Upload
doankhanh
View
225
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร บทที่ 8 เทคนิควเิคราะห์เชิงตัวเลขเพือ่แก้สมการเชิงอนุพนัธ์ (Numerical methods for differential equations)
8.1 บทน า
งานดา้นวิศวกรรมโดยส่วนใหญ่มกัใชส้มการเชิงอนุพนัธ์ส าหรับช่วยในการอธิบายปรากฏการณ์ต่าง ๆ
ของปัญหาในระบบ ในบทน้ีจะไดน้ าเสนอขั้นตอนวิธีการรแกส้มการโดยวิธีการวิเคราะห์เชิงตวัเลขท่ีนิยมใช้
เพื่อให้เขา้ใจท่ีมาของวิธีการแกปั้ญหา และเน่ืองจากปัจจุบนัมีโปรแกรมคอมพิวเตอร์ท่ีสามารถใชช่้วยในการ
แกปั้ญหาเชิงอนุพนัธ์ซ่ึงมีการใช้กนัอย่างแพร่หลาย สามารถน ามาใช้เขียนโปรแกรมตามล าดบัขั้นของวิธีท่ี
น าเสนอไดง่้ายตลอดจนมีค าสั่งในการแกปั้ญหาเชิงอนุพนัธ์ท่ีซบัซอ้นไดอ้ยา่งง่ายดาย ช่วยให้ศึกษาเน้ือหาน้ีได้
อยา่งมีประสิทธิภาพ ดงันั้นในท่ีน้ีจึงกล่าวถึงเฉพาะสมการเชิงอนุพนัธ์อยา่งง่ายไม่ซบัซอ้นนกั เพื่อเป็นแนวทาง
ใหศึ้กษาเพิ่มเติมไดด้ว้ยตนเองในเน้ือหาขั้นสูงต่อไป
พิจารณาการแกส้มการเชิงอนุพนัธ์อนัดบั 1
xydx
dy (8.1)
ในท่ีน้ีตอ้งการหาผลเฉลยของสมการน้ีคือ ?)( xy ซ่ึง y เป็นฟังกช์นัของตวัแปรอิสระ x และ
สมการดงักล่าวสมารถเขียนไดอี้กรูปแบบหน่ึงคือ
)()(
xxydx
xdy (8.2)
ซ่ึงสามารถหาผลเฉลยของสมการน้ีไดด้ว้ยวิธีแยกตวัแปร (separation of variable)โดยการน า y ไปหาร
ตลอด ทั้งน้ี 0y แลว้อินทิเกรตเทียบกบัตวัแปร x และสมการดงักล่าวสมารถเขียนไดอี้กรูปแบบหน่ึงคือ
dxxdxdx
dy
y
1 (8.3)
จากกฎลูกโซ่ (chain rule) เราสามารถหาผลเฉลย
dxxdyy
1 (8.4)
ดงันั้น
1
2
2ln c
xy (8.5)
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร โดยท่ี
1c เป็นค่าคงท่ีใดๆ หากยกก าลงัของจ านวนเอกซ์โพเนนเชียลทั้งสองขา้งจะไดว้า่
1
2
2c
x
ey
(8.6)
ถา้ก าหนดค่าขอบ 1)0( y จะไดว้า่
2
2x
ey (8.7)
กราฟของผลเฉลยจะเป็นดงัรูปท่ี 8.1
รูปท่ี 8.1 ผลเฉลยของ xydx
dy
จะเห็นไดจ้ากสมการขา้งตน้ถา้มีสมการเชิงอนุพนัธ์อนัดบั 1 ),( yxfy โดยท่ี 00
)( yxy และ
f มีค าตอบท่ีเป็นไดอ้ยา่งเดียว (unique solution) บนช่วงท่ีมี 0
x อยูด่ว้ยแลว้ จะสามารถหาค่า y จากสมการได้
ดว้ยระเบียบวิธีเชิงตวัเลขส าหรับการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพนัธ์คือ การประมาณชุดของจุดท่ีผา่นหรืออยู่
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร บนค าตอบของสมการเชิงอนุพนัธ์ภายใต้เง่ือนไข ),(
00yx ท่ีก าหนดมาให้นั่นเอง ในบทน้ีจะได้กล่าวถึง
ระเบียบวิธีเชิงตวัเลขส าหรับการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพนัธ์ 3 วิธี ไดแ้ก่ วิธีของออยเลอร์ (Euler Method)
วิธีของออยเลอร์ท่ีปรับปรุงแลว้ (Huen’s or Improved Euler Method) และวิธีรุงเงและคุตเต (Runge-Kutta
Method) ซ่ึงจะไดอ้ธิบายวิธีทีละขั้น ซ่ึงมีขั้นตอนดงัน้ี
8.2 วธีิของออยเลอร์ (Euler’s Method)
วิธีของออยเลอร์ไดแ้รงบนัดาลใจมาจากการเขียนฟังกช์นัในรูปของอนุกรมเทเลอร์ (Taylor Series)
สมมติวา่ ฟังกช์นั )(xf ใดๆเป็นฟังกช์นัท่ีสามารถหาอนุพนัธ์ไดห้ลายๆคร้ังถึงล าดบัอนุพนัธ์ท่ี n ท่ีจุด 0
xx
การกระจายอนุกรมเทเลอร์ของฟังกช์นั )(xf รอบจุด 0xx สามารถเขียนอยูใ่นรูปสมการ
n
n
xxn
xfxx
xfxxxfxfxf )(
!
