Embed Size (px)
Citation preview
P – 560
Novi pristup problemu snježne ralice – modeliranje i vizualizacija
Ivo Baras
Sveučilište u Splitu, Sveučilišni odjel za stručne studije, Split, Republika Hrvatska
Renata Kožul Blaževski
Sveučilišni odjel za stručne studije Sveučilišta u Splitu, Split, Republika Hrvatska
Nada Roguljić
Sveučilišni odjel za stručne studije Sveučilišta u Splitu, Split, Republika Hrvatska
Sažetak. Problem snježne ralice R. P. Agnewa klasičan je uvodni problem u gradivo običnih
diferencijalnih jednadžbi i ima više varijanti, među kojima je i problem triju ralica M. S.
Klamkina. Po razmatranju problema, u radu se problematiziraju neki nedostaci klasičnog
modela i diskutiraju se drugačiji pristupi. Programski paket Wolfram Mathematica iskorišten
je za vizualizaciju, provjeru i poopćavanje rezultata.
Ključne riječi: problem snježne ralice, obične diferencijalne jednadžbe, modeliranje, vizualizacija,
Wolfram Mathematica.
1. Uvod
Matematičko modeliranje je važan dio posla jednog inženjera. On mora biti sposoban realne
situacije prikazivati na apstraktan način te mora znati iščitavati, razumjeti i kreirati njihove
matematičke modele. Otvoreno je pitanje koliko matematičko obrazovanje koje se trenutno
nudi na tehničkim studijima u Republici Hrvatskoj odgovara takvom izazovu, odnosno koliko
osposobljava studenta za buduće samostalno i inventivno služenje matematičkim alatima i
modelima. Pošteno govoreći, samo učenje složenih matematičkih i drugih koncepata
neophodnih za razumijevanje matematičkih modela tijekom školovanja traje toliko dugo da
do kraja studija i ne ostane mnogo vremena za njihovo razvijanje. Studenta se tako naoruža
naprednim alatima matematike i fizike, ali mu se ne objasni kako će ih samostalno
kombinirati i primijeniti. To je slično kao da se kandidata priprema za vozački ispit tako da
mu se u detalje opiše funkcioniranje automobilskog motora i tipovi auta na tržištu, ali mu se
ne da ni sata vožnje.
Ovaj rad na jednom izdvojenom primjeru (donekle utopijski) promišlja kako bi mogao
izgledati matematički kolegij koji bi poučavao matematičko modeliranje na stručnim
studijima. Izabran je jednostavni problem koji se često koristi kao uvod u kolegij
diferencijalnih jednadžbi. Odabrani problem se analizira, prilagođava, modelira i računalno
vizualizira korištenjem programskog paketa Wolfram Mathematica. Zatim se uočavaju
nedostaci modela, poboljšava ga se i ponovo vizualizira. Konačno, promatraju se složenije
situacije, u modeliranju kojih se koriste i alati numeričke matematike pristupačni slušaču
stručnih studija.
P – 561
Wolfram Mathematica (u daljem tekstu WM) programski je paket kojeg je razvila kompanija
Wolfram Research. Prva mu je verzija izdana 1998., a od tada je postao jedan od
najnaprednijih i najkorištenijih softvera u tehničkim i znanstvenim područjima, a posebno u
matematici i fizici. Pored mogućnosti simboličkog i numeričkog računanja, snaga mu je
strukturiranost i velika prilagodljivost pa služi kao podloga brojnim aplikacijama. Zbog
lakoće kojom se računanja provode moguće je lako napraviti korak od korištenja osnovnih
modela k modeliranju složenijih i specijalnih slučaja. Također, interaktivno sučelje novih
programa omogućava da se problem na elegantan način vizualizira, da se mijenja parametre i
promatra ishode u animaciji. Treba međutim naglasiti da je WM samo jedan od popularnih
programskih paketa integriranih u radno okruženje (drugi takvi programi su Matlab, Maple,
Sage itd). Autori su stjecanjem okolnosti koristili baš programski paket WM i nemaju
osobnog interesa u njegovom propagiranju.
