal cu:

( )dtωMωMωMdtωMθdMdL zzyyxx00 ++=⋅=⋅= (11.5)

iar lucrul mecanic total sau finit:


97

( )dtωMωMωMβ dtcosωMβ cosθdMθdML2

1

2

1

2

1

2

1

21

t

t

t

tzzyyxx0

θ

θ

θ

θ

00θθ ∫ ∫∫ ∫ ++====−

(11.6) S-a notat cu β unghiul dintre 0M ( momentul cuplului) şi ω (viteza unghiulară)

şi s-a ţinut seama că dtωθd = . În general, lucrul mecanic finit al unei forţe depinde atât de modul cum variază forţa cât şi de forma traiectoriei. 11.1.2 Lucrul mecanic al forţelor conservative O forţă este conservativă dacă derivă dintr-o funcţie de forţă, adică

kz

Uj

y

Ui

x

UU UgradF

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇== (11.7)

( )zy,x,UU = se numeşte funcţie de forţă a forţei F şi depinde numai de coordonatele punctului de aplicaţie al forţei. Din (11.7) rezultă că:

z

UF ;

y

UF ;

x

UF zyx ∂

∂=∂∂=

∂∂= (11.8)

Pentru ca o forţă să admită o funcţie de forţă trebuie îndeplinite condiţiile lui Cauchy:

z

F

x

F ;

y

F

z

F ;

x

F

y

F xzzyyx

∂∂=

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

=∂∂

(11.9)

În acest caz lucrul mecanic al forţei F este:

dUdzz

Udy

y

Udx

x

UrdFdL =

∂∂+

∂∂+

∂∂== (11.10)

Lucrul mecanic total va fi:

∫ ∫ −===−

B

A

B

AABBA UUdUrdFL (11.11)

Dinamica

98

unde ( ) ( )BBBBAAAA z,y,xU U, z,y,xUU == Rezultă că lucrul mecanic total al unei forţe conservative este independent de forma traiectoriei, depinzând numai de poziţiile ini ţială şi finală a punctului de aplicaţie al forţei. Un exemplu de forţă conservativă este forţa gravitaţională (fig. 11.2).

În acest caz:

.z

UGG ; 0GG zyx ∂

∂=−===

Rezultă: CGzU +−= (11.12)

( ) GhzzGL ABBA ±=−−=− (11.13) Prin urmare lucrul mecanic al unei greutăţi nu depinde de forma

traiectoriei pe care se deplasează punctul ei de aplicaţie, ci depinde numai de poziţiile extreme între care se efectuează mişcarea, fiind egal cu produsul dintre valoarea numerică a forţei şi diferenţa de cotă dintre poziţiile ini ţială şi finală şi având semnul (+) când deplasarea se face în sensul forţei şi semnul (-) când deplasarea se face în sens contrar.

Fig. 11.2

k j

i

Az

G

h A

B

z

x

y BzO

�

�


99

11.1.3 Lucrul mecanic al unei forţe elastice Se consideră în figura 11.3 un arc ideal cu constanta elastică k. Se notează cu x -alungirea şi cu kxFe = -forţa elastică.

Fig. 11.3

Putem scrie: dx-kxdL ; idxrd ; ikxFe ==−= (11.14)

Lucrul mecanic total corespunzător unei alungiri x este:

∫ −=−=x

0

2kx2

1dxkxL (11.15)

iar lucrul mecanic total între 2 poziţii A şi B ale capătului arcului:

( )∫ −−=−=−

B

A

x

x

2A

2BBA xxk

2

1kxdxL (11.16)

11.1.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de for ţe care acţionează

asupra unui solid rigid

Se consideră în figura 11.4 un solid rigid liber supus acţiunii unui sistem de forţe ( )n1,2,3,...,i Fi = care se reduce în punctul O al corpului la un torsor având elementele:

∑ ∑= =

×==n

1i

n

1iii0i FrM ; FR (11.17)

La un moment dat t rigidul are viteza unghiulară ω şi punctul O viteza 0v .

Se cere determinarea lucrului mecanic elementar al sistemului de forţe corespunzător deplasării elementare 10rd a punctului O şi rotaţiei elementare θd

a rigidului.

dx

Ax

0l

Bx O

x A

M B eF

i

Dinamica

100

Prin definiţie:

∑ ∑= =

⋅=⋅=n

1i

n

1iii1ii dtvFrdFdL (11.18)

Fig. 11.4 Dar, i0i rωvv ×+= (11.19)

Rezultă:

( ) ( )∑ ∑ ∑= = =

=×⋅+⋅=×+⋅=n

1i

n

1i

n

1iii0ii0i dtrωFdtvFdtrωvFdL

θdMrdRdtωMdtvRdtωFrdtvF 01000

n

1iii0

n

1ii ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅

×+⋅

= ∑∑

==

(11.20) 11.1.5. Lucrul mecanic al forţelor interioare Două puncte materiale Mi şi M j aparţinând unui sistem de puncte materiale interacţionează, forţele interioare fiind notate corespunzător cu ijF ,

respectiv jiF . Vectorii de poziţie ai punctelor în raport cu punctul fix O sunt

ri şi jr (fig. 11.5). Conform principiului acţiunii şi reacţiunii ijji FF −= .

