NUMERIČKA ANALIZA PROCESA ŠIRENJA PUKOTINA … · VII Sadržaj Predgovor I Sažetak III Abstract V 1. Uvod 1 2. Mehanika loma 6

SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET

NUMERIČKA ANALIZA PROCESA ŠIRENJA PUKOTINA

KONSTRUKCIJA

Doktorska disertacija

Goran Vukelić

Rijeka, 2011.

SVEUČILIŠTE U RIJECI TEHNIČKI FAKULTET

NUMERIČKA ANALIZA PROCESA ŠIRENJA PUKOTINA

KONSTRUKCIJA

Doktorska disertacija

Goran Vukelić

Mentor: Red. prof. dr. sc. Josip Brnić

Rijeka, 2011.

I

Predgovor

Želio bih se zahvaliti mentoru, red. prof. dr. sc. Josipu Brniću, na vodstvu tijekom

istraživanja koje je prethodilo ovom radu, kao i na korisnim sugestijama te pregledu

predloženog rukopisa doktorske disertacije. Njegovo iskustvo i sposobnost usmjeravanja

na sagledavanje problema na nov način bilo je od dragocjene pomoći. Također, rad na

ovom istraživanju ne bi bio moguć bez potpore Ministarstva znanosti, obrazovanja i

športa Republike Hrvatske temeljem projekta br. 069-0691736-1737 pod naslovom

"Numerička analiza odziva konstrukcija za određena područja eksploatacije" s red. prof.

dr. sc. Josipom Brnićem kao glavnim istraživačem.

Ističem i suradnju s kolegama na Zavodu za tehničku mehaniku Tehničkog fakulteta u

Rijeci koji su me zadužili svojim nesebično prenesenim znanjem. Boravak i istraživački

rad na fakultetu Vysoké učení technické v Brnu, Češka, oplemenili su me novim i

korisnim spoznajama bitnim u izradi ovog rada. Ovaj je četveromjesečni boravak

realiziran putem znanstvenog projekta (069-0691736-1737), a u okviru potpisane

ERASMUS razmjene između Sveučilišta u Rijeci (Tehnički fakultet u Rijeci/Zavod za

tehničku mehaniku) i Sveučilišta u Brnu (Vysoké učení technické v Brnu/Zavod za

mehaniku).

II

Veliku zahvalnost dugujem i svojoj obitelji, roditeljima i sestri koji su mi bili potpora

kroz školovanje i život te supruzi na ohrabrenju i požrtvovnosti tijekom izrade ovog rada.

Stoga ovaj rad posvećujem njima.

III

Sažetak

U ovom je radu, uz pregled razvoja mehanike loma, a sukladno značaju kojeg ona ima

u projektiranju konstrukcija, razvijen algoritam za procjenu otpornosti materijala

konstrukcijskih elemenata spram širenja pukotina. Tako je razvijen numerički algoritam

za izračun J integrala kao parametra lomne žilavosti. Numeričkom je analizom dobivena

promjena J integrala ovisno o povećanju (porastu) pukotine, a ta je promjena opisana u

rezultirajućim J-R krivuljama. Iz njih su određene kritične vrijednosti lomne žilavosti za

tri različita materijala koji se često koriste u konstrukciji posuda pod tlakom, čelika

20MnMoNi55 i 50CrMo4 te aluminijske slitine AA6061. Numerička su ispitivanja

najprije izvedena na modelima standardiziranih epruveta SENB i CT izrađenih iz

spomenutih materijala s različitim veličinama pukotine, a, koje su definirane u odnosu na

ukupnu visinu epruvete, W (a/W = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75). Nakon toga, numerička

su ispitivanja izvedena i na modelima posuda pod tlakom s unutarnjom pukotinom

koaksijalnom s uzdužnom osi posude, različitih veličina, a, gdje je veličina definirana u

odnosu na debljinu stijenke, t =W, (a/t = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625). Uz to, numerički je

model verificiran tenzometrijskim ispitivanjima provedenim na stvarnoj posudi pod

tlakom izrađenoj iz čelika 50CrMo4. Putem standardiziranih epruveta, za dva su

materijala vrijednosti J integrala dobivene numeričkim algoritmom uspoređene putem J-

R krivulja s dostupnim eksperimentalnim istraživanjima drugih autora, pri čemu je

pokazana dobra podudarnost.

V

Abstract

An algorithm for assessment of materials crack growth resistance is developed in this

work, along an overview of fracture mechanics according to its significance in structure

design. Consequently, a numerical algorithm for calculation of J integral as a parameter

of fracture toughness is developed. Numerical analysis gives change of J integral in

reference to crack growth and dependence is described in the resulting J-R curves. Such

curves are used to determine critical values of fracture toughness for three different

materials, steels 20MnMoNi55 and 50CrMo4 and aluminum alloy AA6061, that are

commonly used in pressure vessel manufacture. Numerical investigation is first

conducted on the models of standardized SENB and CT specimens made of mentioned

materials, with different crack sizes, a, that are defined relative to specimen's width, W

(a/W = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75). Next, numerical investigations are conducted on

pressure vessel models containing inner crack coaxial with longitudinal axis, whose size,

a, is defined relative to the pressure vessel wall thickness, t = W, (a/t = 0.25, 0.375, 0.5,

0.625). Besides, numerical model is verified by tensometric measurements conducted on

a real pressure vessel made of 50CrMo4 steel. Using standardized specimens, J integral

values obtained by numerical algorithm are compared through J-R curves with available

experimental results of other authors for two materials and a good correspondence is

shown.

VII

Sadržaj

Predgovor I

Sažetak III

Abstract V

1. Uvod 1

2. Mehanika loma 6

2.1. Dosadašnje spoznaje 8

2.2. Utjecaj značajki materijala na lom 13

3. Linearno elastična mehanika loma 16

3.1. Naprezanje pri vrhu pukotine 16

3.2. Koeficijent intenzivnosti naprezanja 18

3.3. Koeficijent intenzivnosti naprezanja kao kriterij loma 21

3.4. Promjena energije deformiranja 22

3.5. Veza koeficijenta intenzivnosti naprezanja i

promjene energije deformiranja 23

3.6. Područje valjanosti linearno elastične mehanike loma 24

4. Elastično-plastična mehanika loma 25

4.1. Otvaranje vrha pukotine 25

4.2. J integral 27

4.2.1. Neovisnost J integrala o liniji integriranja 30

4.2.2. Veza J integrala i polja naprezanja pri vrhu pukotine 31

G. Vukelić – Doktorska disertacija: Numerička analiza procesa širenja pukotina konstrukcija

VIII

4.2.3. Veza J integrala i CTOD 32

4.2.4. J integral kao parametar loma 34

5. Određivanje J integrala 36

5.1. Analitički određeni J integral 36

5.2. Eksperimentalno-analitički određeni J integral 36

5.2.1. Eksperimentalno određivanje J integrala za SENB epruvetu 40

5.2.2. Eksperimentalno određivanje J integrala za CT epruvetu 43

5.2.3. J integral za rastuće pukotine 43

5.3. Numerički određeni J integral 45

5.3.1. Rješenje J integrala za elastoplastično područje 46

5.3.2. Rješenje J integrala za plastično područje 47

6. J-R krivulje i parametar lomne žilavosti 49

6.1. Eksperimentalne metode za određivanje stabilnog širenja pukotine 50

6.1.1. Konstrukcija J-R krivulje 54

6.1.2. Određivanje parametra lomne žilavosti

kod nestabilnog širenja pukotine 56

7. Numerička mehanika loma 58

7.1. Metoda konačnih elemenata 59

7.2. Integral energetske domene 61

7.2.1. Teorija integrala energetske domene 62

7.2.2. Primjena teorije integrala energetske domene

u metodi konačnih elemenata 65

7.3. Opće rješenje integracije J integrala u metodi konačnih elemenata 66

7.3.1. Dvodimenzijski problemi 67

7.3.2. Trodimenzijski problemi 69

7.4. Oblikovanje mreže konačnih elemenata u mehanici loma 73

7.4.1. Oblikovanje dvodimenzijske mreže konačnih elemenata 73

7.4.2. Oblikovanje trodimenzijske mreže konačnih elemenata 76

8. Numeričko određivanje J integrala - SENB i CT epruvete 79

8.1. Ispitivani materijali 80

8.2. SENB i CT epruvete 83


IX

8.2.1. Modeliranje epruveta metodom konačnih elemenata 83

8.2.2. Numerička analiza naprezanja i određivanje linije J integrala 85

8.3. Određivanje J integrala putem numeričkog algoritma - 2D konfiguracija 89

8.4. J-R krivulje za razmatrane materijale 92

8.4.1. Usporedba numerički i eksperimentalno dobivenih J-R dijagrama 96

8.5. Određivanje kritične vrijednosti parametra lomne žilavosti, JIc 98

8.5.1. Usporedba kritičnih vrijednosti parametra

lomne žilavosti JIc za razmatrane materijale 99

9. Numerička aplikacija J integrala - posude pod tlakom 100

9.1. Posuda pod tlakom 101

9.1.1. Modeliranje metodom konačnih elemenata 101

9.1.2. Numerička analiza naprezanja i određivanje linije J integrala 104

9.2. Tenzometrijska mjerenja nad posudom pod tlakom 108

9.3. Određivanje J integrala putem numeričkog algoritma - 3D konfiguracija 111

9.4. J-R dijagrami za posude pod tlakom 112

9.5. Određivanje kritične lomne žilavosti, Ju 116

9.5.1. Parametar lomne žilavosti za razmatrane materijale 117

10. Zaključak 119

Popis literature 122

Popis oznaka i simbola 129

Popis slika 131

Popis tablica 137

Životopis 138

1

1. Uvod

Naprezanje na granici tečenja i lomna žilavost dvije su značajke materijala koje se

najčešće koriste u procesu dizajna konstrukcija. Naprezanje na granici tečenja važno je

kod klasičnog pristupa dizajniranju, odnosno u dizajnu konstrukcija spram plastičnog

deformiranja, dok se lomna žilavost materijala rabi kod dizajniranja konstrukcija spram

otpora na pojavu i širenje pukotina. Takav je pristup dizajniranju karakterističan za

mehaniku loma koja, uz lomnu žilavost, u obzir uzima i moguću veličinu pukotine te

razinu naprezanja kod konstrukcije koja se dizajnira.

Mehanika loma kao svoj cilj istraživanja ima predviđanje pojave grešaka/kvarova, a

time i mogućeg loma konstrukcije koja sadrži pukotine u svojoj strukturi ili postoji

mogućnost njihova nastanka i razvoja. Pri tome se u obzir uzimaju značajke poput

naprezanja u konstrukciji, veličine pukotine i otpornost lomu odnosno otpornost širenju

pukotine koja opisuje vrijednost lomne žilavosti korištenog materijala. Standardi

ispitivanja lomne žilavosti propisuju oblike i vrste epruveta kao i procedure ispitivanja.

Propisanim se standardima mogu dobiti pojedinačne vrijednosti lomne žilavosti ili

krivulje otpora, gdje su parametri žilavosti, poput faktora intenzivnosti naprezanja, K

(engl. stress intensity factor, SIF), J integrala (engl. path-independent contour integral)

ili otvaranje vrha pukotine, CTOD (engl. crack tip opening displacement ), bilježene

spram otvaranja/produljenja pukotine. Drugim riječima, standardi propisuju dobivanje

KIc, K-R; JIc, J-R ili CTOD. U prethodnim se oznakama indeksni zapis (Ic) odnosi na


2

mogući prvi oblik otvaranja pukotine, dok slovna oznaka "c" u istom indeksu označava

da se radi o kritičnoj vrijednosti parametra.

Moderne numeričke metode pružaju mogućnost nadogradnje ili zamjene skupih

eksperimentalnih ispitivanja. Pri tome je od velike važnosti metoda konačnih elemenata

pomoću koje se može vršiti analiza konstrukcija s određenog gledišta, ali između ostalog,

i uspješno modeliranje stanja naprezanja i deformacije u epruvetama pri uvjetima koji

odgovaraju eksperimentalnim. Dobar dio računalnih programa koji se koristi metodom

konačnih elemenata još uvijek ne nudi mogućnost izračuna vrijednosti lomne žilavosti ili

tu mogućnost nudi tek u svojim skupim nadogradnjama. Zato se razvijanje vlastitog

algoritma za izračuvanje značajki otpora lomu za mnoge korisnike nameće kao nužnost.

U ovom je radu uz pomoć računalnog programa Matlab razvijen jedan takav algoritam

kojim se može izračunati vrijednost J integrala kod konstrukcija koje u svojoj strukutri

sadrže pukotinu. Kao ulazni se podaci koriste rezultati analize naprezanja provedene u

konačnoelementnom programu Ansys. Svaka epruveta koja sadrži početnu (inicijalnu)

pukotinu (veličine a) podvrgnuta je određenoj razini opterećenja. Ova razina opterećenja

osigurava i plastifikaciju oko vrha pukotine, sukladno podacima o svojstvima materijala.

Modelirano je širenje (rast) ovakve pukotine do određene veličine. Na taj je način

numerički dobivena vrijednosti J integrala za svako spomenuto proširenje ∆a, a što je

skupno prikazano kao set podataka vrijednosti J-a. Ovakav set podataka predstavlja

teorijsku (predvidivu/proračunsku) krivulju (J-R), što se uobičajeno naziva/smatra

mjerom sile razvoja pukotine (engl. crack driving force), a koja je slična onoj što se

dobiva eksperimentalnim putem i koja se tada naziva krivulja rezistencije ili otpora,

prikazujući promjenu vrijednosti J integrala pri širenju pukotine. Iz J-R dijagrama

određuje se kritična vrijednost parametra žilavosti JIc. U nastavku rada neće se posebno

više isticati da su dobiveni ovakvi setovi J-R podataka teorijski, tj. numerički dobiveni.

Motivacija za izradu takvog algoritma bila je u želji da se zainteresiranim krajnjim

korisnicima ponudi alternativni način izračuna J integrala kao značajke mehanike loma

koja je široko primjenjiva, i pri linearno elastičnom i pri elastoplastičnom ponašanju


3

materijala. Uz to, autora je motivirala i želja da se dostupnim učine rezultati takvog

proračuna izvedeni nad posudama pod tlakom koji svoju svrhu nalaze pri dizajniranju,

konstruiranju i inspekciji takvih struktura.

Numerička su ispitivanja provedena za tri vrste materijala koje se obično koriste pri

izradi posuda pod tlakom, i to čelike 20MnMoNi55 i 50CrMo4 te aluminijsku slitinu

AA6061. Metodom konačnih elemenata modelirani su oblici SENB i CT epruveta

podvrgnutih opterećenju koje odgovara prvom obliku (I – vlačno opterećenje), a zatim je

provedena i analiza naprezanja. Dobiveni rezultati analize naprezanja iskorišteni su za

izračun pripadajućih vrijednosti J integrala. Također, dobiveni rezultati za materijal

20MnMoNi55 i materijal AA6061 uspoređeni su s eksperimentalno dobivenim

rezultatima, dostupnim iz literature. Isti je postupak numeričkog određivanja J integrala,

osim za spomenute epruvete, proveden i za primjere posuda pod tlakom izrađenih od sva

tri navedena materijala, a koje posude sadrže aksijalnu pukotinu. Realno su, međutim,

mjerenja deformacija/naprezanja izvedena na posudi pod tlakom izrađenoj iz materijala

50CrMo4, i to bez pukotine i s pukotinom. Na taj je način potvrđena točnost dobivenih

vrijednosti rezultata numeričke analize. Time je zapravo potvrđena i kompatibilnost J-R

krivulja dobivenih temeljem numeričke analize budući da su analognom numeričkom

analizom epruveta, za preostala dva materijala, dobivene J-R krivulje imale analogne

rezultate onima koji su dobiveni eksperimentalnim ispitivanjima, a rezultati su dostupni

iz literature.

Rad je organiziran u deset poglavlja. U drugom je poglavlju prikazan nastanak i razvoj

mehanike loma. Dan je pregled važnijih ostvarenja i iskoraka na području mehanike loma

do danas s posebnim osvrtom na primjenu postavki mehanike loma na posude pod

tlakom. Objašnjen je utjecaj značajki materijala na vrstu loma te mehanizmi loma.

Treće poglavlje sadrži pregled osnovnih značajki mehanike loma kod pojave i širenja

pukotina pri linearno elastičnom ponašanju materijala. Uz tri osnovna načina otvaranja

pukotine objašnjeni su i koeficijent intenzivnosti naprezanja te promjena energije

deformiranja kao značajke loma.


4

Četvrto se poglavlje odnosi na pojavu i širenje pukotine pri elastoplastičnom

ponašanju materijala. Na postavkama elastoplastične mehanike loma temelji se ostatak

rada te je, uz prikaz parametra otvaranja pukotine, posebna pozornost pridana definiranju

J integrala. Objašnjen je i način na koji se J integral može, putem otpornih J-R krivulja,

koristiti kao značajka/parametar loma.

Osim analitičkim putem, J integral se može odrediti i putem eksperimentalno-

analitičkih i numeričkih izraza. Njima je posvećeno peto poglavlje u kojem su prikazani

izrazi za J integral kod standardniziranih epruveta, dobiveni eksperimentalnim putem.

Dan je i izraz za određivanje J integrala za elastično i plastično ponašanje materijala.

U šestom je poglavlju prikazan način konstruiranja J-R krivulja otpora na temelju

vrijednosti J integrala vezanih uz veličinu rasta/širenja/produljenja pukotine. Objašnjen je

postupak za dobivanje J-R krivulja eksperimentalnim putem. Dani su uvjeti prema kojima

se iz J-R krivulja može odrediti kritična vrijednost parametra lomne žilavosti, JIc ili Ju.

Poglavlje sedam daje temelje numeričkoj implementaciji postavki mehanike loma.

Prikazan je način određivanja J integrala putem metode integrala energijske domene te

putem izravnog izračuna korištenjem linijskog i površinskog integrala, i to za

dvodimenzijske i trodimenzijske probleme. Dane su smjernice kod odabira vrste

konačnih elemenata kod numeričkog modeliranja problema mehanike loma putem

metode konačnih elemenata, te način „dizajniranja“ mreže (diskretizacija područja) pri

vrhu pukotine.

U osmom je poglavlju obrazložena konstrukcija algoritma za izračuna J integrala te

prikazana primjena kod određivanja J-R krivulja za standardizirane epruvete izrađene od

tri vrste materijala koji se koriste u izradi posuda pod tlakom. Definirani su ulazni podaci

u smislu značajki razmatranih materijala, geometrije i dimenzija epruveta, korištene

mreže konačnih elemenata te vrijednosti numeričke analize naprezanja. Prikazane su


5

rezultirajuće J-R krivulje za tri razmatrana materijala, dvije vrste epruveta te pet početnih

veličina pukotine, kao i kritične vrijednosti J integrala.

Deveto poglavlje prikazuje primjenu algoritma za numerički izračun J integrala na

primjeru posude pod tlakom koja sadrži aksijalnu pukotinu u stijenci. Razvijen je

konačnoelementni submodel koji je prethodno verificiran putem tenzometrijskih

ispitivanja na stvarnoj posudi pod tlakom. Dijagrami prikazuju rezultirajuće J-R krivulje

te kritične vrijednosti J integrala za ispitivane posude.

Deseto poglavlje donosi osvrt na dobivene rezultate, diskusiju i opažanja. Rezultati su

uspoređeni s dostupnim rezultatima drugih autora, eksperimentalnim ili numeričkim.

Doneseni su zaključci o valjanosti metode izračuna J integrala te dane smjernice za

buduća istraživanja.

