Contents1 GIRIS 52 HataC esitleri 52.1 KayanNoktaaritmetigi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 AritmetikIslemlerdeHataAnalizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 N umerik AnalizdeOperatorler 83.1IleriFarkOperator uveOzellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Genisletme(Kaydrma)Operator u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 GeriFarkOperator u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 OrtalamaOperator u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.5 MerkeziFarkOperator u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.6 Bol unm usFarklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 TekDegiskenliDenklemlerinKoklerininYaklaskhesab 134.1 YARILAMAMETODU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 RegulaFalsiyontemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3 Newton-RaphsonYontemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.4 KirisYontemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.5 SabitNoktaIterasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.5.1 SabitNoktaiterasyondaYaknsaklkHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285InterpolasyonTeorisi 335.1InterpolasyonveLagrangePolinomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Bol unm usFarklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.3 EnK uc ukKarelerMetodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.3.1 EnK u c ukKarelerMetoduylaEniyiDogruDenkleminiBulma . . . . . . . . . . . 415.3.2 EnK u c ukKarelerMetoduylaTabloNoktalarndanGecenEniyiEgriyiBulma . . 4226 N umerikT urevveN umerikIntegral 516.1 AnalitikYerineKoymaMetodlarileN umerikT urevHesaplama . . . . . . . . . . . . . . 516.2 RichardsonEksrapolasyonu(DskestirimMetodu) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.3 N umerikIntegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.4 BirlesikN umerikIntegralYontemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.5 RombergIntegrasyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.6 GaussIntegrasyonu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.7 GaussIntegrasyonu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.8 C okKatlIntegraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 LineerOlmayanDenklemSistemlerininC oz um u 827.1 SabitNoktaiterasyonu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.2 SistemlericinNewtonRaphsonMetodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863N umerikAnaliz 51 GIRISN umerik analizin amac karmask, analitik olarak coz um u zor ve olanaksz olan problemlere sadece basitaritmetikislemler kullanlarakcoz umler bulmaktr. Bir problemverildigindeuygulamal matematikcibuproblemincoz um uicingerekli olanmatematiksel modeli kurar, n umerikanalizci ise buproblemicozer. Problemincoz um undegenellikleelektronikhesaplayclardanfaydalanlr. Dolaysyla n umerikanalizingelisimi bilgisayarngelisimineparaleldir. Bunedenlen umerikanalizebilgisayarm uhendisligivematematikaddaverilebilir.2 HataC esitleriN umerikmetodlarla coz ulen problemlerin sonu clarnn yaklask olmasndan dolay baz hatalar