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. UNIVERSITE CHEIKI-I ANlA DIOP DE DAKAR· ***** FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE ***** THESE DE DOCTORAT DE 3 èine CYCLE DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES OPTION: RECHERCHE OPERATIONNELLE SUJET: NOUVELLE DES PROBLEMESVLIbAIRESA VARIABLES BORNEES PAR DECOMPOSITION Présenté par. Mamadou BALDE Directeur et Codirecteur: M. SANGHARE - Y. GNINGUE JURY: Président: M. SANGHARE Mamadou Membres: Mme DIAGNE Salimata Guèye M. GNINGUE Youssou M. .NIANE Mary Teuw . M. SECK Diaraf M. THIAM Maguette M. THIAM Sada Sory Université Cheikh Anta Diop de Dakar Université Cheikh Anta Diop de Dakar Université Laurentiei1ne (Canada) .Université Gaston Berger ( St Louis) Université Cheikh Anta Diop de Dakar Université Cheikh Anta Diop de Dakar Université Cheikh Anta Diop de Dakar ( Année Universitaire 2003- 2004 ) UNIVERSITE CHEIKI-I ANlA DIOP DE DAKAR· ***** FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE ***** THESE DE DOCTORAT DE 3 èine CYCLE DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES OPTION: RECHERCHE OPERATIONNELLE SUJET: NOUVELLE DES PROBLEMES LINEAIRES A VARIABLES BORNEES PAR DECOMPOSITION Présenté par Mamadou BALDE Directeur et Codirecteur: M. SANGHARE - Y. GNINGUE JURY: Président: M. SANGHARE Mamadou Membres: Mme DIAGNE Salimata Guèye M. GNINGUE Youssou M. .NIANE Mary Teuw M. SECK Diaraf M. THIAM Maguette M. THIAM Sada Sory Université Cheikh Anta Diop de Dakar Université Cheikh Anta Diop de Dakar Université Laurentiei1ne (Canada) Université Gaston Berger ( St Louis) Université Cheikh Anta Diop de Dakar Université Cheikh Anta Diop de Dakar Université Cheikh Anta Diop de Dakar ( Année Universitaire 2003- 2004 )

Nouvelle méthode de résolution des problèmes de ... 7025... · Comme bien des méthodes de la recherche opérationnelle, la ... simplexe qui constitue un ... bj est équivalente

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  • .UNIVERSITE CHEIKI-I ANlA DIOP DE DAKAR

    *****FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES

    DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE

    *****

    THESE DE DOCTORAT DE 3ine CYCLE DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES

    OPTION: RECHERCHE OPERATIONNELLE

    SUJET:

    NOUVELLE~~OD~J>L~OLUTION

    DES PROBLEMESVLIbAIRESA VARIABLES

    BORNEES PAR DECOMPOSITION

    Prsent par. Mamadou BALDE

    Directeur et Codirecteur:

    M. SANGHARE - Y. GNINGUE

    JURY:

    Prsident: M. SANGHARE Mamadou

    Membres:

    Mme DIAGNE Salimata Guye

    M. GNINGUE Youssou

    M. .NIANE Mary Teuw

    . M. SECK Diaraf

    M. THIAM Maguette

    M. THIAM Sada Sory

    Universit Cheikh Anta Diop de Dakar

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    Universit Laurentiei1ne (Canada)

    .Universit Gaston Berger ( St Louis)

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    Universit Cheikh Anta Diop de Dakar

    ( Anne Universitaire 2003- 2004 )

    UNIVERSITE CHEIKI-I ANlA DIOP DE DAKAR

    *****FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUESDEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES ET INFORMATIQUE

    *****

    THESE DE DOCTORAT DE 3ine CYCLE DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES

    OPTION: RECHERCHE OPERATIONNELLE

    SUJET:

    NOUVELLE~ODED~~OLUTIONQ.~\N\..W\.~

    DES PROBLEMES LINEAIRES A VARIABLES

    BORNEES PAR DECOMPOSITION

    Prsent par Mamadou BALDE

    Directeur et Codirecteur:

    M. SANGHARE - Y. GNINGUE

    JURY:

    Prsident: M. SANGHARE Mamadou

    Membres:

    Mme DIAGNE Salimata Guye

    M. GNINGUE Youssou

    M. .NIANE Mary Teuw

    M. SECK Diaraf

    M. THIAM Maguette

    M. THIAM Sada Sory

    Universit Cheikh Anta Diop de Dakar

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    Universit Laurentiei1ne (Canada)

    Universit Gaston Berger ( St Louis)

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    ( Anne Universitaire 2003- 2004 )

  • Au nom d'Allah, le Clment, le MisricordieuxQue la paix et la bndiction d'Allah soient sur le prophte ainsi que sa

    famille, ses compagnons et ceux qui les suivent vertueusement" jusqu'aujour de la rsurrection

    ~merciements

    :Jvtes remerciements vont

    ~ }l ma mes deu:(parents,

    ~ jl tous mes proches parents,

    ~ jl mes professeurs et encadreurs :Jvtessieurs :Jvtamadou Sangfiar etry'oussou ningue,

    ~ jl tous [es professeurs mem6res de ce jury,

    ~ jl mes professeurs du (j)partement de !Matfimatiques etInfonnatique de ra facuCt de Sciences et 'Techniques de rVC}l(j)::Jvtme (j)iagne SaCimata.) :Jvt. 'Thiam :Jvtaguette) :Jvt. 'Thiam Sada Sory'Thiam...

    ~ }lu:(secrtaires de ce (j)partement, :Jvtme :Jvt6aye et !Mme Ndiaye)

    ~ }lu chefdu CDpartement de nie Cfiimique et io[ogie jlppCique der

  • Ddicace

    A ma mre.

    Ddicace

    A ma mre.

  • ", ,1.,J

    11

    1

    11

    11

    1;

    INTRODUCTION 1

    Chapitre l Prsentation de la programmation Iinaire 3

    l Formulation du problme de programmation linaire 3

    1.1 Dfinitions 3

    1.2 Interprtation gomtrique de la programmation linaire .4

    1 3 l t 't t" . 5. n erpre a Ion economlque ..

    II Mthodes de rsolution des problmes de programmation linaire 7

    2.1 Mthode d'numration 7

    2.2 Mthode graphique 7

    2.3 Mthode du simplexe ou mthode de G. B Dantzig 8

    III La mthode du simplexe 9

    3.1 Prsentation de la mthode 9

    3.2 Etapes de la mthode 10

    3.3 Variantes de la mthode 16

    IV Mthode du simplexe des PLVB 22

    4.1 Principe de base de la mthode 22

    4.2 Algorithme du simplexe des PLVB 24

    V Cas particuliers 26

    5.1 Solution alternative 26

    5.2 Solution infinie 28

    5.3 Domaine vide 29

    5.4 Dgnrescence 31

    CHAPITRE II Mthode rvise du simplexe 35

    l Forme matricielle de la mthode du simplexe 36

    II Forme produit de "inverse 37

    "

    "1.,J

    11

    1

    11

    11

    1;

    INTRODUCTION 1

    Chapitre l Prsentation de la programmation Iinaire 3

    l Formulation du problme de programmation linaire 3

    1.1 Dfinitions 3

    1.2 Interprtation gomtrique de la programmation linaire .4

    1 3 l t 't t" . 5. n erpre a Ion economlque ..

    II M'~hodes de rsolution des problmes de programmation linaire 7

    2.1 Mthode d'numration 7

    2.2 Mthode graphique 7

    2.3 Mthode du simplexe ou mthode de G. B Dantzig 8

    III La mthode du simplexe 9

    3.1 Prsentation de la mthode 9

    3.2 Etapes de la mthode 10

    3.3 Variantes de la mthode 16

    IV Mthode du simplexe des PLVB 22

    4.1 Principe de base de la mthode 22

    4.2 Algorithme du simplexe des PLVB 24

    V Cas particuliers 26

    5.1 Solution alternative 26

    5.2 Solution infinie 28

    5.3 Domaine vide 29

    5.4 Dgnrescence 31

    CHAPITRE II Mthode rvise du simplexe 35

    l Forme matricielle de la mthode du simplexe 36

    II Forme produit de "inverse 37

  • r-I

    III Algorithme de la mthode rvise , 39

    CHAPITRE III Mthode de dcomposition 50

    l Mthode de dcomposition 51

    1.1 Cas des problmes sans contrainte commune 51

    1.2 Cas gnral 52

    1.3 Algorithme 55

    II illustrations 55

    CHAPITRE IV Gnralisation de la forme produit 76

    l Variables de rentres totalement indpendantes 76

    Dfinition 1.1 76

    Dfinition 1.2 77

    Dfinition 1.3 77

    Proposition 1.1.. 77

    Dfinition 1.4 78

    II Gnralisation de la forme produit 78

    Proposition 2.1 78

    Dfinition 2.1 83

    Proposition 2.2 83

    III. Variables de rentres croises 84

    Dfinition 3.1 84

    Proposition 3.1.. 85

    IV Gnralisation de la forme produit 85

    Proposition 4.1 85

    Dfinition 4.2 90

    Proposition 4.2 90

    V Variables de rentres lies 91

    III Algorithme de la mthode rvise , 39

    CHAPITRE III Mthode de dcomposition 50

    l Mthode de dcomposition 51

    1.1 Cas des problmes sans contrainte commune 51

    1.2 Cas gnral 52

    1.3 Algorithme 55

    II illustrations 55

    CHAPITRE IV Gnralisation de la forme produit 76

    l Variables de rentres totalement indpendantes 76

    Dfinition 1.1 76

    Dfinition 1.2 77

    Dfinition 1.3 77

    Proposition 1.1.. 77

    Dfinition 1.4 78

    II Gnralisation de la forme produit 78

    Proposition 2.1 78

    Dfinition 2.1 83

    Proposition 2.2 83

    III. Variables de rentres croises 84

    Dfinition 3.1 84

    Proposition 3.1.. 85

    IV Gnralisation de la forme produit 85

    Proposition 4.1 85

    Dfinition 4.2 90

    Proposition 4.2 90

    V Variables de rentres lies 91

  • INTRODUCTION

    Nes de la recherche oprationnelle, les mthodes d'optimisation

    mathmatique sont aujourd'hui couramment utilises dans les domaines des

    techniques industrielles et de la gestion.

    Ces mthodes se caractrisent par le fait qu'elles permettent de tenir

    compte des contraintes donnes sous forme d'ingalits, contrairement aux

    approches classiques comme celles des multiplicateurs de Lagrange.

    Gnralement, on appelle programmation mathmatique la recherche

    de l'optimum d'une fonction de plusieurs variables lies entre elles par des

    contraintes sous forme d'galits ou d'ingalits.

    Nombreux sont les problmes de dcision qui se ramnent un modle

    de programmation mathmatique. Ici, nous nous intressons au cas o la

    fonction optimiser et les contraintes sont linaires. On aura alors affaire un

    problme de programmation linaire.

    Les applications qui sont faites de la programmation linaire sont trs

    varies. Cela tient au fait que le modle est relativement gnral et permet de

    traiter beaucoup de problmes de gestion scientifique. Mais cela est d aussi

    au fait qu'il existe des algorithmes trs efficaces pour obtenir des solutions. La

    mthode du simplexe dveloppe par G. B. Dantzig (1949) a conduit

    plusieurs algorithmes qui permettent de rsoudre aisment des problmes de

    grandes tailles. Comme bien des mthodes de la recherche oprationnelle, la

    programmation linaire est souvent considre comme une technique

    informatique standard. On trouve en effet de trs nombreux codes de

    programmation linaire sur le march.

    Dans cette thse, nous proposons une rsolution des problmes linaires

    variables bornes (PLVB) et des problmes de transports capacits (PTe)

    par une nouvelle mthode base principalement sur une adaptation de la

    mthode de dcomposition.

    Ainsi, dans le premier chapitre, nous prsentons la formulation mathmatique

    des problmes de programmation linaire et les diffrentes mthodes de

    rsolution que les mathmaticiens ont eu laborer. Dans ce mme chapitre,

    nous exposons la rsolution des PLVB par la mthode du simplexe; ensuite le

    chapitre Il, est exclusivement consacre l'expos de la mthode rvise du

    INTRODUCTION

    Nes de la recherche oprationnelle, les mthodes d'optimisation

    mathmatique sont aujourd'hui couramment utilises dans les domaines des

    techniques industrielles et de la gestion.

