1

Numeri e tecniche di calcolo

nella Terra fra i due fiumi

La terra fra i due

fiumiLinea di costa nel III millennio

Area di influenza degli Accadiall’epoca di Sargon I (2350 a. C.)

Confini del regno di Hammurabi(1792-1750 a. C.)

Area di influenza delle primecittà stato sumere (IV-III millennio a. C.)

2

Tavola cronologica

L’arte sumericanon ha come fine la ricerca estetica

del bello, ma nasce come

manifestazione dello spirito religioso chepermea ogni

realtà.

StaticitàRipetizione

“Stendardo di Ur” (metà III millennio a.C., BM)mosaico di conchiglie, lapislazzuli e calcare rosso che rappresenta scene di guerra

3

La statua di Gudea(Lagash, Mesopotamia, 2130 a.C.)

Sulla tavoletta in grembo a Gudeaè incisa la rappresentazione planimetrica di un edificio.

Posti a fianco del disegno vi sono unregolo graduato e un’asta arcuata,

forse un compasso a corda.

Louvre

In base alla ricostruzione del progetto di Gudea, a partire dal disegno e prendendo come riferimento la larghezza delle porte di

accesso valutata in due o tre metri, l’intero edificio avrebbe dovuto avere una lunghezza di circa 100 metri e una larghezza di 40.

(Manzone, Navale 1988)

4

L’elemento architettonico più caratteristico dell’architettura mesopotamica è la Ziggurat, torre a terrazze.

Ziggurat di Ur sulla cui sommità era costruito il tempio dedicato al dio della luna Nanna (L. Woolley)

[1850] [1924]

Torre di BabeleTavoletta (229 a. C) con la pianta e le

misure, Ricostruzione di Wiseman

La Ziggurat di Babilonia, la Torre di Babele, constava di 7 terrazze. Era alta 90 metri e all’ultimo piano c’era la cella del Dio Marduk.

P. Bruegelil Vecchio (1563)

5

Gilgamesh, V re della I dinastia di Uruk“Ercole sumerico”

L’epopea di Gilgamesh affronta i grandi temi dell’umanità:

angoscia davanti alla morte, desiderio dell’immortalità e la

vana ricerca della felicità.

“I giorni dell’uomo sono contati:

qualunque cosa egli faccianon è altro che vento”

Gilgamesh contro il toro celeste(sigillo cilindrico accadico)

Gilgamesh, VIII sec a. C.Parigi, Louvre

circa 300 tavolette di argilla scritte in caratteri cuneiformi risalenti a tre periodi:

3000-2100 a.C.Epoca paleobabilonese 1800-1595 a. C.Epoca Seleucide (304-141 a. C.)

Tavole di moltiplicazione, tavole di inversi, elenchi di misure con passaggi da un’unità di ordine

Tavole di calcolo inferiore a una di ordine superiore e viceversa, tavole di potenze, tavole di radici quadrate,ecc.con o senza soluzione

Tavole di problemi ricette di calcoloniente simbolismonessuna dimostrazione

Fonti per la matematica mesopotamica

6

I contributi decisivi allo studio delle tavolette matematiche risalgono però solo agli anni

1930-1960.Neugebauer, Thureau-Dangin,

Bruins

Lettera di Pietro della Valle (1621), uno dei primi esempi di caratteri cuneiformi pervenuti in Europa.

G.F. GrotefendH.C. Rawlinson

J. Oppert, F. Thureau-Dangin

contribuirono alladecifrazione della

la scrittura cuneiforme (1802-1905)

Roccia di Behistuncon iscrizione trilingue

H.C. Rawlinson

La matematica non è intesa come un’attività speculativa astratta, ma un prodotto sociale generato dai bisogni di una società in continua espansione. Nasce e si sviluppa nei templi come strumento per l’amministrazione della città (costruzione di edifici e canali, computo dei giorni necessari per condurre a termine un lavoro, divisione di eredità, calcolo di interessi, riscossione di imposte, …)I problemi hanno perlopiù una veste concreta e sono classificati a seconda del tipo di soluzione. Questo è dovuto alla funzione didattica dei testi e mostra una certa consapevolezza della generalità, anche se non c’è alcuna esigenza dimostrativa.

