- 1 -

UNIVERZITET U NOVOM SADU

PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA

MATEMATIKU I INFORMATIKU

Ţuţana Fekete

Novi pristupi metričkim aspektima

cikloide i njoj srodnih krivih

- master rad -

Mentor: dr Nevena Pušić

Novi Sad, 2012.

- 2 -

- 3 -

Sadržaj

Sadrţaj ............................................................................................................. - 3 -

Glava I - Kriva generisana točkom ................................................................... - 7 -

1.1. Uvod ................................................................................................ - 7 -

1.2. Šta je cikloida? ................................................................................. - 8 -

1.3. Malo istorije ..................................................................................... - 9 -

Glava II - Najvaţnije osobine cikloide ............................................................ - 11 -

Glava III - Krive srodne cikloidi ..................................................................... - 15 -

3.1. Hipocikloide ........................................................................................ - 17 -

3.1.1. Osobine hipocikloide .................................................................... - 19 -

3.1.2. Najpoznatije hipocikloide ............................................................. - 21 -

3.1.3. Teorema dvostruke generacije ....................................................... - 25 -

3.2. Epicikloide .......................................................................................... - 28 -

3.2.1. Osobine epicikloide ...................................................................... - 29 -

3.2.2. Najpoznatije epicikloide................................................................ - 32 -

3.3. Pericikloide ......................................................................................... - 36 -

3.4. Familija trohoida ................................................................................ - 38 -

Glava IV - Površina ispod jednog svoda cikloide bez korišćenja integrala ....... - 40 -

4.1. Uvod ................................................................................................... - 40 -

4.2. Ciklogoni ............................................................................................ - 41 -

4.3. Kotrljajući jednakostranični trougao .................................................... - 42 -

4.4 Kotrljajući kvadrat ................................................................................ - 42 -

4.5. Teorema o zbiru kvadrata rastojanja temena pravilnog mnogougla ....... - 43 -

4.6. Kotrljajući n-ugao ................................................................................ - 53 -

Glava V - Duţina luka cikloide bez korišćenja integrala ................................ - 55 -

Glava VI - Duţina luka i površina ispod jednog svoda trohoide ...................... - 59 -

Glava VII - Osobine srodne krive .................................................................. - 63 -

7.1. Površina hipo- i epicikloide bez korišćenja integrala ............................ - 64 -

- 4 -

7.2. Specijalni primeri ................................................................................ - 68 -

7.3. Duţina luka hipo- i epicikloide bez korišćenja integrala ....................... - 73 -

7.4. Površina epi- i hipotrohoida ................................................................. - 76 -

7.4. Elipsa .................................................................................................. - 78 -

Zaključak ....................................................................................................... - 79 -

- 5 -

Predgovor

Glavna zamisao, kao profesora u srednjoj školi, bila mi je to da se

ovaj rad moţe kasnije primenjivati u nastavi ali i u sekcijama i dodatnoj

nastavi. Pošto smatram da je princip spiraliteta u podučavanju matematike

najuspešnija metoda, trudila sam se da pronaĎem temu koja moţe

zadovoljiti radoznalost učenika različitih starosnih doba. Suština principa

spiraliteta se nalazi u tome što se, s vremena na vreme, pojavljuju odreĎene

tematske celine koje se mogu proučavati sa aktuelnim nastavnim gradivom

uz odgovarajuća nastavna sredstva. Na ovaj način, učenici učvršćuju već

prethodno stečena znanja, stiču nova saznanja i uporeĎuju različite načine

rešavanja. Ovo im pomaţe u boljem razumevanju, motiviše ih da na što

elegantniji način rešavaju zadatke povezivanjem različitih matematičkih

područja.

Prva tri poglavlja rada bave se cikloidom i srodnim krivama. Pored

njihovog kratkog istorijskog pregleda nalaze se i definicije, zatim detaljan

postupak izrade parametarskih jednačina, najosnovnije karakteristike kriva i

njihovo dokazivanje. Da bismo mogli ove tvdnje predstaviti učenicima

potrebno im je predznanje iz trigonometrije, osnova koordinatne

geometrije, graničnih vrednosti, integralnog računa kao i još mnogo toga. Iz

tog razloga je ovo teţak zadatak i za maturante gimnazija.

Glavni deo rada počinje četvrtim poglavljem u kom predstavljam

nove pristupe izračunavanju površine ispod jednog svoda krive, a koje se

zasniva na radovima Toma Apostola i Mamikon Mnatsakaniana. Posebnost

ovog pristupa je u tome što ne zahteva veliko matematičko predznanje,

samo detaljno znanje mnogouglova i kruga. Takozvani ciklogoni - kriva

- 6 -

koja se dobija kao trag jednog temena pravilnog mnogougla dok se kotrlja

po pravi - i izračunavanje njegove površine je razumljivo i interesantno

svakom prvaku srednje škole, iako generalisanje je za njih novina. Sam

proces nastajanja cikloida iz reda ciklogona moţe biti vidljiv uvod u

granične vrednosti, što je za njih nepoznanica.

U petom poglavlju odreĎujemo , na sličan način, duţine luka već

pomenute krive.

Sa osobinama srodnih kriva se bavi šesto i sedmo poglavlje.

Postupak je isti ali se , umesto po pravi, mnogougao kotrlja oko i unutar

drugih mnogouglova, a umesto temena, tačka koja ostavlja trag moţe biti

proizvoljna unutrašnja ili spoljašnja tačka mnogougla. U zavisnosti od

odnosa broja stranica moţemo pribliţiti poznate krive kao što su astroida,

deltoida, kardioida, pa čak i elipsa. Pošto je crtanje ovih kriva dosta

komplikovano veliku korist moţemo izvući iz kompjuterskih programa kao

što su „Euklides“, „ Mathematica“ ili „ GeoGebra“. U „ Mathematici“ i

„Euklidesu“ jednom jedinom komandom moţemo nacrtati ţeljenu krivu

pomoću parametarskih jednačina, dok u „ GeoGebri“ moţemo modelizovati

proces okretanja pošto krivu prikazujemo uz pomoć podnoţnice. Poslednje

navedeno je korisnije u nastavi iz razloga što savršeno razumevanje gradiva

nije dovoljno - neophodni su i kreativnost i preciznost.

Ovaj rad sadrţi najbitnije osobine cikloide i njene srodne krive, što

bih htela da interpretiram na takav načiun, s kojim bih lako mogla da

iskoristim u nastavi matematike.

Novi Sad, 2012 Žužana Fekete

- 7 -

Glava I

Kriva generisana točkom

1.1. Uvod

Johan Bernuli 1 je 1696. godine postavio jedno interesantno pitanje

bratu Jakobu2:

“ Koja je ta kriva kojom će telo uz uticaj gravitacione sile stići od

tačke A do niže tačke B za najkraće vreme?”

Zadatak su od grčke reči brachistochrone (koje znači najkraće

vreme), nazvali Brahistokronovim problemom.

Kod rešavanja problema došli su i do zaključka, da kad pustimo telo

iz bilo koje tačke ove krive, telu će uvek trebati istovremenski period da bi

stiglo do najniţe tačke te krive.

Jakob je tačno odgovorio : “Rešenje je cikloida! “

1 Johann Bernoulli (1667-1748), švajcarski matematičar 2 Jacob Bernoulli (1654-1705), švajcarski matematičar i naučnik

Slika 1. Brachistochron-ova problema

- 8 -

1.2. Šta je cikloida?

Cikloida je kriva koja se moţe opisati proizvoljnom tačkom

periferije kruga koji se kotrlja po pravoj bez klizanja.

Neka je Ox (osa pravouglog Dekartovog3 koordinatnog sistema)

prava, po kojoj se kotrlja krug K poluprečnika a. Neka je u početnom

poloţaju kruga tačka O dodirna tačka kruga K i ose Ox. Označimo sa t

ugao za koji se obrnuo krug počev od svog početnog poloţaja, tj. t = ∢PCB.

Pošto se krug kotrlja bez klizanja, dobijamo rezultat da je duţ jednaka

luku = a·t.

Koordinate tačke P, koje opisuje cikloidu, računamo na sledeći

način:

To su jednačine cikloide u parametarskom obliku.

Pod jednim svodom cikloide podrazumevamo deo krive koju

posmatrana tačka P opisuje sa jednim obrtajem kruga K.

3 René Descartes (1596-1650), francuski matematičar, filozof i naučnik

Slika 2. Cikloida

- 9 -

1.3. Malo istorije

Jedna od najpoznatijih krivi u istoriji matematike je cikloida.

Cikloidu je prvi proučavao de Kusu4 , kasnije Mersen

5. Kriva je dobila ime

po Galileju6 1599. godine. On je pokušao da odredi površinu ispod jednog

luka, ali bezuspešno. Matematički metod nije uspeo da pronaĎe, te je izrezao

komadiće metala u obliku površine ispod cikloide i uporeĎivao teţinu sa

teţinom kruga koji generiše cikloidu. Došao je do rezultata da je cikloida

teţa oko tri puta od kruga, ali je on odbio da prihvati ovaj rezultat jer je

verovao da odnos izmeĎu ove dve teţine, treba da bude iracionalan.