vardr. Buhatalardortgruptatoplanabilir.A.InsanhatalarB. KesmehatalarC. YuvarlamahatalarD. BilgisayarnyaptghatalarBunlaracklamadanoncemutlakhatavebagl(goreceli)hatakavramlarntanmlayalm.Tanm2.1. Birssaysnnyaklaskdegeri solsun. BuDurumdaEs= |s s| (2.1)degerinemutlakhataves = 0olmak uzereBs=Es|s|(2.2)degerinedebagl hatadenir.Ornek2.2. s =13ve s = 0.333oldugunagoremutlakvebagl hatayhesaplayalm.C oz um: Hesaplaynnsekizondalklisslemyaptgngozon undebulunduracakolursakEs= |s s| 0.00033333 = 3.3333 104vebaglhataBs=Es|s|= 0.00099999 0.001dir.6 N umerikAnalizB. Kesme Hatalar:f (x) =11xfonksiyonu verilsin. Bu fonksiyonun I= [0.5, 0.5] aralgndakiintegraldegeri0.50.5dx1 + x= 1.098612289dir. Bufonksiyonudord unc umertebedenTayloraclmnyazarsak11 + x= 1 x + x2x3+ x4+ O_h5_dir. Buaclmdakalanterimiatarakintegralinihesaplarsak0.50.5_1 x + x2x3+ x4_dx = 1.095833333dir. Buislemdeyaplanhata0.002778956dir. BuislemdeyaplanhataTaylorpolinomundabazterimleriihmaletmemizdenkaynaklanmaktadr. But urhatalarakesmehatasdenir.C. YuvarlamaHatalar:Buhatacesidinianlamakicin,sabitnoktaaritmetiginianlamamzgerekir.2.1 KayanNoktaaritmetigi:Bilgisayarkendineverilensaylaryadaislemsrasndaeldeedilensaylar2,8veya16liktabandaifadeeder. bkullanlansaysistemininintabanolmak uzere,birusaysnu = (.a1a2 an)bbseklinde yazar. Burada a1 = 0 dr. Simdi bilgisayarda aritmetik islemler nasl yaptgna ornekler verelim.Ornek2.3. 0.0019225136ve5942.17saylarntoplayalmC oz um: 0.0019225136=0.19225136 102ve5942.17=0.594217104dr. Busaylar toplamakicin ustleriniesitlemekgerekir0.594217 1040.00000019225136 104+0.59421719225136 104dr.BirU,U= (.a1a2 anan+1 )bbsaysnbilgisayarasagdaki sekildeyuvarlar:U=_u = (.a1a2 an)bb0 an+1 0 seklindetanmlananoperatoreileri farkoperator udenir. Simdi xk xk1=h, i=1, , n, diyelimvef (xk)y ykilegosterirsek,asikarolarakyk= yk+1ykdr. Buradanardskolarak2yk= yk= (yk+1yk) = yk+1yk= yk+22yk+1 + yk3yk= 2yk= (yk+22yk+1 + yk)= yk+33yk+2 + 3yk+1ykolupengenelhaldenyk=ni=0(1)i_ni_yk+nidir. Boyleceilerifaktoblosuxkykyk2yk3yk4ykx0y0y0x1y12y0y13y0x2y22y14y0y23y1x3y32y2y3x4y4Tanm3.2. (GenellestirilmisBinomKatsaylar)xherhangibirsayolsun._xr_ =___1 r = 00 r Zx(x1)(xr+1)r!r Z+seklindetanmlananfonksiyonaGenellestirilmisBinomKatsaysdenir.A. x = 0ise_0r_ = 0dr.B._xr_xegorer.derecedenbirpolinomdur.C. Egerh = 1alnrsa_xr_ =_xr 1_dir. Engenelhaldek_xr_ =_xr k_, k = 0, 1, 10 N umerikAnalizIleri fark operator u ile t urevler arasnda sk biriliski vardr. Bunu ortalam deger teoremini kullanarakkolaycagosterebiliriz.f (x) = f (x + h) f (x) = hf (1) ; x < 1< x + h2f (x) = f (x) = hf (1) = h(f (1 + h) f (1))= h2f (2) ; x < 2< x + 2hengenelhaldeisekf (x) = hkf(k)(k) ; x < k< x + khTeorem3.3. Pn (x) = a0xn+ a1xn1+ + an1x + anolsunbutaktirdenPn (x) = ann!hn, n+1Pn (x) = 0dr.Ornek3.4. y= x2fonksiyonuicinilerifarktablosunuolusturalmxkykyk2yk3yk4yk5yk0 00.040.2 0.04 0.080.12 00.4 0.16 0.08 00.2 0 00.6 .36 0.08 00.28 00.8 .64 0.080.361 13.2 Genisletme(Kaydrma)Operator uh > 0 olmak uzere Ef (x) = f (x + h) seklinde tanmlanan operatore genisletme (kaydrma) operator u denir.Buoperator unlineerbiroperatoroldugukolaylklagosterilebilir. AsikarolarakEkf (x) = f (x + kh) , k = 1, 2, dr. k=0iseE0f=fdir. Ekf (x)=f (x + kh)oldugundanEkf (x)=f (x kh)olacaktr. Dikkatedilirsef (x) = f (x + h) f (x) = Ef (x) If (x)= (E I) f (x)oldu gundanbuesitlikbize = E Ioldugunugosterir.N umerikAnaliz 113.3 GeriFarkOperator uy= f (x)fonksiyonuverilmisolsun. Butaktirdef (x) = f (x) f (x h) , h > 0 seklindetanmlananoperatoregeri farkoperator udenir. Simdi xk xk1=h, i=1, , n, diyelimvef (xk)y ykilegosterirsek,asikarolarak yk= ykyk1dr. Buradanardskolarak2yk= yk= ykyk1= yk2yk1 + yk23yk= yk3yk1 + 3yk2yk3olupgerifarktoblosuisexkykyk2yk3yk4ykx0y0y1x1y12y2y23y3x2y22y34y4y33y4x3y32y4y4x4y4dr. Benzer sekildeEkaydrmaoperator uile gerifarkoperator uarasndaf (x) = f (x) f (x h) = If (x) E1f (x)=_I E1_f (x)iliskisivardr.Ornek3.5. f (x) = x43x2+7fonksiyonuveiliyor. x = 1, 1, 2, 3icingerifarktablosunuolusturunuz.C oz um:x f (x) 2f (x) 3f (x) 4f (x)1 501 5 66 382 11 44503 613.4 OrtalamaOperator uh > 0olmak uzeref (x) =12_f_x +h2_+ f_x h2__12 N umerikAnalizseklindetanmlananoperatoredenir. yk= f (xk)gosterimikullanlrsayk=12_yk+12+ yk12_olaraktayazlabilir.Ornek3.6. Birf fonksiyonuicinf (1)=2.31978, f (2)=2.48258oldugubilindiginegoref fonksiy-onununx = 1.5dekiortalamadegerif (1.5) =12 [f (2) + f (1)] =12 (2.31978 + 2.48258)= 2.401180000dir.3.5 MerkeziFarkOperator uf (x) = f_x +h2_f_x h2_seklindetanmlananopretoredenir. yk= f (xk)gosterimikullanlrsayk= yk+12yk122yk= yk+12yk + yk1...dr.3.6 Bol unm usFarklarBir f (x) fonksiyonu x0, x1, noktalarnda srasyla y0, y1, degerlerini alsn. fnin birinci bol unm usfarkjyk=yj ykxj xkseklindetanmlanrvef (xj, xk)veyaf [xj, xk]sembollerindenbirisiilegosterilir. Benzersekildeikinci, u c unc uvedigerbol unm usfarklardaij2yk=jyiiykxixjij3yk=jyiijykxxi...seklindetanmlanabilir.Ornek 3.7. f (x) =x31 fonksiyonununx = 1, 0, 1, 3, 5 degerleri icinbol unm us fark tablosunuolusturunuz.N umerikAnaliz 13C oz um: yk=f (xk)danardskolaraky0= 2, y1= 1, y2=0, y3=26, y4=124olup. Birincibol unm usfarklarsrasyla1y0= f[x0, x1] =y1y0x1x0= 1 + 21= 12y1= f[x1, x2] =y2y1x2x1=0 + 11 0= 13y2= f[x2, x3] =y3y2x3x2=26 03 1= 134y3= f[x3, x4] =y4y3x4x3=124 265 3= 49Ikincibol unm usfarklarise12y0=2y11y0x2x0=f[x1, x2] f[x0, x1]x2x0=1 11 + 1= 023y1=3y22y1x3x1=13 13 0= 434y2=4y33y2x4x2=49 135 1= 9benzer sekilde uc unc ubol unm usfarkise123y0= 1234y1= 11234y0= 0olupasagdakitabloyuolusturabiliriz.xkykf[xi, xj] f[xi, xj, x] f[xi, xj, x, xt] f[xi, xj, x, xt, xk]1 210 1 01 11 0 4 013 13 26 9495 1244 TekDegiskenliDenklemlerinKoklerininYaklaskhesabf(x) fonksiyonunun carpanlara ayrlabilir bir polinom olmas halinde, ornegin f(x) = x21 olmas halindef(x) = 0 denkleminin kokleri x = 1 dir. Eger f(x) = 0 bir polinom degilse, bu durumda |f ( x)| degerinik uc ukyapan xsaysnnbulunmasistenir. Bu xdegerinef(x) = 0denklemininyaklaskkok udenir.14 N umerikAnaliz4.1 YARILAMAMETODUBu yontem ara deger teoreminin uygulamasna dayanan bir yontemdir. Ara deger teoremi geregincef (x) fonksiyonu[a, b]aralgndas ureklivef (a) f (b) < 0isef (m) = 0olacak sekildea < m < bvardr.n = 0, 1, icinmn=an + bn2hesaplanr. f (an) f (bn) (4 N[1](h/2) N[1](h))/(4 1);N[3] : = h > (4(3 1) N[3 1](h/2) N[3 1](h))/(4(3 1) 