Nove nauticke tablice

SADRZAJ

UVODNI DEO

str.Predgovor ............................................................................................................... 0.005Skracenice i oznake u navigaciji ................................................................................. 0.009Grcki alfabet............................................................................................................ 0.013

DEO I – OBJASNJENJA TABLICA

A – Objasnjenja tablica za terestricku navigaciju ..................................................... 0.017B – Objasnjenja tablica za astronomsku navigaciju .................................................. 0.038C – Objasnjenja matematickih tablica .................................................................... 0.055D – Objasnjenja hidrometeoroloskih tablica............................................................. 0.068E – Objasnjenja opstih tablica .............................................................................. 0.077F – Formule iz teorije devijacije i kompenzacije magnetnog kompasa ......................... 0.081G – Formule iz aritmetike i algebre, geometrije, analiticke geometrije ........................ 0.084H – Formule iz ravne i sferne trigonometrije............................................................ 0.101

DEO II – TABLICE

A – TABLICE ZA TERESTRICKU NAVIGACIJU

Tab. 01 – Pre -deni put u nautickim miljama (PPUNM) ....................................................... 5Tab. 02 – PPUNM od 1 do 10 i od 11 do 20 dana sa brzinama 8 do 22 cvora........................ 10Tab. 03 – Trougao kursa.................................................................................................. 12Tab. 04 – Pretvaranje rastojanja (R) u razliku duzine(∆λ) i obratno...................................... 21Tab. 05 – Merkatorove Sirine – uvecane Sirine (Zemlja kao elipsoid) .................................... 25Tab. 06 – Duzina luka jedne minute meridijana i paralela .................................................... 33Tab. 07 – Popravka srednje sirine...................................................................................... 33Tab. 08 – Daljina iz dvostrukog navo -denja na isti objekat .................................................... 34Tab. 09 – Daljina iz dva pramcana ugla i pre -deni put izme -du dva navo -denja .......................... 39Tab. 10 – Minimalna daljina na kojoj ce se proci bocno od objekta ....................................... 40Tab. 11 – Udaljenost morskog horizonta ............................................................................ 40Tab. 12 – Udaljenost pomocu vertikalnog ugla.................................................................... 41Tab. 13 – Odre -divanje pocetka okreta ............................................................................... 42Tab. 14 – Udaljenost objekta koji se pojavljuje (iscezava) na horizontu ................................. 43Tab. 15 – Udaljenost objekta merena radarom.................................................................... 44Tab. 16 – Visina mrtvog prostora radara ............................................................................ 44Tab. 17 – Udaljenost ( u naut. miljama) po vremenu i brzini zvuka kroz vazduh .................... 45Tab. 18 – Udaljenost (u naut. miljama) po vremenu i brzini zvuka kroz vodu ........................ 46Tab. 19 – Popravka greske ziro-kompasa (ϑZ) – greske voznje ............................................. 48Tab. 20 – Ispravka kursa broda u struji .............................................................................. 49Tab. 21 – Ispravka brzine broda u struji ............................................................................. 49Tab. 22 – Upore -divanje brzina .......................................................................................... 50Tab. 23 – Popravka ortodromskog azimuta za velike udaljenosti............................................ 52Tab. 24 – Popravka ortodromskog azimuta za male udaljenosti (polukonvergencija- meridijana) 53Tab. 25 – Elementi manevrisanja VIR, BP, VIP .................................................................. 54Tab. 26 – Redukovanje izmerene dubine ............................................................................ 56

– Beleske ........................................................................................................... 57

............... Nauticke tablice 2

str.B – TABLICE ZA ASTRONOMSKU NAVIGACIJU

Tab. 27 – I Popravka za Sunce, nekretnice i planete ............................................................ 61Tab. 28 – II Popravka za visinu oka................................................................................... 61Tab. 29 – III Popravka za visinu planeta s obzirom na paralaksu .......................................... 61Tab. 30 – IV Popravka zbog promene radijusa Sunca .......................................................... 61Tab. 31 – Ukupna popravka Meseceve donje (gornje) ivice za visinu oka 0 metara ................. 62Tab. 32 – Ukupna popravka visine Sunca i zvezda izmerene libelnim sekstantom ................... 66Tab. 33 – Ukupna popravka visine Meseca izmerene libelnim sekstantom .............................. 67Tab. 34 – Srednja refrakcija za temp.10C i barometarski pritisak 760 mm ............................ 68Tab. 35 – Popravka srednje refrakcije za temperaturu i barometarski pritisak ......................... 68Tab. 36 – Srednja dubina horizonta za obalski horizont ...................................................... 69Tab. 37 – ABC tablice..................................................................................................... 70Tab. 38 – Amplitude nebeskih tela .................................................................................... 88Tab. 39 – Promena visine nebeskog tela za 1 minutu vremena ............................................. 92Tab. 40 – Promena visine nebeskog tela za 10 sekundi vremena .......................................... 93Tab. 41 – Vreme koje odgovara promeni visine nebeskog tela za 1’ ...................................... 94Tab. 42 – Casovni ugao i visina u prvom vertikalu ili najvecoj digresiji .................................. 95Tab. 43 – Popravka visine nebeskog tela za jedno vreme posmatranja .................................. 97Tab. 44 – Izracunavanje geografske sirine i azimuta pomocu blizu meridijnaske visine .............. 99Tab. 45 – Identifikacija zvezda – me -duplanetarna rastojanja – velicine imena zvezda nekretnica 101Tab. 46 – Podaci za ucrtavanje uzastopnih pravaca polozaja ............................................... 102

– Beleske ........................................................................................................... 103

C – MATEMATICKE TABLICE

Tab. 47 – Logaritmi prirodnih brojeva................................................................................ 107Tab. 48 – Logaritmi trigonometrijskih funkcija.................................................................... 122Tab. 49 – Logaritmi sin i tang malih uglova – cos i cotg velikih uglova ................................. 167Tab. 50 – Kvadrati logaritama i prirodnih vrednosti sin i cos polovicnih uglova ...................... 179Tab. 51 – Adicioni i suptrakcioni logaritmi ........................................................................ 215Tab. 52 – Prirodne vrednosti trigonometrijskih funkcija ...................................................... 232Tab. 53 – Duzine kruznih lukova za radijus r =1 ............................................................... 277Tab. 54 – Drugi i treci stepeni, drugi i treci koreni te vrednosti 1000

n brojeva od 1 do 100 ......... 278– Beleske ........................................................................................................... 280

D – HIDROMETEOROLOSKE TABLICE

Tab. 55 – Beaufor-ova skala za vetar i stanje mora ............................................................. 285Tab. 56 – Glavni lokalni vetrovi ........................................................................................ 287Tab. 57 – Pravi smer i prava jacina vetra mereni pri brzini 10, 15, 20, 25, 30 i 35 cvorova ....... 289Tab. 58 – Redukcija barometarskog pritiska na temperaturuOC .......................................... 295Tab. 59 – Redukcija baro pritiska na morski nivo ............................................................... 296Tab. 60 – Redukcija baro pritiska na normalnu silu teze (popravka za geografsku sirinu) .......... 297Tab. 61 – Redukcija baro pritiska na normalnu silu teze (popravka za nadmorsku visinu u m)... 297Tab. 62 – Pretvaranje Farenhajtove skale u Celzijevu i obrnuto ............................................ 298Tab. 63 – Pretvaranje Reomirove skale u Celzijevu i obrnuto ............................................... 298Tab. 64 – Napon vodene pare i relativna vlaga odre -dena Avgustovim psihrometrom ................ 299Tab. 65 – Napon vodene pare i relativna vlaga odre -dena Asmanovim aspiracionim psihrometrom 301Tab. 66 – Pretvaranje milibara u milimetre ....................................................................... 303Tab. 67 – Pretvaranje milimetara u milibare ...................................................................... 303Tab. 68 – Pretvaranje palaca u milibare (1 palac-inc= 33, 86mb) .......................................... 304Tab. 69 – Pretvaranje palaca u milimetre (1 palac-inc= 25, 4mm) ........................................ 304Tab. 70 – Odre -divanje udaljenosti centra orkana po casovnom opadanju barometra................. 304Tab. 71 – Brzina zvuka kroz vodu..................................................................................... 305Tab. 72 – Popravka brzine zvuka kroz vodu za dubinu ........................................................ 305


str.Tab. 73 – Popravka dubina izmerenih ultrazvucnim dubinomerom ........................................ 307Tab. 74 – Gustina morske vode......................................................................................... 308

– Beleske ........................................................................................................... 309

E – OPSTE TABLICE

Tab. 75 – Vazniji termini u pomorskom transportu i skracenice ............................................ 315Tab. 76 – Faktori utovara tereta ...................................................................................... 319Tab. 77 – Odre -divanje brzine s obzirom na vreme potrebno da se pre -de put jedinicne duzine.... 321Tab. 78 – Promena gaza broda kod utovara tereta u slanoj vodi .......................................... 323Tab. 79 – Potrebno vreme da se pre -dje 100m raznim brzinama ............................................ 324Tab. 80 – Pre -djeni put broda u metrima s raznim brzinama ................................................ 324Tab. 81 – Frekventni opsezi i talasne duzine....................................................................... 324Tab. 82 – Pretvaranje frekvencija u talasnu duzinu i obrnuto ............................................... 325Tab. 83 – Pretvaranje ugaonih (lucnih) vrednosti u vremenske i obrnuto ................................ 326Tab. 84 – Pretvaranje cvorova u metre/minute................................................................... 327Tab. 85 – Pretvaranje metara/minute u cvorove ................................................................. 327Tab. 86 – Pretvaranje nautickih milja u kilometre i obrnuto ................................................ 328Tab. 87 – Pretvaranje stepena u hiljadite ........................................................................... 329Tab. 88 – Pretvaranje minuta u hiljadite ............................................................................ 329Tab. 89 – Pretvaranje hiljaditih u stepene i minute(6400o/oo = 360) .................................... 329Tab. 90 – Pretvaranje mera – duzine ................................................................................. 330Tab. 91 – Pretvaranje mera – povrsine .............................................................................. 331Tab. 92 – Pretvaranje mera – obim ................................................................................... 332Tab. 93 – Pretvaranje metara u engleske stope (feet) i obrnuto ........................................... 333Tab. 94 – Pretvaranje metara u fathome i obrnuto .............................................................. 333Tab. 95 – Merne jedinice me -dunarodnog sistema mernih jedinica (SI) .................................. 334Tab. 96 – Merne jedinice izvan me -dunarodnog sistema mernih jedinica ................................. 338Tab. 97 – Cvrstoca konopca, celicnih uzadi i lanaca ........................................................... 339Tab. 98 – Planete Suncevog sistema i njihove konstante ..................................................... 340Tab. 99 – Podaci o Zemlji, Suncu i Mesecu........................................................................ 341Tab.100 – Fizicke, astronomske i matematicke konstante .................................................... 343Tab.101 – Popis nekih svetskih luka, geografske koordinate i udaljenosti od Bara .................... 345

– Beleske ........................................................................................................... 350

DEO III – PRILOZI

Tab.101 – Periodni sistem hemijskih elemenata ...................................................................Tab.103 – Periodne osobine hemijskih elemenata .................................................................

– Tablica mnozenja ..............................................................................................


OZNAKE I SKRACENICE U NAVIGACIJI

A = amplituda nebeskih tela ............................................................................... ...AJ = astronomska jedinica.................................................................................... ...B = barometarski pritisak.................................................................................... ...Bf = oznaka za jacinu vetra i stanje mora po Beaufort–ovoj skali .............................. ...BP = bocno pomeranje......................................................................................... ...b = brzina ........................................................................................................ ...bz = brzina kretanja zemljine ekvatorske tacke ....................................................... ...bs = brzina struje ............................................................................................... ...bd = brzina broda preko dna ................................................................................ ...bv = brzina broda kroz vodu ................................................................................ ...bo = brzina zvuka kroz vodu u povrsinskom sloju mora............................................ ...b’ = brzina zvuka kroz vodu za odre -deni instrument ............................................... ...C’ = psihrometarska konstanta ............................................................................. ...C = Celzius–ovi stepeni ...................................................................................... ...c(km/sek) = brzina kretanje EMT (elektromagnetskih talasa).............................................. ...c = konvergencija meridijana .............................................................................. ...ch = chain (mera za duzinu) ................................................................................ ...cm = centimetar .................................................................................................. ...D = pre -deni put; me -duplanetarna udaljenost ......................................................... ...Dl = udaljenost loksodromska............................................................................... ...Do = udaljenost ortodromska ................................................................................ ...Dpd = pre -deni put preko dna .................................................................................. ...Dv = pre -deni put kroz vodu .................................................................................. ...d = udaljenost (uopsteno) .................................................................................. ...d ⊥ = perpendikularna udaljenost (upravno na pravac kretanja, pe.) ........................... ...dep = depresija morskog horizonta .......................................................................... ...depob = depresija na obalski horizont ......................................................................... ...dm = decimetar ................................................................................................... ...δ = deklinacija astronomska................................................................................ ...δ¯ = deklinacija Sunca ........................................................................................ ...δ = deklinacija Meseca....................................................................................... ...δ? = deklinacija zvezde........................................................................................ ...ϑ = devijacija magnetnog kompasa ...................................................................... ...ϑn = devijacija, nagib .......................................................................................... ...ϑz = devijacija (greska) ziro-kompasa .................................................................... ...ϑra = radiodevijacija............................................................................................. ...E = istok .......................................................................................................... ...E’ = max. napon vodene pare na mokrom termometru............................................ ...e = jednacina vremena (e = Tp - Ts) .................................................................. ...e’ = napon vodene pare (u mm) .......................................................................... ...f(kHz) = frekvencija (u kilohercima) ........................................................................... ...fm = fathom....................................................................................................... ...ft = feet, stopa.................................................................................................. ...fur = furlong (mera za duzinu).............................................................................. ...H = horizont; dubina za koju treba odrediti brzinu zvuka kroz vodu ......................... ...Hm = morski horizont ........................................................................................... ...Ho = opticki horizont (prividni); dubina izmerena ultrazvcnim dubinomerom ............... ...Hp = pravi horizont ............................................................................................. ...h = hod hronometra; sat .................................................................................... ...ha = hektar ........................................................................................................ ...hm = hektometar ................................................................................................. ...hs = srednji hod hronometra ................................................................................ ...i = inklinacija................................................................................................... ...in = inch ........................................................................................................... ...


K = kurs broda (uopsteno).................................................................................. ...Kf = kurs finalni (kod ortodrome) ......................................................................... ...Ki (Kpc) = kurs pocetni (kod ortodrome) ....................................................................... ...Kk = kurs kompasni............................................................................................. ...Km = kurs magnetni............................................................................................. ...Ko = kurs ortodromski ......................................................................................... ...Kp = kurs pravi ................................................................................................... ...Kpd = kurs pravi preko dna .................................................................................... ...Kpv = kurs pravi kroz vodu .................................................................................... ...KZ = kurs po ziro-kompasu................................................................................... ...k = korektura (popravka) ................................................................................... ...ke = popravka ekscentriciteta ............................................................................... ...ki = popravka indeksa......................................................................................... ...km = kilometar.................................................................................................... ...kn = popravka nagiba.......................................................................................... ...kt = popravka za termometar............................................................................... ...ku = ukupna popravka (korektura) ........................................................................ ...L = pramcani ugao ............................................................................................ ...L1 = pramcani ugao kod prvog usmeravanja ........................................................... ...L2 = pramcani ugao kod drugog usmeravanja ......................................................... ...LP = pramcani ugao dolaska prividnog vetra ........................................................... ...Lr(Lra) = pramcani ugao radio-davaca ......................................................................... ...LZ = lucko zakasnjenje......................................................................................... ...l = litar ........................................................................................................... ...M = nauticka milja ............................................................................................. ...m = metar; minut .............................................................................................. ...mb = milibar ....................................................................................................... ...mm = milimetar ................................................................................................... ...N = sever.......................................................................................................... ...P = polozaj....................................................................................................... ...Pi = izabrani polozaj........................................................................................... ...Pp = pravi polozaja ............................................................................................. ...Pr(PRF ) = polozaj radiofara ......................................................................................... ...Pv = verovatni polozaj (dobijen visinskom metodom)............................................... ...Pz = sabran polozaj............................................................................................. ...Pλ = polozaj dobijen duzinskom metodom.............................................................. ...Pϕ = polozaj dobijen sirinskom metodom ............................................................... ...p = polarna daljina; polprecnik (prividni) nebeskog tela .......................................... ...q = kursni ugao; paralakticki ugao....................................................................... ...R = razmak (rastojanje) ..................................................................................... ...r = radijus nebeskog tela ................................................................................... ...rk = radijus kruga okretaja broda ......................................................................... ...% = refrakcija .................................................................................................... ...%s(%rs) = srednja refrakcija ......................................................................................... ...S = jug; casovni ugao u Greenwichu; slanost mora u promilima ............................... ...Sγ = casovni ugao prolecne tace u Greenwichu ....................................................... ...S¯ = casovni ugao Sunca u Greenwichu ................................................................. ...S = stanje hronometra ....................................................................................... ...Sz = sidericki casovni ugao .................................................................................. ...s = sekunda; casovni ugao mesni ........................................................................ ...s¯ = mesni casovni ugao Sunca ............................................................................ ...sγ = mesni casovni ugao prolecne tacke................................................................. ...


T = Greenwich–ko vreme; temperatura vode u stepenima ....................................... ...Tk = Greenwich–ko vreme gornje kulminacije.......................................................... ...Tk = Greenwich–ko vreme donje kulminacije........................................................... ...Tm = Greenwich–ko vreme gornjeg prolaza kroz meridijan ........................................ ...Tm = Greenwich–ko vreme donjeg prolaza kroz meridijan.......................................... ...Tn (Tnv) = Greenwich–ko vreme nastupa niske vode ........................................................ ...Tp = Greenwich–ko pravo vreme ........................................................................... ...Ts = Greenwich–ko srednje vreme ......................................................................... ...Tv (Tvv) = Greenwich–ko vreme nastupa visoke vode ....................................................... ...Tz = Greenwich–ko zvezdano vreme ...................................................................... ...t = mesno vreme ............................................................................................. ...tc = vreme po casovniku (mesno brodsko vreme) ................................................... ...th = vreme po hronometru .................................................................................. ...tk = mesno vreme gornje kulminacije .................................................................... ...tk = mesno vreme donje kulminacije ..................................................................... ...tm = mesno vreme gornjeg prolaza kroz meridijan ................................................... ...tm = mesno vreme donjeg prolaza kroz meridijan .................................................... ...tn (tnv) = mesno vreme nastupa niske vode................................................................... ...tp = pravo mesno vreme...................................................................................... ...ts = srednje mesno vreme ................................................................................... ...tv (tvv) = mesno vreme nastupa visoke vode ................................................................. ...tz = mesno zvezdano vreme................................................................................. ...tx = zonsko vreme.............................................................................................. ...θ = ugao u sjecitu stajnice ................................................................................. ...U = upore -divanje sata sa hronometrom ................................................................ ...V = visina nebeskog tela ..................................................................................... ...V a(Van) = visina antene u metrima ............................................................................... ...Vi = izmerena visina (neispravljena) ...................................................................... ...VIP = velicina izmene pravca ................................................................................. ...VIR = velicina izmene rastojanja ............................................................................. ...Vk = visina u trenutku gornje kulminacije............................................................... ...Vk = visina u trenutku donje kulminacije................................................................ ...Vm = visina u trenutku gornjeg prolaza kroz meridijan ............................................. ...Vm = visina u trenutku donjeg prolaza kroz meridijan ............................................... ...Vo(Voka) = visina oka ................................................................................................... ...Vob = visina objekta u metrima (na obali) ............................................................... ...V¯ = visina Sunca (gornja ivica)............................................................................ ...V¯ = visina Sunca (donja ivica)............................................................................. ...V = visina Sunca izmerena libelnim sekstantom ..................................................... ...V = visina Meseca (gornja ivica).......................................................................... ...V = visina Meseca (donja ivica)........................................................................... ...v (var) = varijacija (magnetna deklinacija) ................................................................... ...W = zapad ........................................................................................................ ...wr = radio-snimak............................................................................................... ...x = zonski indeks .............................................................................................. ...Z = zenit .......................................................................................................... ...Za = zanosenje (ugao zanosenja) .......................................................................... ...z = zenitska daljina ........................................................................................... ...zp = prava zenitska daljina................................................................................... ...zr = racunata zenitska daljina .............................................................................. ...α = rektascenzija............................................................................................... ...α¯ = rektascenzija Sunca ..................................................................................... ...α = rektascenzija Meseca ................................................................................... ...α? = rektascenzija zvezde..................................................................................... ...


∆ = razlika........................................................................................................ ...∆A = amplituda morskih mena po visini.................................................................. ...∆H = popravak dubine u metrima .......................................................................... ...∆T = amplituda morskih mena po vremenu............................................................. ...∆V = razlika visine (izme -du prave i racunate) .......................................................... ...∆z = razlika zenitskih daljina (prave i racunate) ...................................................... ...∆λ = razlika geografske duzine .............................................................................. ...∆ϕ = razlika geografske sirine................................................................................ ...∆ϕM = razlika Merkatorovih sirina............................................................................ ...λ = geografska duzina........................................................................................ ...λ1 = geografska duzina tacke polaska .................................................................... ...λ2 = geografska duzina tacke dolaska .................................................................... ...λi = geografska duzina izabranog polozaja............................................................. ...λ(m) = talasna duzina (u metrima)........................................................................... ...ϕ = geografska sirina ......................................................................................... ...ϕ1 = geografska sirina tacke polaska .................................................................... ...ϕ2 = geografska sirina tacke dolaska ..................................................................... ...ϕi = geografska sirina izabranog polozaja .............................................................. ...ϕm = geografska sirina dobijena posmatranjem nebeskog tela u meridijanu ................. ...ϕM = Merkator–ova sirina ..................................................................................... ...ϕmax = maksimalna geografska sirina ........................................................................ ...ϕs = srednja geografska sirina .............................................................................. ...ω = azimut ....................................................................................................... ...ωk = azimut kompasni ......................................................................................... ...ωl = azimut loksodromski .................................................................................... ...ωm = azimut magnetni ......................................................................................... ...ωo = azimut ortodromski ..................................................................................... ...ωp = azimut pravi ............................................................................................... ...ωra = radio-azimut ............................................................................................... ...π = paralaksa.................................................................................................... ...πh = horizontalna paralaksa.................................................................................. ...πy = visinska paralaksa ........................................................................................ ...

GRCKI ALFABET

SLOVO SLOVO SLOVOveliko malo izgovor veliko malo izgovor veliko malo izgovor

α alfa J j jota ρ roβ beta κ kapa Σ σ sigma

Γ γ gama Λ λ lambda τ tau∆ δ delta µ mi Υ υ upsilon

ε epsilon ν ni Φ φ fiζ zeta χ hi Ξ ξ ksiη eta O o omikron Ψ ψ psi

Θ θ teta Π π pi Ω ω omega

TEL: (381 11) .............................; TEL/FAKS: .......

............... program 2

A – O B J A S N J E N J A

TABLICA ZA TERESTRICKU NAVIGACIlU

TABLICA 1 - PRE-DENI PUT U NAUTICKIM MILJAMA

Tablica je izracunata po formuli:

Pre -deni put u M =(vreme u minutama)

60× brzina u cvorovima

Argumenti za ulazak u tablicu su vreme i brzina. Vreme je dato u minutama, a u drugoj vertikalnojkoloni i u delovima sata.

Krajnja vertikalna kolona s desne strane tablice daje razliku pre -denog puta za jednu desetinu cvora,a horizontalni red na dnu tablice razliku pre -denog puta za jednu desetinu minute. Ove dve rubrike sluzeza interpolaciju.

Primer: Brod vozi brzinom b = 36.7 cv. Koliki ce put preci za 41.4 minute?

D = 24.6 + 0.068 · 7 + 0.060 · 4 = 24.6 + 0.476 + 0.240 = 25.316 ∼= 25.3 M

Ako se ne trazi narocita tacnost, onda se radi skraceno; tj. razlika se zaokruzi na celu stotinku inapamet pomnozi sa brojem decimala i odmah skrati na desetine. Resenje navedenog primera bi bilo:

D = 24.6 + 0.5 + 0.2 = 25.3 M

TABLICA 2 - PRE-DENI PUT U NAUT. MILJAMA OD 1 DO 20 DANA

SA BRZINAMA 8-22 CVORA

Tablica daje pre -deni put od 1 do 20 dana sa brzinama od 8 do 22 cv. s intervalom zacvorove od 0,5 bv. Sluzi za lakse izracunavanje duzih pre -denih puteva.

TABLICA 3 - TROUGAO KURSA

Tablica resava pravougaoni ravni trougao kada su u njemu poznata dva elementa. Kada je odpoznatih elemenata poznat jedan ugao, on mora biti zadat u stepenima ili na polovine stepena. Pomocuove tablice resavaju se razni zadaci u terestrickoj navigaciji. Podesena je za resavanje loksodromskihproblema u koje spadaju:

1. Odre -divanje koordinata tacke dolaska (P2) kad su poznate koordinate tacke polaska (P1), kurs idaljina.

2. Odre -divanje kursa i daljine kad su poznate koordinate tacke polaska (P1) i tacke dolaska (P2).Tablica je izracunata na osnovu formula koje proizlaze iz ”tougla kursa” i ”Merkatorovog trougla”,

a zamenom elemenata resava i ”trougao srednje sirine”.