Ispostavilo se da je Galilejev eksperimenat zaista dao tačan rezultat.

Roberval7 je 1628. godine odredio površinu cikloide koristeći novi

metod “beskonačno malih”, koji je razvijen od strane Kavalijerija8 , Ferma

9

i Dekarta, kao i Robervala, meĎutim svaki od njih je pronašao drugačiji

metod za povlačenje tangente na ovu krivu. Toričeli10

, učenik Galileja je

1644. godine objavio svoje otkriće o površinama i tangentama cikloida.

Cikloida je, u tom dobu, bila jedna od najpopularnijih problema

matematike, mnogi sporovi i ljubomore su nastale vezani za nju, zato je

pastala poznata po imenu “Helena geometričara”.

U skladu sa Arhimedovom tradicijom, Hajgens11

, Lajbnic12

i Johan

Bernuli su traţili posebne delove regiona cikloide čije su površine

jednostavnog pravolinijskog oblika . Slika 3 ilustruje njihovu zajedničku

stavku. Svaki cikloidni luk je opisan jednim pravougaonikom koji je

prepolovljen po horizontalnoj srednjoj liniji, sa kotrljajućim krugom u

centru.

4 Nicholas de Cusa (1401 - 1464), nemački filozof, matematičar i astronom 5 Marin Mersenne (1588 – 1648), francuski teolog,matematičar i filozof 6 Galileo Galilei (1564 – 1642), italijanski matematičar, fizičar i astronom 7 Gilles Personne de Roberval (1602 – 1675), francuski matematičar 8 Bonaventura Cavalieri (1598 – 1647), italijanski matematičar 9 Pierre de Fermat (1601 - 1665), francuski matematički amater 10

Evangelista Torricelli (1608 - 1647), italijanski matematičar i fizičar 11 Christiaan Huygens (1629 – 1695 ), holandski matematičar, fizičar i filozof 12 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), nemački matematičar i filozof

- 10 -

Godine 1658. Hajgens je pokazao da deo cikloide odsečen

isprekidanom linijom na slici 3(a), koja prepolovljava gornju polovinu

pravougaonika, ima površinu jednaku polovini upisanog pravilnog šestougla

u kotrljajući krug, ili ekvivalentno - jednaka površini osenčenog

jednakostraničnog trougla upisanog u isti krug.

Dve decenije kasnije, godine 1678, Lajbnic je dokazao da segment

cikloida na slici 3(b) ima istu površinu kao i osenčeni pravougli trougao,

čiji su kraci jednaki poluprečniku kruga.

Nakon još dve decenije, godine 1699, Bernuli je proširio oba

rezultata, koristeći dve horizontalne isprekidane linije, jednako udaljene od

srednje i gornje linije kao što je na slici 3(c) i 3(d). On je dokazao da je

površina segmenta cikloida na slici 3(c) zbir površina dva osenčena

pravougla trougla, dok je manji segment cikloide na slici 3(d) predstavlja

razliku površina pravouglih trougla. Dijagram na slici 3(c) se pojavljuje na

naslovnim stranicama sva četiri toma sabrana dela Bernulija.

Slika 3. Pojedini delovi regiona cikloide

- 11 -

Glava II

Najvažnije osobine cikloide

Teorema 2.1. Dužina luka jednog svoda cikloide je 8a, gde je a

poluprečnik kruga.

Dokaz: Za duţinu luka krive imamo formulu:

Iz dobijamo, da je prvi izvod ,

a iz , da je .

Slika 4. Dužina luka cikloide

- 12 -

Sada se vratimo u integralu:

Teorema 2.2. Površina ograničena jednim lukom cikloide i osom Ox je

3a2π, gde je a poluprečnik kruga.

Dokaz: Posmatrajmo prvi luk cikloide, kada je Kako je

dobijamo da je .

Slika 5. Površina ispod jednog svoda cikloide

- 13 -

Teorema 2.3. Zapremina tela nastalog rotacijom jednog luka cikloide oko

ose Ox je 5a3π

2, gde je a poluprečnik kruga.

Dokaz:

Prva dva su tablična, zato rešavamo samo poslednja dva.

- 14 -

gde smo koristili smenu

Slika 6. Zapremina obrtnog tela

- 15 -

Glava III

Krive srodne cikloidi

Grčki matematičar Hiparh (oko 140 pne.) je bio prvi koji je koristio

epicikloidu u njegovoj astronomskoj teoriji o epiciklima, u kojem je razvio

model za kretanje Meseca.

Kasnije Ptolomej (oko 130 pne), grčki astronom i geograf, koristio je

kombinacije epicikla za predviĎanje poloţaja Sunca, Meseca i planeta.

Proučavajući kretanje planeta došli su do krivih koje se dobijaju kada

svemirsko telo učestvuje istovremeno u dve rotacije, krećući se po krugu čiji

se centar kreće po drugom krugu. Ove krive se mogu opisati kao putanje

fiksirane tačke kruga K koji se bez klizanja kotrlja po nepokretnom krugu

K0. Zavisno od radijusa a i b krugova K0 i K i od toga da li krug K rotira

izvan ili unutar kruga K0 imamo razne krive.

Ako je a > b i krug K se kotrlja iznutra po krugu K0, odgovarajuće

krive zovemo hipocikloide.

Ako se krug K kotrlja spolja po krugu K0, odgovarajuće krive

zovemo epicikloide.

Ako je pak a < b i K se kotrlja spolja po K0 dobijamo specijalne

epicikloide, koje zovemo pericikloide.

- 16 -

Ako je odnos poluprečnika a i b kod epi-, hipo- i pericikloida

irracionalan, tačke ,,krive“ leţe gusto i ispunjavaju kruţni prsten oko

nepokretnog kruga ili unutar njega, pa ne postoji neprekidna funkcija koja bi

zadavala jednačinu krive u implicitnom obliku. U tom slučaju se i ne moţe

govoriti o krivoj.

Ptolemejova teorija se ispostavila netačnom kada je Kopernik13

(1514. godine) postavio teoriju da je centar univerzuma Sunce, a ne Zemlja.

Konstrukcija epicikloide je prvi put zabeleţena 1525. godine od

strane Direra14

, nemačkog umetnika. Direr je objavio ove i još mnoge druge

krive u prvom nemačkom matematičkom tekstu.

Dezarg15

(1640. godine) je bio prvi koji je stavio epicikloidu u

upotrebu, u sistem koji se koristi za podizanje nivoa vode u blizini Pariza.

Sledeća praktična upotreba epicikloida je bila za rad mehaničkih zupčanika,

iako se ne zna ko je prvi došao do te ideje. Romer16

je traţio korist

cikloidalnih krivi u proizvodnji zubaca zupčanika 1674. godine.

Epicikloida je dobila ime po Romeru 1674. godine.

13 Nicolaus Copernicus (1473 – 1543), nemački astronom 14

Albrecht Dürer (1471 – 1528), nemački slikar 15 Gérard Desargues ( 1591–1661), francuski matematičar i inţenjer 16 Olaus Roemer (1644 –1710), danski astronom

- 17 -

3.1. Hipocikloide

Hipocikloidu opisuje tačka na kruţnici koja se, bez trenja kotrlja sa

unutrašnje strane druge kruţnice.

Pretpostavimo da se po unutrašnjosti kruţnice K0 poluprečnika a

kotrlja bez trenja kruţnica K poluprečnika b, b < a. Koordinatni početak

ćemo postaviti u centar velike kruţnice K0 , a malu kruţnicu K ćemo

postaviti tako da dodiruje veliku kruţnicu K0 sa unutrašnje strane u tački Q

preseka sa x osom. Posmatraćemo putanju koju opisuje tačka Q; kada se

mala kruţnica K ravnomerno kotrlja u smeru suprotnom kretanju kazaljke

na satu. Pretpostavimo da je, posle izvesnog vremena t ta tačka prešla u

tačku M(x,y).

Uslov da je kotrljanje bez trenja, znači da je duţina aθ luka

velike kruţnice jednaka duţini luka male kruţnice. Dakle:

.

Slika 7. Hipocikloida

- 18 -

S druge strane , ukoliko se mala kruţnica ravnomerno kotrlja znači

da je preĎeni put proporcionalan vremenu t. To znači da je aθ = kt; pri

čemu je k brzina kotrljanja. Dakle, ako uzmemo da se mala kruţnica kotrlja

za a duţnih jedinica u jedinici vremena dobijamo θ = t; pa se, dakle, ugao θ

moţe tretirati kao vreme.