Caratteri delle matematiche mesopotamiche

sistema di numerazione sessagesimale posizionale

“calcolo algebrico”: soluzione di problemi riconducibili a equazioni di 1° e 2° grado, particolari equazioni di grado superiore al 2°, particolari sistemi

7

Gli scribi costituivano una categoria di specialisti di alto livello con competenze linguistiche, matematiche e metrologiche Erano potenti funzionari dello stato con

varie specializzazioni.È documentata l’esistenza di scribi donne

Scribi, VIII sec. a.C.

La casa delle tavolette = la scuola

Materie di studio: lingua, grammatica e letteratura sumerica, matematiche, legislazione, musicaMetodo: copiare liste di parole (alberi, animali, oggetti, località, divinità, stelle,…), copiare vocabolari bilingui sumero-accadico, risolvere problemi basandosi su quelli risolti dal maestro [Sjöberg 1976]

Scuole paleobabilonesi (1900-1500 a.C.):Nippur, Uruk, Ur, Mari, Ebla

“Ricopiare testi modello costituiva una parte essenziale del programma di studi delle scuole paleobabilonesi (1900-1500 a.C.). Molti testi contenevano elenchi e tabelle ... Eseguendo questi compiti di ricopiatura, lo studente si esercitava nella scrittura cuneiforme e al tempo stesso accumulava una piccola biblioteca personale di tavolette”[Friberg 1984]

- testi didattici, dizionari bilingui- esercizi di scolari su piccole tavolette ovali che su un lato riportano lo scritto del maestro e dall’altro il “compito” dello studente- testi letterari sulla scuola - testo d’esame

Fine III millennio a.C., Louvre

8

LL’’origine dei segni numericiorigine dei segni numerici e le e le ““bullaebullae”” di argilla con gettonidi argilla con gettoni

Bulla con gettoni, Susa, ca 3300 a.C., Louvre

Bassa Mesopotamia, 3100 a. C.

Le bullae molto probabilmente servivano nelle transazioni commerciali. I gettoni contenuti descrivevano la merce inviata. Rompendo la bulla l’acquirente poteva verificare se la merce corrispondeva. Successivamente si iniziò ad imprimere sulla superficie della bulla i vari gettoni

Passaggio dai gettoni ai simboli numerici

70 montoni

4 mucche

1 10 60 600 3600 36000

Alcuni tipi di gettoni

9

Sistema di numerazione sumerico (2600 a. C.)

Esisteva anche il termine šar-gal (= grande šar) per indicare 216.000 (603), ma non il simbolo

Sistema di numerazione additivo, sessagesimale basato sull’uso congiunto della base 60 e 10

uomo

Colonna 1

60+10+10 = 80 montoni

Tavoletta sumerica, 2300 a. C.

60+60+10+10++10+10+6 = 166 capretti

10

La piùantica

divisione,2650 a. C.

1 granaio d’orzo = = 1152000 silà = 32×36000 silà 32×36000 : 7

1 granaiod’orzo

Il problema è il seguente:Il contenuto di un granaio d’orzo (32×36000 silà) è distribuito fra gli operai. Ciascuno riceve 7 silà e ne rimangono 3. Quanti sono gli operai?

7 silà

Ogni uomo riceve

I suoi uomini?

3 silà d’orzorimasti

36000 36000

36000 36000

3600 3600 3600

3600 3600

600 600 60

600 600 60

10 10 10 10 10 1

3 110 101

1036 606 6002 6002

60003 36005 360040 360004

7 3600032

restoaparirestoapariresto

aparirestoapariresto

apariresto

××××××××××

×

1 105 602

6004 36005

360004

×××××

La risposta è164571

Come ha trovato la soluzione lo scriba?

