NPresentation3 04 14.ppt - authusers.auth.gr/hara/courses/history_of_math/Spring2014/N...Πίσω στον ∆ιόφαντο και στο πρόβλημα της διαίρεσης

Ε ό ξά Εαρινό εξάμηνο 20143.04.14

Χ Χαραλάμ ουςΧ. ΧαραλάμπουςΑΠΘ

Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ

Ιστορία των ΜαθηματικώνΕαρινό Εξάμηνο 2014

Γενικό πρόβλημα: Να διαιρέσειςΓενικό πρόβλημα: Να διαιρέσεις τετράγωνο σε δύο τετράγωνα.

Ειδικό πρόβλημα: Να διαιρέσεις το 16 σε δύο τετράγωνα.ρ γ


ΑΠΘ


Πίσω στον ∆ιόφαντο και στο πρόβλημα της διαίρεσης του 16 σε δύο τετράγωνα. Ο ∆ιόφαντος δίνει τις παρακάτω οδηγίες:

έστω x2 το πρώτο τετράγωνο.αυτό που απομένει είναι 16- x2. Πρέπει να είναι τετράγωνο και αυτό.μ ρ ρ γΠαίρνω το τετράγωνο της διαφοράς ενός οποιοδήποτε πολλαπλασίου του x μείον 4.

Γ άδ έ ά 2 4Για παράδειγμα έστω το τετράγωνο του 2x-4:Τότε (2x-4)2=4x2+16-16x.ΚαιΚαι (2x-4)2=16-x2 Τελικά 5x2=16x άρα x=16/5. ρ

Το ένα τετράγωνο είναι 256/25 και το άλλο είναι 144/25.Χαρά ΧαραλάμπουςΤμήμα Μαθηματικών

ΑΠΘ


Γ ί Δ όφ δ λέ δ ύ ά ί Γιατί o Διόφαντος διαλέγει το δεύτερο τετράγωνο να είναι της μορφής (mx‐4)2

Αν m 2 τότε η λύση είναι x 256/25 y 144/25Αν m=2 τότε η λύση είναι x=256/25 , y=144/25αν m=4 τότε η λύση είναι x=1024/289 ,y= 3600/289----

Ο ∆ιόφαντος στην ουσία λέει ότι υπάρχουν άπειρες λύσειςΟ ∆ιόφαντος στην ουσία λέει ότι υπάρχουν άπειρες λύσεις

(και δίνει τρόπο εύρεσης Πυθαγορείων τριάδων)

Π ί ή έθ δ ? Α ό άΠοια είναι η γενική μέθοδος? Αν το αρχικό τετράγωνο ήταν c2 πως θα βρίσκαμε τα δύο τετράγωνα?


ΑΠΘ


Σημερινή Γεωμετρική ερμηνεία:ημ ρ ή μ ρ ή ρμη

Ο κύκλος 2 16 2y2=16-x2

και η ευθεία y=2x 4 τέμνονται σε δύο σημείαy=2x-4 τέμνονται σε δύο σημεία.το ένα σημείο τομής βρίσκεται στον άξονα των y (x=0). Το ξ y ( )άλλο σημείο τομής έχει για x-συντεταγμένη τη τιμή που άψάχνουμε.


ΑΠΘ


«Αριθμητική» Βιβλίο 4: ( Ο Διόφαντος αναφέρεται σε «Αριθμητική» Βιβλίο 4: ( Ο Διόφαντος αναφέρεται σε Πρόταση από το βιβλίο Πορίσματα, όπου εννοείται ότι είναι η απόδειξη)

Αριθμοί της μορφής 4n+3 δεν μπορεί να είναι άθροισμα τετραγώνων (έχει η πρόταση αυτή απόδειξη με τα εργαλεία του Διόφαντου?)


ΑΠΘ


Μέρος της «Αριθμητικής» αντιγράφηκε από τους Βυζαντινούς ρ ς ης ρ μη ής γρ φη ς ζ ςλόγιους,

(σχόλιο από Ιωάννη τον Χορτασμένο τον 14ο αιώνα)

Μεταφράστηκε στα Αραβικά τον 10ο αιώνα.

