36
NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů NAP13 Metoda konečných prvků, bázové funkce, integrace Generování sítě, časově proměnná geometrie Nesíťové metody (meshfree) Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské techniky ČVUT FS 2010

NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

Embed Size (px)

DESCRIPTION

NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů. NAP1 3. Metoda konečných prvků, bázové funkce, integrace Generování sítě, časově proměnná geometrie Nes íťové metody (mesh free ). Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské techniky ČVUT FS 2010. MKP, Galerkin. NAP13. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13

Metoda konečných prvků, bázové funkce, integrace

Generování sítě, časově proměnná geometrie

Nesíťové metody (meshfree)

Rudolf Žitný, Ústav procesní a zpracovatelské techniky ČVUT FS 2010

Page 2: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 MKP, GalerkinV kapitole NAP5 byla popsána metoda vážených reziduí MVR a trochu detailněji speciální případ, metoda konečných prvků MKP. Postupy byly demonstrovány na 1D problému stanovení rozložení tlaků při toku v potrubní síti (obyčejná diferenciální rovnice s druhými derivacemi typu d2p/dx2=f). Pro zopakování:

1) Diferenciální rovnici nahradíme požadavkem anulování váženého residua

2) Integrací per partes snížíme řád derivací v integrandu (výsledkem je slabá formulace)

3) Řešení p(x) nahradíme aproximací – lineární kombinací bázových (též tvarových) funkcí

4) Galerkinova metoda použije váhové funkce stejného typu jako bázové funkce Wj=Nj

2

2

residuum

( ) ( ) 0L

d pw x f dx

dx

koncove body

když jsou tlaky v kocových bodech známé, mohou být váhy w nulové

( ) [ ] 0L

dw dp dpwf dx w

dx dx dx

)()( ,)()(1

xWxwxNpxp j

N

iii

1

ij j

Nji

i ji L L

K b

dNdNp dx fN dx

dx dx

j=1,2,…,N

5) Řešení soustavy algebraických rovnic ][]]][[[ bpK

Page 3: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 MKP, GalerkinDvou a třídimenzionální problém se řeší stejně jako 1D, např.Poissonova rovnice

1) anulování váženého residua

2) Integrace per partes se ve 2D a 3D nazývá Greenova věta

3) Řešení p(x,y) nahradíme lineární kombinací bázových funkcí

4) Galerkin

2 2

2 2( , )( ) 0

p pw x y f dxdy

x y

0, když jsou známé tlaky na lze volit váhu w=0

( ) 0w p w p p

wf dxdy w dsx x y y n

1

( ) ( , ), ( , ) ( , )N

i i ji

p x p N x y w x y W x y

1

( )

ij j

Nj ji i

i ji

K b

N NN Np dxdy fN dxdy

x x y y

j=1,2,…,N

Někdy se váhové funkce Wj konstruují jinak než funkce bázové (třeba asymetrické váhové funkce orientované proti směru proudění). Pak se hovoří o metodě Galerkin-Petrov.

Page 4: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 MKP, GalerkinPředchozí postup (1 až 5) je zcela obecná Galerkinova metoda a nemusí to ještě být metoda konečných prvků. Ta je specifická konstrukcí bázových a váhových funkcí založených na pokrytí vyšetřované oblasti geometricky jednoduchými elementy, např. ve 2D trojúhelníky s uzly ve vrcholech:

i

j

x

y

Každému uzlu je přiřazena právě jedna bázová funkce (např. uzlu i funkce Ni(x,y)), která je v tomto uzlu rovna jedné a ve všech ostatních uzlech nule (říká se, že taková funkce má vlastnost Kroneckerova delta): ijjji yxN ),(

Uvnitř každého elementu je Ni definována jako interpolační polynom určený hodnotami v uzlech elementu. U trojúhelníku se třemi uzly to bude lineární polynom

yaxaayxN i 321),(

jehož 3 koeficienty jsou jednoznačně dány předepsanými hodnotami 1,0,0 ve vrcholech.

Bázová funkce Ni je tedy různá od nuly jen v těch elementech, které obsahují uzel i.