1);N[4] : = h > (4(4 1) N[4 1](h/2) N[4 1](h))/(4(4 1) 1);N[5] : = h > (4(5 1) N[5 1](h/2) N[5 1](h))/(4(5 1) 1);forkfrom0to4do;N[1](h/2(k)) : = N[1](0.2/2(k)); enddo;forkfrom0to3do;N[2](h/2(k)) : = N[2](0.4/0.4/2(k)); enddo;forkfrom0to2do;N[3](h/2(k)) : = N[3](0.4/0.4/2(k)); enddo;forkfrom0to1do;N[4](h/2(k)) : = N[4](0.4/2(k)); enddo;58 N umerikAnaliz6.3 N umerikIntegralIntegral hesaplamas gerektiren problemler m uhendislikte ve uygulamal matematign her alannda karslaslr.N umerikintegralbaf (x) dxsaysnnhesaplanmasproblemidir.EgerP (x)n. mertebedenf (x)e[a,b] uzerindebiryaklasmolaninterpolasyonpolinomuiseE=baf (x) dx baP (x) dxhatasnhesaplayalm.P (x) =nk=0f (xk) Lk (x) +nk=0(x xk) f(n+1)( (x))(n + 1)!oldu gunagorebaf (x) dx =bank=0f (xk) Lk (x) dx +1(n + 1)!ba(x xk) f(n+1)( (x))(n + 1)!(6.14)eldeedilir. Simdiak=baLk (x) dxyitanmlarsakbaf (x) dx nk=0akf (xk)dr. BuradahataterimiE=1(n + 1)!ba(x xk) f(n+1)( (x))(n + 1)!dir.Simdi esitaralklarlaverilmisbirinci veikinci derecedenlagrangeinterpolasyonpolinomlarn kulla-narakbazozelhalleriinceleyelim. x0= a, x1= bolsun. AsikarolarakinterpolasyonpolinomuP1 (x) =(x x1)(x0x1)f (x0) +(x x0)(x1x0)f (x1)N umerikAnaliz 59a b xyFigure1:olupbaf (x) dx =x1x0_(x x1)(x0x1)f (x0) +(x x0)(x1x0)f (x1)_dx+12x1x0f () (x x0) (x x1) dx=h2[f (x0) + f (x1)] h312f ()dr. Buform uleyamukkuraldenir.Lagrangeinterpolasyonpolinomlarylaintegraldecalsmakzoroldugundan,ilkbastaTayloraclmnkullanarakx = x1noktasndaki uc unc uderecedenTaylorpolinomukullanarakbirintegralform ul ueldeetmeyecalsalm.f (x) = f (x1) + f (x1) (x x1) + f (x1) (x x1)2+f (x1)6(x x1)3+f(4)(1)24(x x1)4Buradax0= a, x2= b, x1= a + h, h =ba2dr. Simdibuifadeninherikitarafx0danx2ekadarintegralialnrsah = x2x1= x1x0ve(x2x1)2(x1x0)2= (x2x1)4(x1x0)4= 0(x2x1)3(x1x0)3= 2h3(x2x1)5(x1x0)5= 2h560 N umerikAnalizxya b1xFigure2:oldu gugozon unealnrsax2x0f (x) dx = 2hf (x1) + h3f (x1) +f(4)(1)60h5eldeedilir. f (x1)yerinedahaoncedenbuldugumuzyaklaskdegerif (x1) =1h2[f (x0) 2f (x1) + f (x2)] h212f(4)(2)yazarsakx2x0f (x) dx =h3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] h512_13f(4)(2) 15f(4)(1)_veya1ve2yerineyazarsakx2x0f (x) dx =h3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)] h590f(4)()eldeederiz. Buform ulSimsonform ul uolarakbilinir.Not6.10. Noktasaysnarttrmaksuretiyledahahassasolarakyaklskintegral hesaplanbilir. ornegin ucnoktakullanarakSimsonform ul ux3x0f (x) dx =3h8[f (x0) + 3f (x1) + 3f (x2) + f (x3)] 3h580f(5)N umerikAnaliz 61olarakeldeedilebilir.Ornek6.11. I=10x2dxintegralininyaklakdegerinibulmakicinyanukveSimsonkuralnuygulaynz.C oz um:Ilkbastayamukkuralnuygulayalm. Buproblemicinx0= 0, x1= 1veh = 1dir.10x2dx 12 [f (0) + f (1)] =12veHataE= h312f () = 112 2 = 16dr. SimdiSimsonkuralnkullanarakintegralihesaplayalm. Buproblemicinx0= 0, x1=12, x2= 1veh = 0.5dir.10x2dx h3[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]=16_0 + 4 14+ 1_ =13vehataE= 0dr.6.4 BirlesikN umerikIntegralYontemleriBu ksmda integral aralklarn daha k uc uk alt aralklara bolerek daha k uc uk aralklarda yaklask integralinaslhesaplanabilecegiarastrlacaktr.Orneginh = 2alaraksimsonkuralnkullanarak51ln