U radu su također sadržani popisi korištenih oznaka, slika, tablica i literature.

6

2. Mehanika loma

Istražujući lomove konstrukcija kroz povijest, inženjeri su otkrili da je većina lomova

uzrokovana nastankom i širenjem pukotina u konstrukcijama. Pukotine mogu biti

posljedica nesavršenosti u materijalu, pogrešaka kod dizajniranja ili montaže, agresivne

okoline i oštećenja tijekom uporabe. Pukotine se razvijaju od mikroskopskih veličina do

dimenzija koje mogu biti primjećene golim okom, a takav rast pukotine često može

uzrokovati lom konstrukcije i opasnost po ljudske živote.

Kroz istraživanje pojave i širenja pukotine te lomova konstrukcija razvila se mehanika

loma (eng. fracture mechanics) kao dio mehanike čvrstih tijela koji se bavi proučavanjem

ponašanja tijela koja sadrže pukotine i izložena su deformacijama i naprezanjima. Glavni

cilj istraživanja mehanike loma su polja naprezanja i deformacija oko vrha pukotine

budući da njihovo poznavanje pomaže u dizajniranju konstrukcija sigurnih po pitanju

pojave i širenja pukotina. Tim se načinom dizajniranja konstrukcija rukovode inženjeri u

gotovo svim tehničkim granama.

Mehanika loma od svojih početaka ima za cilj shvaćanje utjecaja pukotine na stanje

konstrukcije. Kod uobičajenog se pristupa dizajniranju granica tečenja

potencijalnog/razmatranog materijala uspoređuje s očekivanim naprezanjem u

konstrukciji. Kod dizajniranja prema pravilima mehanike loma granica tečenja se


7

zamjenjuje lomnom žilavošću, a dodatni čimbenik kod dizajniranja je veličina pukotine,

slika 2.1.

Sl. 2.1. Usporedba dizajniranja konstrukcije. a) uobičajeni pristup. b) mehanika loma.

U inženjerskoj se praksi saznanja iz mehanike loma koriste kako bi se u međusobnu

vezu dovela veličina i položaj pukotine te najveće dopušteno opterećenje konstrukcije.

Pri tome se razlikuju dva pristupa analizi loma konstrukcije ovisno o ponašanju

materijala koje može biti linearno elastično ili elastoplastično. Kod linearno elastičnog

ponašanja materijala do loma dolazi zbog kritične kombinacije lokalnih naprezanja i

deformacija, tj. kod kritične veličine faktora intenzivnosti naprezanja, o kojem će u radu

više riječi biti kasnije. Energijski pristup kaže da do loma dolazi kada je razina energije

za širenje pukotine dovoljno visoka da nadvlada otpor materijala. Ovaj se pristup koristi i

kod linearno elastičnog i kod elastoplastičnog ponašanja materijala.

U posljednjih su nekoliko desetljeća provedena mnoga istraživanja koja su za cilj

imala potvrditi točnost postavljenih temeljnih pretpostavki mehanike loma. Nastojanja su

poduzeta kako bi se teorijska saznanja iskoristila u donošenju smjernica kod dizajniranja

konstrukcija otpornih na pojavu i širenje pukotina te lomove. U novije su vrijeme

istraživanja na području mehanike loma otišla u smjerovima gdje jednoparametarski

koncepti više ne mogu zadovoljavajuće opisati širenje pukotine već se uvode

višeparametarski koncepti.

Lomna žilavost

Veličina pukotine

Naprezanje

b)

Granica tečenja

materijala

Naprezanje

a)


8

2.1. Dosadašnje spoznaje

Prve je korake na području mehanike loma poduzeo Inglis 1913. [1] predočujući

geometrijske diskontinuitete na konstrukcijama kao izvore koncentracije naprezanja koji

su izvorišta pukotina i lomova. Griffith je 1920. [2] koristeći pretpostavku o promjeni

energije pri lomu konstrukcije izrazio ideju o potrebnoj kritičnoj veličini pukotine za

krhki lom. Svoju je ideju potvrdio na krhkom lomu stakla. Westergaard [3] je 1939.

pokazao da se naprezanja pri vrhu pukotine u elastičnim tijelima mijenjaju u funkciji

izraza 1/ r gdje r predstavlja udaljenost od vrha pukotine. Poticaj razvoju mehanike

loma dale su havarije brodova iz Liberty serije četrdesetih godina 20. stoljeća za koje se

ispitivanjem ispostavilo da su uzrokovane širenjem pukotina oplatom, slika 2.2.

Sl. 2.2. Havarija broda iz Liberty serije uzrokovana širenjem pukotine oplatom

Pravim se začetnikom mehanike loma smatra Irwin [4] koji je 1948. izmjenio

Griffithove teorijske postavke kako bi ih učinio iskoristivim za pukotine u metalima.

Zamah razvoju mehanike loma donijele su pedesete godine 20. stoljeća i Irwin koji je

najprije [5] razvio koncept promjene energije deformiranja G (eng. strain energy release

rate) da bi potom [6] uveo faktor intenzivnosti naprezanja K (eng. stress intensity factor)

koji opisuje promjenu naprezanja i pomaka pri vrhu pukotine i koji se može povezati sa

spomenutom promjenom energije deformiranja. Sredinom pedesetih godina 20. stoljeća

priznat je značaj mehanike loma budući da su se njezini principi dokazali na vještačenju


9

mlaznih zrakoplova serije Comet koji su zbog lošeg dizajna doživjeli nekoliko teških

nesreća u zraku. Četvrtasti su prozori predstavljali izvore koncentracije naprezanja iz

kojih su nastajale i širile se pukotine oplatom zrakoplova dovodeći do katastrofalnih

posljedica, slika 2.3. Wells [7] je 1961. razvio tzv. parametar otvaranja vrha pukotine

CTOD (eng. crack tip opening displacement) kao mjeru lomne žilavosti koja se za

linearno elastično ponašanje materijala može povezati s faktorom intenzivnosti

naprezanja, a osim toga primjenjiva je i kod znatnijeg plastičnog ponašanja materijala pri

vrhu pukotine. Paris [8] je u isto vrijeme iskazao vezu između zamornog rasta pukotine i

parametra cikličnog intenziteta naprezanja.

Sl. 2.3. Ilustracija dijelova zrakoplova serije Comet sastavljenih nakon pada s detaljem

četvrtastog prozora koji je predstavljao ishodište nastanka i širenja pukotine

Šezdesetih je godina 20. stoljeća došlo do razvoja nuklearne industrije i porasta

svijesti o nužnoj zaštiti takvih postrojenja od pojave pukotina i lomova. Dotadašnje

postavke mehanike loma nisu mogle zadovoljavajuće opisati ponašanje materijala u

nuklearnim postrojenjima budući da se radilo o elastoplastičnom i plastičnom ponašanju

materijala. Daljnje je korake u razvoju mehanike loma poduzeo Rice [9] koji je 1968.

proširio koncept promjene energije deformiranja na elastično-plastične materijale. Rice je

izveo relaciju kojom je promjena energije deformiranja prikazana kao integral neovisan o

liniji integriranja, tzv. J integral (engl. path-independent contour integral). Rice i

det. A

det. A


10

Rosengren [10] te Hutchinson [11], iste su godine izveli vezu J integrala te naprezanja,

deformacije i pomaka pri vrhu pukotine za nelinearno elastično ponašanje materijala.

Početkom sedamdesetih godina 20. stoljeća Landes i Begley [12, 13] predstavili su

rezultate istraživanja u kojima su koristili J integral kao mjeru početka loma kod

elastično-plastičnog ponašanja materijala. Njihova su istraživanja teorijski potvrđena u

radovima Shiha [14] te Hutchinsona i Parisa [15]. Dowling i Begley [16] su uveli termin

cikličkog J integrala kao mjere zamornog širenja pukotine kod elastično-plastičnog i

plastičnog ponašanja materijala.

Sedamdesetih godina 20. stoljeća istraživanja na području mehanike loma su krenula i

u smjeru širenja pukotine kod puzanja. Landes i Begley [17] te Nikbin et al. [18]

predstavili su uporabu C integrala, sličnog J integralu, za opisivanje širenja pukotine u

uvjetima puzanja. Rad na ovom polju nastavili su eksperimentalnim istraživanjima Taira

[19] i Saxena [20] koji su dokazali prikladnost C integrala za probleme puzanja.

Razvojem računala i primjenom metode konačnih elemenata u analizi naprezanja kod

čvrstih tijela, došlo je i do razvoja numeričkih metoda za rješavanje problema mehanike

loma. Tako su Budiansky i Rice [21] te Carpenter et al. [22] razvili izraze za numeričku

integraciju J integrala po liniji koja okružuje vrh pukotine. Hellen [23] i Parks [24] su

predložili metodu izračuna promjene energije deformiranja G putem virtualnog širenja

pukotine gdje je dovoljno za novi položaj vrha pukotina izračunati posljedične promjene

u matrici krutosti konačnih elemenata. Tu je metodu kasnije usavršio deLorenzi [25, 26]

na način da je računao promjenu energije deformiranja kontinuuma što je učinilo metodu

neovisnom od metode konačnih elemenata.

Shih i Moran [27, 28] sredinom su osamdesetih godina 20. st. iznijeli metodu integrala

energijske domene koja se koristi za numerički izračun J integrala, a prikladna je za

kvazistatičke i dinamičke probleme, kao i za elastično, plastično i viskoelastično

ponašanje materijala. Povezivanje ove metode s metodom konačnih elemenata detaljno je

opisao Dodds [29].


11

Početkom 21. st. razvila se tzv. proširena metoda konačnih elemenata (eng. extended

finite element method, XFEM) koja se problemom određivanja značajki mehanike loma

bavi na način da "obogaćuje" konačne elemente pri vrhu pukotine dodatnim čvorovima iz

kojih su dostupni dodatni rezultati analize naprezanja. Začetnici su Beltyschko i Black

[30] koji su predstavili način modeliranja vrha pukotine uz minimum konačnih

elemenata, ali uz "obogaćene" funkcije koje uzimaju u obzir naprezanja u tom području.

Moës et al [31] su metodi dali ime "proširena metoda konačnih elemenata" svojim

usavršavanjem rada Beltyschka i Blacka kojim su omogućili modeliranje vrha pukotine

neovisno od ostatka mreže konačnih elemenata.

Sukumar et al. [32] su prilagodili XFEM metodu za trodimenzijske probleme širenja

pukotine, dok su se problemom višestrukih pukotina pozabavili Daux et al. [33] te Zi et

al. [34], a zakrivljenim pukotinama Stazi et al. [35]. Liu et al. [36] su predstavili

unaprijeđenu produženu metodu konačnih elemenata s mogućnošću izračuna

koeficijenata intezivnosti naprezanja za kombinirane metode otvaranja pukotine gdje je

primijenjena kaznena funkcija koja osigurava da se aproksimacija pomaka reducira u

polje oko vrha pukotine.

Usporedo s razvojem XFEM metode, pokušalo se s njezinom primjenom na problem

kohezivnih pukotina gdje se u obzir uzima i proces loma duž stranica pukotine, ne samo

pri vrhu. Moës i Belytschko [37] su prvi primijenili XFEM na kohezivne pukotine

simulirajući rast kohezivne zone oko pukotine vrednovanjem faktora intenzivnosti

naprezanja na rubovima te zone. Zi i Belytschko [38] su razvili XFEM metodu

primjenjivu na statički opterećenim kohezivnim pukotinama.

Kako je ovaj rad posvećen istraživanju širenja pukotine kod materijala koji se koriste u

izradi posuda pod tlakom kao i širenju pukotine u samim posudama pod tlakom, ovdje će

navesti nekoliko autora čiji su značajniji radovi imali za temu širenje pukotina i lom

cjevovoda ili posuda pod tlakom. Istraživanja utjecaja pukotina na objekte pod tlakom su

započela već sa samim razvojem mehanike loma, a recentnija uključuju Chaouadijevu

[39] primjenu mikromehaničkih modela na začetak žilavog loma kod materijala koji se


12

koriste u izradi nuklearnih reaktora te Carpinterijevo [40] istraživanje zamornog širenja

cirkularnih pukotina u cjevima i Linovu [41] numeričku analizu zamornog širenja

unutrašnjih pukotina kod posuda pod tlakom. Određivanjem izraza za J integral kod

pojave cirkularnih i aksijalnih pukotina u posudama pod tlakom bavili su se Mohan et al.

[42]. Dekker i Stikvoort [43] su usporedili nekoliko metoda za računanje značajki

mehanike loma na primjeru utjecaja mlaznica zavarenih na posude pod tlakom. Margolin

i Kostylev [44] promatrali su širenje pukotina u čeliku za izradu posuda pod tlakom pod

biaksijalnim opterećenjem. Zarrabi et al. [45] su pratili pritiske pod kojim dolazi do loma

posuda pod tlakom koje sadrže aksijalne pukotine. Kim je sa suradnicima [46-50] 2002.

izdao seriju radova u kojima se bavi širenjem različitih vrsta pukotina u posudama pod

tlakom kod elastično-plastičnog ponašanja materijala.

Principi mehanike loma su vrlo aktualni u svakodnevnoj inženjerskoj primjeni u kojoj

ne manjka slučajeva loma konstrukcija. Razvijeni numerički alati koji za cilj imaju

analizu struktura kojima se širi pukotina korisni su, osim pri dizajniranju novih

konstrukcija, i pri analizi konstrukcija koje su doživjele lomove. Takva se istraživanja

pokazuju bitnim za povećavanje fundusa znanja iz mehanike loma i načinima širenja

pukotina i lomova stvarnih struktura. Recentniji radovi koji se bave istraživanjem uzroka

lomova u stvarnim konstrukcijama potvrđuju da mehanika loma primjenu nalazi u

najrazličitijim inženjerskim granama. Jedan od primjera jest istraživanje loma rotora

kompresora [51]; zatim, analiza uzroka loma obujmica za dizanje specijalnih tereta [52],

konačnoelementna analiza deformacije i prsnuća posude pod tlakom[53], lom osovina

željezničkih vagona [54] te puknuće kuke dizalice [55].


13

2.2. Utjecaj značajki materijala na lom

Opteretimo li "beskonačnu" ploču koja sadrži centralnu pukotinu duljine 2a, slika 2.4,

s naprezanjem koje će je dovesti do loma, dijagram na slici 2.5 može opisati njezino

ponašanje s obzirom na ponašanje materijala izrade.

Sl. 2.4. Beskonačna ploča s centralnom pukotinom duljine 2a izložena vlačnom

naprezanju

Sl. 2.5. Utjecaj lomne žilavosti materijala na vrstu loma


14

Radi li se o materijalu male lomne žilavosti KIc, u ploči će doći do krhkog loma.

Kritično naprezanje linearno se mijenja s promjenom lomne žilavosti, a ovim se

područjem bavi linearno elastična mehanika loma. Kod vrlo visoke razine lomne

žilavosti, značajke tečenja materijala određuju nestabilnost konstrukcije. Između ova dva

područja dolazi do žilavog loma, a tim se područjem bavi elastično-plastična mehanika

loma.

Na mikroskopskoj razini, jedan vid krhkog loma predstavlja širenje pukotine duž

kristalografskih ravnina u materijalu, što je tipično za feritne čelike, slika 2.6. Zajednička

karakteristika svih krhkih lomova je niska lomna žilavost materijala te iznenadni

nestabilni lom. Za opisivanje takvog loma dovoljna je jedna vrijednost lomne žilavosti,

primjerice Kc.

Sl. 2.6. Krhki lom

Žilave lomove karakterizira znatno plastično ponašanje materijala u blizini vrha

pukotine. Na mikroskopskoj razini, dolazi do stvaranja šupljina oko čestica legirnih

elemenata ili uključaka u materijalu koje se zatim spajaju, razvijaju u pukotine i pod

naprezanjem dovode do loma, slika 2.7. Lomu prethodi stabilno širenje pukotine koje se

definira kao stanje tijekom kojeg se lom još može uspješno zaustaviti ne dođe li do

povećanja naprezanja. J integral, tj. kritična vrijednost parametra lomne žilavosti Jc ili

otporne krivulje J-R, najčešće se koristi kao značajka loma kod žilavog loma.

Vrh pukotine

Linija širenja pukotine


15

Sl. 2.7. Žilavi lom

Vrh pukotine

Šupljina oko uključka

16

3.

3.1. Naprezanje pri vrhu pukotine

Definiramo li ishodište polarnog koordinatnog sustava u vrhu pukotine, slika 3.1, tada se

izraz za polje naprezanja u izotropnom linearno elastičnom materijalu, općenito

(pojednostavljeno) može zapisati na način [56]:

Sl. 3.1. Polje naprezanja pri vrhu pukotine

Linearno elastična

mehanika loma


17

( ) ( ) ( )m

m2ij ij m ij

m 0

kf A r g

rσ θ θ

∞

=

= +

∑ , (3.1)

gdje je σij tenzor naprezanja, r i θ su definirani prema slici 3.1, k je konstanta, a fij je

bezdimenzijska funkcija kuta θ. Naprezanje se u blizini vrha pukotine prema ovome

mijenja ovisno o faktoru r/1 , dok konstanta k i funkcija fij ovise o načinu otvaranja

pukotine, slika 3.2 [57].

a) b) c)

Sl. 3.2. Načini otvaranja pukotine. a) odcjepni. b) smični. c) vijčani.

Tri su načina otvaranja pukotine, ovisno o opterećenju. U prvom načinu, tzv.

odcjepnom (engl. Mode I, opening mode), sila djeluje okomito na ravninu pukotine

otvarajući je. U drugom načinu, tzv. smičnom (engl. Mode II, sliding mode), smično se

naprezanje javlja u ravnini pukotine, a u trećem se načinu otvaranja pukotine, tzv.

vijčanom (engl. Mode III, tearing mode) smično naprezanje javlja izvan ravnine

pukotine.


18

3.2. Koeficijent intenzivnosti naprezanja

Konstanta k se može zamijeniti koeficijentom intenzivnosti naprezanja K, π2kK = .

Svaki način otvaranja pukotine ima svoj koeficijent intenzivnosti naprezanja:

IIIIII , , KKK . Tako se polje naprezanja pri vrhu pukotine može pisati kao [57]:

( ) ( )( )θπ

σ I

ijII

ij0 2

lim fr

K

r

=

→, (3.2)

( ) ( )( )θπ

σ II

ijIIII

ij0 2

lim fr

K

r

=

→, (3.3)

( ) ( )( )θπ

σ III

ijIIIIII

ij0 2

lim fr

K

r

=

→, (3.4)

za način otvaranja I, II i III. Nalazi li se pukotina pod utjecajem više od jednog načina

otvaranja, pojedine se vrijednosti mogu zbrojiti:

( ) ( ) ( )I II III

ij ij ij ijσ σ σ σ= + + . (3.5)

Polje naprezanje pri vrhu pukotine za način otvaranja I, kao najvažniji i najčešći način

širenja pukotine, može se zapisati kao [57]:

x

Iy

xy

31

2 2

31

2 2 22

3

2 2

sin sin

cos sin sin

sin cos

K

r

θ θ

σθ θ θ

σπ

τ θ θ

− = +

, (3.6)

dok polje pomaka izgleda:

2

x I

y s 2

1 22 2

2 21 2

2 2

cos sin

sin cos

u K r

u G

θ θκ

π θ θκ

− + = + −

, (3.7)

U izrazu (3.7) Gs je modul smicanja, a faktor κ je za stanje ravninske deformacije jednak:

νκ 43−= , (3.8)


19

a za stanje ravninskog naprezanja:

νν

κ+−

=1

3. (3.9)

Koeficijent intezivnosti naprezanja K potpuno definira stanje pri vrhu pukotine; ako je

poznat K, moguće je odrediti sve vrijednosti naprezanja, deformacije i pomaka kao

funkcije od r i θ.