    Ces mthodes se caractrisent par le fait qu'elles permettent de tenir

    compte des contraintes donnes sous forme d'ingalits, contrairement aux

    approches classiques comme celles des multiplicateurs de Lagrange.

    Gnralement, on appelle programmation mathmatique la recherche

    de l'optimum d'une fonction de plusieurs variables lies entre elles par des

    contraintes sous forme d'galits ou d'ingalits.

    Nombreux sont les problmes de dcision qui se ramnent un modle

    de programmation mathmatique. Ici, nous nous intressons au cas o la

    fonction optimiser et les contraintes sont linaires. On aura alors affaire un

    problme de programmation linaire.

    Les applications qui sont faites de la programmation linaire sont trs

    varies. Cela tient au fait que le modle est relativement gnral et permet de

    traiter beaucoup de problmes de gestion scientifique. Mais cela est d aussi

    au fait qu'il existe des algorithmes trs efficaces pour obtenir des solutions. La

    mthode du simplexe dveloppe par G. B. Dantzig (1949) a conduit

    plusieurs algorithmes qui permettent de rsoudre aisment des problmes de

    grandes tailles. Comme bien des mthodes de la recherche oprationnelle, la

    programmation linaire est souvent considre comme une technique

    informatique standard. On trouve en effet de trs nombreux codes de

    programmation linaire sur le march.

    Dans cette thse, nous proposons une rsolution des problmes linaires

    variables bornes (PLVB) et des problmes de transports capacits (PTC)

    par une nouvelle mthode base principalement sur une adaptation de la

    mthode de dcomposition.

    Ainsi, dans le premier chapitre, nous prsentons la formulation mathmatique

    des problmes de programmation linaire et les diffrentes mthodes de

    rsolution que les mathmaticiens ont eu laborer. Dans ce mme chapitre,

    nous exposons la rsolution des PLVB par la mthode du simplexe; ensuite le

    chapitre Il, est exclusivement consacre l'expos de la mthode rvise du

  • 2

    simplexe qui constitue un raccourci du procd usuel du simplexe en ce sens

    qu'elle vite les calculs inutiles (de la mthode classique du simplexe) en

    employant la forme produit de l'inverse qui est une mise jour progressive de

    l'inverse de la matrice d'une base considre. Le chapitre III relate et justifie le

    processus de dcomposition des problmes de programmation linaire de

    grandes tailles le chapitre IV est consacr la gnralisation de la forme produit

    de l'inverse: c'est une nouvelle prsentation de la forme produit de l'inverse qui

    permet la mise jour de J'inverse de la matrice d'une base donne la suite de

    l'entre simultane de plusieurs variables dans cette base. Cette nouvelle

    forme produit est obtenue sans avoir inverser une autre matrice ou effectuer

    de produits de matrices. Nous justifions, dans ce chapitre l'adaptabilit et

    l'efficacit de cette nouvelle forme vis--vis des problmes dont les matrices

    sont creuses. Dans le chapitre V, nous transformons les problmes linaires

    variables bornes en des problmes rsolubles par la mthode de

    dcomposition. Cette transformation, permet de saisir l'opportunit d'appliquer

    les rsultats du chapitre IV notamment la gnralisation de la forme produit de

    l'inverse. Nous montrons, ainsi que nous pouvons dans une itration de la

    mthode de dcomposition faire entrer simultanment plusieurs variables dans

    la base; ce qui permet du coup d'atteindre trs rapidement la solution optimale

    d'un PLVB donn. Le chapitre VI constitue une autre application de la mthode

    de dcomposition: la dcomposition des problmes de transport capacit

    ( PTC) qui sont un cas particulier des PLVB. L aussi 1 la nouvelle forme produit

    de l'inverse entre en jeu du fait toujours des structures des matrices au niveau

    des contraintes des PTC une fois transforms. Nous fournissons alors un

    nouvel algorithme diffrent de l'algorithme primai dual couramment utilis pour

    rsoudre les PTC. C'est une mthode trs efficace que nous prsentons et qui

    en un nombre trs rduit d'itrations arrive la solution optimale du PTC.

    2

    simplexe qui constitue un raccourci du procd usuel du simplexe en ce sens

    qu'elle vite les calculs inutiles (de la mthode classique du simplexe) en

    employant la forme produit de l'inverse qui est une mise jour progressive de

    l'inverse de la matrice d'une base considre. Le chapitre III relate et justifie le

    processus de dcomposition des problmes de programmation linaire de

    grandes tailles le chapitre IV est consacr la gnralisation de la forme produit

    de l'inverse: c'est une nouvelle prsentation de la forme produit de l'inverse qui

    permet la mise jour de J'inverse de la matrice d'une base donne la suite de

    l'entre simultane de plusieurs variables dans cette base. Cette nouvelle

    forme produit est obtenue sans avoir inverser une autre matrice ou effectuer

    de produits de matrices. Nous justifions, dans ce chapitre l'adaptabilit et

    l'efficacit de cette nouvelle forme vis--vis des problmes dont les matrices

    sont creuses. Dans le chapitre V, nous transformons les problmes linaires

    variables bornes en des problmes rsolubles par la mthode de

    dcomposition. Cette transformation, permet de saisir l'opportunit d'appliquer

    les rsultats du chapitre IV notamment la gnralisation de la forme produit de

    l'inverse. Nous montrons, ainsi que nous pouvons dans une itration de la

    mthode de dcomposition faire entrer simultanment plusieurs variables dans

    la base; ce qui permet du coup d'atteindre trs rapidement la solution optimale

    d'un PLVB donn. Le chapitre VI constitue une autre application de la mthode

    de dcomposition: la dcomposition des problmes de transport capacit

    ( PTC) qui sont un cas particulier des PLVB. L aussi 1 la nouvelle forme produit

    de l'inverse entre en jeu du fait toujours des structures des matrices au niveau

    des contraintes des PTC une fois transforms. Nous fournissons alors un

    nouvel algorithme diffrent de l'algorithme primai dual couramment utilis pour

    rsoudre les PTC. C'est une mthode trs efficace que nous prsentons et qui

    en un nombre trs rduit d'itrations arrive la solution optimale du PTC.

  • 3

    Chapitre 1

    Prsentation de la programmation linaire

    Introduction

    Comme indiqu prcdemment, on entend par programmation linaire

    l'optimisation d'une fonction linaire de variables X1, ... , Xn soumises des

    contraintes linaires sous forme d'galits ou d'ingalits non strictes.

    Si A est une matrice de dimension mxn, b un vecteur m composantes et c

    un vecteur n composantes, alors la recherche d'un vecteur x = (X1, ... ,xn)

    satisfaisant Ax.:s; b et rendant maximum la fonction z =cx est un problme deprogrammation linaire.

    1 Formulation du problme de programmation linaire

    Un tel problme se note de la manire suivante:

    {max z=cx

    S.C. Ax:::;b

    (Nous crirons" s.c. " au lieu de "sous contraintes" dans la suite du texte).

    Dans la plupart des cas, les composantes X1, '" ,Xn de x sont astreintes tre

    non ngatives; il est d'usage de noter ces contraintes sparment. Le

    problme prcdent devient:

    max z=cx

    s.c. Ax.:s;b

    x~o

    On dit alors qu'on a affaire un problme de Programmation Linaire (P.L) mis

    sous la forme canonique.

    Proposition

    Tout problme de P.L. peut se mettre au choix sous la forme canonique

    ou sous la forme standard.

    3

    Chapitre 1

    Prsentation de la programmation linaire

    Introduction

    Comme indiqu prcdemment, on entend par programmation linaire

    l'optimisation d'une fonction linaire de variables X1, ... , Xn soumises des

    contraintes linaires sous forme d'galits ou d'ingalits non strictes.

    Si A est une matrice de dimension mxn, b un vecteur m composantes et c

    un vecteur n composantes, alors la recherche d'un vecteur x = (X1, ... ,xn)

    satisfaisant Ax.:s; b et rendant maximum la fonction z =cx est un problme deprogrammation linaire.

    1 Formulation du problme de programmation linaire

    Un tel problme se note de la manire suivante:

    {max z=cx

    S.C. Ax:::;b

    (Nous crirons" s.c. " au lieu de "sous contraintes" dans la suite du texte).

    Dans la plupart des cas, les composantes X1, '" ,Xn de x sont astreintes tre

    non ngatives; il est d'usage de noter ces contraintes sparment. Le

    problme prcdent devient:

    max z=cx

    s.c. Ax.:s;b

    x~o

    On dit alors qu'on a affaire un problme de Programmation Linaire (P.L) mis

    sous la forme canonique.

    Proposition

    Tout problme de P.L. peut se mettre au choix sous la forme canonique

    ou sous la forme standard.

  • 4

    Preuve

    Il suffit de faire les observations suivantes:

    a) minimiser f(x), c'est maximiser (-f(x)) et changer le signe du rsultat

    obtenu,

    b) l'ingalit jX:::; bj est quivalente l'galit jX + Yi =bi avec Yi ~ 0,c) l'galit jX =bj est quivalente aux deux ingalits jX:::; bi et -iX:::; -bj,d) si Xj est une variable de signe quelconque, on peut lui substituer la

    diffrence X'j - X"j de deux variables X'j, X"j non ngatives.

    e) Si une variable Xj est ngative, on peut la remplacer par Yi = -Xj.

    Comme toute matire scientifique, la programmation linaire possde des

    termes et des appellations qui lui sont propres.

    1.1 Dfinitions

    On appelle fonction objectif (ou fonction conomique) la fonction

    linaire que l'on optimise. Dans l'nonc du problme prcdent elle se note

    z =f(x) =cxOn appelle solution admissible tout vecteur x satisfaisant les

    contraintes du problme.

    Une solution optimale est une solution admissible qui optimise la

    fonction dont on cherche le maximum ou le minimum.

    Les variables que l'on rajoute pour transformer les ingalits (infrieur

    ou gale) en galits sont appeles variables d'cart.

    Dans les deux sous sections suivantes nous allons donner une

    explication gomtrique et conomique du problme de programmation linaire.

    1.2 Interprtation gomtrique de la programmation linaire

    Si K = {x / Ax :::; b ; x ~ a} o A est une matrice (m x n), alors K est

    l'intersection de l'orthant non ngatif Vn+ = {x / x ~ a} et de m demi - espaces,

    c'est donc un polydre convexe de Vn. Les points x de K satisfaisant certaines

    contraintes avec le signe d'galit sont situs sur des faces de K. En gnral

    l'intersection de n faces dfinit une arte de K.

    4

    Preuve

    Il suffit de faire les observations suivantes:

    a) minimiser f(x), c'est maximiser (-f(x)) et changer le signe du rsultat

    obtenu,

    b) l'ingalit jX:::; bj est quivalente l'galit jX + Yi =bi avec Yi ~ 0,c) l'galit jX =bj est quivalente aux deux ingalits jX:::; bi et -jX:::; -bi,d) si Xj est une variable de signe quelconque, on peut lui substituer la

    diffrence X'j - X"j de deux variables X'j, X"j non ngatives.

    e) Si une variable Xi est ngative, on peut la remplacer par Yi = -Xj.

    Comme toute matire scientifique, la programmation linaire possde des

    termes et des appellations qui lui sont propres.

    1.1 Dfinitions

    On appelle fonction objectif (ou fonction conomique) la fonction

    linaire que l'on optimise. Dans l'nonc du problme prcdent elle se note

    z =f(x) =cxOn appelle solution admissible tout vecteur x satisfaisant les

    contraintes du problme.

    Une solution optimale est une solution admissible qui optimise la

    fonction dont on cherche le maximum ou le minimum.

    Les variables que l'on rajoute pour transformer les ingalits (infrieur

    ou gale) en galits sont appeles variables d'cart.

    Dans les deux sous sections suivantes nous allons donner une

    explication gomtrique et conomique du problme de programmation linaire.