)(...)(
!2
)())(()()(
0
02
0
0
000
(8.8)
จากสมการเชิงอนุพนัธ์อนัดบั 1 ),( yxfy หาอนุพนัธ์ล าดบัถดัไปท่ี 2 และ3 yy , คือ
yyyyxxyxx
yxyx
fyfyfyfyfyxfy
ffffyfyxfy
)(),(
),( (8.9)
ค่าของ yy , จะเป็นค่าท่ีจุด yx, เม่ือ h มีค่านอ้ย 32 ,hh ก็จะมีค่านอ้ยมากๆ จากน้ีหาค่าท่ีจุด 0
xx แลว้
แทนในอนุกรม จะไดค่้า )(xy ถา้ให ้ hxx 0
จะไดค่้า )(0
hxy คือ
k
k
hk
xyh
xfyhxyxyhxy )(
!
)(...)(
!2
)())(()()( 020
000
(8.10)
หากเราสนใจเฉพาะกรณีท่ี 1k สมการท่ี 8.10 จะลดรูปลงเหลือเพียง
))(()()(000
hxyxyhxy (8.11)
ซ่ึงสมการท่ี 8.11 น้ีมีช่ือเรียกเฉพาะวา่ ระเบียบวิธีของออยเลอร์ (Euler’s method)
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร
รูปท่ี 8.1 กราฟแนวคิดของระเบียบวิธีออยเลอร์
รูปท่ี 8.1 แสดงกราฟแนวคิดของระเบียบวิธีออยเลอร์ ซ่ึงจะเห็นไดว้่าเราสามารถหาค่า1i
y จากค่า ii
yx , ท่ีผา่น
มาซ่ึงหากเขียนเป็นสมการทัว่ไปจะได ้
),(1 nnnn
yxfhyy
เม่ือ ,..2,1,0n (8.12)
หากพิจารณาจากรูปค่าความถูกตอ้งของผลเฉลยจากการหาดว้ยระเบียบวิธีของออยเลอร์จะข้ึนอยูก่บัค่า h ยิง่ใช้
ค่านอ้ยหรือเลก็เท่าไหร่ก็จะให้ผลเฉลยท่ีใกลเ้คียงกบัผลเฉลยแม่นตรงมาก วิธีของออยเลอร์มกัจะเรียกว่า วิธี
อนัดบัหน่ึง (first order method) ทั้งน้ีเพราะใชค่้าคงตวัและมีเทอม h แสดงในสมการ 8.11 เท่านั้น ส่วนพหุนาม 2h และสูงกว่าจะถูกตดัท้ิงไป ดงันั้นค่าผดิพลาดจึงมีค่าค่อนขา้งมาก และจะยิ่งมากข้ึนเม่ือ n มีค่ามากข้ึนเร่ือยๆ
ดงันั้นการใชง้านของระเบียบวิธีการน้ีจึงมีขอบเขตจ ากดัส าหรับการหาผลเฉลยซ่ึงวิธีน้ีจะเป็นพื้นฐานของวิธี
อ่ืนๆท่ีจะไดก้ล่าวถึงต่อไป
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ตัวอย่างที่ 8.1 จากสมการอนุพนัธ์ yxy เม่ือ 0)0( y ท่ีก าหนด จงใช้ระเบียบวิธีการออยเลอร์แก้
สมการเพื่อหาผลเฉลยโดยประมาณ 521
,..,, yyy และเปรียบเทียบค่าท่ีไดจ้ากผลเฉลยแม่นตรงของสมการ
1 xey x วิธีคิด
เร่ิมตน้ดว้ยสมการอนุพนัธ์ yxy เม่ือ 0)0( y
ใชร้ะเบียบวิธีการออยเลอร์โดยก าหนด yxyxf ),( โดยมีขั้น 2.0h
เม่ือ n =0 0)0( y
เม่ือ n =1 0)00(*2.00),(0001
yxfhyy
เม่ือ n =2 04.0)02.0(*2.00),(1112
yxfhyy
เม่ือ n =3 128.0)04.04.0(*2.004.0),(2223
yxfhyy
เม่ือ n =4 274.0)128.06.0(*2.0128.0),(3334
yxfhyy
เม่ือ n =5 489.0)274.08.0(*2.0274.0),(4445
yxfhyy
ผลการค านวณท่ีได้สามารถมาแสดงเป็นตารางเปรียบเทียบกับค่าผลเฉลยแม่นตรงและค านวณค่าความ
คลาดเคล่ือนดงัแสดงในตารางท่ี 8.1
ตารางท่ี 8.1 ผลเฉลยของ yxy เม่ือ 0)0( y ดว้ยวิธีออยเลอร์เทียบกบัค่าผลเฉลยแม่นตรง
n nx
ny 1 xey x
0 0 0 0.000 0.000 1 0.2 0 0.021 0.021 2 0.4 0.04 0.092 0.052 3 0.6 0.128 0.222 0.094 4 0.8 0.274 0.426 0.152 5 1 0.489 0.718 0.229
จากตารางจะเห็นไดว้า่ เม่ือ n มีค่ามากข้ึนเร่ือยๆ ค่าความคลาดเคล่ือนกมี็ค่ามากข้ึนเร่ือยๆ
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ตัวอย่างที่ 8.2 จากสมการอนุพนัธ์ xyy cos เม่ือ 1)0( y ท่ีก าหนด จงใชร้ะเบียบวิธีการออยเลอร์แก้
