Numeričko modeliranje

Embed Size (px)

Citation preview

  • SVEUILITE U RIJECI

    TEHNIKI FAKULTET

    ZAVOD ZA

    TEHNIKU TERMODINAMIKU I ENERGETIKU

    Numeriko modeliranje u termotehnici

    SEMINARSKI RAD

    U Rijeci, Antonio Gelo

    11.06.2012. 0069040042

  • Numeriko modeliranje u termotehnici 11.06.2012.SEMINARSKI RADDvodimenzijski stacionarni sluaj izmjene topline

    1

    Sadraj:

    1. Tekst zadatka

    2. Uvod (openito o matematikom modeliranju)

    3. Opis matematikog modela

    3.1. domena

    3.2. diferencijalne jednadbe ouvanja

    3.3. (poetni i) rubni uvjeti

    4. Opis numerikog rjeavanja

    4.1. opis odabrane numerike metode

    4.2.opis jednadbe diskretizacije

    4.3.opis odabrane sheme diskretizacije difuzijskog, konvektivnog (i nestacionarnog) lana

    4.4.opis odabranog algoritma za proraun polja tlakova i brzina

    4.5.umreavanje domene i numeriki proraun primjenom softvera Gambit i Fluent

    4.6.karakteristike odabrane mree (broj kontrolnih volumena, vrsta mree)

    4.7.odabir kriterija tonosti iteracijskog postupka (za pojedine jednadbe ouvanja)

    4.8.vrijeme trajanja prorauna, broj iteracija

    5. Rezultati prorauna

    - prikaz, analiza i interpretacija rezultata

    6. Zakljuak

  • Numeriko modeliranje u termotehnici 11.06.2012.SEMINARSKI RADDvodimenzijski stacionarni sluaj izmjene topline

    2

    1.Tekst zadatka

  • Numeriko modeliranje u termotehnici 11.06.2012.SEMINARSKI RADDvodimenzijski stacionarni sluaj izmjene topline

    3

    2. Uvod (openito o matematikom modeliranju)

    Matematiko modeliranje je aproksimiranje stvarnih pojava nekim matematikim opisom,koji vie ili manje odgovara stvarnoj pojavi. No, veina tehnikih problema su znatnosloeniji od tih jednostavnih primjera, kao na primjer gibanje tijela pri veim brzinama(uzimanje u obzir otpora zraka), strujanje tekuine oko krutog tijela, izmjena toplinekonvekcijom i provoenjem i slino. Matematiki modeli za strujanje uida u cijevima suvrlo sloeni te postoje bitne razlike u strujanju tekuina i plinova. U cilju smanjivanjaproraunskog napora posebno se deniraju matematiki modeli za strujanje tekuine ucijevima te posebno za strujanje plina i tekuine. Strujanje plina se modelira Eulerovimmodelom, dok se strujanje tekuina modelira Allievijevim i Kranenburgovim modelom.

    Zbog visokih zahtjeva koji se postavljaju na tonost numerikih modela, posebna panja semora obratiti na odabir numerikih metoda. Time je motivacija za to boljim poznavanjemrjeenja i osobina tih jednadbi oita. Veliku potekou predstavlja numeriko modeliranjestrujanja sa diskontinuitetima te nastankom i praenjem propagacije diskontinuiteta.Provedeni numeriki testovi su pokazali da modeliranje hiperbolikih zakona ouvanja sanumerikim metodama razvijenim za modeliranje eliptikih i parabolikih jednadbi nisu dalidobre rezultate. Iz tog razloga su razvijene upwind numerike motode za vektor uksa [2],ija primjena se pokazala iznimno uspjenom na hiperbolike zakone ouvanja bez izvornoglana.

    Iz navedenog je vidljiv izniman napor ire znanstvene zajednice za to boljim i tonijimrjeenjem nelinearnih hiperbolikih zakona ouvanja. Meutim, kako struktura izvornog lanamoe znaajno varirati u ovisnosti o matematikom modelu, diskretizacija izvornog lanamoe biti znatno komplicirana ili pak nemogua. Moe se zakljuiti da je uz paljiv odabirmatematikog modela te poznavajui mogunosti i ogranienja numerikih metoda mogueprovesti simulacije strujanja uida u cijevima.

  • Numeriko modeliranje u termotehnici 11.06.2012.SEMINARSKI RADDvodimenzijski stacionarni sluaj izmjene topline

    4

    3. Opis matematikog modela

    Matematiki model je postavljanje jednadbi ouvanja varijable( fizikalnog svojstva ) uzgranine uvjete koji dobro opisuju zadani problem:( ) + div( w ) = div( grad ) + S

    ( )- nestacionarni landiv( w ) - konvektivni landiv( grad ) - difuzijski lanS - izvorni lan

    Opom jednadbom ouvanja fizikalnog svojstva mogu se opisati sve jednadbe ouvanjakojima se opisuje zadano stacionarno dvodimenzijsko strujanje i prijelaz topline, teprovoenje topline, tako da iz ope jednadbe izostavimo nestacionarni lan i parcijalnuderivaciju fizikalnog svojstva po osi z.