Odredimo sada koordinate tačke M u koordinatnom sistemu xy:

Koordinate centra male kruţnice na kojoj se nalazi tačka M su:

Postavimo koordinatni sistem uv tako da mu koordinatni početak

bude u centru te male kruţnice, a koordinatne ose paralelne sa x odnosno sa

y osom. U tom koordinatnom sistemu koordinate u i v tačke M su :

Iz uslova sledi da je

tako da parametarske jednačine hipocikloide u koordinatnom sistemu xy su

sledeći :

U zavisnosti od poluprečnika male i velike kruţnice mogu se dobiti

razni oblici hipocikloide. Pre svega zanima nas kada je hipocikloida

zatvorena kriva. Hipocikloida će biti zatvorena kriva ako tačka M

kotrljanjem padne ponovo u početni poloţaj. Dakle, da bi hipocikloida bila

zatvorena kriva potrebno je i dovoljno da je taj odnos racionalan broj .

Pod jednim svodom hipocikloide podrazumevamo deo krive koju

posmatrana tačka M opisuje jednim obrtajem kruga K unutar kruga K0.

- 19 -

Ako je odnos ceo broj, koji ćemo označiti sa ,onda moţemo

pričati o duţini luka i površini hipocikloide. Pod duţinom luka hipocikloide

podrazumevamo duţinu svodova , tj duţinu krive koju napiše posmatrana

tačka dok ne stigne do početnog poloţaja. Površina hipocikloide je površina

koja je ograničena sa uzastopnim svodovima hipocikloide .

3.1.1. Osobine hipocikloide

Teorema 3.1. Dužina luka hipocikloide je , gde je b poluprečnik

kruga koji se kreće po unutrašnjosti nepokretnog kruga

poluprečnika a i s=a/b je broj svodova hipocikloide.

Dokaz: Za duţinu luka krive imamo formulu

- 20 -

Na osnovu ovoga dobijamo da je duţina luka jednog svoda

hipocikloide:

Duţinu luka s svodova hipocikloide ćemo dobiti na sledeći način:

Teorema 3.2. Površina hipocikloide je , gde je b

poluprečnik kruga koja se kreće po unutrašnjosti stalnog

kruga poluprečnika a i s=a/b je broj svodova hipocikloide.

Dokaz: Računaćemo pomoću Grinove teoreme:

Nakon toga dobijamo površinu ispod jednog svoda:

- 21 -

Kako je

ceo broj, površina ispod s svodova je jednaka:

3.1.2. Najpoznatije hipocikloide

Navešćemo sada nekoliko zanimljivih specijalnih slučajeva.

a=2b, s=2. U ovom slučaju jednačine hipocikloide (dijametar) glase:

,

Slika 8.Dijametar

- 22 -

što znači da tačka na kotrljajućem krugu osciluje po prečniku velike

kruţnice. Ovo je jedan od najlepših modela koje pokazuje kako pretvoriti

kruţno kretanje u pravolinijsko i obrnuto.

Duţina luka te hipocikloide je

a=3b, s=3. Dobijamo trouglastu hipocikloidu (deltoidu, Štajnerovu17

krivu), sa jednačinama :

.

Deltoida ima zanimljivo svojstvo, da odsečci njenih tangenti unutar

krive imaju konstantnu duţinu tj. jedan štap te duţine bi se mogao rotirati

unutar nje stalno je dodirujući.

Deltoida ima površinu i duţinu luka

17 Jakob Steiner (1796 -1863), švajcarski matematičar

Slika 9. Deltoida

- 23 -

a=4b, s=4. U ovom slučaju ćemo dobiti astroidu, sa parametarskim

jednačinama:

.

Poreklo imena astroida moţe se naći u grčkoj reči (asteri) čije je

značenje zvezda. Ova kriva je ranije nazivana i kubocikloidom i paraciklom.

Ima slično svojstvo kao deltoida: ako se odsečak fiksirane duţine kreće u

Slika 11. Astroida

Slika 10. Ilustracija poznate osobine deltoide

- 24 -

ravni tako da njegovi krajevi klize po koordinatnim osama, obvojnica

dobijene familije odsečaka je astroida.

Površina astroide je , a duţina luka je 24b.

Za a=17 , b=5 i

, dobijamo hipocikloidu, koja je prikazana na

slici 13.

Slika 13. Hipocikloida : a=17 , b=5

Slika 12. Ilustracija poznate osobine astroide

- 25 -

Mali krug poluprečnika b pet puta treba da obiĎe veliki krug

poluprečnika a da bi fiksirana tačka došla u početni poloţaj, tj da bi

hipocikloida bila zatvorena.

i . Pošto je odnos prečnika iracionalan,

hipocikloida se nikada neće zatvoriti. Ako bi nastavili kotrljati krug

do beskonačnosti, dobili bi jedan prsten.

3.1.3. Teorema dvostruke generacije

Godine 1725, Daniel Bernuli18

je otkrio jedno izvanredno svojstvo

hipocikloida koje se danas naziva ”teoremom dvostruke generacije”.

Teorema 3.3. Krug poluprečnika b, koji se kreće po unutrašnjosti kruga

poluprečnika a, generiše istu hipocikloidu kao i krug

poluprečnika krećući se unutar istog kruga.

18 Daniel Bernoulli (1700-1782), švajcarski matematičar

Slika 14. Posle 50 krugova.

- 26 -

Ako označimo prvu hipocikloidu sa H(a,b) a drugu sa H(a,a−b) na

osnovu teoreme dobijamo da je H(a,b) = H(a,a−b). Primetimo da su ova

dva unutrašnja kruga komplementarna u odnosu na nepokretan krug, tj. zbir

njihovih poluprečnika jednak je poluprečniku nepokretnog kruga.

Dokaz teoreme: iskoristićemo parametarske jednačina hipocikloide H(a,b):

Zamenjujući i

, odnosno

u ovu

jednačinu, dobijamo:

Sada zamenimo redosled sabiraka:

Slika 15. Teorema dvostruke generacije

- 27 -

Ako u drugoj jednačini koristimo poznate trigonometrijske identitete

(svoĎenje na prvi kvadrat):

i zamenimo parametar na onda ćemo dobiti parametarske jednačine

hipocikloide H(a,a-b), koje su potpuno identične sa početnim jednačinama:

što znači da ja hipocikloida H(a,a-b) generiše isti skup tačaka kao i H(a,b).

Tako smo dokazali teoremu dvostruke generacije.

Kao posledica ove teoreme imamo da se istu astroidu moţe dobiti i

rotiranjem kruga poluprečnika

i rotiranjem kruga poluprečnika

unutar

fiksiranog kruga poluprečnika a.

Slika 16. Dve kružnice generišu istu astroidu

- 28 -

3.2. Epicikloide

Izvedimo jednačine epicikloide. U centar stalnog kruga K0

poluprečnika OA = a postavimo pravougli Dekartov koordinatni sistem.

Tačka P(x,y) pokretnog kruga K poluprečnika CB = b u početku obrtanja

imala je početni poloţaj A na osi Ox. Pošto kod ovog kretanja nema

klizanja, lukovi i su jednaki i zato je , pri čemu je

ugao izmeĎu duţi OC koja spaja centre krugova i poluprečnika CP kruţnice

K. (dva poluprečnika pokretnog kruga: poluprečnika dodirne tačke B i

poluprečnika tačke P, koja opisuje epicikloidu.)

Na osnovu slike moţemo zaključiti da je apscisa tačke P:

∢

Koristeći adicione formule dobićemo da je ∢ , jer

je ∢ ∢ ∢ i ∢

, pa koordinatu x dobijamo

kao sledeću funkciju veličine :

Slika 17. Epicikloida

- 29 -

i slično bismo dobili y koordinatu :

Iz razloga što meĎu uglovima i θ vaţi odnos ,

moţemo izraziti preko θ i na taj način dobijamo parametarske jednačine

epicikloide:

Slično kao kod hipocikloide, pod jednim svodom epicikloide

podrazumevamo deo krive koju posmatrana tačka P opisuje sa jednim

obrtajem kruga K oko kruga K0. Ako je odnos poluprečnika kruţnice

racionalan broj , tada je kriva zatvorena. Ukoliko je odnos ceo broj ,

moţemo pričati o duţini luka i površini epicikloide. Pod duţinom luka

epicikloide podrazumevamo duţinu svodova . Površina epicikloide je

površina koja je ograničena sa uzastopnim svodovima epicikloide .

3.2.1. Osobine epicikloide

Teorema 3.4. Dužina luka epicikloide je , gde je b poluprečnik

kruga koja se kreće po spoljašnjosti nepokretnog kruga

poluprečnika a i s=a/b je broj svodova epicikloide.

Dokaz: Za izračunavanje duţine luka krive imamo formulu:

- 30 -

Na osnovu ovoga dobijamo da je duţina luka jednog svoda

epicikloide:

Duţinu s svodova epicikloide ćemo dobiti na sledeći način:

Teorema 3.5. Površina epicikloide je , gde je b

poluprečnik kruga koja se kreće po spoljašnjosti

nepokretnog kruga poluprečnika a i s=a/b je broj svodova

epicikloide.