Izrazi za određivanje koeficijenta intenzivnosti naprezanja K izvedeni su za određeni

broj jednostavnih i široko primjenjivih slučajeva u tzv. zatvorenom obliku. Izrazi su

izvedeni analitički, dok su za kompleksnije slučajeve korištene numeričke i

eksperimentalne metode. Na slici 3.3 su navedena rješenja za vrijednost koeficijenta

intenzivnosti naprezanja u zatvorenom obliku za tri situacije vlačno opterećene ploče s

pukotinom [58].

aK πσ=I

I 1.12K aσ π= I

2K aσ π

π=

Sl. 3.3. Vlačno opterećenje ploče s tri oblika pukotine. a) Beskonačna ploča s

centralnom pukotinom duljine 2a. b) Polubeskonačna ploča s pukotinom na kraju, duljine

a. c) Beskonačna ploča s kružno oblikovanom pukotinom poput novčića "usađenom" u

tijelo.


20

Kada se radi o primjeru centralne pukotine u ploči konačnih dimenzija, tj. tamo gdje

ne postoji značajna razlika u dimenzijama pukotine i širine ploče, slika 3.4, izraz za

koeficijent intenzivnosti naprezanja može se izvesti na način da se pretpostavi niz

kolinearnih pukotina u beskonačnoj ploči, slika 3.5. Tada je:

=W

a

a

WaK

2tan

2I

ππ

πσ . (3.10)

a) b)

Sl. 3.4. Raspodjela koncentracije naprezanja kod: a) beskonačne i b) konačne ploče s

centralnom pukotinom

Sl. 3.5. Niz kolinearnih pukotina u beskonačnoj ploči


21

Izrazi za koeficijent intenzivnosti naprezanja u beskonačnim i konačnim pločama mogu

se općenito povezati relacijom:

aYK πσ=IIIII,I, , (3.11)

gdje je Y bezdimenzijska konstanta koja ovisi o geometriji i načinu otvaranja pukotine.

3.3. Koeficijent intenzivnosti naprezanja kao kriterij loma

Pretpostavi li se da do loma materijala na lokalnoj razini pri vrhu pukotine dolazi kod

određene kombinacije naprezanja i deformacija, znači da do širenja pukotine dolazi kod

određene kritične vrijednosti koeficijenta intenzivnosti naprezanja K. Ta se vrijednost

označava s Kc i mjera je žilavosti loma, odnosno otpora širenju pukotine (eng. fracture

toughness) te je isključivo značajka materijala koja ne ovisi o dimenzijama promatranog

tijela, a određuje se eksperimentalno.

Ipak, valja napomenuti da lomna žilavost može u nekim slučajevima ovisiti i o

geometriji tijela. Budući da pri vrhu pukotine kod njezina širenja postoji mala plastična

zona, epruveta s pomoću koje se mjeri lomna žilavost materijala mora imati debljinu B

razmjerno veću od te plastične zone kako bi se osiguralo stanje ravninske deformacije

(eng. plane strain). Može se stoga smatrati, da u slučaju malene širine epruvete naspram

plastične zone pri vrhu pukotine, tamo vlada ravninsko stanje naprezanja (eng. plane

stress). Uobičajeno se kao mjera lomne žilavosti Kc rabi ona veličina koja odgovara

stanju ravninske deformacije, tj. veličina KIc.


22

Sl. 3.6. Utjecaj debljine epruvete B (B1 < B2) na lomnu žilavost materijala, (KIc, Kc)

U praksi je najvažnija lomna žilavost kod odcjepnog načina otvaranja pukotine budući

da kod većine materijala lom izazivaju povišena normalna, a ne posmična (tangencijalna)

naprezanja. Kod preostala dva načina otvaranja pukotine treba razlikovati njihove

vrijednosti lomne žilavosti:

KIc≠ KIIc ≠ KIIIc. (3.12)

3.4. Promjena energije deformiranja

Irwin je 1956. predložio promjenu energije deformiranja G kao mjeru energije

potrebne za širenje pukotine [5]:

pdE

GdA

= − , (3.13)

gdje je Ep potencijalna energija, a A površina pukotine. Inglis [1] je ranije izveo da je:

2p

dE a

dA E

πσ− = , (3.14)


23

za beskonačnu ploču s centralnom pukotinom, tako da se G može pisati:

E

aG

2πσ= , (3.15)

gdje je E modul elastičnosti materijala. Do širenja pukotine dolazi kada G dosegne

kritičnu vrijednost:

c

AdWG

dA= , (3.16)

gdje je WA rad potreban za stvaranje nove površine.

3.5. Veza koeficijenta intenzivnosti naprezanja i promjene energije

deformiranja

Koeficijent intezivnosti naprezanja K je parametar koji opisuje naprezanja,

deformacije i pomake u blizini vrha pukotine. Za linearno elastične materijale moguće je

povezati koeficijent intezivnosti naprezanja K s promjenom energije deformiranja G koja,

za razliku od K, ima globalni karakter te opisuje promjenu u potencijalnoj energiji koja

prati širenje pukotine. Uzmemo li za primjer beskonačnu ploču s pukotinom, slika 3.3., te

izjednačimo pripadajući izraz za određivanje koeficijenta intenzivnosti naprezanja K u

zatvorenom obliku s izrazom (3.15), dobivamo:

E

KG

2

I= . (3.17)

Izraz (3.17) vrijedi za slučaj ravninskog naprezanja, dok za slučaj ravninske deformacije

E rabi zamijeniti s E/(1 – ν2).


24

3.6. Područje primjene linearno elastične mehanike loma

ASTM standardom dan je zahtjev za dimenzijama epruveta pomoću kojih se ispituje

lomna žilavost KIc [59]:

2

I

0.2

, , ( ) 2,5K

a B W aσ

− ≥

, (3.18)

gdje a označava duljinu pukotine, B je debljina (širina) epruvete, W je visina epruvete,

slika 3.6, a σ0.2 je granica plastičnosti (tečenja) materijala. Uz to, uobičajeno se razlika

između visine epruvete i duljine pukotine (W - a) označava kao b. Uz poštivanje ovih

dimenzijskih uvjeta osigurava se stanje ravninske deformacije kod ispitivanja lomne

žilavosti, tj. da je plastična zona pri vrhu pukotine relativno mala naspram širine

epruvete.

Sl. 3.7. Primjer SENB (eng. single-edge notch bend) epruvete korištene za ispitivanje

lomne žilavosti dimenzionirane prema ASTM E 1820-01

Ukratko, linearno elastična mehanika loma, (eng. linear elastic fracture mechanics,

LEFM) proučava ponašanje materijala uz pretpostavku pucanja, odnosno širenja pukotine

šiljastog vrška pod uvjetima elastičnosti, s mogućim limitiranim iznosom plastičnosti

(plastične zone) oko samog vrška u usporedbi s duljinom pukotine i debljinom elementa.

Ovakvi slučajevi uobičajeno se vezuju uz čelike visoke čvrstoće. Kada nelinearno

ponašanje materijala postane dominantno, linearno elastična mehanika loma s faktorom

intenzivnosti naprezanja postaje nerelevantna. U tom slučaju treba koristiti faktore koji

uzimaju u obzir plastično ponašanje materijala, poput J integrala ili CTOD metode.

25

4.

U slučajevima pukotina u materijalima gdje je područje plastične deformacije (zone)

oko vrha pukotine veliko u usporedbi s duljinom pukotine i dimenzijama ispitivanog

predmeta, principi linearno elastične mehanike loma više ne mogu zadovoljavajuće

opisati širenje pukotine. Zato se kod materijala s nelinearnim ponašanjem pod

naprezanjem koriste principi elastoplastične mehanike loma (engl. elastic-plastic fracture

mechanics, EPFM). Materijale kod kojih je potrebno primijeniti elastoplastičnu mehaniku

loma obično karakterizira visoka lomna žilavost i niska granica tečenja, a koriste se u

konstrukciji posuda pod tlakom, energetskim postrojenjima i kemijskoj industriji. Ovdje

će biti predstavljena dva parametra elastoplastične mehanike loma i to, otvaranje vrha

pukotine (CTOD) i J integral.

4.1. Otvaranje vrha pukotine

Ispitujući vrijednosti lomne žilavosti za različite čelike, Wells je primijetio da su se

kod dijela tih materijala stranice pukotine razmaknule prije samog loma. Uslijed plastične

deformacije došlo je do zatupljivanja vrha pukotine, slika 4.1 [57], koje je bilo veće s

većom žilavošću materijala. Dakle, vrh pukotine sada nije oštar nego "otupljen" (engl.

blunt). Takvo zamjetno plastično ponašanje materijala pri vrhu pukotine nije se moglo

Elastoplastična

mehanika loma


26

opisati principima linearno elastične mehanike loma te je zato Wells predložio parametar

otvaranja vrha pukotine CTOD (eng. crack tip opening displacement) kao mjeru lomne

žilavosti.

Sl. 4.1. Otvaranje vrha pukotine

Sl. 4.2. Pomak uy, i korektivni izraz za postojanje plastičnog područja, ry, kod otvaranja

vrha pukotine, CTOD

Prema izrazu (3.7) pomak uy, slika 4.2, je jednak [57]:

y

y I

s

1

2 2

ru K

G

κπ

+= , (4.1)

dok korektivni izraz za postojanje plastičnog područja pri vrhu pukotine u stanju

ravninskog naprezanja glasi:

2

Iy

0.2

1

2

Kr

π σ

=

, (4.2)


27

što zajedno daje izraz za otvaranje vrha pukotine δ:

Iy

0.2

42

Ku

Eδ

πσ= = . (4.3)

Vrijednost faktora κ, izraz (4.1), definirana je putem izraza (3.8) i (3.9). Iz izraza (4.3)

vidljivo je da se, uz (3.17), otvaranje vrha pukotine lako može dovesti u vezu sa stopom

oslobađanja energije G i koeficijentom intenzivnosti naprezanja K što znači da vrijedi i za

područje linearno elastične mehanike loma:

0.2

4Gδ

πσ= . (4.4)

4.2. J integral

Rice je 1968. objavio rad [9] u kojem predstavlja J integral kao rješenje za opisivanje

loma u nelinearno elastičnim materijalima. Ponašanje materijala u nelinearno elastičnom

području pretpostavio je slično onom u plastičnom području s time da se ne izvodi

njegovo rasterećenje.

Rice je pokazao da je za svako nelinearno elastično, planarno (ravninsko), homogeno i

izotropno tijelo u stanju statičke ravnoteže određeni integral, označen kao J, opisan po

zatvorenoj liniji uvijek jednak nuli [60]. Ako tu zatvorenu liniju predočimo linijom Φ

koja opisuje konture tijela A, u sustavu x = x1, y = x2, slika 4.3, onda je J integral [60]:

1

1

J Wn dsx

Φ Φ

∂= − ∂ ∫

uT� , (4.5)

gdje je ds prirast po konturi Φ, u = u1i + u2j je vektor pomaka, dok je W gustoća

potencijalne energije deformiranja i jednaka je :

ijε

ij ij0

W dσ ε= ∫ , (4.6)

a T je vektor naprezanja definiran prema normali n konture Φ i vektoru pomaka u:

i ij jT nσ= . (4.7)


28

Sl. 4.3. Tijelo A s opisanom konturom integriranja Φ

Uz navedeno, izraz (4.5) se može zapisati kao:

i1 i

1

u

J Wn T dsx

Φ Φ

∂= − ∂ ∫� . (4.8)

Koristeći Greenov teorem, izraz se (4.8) može pisati kao:

iij 1 2

1 j 1

A

uWJ dx dx

x x xσΦ

∂∂ ∂= − ∂ ∂ ∂ ∫ . (4.9)

Zanemarimo li unutrašnje sile u tijelu i pretpostavimo li male deformacije, za stanje

ravnoteže vrijedi:

ij

j

0x

σ∂=

∂, (4.10)

a budući da veza pomaka i deformacija glasi:

jiij ji

j i

1

2

uu

x xε ε

∂∂= = + ∂ ∂

, (4.11)

slijedi:

ij ij ji i

ij ij ij

1 ij 1 1 1 j i j 1

1

2

uu uW W

x x x x x x x x

ε εσ σ σ

ε

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂= = = + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

, (4.12)


29

te se uvrštavajući (4.10) u (4.12) može pisati:

iij

1 j i

uW

x x xσ ∂∂ ∂

= ∂ ∂ ∂ , (4.13)

a uvrštavajući (4.13) u (4.10) dobivamo:

0=ΦJ . (4.14)

Rice je J integral za tijelo s pukotinom definirao kao:

i1 i

1

u

J Wn T dsxΓ

∂= − ∂ ∫ , (4.15)

pri čemu je Γ linija opisana oko pukotine u smjeru suprotnom kazaljci na satu od donje

prema gornjoj stranici.

Sl. 4.4. Linija integriranja Γ oko vrha pukotine

U koordinatnom sustavu x1 = x, x2 = y, izraz (4.15) može se pisati kao [60]:

ii

uJ Wdy T ds

xΓ

∂= −

∂∫ . (4.16)


30

4.2.1. Neovisnost J integrala o liniji integriranja

Vrijednost J integrala uvijek je jednaka neovisno o liniji integriranja oko pukotine.

Ova činjenica je bitna prvenstveno kod numeričkog određivanja J integrala budući da su

numerička rješenja često netočna pri samom vrhu pukotine. Točnost im se povećava s

udaljenošću od vrha pukotine što znači da se J integral temeljen na vrijednostima

naprezanja i pomaka može računati u točkama udaljenim od pukotine.

Sl. 4.5. Zatvorena linija integriranja Γ oko pukotine

Slika 4.5 prikazuje zatvorenu liniju integriranja Γ koja počinje u točki na donjoj stranici

pukotine, opisuje pukotinu u smjeru suprotnom kazaljci na satu, dodiruje gornju stranicu

pukotine te se vraća u ishodišnu točku na donjoj stranici pukotine. Linija Γ se može

podijeliti na četiri segmenta Γ1, Γ2, Γ3 i Γ4. Segmenti Γ2 i Γ3 su paralelni stranicama

pukotine. Budući da je J integral po zatvorenoj liniji integriranja jednak nuli, pišemo:

04321=+++ ΓΓΓΓ JJJJ . (4.17)

Kako su dy i Ti po segmentima Γ2 i Γ4 jednaki nuli, ostaje da je:

31 ΓΓ −= JJ , (4.18)

što znači da je vrijednost J integrala izračunata po bilo kojoj liniji koja počinje na donjoj

stranici pukotine i u smjeru suprotnom kazaljci na satu završava na gornjoj stranici

pukotine jednaka.


31

4.2.2. Veza J integrala i polja naprezanja pri vrhu pukotine

Za nelinearno elastične materijale postoji veza između veličine J integrala i polja

naprezanja i deformacija pri vrhu pukotine. Vezu su dokazali Rice i Rosengarten [10] te

Hutchinson [11] po kojima se ova polja naprezanja i nazivaju HRR polja naprezanja.

Sl. 4.6. Kružna linija integriranja Γ, polumjera r, s centrom u vrhu pukotine

Neka je, prema slici 4.6, J integral opisan po liniji Γ koja je dobivena tako što je opisana

kružnica polumjera r iz vrha pukotine. Tada je:

sin , cos , y r dy r d ds rdθ θ θ θ= = = . (4.19)

J integral se može zapisati kao:

( ) ii

1

, cosu

J r W r T dx

π

π

θ θ θ−

∂ = − ∂∫ . (4.20)

Svi dijelovi integranda su proporcionalni umnošku naprezanja i deformacija:

( )ij ij ij ,J

g mr

σ ε θ ∝

, (4.21)

gdje su fij i gij funkcije kuta θ koje odgovaraju različitim komponentama naprezanja i

deformacija.

U Ramberg-Osgoodovom izrazu koji opisuje vezu naprezanja i deformacija [60]:

m

0

0

σ σε αε

ε σ

= +

, (4.22)


32

α i m su konstante materijala, ε0 i σ0 su vrijednosti deformacije i naprezanja na granici

plastičnosti materijala. Za polje naprezanja pri vrhu pukotine kod računanja J integrala

bitan je samo drugi dio jednažbe (4.22) koji se odnosi na plastičnu deformaciju:

m

0

0

σε αε

σ

=

, (4.23)

koji kada se uvrsti u (4.21) daje izraze za naprezanje i deformaciju pri vrhu pukotine [60]:

( )1

1 m

ij 0 ij

0 0 m

ˆ ,J

mI r

σ σ σ θασ ε

+ =

, (4.24)

( )1

1+m

ij 0 ij

0 0 m

ˆ ,J

mI r

ε αε ε θασ ε

=

. (4.25)

Faktor Im se može odrediti prema sljedećim izrazima:

- za stanje ravninske deformacije [60]:

2 3

m 6 568 0 4744 0 0404 0 001262. . . .I m m m= − + − , (4.26)

- za stanje ravninskog naprezanja [60]:

2 4 3

m 4 546 0 2827 0 175 0 45816 10. . . .I m m m−= − + − ⋅ . (4.27)

Funkcije kuta ijσ̂ i ijε̂ dostupne su u literaturi za različite vrijednosti m i θ. Uvrsti li se u

(4.24) i (4.25) m = 1 i J = K2/E dobivaju se izrazi za linearno elastično ponašanje

materijala.

4.2.3. Veza J integrala i CTOD

Shih [61] je definirao parametar otvaranja pukotine CTOD kao otvaranje na sjecištu

vrha pukotine te dviju linija koje se nalaze pod kutem od 45° u odnosu na simetralu

pukotine, slika 4.7.


33

Sl. 4.7. Otvaranje vrha pukotine, CTOD

Prema tome, komponenta pomaka uy izvedena iz (4.25) je [60]:

( )m

11+m1+m

y 0

0 0 m

ˆJ

u r uI

αε πασ ε

=

. (4.28)

Za određeni r=r* i θ=π, slika 4.7, CTOD se može zapisati kao [57]:

( ) ( )* * *

y x, ,2

u r r u rδ

π π= = − , (4.29)

što kad se uvrsti u (4.28) daje:

( ) ( ) ( ){ }m+11

* mm0 x y

0 m

ˆ ˆ, ,J

r u m u mI

αε π πσ

= + . (4.30)

Ako je δ = 2uy( r*, π):

m

0

d Jδ

σ= , (4.31)

što daje vezu između J integrala i CTOD uz uporabu konstante dm koja ovisi o značajki

materijala m [57]:

( ) ( ) ( ){ }1

mm y 0 x

m

1ˆ ˆ ˆ2 , , , yd u m u m u m

Iπ αε π π = ⋅ + . (4.32)


34

4.2.4. J integral kao parametar loma

Begley i Landes [12] prvi su istražili valjanost J integrala kao parametra loma te

doveli u vezu promjenu vrijednosti J integrala i povećanja pukotine ∆a putem tzv. J-R

krivulje, slika 4.8. Istražili su i ponašanje pukotine u različitim fazama žilavog loma,

slika 4.8 [60].

Sl. 4.8. Ponašanje vrha pukotine tijekom žilavog loma

Begley i Landes su predložili uporabu J integrala kao parametra loma kako bi označili

početak žilavog loma, točka 3 na J-R krivulji, slika 4.8. Ta je vrijednost J integrala

označena kao JIc, tj. kritična vrijednost J integrala pri odcjepnom načinu širenja pukotine

kod žilavog loma. JIc se definira kao presjecište linije koja odgovara fazi zatupljivanja

vrha pukotine, a aproksimira se pravcem J = 2σ0∆a i J-R krivuljom.