Page 5: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 MKP, GalerkinVýsledná bázová funkce je spojitá (lineární průběh podél strany elementu je jednoznačně určený dvojicí uzlů sdílených sousedními elementy). Ale na rozhraní elementů (trojúhelníků) už nemá Ni spojité první derivace, které se při přechodu mezi elementy mění skokem. Tato nespojitost nevadí u problémů kde v integrandu počítaných koeficientů výsledné soustavy rovnic jsou jen první derivace. U problémů s diferenciálními rovnicemi se čtvrtými derivacemi (např. skořepiny) budou v integrandu i po provedení operací per partes stále ještě druhé derivace bázových funkcí a je nutné spojitost alespoň prvních derivací zajistit. V přednášce NAP5 musely být u 1D nosníků použity Hermiteovské kubické bázové funkce, ve 2D trojúhelníkových elementech to už musí být polynomy pátého stupně.

Kromě způsobu definice funkcí Ni je pro konečné prvky charakteristický způsob výpočtu integrálů koeficientů soustavy, např.

e

jj

e

dxdyfNdxdyfN

Koeficienty jsou počítány jako součet numericky vyčíslených integrálů přes jednotlivé elementy. Je tedy zřejmé, že správně definovaná síť elementů nesmí mít překrývající se elementy (jejich příspěvky by se počítaly dvakrát) ani v ní nesmí být žádné díry.

Page 6: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Generátory sítí

i

j

Voronoi kontrolní objem uzlu i. Množina bodů x,y majících vzdálenost k i menší než vzdálenost ke kterémukoliv jinému j

Voronoi polygon

Delaunay triangulace

Metoda kontrolních objemů

Metoda konečných prvků

Pro libovolně vygenerovanou množinu uzlových bodů lze vytvořit odpovídající síť kontrolních objemů a konečných prvků např. metodou Voronoj polygonů (ve 2D i ve 3D)

Page 7: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Proměnná geometrieKomplikace při aplikaci MKP i CVM způsobují inherentně nestacionární případy s časově proměnnou geometrií, které vyžadují dynamické generování sítě konečných elementů nebo objemů. Typické příklady:

•Pístový motor (proměnná poloha pístu, eventuálně ventilů). Pro každou polohu pístu se buď modifikuje stará síť (metody typu Arbitrary Lagrangian-Eulerian ALE Encyclopedia of

Comp.Mechanics 2004, které přizpůsobují síť pohybujícímu se rozhraní) nebo se generuje nová síť (ANSYS YouTube). Podobný případ je zaplňování formy nebo expanze škrobu.

•Jednošroubové extrudery, kompresory a turbiny či míchací zařízení, charakterizované měnící se vzájemnou polohou stacionárních narážek míchadla či statoru a lopatek rotující turbiny. Pro řešení se výpočtová oblast rozdělí na rotující zónu (s rotujícím souřadným systémem kde se uplatní Coriolisovy a odstředivé síly ) a stacionární zónu. Na hranici zón jsou modelovány silové interakce, ve Fluentu např. metodami MRF (Multiple Reference Plane) se zjednodušujícím předpokladem stacionárního toku, nebo metodou klouzající sítě SM (Sliding Mesh) respektující nestacionární charakter toku a časově proměnná napětí i rychlosti na rozhraní.

•Třetím případem jsou extrudery, přičemž zvláště komplikovaný případ představují dvoušroubové extrudery

rvrel

2

J.-F. Hétu, F. Ilinca: Immersed boundary finite elements for 3D flow simulations in twin-screw extruders. Computer and Fluids, 2012

(komplikace působí nutnost modelovat tok ve velmi malých štěrbinách mezi šrouby a mezi pláštěm)

Page 8: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Proměnná geometrie MKPPřípady s volnou hladinou nebo s interakcí tekutina/pružná stěna (FSI), když geometrie pohybujícího se rozhraní není apriori známá, se zpravidla řeší metodami typu ALE (uzly/elementy alespoň částečně sledují pohyb materiálových bodů).

Případy typu extruder, míchadlo, kdy je geometrie rozhraní kapalina/tuhá fáze známá, se mohou řešit fixní sítí, viz zmíněné metody MRF a SM používané v programu Fluent (tj. v metodě kontrolních objemů). Princip aplikací, které využívají metodu konečných prvků, spočívá v tom, že se celý objem míchadla nebo extruderu pokryje fixní sítí čtyř nebo šestistěnných elementů a teprve uvnitř této sítě se pohybuje síť ploch, které reprezentují např. rotující šroub extruderu. Existuje řada subvariant:

IB-BCE Immerse Boundary, Body Conformal Enrichment (viz. např. Hétu J.F., Illinca F. Immersed Boundary Finite Elements for 3D flow simulations in twin-screw extruders. Computers & Fluids, 2012). Prakticky totéž je MPT (Mesh Partitioning Technique), viz. Gupta M. MPT for 3F simulation of extrusion. ANTEC 2008. Základem je fixní konečněprvková síť, přes kterou přecházi pohyblivé rozhraní (popsané technikou Level-Set function) jehož průsečíkem se sítí elementů je vnořená hranice. Na rozhraní jsou v každém časovém kroku dočasně generovány nové elementy (každý element je celý buď kapalina nebo těleso).

