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1I.T., AveiroNov 98
Maria Joana Soares
Departamento de Matemática
Universidade do Minho
Instituto de Telecomunicações
Aveiro, Novembro 98
Nov 98 I.T., Aveiro 2
Notações
• Transformada de Fourier
)()( 2 RLtf dttgtfgf
)()(,
ti
ti
ef
dtetffFf
,
)()(ˆ)}({
Nov 98 I.T., Aveiro 3
Localização tempo-frequência
• Transformada de Fourier com janela g
dtetgtffF tig
)()(:),}({
,,),}({ gffFg
tietggg )(:,
Nov 98 I.T., Aveiro 4
Transformada de Fourier com janela
Janela
-2 -1 1 2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Janela ondas Transladada
-2 -1 1 2
-0.5
0.5
1
-2 -1 1 2
-1
-0.5
0.5
1
2 3 4 5
-1
-0.5
0.5
1
Nov 98 I.T., Aveiro 5
Transformada contínua com ôndula
•A janela já oscila (onda)
Nov 98 I.T., Aveiro 6
Transformada contínua com ôndula
A onda é expandida ou contraída e transladada
Nov 98 I.T., Aveiro 7
Transformada contínua com ôndula
a
t
aa
1
:,
,,),}({ afafW
dta
ttf
aafW
)(
1:),}({
Nov 98 I.T., Aveiro 8
Transformada contínua com ôndula
• Quando a aumenta, a função alarga
-10 -5 5 10
-1
-0.5
0.5
1
-10 -5 5 10
-0.4
-0.2
0.2
0.4
)(t
)2(t
-10 -5 5 10
-2
-1
1
2
• Quando a diminui, a função estreita
)2( t
Nov 98 I.T., Aveiro 9
Plano tempo-frequência
Transformada de Fourier com janela
Transformada contínua com ôndula
Nov 98 I.T., Aveiro 10
Transformada contínua com ôndula
dC0
2|)(ˆ|
•Ser bem localizada (pequena)•Satisfazer condição de admissibilidade
A função deve :
0)(0)0(ˆ dtt (onda)
Nov 98 I.T., Aveiro 11
Transformada contínua com ôndula
da
daafW
Ctf a 2,
0
),}({1
)(
Fórmula de inversão
Reconstrução
da
daf
Ctf aa 2,
0
,,1
)(
Decomposição
Nov 98 I.T., Aveiro 12
Transformada discreta. Ôndulas ortogonais
• Transformada contínua é altamente redundante.
• Restringir valores dos parâmetros:ja 2 Zkjkj ,;2
Zkjktjjkj ,;22: 2/
,
)( de o.n. base}{ortogonal ôndula 2, RLkj
jkkj
jkff ,
,
Nov 98 I.T., Aveiro 13
Transformada discreta. Ôndulas ortogonais
• Existem tais bases?– Base de Haar (Base de Haar (19101910))
– StrömbergStrömberg– MeyerMeyer– Battle; LemariéBattle; Lemarié
)1,2/1[)2/1,0[)( tH
Nov 98 I.T., Aveiro 14
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
0
1
2
2101
de o.n. base}:)({5.
)2()(4.
}0{.3
)(2.
.1
VZkkt
VtvVtv
V
RLV
VVVV
jj
j
j
Nov 98 I.T., Aveiro 15
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
Exemplo: (ARM de Haar)Exemplo: (ARM de Haar)
)1,[ intervalo cada em constantes funções0 kkV
))1(2,2[ intervalo cada em constantes funções kkV jjj
)1,0[
Nov 98 I.T., Aveiro 16
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
jjj
jk Vkt de base22 2/
10 VV 0V
)2(2)( kthtk
k Equação de dilataçãoou
de dupla escala
Filtro}{ kh
Nov 98 I.T., Aveiro 17
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
• Dada como surge a base o. n. de ôndulas?} ), {( j V
jjjjj VWWVV ,1
Espaços de detalhe jW
jjjjjj WWVWVV 111
jZjWRL
)(2
Nov 98 I.T., Aveiro 18
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
0 de n. o. base)(: Wkt
jjk WZk de base }:{
)( de base },:{ 2 RLZkjjk
ôndula ortogonal
Nov 98 I.T., Aveiro 19
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
ARM }),{( jV existe!