Kako bi J bio valjani parametar loma, potrebno je osigurati minimalni utjecaj

geometrijskih značajki epruveta pomoću kojih se mjeri JIc na stanje naprezanja pri vrhu

pukotine. Zato se postavlja uvjet [59]:

( )

≥−σJ

cBaWa ,, , (4.33)


35

da duljina pukotine a, razlika širine epruvete i duljine pukotine (W - a) te debljina B

epruvete moraju biti nekoliko puta veći od jedinične vrijednosti otvaranja pukotine δ =

J/σ.

J integral se može koristiti, kako je opisano, za karakteriziranje pukotina u nelinearno

elastičnom, ali i linearno elastičnom području. J integral se može dovesti u vezu sa

stanjem naprezanja pri vrhu pukotine, koeficijentom intenzivnosti naprezanja K i

otvaranjem pukotine CTOD. Sve ga ovo čini široko korištenim parametrom u mehanici

loma kojemu jedina ograničenja predstavljaju primjenjivost za monotono opterećenje u

elastoplastičnom području te pretpostavka o zanemarivim deformacijama pomoću koje je

izvedena neovisnost J integrala o liniji integriranja, veza s poljem naprezanja pri vrhu

pukotine i s otvaranjem pukotine.

36

5.

5.1. Analitički određeni J integral

Ukoliko su poznata naprezanja i pomaci po liniji integriranja oko pukotine, J integral

se analitički može odrediti prema izrazu prikazanom u poglavlju 4:

ii

uJ Wdy T ds

xΓ

∂= −

∂∫ . (5.1)

Izraz (5.1) često se koristi u slučajevima kada su naprezanja i pomaci oko pukotine

dobiveni numeričkim putem, najčešće metodom konačnih elemenata.

5.2. Eksperimentalno-analitički određeni J integral

Kod izvođenja eksperimenata koji za cilj imaju određivanje vrijednosti J integrala

bilježe se opterećenja i pomaci kod epruveta. Koristeći vezu potencijalne energije i J

integrala, određuje se sama vrijednost J integrala.

Pri čisto eksperimentalnom određivanju vrijednosti J integrala potrebno je izvesti

pokuse na više epruveta (pet do deset) [59], a dobiveni rezultati ovise o materijalu i

geometriji epruvete. To čini "čisto" eksperimentalno određivanje zahtjevnim te se zbog

Određivanje

J integrala


37

toga radije koriste eksperimentalno-analitičke metode za određivanje vrijednosti J

integrala kod kojih je dovoljno izvesti pokus nad jednom epruvetom i zabilježiti

vrijednosti opterećenja i pomaka.

Ako je izraz za potencijalnu energiju [60]:

( )T

p i iA S,E W x y dA Tu ds= −∫ ∫ , (5.2)

pod uvjetom konstantnog pomaka v zadanog u eksperimentalnom ispitivanju epruvete

može se pisati samo kao:

( )p A,E W x y dA= ∫ . (5.3)

Tx2

x1

ST

Su

ds

Sl. 5.1. Tijelo površine A obrubljeno linijom Γ. ST je dio linije na kojem su definirana

naprezanja, a dio Su na kojem su definirani pomaci.

U izrazu (5.2) je A površina tijela, Ti su naprezanja, ui deformacije na liniji Γ koja

obrubljuje tijelo, a ST je dio linije Γ na kojem su definirana naprezanja, slika 5.1. Iz izraza

(5.3) može se zaključiti da je potencijalna energija Ep jednaka energiji deformiranja tijela

određenoj površinom ispod krivulje opterećenja i pomaka, slika 5.2a. Razlika

potencijalne energije, -∆Ep, između dviju epruveta različitih veličina pukotine, a i a+∆a,

je jednaka površini između njima odgovarajućih krivulja opterećenja i pomaka, slika

5.2a.


38

a) b)

Sl. 5.2. Dijagram opterećenje-pomak za dvije epruvete veličina pukotine a i a+∆a, pri:

a) konstantnom pomaku. b) konstantnom opterećenju.

-∆Ep se može onda zapisati kao:

p 0

FE ad

a

∂ −∆ = ∆ ∂ ∫v

v

v , (5.4)

pa je za epruvetu debljine B:

0

1U FJ d

a B a

∆ ∂ = − = − ∆ ∂ ∫v

v v

v . (5.5)

U slučaju kada se eksperiment izvodi pod uvjetom konstantnog opterećenja F,

potencijalna energija je:

( )p ,A

E W x y dA F= −∫ v . (5.6)

Prema slici 5.2b razlika potencijalne energije, - ∆Ep, je sada jednaka:

F

p 0F

E dFa

∂ −∆ = ∂ ∫v

, (5.7)

pa je za epruvetu debljine B:

F

0F F

1UJ dF

a B a

∆ ∂ = − = − ∆ ∂ ∫v

. (5.8)


39

Iz izloženog se može primijetiti da se J integral općenitije rješenje promjene energije

deformiranja, poglavlje 3.4, pri čemu se G u izrazu (3.13) zamjenjuje s J [57]:

pdEJ

dA= − , (5.9)

Kako se promjena energije deformiranja G može dovesti u vezu koeficijentom

intezivnosti naprezanja KI, a imajući na umu izraz (5.9), može se pisati:

2IK

JE

= . (5.10)

Tim je doveden u vezu J integral s koeficijentom intezivnosti naprezanja, a izraz (5.10)

vrijedi za linearno elastično ponašanje materijala u slučaju ravninskog naprezanja, dok za

slučaj ravninske deformacije E valja zamijeniti s E/(1 – ν2).

Eksperimentalna se ispitivanja najčešće izvode na jednoj od pet vrsta epruveta

standardiziranih od strane ASTM-a [59]: kompaktna epruveta (eng. Compact type

specimen; CT), epruveta s zarezom na jednoj strani (eng. single-edge notched bend

specimen; SENB), vlačna epruveta (eng. middle tension specimen; MT), kompaktna

epruveta oblika diska (eng. disc shaped compact specimen;) i lučna epruveta (eng. arc-

shaped specimen;), slika 5.3.

a) b)


40

c)

d) e)

Sl. 5.3. Epruvete standardizirane prema ASTM-u za ispitivanje parametara mehanike

loma. a) CT. b) disk. c) SENB. d) lučna. e) MT.

Svaka je epruveta određena trima karakteristikama: duljinom pukotine a,

debljinom/širinom epruvete B i visinom W. Većina se eksperimenata izvodi na CT ili

SENB epruvetama. CT epruvete su pogodne za ispitivanje ploča ili kovanih izradaka,

dok se SENB epruvete koriste kod ispitivanja zavara.

5.2.1. Eksperimentalno određivanje J integrala za SENB epruvetu

Rice je prvi postavio relaciju za određivanje J integrala kod SENB epruvete, jedne od

najčešće korištenih epruveta za određivanje parametara mehanike loma. Ako je M

moment (po jedinici debljine/širine epruvete) kojim je opterećena epruveta, kut relativne

rotacije njena kraja (spram središta pukotine) uslijed postojanja pukotine jednak je [60]:


41

p 2

Mf

Bbθ =

. (5.11)

a svakom kraju epruvete pripada vrijednost θ/2. Može se zapisati da je ukupan kut

rotacije θ, slika 5.4, jednak zbroju kuta rotacije bez pukotine θ0 i kut rotacije uslijed

postojanja pukotine θp [60]:

p0 θθθ += . (5.12)

Sl. 5.4. Deformirana SENB epruveta opterećena momentom M

Obično vrijedi θ = θp budući da je θ0 vrlo malen. Kako se θ0 ne mijenja s veličinom

pukotine a:

p

a a

θθ ∂∂=

∂ ∂, (5.13)

pa je dalje:

M p

0M

1J dM

B a

θ∂ = ∂ ∫ , (5.14)

p

M MMa a b

θθ θ∂ ∂ ∂ = = − ∂ ∂ ∂ , (5.15)

dMBb

Mf

Bb

M

BJ

−−= ∫ 2

M

0 3'

21, (5.16)

=

2

'

Bb

Md

dff , (5.17)

22p '

Bb

dM

Bb

Mfd

=θ , (5.18)


42

∫ ∫=−=p pθ

0

θ

0 pp

221θθ Md

Bbd

b

M

BJ . (5.19)

U izrazu (5.17) ∫pθ

0 pθMd predstavlja površinu A ispod krivulje M-θ, slika 5.5.

Sl. 5.5. Površina A ispod krivulje moment – kut rotacije

Kada je epruveta opterećena savijanjem u tri točke (eng. three-point bending) što je i

najčešći način opterećenja kod ovakvih epruveta, označimo li s F silu koja djeluje na

epruvetu, a sa v pomak, vrijedi:

p, 2 2

FlM l

θ= ≈v , (5.20)

pri čemu je l ukupna duljina epruvete. Dalje je:

p

2d d

lθ =

v , (5.21)

θ

0 0Md Fdθ =∫ ∫

v

v . (5.22)

0

2J Fd

Bb= ∫

v

v . (5.23)

M

θ


43

5.2.2. Eksperimentalno određivanje J integrala za CT epruvetu

Ernst [62] je postavio izraz za određivanje vrijednosti J integrala kod plastične

deformacije CT (eng. compact type) epruvete kao:

p 2 0.522A b

JBb W

= +

, (5.24)

gdje A predstavlja površinu ispod krivulje u dijagramu opterećenje-pomak. Ukupna je

vrijednost J integrala jednaka:

pJ G J= + , (5.25)

gdje je G promjena energije deformiranja (3.13).

5.2.3. J integral za rastuće pukotine

Dosad navedeni izrazi za J integral prikazani su za konstatnu duljinu pukotine gdje je

nelinearnost u ponašanju uzrokovana samo plastičnom deformacijom. Uzmemo li u obzir

i rast pukotine, mogu se zapisati pripadajući izrazi J integrala.

Sl. 5.6. M - θpl krivulje za pukotine duljine a0, a1 i a2, te za pukotinu koja je narasla od a0

do a2


44

Slika 5.6 prikazuje dijagrame ovisnosti momenta M i kut rotacije uzrokovan plastičnim

ponašanjem θp za SENB epruvete s različitim konstantnim vrijednostima duljine pukotine

a0, a1 i a2. Tom je dijagramu dodana krivulja ovisnosti momenta M i kuta rotacije θp za

primjer SENB epruvete kod koje je pri opterećenju pukotina narasla od početne duljine a0

(točka O) do vrijednosti a2 (točka C). Izraz (5.11) se može zapisati i kao [60]:

( )p2 θfBbM = , (5.26)

pa je J integral jednak:

( ) ( ) pp

θ

0pp

θ

0

2p

pp

222

θθθθ dfbdfBbBb

J ∫∫ == . (5.27)

Za rastuću pukotinu:

( ) ( )∫+=pθ

0 ppppp 22 θθθθ dfdbdbfdJ

( ) ( )∫−=pθ

0 pppp 22 θθθθ dfdadbf , (5.28)

što daje:

( ) dab

JdfbJ ∫∫ −=

a

a

ppp

θ

0p0

p

2 θθ . (5.29)

Prema izrazu (5.26) vrijednost Jp za točku A na slici 5.4 je:

dab

JJJ ∫−=

1

0

'

'

a

a

pO

pOpA , (5.30)

p

θ

θpOpO

'pO

pO'

2θdM

BbJJ ∫−= . (5.31)

Ako pretpostavimo infinitezimalnu razliku između točaka O i A, tada je:

( )01pOOO

pOpA

''2aa

b

J

Bb

AJJ −−+= (5.32)

'OO 1 0 OA 1 0pA pO pO

0 0

2 21 1

A a a A a aJ J J

Bb b Bb b

− − = + − ≈ + − , (5.33)

gdje je površina ispod krivulje OO', 'OOA aproksimirana površinom ispod krivulje OA,

OAA , kada je razlika (a1 – a0) malena. Za bilo koju točku na krivulji rasta pukotine tada se

može općenito pisati:


45

−−

+= ++

+

i

i1i

i

1ii,pp 1

2i1i b

aa

Bb

AJJ . (5.34)

Istim se postupkom može doći do izraza za J integral rastuće pukotine kod CT epruvete:

−−

+= ++

+

i

i1i

i

A

pp 11ii,

i1i b

aa

BbJJ iγ

η, (5.35)

pri čemu je 1ii, +A površina u dijagramu pomak-opterećenje ispod krivulje koja spaja dvije

susjedne duljine pukotine. Vrijednost γ se određuje prema [60]:

W

b76.01+=γ , (5.36)

a η prema:

21

12

αα

η++

= , (5.37)

pri čemu su vrijednosti α dobivene eksperimentalnim putem za različite a/W dostupne u

tablicama [60].

5.3. Numerički određeni J integral

Kod određivanja J integrala putem numerički izvedenih izraza nije potrebno poznavati

eksperimentalno dobivene vrijednosti pomaka. Pomaci se određuju putem deformacijskih

značajki materijala kao što su α, σ0, ε0 i m, a koje su dostupne u tablicama. Pri linearno

elastičnim uvjetima, J integral se u vezu sa zadanom silom na tijelo može dovesti preko

izraza [60]:

2

e1e

0 0 0

J F af

a F Wσ ε =

, (5.38)

gdje je granična vrijednost sile F0 = σ0αb, σ0 je naprezanje na granici tečenja materijala, a

f1e funkcija duljine pukotine a i visine epruvete W.


46

Za plastično ponašanje materijala prema Ramberg-Osgoodovoj jednadžbi Iljušin [63]

je izveo da se vrijednosti naprezanja, deformacija i pomaka za zadano opterećenje σ

mogu izraziti kao:

( )mrf ,1p

m

00

ij

=

σσ

σσ

, (5.39)

( )mrf ,2p

m

00

ij

=

σσ

αεε

, (5.40)

( )mrfl

u,3p

m

00

i

=

σσ

αε

, (5.41)

pri čemu je l parametar duljine, a f1p, f2p i f3p bezdimenzijske funkcije vektora položaja r.

Pri tome se izraz za J integral može pisati kao:

=

+

mW

af

F

F

a

J,1

1m

000

p

εασ. (5.42)

5.3.1. Rješenje J integrala za elastoplastično područje

Širenje se pukotina u inženjerskoj praksi većinom odvija u elastoplastičnim uvjetima.

Shih i Hutchinson [61] su za te slučajeve izveli izraz za određivanje J integrala:

( ) ( )maJaJJ ,pee += , (5.43)

pri čemu je:

yraa e φ+= , (5.44)

2

0y 1

11

+−

=σβπK

m

mr , (5.45)

2

0

1

1

+

=

F

Fφ , (5.46)

a β = 2 za stanje ravninskog naprezanja, tj. β =6 za ravninsku deformaciju.


47

5.3.2. Rješenje J integrala za plastično područje

Kumar, German i Shih [64] su izveli izraze za određivanje J integrala kod plastičnog

ponašanja materijala za SENB i CT epruvete. Za CT epruvete tako vrijedi:

( )1m

01100p ,

+

−=F

Fm

W

afhaWJ εασ , (5.47)

gdje je h1 funkcija geometrije dobivena iz konačnoelementne analize, a F0 se određuje

prema sljedećim izrazima:

- za stanje ravninske deformacije:

( ) 010 455.1 ση aWF −= , (5.48)

- za stanje ravninskog naprezanja:

( ) 010 071.1 ση aWF −= . (5.49)

Faktor η1 je jednak:

+

−

−

−

+

−

= 122

22

2

1aW

a

aW

a

aW

aη , (5.50)

Izraz (5.47) vrijedi i za SENB epruvetu s razlikom kod određivanja F0, gdje je :

- za stanje ravninske deformacije:

( )

l

aWF 0

2

0

455.1 σ−= , (5.51)

- za stanje ravninskog naprezanja:

( )

l

aWF 0

2

0

071.1 σ−= . (5.52)

gdje je l ukupna duljina SENB epruvete.

Kod cilindra pod tlakom s unutarnjom aksijalnom pukotinom, slika 5.7, J integral se

određuje prema [60]:

1m

0u100p ,,1

+

−=p

p

R

Wm

W

aah

W

aJ εασ , (5.53)


48

pri čemu se tlak p0 određuje prema:

( ) 0

0u

2

3

W ap

R a

σ−=

+. (5.54)

Sl. 5.7. Cilindar pod tlakom p, unutarnjeg polumjera Ru, debljine stijenke t = W i duljine

pukotine a . Pukotina je koaksijalna uzdužnoj osi cilindra.

49

6.

J integral se, kako je rečeno u prijašnjim poglavljima, koristi da bi se opisalo stabilno

širenje pukotine te početnu točku nestabilnosti kod elastoplastičnog ponašanja materijala.

Naime, testom lomne žilavosti mjeri se otpor materijala produljenju pukotine. Slika 6.1

prikazuje jedan tipičan odnos između vrijednosti J integrala za pukotinu koja se

širi/produljuje, a takve se krivulje nazivaju J-R krivuljama (eng. J resistance curve), tj.

krivuljama otpornosti lomu.

Sl. 6.1. Primjer J-R krivulje

J-R krivulje i parametar

lomne žilavosti

J [N

/m]

∆a [mm]


50

Ovakve se krivulje razvijaju za stanje ravninske deformacije što podrazumijeva uporabu

testnih epruveta dovoljne debljine (B) kako bi se takvo stanje osiguralo. J-R krivulje

predočuju žilavost materijala i otpornost na lom. Iz takvih se krivulja može izlučiti

kritična vrijednost parametra lomne žilavosti, JIc, kao praktična mjera lomne žilavosti

pojedinog materijala koja opisuje početak stabilnog širenja pukotine i nije ovisna o

promjeni geometrije.

6.1. Eksperimentalne metode za određivanje stabilnog širenja

pukotine i loma

Standardom ASTM E 1820-1 [59] definiran je postupak za određivanje J-R krivulja i

JIc vrijednosti pri eksperimentalnom ispitivanju SENB, CT i kompaktna epruveta oblika

diska, slika 5.2. Epruvete prije ispitivanja moraju biti zamorno "načete", tj. ponavljajućim

im se opterećenjem zadaje početna pukotina pri vrhu strojno obrađenog zareza što sve

skupa predstavlja početnu duljinu pukotine a0. Veličina zamorom načete početne

pukotine ne smije biti manja od 5% ukupne duljine pukotine niti manja od 1.3 mm. Po

zamornoj pukotini epruveti se dodaju i bočni utori koji imaju zadaću osigurati ravno

širenje pukotine tijekom ispitivanja, a debljina epruvete mjerena između takvih utora se

označava s BN.

Konačna se duljina pukotine pri kraju ciklusa stabilnog širenja, a prije konačnog loma

pukotine može očitati na više načina. Jedan od njih je oksidiranje epruvete plamenom pri

kraju stabilnog širenja pukotine što daje razliku na površini pukotine prije i poslije

konačnog loma. Čelične se epruvete mogu pri kraju stabilnog širenja pukotine ohladiti

tekućim dušikom te potom slomiti. Tako dobivena lomna površina svojom se

granulacijom razlikuje od one koja je nastala stabilnim širenjem pukotine.

