UNIVERZITET U TUZLI

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE

ENERGETSKA ELEKTROTEHNIKA

akademska god.:2012/2013

SEMINARSKI RAD

Primjena Schwarz-Christoffel-ovog integrala u rješavanju

elektrostatičkih problema

Radili: Puzid Almir Profesor: dr.sc. Amir Nuhanovid, red.prof. Sakid Amar

Tuzla, juni 2013. 2

Sadržaj

1. Uvod .................................................................................................................................................... 3

2. Primjena S-C-ovog integrala na elektrostatičke probleme .................................................................... 6

Primjer 1. ............................................................................................................................................ 6

Primjer 2.............................................................................................................................................. 9

3. Literatura........................................................................................................................................... 15

Tuzla, juni 2013. 3

1. Uvod

Funkcija f(z) je konformna u svakoj tački gdje je analitička i gdje ima izvod različit od nule.

Pretpostavimo da je x0∈R fiksna tačka. Posmatrajmo funkciju f(z) sa izvodom:

f '(z) = (z-x0)α,

gdje je -1< α <1. Ovdje smo izabrali da se argument nalazi u granicama

-π/2 < arg(z-x0) ≤ 3π/2,

što obuhvata samo imaginarnu osu {x0+iy: y ≤ 0}.

Prvo pretpostavimo da z leži na realnoj osi i da je z > x0 . Onda je f(z) konformna u tački z, kako je f'(z)≠0.

Primjetimo da je

arg f '(z) = α arg(z-x0) = 0

za sve tačke z, zanemarujudi množitelje od 2π. Kako tangenta u svakoj tački poluprave (x0,∞) ima nagib

jednak nuli, slijedi da tangenta u svakoj tački krive f( (x0,∞) ) ima nagib arg f'(z) = 0.

Stoga je f( (x0,∞) ) poluprava paralelna sa realnom osom i ima krajnju lijevu tačku f(x0).

Pretpostavimo da z leži na realnoj osi i da je z < x0. Ponovo je funkcija f(z) konformna u tački z u kojoj je

f'(z) ≠0. Također je

arg f '(z) = α arg(z-x0) = α π

za sve takve tačke z, zanemarujudi množitelje od 2π. Slijedi da je f(-∞,x0) poluprava koja pravi ugao απ sa

horizontalnom osom.

Sumirajudi navedeno, sljededi dijagram opisuje realnu osu na funkciji f.(slika 1.)

Slika 1.

Tuzla, juni 2013. 4

Pretpostavimo opet da je x0∈R fiksna tačka. Razmotrimo funkciju f(z) sa izvodom

f '(z)= λ (z-x0)α,

gdje je λ ∈C različita od nule i -1< α <1. Tada je

arg f '(z) = arg λ + α arg(z-x0).

Drugim riječima, postoji dodatna rotacija arg λ u odnosu na prethodni slučaj (slika 1.). Ovo nas dovodi do

sljededeg dijagrama koji opisuje realnu osu na funkciji f. (slika 2.)

Pretpostavimo da su x1 , . . . , xk ∈R fiksne tačke, i da je x1< . . . <xk. Razmotrimo funkciju f(z) sa izvodom:

f '(z) = λ(z-x1)α1 . . . (z-xk)αk, (1)

gdje je λ∈C različita od nule i -1 < α1, . . . , αk < 1. Tada je

arg f '(z) = arg λ + α1 arg(z-x1) + . . . + αk arg(z-xk).

Lako je primjetiti da ako je z na realnoj osi tada vrijedi

arg

Slika 2.

Tuzla, juni 2013. 5

Ovo nas dovodi do sljededeg dijagrama koji opisuje realnu osu na funkciji f. (slika 3.)

Pretpostavimo da funkcija f(z) zadovoljava (1). Tada je analitička u kompleksnoj ravni C, tj. analitička je u

domeni:

C \ ({x1 + iy : y ≤ 0} ∪ . . . ∪{xk + iy : y ≤ 0}).

Slijedi da za bilo koje z ∈Ή, gdje Ή označava gornju poluravan, možemo pisati

z0 je pogodno izabrana tačka u Ή ili njegova granica. Također, za svako z ∈Ή, [z0,z] označava pravu od z0

do z.

Funkcija f(z) u formi (2) se naziva Schwarz–Christoffel (S-C)-ova transformacija.

Slika 3.

(2)

Tuzla, juni 2013. 6

2. Primjena S-C-ovog integrala na elektrostatičke probleme

Primjer 1.

Dokazati da funkcija w(z) kompleksne promjenljive z, definisana tzv. Švarc-Kristofelovim integralom

gdje su realni brojevi, a kompleksne konstante, preslikava otvorenu izlomljenu liniju

sa n tjemena u z-ravni u realnu osu w-ravni, a oblast izvan izlomljene linije u gornju poluravan w-ravni.

