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LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN En el desarrollo de la humanidad, el hombre tuvo la necesidad deexpresar el número, al inicio presumiblemente solo en un lenguajesimbólico. Por medio de los dedos de las manos se podían representarcolecciones de hasta diez elementos, y usando los dedos de las manos ypies podía remontarse hasta veinte. Cada pueblo en la antigüedaddefinía su propio sistema de numeración.
El sistema de numeración más simple que usa la notación posicionales el sistema de numeración binario. Este sistema usa solamente dosdígitos (0; 1). El sistema binario se usa en computación para elmanejo de datos e información. Normalmente al dígito cero se leasocia con apagado y al dígito 1 con encendido.
El hombre en su vidacotidiana trabaja desde elpunto de vista numérico conel sistema decimal.Asimismo, la computadoradebido a su construcción, lohace desde el sistemabinario, utilizando una seriede códigos que permiten superfecto funcionamiento.
¿La capacidad de la memoria RAM detu PC es una potencia de 2? ¿Seráuna coincidencia o tendrá relación conla base binaria?
Representación gráfica del número 100112
(número en base 2) y alegoría de la presencia de los binarios en las redes
informáticas.
Es un conjunto de símbolos que mediante ciertas reglas puedenrepresentar todos los números naturales.
SISTEMA DE NUMERACIÓN
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Base Nombre del sistema Cifra que se usan
23456789101112
BinarioTernarioCuaternarioQuinarioSenarioHeptanarioOctanarioNonarioDecimalUndecimalDuodecimal
0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
OBSERVACIONES:
•Toda cifra que forma parte de un numeral es un entero positivo y menor que su respectiva base.
( )nabcd Entonces: a; b; c; d < n
•Un numeral no puede empezar con la cifra cero.
( )nabcd Es decir “a” tiene que
ser diferente de cero.
•A mayor numeral aparente le corresponde menor base y a menor
numeral aparente le corresponde mayor base.
( ) ( ): n m
Si abcd xyz=
Comon < mabcd xyz> entonces
•El menor sistema de numeración que existe es el de base 2 (sistemabinario)Es decir n 2≥
•Toda cifra mayor que nueve va encerrada entre paréntesis. Porconvención se utiliza:Cifra Letra
10 <> A11 <> B12 <> C. . .. . .. . .
•Todo número entre paréntesis representa una sola cifra excepto la base:4 (12) 8 (13)
tiene 3 cifras y no 4
1 cifra1 cifra
1 cifra
• En el sistema de base “n”, se pueden utilizar “n” cifras diferentes, las
cuales son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; ….;(n-1)
REPRESENTACIÓN LITERAL DE UN NUMERAL
abc
)5(abcd
•Cuando se quiere representar un número y no se conocen las cifrasse utilizan letras del alfabeto y una barra encima de las cifras.Ejemplo:
Un número de 3 cifras:
Un número de 4 cifras en base 5:
TRANSFORMACIÓN DE SIST. DE NUMERACIÓN
De base 10 a una base diferente de 10
Divisiones sucesivas
EJERCICIOS
De una base diferente de 10 a base 10
De una base diferente de 10 a otra diferente de 10
Descomposición polinómica.
Por Ruffini
• Descom-posición Polinómica
• Divisiones Sucesivas
QUE PUEDE SER
Por mediode la
usando utilizando
De una base diferente de 10 a la base 10: Para este caso, seutiliza:
a) Descomposición polinómica: Se expresa el número como elvalor relativo de sus cifras.
Ejemplo
Convertir el número 876(9) a base decimal.
Resolución
876(9) = 8 . 92 + 7 . 9 + 6 = 717
b) Por Ruffini: Se realiza el siguiente procedimiento:Del ejemplo anterior:
Convertir el número 876(9) a base decimal.
Resolución
Se escribe el número a convertir con sus cifras separadas:
8 7 6
89
x 79
72
x
711
717 Número en el sistemaDecimal.
+ +
De base 10 a una base diferente de 10: Se utiliza el método dedivisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado entrela base “n” a la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que“n” se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que sellegue a una división donde el cociente sea menor que “n”.