)2(2)( ktgtk
k
)2(2)( kthtk
k
kk
k hg 1)1(
Equação de ôndula
Nov 98 I.T., Aveiro 20
Análise de Resolução Múltipla (ARM)
)2(2)( ktgt k )2(2)( kthtk
k
kk
k hg 1)1(ARM de HaarARM de Haar
2
210 hh
2
2,
2
210 gg
Nov 98 I.T., Aveiro 21
Transformadas Rápidas com Ôndulas
kkc }{ 0 00 )()( Vktctf
kk
1110 WWVWVV JJ
jjk V de base jjk W de base
jk
J
j k
jkJk
k
Jk dcf
1
Nov 98 I.T., Aveiro 22
Transformadas Rápidas com Ôndulas
• Da equação de dilatação obtém-se facilmente
jn
nkn
jk chc 21
jn
nkn
jk cgd 21
• Da equação de ôndula vem
Nov 98 I.T., Aveiro 23
Transformadas Rápidas com Ôndulas
• Cálculo recursivo das sequências
121 Jccc
1d 2d Jd
Jc 0c Input
Output
1 Jd
Nov 98 I.T., Aveiro 24
• Pode ser invertida facilmente
121 Jccc
1d 2d Jd
Jc 0c Output
Input
1 Jd
n
jnnk
jnnk
jk dgchc 1
21
2
Transformadas Rápidas com Ôndulas
Nov 98 I.T., Aveiro 25
Transformdas Rápidas com Ôndulas
• Utilizam apenas o filtro
• Fáceis de implementar (cálculo recursivo)• Sequências e filtros finitos (truncados)
– Várias formas de lidar com as fronteiras (periodização, reflexão,...; ôndulas no intervalo)
• Algoritmos rápidos: número de operações O(N)
• Generalizam-se facilmente para várias variáveis
}{ kh
Nov 98 I.T., Aveiro 26
Ôndulas e Bancos de Filtrosj
nn
knj
k chc 21
kk hh ~
jn
nnk
jk chc 21 ~
2]~
[1 jj chc2]~[1 jj cgd
)2][()2][( 11 jjj dgchc
n
jnnk
jnnk
jk dgchc 1
21
2
Nov 98 I.T., Aveiro 27
Ôndulas e Bancos de Filtros
22
22 22
22h~
g~ g
h
jcjc
Decomposição Reconstrução
Esquema de filtragem de duas bandas com capacidade de reconstrução perfeita
Nov 98 I.T., Aveiro 28
Ôndulas e Bancos de Filtros
)2(2)( kthtk
k
No espaço de FourierNo espaço de FourierNo espaço físicoNo espaço físico
)2/(̂)2/()(̂ H
ki
kk ehH
2
1)(
Função de transferência
kjjtkt )(),( 1)()(22 HH
Nov 98 I.T., Aveiro 29
Ôndulas e Bancos de Filtros
1)0( H
)(2 RLV j 1)0(ˆ
Filtro passa-baixo
No espaço físicoNo espaço físico No espaço de FourierNo espaço de Fourier
kjjtkt )(),( 1)()(22 GG
00 WV 0)()()()( HGHG
0)0( GFiltro passa-alto
0)( H
1)( G
Nov 98 I.T., Aveiro 30
Ôndulas e Bancos de Filtros
1)()(22 HH
1)()(22 GG
0)()()()( HGHG
)()(
)()(
GH
GH
matriz unitária
H e G par de filtros de quadratura conjugada
(CQF)
Nov 98 I.T., Aveiro 31
Ôndulas e Bancos de Filtros
• ARM H filtro CQF
?
• Impor propriedades a escolhendo adequadamente o filtro?
• Importância, na prática, das propriedades
de ?