Lucrul mecanic elementar aferent forţelor ijF şi jiF corespunzător

deplasărilor elementare ale celor două puncte este:

z

1F 1A

0M

iv 1ird

iF

iA

ir R y

nF nA

0v

10rdO

1ir1z

1y 1x

10r A.I.R.

(C)

ω θd

x


101

( )

( ) ( )jiijijij

jiijjijiijjjiiijint

MMdFMMdF

rrdFrdFrdFrdFrdFdL

⋅−=⋅=

=−⋅=⋅−⋅=⋅+⋅= (11.21)

Deoarece jiij MMλF = , rezultă:

( ) ( ) 2ji

2jijiji

int MMd2

λMMd

2

λMMdMMλdL −=−=⋅−= (11.22)

Dacă punctele materiale aparţin unui sistem material rigid

distanţa dintre puncte ji MM =

constant şi ca urmare 0dLint = . Putem spune că în cazul unui sistem material rigid suma lucrurilor mecanice elementare ale forţelor interioare este nulă pentru orice deplasare a sistemului.

Fig. 11.5

11. 2. Puterea mecanică

Prin puterea mecanică a unei maşini se înţelege cantitatea de lucru mecanic produsă de maşină în unitatea de timp.

ωMvRdt

dLP 00 ⋅+⋅== (11.23)

Unitatea de măsură în sistemul internaţional de unităţi este watt-ul [W];

s

J11W = . În practică se mai foloseşte şi calul putere (CP); 1 kW=1,36CP.

Puterea este o mărime scalară pozitivă, negativă sau nulă constituind o caracteristică de bază a tuturor agregatelor energetice şi oricărei maşini.

În cazul motoarelor liniare: vRP= iar a celor rotative: MP c ω⋅= (s-a

notat Mc momentul cuplului). Dacă este cunoscută puterea unui motor P[W] şi turaţia n[rot/min],

momentul motor Mc [N.m] se obţine cu relaţia:

iMijF

jiFjM

jr

ir

O

Dinamica

102

Pnπ

30M c = (11.24)

Dacă puterea P este dată în CP, turaţia n în rot/min, momentul motor Mc

în N.m este

n

P7027M c = (11.25)

11.3. Randamentul mecanic

Orice maşină în timpul funcţionării ei în regim permanent primeşte un lucru mecanic motor mL , respectiv o putere motoaremP , care îi permite să

dezvolte un lucru mecanic util uL , respectiv o putere utilă uP , măsurate la

ieşirea din maşina respectivă. Diferenţa LL-L pum = se numeşte lucru

mecanic pierdut, iar PP-P pum = se numeşte putere pierdută.

Raportul dintre lucrul mecanic util şi cel motor, egal cu raportul dintre puterile utilă şi motoare se numeşte randament mecanic.

ϕ−=−

=−

=== 1P

PP

L

LL

P

P

L

Lη

m

pm

m

pm

m

u

m

u (11.26)

Coeficientul

m

p

u

p

P

P

L

L==ϕ

se numeşte coeficient de pierdere. Randamentul total al unui lanţ de n maşini sau mecanisme legate în serie este egal cu produsul randamentului maşinilor lanţului:

∏=

=n

1iiη η (11.27)

Randamentul total al unui agregat format din n maşini sau instalaţii montate în paralel este egal cu suma produselor dintre randamentele maşinilor şi cotele părţi din puterea absorbită de fiecare maşină din totalul puterii motoare ce alimentează întregul agregat.

∑ ∑= =

==n

1i

n

1iiii 1α;αηη (11.28)


103

11.4. Energia cinetică 11.4.1. Definiţii

Fig. 11.6 Fig. 11.7

Se consideră în figura 11.6 un punct material M de masă m care se deplasează sub acţiunea forţei F pe o traiectorie curbilinie ( )Γ având la momentul t viteza v .

Se numeşte energie cinetică a punctului material mărimea scalară egală cu semiprodusul dintre masa şi pătratul vitezei punctului:

( )22222c zyxm

2

1mv

2

1vm

2

1E &&& ++=== (11.29)

Energia cinetică este o mărime scalară strict pozitivă care caracterizează starea de mişcare a punctului la un moment dat. Unitatea de măsură în sistemul internaţional de unităţi este joule-ul [J]. Prin definiţie energia cinetică a unui sistem de puncte materialeiM de

mase im (fig.11.7) având vitezele iv n) ..., 2, 1,(i = este egală cu suma energiilor cinetică ale punctelor componente:

( )∑ ∑∑= ==

++===n

1i

n

1i

2i

2i

2ii

n

1i

2ii

2iic zyxm

2

1vm

2

1vm

2

1E &&& (11.30)

Un solid rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masă elementară dm având viteza v (fig. 11.8). Pentru calculul

v

t

m

z,y,x

M

( )Γa r

z

x y

x

y z O F

( )11 mM

1v

iz

iv

t

m

z,y,x

M i

( )Γiair

z

ixiy

x

yO iF

( )nn mM

nv

Dinamica

104

energiei cinetice se poate utiliza relaţia (5.30) în care semnul ∑ se înlocuieşte

cu semnul ∫ , viteza iv cu viteza v şi masa im cu dm.