xdxintegralinihesaplayalm. Budurumda51ln xdx =23 [ln 1 + 4 ln 3 + ln 5] = 4.002591379olup bu integralin gercek degeri 5ln5 4 =4.047189560 olup bu islemde yaplan hata ise 0.044598181 dir.Buislemdeyaplanhataaralgndahak uc ukaralklarabol unmesiyleazaltlabilir.Ornegin[1, 5]aralgn[1, 3]ve[3,5]olarakikialtaralgabolerekh = 1alarakaynintegralihesaplayalm51ln xdx =31ln xdx +53ln xdx=13 [ln 1 + 4 ln 2 + ln 3] +13 [ln 3 + 4 ln 4 + ln 5]= 4.04147621862 N umerikAnalizolup bu islemde yaplan hata ise 0.005713342 dr Simdi aralg dort esit alt aralga bolelim yani; [1, 2], [2, 3],[3, 4],[4, 5] seklindealtaralklarabolerekn umerikintegralihesaplayalm(h = 0.5dir)51ln xdx =21ln xdx +32ln xdx +43ln xdx +54ln xdx=16 [ln 1 + 4 ln 1.5 + 2 ln 2 + 4 ln 2.5 + 2 ln 3 + 4 ln 3.5 + 2 ln 4 + 4 ln 4.5 + ln 5]= 4.046655065dr. Buislemdeyaplanhataise0.000534495dr. Aralgnk uc ult ulmesiilehatadegerideazalmaktadr.Buyontemgenellestirilebilir. [a, b] aralgn nesitaltaralgabolelim. Buradancifttamsaydr. j =0, 1, , 2micina = x0< a1< < x2m= bveh = (b a)/2mbaf (x) dx =mk=1x2kx2k2f (x) dx=h3_f (x0) + 2m1k=1f (x2k) + 4mk=1f (x2k1) + f (2m)_h590mk=1f(4)(k)eldeedilir. Eger f(4)C4[a, b] olduguvarsaylrsaf(4)fonksiyonu[a, b] aralgndaalr buradanhataterimiyenidend uzenlenirseE= h590mk=1f(4)(k) = h4(b a)180f(4)()eldeedilir.Benzergenellemeyamukkural icindeverilebilir. Budurumuanalizyapmadanasagdaki teoremleifadeedelim.Teorem6.12. f C2[a, b]veh =banolsun. xk= a + kholmak uzerebirlesik yamukkuralbaf (x) dx =h2_f (a) + f (b) + 2n1k=1f (xk)_(b a) h212f ()dir. Burada (a, b)dir.Ornek6.13. n = 6alarak2011+x2dxintegraliA. birlesikyamukkuralnkullanarakhesaplaynz.B. BirlesikSimsonyonteminikullanarakyaklaskolarakhesaplaynz.C oz um: Busoruicinn = 6veh =13dir. xk= 0 +k320f (x) dx h2_f (a) + f (b) + 25k=1f (xk)_=16_f (0) + f (2) + 25k=1f_k3__=16 [1 + 0.2 + 2 (0.9 + .6923076923 + 0.5 + 0.36 + .2647058824)]= 1.105671192N umerikAnaliz 63dir. Gercekdegeri arctan2=1.107148718olupbuislemdeyaplanhata0.001477525794090503dr.. Buislemmappleilen : = 6; a := 0; b := 2; h := (b a)/n; f:= x > 1/(1 + x2);forkfrom0tondo;x[k] : = a + k h;enddo;forkfrom0tondo;y[k] : = evalf[10](f(x[k])); enddo;T : = (sum(2 y[k], k = 1..n 1) + f(b) + f(a)) (h/2); IG := int(f(x), x = 0..2); evalf[20](IGT);ileyaplabilir.B. Simdi debirlesikSimsonkuraln kullanarakbusoruyucozelim6=2*3oldugundanm=3veh=13dir.20dx1 + x2=19_f (0) + 22k=1f (x2k) + 43k=1f (x2k1) + f (2)_=19+29 (9/13 + 9/25) + 4 (9/10 + 1/2 + 9/34) +19 15= 1.1248265460030165913dir. Bu islemde yaplan hata 0.0176778282089260883 dr. Bu mapple ile asagdaki sekilde coz ulebilir.n : = 6; x[0] := 0; x[n] := 2; h := (x[n] x[0])/n; f:= x > 1/(1 + x2);fornfrom0tondox[n] : = x[0] + n h; enddo;fornfrom0ton-1doy[n] := f(x[n]); enddo;T : = evalf[20]((sum(2 f(x[2 k]), k = 1..(n/2) 1) + sum(4 f(x[2 k 1]), k = 1..n/2)+f(x[4]) + f(x[0])) (h/3));IG : = int(f(x), x = 0..2); Hata := evalf[20](abs(IGT)); ba glhata := evalf[20](abs((T IG)/IG));Ornek6.14. Birlesikyamukvesimsonkuralnkullanarak21dx1 + xintegraliniE= 0.001hatailehesaplaynz.C oz um:Ilkbastabirlesikyamukkuralnkullanarakistenilenhataileintegralihesaplayalm|E| =(b a) h212f () =16n21(1 + )3