Pri određivanju međuveličina pukotine, između početne i konačne, također se koristi

nekoliko metoda. Jedna od njih je već spomenuta oksidacija plamenom za što je potrebno

više epruveta kada će svaka biti opterećena samo do određene vrijednosti stabilnog


51

širenja pukotine. Druga, gdje je dovoljno koristiti samo jednu epruvetu, je metoda

rasterećenja. Pri tome se epruveta periodički i parcijalno rasterećuje te se bilježi linija

opterećenje-pomak pri rasterećenju. Kako je rasterećenje elastično, dobiva se vrijednost

popuštanja, Ci, te se može utvrditi duljina pukotine. Na taj se način može odrediti cijela

krivulja otpornosti lomu [60].

Sl. 6.2. Primjer dijagrama opterećenje-pomak uz pet provedenih rasterećenja epruvete

Slika 6.2 prikazuje jedan primjer dijagrama opterećenje-pomak pri pet provedenih

rasterećenja epruvete. Vrijednosti rasterećenja mogu se odrediti prema [60]:

−

+

−

−

+

−+

=

5

i

4

i

3

i

2

ii

2

e'i

9314.9609.209925.0

065.2021.12163.21

W

a

W

a

W

a

W

a

W

a

aW

aW

BEC

(6.1)

pri čemu je:

2'

1 ν−=

EE , (6.2)

2

Ne

−−=

B

BBBB . (6.3)


52

Veza s duljinom pukotine pri pojedinom stupnju rasterećenja, odnosno širenja je zadana

kao:

[ ]5432i 677.650335.464043.106242.1106319.4000196.1 µµµµµ −+−+−=W

a (6.4)

a µ je:

1

1

i'

e +=

CEBµ . (6.5)

Opterećenje se pri ispitivanju epruveta unosi tako da se maksimalna vrijednost

dosegne nakon najviše 10 minuta. Rasterećenje ne smije biti veće od polovice trenutnog

opterećenja. Uvođenje opterećenja se nastavlja sve do loma epruvete ili do trenutka u

kojem se prikupilo dovoljno podataka za konstrukciju J-R krivulje. Ukoliko epruveta nije

slomljena po završetku ispitivanja, ona se prisilno lomi zamornim opterećenjem ili uz već

spomenuto ohlađivanje tekućim dušikom. Konačna veličina pukotine kao i veličina po

zamornom "načinjanju" pukotine mjeri se u devet točaka po širini pukotine, slika 6.3. Pri

tome se veličina pukotine u devet točaka po zamornom načinjanju označava kao aoi, i = 1,

2, ..., 9, a konačna veličina pukotine kao afi, i = 1, 2, ..., 9. Veličina zamorno načete

pukotine je tada jednaka:

( )[ ]08030209010 ...5125 aaaaaa +++++= , (6.6)

a veličina konačne pukotine:

( )[ ]f8f3f2f9f1f ...5125 aaaaaa +++++= , (6.7)

Sl. 6.3. Presjek epruvete nakon provedenog eksperimenta s označenih devet točaka

pomoću kojih se obavlja mjerenje prosječne veličine pukotine [60]


53

Sl. 6.4. Dijagram opterećenje-pomak dobiven tijekom ispitivanja lomne žilavosti kod: a)

nestabilnog loma kojem nije prethodilo značajnije stabilno širenje pukotine. b)

nestabilnog loma s prethodnim stabilnim širenjem pukotine. c) stabilnog širenja pukotine

bez loma.

Pri ispitivanju epruveta na lomnu žilavost može doći do tri vrste odziva, slika 6.4. Prvi

dijagram na slici 6.4 opisuje nestabilan lom kojem nije prethodilo značajnije stabilno

širenje pukotine. Drugi opisuje nestabilan lom s prethodnim stabilnim širenjem pukotine,

dok treći opisuje stabilno širenje pukotine bez loma. Podaci nužni za konstruiranje J-R

krivulje se mogu dobiti iz drugog i trećeg dijagrama gdje je zamjetno stabilno širenje

pukotine, dok se iz prvog i drugog dijagrama može dobiti privremena vrijednost

parametra lomne žilavosti JQ koja se kasnije može, uza zadovoljavanje određenih uvjeta,

okarakterizirati kao pravi parametar lomne žilavosti ispitivanog materijala, Jc.


54

6.1.1. Konstrukcija J-R krivulje

J-R krivulja predstavlja odnos između vrijednosti J integrala za pukotinu koja se širi,

∆a. Najveća vrijednost J integrala za pojedinu je epruvetu određena manjom vrijednošću

od dva navedena izraza:

20Y

max

σbJ = , (6.8)

20Y

max

σBJ = , (6.9)

gdje je σY srednja vrijednost između naprezanja na granici plastičnosti materijala i vlačne

čvrstoće materijala.

Najveća vrijednost produljenja pukotine za pojedinu epruvetu je zadana s:

( )0max 25.0 aWa −=∆ . (6.10)

Vrijednosti Jmax i ∆amax određuju područje valjanih rezultata dijagrama J-R, slika 6.5. Sve

točke J-R krivulje izvan područja određenog s Jmax i ∆amax se ne uzimaju u daljnje

razmatranje. Vrijednosti J integrala za pojedino produljenje pukotine računaju se prema

izrazu (5.35):

−−

+= ++

+

i

i1ii

ipp 11ii,

i1i b

aa

BbJJ

A γη

. (6.11)


55

Sl. 6.5. Konstruiranje J-R krivulje

Kako bi se iz J-R krivulje odredila vrijednost parametra lomne žilavosti, JIc, potrebno je

skup podataka (Ji, ∆ai) opisati jednadžbom:

( )aCCJ ∆+= lnlnln 21 (6.12)

koja će dati traženu krivulju. Samo određeni segment J-R krivulje je pogodan za daljnji

postupak, a on se određuje konstruiranjem isključnih linija. Prvi je korak postavljanje

konstrukcijske linije određene jednažbom:

aJ ∆= Y2σ . (6.13)

Paralelno s njom povlače se linije koje prolaze kroz ∆a = 0.15, 0.2, 0.5 i 1.5 mm. Vrijede

samo podaci koji su omeđeni isključnim linijama što prolaze kroz ∆a = 0.15 i 1.5 mm te

ispod granične vrijednosti Jlim:

( )

15Y0

lim

σaWJ

−= . (6.14)

Najmanje jedan podatak mora ležati na J-R krivulji između isključnih linija koje prolaze

kroz ∆a = 0.15 i 0.5 mm te ∆a = 0.5 i 1.5 mm kako bi se osigurao ravnomjeran raspored

podataka.

J [N

/m]

∆a [mm]


56

Presjecištem J-R krivulje i linije paralelne konstrukcijskoj povučenoj kroz ∆a = 0.2

mm određena je vrijednost JQ, koja se može smatrati vrijednošću parametra lomne

žilavosti, JIc, za ispitivani materijal ako je zadovoljen uvjet:

( )Y

Q0 25,

σJ

aWB ≥− . (6.15)

6.1.2. Određivanje parametra lomne žilavosti kod nestabilnog širenja pukotine

Kao što je rečeno, dijagram a) i b) na slici 6.4 mogu dati vrijednost privremenog

parametra lomne žilavosti JQ koja se kasnije može, uz zadovoljavanje određenih uvjeta,

okarakterizirati kao pravi parametar lomne žilavosti, Jc. Za CT epruvete JQ je:

( ) p

22

Q 1 JE

KJ +−= ν , (6.16)

gdje se Jp određuje prema izrazu (5.21):

+=W

b

Bb

AJ 522.02p

p , (6.17)

a površina Ap jest površina ispod krivulje opterećenje-pomak za plastičnu deformaciju,

slika 6.6.

Sl. 6.6. Određivanje površine Ap iz dijagrama opterećenje-pomak


57

Širenje pukotine, ∆ap, se smatra zanemarivim ako vrijedi:

Y

Qp 2

mm 2.0σJ

a +≤∆ . (6.18)

Ako JQ zadovoljava uvjet (6.9), uz:

( )Y

Q0 200,

σJ

aWB ≤− . (6.19)

onda je JQ = Jc, tj. privremeni parametar lomne žilavosti odgovara pravoj vrijednosti

parametra lomne žilavosti kod nestabilnog širenja pukotine te je neovisna o geometriji

epruvete i svim dimenzijama, osim debljine.

Ukoliko uvjet (6.18) nije zadovoljen, JQ = Ju, gdje Ju označava vrijednost J integrala

kao parametra lomne žilavosti kod koje ne postoji neovisnost o geometriji i dimenzijama

epruvete. Ju označava vrijednost kod koje može doći do loma ispitivane strukture i ne

može se koristiti u druge svrhe osim usporedbe parametara lomne žilavosti različitih

materijala, uz uvjet da su epruvete jednake geometrije i dimenzija.

58

7.

Rijetki se problemi mehanike loma iz inženjerske prakse mogu opisati analitičkim

rješenjima. Iz tog se je razloga nužno okrenuti numeričkom pristupu rješavanju problema,

a koji se u projektiranju konstrukcija pokazao nezaobilaznim posljednjih nekoliko

desetljeća.

Korištenjem numeričkog modeliranja riješen je niz primjera mehanike loma uz

uspješnu uporabu kod specifičnih problema koji se javljaju u praksi. Razvoj mehanike

loma u dobroj je mjeri koincidirao s razvojem numeričkih metoda i na njima temeljenim

algoritmima te napretkom u razvoju računala.

Kod rješavanja problema u mehanici čvrstih tijela, najčešće je nužno odrediti

raspodjelu deformacija i naprezanja u konkretnom primjeru. Numeričkom se analizom to

učinkovito postiže, a dobiveni se rezultati koriste u daljnjoj primjeni u mehanici loma.

Jedna od takvih numeričkih metoda koja danas ima vrlo raširenu primjenu je metoda

konačnih elemenata.

Numerička

mehanika loma


59

7.1. Metoda konačnih elemenata

Uporaba metode konačnih elemenata podrazumijeva podjelu promatranog tijela/

kontinuuma/domene u niz poddomena nazvanih konačnim elementima koji mogu biti

jednodimenzijski, dvodimenzijski ili trodimenzijski. Elementi su međusobno povezani u

čvorovima. Gušća mreža konačnih elemenata iste vrste, tj. veći broj podjela promatranog

tijela na elemente, općenito rezultira točnijim rezultatima analize, no uz to zahtijeva više

računalne memorije i procesnog vremena. Velik izazov zato predstavlja optimalno

dizajniranje mreže konačnih elemenata koje će uz minimalni utrošak računalne memorije

i procesnog vremena dati točnije rezultate analize.

Metoda konačnih elemenata (MKE), (engl. finite element method), obično se u analizi

vodi principom krutosti. Slika 7.1. prikazuje jedan dvodimenzijski element čiji su čvorovi

definirani lokalnim (ξ, η) i globalnim (x, y) koordinatnim sustavom.

Sl. 7.1. Konačni element u lokalnom (ξ, η) i globalnom (x, y) koordinatnom sustavu


60

Veza globalnih i lokalnih koordinata određena je izrazima:

( )i i1

,n

i

x N xξ η=

=∑ , (7.1)

( )i i1

,n

i

y N yξ η=

=∑ , (7.2)

gdje je n broj čvorova elementa, a Ni su funkcije oblika koje odgovaraju pojedinom

čvoru. Koordinate pojedinog čvora su (ξi, ηi) u lokalnom i (xi, yi) u globalnom

koordinatnom sustavu.

Funkcije oblika/interpolacijske funkcije (engl. shape functions), su polinomi koji

interpoliraju značajke u polju konačnog elementa spram istih značajki u čvorovima

elementa. Stupanj polinoma ovisi o broju stupnjeva slobode elementa. Pomaci u polju

elementa, prema izvodu u [65], se simbolički mogu izraziti kao:

eNuu = , (7.3)

gdje je eu vektor čvornih pomaka e-tog elementa, a N matrica interpolacijskih funkcija

pomoću kojih se pomaci u polju konačnog elementa izražavaju u funkciji čvornih

pomaka.

Stanje deformacije u nekoj se točki elementa može izraziti kao:

udε e= , (7.4)

gdje je ed kinematički diferencijalni operator. Uz (7.3), stanje deformacije je:

eBuε = , (7.5)

pri čemu je NdB e= matrica veze deformacija – pomak. Ova matrica povezuje stanje

deformacije s pomacima čvorova elementa, a može se koristiti i za izračuna tenzora

naprezanja koji je onda jednak:

eCBuσ = , (7.6)

gdje je C matrica elastičnosti koja ovisi o elastičnim konstantama materijala.


61

Raspodjela naprezanja i deformacija u tijelu može se tako dobiti putem pomaka u

čvorovima i konstitutivnih jednadžbi. Naprezanja i deformacije se obično računaju u

integracijskim ili Gaussovim točkama u svakom elementu.

Pomaci u čvorovima ovise pak o krutosti elementa i čvornim silama. Matrica krutosti

za redom jednodimenzijski, dvodimenzijski i trodimenzijski konačni element je jednaka:

dzl

CBBk Te ∫= , (7.7)

hdAA

CBBk Te ∫= , (7.8)

dVV

CBBk Te ∫= . (7.9)

Iz ovoga se može zapisati jednadžba krutosti konačnog elementa:

eee fuk = , (7.10)

u kojoj ef predstavlja vektor čvornih sila konačnog elementa.

7.2. Integral energijske domene

Često korištena forma izračuna J integrala putem numeričke analize je metoda

integrala energijske domene koju je razvio Shih sa suradnicima [27]. Ovaj se pristup

pokazao iznimno praktičnim budući da se može primijeniti na kvazistatičke i dinamičke

probleme pri elastičnom, plastičnom ili viskoplastičnom ponašanju materijala, kao i kod

toplinskog opterećenja. Relativno je jednostavan za primjenu i vrlo učinkovit zbog čega

je i ugrađen u mnoge komercijalne programske pakete.


62

7.2.1. Teorija integrala energijske domene

Općeniti izraz za J integral koji sadrži utjecaj inercije i neelastičnog ponašanja

materijala je jednak [57]:

( )0

0

jk 1i ij i

01

limu

J W E n dx

δ σΓ →

Γ

∂ = + − Γ ∂

∫ , (7.11)

gdje je Ek gustoća kinetičke energije, a linija Γ0, slika 7.2, integriranja teži nuli, tj. vrhu

pukotine. Pretpostavimo li elastoplastično ponašanje materijala uz kvazistatičko

opterećenje (Ek = 0) i toplinske deformacije, ukupna će deformacija biti:

tij

mijij

pij

eij

ukij εεδαεεε +=++= Θ . (7.12)

U izrazu (7.12) α je koeficijent toplinskog rastezanja, a Θ temperatura. Eksponencijske se

oznake e, p, m i t odnose na elastične, plastične, mehaničke i toplinske deformacije s tim

da je mehanička deformacija zbroj elastične i plastične. Rad naprezanja W je jednak:

∫=

mklε

0

mijij εσ dW . (7.13)

Sl. 7.2. Linije integriranja oko vrha pukotine

Jednadžbu (7.11) potrebno je prilagoditi za izračun integrala i po liniji koja ne teži k nuli,

tj. prema vrhu pukotine, kako bi bila primjenjiva za numeričku analizu. Postavimo li

zatvorenu liniju integriranja oko vrha pukotine, slika 7.2, s vanjskom, Γ1, i unutarnjom,

Γ0, linijom te linijama po gornjoj i donjoj stranici pukotine Γ+ i Γ-, J integral se za


63

elastično ponašanje materijala i kvazistatičko opterećenje može odrediti po bilo kojoj od

ovih linija. Uz naprezanje jednako nuli po stranicama pukotine, J integral za Γ* = Γ1 + Γ+

+ Γ- – Γ0 je jednak [57]:

Γ

−

∂

∂= ∫

Γ

dqmWx

uJ i1i

1

jij

*

δσ , (7.14)

gdje je mi normala na liniju Γ*, q je proizvoljna funkcija koja je jednaka jedinici na Γ0 i

nuli na Γ1, a mi = - ni na Γ0. Uz primjenu teorema divergencije, izraz (7.14) se može pisati

kao:

dAqWx

u

xJ

A

∫

−

∂

∂

∂∂

=*

1i1

jij

i

δσ , (7.15)

∫∫

∂∂

−

∂

∂

∂∂

+∂∂

−

∂

∂=

** 11

jij

ii1i

1

jij

AA

qdAx

W

x

u

x

qdA

x

qW

x

uJ σδσ , (7.16)

gdje je A* površina obrubljena linijom Γ*.

Rad naprezanja može se podijeliti na elastičnu i plastičnu komponentu:

∫∫ +=+=

pkl

ekl ε

0

pijij

ε

0

eijij

pe εεσ dSdWWW , (7.17)

pri čemu je Sij devijatorsko naprezanje. Izraz (7.16) vrijedi za plastično ponašanje

materijala samo kada nema rasterećenja, a općeniti izraz za J integral koji uzima u obzir

plastične deformacije, unutrašnje sile i toplinske deformacije, kada je naprezanje po

stranicama pukotine jednako nuli, glasi:

dAqx

uF

x

Θ

x

W

xx

qW

x

uJ

A

∫

∂

∂−

∂∂

+∂∂

−∂

∂+

∂∂

−

∂

∂=

*

ji

1ii

1

p

1

pij

iji

1i1

jij ασ

εσδσ . (7.18)

Za slučaj elastičnog ponašanja materijala, zanemarujući unutrašnje sile u tijelu,

toplinske deformacije, izraz (7.18) se svodi na:

dAx

qW

x

uJ

A

∫ ∂∂

−

∂

∂=

* i1i

1

jij δσ , (7.19)

što je istovjetno Riceovom J integralu koji je neovisan o liniji integriranja.


64

Analogno izvedenom integralu za dvodimenzijske probleme, može se izvesti izraz za J

integral u prostoru. Slika 7.3 [57] prikazuje pukotinu u prostoru gdje za određenu

poziciju ω na fronti pukotine računamo vrijednost J integrala.

Sl. 7.3. Površine integriranja oko fronte pukotine

Konstruiramo li oko pukotine dva valjka jednakih duljina ∆L, a polumjera r0 i r1,

moguće je definirati težinski prosjek vrijednosti J integrala po površinama valjaka,

umjesto po linijama integriranja kao kod dvodimenzijskih problema. Analogno izrazu

(7.14), za prostorni problem tako pišemo [57]:

dSqmWx

uLJ

S

i1i1

jij

*∫

−

∂

∂=∆ δσ , (7.20)

gdje je S* = S1 + S+ + S- – S0, slika 7.3. Isto tako, analogno izrazu (7.18), za prostornu

pukotinu pišemo:

dVqx

uF

x

Θ

x

W

xx

qW

x

uLJ

V

∫

∂

∂−

∂∂

+∂∂

−∂

∂+

∂∂

−

∂

∂=∆

* 1

ji

1ii

1

p

1

pij

iji

1i1

jij ασ

εσδσ . (7.21)


65

7.2.2. Primjena teorije integrala energijske domene u metodi konačnih elemenata

Kako bi se izložena teorija integrala energijske domene primijenila u metodi konačnih

elemenata, za dvodimenzijske je probleme potrebno definirati površinu po kojoj se

integracija odvija. Unutarnja linija, Γ0, se obično poklapa s vrhom pukotine što znači da

je površina A* određena linijom Γ1 koja se poklapa s rubovima konačnih elemenata. Za

trodimenzijske probleme je potrebno umjesto površine integriranja definirati volumen

integriranja.