- 31 -

Dokaz: Računaćemo pomoću Grinove teoreme:

Nakon toga dobijamo površinu ispod jednog svoda:

Ako je

racionalan broj, površina ispod s-svodova je jednaka:

- 32 -

3.2.2. Najpoznatije epicikloide

Najpoznatija od svih epicikloida je kardioida koja se dobija u

slučaju . Njene su parametarske jednačine :

Polarna jednačina kardioide se moţe dobiti jednostavno, uzimajući

tačku Q za koordinatni početak, a x osu za polarnu osu.

U ovom slučaju je, dakle, a = b, pa je Na taj način je kraća

osnova ravnokrakog trapeza OCMQ čija je veća osnova 2b, kraci jednaki b,

a ugao na većoj osnovi. Odatle lako dobijamo

što je polarna jednačina kardioide.

Površina kardioide je , a duţina luka je .

Ime je dobila po srčanom obliku krive (grčka reč

kardioeides = kardia : srce, a eidos : oblik, forma ). Uporedivši je

sa simbolom srca (♥), kardioida ima samo jedan vrh . Više liči na

poprečnipresek jedne šljive.

Slika 18. Kardioida

- 33 -

Ako je , dobijamo nefroidu, sa parametarskim

jednačinama:

površinom , i duţinom luka

Ona ima jedno interesantno svojstvo. Još su stari Grci primetili da

ako se paralelni snop svetlosti odbija od ogledala intenzitet odbijene

svetlosti se pojačava duţ neke krive, takozvane kaustike. Kod paraboličkog

ogledala to je kao što znamo jedna tačka - fokus. Kod sfernog ogledala

kaustika je upravo nefroida.

Iako je termin nefroida korišćena za opisivanje drugih krivi, u ovom

našem slučaju Proktor19

je ove krive nazvao nefroidama 1878-e godine.

19 Richard Anthony Proctor (1837-1888) – engleski matematičar

Slika 19. Nefroida

- 34 -

Ranunkuloida je epicikloida, kad

Parametarske jednačine su sledeće:

Površina i duţina luka su :

a=5, b=3. Krug poluprečnika b tri puta treba da obiĎe krug

poluprečnika a da bi se kriva zatvorila.

Slika 20. Ranunkuloida

Slika 21. Epicikloida : a=5, b=3

- 35 -

a=π, b=1. Hipocikloidi slično, kao kod epicikloide kada je odnos

iracionalan, dobijamo prsten.

Slika 22. Epicikloida posle 12 obrtaja

- 36 -

3.3. Pericikloide

Pericikloide su specijalne epicikloide sa osobinom da je poluprečnik

nepokretnog kruga K manji od poluprečnika kotrljajućeg kruga K0, tj

a=1, b=3. Ova je jedna pericikloida interesantnog oblika koja po

delovima liči na kardioidu. Veliki krug tri puta treba da obiĎe mali krug

da bi se kriva zatvorila. Parametarske jednačine su sledeće:

a=2 i b=3. Suprotno od prethodnog primera ovde dobijamo

pericikloidu koja ima dve ose simetrije.

Slika 23. Pericikloida: a=1, b=3

- 37 -

a=π , b=1. Nije iznenaĎenje, da ako je odnos poluprečnika dve

kruţnice iracionalan, onda i kod pericikloide dobijamo jedan prsten, i

kriva se neće zatvoriti.

Slika 24. Pericikloida : a=2 i b=3

Slika 25. Pericikloida posle 20 obrtaja

- 38 -

3.4. Familija trohoida

Trohoida je kriva koju opisuje tačka koja je na rastojanju h od

centra kruga poluprečnika a koja se kotrlja po pravoj. Trohoide su dobile

ime od Robervala20

. U zavisnosti od rastojanja h i poluprečnika a imamo

sledeće podele trohoide:

Kriva je upravo cikloida.

Kriva se naziva skraćena cikloida.

Kriva se naziva produžena cikloida.

Parametarske jednačine trohoide su:

20 Gilles Personne de Roberval (1602 – 1675), francuski matematičar

Slika 26. Skraćena cikloida

Slika 27. Produžena cikloida

- 39 -

Slično se definišu epitrohoide i hipotrohoide. Njihove parametarske

jednačine su sledeće:

Hipotrohoida:

Epitrohoida:

Slika 29. Epitrohoide za a/b=4,kada je h manji

odnosno veći od b

Slika 28. Hipotrohoida za a/b=5,kada je h manji

odnosno veći od b

- 40 -

Glava IV

Površina ispod jednog svoda

cikloide bez korišćenja integrala

4.1. Uvod

U drugom poglavlju smo pomoću integrala dokazali da je površina

ispod jednog luka cikloide tri puta veća od površine kotrljajućeg kruga. Ako

ćemo ovu površinu obeleţavati sa P, a površinu kruga sa , tada :

U ovom poglavlju kotrljajući krug ćemo zameniti nekim pravilnim

mnogouglom. Ovim postupkom dobijamo jednu krivu koju ćemo nazvati

ciklogonom. Jedan ceo obrtaj pravilnog mnogougla generiše jedan svod

ciklogona.

Povećanjem broja stranica mnogouglova do beskonačnosti, kao

graničnu vrednost niza ciklogona dobijamo cikloidu. Ovom geometrijskom

metodom bez integrala i bez znanja parametrijskih jednačina, jednostavno

moţemo dobiti površinu ispod jednog svoda cikloide.

- 41 -

4.2. Ciklogoni

Kada se jedan pravilan mnogougao kotrlja bez klizanja po pravoj,

jedno teme njegovog obima ostavlja trag jedne krive, koju zovemo

ciklogonom. Jedan svod ciklogona generisan sa n-uglom se sastoji od n-1

kruţnih lukova koje čine jednu neprekidnu krivu, kako je na slici 30

prikazana kod kotrljajućeg petougla.

Lukovi ne moraju imati isti poluprečnik.

Ako označava površinu izmeĎu prave i jednog svoda te krive,

pokazaćemo da je umesto:

imamo drugu sličnu formulu za površinu ciklogona :

gde označava površinu kotrljajućeg pravilnog mnogougla, a označava

površinu kruga koja opisuje isti mnogougao.

Ako posmatramo jedan niz pravilnih mnogouglova, tako da je prvi

član trougao, drugi četvorougao a n-ti član je n+2-ugao, i da svaki od

navedenih mnogouglova imaju isti poluprečnik opisane kruţnice, onda kao

graničnu vrednost ovog niza dabijamo baš pomenutu kruţnicu. Odavde sledi

da je i cikloida granična vrednost niza ciklogona generisana sa tim nizom

mnogouglova, i jednačinu , za površinu ispod jednog svoda

cikloide moţemo gledati kao granični slučaj jednačine

Slika 30. Ciklogon generisan pravilnim petouglom

- 42 -

4.3. Kotrljajući jednakostranični trougao

Slika 31 pokazuje jedan svod ciklogona, konstruisanu kotrljanjem

jednakostraničnog trougla čija je stranica jednak c.

Površina izmeĎu jednog svoda krive i prave sastoji se od dva

jednaka kruţna isečka poluprečnika c i datog jednakostraničnog trougla.

Kruţni isečci imaju površinu

, što je i površina opisane kruţnice oko

datog jednakostraničnog trougla stranice c. Odavde sledi :

što dokazuje jednačinu

4.4 Kotrljajući kvadrat

Slika 32 pokazuje ciklogon konstruisan kvadratom.

Slika 31. Ciklogon generisan jednakostraničnim trouglom

Slika 32. Ciklogon generisan kvadratom

- 43 -

Površina izmeĎu jednog svoda krive i prave sastoji se od dva

pravougla trougla čije su katete c i tri površine četvrtine kruga, dva

poluprečnika c i jedan poluprečnika Odnosno suma površina kruţnih

isečaka je:

Odavde sledi da je :

što dokazuje jednačinu , i u ovom slučaju.

4.5. Teorema o zbiru kvadrata rastojanja temena

pravilnog mnogougla

Da bi stigli do cilja poglavlja, tj da dokaţemo da je formula

vaţi za svaki ciklogon nezavisno od broja stranica

pravilnog mnogougla, potrebno je dokazati dve teoreme.

Teorema 4.5.1.:

gde je

, .

Dokaz: Za dokazivanje ove teoreme koristićemo poznati trigonometrijski

identitet:

Ako uvodimo sledeću zamenu:

onda dobijamo:

- 44 -

odnosno:

što smo hteli da dokaţemo.

Druga potrebna teorema bavi se zbirom kvadrata rastojanja temena

pravilnog mnogougla.

Teorema 4.5.2.: Zbir kvadrata rastojanja rk , k=1,2,…,n-1 od jednog

temena pravilnog n-ugla prema ostali n-1 temena je jednak

, gde je R poluprečnik opisanog kruga oko pravilnog

mnogougla. Tj:

Dokaz: za dokazivanje ove teoreme moramo razmotriti dva slučaja, zavisno

od toga da li je broj stranica pravilnog mnogougla paran ili neparan.

Prvi slučaj: broj stranice je paran, tj n=2m.

Dokaz za paran broj n čini uzastopno korišćenje Pitagorine teoreme.