    1.2 Interprtation gomtrique de la programmation linaire

    Si K = {x / Ax :::; b ; x ~ a} o A est une matrice (m x n), alors K est

    l'intersection de l'orthant non ngatif Vn+ = {x / x ~ a} et de m demi - espaces,

    c'est donc un polydre convexe de Vn. Les points x de K satisfaisant certaines

    contraintes avec le signe d'galit sont situs sur des faces de K. En gnral

    l'intersection de n faces dfinit une arte de K.

  • 5

    Ainsi pour maximiser z = cx sur K, on cherche un x* dans K et une

    valeur z* tels que l'hyperplan cx = z* coupe le domaine K des solutions

    satisfaisant les contraintes aussi loin que possible dans la direction des valeurs

    croissantes de z. En gnral l'intersection de cet hyperplan et de K se rduit

    un point qui est un point extrme du polydre. L'algorithme du simplexe que

    nous allons dcrire plus loin consistera se dplacer de point extrme en point

    extrme en suivant des artes de K jusqu' ce que l'on ait atteint j'optimum.

    1.3 Interprtation conomique

    Considrons un problme de P.L. mis sous la forme:

    n

    max z = z= CjXjj=1

    n

    s.e. z= aijx j ::; b, =1 ,... ,mj=1

    Xj ~ 0 j==1 ''''In

    (P)

    Cette formulation correspondrait la situation suivante: une entreprise

    exerce un ensemble de n activits j ; chacune de ces activits consomme une

    certaine quantit de diverses ressources i. On connat la quantit bj de

    ressource i disponible pour chacune des m ressources; chaque activit j

    peut tre exerce avec une intensit Xj; on donne la consommation aij de

    ressource i pour exercer l'activit j au niveau unit.

    Si enfin ci est le profit unitaire que l'on tire de l'activit j (c'est dire le

    profit obtenu en exerant l'activit j au niveau unit), rsoudre le problme (P),

    c'est dterminer les niveaux Xj (non ngatifs) auxquels il faut exercer les

    activits j de manire que

    n

    pour toute ressource i la quantit z= aijXj de ressource i consomme nej=1

    dpasse pas bit

    n

    le profit total z= CjXj soit maximum.j 1

    5

    Ainsi pour maximiser z = cx sur K, on cherche un x* dans K et une

    valeur z* tels que l'hyperplan cx = z* coupe le domaine K des solutions

    satisfaisant les contraintes aussi loin que possible dans la direction des valeurs

    croissantes de z. En gnral l'intersection de cet hyperplan et de K se rduit

    un point qui est un point extrme du polydre. L'algorithme du simplexe que

    nous allons dcrire plus loin consistera se dplacer de point extrme en point

    extrme en suivant des artes de K jusqu' ce que l'on ait atteint l'optimum.

    1.3 Interprtation conomique

    Considrons un problme de P.L. mis sous la forme:

    n

    max z = z= CjXjj=1

    n

    s.e. z= aijx j ::; b, =1, ... ,mj=1

    Xj ~ 0 j==1, ... ,n

    (P)

    Cette formulation correspondrait la situation suivante: une entreprise

    exerce un ensemble de n activits j ; chacune de ces activits consomme une

    certaine quantit de diverses ressources i. On connat la quantit bj de

    ressource i disponible pour chacune des m ressources; chaque activit j

    peut tre exerce avec une intensit Xj; on donne la consommation aij de

    ressource i pour exercer l'activit j au niveau unit.

    Si enfin ci est le profit unitaire que l'on tire de l'activit j (c'est dire le

    profit obtenu en exerant l'activit j au niveau unit), rsoudre le problme (P),

    c'est dterminer les niveaux Xj (non ngatifs) auxquels il faut exercer les

    activits j de manire que

    n

    pour toute ressource i la quantit z= aijXj de ressource i consomme nej=1

    dpasse pas bit

    n

    le profit total z= CjXj soit maximum.j 1

  • .~

    '1 Exemple 1

    Considrons le problme suivant:

    Une entreprise fabrique deux types de ceintures: A et B. Le type A est de

    meilleure qualit que le type B. Le bnfice est 2,00 F pour le type A et 1,50

    pour le type B. Le temps de fabrication pour le type A est deux fois le temps

    de fabrication pour le type 8 et si toutes les pices taient du type B l'entreprise

    pourrait en fabriquer 1 000 par jour. L'approvisionnement en cuir est suffisant

    pour 800 pices par jour (type A ou B). Enfin 400 boucles de type A et 700

    boucles du type B sont disponibles chaque jour.

    Quels sont les nombres respectifs de ceintures des deux types fabriquer

    chaque jour de manire maximiser le bnfice total de l'entreprise?

    Ce problme peut tre modlis comme un problme de

    programmation linaire de la manire suivante:

    Notons X1 le nombre de ceintures du type A et X2 le nombre de ceintures du

    type B fabriquer chaque jour.

    Les contraintes lies la disponibilit des boucles de chaque type induisent les

    ingalits X1 ::; 400 et X2::; 700.

    La contrainte lie l'approvisionnement est:

    X1 + X2 ::; 800

    La contrainte de temps de production est:

    2X1 + X2 ::; 1 000

    et la fonction conomique maximiser est:

    Z =2X1 + 1,5 X2Ainsi le programme s'crit

    Max z =2x1 + 1,5x2

    Dans le paragraphe suivant, nous allons prsenter quelques mthodes

    utilises pour rsoudre les problmes de programmation linaire.

    .~

    '1 Exemple 1

    Considrons le problme suivant:

    Une entreprise fabrique deux types de ceintures: A et B. Le type A est de

    meilleure qualit que le type B. Le bnfice est 2,00 F pour le type A et 1,50

    pour le type B. Le temps de fabrication pour le type A est deux fois le temps

    de fabrication pour le type 8 et si toutes les pices taient du type B l'entreprise

    pourrait en fabriquer 1 000 par jour. L'approvisionnement en cuir est suffisant

    pour 800 pices par jour (type A ou B). Enfin 400 boucles de type A et 700

    boucles du type B sont disponibles chaque jour.

    Quels sont les nombres respectifs de ceintures des deux types fabriquer

    chaque jour de manire maximiser le bnfice total de l'entreprise?

    Ce problme peut tre modlis comme un problme de

    programmation linaire de la manire suivante:

    Notons X1 le nombre de ceintures du type A et X2 le nombre de ceintures du

    type B fabriquer chaque jour.

    Les contraintes lies la disponibilit des boucles de chaque type induisent les

    ingalits X1 ::; 400 et X2::; 700.

    La contrainte lie l'approvisionnement est:

    X1 + X2 ::; 800

    La contrainte de temps de production est:

    2X1 + X2 ::; 1 000

    et la fonction conomique maximiser est:

    Z =2X1 + 1,5 X2Ainsi le programme s'crit

    Max z =2x1 + 1,5x2

    Dans le paragraphe suivant, nous allons prsenter quelques mthodes

    utilises pour rsoudre les problmes de programmation linaire.

  • 7

    Il - METHODES DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE

    PROGRAMMATION LINEAIRE

    Les problmes typiques de programmation linaire que nous avons

    prsents dans le paragraphe prcdent se rsolvent l'aide de mthodes

    mathmatiques particulires.

    Parmi les mthodes que les mathmaticiens ont eu utiliser on peut citer:

    1 - la mthode d'numration

    2 - la mthode gomtrique ou graphique

    3 - la mthode du simplexe.

    Dans les trois sections suivantes nous allons prsenter ces mthodes et mettre

    en exergue leurs avantages et inconvnients.

    2.1 - Mthode d'numration

    C'est la mthode la plus ancienne, elle est base sur le fait que la

    solution optimale est un point extrme du polydre dfini par les contraintes.

    Elle se rsume selon les tapes suivantes:

    1 - Dterminer tous les points extrmes

    2 - Evaluer la fonction objective au niveau de chacun de ces points

    3 - Comparer les valeurs obtenues.

    Cependant cette mthode est trs fastidieuse si nous avons faire des

    problmes o les points extrmes sont nombreux ou bien les composantes des

    vecteurs sont trs nombreuses.

    2.2 - Mthode graphique

    L'ensemble des points qui satisfont un systme d'inquations deux

    inconnues est un polygone convexe; s'il y a plus de deux variables, c'est un

    polydre convexe.

    Dans la suite cet ensemble de points sera appel domaine ralisable ou

    domaine des solutions.

    La mthode graphique est base sur le fait que si le problme admet au

    moins une solution optimale, alors celle - ci est l'un des points extrmes du

    domaine ralisable.

    7

    Il - METHODES DE RESOLUTION DES PROBLEMES DE

    PROGRAMMATION LINEAIRE

    Les problmes typiques de programmation linaire que nous avons

    prsents dans le paragraphe prcdent se rsolvent l'aide de mthodes

    mathmatiques particulires.

    Parmi les mthodes que les mathmaticiens ont eu utiliser on peut citer:

    1 - la mthode d'numration

    2 - la mthode gomtrique ou graphique

    3 - la mthode du simplexe.

    Dans les trois sections suivantes nous allons prsenter ces mthodes et mettre

    en exergue leurs avantages et inconvnients.

    2.1 - Mthode d'numration

    C'est la mthode la plus ancienne, elle est base sur le fait que la

    solution optimale est un point extrme du polydre dfini par les contraintes.

    Elle se rsume selon les tapes suivantes:

    1 - Dterminer tous les points extrmes

    2 - Evaluer la fonction objective au niveau de chacun de ces points

    3 - Comparer les valeurs obtenues.

    Cependant cette mthode est trs fastidieuse si nous avons faire des

    problmes o les points extrmes sont nombreux ou bien les composantes des

    vecteurs sont trs nombreuses.

    2.2 - Mthode graphique

    L'ensemble des points qui satisfont un systme d'inquations deux

    inconnues est un polygone convexe; s'il y a plus de deux variables, c'est un

    polydre convexe.

    Dans la suite cet ensemble de points sera appel domaine ralisable ou

    domaine des solutions.

    La mthode graphique est base sur le fait que si le problme admet au

    moins une solution optimale, alors celle - ci est l'un des points extrmes du

    domaine ralisable.

  • .]

    8

    Dans le cas de deux variables, la fonction objective est de la forme:

    Z = f(x1, X2) = 1 X1 + 2X2

    Pour 1 -:;t:. 0, 2 -:;t:. 0 et quel que soit f1 fix, la fonction objective est une

    quation linaire deux variables; 1X1 + 2X2 = f1 et sa reprsentation

    graphique est une droite passante par les points ( 0, ~2) et (~1' 0) .

    En faisant varier f, on obtient une famille de droites qui sont appeles

    droites d'appui parallles la droite d'quation 1X1 + 2X2 = f1. Les droites

    les plus proches de l'origine des coordonnes rendent minimale la fonction f(X1,

    X2) tandis que les plus loignes la rendent maximale.

    La solution au problme est soit un point ou bien un segment de droite.

    Dans le cas o la solution est un point, ce dernier est l'intersection de la

    droite d'appui la plus extrme parmi toutes les droites d'appui avec le polygone

    des solutions, selon qu'il s'agit d'une minimisation ou d'une maximisation.

    En notant A (::J ce point, la valeur de ia fonction objective est alors.f(A) = a11 + a22.

    La solution est un segment, si l'intersection dfinie prcdemment tait

    un segment. En notant B (::J et c (::J les points extrmes de ce segment,les autres points solutions sont une combinaison convexe linaire de ces deux

    points.

    Cette mthode malgr sa simplicit n'est applicable que pour des problmes de

    dimensions 2 ou 3 au maximum et il est parfois impossible de donner la valeur

    exacte de la solution.

    2.3 - Mthode du simplexe ou mthode de G. B Dantzig

    Cette mthode est la plus souple et la plus universelle; elle s'applique

    la rsolution de tout programme linaire. Mais elle est plus complique et

    exige plus de temps. Le fondement mathmatique de cette mthode garantit

    une grande prcision des rsultats.

    .]

    8

    Dans le cas de deux variables, la fonction objective est de la forme:

    Z = f(x1, X2) = 1 X1 + 2X2

    Pour 1 -:;t:. 0, 2 -:;t:. 0 et quel que soit f1 fix, la fonction objective est une

    quation linaire deux variables; 1X1 + 2X2 = f1 et sa reprsentation

    graphique est une droite passante par les points ( 0, ~2) et (~1' 0) .