Tačke u w-ravni odgovoraju tjemenima izlomljene linije u z-ravni, a

su spoljašnji uglovi prelamanja linije (sl. 1a)

Slika 1a slika 1b

Dokaz.

Posmatrajmo kompleksnu promjenljivu z kao funkciju kompleksne promjenljive w. Ispitajmo prvo kakve

uslove mora da zadovoljava funkcija z(w), da bi se pomodu nje realna osa w-ravni (u-osa) preslikala u

prelomljenu liniju u z-ravni, prikazanu na sl. 1b. Pri tome demo tražiti funkciju z(w) koja gornju poluravan

w-ravni preslikava u oblast izvan te prelomljene linije u z-ravni.

Prema posljednjem uslovu, ako se tačka w krede po realnoj osi s lijeva u desno, mora tačka z da se krede

u naznačenom smjeru duž prelomljene linije u z-ravni, a u polukrugu beskonačnog poluprečnika u

w-ravni mora da odgovora dio kruga beskonačnog poluprečnika u z-ravni. Osim toga, u tački w=a (a-

realan broj) funkcija z(w) ne može biti analitička, pošto u njoj izvod zavisi od pravca, što je lako

Tuzla, juni 2013. 7

zaključiti na sljededi način. Priraštaju dw u tački a u smjeru negativne u-ose treba da odgovara priraštaj

dz duž prelomljene linije od tačke A nalijevo na sl. 1b. Kako je u tom slučaju dw= , i

dz= , to je izvod u smjeru negativne u-ose:

=

Sa druge strane, priraštaju dw u smjeru pozitivne u-ose odgovara priraštaj dz duž prelomljene linije od

tačke A udesno. Prema tome, dw= i dz= , pa je izvod u smjeru pozitivne u-ose:

=

Izvodi se u ta dva smjera, dakle, razlikuju, što je i trebalo pokazati. Posmatrajmo sada funkciju , gdje je . Ona je analitička u svim tačkama w-ravni osim u

tački a, u kojoj ima tačku grananja. Kada se tačka w krede s lijeva udesno po realnoj osi do tačke a, ta funkcija mijenja modul ali ne i argument. U tački a, međutim, ona skokovito mijenja argument. Zaista, razlika je realna i negativna u svim tačkama lijevo od tačke a, a desno od tačke a je ta

razlika realna i pozitivna (sl. 1c).

Slika 1c Kada se tačka w krede po malom polukrugu opisanom oko tačke a (čime se izbjegava singularitet w=a), kao na sl. 1c, argument razlike se mijenja od vrijednosti do nule, a argument izraza

se, prema tome, mijenja od vrijednosti do nule, dakle povedava se za .

Tu osobinu mora upravo da ima izvod funkcije z(w) koja realnu osu w-ravni preslikava u prelomljenu liniju u z-ravni, u koje je spoljašnji ugao preloma Da je to tvrđenje ispravno, zaključuje se na sljededi

način. Za sve tačke lijevo od tačke w=a (sl. 1b), priraštaju dw= odgovara, prema slici, priraštaj

dz= . Prema tome, za tačke lijevo od tačke w=a, je:

Tuzla, juni 2013. 8

=

Za sve tačke desno od tačke w=a, priraštaju dw= odgovara priraštaj dz= , što se vidi sa

slike. Tako je za sve tačke desno od tačke w=a:

=

Pri prolasku kroz tačku w=a, dakle, argument izvoda funkcije z(w) što preslikava realnu osu w-ravni u prelomljenu liniju spoljašnjeg ugla preloma , kao na sl. 1b, mora da se poveda za .

Na osnovu svega možemo da tvrdimo da, obrnuto, funkcija w(z) određena izrazom

, (1)

Preslikava oblast izvan ugaonika z-ravni u gornju poluravan w-ravni. Razumljivo je, da integraciona konstanta koja se dobija pri integraciji jednačine (1) dozvoljava da se tačka A preloma postavi u bilo koju tačku z-ravni, kao i da se množenjem desne strane iste jednačine podesnom kompleksnom konstantom prelomljena linija može okrenuti za proizvoljan, unaprije željeni ugao. Koristedi se zaključcima koje smo izveli, lako je vidjeti da funkcija

gdje su ( ) realni brojevi, kada se tačka w krede duž realne ose w-ravni

mijenja argument samo u tačkama i to za iznos . To je upravo uslov koji mora da

zadovoljava izvod funkcije z(w) što preslikava u-osu u izlomljenu liniju u z-ravni sa tjemenima koja odgovaraju tačkama u koje su spoljašnji uglovi prelamanja . Prema tome,

jednačina:

definiše, obrnuto, funkciju w(z) koja izlomljenu liniju u z-ravni preslikava u realnu osu w-ravni. Množenje desne strane gornje jednačine kompleksnom konstantom ne mijenja suštinu transformacije, ved

samo razmjeru izlomljene linije, i okrede je za određen ugao (argument konstante ).