สมการเพื่อหาผลเฉลยโดยประมาณ และเปรียบเทียบค่าท่ีได้จากผลเฉลยแม่นตรงของสมการ โดยใช ้
0.1,5.0,25.0h วิธีคิด เร่ิมตน้ดว้ยสมการอนุพนัธ์ และหาผลเฉลยแม่นตรงของสมการโดยใชว้ิธีแยกตวัแปร
Cxy
dxxy
dy
sinln
cos
เม่ือ 1)0( y แทนค่าจากค่าขอบตั้งตน้จะได ้C = 0 ดงันั้นผลเฉลยแม่นตรงของสมการอนุพนัธ์ท่ีก าหนดน้ีคือ xexy sin)(
ใช้ระเบียบวิธีการออยเลอร์โดยก าหนด xyyxf cos),( โดยมีขั้น 0.1,5.0,25.0h และน าผลการ
ค านวณท่ีไดส้ามารถมาแสดงเป็นตารางเปรียบเทียบค่าผลเฉลยแม่นตรงดงัแสดงไดใ้นตารางท่ี 8.2 และรูปท่ี 8.2 ตารางท่ี 8.2 ผลเฉลยของ xyy cos เม่ือ 1)0( y ดว้ยวิธีออยเลอร์เทียบกบัค่าผลเฉลยแม่นตรง
nx n
y (h=0.25) n
y (h=0.50) n
y (h=1.00) xey sin 0.00 1.00000 1.00000 1.00000 1.00000 0.25 1.25000 1.28070 0.50 1.55279 1.50000 1.61515 0.75 1.89346 1.97712 1.00 2.23982 2.15819 2.00000 2.31978 1.25 2.54236 2.58309 1.50 2.74278 2.74122 2.71148 1.75 2.79128 2.67510 2.00 2.66690 2.83818 3.08060 2.48258 2.25 2.38944 2.17727 2.50 2.01419 2.24763 1.81934 2.75 1.61078 1.46472 3.00 1.23857 1.34729 1.79862 1.15156
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร
รูปท่ี 8.2 ค่าผลเฉลยแม่นตรง xyy cos เม่ือ 1)0( y เทียบกบัวิธีออยเลอร์ โดยมีขั้น 0.1,5.0,25.0h
จากตารางและรูปจะเห็นไดว้่า เม่ือ n มีค่ามากข้ึนเร่ือยๆ ค่าความคลาดเคล่ือนก็มีค่ามากข้ึนเร่ือยๆ แต่หาก h มี
ค่าเลก็ลงและละเอียดมากข้ึนค่าความคลาดเคล่ือนกจ็ะลดลงและผลเฉลยท่ีไดจ้ะใกลเ้คียงกบัผลเฉลยแม่นตรง
ตัวอย่างที ่8.3 จงหาค าตอบเชิงตวัเลขของสมการ yty 2 เม่ือ 1)0( y ท่ีก าหนด โดยใชร้ะเบียบวิธีการ
ออยเลอร์ และเปรียบเทียบค่าท่ีไดจ้ากผลเฉลยแม่นตรงของสมการ )512(4
1 2tety ก าหนด 2.0h
ตารางท่ี 8.3 ผลเฉลยของ yty 2 เม่ือ 1)0( y ดว้ยวิธีออยเลอร์เทียบกบัค่าผลเฉลยแม่นตรง
it ),(
11 iiytf )(Eulery
i )(Exacty
i
0 - 1.00 1.00 0.000 0.2 -2.0 0.60 0.6879 0.0879 0.4 -1.0 0.4 0.5117 0.1117 0.6 -0.4 0.32 0.4265 0.1065
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร หากท าการประยกุตใ์ช ้Matlab เราสามารถใชชุ้ดค าสัง่ odeEuler.m ดงัแสดงในรูปท่ี 8.3 เพื่อแกปั้ญหาโจทย ์
รูปท่ี 8.3 ชุดค าสัง่ odeEuler.m เพื่อแกปั้ญหาโจทยส์มการอนุพนัธ์ yty 2
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร 8.3 วธีิของฮวนหรือวิธีของออยเลอร์ทีป่รับปรุงแล้ว (Huen’s Method or Improved Euler Method)
เน่ืองจากวิธีของออยเลอร์ใชเ้พียงค่าคงตวัและเทอมท่ีมี h เพียงหน่ึงเทอมเท่านั้นในการค านวณ จึงท า
ให้ค่าผลเฉลยประมาณท่ีไดมี้ค่าความคลาดเคล่ือนสูง ถา้หากน าเทอมอ่ืนๆมาค านวณดว้ยค่าโดยประมาณจะมี
ความแม่นตรงมากยิ่งข้ึน ดงันั้นจึงมีผูป้รับปรุงและดดัแปลงวิธีของออยเลอร์ เพื่อพยายามเล่ียงการหาอนุพนัธ์
),( yxf โดยใชว้ิธีของออยเลอร์ท่ีปรับปรุงแลว้น้ี ซ่ึงบางคร้ังเรียกว่า วิธีการของฮวน (Huen’s method) บาง
หนงัสือเรียกว่าเป็นวิธีการท่ีดดัแปลงจากวิธีของออยเลอร์ (Improved Euler or Predictor Corrector Approach)