FDM Fictious Domain Methods (viz. např. Bertrand F. et al.: Adaptive Finite Element simulations of fluid flow in twin-screw extruders. Computers and Chemical Engineering, 27 (2003), pp. 491-500, nebo A. S. Fard et al. FDM and XFEM for Stokes flow inside complex geometries. Int. J. Numer. Meth. Fluids 2012; 68:1031–1052). Omezující podmínky na pohybujícím se rozhraní jsou modelovány pomocí Lagrangeových multiplikátorů.

MST Mesh Superposition Technique (viz. např. Connelly R.K., Kokini J.L.: Examination of the mixing ability of single and twin screw mixers using 2D FEM simulation with particle tracking, J. Food Engineering 79 (2007), pp.956-969, nebo Emin M.A. Schuchmann H.P.:Analysis of the dispersive mixing efficienty in twin-screw extrusion. J.Food Engineering 115 (2013),pp.132-143). Metoda je v hrubých rysech popsána na následující folii.

Page 9: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Proměnná geometrie MSTV metodě superpozice sítí (Mesh Superposition Technique) se generují dvě konečněprvkové sítě: fixní a dynamická (rotující). V každém čase a pro každý bod (x,y,z) je tím určeno zda bod leží či neleží v pohyblivé síti (H=0 označuje bod v tekutině, H=1 bod, který je součástí rotujícího tělesa). V každém bodě (a v každém konečném elementu) se řeší rovnice transportu hybnosti

0))()(1()(

forcesviscouspressure

fluid ofon accelerativelocity prescribed up

pguut

uHuuH fp

a rovnice kontinuity0

yressibilitpseudocomp

2

pu

kde druhý člen je pokutová funkce zajišťující stabilitu řešení a spojitost tlaků ( je penalizační parametr jehož zvýšení řešení vyhlazuje). ANSYS POLYFLOW používá defaultní hodnotu =0.01, kvadratické bázové funkce pro rychlosti a konstantní tlaky v jednotlivých elementech. Poznámka: MST je vlastně jen zjednodušená verze FDM, která místo pokutové funkce používá Lagrangeovy multiplikátory.

Page 10: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Proměnná geometrie MSTConnelly R.K., Kokini J.L.: Examination of the mixing ability of single and twin screw mixers using 2D FEM simulation with particle tracking, J. Food Engineering 79 (2007), pp.956-969

Řešení jedno a dvoušroubového extruderu konečněprvkovým programem ANSYS Polyflow (zobecněná Newtonská kapalina – model Carreau). Poznámka: stávající verze MST Polyflow ještě neumí modelovat viskoelasticitu.

jednošroubový extruder se modeluje snadno (a mnohem

přesněji) v rotujícím souřadném systému (šroub stojí, válec rotuje)

dvoušroubový extruder se musí modelovat MST (i za cenu ztráty přesnosti na povrchu šroubu). Nebylo ani možné použít přesnější metodu klouzající sítě SM,

protože rotory se překrývají

Page 11: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13

Nutnost generování sítě je v řadě aplikací vážnou komplikací (rozvoj mikrotrhlin, nespojitosti, pohyblivé rozhraní, molekulární dynamika, biomechanika). To je motivem pro vývoj metod, které pro definici bázových Ni i váhových Wi funkcí (ekvivalentní název tvarové a testovací funkce) nepotřebují síť elementů a Ni, Wj definují jen na základě souřadnic uzlových bodů.