( ) ( )

∫∫ ==C

2

C

2c dmv

2

1dmv

2

1E (11.31)

Fig. 11.8 11.4.2. Teorema lui König pentru energia cinetică

Fig. 11.9

v

t

dm

z,y,x

M

( )Γr

z

y x

y zO

( )C

x

1z

1x 1y1O

1cr

v cv

O'

C

cvr

ω

r ω×δ

( ) A.I.R.R∆c ≡

(C)

M(dm)

α


105

În figura 11.9 este reprezentat un solid rigid (C ) aflat în mişcare generală. Se cunoaşte masa M a corpului, viteza cv a centrului de masă, viteza

unghiulară instantanee ω şi momentul de inerţie mecanic c∆

J al corpului faţă

suportul vectorului ω plasat în centrul C de masă al corpului. Se demonstrează relaţia:

2∆

2cc ωJ

2

1Mv

2

1E

c+= (11.32)

numită teorema lui König pentru energia cinetică:’’Energia cinetică a unui solid rigid în mişcare generală este egală cu suma dintre energia cinetică a centrului de masă al solidului rigid în care se consideră concentrată întreaga masă a corpului şi energia cinetică a solidului rigid în mişcarea relativă faţă de centrul maselor’’.

Din Cinematică se ştie că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: rωvv c ×+= (11.33)

Folosind relaţiile (11.31) şi (11.33) se obţin succesiv

( ) ( )( )( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )( )

∫ ∫ ∫∫

∫ ∫ ∫ ∫

+⋅×+=×+

+×⋅+=×+==

C C C

222c

{C}

2c

2

C C C Cc

2c

2c

2c

dmαsinrω2

1dmrωvdmv

2

1dmrω

2

1

dmrωvdmv2

1dmrωv

2

1dmv

2

1E

(11.34)

S-a ţinut seama că ( ) αsinrωrωrω 22222 =×=×

Întrucât,

( )( )( )( )

∫ ∫ ∫ ∫ ==α===C C C C

∆222

c CJdmδdmsinr ; 0rMdmr ; Mdm

relaţia (11.34) devine:

2∆

2cc ωJ

2

1Mv

2

1E

C+= (11.35)

Dinamica

106

11.4.3. Energia cinetică în cazul unor mişcări particulare ale unui solid rigid a) Solid rigid în mişcare de translaţie

Fie un solid rigid (C) , având masa M şi viteza centrului de masă cv ,

aflat în mişcare de translaţie (fig. 11.10).

Fig. 11.10 Deoarece 0ω = , expresia (11.35) devine

2cc Mv

2

1E = (11.36)

În conformitate cu (11.36) energia cinetică a unui solid rigid aflat în mişcare translaţie este egală cu energia centrului de masă şi care se consideră concentrată întreaga masă a corpului. b) Solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul unei axe fixe

În figura 11.11 este reprezentat unui solid rigid (C) aflat în mişcare de rotaţie în jurul axei fixe ( )∆ cu viteza unghiulară ω . Se presupune de asemenea

cunoscut şi momentul de inerţie mecanic ∆J al corpului în raport cu axa ( )∆ . Din Cinematică se cunoaşte că viteza unui punct oarecare al rigidului are

expresia: rωv ×= (11.37)

z

y x

1x

1z

1y1O

C

cv

1cr C


107

α r

O

ω

δ

rωv ×=

dm

2O

( )∆

1O

Fig. 11.11

( )( )

( )( )( )

( )(11.38)ωJ

2

1dmδω

2

1

dm αsinrω2

1dmrω

2

1dmrω

2

1 dmv

2

1E

C

2∆

22

C C C

22222

C

2c

∫

∫ ∫ ∫∫

==

==×=×==

c) Solid rigid în mişcare de roto-translaţie

Fig. 11.12

0vα r

O

ω

δ

rωvv 0 ×+=

dm

( )∆

Dinamica

108

Se consideră în figura 11.12 un solid rigid aflat în mişcare elicoidală în lungul şi în jurul axei( )∆ cu viteza liniară cv şi viteza unghiulară ω . Se

cunoaşte masa M a corpului şi momentul de inerţie mecanic ∆J al acestuia faţă

de axa mişcării de roto-translaţie ( )∆ . Se ştie că viteza unui punct oarecare al rigidului are expresia: rωvv c ×+= (11.39)

Energia cinetică a rigidului în acest caz este:

( )

( )( ) ( )

( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )∫∫∫∫

∫∫∫∫

×+×+=×+

+×+=×+==

C0

C

2

C

20

C0

C

2

C

20

C

20

C

2c

dmrωvrω2

1dmv

2

1dmrωv

dmrω2

1dmv

2

1dmrωv

2

1dmv

2

1E

(11.40) Deoarece,

( ) ( ) ( ) ( ) 0ωv ; Jωdmδωdm αsinrωdmrω ; Mdm 0∆

2

C

22

C

222

C

2

C

=×===×= ∫∫∫∫

expresia energiei cinetice dată de (11.40) devine:

2∆

20c ωJ

2

1Mv

2

1E += (11.41)

Se poate afirma că energia cinetică a unui solid rigid aflat în mişcare de roto-translaţie este egală cu suma dintre energia cinetică de translaţie cu viteza

0v şi cea provenită din mişcarea de rotaţie în jurul axei fixe cu viteza

unghiulară ω . d) Placă aflată în mişcare plană O placă având masa M şi momentul de inerţie mecanic cJ∆ în raport cu

axa c∆ , normală în centrul de masă C pe planul plăcii, se află în mişcare într-un

plan fix cu viteza centrului de masă cv şi viteza unghiulară ω (fig. 11.13).