ซ่ึงกคื็อวิธีเดียวกนั
วิธีน้ีเร่ิมจากการใช้ ),( yxfy ซ่ึงก็คือเป็นค่าความชนัของเส้นสัมผสัเส้นโคง้ท่ีจุด ),(ii
yx แลว้ท าการ
ท านายค าตอบท่ีต าแหน่ง 1i
x หรือก็คือการค านวณค่าของ 0
1iy โดยใช้สูตรการค านวณแบบออยเลอร์ดัง
สมการท่ี 8.13 และรูปท่ี 8.4
),(0
1 iiiiyxfhyy
(8.13)
รูปท่ี 8.4 แนวคิดวิธีการของฮวนเพื่อการค านวณค่าของ 0
1iy เพื่อหาค าตอบท่ีต าแหน่ง
1ix
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ก าหนดให ้
1i
y เป็นค่าความชนัของเสน้สมัผสัเสน้โคง้ ค าตอบของสมการท่ีจุดเร่ิมตน้ของช่วงคือท่ีจุด
),( 0
11 iiyx จะได ้
),( 0
111
iiiyxfy (8.14)
ถา้ให ้ y เป็นค่าความชนัเฉล่ียของสมการท่ี 8.13 และ 8.14 จะได ้
),(),(2
1
2
1 0
11
iiiiiiyxfyxfyyyy (8.15)
เม่ือน าความชนัเฉล่ียน้ีไปใชก้บัวิธีการของออยเลอร์ดงัแสดงในสมการท่ี 8.16 การค านวณผลลพัธ์ท่ีจุด 1i
y ก็
จะใหค่้าถูกตอ้งมากข้ึน ดงัรูปท่ี 8.5
),(),(2
0
11
iiiiiiyxfyxf
hyy (8.16)
รูปท่ี 8.5 แนวคิดวิธีการของฮวนเพื่อการค านวณค่าของ 1i
y โดยใชค้วามชนัเฉล่ีย
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ในหนงัสือบางเล่มอาจใชส้ญัลกัษณ์ค าอธิบายท่ีแตกต่างและไดก้ล่าวสรุปวิธีของฮวนไวว้า่ป็นวิธีท านายและ
แกไ้ข (Predictor and Corrector Method) ซ่ึงโดยรวมแลว้จะอธิบายวา่ใชห้ลกัการเดียวกนัโดยจะเร่ิมจาก
1) ค านวณค่าตวัท านาย (predictor) โดยใชว้ิธีการของออยเลอร์จากสมการ
11111
0 ),( khyytfhyyiiiii
(8.17)
2) จากนั้นท าการค านวณค่าความชนัเฉล่ียจากสมการ
)(),(
),(
0
11112
111
iiii
ii
yhtfhkyhtfk
ytfk
(8.18)
3) น าค่าความชนัเฉล่ียจากสมการ 8.18 มาใชเ้ป็นตวัปรับแก ้(Corrector) เพื่อหาผลเฉลยอีกคร้ังโดยวิธีการของ
ออยเลอร์ดงัแสดงในรูปท่ี 8.6 อีกคร้ังหน่ึง ซ่ึงจะไดค่้าท่ีใกลเ้คียงกบัผลเฉลยจริงมากข้ึน
211
2kk
hyy
ii
(8.19)
รูปท่ี 8.6 แนวคิดวิธีการของฮวนเปรียบเทียบกบัวิธีการของออยเลอร์
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ตัวอย่างที่ 8.4 จากสมการอนุพนัธ์ yxy เม่ือ 0)0( y ท่ีก าหนด จงใช้ระเบียบวิธีการออยเลอร์แก้
สมการเพื่อหาผลเฉลยโดยประมาณ 521
,..,, yyy และเปรียบเทียบค่าท่ีไดจ้ากผลเฉลยแม่นตรงของสมการ
1 xey x วิธีคิด
เร่ิมตน้ดว้ยสมการอนุพนัธ์ yxyxfy ),( เม่ือ 0,000 yx โดยมีขั้น 2.0h
ใชร้ะเบียบวิธีการของฮวน
1) ค านวณค่าตวัท านาย (predictor) 00*2.00),(000
0
2.0 yxfhyy
2) เพื่อค านวณหาความชนัเฉล่ีย
2.002.0)0*2.00,2.00(),(),(
000),(
0
2.001002
001
fyhxfhkyhxfk
yxfk
3) น าค่าความชนัเฉล่ียจากขา้งตน้ มาใชเ้ป็นตวัปรับแก ้(Corrector) เพื่อหาผลเฉลยอีกคร้ัง
02.02.002
2.00
22102.0
kkh
yy
กระท าซ ้ าผลการค านวณท่ีไดส้ามารถมาแสดงเป็นตารางเปรียบเทียบกบัค่าผลเฉลยแม่นตรงและค านวณค่าความ
คลาดเคล่ือนดงัแสดงในตารางท่ี 8.4
ตารางท่ี 8.4 ผลเฉลยของ yxy เม่ือ 0)0( y ดว้ยวิธีฮวนเทียบกบัค่าผลเฉลยแม่นตรง
n nx
ny 1 xey x
0 0 0 0.000 0.0000 1 0.2 0.0200 0.021 0.0014 2 0.4 0.0884 0.092 0.0034 3 0.6 0.2158 0.222 0.0063 4 0.8 0.4153 0.426 0.0102 5 1 0.7027 0.718 0.0156