Friedrich

Meshless nesíťové aproximace funkcí

Page 12: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Meshless nesíťové aproximace funkcí

Doporučená literatura: Shaofan Li, Wing Kam Liu: Meshfree Particle Method, Springer Berlin 2007 (v této monografii je rozebírána většina výše uvedených metod a jejich aplikací z mechaniky elastoplastických materiálů, rázových jevů, lomové mechaniky, proudění, biologických systémů, např. tok a deformace červených krvinek, dynamika srdečních chlopní). Přehledový článek integrálních aplikací Atluri S.N., Shen S.: The meshless local Petrov Galerkin (MLPG) method, CMES, vol.3, No.1, (2002), pp.11-51. Ukázka použití kolokační metody:Shu C., Ding H., Yeo K.S.: Local radial basis function-based differential quadrature method and its application to solve two dimensional incompressible Navier Stokes equations, Comp.Methods Appl.Mech.Engng, 192 (2003), pp.941-954

Existují desítky metod, které lze do kategorie nesíťových zařadit, např. SPH (Smoothed Particle Hydrodynamics viz předchozí přednáška), Lattice Boltzman (podobně jako SPH

vychází z modelu částic), RKPM (Reproducing Kernel Particle Method, Liu:large deformation Mooney

), MLPG (Meshless Local Petrov Galerkin), RBF (Radial basis function, wave

equation). Všechny tyto metody formálně aproximují hledané funkce integrály konvolučního typu

V této přednášce budeme analyzovat trochu blíže jen některé způsoby konstrukce nesíťových interpolačních funkcí (Shepardovy funkce, klouzavé čtverce MLS moving least

squares, RBF radial base functions), které lze použít v integrálech u slabých formulací PDE, tj. u metod Galerkinovského typu, popsaných v předchozích odstavcích, ale i v kolokačních metodách, kde jako testovací funkce se použije Diracova delta funkce (tj. kdy se požaduje anulování reziduí řešených rovnic v uzlových bodech).

correction aplied classical SPH-convolutionat MLS, RKP methods

( ) ( , ) ( , ) ( )hyx c x y w x y h y d

Page 13: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

Nejjednodušší koncept aproximačních nesíťových funkcí představují Shepardovy funkce, kde Ni(x) jsou bázové a wi(x) jsou váhové funkce

NAP13 Shepardovy fkce

1

( ) ( )N

i ii

x N x

N

jj

ii

xw

xwxN

1

)(

)()(

Shepardovy funkce jsou úplné jen v prostoru konstantních funkcí, tzn. jsou schopny přesně popsat jen konstantní funkce (viz následující příklad). Nicméně jsou spojité a diferencovatelné. Váhové funkce wi(x) se vztahují ke každému uzlovému bodu a jsou to buď Gaussovské funkce (typu exp(-x2)) nebo splajny 4-tého stupně

kde ri je poloměr kruhu nebo koule, v níž je váhová funkce definována (mimo tuto oblast je wi nulová). Pozn.: Koeficienty mocnin 1,-6,8,-3 zajišťují nulové derivace splajnu v počátku i na hranici d=1.

432 3861)( dddxwi i

i

x xd

r

cxw

xwcxccx

N

iN

jj

ii

1

1

)(

)()()(

1

( ) 0N

jj

w x

To, že je aproximace přesná pro konstantu, plyne z

ale pro každé x musí být alespoň jedna funkce w různá od nuly

Štíhlost bázových funkcí (ri) lze volit, čím širší je funkce w (čím větší r), tím je aproximace méně lokální a hladší, viz následující příklad.

Page 14: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Shepardovy fkce příklad

function nd=shape(x,xn,n,r)sum=0;for i=1:n d=abs(x-xn(i))/r; if d<1 w(i)=1-6*d^2+8*d^3-3*d^4; else w(i)=0; end sum=sum+w(i);endfor i=1:n nd(i)=w(i)/sum;end

N

jj

ii

xw

xwxN

1

)(

)()(

432 3861)( dddxwi

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

r=0.5 v některých bodech není N

definována

r=2 i když jsou uzlové hodnoty lineární, aproximace je křivka (a

není to interpolace)

Jako uzlové hodnoty byla zvolena přímka yn=1+xn;

Příklad, který ukazuje, že Shepardova aproximace je hladká křivka, která ale neinterpoluje uzlové hodnoty a není schopna přesně popsat ani lineární průběh (přesně umí popsat jen konstantu)

Page 15: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSNejčastěji se používají nesíťové aproximace v poněkud složitější variantě MLS (moving least squares) – klouzavé metodě nejmenších čtverců. Princip metody spočívá v nahrazení průběhu Φ(x) regresním polynomem (někdy jen konstantou, často lineárním, někdy kvadratickým polynomem), jehož koeficienty se stanoví regresí uzlových hodnot metodou nejmenších čtverců (N-uzlových hodnot)