Na taj način, funkcija w(z) određena Švarc-Kristofelovim integralom iz teksta zadatka zaista predstavlja funkciju koja izlomljenu liniju u z-ravni preslikava u realnu osu w-ravni. Konstante određuju

položaj izlomljene linije, a konstanta , kao što je rečeno, razmjeru linije i njen nagib prema x-osi.

Pomodu konstanti se fiksiraju relativne dimenzije pojedinih dijelova izlomljene linije.

Tuzla, juni 2013. 9

Primjer 2. Odrediti funkciju potencijala i linije vektora jačine polja u okolini krajeva pločastog kondenzatora. Uticaj konačnih dimenzija ploča zanemariti, i posmatrati krajeve ploča kao dvije provodne poluravni koje su na različitim potencijalima.

Rješenje. Na sl. 2a su debelim linijama označeni tragovi krajeva ploča kondenzatora. Ako x-osu postavimo u simetralnu ravan ploča, kao na slici, sve tačke koje pripadaju x-osi su na istom potencijalu, a slika polja je u odnosu na x-osu simetrična. Zbog toga možemo posmatrati samo gornju polovinu kondenzatora. Osim toga, odaberimo simetralnu ravan za referentnu površinu potencijala. Tada se, pri potencijalnoj razlici 2U između ploča, jedna od ploča- recimo gornja- nalazi na potencijalu U, a druga na potencijalu –U.

Slika 2a I u ovom slučaju može primjenom Švarc-Kristofelovog integrala da se odredi kompleksna funkcija potencijala. Izlomljenu liniju u z-ravni možemo sada da izaberemo u obliku koji je na sl. 2a naznačen isprekidanim linijama: linija se prelama na ivici ploče, u tački , za ugao , a zatim u beskonačno

udaljenoj tački za ugao . Ako odaberemo da tački odgovara u w-ravni tačka , a

tački tačka , Švarc-Kristofelov integral postaje:

(1)

gdje je s (=p+jq) kompleksna promjenljiva, a nova konstanta.

Iako smo opisanu izlomljenu liniju u z-ravni u stanju da preslikamo u realnu osu s-ravni pomodu funkcije s(z) određene gornjom jednačinom, treba uočiti da problem time nije riješen, pošto su dijelovi linije p<0 i p>0 na različitom potencijalu (na potencijalu U, odnosno nula). Pomodu transformacije (1) se polje kondenzatora na sl. 2a transformiše u polje dvije međusobno izolovane poluravni na različitim potencijalima (sl. 2b).

Tuzla, juni 2013. 10

Slika 2b Međutim, ako bismo znali transformaciju w(s) koja taj posljednji slučaj preslikava u homogeno polje, kombinacijom (1) i te transformacije bismo našli i transformaciju koja polje kondenzatora preslikava u homogeno polje u w-ravni, što je uvijek cilj konformnog preslikavanja polja. Time bi predstavljeni problem bio riješen.

Lako je pokazati da transformacija w=A + B,

gdje su A i B konstante, predstavlja tu traženu transformaciju. Zaista, kada u posljednoj jednačini napišemo eksplicitno realne i imaginarne dijelove, dobijamo :

u+jv=A + j A + B (s= )

Ako stavimo da je skalarni potencijal , vidimo da su ekvipotencijalne linije zraci =const, iz

koordinatnog početka s-ravni. Linije sile su polukrugovi sa centrom u koordinatnom početku (sl. 2c). Da bi odredili konstantu A, uočimo da u posmatranog slučaju mora biti za i za ,

odakle je . Ako stavimo još da je , transformacija koja preslikava polje sa sl. 2c u

homogeno polje u w-ravni postaje:

ili . (2)

slika 2c

Tuzla, juni 2013. 11

Kombinovanjem transformacija (1) i (2), vidimo da se polje u kondenzatoru može transformisati u homogeno polje u w-ravni pomodu funkcije w(z) definisane relacijom:

) + (3)

Specificirajmo još jednom vrijednosti konstanti i . Pošto konstanta samo translatorno pomjera

koordinatni sistem u z-ravni, možemo staviti da je . Konstantu određujemo iz uslova da mora

cijela gornja ploča da bude na potencijalu U, odnosno za neku tačku z=x+ja mora biti w=u+jU:

.