จากตารางจะเห็นไดว้่าค่าประมาณท่ีไดมี้ค่าความคลาดเคล่ือนจากผลเฉลยแม่นตรงลดลงมากกว่าค่าท่ีค านวณ
และแสดงในตวัอยา่งท่ี 8.1 โดยวิธีของออยเลอร์
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ตัวอย่างที่ 8.5 จากสมการอนุพนัธ์ xyy cos เม่ือ 1)0( y ท่ีก าหนด จงใชร้ะเบียบวิธีการของฮวนแก้
สมการเพื่อหาผลเฉลยโดยประมาณ และเปรียบเทียบค่าท่ีไดจ้ากผลเฉลยแม่นตรงของสมการ โดยใช ้ 0.1h
วิธีคิด เร่ิมตน้ดว้ยสมการอนุพนัธ์ และหาผลเฉลยแม่นตรงของสมการโดยใชว้ิธีแยกตวัแปร xexy sin)(
ใชร้ะเบียบวิธีการของฮวนแกโ้ดยก าหนด xyyxf cos),( โดยมีขั้น 0.1h
1) ค านวณค่าตวัท านาย (predictor) 2)0cos(*11),(000
0
1 yxfhyy
2) เพื่อค านวณหาความชนัเฉล่ีย
08060.1)1cos(*2)2,1(),(),(
1)0cos(*1)1,0(),(
0
101002
001
fyhxfhkyhxfk
fyxfk
3) น าค่าความชนัเฉล่ียจากขา้งตน้ มาใชเ้ป็นตวัปรับแก ้(Corrector) เพื่อหาผลเฉลยอีกคร้ัง
04030.208060.112
11
22101
kkh
yy
กระท าซ ้ ารอบท่ี 2
4) ค านวณค่าตวัท านาย (predictor) 14268.3)1cos(*04030.2*104030.2)04030.2,1(*104030.2),(
111
0
2 fyxfhyy
5) ค านวณหาความชนัเฉล่ีย
30782.1)2cos(*14268.3)14268.3,2(),(),(
10238.1)1cos(*04030.2)04030.2,1(),(
0
211112
111
fyhxfhkyhxfk
fyxfk
6) น าค่าความชนัเฉล่ียจากขา้งตน้ มาใชเ้ป็นตวัปรับแก ้(Corrector) เพื่อหาผลเฉลยอีกคร้ัง
93758.130782.110238.12
104030.2
22112
kkh
yy
ผลการค านวณท่ีไดส้ามารถมาแสดงเป็นกราฟดงัรูปท่ี 8.7 และตารางเปรียบเทียบกบัค่าผลเฉลยแม่นตรงและ
ค านวณค่าความคลาดเคล่ือนดงัแสดงในตารางท่ี 8.5 เทียบกบัวิธีออยเลอร์จากตวัอยา่งท่ี 8.2
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ตารางท่ี 8.5 ผลเฉลยของ xyy cos เม่ือ 1)0( y ดว้ยวิธีของฮวนเทียบกบัวิธีออยเลอร์และค่าผลเฉลย
แม่นตรง
nx n
y (h=1.00) ฮวน n
y (h=1.00) ออยเลอร์ xey sin
0.00 1.00000 1.00000 1.00000 1.00 2.04030 2.00000 2.31978 2.00 1.93758 3.08060 2.48258 3.00 0.97445 1.79862 1.15156
รูปท่ี 8.7 ค่าผลเฉลยแม่นตรงของ xyy cos เม่ือ 1)0( y เทียบกบัระเบียบวิธีฮวน โดยมีขั้น 0.1h
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ตัวอย่างที ่8.6 จงหาค าตอบเชิงตวัเลขของสมการ yey x 5.04 8.0 เม่ือ 2)0( y ท่ีก าหนด โดยใช้
ระเบียบวิธีการของฮวนและออยเลอร์ผา่นการประยกุตใ์ชค้ าสัง่ Matlab และเปรียบเทียบค่าท่ีไดจ้ากผลเฉลยแม่น
ตรงของสมการ xxx eeey 5.05.08.0 2)(3.1
4 ก าหนด 1h
วิธีคิด ท าการประยกุตใ์ช ้Matlab เราสามารถใชชุ้ดค าสัง่ odeHuen.m ดงัแสดงในรูปท่ี 8.8 เพื่อแกปั้ญหาโจทย ์
รูปท่ี 8.8 ชุดค าสัง่ odeHuen.m เพื่อแกปั้ญหาโจทยส์มการอนุพนัธ์ yey x 5.04 8.0
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ท าการประยกุตใ์ช ้Matlab ใชชุ้ดค าสัง่ odeEuler.m และพลอ็ตกราฟแสดงค่าท่ีค านวณไดจ้ากวิธีของฮวน ดงั
แสดงในรูปท่ี 8.9
รูปท่ี 8.9 ชุดค าสัง่ odeEuler.m เพื่อแกปั้ญหาโจทยส์มการอนุพนัธ์ yey x 5.04 8.0