Na primer uzmimo slučaj n=10, kao što je prikazano na slici 35, koja

pokazuje devet duţi povučene od jednog temena prema ostalim (n-1=9)

temenima , za pravilan desetougao.

- 45 -

Na slici 35 imamo četiri duţi označene sa r1, r2, r3, r4, njene osno

simetrične slike gde je osa simetrije vertikalan prečnik opisanog kruga oko

pravilnog desetougla i prečnik duţine 2R. Dakle zbir kvadrata tih rastojanja

je sledeća:

Slika 36 prikazuje, dve centralno simetrično preslikane duţi r1 i r2,

gde je centar simetrije centar opisane kruţnice desetougla, odnosno središte

prečnika 2R.

Prema preslikavanju dobijamo novi r1 koji se spaja na obimu kruga

sa prethodnim r4 i koji sa vertikalnim prečnikom kruga čini pravougli

trougao (ako se hipotenuza prečnik kruga i naspramno teme nalazi na obim

kruţnice, trougao je pravougli). Prema Pitagorinoj teoremi:

Slika 35. Devet duži povučen iz jednog temena pravilnog

desetougla prema ostalim temenima

- 46 -

Analogno preslikani r2 spaja se sa prethodnim r3 i konstruišu sa

vertikalnim prečnikom kruga drugi pravougli trougao. Još jednom koristimo

Pitagorinu teoremu i dobijamo:

Odavde sledi da je:

što pokazuje teoremu za n=10 .

U opštem slučaju kod parnih n, jedna od n-1 duţi je prečnik

opisanog kruga oko pravilnog n-ugla, a ostali n-2 duţi od

su u

parovima, jer su osno simetrične. Isti argumenti koji su bili kod n=10,

ukazuju da:

što dokazuje da formula vaţi za svaki paran broj n.

Slika 36. Preslikavanje duži r1 i r2

- 47 -

Drugi slučaj: broj stranice je neparan, tj n=2m+1.

Imamo drugačiji metod, koji vaţi za sve pravilne mnogouglove sa

neparnim brojem stranica, kao što je pravilan sedmougao ilustrovan na

slici 37.

Slično kao i kod parnih brojeva stranica: imamo tri duţi, i njihove

osno simetrične slike gde je osa simetrije vertikalan prečnik opisanog kruga

oko pravilnog sedmougla. Sada ukupno imamo šest duţi, povučena iz

jednog temena prema ostalih 6 temena. Sada ţelimo da dokaţemo :

Koristimo kosinusnu teoremu na sva tri jednakokraka trougla na

slici 37, čije je teme u centru sedmougla. Kraci su jednaki poluprečnikom

R, a osnovica je rk, za k=1,2,3. Odgovarajući uglovi (centralni uglovi

izmeĎu krakova trougla) su , gde je:

Slika 37. Pravilni sedmougao sa stranicama r1 upisan

u krugu poluprečnika R.

- 48 -

Kosinusna teorema za jednakokrake trougle sa uglom

,

kaţe da:

Odavde sledi da je:

Ali kada uzmemo u obzir trigonometrijski identitet (koji smo već

dokazali):

gde je

, , formula

će se implicirati sa

U opštem slučaju kod pravilnog mnogougla sa n=2m+1 stranica,

ţelimo da dokaţemo :

Odnosno, da je:

što vaţi zbog simetričnosti duţi rk i r2m+1-k.

U ovom slučaju se pozivamo na kosinusnu teoremu za m

jednakokrakih trouglova. Koristeći formulu gde

kod svakog trougla (izmeĎu krakova) imamo ugao:

dobijamo jednačinu:

- 49 -

Isto kao malopre, uzmemo poznati trigonometrijski identitet

, gde je

i dobijamo da iz

sledi :

Tako smo došli do jednačine:

što smo hteli da dokaţemo.

Ako prethodnu teoremu primenimo na pravilan mnogougao koja ima

tačno pet stranica, onda moţemo napisati jedan potpuno drugačiji dokaz.

Teorema 4.5.3.:U pravilnom petouglu je

gde su rk ,

k=1,2,…,4 rastojanje od jednog temena petougla prema

ostalim 4, a R je poluprečnik opisanog kruga .

U dokazu ove teoreme ćemo koristiti Ptojomejovu21

teoremu za

tetivni četvorougao, zato ćemo prvo to formulisati.

Teorema 4.7.2.:(Ptolomejova teorema) Za svaki tetivni četvorougao

proizvod dužina dijagonale jednaka je zbiru proizvoda

dužina naspramnih stranica.

Dokaz: Na slici 38 je prikazano tetivni četvorougao, sa stranicama

a,b,c i d i dijagonalama e i f. Neka se tačka nalazi na dijagonali e, tako da

je ∢ ∢

21 Klaudije Ptolomej ( 90-168 ), poslednji od velikih helenskih astronoma

- 50 -

∢ ∢ su periferijski uglovi nad istom tetivom AB, što

znači da su jednaki. Naravno iz ovoga moţemo videti: ∢

∢ ∢ ∢ ∢ ∢

Sledi da su imaju tri para jednakih uglova, tj slične.

Moţemo napisati proporciju:

Na sličan način, moţemo primeniti da je : ∢ ∢ i da

∢ ∢ jer su periferijski uglovi nad tetivom BC. Zato su i

slične, što implicira:

Kako je

, dobili smo da je:

što smo hteli da dokaţemo.

Slika 38. Ptolomejova teorema

- 51 -

Dokaz teoreme 4.5.3:

Slika 39 nam pokazuje pravilan petougao sa stranicama r2 upisan u

pravilan desetougao sa stranicama duţine r1.

Prečnik opisane kruţnice desetougla je 2R, a duţi r2, r3 i r4 su

dijagonale mnogougla. Sada ćemo dokazati da je:

ili ekvivalentan izraz:

Koristimo Ptolemejevu teoremu za tetivni četvorougao na slici 39 sa

dve ukrštajuće dijagonale duţine r2, da bismo dobili:

Na slici 40 moţemo videti dva slična jednakokraka trougla sa

odnosom stranica:

Slika 39. Tetivni četvorougao sa tri stranice dužine

r1 i jedne sa r3 , i dve dijagonale r2

- 52 -

Uzmimo jednačine

i i primenimo

Pitagorinu teoramu na pravougli trougao sa kracima r1,r4 i hipotenuzom 2R:

i dobijamo da:

što implicira jednačinu

.

Slika 40. Jednakokraki trouglovi, sa kracima r3 i osnovicom R je

sličan trouglom sa kracima R i osnovicom r1.

- 53 -

4.6. Kotrljajući n-ugao

Kod slučaja sa pravilnim mnogouglom sa n temena, površina izmeĎu

jednog svoda krive i prave sastoji se od n-2 trouglova i n-1 kruţnih isečaka

sa uglom od

radijana, što je jednako sa spoljašnjim uglom pravilnog n-

ugla.

Te n-2 trouglove moţemo nacrtati kao tragove ostavljene prilikom

kotrljanja. Trouglove moţemeo dobiti deljenjem mnogougla sa n-3

dijagonalom. Dijagonale dobijamo tako što dato teme spajamo sa svakim

nesusednim temenom ( dva put računamo i stranice), kao što je ilustrovano

na Slici 34 za n=6.

Poluprečnici kruţnog isečka su jednaki duţinama koje spajaju dato

teme sa preostalim n-1 temena. Kruţni isečak je odreĎen sa poluprečnikom

Slika 33. Otisci ciklogona generisanog

pravilnim šestouglom

Slika 34. Rastavljenje pravilnog šestougla na trouglove

- 54 -

rk i uglom od

radijana i njegova površina iznosi

pa je zbir svih

kruţnih isečaka jednaka:

U prethodnom poglavlju dokazali smo da je zbir kvadrata ovih

poluprečnika jednak gde je R poluprečnik opisanog kruga oko datog

pravilnog mnogougla. Tako je zbir površina svih kruţnih isečaka jednak

, što je dva puta veća površina nego površina datog opisanog kruga.

Drugim rečima, jednačina je posledica jednačine:

jer vaţi:

- 55 -

Glava V

Dužina luka cikloide bez

korišćenja integrala

Pomoću integrala smo već izračunali da je duţina luka jednog svoda

cikloide je 8a, gde je a poluprečnik kotrljajućeg kruga. To moţemo napisati

u obliku: L=8a ili L=4D, gde je D prečnik kruţnice. U ovom poglavlju

ćemo prikazati kako moţemo stići do ovog rezultata sa jednim drugim

interesantnim metodom.

Duţina luka jednog svoda ciklogona je dobijena od kotrljajućeg

pravilnog n-ugla, i jednak je zbiru duţina n-1 luka lk kruţnog isečaka sa

poluprečnikom rk i uglom od

radijana.