    En faisant varier f, on obtient une famille de droites qui sont appeles

    droites d'appui parallles la droite d'quation 1X1 + 2X2 = f1. Les droites

    les plus proches de l'origine des coordonnes rendent minimale la fonction f(X1,

    X2) tandis que les plus loignes la rendent maximale.

    La solution au problme est soit un point ou bien un segment de droite.

    Dans le cas o la solution est un point, ce dernier est l'intersection de la

    droite d'appui la plus extrme parmi toutes les droites d'appui avec le polygone

    des solutions, selon qu'il s'agit d'une minimisation ou d'une maximisation.

    En notant A (::J ce point, la valeur de la fonction objective est alors.f(A) = a11 + a22.

    La solution est un segment, si l'intersection dfinie prcdemment tait

    un segment. En notant B (::J et c (::J les points extrmes de ce segmentles autres points solutions sont une combinaison convexe linaire de ces deux

    points.

    Cette mthode malgr sa simplicit n'est applicable que pour des problmes de

    dimensions 2 ou 3 au maximum et il est parfois impossible de donner la valeur

    exacte de la solution.

    2.3 - Mthode du simplexe ou mthode de G. B Dantzig

    Cette mthode est la plus souple et la plus universelle; elle s'applique

    la rsolution de tout programme linaire. Mais elle est plus complique et

    exige plus de temps. Le fondement mathmatique de cette mthode garantit

    une grande prcision des rsultats.

  • 9

    Les fondements de la mthode simplexe ont t noncs en 1949 et publis

    en 1959 par G. B. Dantzig.

    La mthode du simplexe consiste en une suite d'tapes :on trouve

    d'abord une solution de base, puis on regarde si cette solution est optimale. Si

    elle ne l'est pas, on remplace une des variables de la base par une autre

    variable. On obtient ainsi une nouvelle base. Si ce n'est pas encore une

    solution optimale, on recommence, et ainsi de suite, tant que cela est

    ncessaire.

    Par consquent, le problme se rduit trouver une solution de base

    quelconque et amliorer cette solution, tant qu'elle n'est pas optimale.

    En un nombre fini d'itrations, on dtermine ainsi la solution optimale

    parmi les solutions de base. Deux autres cas peuvent aussi se prsenter: la

    fonction objective prend des valeurs infinies ou bien les contraintes sont

    incompatibles

    L'tude des problmes de programmation linaires par la mthode du

    simplexe fait l'objet du prochain paragraphe.

    3 LA METHODE DU SIMPLEXE

    3.1 Prsentation de la mthode

    Pour introduire la mthode du simplexe, nous considrons le problme

    linaire PL sous forme standard

    PL AX=b

    X~O

    o

    x =(X1, , Xn) E IJtn sont les variables dterminerC = (C 1, , Cn) E IJt

    n sont les coefficients de la fonction objectif Z .

    A est une matrice (m x n) fournie par les coefficients des contraintes. Elle peut

    tre rorganise par changement des positions des variables sous la forme

    A=[N:I]

    9

    Les fondements de la mthode simplexe ont t noncs en 1949 et publis

    en 1959 par G. B. Dantzig.

    La mthode du simplexe consiste en une suite d'tapes :on trouve

    d'abord une solution de base, puis on regarde si cette solution est optimale. Si

    elle ne l'est pas, on remplace une des variables de la base par une autre

    variable. On obtient ainsi une nouvelle base. Si ce n'est pas encore une

    solution optimale, on recommence, et ainsi de suite, tant que cela est

    ncessaire.

    Par consquent, le problme se rduit trouver une solution de base

    quelconque et amliorer cette solution, tant qu'elle n'est pas optimale.

    En un nombre fini d'itrations, on dtermine ainsi la solution optimale

    parmi les solutions de base. Deux autres cas peuvent aussi se prsenter: la

    fonction objective prend des valeurs infinies ou bien les contraintes sont

    incompatibles

    L'tude des problmes de programmation linaires par la mthode du

    simplexe fait l'objet du prochain paragraphe.

    3 LA METHODE DU SIMPLEXE

    3.1 Prsentation de la mthode

    Pour introduire la mthode du simplexe, nous considrons le problme

    linaire PL sous forme standard

    PL AX=b

    X~O

    o

    x =(X1, , Xn) E IJtn sont les variables dterminerC = (C 1, , Cn) E IJt

    nsont les coefficients de la fonction objectif Z .

    A est une matrice (m x n) fournie par les coefficients des contraintes. Elle peut

    tre rorganise par changement des positions des variables sous la forme

    A=[N:I]

  • 10

    avec 1 reprsentant la matrice identit dans 91n. Initialement, les variables

    associes 1reprsentent les variables de base. Elles sont regroupes sous le

    vecteur Xs tandis que les autres associes N sont les variables hors base.

    Elles sont regroupes sous le vecteur XN . Ceci implique la rpartition

    des variables X et coefficients C sous la forme

    X =(XN , Xs ) et C =(CN , Cs)Finalement le vecteur b = (b1, ... , bm) E 91 n reprsente les constantes

    des contraintes. Elles sont supposes toutes positives. Nous tudierons la fin

    de ce chapitre les situations o cette hypothse n'est plus satisfaite. Une

    solution ralisable est obtenue par rsolution du systme d'quations

    z-C t x=o

    S AX=b

    X~o

    Sous la forme non matricielle, le systme devient

    =S =

    =

    Xi ~ 0; i=1,... , n

    3.2 Etapes de la mthode

    Initialement, la mthode considre toutes les variables hors base

    XN = 0 et les variables de base associes la matrice identit Xs = b.

    Ces variables de base ne peuvent plus tre augmentes. Elles ont atteint leurs

    valeurs maximales. Il est possible de traduire ceci dans le systme rsoudre

    en effectuant pour chaque variable de base Xi la combinaison linaire

    \0

    avec 1 reprsentant la matrice identit dans 91n. Initialement, les variables

    associes 1 reprsentent les variables de base. Elles sont regroupes sous le

    vecteur Xs tandis que les autres associes N sont les variables hors base.

    Elles sont regroupes sous le vecteur XN . Ceci implique la rpartition

    des variables X et coefficients C sous la forme

    X =(XN , Xs ) et C =(CN , Cs)Finalement le vecteur b = (b1, ... , bm) E 91 n reprsente les constantes

    des contraintes. Elles sont supposes toutes positives. Nous tudierons la fin

    de ce chapitre les situations o cette hypothse n'est plus satisfaite. Une

    solution ralisable est obtenue par rsolution du systme d'quations

    z-Ct x=o

    S AX=b

    X~o

    Sous la forme non matricielle, le systme devient

    =S =

    =

    \ ~o; i=1,.",n

    3.2 Etapes de la mthode

    Initialement, la mthode considre toutes les variables hors base

    XN =0 et les variables de base associes la matrice identit Xs =b.Ces variables de base ne peuvent plus tre augmentes. Elles ont atteint leurs

    valeurs maximales. Il est possible de traduire ceci dans le systme rsoudre

    en effectuant pour chaque variable de base Xi la combinaison linaire

  • 11

    O Li est la ligne i du systme associ la variable Xi . Cette combinaison

    annule tous les coefficients associs aux variables de base pour fournir

    l'quation

    Z + C N Xn =Z~

    la valeur Z reprsente la valeur courante de Z correspondant la solution~

    Xs = b. Les nouveaux coefficients C sont appels cots rduits.

    S'ils sont tous positifs, alors il n'est plus possible d'augmenter Z la

    solution courante est en consquence optimale.

    Dans le cas o certains cots rduits sont ngatifs, Il faut favoriser la

    variable hors base qui permet la plus grande augmentation unitaire. Cette

    variable est celle qui possde le plus petit cot rduit. Elle doit rentrer dans la

    nouvelle base c'est la variable rentrant note Xr.

    Comme le nombre d'lments de la base est fixe, une variable de base

    doit en sortir. Pour la dterminer, il suffit de noter que la variable ne peut pas

    tre augmente indfiniment sauf dans le cas de solution infinie. En effet,

    l'augmentation de la variable rentrant Xr est limite par la satisfaction des

    contraintes

    o les constantes de contraintes 6 et la matrice (j) sont les paramtrescourants.

    ~

    Si ir :::::: 0 alors cette relation est toujours satisfaite car Xr 2 0 et bi 2 O.Cette limitation n'est donc pas considrer dans ce cas.

    Par contre, si r > 0 alors cette relation n'est plus ncessairementsatisfaite. Pour se faire, la variable rentrante Xr doit vrifier la contrainte

    La variable sortante Xs est celle qui ralise cette dernire minimisation.

    La valeur sr est appele pivot. En effet, les autres valeurs du vecteur colonnede coefficient associ Xr doivent tourner autour d'elle pour fournir le vecteur

    unitaire prcdemment associ Xs . Ceci est obtenu par une combinaison des

    lignes annulant tous les autres coefficients du vecteur colonne. En effet, il suffit

    11

    O Li est la ligne i du systme associ la variable Xi . Cette combinaison

    annule tous les coefficients associs aux variables de base pour fournir

    l'quation

    Z + C N Xn =Z~

    la valeur Z reprsente la valeur courante de Z correspondant la solution~

    Xs = b. Les nouveaux coefficients C sont appels cots rduits.

    S'ils sont tous positifs, alors il n'est plus possible d'augmenter Z la

    solution courante est en consquence optimale.

    Dans le cas o certains cots rduits sont ngatifs, Il faut favoriser la

    variable hors base qui permet la plus grande augmentation unitaire. Cette

    variable est celle qui possde le plus petit cot rduit. Elle doit rentrer dans la

    nouvelle base c'est la variable rentrant note Xr.

    Comme le nombre d'lments de la base est fixe, une variable de base

    doit en sortir. Pour la dterminer, il suffit de noter que la variable ne peut pas

    tre augmente indfiniment sauf dans le cas de solution infinie. En effet,

    l'augmentation de la variable rentrant Xr est limite par la satisfaction des

    contraintes

    o les constantes de contraintes 6 et la matrice (j) sont les paramtrescourants.

    ~

    Si ir :::::: 0 alors cette relation est toujours satisfaite car Xr 2 0 et bi :2: O.Cette limitation n'est donc pas considrer dans ce cas.

    Par contre, si r > 0 alors cette relation n'est plus ncessairementsatisfaite. Pour se faire, la variable rentrante Xr doit vrifier la contrainte

    La variable sortante Xs est celle qui ralise cette dernire minimisation.

    La valeur sr est appele pivot. En effet, les autres valeurs du vecteur colonnede coefficient associ Xr doivent tourner autour d'elle pour fournir le vecteur

    unitaire prcdemment associ Xs . Ceci est obtenu par une combinaison des

    lignes annulant tous les autres coefficients du vecteur colonne. En effet, il suffit

  • ,",,

    ,.>

    12

    de diviser la ligne s associe Xs par le pivot sr et d'annuler par combinaison

    des lignes les coefficients r ; i ~ s.Finalement, il faut rduire les cots en annulant par combinaison le

    ~

    coefficient courant Cr de Xr. Ainsi, nous nous retrouvons dans la mme

    situation initiale avec bien sr une solution amliore ou au pire gale.

    Nous venons d'effectuer une itration complte de la mthode du

    simplexe. Il suffit de recommencer le mme processus jusqu' obtenir la

    solution optimale.

    Remarque 1

    Dans ce qui suit, nous prsentons la procdure de la mthode du

    simplexe. Avant de l'appliquer, il faut veiller ce que les coefficients associs

    aux variables de base soient nuls. Si ce n'est pas le cas, il faut effectuer des

    combinaisons entre la ligne des coefficients et la ligne de ces variables de base

    afin d'annuler tous ces coefficients - Cs. Pour prsenter la procdure, nous~

    supposons donc que les coefficients Cs sont nuls.

    PROCEDURE

    Etape 1. Initialisation~

    La solution initiale Xs =b ; XN =0; et CN =-CNEtape 2. Critre d'optimalit

    ~ ~

    Dterminer m.in Ci = Cr1

    ~

    Si Cr;::: 0 alors Fin. Solution Optimale.