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร 8.4 วธีิของรุงเงและคุตตา (Runge-Kutta Method)
วิธีของรุงเงและคุตตาเป็นวิธีท่ีใหค่้าผลเฉลยโดยประมาณท่ีมีความใกลเ้คียงกบัผลเฉลยแม่นตรงมากกวา่
วิธีของออยเลอร์และวิธีของฮวนเน่ืองมาจากมีการเพิ่มการใชค่้าเฉล่ียความชนัแบบมีน ้าหนกัมาใชใ้นการหาค่า
ค าตอบเชิงเส้น (รูปท่ี 8.10)
รูปท่ี 8.10 แนวคิดวิธีของรุงเงและคุตตา
ในบางคร้ังเราอาจเรียกวิธีน้ีวา่วิธี weighted average โดยจะมีรูปแบบคือ
l
m
l liikhyy
11 (8.20)
โดย m คืออนัดบัของรุงเงและคุตตาและ
11
m
l l (8.21)
พิจารณาจากชุดสมการของรุงเงและคุตตาเม่ือ m=2
จะไดส้มการรูปแบบ
)(22111
kakahyyii
(8.22)
โดยท่ี
),(
),(
11112
1
hkqyhpxfk
yxfk
ii
ii
(8.23)
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ซ่ึงตวัแปรท่ีไม่ทราบค่า
11121,,, qpaa สามารถหาไดจ้ากกฎลูกโซ่และอนุกรมเทเลอร์
...2
)(),())(,(
),(),(
...2
)(),())(,(
2
1
2
1
h
y
fyxf
x
fhyxfyy
y
fyxf
x
f
dx
dy
y
f
x
fyxf
hyxfhyxfyy
iiiiii
iiii
iiiiii
(8.24)
กรณีอนุกรมเทเลอร์ประกอบดว้ย 2 ตวัแปร
...),(),(
y
gs
x
gryxgsyrxg
(8.25)
ดงันั้น
...),(11112
y
fhkq
x
fhpyxfk
ii
(8.26)
เม่ือแทนสมการ 8.26 ลงในสมการ 8.22 จะได ้
...,,)( 2
11212211
h
y
fyxfqa
x
fpayxfaahyy
iiiiii
(8.27)
ท าการเทียบสมัประสิทธ์ิกบัสมการท่ี 8.24 จะได ้
2
1
2
1
1
112
12
21
qa
pa
aa
(8.28)
จะเห็นวา่มีสมการมากกวา่จ านวนตวัแปรดงันั้นจึงตอ้งใชว้ิธีสมมติให ้2
12a แลว้ท าการหาสมัประสิทธ์ิจะได ้
1
1
2
1
11
1
1
q
p
a
(8.28)
ดงันั้นสมการของรุงเงและคุตตาเม่ือ m=2 สามารถเขียนไดว้า่
)(2
211kk
hyy
ii
(8.29)
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ซ่ึงกคื็อสมการของฮวนนัน่เอง และจะเห็นไดว้า่รูปแบบสมการรุงเงและคุตตาเม่ือ m=2 มีความผดิพลาดใน
รูปแบบของความกวา้งเป็น 2hO
หากท าซ ้ าตามวิธีขา้งตน้กรณี m=3 เราจะไดชุ้ดสมการของรุงเงและคุตตา วา่
)4(6
3211kkk
hyy
ii
(8.30)
เม่ือ
)2,(
)2
,2
(
),(
2113
112
1
hkhkyhxfk
kh
yh
xfk
yxfk
i
i
ii
(8.31)
และจะมีความผดิพลาดในรูปแบบของความกวา้งเป็น 3hO
และในกรณี m=4 เราจะไดชุ้ดสมการของรุงเงและคุตตา วา่
)22(6
43211kkkk
hyy
ii
(8.32)
เม่ือ
),(
)2
,(
)2
,2
(
),(
34
213
112
1
hkyhxfk
kh
yhxfk
kh
yh
xfk
yxfk
ii
i
i
ii
(8.33)
และจะมีความผดิพลาดในรูปแบบของความกวา้งเป็น 4hO
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ตัวอย่างที่ 8.7 จากสมการอนุพนัธ์ yxy เม่ือ 0)0( y ท่ีก าหนด จงใช้วิธีการของรุงเงและคุตตา
อนัดบั 4 และ h = 0.2 แกส้มการเพื่อหาผลเฉลยโดยประมาณ 521
,..,, yyy และเปรียบเทียบค่าท่ีไดจ้ากผล
เฉลยดว้ยวิธีออยเลอร์ วิธีของฮวนและเปรียบเทียบกบัผลเฉลยแม่นตรงของสมการ 1 xey x
วิธีคิด
จากสมการอนุพนัธ์ yxy เม่ือ 0)0( y และ h = 0.2
แทนค่า
044.0)(244.0022.0)(222.0}2.0{[2.0),(
022.0)(222.02
02.0)(
2
22.0)}2.0(
2
1{[2.0)
2,(
02.0)(22.0)(2
2.0)}2.0(
2
1{[2.0)
2,
2(
)(2.0),(
),(
34
213
112
1
nnnnnnii
nnnnnni
nnnnnni
nnii
yxyxyxhkyhxfhk
yxyxyxkh
yhxfhk
yxyxyxkh
yh
xhfhk