N

lll

Tl xaxpxwxas

1

22 ))()()(())((

kde w(x) jsou váhové funkce, p(x) bázové polynomy, vektor dimenze M (např. p1(x)=1, p2(x)=x, a jsou koeficienty regresního polynomu (vektor dimenze M), a l uzlové hodnoty aproximované funkce

(x)

xl

Page 16: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSSpecifikum MLS je v tom, že v každém bodě x oblasti (a nemusí to být právě uzlový bod) se konstruuje jiný regresní polynom s koeficienty a(x), které závisí na x. Výsledkem je následující vyjádření aproximační funkce

2

1 1 tvarovápolynomy regresnífunkcekoeficienty1,x,y,z,x ...uzlu l

ˆ( ) ( ) ( ) ( )M N

j j l lj l

x p x a x N x

1

1matice MxN, l-tý sloupecodpovídá tvarové funkci N

( ) ( ) [ ( ) ( )]

l

M

l j jlj

N x p x x x

A B

kde matice AMxM a BMxN jsou definovány takto (M-počet bázových polynomů, N-počet dat)

1

( ) ( ) ( ) ( )N

Tl l l

l

A x w x p x p x

1 1 2 2

každý sloupec odpovídá jednomu uzlu

( ) [ ( ) ( ), ( ) ( ),... ( ) ( )]N NB x w x p x w x p x w x p x

Page 17: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSOdvození MLS: Přepišme kriterium součtu čtverců z vektorové do složkové notace (x je libovolný, ale vzhledem k optimalizaci pevný bod)

2 2

1 1

( ( )) ( )( ( ) ( ) )N M

i l i l i ll i

s a x w x p x a x

2

1 1

2 ( )( ( ) ( ) ) ( ) 0N M

l i l i l j ll ij

sw x p x a x p x

a

což je soustava algebraických rovnic pro koeficienty ai(x)

1 1 1( )

(x)

[ ( ) ( ) ( )] ( ) ( ) ( )

jlji

M N N

l i l j l i l j l li l l

B xA

w x p x p x a x w x p x

j=1,2,…,M

odkud již přímo vyplývají výše uvedené vztahy.

][]][[]][[][][][)(

]]][[[]][[][]]][[[]]].[[[

)]([

1

1

xN

TT BApapx

BAaBaA

Page 18: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSTvarové funkce Nl(x) získané metodou MLS jsou funkce hladké a tudíž derivovatelné (někdy přílišná hladkost až vadí, třeba při řešení PDE se skokem se měnícími koeficienty). Hladkost ještě neznamená, že by MLS byla například schopná přesně nahradit polynomy libovolného stupně. Bázové funkce Nl(x) jsou schopny přesně popsat jen obecné polynomy stupně m (čím vyšší m tím vyšší řád přesnosti aproximace) a tento stupeň m je dán volbou použité báze p(x), např.

M=1 p=[1] pouze polynom nultého stupně m=0

M=3 (2D) p=[1,x,y] polynom prvního stupně m=1

=4 (3D) p=[1,x,y,z]

M=6 (2D) p=[1,x,y,x2,xy,y2] polynom druhého stupně m=2

=10(3D) p=[1,x,y,z,x2,y2,z2,xy,xz,yz]

Pro diferenciální rovnice s druhými derivacemi (např. pro transportní rovnice) stačí m=1, tj. stačí, když numerická aproximace dokáže přesně popsat libovolné lineární řešení. Často funguje i varianta m=0 (tj. když bázové funkce dokáží přesně popsat alespoň konstantní řešení), což je speciální případ Shepardových funkcí.

To, že MLS bázové funkce jsou schopny přesně popsat polynomy až do stupně m plyne automaticky z jejich definice (stačí uvažovat konstantní koeficienty ai)

Page 19: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSV metodě MLS hrají klíčovou roli váhové funkce wi. Kdyby to nebyly funkce, ale konstanty (například wi=1) byla by matice A i vektor B konstantní, nezávislá na souřadnici x. Tato varianta byla odvozovaná již v přednášce o regresní analýze NAP2 (jen pozor na odlišnou symboliku). Výsledkem (pro konstantní váhy wi) je ovšem globální aproximace řešení např. jedinou lineární funkcí na celé oblasti řešení, což ovšem znamená „vymazání“ všech lokálních odchylek. Použití regresní analýzy v klouzavém okénku, kterážto technika byla vysvětlena rovněž v přednášce NAP2, sice umožní vystihnout lokální vlastnosti a k metodě MLS s váhovými funkcemi wi(x) má velmi blízko, jenomže aproximační funkce není dostatečně hladká. Tudíž: Technika nejmenších čtverců s klouzajícím okénkem je možná vynikající pro filtraci dat (metoda Savitzky Golay popisovaná v NAP2), ale je méně vhodná pro definici bázových funkcí použitelných v integrální formulaci problému.