    Jednadba ouvanja mase:

    Pretpostavljeno je da se ukupna masa u nekom kontinuumu ne mijenja, te da je kontrolnivolumen V ksiran u prostoru. Masa koja ulazi u kontrolni volumen, jednaka je brzinipoveanja mase unutar kontrolnog volumena.

    Za stacionarni problem vrijedi : = 0

    = 1; S = 0 = 0;

    0)(div w

    0)()(

    yx wy

    wx

  • Numeriko modeliranje u termotehnici 11.06.2012.SEMINARSKI RADDvodimenzijski stacionarni sluaj izmjene topline

    5

    Jednadba ouvanja koliine gibanja:

    Zakon ouvanja koliine gibanja rezultira direktnom primjenom Newtonovog zakona. Naime,promjena ukupne koliine gibanja u volumenu V jednaka je ukupnom djelovanju sila navolumen V.

    za os x: = wx; = ; S = xp

    )grad(div)(div xx wxpww

    yw

    yxw

    xxpww

    yww

    xxx

    yxxx )()(

    za os y: = wy; = ; S = yp

    )grad(div)(div yy wypww

    y

    wyx

    wxy

    pwwy

    wwx

    yyyyxy )()(

    Jednadba ouvanja energije za konvektivni prijelaz topline: = T; =c

    ; S = 0

    Tc

    wT graddiv)(div

    22

    2

    2

    yT

    xT

    yTw

    xTwc yx

    Jednadba ouvanja energije za provoenje topline: = T; =c

    ; S = 0

    0graddiv

    Tc

    022

    2

    2

    yT

    xT

  • Numeriko modeliranje u termotehnici 11.06.2012.SEMINARSKI RADDvodimenzijski stacionarni sluaj izmjene topline

    6

    3.1. Podruje prorauna (domena)

    0 x L

    0 y + +

    Sl.2.Odabrano podruje prorauna

    Podruje prorauna podjeljeno je na tri poddomene:

    1. voda, konstantnih fizikalnih svojstava (gustoa, toplinska vodljivost, toplinskikapacitet), izraunava se nestacionarna trodimenzijska prisilna konvekcija (jednadbaouvanja mase, jednadba ouvanja koliine gibanja, jednadba ouvanja energije)

    2. elina ploa, kruta stijenka konstantnog koeficijenta toplinske vodljivosti, (jednadbaouvanja energije)

    3. ulje, konstantnih fizikalnih svojstava (gustoa, toplinska vodljivost, toplinskikapacitet), izraunava se nestacionarna trodimenzijska prisilna konvekcija (jednadbaouvanja mase, jednadba ouvanja koliine gibanja, jednadba ouvanja energije)

    3.2. Diferencijalne jednadbe ouvanja

    Diferencijalne jednadbe ouvanja za 2D stacionarni problem prisilne konvekcije iprovoenja topline za svaki dio proraunskog podruja:

    1. podruje prorauna: voda, w = konst, w = konst, w = konst, cw = konst

    - jednadba ouvanja mase:

    0

    y

    wx

    w yx

  • Numeriko modeliranje u termotehnici 11.06.2012.SEMINARSKI RADDvodimenzijski stacionarni sluaj izmjene topline

    7

    - jednadba ouvanja koliine gibanja:

    x smjer:

    22

    2

    2

    yw

    xw

    xp

    yww

    xww xxwxyxxw

    y smjer:

    22

    2

    2

    yw

    xw

    yp

    yw

    wx

    ww yyw

    yy

    yxw

    - jednadba ouvanja energije:

    22

    2

    2

    yT

    xT

    yTw

    xTwc wyxww

    2. podruje prorauna: kruta stijenka, posebno profilirana elina ploa,

    = konst, = konst, c = konst

    - jednadba ouvanja energije:

    022

    2

    2

    yT

    xT

    3. podruje prorauna: ulje, u= konst, u= konst, u= konst, cu= konst

    - jednadba ouvanja mase:

    0

    y

    wx

    w yxu

    - jednadba ouvanja koliine gibanja:za os x:

    22

    2

    2

    yw

    xw

    xp

    yww

    xww xxuxyxxu

  • Numeriko modeliranje u termotehnici 11.06.2012.SEMINARSKI RADDvodimenzijski stacionarni sluaj izmjene topline

    8

    za os y:

    22

    2

    2

    yw

    xw

    yp

    yw

    wx

    ww yyu

    yy

    yxu

    - jednadba ouvanja energije:

    22

    2

    2

    yT

    xT

    cyTw

    xTw

    u

    uyxu

    3.3. Rubni uvjeti:

    Jednadba provoenja topline moe imati beskonano mnogo rjeenja. Zbog toga se uvodepoetni i rubni uvjeti.

    1.podruje prorauna: voda, w = konst, w = konst, w = konst, cw = konst

    x = 0 i 0 < y