2. Problem snježne ralice
Profesori matematike često otvaraju kolegij diferencijalnih jednadžbi ovim zanimljivim i
isprva ne baš očiglednim problemom koji se pripisuje Ralphu Palmeru Agnewu [1]:
Originalni problem snježne ralice (R. P. Agnew): Snijeg je počeo padati ujutro i padao je
gusto, stalnim intenzitetom. Snježna ralica krenula je u podne, prevalivši dva kilometra u
prvom satu, a jedan kilometar u drugom satu. U koliko je sati počeo padati snijeg?
Označimo s t [h] vrijeme, s 0t [h] trenutak u kome je počeo padati snijeg, s tx prevaljeni
put ralice [km], s th [m] visinu snijega i s w [m] širinu pluga ralice. Problem se klasično
rješava tako da se pretpostavi kako je količina snijega koju ralica očisti u jedinici vremena
txtwh ' konstantna, odakle je za neku pozitivnu konstantu k , th
ktx ' . Uzimajući u
obzir stalan intenzitet padanja snijega, u oznaci a [m/h], dobiva se da je
00
0
za,
za, 0
tttta
ttth i konačno
0
'tta
ktx
, za 12t . Integriranjem, slijedi da je
Ctta
ktx 0ln , odakle se uvrštavanjem početnog uvjeta 012 x odmah dobije da je
012ln ta
kC pa je dakle
0
0
12ln
t
tt
a
ktx jednadžba gibanja ralice. Da se ustanovi
vrijeme 0t kad je počeo padati snijeg, koriste se uvjeti
0
0
12
13ln132
t
t
a
kx ,
0
0
12
14ln143
t
t
a
kx pa se dijeljenjem i raspisivanjem dolazi do jednadžbe
015525 0
2
0 tt . Slijedi da je 382.112
5250
t što znači da je snijeg počeo padati u
11 sati, 22 minute i 55,2 sekundi.
Murray Seymour Klamkin postavio je ovakvu varijantu problema snježne ralice [2]:
Velika utrka snježnih ralica (M. S. Klamkin): Snijeg je počeo padati ujutro i padao je
gusto, stalnim intenzitetom. Prva snježna ralica krenula je u podne, druga ju je slijedila u 13
sati, a treća u 14 sati i susrele su se u istom trenutku. U koliko je sati počeo padati snijeg?
P – 562
Uz iste pretpostavke kao u prethodnom modelu, korisno je umjesto tx promatrati xt . Ako
je, naime, snijeg počeo padati u 0t [h], a vremena stizanja i – te ralice u točku x su xti ,
3,2,1i diferencijalne jednadžbe kretanja glase:
011 ' txtk
axt , 1201 t
xtxtk
axt 122 ' , 1302 t
xtxtk
axt 233 ' , 1403 t .
Integriranjem i uvrštavanjem izlazi da je u trenutku susreta 1945.15321 txtxtxt ,
odakle je 5.110 t što znači da je snijeg počeo padati u 11:30 sati.
3. Računalna vizualizacija problema snježne ralice
U originalnom Agnewljevom problemu uvjet da ralica prevali dva kilometra u prvom satu, a
jedan kilometar u drugom satu služi uglavnom zato da bi se dobili “zgodni” koeficijenti u
kvadratnoj jednadžbi, no to bi istovremeno značilo da se ralica do podneva idućeg dana neće
probiti ni do osmog kilometra ceste, pošto zbog 2.078012
13ln2
0
01
t
t
a
k izlazi da je
7.65712
2412ln2412
0
0
t
t
a
kx .
Zbog toga ćemo za naše potrebe osmisliti realniju, malo manje arktičku situaciju, primjereniju
uvjetima na domaćim cestama koju ćemo moći zgodno računalno modelirati te mijenjanjem
parametara detaljnije proučiti.