    Sinon Continuer la procdure.

    Etape 3. Variable rentrante~

    La variable Xr associe Cr doit rentrer dans la base.

    Etape 4. Variable sortante

    Dterminer

    m.i n{J2L / ail> o} = bs1 ail as,r

    alors la variable Xs doit sortir de la base.

    12

    de diviser la ligne s associe Xs par le pivot sr et d'annuler par combinaison

    des lignes les coefficients r ; i ~ s.Finalement, il faut rduire les cots en annulant par combinaison le

    ~

    coefficient courant Cr de Xr. Ainsi, nous nous retrouvons dans la mme

    situation initiale avec bien sr une solution amliore ou au pire gale.

    Nous venons d'effectuer une itration complte de la mthode du

    simplexe. Il suffit de recommencer le mme processus jusqu' obtenir la

    solution optimale.

    Remarque 1

    Dans ce qui suit, nous prsentons la procdure de la mthode du

    simplexe. Avant de l'appliquer, il faut veiller ce que les coefficients associs

    aux variables de base soient nuls. Si ce n'est pas le cas, il faut effectuer des

    combinaisons entre la ligne des coefficients et la ligne de ces variables de base

    afin d'annuler tous ces coefficients - Cs. Pour prsenter la procdure, nous~

    supposons donc que les coefficients Cs sont nuls.

    PROCEDURE

    Etape 1. Initialisation~

    La solution initiale Xs =b ; XN =0; et CN =-CNEtape 2. Critre d'optimalit

    ~ ~

    Dterminer m.in Ci = Cr1

    ~

    Si Cr;::: 0 alors Fin. Solution Optimale.

    Sinon Continuer la procdure.

    Etape 3. Variable rentrante~

    La variable Xr associe Cr doit rentrer dans la base.

    Etape 4. Variable sortante

    Dterminer

    alors la variable Xs doit sortir de la base.

  • .~-.

    13

    Etape 5. Opration de Pivotage

    Le Pivot est p = aS,r est toujours strictement positif

    5.1 - Diviser toute la ligne du pivot par le Pivot. Elle devient Lp ou

    as.1 1 as.n _ bs....... -ppp

    5.2 - Annuler tout lment ai,r ; i cF- s par la combinaison suivante:

    Li - ai,r Lp ~ LiA

    5.3 - Annuler par combinaison de ligne le coefficient Cr de Xr

    5.4 - Retour tape 2.

    La mthode ainsi dcrite est itrative. Une itration est dfinie par le procd

    des tapes 2 5. D'une itration une autre, la mthode s'amliore jusqu'

    converger vers la solution optimale.

    Exemple 2

    Considrons le problme suivant:

    - 2x 1 + 3x 2 ~ 12

    2x 1 - x 2 ~ 12

    Etape 1 : Recherche d'une premire solution de base ralisable .

    En introduisant les variables d'cart t1, t2, et 3, le PL s'crit:.~-.

    13

    Etape 5. Opration de Pivotage

    Le Pivot est p = as,r est toujours strictement positif

    5.1 - Diviser toute la ligne du pivot par le Pivot. Elle devient Lp ou

    as.1 1 as.n = bsppp

    5.2 - Annuler tout lment ai,r ; i cF- s par la combinaison suivante:

    Li - ai,r Lp ~ LiA

    5.3 - Annuler par combinaison de ligne le coefficient Cr de Xr

    5.4 - Retour tape 2.

    La mthode ainsi dcrite est itrative. Une itration est dfinie par le procd

    des tapes 2 5. D'une itration une autre, la mthode s'amliore jusqu'

    converger vers la solution optimale.

    Exemple 2

    Considrons le problme suivant:

    - 2x 1 + 3x 2 ~ 12

    2x 1 - x 2 ~ 12

    Etape 1 : Recherche d'une premire solution de base ralisable .

    En introduisant les variables d'cart t1, t2, et 3, le PL s'crit:

  • 1'1~j,,c

    ,.,..c;f'.~

    ~t

    '.;

    x1' X2 t1, t2 , t 3 2: 0

    On en dduit le systme suivant:

    Itration 1.

    Etape 1 : Solution initiale

    (X1, X2, t1, b , b ) =(0, a , 14, 12, 12) est une solution de base.On a alors Z = O.

    9 2z + 5 t1 + 5 t2 =30

    3 1x1 + 5 t1 - 5" t2 =6

    2 1x2 + 5" t1 + 5 t2 = 8

    4 3- 5 t1 + 5 t2 + t3 =8

    On a min (r ) = ~ > a donc la solution est optimale.

    Elle est atteinte pour X1 = 6, X2 = 8, b = 8, t1 = t2 = aLa valeur de la fonction objective est alors z =30.

    14

    1'1~j,,c

    ,.,..c;f'.~

    ~t

    ..,,

    .;

    X1' X 2 t1 , t2 , t 3 2: 0

    On en dduit le systme suivant:

    Itration 1.

    Etape 1 : Solution initiale

    (X1, X2, t1, b , b ) =(0, a , 14, 12, 12) est une solution de base.On a alors Z = O.

    9 2z + 5 t1 + 5 t2 =30

    3 1x1 + 5 t1 - 5" t2 =6

    2 1x2 + 5" t1 + 5 t2 = 8

    4 3- 5 t1 + 5 t2 + t3 =8

    On a min (r ) = ~ > a donc la solution est optimale.

    Elle est atteinte pour X1 = 6, X2 = 8, b = 8, t1 = t2 = aLa valeur de la fonction objective est alors z =30.

    ]4

  • 15

    Remarque 2

    La mthode peut tre effectue sous forme de tableaux successifs

    appels tableaux simplexes.

    Pour l'exemple tudi prcdemment ces tableaux sont de la forme

    suivante

    X1 X2 t1 t2 b

    t-1 -3 0 0 0 0

    t1 1 1 1 0 0 14

    ~ t2 -2 3 0 1 0 12

    b 2 -1 0 0 1 12

    La flche au-dessous de X2 indique que c'est la variable qui rentre en base,

    tandis que celle qui part de b indique que c'est t2 qui sort de base.

    L'opration de pivotage fournit le tableau suivant

    X1 X2 t1 b b

    t-3 0 0 1 0 12

    ~ t1 .2 0 1 l 0 103 3

    t2 _2. 1 0 1 0 43

    4 0 0 l 11

    16t3 3 3

    t1 sort de base et X1 entre en base.

    Le nouveau tableau simplexe est le suivant:

    15

    Remarque 2

    La mthode peut tre effectue sous forme de tableaux successifs

    appels tableaux simplexes.

    Pour l'exemple tudi prcdemment ces tableaux sont de la forme

    suivante

    X1 X2 t1 t2 b

    t-1 -3 0 0 0 0

    t1 1 1 1 0 0 14

    ~ t2 -2 3 0 1 0 12

    b 2 -1 0 0 1 12

    La flche au-dessous de X2 indique que c'est la variable qui rentre en base,

    tandis que celle qui part de b indique que c'est t2 qui sort de base.

    L'opration de pivotage fournit le tableau suivant

    X1 X2 t1 b b

    t-3 0 0 1 0 12

    ~ t1 .2 0 1 l 0 103 3

    t2 _2 1 0 1 0 43

    4 0 0 l 11

    16t3 3 3

    t1 sort de base et X1 entre en base.

    Le nouveau tableau simplexe est le suivant:

  • tJ-,

    16

    Il

    X1 X2 t1 t2 b

    0 0 9 2 0 305 5

    X1 1 0 1 _l 0 65 5

    X2 0 1 l l 0 85 5

    b 0 0_4 1 1 85 5

    On a min(Ci) = 0;::: 0 donc la solution optimale est atteinte avec

    x7 =6 ; x; =8; x; =8 ; t1 ::: b =0 et Z =303.3 Variantes de la mthode

    Nous avons vu dans la proposition au dbut de ce chapitre que tout

    problme de programmation linaire pouvait s'crire sous la forme standard.

    Cependant la transformation d'un problme linaire sous la forme standard peut

    des fois aboutir une augmentation des contraintes.

    Dans cette partie nous allons proposer des techniques de rsolution

    des P. L comportant des contraintes d'galits ou d'ingalits suprieures.

    Si le problme linaire contient une contrainte ;::: , il suffit de lui

    retrancher une variable de surplus pour obtenir une contrainte d'galit. Pour

    cette raison, nous traitons ces deux cas simultanment.

    Si dans la contrainte d'galit il existe une variable dont le vecteur

    colonne de coefficients associ dans le systme de contraintes est un lment

    de la base canonique, alors il suffit de la considrer comme variable de base.

    Dans le cas contraire, on introduit une variable artificielle R. A la

    soluti'on optimale, cette variable doit tre nulle pour permettre la satisfaction de

    la contrainte d'galit. C'est une variable technique qui sert obtenir une base

    initiale associe la matrice identit. La ncessit de sa disparition entrane de

    petites modifications dans la mthode du simplexe pour fournir deux

    approches: la mthode dite du M et celle dite des deux phases. Toutes ces

    mthodes servent trouver une solution initiale de base.

    Nous allons prsenter leur organigramme dans la prochaine page:

    tJ-,

    16

    Il

    X1 X2 t1 t2 b

    0 0 9 2 0 305 5

    X1 1 0 1 _l 0 65 5

    X2 0 1 l l 0 85 5

    b 0 0_4 1 1 85 5

    On a min(Ci) = 0;::: 0 donc la solution optimale est atteinte avec

    x7 =6 ; x; =8; x; =8 ; t1 ::: b =0 et Z =303.3 Variantes de la mthode

    Nous avons vu dans la proposition au dbut de ce chapitre que tout

    problme de programmation linaire pouvait s'crire sous la forme standard.

    Cependant la transformation d'un problme linaire sous la forme standard peut

    des fois aboutir une augmentation des contraintes.

    Dans cette partie nous allons proposer des techniques de rsolution

    des P. L comportant des contraintes d'galits ou d'ingalits suprieures.

    Si le problme linaire contient une contrainte ;::: , il suffit de lui

    retrancher une variable de surplus pour obtenir une contrainte d'galit. Pour

    cette raison, nous traitons ces deux cas simultanment.

    Si dans la contrainte d'galit il existe une variable dont le vecteur

    colonne de coefficients associ dans le systme de contraintes est un lment

    de la base canonique, alors il suffit de la considrer comme variable de base.

    Dans le cas contraire, on introduit une variable artificielle R. A la

    soluti'on optimale, cette variable doit tre nulle pour permettre la satisfaction de

    la contrainte d'galit. C'est une variable technique qui sert obtenir une base

    initiale associe la matrice identit. La ncessit de sa disparition entrane de

    petites modifications dans la mthode du simplexe pour fournir deux

    approches: la mthode dite du M et celle dite des deux phases. Toutes ces

    mthodes servent trouver une solution initiale de base.