Slika 41. Dužina luka ciklogona generisan sa petouglom

- 56 -

To moţemo napisati i ovako:

U tabeli su dati primeri ciklogona, u slučaju kada je duţina stranice

kotrljajućeg pravilnog trougla, četvorougla i šestougla je c , a prečnik

opisane kruţnice pravilnog mnogougla je D.

poluprečnici

Prečnik

opisane

kruţnice

Ugao kruţ-

nog isečka

Duţina luka

jednog svoda

Kotrljajući

trougao

Kotrljajući

četvorougao

Kotrljajući

šestougao

Iz zadnje kolone tabele (duţina luka) se jasno vidi da se sa

povećanjem broja stranica sve bliţe pribliţavamo 4D.

Na slici 42 je prikazan slučaj kada je n=5. Duţi r1 ,r2 ,r3 ,r4 spajaju

jedno teme pravilnog petougla sa ostalim n-1, i svaki par rk i rn-k su osno

simetrične, gde je osa simetrije vertikalni prečnik D.

Tablica 1. Dužina luka nekih ciklogona

- 57 -

U opštem slučaju u pravilnom n-uglu, svaki od odsečaka rk sa

prečnikom kruga D odreĎuju pravougli trougao upisan u polukrug. Tada

jedan od oštrih uglova pravouglog trougla jednak je:

gde je ugao izmeĎu stranice mnogougla i tangente opisane kruţnice .

Tada duţinu isečka moţemo izračunati na sledeći način:

Koristeći prethodnu formulu, duţinu luka ciklogona moţemo napisati i u

obliku:

Za eliminaciju zbira sinusa koristimo poznate trigonometrijske identitete:

Slika 42. Dijagonale petougla

- 58 -

Ako koristimo smenu

, onda ćemo dobiti ekvivalentan izraz :

Došli smo do rezultata prema kojem je duţina luka jednog svoda

ciklogona dobijena kotrljajućem pravilnim mnogouglom sa n stranica

jednak:

Isto kao kod površine, povećanjem broja stranica mnogougla do

beskonačnosti, iz ranije formule kao graničnu vrednost dobićemo formulu

za duţinu luka jednog svoda cikloide :

Tj kraće:

- 59 -

Glava VI

Dužina luka i površina

ispod jednog svoda trohoide

Prvo ćemo se baviti sa nepravilnim konveksnim n-uglom, koji se

kotrlja po pravoj bez klizanja. Na slici 43 je prikazan četvorougao koji

zadovoljava sve uslove jednog nepravilnog mnogougla.

Kako se tačka koja ostavlja trag nalazi u unutrašnjosti četvorougla,

ta tačka jednim obrtajem opisuje četiri kruţna luka. Trohogonalna površina

je površina izmeĎu tih lukova (trohogon) i prave na kojoj se četvorougao

kotrlja i sastoji se od četiri kruţnih isečaka i skupom od pet trouglova,

dobijena je razdvajanjem datog mnogougla.

Slika 43. Podeljen nepravilni četvorougao

- 60 -

U opštem slučaju , unutrašnja tačka n-ugla, sa jednim obrtajem po

pravoj, sa tragom odreĎuje trohogonalnu površinu, koja se sastoji od n

kruţnih isečaka, i skupom od n+1 trouglova, koje moţemeo dobiti

deljenjem datog mnogougla. Dobijena površina

je jednaka zbiru

površina kotrljajućeg mnogougla i sumi površina n kruţnih isečaka.

Površina k-tog isečaka jednak je

, gde je rk poluprečnik kruţnog isečka

sa uglom radijana, MeĎutim, duţina poluprečnika rk

jednak je rastojanju izmeĎu k-tog temena mnogougla i tačke z koja ostavlja

trag, a ugao je spoljašnji ugao mnogougla, koji leţi kod k-tog temena.

Površinu ispod jednog svoda trohogona moţemo napisati formulom:

Duţina lukova dobijenih kruţnnih isečaka je , , a

suma duţina svih tih lukova je

koju zovemo duţinom luka jednog svoda

trohogona, tj:

Ako je kotrljajući n-ugao pravilan, i tačka z koja ostavlja trag se

nalazi u unutrašnjosti mnogougla, onda dobijenu krivu nazivamo

skraćenim ciklogonom.

Slika 44. Trohogon generisan opštim četvorouglom

- 61 -

Ako je tačka koja ostavlja trag izvan pravilnog mnogougla, onda

ćemo dobiti produženi ciklogon.

U tim slučajevima - kada je mnogougao pravilan - prethodne sume

moţemo napisati u jednom jednostavnijem obliku.

Kako je mnogougao pravilan, svaki od spoljašnjih uglovova su

jednaki sa spoljašnjim uglom mnogougla, tj. sa

radijana, što znači, da

prethodne formule moţemo pretvoriti na sledeći način:

Zbir

moţemo pojednostaviti pomoću kompleksnih brojeva.

Neka su z1,z2,…,zn leţe na kruţnici poluprečnika r i centrom u koordinatnom

početku, i zadovoljavaju uslov da se baricentar (centroid) tih tačaka nalazi

isto u koordinatnom početku, kako je prikazano na slici 47.

Slika 46. Produženi ciklogon

Slika 45. Skraćeni ciklogon

- 62 -

Kako je O baricentar tih n tačaka, moţemo napisati da je:

Tada za svaku tačku z ravni, vaţi da je:

Ako su tačke z1,z2,…,zn temena pravilnog mnogougla, sa istim

uslovima, onda , i tada sledi da je:

gde označava površinu kruga koja opisuje kotrljajući mnogougao, a

označava površinu kruţnice, čiji je poluprečnik jednak rastojanju izmeĎu

centra opisane kruţnice i tačke z. Konačno, za površinu ispod trohogona

dobili smo jedan neočekivano jednostavan rezultat:

Slika 47. Pravilan mnogougao sa baricentrom u tački O

- 63 -

Glava VII

Osobine srodne krive

Metoda prikazana u prethodnim poglavljima moţe se primeniti ne

samo na cikloidu već i na njene srodne krive. Zamislimo šta bi se desilo

kad bi se pravilni n-ugao kotrljao oko drugog pravilnog m-ugla. Duţine

stranica moraju da se podudaraju.

Kriva konstruisana tačkom z koja se nalazi unutar, odnosno izvan

pravilnog n-ugla se zove hipotrohogon odnosno epitrohogon, a kriva

konstruisana temenom n-ugla je hipociklogon, odnosno epiciklogon.

Slika 48. Epitrohogon generisan pravilnim šestouglom

- 64 -

Nomenklatura nije slučajna, jer povećanjem broja stranica prema

beskonačnosti dobijamo hipocikloidu odnosno epicikloidu. Iz ovoga se

jasno vidi da se površina izmeĎu ovim krivama i mnogougla moţe dobiti

pomenutim metodama, i nazvaćemo ih kraćom površinom hipo- i

epitrohogona.

7.1. Površina hipo- i epicikloide bez korišćenja

integrala

U drugom poglavlju smo već dokazali da je površina hipocikloide je

, gde je b poluprečnik kruga koja se kreće po

unutrašnjosti nepokretnog kruga poluprečnika a i je broj svodova

hipocikloide, a površina epicikloide je , odnosno:

i ,

gde je površina kotrljajuće kruţnice. Pomoću hipo- i epiciklogona

moţemo dobiti formule, čije su granične vrednosti ekvivalentni sa ovim

rezultatima.

Slika 49. Hipociklogon sa n=5 i m=15

- 65 -

Na slici 49 prikazan je deo hipociklogona, generisan sa pravilnim

petnaestouglom i kotrljajućim petouglom. Očigledno je da površinu

hipociklogona moţemo dobiti tako da iz površine m-ugla izvučemo

puta

površinu

koja je ograničena sa m-uglom i jednim svodom

hipociklogona. Površina

sastoji se od n-2 trouglova, koje zajedno daju

površinu kotrljajućeg n-ugla (označena sa ), i n-1 kruţnih isečaka. Znači,

moţemo napisati:

gde je

površina k-tog kruţnog isečka, a , su

duţine koje spajaju jedno teme n-ugla sa ostalim n-1 temenima. U slučaju

ciklogona smo imali da je ugao kruţnog isečka jednak je

, koji moramo

smanjiti sa spoljašnjim uglom m-ugla, tj.

To znači da je:

gde je R poluprečnik opisane kruţnice kotrljajućeg pravilnog n-ugla.

Sada posmatramo niz hipociklogona generisan sa n-uglom koji se

kotrlja unutar m-ugla ( označen sa ) upisan u krug poluprečnika a,

tako da odnos broja stranica

pravilnih mnogouglova se ne menja.

Prvi član niza je ciklogon generisan sa trouglom koji se kotrlja oko 3v-ugla,

drugi član niza je generisan sa kvadratom koji se kotrlja oko 4v-ugla, n-ti

član generiše pravilan n+2-ugao koji se kotrlja oko (n+2)v-ugla . Preciznije,

niz ciklogona izgleda ovako:

- 66 -

Kako su stranice n-ugla i m-ugla jednake duţine, moţemo

posmatrati da za svaki član niza vaţi da je obim nepokretnog mnogougla v

puta veća od kotrljajućeg. U graničnom slučaju, zato i jer je

što znači da smo dobili dve kruţnice, takve da je obim prve

kruţnice v puta manji od obima druge kruţnice, tj i poluprečnici imaju

odnos

. Što moţemo napisati ovako:

, gde je a poluprečnik

kruţnice K0 opisan oko m-ugla, a b poluprečnik kotrljajuće kruţnice K

dobijen od pravilnog n-ugla

Tada:

Koristeći prethodni rezultat i da je broj svodova

hipocikloide, dobijamo da je površina hipocikloide jednak:

što smo već dokazali pomoću integrala.