Energia cinetică plăcii este dată de formula lui König:

2c∆

2cc ωJ

2

1Mv

2

1E += (11.42)


109

Între cv şi ω subzistă relaţia:

dωICωvc ⋅=⋅= (11.43) Înlocuind (11.43) în (11.42) se obţine relaţia:

( ) 2∆

2∆c

2c ωJ

2

1MdJω

2

1E

I=+= (11.44)

în care I∆

J este momentul de inerţie mecanic al plăcii în raport cu axa

instantanee de rotaţie I∆ .

Fig. 11.13

e) Solid rigid în mişcare sferică (mişcare de rotaţie în jurul unui punct fix)

Fig. 11.14

r x ωv =

z

x

y

(C) rω

( ) A.I.R.∆ ≡

δ

α

O

dm

⋅

1Cr

C∆z ≡1z

1y

1x

( )mP

1O

A.I.R.∆ I =

y

x

I Ir

C Cv ω

ω

h

h

Dinamica

110

Se consideră în figura 11.14 un solid rigid care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul punctului fix O cu viteza unghiulară ω ( )zyx ω ,ω ,ω . Se

presupun cunoscute momentele de inerţie mecanice ale rigidului în raport cu axele sistemului de referinţă Oxzy. În mişcarea sferică viteza unui punct oarecare are expresia:

rωv ×= (11.45) Energia cinetică a rigidului cu punct fix se determină cu relaţia:

( )

( )( ) ( )

=×=×== ∫∫∫C

2

C

2

C

2c rω

2

1dmrω

2

1dmv

2

1E

( )

2∆

22

C

222 ωJ2

1dmδω

2

1dmαsinrω

2

1 == ∫∫

(11.46) Ţinând seama de legea de variaţie a momentelor de inerţie mecanice în raport cu axe concurente,

γα2Jβγ2J-βα2JγJβJαJJ zxyzxy2

z2

y2

x∆ −−++= , (11.47)

unde γβ, α, sunt cosinusurile directoare ale suportului ∆ al vectorului ω , şi de relaţiile: zyx ωωγ ;ωωβ ;ωωα === (11.48)

se obţine:

( )xzzxzyyxyxxy2zz

2yy

2xxc ωω2Jωω2Jωω2JωJωJωJ

2

1E −−−++= (11.49)

Dacă axele sistemului de referinţă mobil sunt axe principale de inerţie, momentele de inerţie centrifugale sunt nule, iar (11.49) ia forma simplificată:

2zz

2yy

2xxc ωJ

2

1ωJ

2

1ωJ

2

1E ++= (11.50)

11.5. Energie potenţială. Energie mecanică Se întâlnesc sisteme materiale (o greutate situată la o anumită înălţime, un arc întins sau comprimat, un recipient cu gaz sub presiune, etc.) care au energie datorită poziţiei pe care o ocupă, fiind capabil să producă lucru mecanic


111

dacă se suprimă legăturile ce menţin sistemul în poziţia respectivă. Energia de poziţie a unor astfel de sisteme se numeşte energie potenţială. Energia potenţială a unui corp aflat într-o poziţie oarecare este egală cu lucrul mecanic consumat pentru a aduce corpul dintr-o poziţie în care energia potenţială se consideră nulă în poziţia dată, luat cu semn schimbat.

( )∑ ∑∫=

−=−=++−=−=n

1iiiiziiyiixp UUdzFdyFdxFLE (11.51)

unde U este funcţia de forţe a sistemului. Unitatea de măsură pentru energia poteniţială în SI este joule-ul [ ]J . În cazul unui sistem material suma dintre energia cinetică şi energia potenţială se numeşte enrgie mecanică. pcm EEE += (11.52)

11.6. Impulsul Se consideră un punct material M de masă m care se deplasează pe traiectoria ( )Γ , având la un moment dat viteza v (fig. 11.15). Se defineşte impulsul sau cantitatea de mişcare a punctului material un vector egal cu produsul dintre masa punctului şi viteza sa. vmp = (11.53)

( )mMvmp =

v r

0k

y

x

z

O

Fig. 5.15

Alegând un sistem de referinţă cartezian Oxzy şi proiectând (11.53) pe axele acestuia se obţin relaţiile: zmp ;ymp ;xmp zyx &&& === (11.54)

Dinamica

112

în care z ,y ,x &&& sunt componentele carteziene ale vitezei punctele M. Unitatea de măsură a impulsului în SI este metrukilogram⋅ pe scundă

[ ]m/skg ⋅ .

0K

nv

( )nn mMy

cvMP =

cvC

crir

iii vmp =iv

z

( )11 mM

1v

O

x

Fig. 11.16

În cazul unui sistem de puncte matriale aflat în mişcare (fig.5.16)

impulsul sistemului este egal cu suma impulsurilor punctelor.

∑=

=n

1iii vmP (11.55)

Această relaţie se poate pune şi sub o altă formă ţinând seama că viteza instantanee a punctului este egală cu derivata în raport cu timpul a vectorului de poziţie al punctului.