Page 20: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSPorovnání těchto tří typů aproximací (MLS, globální regrese, klouzavé okénko) ukážeme na 1D příkladu a lineární bázové polynomy

)(

1

1

2

1

)(

1

2

1

11

)(

)(

)(

)(

)()(

)()(

)22( xB

N

llll

N

lll

xA

N

lll

N

lll

N

lll

N

ll

xxw

xw

xa

xa

xxwxxw

xxwxw

x

xxaxax

xxpxp

)()()(

)(,1)(

21

21

Koeficienty aproximačního polynomu v libovolném bodě x jsou řešením soustavy rovnic

Jako váhové funkce použijeme dříve uvedený splajn

432 3861)( dddxwi

i

i

r

xxd

Page 21: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSr=0.2;x=linspace(0,1,1000);xv=[0.05 0.12 0.2 0.35 0.37 0.39 0.45 0.55 0.61 0.75 0.9 0.92];fi=[1 2 2 2.5 5 7 6 2 2 8 9 10];n=length(xv)hold offfigure(1)plot(xv,fi,'b*')hold on

for i=1:1000 X=x(i); a11=0;a12=0;a22=0;b1=0;b2=0; for l=1:n W=w(l,X,xv,r); a11=a11+W; a12=a12+W*xv(l); a22=a22+W*xv(l)^2; b1=b1+W*fi(l); b2=b2+W*xv(l)*fi(l); end A=[a11 a12;a12 a22]; B=[b1;b2]; a=inv(A)*B; f(i)=a(1)+a(2)*X;endplot(x,f)

L=3;for i=1:1000 X=x(i); if X>xv(L-1) L=min(n,L+1); end A=[3 xv(L-2)+xv(L-1)+xv(L); xv(L-2)+xv(L-1)+xv(L) xv(L-2)^2+xv(L-1)^2+xv(L)^2]; B=[fi(L-2)+fi(L-1)+fi(L);fi(L-2)*xv(L-2)+fi(L-1)*xv(L-1)+fi(L)*xv(L)]; a=inv(A)*B; f(i)=a(1)+a(2)*X;endplot(x,f,'g')

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

r-poloměr váhových funkcí, xv,fi vektory souřadnic a

hodnot (12 uzlových bodů) a vykreslení (hvězdičky)

Výpočet aproximace metodou MLS. Váhová funkce w je definována

jako M=file

Lineární regrese ze tří sousedních uzlových

bodů (klouzavé okénko)

hladká křivka je MLS (Moving Least Squares) pro

r=0.2

zelená čára je lineární regrese ze 3 sousedů

Page 22: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSVáhové funkce (definované jako splajny 4-stupně (M-funkce))

Bázové (nazývané též tvarové) funkce počítané dle

function weig=w(i,x,xv,r)d=abs(x-xv(i))/r;if d<1 weig=1-6*d^2+8*d^3-3*d^4;else weig=0;end

for i=1:1000 X=x(i); a11=0;a12=0;a22=0; for l=1:n W=w(l,X,xv,r); a11=a11+W; a12=a12+W*xv(l); a22=a22+W*xv(l)^2; B(1,l)=W; B(2,l)=W*xv(l); end A=[a11 a12;a12 a22]; C=inv(A)*B; sumn(i)=0; for l=1:n N(i,l)=C(1,l)+X*C(2,l); sumn(i)=sumn(i)+N(i,l); endendfigure(2)for l=1:3 plot(x,N(:,l)) hold onendplot(x,sumn,'g')

1

1

1 1

2[ ( )]

sloupec l matice1 1 [[ ]]

[[ ( )]]

( ) ( )( )

( ) 1( )

( ) ( )T

N N

l l ll l l

l N Nl l

p x l l l ll l B

A x

w x w x xw x

N x xw x x

w x x w x x

1

1matice MxN, l-tý sloupecodpovídá tvarové funkci N

( ) ( ) [ ( ) ( )]

l

M

l j jlj

N x p x x x

A B

Page 23: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSZde použité váhové funkce jsou splajny se stejně širokou základnou (r=0.2)

w1 w2 w3 w12

N1

N2

N3

1)(12

1

l

l xN

Grafické znázornění prvních tří tvarových funkcí. Zelená čára je součet všech tvarových funkcí (=1, tím je dokumentováno, že LMS přesně reprezentuje konstantu).