Probabilmente con una serie di divisioni successive conopportune conversioni da un’unità a quellaimmediatamente inferiore. [Guitel 1963]

11

Origine della base 60Teone di Alessandria (IV sec.), J. Wallis (1693):60 ha 12 divisori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60M. Cantor (1880): il numero dei giorni dell’anno arrotondato a 360 avrebbe suggerito la divisione del cerchio in 360 parti e il fatto che il lato dell’esagono regolare inscritto è uguale al raggio avrebbe portato alla base 60G. Kewitsch (1904): 60 è la combinazione naturale di due sistemi più antichi uno in base 10 e uno in base 6 O. Neugebauer (1927): il sistema metrologico è all’origine della base 60, infatti una grandezza di 60 unità può essere suddivisa senza difficoltà in dieci modi: in 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 parti uguali

Conteggio sulle ditaCosì si arriva a 59 e il contare le decine sulla seconda mano spiegherebbe la base ausiliaria 10

Evoluzione della scritturaVerso il - 2500-2400 si assiste a un processo di astrazione che porta ad utilizzare i due soli segni da cui il nome “cuneiforme”.

La scrittura si ottiene per impressione

uccello

pesce

3300 2600 2400 1800 a. C.

spiga diorzo

12

Fa la sua comparsa nell’ambiente colto all’inizio del II millennio a.C. come strumento per la matematica e poi (in

epoca Seleucide) per l’astronomia matematica.

I numeri da 1 a 59 sono scritti in modo additivo con la base ausiliaria 10, per i numeri superiori a 60 è utilizzato il principio di posizione (il valore del simbolo dipende dal posto che occupa)

Sistema di numerazione sessagesimale posizionale babilonese

Nel nostro sistema di numerazione decimale

8101108104

81011008100044818123 +×+×+×=

=+×+×+×=

1 , 20 , 18 ; 0186020601

181200360048182 +×+×=

=++=

Nel sistema di numerazione sessagesimale posizionale

13

4818 604800 80 60

18 60 120

1 , 20 , 18 ; 0

31250 606031200 520

50 480 8408 , 40 , 50 ; 0

8×602 + 40 ×60 + 50 = 28.800 + 2.400 + 50 = 31.250

Manca lo zero sia in posizione mediale che finale. Comparirà solo in epoca Seleucide

Ci troviamo davanti a due tipi di ambiguità:

- una derivante dalla mancanza dello zero- l’altra derivante dalla difficoltà di sapere come devono essere raggruppati i segni

Testo V di Susa

“Lo zero è la cifra più importante. È un colpo di genio fare di un nulla qualcosa, attribuendogli un nome e creando un simbolo per esso”[Van der Waerden 1954]... ,

60520

25560106010

560106010

615156010

3

2

+

+×+×

+×+×

=+×

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La tavola di moltiplicazione di un sistema di numerazione in base n ha (n-1)2 prodotti

1 2 3 4 5 6 7 8 92 4 6 8 10 12 14 16 183 6 9 12 15 18 21 24 274 8 12 16 20 24 28 32 365 10 15 20 25 30 35 40 456 12 18 24 30 36 42 48 547 14 21 28 35 42 49 56 638 16 24 32 40 48 56 64 729 18 27 36 45 54 63 72 81

La tavola di moltiplicazionedel sistema in base 60 comporta3481 prodotti.

In realtà i matematici Babilonesi non costruirono sistematicamente tutte queste tavole, ma ne costruirono altre …

50 × 25 = 1250 == 20 × 60+ 50

Tavola di moltiplicazione per 25 (ca 1600 a.C.) [TMS, 35]

Fronte Retro

10 × 25 = 250 == 4 × 60+ 10

Ci sono pervenute numerose tavole di moltiplicazione, di quadrati (n a-rá n), di radici quadrate (n2-e n íb-si8), di radici cubiche (n3-e n ba-si8), di somme di quadrati e di cubi, di inversi (igi n gál-bi1/n), ...

15

La divisione

La divisione viene effettuata moltiplicando il dividendo per l’inverso del divisore.

50;0 615

65

40;0 312

32

1;0 601

×=

×=

10;0 6010

61

20;0 6020

31

30;0 6030

21

=

=

=

L’inverso di ogni numero regolare, cioè contenente cioè solo i fattori 2, 3, 5 ( i fattori primi di 60) èesprimibile con una frazione sessagesimale finita

1 : 80 0, 125 108 2016

40400

1 : 80 0; 7, 30 1 → 60

56 4 → 240

2400

81

12015

1201

607

6030

60730,7;0 2 ==+=+=

0,125 = 125/1000 = 1/8

16

Le frazioni sessagesimali sono poste sullo stesso piano degli interi.