TEL: (381 11) .............................; TEL/FAKS: .......

............... program 3

Na vrhu tablice oznaceni su pravi kursovi od l do 45 s odgovarajucim kursovima drugih kvadranata,a pri dnu tablice 45 do 90, tako -de s odgovarajucim kursovima drugih kvadranata. Iznad svakog kursadata je odgovarajuca prirodna vrednost tangensa kursa na 3 decimale, a sluzi da se lako na -de kurs idaljina kad su poznati ∆φ i R. U krajnjoj levoj i desnoj koloni dat je pre -deni put (D), dok su ispodsvakog stepena kursa u dve kolane dati razlika geografske sirine (∆φ) i rastojanje (R). Kad se u tablicuulazi odozdo (kad je kurs izme -du 45 i 90), kolone ∆φ i R se me -dusobno zamenjuju.

Primer 1: Zadani su P1, Kp i D. Naci Pz!

P1

φ = 38 52.5′ Sλ = 40 02.0′W

; Kp = 101 ; D + 158.5 M

Iz tablice:

D1005080.5

∆φ

19, 19.51.50.1

R98.249.17.90.5

158.5 30.2 155.7

φ = −38 52.5′ (S)+∆φ = −00 30.2′ (S)

φ2 = −39 22.7′ (S)φs = −39 07.6′ (S)

D100508

0.5158.5

TEL: (381 11) .............................; TEL/FAKS: .......

A – O B J A S N J E N J A

TABLICA ZA TERESTRICKU NAVIGACIlU

TABLICA 1 – PRE-DENI PUT U NAUTICKIM MILJAMA


Pre -deni put u M =(vreme u minutama)

60× brzina u cvorovima

Argumenti za ulazak u tablicu su vreme i brzina. Vreme je dato u minutama, a u drugoj vertikalnoj kolonii u delovima casa.

Krajnja vertikalna kolona s desne strane tablice daje razliku pre -denog puta za jednu desetinu cvora, ahorizontalni red na dnu tablice razliku pre -denog puta za jednu desetinu minute. Ove dve rubrike sluze zainterpolaciju.

Primer: Brod vozi brzinom b = 36.7 cv. Koliki ce put preci za 41.4 minute?

D = 24.6 + 0.068 · 7 + 0.060 · 4 = 24.6 + 0.476 + 0.240 = 25.316 ∼= 25.3M

Ako se ne trazi narocita tacnost, onda se radi skraceno; tj. razlika se zaokruzi na celu stotinku i napametpomnozi sa brojem decimala i odmah skrati na desetine. Resenje navedenog primera bi bilo:

D = 24.6 + 0.5 + 0.2 = 25.3M

TABLICA 2 – PRE-DENI PUT U NAUT. MILJAMA OD 1 DO 20 DANA

SA BRZINAMA 8-22 CVORA

Tablica daje pre -deni put od 1 do 20 dana sa brzinama od 8 do 22 cv. s intervalom za cvoroveod 0,5 cv. Sluzi za lakse izracunavanje duzih pre -denih puteva.

TABLICA 3 – TROUGAO KURSA

Tablica resava pravougaoni ravni trougao kada su u njemu poznata dva elementa. Kada je od poznatihelemenata poznat jedan ugao, on mora biti zadat u stepenima ili na polovine stepena. Pomocu ove tabliceresavaju se razni zadaci u terestrickoj navigaciji. Podesena je za resavanje loksodromskih problema u kojespadaju:

1. Odre -divanje koordinata tacke dolaska (P2) kad su poznate koordinate tacke polaska (P1), kurs i daljina.2. Odre -divanje kursa i daljine kad su poznate koordinate tacke polaska (P1) i tacke dolaska (P2).Tablica je izracunata na osnovu formula koje proizlaze iz ”trougla kursa” i ”Merkatorovog trougla”, a

zamenom elemenata resava i ”trougao srednje sirine”.Na vrhu tablice oznaceni su pravi kursovi od 1 do 45 s odgovarajucim kursovima drugih kvadranata,

a pri dnu tablice 45 do 90, tako -de s odgovarajucim kursovima drugih kvadranata. Iznad svakog kursa dataje odgovarajuca prirodna vrednost tangensa kursa na 3 decimale, a sluzi da se lako na -de kurs i daljina kad su


poznati ∆ϕ i R. U krajnjoj levoj i desnoj koloni dat je pre -deni put (D), dok su ispod svakog stepena kursau dve kolane dati razlika geografske sirine (∆ϕ) i rastojanje (R). Kad se u tablicu ulazi odozdo (kad je kursizme -du 45 i 90), kolone ∆ϕ i R se me -dusobno zamenjuju.

Primer 1: Zadani su P1, Kp i D. Naci P2!

P1

ϕ = 38 52.5′ Sλ = 40 02.0′W

; Kp = 101 ; D = 158.5M

Iz tablice:

D

1005080.5

158.5

∆ϕ

19.19.51.50.1

30.2

R

98.249.17.90.5

155.7

ϕ1 = −38 52.5′ (S)+∆ϕ = −00 30.2′ (S)

ϕ2 = −39 22.7′ (S)ϕs = −39 07.6′ (S)

zamenom elemenata: Kp sa ϕs, R sa ∆ϕ i D sa ∆λ pretvorimo R u ∆λ.

R

155.40.3

R = 155.7

∆λ

200.00.4

∆λ = 200.4 = +03 20.4′ (E)λ1 = −40 02.0′ (W)

λ2 = −36 41.6′ (W)

P2

ϕ = 39 22.7′ (S)λ = 36 41.6′ (W)

Primer 2: Zadani P1 i P2. Naci Kp i D!

P1

ϕ = 28 30.5′ (S)

λ = 132 27.5′ (W)

ϕ2 = +28 15.0′ (N)

−ϕ1 = ±28 30.5′ (N)

∆ϕ = −00 15.5′ (S)

ϕs = +28 22.7′ (N)

P2

ϕ = 28 15.0′ (S)

λ = 132 38.9′ (W)

λ2 = −132 38.9′ (W)

−ϕ1 = ∓132 27.5′ (W)

∆λ = − 00 11.4′ (W)

zamenom elemenata: ϕs, kao Kp, ∆ϕ i ∆λ kao D pretvorimo ∆λ u R

∆λ

11.00.4

∆λ = 11.4

R

9.70.3

R = 10.0

tanKp =R

∆ϕ=

10.015.5

= 0.645


iz tablice sa tan Kp = 0.645 . . . ∆ϕ = 15.5′ i R = 10.0 M

Kp = 213 (III kvadrant) . . . D = 18.4 M

TABLICA 4 – PRETVARANJE RASTOJANJA (R) U RAZLIKU DUZINE (∆λ) I OBRATNO

Ovaj zadatak moze se resiti tablicom ”Trougao kursa” kako je prikazano u primerima za tu tablicu. Ovatablica je izracunata po formuli ∆λ = R ·sec ϕs koja je izvedena iz trougla srednje sirine. Pojednostavljuje racunepretvaranja rastojanja u razliku duzine i obratno, jer prilikom zamene elemenata, kad se radi tablicom ”Trougaokursa” moze doci do greske.

Izracunata je za R od 1 do 9 milja pojedinacno i za 100 milja. Preme stanjem decimalne tacke, tesabiranjem ili oduzimanjem moze se bilo koja vrednost rastojanja pretvoriti u razliku duzine i obratno.

Primer 1: Pretvoriti R = 341.5 M u ∆λ na srednjoj sirini ϕs = 45 40′

R

1001001004010.5

R = 341.5

∆λ

143.1143.1143.157.21.40.7

∆λ = 488.6 = 8 08.6′

Primer 2: Pretvoriti ∆λ = 8 02.0′ u R na srednjoj sirini ϕs = 51 40′

∆λ

8 02.0′ = 482.0−161.2

320.8−161.2

159.6−145.1

14.5

R

100

100

90

9

R = 299 M

TABLICA 5 – MERKATOROVE SIRINE – UVECANE SIRINE (ZEMLJA KAO ELIPSOID)

Merkatorovim sirinama naziva se rastojanje od ekvatora do date paralele na Merkatorovoj karti, a meri sepo meridijanu merom koja odgovara jedinici mere na ekvatoru.

Merkatorove sirine mogu se prikazivati u bilo kojoj linijskoj meri, ali ih je najpogodnije prikazati kaoekvatorijalne milje, kako je prikazano u ovim tablicama.

Ekvatorijalna milja je duzina luka od 1 minuta na ekvatoru. Ova jedinica za elipsoid Krasovskog izrazenaje formulom:


D = .7915.70447 log tan(π

4+

ϕ

2

) (1− e sin ϕ

1 + e sin ϕ

) e2

Merkatorove sirine (meridionalni delovi) sluze za konstrukciju pomorskih karata u Merkatorovoj projekcijii sadrzane su u jednoj od osnovnih formula Merkatorovog trougla

∆λ = ∆ϕM tan Kp

U tablicama su Merkatorove sirine date s tacnoscu od 1 desetog dela ekvatorijalne milje. Koriscenje tablicaje jednostavno. Na vrhu tablice se na -de broj koji odgovara broju zadatih stepeni geografske sirine, a u prvojvertikalnoj koloni broj koji odgovara broju zadatih minuta geografske sirine. U preseku ovih dvaju elemenatana -de se broj koji predstavlja Merkatorovu sirinu za zadatu geografsku sirinu. Npr., za ϕ = 59 46′ nalazimoϕM = 4479.6 M.

Ako treba da se na -de razlika Merkatorovih sirina izme -du dve tacke, treba naci Merkatorovu sirinu svaketacke, a onda izracunati razliku. Npr., razlika Merkatorovih sirina vec pomenute tacke (ϕ = 59 46′) i tacke cijaje geografska sirina ϕ = 59 23′ jednaka je 4479.6− 4434.3 = 45.4 M.

U slucaju kad je geografska sirina data s tacnoscu na desetine minuta, treba vrsiti interpolaciju, racunajucida se Merkatorove sirine menjaju proporcionalno promeni geografske sirine. Npr., za ϕ = 65 37.3′ naci cemoda je

ϕM = 5246.4 +2.2× 3

10= 5247.1 M

Primer: Plovi se u Kp = 30 izme -du tacaka cije su geografske sirine ϕ1 = 41 17′ i ϕ2 = 4140′. Trebanaci razliku Merkatorovih sirina i izracunati razliku geografske duzine!

ϕ2 = 41 40′ . . . ϕM = 2739.6ϕ1 = 41 17′ . . .− ϕM = 2709.0

∆ϕM = 30.6 M

∆λ = ∆ϕM tan 30 = 30.6× 0.577 = 17.7′

TABLICA 6 – DUZINA LUKA JEDNOG MINUTA MERIDIJANA I PARALELE

Tablica daje duzinu u metrima luka jedne minute meridijana i paralele na raznim geografskim sirinama zam -dunarodni elipsoid.

TABLICA 7 – POPRAVKA SREDNJE SIRINE

Tablica daje vrednost popravke srednje sirine koja se dobija prostim algebarskim racunom kao srednjavrednost izme -du gebgrafske sirine tacke polaska (ϕ1) i geografske sirine tacke dolaska (ϕ2).

Argumenti za ulazak u tablicu su srednja sirina (ϕs) i razlika sirine (∆ϕ). Vrednost koju daje tablica seuvijek dodaje srednjoj sirini.

Primer: Brod je otplovio s pozicije cija je geografska sirina ϕ1 = 45 42′ N i stigao u poziciju s geografskomsirinom ϕ2 = 38 18′ N. Ispravi srednju sirinu!


ϕ2 = 38 18′ N

ϕ1 = 45 42′ N

Iz tablice sa ϕs = 42 00′ i ∆ϕ = 7.4 dobijemo

∆ϕ = 7 24′ : 2 = 3 42′

38 18′

ϕs = 42 00′

ϕs = 42 00′ N

+x = + 07.0′

ϕs + x = 42 07.0′ N

TABLICA 8 – UDALJENOST IZ DVOKRATNOG SMERANJA ISTOG OBJEKTA

Tablica daje dva koeficijenta (broja), ad kojih prvi mnozen s pre -denim putem izme -du dva smeranja (D)daje udaljenost do objekta u casu drugog smeranja (d), a isti pre -deni put mnozen s drugim koeficijentomdaje udaljenost u casu prolaza subocice objektu (d⊥ = udaljenost subocice). Koeficijenti proizlaze iz sledecihformula:

d = D sin L1

sin(L2 − L1)︸︷︷︸K1

d⊥ = D sin L1 · sin L2

sin(L2 − L1)︸︷︷︸K2

gde je L1 = pramcani ugao u casu prvog smeranja,

L2 = pramcani ugao u casu drugog smeranja.U tablice se ulazi argumentima L1 i L2.

Primer: S broda se smerao svetionik pod pramcanim uglovima L1 = 32 i L2 = 52. Izme -du dva smeranjabrod je presao 5.0 milja. Naci udaljenost u casu drugog smeranja i udaljenost na koju ce se proci subociceobjektu.

d = D ·K1 = 5.0× 1.55 = 7.75 Md⊥ = D ·K2 = 5.0× 1.22 = 6.10 M

TABLICA 9 – UDALJENOST SA DVA PRAMCANA UGLA I PRE-DENI PUT

IZME-DU DVA SMERANJA

Tablicu sacinjavaju 11 manjih tablica u kojima je data udaljenost u casu drugog smeranja bez ikakvogdaljeg racunanja.

Argumenti za ulazak u tablicu su:L1 = pramcani ugao prvog smeranja;L2 = pramcani ugao drugog smeranja;D = pre -deni put izme -du dva smeranja.Tablice su izracunate za svakih 5 prvog pramcanog ugla (L1) pocevsi od 25 do 75. U svakoj tablici

date su 6, 5, 4 odnosno 3 vertikalne kolone s vrednostima L2 za ∆L od 5 odnosno 10. U prvoj vertikalnojkoloni svake tablice dat je pre -deni put izme -du dva smeranja od 1 do 15 milja. U praksi se podesavaju smeranjatako da prvi i drugi pramcani uglovi budu na okrugli broj stepeni koristeci one kombinacije koje su obra -dene utablicama. Za slucaj da pre -deni put ne bude celi broj milja, vrsi se interpolacija koja je jednostavna.

Primer: Odrediti udaljenost od objekta koji je smeran pod pramcanim uglom L1 = 35 (u casu prvogsmeranja) i L2 = 75 (u casu drugog smeranja) s pre -denim putem izme -du dva smeranja D = 9.3 milje.

Iz tablice sa L1 = 35, L2 = 75 i D = 9.3 M dobijamo


d = 8.0 +0.9× 3

10= 8.0 + 0.3 = 8.3 M

TABLICA 10 – MINIMALNA UDALJENOST NA KOJOJ CE SE PROCI SUBOCICE OBJEKTU

Tablica daje najmanju udaljenost na kojoj ce se proci pored objekta ako je poznata udaljenost do objektai pramcani ugao na objekt u casu smeranja. Ova dva elementa su argumenti za ulazak u tablicu.

Tablica se moze koristiti u kombinaciji s prethodnom tablicom 9, tj. kad se odredi udaljenost u casudrugog smeranja, s ovom vrednosti i pramcanim uglom u casu drugog smeranja iz tablice se dobije najmanjaudaljenost na kojoj ce se proci pored (subocice) objekta.

Primer: Odrediti najmanju udaljenost na kojoj ce se proci pored objekta ako je udaljenost u casu smeranjad = 8.3 milje, a pramcani ugao na taj objekt u istom casu L = 55.

Iz tablice sa L = 55 i d = 8.3 M dobijamo

d⊥ = 6.6 +0.8× 3

10= 6.6 + 0.2 = 6.8 M

TABLICA 11 – UDALJENOST MORSKOG HORIZONTA

Tablica daje udaljenost morskog horizonta u nautickim miljama za razne visine oka u metrima. Izracunataje po formuli:

d = 2.081√

Voka

u kojoj je koeficijent 2.081 odre -den za srednje vrednosti zemaljske refrakcije.Ova tablica sluzi i za odre -divanje udaljenosti broda od objekta ciji se vrh tek pojavljuje (ili iscezava) na

horizontu. Udaljenost broda od objekta je tada zbir udaljenosti horizonta objekta i horizonta posmatraca.

Primjer 1: Visina objekta ciji se vrh pojavljuje na horizontu iznosi 56 m, visina oka posmatraca je 15 m.Odredi udaljenost do objekta!

Iz tablice sa Vob = 56 m i Voka = 15 m dobijamo

d = 15.57 + 8.06 = 23.6 M

Primer 2: Na horizontu se pojavljuje svetionik s karakteristikom: B.Bl.2Gp 14s−16 M Posmatrac se nalazina Voka = 10 m. Izracunati udaljenost u casu pojave svetionika!

za Voka = 10 m . . . d = 6.6 Mza Voka = 5 m . . . d = −4.7 M

∆ = +1.9 M

Vidljivost svetionika po karakteristici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.0 MRazlika vidljivosti zbog vece visine oka (∆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = +1.9 M

d = 17.9 M

Dobijene vrednosti po tablici treba smatrati pribliznim kad atmosferske prilike ne odgovaraju prilikama zakoje su tablice ra -dene. Kad je visina objekta ili oka data u stopama, treba ih prethodno pretvoriti u metre (zaovo sluzi tablica 93).


TABLICA 12 – UDALJENOST POMOCU VERTIKALNOG UGLA

Tablica daje udaljenost do objekta koji nije potpuno vidljiv jer se njegov donji deo nalazi ispod morskoghorizonta, a moze se upotrebljavati i kad je objekt potpuno vidljiv, tj. kad se brod nalazi blize od vidljivoghorizonta.

Kad objekt nije potpuno vidljiv, izmereni vertikalni ugao (od morskog horizonta do vrha objekta trebaispraviti za indeksnu gresku i depresiju morskog horizonta, a kad je objekt potpuno vidljiv, izmereni vertikalniugao (od podnozja do vrha objekta) treba ispraviti samo za indeksnu gresku i od visine objekta odbiti visinuoka posmatraca (Voka)

Ispravljeni vertikalni ugao (α) u lucnim minutama i visina objekta u metrima (Vob) argumenti su za ulazaku tablicu. Izracunata je po formuli:

d = −(α− dep) +√

(α− dep)2 + 3.7126 (Vob −Voka)

gde je dep = depresija morskog horizonta.Udaljenosti za vertikalne uglove do 60′ dobijaju se direktno iz tablice, a koriscenjem dodatnog dela tablice

mogu se naci udaljenosti i za vertikalne uglove od 1 do 7.Dodatni deo tablice deli odnosne vertikalne uglove sa 10 i pod ”tabelirani ugao” govori pod kojim ver-

tikalnim uglom u glavnoj tablici treba traziti odgovarajucu udaljenost. Dobijenu udaljenost treba deliti sa 10.Primeri pokazuju postupak.

Primer 1: Visina objekta Vob = 148 m, izmereni vertikalni ugao α = 34,

Voka = 10 m, ki = −0, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Odrediti udaljenost.

NT - 28

αiz = 34.0

+ki = − 0.4

dep = − 5.6

α = 28.0

Vob . . . 100 m . . . d = 6.6340 m . . . = 2.6528 m . . . = 0.5304

Vob = 148 m d = 9.8125 ∼= 9.8 M

Primer 2: Visina objekta Vob = 168 m, izmereni vertikalni ugao α = 2 50.4′,

Voka = 10 m, ki = −0, 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Odrediti udaljenost.

αiz = 2 50.4′

+ki = − 0.4′

α = 2 50.0′ = 170′

Vob − Voka = 158 m

Vob . . . 100 m . . . d = 10.92 Gl.tabl.pod 17′

50 m . . . = 5.4608 m . . . = 0.8735

Vob = 158 m d = 17.2535 = 1.7 M

TABLICA 13 – ODRE-DIVANJE POCETKA OKRETA


x = r tan∆K

2

gde je r = radijus (poluprecnik) kruga okreta broda u metrima.Tablica daje velicinu x u metrima. Za vrednost x brod mora ranije zapoceti okret od izabrane tacke okreta

(A) da bi se postavio u novi kurs (K2).Argumenti za ulazak u tablicu su: ∆K(K2 −K1) u stepenima i radijus (poluprecnik) kruga okreta (r) u

metrima.


Primer: Brzina broda b = 12 cv. Namerava se izvrsiti okret s uglom kormila 20 desno iz K1 = 40 uK2 = 120. Dijametar (precnik) kruga okreta s otklonom kommila 20 desno iznosi 540 m (r = 270 m). Za kojuduzinu treba zapoceti okret ranije od izabrane tacke okreta?

250 m . . . x = 210 m20 m . . . x = 17 m

r = 270 m . . . x = 227 m = 0.12 M

TABLICA 14 – UDALJENOST OBJEKTA KOJI SE POJAVLJUJE (ISCEZAVA) NA HORIZONTU

Tablica daje udaljenost do objekta koji se pojavljuje (iscezava) na horizontu za normalne uslove vidljivostii refrakcije. Argumenti za ulazak u tablicu su visina oka posmatraca (Voka) u metrima i visina objekta (Vob) umetrima.


d = 2.04(√

Voka +√

Vob

)

Udaljenost koju daje ova tablica trebala bi biti zbir udaljenosti koje daje tablica 11, izva -denih posebno zavisinu oka i posebno za visinu objekta. Me -dutim, udaljenost dobijena ovim tablicama je manja, jer je koeficijentmnozenja nesto, manji (2.04 umesto 2.08) zbog uzimanja u obzir cinjenice da objekt koji se tek pojavljuje(iscezava) na horizontu vec ima izvesnu visinu nad horizontom.

Prmer: Posmatrac s visinom oka 11 m vidi svetionik ciji je vrh 80 m nad morem, pod normalnim atmos-ferskim prilikama, na udaljenosti od 25 milja.

TABLICA 15 – UDALJENOST OBJEKTA MERENA RADAROM

Tablica daje pribliznu udaljenost na kojoj se moze posmatrati objekt izvesne visine radarom cija se antenanalazi na raznim nadmorskim visinama. Udaljenosti su priblizne jer na domet radara uticu promene u tempera-turi, vlaznosti vazduha i barometarskbg pritiska, doba dana i godine. Poznato je da se domet radara povecavaako je temperatura vazduha izrazito veca od temperature mora i obratno. Na domet radara utice i prirodaposmatranog objekta (topografski oblik i sklop, velicina i vrsta broda i sl.).

Tablica je racunata po formuli:

d = 2.23(√

Vob +√

Van

)

gde je Vob = visina objekta u metrima,

Van = visina antene radara u metrima.

Primer: Navigacijski radar cija je anena visoka 18 m nad morem moze posmatrati objekt na obali visok190 m na udaljenosti od 40 milja. Obratno: odraz od obale koji se pojavi na ekranu istog radara s daljinom od60 milja odnosice se na objekt cija je visina veca od 500 metara.

TABLICA 16 – VISINA MRTVOG PROSTORA RADARA

Tablica daje visinu objekta ispod koje nema odraza na radaru s obzirom na zakrivljenost Zemlje i udaljenostbroda od obale, tj. daje izohipsu radarskog horizonta (mrtvog prostora radara).


Argumenti za ulazak u tablicu su udaljenost broda od obale u nautickim miljama i visina antene radara umetrima.

Primer: Brod se nalazi na udaljenosti od 35 M od obale. Na ekranu radara, cija je antena 25 m nadmorem, posmatra se objekt nadmorske visine 730 m. Iznad koje izohipse objekta radar stvarno dobija odraz?

Sa d = 35 M, Van = 25 m . . . . . . . . . . . . . . . . . Visina radarskog horizonta = 112 m

TABLICA 17 – UDALJENOST (U NAUT. MILJAMA) PO VREMENU I BRZINI ZVUKA

KROZ VAZDUH

Tablica daje udaljenost od izvora zvuka u nautickim miljama s tacnoscu od 0.01 milje. Izracunata je poformuli:

d =brzina zvuka kroz vazduh (u m/sek)

1852× vreme (u sek)

Kako brzina zvuka kroz vazduh zavisi od temperature vazduha, argumenti za ulazak u tablicu su: vremeu sekundama (t) i temperatura vazduha u stepenima Celzijusa.

Primer: Odrediti udaljenost od izvora zvvka ako je vreme prolaza zvuka od izvora do posmatraca t = 37.2s,a temperatura vazduha +16.4 C.

Iz tablice vadimo:

za t = 37s . . . d = 6.72 +6.84− 6.72

10· 6.4 = 6.72 + 0.008 = 6.80 M

za t = 38s . . . d = 6.90 +7.02− 6.90

10· 6.4 = 6.90 + 0.008 = 6.98 M

daljom interpolacijom dobijamo:

za t = 37.2s . . . d = 6.80 +6.98− 6.80

10· 2 = 6.80 + 0.036 ∼= 6.84 M

TABLICA 18 – UDALJENOST (U NAUT. MILJAMA) PO VREMENU I BRZINI ZVUKA

KROZ VODU

Tablica daje udaljenost od izvora zvuka u nautickim miljama s tacnoscu od 0.01 milje. Izracunata je poformuli:

d(M) =brzina zvuka kroz vodu (m/sek)

1852× vreme (sek)

Elementi za ulazak u tablicu su brzina zvuka kroz vodu u m/sek i vreme u sekundama. Kako brzina zvukakroz vodu zavisi od salaniteta i temperature vode, kao i od dubine na kojoj se nalazi izvor zvuka, ovaj elemenattreba uzeti iz tablice 71 i popravlti ga za dubinu podatkom iz tablice 72.