( )∑∑==

=====n

1icccii

n

1i

ii vMrMrM

dt

drm

dt

d

dt

rdmP && (11.56)

Aşadar impulsul total al unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul total al unui sistem de puncte materiale este egal cu impulsul centrului de masă al sistemului în care se presupune concentrată în întreaga masă a acestuia. Componentele carteziene ale impulsului se obţin proiectând relaţia (11.56) pe axele sistemului de referinţă Oxzy. czcycx zMP ;yMP ;xMP &&& === (11.57)


113

Solidul rigid poate fi considerat compus dintr-o infinitate de puncte materiale de masă dm şi viteză v (fig. 11.17). Ca urmare impulsul total se obţine cu relaţia

( )∫=C

dmvP (11.58)

Fig. 11.17

Ca şi în cazul precedent

( ) ( )

( ) c1C1cC

1C

1 vMrMrMdt

ddmr

dt

ddm

dt

rdP ===== ∫∫ & (11.59)

Relaţia (11.59) arată că impulsul unui rigid este egal cu impulsul centrului de masă în care ar fi concentrată întreaga masă a rigidului. 11.7. Momentul cinetic 11.7.1. Definiţii a) Momentul cinetic al unui punct material Prin definiţie momentul cinetic al unui punct material aflat în mişcare (fig. 11.15) în raport cu un pol fix O este egal cu momentul vectorului impuls faţă de acelaşi pol O.

vmrkO ×= (11.60)

ωcK

z

dmv

r

c1r

1rC cv

cvMP =

y

1z

1O

1OK

1x x

1y

Dinamica

114

Proiecţiile acestui vector pe axele unui sistem de axe cu originea în punctul O vor fi:

( ) ( ) ( )xyyxmk ;zxxzmk ;yzzymk zyx &&&&&& −=−=−= (11.61) Unitatea de măsură pentru momentul cinetic în SI este

secundăpemetrukilogram 2⋅ /s]m[kg 2⋅ . b) Momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale

Prin definiţie momentul cinetic al unui sistem de puncte materiale aflat în mişcare (fig. 11.16) în raport cu un punct fix O este egal cu suma momentelor cinetice ale punctelor în raport cu acelaşi O.

∑=

×=n

1iiiiO vmrK (11.62)

c) Momentul cinetic al unui solid rigid

În cazul unui solid rigid (fig. 11.17) se defineşte momentul cinetic faţă de punctul fix 1O , prin relaţia:

( )

dmvrKC

1O1 ∫ ×= (11.63)

şi momentul cinetic al rigidului în mişcarea relativă faţă de centrul maselor prin relaţia:

( )( )

( )( )∫∫ ××=−×=CC

cC dmrωrdmvvrK (11.64)

Relaţia (11.64) poate fi transcrisă matriceal:

[ ] [ ] [ ]ωJKsau ;

ω

ω

ω

JJJ

JJJ

JJJ

K

K

K

C

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

y

x

⋅=

⋅

−−−−−−

=

(11.65)

Matricea:

−−−−−−

=

zzyzx

yzyyx

xzxyx

JJJ

JJJ

JJJ

]J[ (11.66)


115

se numeşte matricea momentelor de inerţie sau tensor inerţial. 11.7.2. Teorema lui König pentru momentul cinetic Se consideră un rigid (C) aflat în mişcare generală faţă de un sistem de referinţă fix 1111 zyxO , având la un moment dat t viteza centrului de masă cv şi

viteza unghiulară ω (fig.11.17). Fiind cunoscută masa M a corpului şi momentele de inerţie mecanice ale acestuia în raport cu sistemul de axe Oxyz, legate de corp, se cere determinarea relaţiei dintre momentul cinetic al corpului faţă de punctul fix 1O şi momentul cinetic al corpului în mişcarea relativă faţă de centrul de masă. Înlocuim în (11.63) egalităţile rωvv ;rrr C1c1 ×+=+=

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( )( )

( )=××+×+

+××++×=×ω+×+=

∫∫

∫∫∫

CCc

C1c

Ccc1

Ccc1O

dmrωrdmvr

dmrωrdmvrdmrvrrK1

( ) ( ) ( )

( )( )∫∫∫∫ ××+×

+

××+×=

Cc

CC1c

Cc1c dmrωrvdmrdmrωrdmvr

(11.67) Întrucât,

( ) ( )

( )( )

cC

CCC

Kdmrωr 0;rMdmr M;dm =××=== ∫∫∫ ,

relaţia (11.67) devine: cc1cO KvMrK

1+×= (11.68)

Relaţia (11.68) exprimă teorema lui König pentru momentul cinetic conform căreia, momentul cinetic al unui solid rigid (sistem material) în raport cu un punct fix 1O este egal cu suma dintre momentul cinetic al centrului de masă în care se consideră concentrată întreaga masă a corpului (sistemului material) şi momentul cinetic cK rezultat din mişcarea relativă a corpului

(sistemului material) în raport cu centrul maselor.

Dinamica

116

11.7.3. Momentul cinetic în cazul unor mişcări particulare ale rigidului a) solid rigid aflat în mişcare de translaţie

Fie un solid rigid aflat în mişcare de translaţie (fig.11.18), având masa M şi viteza instantanee a centrului de masă cv .

z

y

1x

1z

1y1O

C

cv1cr C

1OK

x

Fig. 11.18

Întrucât 0=ω 0K c = (11.69)

c1cO vMrK1

×= (11.70)

b) Solid ridig aflat în mişcare de rotaţie în jurul unui punct fix

Se consideră un solid rigid care efectuează o mişcare de rotaţie în jurul punctului fix O (fig.11.19) cu viteza unghiulară ω . Se cunosc momentele de inerţie mecanice ale corpului în raport cu axele sistemului de referinţă Oxzy, solidar cu rigidul.