Funkcija q, navedena u izrazima (7.18) i (7.20), mora biti definirana u svim čvorovima

elemenata koji tvore površinu ili volumen integriranja. Shih je dokazao da je vrijednost J

integrala neovisna o obliku te funkcije, a za probleme ravninskog stanja naprezanja ili

deformacije q = 1 na Γ0 i q = 0 na Γ1. Vrijednost q unutar konačnog elementa se može

interpolirati prema:

( ) ∑=

=n

1IIIi qNxq , (7.22)

gdje je n broj čvorova elementa, qI su vrijednosti q-a u čvorovima, a NI su funkcije oblika

elementa.

Zanemarujući unutrašnje sile u tijelu, toplinske deformacije te naprezanje na

stranicama pukotine, diskretizirani oblik integrala energijske domene primjenjiv u metodi

konačnih elemenata izgleda ovako:

mj j

ij 1i ili p 1 1 i k p

det g

A V

u xqJ W ω

x xσ δ

ξ=

∂ ∂ ∂ = −

∂ ∂ ∂ ∑ ∑ , (7.23)

pri čemu m označava broj Gaussovih ili integracijskih točaka po elementu, a wg je

težinski faktor. Vrijednosti navedene u izrazu (7.23) se izračunavaju u integracijskim

točkama elemenata.


66

7.3. Opće rješenje integracije J integrala u metodi konačnih

elemenata

J integral se jednostavno može izračunati integriranjem po liniji oko vrha pukotine s

tim da takva linija može prolaziti kroz čvorove ili integracijske točke konačnih

elemenata. Kako su vrijednosti naprezanja u integracijskim točkama točnije od onih u

čvorovima elemenata, uputnije je definirati liniju integriranja kroz integracijske točke u

elementu, slika 7.4. Prednost ove metode je u tome što se može primijeniti i na linearno

elastično i elastoplastično ponašanje materijala. Pored toga, neovisnost o liniji

integriranja omogućuje izračun J integrala i na većoj udaljenosti od vrha pukotine što kod

numeričkih metoda doprinosti točnosti. Za trodimenzijske je probleme integriranje

potrebno provesti po površini integriranja.

Sl. 7.4. Linija integriranja Γ za J integral koja okružuju vrh pukotine i prolazi kroz

integracijske točke unutar konačnih elemenata

Linija integriranja Γ

Vrh

pukotine

Integracijske točke unutar

elementa


67

7.3.1. Dvodimenzijski problemi

Ponovimo li opći izraz za J integral (4.15):

∫Γ ∂∂

−= dsx

uTWdyJ , (7.24)

pojedine se komponente iz njega mogu zapisati kao [66]:

xx xy y

1

2

uu u v vW

x y x x yσ σ σ ∂∂ ∂ ∂ ∂

= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ , (7.25)

ηη

dy

dy∂∂

= , (7.26)

( ) ( )x 1 xy 2 xy 1 y 2

u u vT n n n n

x x xσ σ σ σ

∂ ∂ ∂= + + +

∂ ∂ ∂, (7.27)

ηηη

dyx

ds

22

∂∂

+

∂∂

= , (7.28)

pa je izraz kojim se numerički može odrediti dvodimenzijski J integral [66]:

x xy y

1

2Γ

u u v u v yJ

x y x x yσ σ σ

η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫

( ) ( )2 2

yxx 1 xy 2 xy 1 y 2

uu x yn n n n d

x xσ σ σ σ η

η η

∂ ∂ ∂ ∂ − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂

, (7.29)

Izraz (7.29) se izračunava putem linije Γ:

( )g g g g1

n

g

J I ξ ,η=

=∑w , (7.30)

gdje je wg težinski faktor, n broj integracijskih točaka u konačnom elementu, a Ig

integrand koji se izračunava u svakoj integracijskoj ili Gaussovoj točki u konačnom

elementu:

g x xy y

1

2

u u v u v yI

x y x x yσ σ σ

η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )2 2

x 1 xy 2 xy 1 y 2

g

u v x yn n n n

x xσ σ σ σ

η η

∂ ∂ ∂ ∂ − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂

. (7.31)


68

Nakon izvršene analize naprezanja nekim od programa koji koristi metodu konačnih

elemenata, dostupne su vrijednosti naprezanja u integracijskim točkama konačnih

elemenata koje se mogu uvrstiti u izraz (7.31). Deformacije se mogu odrediti iz izraza

(7.5):

eBuε = ,

pri čemu je B matrica veze deformacija – pomak:

81 2

81 2

8 81 1 2 2

0 0 0

0 0 0

NN N

x x x

NN N

y y y

N NN N N N

y x y x y x

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂∂ ∂= ∂ ∂ ∂

∂ ∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

B

…

…

…

, (7.32)

a eu vektor čvornih pomaka e-tog elementa koji se u transponiranom obliku može

zapisati kao:

[ ]Te e e e

1 2 8 1 1 2 2 8 8u v u v u v = = u u u u… … . (7.33)

x

η∂∂

i y

η∂∂

su komponente Jacobijeve matrice:

( )

i ii i

1 1

i ii i

1 1

,

čv čv

čv čv

N N

i i

N N

i i

N Nx y

N Nx y

ξ ξξ η

η η

= =

= =

∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂

∂ ∂

∑ ∑

∑ ∑J , (7.34)

za koje je [67]:

( ) 5 81 1 11

4 2

N NNξ

η η η ∂ ∂∂

= + − + ∂ ∂ ∂

( ) 5 62 1 11

4 2

N NNξ

η η η ∂ ∂∂

= − − + ∂ ∂ ∂

( )3 6 71 11

4 2

N N Nξ

η η η ∂ ∂ ∂

= − − − + ∂ ∂ ∂

( ) 7 84 1 11

4 2

N NNξ

η η η ∂ ∂∂

= − + − + ∂ ∂ ∂


69

( )25 11

2

Nξ

η∂

= +∂

(7.35)

( )6 1N

η ξη

∂= − −

∂

( )27 11

2

Nξ

η∂

= − −∂

( )8 1N

η ξη

∂= − +

∂.

7.3.2. Trodimenzijski problemi

Kada je riječ o trodimenzijskim problemima, potencijalna energija, Ep, tijela izloženog

površinskim naprezanjima je jednaka [67]:

p i iV S

E WdV Tu dS= − +∫ ∫ , (7.36)

gdje je W gustoća energije deformiranja, ui označava pomake, V je volumen, a S ploha

tijela. Definira li se J integral kao promjena potencijalne energije pri proširenju pukotine

za ∆a, s duljinom fronte koja odgovara debljini epruvete B, tada se može pisati:

∂∂

−∂∂

=∂

∂−= ∫ ∫V S

dSl

uTdV

l

W

BA

EJ i

ip

∆a

1, (7.37)

Uz jiji nT σ= i primjenom teorema divergencije, izraz (7.37) se može pisati kao:

i∆a il ij i

1S

uJ W n dS

B lδ σ

∂ = − ∂ ∫ , (7.38)

pri čemu je δil Kroneckerov delta, σij tenzor naprezanja, a ni vektor normale. Komponente

J integrala po osima x i y se tada mogu zapisati kao:

dSnx

uWn

BJ

S∫

∂∂

−= ii

ij1x

1σ , (7.39)

dSny

uWn

BJ

S∫

∂∂

−= ii

ij2y

1σ , (7.40)

2 2x yJ J J= + , (7.41)


70

Prirodne koordinate pomoću kojih su izražene integracijske točke konačnih elemenata

mogu se dovesti u vezu s globalnim koordinatama (x, y, z) preko interpolacijskih funkcija

Ni:

( )i i1

,čvN

i

x N xξ η=

=∑

( )i i1

,čvN

i

y N yξ η=

=∑ (7.42)

( )i i1

,čvN

i

z N zξ η=

=∑ .

Sl. 7.5. Površina izoparametarskog konačnog elementa s osam čvorova nad kojom će se

izračunati površinski integral

Za izoparametarski konačni element s osam čvorova, slika 7.5, interpolacijske su funkcije

[67]:

( )( ) ( )851 224

111

4

1NNN +−++= ηξ

( )( ) ( )652 224

111

4

1NNN +−+−= ηξ

( )( ) ( )763 224

111

4

1NNN +−−−= ηξ


71

( )( ) ( )874 224

111

4

1NNN +−−+= ηξ

( )( )ηξ +−= 112

1 25N (7.43)

( )( )εη −−= 112

1 26N

( )( )ηξ −−= 112

1 27N

( )( )ξη +−= 112

1 28N .

Jednadžbe (7.38) i (7.39) daju:

N Ni i

1 1

, čv čv

i i

i i

N Nx xx x

ξ ξ η η= =

∂ ∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑

N Ni i

1 1

, čv čv

i i

i i

N Ny yy y

ξ ξ η η= =

∂ ∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑ (7.44)

N N

i i

1 1

, čv čv

i i

i i

N Nz zz z

ξ ξ η η= =

∂ ∂∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑ ,

gdje je:

( ) ( )

∂∂

+∂∂

−+=∂∂

∂∂

+∂∂

−+=∂∂

ηηξ

ηξξη

ξ851851

2

11

4

1 ,

2

11

4

1 NNNNNN

( ) ( )

∂∂

+∂∂

−−=∂∂

∂∂

+∂∂

−+−=∂∂

ηηξ

ηξξη

ξ652652

2

11

4

1 ,

2

11

4

1 NNNNNN

( ) ( )

∂∂

+∂∂

−−−=∂∂

∂∂

+∂∂

−−−=∂∂

ηηξ

ηξξη

ξ763763

2

11

4

1 ,

2

11

4

1 NNNNNN

( ) ( )

∂∂

+∂∂

−+−=∂∂

∂∂

+∂∂

−−=∂∂

ηηξ

ηξξη

ξ874874

2

11

4

1 ,

2

11

4

1 NNNNNN

( ) ( )255 12

1 ,1 ξ

ηηξ

ξ+=

∂∂

+−=∂∂ NN

(7.45)

( ) ( )ξηη

ηξ

−−=∂∂

−−=∂∂

1 ,12

1 626 NN

( ) ( )277 12

1 ,1 ξ

ηηξ

ξ−−=

∂∂

−−=∂∂ NN


72

( ) ( )ξηη

ηξ

+−=∂∂

−=∂∂

1 ,12

1 828 NN.

Izrazi za vektor normale n se mogu zapisati kao:

n

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=ηξηξyzzy

n1

n

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=ηξηξzxxz

n 2 (7.46)

n

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

=ηξηξxyyx

n 3 ,

a prirast površine dS kao:

ηξηξηξηξηξηξηξ

ddxyyxzxxzyzzy

dS

222

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

−∂∂

∂∂

= . (7.47)

Uz navedene se jednadžbe Jx i Jy mogu pisati kao:

( )x ij 1 x 1 xy 2 xz 3 ijij

1

i j

uJ W n n n n

B xσ τ τ

∂= + + +

∂∑∑

( ) ( )yx 1 y 2 yz 3 zx 1 zy 2 z 3 g ijij ij

ij ij

,v w

n n n n n n dSx x

τ σ τ τ τ σ∂ ∂

+ + + + + + ∂ ∂

w (7.48)

( )y ij 2 x 1 xy 2 xz 3 ijij

1

i j

uJ W n n n n

B yσ τ τ

∂= + + +

∂∑∑

( ) ( )yx 1 y 2 yz 3 zx 1 zy 2 z 3 g ijij ijij ij

,v w

n n n n n n dSy y


+ + + + + + ∂ ∂

w (7.49)

uz:

( )x x y y z z xy xy yz yz zx zx

1

2W σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ= + + + + + . (7.50)


73

Pri tome se indeksi i i j u izrazima (7.44) i (7.45) odnose na i i j integracijske točke u

konačnom elementu, dok wg predstavlja težinsku funkciju Gaussove integracije.

Vrijednosti naprezanja i deformacija se mogu odrediti na način kao i poglavlju 7.3.1.

7.4. Oblikovanje mreže konačnih elemenata u mehanici loma

Pri oblikovanju mreže konačnih elemenata kod numeričkog modeliranja problema

mehanike loma najčešće se koriste neki od elemenata prikazanih na slici 7.6 [57].

a) b)

c) d)

Sl. 7.6. Često korišteni konačni elementi u mehanici loma. a) pravokutni serendipity

kvadratni konačni element. b) pravokutni Lagrangeovi kubični konačni element. c)

prizmatični serendipity konačni element drugog reda. d) prizmatični Lagrangeov konačni

element višeg reda.

7.4.1. Oblikovanje dvodimenzijske mreže konačnih elemenata

Pri vrhu pukotine pravokutni se elementi obično svode u trokutne te tri čvora

zauzimaju istu točku u ravnini. Po istom se principu u prostoru prizmatični elementi

preoblikuju u piramidalne. Ovaj se postupak provodi u problemima koji se tiču elastičnog


74

ponašanja materijala i tada su čvorovi koji su svedeni u istu točku međusobno vezani, a

čvorovi koji leže na polovici stranica elementa pomiču se na četvrtinu duljine stranice od

vrha pukotine, slika 7.7 [57].

Sl. 7.7. Svođenje pravokutnog konačnog elementa u trokutasti i raspored trokutnih

konačnih elemenata oko vrha pukotine

Na navedeni se način osigurava r/1 singularnost deformacije u elementu što je

poželjno ponašanje konačnih elemenata pri vrhu pukotine. Slično se ponašanje može

postići i gustom mrežom običnih elemenata, no takva mreža zahtijeva pomnije

oblikovanje te više procesnog vremena računala.

Kada je u pitanju plastično ponašanje materijala, pravokutni se elementi također svode

na trokutne, međutim čvorovi koji zauzimaju istu točku u ravnini sada više nisu

međusobno vezani. Osim toga, nije potrebno niti pomicati čvorove koji leže na polovici

stranica elementa na četvrtinu duljine stranice od vrha pukotine. Ovakav način

oblikovanja mreže osigurava 1/r singularnost deformacije u elementu što je poželjno

ponašanje kod plastičnih problema. Također, budući da čvorovi koji zauzimaju istu točku

u ravnini nisu vezani, pri deformaciji se mreže konačnih elemenata u vrhu pukotine može

izračunati pomak otvaranja vrha pukotine (CTOD), slika 7.8.


75

Sl. 7.8. Deformirana mreža konačnih elemenata pri vrhu pukotine kod plastičnog

ponašanja materijala

U oblikovanju mreže konačnih elemenata oko pukotine najčešće se pribjegava

zrakastom širenju elemenata od vrha pukotine, slika 7.9. Takav način oblikovanja

omogućuje definiranje trokutastih ili piramidalnih elemenata u prvom redu oko vrha

pukotine uz stupnjevito ugušćivanje mreže prema vrhu pukotine. Tako se točnije može

zabilježiti polje naprezanja i deformacija oko pukotine. Gušća mreža oko vrha pukotine

potrebna je kod plastičnog ponašanja materijala budući da je to mjesto gdje dolazi do

tečenja materijala. Također, računa li se J integrala oko vrha pukotine, gušća će mreža

dati točnije ulazne podatke za integraciju.

Sl. 7.9. Primjer modeliranja dvodimenzijske mreže konačnih elemenata oko vrha

pukotine


76

7.4.2. Oblikovanje trodimenzijske mreže konačnih elemenata

Trodimenzijska se mreža konačnih elemenata konstruira na način da se najprije

definira dvodimenzijska mreža konačnih elemenata koja sadrži elemente specifične za

modeliranje pukotine i koja okružuje vrh pukotine, slika 7.7. Takva se dvodimenzijska

mreža zatim proširi niz liniju koja predstavlja frontu pukotine u prostoru čime se

konačnim elementima opiše tijelo oblika torusa u prostoru, tj. četvrtina torusa budući da

su modelirane pukotine većinom simetrične. Takav se način modeliranja naziva

parametarskim [68]. Nadalje se oko tako dobivenih elemenata dodaju prizmatični

konačni elementi drugog reda s 20 čvorova čime se tvori "blok" elemenata koji u sebi

sadrži pukotinu, slika 7.10. Blok elemenata je modeliran na način da se može pripojiti

ostatku diskretiziranog modela cijele konstrukcije te je pri simuliranju širenja pukotine

dovoljno nanovo omrežiti samo navedeni blok elemenata koji sadrži pukotinu, ne i cijelu

konstrukciju. Takav postupak štedi vrijeme potrebno za provedbu analize.

Sl. 7.10. Parametarsko modeliranje trodimenzijske iz dvodimenzijske mreže konačnih

elemenata. Osjenčano područje predstavlja površinu pukotine.


77

Osim toga, trodimenzijska se mreža konačnih elemenata kojom se želi modelirati

pukotinu može konstruirati i na način prikazan na slici 7.11. Definirana se

dvodimenzijska mreža konačnih elemenata proširi u treću dimenziju [69], a pri tome iz

jednog dvodimenzijskog elementa mogu nastati dvije vrste trodimenzijskih elemenata:

jedan prizmatični konačni element drugog reda ili dva tetraedarska elemenata nastala

"kolapsom" osnovnih trodimenzijskih elemenata s 20 čvorova te četiri heksaedarska

elementa s po 20 čvorova.

Tetraedarski elementi okruženi heksaedarskim opisuju frontu pukotine u prostoru i

uobičajeno se koriste u konačnoelementnoj analizi konstrukcija s pukotinom. Čvorovi

koji leže na polovici stranica tetraedarskih elemenata što opisuju frontu pukotine pomiču

se na četvrtinu duljine stranice od fronte pukotine kada treba opisati elastično ponašanje

materijala.

Sl. 7.11. Modeliranje trodimenzijske iz dvodimenzijske mreže konačnih elemenata prema

Linu [69]. Osjenčano područje predstavlja površinu pukotine.

Metoda konačnih elemenata, iako moćan alat u simulaciji problema mehanike loma,

ne može u potpunosti zamijeniti potrebu za eksperimentalnim ispitivanjem parametara/

značajki loma. Numerička analiza može dati dobru sliku o raspodjeli naprezanja i

deformacija u tijelu s pukotinom te točne rezultate pri izračunu značajki loma poput


78

koeficijenta intenzivnosti naprezanja ili J integrala. Problem numeričke analize jest što

njezini matematički modeli uvijek pretpostavljaju određen stupanj idealizacije realnog

problema, tj. teško mogu predvidjeti realno ponašanje materijala, pogotovo kada su u

pitanju uključci u strukturi, mikro pukotine i nesavršenosti koje su i glavni izvori

koncentracije naprezanja oko kojih nastaju pukotine. Zato numerička analiza svoj

potencijal potpunije ostvaruje samo i uz odgovarajuća provedena eksperimentalna

ispitivanja.

79

8.

J integral je jedan od najznačajnijih parametara loma kod konstrukcija kod

elastoplastičnog ponašanja materijala. Koristeći se eksperimentalnim ispitivanjima mogu

se pomoću epruveta s određenim početnim veličinama pukotine (a0, a1,...) dobiti

jedinstvene vrijednosti J integrala koje odgovaraju kritičnim vrijednostima kod kojih

može natupiti lom, Jc, ili tzv. J-R krivulje otpora gdje se vrijednost J integrala stavlja u

odnos sa širenjem/produljenjem pukotine. Određivanje tih otpornih J-R dijagrama

eksperimentalnim putem uz korištenje laboratorijskih epruveta pomaže u određivanju

strukturne cjelovitosti ispitivanih materijala. Epruvete koje se mogu koristiti u takvim

ispitivanjima propisane su odgovarajućim standardima, poput ASTM E 1820-01.

Iako se J-R dijagrami obično određuju eksperimentalno, razvoj numeričkih metoda,

posebno metode konačnih elemenata, omogućio je da se takvi postupci uspješno izvedu

pomoću numeričkih modela. Na taj se način može uštedjeti na izvođenju skupih

eksperimenata. Međutim, često je poželjno da se prikladnost numeričkih simulacija

potvrdi dostupnim eksperimentalnim rezultatima. Na taj se način, zapravo, verificira

ispravnost numeričkih rezultata i otvara put njihove primjene u novim istraživanjima.