Primer: Odrediti ualjenost od izvora zvuka ako je vreme prolaza zvuka od izvora do posmatraca t = 3m 27s,a brzina zvuka kroz vodu uzeta iz tablice 71 b = 1508 m/sek.

Iz tablice vadimo:

za t = 1m . . . d = 48.60 +48.92− 48.60

10· 8 = 48.86 M

za t = 27s . . . d = 21.87 +22.01− 21.87

10· 8 = 21.98 M


daljom interpolacijom dobijamo:

za t = 3m 27s . . . d = 48.86 · 3 + 21.98 = 146.58 + 21.98 = 168.56 M

TABLICA 19 – POPRAVKA GRESKE ZIRO-KOMPASA (θz) – GRESKA VOZNJE

Tablica daje vrednost greske ziro-kompasa u zavisnosti od brzine broda i kursa plovljenja za ziro-kompasekoji nemaju korektor za automatsko ispravljanje greske voznje. Izracunata je po formuli:

tan θz =b · cos Kp

bz · cos ϕ

gde je b = brzina broda u cvorovima,bz = brzina kretanja tacke na ekvatoru (oko 901 cv),Kp = pravi kurs broda.Argumenti za ulazak u tablicu su geografska sirina, kurs i brzina broda. Predznak devijacije (θz) odre -duje

se prema kvadrantu plovljenja po sledecoj shemi:Proracunavanje Kp, odnosno Kz vrsi se po sledecem obrascu:

Kp = Kz + (±θz)

Primer: Na geografskoj sirini ϕ = 40 N brod plovi brzinom od b = 15 cv u kursu po ziro-kompasuKz = 142. Naci kurs pravi (Kp)!

Kz = 142

θz = +0.9

Kp = 142.9

TABLICA 20 – ISPRAVKA KURSA BRODA U STRUJI

Tablica daje vrednost ugla zanosenja za plovidbu u struji kad su poznati kurs preko dna (Kpd), brzimabroda, smer i brzina struje.

Argumenti za ulazak u tablicu su: odnos izme -du brzine struje i brzine broda

(bs

b

)i ugao inklinacije smera

struje prema kursu broda preko dna. Za me -duvrednosti vrsi se interpolacija.

Primer: Brod vozi brzinom 22 cv. Treba da sledi kurs preko dna Kpd = 242; struja ima smer 170 i brzinu6 cv. Treba naci kojim kursom kroz vodu brod treba da vozi da bi sledio navedeni kurs preko dna!

bs

b=

622

= 0.27

Inklinacija smera struje prema kursu preko dna je 242 − 170 = 72. Posto je smer struje manji, zanos jeu levo, tj. + (plus).

Iz tablice za argumente 0.27 i 72 dobijamo:

Za = 13.6 +0.7 · 2

10+

2.8 · 25

= 13.6 + 0.1 + 1.1 = 14.8

Kpv se racuna po obrascu . . . Kpv = Kpd± Za

(−Za u levo

+Za u desno

)

Kpv = 242 + 14.8 = 256.8 = 257


TABLICA 21 – ISPRAVKA BRZINE BRODA U STRUJI

Tablica daje brzinu broda preko dna za brzinu broda kroz vodu od 10 cv. Za zadanu brzinu broda krozvodu treba dobijenu vrednost iz tablice mnoziti s tom brzinom podeljenom sa 10.

Argumenti za ulazak u tablicu su: odnos izme -du brzine struje i brzine broda

(bs

b

)i ugao inklinacije

izme -du smera struje prema kursu broda preko dna. Za me -duvrednosti vrsi se interpolacija.

Primer: Brod vozi brzinom kroz vodu bv = 22 cv i u kursu preko dna Kpd = 242; struja ima smer 170 ibrzinu 6 cvorova. Treba naci brzinu preko dna kojom brod plovi!

bs

b=

622

= 0.27 Inklinacija = 242 − 170 = 72

Iz tablice za argumente 0.27 i 72 dobijamo:

Brzina broda preko dna za 10 cv brzine kroz vodu = 10.6− 0.5 · 210

= 10.6− 0.1 = 10.5

Brzina preko dna bpd = 10.5× 2.2 = 23.1 cv

TABLICA 22 – UPORE-DIVANJE BRZINA

Tablica daje odnos brzina izrazenih u m/sek, m/min, km/cas i cvorovima. Podeljena je u tri dela: u prvomdelu je osnova m/sek i m/min, u drugom delu km/cas, a u trecem cvorovi (M/cas). Za me -duvrednosti vrsi seinterpolacija:

Primeri:a) Izraziti u cvorovima brzinu b = 15.7 km/cas

15.7 km/cas = 8.10 +0.54 · 7

10= 8.10 + 0.38 = 8.48 cv

b) Izraziti u cvorovima brzinu b = 5.2 m/sek

5.2 m/sek = 10.11 cv

c) Izraziti u m/min brzinu b = 3.7 km/cas

3.7 km/cas = 50.0 +16.7 · 7

10= 50.0 + 11.69 = 61.69 m/min

d) Izraziti u km/cas brzinu b = 23 cv

23 cv = 42.60 km/cas

TABLICA 23 – POPRAVKA ORTODROMSKOG AZIMUTA ZA VELIKE UDALJENOSTI

Tablica daje vrednosti popravki (polukonvergencije meridijana) za pretvaranje ortodromskih radio-azimutau loksodromske i podatke za ucrtavanje ortodrome na pomorsku kartu u Merkatorovoj projekciji u slucaju velikihudaljenosti. Izracunata je po formuli:


c

2=

(12· sin ϕs − 1

12· ∆ϕM · arc 1 +

116· sin ϕs · cos ϕs ·∆ϕ2

M · arc21)·∆λ+

+124· sin ϕs · cos2 ϕs ·∆λ3 · arc21

gde jec

2= ortodromska popravka u stepenima (polukonvergencija meridijana) ;

ϕs = srednja sirina izme -du pozicije broda i pozicije radio-fara, odnosno pozicije polaska i pozicije dolaska;∆ϕM = razlika Merkatorovih sirina izme -du pozicije broda i pazicije radio-fara, odnosno pozicije polaska i

pozicije dolaska;∆λ = razlika duzine izme -du pozicije broda i pozicije radio-fara, odnosno pozicije polaska i pozicije dolaska.Ako se prvi deo formule (u maloj zagradi) oznaci koeficijentom A, a drugi deo clanom B, formula popravke

se dobija u obliku:

c

2= A ·∆λ + B

Tablica se sastoji od dva dela: u prvom delu nazvanom koeficijent A ulazni argumenti su ϕ1 i ϕ2, a udrugom delu nazvanom clan B ulazni argumenti su ∆λ i ϕs. Sirine i razlike duzine date su s intervalom od 5.Za me -duvrednosti koeficijent A i clan B dobijaju se interpolacijom.

Ispod prvog dela tablice (koeficijenta A) u vidu tabelarnog pregleda data su pravila za predznake popravke.Frilikom odre -divanja predznaka treba imati na umu da je ortodroma na Merkatorovoj karti kriva linija ispupcenaprema blizem polu. Kad su ϕ1 i ϕ2 raznoimeni, vrednost popravke ima obrnut predznak od onoga kako je toprikazano u tablici ”Pravila za predznake”.

Plovidba po ortodromi (luku velikog kruga), kao so je poznabo, vrsi se po izlomljenoj liniji ciji delovipredstavljaju odsecke loksodroma opisanih oko ortodrome ili upisane u ortodromi. Nanosenje ortodrome naMerkatorovu kartu koriscenjem ortodromske popravke vrsi se sledecim postupkom:

1. Na karti se pravom linijom spoje pozicija polaska (P1) i pozicija dolaska (Pn).

2. Pomocu tablice izracuna se ortodromska popravka( c

2

)

3. Izracuna se pocetni pravac ortodrome u tacki P1 koji je odre -den azimutom ortodromskim ωo = ωl +c

2,

gde je ωl pravac loksodrome od tacke P1 na tacku Pn.4. Povuce se prvi odsecak ortodrome u obliku prave linije pod azimutom ortodromskim ωo1, i na tom

pravcu odmeri 200 do 300 milja udaljenosti (dobije se P2).5. Za tacku P2 ponavlja se isti postupak kao i za tacku P1, tj. spoji se tacka P2 sa Pn i dobije ωl2, koji

se pomocu novoizrcunate popravke iz tablice pretvori u ωo2. Iz tacke P2 povlaci se novi odsecak ortodrome poistom postupku i tako dalje redom sve dok se do -de do tacke Pn.

Primer 1: (Pretvaranje orbodromskog radio-azimuta u loksodromski)Sa zbirne pozicije ϕ = 44.0 N, λ = 19.0 W radioaniometrom dobijen je ortodromski radio-azimut ωo = 66

na radio-far koji se nalazi na poziciji ϕ = 48.5 N, λ = 4.5 W. Naci azimut loksodromski (ωl)!Iz Tablice ”Koeficijent A” s argumentima ϕ = 40.0 N i ϕ2 = 48.5 N nalazimo:

A = 0.328 +0.006

5× 3.5 = 0.328 + 0.004 = 0.332

s argumentima ϕ1 = 45.0 N i ϕ2 = 48.5 N

A = 0.345 +0.004

5× 3.5 = 0.345 + 0.003 = 0.358

daljom interpolacijom za ϕ1 = 44.0 N i ϕ2 = 48.5 N dobijamo:

A = 0.332 +0.026

5× 4 = 0.332 + 0.020 = 0.352

Iz tablice ”Clan B” s argumentima ∆λ = 14.5 i ϕs = 46.3 . . . B = 0.0

Ortodromska popravka po formulic

2= A ·∆λ + B

c

2= 0.352 · 14.4 + 0.0 = 5.1

Popravka ima pmedznak + jer su obe sirine ϕ1 i ϕ2 na severnoj hemisferi, a azimut je izmedu 0 i 180.


ωl = ωo +c

2= 66.0 + 5.1 = 71.1

Primer 2: (Nanosenje ortodrome na pomorsku kartu)Naneti na pomorsku kartu ortodromu za plovidbu od tacke ϕ = 49.0 N, λ = 7.0 W do tacke ϕ = 46.5 N,

λ = 50.0 W. Azimut loksodromski od tacke P1 na tacku Pn . . . ωl1 = 265.0.S argumentima ϕ1 = 49.0, ϕn = 46.5, ϕs = 47.8 i ∆λ = 43.0

c

2= 0.376× 43.0 + 0.4 = 16.6 (predznak + prema pravilima)

ωo1 = ωl1 +c

2= 265.0 + 16.6 = 281.6

U tacki P1 nanese se prvi odsecak ortodrome u pravcu ωo1 = 281.6 za 300 milja i dobije na karti tacka P2

ϕ = 50.0 N, λ = 14.0 W i azimut iz ove tacke na tacku Pn . . . ωl2 = 261.2

c

2= 0.380× 36.0 + 0.2 = 13.9

ωo2 = ωl2 +c

2= 261.2 + 13.9 = 275.1

U tacki P2 nanese se drugi odsecak ortodrome u pravcu ωo2 = 275.1 za 300 milja i dalje postupa na istinacin dok se nanese citava ortodroma od P1 do Pn nanoseci dalje odsecke ortodrome duzine po 300 milja.

TABLICA 24 – POPRAVKA ORTODROMSKOG AZIMUTA ZA MALE UDALJENOSTI

(POLUKONVERGENCIJA MERIDIJANA)

Tablica daje vrednost popravke (polukonvergencije meridijana) za pretvaranje ortodromskih azimuta uloksodromske u slucaju malih udaljenosti. Izracunata je po formuli:

c

2=

∆λ

2· sin ϕs

gde jec

2= ortodromska popravka (polukonvergencija meridijana);

∆λ = razlika geografske duzine izme -du pozicije broda i pozicije radio-fara.ϕs = srednja sirina izne -du pozicije broda i pozicije radio-fara.Predznak popravke se odre -duje po istoj tablici ”Pravila za predznake” koja vazi i za tablicu 23 ili se za

svaki slucaj nacrta skica s pribliznim pozicijama broda i radio-fara, te tako odredi predznak popravke.

Primer 1: S broda na zbirnoj poziciji PZ

ϕ = 49 30′ Nλ = 11 05′ W

smeran je radio-far Ouessant

PRF

ϕ = 42 27.6′ Nλ = 5′ 07.8 W

. Ortodromski radio-azimut ωo = 105.5

Iz tablice s argumentima ϕs = 46 i ∆λ = 5 57.2′ = 6.0 nalazimo

c

2= 2.1 (predznak + po tablici ”Pravila za predznake”)

ωl = ωo +c

2= 105.5 + 2.1 = 107.6

Primer 2: Na karti iz tacke P1

ϕ = 59 30′ Nλ = 27 30′ E

na tacku P2

ϕ = 59 32′ Nλ = 26 00′ E

ucrtan je azimut loksodromski

ωl = 280. Naci azimut ortodromski (ωo)!

Iz tablice s argumentima ϕs = 59 31′ N, ∆λ = 1 30′ W nalazimoc

2= 0.6 (predznak – po tablici ”Pravila

za predznake”, ali posto se ovde prelazi sa ωl na ωo, popravka se dodaje).


ωo = ωl +c

2= 280 + 0.6 = 280.6

TABLICA 25 – ELEMENTI MANEVRISANJA (V IR, BP , V IP)

Ako brod manevrise u odnosu na neku nepokretnu tacku, tada njegovo kretanje mozemo rastaviti na dvekomponente: ∆x – u pravcu pocetnog smera na nepokretnu tacku i ∆y – u pravcu normalnom na pocetni smer.Pretpostavimo da ce se u toku manevrisanja smer promeniti za velicinu ugla Θ. Ta povecanja uzeta za jedinicuvremena obelezavamo skracenicama V IR, BP i V IP .

V IR – velicina izmene rastojanjaBP – bocno pomeranjeV IP – velicina izmene pravca– V IR je velicina izmene rastojanja do objekta (cilja) u jedinici vremena. Racunata je po formuli:

V IR = −16· b · cos q

gde je b = brzina broda u cvorovima,

q = kursni ugao manevrisuceg broda– BP je pomeranje po pravcu normalnom na pocetni smer (bocno pomeranje) u jedinci vremena. Racunato

je po formuli:

BP =16· b · sin q

– V IP je velicina izmene smera u jedinici vremena izrazena u stepenima. Racunata je po formuli:

sin V IP =16· b · sin q

x=

BP

x

gde je x = rastojanje broda do objekta (cilja) u kablovima.Tablica se sastoji od tri dela, i to: a) V IR, b) BP i c) V IP za koje su ulazni argumenti dati u krajnjim

stupcima i gornjem redu. Trazene vrednosti se nalaze u preseku zadatih argumenata.Pri koriscenju tablica treba se pridrzavati sledecih pravila:– Za kursne uglove od O do 90 V IR je negativan (priblizavanje) i dobija predznak minus (−), a za

kursne uglove od 90 do 180 V IR je pozitivan (udaljavanje) i dobija predznak plus (+).– Za kursne uglove preko desnog boka broda BP je pozitivan i dobija predznak plus (+), a za kursne

uglove preko levog boka broda BP je negativan i dobija predznak minus (−).– Ako je BP veci od 5 kablova, tada je za dobijanje vrednosti V IP -a u tablici 25 a) potrebno BP i x

podeliti sa dva i tek tada traziti V IP . V IP ima isti predznak kao i BP .Za istovremeno manevrisanje dva broda ukupni V IR je jednak algebarskom zbiru V IR-a svakog broda, a

tako isto ukupni BP je jednak algebarskom zbiru bocnih pomeranja svakoga broda.

TABLICA 26 – REDUKOVANJE IZMERENE DUBINE

Tablica daje ispravku visine vode u metrima za bilo koje vreme i za bilo koje mesto ako su poznata vremenanastupa i visine visoke i niske vode. Upotrebljava se za resavanje dva problema:

a) odre -divanje visine vode u bilo kom casu,b) redukovanje izmerene dubine na nivo karte.Za resavanje ovih problema prvo se iz tablica plime i oseke (Tide Tables) izvade vremena i visine visoke i

niske vade, od kojih jedno pre, a drugo posle zadatog vremena za koje se trazi visina vode, odnosno za koje jeizmerena dubina. Zatim se izracunaju razlike izva -denih vremena i visina i razlika izme -du zadatog vremena (t) i


blizeg vremena visoke ili niske vode (∆t). U gornji deo tablice se ulazi levo s argumentom: amplituda morskihmena po vremenu (∆T ) i u tom istom redu ide se desno dok se na -de najbliza vrednost ∆t (koja predstavljarazliku izme -du casa visoke ili niske vode do vremena za koje se racuna ili rcdukuje dubina). U donjem delutablice, u produzenju vertikalne kolone odre -dene sa ∆t, u visini broja koji oznacava amplitudu morskih mena povisini (∆A) na -de se vrednost za koju treba ispraviti visinu visoke vode kako bi se dobila visina vode ili dubinaza zadato vreme.

Primer 1: Koja ce visina vode biti na sidristu u 10h 30m na izobati od 18.6 m ako su za doticni dan na -deniu tablicama plime i oseke (Tide Tables) za tu luku sledeci podaci?

1. tvv = 8h 14m . . . Visina visoke vode Vlvv = 6.8 m

1. tnv = 14h 32m . . . Visina niske vode Vlnv = 0.5 m

Resenje:

1. tvv = 8h 14m

1. tnv = 14h 32m

∆T = 6h 18m

. . .

. . .

Vlvv = 6.8 m

Vlnv = 0.5 m

∆A = 6.3 m

1. tvv = 8h 14m

t = 10h 30m

∆t = 2h 16m

Dubina na izobati = 18.6 m

Vlvv = 6.8 m

Dubina Vvv u t = 8h 14m = 25.4 m

−ispravka = −1.9 m (iz NT-26)

Visina vode (dubina) u t = 10h 30m = 23.5 m

Primer 2: Na nekom sidristu u 6h 50m izmerena je dubina od 26.7 m. Ovu dubinu treba redukovati nanivo karte. Za doticni dan, za to sidriste na -deni su u tablicama plime i oseke (Tide Tables) sledeci podaci:

1. tvv = 2h 17m

1. tnv = 8h 43m

∆T = 6h 26m

. . .

. . .

Vlvv = 5.1 m

Vlnv = 0.3 m

∆A = 4.8 m

1. tnv = 8h 43m

t = 6h 50m

∆t = 1h 53m

Izmerena dubina = 26.7 m

−ispravka = −1.0 m (iz NT-26)

Dubina = 25.7 m

−Vlnv = −0.3 m

Dubina na nivou karte = 254.4 m

B – O B J A S N J E N J A

TABLICA ZA ASTRONOMSKU NAVIGACIJU

TABLICA 27 – I POPRAVKA ZA SUNCE, NEKRETNICE I PLANETE

Ukupna popravka visine obuhvata popravku za depresiju morskog horizonta, zemaljsku refrakciju, nebeskuparalaksu i za veca nebeska tela prividni radijus. Izrazava se formulom:

ku = −dep− ρ + π ± r

gde je dep = depresija morskog horizonta,

ρ = zemaljska refrakcija,

π = nebeska paralaksa

r = prividni radijusPri ispravljanju izmerene visine Sunca i Meseca dolaze u obzir sve navedene popravke, za planete depresija,

refrakcija i paralaksa, a za zvezde samo depresija i refrakcija.Tablica daje popravku visine Sunca za refrakciju, paralaksu i prividni radijus (r = 16′), a za zvezde samo

refrakciju, jer, s obzirom na ogromne udaljenosti do zvezda, popravke za paralaksu i radijus ne dolaze u obzir.Argument za ulazak u tablicu je opazena (izmerena) visina. Ukupna popravka za Sunce se uvek dodaje izmerenojvisini, a popravka za zvezde se uvek oduzima od izmerene visine. Ove popravke oznacene su u tablicama sa I.

Primeri za potpuno ispravljanje visina Sunca, zvezda i planeta dati su posle uputstva za tablicu 30.

TABLICA 28 – II POPRAVKA ZA VISINU OKA

Tablica daje depresiju (dubinu horizonta). Argument za ulazak u tablicu je visina oka iznad morskepovrsine. Depresija se uvek oduzima od izmerene visine nebeskih tela. Ova popravka je oznacena sa II.

TABLICA 29 – III POPRAVKA ZA VISINU PLANETA S OBZIROM NA PARALAKSU

Tablica daje popravku izmerene visine planeta s obzinom na paralaksu. Ulazni argumenti su opazena(izmerena) visina (V i) planete i horizontska paralaksa (πh), pomocu kojih se dobija visinska paralaksa (πv).Popravka se uvek dodaje izmerenoj visini. Popravka je oznacena sa III.

TABLICA 30 – III POPRAVKA ZBOG PROMENE RADIJUSA SUNCA

U tablici 27 za Sunce uzet je u obzir srednji prividni radijus Sunca (r = 16′), a ova tablica daje promenevrednosti prividnog radijusa s obzimm na promenu udaljenosti Sunca od Zemlje u razna doba godine. Argumentza ulazak u tablicu je datum posmatranja. S obzirom na male dnevne promene prividnog radijusa u tablici su


unesene promene za prvu i drugu polovinu svakog meseca. Na dnu tablice dato je objasnjenje kako trebapostupiti kad je posmatran gornji rub Sunca. Ova popravka je oznacena sa III.

PRIMERI ZA POTPUNO ISPRAVLJANJE VISINE SUNCA, ZVEZDA i PLANETA

Primer 1: 14. marta 1968. godine izmerena je visina Sunca (donji rub) V¯ = 32.9′; indeksna greskaki = +2.7′; visina oka Voka = 7.5 m. Naci pravu visinu!

V¯ = 15 32.9′

ki = + 2.7′

V i = 15 35.6′

ku = + 7.9′

V p = 15 43.5′

I = +12.7′ . . . iz NT – 27

II = − 4.9′ . . . iz NT – 28

III = + 0.1′ . . . iz NT – 30

ku = + 7.9′

Primer 2: Izmerena visina zvezde Aldebaran V? = 37 25.9′; ki = −0.7′; Voka = 5 m.

V? = 37 25.9′

ki = − 0.7′

V i = 37 25.2′

ku = − 5.2′

V p = 37 20.0′

I = −1.3′ . . . iz NT – 27

II = −3.9′ . . . iz NT – 28

ku = −5.2′

Primer 3: 21. juna 1968. godine izmerena je visina Jupitera V = 23 47.3′; ki = +0.4′; Voka = 10 m;πh = 0.0′

V = 23 47.3′

ki = + 0.4′

V i = 23 47.7′

ku = − 7.8′

V p = 23 39.9′

I = −2.2′ . . . iz NT – 27

II = −5.6′ . . . iz NT – 28

III = +0.0′ . . . iz NT – 29

ku = −7.8′

TABLICA 31 – UKUPNA POPRAVKA MESECEVE DONJE (GORNJE) IVICE

ZA VISINU OKA 0 METARA

Tablica daje ukupnu korekturu za visinu Meseca. Prve dve stranice ove tablice daju ukupnu popravkuvisine Meseca kad je posmatrana donja ivica Meseca, a druge dve stranice kad je posmatrana gornja ivicaMeseca. Tablica (ukupna popravka) je izracunata za visinu oka od 0 m, a na dnu tablice data je popravkaza stvarnu visinu oka (popravka za depresiju). Argumenti za ulazak u tablicu su opazena (izmerena) visinadonje ili gornje Meseceve ivice i horizontska paralaksa (πh). U prvom delu svake stranice argument horizontskaparalaksa data je na okrugli broj minuta, a u drugom delu pod ”Proporcionalni delovi” za preostale desetinehorizontske paralakse.

Primer: 2. aprila 1968. godine u Ts = 02h 00m 00s izmerena je visina Meseca (donja ivica) V M = 55 20.0′;ki = +0.5′; Voka = 11 m; horizontska paralaksa πh = 54.1′


V M = 55 20.0′

ki = + 0.5′

V i = 55 20.5′

ku = + 39.0′

V p = 55 59.5′

I = +45.0′

prop. d. = − 0.1′

II = − 5.9′

ku = +39.0′

TABLICA 32 – UKUPNA POPRAVKA VISINE SUNCA I ZVEZDA IZMERENE

LIBELNIM SEKSTANTOM

Tablica daje ukupnu popravku visine Sunca i zvezda izmerenih libelnim sekstantom. Argument za ulazaku tablicu je izmerena visina (ispravljena za indeksnu gresku sekstanta). U ukupnoj popravci obuhvacene supopravke za refrakciju i paralaksu. Kad se radi libelnim sekstantom, druge popravke ne dolaze u obzir.

Primer 1: Visina Sunca izmerena libelnim sekstantom Vª = 25 10.0′; ki = −1.5′

Vª = 25 10.0′

ki = − 1.5′

V i = 25 08.5′

ku = − 1.9′

V p = 25 06.6′. . . iz NT – 32

Primer 2: Visina zvezde izmerena libelnim sekstantom V? = 43 21.0′; ki = +1.1′

V? = 43 21.0′

ki = + 1.1′

V i = 43 22.1′

ku = − 1.1′

V p = 43 21.0′. . . iz NT – 32

TABLICA 33 – UKUPNA POPRAVKA VISINE MESECA IZMERENE LIBELNIM SEKSTANTOM

Tablica daje ukupnu popravku visine Meseca izmerene libelnim sekstantom. Argument za ulazak u tablicuje izmerena visina (ispravljena s indeksnom greskom sekstanta) i horizontska paralaksa Meseca. U ukupnojpopravci obuhvacene su popravke za refrakciju i paralaksu.