Conform (11.63), dacă OO1 = şi rr1 = ,

( )∫ ×=C

O dmvrK (11.71)

Având în vedere legea distribuţiei vitezelor în mişcarea sferică a

rigidului rωv ×= (11.72)

( )( )

( )( )( )

∫ ∫∫ ⋅−=××=C C

2

CO dmrrωdmωrdmrωrK (11.73)


117

y

x

O

z

ωr

OK

v

(C)

( )A.I.R

∆

dm

zy,x,M

Expresiile analitice ale vectorilor care intervin (11.73) sunt kωjωiωω ;kzjyixr ;kKjKiKK zyxzyxO ++=++=++= (11.74)

Înlocuind (11.74) în (11.73) şi ţinând seama de expresiile momentelor de inerţie mecanice axiale şi centrifugale, prin identificarea coeficienţilor versorilor din cei doi membri, se obţin proiecţiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de rferinţă mobil Oxzy. Acestea pot fi exprimate sub formă matriceală:

⋅

−−−−−−

=

z

y

x

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

y

x

ω

ω

ω

JJJ

JJJ

JJJ

K

K

K

(11.75)

sau restrâns [ ] [ ] [ ]ωJK O ⋅= (11.76)

Dacă axele sistemului de referinţă mobil sunt axe principale de inerţie, atunci momentele de inerţie centrifugale sunt nule şi: zzzyxyxxx ωJK ;ωJK ;ωJK === (11.77)

c) Solid rigid în mişcare de rotaţie în jurul unui ax fix

În figura (11.20) este reprezentat un solid rigid aflat în mişcare de rotaţie în jurul unui ax fix oarecare ( )∆ . Se cunosc viteza unghiulară ω şi momentele

Fig. 5.19

Dinamica

118

de inerţie axiale şi centrifugale ale rigidului în raport cu sistemul de referinţă Oxzy, legat invariabil de solidul rigid.

Momentul cinetic al rigidului în raport cu punctul fix O de pe axa ( )∆ se poate calcula ca şi în cazul mişcării sferice deoarece mişcarea de rotaţie în jurul unui ax fix este un caz particular al mişcării sferice în care axa instantanee de rotaţie devine fixă. Astfel, proiecţiile vectorului moment cinetic pe axele sistemului de referinţă mobil Oxzy sunt date de (11.75) sau (11.77), după cum acest sistem nu este sau este sistem de axe principale de inerţie.

Fig. 5.20

Dacă axa ( )∆ coincide cu axa Oz, atunci ωJK ;ωJK ;ωJK zzyzyxzx =−=−= (11.78)

Dacă în plus axa ( ) Oz≡∆ este axă principală de inerţie, atunci: kωJK ω;JK 0;KK zOzzyx ==== (11.79)

d) Placă aflată în mişcare plană Se consideră o placă mobilă ( )mP în mişcare în planul fix 1111 zyxO cu

viteza centrului de masă cv şi viteza unghiulară ω (fig. 11.21). Se cunoaşte

masa plăcii şi momentul de inerţie zJ faţă de axa Cz, normală în centrul de masă al plăcii pe planul plăcii.

Din punctul de vedere al distribuţiei de viteze mişcarea plană reprezintă o suprapunere a două mişcări: o mişcare de translaţie cu viteza cv a centrului

de masă C şi o mişcare de rotaţie cu viteza unghiulară ω în jurul unei axe perpendiculare în C pe planul mişcării.

0K

z

x

y

( )C

ω

( )∆

r

v

O

dm

z,y,xM


119

Fig. 11.21 Momentul cinetic în mişcarea relativă faţă de centrul de masă este dat de

relaţia (11.79) ωJK ;kωJK zCzC == (11.80)

iar momentul cinetic faţă de 1O de formula lui König. ( )[ ] kωJvyvxMKvMrK zCx1CCy1CCC1CO 111

+−=+×= (11.81)

11.8. Teorema de variaţie a energiei cinetice

inti

exti FF +

ia

intiF

extiF

( )iΓ

iv

( )ii mM

ir

O

z

y

x

( )11 mM

ext1F

1a

( )nn mM

extnF

na

Fig. 11.22

z1z

1y

1x

( )mP

1O

( )I∆

y

x

I

CK

C Cv

ω1Cr

10K

1k

1i

C1yj

1j

i

k

A.I.R.

ϕ

ϕ

C1x

Dinamica

120

Se consideră un sistem de puncte materiale iM , având masele im ,

vitezele iv , acceleraţiile ia şi vectorii de poziţie ir într-un sistem de referinţă Oxyz, aflat în mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

extiF (i=1,2,…,n). Asupra punctului iM acţionează forţa ext

iF şi rezultanta

forţele interioare ,FFn

1jij

inti ∑

== n,1j ÷= ij ≠ , cu care celelalte n-1 puncte

interacţionează cu punctul iM (fig. 11.22). Pentru fiecare punct material putem scrie legea fundamentală a dinamicii:

inti

extiii FFam += (11.82)

Înmulţind scalar ambii membri ai relaţiei (11.82) cu ird şi însumând relaţiile obţinute pentru n1i ÷= , rezultă

∑∑∑===

⋅+⋅=⋅n

1ii

inti

n

1iii

n

1iiii rdFrdFrdam (11.83)