    Nous allons prsenter leur organigramme dans la prochaine page:

  • 'l::1

    .~T1!,

    IPL maximuml ~ IMettre les contraintes sous forme d'galitlt

    Rendre positif le second membre des contraintesen multipliant par -1 les contraintes des bi ngatifs

    Introduire des variables artificielles Vjdans les contraintes

    17

    n

    L ai} X j + Vi == bjj=\

    [) -== 1,... ,n1-1,.",m

    (1 )

    Mthode M

    tRsoudre le PL

    n m

    max Z=L Cj Xj -LM Vij=! ;=1

    sous les contraintes (1) (M> 0,arbitrairement grand)

    Mthode en deux ohases

    tPhase CD

    Rsoudre le PLm

    Maxz1 = - LV;i=\

    sous les contraintes (1)

    oui

    non

    FINpas de solution

    ralisable

    non

    oui

    FINLa solution optimale du PLde dpart est atteinte

    n

    Rsoudre le PL max Z2 =L Cj x jj=)

    n

    Lai} X j + Vi == b jj=1

    [)-== 1" .. ,n1 - 1" .. ,m

    en prenant comme solution de basede dpart la solution obtenue la fin

    de la phase 1

    'l::1

    .~T1!,

    IPL maximuml ~ IMettre les contraintes sous forme d'galitlt

    Rendre positif le second membre des contraintesen multipliant par -1 les contraintes des bi ngatifs

    Introduire des variables artificielles Vidans les contraintes

    17

    n

    L ai} X j + Vi == bij=\

    [) -== 1,... ,n1-1,.",m

    (1 )

    Mthode M

    tRsoudre le PL

    n m

    max Z=L Cj Xj -LM Vij=! ;=1

    sous les contraintes (1) (M> 0,arbitrairement grand)

    Mthode en deux ohases

    tPhase CD

    Rsoudre le PLm

    Maxz1 = - LVii=\

    sous les contraintes (1)

    oui

    non

    FINpas de solution

    ralisable

    non

    oui

    FINLa solution optimale du PLde dpart est atteinte

    n

    Rsoudre le PL max Z2 =L CJ x jj=)

    n

    Lai} X j + Vi == b jj=1

    [)-== 1" .. ,n1 - 1" .. ,m

    en prenant comme solution de basede dpart la solution obtenue la fin

    de la phase 1

  • 18

    Exemple 3 : Appliquons la mthode du M au PL suivant:

    Max Z == x1 + x2

    2x2 +x1 :::::2

    x2 53

    x1 52

    x1,x2 ::::: 0

    En introduisant la variable du surplus S1, la variable artificielle R et les

    variables d'cart S2 et S3 on a la forme standard:

    D'o le systme (S)

    Z-x1 -x 2 +IVIR==0

    X1+ 2x2 - S1 + R == 2

    (R, S2, S2) est une solution de base initiale.

    Notons L1 la 2me ligne du systme est C = (-1, -1, M, 0, 0)

    "-

    Effectuant la combinaison linaire C - M L1~ C pour annuler le coefficient de

    R dans la premire quation de (S). Nous obtenons le nouveau systme

    z - (M + 1) x 1 - (2M + 1) x 2 + M S 1 == -2M

    ==2

    (S)

    ==3

    =2

    Sous formule tabulaire nous obtenons:

    X1 X2 S1 S2 S3 R

    -(M + 1) -(2M + 1) +M 0 0 0 -2M

    J....- R 1 ~ -1 0 0 1 2S2 0 1 0 1 0 0 3

    S3 1 0 0 0 1 0 2

    La variable artificielle R sort de la base et la variable X2 rentre dans la base

    18

    Exemple 3 : Appliquons la mthode du M au PL suivant:

    Max Z == x1 + x2

    2x2 +x1 :::::2

    x2 53

    x1 52

    x1,x2 ::::: 0

    En introduisant la variable du surplus S1, la variable artificielle R et les

    variables d'cart S2 et S3 on a la forme standard:

    Z-x1 -x 2 +IVIR==0

    X1+ 2x2 - S1 + R == 2

    D'o le systme (S)

    (R, S2, S2) est une solution de base initiale.

    Notons L1 la 2me ligne du systme est C = (-1, -1, M, 0, 0)

    "-

    Effectuant la combinaison linaire C - M L1~ C pour annuler le coefficient de

    R dans la premire quation de (S). Nous obtenons le nouveau systme

    z - (M + 1) x 1 - (2M + 1) x 2 + M S 1 == -2M

    ==2

    (S)

    ==3

    =2

    Sous formule tabulaire nous obtenons:

    La vanable artificielle R sort de la base et la vanable X2 rentre dans la base

    X1 X2 S1 S2 S3 R

    -(M + 1) -(2M + 1) +M 0 0 0 -2M

    J....- R 1 ~ -1 0 0 1 2S2 0 1 0 1 0 0 3

    S3 1 0 0 0 1 0 2..

  • 19

    Xl X2 8 1 8 2 8 3 R

    J- v;_1 1 10 -- 0 02 2X2 1/2 1 - 1/2 0 0 1

    8 2 -1/2 0 1/2 1 0 2

    +--83 [TI 0 0 0 1 2

    0 0 -1/2 0 1/2 / 2J-

    VX2 0 1 -1/2 0 -1/2 0

    82 0 0 ~ 1 1/2 3

    Xl 1 0 0 0 1 2/

    0 0 0 1 2 / 5X2 0 1 0 1 0 VI 38 1 0 0 1 2 2 6Xl 1 0 0 0 1 2

    "On a min (Ci )= 0 donc la solution optimale est atteinte pour X'l = 2, X'2 = 3 ;

    8'1 = 6 et Z' = 5.

    Exemple 4

    Rsolvons le PL de l'exemple prcdent par la mthode des deux

    phases:

    La phase 1 rsout le problme suivant:

    19

    X1 X2 8 1 8 2 8 3 R

    J- v;_1 1 10 -- 0 02 2X2 1/2 1 - 1/2 0 0 1

    8 2 -1/2 0 1/2 1 0 2

    +---83 [TI 0 0 0 1 2

    0 0 -1/2 0 1/2 / 2J-

    VX2 0 1 -1/2 0 -1/2 0

    82 0 0 ~ 1 1/2 3

    X1 1 0 0 0 1 2/

    0 0 0 1 2 / 5X2 0 1 0 1 0 VI 38 1 0 0 1 2 2 6X1 1 0 0 0 1 2

    "On a min (Ci )= 0 donc la solution optimale est atteinte pour X'1 = 2, X'2 = 3 ;

    8'1 = 6 et Z' = 5.

    Exemple 4

    Rsolvons le PL de l'exemple prcdent par la mthode des deux

    phases:

    La phase 1 rsout le problme suivant:

  • .,i

    rt

    }

    t'

    20

    max w =-R

    X1 + 2x2 - S1 + R =2x2 + S2 =3

    Xl X2 Sl S2 S3 R

    a a a a a 1 aJ, -2

    -1 -2 1 a a a

    ~R 1 ~ -1 a a 1 2S2 a 1 a 1 a a 3S3 1 a a a 1 a 2

    a a a a a aX2 l 1 l a a 1S2

    2 2

    ~S3_ l a l 1 a 22 2

    1 a a a 1 2C'est la fin de la phase 1 avec z = o.La phase 2 consiste rsoudre le PL

    En prenant comme solution de base initiale (X2, S2 S3) = (1, 2, 2) onarrive trouver, par la mthode du simplexe la solution optimale.

    Exemple 5 : problme linaire variables bornes

    Un type de problmes souvent rencontr en programmation linaire est

    celui dans lequel certaines variables sont bornes infrieurement et suprieure-

    .,i

    rt

    }

    t'

    20

    max w =-R

    X1 + 2x2 - S1 + R =2x2 + S2 =3

    Xl X2 Sl S2 S3 R

    a a a a a 1 aJ, -2

    -1 -2 1 a a a

    ~R 1 ~ -1 a a 1 2S2 a 1 a 1 a a 3S3 1 a a a 1 a 2

    a a a a a aX2 l 1 l a a 1S2

    2 2

    ~S3_ l a 1 1 a 22 2

    1 a a a 1 2C'est la fin de la phase 1 avec z = o.La phase 2 consiste rsoudre le PL

    En prenant comme solution de base initiale (X2, S2 S3) = (1, 2, 2) onarrive trouver, par la mthode du simplexe la solution optimale.

    Exemple 5 : problme linaire variables bornes

    Un type de problmes souvent rencontr en programmation linaire est

    celui dans lequel certaines variables sont bornes infrieurement et suprieure-

  • 21

    ment. Pour cette raison, ils sont appels Problmes Linaires Variables

    Bornes (PLVB). Dans ce cas le problme se prsente sous la forme

    max Z=C t X

    AX:s; b

    L:s;X:s;U

    Les vecteurs L et U sont donns et reprsentent les bornes infrieures

    et suprieures de la variable X.

    Le problme linaire

    max Z = -3x1 + 6x2

    + :s; 14

    est variables bornes. La variable X1 possde seulement une borne

    infrieure tandis que X2 possde en plus une borne infrieure 0 une borne

    suprieure 14.

    . Notons qu'il est possible d'effectuer le changement de variable Y =X-Lpour obtenir un problme contenant seulement des bornes suprieures U - L.

    Dans ce cas, les contraintes d'infriorit se transforment en contrainte de

    positivit de la variable Y. Pour cette raison, nous pouvons nous intresser

    sans perte de gnralit la formulation

    max Z=Ct X

    AX:s; b

    O:s;X:s;U

    On suppose galement que le vecteur constant b est non ngatif. En

    sparant les contraintes de positivit et de bornes suprieures, nous obtenons

    la formulation

    21

    ment. Pour cette raison, ils sont appels Problmes Linaires Variables

    Bornes (PLVB). Dans ce cas le problme se prsente sous la forme

    max Z=C t X

    AX.:s:b

    L:s:X:s:U

    Les vecteurs L et U sont donns et reprsentent les bornes infrieures

    et suprieures de la variable X.

    Le problme linaire

    max Z = -3x1 + 6x2

    + :s: 14

    est variables bornes. La variable X1 possde seulement une borne

    infrieure tandis que X2 possde en plus une borne infrieure 0 une borne

    suprieure 14.

    . Notons qu'il est possible d'effectuer le changement de variable Y = X-L

    pour obtenir un problme contenant seulement des bornes suprieures U - L.

    Dans ce cas, les contraintes d'infriorit se transforment en contrainte de

    positivit de la variable Y. Pour cette raison, nous pouvons nous intresser

    sans perte de gnralit la formulation

    max Z=Ct X

    AX.:s:b

    O:s:X:s:U

    On suppose galement que le vecteur constant b est non ngatif. En

    sparant les contraintes de positivit et de bornes suprieures, nous obtenons

    la formulation

  • 22

    max Z=Ct X

    AX:s; b

    X:s;U

    X2':O

    En introduisant les variables d'cart S et R au niveau des contraintes

    nous obtenons la forme standard

    max Z=Ct X

    Ainsi prsent, ce problme est un programme linaire avec n variables

    X, n variables R et m variables S, ce qui constitue au total 2n +m variables.

    En plus des contraintes de positivits, il contient m + n contraintes et peut

    videmment tre rsolu par la mthode usuelle du simplexe. Cependant la

    prsence des contraintes de bornes de positivits peut augmenter

    considrablement la taille du problme. Il existe une adaptation de la mthode

    du simplexe ces problmes que nous prsentons dans la prochaine section.

    4 - Mthode du simplexe des PLVB

    Dans cette section, nous prsentons l'adaptation de la mthode du

    simplexe aux problmes linaires variables borns (PLVB). Dans une

    premire sous section, nous fournissons tout d'abord les principes de base de

    la dmarche. Ceci nous permettra de prsenter les dtails de la mthode et

    l'algorithme dans la sous section suivante.

    4.1 Principe de base de la mthode

    L'adaptation de la mthode du simplexe ces problmes ignore dans un

    premier temps les contraintes des bornes suprieures. En consquence, elle

    considre le Problme associ Sans Bornes (PSB)

    max Z=Ct X

    PSB AX:s;S=b

    X 2': 0

    22

    max Z=Ct X

    AX:s; b

    X:s;U

    X2':O

    En introduisant les variables d'cart S et R au niveau des contraintes

    nous obtenons la forme standard

    max Z=Ct X

    Ainsi prsent, ce problme est un programme linaire avec n variables

    X, n variables R et m variables S, ce qui constitue au total 2n +m variables.

    En plus des contraintes de positivits, il contient m + n contraintes et peut

    videmment tre rsolu par la mthode usuelle du simplexe. Cependant la

    prsence des contraintes de bornes de positivits peut augmenter

    considrablement la taille du problme. Il existe une adaptation de la mthode

    du simplexe ces problmes que nous prsentons dans la prochaine section.

    4 - Mthode du simplexe des PLVB

    Dans cette section, nous prsentons l'adaptation de la mthode du

    simplexe aux problmes linaires variables borns (PLVB). Dans une

    premire sous section, nous fournissons tout d'abord les principes de base de

    la dmarche. Ceci nous permettra de prsenter les dtails de la mthode et

    l'algorithme dans la sous section suivante.

    4.1 Principe de base de la mthode

    L'adaptation de la mthode du simplexe ces problmes ignore dans un

    premier temps les contraintes des bornes suprieures. En consquence, elle

    considre le Problme associ Sans Bornes (PSB)

    max Z=Ct X

    PSB AX:s;S=b

    X 2': 0

  • :~

    :t.