Page 24: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLS

1

1matice MxN, l-tý sloupecodpovídá tvarové funkci N

( ) ( ) [ ( ) ( )]

l

M

l j jlj

N x p x x x

A B

1̂2̂

4̂ 5̂6̂

tento bod leží jen v dosahu uzlu 5 a to

nestačí

tento bod leží v dosahu uzlu 1,3,2 a

to stačí

1 tvarová

funkceuzlu l

ˆ( ) ( )N

l ll

x N x

Shrňme předchozí výsledky MLS:

Tvarová funkce Nl nemá vlastnost Kroneckerova delta, tj. v uzlu xl není rovna jedné a navíc jsou v tomto uzlu nenulové i další tvarové funkce. Na předchozí folii jsme jenom dokázali, že součet všech tvarových funkcí v libovolném bodě x a tedy i v každém uzlu je roven jedné (této vlastnosti se říká „partition of unity“). Důsledkem je to, že koeficienty lineární aproximace nemají přímo význam uzlové hodnoty jak je tomu např. v metodě konečných prvků, kde se tvarové funkce konstruují tak, aby vlastnost Kroneckerova delta byla automaticky splněna ljjl xN )(

To je nevýhoda MLS aproximace, protože nelze jednoduše zajistit splnění Dirichletových okrajových podmínek – viz následující folie

Page 25: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSKdyby tvarové funkce splňovaly podmínku Kroneckerova delta, stačilo by zajistit Dirichletovu okrajovou podmínku tak, že požadovaná hodnota na hranici by byla přímo uzlový parametr a v Galerkinově formulaci by mohla být hodnota odpovídající váhové funkce w nulová. Například při řešení dříve uvedené Poissonovy rovnice pro tlak p, který je předepsán na celé hranici oblasti , by slabá formulace vypadala takto

0

( ) 0w p w p p

wf dxdy w dsx x y y n

Pokud tvarové funkce vlastnost Kroneckerova delta nemají, musí se použít metoda pokutové funkce nebo metoda Lagrangeova multiplikátoru (ta je dost podobná, místo voleného penalizačního parametru je optimalizovaný multiplikátor )

penalizační parametr

( ) ( ) 0fixed

w p w pwf dxdy w p p ds

x x y y

Page 26: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Klouzavé čtverce MLSGalerkinova metoda řešení PDE vyžaduje umět počítat integrály derivací tvarových funkcí dle souřadnic x,y,z. Derivace libovolného řádu se počítají přímo z definice tvarových funkcí (uvědomte si, že na rozdíl od metody konečných prvků zde nejsou žádná rozhraní mezi elementy a tudíž mizí problémy nespojitostí).

11 1

1

( )( ) ( ) ( )[ ( ( ) ( )) ( )( ( ) ( )) ]

Mjl

jl j jljk k k k

p xN x x xx x p x x x

x x x x

B AA B A B

a parciální derivace invertované matice A se počítají na základě identity

111

11

1

0

0)(

AA

AA

AAA

A

AA

kk

kk

k

xx

xx

x

Výrazy pro derivace vyšších řádů lze nalézt např. v článku Atluri S.N., Shen S.: The meshless local Petrov Galerkin (MLPG) method, CMES, vol.3, No.1, (2002), pp.11-51

Page 27: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Radiální bázové funkce RBFNepříjemnou vlastností předchozích tvarových funkcí (metoda MLS-moving least squares, jejímž speciálním případem jsou Shepardovy funkce, ale i další příbuzné interpolační funkce) je to, že nemají vlastnost Kroneckerova delta, což komplikuje numerickou realizaci Dirichletových okrajových podmínek. Existuje ale jedna výjimka, a tou je interpolace radiálními bázovými funkcemi RBF, např.