Modificirani problem snježne ralice: Gračac i Udbina međusobno su udaljeni 35 km. Snijeg
je počeo padati u 0t sati ujutro, stalnim intenzitetom a [m/h]. Ralica kreće iz Gračaca u
0tts sati i poznato je da do stt 1 sati prevali 01 x kilometara. Modelirajte i vizualizirajte
kretanje ralice.
Model 1: Označi li se ponovo s tx [km] prevaljeni put ralice, s th [m] visina snijega i s w
[m] širina pluga ralice, uzimajući da je količina očišćenog snijega u jedinici vremena
txtwh ' konstantna, slijedi da je za neku pozitivnu konstantu k , th
ktx ' . Uzimajući u
obzir stalan intenzitet padanja snijega, u oznaci a [m/h], dobiva se da je
00
0
za,
za, 0
tttta
ttth i konačno
0
'tta
ktx
, za stt . Integriranjem, slijedi da je
Ctta
ktx 0ln , odakle se uvrštavanjem početnog uvjeta 0stx odmah dobije da je
0ln tta
kC s pa je dakle
0
0lntt
tt
a
ktx
s
jednadžba gibanja ralice. Da se dobije
P – 563
iznos konstante k , uvrsti se da je
0
0111 ln
tt
tt
a
ktxx
s
, iz čega je
0
011
1 lntt
ttaxk
s
pa
je jednadžba gibanja ralice
0
01
0
0
1
ln
ln
tt
tt
tt
tt
xtx
s
s.
Ovaj je model zgodno vizualizirati korištenjem WM programa prikazanog na slici 1. Isječak
vizualizacije (crtanog filma s ralicom u glavnoj ulozi) za slučaj 02.0a , 60 t , 8st ,
101 t , 121 x vidi se na slici 2.
4. Nedostatak klasičnog modela gibanja snježne ralice
Opisani model gibanja snježne ralice klasično korišten za rješavanje problema snježne ralice
Agnewa i Klamkina ima najmanje jedan ozbiljan nedostatak: za taj model bitno je da snijeg
pada gusto, a da ralica krene neko vrijeme nakon što snijeg počne padati. Naime, iz jednadžbe
th
ktx ' slijedi da kad visina snijega 0th , tx' . Prema takvom modelu, ralica
koja bi krenula čistiti snijeg iz prošlog primjera minutu nakon što on počne padati, kretala bi
se impozantnom brzinom od km/h 9.1308 . To znači da je takvim modelom praktično
nemoguće opisati slučaj da ralica krene u trenutku kad snijeg počne padati ili čak ranije. Zato
se u nastavku razmatra nešto drukčiji model.
Slika 1 – WM program za vizualizaciju modela 1 modificiranog problema snježne ralice
Slika 2 – WM simulacija modela 1 modificiranog problema snježne ralice
P – 564
Modificirani problem – model 2: neka je 0v [km/h] brzina kojom se ralica kreće po očišćenoj
cesti. Uz iste oznake kao u prvom modelu, slijedi da je prethodnu jednadžbu th
ktx '
zgodno korigirati, tako da dobijemo
0
'1'
v
tx
th
ktx . Dodani faktor će osigurati da
brzina ne premaši maksimalnu brzinu 0v . Raspisivanjem jednadžbe kthv
kvtx
0
0'
uzimajući u obzir stalan intenzitet padanja snijega, u oznaci a [m/h], dobiva se
00
0
za,
za, 0
tttta
ttth i slijedi da je za 0tt ,
kttav
kvtx
00
0' , odakle je
Cav
ktt
a
ktx
0
0ln .
U slučaju da ralica krene nakon što snijeg počne padati, stt 0 , početni uvjet daje
Cav
ktt
a
ktx ss
0
0ln0 pa je
kttav
kttav
a
ktx
s 00
00ln .
U protivnom, za 0tts ,
0
0
0
00
za,
za,
za, 0
'
ttkthv
kv
tttv
tt
tx s
s
i početni uvjet daje
Cav
ktt
a
ktxttv s
0
00000 ln ,
pa je
00000
00
za, ln
za,
za, 0
ttttvk
kttav
a
k
tttt v
tt
tx
s
s
s
.