Površinu epiciklogona moţemo dobiti na sličan način sa razlikom,

da ćemo površinu m-ugla povećati

puta sa površinom

, koja je

ograničena sa m-uglom i jednim svodom epiciklogona. Ova površina data

je jednačinom:

Na slici 50 je prikazan deo epicikloide generisane sa pravilnim

petouglom koji se kotrlja oko pravilnog petnaestougla.

- 67 -

Sada moramo uzeti u obzir da je ugao kruţnog isečka veći za

spoljašnjim uglom m-ugla od ugla kruţnog isečka kod ciklogona. Zato

moţemo napisati sledeće:

U graničnom slučaju, kada je i , odnosno

:

gde je a poluprečnik kruţnice K0 opisan oko pravilnog m-ugla,, a b

poluprečnik male kruţnice K generisana n-uglom.

Koristeći prethodni rezultat i da je broj svodova

epicikloide, dobijamo da je površina epicikloide jednak:

što smo hteli, da dokaţemo.

Slika 50. Epiciklogon sa n=5 i m=15

- 68 -

7.2. Specijalni primeri

Sada ćemo predstaviti nekoliko primera kako iz hipo- i epiciklogona

moţemo dobiti poznate krive.

Ako se n-ugao kotrlja oko m-ugla, i vaţi, da je

, onda jedno

teme n-ugla opisuje krivu, koju nazivamo kardiogon. Površina

izmeĎu kvadrata i krive je:

Kad , onda je , i kriva kardiogon se pretvara u poznatu

kardioidu. Tada se dogaĎa da je površina izmeĎu krive i kruţnice jednaka

. A iz ovoga sledi rezultat, što smo već izračunali pomoću integrala, da

je cela površina ograničena kardioidom, jednaka :

U slučaju

, dobijamo nefrogon, sa površinom :

Kad dobijamo rezultat, da je površina ispod jednog svoda jednaka

sa:

Slika 51. Kardiogon i kardioida

- 69 -

Moţemo videti da se nefroida sastoji od dve jednake krive, što znači

da je površina cele nefroide jednaka:

što je poznato.

Na slici je prikazana ranunkulogon, generisan petnaestouglom i

trouglom, tj

. Ova kriva se sastoji od 5 svodova, svaki sa

površinom:

Slika 52. Nefrogon i nefroida

Slika 53. Ranunkulogon i ranunkuloida

- 70 -

Kad tada ranunkulogon postaje ranunkuloida, sa površinom

izmeĎu nepokretne kruţnice i jednog svoda:

.

Kako je poluprečnik nepokretne kruţnice pet puta veći od male,

moţemo napisati da je površina ranunkuloide :

Ako je

, i n-ugao se kotrlja unutar drugog mnogougla, dobijeni

hipociklogon nazivamo astrogonom, sa površinom ispod jednog

svoda:

Ako , , dobijamo krivu astroida, koja se sastoji od

četiri svoda , i ograničena površina je razlika nepokretnog kruga i površine

izmeĎu ta četiri svoda i kruga.

To znači, da moţemo pisati:

što je opet, jedan poznat rezultat.

Slika 54. Astrogon i astroida

- 71 -

Deltogon je hipociklogon generisan sa mnogouglovima odnosom

brojem stranica:

. Deltogon ima površinu izmeĎu jednog svoda

i fiksnog m-ugla:

Kad , dobijamo poznatu deltoidu sa tri svoda, koja ima

površinu:

Jedan interesantan primer hipociklogone je takozvani dijamogon. To

moţemo dobiti kada je

.

Slika 55. Deltogon i deltoida

Slika 56. Dijamogoni

- 72 -

Dok se n-gon kotrlja u unutrašnjosti pravilnog 2n-ugla, opiše osno

simetričnu krivu, koja se sastoji od n-1 svodova. Na slici 56 su prikazane

dijamogone za n=3 i n=6.

Površinu izmeĎu jednog svoda i 2n-ugla moţemo lako izračunati:

U graničnom slučaju, kada , dobijamo da je , tj

površina ispod dva svoda je . Kako je površina 2n-ugla takoĎe jednaka

sa , odavde sledi da površina dijamogona teţi nuli. Drugim rečima

kada , dijagomon postaje prečnik nepokretne kruţnice.

- 73 -

7.3. Dužina luka hipo- i epicikloide bez korišćenja

integrala

Na osnovu prethodnog poglavlja moţemo izračunati jedan još

opštiji izraz, koji daje duţinu luka jednog svoda hipo- i epicikloide,

korišćenjem jednostavne formule za duţinu luka ciklogona. Znamo da je

duţina luka ciklogona jednak:

gde su rk, k=1,2,…,n-1 poluprečnici kruţnih isečaka sa uglom

od

radijana.

Slika 57. Dužina luka epiciklogona

generisana kvadratom

- 74 -

Ovu formulu moramo promeniti, jer kod epiciklogonih kruţnih

isečaka imamo uglove od

radijana , a kod hipociklogona od

. Na slici 57 moţemo videti epiciklogon, kada je m=12 i n=4, pa

kruţni isečak ima ugao od

radijana.

Očigledno je, da za duţinu luka jednog svoda moţemo napisati

formulu:

gde uzimamo znak plus za izračunavanje površinu epiciklogona, a minus za

hipociklogon.

Još jednom, znamo da je

, gde je D prečnik opisane

kruţnice kotrljajućeg mnogougla, i da je duţina luka ciklogona

. Zato moţemo pisati da je:

U graničnom slučaju, kada , dobijamo jednu nepokretnu

kruţnicu sa poluprečnikom a i drugu kruţnicu sa poluprečnikom b, koja se

kotrlja unutar ili van prve, tako da se odnos broja stranice i dva

poluprečnika ne menja, tj

. Ako uzmemo u obzir, da je u tom slučaju

, tada dobijamo :

tj, duţina luka cele hipo- i epicikloide je jedenak:

gde je

broj svodova.

- 75 -

U sledećoj tabeli ćemo dati neke primere:

Epi-

hipotrohogon faktor Epi- hipocikloid

Duţina luka

jednog svoda

Duţina

luka

diamogon

dijametar

deltogon

deltoida

astrogon

astroida

kardiogon

kardioida

nefrogon

nefroida

ranunkulogon

ranunkuloida

Tablica 2. Dužina luka neke poznate krive

- 76 -

7.4. Površina epi- i hipotrohoida

Površina ograničena sa nepokretnim mnogouglom i jednim svodom

epi- ili hipotrohogona je data sa:

gde uzimamo znak plus za izračunavanje površine epitrohogona, a minus za

hipotrohogon.

Ako , nepokretan mnogougao postaje prava, i kao

granični slučaj iz prethodne formule dobijamo već poznatu formulu

Na slici 57 je prikazana kriva dobijena kotrljanjem trougla oko i

unutar pravilnog devetougla, kada je tačka z koja ostavlja trag leţi u

unutrašnjosti jednakostraničnog trougla.

Traţena površina

sastoji se od četiri trougla, koje zajedno daju

površinu kotrljajućeg trougla, i tri kruţna isečka. Znači, moţemo napisati:

gde je

površina k-te kruţne isečke.

Slika 58. Epi- i hipotrohogen genetisane trouglom

- 77 -

U opštem slučaju, kada se pravilan mnogougao sa stranica kotrlja

oko pravilnog poligona sa stranica, tačka koja se zajedno kreće sa n-

uglom, konstruiše površinu, koja se sastoji od kruţnih sektora sa

poluprečnikom rk. i uglom , i skupa sa n+1 trouglom koji formira

mnogougao koji je u pokretu. Poluprečnik rk je isto kao kod trohogona

jednak rastojanju tačke z i k-tog temena mnogougla, ali je sada ugao zbir

ili razlika dva spoljašnja ugla, u zavisnosti od toga da li imamo

epitrohogonu ili hipotrohogonu, tj moţemo pisati:

Znači,

formulu za površinu trohogona moramo formirati na sledeći način:

Sada ćemo opet koristiti poznatu formulu iz kompleksne analize

, i dobijamo već navedeno rešenje:

Opet ćemo ispitati granični slučaj. Ako , tada

mnogouglovi postaju kruţnice, tako da se odnos broja stranica i

poluprečnika kruţnice ne menja, tj

. U tom slučaju vaţi da je:

Kako epi- i hipotrohoid ima

svodova , cela površina je sledeća:

- 78 -

7.4. Elipsa

Sedmo poglavlje ću završiti jednim interesantnim primerom

hipotrohogona koju ćemo zvati elipsogonom. Nije teško shvatiti, šta će biti

granični slučaj ovog hipotrohogona.