Dar

C

n

1i

2ii

n

1i

2ii

n

1iiii

n

1ii

ii

n

1iiii dEvm

2

1

dt

dvm

2

1

dt

dvdvmrd

dt

vdmrdam ==

=⋅=⋅=⋅ ∑∑∑∑∑=====

(11.84)

extn

1iii dLrdF =⋅∑

=; int

n

1ii

inti dLrdF =⋅∑

=, (11.85)

unde extdL şi intdL reprezintă reprezintă lucrul mecanic al forţelor exterioare, respectiv al forţelor interioare. Se obţine:

intextC dLdLdE += (11.86)

relaţie ce exprimă matematic teorema de variaţie a energiei cinetice sub formă elementară sau diferenţială în cazul unui sistem de puncte materiale: variaţia elementară a energiei cinetice a unui sistem de puncte materiale este egală cu suma dintre lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare şi lucrul mecanic al forţelor interioare, corespunzător deplasării elementare a sistemului material în intervalul de timp dt. Integrând relaţia (11.86) se obţine forma finită sau integrală a teoremei de variaţie a energiei cinetice.


121

int21

ext21C1C2 LLEE −− +=− (11.87)

în care C1E este energia cinetică a sistemului la momentul 1t , C2E este energia

cinetică a sistemului la momentul 2t , ext21L − reprezintă lucrul mecanic total al

forţelor exterioare în intervalul de timp 12 tt − şi int21L − reprezintă lucrul mecanic

total al forţelor interioare în acelaşi interval de timp. În cazul solidului rigid, având în vedere că

0dL ; 0dL int21

int == − (11.88) forma diferenţială a teoremei de variaţie a energiei cinetice este:

extC dLdE = (11.89)

iar cea finită:

ext21C1C2 LEE −=− (11.90)

11.9. Teorema de variaţie a impulsului

Fig. 11.23 Această teoremă va fi demonstrată tot în cazul unui sistem de puncte

materiale, rezultatele fiind apoi extinse pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide. Fie un sistem de puncte materiale iM de mase im aflat în mişcare cu

vitezele iv şi acceleraţiile ia sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare extiF ( )n1i ÷= . Asupra punctului iM acţionează atât forţa ext

iF cât şi rezultanta

( )ii mMia

inti

exti FF +

extiF

intiFiv

ca

crcaMP =&

extR

OK&ext1F

extnF

( )nn mMO

( )11 mM

ir

z

x

yC

extOM

Dinamica

122

∑=

=n

1jij

inti FF ( )ijn,1j ≠÷= a forţelor interioare cu care celelalte puncte

interacţionează cu punctul iM (fig. 11.23). Pentru fiecare punct separat din sistem este valabil principiul al doilea al mecanicii scris sub forma:

inti


Scriind relaţii de forma (11.91) pentru toate punctele sistemului şi însumându-le membru cu membru obţinem:

∑∑∑===

+=n

1i

inti

n

1i

exti

n

1iii FFam (11.92)

Dar,

( ) ( ) PPdt

dvm

dt

dvm

dt

d

dt

vdmam

n

1iii

n

1iii

n

1i

ii

n

1iii

&===== ∑∑∑∑====

, adică derivata

în raport cu timpul a vectorului impuls total;

extn

1i

exti RF =∑

= -vectorul rezultant al forţelor exterioare;

0Fn

1i

inti =∑

= -deoarece forţele interioare sunt două câte două egale în modul,

având acelaşi suport şi sensuri contrarii. Rezultă:

extRP =& (11.93) Relaţia (11.93) exprimă teorema de variaţie a impulsului pentru un sistem de puncte materiale: derivata în raport cu timpul a vectorului impuls total al unui sistem de puncte materiale este egală cu vectorul rezultant al forţelor exterioare aplicate punctelor sistemului. Deoarece CvMP = ,

CC aMvMP == && , (11.94)

unde: M-este masa sistemului de puncte materiale; Cv -este viteza centrului de masă al sistemului de puncte materiale;

Ca -este acceleraţia aceluiaşi centru de masă,


123

se obţine:

extC RaM = (11.95)

Teorema de variaţie a impulsului sub forma (11.95) poartă numele de teorema mişcării centrului de masă cu următorul enunţ: centrul de masă al unui sistem de puncte materiale are mişcarea unui singur punct a cărui masă este egală cu masa totală a sistemului când asupra căruia ar acţiona vectorul rezultant al forţelor exterioare. Echivalenţele scalare ale ecuaţiilor vectoriale (11.93) şi (11.95) sunt:

extxCx RxMP == &&& ; ext

yCy RyMP == &&& ; extzCz RzMP == &&& (11.96)

Integrând (11.93) pentru două configuraţii la momentele 1t şi 2t obţinem forma finită a teoremei de variaţie a impulsului:

∫=−2

1

t

t

ext12 dtRPP (11.97)

unde: 1C1 vMP = ,

2C2 vMP =

Dacă vectorul rezultant al forţelor exterioare este nul sau proiecţia sa pe

o axă fixă este permanent nulă ( 0Rext = , respectiv de exemplu 0Rextx = ),

impulsul total, respectiv proiecţia impulsului pe acea axă este invariabil în timp (se conservă). Se obţin astfel integralele prime:

ct.vMP C == , respectiv ct.xMP Cx == & (11.98) În acest caz centrul de masă are o mişcare rectilinie şi uniformă sau, în particular, rămâne în repaus, respectiv proiecţia centrului maselor pe acea axă se mişcă uniform sau, în particular, rămâne pe loc. Rezultatele obţinute sunt valabile şi pentru un solid rigid sau un sistem de corpuri rigide.