Primer: 21. aprila 1968. godine visina Meseca izmerena libelnim sekstantom V M = 54 30.0′; ki = −1.9′;horizontska paralaksa πh = 57.0′

V M = 54 30.0′

ki = − 1.9′

V i = 54 28.1′

ku = + 32.4′

V p = 55 00.5′. . . iz NT – 33


TABLICA 34 – SREDNJA REFRAKCIJA ZA TEMPERATURU 10 C I BAROMETARSKI

PRITISAK 760 mm

Tablica daje refrakciju za barometarski pritisak od 760 mm i temperaturu vazduha +10 C. Koristi se kadse izmerene visine nebeskih tela ispravljaju pojedinacno za svaku popravku. Ulazni argument je prividna visina.Dobijenu vrednost refrakcije treba ispraviti za temperaturu i barometarski pritisak podacima iz tablice 35.

TABLICA 35 – POPRAVKA SREDNJE REFRAKCIJE ZA TEMPERATURU I BAROMETARSKI

PRITISAK

Tablica daje popravku srednje refrakcije za temperaturu (gornji deo tablice) i barometarski pritisak (donjideo tablice) koji se odnose na stanje atmosfere prilikom posmatranja. Argumenti za ulazak u tablicu su:temperatura vazduha u stepenima Celzijusa, za gornji deo tablice, a barometarski pritisak u milimetrima, zadonji deo tablice, i srednja refrakcija izva -dena iz tablice 34. Ispravljena refrakcija se uvek oduzima od izmerenevisine.

Primer: Izmerena je visina Sunca V¯ = 25 25.6′; temperatura vazduha +22 C, barometarski pritisak772 mm. Odredi refrakciju!

Srednja refrakcija . . .

Popravka ρsr za T = +22 C . . .

Popravka ρsr za B = 772 mm . . .

ρsr = −2.1′

= −0.1′

= 0.0′

ρ¯ = −2.2′

. . . iz NT – 34

. . . iz NT – 35 gore

. . . iz NT – 35 dole

TABLICA 36 – SREDNJA DUBINA HORIZONTA ZA OBALSKI HORIZONT

Tablica daje vrednost depresije kad se visina nebeskog tela meri na obalski horizont. Izracunata je poformuli:

depob = 3438Voka

d+ 0.00022 d

gde je depob = depresija na obalski horizont

Voka = visina oka u metrima

d = udaljenost od obale (kopna)Argumenti za ulazak u tablicu su visina oka u metrima (u prvoj vertikalnoj koloni) ili u stopama (u

poslednjoj vertikalnoj koloni) i udaljenost obale u nautickim miljama (u prvom horizontalnom redu) ili stotinamametara (u poslednjem horizontalnom redu).

Primer: 21. januara 1968. godine izmerena je visina Sunca V¯ = 23 12.0′; ki = +2.2′; Voka = 11 m;udaljenost do obale d = 2 m

V¯ = 23 12.0′

ki = + 2.2′

V i = 23 14.2′

ku = + 3.2′

V p = 23 17.4′

I = +13.9′ iz NT – 27

II = . . . ne uzima se iz NT – 28

III = + 0.3′ iz NT – 30

depob = −11.0′ iz NT – 36

ku = + 3.2′


TABLICA 37 – ABC TABLICE

Izracunate su na osnovu kotangensovog obrasca za kosougli sferni trougao koji povezuje cetiri susednaelementa u trouglu. U astronomsko-nautickom trouglu resavaju element azimut (ω) uz poznavanje vrednostigeografske sirine (ϕ) zbirne (izabrane) pozicije, mesnog casovnog ugla (s) i deklinacije (δ) po formuli:

cotg ω sec ϕ︸︷︷︸C

==

− tan ϕ cotg s︸︷︷︸A

++

tan δ cosec s︸︷︷︸B

Tablice se sastoje od tri dela, od kojih svaki deo resava jedan deo navedene formule, i to:I deo tablica A daje vrednost A = − tan ϕ cotg s

II deo tablica B daje vrednost B = tan δ cosec s

III deo tablica C daje vrednost C = cotg ω sec ϕVrednosti A i B se algerbarski sabiraju i dobija se vrednost C.Zamenom elemenata u astronomsko-nautickom trouglu mogu se resavati i drugi elementi osim aziamuta.

Tako se u racunu identifikacije zvezda mogu resiti elementi: mesni casovni ugao (s) i deklinacija zvezde (δ?); au okeanskoj plovidbi (plovidbi po ortodromi) kurs pocetni (Kpc) ako se elementi astranomsko-nautickog trouglazamene s elementima kosouglog sfernog trougla na zemljinoj sferi.

1. Izracunavanje azimuta nebeskog tela.

Argumenti za ulazak u tablicu A su: geografska sirina (ϕ) i mesni casovni ugao (s); u tablicu B deklinacijanebeskog tela (δ) i mesni casovni ugao; u tablicu C geografska sirina i algebarski zbir A + B = C.

Predznak vrednosti A zavisi od velicine casovnog ugla. Kad je casovni ugao od 0 do 90, u tablicu seulazi odozgo a vrednost A dobija predznak minus (−), a kad je casovni ugao od 90 d0 180, u tablicu seulazi odazdo a vrednost A dobija predznak plus (+). Radi upozorenja na ovo pravilo na dnu tablice A su datenapomene ”− kod ulaska gore” i ”+ kod ulaska dole”.

Predznak vrednosti B zavisi od toga da li su geografska sirina i deklinacija nebeskog tela istog predznaka(istomeni) ili razlicitog predznaka (raznoimeni). Na dnu tablice B date su napomene ”+ kad su ϕ i δ istoimeni”i ”− kad su ϕ i δ raznoimeni”.

Azimut se izracunava sledecim postupkom:– Odgovarajucim argumentima izvade se vrednosti A i B, algebarski saberu i time dobije vrednost C sa

svojim predznakom.– U tablici C, u vis.ni zadane geografske sirine, u horizontalnom redu trazi se vrednost C (najbliza, manja

ili veca).– Od na -denog broja prema gore u zaglavlju tablice ocita se azimut. Kada se u tablici ne na -de brojka koja

odgovara izracunatoj vrednosti C ili kad se geografska sirina mora uzeti na polovinu ili cetvrtinu stepena da sedobije tacniji azimut, treba vrsiti horizontalnu i (ili) vertikalnu interpolaciju.

U zaglavlju tablice u istoj vertikalnoj koloni nalaze se cetiri brojke koje predstavljaju cetiri azimuta u cetirikvadranta. Da bi se ocitao ogovarajuci azimut, treba odrediti kvadrant u kojem se on nalazi. Na dnu svake

stranice tablice C dato je uputstvo ”Cpozitivnonegativno

azimut istoimenraznoimen

sa ϕ”, cime se odrede dva kvadranta (I

i IV odnosno II i III) u kojima se azimut moze nalaziti. U kojem od dva kvadranta se nalazi trazeni azimutodre -duje se po casovnom uglu (E ili W od gornjeg meridijana).

Primer: 24. aprila 1968. godine na poziciji ϕ = 4230′ N i λ = 18 20.0′ E u Ts = 14s 00m 00h posmatranoje Sunce. Naci azimut (ωp)!

Iz nautickog godisnjaka . . . . . . . . . . . . S = 30 29.0′ . . . . . . . . . δ? = +13 00.2′

+λ = 18 20.0′

= 48 49.0′

Sa ϕ i s iz tablice A . . . . . . . . . . . . . . . . . . A = −0.79Sa δ i s iz tablice B . . . . . . . . . . . . . . . . . . B = +0.31

C = −0.48Sa ϕ i C iz tablice C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ωp = 250 (III kvadrant)


2. Identifikacija zvezda (poznati ϕ, ω i V ).

Treba naci mesni casovni ugao s i deklinaciju (δ?) i s ovim elementima u Nautickom godisnjaku identi-fikovati zvezdu.

Zamenom elemenata casovni ugao se na -de kao azimut, a deklinacija se dobije kao visina. U tablice seulazi sa:

ω . . . . . . . . . . . . . . . . . kao s

ϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . kao ϕ

V . . . . . . . . . . . . . . . . . . kao δ

Postupa se na sldeci nacin:– Istim postupkom kao za pronalazenje azimuta u prethodnoj tacki na -de se casovni ugao.– Na -denim casovnim uglom, azimutom i sirinom na -de se vrednost B.– Na -denim casovnim uglom i vrednosti B u tablici B prona -de se deklinacija.

Primer: ϕ = 17.2 N; ω = 77.1 ; V = 57.8.

sa ω (kao s) i ϕ . . . . . . . . . . . . . . A = −0.08sa ω (kao s) i V (kao δ) . . . . . B = +1.63

C = +1.55 . . . . . . iz tablice C

s = 38.0

sa ϕ i ω iz tablice C . . . . . . . . . . C = +0.24sa ϕ i s iz Tablice A . . . . . . . −A = ∓0.41

B = C −A = +0.65 . . . . . . iz tablice A

δ = +21.2

3. Pocetni ortodromski kurs (Kpc).

Poznate su koordinate tacke polaska i tacke dolaska. Prema tome, poznato je ϕ1, ϕ2 i ∆λ. Formula zaizracunavanje kursa pocetnog na osnovu cotangensovog obrasca za kosougli sferni trougao na zemljinoj sferiglasi:

cotg Kpc sec ϕ1︸︷︷︸C

==

− tan ϕ1 cotg∆λ︸︷︷︸A

++

tan ϕ2 cosec∆λ︸︷︷︸B

U tablicu se ulazi zamenjenim elementima:

∆λ . . . . . . . . . . . . . . . . . kao s

ϕ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . kao ϕ

ϕ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . kao δ

Kpc se na -de kao azimut.Za predznake vrednosti A i B vaze ista pravila kao i za va -denje azimuta, samo treba imati u vidu zamenjene

elemente, odnosno

A −A +

ako je∆λ

∆λ

<

>

90

90ako su ϕ1 i ϕ2

istoimeniraznoimeni

Postupak je isti kao za racunanje azimuta nebeskog tela.

Primer: P1

ϕ = 44 42.0′ Nλ = 05 17.0′ W

P2

ϕ = 47 12.0′ Nλ = 25 17.0′ W

∆λ = −20.0′

sa ∆λ (kao s) i ϕ1 iz tablice A . . . . . . . . . . . A = −2.72sa ∆λ (kao s) i ϕ2 iz tablice B . . . . . . . . . . . B = +3.16

C = +0.44 iz tablice C

Kpc = 287.3


Na isti nacin mogu se racunati kursovi izme -du me -dutacaka na ortodromi, s tim da se uvek umestokaordinata tacke polaska (P1) uzimaju koordinate one me -dutacke od koje se zeli naci sledeci kurs.

TABLICA 38 – AMPLITUDE NEBESKIH TELA

Tablica daje amplitude (luk po horizontu od tacke E do tacke pravog izlaza ili od tacke W do tacke pravogzalaza nebeskog tela) za bilo koje nebesko telo cija se deklinacija krece u granicama ±24, ali se upotrebljavajedino za Sunce, jer se Mesec u casu pravog izlaza ili zalaza nalazi vec ispod horizonta, a planete i zvezde sene mogu posmatrati kad su blizu horizonta zbog neprozirnosti atmosfere.

Pomocu amplitude odre -duje se azimut Sunca u casu pravog izlaza, odnosno pravog zalaza, koji sluziza kontrolu devijacije magnetskog kompasa ili za odre -divanje (ili kontrolu) greske ziro-kompasa. Sunce trebaposmatrati u casu kad se njegov donji rub nalazi otprilike za 3/4 promera iznad vidljivog horizonta. Tablica jeracunata po formuli:

sin A = sin δ sec ϕ

Argumenti za ulazak u tablicu su geografska sirina i deklinacija Sunca. U zaglavlju tablice dat je tabelarniprikaz postupka za izracunavanje vrednosti azimuta kad je pozitivna ili negativna deklinacija Sunca za caspravog izlaza ili pravag zalaza Sunca.

Primer 1: Na poziciji ϕ = 43.5 N, λ = 14.4 E odredi se devijacija magnetskog kompasa posmatranjemSunca u casu pravog izlaza ωk¯ = 116.0, var68 = −1.1.

Iz Nautickog godisnjaka . . . . . . . . . . . . δ¯ = −17 04.2′

Sa ϕ = 43.5 i δ = −17 . . . . . . . . . . . . A = 23.8 . . . . (iz NT – 37)

ωp¯ = 90 + A = 90 + 23.8 = 113.8

−ωk¯ = 116.0

ku = −2.2

−var68 = ∓1.1

θ = −1.1

Primer 2: Na poziciji ϕ = 37 55′ S, λ = 16 17′ W odredi se greska ziro-kompasa posmatranjem Suncau casu pravog zalaza, ωz = 298.

Iz Nautickog godisnjaka . . . . . . . . . . . . δ = +23 03.6′

Sa ϕ = 38 i δ = 23 . . . . . . . . . . . . . . . . A = 29.7 . . . . (iz NT – 37)

ωp¯ = 270 + A = 270 + 29.7 = 299.7

−ωk¯ = 298.0

θz = +1.7

TABLICA 39 – PROMENE VISINA NEBESKIH TELA ZA JEDNU MINUTU VREMENA

Tablica 39 sluzi da se izmerene visine nebeskih tela dovedu na isto vreme posmatranja (isti trenutakmerenja) kad je razlika u merenjima veca od 1 minute.

Izra -dena je za geografske sirine od 0 do 80 (od 0 do 20 svakih 5, od 20 do 60 svakih 2 i od 60 do80 svaki 1) i azimute od 0 do 360. U zaglavlju tablice u jednoj koloni su azimuti za sva cetiri kvadranta (od5 do 60 svakih 5 i od 60 do 90 svakih 10). Za me -duvrednosti sirine i azimuta potrebno je interpoliranje.

Tablica je izracunata formulom:


∆V = 15′ · sin ω · cosϕ

gde je ∆V promena visine u lunim minutama za jednu minutu vremena.Ako je izme -du merenja visine proslo vise od 1m, ukupna promena se dobije kad se promena za 1m pomnoizi

s vremenom proteklim izme -du dva merenja (T2 − T1) izrazenim u minutama i desetinama minuta. Promena jepozitivna za visine merene od izlaza do prolaza nebeskog tela kroz meridijan posmatraca, a negativna za visinemerene od prolaza kroz meridijan do zalaza nebeskog tela.

Primer: Odrediti promenu visine nebeskog tela za 4m 48s vremena na geografskoj sirini ϕ = 42 i azimutuω = 47

Iz tablice za promenu visine za jednu minutu, interpolirajuci za azimut imamo:

∆V = 7.9 +8.5− 7.9

5· 2 = 8.1′

za 4m 48s (4.8m) promena visine ce iznositi:

∆V(T1−T2) = 8.1 · 4.8 = 38.9′

TABLICA 40 – PROMENE VISINE NEBESKIH TELA ZA 10 SEKUNDI VREMENA

Tablica 40 sluzi da se izmerene visine nebeskih tela dovedu na isto vreme posmatranja (isti trenutakmerenja) kad je vremenska razlika u merenjima manja od 1 minute. Upotrebljava se na isti nacin kao i tablica39.

TABLICA 41 – VREME KOJE ODGOVARA PROMENI VISINE NEBESKOG TELA ZA 1′

Tablica 41 sluii da se izracuna vreme koje je potrebno da se visina nebeskog tijela izmeni za odre -denuvrednost u lucnim minutama. Ulazni argumenti su isti kao i za tablice 39 i 40.

Tablica je izracunata formulom:

t = 4 sec ϕ cosec ω

gde je ”t” vreme koje odgovara promeni visine nebeskog tela za 1′.Da se izracuna vreme koje je potrebno da se visina nebeskog tela promeni vise od 1′, vrednost koju daje

tablica treba pomnoziti s velicinom promene visine izrazenom u lucnim minutama.

Primer: Za koliko ce se vremena izmeniti visina nebeskog tela za 12′ na geografskoj sirini ϕ = 63 i azimutuω = 52

U tablici se na -de vreme koje odgovara promeni visine za 1′

t = 11.5s − 11.5− 10.85

· 2 = 11.2s

Za promenu visine od 12′ vreme iznosi:

t = 12 · 11.2 = 134.4s = 2m 14.4s


TABLICA 42 – CASOVNI UGAO I VISINA U PRVOM VERTIKALU ILI NAJVECOJ DIGRESIJI

Tablica daje casovni ugao i visinu u casu prolaza nebeskog tela kroz prvi vertikal i u momentu dostizanjanajvece digresije za geografske sirine do 80 i deklinacije do 24. Gornji deo tablice (iznad horizontalne izlomljenegranicne crte) daje casovni ugao i visinu u casu dostizanja najvece digresije. Tablica je racunata po formulama:

cos s = tan ϕ · cotg δ . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . sin V = sin ϕ cosec δ

Donji deo tablice (ispod horizontalne izlomljene granicne crte) daje casovni ugao i visinu u casu prolaza krozprvi vertikal. Tablica je racunata po formulama:

cos s = cotg ϕ · tan δ . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . sin V = cosec ϕ sin δ

Za oba dela tablice ulazni argumenti su geografska sirina i deklinacija.Nebesko telo prelazi kroz prvi vertikal (ω = 90) iznad horizonta kad su ϕ i δ istog predznaka i sve dok

je deklinacija manja od geografske sirine. Kad su ϕ i δ istoimeni, a deklinacija brojcano veca od geografskesirine, nebesko telo ne prolazi kroz prvi vertikal, ali moze doseci najvecu digresiju (π = 90). U oba slucajaazimut nebeskog tela se najsporije menja, a visina najbrze, pa su ovo najpogodniji momenti za proracun srednjegmesnog vremena po obrascu:

ts = tm∓ sEW

gde je ts = srednje mesno vreme prolaza kroz prvi vertikal (ili najvecu digresiju);

tm = srednje mesno vrijeme prolaza kroz gornji meridijan posmatraca;

s = casovni ugao u casu prolaza kroz prvi vertikal (ili najvecu digresiju).Osim toga, tablica se upotrebljava i za:– kontrolu devijacije (jer je promena ω najmanja) i– odredivanje kvadranta azimuta izracunatog po formuli:

sin ω = sin s · cos δ · sec V . Tu mogu nastati tri slucaja:a) kad su ϕ i δ raznoimeni, . . . azimut je raznoimen sa ϕ

b) kad su ϕ i δ istoimeni, a δ > ϕ, azimut je istoimen sa ϕ

c) kad su ϕ i δ istoimeni, a δ < ϕ, predznak azimuta odre -duje se prema sledecem:

zadano s > tablicnog

izmerena V < od tablicne

. . . . . . . ω istoimen sa ϕ

zadano s > tablicnog

izmerena V < od tablicne

. . . . . ω raznoimen sa ϕ

Napomena: Visina nebeskog tela u tablici je prava visina, prema tome i izmerenu visinu treba ispraviti upravu da bi se mogla upore -divati s tablicnom.

Primer 1: (Proracun vremena prolaza kroz prvi vertikal)Izracunati srednje mesno vreme prolaza Sunca kroz prvi istocni vertikal za dan 4. augusta 1968. godine

na poziciji ϕ = 36 04′ N, λ = 17 25′ EIz tablice sa ϕ = +36 . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . δ = +17.2 (u tablicu sa δ = +16)

s = 66.8 − 3.4 · 1220

= 66.8 − 2.0 = 64.8 = 4h 19m 12s

V = 28.0 +3.7 · 12

20= 28.0 + 2.2 = 30.2


tp = 12h 00m 00s

−λ = +1h 09m 40s

Tp = 10h 50m 20s

−e = ± 06m 00.0s

Ts = 10h 56m 20.0s

+λ = +1h 09m 40.0s

tm = 12h 06m 00.0s

−sE = 4h 19m 12.0s

ts = 07h 46m 48.0s

. . . . Iz Naut. godisnjaka

. . . . Iz Naut. godisnjaka . . . . . . . . . δ = +17 10.8′

popr. za ∆ = −7 = − 0.7′

δ¯ = +17 10.1′

Primer 2: (Odre -divanje kvadranta azimuta)s = 78; V r = 18.2; ϕ = 42 N; δ = +14; azimut izracunat po formuli sin ω = sin s cos δ sec V , ω = 87.3.Iz tablice sa ϕ = 42 i δ = 14

tablicno s = 74 < od zadane

tablicna V = 21 > od racunate

. . . . . . . . azimut istoimen sa ϕ

TABLICA 43 – FOPRAVKA VISINE NEBESKOG TELA ZA JEDNO VREME POSMATRANJA

Visine nebeskih tela mere se dok brod plovi. Da se postigne veca tacnost u poziciji broda na osnovu ovihvisina, potrebno je izmerene visine svesti na one visine koje bi bile izmerene kad bi brod stajao u jednoj tacci(na jednom zenitu) za vrijeme posmatranja.

Popravka za svo -denje visina nebeskih tela na jednu tacku (zenit) izraz ena je formulom:

∆VZ =b

60(T2 − T1) · cos(ω − L)

gde je ∆VZ = popravka za svo -denje visine na jednu tacku (zenit),

b = brzina broda u cvorovima,

T2 − T1 = razlika (vremenska) u posmatranjima u minutama,

(ω − L) ≈ q = kursni ugao na nebesko telo (preko levog ili desnog boka).Tablica daje velicinu promene visine nebeskog tela za 1 minutu vremena, a izracunata je po formuli:

∆V =b

60· cos q

Argumenti za ulazak u tablicu jesu: brzina broda (od 4 do 52 cv, svaka 2 cv) i kursni ugao (q) na nebeskotelo (od O do 180, svakih 2). Za me -duvrednosti je potrebno interpoliranje.

Da se izracuna popravka ∆VZ za svo -denje visina na jednu tacku (zenit), izvadi se iz tablice velicina promenevisine za 1 minutu vremena i pomnozi s razmakom vremena izme -du posmatranja prvog i drugog nebeskog tela(T2 − T1).

Za primenu utablicenih vrednosti vaze pravila o predznacima:1. Ako se visina svodi na trenutak posmatranja drugog nebeskog tela (naredni zenit), predznak popravke

je onaj koji se na -de u tablici.2. Ako se visina svodi na trenutak posmatranja prvog nebeskog tela (prethodni zenit), predznak popravke

je suprotan od onog u tablici.3. Kursni ugao racuna se na ono nebesko telo ciju visinu treba svesti na trenutak posmatranja drugog

nebeskog tela.

Primer: Izraunati popravku visine (∆VZ) za trenutak posmatranja drugog nebeskog tela za q = 38;b = 24 cv; T2 − T1 = 1.8m.


Za argumente b = 24 cv i q = 38 u tablici se na -de promena visine za jednu minutu . . . . . ∆V = 0, 32′

Popravka za (T2 − T1) = 1.8m . . . ∆VZ = (T2 − T1) · V = 1.8 · 0.32′ = +0, 6′

TABLICA 44 – IZRACUNAVANJE GEOGRAFSKE SIRINE I AZIMUTA POMOCU

BLIZUMERlDIJANSKE VISINE

Tablica je izra -dena prema obrascu sinusovog obrasca za astronomsko-nauticki trougao.

sin ω · cos v = sin s · cos δ

Svaka strana jednacine je proizvod jednog sinusa i jednog kosinusa, ssto ccini osnovu tabeliranja. Umnozaksinusa uglova u koloni ”s(ω)” sa kosinusima uglova u koloni ARGUMENT (u istoj visini) daje faktor ”F” uzaglavlju tablice.

Vrijednosti u koloni ”c” jesu korekture za deklinaciju i visinu.Promjena visine ”x” za vreme casovnog ugla (pretvorenog u vremenske minute) do prolaza nebeskog tela

kroz meridijan posmatraca (ili nakon prolaza kroz meridijan) dobija se formulom:

x =12s(m) · cos ϕ sin ω

Korekture imaju tri ulazna argumenta.

1. Odre -divanje geografske sirine pomocu blizumeridijanske visine

Da se dobije tacnija geografska ssirina, blizumeridijansku visinu treba ispraviti za promenu deklinacije ipromenu visine.

a) U kolonu ARGUMENT ulazi se zaokruzenim brojem stepeni deklinacije te u toj visini (horizontalno) aza dati casovni ugao (ili za najblizu tabeliranu vrednost) u susednoj koloni ”c” na -de se vrednost korekture zadeklinaciju.

b) U koloni ARGUMENT ulazi se zaokruzenim brojem stepeni visine te u toj visini a u koloni ”s(ω)” ukojoj se nasla korektura za deklinaciju u njenoj susednoj koloni ”c” na -de se korektura za visinu.

c) Nadene korekture za deklinaciju i visinu pod a) i b) dodaju se posmatranoj visini i dobije se korigovanavisina. Ova se odbije od 90 i dobije zenitna daljina. Kad su sirina i deklinacija istoimene a deklinacija brojnomanja od sirine, korekture pod a) i b) se odbijaju jedna od druge a ostatak dodaje posmatranoj visini i takodobije korigovana visina.

2. Odre -divanje azimuta

U koloni ARGUMENT sa deklinacijom (zaokruzenom na blizi broj stepeni) te u horizontalnom smeru ukolonama ”s(ω)” na -de se polovina casovnog ugla (ili najbliza tabelirana vrednost). U vertikalnoj koloni u kojojse nasla vrednost polovine casovnog ugla, a horizontalno u visini posmatrane visine ocita se azimut.