    23

    dont la rsolution suit les diffrentes tapes de la mthode du simplexe jusqu'

    l'tape de la variable rentrante soit Xr. C'est au niveau de l'tape de la variable

    sortante que rside toute la diffrence. En effet, dans le cas de ces problmes,

    nous devons tenir compte du respect de

    1. la positivit des variables X =(Xi)2. la borne suprieure Ur de la variable rentrante soit Xr

    3. des bornes suprieures des autres variables

    La mthode du simplexe pour les problmes linaires variables

    bornes est identique la mthode usuelle du simplexe. Cependant, elle doit

    la fin de chaque itration tenir compte des contraintes de bornes des variables

    qui impliquent les conditions supplmentaires 2 et 3.

    Le respect de la positivit des variables Xi est la condition usuelle de la

    mthode du simplexe pour le choix de la variable sortante. En considrant (aij)

    comme la matrice des contraintes, autres que celles de bornes, cette condition

    consiste slectionner la variable sortante Xs de telle sorte

    X, ::; 8, = rn in{~ ; air> a} =~air a sr

    La deuxime condition impose la variable rentrante Xr ::; Ur = 82.

    La dernire condition intervient au moment de la transformation de la

    variable rentrante en une variable de base donc de l'annulation des coefficients

    air autres que le pivot. Ceci implique

    Xi - air Xr ::; Ui; Vi

    Si air 2 0, cette relation est toujours satisfaite car les variables de base

    vrifient Xi. Dans ce cas le fait de retrancher au terme de droite une valeur

    positive ne dtruit pas l'ingalit.

    Si par contre, air < 0, cette relation n'est plus ncessairement satisfaite.

    Pour qu'elle le soit, il faut que

    La satisfaction des trois conditions impose donc

    Xr =8 =min {81, 82, 8

    :~

    :t.

    23

    dont la rsolution suit les diffrentes tapes de la mthode du simplexe jusqu'

    l'tape de la variable rentrante soit Xr. C'est au niveau de l'tape de la variable

    sortante que rside toute la diffrence. En effet, dans le cas de ces problmes,

    nous devons tenir compte du respect de

    1. la positivit des variables X =(Xi)2. la borne suprieure Ur de la variable rentrante soit Xr

    3. des bornes suprieures des autres variables

    La mthode du simplexe pour les problmes linaires variables

    bornes est identique la mthode usuelle du simplexe. Cependant, elle doit

    la fin de chaque itration tenir compte des contraintes de bornes des variables

    qui impliquent les conditions supplmentaires 2 et 3.

    Le respect de la positivit des variables Xi est la condition usuelle de la

    mthode du simplexe pour le choix de la variable sortante. En considrant (aij)

    comme la matrice des contraintes, autres que celles de bornes, cette condition

    consiste slectionner la variable sortante Xs de telle sorte

    X, ::; 8, = rn in{~ ; air> a} =~air a sr

    La deuxime condition impose la variable rentrante Xr ::; Ur = 82.

    La dernire condition intervient au moment de la transformation de la

    variable rentrante en une variable de base donc de l'annulation des coefficients

    air autres que le pivot. Ceci implique

    Xi - air Xr ::; Ui; Vi

    Si air 2 0, cette relation est toujours satisfaite car les variables de base

    vrifient Xi. Dans ce cas le fait de retrancher au terme de droite une valeur

    positive ne dtruit pas l'ingalit.

    Si par contre, air < 0, cette relation n'est plus ncessairement satisfaite.

    Pour qu'elle le soit, il faut que

    La satisfaction des trois conditions impose donc

    Xr =8 =min {81, 82, 8

  • 24

    Si 8 = 81 alors l'algorithme se comporte comme la mthode du

    simplexe.

    Si 8 = 82 alors la borne suprieure empche la variable de rentrer.

    Ainsi, nous effectuons un changement de variable Yr = Ur -Xr et laissons la

    solution de base non modifie. En consquence, la variable Yr reste hors

    base. Ainsi nous avons Yr = 0 et Xr = Ur.

    Si 8 =83 alors la variable sortante Xs est fournie par

    83 = min {Xi -Ui ; air

  • 25

    Poser 82 = Ur et valuer

    {X.-u. }83 = min '. 1 ; air < 0

    air

    Finalement, nous obtenons

    Xr = 8 = min {81, 82, 83 }1. Si 8 = 81 alors la variable Xs sort de la base. Aller tape 5.2. Si 8 = 82 alors poser Yr = Ur - Xr et retour tape 2.

    3. Si 8 = 83 alors poser Ys = Us - Xs. Dbut tape 4.

    Etape 5 - Opration Pivotage

    Le Pivot est p =aS,r est toujours strictement positif.Effectuer comme dans la mthode du simplexe l'opration Pivot.

    Dterminer la nouvelle solution Xs. Retour tape 2.

    Exemple 6

    Considrons le problme suivant:

    Max l =-2Xl +3X2Xl + X2:::;; 3

    Xl + X2 :::;; 5

    0:::;; Xl, 0 :::;; X2 :::;; 2

    En introduisant les variables d'cart Sl et S2 dans le problme sans borne

    suprieure, on a la forme standard

    Min l' = 2Xl -3X2

    Xl + X2 + Sl = 3

    Xl - X2 + S2 = 5

    Xi ~ 0, Si ~ D, i = 1,2

    Ceci entrane la procdure ci dessous

    Itration 1

    Etape 1 solution initiale Sl = 3, S2 = 5 et l = 0

    Etape 2 optimalit

    Min Ci = -3 < 0 ; donc la solution n'est pas optimale.

    Etape 3 variable rentrante

    Min Ci = -3 correspond X2 donc X2 entre dans la base

    25

    Poser 82 = Ur et valuer

    {X. - U }83 = min '. 1 ; air < 0

    air

    Finalement, nous obtenons

    Xr = 8 = min {81, 82, 83 }1. Si 8 = 81 alors la variable Xs sort de la base. Aller tape 5.2. Si 8 = 82 alors poser Yr = Ur - Xr et retour tape 2.

    3. Si 8 = 83 alors poser Ys = Us - Xs. Dbut tape 4.

    Etape 5 - Opration Pivotage

    Le Pivot est p =aS,r est toujours strictement positif.Effectuer comme dans la mthode du simplexe l'opration Pivot.

    Dterminer la nouvelle solution Xs. Retour tape 2.

    Exemple 6

    Considrons le problme suivant:

    Max l =-2Xl +3X2Xl + X2:::;; 3

    Xl + X2 :::;; 5

    0:::;; Xl, 0 :::;; X2 :::;; 2

    En introduisant les variables d'cart Sl et S2 dans le problme sans borne

    suprieure, on a la forme standard

    Min l' = 2Xl -3X2

    Xl + X2 + Sl = 3

    Xl - X2 + S2 = 5

    Xi ~ 0, Si ~ 0, i = 1,2

    Ceci entrane la procdure ci dessous

    Itration 1

    Etape 1 solution initiale Sl = 3, S2 = 5 et l = 0

    Etape 2 optimalit

    Min Ci = -3 < 0 ; donc la solution n'est pas optimale.

    Etape 3 variable rentrante

    Min Ci = -3 correspond X2 donc X2 entre dans la base

  • 26

    Etape 4 variable rentrante

    Le seul candidat est a12 =1> a ; donc 81 =b1 =3. la valeur de 82 est fourniepar la borne suprieure de la variable rentrante X2, donc 82 = 2. Puisque la

    variable correspondant a22 = -1 < a est S2 et est suprieurement non bornealors 83 =+00. En consquence, nous avons 8 =82 =2. Il nous faut donceffectuer le changement de variable Y2 = 2-X2. Ce qui implique le problme

    suivant

    Min Z' = 2Y1 + 3Y2

    X1 - Y2 + S1 = 1

    X1 + Y2 + S2 =7Y1 ~ a, Xi ::?: a Si ~ a, i = 1,2

    Tous les cots rduits deviennent positifs, la solution est donc optimale.

    5. Cas particuliers

    Dans ce paragraphe, nous traitons des cas particuliers qui interviennent

    lors de l'application de la mthode du simplexe. Il s'agit des situations o il ya :

    1. plus d'une solution optimale

    2. une solution infinie

    3. absence de solution ralisable

    4. dgnrescence

    Tout au long de ce paragraphe, nous allons tudier dans les dtails ces cas de

    figure.

    5.1 Solution alternative

    Une solution alternative existe si, lors de la dtermination de la solution

    optimale, certaines variables hors base ont des cots rduits nuls.

    Dans ce cas, il est possible de considrer successivement ces variables dans la

    base pour obtenir toutes les autres solutions optimales. Puisque leurs cots

    rduits sont nuls, alors en les faisant entrer dans la base, la ligne des

    coefficients demeure inchange. En consquence, la valeur de la fonction

    objectif se trouve non modifie.

    L'ensemble solution est une combinaison convexe des solutions

    trouves. Dans le cas o il y a deux solutions optimales extrmes, l'ensemble

    solution est le segment de droite compris entre ces deux points. Dans le cas o

    il existe trois solutions optimales, alors l'ensemble solution est une face plane

    26

    Etape 4 variable rentrante

    Le seul candidat est a12 =1> a ; donc 81 =b1 =3. la valeur de 82 est fourniepar la borne suprieure de la variable rentrante X2, donc 82 = 2. Puisque la

    variable correspondant a22 = -1 < a est S2 et est suprieurement non bornealors' 83 =+00. En consquence, nous avons 8 =82 =2. Il nous faut donceffectuer le changement de variable Y2 = 2-X2. Ce qui implique le problme

    suivant

    Min Z' = 2Y1 + 3Y2

    X1 - Y2 + S1 = 1

    X1 + Y2 + S2 =7Y1 ~ a, Xi ::?: a Si ~ a, i = 1,2

    Tous les cots rduits deviennent positifs, la solution est donc optimale.

    5. Cas particuliers

    Dans ce paragraphe, nous traitons des cas particuliers qui interviennent

    lors de l'application de la mthode du simplexe. Il s'agit des situations o il ya :

    1. plus d'une solution optimale

    2. une solution infinie

    3. absence de solution ralisable

    4. dgnrescence

    Tout au long de ce paragraphe, nous allons tudier dans les dtails ces cas de

    figure.

    5.1 Solution alternative

    Une solution alternative existe si, lors de la dtermination de la solution

    optimale, certaines variables hors base ont des cots rduits nuls.

    Dans ce cas, il est possible de considrer successivement ces variables dans la

    base pour obtenir toutes les autres solutions optimales. Puisque leurs cots

    rduits sont nuls, alors en les faisant entrer dans la base, la ligne des

    coefficients demeure inchange. En consquence, la valeur de la fonction

    objectif se trouve non modifie.

    L'ensemble solution est une combinaison convexe des solutions

    trouves. Dans le cas o il y a deux solutions optimales extrmes, l'ensemble

    solution est le segment de droite compris entre ces deux points. Dans le cas o

    il existe trois solutions optimales, alors l'ensemble solution est une face plane

  • 27

    du polydre dfini par les contraintes. En guise d'illustration, nous considrons

    l'exemple ci dessous.

    Exemple 7. Considrons le problme linaire suivant:

    Max Z = X1 + 2X2

    X1, X2 ~ 0

    En introduisant les variables d'cart S1 et S2, on a la forme standard

    Max Z = X1 + 2X2

    X1 + X2 + S1 = 4

    x1 + 2X2 + S2 = 6

    Xi, ~ 0, Si ~ 0, i = 1,2

    La rsolution tabulaire fournit

    X1 X2 S1 S2

    t 0-1 0 0S1 1 1 1 0 4

    S2 1 Q 0 1 66

    0 0 0 1S1 1/2 0 1 -1/2 1

    X2 1/2 1 0 1/2 3

    La solution optimale est atteinte avec X2' =3 et S1 =1.Puisque le cot rduit de la variable hors base X1 est nul, alors il est possible

    d'obtenir une deuxime solution optimale en la faisant rentrer dans la base.