Numeričko određivanje

J integrala -

SENB i CT epruveta


80

Dobar dio komercijalno dostupnih računalnih paketa koji podržavaju metodu konačnih

elemenata još uvijek ne pruža u potpunosti mogućnost određivanja značajki/parametara

loma kod elastoplastičnog ponašanja materijala. U ovom radu je, uz korištenje

programskog paketa Matlab, razvijen programski algoritam kojim se računa vrijednost J

integrala. Razvijeni algoritam koristi rezultate numeričke analize naprezanja kao ulazne

podatke. Kako je cilj rada usmjeren na numeričko ispitivanje procesa širenja pukotine i

određivanje značajki loma, a orjentirano uglavnom na posude pod tlakom, uporabom

koda određeni su J-R dijagrami za neke materijale koji se često koriste pri izradi takvih

posuda. Navedeni dijagrami su određeni uz numeričku simulaciju širenja pukotine kod

CT i SENB epruveta. U nastavku poglavlja dan je opis postupka.

8.1. Ispitivani materijali

U obzir je uzeto nekoliko različitih materijala koji se koriste pri izradi posuda pod

tlakom. Riječ je o čelicima oznaka 20MnMoNi55, 50CrMo4 te aluminijskoj slitini

AA6061. Čelik 20MnMoNi55 se često koristi pri izradi posuda pod visokim tlakom koje

zahtijevaju iznimnu otpornost na pojavu i širenje pukotine, poput konstrukcija u

reaktorima nuklearnih elektrana. Čelik poput 50CrMo4 se često koristi pri izradi

vatrogasnih aparata pod tlakom, dok se aluminijska slitina AA6061 rabi u proizvodnji

ronilačkih boca.

Tablica 8.1 daje kemijski sastav materijala, a tablica 8.2 vrijednosti naprezanja kod

tečenja, σ0.2, i vlačnu čvrstoću materijala σm, te modul elastičnosti, E, i Poissonov

koeficijent, ν.

Tab. 8.1. Kemijski sastav ispitivanih materijala (u težinskim postocima)

Materijal C Mn Si S Mo Cr Ni P Zi Ti Mg Ostatak

20MnMoNi55 0.2 1.25 0.3 0.05 0.5 0.17 0.6 0.01 - - - 96.92

50CrMo4 0.487 0.735 0.257 0.028 0.185 0.999 - 0.018 - - - 97.29

AA6061 - 0.1 0.66 - - 0.05 - - 0.25 0.01 0.93 97.65


81

Tab. 8.2. Naprezanje na granici plastičnosti, σ0.2, vlačna čvrstoća, σm, modul elastičnosti,

E, Poissonov koeficijent, ν - za razmatrane materijale

Materijal σ0.2 [MPa] σm [MPa] E [GPa] ν

20MnMoNi55 490 620 210 0.3

50CrMo4 1090.2 1146.9 203.9 0.3

AA6061 322 365 70 0.28

Slike 8.1 do 8.3 prikazuju σ – ε dijagrame za razmatrane materijale.

Sl. 8.1. σ – ε dijagram za 20MnMoNi55 [70]

σ [MPa]

ε [%]


82

Sl. 8.2. σ – ε dijagram za 50CrMo4 [71]

Sl. 8.3. σ – ε dijagram za AA6061 [72]

σ [MPa]

ε

σ [MPa]


83

8.2. SENB i CT epruvete

8.2.1. Modeliranje epruveta metodom konačnih elemenata

Za određivanje lomnih značajki materijala navedenih u poglavlju 8.1, korišteni su

numerički modeli epruveta SENB (eng. single-edge notched bend) i CT (eng. compact

type), čija je geometrija definirana standardom ASTM E 1820-01, slika 8.4. Navedene se

epruvete inače koriste u laboratorijskim ispitivanjima lomnih značajki po navedenom

standardu.

a)

b)

Sl. 8.4. Dimenzije epruveta definirane prema ASTM E 1820-01. a) SENB epruveta. b)

CT epruveta.


84

Za modeliranje metodom konačnih elemenata korišten je programski paket Ansys 11.0

[73]. Zahvaljujući simetričnosti epruveta modelirana je samo jedna njihova polovica uz

postavljanje odgovarajućih rubnih uvjeta uz stranice simetrije. Epruvete su modelirane

kao dvodimenzijski problem uz osiguravanje uvjeta ravninskog stanja deformacije, kojeg

putem svojih dimenzija moraju zadovoljavati i realne epruvete u laboratorijskim

ispitivanjima. Modeli su omreženi ravninskim pravokutnim elementima s osam čvorova.

Posebna je pažnja posvećena modeliranju mreže oko vrha pukotine gdje je stvorena

"rozeta" konačnih elemenata koja svoje središte ima u vrhu pukotine, slika 8.5.

a)

b)

Sl. 8.5. Mreža konačnih elemenata. a) SENB epruveta. b) CT epruveta.

det. A

det. A


85

Prvi red elemenata čine pravokutni konačni elementi svedeni na trokutne, prema

pravilima za oblikovanje mreže oko vrha pukotine iznesenim u poglavlju 7.4.

Preporučljivo je prvi red elemenata oblikovati tako da ima radijus jednak osmini duljine

pukotine, ili manji, za što točnije rezultate. Mreža konačnih elemenata je zgusnuta oko

vrha pukotine kako bi se što točnije zabilježile vrijednosti naprezanja i deformacija koje

će kasnije biti iskorištene u određivanju J integrala.

Modelirane su epruvete s početnim odnosom duljine pukotine i širine epruvete, a/W,

od 0.25 do 0.75 u koracima od po 0.125. Kod svakog od tih omjera je početna pukotina

produljena za ∆a = 2 mm, u koracima od po 0.2 mm. Širenje pukotine je simulirano

oslobađanjem čvorova mreže konačnih elemenata na liniji napredovanja pukotine. Pri

tome je nužno osigurati da je veličina elemenata, tj. razmak između čvorova koji se imaju

osloboditi, takva da odgovara željenom produljenju pukotine.

8.2.2. Numerička analiza naprezanja i određivanje linije J integrala

Po definiranom konačnoelementnom modelu SENB i CT epruveta, provedena je

numerička analiza naprezanja. Slika 8.6 prikazuje raspodjelu naprezanja na primjeru

SENB i CT epruvete s veličinom pukotine a/W = 0.5, dok slika 8.7 prikazuje

deformacije.


86

a)

b)

Sl. 8.6. Raspodjela intenziteta naprezanja. a) SENB epruveta. b) CT epruveta.

Vrh pukotine

Vrh pukotine


87

a)

b)

Sl. 8.7. Raspodjela deformacija. a) SENB epruveta. b) CT epruveta.

Vrh pukotine

Vrh pukotine


88

Kako bi se odredila vrijednost J integrala za pojedinu konfiguraciju epruvete, potrebno

je definirati liniju integriranja. Iako se takva linija može definirati i kroz čvorove

elemenata, točnije se vrijednosti J integrala dobivaju ukoliko linija integriranja prolazi

kroz integracijske ili Gaussove točke unutar svakog elementa. Prema tome su i definirane

linije J integrala oko vrha pukotine na načina da prolaze kroz dvije od četiri integracijske

točke u svakom elementu, slika 8.8.

a) b)

Sl. 8.8. a) Linije J integrala (Γ1, Γ2, Γ3) koje okružuju vrh pukotine i prolaze kroz

integracijske točke unutar konačnih elemenata. b) detalj jednog konačnog elementa s

linijom J integrala koji prolazi kroz dvije od četiri integracijskih točaka.

Pri ovome je važno zabilježiti vrijednosti numeričke analize naprezanja u

integracijskim točkama budući da će one kasnije biti iskorištene u određivanju J

integrala. Kako se kod numeričkog određivanja J integrala njegove vrijednosti pojavljuju

razlike ovisno o tome jesu li računate po linijama u neposrednoj blizini ili na udaljenosti

od vrha pukotine, definirane su tri linije integriranja te je kao konačna vrijednost J

integrala uzet njihova srednja vrijednost.

Γ2 Γ3 Γ1


89

8.3. Određivanje J integrala putem numeričkog algoritma - 2D

konfiguracija

Izraz (7.29) je iskorišten kao osnova na kojoj je razvijen računalni algoritam u

programskom paketu Matlab 2010 [74]:

x xy y

1

2Γ

u u v u v yJ

x y x x yσ σ σ

η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫

( ) ( )2 2

yxx 1 xy 2 xy 1 y 2

uu x yn n n n d

x xσ σ σ σ η

η η

∂ ∂ ∂ ∂ − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂

.

Algoritam kao ulazne podatke koristi rezultate numeričke analize naprezanja u

integracijskim točkama konačnih elemenata na liniji integriranja. Integriranjem i

zbrajanjem vrijednosti J integrala u pojedinim integracijskim točkama dobiva se ukupna

vrijednost J integrala po pojedinoj liniji integriranja. Taj se postupak ponavlja za

preostale linije integriranja da bi se kao konačna vrijednost J integrala uzela srednja

vrijednost po svim linijama integriranja.

Dijagramom na slici 8.9 prikazan je tok procesa određivanja J integrala korištenjem

algoritma.


90

Sl. 8.9. Određivanje J integrala: dijagram toka.

Definiranje: - materijala

- vrste konačnih elemenata - geometrije

- rubnih uvjeta - opterećenja

Analiza naprezanja u konačnoelementnom programu

n skupova izlaznih rezultata za n linija integriranja J integrala

Pozivanje interpolacijskih funkcija Ni

naprezanja u integracijskim

točkama

koordinate (ξ, η)

integracijskih točaka

(deformacije u

integracijskim točkama)

lista konačnih elemenata s

koordinatama (x,y ) čvorova

pomaci u čvorovima konačnih elemenata

Parcijalna derivacija interpolacijskih funkcija ∂Ni /∂ξ, ∂Ni /∂η

Izračun Jacobijeve matrice, J

Izračun matrice veze deformacija-pomak, B

Izračun deformacija, ε

1

2g x xy y

u u v u v yI

x y x x yσ σ σ

η

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂= + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

( ) ( )2 2

1 2 1 2x xy xy y

g

u v x yn n n n

x xσ σ σ σ

η η

∂ ∂ ∂ ∂ − + + + + ∂ ∂ ∂ ∂

( )1

n

i g g g g

g

J w I ξ ,η=

=∑

1

1 n

i

i

J Jn =

= ∑


91

Algoritam za određivanje J integrala je izveden pomoću Matlaba 2010, matematičkog

programskog paketa namijenjenog matričnom izračunavanju. Navode se neke od značajki

algoritma:

- korišteni su ulazni podaci dobiveni numeričkom analizom naprezanja u

konačnoelementnom programu Ansys 11. Za ulazne se podatke koriste popis

elemenata kroz koje se definira linija integriranja J integrala s koordinatama

čvorova, pomaci u čvorovima konačnih elemenata, vrijednosti naprezanja i

deformacije u integracijskim točkama konačnih elemenata. Navedene ulazne

podatke treba organizirati u tekstualnim datotekama kako bi bili prikladni za

učitavanje u Matlab.

- Ulazni se podaci mogu pripremiti i u drugim konačnoelementnim programima što

algoritmu osigurava širu primjenjivost.

- Ansys pruža mogućnost očitavanja vrijednosti naprezanja i deformacija u

integracijskim točkama konačnih elemenata što olakšava i ubrzava korištenje

algoritma. Dobar dio konačnoelementnih programa nema mogućnost očitavanja

deformacija u integracijskim točkama zbog čega početni dio algoritma zauzima

određivanje vrijednosti deformacija preko pomaka i matrice veze deformacija -

pomak.

- Ovisno o unesenom ključnom izrazu za određivanje J integrala (7.29) ili (7.48) i

(7.49), algoritam se može primijeniti za izračun J integrala kod dvodimenzijskih

ili trodimenzijskih primjera.

- Algoritam se može primijeniti na pune modele pukotine te simetrične kod kojih je

modelirana samo polovica pukotine oko koje se opisuje linija J integrala.

- Algoritam se može primijeniti i kod linearno elastičnog ponašanja materijala za

koje je J integral također jedna od valjanih značajki loma

- Izlazne se vrijednosti J integrala zajedno s pripadnim vrijednostima veličine

pukotine mogu organizirati u tekstualnim datotekama što ih čini prikladnim za

daljnju računalnu obradu i prikazivanje u J-R dijagramima.


92

8.4. Predviđene J-R krivulje za razmatrane materijale

Prema opisanoj proceduri dobiveni su predviđeni (teorijski) J-R dijagrami za

razmatrana materijale, 20MnMoNi55, 50CrMo4 i AA6061, na dvije vrste numerički

modeliranih epruveta, SENB i CT. Slike 8.10 do 8.13 prikazuju dobivene rezultate.

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 0,5 1 1,5 2

Da [mm]

J [

N/m

m]

a/W= 0,25

a/W= 0,375

a/W= 0,5

a/W= 0,625

a/W= 0,75

a)


93

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 0,5 1 1,5 2

Da [mm]

J [

N/m

m]

a/W = 0,25

a/W = 0,375

a/W = 0,5

a/W = 0,625

a/W = 0,75

b)

Sl. 8.10. Čelik 20MnMoNi55. a) J-R dijagram za SENB epruvetu. b) J-R dijagram za CT

epruvetu.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0,5 1 1,5 2

Da [mm]

J [

N/m

m]

a/W= 0,25

a/W= 0,375

a/W= 0,5

a/W= 0,625

a/W= 0,75

a)


94

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 0,5 1 1,5 2

Da [mm]

J [

N/m

m]

a/W =0,25

a/W =0,375

a/W =0,5

a/W =0,625

a/W =0,75

b)

Sl. 8.11. Čelik 50CrMo4. a) J-R dijagram za SENB epruvetu. b) J-R dijagram za CT

epruvetu.

0

20

40

60

80

100

120

0 0,5 1 1,5 2

Da [mm]

J [

N/m

m]

a/W= 0,25

a/W= 0,375

a/W= 0,5

a/W= 0,625

a/W= 0,75

a)


95

0

20

40

60

80

100

120

0 0,5 1 1,5 2

Da [mm]

J [

N/m

m]

a/W= 0,25

a/W= 0,375

a/W= 0,5

a/W= 0,625

a/W= 0,75

b)

Sl. 8.12. Aluminijska slitina AA6061. a) J-R dijagram za SENB epruvetu. b) J-R

dijagram za CT epruvetu.

Usporedbom dijagrama na slikama 8.10-8.12 lako je primijetiti da čelik 20MnMoNi55

ima viši parametar lomne žilavosti od čelika 50CrMo4 i aluminijske slitine AA6061.

Takav je rezultat bio i očekivan s obzirom na namjenu pojedinih materijala gdje se čelik

20MnMoNi55 koristi kod zahtjevnih konstrukcija, poput nuklearnih postrojenja, gdje se

pojava pukotina i lomova mora minimalizirati.

Usporedbom vrijednosti J integrala dobivenih za isti materijal, ali korištenjem

različitih epruveta, SENB ili CT, primjećuje se da ispitivanja provedena na CT

epruvetama daje nešto konzervativnije rezultate. Ovakav rezultat izvire iz geometrije CT

epruvete koja je osmišljena kao što kompaktnija kako bi se uzorci takvog oblika mogli

izolirati iz konstrukcija koje nemaju mogućnost odstranjivanja količine materijala

potrebne za, primjerice, SENB epruvete. Kao takve, CT epruvete obično daju nešto

konzervativnije rezultate [75].


96

Usporedbom J-R krivulja za jednake materijale i jednake vrste epruveta dolazi se do

zaključka da veća pukotina, tj. veći omjer duljine pukotine i širine epruvete a/W, daje

nižu vrijednost parametra lomne žilavosti ispitivanog materijala, i obratno. Takav je

rezultat logičan s obzirom da konstrukcija s većom pukotinom pruža manji otpor

daljnjem širenju pukotine.

8.4.1. Usporedba numerički i eksperimentalno dobivenih J-R dijagrama

Iz literature su dostupne J-R krivulje za čelik 20MnMoNi55 i aluminijsku slitinu

AA6061, za različite veličine pukotina i vrste korištenih epruveta. Odgovarajuće J-R

krivulje, u smislu navedenih parametara, uspoređene su s onima dobivenim putem ranije

spomenutog algoritma. Na slici 8.13 uspoređene su numerički dobivene J-R krivulje

putem SENB epruvete od čelika 20MnMoNi55 s onim dobivenim eksperimentalno [76].

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

0 0,5 1 1,5 2

Da [mm]

J [

N/m

m]

a/W =0,25

a/W =0,5

a/W =0,75

a/W =0,25, Naras aiah



Sl. 8.13. Usporedba numerički i eksperimentalno dobivenih J-R krivulja za SENB

epruvetu izrađenu od čelika 20MnMoNi55.


97

Slika 8.14 prikazuje numerički i eksperimentalno dobivene [77] J-R krivulje za CT

epruvetu izrađenu od aluminijske slitine AA6061.

0

20

40

60

80

0 0,5 1 1,5 2

Da [mm]

J [

N/m

m] a/W=0,5

a/W=0,5 Mac Mas ter

Sl. 8.14. Usporedba numerički i eksperimentalno dobivenih J-R krivulja za CT epruvetu,

a/W = 0.5 izrađenu od aluminijske slitine AA6061.

Iz prikazanog se može primijetiti prilično dobra podudarnost numeričkih rezultata s

eksperimentalnim. To daje sigurnost u korištenju numeričkog modela i jamči

vjerodostojnost dobivenih J-R dijagrama za ostale veličine pukotina na epruvetama, kao i

za ostale materijale za koje nisu dostupni eksperimentalni podaci.


98

8.5. Određivanje kritične vrijednosti parametra lomne žilavosti, JIc

Iz dobivenih se predviđenih J-R krivulja, može odrediti kritična vrijednost J integrala, JIc,

koja služi kao mjera lomne žilavosti. Prema ASTM E 1820-01, JIc = JQ, ukoliko je

zadovoljen uvjet:

Y

Q0

25,

σJ

bB ≥ . (8.1)

Pri tome se JQ definira kao vrijednost J integrala na presjecištu J-R krivulje i linije koja

prolazi kroz ∆a = 0.2 mm i ima nagib od 2σY, slika 8.14. Vrijednost σY je jednaka

prosječnoj vrijednosti naprezanja pri granici tečenja i vlačne čvrstoće materijala.

Sl. 8.14. Određivanje JQ iz J-R krivulje.

JQ=JIc

0.2 mm linija


99

8.5.1. Usporedba kritičnih vrijednosti parametra lomne žilavosti JIc za razmatrane

materijale

Služeći se prikazanim principom određivanja kritičnih vrijednosti parametara lomne

žilavosti, JIc, iz eksperimentalno dobivenih J-R krivulja, prikazane su ovdje spomenute

kritične vrijednosti temeljem dijagrama na slikama 8.10-8.12. I ovdje valja reći da su

ovako dobivene vrijednosti u biti predvidive/proračunske vrijednosti, analogno ranije

rečenom po pitanju J-R krivulja. Na slici 8.15 su prikazane te kritične vrijednosti, JIc, za

razmatrane materijale u ovisnosti od veličine pukotine, a/W, kod SENB i CT epruveta.

Sl. 8.15. Kritične proračunske vrijednosti parametara lomne žilavosti za razmatrane

materijale u ovisnosti od veličine pukotine kod epruvete.

100

9.