Korištenjem uvjeta 11 xtx i neke od metoda numeričkog rješavanja jednadžbi npr. metodu
bisekcije, dolazi se do iznosa konstante k . Na slici 3 je WM program korišten za
vizualizaciju, a na slici 4 vidi se rezultat za slučaj da je granična brzina ralice 300 v ,
02.0a , 60 t , 8st , 101 t , 121 x (izlazi da je 4363.0k ). Na slici 5 su grafovi puta
i brzine ralice.
Dodatno, na slici 6 su grafovi puta tx i brzine tx' ralice za slučaj da je ralica krenula u 5
sati i 45 minuta, brzinom od 30 km/h, a snijeg počeo padati u 6 sati, uz uvjete 02.0a ,
91 t , 281 x . Ovo potvrđuje da model dobro opisuje i slučaj da je ralica na cesti i prije
početka padanja snijega.
P – 565
Slika 3 – WM program za vizualizaciju modela 2 modificiranog problema snježne ralice
Slika 4 – WM simulacija modela 2 modificiranog problema snježne ralice
Slika 5 – Grafovi puta i brzine ralice, stt 0 Slika 6 – Grafovi puta i brzine ralice, 0tts
5. Modificirani problem snježne ralice – dvije složenije situacije
Od Gračaca do Udbine i natrag: Snijeg je počeo padati u 0t sati ujutro, stalnim
intenzitetom a [m/h]. Ralica kreće iz Gračaca u st sati i poznato je da do 01 tt sati prevali
01 x kilometara. Kad stigne do Udbine, vozač ode nešto pojesti, da bi nakon 0T [h]
vremena ponovo krenuo put Gračaca. Modelirajte i vizualizirajte kretanje ralice.
Model: Ako je tx1 put koji ralica prevali u smjeru Udbine, a tx2 put koji ista ralica prevali
u smjeru Gračaca, imamo da je
0
'1'
v
tx
th
ktx i
i , 2,1i . Slično kao u analizi
Klamkinova modela, ovdje je zgodnije umjesto txi razmatrati xti . U slučaju da je stt 0 ,
P – 566
gibanje ralice opisano je jednadžbama
0
11
1'
vk
xthxt , gdje je
xttttxta
txtxth
s 1001
01
1 za,
za, 0 , stt 01 , xtxt
k
axt 35' 122 ,
Ttt 350 12 . Na slici 7 je WM program korišten za vizualizaciju, a na slici 8 vidi se
njegov rezultat za slučaj da je granična brzina ralice 300 v , 02.0a , 60 t , 8st , 101 t ,
121 v , 2T .
Slika 7 – WM program za vizualizaciju modela problema ralice koja se vraća
Slika 8 – WM simulacija modela problema ralice koja se vraća
Problem dviju snježnih ralica: Snijeg je počeo padati u 0t sati ujutro, stalnim
intenzitetom a [m/h]. Prva ralica kreće iz Gračaca u st sati i poznato je da do 01 tt sati
prevali 01 x kilometara. 0T [h] vremena nakon polaska prve ralice, iz Udbine kreće
druga ralica, u smjeru prve ralice. Modelirajte i vizualizirajte kretanje ralica.
P – 567
Model: Ako je tx1 put koji prva ralica prevali u smjeru Udbine, a tx2 put koji druga ralica
prevali u smjeru Gračaca, označimo li opet imamo da je
0
'1'
v
tx
th
ktx i
i , 2,1i .
U slučaju da je stt 0 , gibanje ralica opisano je s
0
11
1'
vk
xthxt , gdje je
xttttxta
txtxth
s 1001
01
1 za,
za, 0 , stt 01 ,
0
22
1'
vk
xthxt ,
xttxtxta
txttxtaxth
2212
2202
2 za, 35
za, , Ttt s 02 , gdje je 2t numeričko rješenje
jednadžbe txtx 21 35 .