Primer: Geograf. sirina ϕ = 42 N, posmatrana visina V = 35 38′ S, mesni casovni ugao s = 4 00′ W,deklinacija δ = −12 32′

Naci geografsku sirinu i azimut.


δ = 13 . . . s = 04 06′ . . . c = 02′ . . . korektura deklinacije = 2′

V = 36 . . . s = 04 06′ . . . c = 06′ . . . korektura za visinu = 6′

posmatrana visina = 35 38′

korigovana visina = 35 45′

90 00′

zenitna daljina = 54 14′

deklinacija = −12 32′

geografska sirina = −41 42′

δ = 13 . . .12s = 02 03′ . V = 36 . azimut (iz tabl. 2 28′) . . . . = S 2.5 W

ω = 182.5

3. Redukcija blizumeridijanske visine (pomocu koje se racuna visina

Vrednost redukcije se na -de pomocu faktora ”F” i casovnog ugla (pretvorenog u vremenske minute):a) Da se na -de faktor F, ulazi se u kolonu ARGUMENT sa sirinom (zaokruzenom na najblizi broj stepeni) te

u toj visini (u horizontalnom smeru) u kolonama ”s(ω)” na -de se azimut, odnosno najbliza tabelirana vrednost.Zatim se sa vrha kolone u kojoj se nasao azimut uzme ”F”.

b) Mnozeci faktor ”F” sa brojem lucnih minuta casovnog ugla dobije se vrednost redukcije.

Primer: Isti podaci kao i u prethodnom primeru.(ϕ = 42, V = 35 38′ S, s = 4 00′ W, δ = −12 32′)

Sa ϕ = 42 te horizontalno ω = 2 28′ (najblizi tabelirani ω = 2 41′)

F = 0.035

F · s(u lucnim minutama) = 0.035 · 240 = 8′

Vrednost redukcije je jednaka zbiru korektura deklinacije i visine u prethodnom primeru, te je sirina dobijenapomocu blizumeridijanske visine ista . . . ϕ = 41 42′ N.

Napomena: Nije potrebna interpolacija za me -duvrednosti pojedinih argumenata, jer se u izracunavanjugeografske sirine trazi tacnost od jedne minute sto ova tablica daje bez ikakve interpolacije.

TABLICA 45,a – IDENTIFIKACIJA ZVEZDA

Tablice sluze za identifikaciju zvijezda.Pri odre -divanju pozicije broda posmatranjem zvezda obicno se biraju i identifikuju tri zvezde na me -du-

sobnoj pogodnoj udaljenosti. Te udaljenosti mere se sekstantom, redom izmedu 1. i 2., 2. i 3. te izme -du 1. i3. zvezde.

Tablica 45 daje me -duzvezdanu udaljenost dve zvezde s njihovm oznakom. Tablica 45 a daje na temeljutih oznaka njihova imena.

Primer: Me -duzvezdana udaljenost l1 = 60.3

U tablici 45 pod D i ?? nalazimo ”s” i ”w” i brojeve 1 i 4.Iz tablice 45a to su zvezde: Antares – Atair ili Sirrah – α PolarisMe -duzvezdana udaljenost l2 = 82.9

U tablici 45 pod D i ?? nalazimo ”s” i ”y” i 3 i ”c”.Iz tablice 45 a to su zvezde: Antares – Fomalhaut ili Achernar – BetelgueseKako je u prvom i trecem paru zastupljena jedna ista zvezda (Antares), to su izabrane zvezde:

ANTARES – ATAIR – FOMALHAUT


TABLICA 46 – PODACI ZA UCRTAVANJE UZASTOPNIH PRAVACA POZICIJA

Kod velikih visina i vecih udaljenosti izme -du verovatne pozicije (Pv) i preseka stajnica (tj. udaljenost Pvdo Pa na slici) treba imati na umu da se stajnica udaljava od kruznice pozicija i time prouzrokuje izvesnu greskuu pravoj pozicji Pa, te je potrebno, prema podacima iz ove tablice, uglom Θ i udaljenosti y ucrtati uzastopnepravce pozicija (uzastopne stajnice), u cijem preseku se dobije tacnija prava pozicija (Pp).

Argumenti za ulazak u tablicu su prava visina (V p) i udaljenos Ds kojima se izvadi udaljenost y i ugao Θ.U preseku stajnica (tacka Pa) ucrta se pravac pod uglom Θ od onog dela stajnice koji je oznacen kao

duzina Ds, pa prema azimutu nebeskog tela; smjer Θ priblizno ide prema nebeskom telu. Od pozicije Paodmeri se udaljenost y uzduz smera Θ, pa kroz tako dobijenu tacku ucrta normala na smer Θ, koja predstavljauzastopni pravac pozicija. Presek uzastopnih pravaca pozicija dve stajnice daje pravu poziciju (Pp), koja jetacnija i nalazi se blize preseku kruznica jednakih visina (kruznica pozicija).

Primer: Odredi elemente za ucrtavanje uzastopnih pravaca pozicija ako je V1 = 65, Ds1 = 42′, V2 = 77,Ds2 = 45′

Iz tablice dobijamo da je y1 = 0.6 M, Θ1 = 89 i y2 = 1.3 M, Θ2 = 87. Nacin ucrtavanja pravaca prikazanje na slici.

C – O B J A S N J E N J A

MATEMATICKIH TABLICA

TABLICA 47 – LOGARITMI PRIRODNIH BROJEVA

Va -denje logaritma (Iogaritmovanje). Tablica je podeljena na dva dela. Prvi, manji deo tablice dajedekadne logaritme brojeva od 1 do 100 s karakteristikom i mantisom, a drugi veci deo daje samo mantisedekadnih logaritama brojeva od 100 do 9999. U oba dela tablice mantise su date na pet decimala.

Prvi deo tablice moze se koristiti i za odre -divanje logaritama decimalnih brojeva s jednocifrenim i dvocif-renim decimalnim zavrsetkom. Prethodno treba odrediti karakteristiku zadanog decimalnog broja, a iz tabliceizvaditi pripadajucu mantisu.

Primeri: . . . . . . . . . . . log 6 = 0.77815log 51 = 1.70757

log 0.009 = 0.95424 − 3log 0.078 = 0.89209 − 2

Iz drugog veceg dela tablice na str. 129 do 143 logaritmi se vade tako da se prvo odredi karakteristikazadanog broja, a iz tablice izvadi mantisa. Karakteristika se odre -duje po sledecim pravilima:

– Za brojeve vece od 1 karakteristika je jednaka broju celih mesta zadanog broja umanjena za 1. Naprimer, log 436.32 ima karakteristiku 2, log 56798.48 ima karakteristiku 4 itd.

– Brojevi manji od 1 imaju negativnu karakteristiku jednaku broju nula koje zadani broj ima ispred i izadecimalne tacke. Negativna karakteristika pise se iza mantise. Na primer, broj 0.745 ima karakteristku 0 . . . −1,log 0.00563 ima karakteristiku 0 . . . − 3. Uopsteno, logaritam s negativnom karakteristikom predstavlja razlikudva broja, pa se prema potrebi negativna karakteristika moze odrediti dodajuci ili oduzimajuci istu velicinuispred decimalne tacke i u negativnoj karakteristici. Tako se npr., log 0.00456 = 0.65896 − 3 moze izraziti kao7.65896 − 10 ili 4.65896 − 7 i slicno.

Mantisa trocifrenog broja na -de se u tablici u prvoj vertikalnoj koloni pored zadanog broja pod brojem ”0”.Na primer, log 327 = 2.51455.

Mantisa cetvorocifrenog broja na -de se tako da se sa prve tri cifre u -de u vertikalnu kolonu pod ”Broj”, asa cetvrtom cifrom u odgovarajucu kolonu u zaglavlju ili dnu tablice. Na primer, log 5126 = 3.70978, log 49.49 =1.69452, log 0.1541 = 0.18780 − 1.

Mantisa petocifrenog broja na -de se interpolacijom koristeci tablicu proporcionalnih delova na desnomkraju svake stranice na sledeci nacin:

Prvo se izvadi mantisa za prve cetiri cifre zadanog broja kako je objasnjeno u prethodnom stavku, zatimse sa petom cifrom u -de u levi stubac tablice proporcionalnih delova (u visini na -dene mantise za prve cetiri cifrezadanog broja) i u desnom stupcu proporcionalnih delova na -de broj koji se dodaje na -denoj mantisi. Na primer,trazi se log broja 1.2746.

za 1.274 . . . . . . log = 0.10517Iz tablice proporcionalnih delova za petu cifru (6) . . . . . . = + 21

log 1.2746 = 0.10538

Mantisa sestocifrenog broja na -de se tako sto se prvo odredi mantisa za prvih pet cifara zadanog broja,zatim se sestom cifrom ponovo u -de u tablicu proporcionalnih delova (levi stubac). Na -dena vrednost u desnomstupcu proporcionalnih delova zaokruzi se na deseti deo i doda na -denoj mantisi za prvih pet cifara. Na primer,trazi se logaritam broja 32.6783.

za 32.67 . . . . . . . log = 1.51415Iz tablice proporcionalnih delova za petu cifru (8) . . . . . . . = 11Za sestu cifru (6) zaokruzenu na desetine . . . . . . . . . . . . . . . = 1

log 32.5786 = 1.51427


Sedma i dalje cifre u zadanom broju nemaju uticaja na mantise sa pet decimala, pa se zato va -denjelogaritma sedmocifrenog, osmocifrenog itd. ne objasnjavaju.

Odre -divanje broja koji pripada zadanom logaritmu (antilogaritmovanje). Da se iz zadanog logaritma odrediodgovarajuci broj, najpre se pomocu karakteristike logaritma odredi kakav je broj koji se trazi, tj. koliko imacelih mesta ili koliko ima nula iza decimalne tacke po sledecem:

– Ako je karakteristika logaritma pozitivna ili jednaka nuli, trazeni broj imace toliko celih mesta kolikoiznosi karakteristika uvecana za 1. Na primjer, logaritmu 2.58591 odgovara broj sa tri cela mesta ispred decimalnetacke.

– Ako je karakteristika negativna, onda trazeni broj nema celih mesta, nego na pocetku ima toliko nulakoliko iznosi njegova negativna karakteristika. Na primer, logaritmu 0.65254 − 2 odgovara broj sa dve nule napocetku broja (0.0), logaritmu 7.40569 − 10 odgovara broj sa tri nule na pocetku broja (0.00).

Dalji postupak za odre -divanje odgovarajuceg broja zadanog logaritma sastoji se u tome da se u tablicamana -de zadana mantisa ili njoj najbliza manja vrednost i prema njoj odredi broj po sledecem:

– Ako se u tablicama na -de ona mantisa koju ima zadani logaritam, prve tri cifre odgovarajuceg broja sena -du u koloni pod ”Broj”, a cetvrta cifra gore ili dole u zaglavlju tablice. Na primer, logaritmu 2.58591 odgovarabroj 385.4, logaritmu 0.93727 − 2 odgovara broj 0.08655.

– Ako se ne na -de mantisa zadanog broja nego najbliza manja, onda se prve cetiri cifre odgovarajucegbroja na -du na isti nacin kao i u prethodnom slucaju, a za pronalazenje pete cifre u -de sa razlikom izme -du zadanei na -dene mantise u desni stubac tablice proporcionalnih delova i iz levog stupca izvadi peta cifra. Na primer,logaritmu 1.65250 odgovara broj 44.926, logaritmu 0.38841 − 3 odgovara broj 0.0024457, logaritmu 6.42627 − 10odgovara broj 0.00026685.

TABLICA 48 – LOGARITMI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Tablica daje logaritme trigonometrijskih (goniometrijskih) funkcija uglova 0 do 90 za svaku minutupromene ugla sa mantisom na pet decimala.

Va -denje logaritma (logaritmovanje). Za va -denje logaritama trigonometrijskih funkcija uglova 0 do 45

u tablice se ulazi odozgo, a za zadane minute u prvu levu kolonu. Za uglove 45 do 90 u tablice se ulaziodozdo, a za zadane minute u poslednju vertikalnu kolonu. Svim logaritmima iz ove tablice dodaje se negativnakarakteristika −10.

U nautickim racunima uglovi su obicno dati u stepenima, minutama i desetinama minuta. Tablicaomogucava va -denje logaritama za desetine minuta ili lucne sekunde vrsenjem interpolacija pomocu jednomin-

utnih (tablicnih) razlika koje su u tablicama unesene za dve reciprocne funkcije u kolonama pod Diff1′

Interpolacija se vrsi tako da se broj desetina minuta mnozi jednominutnom (tablicnom) razlikom i delisa 10 te dobijena vrednost zaokruzi na celi broj i doda na -denom logaritmu za stepene i minute kod rastucihfunkcija (sinusa, tangensa i sekansa) a oduzme kod padajucih funkcija (kosinusa, kotangensa i kosekansa). Kadje ugao zadan u sekundama, postupak je isti, samo sto se proizvod broja sekunda i jednominutne (tablicne)razlike mora deliti sa 60.

Ako je ugao zadan u vremenskoj meri, treba ga prvo pretvoriti u lucnu meru.


Primeri:

log sin 15 29.7′ = ?

log sin 15 29′ = 9.42644− 10

7 · 46 : 10 = + 32

log sin 15 29.7′ = 9.42676− 10

log cos 37 18.8′ = ?

log cos 37 18′ = 9.90063− 10

8 · 10 : 10 = − 8

log cos 37 18.8′ = 9.90055− 10

log tan 71 12.3′ = ?

log tan 71 12′ = 10.46798− 10

3 · 41 : 10 = + 12

log tan 71 12.3′ = 10.46810− 10

log cotg 48 27.4′ = ?

log cotg 48 27′ = 9.94757− 10

4 · 25 : 10 = − 10

log cotg 48 27.4′ = 9.94747− 10

log sec 32 16.8′ = ?

log sec 32 16′ = 10.07285− 10

8 · 8 : 10 = + 6

log sec 32 16.8′ = 10.07291− 10

log cosec 57 43.4′ = ?

log cosec 57 43′ = 10.07293− 10

4 · 8 : 10 = − 3

log cosec 57 43.4′ = 10.07290− 10

log sin 61 28′ 14′′ = ?

log sin 61 28′ = 9.94376− 10

14 · 7 : 60 = + 2

log sin 61 28′ 14′′ = 9.94378− 10

log cos 14 25′ 19′′ = ?

log cos 14 25′ = 9.98610− 10

19 · 3 : 60 = − 1

log cos 14 25′ 19′′ = 9.98609− 10

log tan 16 24′ 32′′ = ?

log tan 16 24′ = 9.46881− 10

32 · 47 : 60 = + 25

log tan 16 24′ 32′′ = 9.46906− 10

log cotg 36 54′ 42′′ = ?

log cotg 36 54′ = 10.12446− 10

42 · 26 : 60 = − 18

log cotg 36 54′ 42′′ = 10.12428− 10

log sec 53 19′ 07′′ = ?

log sec 53 19′ = 10.22374− 10

7 · 17 : 60 = + 2

log sec 53 19′ 07′′ = 10.22376− 10

log cosec 33 22′ 37′′ = ?

log cosec 33 22′ = 10.25964− 10

37 · 19 : 60 = − 12

log cosec 33 22′ 37′′ = 10.25952− 10

Logaritmi bilo koje funkcije tupog ugla (α > 90) dobijaju se ovako:II kvadrant: za uglove od 90 do 180 vadi se logaritam iste funkcije ugla 180−α ili logaritam kofunkcije

ugla α− 90.

Na primer: log sin 124 15′ isti je kao log sin 55 45′ ili

log sin 124 15′ isti je kao log cos 34 15′

III kvadrant: za uglove od 180 do 270 vadi se logaritam iste funkcije ugla α−180 ili logaritam kofunkcijeugla 270 − α.

Na primer: log tan 237 39′ isti je kao log tan 57 39′ ili

log tan 237 39′ isti je kao log cotg 32 21′

IV kvadrant: za uglove od 270do360 vadi se logaritam iste funkcije ugla 360−α ili logaritam kofunkcijeα− 270.

Na primer: log sec 306 43′ isti je kao log sec 53 17′ ili

log sec 306 43′ isti je kao log cosec 36 43′

Pri racunanju s tupim uglovima (α > 90) treba paziti da li je funkcija zadanog ugla pozitivna ili negativnate ako je negativna, iza logaritma pripise se malo slovo ”n”.


Predznak funkcije u pojedinim kvadrantima odre -duje se po ovom tabelarnom pregledu:

Kvadrant sincosec

cossec

tancotg

I + + +II + – –III – – +IV – + –

Trazenje ugla iz zadanog logaritma (antilogaritmovanje). Da se na -de ostar ugao koji pripada logaritmuneke funkcije, potrazi se u tablici kod rastucih funkcija (sin, tan i sec) neposredno nizi logaritam, a kod padajucihfunkcija (cos, cotg i cosec) neposredno visi logaritam te gore i levo ili dole i desno ocita se pripadajuci ugao ustepenima i celim minutama. Desetine minuta se dobiju ako se razlika izme -du na -denag i zadanog logaritma

podeli s jednominutnom (tablicnom) razlikom iz kolone Diff1′ , a kad se pripadajuci ugao zeli dobiti umesto

u desetinama minuta u sekundama, razlika izme -du na -denog i zadanog logaritma podeli se jednominutnom(tablicnom) razlikom i dobijeni kolicnik pomnozi sa 60.

Primeri:

log sin α = 9.80239− 10 . . . pripada ugao α = 39 22′

11 : 16 = + 0.7′

α = 39 22.7′

log sin α = 9.98767− 10 . . . pripada ugao α = 76 24′

2 : 3 · 60 = + 40′′

α = 76 24′ 40′′

log tan α = 9.31239− 10 . . . pripada ugao α = 11 36′

6 : 64 = + 0.1′

α = 11 36.1′

log cotg α = 9.50130− 10 . . . pripada ugao α = 72 24′

6 : 44 · 60 = + 08′′

α = 72 24′ 08′′

TABLICA 49 – LOGARITMI SIN I TANG MALIH UGLOVA - COS I COTG VELIKIH UGLOVA

Za male i velike uglove tablica 48 ne daje dovoljno tacne vrednosti logaritama nekih trigonometrijskihfunkcija zbog velikih jednominutnih (tablicnih) razlika za koje je i interpolacija znatna teza. Zato ove tablicedaju logaritme sinusa i tangensa uglova od 0 do 6 i kosinusa i kotangensa uglova od 84 do 90 na desetineminute bez interpolacije.

Za va -denje logaritama funkcija sinusa i tangensa u tablice se ulazi odozgo, a za va -denje logaritamakofunkcija kosinusa i kotangensa u tablice se ulazi odozdo. Desetine minuta su naznacene u prvom i poslednjemhorizontalnom redu. Svi logaritmi u ovoj tablici imaju karakteristiku −10.

Primeri:

log sin 4 14.6′ = 8.86919− 10log tan 2 28.7′ = 8.63631− 10

log cos 88 13.6′ = 8.49060− 10log cotg 85 10.4′ = 8.92655− 10

Pri odre -divanju odgovarajuceg ugla koji pripada zadanom logaritmu postupa se obrnuto u odnosu nava -denje logaritma za zadani ugao, tj. u tablici se na -de najblizi logaritam zadanom logaritmu te za sinus itangens odozgo, a za kosinus i kotangens odozdo ocita odgovarajuci ugao.


TABLICA 50 – KVADRATI LOGARITAMA I PRIRODNIH VREDNOSTI SIN I COS

POLOVICNIH UGLOVA

Tablica daje logaritam i prirodnu vrednost kvadrata sinusa i kosinusa polovicnih uglova. Za va -denje

logaritma i prirodne vrednosti sin2 α

2u tablicu se ulazi odozgo, a cos2

α

2odozdo. U oba slucaja argumenti za

ulazak u tablicu su mesni casovni ugao nebeskog tela izrazen u lucnoj vrednosti. Tablica sluzi za izracunavanjevisine (zenitne daljine) nebeskog tela pri odre -divanju astronomske stajnice po metodi Mark d’ Sent Iler koristecijednu od sledecih formula:

a) sin2 z

2= cos ϕ cos δ sin2 s

2+ sin2 ϕ− δ

2

b) cos2z

2= sin

s

2sin2 ϕ + δ

2+ cos2

s

2cos2

ϕ− δ

2

c) sin2 z

2= sin2 s

2cos2

ϕ + δ

2cos2

s

2sin2 ϕ− δ

2

Zamenom elemenata ”astronomsko-nautickog trougla” s elementima ”ortodromskog trougla” (z sa Do, ssa ∆λ, ϕ sa ϕ1, δ sa ϕ2) formule se mogu prilagoditi za racunanje ortodromske udaljenosti u okeanskoj plovidbi.

Primer: (Racunanje zenitne daljine)20. aprila 1968. godine na zbirnoj poziciji ϕ = 33 16′ N, λ = 22 06.8′ W u Ts = 12h 15m 37s izmerena

je visina Sunca i ispravljena u visinu pravu V p = 62 54.2′. Naci ∆V !

Iz Nautickog godisnjaka za 20. april 1968. godine u . . . . . . . . . . .

S ¯ 12h = 00 17.1′

Iz interp. tabl. za 15m 37s = 3 54.3′

Druga popravka za ∆ = +1 = 0.0′

S¯ = 04 11.4′ (+360)+λ = −22 06.8′

s = 342 04.6′

sE = 17 55.4′

Ts = 12h 15m 37s

δ = + 11 38.2′

popr. za ∆ = +9 = + 0.2′

δ = + 11 38.4′

ϕ = +33 16.0′

δ = +11 38.4′

ϕ + δ = +44 54.4′

ϕ− δ = +21 37.6′

Resenje formulom sin2 z

2= cos ϕ cos δ sin2 s

2+ sin2 ϕ− δ

2

log cos ϕ = 9.92227log cos δ = 9.99098

log sin2 s

2= 8.38499

log sin2 Σ2

= 8.29824

sin2 Σ2

= 0.01987

sin2 ϕ− δ

2= 0.03520

sin2 z

2= 0.05507

zr = 27 08.7′

V p = 62 54.2′∑

= 90 02.9′

∆V = + 2.9′

Resenje formulom cos2z

2= sin2 s

2sin2 ϕ + δ

2+ cos2

s

2cos2

ϕ− δ

2


log sin2 s

2= 8.38499

log sin2 ϕ + δ

2= 9.16397

log sin2 Σ2

= 7.54896

sin2 Σ2

= 0.00354

cos2Σ2

= 0.94138

cos2z

2= 0.94492

zr = 27 08.8′

V p = 62 54.2′∑

= 90 03.0′

∆V = + 3.0′

log cos2s

2= 9.98933

cos2ϕ− δ

2= 9.98444

log cos2Σ2

= 9.97377

cos2Σ2

= 0.94138

Resenje formulom sin2 z

2= sin2 s

2cos2

ϕ + δ

2+ cos2

s

2sin2 ϕ− δ

2

log sin2 s

2= 8.38499

log cos2ϕ + δ

2= 9.93152

∑= 8.31651 . . . . . . . . . . . 0.02072

log cos2s

2= 9.98933

log sin2 ϕ− δ

2= 8.54651

∑= 8.53584 . . . . . . . . . . . 0.03435

sin2 z

2= 0.05507

zr = 27 08.7′

V p = 62 54.2′

∑= 90 02.9′

V p = + 2.9′

Primer: (Racunanje ortodromske udaljenosti sa sve tri formule zamenom elemenata)Brod treba da isplovi sa pozicije ϕ = 44 25.7′ N, λ = 76 23.2′ W i doplovi na poziciju ϕ = 38 38.2′ N,

λ = 04 16.8′ W. Izracunati ortodromsku udaljenost!

ϕ1 = +44 25.7′

ϕ2 = +38 38.2′

ϕ1 + ϕ2 = 83 03.9′

ϕ1 − ϕ2 = 5 47.5′

λ2 = −04 16.8′

−λ1 = ∓76 23.2′

∆λ = +72 06.4′

Resenje formulom sin2 Do

2= cos ϕ1 cosϕ2 sin2 ∆λ

2+ sin2 ϕ1 − ϕ2

2


log cos ϕ1 = 9.85378log cos ϕ2 = 9.89272

log sin2 ∆λ

2= 9.53955

log sin2 Σ2

= 9.28605

sin2 Σ2

= 0.19322

sin2 Σ2

= 0.19322

sin2 ϕ1 − ϕ2

2= 0.00255

sin2 Do

2= 0.19577

Do = 52 31.3′

Do = 3151.3 M

Resenje formulom cos2Do

2= sin2 ∆λ

2sin2 ϕ1 + ϕ2

2+ cos2

∆λ

2cos2

ϕ1 − ϕ2

2

log sin2 ∆λ

2= 9.53955

log sin2 ϕ1 + ϕ2

2= 9.64309

log sin2 Σ2

= 9.18264

sin2 Σ2

= 0.15228

cos2Σ2

= 0.65194

cos2Do

2= 0.80422

Do = 52 31.4′

Do = 3154.4 M

log cos2∆λ

2= 9.81532

cos2ϕ1 − ϕ2

2= 9.99889

log cos2Σ2

= 9.81421

cos2Σ2

= 0.65194

Resenje formulom sin2 Do

2= sin2 ∆λ

2cos2

ϕ1 + ϕ2

2+ cos2

∆λ

2sin2 ϕ1 − ϕ2

2

log sin2 ∆λ

2= 9.53995

log cos2ϕ1 + ϕ2

2= 9.74847

∑= 9.28802 . . . . . . . . . . . 0.19410

log cos2∆λ

2= 9.81532

log sin2 ϕ1 − ϕ2

2= 7.40693

∑= 7.22225 . . . . . . . . . . . 0.00167

sin2 Do

2= 0.19577

Do = 52 31.3′

Do = 3151.3 M

TABLICA – 51 ADICIONI I SUPSTRAKCIONI LOGARITMI

Tablica sluzi za izracunavanje zbira ili razlike dva broja, kad su poznati njihovi logaritmi. Logaritam vecegbroja oznacava se sa log a, a manjeg sa log b, pa se pri izracunavanju zbira, odnosno razlike postupa premaobrascima na dnu tablice.