Questo è notevole se si pensa che il sistema di numerazione indiano (che diviene il nostro) concerneva solo l’espressione

degli interi e si passò assai tardi alla nozione di frazioni decimali che cominciarono a diffondersi in Europa solo alla

fine del ‘500 [S. Stevin, De Thiende, 1585]

45,3;0

6045

603

60604360

603

6043

412

604

15

6016160

161

2

→

+=×

×+=

+==

×=

Gli inversi dei numeri irregolari come 7, 11, 13, …danno luogo a frazioni sessagesimali infinite

periodiche

Nella più antica tavola di inversi (1800 a.C. circa) ci sono gli inversi dei numeri da 2 a 60.Quando si tratta di calcolare gli inversi di 7, 11, 13, …59 lo scriba scrive che tali numeri non hanno inverso.

In YBC 10529 (Yale) c’è il calcolo approssimato degli inversi di numeri irregolari, per es. 1/59 0;1,1,1 [MCT, 16]

17

1 → 60 : 756 0; 8, 34, 17,...4 → 240

2382 → 120

1191 → 60

…..

1 : 70 0, 142857…107 3028

20146056

4035

50491…

Tabella di inversi di numeri compresi fra 1 e 3[MKT, I, 14-22]

Louvre AO 6456 Igi 3 gál-bi 20

18

Approssimazione di , circa 1800 a.C.

Sul lato del quadrato è scritto 30 e sulla diagonale sono segnati i numeri 1; 24, 51, 10 e 42; 25, 35.La diagonale è ottenuta così: 42; 25, 35 = 30 × 1; 24, 51, 10

2

YBC 7289MCT,42-43

42; 25, 35 = 30 × 1; 24, 51, 10

AC = 30

1; 24, 51, 10 = 1, 414213

approssimazione molto buona diA C

B

2×302

302

2

2

Questa tavoletta da sola non dimostra che i Babilonesi conoscessero il “teorema di Pitagora” nella sua generalità, ma esistono altre tavolette in cui questo teorema viene usato in modo palese [p. e. MCT,142]

19

Plimpton 322 (1800 a.C., MCT, 38-39)

La tavoletta mostra un elenco ordinato di numeri relativi a 15 terne pitagoriche, cioè terne di numeri interi che soddisfano la relazione

La I colonna della tavoletta presenta i valori corrispondenti al rapporto mentre la II e la III i valori di b e di c, rispettivamente. L’ultima colonna indica invece semplicemente i numeri d’ordine, da 1 a 15, delle terne.

2 2b a

222 cba =+

222 cba =+

È possibile che i Babilonesi

conoscessero il meccanismo

di formazione della terne pitagoriche :

22

22

2

vuc

vub

uva

+=

−=

=

Euclide, Elementi, X,28.1

Numerid’ordine c ab

vuvu

>interi e

722+652=5184+4225= 9409=972

20

Tavoletta AO 6484 (epoca Seleucide)Somma dei quadrati dei naturali

da 1 a 10 (MKT, I, 99)

“Quadrati da 1 volte 1 fino a 10 volte 10, 100Qual è il numero? Tu moltiplichi 1 per 1/3, trovi 1/3Tu moltiplichi 10 per 2/3, trovi 20/3. 1/3 + 20/3, trovi 7. Tu moltiplichi 7 per 55, trovi 385.Il numero è 385”.

)12)(1(61...321 S

2)1(

32

31

385557553210

311

2222 ++=++++=

+×

+

=×=×

×+×

nnnn

nnn

1

4

3

2

5

1

n = 5

n = 10

Lurje 1948

1 cubetto unitario4 cubetti unitari9 cubetti unitari16 cubetti unitari25 cubetti unitari

1

4

3

2

5

1n = 5

Assemblando tre di questi solidi ottengo un parallelepipedo di dimensioni 5× (5+1) × 5 più una scala formata da (1+2+3+4+5) cubetti unitari.

n+1n

n

)12(2

)1(

2)1()1(3

++

=

=+

++=

nnn

nnnnnS

La somma dei cubetti unitari del solido a scalini rappresenta la somma dei quadratidei numeri da 1 a 5.

21

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