yxyxhfhk
yxyxf
ดงันั้น
0214.0)(2214.0
)22(6
1
1
43211
nnnn
nn
yxyy
hkhkhkhkyy
ผลการค านวณท่ีไดส้ามารถมาแสดงในตารางท่ี 8.6 และ 8.7 เทียบกบัวิธีออยเลอร์ วิธีของฮวนและเปรียบเทียบ
กบัผลเฉลยแม่นตรงตามล าดบั ซ่ึงจะเห็นไดว้่า ค่าผลเฉลยโดยประมาณท่ีไดมี้ค่าลดลงมากกว่าในวิธีออยเลอร์
และ ของฮวนและเม่ือเปรียบเทียบจากทุกวิธีจะพบว่า วิธีการของรุงเงและคุตตา ไดค่้าความคลาดเคล่ือนนอ้ย
ท่ีสุดและค่าท่ีไดจ้ากการค านวณใกลเ้คียงกบัผลเฉลยแม่นตรงมากกวา่ค่าท่ีไดจ้ากการค านวณวิธีอ่ืนๆ
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ตารางท่ี 8.6 ผลเฉลยของ yxy เม่ือ 0)0( y ของรุงเงและคุตตา อนัดบั 4 เทียบกบัค่าผลเฉลยแม่นตรง
n nx
ny 1 xey x
0 0 0 0.000 0.0000 1 0.2 0.021400 0.021403 0.000003 2 0.4 0.091818 0.091825 0.000007 3 0.6 0.222107 0.222119 0.000011 4 0.8 0.425521 0.425541 0.000020 5 1 0.718251 0.718282 0.000031
ตารางท่ี 8.7 ค่าความคลาดเคล่ือนของผลเฉลย yxy โดยประมาณดว้ยวิธีรุงเงและคุตตา เทียบกบัวิธีอ่ืนๆ
n 1 xey x ออยเลอร์ ฮวน รุงเงและคุตตา 0 0.000 0.000 0.0000 0.0000 1 0.021403 0.021 0.0014 0.000003 2 0.091825 0.052 0.0034 0.000007 3 0.222119 0.094 0.0063 0.000011 4 0.425541 0.152 0.0102 0.000020 5 0.718282 0.229 0.0156 0.000031
เช่นเดียวกบัวธีิอ่ืนๆ เราสามารถประยกุตใ์ช ้Matlab ใชชุ้ดค าสัง่ odeRK4.m ดงัรูปท่ี 8.11 เพื่อหาผลเฉลยได ้
รูปท่ี 8.11 ชุดค าสัง่ odeRK4.m เพื่อแกปั้ญหาโจทยส์มการอนุพนัธ์
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ตัวอย่างที ่8.8 จงหาค าตอบเชิงตวัเลขของสมการ yey x 5.04 8.0 เม่ือ 2)0( y ท่ีก าหนด โดยใช้
ระเบียบวิธีการของฮวนและออยเลอร์ผา่นการประยกุตใ์ชค้ าสัง่ Matlab และเปรียบเทียบค่าท่ีไดจ้ากผลเฉลยแม่น
ตรงของสมการ xxx eeey 5.05.08.0 2)(3.1
4 ก าหนด 1h
วิธีคิด
ท าการประยกุตใ์ช ้Matlab เราสามารถใชชุ้ดค าสัง่ odeRK4.m ดงัแสดงในรูปท่ี 8.12 เพื่อแกปั้ญหาโจทย ์
รูปท่ี 8.12 ชุดค าสัง่ odeRK4.m เพือ่แกปั้ญหาโจทยส์มการอนุพนัธ์ yey x 5.04 8.0
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร 8.5 แบบฝึกหัด
1. จงใชว้ิธีของออยเลอร์หาค าตอบของสมการเชิงอนุพนัธ์ท่ีก าหนดให ้
1.1 ) y' = y , y(0) = 1, โดยใช ้h = 0.05 จงหา y(0.2)
1.2 ) y' = x + y , y(0) = 0, โดยใช ้h = 0.1 จงหา y(0.5)
1.3 ) y' = 3x – y , y(1) = 0, โดยใช ้h = 0.1 จงหา y(1.5)
1.4 ) y' = 2xy , y(0) = 1, โดยใช ้h = 0.1 จงหา y(0.3)
1.5 ) y' = 2 – 2y , y(0) = 0, โดยใช ้h = 0.1 จงหา y(x) เม่ือ 0.1 < x < 0.3
2. จงใชว้ิธีของออยเลอร์ท่ีปรับปรุงแลว้ หาค าตอบของสมการเชิงอนุพนัธ์ท่ีก าหนดให ้ในขอ้ 1
3. จงใชว้ิธีของรุงเงและคุตตา หาค าตอบของสมการเชิงอนุพนัธ์ท่ีก าหนดให ้ในขอ้ 1
4. ก าหนดสมการ y' = x / y , y(0) = 1 จงหาค่าของ y(x) เม่ือ 0.5 < x < 1.5, h = 0.5 ใหค้ าตอบเป็นจ านวนท่ีมี
ทศนิยม 6 ต าแหน่ง
ก ) โดยวิธีของออยเลอร์
ข ) โดยวิธีของฮวนหรือวิธีออยเลอร์ท่ีปรับปรุงแลว้
ค ) โดยวิธีของรุงเงและคุตตา