,
,
,
Nov 98 I.T., Aveiro 32
Ôndulas e Bancos de Filtros
4ˆ422ˆ2)(ˆ HHH
H ( ) 2periódica, regular
1)()(22 HH
1)0( H
0)(inf]
2,
2[
H
)2()(ˆ1
k
kH
função escala de ARM
11
2)0(ˆ2k
k
k
k HH
Nov 98 I.T., Aveiro 33
Ôndulas e Bancos de Filtros• Impor propriedades a escolhendo o filtro {hk} de
forma adequada?
Exemplo: Famíla das Ôndulas de Daubechies– Suporte compacto número finito de hk´s FIR.
– Certo número de momentos nulos (máximo permitido pelo tamanho do suporte)
– Regularidade aumentando linearmente com tamanho do suporte.
1,,0;0)(:
Nkdtttm kk
.1,,0;0)()( NkH k
Nov 98 I.T., Aveiro 34
Ôndulas de Daubechies
Nov 98 I.T., Aveiro 35
Ôndulas e Bancos de Filtros
• Importância, na prática, das propriedades de
– Regularidade: importante na síntese (imagens, p. ex.).
Erro “suave” é menos perceptível. Regularidade óptima?
– Número de momentos nulos:
Coeficientes associados a (com j grande) são quase
nulos onde a função é suave. Há apenas necessidade de
“reter” tais coeficientes onde a função é irregular.
Importante em algoritmos de análise numérica (baseados
em compressão de operadores) e em supressão de ruído.
jk
Nov 98 I.T., Aveiro 36
Ôndulas e Bancos de Filtros
– Localização na frequência:
mais importante em sinal audio do que em processamento de
imagem; “aliasing” é mais relevante no primeiro caso.
Nov 98 I.T., Aveiro 37
Generalizações
• Ôndulas de várias variáveis - várias abordagens.
• Ôndulas bi-ortogonais - filtro de síntese dual do filtro de análise. (Mais flexibilidade)
• Referenciais de ôndulas- redundância. (Importante, por exemplo, na redução do erro de reconstrução)
Nov 98 I.T., Aveiro 38
Generalizações
• “Wavelet-packets” - bancos de filtros com estrutura em árvore arbitrária; pavimentações mais gerais do plano tempo-frequência.
Mais escolha ! Algoritmo da melhor base
$$$$
Nov 98 I.T., Aveiro 39
Generalizações
• Transformadas trigonométricas locais - senos e
co-senos definidos em intervalos finitos e “ligados” de forma suave.
• Multiwavelets -várias funções escala e ôndulas-mãe.
Nov 98 I.T., Aveiro 40
Referências
• I. Daubechies, Ten Lectures on WaveletsTen Lectures on Wavelets
SIAM, Philadelphia, 1992
• B. B. Hubbard, The World According to WaveletsThe World According to Wavelets Prentice-Hall, 1995
Nov 98 I.T., Aveiro 41
Referências
• A. Akansu, R. Haddad,
Multiresolution Signal DecompositionMultiresolution Signal Decomposition
Academic Press, 1993
• S. Mallat,
A Wavelet Tour of Signal ProcessingA Wavelet Tour of Signal Processing
Academic Press, 1998
Nov 98 I.T., Aveiro 42
Referências
• G. Strang, T. Nguyen,
Wavelets and Filter BanksWavelets and Filter Banks
Wellesley-Cambridge Press, 1996
• M. Vetterli, J. Kovacevic,
Wavelets and Subband CodingWavelets and Subband Coding
Prentice-Hall, 1995
Nov 98 I.T., Aveiro 43
Software
• Mathematica Wavelet ExplorerMathematica Wavelet Explorer, Wolfram Research
• Wavelet Toolbox for use with MATLABWavelet Toolbox for use with MATLAB, Toolbox do MATLAB
• WaveLabWaveLab : (para usar com MATLAB)
– ftp://playfair.stanford.edu/pub/wavelab
• Ver também: http://www.wavelet.org