Tablica ima prakticnu primenu pri izracunavanju astronomske stajnice (linije pozicija) po metodi Markd’Sent Iler. Sastavljena je iz dva dela. U prvom vecem delu su date razlike vrednosti B u kolonama pod ∆,a drugi manji deo je bez tih razlika. Na dnu svake stranice date su formule koje tumace upotrebu tablica.Pri upotrebi treba paziti na podelu supstrakcionih logaritama. Kad je razlika zadanog logaritma veca od 1.8(na kraju prvog dela tablice), treba koristiti drugi deo supstrakcionih logaritama koji se nalaze na zadnje cetiristranice ove tablice i imaju posebne formule koje tumace upotrebu ovog dela tablice.

Primer 1: 1. jula 1968. godine na zbirnoj poziciji ϕ = 47 28.5′ N, λ = 54 22.6′ W posmatrano je Sunceu Ts = 14h 04m 11s; V p = 58 54.0′. Izracunati astronomsku stajnicu (∆V i ω)!

Iz NG za Ts = 14h S = 29 03.3′

I popravka = 1 02.8′

II popravka = 0.0′

S = 30 06.1′ (+360)+λi = −54 22.1′

s = 335 44.0′

sE = 24 16.0′

δ = +23 05.5′

popr. = − 0.0′

δ¯ = +23 05.5′

ϕi = +47 28.5′

δ¯ = +23 05.5′

ϕ + δ = 70 34.0′

ϕ− δ = 24 23.0′

Pi

ϕ = 47 28.5′ Nλ = 54 22.1′ W

cos2z

2= sin2 s

2sin2 ϕ + δ

2+ cos2

s

2cos2

ϕ− δ

2

Iz NT – 50 . . . . . . log sin2 s

2= 8.64521

log sin2 ϕ + δ

2= 9.52328

log b = 8.16849

− log a = 9.96057

A = 8.20792

A = −2.39

B = +1.05

. . . . . . iz NT – 37

C = −1.34

ω = 132.5

log cos2s

2= 9.98038

log cos2ϕ− δ

2= 9.98019

log a = 9.96057

Iz NT – 51 . . . . + B = 0.00696

log cos2z

2= 9.96753

zr = 31 08.3′

V p = 58 54.0′∑

= 90 02.3′

∆V = + 2.3′

Primer 2: Na zbirnoj poziciji ϕ = 33 16.0′ N i λ = 22 06.8′ W, V p? = 62 56.2′, s? = 18 04.5′;δ? = +11 45.9′. Naci ∆V !

ϕ = +33 16.9′

δ = +11 45.9′

ϕ + δ = 45 01.9′

ϕ− δ = 21 30.1′


Iz NT – 50 . . . . . . log sin2 s

2= 8.39225

log sin2 ϕ + δ

2= 9.16626

log b = 7.55851

− log a = 9.97377

A = 7.58474

log cos2s

2= 9.98915

log cos2ϕ− δ

2= 9.98462

log a = 9.97377

Iz NT – 51 . . . . + B = 0.00167

log cos2z

2= 9.97544

zr = 27 07.3′

V p = 62 56.2′∑

= 90 03.5′

∆V = + 3.5′

TABLICA 52 – PRIRODNE VREDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Tablica daje prirodne vrednosti trigonometrijskih funkcija ostrih uglova od 0 do 90 za svaki minutpromene ugla na pet decimala.

Va -denje prirodnih vrednosti. Za va -denje prirodnih vrednosti trigonometrijskih funkcija uglova od 0 do45 u tablice se ulazi odozgo, a za zadane minute u prvoj levoj koloni. Za uglove od 45 do 90 u tablice se ulaziodozdo, a za zadane minute u poslednju vertikalnu kolonu. Tablica omogucava va -denje prirodnih vrednosti zadesetine minuta ili lucne sekunde pomocu jednominutnih (tablicnih) razlika koje su za svaku funkciju unesene

u kolonama pod Diff1′ .

Interpolacija se vrsi tako da se broj zadanih desetina minuta mnozi jednominutnom (tablicnom) razlikomi podeli sa 10 te dobijena vrednost zaokruzi na ceo broj i doda na -denoj prirodnoj vrednosti za stepene i minutekod rastucih funkcija (sinusa, tangensa i sekansa), a oduzme kod padajucih funkcija (kosinusa, kotangensa ikosekansa). Kad je ugao zadan u lucnim sekundama, postupak je isti, samo sto se proizvod broja sekundi ijednominutne razlike mora deliti sa 60.

Primeri:

sin 9 27′ = 0.16419

tan 17 12.6′ =?tan 17 12′ = 0.30955

6 · 32 : 10 = + 19

tan 17 12.6′ = 0.30974

sec 49 28.3′ =?sec 49 28′ = 1.53872

3 · 52 : 10 = + 16

sec 49 28.3′ = 1.53888

cos 81 31′ = 0.14752

cotg 35 34′ 51′′ =?cotg 35 34′ = 1.39850

51 · 86 : 60 = − 73

cotg 35 34′ 51′′ = 1.39777

cosec 21 26′ 09′′ =?cosec 21 26′ = 2.73659

9 · 203 : 60 = − 30

cosec 21 26′ 09′′ = 2.73629

Trazenje ugla iz zadane prirodne vrednosti. Da se na -de ostar ugao koji pripada zadanoj prirodnoj vrednostineke funkcije, potrazi se u tablicama za rastuce funkcije (sin, tan i sec) neposredno niza prirodna vrednost, aza padajuce funkcije cos, cotg i cosec) neposerdno visa prirodna vrenost, te prema funkciji gore i levo ili dole idesno ocita pripadajuci ugao u stepenima i minutima. Desetine minuta se dobiju ako se razlika izme -du na -dene

i zadane prirodne vrednosti podeli s jednominutnom (tablicnom) razlikom iz kolone Diff1′ , a kad se zeli dobiti


pripadajuci ugao u stepenima, minutama i sekundama, razlika izme -du na -dene i zadane prirodne vrednosti podelise jednominutnom (tablicnom) razlikom i dobijeni kolicnik pomnozi sa 60.

Primeri:

sinα = 0.34895 . . . . . . . . . pripada ugao α = 20 25′

11 : 28 = 0.4′

α = 20 25.4′

cosα = 0.52835 . . . . . . . . . pripada ugao α = 58 06′

9 : 25 · 60 = 21.6′′

α = 58 06′ 22′′

sec α = 1.17061 . . . . . . . . . pripada ugao α = 31 20′

14 : 20 = 0.7′

α = 31 20.7′

TABLICA 53 – DUZINE KRUZNIH LUKOVA ZA RADIJUS r = 1

Tablica daje duzine lukova na kruznici ciji je poluprecnik (radijus) jednak jedinici mere za centralne ugloveizrazene u stepenima, minutima i sekundama. Od 0 do 100 tablica daje podatak za svaki stepen, od 100 do270 za svakih 10, a od 270 do 360 za svakih 30. Lukovi za minute i sekunde dati su za svaku minutu isekundu tako da se moze naci luk za bilo koji centralni ugao.

Primeri:a) Kolika je duzina luka za centralni ugao α = 36 25′ 37′′ na kruznici poluprecnika 7.92 m?

36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.6283225′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.00727

37′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.00018

0.63577× 7.92 = 5.0353 m

b) Kolika je duzina luka za centralni ugao α = 165 17′ 23′′ na kruznici poluprecnika 5.2 m?

100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7453365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13446

17′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.0049523′′ . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.00011

2.88485× 5.2 = 15.00122 m

c) Koliki je centralni ugao α kome na kruznici r = 3.5 m pripada luk duzine 2.36435 m?

2.36435 : 3.5 =0.675528 ∼= 0.67553za . . . 0.67553

−0.66323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

0.01230−0.01222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42′

0.00008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.5′′ = 38 42′ 16.5′′


TABLICA 54 – DRUGI I TRECI STEPENI, DRUGI I TRECI KORENI TE VREDNOSTI

1000n

BROJEVA OD 1 DO 100

Uputstvo nije potrebno.

D – O B J A S N J E N J A

HIDROMETEOROLOSKIH TABLICA

TABLICA 55 – BEAUFORT-OVA SKALA ZA VETAR I STANJE MORA

Tablica sluzi za prikazivanje jacine vetra i stanja mora. Jacina se procenjuje na osnovu vizuelnog posma-tranja ili meri anemometrima, a izrazava se boforima (Bf) po skali od 0 do 12. U poslednjim kolonama tablicedata je sifra kljuca za visinu talasa s odgovarajucim nazivima (prema MAFOR kljucu). Podaci za talase datisu za srednje vrednosti, jer visina, duzina i oblik talasa zavise od trajanja i stalnosti vetra, smera struje, dubinemora i oblika morskog dna.

TABLICA 56 – GLAVNI LOKALNI VETROVI

Tablica je abecedni popis lokalnih vetrova s njihovim lokalnim nazivima, smerom duvanja, podrucjem ukojem se javljaju, doba godine ili meseca kada duvaju te kracim opisom. U opisu su date glavne karakteristikesvakog navedenog vetra.

TABLICA 57 – PRAVI SMER I PRAVA JACINA VETRA MERENI PRI BRZINI

10, 15, 20, 25, 30 i 35 cv.

Tablica sluzi za odre -divanje pravog smera i prave jacine vetra na brodu koji plovi odre -denom brzinom (od10 do 35 cvorova) uz posmatranje prividne jacine vetra po Beaufort-ovoj skali.

Pri koriscenju tablice najpre treba odrediti brzinu broda i prema njoj uzeti odgovarajucu tablicu. Argumentiza ulazak u tablicu su prividan smer vetra (LP – prividan pramcani ugao odakle vetar duva) i prividna jacinavetra po Beaufort-ovoj skali ili odgovarajucem rasponu u m/sek. U preseku ovih elemenata, u redu L na -dese pramcani ugao pravog vetra, a u redu J prava jacina vetra. Smer pravog vetra dobija se po obrascu:Kurs + L (kad je LP desno) i Kurs − L (kad je LP levo).

Primer: Brod plovi u kursu 36 brzinom od 15 cv. Izmeri se prividni smer vetra 80 levo i prividna jacinaod 5 bofora. Trazi se pravi smer i prava jacina vetra.

Iz tablice sa brzinom broda od 15 cv, pod 80 u rubrici Prividan vetar, a pod prividnom jacinom 5 nalazimo:

u redu L vrednost 121

u redu J vrednost 6Pravi kurs broda Kp = 36 (+360)

−L = 121

Pravi smer vetra = 275 ili W

Prava jacina vetra = 6


TABLICA 58 – REDUKCIJA BAROMETARSKOG PRITISKA NA TEMPERATURU 0 C

Tablica daje vrednost popravke (u mm) kojom treba ispraviti izmereni barometarski pritisak da bi se dobiobarometarski pritisak za temperaturu vazduha od 0 C.

Argumenti za ulazak u tablicu su temperatura vazduha na termometru barometra izrazena u stepenimaCelzijusa i barometarski pritisak u milimetrima. U preseku zadanih argumenata na -de se trazena popravka.Za me -duvrednosti utablicenih argumenata vrsi se linearna interpolacija. Za temperature vazduha ispod 0 Cpopravka se dodaje izmerenom (ocitanom) barometarskom pritisku, a kad je temperatura iznad 0 C, popravkase oduzima.

Primer: Ocitanje barometra je 764 mm, temperatura na termometru barometra je +16 C.

Izmereni barometarski pritisak = 764.0 mmIz tablice 58 popravka . . . . . . . = −2.0 mm

Barometarski pritisak na 0 C = 762.0 mm

TABLICA 59 – REDUKCIJA BAROMETARSKOG PRITISKA NA MORSKI NIVO

Tablica daje vrednost popravke (u mm) kojom treba ispraviti izmereni barometarski pritisak redukovan natemperaturu 0 C da bi se dobio barometarski pritisak na morskom nivou.

Argumenti za ulazak u tablicu su: nadmorska visina barometra u metrima, barometarski pritisak redukovanna 0 C po tablici 54 u milimetrima i temperatura vazduha u stepenima Celzijusa. Za me -duvrednosti utablicenihargumenata vrsi se interpolacija. Uz svaku tabeliranu nadmorsku visinu date su po cetiri vrednosti barometarskogpritiska redukovanog na 0 C, pa se za nadmorske visine do 100 m u -de u tablice blizom vrednosti zadanogbarometarskog pritiska, jer su razlike u vrednosti popravke veoma male tako da nije potrebna interpolacijaza me -duvrednosti barometarskog pritiska. Za vece nadmorske visine od 100 m interpolaciju za me -duvrednostibarometarskog pritiska treba vrsiti, jer su razlike u vrednosti popravke vece. Popravka se uvek dodaje.

Primer: Na nadmorskoj visini 34 m barometar pokazuje pritisak od 766 mm uz temperaturu vazduha od13 C.

Izmereni barometarski pritisak = 766.0 mmIz tablice 58 popravka za temp. 0 C = −1.6 mm

Barometarski pritisak reduk. na 0 C = 764.4 mm

Iz NT – 59 popravka = +25 +0.9× 4

10= 2.9 mm

Barometarski pritisak reduk. na morski nivo = 767.3 mm

TABLICA 60 – REDUKCIJA BAROMETARSKOG PRITISKA NA NORMALNU SILU TEZE

(POPRAVKA ZA GEOGRAFSKU SIRINU)

Tablica daje vrednost popravke u milimetrima kojom treba ispraviti izmereni (ocitani) barometarski pritisakda se dobije barometarski pritisak za normalnu silu teze.

Argumenti za ulazak u tablicu su geografska sirina i barometarski pritisak u milimetrima. Za me -duvrednostiutablicenih argumenata vrsi se interpolacija. Za geografske sirine 0 do 45 popravka se oduzima, a za sirine45 do 90 popravka se dodaje.

Primer: Na sirini 33 N barometar pokazuje 750 mm.


Izmereni barometarski pritisak = 750.0 mm

Popravka iz tablice 60 = 0.85− 0.12× 12

+ 0.85− 0.06 = 0.8 mm

Barometarski pritisak reduk. na nor. silu teze = 749.2 mm

TABLICA 61 – REDUKCIJA BAROMETARSKOG PRITISKA NA NORMALNU SILU TEZE

(POPRAVKA ZA NADMORSKU VISINU U METRIMA

Tablica daje vrednost popravke (u mm) kojom treba ispraviti barometarski pritisak koji je popravljen zageografsku sirinu da se dobije barometarski pritisak za morski nivo redukovan za geografsku sirinu i nadmorskuvisinu.

Argumenti za ulazak u tablicu su nadmorska visina u metrima i barometarski pritisak u milimetrima.Interpolacija nije potrebna jer su razlike minimalne. Popravka se uvek dodaje.

Primer: Na nadmorskoj visini 650 m barometarski pritisak ispravljen za geografsku sirinu je 705 mm.

Barom. pritisak ispravljen za geogr. sirinu = 705.00 mmPopravka iz tablice 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = 0.09 mm

Barometarski pritisak na normal. silu teze = 705.09 mm ∼= 705.1 mm

TABLICA 62 – PRETVARANJE FARENHAJTOVE SKALE U CELZIJUSOVU I OBRNUTO

Tablica je sastavljena na osnovu odnosa skale po Farenhajtu i Celzijusu.U prvoj vertikalnoj koloni nalaze se desetice stepeni po Farenhajtu, a u zaglavlju tablice jedinice. Na dnu

tablice dati su podaci za desetine stepeni po Farenhajtu i Celzijusu. Pri radu sa vrednostima za desetine stepenitreba paziti da li ih treba dodati ili oduzeti od glavne vrednosti s obzirom na njen predznak.

Primer: pretvoriti 39.6 F u C i 25.7 F u C

39 F = 3.89 C0.6 F = 0.33 C

39.6 F = 4.22 C

+25.0 F = −3.89 C0.7 F = +0.39 C

+25.7 F = −3.50 C

Za pretvaranje Celzijusove skale u Farenhajtovu u tablicu se ulazi neposredno nizom vrednosti Celzijusoveskale, a zatim se uzimaju vrednosti sa dna tablice. I ovde treba paziti da li vrednost s dna tablice treba dodatiili oduzeti od glavne vrednosti.

Primer: pretvoriti −17.6 C u F

−17.22 C = +1.0 F

0.38 C0.33 C = −0.6 F

0.05 C = −0.1 F

−17.22 C = +0.3 F


TABLICA 63 – PRETVARANJE REAMUROVE SKALE U CELZIJUSOVU I OBRNUTO

Tablica je satavljena na osnovu odnosa skale po Reamuri i Celzijusu, gde je 0.0 R = 0.0 C (predznaci suisti).

U prvoj vertikalnoj koloni su desetice, a u zaglavlju tablice jedinice stepeni po Reamuru. Na dnu tablicedate su vrednosti za desetine stepeni po Reamuru i Celzijusu. Vrednosti za desetine se uvek dodaju glavnojvrednosti.

Primer: pretvoriti +27.6 R u C

27.0 R = 33.75 C0.6 R = 0.75 C . . . . . . . (sa dna tablice)

27.6 R = 34.50 C

Za pretvaranje Celzijusovih vrednosti u Reamurove tablice se ulazi neposredno nizom vrednosti Celzijusovihstepeni. Na -dena (niza) vrednost se oduzme od zadane i za ostatak ponovi postupak itd.

−14.7 C−13.75 C = −11.0 R

− 0.95 C− 0.88 C = − 0.7 R . . . . . . . (sa dna tablice)

− 0.07 C = − 0.06 R . . . . . . . (sa dna tabl. . . . . . . :10)

−14.7 C = −11.76 R ∼= −11.8 R

Kad se zeli izvrsiti pretvaranje jedne vrednosti u drugu bez tablica, vrednosti po Reamuru treba pomnozitisa 1.25 da se dobiju vrednosti po Celzijusu i obrnuto, vrednosti po Celzijusu treba podeliti sa 1.25 da se dobijuvrednosti po Reamuru. Gornji primeri reseni na ovaj nacin:

+27.6 R · 1.25 = +34.5 C−14.7 C : 1.25 = −11.76 R

TABLICA 64 – NAPON VODENE PARE I RELATIVNA VLAGA ODRE-DENA

AUGUSTOVIM PSIHROMETROM

Tablica daje relativnu vlagu (u %) i napon vodene pare (u mm).Relativna vlaga je odnos izme -du postojece sadrzine vodene pare u vazduhu i maksimalne sadrzine koju bi

vazduh mogao imati pri istoj temperaturi izrazen u procentima.Napon vodene pare je razlika izme -du pritiska vazduha koji trenutno postoji i pritiska potpuno suvog

vazduha pri istoj temperaturi izrazeno u milimetrima ili milibarima.Argumenti za ulazak u tablicu su temperatura mokrog termometra i razlika temperature izme -du suvog i

mokrog termometra. Za me -duvrednosti vrsi se linearna interpolacija.

Primer: Na Augustovom psihrometru mokri termometar pokazuje temperaturu +17 C, a suvi termometar+20.2 C. Odrediti relativnu vlagu i napon vodene pare!

Razlika suvog i mokrog termometra 3.2

Relativna vlaga . . . . . . . . . . . = 72− 7× 210

= 72− 1.4 = 70.6%

Napon vodene pare . . . . . . . = 12.59− 0.61× 210

= 12.59− 0.12 = 12.47 mm


TABLICA 65 – NAPON VODENE PARE I RELATIVNA VLAGA ODRE-DENA ASMANOVIM

ASPIRACIONIM PSIHROMETROM

Tablice daju napon vodene pare (u mm) i relativnu vlagu (u %) za temperature suvog i mokrog termometra,uzimajuci da je pritisak vazduha 755 mm, a prema pojednostavljenoj Sprungovoj formuli:

e′ = E′ − C′ (T − T ′)

gde je e′ = trazeni napon vodene pare za mokri termometar,

C′ = psihrometarska konstanta,

T = temperatura suvog termometra,

T ′ = temperatura mokrog termometra.S obzirom na to da su tablice ra -dene za barometarski pritisak od 755 mm, vrede u praksi samo za morski

nivo ili za stanice na malim nadmorskim visinama (ispod 200 m).Tablice na pocetku prve strane (−9 do −1) daju vrednosti napona vodene pare i relativne vlage za

temperature ispod nule do −9 kad voda oko kuglice mokrog termometra nije smrznuta nego prehla -dena, aostali delovi prve stranice i citava druga stranica daju ove vrednosti za temperature iznad nule.

Argumenti za va -denje podataka iz tablice su u vertikalnoj koloni ”Temperatura suvog termometra” ustepenima Celzijusa, a u horizontalnim redovima ”Temperatura mokrog termometra” tako -de u stepenima Celz-ijusa. Tablica je slozena u sest delova po temperaturi mokrog termometra. Pri upotrebi tablice treba paziti dase u -de u onaj deo tablice u kome se nalazi zadana temperatura mokrog termometra, jer se neke brojke tem-perature suvog termometra ponavljaju iz jednog dela u drugi. Kad su temperature suvog i mokrog termometradate u stepenima i desetinama stepena, treba vrsiti interpolaciju.

Primer: Naci napon vodene pare i relativnu vlagu za sledece vrednosti suvog i mokrog termometra:

Temp. suvog Temp. mokrog Naponterm. term. v. pare Relat. vlaga

1. − 2 − 5 1.7 mm 42%2. 24 21 17.2 mm 77%3. 15.4 11.3 interpolacijom

– napon vodene pare:

za 15.4 i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.8− 0.5× 410

= 7.8− 0.2 = 7.6 mm

za 15.4 i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.0− 0.5× 410

= 9.0− 0.2 = 8.8 mm

za 15.4 i 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 +1.2× 3

10= 7.6 +

3.610

= 7.6 + 0.4 = 8.0 mm

– relativna vlaga:

za 15.4 i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61− 7× 410

= 61− 2.8 = 58.2%

za 15.4 i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71− 8× 410

= 71− 3.2 = 67.8%

za 15.4 i 11.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58.2 +9.6× 3

10= 58.2 + 2.9 = 61.1 ∼= 61%

TABLICA 66 – PRETVARANJE MILIBARA U MILIMETRE

TABLICA 67 – PRETVARANJE MILIMETARA U MILIBARE

Tablice su sastavljene na osnovu odnosa milimetara i milibara, tj.


1 mm = 1.3332 mb 1 mb = 0.750075 mm

U tablicama, u prvoj vertikalnoj koloni nalaze se desetice milibara odnosno milimetara, a u zaglavljimatablica jedinice. Pri dnu tablica nalaze se podaci za desete delove milibara i milimetara.

Primer za tabl. 66: pretvoriti 973.7 mb u mm

973.0 mb = 729.8 mm−0.7 mb = 0.5 mm

973.7 mb = 730.3 mm

Primer za tabl. 67: pretvoriti 778.6 mm u mb

778.0 mm = 1037.2 mb0.6 mm = 0.8 mb

778.6 mm = 1038.0 mb

TABLICA 68 – PRETVARANJE PALACA U MILIBARE

TABLICA 69 – PRETVARANJE PALACA U MILIMETRE

Tablice su sastavljene na osnovu me -dusobnog odnosa palaca i milibara odnosno palaca i milimetara.U tablicama u prvim vertikalnim kolonama nalaze se palci, a u prvim horizontalnim redovima desetine

palca. Na dnu jedne i druge tablice nalaze se stotnine palca sa odgovarajucim vrednostima celih i desetinamilibara odnosno milimetara.

Primer za tabl. 68: pretvoriti 28.67 palaca u mb

28.6 palaca = 968.5 mb0.07 palaca = 2.4 mb

28.67 palaca = 970.9 mb

Primer za tabl. 69: pretvoriti 29.32 palca u mm

29.3 palca = 744.2 mm0.02 palca = 0.5 mm

29.32 palca = 744.7 mm

TABLICA 70 – ODRE-DIVANJE UDALJENOSTI CENTRA ORKANA PO CASOVNOM

OPADANJU BAROMETRA

Tablica daje pribliznu udaljenost (u nautickim miljama) centra orkana ili tajfuna prema casovnom opadanjubarometra za orkane odnosno tajfune prosecnih dimenzija, smatrajuci brod nepokretnim.