    Ceci fournit le tableau

    X1 X2 S1 S2

    0 0 0 1 6

    X1 1 0 2 -1 2

    X2 0 1 -1 1 2

    27

    du polydre dfini par les contraintes. En guise d'illustration, nous considrons

    l'exemple ci dessous.

    Exemple 7. Considrons le problme linaire suivant:

    Max Z = X1 + 2X2

    X1 + X2 s: 4

    X1 + 2X2 s: 6

    X1, X2 ~ 0

    En introduisant les variables d'cart S1 et S2, on a la forme standard

    Max Z = X1 + 2X2

    X1 + X2 + S1 = 4

    x1 + 2X2 + S2 = 6

    Xi, ~ 0, Si ~ 0, i = 1,2

    La rsolution tabulaire fournit

    X1 X2 S1 S2

    t 0-1 0 aS1 1 1 1 0 4

    S2 1 Q 0 1 66

    a 0 0 1S1 1/2 0 1 -1/2 1

    X2 1/2 1 0 1/2 3

    La solution optimale est atteinte avec X2' =3 et S1 =1.Puisque le cot rduit de la variable hors base X1 est nul, alors il est possible

    d'obtenir une deuxime solution optimale en la faisant rentrer dans la base.

    Ceci fournit le tableau

    X1 X2 S1 S2

    a a 0 1 6

    X1 1 a 2 -1 2

    X2 0 1 -1 1 2

  • f,

    28

    La deuxime solution optimale est X1 * = 2 , X2* = 2 et Z* = 6. L'ensemble solution

    est le segment joignant les deux solutions (0 , 3) et (2 , 2).

    5.2 Solution infinie

    Dans le cas o la solution est infinie, le problme possde un domaine non

    born. Cette situation se manifeste de la manire suivante: au cours d'une

    itration, tous les coefficients du vecteur colonne associ la variable rentrante

    Xr sont non positifs i. e ir ::; a , \;j i =1, ... ,m.Il n'y a aucun candidat pour tre pivot. Ainsi quelle que soit la valeur de Xr ~ 0,

    les contraintes irxr::; O. Ainsi la variable Xr est illimite car irxr::; a et bi ~ O. Lasolution du problme de maximisation est donc Zmax =+00. Au moins, une

    variable du problme n'est pas borne suprieurement.

    Notons que dans le cas d'une minimisation, la solution correspondante vaut

    Zmin = -00. Cependant toutes les variables du problme bornes infrieurement

    par O. Pour illustrer cette situation, nous prsentons l'exemple ci dessous

    Exemple 8.

    Soit le problme linaire

    Max Z = 3X1 + 2X2

    X2 ::; 5

    Xi ~ 0, i:= 1,2

    En introduisant les variables d'cart S1 et S2 on a la forme standard

    Max Z == 3X1 + 2X2

    -X1 + X2 + S1 =2X2 + S2 = 5

    Xi ~ 0 , Si ~ a , i = 1,2La rsolution tabulaire fournit

    X1 X2 S1 S2i'-3 -2 a a a

    S1 -1 1 1 a 2

    S2 a 1 a 1 5

    28

    La deuxime solution optimale est X1 * = 2 , X2* = 2 et Z* = 6. L'ensemble solution

    est le segment joignant les deux solutions (0 , 3) et (2 , 2).

    5.2 Solution infinie

    Dans le cas o la solution est infinie, le problme possde un domaine non

    born. Cette situation se manifeste de la manire suivante: au cours d'une

    itration, tous les coefficients du vecteur colonne associ la variable rentrante

    Xr sont non positifs i. e ir ::; a , \;j i =1, ... ,m.Il n'y a aucun candidat pour tre pivot. Ainsi quelle que soit la valeur de Xr ~ 0,

    les contraintes irxr::; O. Ainsi la variable Xr est illimite car irxr::; a et bi ~ O. Lasolution du problme de maximisation est donc Zmax =+00. Au moins, une

    variable du problme n'est pas borne suprieurement.

    Notons que dans le cas d'une minimisation, la solution correspondante vaut

    Zmin = -00. Cependant toutes les variables du problme bornes infrieurement

    par O. Pour illustrer cette situation, nous prsentons l'exemple ci dessous

    Exemple 8.

    Soit le problme linaire

    Max Z = 3X1 + 2X2

    X2 ::; 5

    Xi ~ 0, i:= 1,2

    En introduisant les variables d'cart S1 et S2 on a la forme standard

    Max Z == 3X1 + 2X2

    -X1 + X2 + S1 =2X2 + S2 = 5

    Xi ~ a , Si ~ a , i = 1,2La rsolution tabulaire fournit

    X1 X2 S1 S2~

    -3 -2 a a aS1 -1 1 1 a 2

    S2 a 1 a 1 5

  • Ir

    29

    Le vecteur X1 est la variable rentrante car possdant le plus petit cot rduit,

    cependant, il n'y a aucun coefficient positif au niveau du vecteur colonne qui lui

    est associ. En consquence, la solution est infinie.

    5.3 Domaine vide

    Dans le cas o le domaine est vide, le problme ne possde pas de

    solution ralisable. Cette situation intervient dans des problmes linaires ne

    comprenant pas seulement des contraintes d'ingalit infrieure. Dans le cas

    contraire, la solution initiale avec les seules variables d'cart serait ralisable.

    Ce cas est donc dtect dans les problmes ncessitant des variables

    artificielles.

    Si la mthode du grand M est considre, alors la solution optimale est

    dtermine avec au moins une variable artificielle demeurant dans la base. La

    contrainte d'galit ne peut pas tre ralise. En consquence, la variable

    artificielle ne peut pas s'annuler.

    Si la mthode des deux phases est utilise, alors la phase 1 se termine sans

    que la variable artificielle ne sorte de la base. En d'autres termes, cette phase

    se termine sans que la somme des variables artificielles ne soit nulle.

    Pour illustrer ces deux situations, nous les appliquons l'exemple ci dessous

    Exemple 9

    Considrons le problme linaire suivant

    Max Z = X1 + 2X2

    X1 + X2 ~ 14

    X2 ~ 15

    X1 ~ 0, X2 ~ 0

    Mthode du grand M

    En introduisant la variable d'cart S1, la variable de surplus _S2 et la variable

    artificielle R, on obtient la forme standard

    Max Z = X1 + 2X2 - M

    X1 + X2 + S1 = 14X2 - S2 + R =15

    Xi ~ 0, Si ~ 0 ; i =1,2

    Ir

    29

    Le vecteur X1 est la variable rentrante car possdant le plus petit cot rduit,

    cependant, il n'y a aucun coefficient positif au niveau du vecteur colonne qui lui

    est associ. En consquence, la solution est infinie.

    5.3 Domaine vide

    Dans le cas o le domaine est vide, le problme ne possde pas de

    solution ralisable. Cette situation intervient dans des problmes linaires ne

    comprenant pas seulement des contraintes d'ingalit infrieure. Dans le cas

    contraire, la solution initiale avec les seules variables d'cart serait ralisable.

    Ce cas est donc dtect dans les problmes ncessitant des variables

    artificielles.

    Si la mthode du grand M est considre, alors la solution optimale est

    dtermine avec au moins une variable artificielle demeurant dans la base. La

    contrainte d'galit ne peut pas tre ralise. En consquence, la variable

    artificielle ne peut pas s'annuler.

    Si la mthode des deux phases est utilise, alors la phase 1 se termine sans

    que la variable artificielle ne sorte de la base. En d'autres termes, cette phase

    se termine sans que la somme des variables artificielles ne soit nulle.

    Pour illustrer ces deux situations, nous les appliquons l'exemple ci dessous

    Exemple 9

    Considrons le problme linaire suivant

    Max Z = X1 + 2X2

    X1 + X2 ~ 14

    X2 ~ 15

    X1 ~ 0, X2 ~ a

    Mthode du grand M

    En introduisant la variable d'cart S1, la variable de surplus _S2 et la variable

    artificielle R, on obtient la forme standard

    Max Z = X1 + 2X2 - M

    X1 + X2 + S1 = 14X2 - S2 + R =15

    Xi ~ 0, Si ~ a ; i =1,2

  • 30

    Initialement, les variables de base sont S1 et R mais le coefficient associ la

    variable artificielle R est non nul. Son annulation fournit la deuxime ligne du

    coefficient cot prsent dans le tableau ci dessous. C'est cette dernire qui est

    utilise pour dsigner la variable rentrante. Il s'agit de la variable X2.

    X1 X2 S1 S2 R

    -1 -2 0 0 IVI 0~

    -1 -M-2 0 IVI 0 -15MS1 1 Q) 1 0 0 14

    R 0 1 0 -1 1 15

    X1 X2 S1 S2 R

    M+1 0 M+2 M 0 M+28

    S1 1 1 1 0 0 14

    R -1 0 -1 -1 1 1

    La solution est optimale et la variable artificielle R demeure dans la base. Le

    domaine est vide. Il n'existe pas de solution ralisable.

    Mthode des deux phases.

    Avec cette mthode, la variable subsiste dans la base la fin de la

    phase 1. Pour illustrer cette situation, considrons nouveau l'exemple 3. La

    phase 1 rsoud le sous problme

    ax Z =-R

    X1 + X2 + S1 = 14

    X2 -S2 + R =15

    Xi ~ 0, Si ~ 0 ; i =1, 2Ceci implique la prsentation tabulaire

    X1 X2 S1 S2 R

    0 0 0 0 1 0

    0 -1 0 1 0 -15

    S1 1 1 1 0 0 14

    R 0 1 0 -1 1 15

    30

    Initialement, les variables de base sont S1 et R mais le coefficient associ la

    variable artificielle R est non nul. Son annulation fournit la deuxime ligne du

    coefficient cot prsent dans le tableau ci dessous. C'est cette dernire qui est

    utilise pour dsigner la variable rentrante. Il s'agit de la variable X2.

    X1 X2 S1 S2 R

    -1 -2 0 0 IVI 0~

    -1 -M-2 0 IVI 0 -15MS1 1 Q) 1 0 0 14

    R 0 1 0 -1 1 15

    X1 X2 S1 S2 R

    M+1 0 M+2 M 0 M+28

    S1 1 1 1 0 0 14

    R -1 0 -1 -1 1 1

    La solution est optimale et la variable artificielle R demeure dans la base. Le

    domaine est vide. Il n'existe pas de solution ralisable.

    Mthode des deux phases.

    Avec cette mthode, la variable subsiste dans la base la fin de la

    phase 1. Pour illustrer cette situation, considrons nouveau l'exemple 3. La

    phase 1 rsoud le sous problme

    ax Z =-R

    X1 + X2 + S1 = 14

    X2 -S2 + R =15

    Xi ~ 0, Si ~ 0 ; i =1, 2Ceci implique la prsentation tabulaire

    X1 X2 S1 S2 R

    0 0 0 0 1 0

    0 -1 0 1 0 -15

    S1 1 1 1 0 0 14

    R 0 1 0 -1 1 15

  • 31

    1 0 1 1 0 -1

    81 1 1 1 0 0 14

    R -1 0 -1 -1 1 1

    La solution est optimale avec la variable artificielle R qui demeure dans la base,

    le domaine est donc vide. Il n'est pas ncessaire d'aborder la phase 2.

    5.4 Dgnrescence

    La situation de dgnrescence intervient dans l'application de la mthode du

    simplexe quand la solution courante admet une variable de base nulle. Elle peut

    galement se manifester dans l'tape de dtermination de la variable sortante:

    quand il existe plus d'une variable de base candidate la sortie. Cela se traduit

    par l'existence d'indices s et k tels que

    min{b/air} =bs/asr = bk/akr

    L'indice r est celui associ la variable rentrante. Ainsi se pose un embarras de

    choix de la variable sortante.

    La situation de dgnrescence est une manifestation de l'existence de

    contrainte redondante. En enlevant celle ci la dgnrescence disparat.

    Cependant dans la pratique, il est difficile dterminer la contrainte redondante.

    La dgnrescence peut amener l'algorithme du simplexe effectuer des

    cycles entre les diffrents choix possibles. Il existe des mthodes correctives

    cherchant contourner cette situation de cyclage. la plus utilise (Charnes,

    1953) consiste dans un premier temps diviser chaque ligne correspondant

    une variable de base candidate la sortie par son pivot a.,r