To 1463 ο Regiomontanus αναφέρει ότι δυστυχώς η “Αριθμητική» δεν έχει ακόμα μεταφραστεί στα Λατινικά

Μετάφραση του Bombelli 1570, (χρησιμοποίησε προβλήματα στο βιβλίο του Άλγεβρα)

Πιο γνωστή μετάφραση του Bachet 1621 (Fermat)


ΑΠΘ


al‐Khwārizmī (780‐ 850) Ιράκ


ΑΠΘ


Kitāb al‐Jam wa‐l‐tafrīq bi‐ḥisāb al‐Hind (λατινικά Dixit algorizm)~825


ΑΠΘ


al‐Kitabal‐mukhtasar fihisabal‐jabrwa'l‐muqabalaالكتابالكا

المختصر في حساب الجبر والمقابلة ~830

al-jabr: αποκατάσταση—συμπλήρωση

Mugabala: ελάττωση---εξισορρόπηση


ΑΠΘ


Χάρτης τουal-Kwarizmi(μαθηματικός

ά )και γεωγράφος)


ΑΠΘ


Αλλαγή έμφασης (στην επίλυση δευτεροβάθμιων):Αλλαγή έμφασης (στην επίλυση δευτεροβάθμιων):

Το ζητούμενο είναι να βρεθεί αριθμός (οί) που ναΤο ζητούμενο είναι να βρεθεί αριθμός (οί) που να ικανοποιεί (ούν) κάποιες συνθήκες και όχι ακμές τετραγώνων.

Σε κάποιες περιπτώσεις ο al‐Khwārizmī δέχεται δύο (θετικές) λύσεις σε δευτεροβάθμιες εξισώσεις.

Συγκρίνοντας το γραπτό του με του ∆ιόφαντου ύ ό δί ύ ύπαρατηρούμε ότι δίνει γεωμετρικού τύπου

αποδείξεις.


ΑΠΘ


Παράδειγμα: Ποιό πρέπει να είναι το τετράγωνο που όταν το προσθέσεις σε 10 από τις ρίζες του θα γίνει 39?

∆ιαιρείς τον αριθμό των ριζών και παίρνεις 5αυτό το πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του και το γινόμενο είναι 25

θέ ό 39προσθέτεις σε αυτό 39το αποτέλεσμα είναι 64παίρνεις της ρίζα του που είναι 8αφαιρείς το μισό του αριθμού των ριζών που είναι φ ρ ς μ ρ μ ρ ζ5, το υπόλοιπο είναι 3.Αυτή είναι η ρίζα που ζητούσες.


ΑΠΘ


(Ρητορική προσέγγιση.)Πλήρωση του τετραγώνου: (απόδειξη για x2+10x=39)Πλήρωση του τετραγώνου: (απόδειξη για x 10x 39)


ΑΠΘ


Για κάθε μορφή πολυωνυμικής εξίσωσης βαθμού 2 δίνεται διαφορετική λύση και απόδειξη. Στις μορφές αυτές ο al-Kwarizmi δεν δέχεται αρνητικούς συντελεστές. Οι λύσεις πρέπει να είναι θετικές, ενώ το 0 δεν είναι λύση.

Για τη λύση δευτεροβάθμιας εξίσωσης της μορφής x2+c=bx

ΝD= b BD=x NT= b/2

χρησιμοποιεί την παρακάτω γεωμετρική κατασκευή .

ΝD= b, BD=x, NT= b/2Άρα KIRG είναι τετράγωνο με ακμή b/2-x και εμβαδόν (b/2)2-cb/2 x και εμβαδόν (b/2) c


ΑΠΘ


έμπνευση του al-Kwarizmi από αρχαίουςέμπνευση του al-Kwarizmi από αρχαίους Βαβυλώνιους, ∆ιόφαντο και Ευκλείδη.

Είναι όμως οι αποδείξεις του al-Kwarizmi, του ιδίου «τύπου» όπως του Ευκλείδη?«τύπου» όπως του Ευκλείδη?

Ο l K i i δ έ ξ ώΟ al-Kwarizmi δεν έγραφε εξισώσεις.

Χρησιμοποιούσε ο al-Kwarizmi το ΙνδοΑραβικό σύστημα?


ΑΠΘ


Παράδειγμα από το κείμενο του Abu Kamil (Αίγυπτος: ~850-930 μ.Χ.) ρ γμ μ ( γ ς μ )

Σε ένα πρόβλημα υπολογίζει πως να χωρίσει κανείς το 10 σε δύο μέρη, έτσι ώστε όταν το ένα μέρος πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, το άλλο με τη ρίζα του 8, και αφαιρείται από το πρώτο γινόμενο το δεύτερο, το αποτέλεσμα είναι 40.

Μετά από πράξεις δίνει την απάντηση: Το μέρος είναι 10 και ρίζα 2 αφαιρώντας ρίζα του αθροίσματος του 42 και της ρίζας του 800, ενώ το άλλο μέρος είναιάλλο μέρος είναι…

** ο Kamil χρησιμοποιεί με άνεση ριζικά μη ρητών**χρη μ μ η ρ ζ μη ρη


ΑΠΘ


Documents

NPresentation3 04 14.ppt - authusers.auth.gr/hara/courses/history_of_math/Spring2014/N...Πίσω στον ∆ιόφαντο και στο πρόβλημα της διαίρεσης