TABLICA 71 – BRZINA ZVUKA KROZ VODU

TABLICA 72 – POPRAVKA BRZINE ZVUKA KROZ VODU ZA DUBINU

TABLICA 73 – POPRAVKA DUBINA IZMERENIH ULTRAZVUCNIM DUBINOMEROM

Da se izmeri dubina izmerena ultrazvucnim dubinomerom date su tri tablice:Tablica 71 daje brzinu zvuka kroz vodu (u m/sek) za povrsinski sloj (b0) u zavisnosti od temperature i

salaniteta morske vode.Tablica 72 daje popravku brzine zvuka kroz vodu (u m/sek) za dubinu sloja (∆b).Tablica 73 daje popravku dubine (u metrima) izmerene ultrazvucnim dubinomerom (∆h).Brzina zvuka kroz vodu u povrsinskom sloju (b0) izracunata je formulom:

b0 = 1448.6 + 4.618 T − 0.0523 T 2 + 0.00023 T 3 + 1.25 (S − 35)− 0.011(S − 35) · Tgde je T = temperatura vode u stepenima;

S = salanitet u promilima.Argumenti za ulazak u tablicu 71 su temperatura i salanitet. Brzina zvuka kroz vodu data je s tacnoscu

1 m/sek.Posto brzina zvuka kroz vodu zavisi jos i od dubine (hidrostatickog pritiska), na -denu brzinu zvuka iz tablice

71 treba ispraviti popravkom za dubinu (∆b) iz tablice 72 koja se uvek dodaje brzini zvuka u povrsinskom sloju(b = b0 + ∆b). Popravka je racunata po formuli:

b = 0.0175 H

gde je H = dubina za koju treba odrediti brzinu zvuka. Pri merenju dubine ultrazvucnim dubinomerom za Hse uzima polovina izmerene dubine ultrazvucnim dubinomerom. Tablica 69 izracunata je po formuli:

∆H = H0b− b′

b′= H0

b− b′

1500gde je ∆H = popravka dubine u metrima;

H0 = izmerena dubina ultrazvucnim dubinomerom (u metrima);

b = brzina zvuka kroz vodu kod postojece temperature i salaniteta (u m/sek) i ispravljena za

hidrostaticki pritisak;

b′ = brzina zvuka kroz vodu (u m/sek) za koju je podesen instrument;

1500 = brzina zvuka kroz vodu (u m/sek) za koju je izracunata tablica 69, a predstavlja najrealniju

brzinu na koju mogu biti podeseni instrumenti.Argumenti za ulazak u tablicu 73 su vrednost b−B′ (razlika brzine zvuka kroz vodu na odre -denoj dubini

i brzine na koju je podesen instrument) i H0 (izmerena dubina ultrazvucnim dubinomerom).

Primer: Izmerena dubina ultrazvucnim dubinomerom iznosi H0 = 1850 m,H0

2= 925 m. Temperatura u

slojuH0

2je 6.5 C i salanitet u sloju

H0

2= 34.8 promila. Odredi popravku i ispravi izmerenu dubinu racunajuci

da je instrument podesen za brzinu b′ = 1520 m/sek!

Iz tablice 71 (sa arg. T = 6.5 i S = 34.8 promila) b0 = 1476 m/sek

iz tablice 72 (sa arg. H0/2 = 925 m) . . . . . . . . . . . . . ∆b = 16 m/sek

b = 1492 m/sek

iz tablice 73 (sa arg. b−B′ = −28 m/sek i H0 = 1852 m) vadimo:

za H0 = 1800 m (b− b′ = 28 m/sek) . . . . . . ∆H = 30 +42− 30

10· 3 = 34 m

za H0 = 50 m (b− b′ = 28 m/sek) . . . . . . ∆H = . . . . . . . . . . . . . . = 1 m

za H0 = 1850 m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∆H = . . . . . . . . . . . . . . = 35 m

Popravku ∆H = 35 m treba oduzeti od izmerene dubine posto je argument b − b′ negativna vrednost.Prema tome,


H + ∆H = 1850− 35 = 1815 m

TABLICA 74 – GUSTINA MORSKE VODE

Tablica daje gustinu morske vode u odnosu na temperaturu i salanitet. Izracunata je za temperature od−2 do +30 Celzijusa s intervalom od 1 za temperaturu i salanitet od 0 do 40 promila s intervalom od 5promila. Za me -duvrednosti vrsi se interpolacija.

Primer: Temperatura morske vode 20.6 C, salanitet 33 promila.

za T = 20.6 i S = 30 promila, gustina = 1.020983− 0.000260× 610

= 1.020827

za T = 20.6 i S = 35 promila, gustina = 1.024781− 0.000268× 610

= 1.024620

za T = 20.6 i S = 33 promila, gustina = 1.020827 +0.003748× 3

5= 1.023086

E – O B J A S N J E N J A

OPSTIH TABLICA

TABLICA 75 – VAZNIJI TERMINI U POMORSKOM TRANSPORTU I SKRACENICE


TABLICA 76 – FAKTORI UTOVARA TERETA


TABLICA 77 – ODRE-DIVANJE BRZINE S OBZIROM NA VREME POTREBNO DA SE

PRE-DE PUT JEDINICNE DUZINE

Brzine u tablici izracunate su pomocu formule:

V =3600 · d

tsek

S obzirom da je uzeta samo jedna jedinica mere duzine d = 1, to tablica daje rezultate izracunate poodnosu:

V = 3600 : tsek

Na osnovu ovog odnosa tablice su izracunate za brzine od 60 do 3 jedinice mere duzine izrazene u celimjedinicama i njihovim hiljaditim delovima (tri decimale) te za vreme izme -du najmanje 1 minuta i najvise 20minuta (19m 60s).

Neposredna upotreba tablica.

Ako pre -deni put iznosi tacno jednu odre -denu jedinicu mere duzine tablica daje izravno trazenu brzinuizrazenu u odnosnim jedinicama mere duzine.

U zaglavlju (pri vrhu tablice) nalaze se minute odnosno njihov ekvivalent u sekundama, a u levom stupcubroj sekundi od 1 do 60. Na mestu gde stubac celih minuta preseca red broja sekundi iz levog stupca nalazi sevelicina brzine.

Primeri:

1. Brod pre -de put od 1 M za 2m 30s. Stubac od 2m (120s) u redu koji odgovara broju 30 iz levog stupcadaje broj 24.000 koji u ovom primeru predstavlja brzinu od 24 cv.

2. Recni brod pre -de put od 1 km za 4m 192. Upotrebom tablice kao u prethodnom primeru dobije sebrzina od 13.9 km na cas.

Posredna upotreba tablica.

Ako je pre -deni put veci ili manji od jedne odre -dene mere duzine tablica moze tako -de posluziti za posrednoizracunavanje trazene brzine.


U tablicu se ulazi kao kod neposrednog racunanja brzine tj. sa brojem minuta i sekundi koliko je potrebnoda se pre -de odnosni put. Broj dobijen u tablici treba zatim pomnoziti s velicinom pre -denog puta izrazenom utrazenim jedinicama mere duzine.

Primeri:

1. Brod pre -de put od 2.5 M za 5m 00s. Iz tablice se na vec opisani nacin dobije broj 12.000 koji pomnozensa 2.5 daje brzinu od 30 cv.

2. Brod vozeci na bazi za merenje brzine koja iznosi 5460 m pre -de za 10m 10s. S obzirom da se trazibrzina izrazena u cv to ovaj pre -deni put (bazu) treba podeliti sa 1852 sto daje 2.948 M. Iz tablice se na navedeninacin izvadi broj 5.902 koji pomnozen sa brojem 2.948 daje trazenu brzinu od 17.399 cv.

Do istog rezultata moze se doci ako se duzina baze u m (5460) odmah pomnozi sa brojem dobijenim iztablice (5902), a zatim proizvod podeli sa 1852.

Tablica se prema tome moze upotrebiti na bazama bez obzira na njihovu duzinu.

TABLICA 78 – PROMENA GAZA BRODA KOD UTOVARA TERETA U SLANOJ VODI

Tablica daje vrednost promene gaza kod utovara tereta u slanoj vodi. Argumenti za ulazak u tablicu sugaz u slatkoj vodi u incima (′′) (inc = 25.40 mm) i gustina vode u g/cm3. Tablica je ra -dena za srednju gustinu1.205 kada je promena gaza jednaka nuli.

Na dnu tablice dato je uputstvo kako treba postupiti u slucaju kad je gustina manja ili veca od srednje(1.025).

TABLICA 79 – POTREBNO VREME DA SE PRE-DE 100 m RAZNIM BRZINAMA

TABLICA 80 – PRE-DENI PUT BRODA U METRIMA S RAZNIM BRZINAMA


TABLICA 81 – FREKVENTNI OPSEZI I TALASNE DUZINE

Tablica pregledno daje osnovne podatke za frekvencije i talasne duzine koje se koriste u radio-saobracaju.

TABLICA 82 – PRETVARANJE FREKVENCIJA U TALASNU DUZINU I OBRNUTO

Tablica daje odnos frekvencije u kilohercima i talasne duzine u metrima. Zavisnost frekvencije i talasneduzine odre -dena je obrascem f · λ = c (c = brzina prostiranja EMT, koja je priblizno jednaka brzini svetlsti300000 km/sek). Izracunata je po formuli:

λ(m) =c (km/sek)

f (kHz)i f(kHz) =

c (km/sek)λ (m)

λ(m) = talasna duzina u metrima

f = frekvencija u kilohercima


TABLICA 83 – PRETVARANJE UGAONIH (LUCNIH) VREDNOSTI U VREMENSKE I OBRNUTO

TABLICA 84 – PRETVARANJE CVOROVA U METRE/MINUTE

TABLICA 85 – PRETVARANJE METARA/MINUTE U CVOROVE


TABLICA 86 – PRETVARANJE NAUTICKIH MILJA U KILOMETRE I OBRNUTO

Tablice su satavljene na osnovu me -dusobnog odnosa nautickih milja i kilometara, racunajuci

1 M = 1.852 km 1 km = 0.540 M

TABLICA 87 – PRETVARANJE STEPENA U HILJADITE

TABLICA 88 – PRETVARANJE MINUTA U HILJADITE

TABLICA 89 – PRETVARANJE HILJADITIH U STEPENE I MINUTE (6400 hiljaditih = 360)

Tablice su napravljene na osnovu me -dusobnih odnosa ugaonih vrednosti (stepena i minuta) i hiljaditih,racunajuci

360 = 6400 promila 1 promil = 20.25′′

TABLICA 90 – PRETVARANJE MERA – DUZINE

TABLICA 91 – PRETVARANJE MERA – POVRSINE

TABLICA 92 – PRETVARANJE MERA – ZAPREMINE


TABLICA 93 – PRETVARANJE METARA U ENGLESKE STOPE (FEET) I OBRNUTO

TABLICA 94 – PRETVARANJE METARA U FATHOME

Ove tablice su napravljene na osnovu me -dusobnih odnosa metara i engleskih stopa, odnosno izme -dumetara i fathoma.

U prvim vertikalnim kolonama data je mera koje se zeli pretvoriti na desetice, a u zaglavljima tablica sujedinice. U preseku desetica i jedinica dobija se trazena vrednost.


Primeri: – pretvoriti 43 metra u engleske stope!

43 m = 141.1 stopa– pretvoriti 57 stopa u metre!

57 stopa = 17.37 m– pretvoriti 64 metra u fathome!

64 m = 35.0 fathoma– pretvoriti 32 fathoma u metre!

32 fathoma = 59 m

TABLICA 95 – MERNE JEDINICE ME-DUNARODNOG SISTEMA MERNIH JEDINICA (SI)

TABLICA 96 – MERNE JEDINICE IZVAN ME-DUNARODNOG SISTEMA MERNIH JEDINICA


TABLICA 97 – CVRSTINA KONOPACA, CELICNIH UZADI I LANACA

Tablica je sastavljena iz tri dela:a) cvrstina konopaca daje prekidno optrerecenje u kilogramima za sve vrste konopaca koje se upotrebljavaju

na brodovima za precnike od 5 do 100 mm.b) cvrstina celicnih uzadi daje prekidno optrerecenje u kilogramima obicnih gipkih celicnih uzadi za precnike

od 13 do 40 mm.c) cvrstina lanaca daje prekidno opterecenje i prekidno opterecenje na istezanje u kilogramima sidrenih

lanaca s preckom (sklepom). Ispitani lanci se na dve krajnje karike i na dve karike u sredini oznacavaju zigomRegistra.

TABLICA 98 – PLANETE SUNCEVOG SISTEMA I NJIHOVE KONSTANTE

TABLICA 99 – PODACI O ZEMLJI, SUNCU I MESECU

TABLICA 100 – FIZICKE, ASTRONOMSKE I MATEMATICKE KONSTANTE


TABLICA 101 – POPIS NEKIH SVETSKIH LUKA, GEOGRAFSKE KOORDINATE I

UDALJENOSTI OD BARA



TABLICA 102 – PERIODNI SISTEM HEMIJSKIH ELEMENATA

TABLICA 103 – PERIODNE OSOBINE HEMIJSKIH ELEMENATA


F – F O R M U L E

IZ TEORIJE DEVIJACIJE I KOMPENZACIJE MAGNETNOG KOMPASA

DEVIJACIJA

ϑ = Km−Kk ili ϑ = ωm− ωk

PRORACUN KOEFICIJENATA

A0 =Σn ϑ

n; A0 =

18(ϑN + ϑNE + ϑE + ϑSE + ϑS + ϑSW + ϑW + ϑNW )

B0 =(±ϑE)− (±ϑW )

2za devijacije manje od 5

B0 = 0.35 [(±ϑNE)− (±ϑSW )] + [(±ϑSE)− (±ϑNW )] za devijacije vece od 5.

C0 =(±ϑN )− (±ϑS)

2za devijacije manje od 5.

C0 = 0.35 [(±ϑNE)− (±ϑSW )]− [(±ϑSE)− (±ϑNW )] za devijacije vece od 5.

D0 =14[(±ϑNE) + (±ϑSW )]− [(±ϑSE) + (±ϑNW )]

E0 =14[(±ϑN ) + (±ϑS)]− [(±ϑE) + (±ϑW )]

U praksi najpre se izracunaju pojedini clanovi formula po shemi:

ϑN =ϑS =

Σ1 =

ϑNE =ϑSW =

Σ2 =∆2 =

ϑE =ϑW =

Σ3 =

ϑSE =ϑNW =

Σ4 =∆4 =

A0 =18(Σ1 + Σ2 + Σ3 + Σ4)

C0 = 0.35(∆2 −∆4) D0 =14(Σ2 − Σ4)

B0 = 0.35(∆2 + ∆4)

E0 =14(Σ1 − Σ4)

PRIBLIZNA FORMULA DEVIJACIJE

– konstantna devijacija . . . . . . . . . . . . . . A0

– polukruzna devijacija . . . . . . . . . . . . . . . ϑ = B0 · sinKk · C0 · cosKk

B0 = B01 + B0

2 ; C0 = C01 + C0

2

– pravilna kvadratna devijacija ϑ = D0 · sin 2Kk

– nepravilna kvadratna devijacija ϑ = E0 · cos 2 Kk

Priblizna formula celokupne devijacije:

ϑ = A0 + B0 sin Kk + C0 cos Kk + D0 sin 2 Kk + E0 cos 2 Kk

SMERNA SILA

Opsta formula za smernu silu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . λ =H ′

sr

H= 1 +

e′ + a′

2= 1 + e′ gde je:


H ′sr = srednja smerna sila na brodu

H = horizontalna komponenta Zemljinog magnetnog pola

a′ = snaga parametra ”a” nakon kompenzacije koeficijenta D0

e′ = snaga parametra ”e” nakon kompenzacije koeficijenta D0

Smerna sila odre -dena metodom oscilovanja ruze kompasa:

Hk =t21t22

gde je:

t1 = razmak vremena za 10 oscilacija ruze na kopnu

t2 = razmak vremena za 10 oscilacija ruze na brodu (kompasu).

Smerna sila odre -dena pomocu deflektora

cotg a =H ′

H= λ . . . . . . . . . . . . . . D = H (izjednacena snaga deflektora i horizontalna komponenta

Zemljinog magnetnog polja na kopnu).

gde je: a = ugao otklona ruze na brodu

DEVIJACIJA NAGIBA

Formula promene devijacije nagnutog broda . . . ∆n = ϑ− ϑn gde je:

ϑ = devijacija broda na ravnoj kobilici u nekom kursu

ϑn = devijacija nagnutog broda u istom kursu

Formula devijacije nagiba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . θn = θ −Kn(±i) cos Kk gde je:

Kn = koeficijent nagiba je promena devijacije za 1 nagiba u Kk = Ni = ugao nagiba; pozitivan je (+) kada je brod nagnut nalevo, a negativan (−) kada je brod nagnut

nadesno

KOMPENZACIJA KOMPASA

Velicina ugla za koji treba zaokrenuti D korektore da se kompenzuje koeficijent E0

tan 2 β =E0

D0gde je:

β = ugao za koji treba zaokrenuti D korektore; udesno kada je E0 pozitivan, a ulevo kada je E0 negativan.

G – F O R M U L E

IZ ARITMETIKE I ALGEBRE, GEOMETRIJE, ANALITICKE GEOMETRIJE

I INFINITEZIMALNOG RACUNA

1. ARITMETIKA I ALGEBRA

a) S r a z m e r n o s t i

Ako je a : b = c : d, tada je i

a : c = b : d

d : b = c : a

d : c = b : a

Ako je a : b = c : d, tada je i

(m po volji zadani faktor).

(am) : (bm) = c : d

(a : m) : (b : m) = c : d

(am) : b = (cm) : d

(a : m) : b = (c : m) : d

Iz a : b = c : d izlazi

(a± b) : (c± d) = a : c = b : d

(a + b) : (c + d) = (a− b) : (c− d)

(ma + nb) : (mc + nd) = (ma− nb) : (mc− nd)

I uopsteno:

(ma± nb) : (mc± nd) = (pa± qb) : (pc± qd)

Ako je a1 : b1 = c1 : d1; a2 : b2 = c2 : d2 . . . an : bn = cn : dn tada je i

(a1 a2 . . . an) : (b1 b2 . . . bn) = (c1 c2 . . . cn) : (d1 d2 . . . dn).Ako je a : b = b : c, tada je b =

√ac (b je geometrijska sredina za a i c).

Produzene srazmernosti:

Ako je a1 : a2 : a3 . . . an = b1 : b2 : b3 . . . bn, tada i

(a1 + a2 + a3 . . . an) : (b1 + b2 + b3 + . . . bn) = a1 : b1 = a2 : b2 = a3 : b3 = . . . an : bn i

(ma1 + na2 + pa3 + . . . tan) : (mb1 + nb2 + pb3 + . . . tbn) = a1 : b1 = a2 : b2 = a3 : b3 = . . . = an : bn.

Aritmeticka sredina: x =x1 + x2 + . . . xn

n

Geometrijska sredina: x = n√

x1 x2 x2 . . . xn

Harmonijska redina: x =n

1x1

+ 1x2

+ . . . 1xn

za proizvoljno zadane brojeve

x1, x2, . . . xn.

b) S t e p e n i

am · an = am+n; am : an = am−n; a0 = 1; a−m =1

am; am · bm = (ab)m; am : bm = (

a

b)m; (am)n = amn.


Kvadrat i kub binoma, razlika kvadrata

(a± b)2 = a2 ± 2ab + b2

(a± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3

a2 − b2 = (a− b)(a + b)

Rastavljanje u faktore poznatijih izraza

a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab + b2)

a4 − b4 = (a− b)(a3 + a2b + ab2 + b3) = (a2 − b2)(a2 + b2)

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)

a5 + b5 = (a + b)(a4 − a3b + a2b2 − ab3 + b4)

a2 + b2 = (a2 + 2ab + b2)− 2ab = (a + b−√

2ab)(a + b +√

2ab)

a4 + b4 = (a4 + 2a2b2 + b4)− 2a2b2 = (a2 + b2 − ab√

2)(a2 + b2 + ab√

2)Uopsteno:

a2n − b2n = (a− b)(a2n−1 + a2n−2b + . . . + ab2n−2 + b2n−1) = (an − bn)(an + bn)

a2n+1 ± b2n+1 = (a± b)(a2n ∓ a2n−1b + a2n−2b2 ∓ . . . a2b2n−2 ∓ ab2n−1 + b2n)

a2n + b2n = (an + bn − an2 b

n2√

2)(an + bn + an2 b

n2√

2), (n = 1, 2, 3 . . .).

Kvadratni trinom

x2 + px + q = (x + m)(x + n), gde je m + n = p, mn = q

c) K o r e n i

( m√

a)p = m√

ap; m√

ap = mn√

apn = mn

√p

an; −m

√ap = m

√a−p; m

√n√

a = n

√m√

a = m√

a;

m√

a · m√

b = m√

ab; m√

a : m√

b = m

√a

b; n√

anpb = ap · n√

b; n√

am = amn

Racionalizovanje imenioca:

an√

br=

an√

bn−r

bi

p

a√

b± c√

d=

p (a√

b∓ c√

d)a2b− c2d

d) K o m p l e k s n i b r o j e v i

i =√−1,

√−a = i√

a;

i2 = −1, i3 = −i, i4 = +1;

i4k+1 = i, i4k+2 = −1, i4k+3 = −i, i4k = +1, (k = 0, 1, 2, . . . )(a + bi)± (c + di) = (a± c) + i(b± d); (a + bi) + (a− bi) = 2a;

(a + bi)(c + di) = (ac− bd) + i(ad + bc); (a + bi)(a− bi) = a2 + b2;

(a + bi) : (c + di) =ac + bd

c2 + d2+ i

bc− ad

c2 + d2.

Moivreov stav:

(cosϕ± i sin ϕ)n = cos nϕ± i sin nϕ

n√

cosϕ± i sin ϕ = cosϕ + 2kπ

n+ i sin

ϕ + 2kπ

n, (k = 0, ±1, ±2, . . .)


e) J e d n a c i n e:

Cista kvadratna jednacina:

ax2 + c = 0; x1,2 = ±√− c

a.

Opsta kvadratna jednacina:

ax2 + bx + c = 0; x1,2 =−b±√b2 − 4ac

2a

Zab

a= p,

c

a= q,

x2 + px + q = 0; x1,2 = −p

2±

√p2

4− q

Diskriminanta

b2 − 4ac

p2

4− q

> 0 realni razliciti koreni

= 0 dvostruki (realni) koren

< 0 konjugovano kompleksni koreni

Vietove formule: x1 + x2 = − b

a= −p; x1 · x2 =

c

a= q

Binomne jednacine:

xn ± a = 0; za x = y n√

a imamo: yn ± 1 = 0

Trinomne jednacine:

ax2n + bxn + c = 0; za xn = y dobijamo ay2 + by + c = 0

Ako je n = 2 imamo bikvadratnu jednacinu ax4 + bx2 + c = 0.

f) K v a d r a t n a f u n k c i j a

y = ax2 + bx + c = a(x +b

2a)2 +

4ac− b2

4a; parabola s temenom u tacki V (− b

2a,

4ac− b2

4a)

i pravcem x = − b

2akao osom simetrije.

Ako je za a >< 0, tada je na mestu x = − b

2a

minimum

maksimums ordinatom y =

4ac− b2

4a

g) N i z o v i i r e d o v i

Aritmeticki niz:

a1, a2 = a1 + d, a3 = a1 + 2d, a4 = a1 + 3d, . . . n-ti clan: an = a1 + (n− 1)d

Suma prvih n clanova aritmetickog niza: Sn =n

2(a1 + an).

Geometrijski niz:

a1; a2 = a1 · q; a3 = a1 · q2; a4 = a1 · q3, . . . n-ti clan: an = aqn−1

Suma prvih n clanova geometrijskog niza: Sn = a1qn − 1q − 1

Konvergentni geometrijski red (|q| < 1):

limn→∞

Sn = a1 + a1q + a1q2 + . . . =

a1

1− q


h) P r o c e n t n i k a m a t n i i s l o z e n i k a m a t n i r a c u n

Postotni racun:

(i = procentni iznos,

i =g · p100

,

p = procenat,

p =100 · i

g

g = osnovna vrednost)

g =100 · i

p

Kamatni racun:

k = kamate, p = procenat, g = glavnica,v

d

= vreme u

godinama

danima.

Za godine:

k =g · p · v

100, g =

100 · kp · v , p =

100 · kg · v , v =

100 · kg · p

Za dane:

k =g · p · d36000

, g =36000 · k

p · d , p =36000 · k

g · d , d =36000 · k

g · pSlozeni kamatni racun

c = osnovna vrednost

n = vreme u godinama,

cn = konacna vrednost glavnice

q = 1 +p

100kamatni faktor

cn = c · qn, a =cqn(q − 1)

qn − 1

a = anuitet

Neprekidno ukamacivanje:

cn = c · e p·n100 , (e = 2.718 281 828 459 0 . . .).

K o m b i n a t o r i k a, b i n o m n i o b r a z a c

Permutacije:

Broj permutacija od n elemenata, od kojih se nijedan ne ponavlja:

P (n) = 1 · 2 · 3 · · ·n = n!

Permutacije s ponavljanjem elemenata (r jednakih i s jednakih elemenata)

Pr,s(n) =n!

r! s!

Kombinacije:

Broj kombinacija r-tog reda od n elemenata:a) bez ponavljanja

Kr(n) =n(n− 1) · · · (n− r + 1)

r!=

(n

r

);

(n

0

)= 1


b) s ponavljanjem

K ′r(n) =

n(n + 1) · · · (n + r − 1)r!

=(

n + r − 1r

).