ง ) ถา้ค าตอบของสมการท่ีก าหนดใหคื้อ y = 12 x จงหาค่าผดิพลาดสมัพทัธ์ของค าตอบในทุกวิธีเป็น%
เฉลย วิธีคิดขอ้ 4 จากสมการท่ีก าหนดให ้ y
xyxf ),( โดย x0 = 0 และ y0 = 1
ก ) โดยวิธีของออยเลอร์
n
nn
n
nnn
nnnn
y
xy
y
xyy
yxhfyy
5.05.0
),(
2
1
1
ผลการค านวณค าตอบแสดงเป็นตารางไดคื้อ
n nx ny 0 0 1 1 0.5 1 2 1.0 1.250000 3 1.5 1.650000
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร ข ) โดยวิธีของฮวนหรือวิธีของออยเลอร์ท่ีปรับปรุงแลว้
nn
nn
n
nn
nnn
n
nnn
xy
xy
y
xy
xkyhxhfk
y
xyxhfk
5.0
)5.0(5.0
)(5.0
5.05.0),(
5.0),(
212
1
)5.0(2
)(25.0
5.0
5.0
)5.0(5.0
2
1
)(2
1
2
222
1
21
211
nnn
nnnnnn
n
n
nn
nnnn
nn
xyy
yxyxyy
y
x
xy
xyyy
kkyy
ผลการค านวณค าตอบแสดงเป็นตารางไดคื้อ
n nx ny 0 0 1 1 0.5 1.125000 2 1.0 1.421678 3 1.5 1.808988
ค ) โดยวิธีของรุงเงและคุตตา ท่ี x0 = 0 และ y0 = 1
)22(6
1
223684.0117647.1
25.05.0),(
117647.00625.1
25.05.0)
2
1,
2
1(
125.01
25.05.0)
2
1,
2
1(
01
05.05.0),(
43211
34
23
12
1
kkkkyy
kyhxhfk
kyhxhfk
kyhxhfk
y
xyxhfk
nn
nn
nn
nn
n
nnn
118163.1)223684.023529425.00(6
11)22(
6
1432101 kkkkyy
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร โดยวิธีของรุงเงและคุตตา ท่ี x1 = 0.5 และ y1 = 1.118163 จะได ้
414398.1)22(6
1
353783.0413297.1
25.05.0
295134.0270608.1
75.05.0
304889.0229954.1
75.05.0
223581.0118163.1
5.05.0
432112
4
3
2
1
kkkkyy
k
k
k
k
โดยวิธีของรุงเงและคุตตา ท่ี x1 = 1.0 และ y1 = 1.414398 จะได ้
802936.1)22(6
1
416111.0802405.1
50.15.0
388007.0610797.1
25.15.0
392797.0591151.1
25.15.0
353507.04143983.1
5.05.0
432123
4
3
2
1
kkkkyy
k
k
k
k
ง ) ถา้ค าตอบของสมการท่ีก าหนดใหคื้อ y = 12 x จงหาค่าผดิพลาดสมัพทัธ์ของค าตอบในทุกวิธีเป็น
เปอร์เซ็นต ์
n nx ny (รุงเงคุตตา) ny (ค่าจริง) |Error| (%) 0 0 1 1 0 1 0.5 1.118163 1.118034 0.0115 2 1.0 1.414398 1.414214 0.0130
3 1.5 1.802936 1.802776 0.0089
สัปดาห์ท่ี.9-11..เทคนิควิเคราะห์เชิงตวัเลขเพื่อแกส้มการเชิงอนุพนัธ์ เอกสารค าสอนวิชาวศยธ 282 โดย ผศ.ดร.วรรณสิริ พนัธ์อุไร 5. ค่าความเขม้ขน้ของแบคทีเรียในอ่างเกบ็น ้าเสียแห่งหน่ึงมีค่าตั้งตน้อยูท่ี่ 107 ส่วนต่อน ้า 1 ลูกบาศกเ์มตรใน
ขณะท่ีค่าความเขม้ขน้ของแบคทีเรียท่ียอมรับไดอ้ยูท่ี่ 5x106 ส่วนต่อน ้า 1 ลูกบาศกเ์มตร ค่าความเขม้ขน้ของ
แบคทีเรียในอ่างเกบ็น ้าน้ีจะลดลงเม่ือทางการเปิดใหน้ ้ าจืดเขา้มาในอ่าง โดยสมการเชิงอนุพนัธ์ท่ีอธิบายค่าความ
เขม้ขน้ของแบคทีเรียซ่ึงแปรผนักบัเวลา (ในหน่วยของสปัดาห์) เป็นดงัสมการท่ีแสดงดงัดา้นล่าง 710)0(,006.0 CC
dt
dC
จงหาค่าปริมาณความเขม้ขน้ของแบคทีเรียในอ่างเกบ็น ้าเสียภายหลงัสัปดาห์ท่ี 7 ก าหนดให ้h = 3.5
สัปดาห์
ก ) โดยวิธีของออยเลอร์
ข ) โดยวิธีของฮวนหรือวิธีออยเลอร์ท่ีปรับปรุงแลว้
ค ) โดยวิธีของรุงเงและคุตตา
ง ) ถา้ค าตอบของสมการท่ีก าหนดใหคื้อ จงหาค่าผดิพลาดสมัพทัธ์ของค าตอบในทุกวิธีเป็นเปอร์เซ็นต ์