Izjednačavanjem imaginarnih dijelova u gornjoj jednačini nalazimo da je:

, pa je na kraju

(4)

Relacija, koja određuje funkciju w(z) koja preslikava izlomljenu liniju sa sl. 2a u paralelne prave v=U i v=0 u w-ravni, a oblast van te izlomljene linije (oblast u kojoj postoji polje u polovini kondenzatora prikazanoj na sl. 2a) u oblast između te dvije paralelne prave. Drugim riječima, ona preslikava polje oko krajeva kondenzatora u homogeno polje.

Iz (4) nije mogude odrediti analitički oblik funkcije potencijala, ali je mogude nacrtati ekvipotencijalne linije nalaženjem izvjesnog broja njihovih tačaka. Prije svega, napišimo jednačinu (4) u obliku zbira realnih i imaginarnih dijelova:

,

Odakle je

x= i

y= .

Zbog prostijeg pisanja stavimo da je i . Posljednje jednačine tada dobijaju oblik:

, (5)

(6)

Pošto smo x-osu postavili duž nulte ekvipotencijalne linije, to mora biti za i y=0, što je, prema

jednačini (6) očigledno zadovoljeno. Zatim, za mora biti (pošto smo stavili da je

), što je kako se iz (6) vidi također ispravno. Odredimo još gdje je kraj ploča kondenzatora u

koordinatnom sistemu koji smo fiksirali još ranije, izborom konstante u jednačini (3). To možemo

odrediti na sljededi način. Stavimo prvo, u (5) da je . Tačke u kojima je taj uslov zadovoljen pripadaju gornjoj ploči

kondenzatora. U tom posebnom slučaju (5) postaje .

Tuzla, juni 2013. 12

Krajnja tačka traga ploče je očigledno određena najvedom mogudom vrijednošdu desne strane gornje jednačine. Lako je ustanoviti da je to slučaj kada je u=0, i da je pri tome, x=-1. Prema tome, trag ploče se u izabranom koordinatnom sistemu nalazi na odstojanju od x-ose i proteže se nalijevo od

tačke x=-1. Na sl. 2d je trag ploče izvučen debelom linijom.

Slika 2d

Sada možemo pristupiti određivanju ekvipotencijalnih linija i linija sile. Da bismo odredili pojedine ekvipotencijalne linije, treba u (5) i (6) da stavimo i da parametru u

dajemo različite vrijednosti. Da bismo istovremeno dobili i tačke koje odgovaraju pojedinim linijama sile, parametru u treba davati vrijednosti u jednakim razmacima, recimo

Primjera radi, u donjoj tabeli je sproveden približan račun za nekoliko tačaka na ekvipotencijalnim lnijama . Na sl. 2e su punim linijama skicirane tako nađene ekvipotencijalne

linije, a isprekidanim linijama linije sile. Tačke koje pripadaju linijama sile na x-osi i na ploči je lako odrediti iz (5), koristedi se vrijednostima iz tabele.

Tuzla, juni 2013. 13

Istim postupkom bi se , naravno, mogla izraditi slika polja i sa vedom tačnošdu.

Slika 2e

Na kraju, interesantno je ispitati na kom odstojanju od kraja ploča se polje može smatrati praktično homogenim. U tom cilju demo odrediti jačinu polja na simetralnoj ravni kondenzatora, i ustanoviti na kom se odstojanju od kraja ploča jačina polja razlikuje za 1% od jačine homogenog polja koje postoji na velikom odstojanju od krajeva ploča. Uopšte je intenzitet planparalelnog polja:

= =

Kada je poznata kompleksna funkcija potencijala w=u +jv, gdje je , tada je

pošto je funkcija w(z) analitička, te zadovoljava Koši-Rimanove uslove. Iz (4) je, za i ,

U posebnom slučaju tačaka na x-osi , pa je

Tuzla, juni 2013. 14

Intenzitet polja u tačkama gdje se ne osjeda ivični efekat

Tako se može pisati i da je

a

Prema usvojenoj procjeni homogenosti polja, stavimo da je posljednji izraz jednak 0,01. Odatle je, redom,

,

,

.

Zamjenom nađene vrijednosti za u u jednačini (5) dobijamo za apscisu tražene tačke , te je

odstojanje te tačke od krajeva ploča (

.

Pošto smo stavili da je rastojanje ploča , to se vidi da se polje može smatrati homogenim na

odstojanju od kraja ploča koja je reda rastojanja ploča.

Tuzla, juni 2013. 15

3. Literatura

-http://rutherglen.science.mq.edu.au/wchen/lnicafolder/ica14.pdf

-Branko D. Popovid, Zbornik problema iz elektromagnetike, Građevinska knjiga, Beograd 1972.