11.10. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu un punct fix

Fie un sistem de puncte materiale iM de mase im , având vitezele şi

acceleraţiile instantanee iv şi ia şi vectorii de poziţie ir într-un sistem de referinţă fix Oxyz. Punctele se află în mişcare sub acţiunea unui sistem de forţe

Dinamica

124

exterioare ( )n1iFexti ÷= . Asupra punctului iM acţionează forţa exterioară ext

iF

şi rezultanta ( )ijn,1j,FFn

1jij

inti ≠÷==∑

= a forţelor exterioare cu care celelalte

n-1 puncte interacţionează cu iM (fig. 11.23).

Scriem pentru punctul iM legea fundamentală a dinamicii

inti


Înmulţim vectorial la stânga cei doi membri ai relaţiei (11.99) cu ir şi însumăm relaţiile obţinute dând lui i valori de la 1 la n. Se obţine:

∑∑∑===

×+×=×n

1i

intii

n

1i

extii

n

1iiii FrFramr (11.100)

În relaţia (5.100):

( ) OO

n

1iiii

n

1iii

iiii

n

1iiii KK

dt

dvmr

dt

dvm

dt

rdvmr

dt

damr &==×=

×−×=× ∑∑∑===

,

adică derivata în raport cu timpul a momentului cinetic faţă de punctul O;

extO

exti

n

1ii MFr =×∑

= - momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de polul O.

0Fr inti

n

1ii =×∑

= - deoarece forţele interioare sunt două câte două egale în modul,

având acelaşi suport şi sensuri opuse. Rezultă:

extOO MK =& (11.101)

Relaţia (11.101) exprimă teorema momentului cinetic în raport cu un punct fix pentru un sistem de puncte materiale, conform căreia: derivata vectorială în raport cu timpul a momentului cinetic al unui sistem de puncte materiale calculat faţă de un punct fix O este egală cu momentul rezultant al sistemului forţelor exterioare aplicate punctelor sistemului, calculat faţă de acelaşi punct fix O.

Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu un punct fix

este nul ( )0M extO = atunci

0K O =& şi deci ct.K O = (11.102)


125

adică momentul cinetic se conservă. Ecuaţia (11.102) este o integrală primă a teoremei momentului cinetic. Echivalentele scalare ale ecuaţiei (11.101) sunt

extxx MK =& ; ext

yy MK =& ; extzz MK =& (11.103)

Dacă momentul rezultant al forţelor exterioare în raport cu o axă fixă (de exemplu Oy) este nul atunci faţă de axa respectivă momentul cinetic se conservă:

0M exty = ; 0K y =& şi deci ct.K y = (11.104)

Integrând (11.101) se ajunge la forma finită a teoremei de variaţie a momentului cinetic

∫=−2

1

t

t

extOO1O2 dtMKK (11.105)

Rezultatele obţinute sunt valabile şi în cazul sistemelor de corpuri rigide. 11.11. Teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor Se consideră un rigid (C) aflat în mişcare în raport cu un sistem de referinţă fix 1111 zyxO sub acţiunea unui sistem de forţe exterioare

( )n1,2,...,iFexti = . De corp este invariabil legat de sistemul de referinţă Cxyz, cu

originea în centrul de masă (fig. 11.24). Se urmăreşte determinarea relaţiei dintre momentul cinetic al corpului în

mişcarea relativă faţă de centrul de masă şi momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de acelaşi punct. Scriem teorema lui König pentru momentul cinetic şi o derivăm în raport cu timpul

CC1CC1CO KaMrvMrK1

&&& +×+×= (11.106)

Conform teoremei momentului cinetic faţă de punctul fix 1O şi teoremei

mişcării centrului de masă se poate scrie:

extOO

11MK =& ; ext

C RaM = (11.107)

unde:

Dinamica

126

∑=

×=n

1i

exti1i

extO FrM

1este momentul rezultant al forţelor exterioare faţă de 1O şi

∑=

=n

1i

exti

ext FR este vectorul rezultant al forţelor exterioare.

Termenul, =× C1C vMr& 0vMv CC =×

Fig. 11.24 Astfel, relaţia (11.106) devine:

Cext

1CextO KRrM

1

&+×= sau ext1C

extOC RrMK

1×−=& (11.108)

Conform legii de variaţie a momentului rezultant la schimbarea polului de reducere :

extC

ext1C

extO MRrM

1=×− ; ∑

==

n

1i

extii

extC FxrM (11.109)

Se obţine:

extCC MK =& , (11.110)

relaţie ce exprimă teorema de variaţie a momentului cinetic în raport cu centrul maselor conform căreia: derivata în raport cu timpul a vectorului moment cinetic al unui sistem material în mişcarea relativă faţă de centrul de masă al sistemului este egală cu momentul rezultant al forţelor exterioare calculat în raport cu acelaşi centru de masă.

1O

extOO 11

MK =&

1x

1z

1OK

1y

1r

dm v1A

1F

εω

y

cK

extcc MK =&

1ir

iF

1cr

iA ir

( )CnFnA

P

cv

ca

extc RaMP ==&

x

z

r

Documents

Notiunile Fundamentale Si Teoremele Generale Ale Dinamicii