Varijacije:Broj varijacija r-tog razreda od n elemenata:

a) bez ponavljanja

Vr(n) = n(n− 1) · · · (n− r + 1) =(

n

r

)· r!; Vr(n) = Kr(n) · r!;

b) s ponavljanjem

V ′r (n) = nr

Binomni obrazac:

(a + b)n = an +n

1an−1b +

(n

2

)an−2b2 + . . . +

(n

n− 2

)a2bn−2 +

(n

n− 1

)abn−1 + bn

Svojstvo binomnih koeficijenata:

(n

r

)=

(n

n− r

)

j) R a c u n v e r o v a t n o c e

Verovatnoca v =p

m, (p povoljni, m moguci slucajevi)

Suprotna verovatnoca: v′ = 1− vTotalna verovatnoca (verovatnoca ”ili – ili”): v = v1 + v2 + . . . vn.Slozena verovatnoca (verovatnoca ”i – i”): v = v1 v2 · · · vn

Matematicka nada: N = c · v (c je svota, v verovatnoca dobitka svote).

2. GEOMETRIJA

3. ANALITICKA GEOMETRIJA

a) T a c k a

– Me -dusobna udaljenost tacaka P1(x1, y1) i P2(x2, y2):

d =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

– Ako tacka Q(x, y) deli duzinu P1P2 u razmeri

P1Q

QP2= −m

n= −λ, tada su koordinate preseka:

x =nx1 −mx2

n−m=

x1 − λx2

1− λ, y =

ny1 −my2

n−m=

y1 − λy2

1− λ

Ako je λ pozitivno, tacka Q je izvan duzine P1P2; ako je λ negativno, tacka Q je unutar duzine P1P2.Za λ = −1 tacka Q polovi duzinu P1P2; tada je


x =x1 + x2

2, y =

y1 + y2

2.

Povrsina trougla koji je odre -den tackama P1(x1, y1), P2(x2, y2) i P3(x3, y3) glasi:

P =12[x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)].

Uslov da tri tacke leze na istom pravcu:

x2 − x1

x3 − x1=

y2 − y1

y3 − y1.

b) P r a v a c

Eksplicitni oblik jednacine pravca: y = ax + b, a = tanα, koeficijent pravca, a b = odsecak na osi y.

Opsti oblik jednacine pravca: Ax + By + C = 0, a = −A

B, b = −C

B.

Segmentni oblik:x

m+

y

n= 1

Jednacina pravca kroz tacku (x1, y1): y − y1 = a(x− x1).

Jednacina pravca kroz tacke (x1, y1) i (x2, y2): y − y1 =y2 − y1

x2 − y2(x− x1).

Normalni oblik jednacine pravca: x cosϕ + y sin ϕ− d = 0.

Ax + By + C

±√A2 + B2= 0

(ϕ = ugao koji normala na taj pravac zaklapa s pozitivnim smerom ose x, d = udaljenost zadanog pravca odishodista. Ako je B > 0, treba uzeti znak +, ako je B < 0, znak −).

Udaljenost tacke (x0, y0) od pravca Ax + By + C = 0:

δ = −(x0 cos ϕ + y0 sin ϕ− d),

δ = −(Ax0 + By0 + C

±√A2 + B2)

Ugao ϕ izme -du dva pravca (koji su odre -deni jednacinama y = a1x + b1 i y = a2x + b2, a2 > a1)

tan ϕ =a2 − a1

1 + a1a2

Uslov paralelnosti: a1 = a2; Uslov okomitosti: a1 = − 1a2

.

K r u z n i c a

Centralna jednacina kruznice: x2 + y2 = r2

– jednacina tangente u tacki (x1, y1) : (x1x + y1y) = r2

– uslov da pravac y = kx + l bude tangenta kruznice r2(k2 + l) = l2.

Opsta jednacina kruznice: (x− p)2 + (y − q)2 = r2 ili

x2 + y2 + dx + ey + f = 0d = −2p e = −2q f = p2 + q2 − r2.

a) jednacina tangente u tacki (x1, y1): (x1 − p)(x− p) + (y1 − q)(y − q) = r2.b) uslov da pravac y = kx + l bude tangenta kruznice (x− p)2 + (y − q)2 = r2;

r2(l + k2) = (q − kp− l)2.


d) E l i p s a

Osna jednacina elipse:

b2x2 + a2y2 = a2b2 ilix2

a2+

y2

b2= 1

– linearni ekscentricitet: e =√

a2 − b2; numericki ekscentricitet: ε =e

a

– parametar 2p =2b2

a– jednacina tangente u tacki (x1, y1): b2x1x + a2y1y = a2b2

– uslov da pravac y = kx + l bude tangenta elipse: a2k2 + b2 = l2

– povrsina elipse: P = a b π

e) H i p e r b o l a

Osna jednacina hiperbole:

b2x2 − a2y2 = a2b2 ilix2

a2− y2

b2= 1

– linearni ekscentricitet: e =√

a2 + b2; numericki ekscentricitet: ε =e

a

– parametar 2p =2b2

a– jednacina tangente u tacki (x1, y1): b2x1x− a2y1y = a2b2

– uslov da pravac y = kx + l bude tangenta hiperbole: a2k2 − b2 = l2

f) P a r a b o l a

Temena jednacina parabole: y2 = 2 px (2p parametar).– tangenta parabole u tacki (x1, y1): y1y = p(x + x1)– uslov da pravac y = kx + l bude tangenta parabole: p = 2 kl– povrsina segmenta parabole koji je odre -den tackama (x1, y1) i (x1 − y1);

P =43x1y1.

4. INFINITEZIMALNI RACUN

a) D i f e r e n c i j a l n i r a c u n

Derivacije jednostavnih funkcija:

y = c y = cx y = ex y = ax dy

dx= y′ = 0 y′ = c y′ = ex y′ = ax ln a

y = sin x y = cos x y = tan x y = cotg x y′ = cos x y′ = − sin x y′ =1

cos2 xy′ = − 1

sin2 x

Derivacija zbira i razlike:

y = u(x)± v(x)± z(x) y′ = u′ ± v′ ± z′.

Derivacija proizvoda i kolicnika:

y = u(x) · v(x) y =u(x)v(x)

y′ = u′v + uv′ y′ =u′v − uv′

v2


Derivacija slozene funkcije:

Ako je y = f(u), u = g(x) tada je y′ =dy

du

du

dxili y′ = f ′(x1) = 0

Ekstremne vrednosti funkcije:Funkcija y = f(x) moze imati na mestu x1 ekstremnu vrednost ako je f ′(x1) = 0. Ekstrem je

minimun

maksimum

ako je f ′′(x1) >

< 0.

b) I n t e g r a l n i r a c u n

∫xn dx =

xn+1

n + 1+ c za n >

< − 1;∫

dx

x= ln x + c

∫f ′(x)f(x)

dx = ln f(x) + c;∫

ex dx = ex + c;∫

ax dx =ax

ln a+ c;

∫sin x dx = − cos x + c;

∫cos x dx = sin x + c;

∫dx

sin2 x= −cotg x + c;

∫dx

cos2 x= tan x + c;

∫tan x dx = − ln cos x + c;

∫cotg x dx = ln sin x + c.

Ako je a konstanta, u = u(x), v = v(x):∫

a · u dx = a

∫u dx;

∫(u + v) dx =

∫u dx +

∫v dx;

∫u dv = uv −

∫v du.

H – F O R M U L E

IZ RAVNE I SFERNE TRIGONOMETRIJE

1. RAVNA TRIGONOMETRIJA

– Definicije trigonometrijskih funkcija:

sin α =naspramna kateta

hipotenuza=

a

c=

MN

1= MN

cosα =nalegla katetahipotenuza

=b

c=

ON

1= ON

tan α =naspramna kateta

nalegla kateta=

a

b=

TT ′

1= TT ′

sec α =hipotenuza

nalegla kateta=

c

b=

OT

1= OT

cotg α =nalegla kateta

naspramna kateta=

b

a=

CC ′

1= CC ′

cosec α =hipotenuza

naspramna kateta=

c

a=

OC

1= OC

– Osnovne relacije trigonometrijskih funkcija:

sin α cosec α = 1cos α sec α = 1tan α cotg α = 1

tan α =sin α

cos α

cotg α =cos α

sin α

sin2 +cos2 α = 1

1 + tan2 α = sec2 α

1 + cotg2 α = cosec2 α

– Formule pomocu kojih se iz zadane funkcije mogu izraziti ostale funkcije

sin cos tan cotg sec cosec

sin α = sin α√

1− cos2 αtan α√

1 + tan2 α

1√1 + cotg2α

√sec2 α− 1

sec α

1cosec α

cosα =√

1− sin2 α cosα1

1 + tan2 α

cotg α

1 + cotg2α

1sec α

√cosec2α− 1cosec α

tanα =sin α√

1− sin2 α

√1− cos2 α

cosαtan α

1cotg α

√sec2 α− 1

1√cosec2α− 1

Kosekans, sekans i kotangens su reciprocne vrednosti sinusa, kosinusa i tangensa.


– Vrednosti trigonometrijskih funkcija nekih uglova

0

360 30 45 60 90 120 135 150 180 270

sin 012

12

√2

12

√3 1

12

√3

12

√2

12

0 −1

cos 112

√3

12

√2

12

0 −12

−12

√2 −1

2

√3 −1 0

tan 0 −13

√3 1

√3 ∞ −√3 −1 −1

3

√3 0 −∞

cotg ∞ √3 1

13

√3 0 −1

3

√3 −1 −√3 −∞ 0

sec 123

√3

√2 2 ∞ −2 −√2 −2

3

√3 −1 −∞

cosec ∞ 2√

223

√3 1

23

√3

√2 2 −∞ −1

– Trigonometrijske funkcije uglova od 0 do 360

Formule za svo -denje uglova na I kvadrant

F u n k c i j aUgao

sin cos tan cotg sec cosec

90 ∓ α +cos α ± sin α ±cotg α ± tan α ±cosecα + sec α

180 ∓ α ± sin α − cos α ∓ tan α ∓cotg α − sec α ±cosec α

270 ∓ α − cos α ∓ sin α ±cotg α ± tan α ∓cosecα − sec α

360 ∓ α ∓ sin α +cos α ∓ tan α ∓cotg α +sec α ∓cosec α

– Predznaci trigonometrijskih funkcija u pojedinim kvadrantima

Kvadrant sincosec

cossec

tancotg

I + + +

II + – –

III – – +

IV – + –

– Trigonometrijske funkcije zbira i razlike uglova

sin(α± β) = sin α cos β ± cosα sin β

cos(α± β) = cos α cosβ ∓ sin α sin β

tan(α± β) =tan α± tanβ

1∓ tan α tanβ=

cotg β ± cotg α

cotg α cotg β ∓ 1

cotg (α± β) =cotg α cotg β ∓ 1cotgβ ± cotg α

sec(α± β) =sec α sec β

1∓ tan α tanβ

cosec (α± β) =cosec α cosecβ

cotg β ± cotg α


– Trigonometrijske funkcije dvostrukih uglova

sin 2α = 2 sin α cos α

cos 2α = cos2 α− sin2 α

tan 2α =2 tan α

1− tan2 α=

2cotg α− tan α

=2 cotg α

cotg2 α− 1

cotg 2α =cotg2 α− 1

2 cotg α=

1− tan2 α

2 tan α

sec 2α =sec2 α

1− tan2 α

cosec 2α =cosec2 α

2 cotg α

cos 2α = 2 cos2 α− 1

cos 2α = 1− 2 sin2 α

cos 2α =1− tan2 α

1 + tan2 α

sin 2α =2 tan α

1 + tan2 α

1 + cos 2α = 2 cos2 α

1− cos 2α = 2 sin2 α

sin α = 2 sinα

2cos

α

2=

2 tanα

21 + tan2 α

2

cos α = cos2α

2− sin2 α

2=

1− tan2 α

21 + tan2 α

2

tan α =2 tan

α

21− tan2 α

2

=2 cotg

α

2cotg2 α

2− 1

=2

cotgα

2− tan

α

2

cotg α =cotg2 α

2− 1

2 cotgα

2

=1− tan2 α

22 tan

α

2

=cotg

α

2− tan

α

22

– Trigonometrijske funkcije polovicnih uglova

sinα

2=

√1− cosα

2

tanα

2=

1− cosα

sin α=

sin α

1 + cos α

tanα

2=

√1− cosα

1 + cos α

cosα

2=

√1 + cos α

2

cotgα

2=

√1 + cos α

1− cos α

cotgα

2=

sin α

1− cos α=

1 + cos α

sin α

– Pretvaranje trigonometrijskih formula u logaritamski oblik(Transformacija relacija)

sin α + sin β = 2 sinα + β

2cos

α− β

2

sin α− sin β = 2 cosα + β

2sin

α− β

2

cosα + cos β = 2 cosα + β

2cos

α− β

2

cosα− cosβ = −2 sinα + β

2sin

α− β

2= 2 sin

β + α

2sin

β − α

2


sinα + sin β

sinα− sinβ=

tan α + β

2cotg

α− β

2=

tanα + β

2

tanα− β

2

tan α± tanβ =sin(α± β)cosα cos β

cotg α± cotg β =sin(β ± α)sin α sin β

sin(α + β) + sin(α− β) = 2 sin α cos β

sin(α + β)− sin(α− β) = 2 cos α sin β

cos(α + β) + cos(α− β) = 2 cos α cosβ

cos(α + β)− cos(α− β) = −2 sinα sin β

sin2 α− sin2 β = cos2 β − cos2 α = sin(α + β) sin(α− β)

cos2 α− sin2 β = cos2 β − sin2 α = cos(α + β) cos(α− β)

tan2 α− tan2 β =sin(α + β) sin(α− β)

cos2 α cos2 β

cotg2 α− cotg2 β =sin(β + α) sin(β − α)

sin2 α sin2 β

sec2 α− sec2 β = tan2 α− tan2 β =sin(α + β) sin(α− β)

cos2 cos2 β

cosec2 α− cosec2 β = cotg2 α− cotg2 β =sin(β + α) sin(β − α)

sin2 α sin2 β

a) P r a v o u g l i r a v n i t r o u g a o

sin α =a

c. . . . . . . . . . .

cosα =b

c. . . . . . . . . . .

tanα =a

b. . . . . . . . . . .

cotg α =b

a. . . . . . . . . . .

sin β =b

c. . . . . . . . . . .

cosβ =a

c. . . . . . . . . . .

tanβ =b

a. . . . . . . . . . .

cotg β =a

b. . . . . . . . . . .

a = c sin α . . . . . . . . . . .

b = c cosα . . . . . . . . . . .

a = b tan α . . . . . . . . . . .

b = a cotg α . . . . . . . . . . .

b = c sin β . . . . . . . . . . .

a = c cosβ . . . . . . . . . . .

b = a tan β . . . . . . . . . . .

a = b cotg β . . . . . . . . . . .

c =a

sin α= a · cosec α

c =b

cos α= b · sec α

b =a

tan α= a · cotg α

a =b

cotg α= b · tan α

c =b

sin β= b · cosec β

c =a

cos β= a · sec β

a =b

tan β= b · cotg β

b =a

cotg β= a · tan β

– Pravila za izracunavanje stranica pravouglog ravnog trougla

a) Kateta je jednaka proizvodu hipotenuze i sinusa ugla nasuprot trazenoj kateti. Ili:kateta je jednaka proizvodu hipotenuze i kosinusa ugla uz trazenu katetu.

b) Kateta je jednaka proizvodu druge katete i tangensa ugla nasuprot trazenoj kateti. Ili:kateta je jednaka proizvodu druge katete i kotangensa ugla uz trazenu katetu.

c) Hipotenuza je jednaka proizvodu katete i kosekansa ugla nasuprot toj kateti. Ili:hipotenuza je jednaka proizvodu katete i sekansa ugla uz tu katetu.

b) K o s o u g l i r a v n i t r o u g a o

– Sinusna teorema:

U kosouglom ravnom trouglu stranice se me -dusobno odnose kao sinusi njima suprotnih uglova.


a : b : c = sin α : sinβ : sin γ

– Primena sinusne teoreme

a : b = sin α sin β

a =b sin α

sin βsin α =

a sin β

b

b =a sin β

sinαsin β =

b sin α

aa : c = sinα : sin γ

b : c = sin β : sin γ

– Kosinusna teorema:

U kosouglom ravnom trouglu kvadrat neke stranice jednak je zbiru kvadrata drugih dveju stranica manjedvostruki umnozak tih stranica i kosinusa ugla me -du njima.

a2 = b2 + c2 − 2bc · cos α

b2 = a2 + c2 − 2ac · cos β

c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ

cos α =b2 + c2 − a2

2bc

cos β =a2 + c2 − b2

2ac

cos γ =a2 + b2 − c2

2ab

– Transformisana kosinusna teorema:

a =b− c

cosϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tanϕ =

2√

bc · sin α

2b− c

b =a− c

cosϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tanϕ =

2√

ac · sin β

2a− c

c =a− b

cosϕ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tanϕ =

2√

ab · sin γ

2a− b

– Tangensna teorema:

Kolicnik zbira i razlike dveju stranica kosouglog ravnog trougla jednak je kolicniku tangensa poluzbira ipolurazlike suprotnih uglova.

(a + b) : (a− b) = tanα + β

2: tan

α− β

2

(b + c) : (b− c) = tanβ + γ

2: tan

β − γ

2

(c + a) : (c− a) = tanγ + α

2: tan

γ − α

2

– Primena tangensne teoreme:

tanα− β

2=

(a− b) · tanα + β

2a + b

α + β = 180 − γ

tanβ − γ

2=

(b− c) · tanβ + γ

2b + c

β + γ = 180 − α

tanγ − α

2=

(c− a) · tanγ + α

2c− a

γ + α = 180 − β

Iz poznatog zbira i razlike dva ugla izracuna se velicina svakog ugla.


– Mollweideove jednacine:

Zbir dveju stranica prema trecoj stranici u trouglu odnosi se kao kosinus polurazlike prema kosinusupoluzbira suprotnih uglova.

(a + b) : c = cosα− β

2: cos

α + β

2

(b + c) : a = cosβ − γ

2: cos

β + γ

2

(c + a) : b = cosγ − α

2: cos

γ + α

2Razlika dveju stranica prema trecoj stranici u trouglu odnosi se kao sinus polurazlike prema sinusu poluzbira

suprotnih uglova.

(a− b) : c = sinα− β

2: sin

α + β

2

(b− c) : a = sinβ − γ

2: sin

β + γ

2

(c− a) : b = sinγ − α

2: sin

γ + α

2Mollweideove jednacine mogu se primeniti kad je u trouglu zadan jedan ugao i jedna stranica i zbir ili

razlika drugih dveju stranica. Mogu se upotrebiti za proveru resenja trougla koji je resen sinusnom teoremomili za resavanje trougla u kome su zadata dva ugla i jedna stranica. Primenjuje se i za resavanje pravouglogtrougla u obliku:

a + b

c=√

2 · cosα− β

2a− b

c=√

2 · sin α− β

2– Izracunavanje uglova u trouglu:

s =a + b + c

2= poluzbir stranica trougla

sinα

2=

√(s− b) (s− c)

bc

sinβ

2=

√(s− a) (s− c)

ac

sinγ

2=

√(s− a) (s− b)

ab

cosα

2=

√s (s− a)

bc

cosβ

2=

√s (s− b)

ac

cosγ

2=

√s (s− c)

ab

tanα

2=

√(s− b) (s− c)

s (s− a)=

ρ

s− a

tanβ

2=

√(s− a) (s− c)

s (s− b)=

ρ

s− b

tanγ

2=

√(s− a) (s− b)

s (s− c)=

ρ

s− c

ρ = radijus upisane kruznice

– Povrsina trougla:

P =ab

2sin γ =

ac

2sin β =

bc

2sin α

– Radijus opisane (r) i upisane (ρ) kruznice trougla:

r =a

2 sin α=

b

2 sinβ=

c

2 sin γ=

s

4 cosα

2cos

β

2cos

γ

2


ρ = (s− a) tanα

2= (s− b) tan

β

2= (s− c) tan

γ

2

2. SFERNA TRIGONOMETRIJA

a) P r a v o u g l i i k v a d r a t n i s f e r n i t r o u g a o

– Pravougli sferni trougao

– Kvadratni sferni trougao

Ako se elementi pravouglog i kvadratnog sfernog trougla nanesu na kruznicu, kako je prikazano na gornjimslikama, tada za oba slucaja vazi Napierovo pravilo koje glasi:

Kosinus bilo kojeg elementa jednak je proizvodu kotangensa dvaju blizih elemenata ili proizvodu sinusadvaju daljih elemenata.

Npr., za pravougli sferni trougao:

γ = 90 . . . . . . . . . . . cos c = cotg α cotg β . . . . . . . ili

cos c = sin(90 − a) sin(90 − b)

Npr., za kvadratni sferni trougao:

c = 90 . . . . . . . . . . . cos(180 − γ) = cotg a cotg b . . . . . . . . ili

cos(180 − γ) = sin(90 − α) sin(90 − β)

b) K o s o u g l i s f e r n i t r o u g a o

– Sinusna teorema:

sin a : sin b : sin c = sin α : sin β : sin γ

sin a : sin b = sin α : sin β . . . . . . .

sin a : sin c = sin α : sin γ . . . . . . .

sin b : sin c = sin β : sin γ . . . . . . .

sin a =sin b sin α

sin β

sin c =sin a sin γ

sin α

sin β =sin b sin γ

sin c

– Kosinusna teorema za stranicu:

cos a = cos b cos c + sin b sin c cosα . . . . . . . . . . .

cos b = cos c cos a + sin c sin a cosβ . . . . . . . . . . .

cos a = cos a cos b + sin a sin b cos γ . . . . . . . . . . .

cosα =cos a− cos b · cos c

sin b sin c

cosβ =cos b− cos c · cos a

sin c sin a

cos γ =cos c− cos a · cos b

sin a sin b

– Kosinusna teorema za ugao:

cos α = − cos β cos γ + sin β sin γ cos a . . . . . . . . . . .

cos β = − cos γ cosα + sin γ sin α cos b . . . . . . . . . . .

cos γ = − cos α cosβ + sin α sin β cos c . . . . . . . . . . .

cos a =cos α + cos β · cos γ

sin β · sin γ

cos b =cos β + cos γ · cos α

sin γ · sin α

cos c =cos γ + cos α · cosβ

sin α · sin β


– Funkcije polovicnih uglova:

s =a + b + c

2

sinα

2=

√sin(s− b) sin(s− c)

sin b sin c; sin

β

2=

√sin(s− a) sin(s− c)

sin a sin c;

sinγ

2=

√sin(s− a) sin(s− b)

sin a sin b

cosα

2=

√sin s sin(s− a)

sin b sin c; cos

β

2=

√sin s sin(s− b)

sin a sin c

cosγ

2=

√sin s sin(s− c)

sin a sin b

tanα

2=

√sin(s− b) sin(s− c)

sin s sin(s− a); tan

β

2=

√sin(s− a) sin(s− c)

sin s sin(s− b)

tanγ

2=

√sin(s− a) sin(s− b)

sin s sin(s− c)

– Naiperove jednacine:

I N.J.

tanα + β

2=

cosa− b

2

cosa + b

2

cotgγ

2

tanα + γ

2=

cosa− c

2

cosa + c

2

cotgβ

2

tanβ + γ

2=

cosb− c

2

cosb + c

2

cotgα

2

III N.J.

tana + b

2=

cosα− β

2

cosα + β

2

tanc

2

tana + c

2=

cosα− γ

2

cosα + γ

2

tanb

2

tanβ + c

2=

cosβ − γ

2

cosβ + γ

2

tana

2

II N.J.

tanα− β

2=

sina− b

2

sina + b

2

cotgγ

2

tanα− γ

2=

sina− c

2

sina + c

2

cotgβ

2

tanβ − γ

2=

sinb− c

2

sinb + c

2

cotgα

2

IV N.J.

tana− b

2=

sinα− β

2

sinα + β

2

tanc

2

tana− c

2=

sinα− γ

2

sinα + γ

2

tanb

2

tanβ − c

2=

sinβ − γ

2

sinβ + γ

2

tana

2

– Teorema o sinusu stranice i kosinusu ugla:

sin a · cos β = cos b · sin c− sin b · cos c · cos α

sin a · cos γ = cos c · sin b− sin c · cos b · cos α

sin b · cos γ = cos c · sin a− sin c · cos a · cos β

sin b · cos α = cos a · sin c− sin a · cos c · cos β

sin c · cos α = cos a · sin b− sin a · cos b · cos γ

sin c · cos β = cos b · sin a− sin b · cos a · cos γ


– Teorema o sinusu ugla i kosinusu stranice:

sin α · cos b = cos β · sin γ + sin β · cos γ · cos a

sin α · cos c = cos γ · sin β + sin γ · cosβ · cos a

sin β · cos c = cos γ · sin α + sin γ · cosα · cos b

sinβ · cos a = cos α · sin γ + sin α · cos γ · cos b

sin γ · cos a = cos α · sin β + sin α · cos β · cos c

sin γ · cos b = cos β · sin α + sin β · cos α · cos c

– Tangensna teorema:

tana + b

2: tan

a− b

2= tan

α + β

2: tan

α− β

2

tana + c

2: tan

a− c

2= tan

α + γ

2: tan

α− γ

2

tanb + c

2: tan

b− c

2= tan

β + γ

2: tan

β − γ

2

– Kotangensna teorema:

cotg β · cosec c = cosec α · cotg b− cotg α · cotg c

cotg β · cosec a = cosec γ · cotg b− cotg γ · cotg a

cotg α · cosec b = cosec γ · cotg a− cotg γ · cotg b

cotg α · cosec c = cosec β · cotg a− cotg β · cotg c

cotg γ · cosec a = cosec β · cotg c− cotg β · cotg a

cotg γ · cosec b = cosec α · cotg c− cotg α · cotg b

Documents

Nove nauticke tablice