Nudos, genero y tuneles

Fabiola Manjarrez GutierrezUnidad Cuernavaca del

Instituto de Matematicas.

Que es un nudo?

Intuitivamente:

Formalmente:Sea k : S1 → S3(R3) un encaje. La imagen k(S1) es un nudo.Usualmente solo lo denotamos por k.(encaje es un funcion continua e inyectiva que es homeomorfismosobre su imagen)

Ejemplos de nudos

Problema principal

Clasificar nudos.Es decir dar una lista completa y sin repeticionesPara esto necesitamos saber que quiere decir que dos nudos seanequivalentes.

Invariantes de nudos

K −→ Objeto matematico I (K )Tal que si K1 y K2 son equivalentes entonces I (K1) = I (K2).Muy poderoso:I (K1) 6= (K2) entonces K1 y K2 son distintos.

Ejemplos de invariantes de nudos

En esta platica nos enfocaremos en GENERO y NUMERO DETUNEL.

Genero de un nudo

Todo nudo K en S3 es frontera de una superficie orientable de laforma ]gT .El mınimo g sobre todas las superficies orientables se llama elgenero del nudo K , lo denotamos por g(K )

Numero de tunel de un nudo

Sea un nudo K en S3.Un sistema de tuneles para K es una coleccion de arcos {τ1, ..., τn}tales que:

1. τi ∩ K = ∂τi para todo i

2. K ∪ni=1 τi se puede deformar, en el espacio tridimensional, auna “grafica desanudada”.

El mınimo n sobre todos los posibles sistemas de tuneles se llamanumero de tunel de K .

En esta platica consideraremos nudos de numero de tunel igual a 1:Un nudo K en S3 tiene numero de tunel 1, si existe un arco τ talque τ ∩ K = ∂τ y la grafica τ ∪ K se puede manipular de maneraque se vea como una grafica θ.

(mostrar video)

Nudos toroidales: numero de tunel 1 ygenero muy grande

genero= (p − 1)(q − 1)/2

(mostrar animacion)

Nudos con genero 1 y numero de tunel muygrande

Dados dos ındices (invariantes numericos);¿Que tan inusual es para un nudo tener complejidad mınima conrespecto a ambos ındices?¿Que tan raro es que un nudo tenga numero de tunel y generoigual a 1?

Ejemplos

Todos estos nudos son de genero uno y son de numero de tuneluno.

Estos nudos pertenecen a una familia llamada nudos de dospuentes.

(mostrar animacion)

¿Hay mas ejemplos?

Si.Morimoto-Sakuma e independientemente Mario Eudave,

clasificaron los nudos satelites de numero de tunel 1.

¿Hay mas ejemplos?Si.

Morimoto-Sakuma e independientemente Mario Eudave,clasificaron los nudos satelites de numero de tunel 1.

Nudo satelite

Es un nudo K cuyo exterior, S3 − N(K ) contiene un toro esencial.

Estos nudos estan codificados por 4 numeros K (α, β; p, q)

Goda y Teragaito determinaron cuales de los nudos K (α, β; p, q)son de genero 1. (K (8m, 4m + 1; p, q), con m 6= 0).

Conjetura de Goda y Teragaito (1999)

Los nudos K (8m, 4m + 1; p, q) y los nudos de genero 1 de dospuentes son todos los nudos de genero 1 y numero de tunel 1.

Scharlemann (2003) demuestra que la conjetura es cierta.

Ramırez Losada y Valdez Sanchez:Clasifican todos los nudos con descomposcion (1, 1) con genero noorientable 2. (son frontera de una botella de Klein)Todo nudo K en S3 es frontera de una superficie no orientable dela forma ]gRP3. El mınimo numero g sobre todas las superficiesno orientables, es el genero no orientable de K .

Teorema

Sea K un nudo genero no orientable 2. Si K admite unadescomposcion (1, 1) entonces K

1. Es un nudo toroidal

2. Es un nudo de 2-puentes

3. Es un nudo satelite

4. de la forma K (to , t1,R)

En colaboracion con Eudave Munoz y Ramırez Losada estamostrabajando en clasificar nudos con descomposcion (1, 1) de genero2.

1. K es toroidal.

2. K es satelite.

3. K es de dos puentes.

4. K es una combinacion de un nudo K1 satelite de genero uno yun nudo K2 de dos puentes de genero 1.

Para que?

Hay otros invariante que se llama el numero de Morse-Novikovpara un nudo, MN(K ). Y se sabe que:MN(K ) ≤ 2t(K )Si t(K ) = 1, entonces hay una funcion de Morse f : E (K )→ S1

con exactamente un punto crıtico de ındice 1 y uno de ındice 2.Preguntas:¿Sera que una superficie regular es una superficie de Seifer degenero mnimo?¿Coincidira la posicion delgada circular con la que realiza elnumero de Morse-Novikov?