Luego, se toma el último cociente y los residuos de todas lasdivisiones, desde el último residuo hacia el primero y eseserá el número escrito en base “n”.
De una base diferente de 10 a otra diferente de 10: Se utilizan eneste caso, los 2 métodos vistos anteriormente, es decir:
1ºLlevamos el número del sistema diferente de 10 a base 10por descomposición polinómica o por Ruffini.
2ºLuego llevamos el número hallado en el sistema decimal ala base que nos piden por divisiones sucesivas.
Ejemplo: Convertir: 543(6) a base 4
Resolución
543(6) = 5 . 62 + 4 . 6 + 3 = 207
El número en la base “n” dada (n ` 10) se convierte al sistema decimal:
El número convertido a base decimal se pasa a la base deseadapor divisiones sucesivas.
Luego :543(6) = 207 = 3033(4)
Propiedad: Si un numeral que representa la misma cantidad deunidades simples en dos sistemas de numeración diferentes, deberácumplirse que donde tenga mayor representación aparente lecorresponde una menor base y viceversa..
−+=
+−
)Y()x( RATONPAVO
Entonces: x > y
Propiedades Importantes
Del Numeral de cifras Máximas:
𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 1)(𝑛𝑛 − 1). . . (𝑛𝑛 − 1 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛𝑘𝑘 − 1
K cifras
De las bases sucesivas:
1𝑒𝑒1𝑑𝑑1𝑐𝑐1𝑏𝑏1𝑎𝑎(𝑛𝑛)
= 𝑛𝑛 + 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑒𝑒
)7(ana
)5(aaaa
Al expresar 214 en base 7 se obtuvo
Calcule la suma de cifras al expresar en base n.
Resolución
2.
2""
................. igualescifrasn
xxxxx
13nnnN =
= 4095
a) 2 193 b) 2 196 c) 2 396d) 2 186 e) 2 176
Hallar: expresado en base 10.
3.
Resolución
Convertir )3R(3)2R(1 ++
A) 234(R + 2) B) 563(R + 2)C) 219(R + 2) D) 999(R + 2)E) N.A.
a base (R + 2)4.
Resolución
5. Se desea repartir S/. 1536 entre un cierto número de personas, de tal modo que cada una pueda recibir S/. 1, S/. 5; S/. 25; S/. 125, …., etc. y que no más de cuatro personas reciban la misma cantidad de dinero. Hallar el número de personas beneficiadas.
Resolución
Supongamos que los S/. 1536 se repartiera de la siguiente manera:a personas reciben S/.1 (a<4)b personas reciben S/. 5 (b<4)c personas reciben S/. 25 (c<4)d personas reciben S/. 125 (d<4)...Luego 1536 = a.1 + b.5 + c.25 + d.125 + …Podemos darnos cuenta que los factores de a, b, c, d,…., son potencias de 5 y lo podemos expresar así:
1536 = a.50 + b.51 + c.52 + d.53 + ….Es la descomposición polinómica en base 5, donde a, b, c, d, …, son las cifras, luego debe convertirse 1536 a base 5.
2 + 2 + 1 + 2 + 1 = 8
1536 5
5
5
5
307
61
12
2
1
2
12
1536 = 22121(5)
Entonces:1536 = 2.54 + 2.53 + 1.52 + 2.51 +1.50
Por tanto
2 personas reciben: S/. 6252 personas reciben: S/. 1251 persona reciba: S/. 25 2 personas recibe: S/. 51 persona recibe: S/. 1
Número de personas favorecidas:
Calcule la suma de cifras de: E = 9 x 74 + 5 x 73 + 54 en el sistema heptanario.A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
Si los siguientes numerales están correctamente escritos:
( ) ( ) ( ) ( )p6m nn23q ; p21 ; n3m ; 1221
Hallar “m+n+p”.
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14