Neka je tačka z u unutrašnjosti kotrljajućeg šestougla - koja je unutar

12-ugla - ostavlja trag, što je prikazana na slici 59. Odnos broja stranice

mnogouglova je 1:2. Kada je , elipsogon postaje elipsa.

U graničnom slučaju, površina izmeĎu stalnog kruga i jednog svoda

krive je:

Iz ovoga sledi, da je površina elipse ispod 2 svoda sledeća:

Ako uzmemo da je poluprečnik kotrljajuće kruţnice r, a rastojanje

izmeĎu tačke z i centra te kruţnice h, onda je:

Moţemo videti da su duţine poluprečnici

elipse, što znači da je:

što je poznata formula za površinu elipse.

Slika 59. Elipsogon i elipsa

- 79 -

Zaključak

U prvom delu rada sam, pomoću integrala, dokazala neke vaţne

teoreme – duţinu luka, površinu i zapreminu obrtnog tela – vezane za

cikloidu i njene srodne krive. Posle toga sam definisala pojam ciklogona i

uvela hipotezu – ako broj stranica pravilnog mnogougla koji generiše

ciklogon povećamo do beskonačnosti, tokom kotrljanja, posmatrana tačka

opisuje cikloidu. Pomoću teorije ciklogona ponovo sam dokazala teoreme

iz prvog dela rada. Suština rada jeste u tome da ukaţe na to da moţemo

izračunati površinu, ograničene sa takvim sloţenim krivama kao što je na

primer astroida ili kardioida, a sve to bez znanja parametarskih jednačina i

integrala.

- 80 -

Literatura

[1] E.H. Lockwood, A book of curves, Cambridge, 1961

[2] Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton, New Jersey, 1998, pp

95-102.

[3] George F. Simmons, Calculus gems: Brief Lives and Memorable

Mathematics ,The Mathematical Association of America, 2007

[4] Ian Stewart, Taming the Infinite, London, 2008

[5] Lipkovski, Aleksandar, Linearna algebra i analitička geometrija,

Beograd

[6] Rašajski, Dobrivoje N., Analitička geometrija, Beograd

[7] Robert C. Yates, A Handbook on Curves and Their Properties,J.W.

Edwards , Ann Arbor, 1947

[8] Sain Márton, Nincs királyi út!, Budapest, 1986

[9] Tacon David, The Cycloid: “The Helen of Gemeters”, Parabola

Volume 29, Issue 3, 1993

[10] Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian, Area & Arc Length

of Trochogonal Arches, Math Horizons, Nov. 2003, pp 24-27.

[11] Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian, Cycloidal Areas

without Calculus, Math Horizons , Sept.1999, pp. 12-16.

[12] Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian, Generalized

Cyclogons, Math Horizons , Sept. 2002 ,pp. 25-28.

[13] Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian, New Insight into

Cycloidal Areas, American Mathematical Monthly August-

September, 2009, pp. 608-609.

[14] Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian, Sums of Squares of

Distances, Math Horizons ,Nov 2001, p. 21.

[15] Weissten, Eric W., CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC

Press LLC, 1999.

[16] http://mathworld.wolfram.com

- 81 -

Kratka biografija

Ţuţana Fekete je roĎena 25.1.1986. godine u

Senti, gde je završila osnovnu školu i Gimnaziju sa

odličnim rezultatom. Na Prirodno-matematički fakultet

u Novom Sadu, Departman za matematiku i informatiku,

upisala se na smer diplomirani matematičar - profesor

matematike. Diplomirala je 2010. Iste godine upisala se

na master studije na istom fakultetu, smer: matematika,

modul: nastava matematike. Poloţila je sve predmete predviĎene planom i

programom, i tako stekla uslov za odbranu master rada.

Novi Sad, decembar 2012. Ţuţana Fekete

- 82 -

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO - MATEMATIČKI FAKULTET

KLJUČNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA

Redni broj:

RBR

Identifikacioni broj:

IBR

Tip dokumentacije: Monografska dokumentacija

TD

Tip zapisa: Tekstualni Stampani materijal

TZ

Vrsta rada: Master rad

VR

Autor: Fekete Ţuţana

AU

Mentor: dr Nevena Pušić

MN

Naslov rada: Novi pristupi metričkim aspektima cikloide i njoj srodnih krivih

MR

Jezik publikacije: Srpski (latinica)

JP

Jezik izvoda: s / e

JI

Zemlja publikovanja: Republika Srbija

ZP

Uţe geografsko područje: Vojvodina

UGP

Godina: 2012

GO

Izdavač: Autorski reprint

IZ

Mesto i adresa: Novi Sad, Trg D. Obradovića 4

MA

Fizički opis rada: (7/85/16/2/59/0) (broj poglavlja/ broj strana/ broj lit. citata/ broj tabela/ broj

slika/ broj grafika broj priloga)

- 83 -

FO

Naučna oblast: Matematika

NO

Naučna disciplina: Geometrija

ND

Ključne reči: cikloida, hipocikloida, epickloida, teorema dvostruke generacije, ciklogon

PO

UDK:

Čuva se:

ČU

Vaţna napomena:

VN

Izvod: Master rad obraĎuje temu cikloide, njene najbitnije karakteristike, srodne krive i jednu metodu izračunavanja površine ispod cikloide i njenih srodnih krivi, odnosno duţinu luka bez korišćenja parametarskih jednačina i integrala. Prikazuje Brahistokronov problem, definiciju i jednačinu cikloide. Sadrţi proračune duţine luka jednog svoda, površine ispod krive i zapremine

obrtnog tela. Treće poglavlje prikazuje srodne krive: hipocikloidu, epicikloidu, pericikloidu i trohoidu. Zatim sadrţi definicije ciklogona, epiciklogona, hipociklogona, trohogona, epitrohogona i hipotrohogona. Bavi se odreĎivanjem površine i duţine luka ciklogona. Sa sličnom metodom dokazuje teoreme o površini srodnih krivi. Na kraju pokazuje nekoliko konkretnih primera, kao što su: kardioida i kardiogon, nefroida i nefrogon, astroida i astrogon, deltoida i deltogon, diamogon, elipsa i elipsogon. IZ

Datum prihvatanja teme od strane NN veća: jun 2012

DP

Datum odbrane: oktobar 2012

DO

Članovi komisije:

KO

Predsednik:dr Đura Paunić, redovni professor Prirodno-matematičkog fakulteta u

Novom Sadu

Član: dr Olga Bodroţa-Pantić, redovni professor Prirodno-matematičkog

fakulteta u Novom Sadu

Član: dr Nevena Pušić, redovni professor Prirodno-matematičkog fakulteta u

Novom Sadu

- 84 -

UNIVERSITY OF NOVI SAD

FACULTY OF SCIENCE KEY

WORDS DOCUMENTATION

Accession number:

ANO

Identification umber:

INO

Document type: Monograph type

DT

Type of record: Printed text

TR

Contents Code: Graduation thesis

CC

Author: Fekete Zsuzsanna

AU

Mentor: dr Nevena Pušić

MN

Title: New Approach to Cycloid and Related Curves

XI

Language of text: Serbian (Latin)

LT

Language of abstract: s/en

LA

Country of publication: Republic of Serbia

CP

Locality of publication: Vojvodina

LP

Publication year: 2012

PY

Publisher: Author's reprint

PU

Publ. place: Novi Sad, Trg D. Obradovića 4

PP

Physical description: (7/85/16/2/59/0) (broj poglavlja, broj strana, broj lit. citata, broj tabela,

broj slika, broj grafika, broj priloga)

PD

Scientific field: Mathematics

SF

- 85 -

Scientific discipline: Geometry

Key words: cycloid, epicycloid, hypocycloid, double generation theorem, cyclogon

UC:

Holding data:

HD Note:

Abstract: Master thesis deals with the topic cycloid, its most important characteristics, related curves and a method of calculating the arc length and the area under the cycloid and related curves without the use of parametric equations and integrals. Displays Brahistokronov problem definition and equation of the cycloid. Includes calculations arc

length of one arch, area under the curve and the volume of the solid of revolution. The third chapter shows related curves: hypocycloid, epicycloid, trochoid. Then includes definitions of cyclogon, epicyclogon, hypocyclogon, trochogon, and epitrochogon, hyipotrochogon. It deals with the area and with the arc length of the cyclogon. Contains the proofs of the theoremes about the area of the related curves with the similar method. In the end show some concrete examples like cardioid and cardiogon, nephroid and nephrogon astroid and astrogon,deltoid and deltogon, diamogon, ellipse and ellipsogon. AB

Accepted by the Scientific Board on: Jun 2012

Defended: August 2012

Thesis defend board:

President:Dr Đura Paunić, full profesor, Faculty of Science, Novi Sad

Member: Dr Olga Bodroţa-Pantić, full profesor, Faculty

of Science, Novi Sad

Mentor: Dr Nevena Pušić, full profesor, Faculty of Science, Novi Sad