Na slici 9 je WM program korišten za vizualizaciju, a na slici 10 vidi se njegov rezultat za
slučaj da je granična brzina ralice 300 v , 02.0a , 60 t , 8st , 101 t , 121 x .
Slika 9 – WM program za vizualizaciju modela dviju ralica
P – 568
Slika 10 – WM simulacija modela dviju ralica
6. Zaključak
Treba uočiti da se zadani problem rješava matematičkim modeliranjem, ali da računalna
simulacija donosi sasvim novu kvalitetu: ona vizualizira problem, omogućava proučavanje
alternativnih scenarija promjenom vrijednosti parametara, kao i eksperimentiranje s
promjenom postavki. Sve ovo pobuđuje zanimanje studenata i otvara neslućene mogućnosti
za nastavu i istraživanje. To će još više doći do izražaja u narednim godinama, kako programi
za računanje i simulaciju budu još snažniji i pristupačniji.
Idući korak u našem zamišljenom kolegiju predstavljalo bi samostalno zadavanje i razrada
problema. Primjerice, evo nekih pravaca razmišljanja koji bi se u opisanom problemu mogli
ostaviti studentima za samostalni rad:
1. Računalno vizualizirati originalni Klamkinov model problema triju ralica.
2. Modificirati originalni Klamkinov model, računalno ga vizualizirati i usporediti
rezultate.
3. Što bi se u Klamkinovu problemu triju ralica dogodilo nakon trenutka kad se ralice
susretnu? Čiste li ralice tada trostruko efikasnije ili smetaju jedna drugoj? Kako bi
mogle nesmetano čistiti zajedno? Koji je granični broj ralica nakon kojeg nove
ralice postaju smetnja?
4. Realizirati model i računalnu simulaciju ralice koja stalno ide od Gračaca prema
Udbini i natrag.
5. Na istu cestu pustiti više ralica, koje se kreću pravilnim ili nepravilnim ritmom,
modelirati i vizualizirati. Razmotriti rekurzivne formule za n ralica.
6. Uvesti “dispečera” koji pokreće i zaustavlja ralice klikom miša. Postoji li neka
optimalna strategija čišćenja? Kako ocijeniti optimalnost strategije?
7. Razmotriti i vizualizirati modele koji bi opisivali situacije s promjenjivim
intenzitetom padanja snijega ili različite dubine snijega u startu te situaciju kad
snijeg počinje ili prestaje padati na klik miša.
8. Razmotriti i vizualizirati drugačije (primjerice, fizikalne) modele kretanja ralice
kroz snijeg.
9. Razmisliti može li se koji od korištenih modela upotrijebiti za rješavanje nekog
drugog problema: na primjer, može li model gibanja snježne ralice poslužiti za
modeliranje dinamike rješavanja predmeta na sudu opterećenom velikim
zaostacima?
Literatura:
1. Agnew, R. P. (1960.): Differential Equations, McGraw – Hill Inc., US; 2nd Revised
edition edition
P – 569
2. Klamkin, M. S. (1951.): Amer. Math Monthly, 58, (260)
3. Šikić, Z. (2003.): Diferencijalne jednadžbe, udžbenik Sveučilišta u Zagrebu, Zagreb,
Profil
4. Wellin, P. R. (2013.): Programming with Mathematica, An Introduction, Cambridge
University Press
Snow plow problem: a new approach - modeling and
visualization
Ivo Baras
University of Split, University Department of Professional Studies, Split, Croatia
Renata Kožul Blaževski
University of Split, University Department of Professional Studies, Split, Croatia
Nada Roguljić
University of Split, University Department of Professional Studies, Split, Croatia
Abstract. The snow plow problem, usually atributed to R. P. Agnew is a classic introductory
problem in the textbooks of ordinary differential equations. It has several variants, including
The great snow plow chase problem by M. S. Klamkin. After investigating the problems, the
paper discusses some shortcomings of the classical model and proposes different approaches.
The software package Wolfram Mathematica is used for the visualization, verification and
generalization of the results.
Key words: snow plow problem, ordinary differential equations, modeling, visualization, Wolfram
Mathematica