5 2 3 4( ) (1 ) (8 40 48 25 5 ) 1 /

( ) 0 pro 1i i i

i

R x d d d d d d d x x r

R x d

Wu Z.: Compactly supported positive definite radial functions. Adv.Comp.Math. 4, pp.389-396 (1995)

01

234

56

78

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

d

R,w

432 3861)( dddxwi

pro srovnání dříve používané váhové funkce

Ri-radiální bázová funkce i-tého uzlu s kompaktním nosičem

xi x

ri

Kompaktní nosič (kruh nebo koule)

Poznámka: Buďte opatrní při čtení odborné literatury kde je pod pojmem radiální bázová funkce RBF míněno často něco, co nemá kompaktní nosič a může to být funkce, která není omezená a utíká do nekonečna (viz další folie).

Page 28: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Radiální bázové funkce RBFRBF interpolační funkce ovšem nemusí mít kompaktní nosič (tj. nemusí být koncentrované jen kolem „svého“ uzlu). Typickými příklady jsou RBF

1 1linear combinationR (x) radial of shape functionsbasis function

( ) ( ) [ ( )] [ ] ( ) [ ( )] [ ]

j

N NT T

j j l lj l

x x x R x N x N x

i

ji jr x x

a N koeficientů 1,…, N je dáno řešením soustavy lineárních algebraických rovnic

22 2 2( ) ( )j jr r c R x x x c

2( ) logr r r („multiquartic“ funkce)

(„thin plate spline“)

Aproximace, která interpoluje N hodnot i v uzlových bodech i=1,…,N je lineární kombinací těchto RBF

1

R

( ) ( )i

ij

N

i j i jj

x x x

1

1

vector interpolatedinvertedvalues matrix R

[ ] [[ ]] [ ]i

jij

R

1

vector of shape functions[N(x)]

( ) [ ( )] [[ ]] [ ]Tx R x R

Tvarové funkce jsou tedy11

11 )(...)()( NiNii RxRRxRxN a vlastnost Kroneckerovo delta plyne z

]][[]]]][[[[ 1 IRR

Page 29: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Radiální bázové funkce RBFInterpolační funkce je jednoznačná, pokud matice soustavy Rij není singulární, což se někdy může stát (např. když první uzlový bod je v centru a ostatní uzlové body leží na povrchu jednotkové koule , budou v prvním řádku i sloupci samé nuly, takže determinant matice soustavy bude nulový). Nepříjemnou vlastností RBF je ale především neschopnost popsat přesně konstantní funkce (i lineární kombinace , která nabývá v uzlech konstantní hodnoty, se mezi těmito uzly stále trochu vlní). Tuto nectnost lze odstranit přidáním konstanty

2( ) logr r r

11

( )

( ) ( )

j

N

j jj

R x

x x x

N+1 neznámých koeficientů této modifikované interpolační funkce musí splňovat N interpolačních podmínek

11

( )

( ) ( )

j i ji

N

i i j i jj

R x R

x x x

a také podmínku1

0N

jj

Pozn.: pro přesnou aproximaci konstanty (x)=1 musí být všech N koeficientů i rovno nule.

Page 30: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Radiální bázové funkce RBFPředchozí koncept lze snadno zobecnit a doplnit lineární kombinaci RBF o lineární kombinaci polynomů

1 1( )

( ) ( ) ( )

j

N M

j j j jj j

R x

x x x p x

1 2 31, , p p x p y kde např. pro M=3.

Kromě N interpolačních podmínek je tedy třeba mít M dalších rovnic

1

( ) 0, 1, 2,...,N

j i jj

p x i M

např.1 1 1

0, 0, 0N N N

j j j j jj j j

x y

Důkaz toho, proč je třeba formulovat dodatečné podmínky výše uvedeným způsobem a že je tím zajištěn přesný popis všech polynomů až do stupně m, uvádí Charles A. Micchelli: Interpolation of Scattered Data: Distance Matrices and Conditionally Positive Definite Functions. Constr. Approx. (1986) 2:11-22. Pro mne je to příliš složité.

Nabízím 100 Kč tomu, kdo mi to vysvětlí inženýrským způsobem (prostě tak, abych tomu rozuměl).

Page 31: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Aplikace

Friedrich

Page 32: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Aplikace

Friedrich

Page 33: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Aplikace

Friedrich

Local topology: each point is associated with nearest NF points

……

This is Hardy multiquadrics radial base function

Page 34: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Aplikace

Page 35: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Aplikace

Benchmark-pure convection

Page 36: NUMERICKÁ ANALÝZA PROCESů

NAP13 Aplikace

FLUENT 6.2