U poglavlju 8 numeričkim su putem određene J-R krivulje te kritične vrijednosti

parametra lomne žilavosti JIc za neke od materijala od kojih se često izrađuju posude pod

tlakom i to: čelike 20MnMoNi55 i 50CrMo4 te aluminijsku slitinu AA6061. Pri tome su

numerička istraživanja/određivanja spomenutog parametra izvršena nad SENB i CT

epruvetama propisanim od strane ASTM E 1820-01 standarda. Ograničenja, koja se tiču

određene razine opterećenja i propisanih dimenzija ispitivanih epruveta, predstavljaju

prepreku prijenosu značajki lomne žilavosti s epruveta na stvarne konstrukcije koje se

dizajniraju. To često dovodi do zamjetno konzervativnog dizajna novih konstrukcija.

Zato je potrebno vrijednost lomne značajke ponekad istražiti/ispitati i na stvarnim

konstrukcijama te ih usporediti s onima dobivenim putem ispitivanja epruveta. Ovaj je

korak posebno važan kod optimizacije dizajna konstrukcija. Pri tom treba imati na umu

da se vrijednosti parametra kritične lomne žilavosti ispitane na epruvetama označuju kao

Jc, dok se one ispitane na stvarnim konstrukcijama koje geometrijom i dimenzijama ne

odgovaraju nadležnim standardima označavaju kao Ju.

Slijedom navedenog, u ovom su dijelu rada numerički ispitane lomne značajke i na

stvarnim posudama pod tlakom što predstavlja nadogradnju na ispitivanja provedena i

Numerička aplikacija

J integrala -

posude pod tlakom


101

prikazana u poglavlju 8. Izrađen je konačnoelementni model posude pod tlakom s

pukotinom u stijenci aksijalno postavljenom spram uzdužne osi posude. Rezultati

numeričke analize naprezanja iskorišteni su kao ulazni podaci za računalni kod napisan u

programskom paketu Matlab kojem je zadaća izračunati vrijednosti J integrala kod

različitih veličina pukotine. Osim toga, prikladnost je konačnoelementnog modela

potvrđena i tenzometrijskim mjerenjima provedenim na stvarnoj posudi pod tlakom

izrađenoj od čelika 50CrMo4, bez i sa pukotinom.

9.1. Posuda pod tlakom

9.1.1. Modeliranje metodom konačnih elemenata

Posuda pod tlakom, korištena u eksperimentalnim ispitivanjima kao predložak za

numeričko modeliranje, definirana je geometrijom prikazanom na slici 9.1. Ovakve se

posude pod tlakom koriste kao vatrogasni aparati, a dimenzije su L = 385 mm, unutrašnji

polumjer Ri = 86 mm i debljina stijenke t = 2 mm. Na slici 9.1b je prikazan i detalj

pukotine u stjenci posude duljine a i otvora d.

Sl. 9.1. Primjer posude pod tlakom. a) geometrija i dimenzije posude i submodela. b)

detalj poprečnog presjeka posude s dimenzijama pukotine.


102

Sl. 9.2. Konačnoelementni model posude pod tlakom

Početni, trodimenzijski konačnoelementni model gdje je modelirana cijela posuda pod

tlakom bez pukotine, iskorišten je kako bi se dobile usporedbene vrijednosti pomaka na

udaljenosti dovoljno velikoj od vrha pukotine. Ustanovljeno je da su pomaci na

udaljenosti c = 6l praktički jednakih vrijednosti kod posude bez pukotine i kod one s

pukotinom. To vrijedi i za naprezanja [78].

Sljedeći je korak bio izrada submodela dimenzija cxc, na rubovima kojeg su

postavljene vrijednosti pomaka zabilježene na modelu cijele posude pod tlakom. Princip

rada sa submodelima se koristi kako bi se ostvarile uštede po pitanju računalne memorije

i procesnog vremena. U daljnoj numeričkoj analizi korišteni su submodeli posude pod

tlakom s različitim veličinama pukotine i za različite materijale.

Na stijenku numeričkog modela posude pod tlakom zadano ("narinuto") je nekoliko

veličina pukotine s omjerima a/t = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, pri čemu je t debljina stjenke

posude. Osim posude izrađene od čelika 50CrMo4 koja je podvrgnuta eksperimentalnom

tenzometrijskom ispitivanju i na temelju koje je izrađen numerički model, numerički su

razmatrani i sljedeći materijali: 20MnMoNi55 i AA6061. Kemijski sastav i mehaničke

značajke tih materijala su dane u tablicama 8.1 i 8.2.


103

Submodeli posude pod tlakom modelirani su kao trodimenzijski problem koristeći se

programskim paketom Ansys 11.0, a omreženi su tetraedarskim konačnim elementima s

20 čvorova, slika 9.3, služeći se parametarskim modeliranjem pukotine, poglavlje 7.4.2.

Zahvaljujući simetriji, modelirana je samo četvrtina submodela, a posebna je pozornost

posvećena mreži konačnih elemenata pri vrhu pukotine. Potrebna je gušća mreža

elemenata pri vrhu pukotine kako bi se dobili točniji rezultati analize naprezanja koji će

kasnije biti iskorišteni za određivanje J integrala.

a)

b)

det. A

c/2

l

det. A

det.B

det.C


104

c)

d) e)

Sl. 9.3. Mreža konačnih elemenata. a) submodela posude pod tlakom. b) pukotine. c)

"odrezanog" dijela pukotine na polovici submodela. d) fronte pukotine. e) vrha pukotine.

9.1.2. Numerička analiza naprezanja i određivanje linije J integrala

Analiza naprezanja provedena je za svaki razmatrani materijal te za različite početne

veličine pukotine, a/t, a po analizi su zabilježene vrijednosti naprezanja, deformacija i

pomaka u integracijskim točkama konačnih elemenata. To je učinjeno budući da je linija

J integrala oko vrha pukotine zadana kroz integracijske točke pojedinih elemenata.

Zadane su tri linije integriranja, a njihova srednja vrijednost je uzeta kao konačna.

det. C

vrh pukotine

a

det. B


105

Sl. 9.4. Raspodjela intenziteta naprezanja u submodelu posude pod tlakom

det. A

det. A


106

Sl. 9.5. Raspodjela deformacija u submodelu posude pod tlakom

det. A

det. A

det. A


107

Širenje je pukotine simulirano pomicanjem fronte pukotine od vrha pukotine. Pri tome je

nužno osigurati da je veličina konačnih elemenata takva da odgovara željenom povećanju

pukotine, ∆a.

Na slici 9.6a prikazana je raspodjela cirkularnih i meridionalnih naprezanja po debljini

stijenke za a/t = 0.5 pri p = 1.6 MPa dobivena po provedenoj analizi naprezanja uz

korištenje metode konačnih elemenata u programu Ansys. Vidljiva je podudarnost oblika

krivulje raspodjele naprezanja s teorijskom raspodjelom naprezanja, pogotovo pri vrhu

pukotine gdje vrijednost naprezanja teži beskonačnosti.

-1748.962

-961.534

-174.106

613.321

1400.749

2188.177

2975.605

3763.033

4550.461

5337.889

6125.319

(x10**5)

0

.2

.4

.6

.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

(x10**-3)

a)

σc [Pa]

t [mm]


108

b)

Sl. 9.6. a) Raspodjela numerički dobivenog cirkularnog naprezanja, σc, po debljini

stijenke posude pod tlakom za a/t = 0.5, t = 2 mm, pri p = 1.6 MPa. b) teorijska

cirkularnih naprezanja, σc, pri vrhu pukotine [57].

9.2. Tenzometrijska mjerenja nad posudom pod tlakom

Kako bi se potvrdila prikladnost konačnoelementnog modela izvedena su

tenzometrijska mjerenja na stvarnoj posudi pod tlakom izrađenoj od čelika 50CrMo4.

Mjerenja su izvedena uz uporabu sustava za tenzometrijska mjerenja HBM – DMCplus u

sklopu Laboratorija za mjerenje i analizu deformacija Tehničkog fakulteta u Rijeci. Na

vanjsku je stijenku posude postavljena HBM-ova pravokutna tenzometrijska rozeta koja

je bilježila deformacije posude [79]. Uz pomoć ručne vodene pumpe u posudi je

postignut željeni pritisak, slika 9.7.


109

Sl. 9.7. Posuda pod tlakom spojena s pumpom i s postavljenom tenzometrijskom rozetom

Najprije je mjerenjima podvrgnuta posuda bez pukotine. Putem tenzometrijske se

rozete mjere tri vrijednosti deformacije, a b cˆ ˆ ˆ, , ,ε ε ε što predstavlja očitanja deformacije

na a, b i c traci rozete. Ovakva očitanja zahtijevaju korekciju budući da su trake

postavljene na konstrukciji koja je izložena biaksijalnom stanju naprezanja [80]. Kako se

petlje u pojedinim trakama šire dijagonalno u odnosu na izvornu orijentaciju trake, tako

se javlja greška u izmjerenim vrijednostima koja zahtijeva korekciju. Korekcija se vrši

preko sljedećih izraza:

( ) ( )a 0 a a c 0 c

aa c

ˆ ˆ1 1

1

K K K

K K

ε ν ε νε

− − −=

−, (9.1)

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )b a 0 a c c 0 c ab 0 b

bb a c b

ˆ ˆ1 1 1 1ˆ 1

1 1 1

K K K K KK

K K K K

ε ν ε νε νε

− − + − −− = −− − −

, (9.2)

( ) ( )c 0 c c a 0 ac

a c

ˆ ˆ1 1

1

K K K

K K

ε ν ε νε

− − −=

−, (9.3)

gdje su a b c, , ,ε ε ε ispravljene vrijednosti deformacije u smjeru traka a, b i c, ν0 je

Poissonov koeficijent za materijal korišten pri kalibraciji tenzometrijskih traka, a Ka, Kb i

Kc predstavljaju koeficijent dijagonalne osjetljivosti.


110

Ispravljene se vrijednosti deformacije koriste u izračunu vrijednosti glavnih

deformacija, 21 i εε :

( ) ( ) ( )2 2

1 a c a c b a c

1 12 2

2 2ε ε ε ε ε ε ε ε= + + − + − − , (9.4)

( ) ( ) ( )2 2

2 a c a c b a c

1 12 2

2 2ε ε ε ε ε ε ε ε= + − − + − − , (9.5)

što se mogu izjednačiti s cirkularnom i aksijalnom (meridionalnom) deformacijom u

stijenci posude pod tlakom, 1 c 2 mi ε ε ε ε= = . Ovdje se cirkularnu deformaciju cε ne

smije zamijeniti s očitanom vrijednošću deformacije na traci c tenzometrijske rozete koja

je spomenuta u izrazu (9.3).

Rezultirajuće cirkularne, εc, i meridionalne deformacije, εm, pri radnom pritisku od 1.6

MPa i ispitnom pritisku od 2.5 MPa uspoređene su u tablici 9.1 s deformacijama

dobivenim analitičkim i numeričkim putem. Analitički su deformacije određene prema

[81]:

c 12

pR

tE

νε = −

, (9.6)

m

1

2

pR

tEε ν = −

. (9.7)

Rezultati pokazuju dobru podudarnost što potvrđuje prikladnost punog

konačnoelementnog modela i njegovih vrijednosti pomaka koje se koriste dalje u

definiranju submodela.

Tab. 9.1. Posuda pod tlakom bez pukotine: usporedba cirkularne, εc, i meridionalne, εm,

deformacije određene analitički, numerički i eksperimentalno.

Pritisak

[MPa]

Cirkularna deformacija, εc [·10-4] Meridionalna deformacija, εm [·10-4]

Analitički Numerički Eksperimentalno Analitički Numerički Eksperimentalno

1.6 2,85 2,752 2,888 0,67 0,648 0,679

2.5 4,452 4,299 4,511 1,047 1,011 1,061


111

Tenzometrijska su mjerenja izvedena i na posudi pod tlakom koja sadrži pukotinu u

stijenci koaksijalnu s uzdužnom osi posude. Izvedena je pukotina s unutrašnje strane

stjenke duljine 2l = 100 mm, otvora od d = 2 mm i dubine od a = 1 mm. Deformacije su

zabilježene na vanjskom dijelu stjenke uz pomoć tenzometrijske rozete koja je

postavljena na liniji pukotine. Rezultirajuće su deformacije pri pritisku od 1.6 MPa

prikazane u tablici 9.2 usporedno s onima dobivenim numeričkim putem uz pomoć

konačnoelementnog modela. Može se primijetiti dobra podudarnost u rezultatima što daje

sigurnost u daljnjem korištenju i razvijanju konačnoelementnog modela.

Tab. 9.2. Posuda pod tlakom s pukotinom: usporedba cirkularne, εc, i meridionalne, εm,

deformacije određene numerički i eksperimentalno.

Pritisak

[MPa]

Cirkularna deformacija, εc [·10-4] Meridionalna deformacija, εm [·10-4]

Numerički Eksperimentalno Numerički Eksperimentalno

1.6 5.115 5.368 1.203 1.263

9.3. Određivanje J integrala putem numeričkog algoritma - 3D

konfiguracija

U osnovi, računalni algoritam razvijen u programskom paketu Matlab 2010 i prikazan

u poglavlju 8.3, odgovara i pri određivanju J integrala kod trodimenzijskih primjera.

Najvažnija se promjena odnosi na izraz kojim se određuje sama vrijednost J integrala, a

sada je riječ o površinskom integralu. Za to su iskorišteni izrazi (7.48) i (7.49):

( )x ij 1 x 1 xy 2 xz 3 ijij

1

i j

uJ W n n n n

B xσ τ τ

∂= + + +

∂∑∑

( ) ( )yx 1 y 2 yz 3 zx 1 zy 2 z 3 g ijij ij

ij ij

,v w

n n n n n n dSx x


+ + + + + + ∂ ∂

w


112

( )y ij 2 x 1 xy 2 xz 3 ijij

1

i j

uJ W n n n n

B yσ τ τ

∂= + + +

∂∑∑

( ) ( )yx 1 y 2 yz 3 zx 1 zy 2 z 3 g ijij ijij ij

.v w

n n n n n n dSy y


+ + + + + + ∂ ∂

w

Ostatak algoritma, kao i logika procesa, su istovjetni prikazanome na slici 8.9.

9.4. Sila razvoja pukotine za posude pod tlakom

Prema opisanoj proceduri dobiveni su dijagrami na kojima je prikazan J integral kao

mjera sile razvoja pukotine u ovisnosti o veličini prirasta pukotine za razmatrane

materijale, 20MnMoNi55, 50CrMo4 i AA6061, na posudi pod tlakom s pukotinom za

radni tlak p = 1.6 bar i ispitni tlak p = 2.5 MPa. Slike 9.8 do 9.10 prikazuju dobivene

rezultate. Istovremeno su na njima prikazane krivulje dobivene putem komercijalnog

programskog paketa Ansys koji koristi Shihovu formulaciju za određivanje J integrala.

Kako postupak nije rađen na standardom propisanim epruvetama te zbog uporabe

numeričke metode kod određivanja J integrala, prikazane krivulje se ne nazivaju

klasičnim J-R krivuljama.

0

500

1000

1500

2000

2500

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

∆a [mm]

J [

N/m

]

a/t=0,25

a/t=0,375

a/t=0,5

a/t=0,625

a/t=0,25 S hih

a/t=0,375 S hih

a/t=0,5 S hih

a/t=0,625 S hih

a)


113

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

∆a [mm]

J [

N/m

]

a/t=0,25

a/t=0,375

a/t=0,5

a/t=0,625

a/t=0,25 S hih

a/t=0,375 S hih

a/t=0,5 S hih

a/t=0,625 S hih

b)

Sl. 9.8. Posuda pod tlakom od čelika 20MnMoNi55. J integral kao mjera sile razvoja

pukotine pri: a) p = 1.6 MPa. b) p = 2.5 MPa.

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

∆a [mm]

J [

N/m

]

a/t= 0,375

a/t= 0,5

a/t= 0,625

a/t= 0,75

a/t= 0,375 S hih

a/t= 0,5 S hih

a/t= 0,625 S hih

a/t= 0,75 S hih

a)


114

b)

Sl. 9.9. Posuda pod tlakom od čelika 50CrMo4. J integral kao mjera sile razvoja


0

100

200

300

400

500

600

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

∆a [mm]

J [

N/m

]

a/t=0,25

a/t=0,375

a/t=0,5

a/t=0,625

a/t=0,25 S hih

a/t=0,375 S hih

a/t=0,5 S hih

a/t=0,625 S hih

a)


115

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35

∆a [mm]

J [

N/m

]

a/t=0,25

a/t=0,375

a/t=0,5

a/t=0,625

a/t=0,25 S hih

a/t=0,375 S hih

a/t=0,5 S hih

a/t=0,625 S hih

b)

Sl. 9.10. Posuda pod tlakom od čelika AA6061. J integral kao mjera sile razvoja


Usporedbom dijagrama na slikama 9.8 – 9.10 može se primijetiti da čelik

20MnMoNi55 ima viši parametar lomne žilavosti od čelika 50CrMo4 i aluminijske

slitine AA6061 kod jednake razine unutrašnjeg tlaka u posudi. Takvi rezultati odgovaraju

ponašanju pojedinih materijala kod ispitivanja J integrala provedenog na

standardiziranim epruvetama u poglavlju 8.4.

Usporedbom vrijednosti J integrala dobivenih za isti materijal i jednaku veličinu

pukotine, ali pri različitim vrijednostima tlaka u posudi, može se primijetiti da većem

tlaku odgovara i viša vrijednost J integrala. Takvo je ponašanje već primijećeno u

sličnom istraživanju provedenom nad uzorcima cjevovoda pod tlakom koji je u stijenci

sadržavao aksijalnu pukotinu [82].

Slično kao i u poglavlju 8.4, usporedbom J-R krivulja za iste materijale i jednake

tlakove u posudama, može se primijetiti da veća pukotina, tj. veći omjer duljine pukotine


116

i debljine stijenke posude, a/t, daje nižu vrijednost parametra lomne žilavosti ispitivanog

materijala, i obratno. Takav je rezultat logičan s obzirom da konstrukcija s većom

pukotinom pruža manji otpor daljnjem širenju pukotine.

Isti primjeri su analizirani i u konačnoelementnom programu Ansys koji za

određivanje J integrala koristi Shihovu formulaciju. Iz dijagrama na slikama 9.8 – 9.10

vidljiva je dobra podudarnost u vrijednostima. Sve navedeno daje sigurnost u daljnjem

korištenju algoritma za određivanje J integrala i jamči vjerodostojnost dobivenih J-R

dijagrama.

9.5. Određivanje predviđenog parametra kritične lomne žilavosti, Ju

Iz dobivenih se J-R krivulja, prema postupku opisanom u poglavlju 8.5, može odrediti

privremena vrijednost predviđenog parametra lomne žilavosti, JQ. Kako ova vrijednost ne

zadovoljava sljedeće uvjete:

Q0

Y

, 50J

B bσ

≥ za čelike, i (9.5)

Q0

Y

, 100J

B bσ

≥ za ostale materijale, (9.6)

Qp

Y

0.2 mm 2

Ja

σ∆ < + , (9.7)

JQ se ne može označiti kao Jc, nego kao Ju, mjera parametra lomne žilavosti kada do

nestabilnosti konstrukcije dolazi poslije stabilnog širenja pukotine. Ova mjera lomne

žilavosti predstavlja karakteristiku materijala te geometrije i dimenzija konstrukcije te se

zbog toga obično ne može prenositi i koristiti za drugačije geometrije.

U izrazima (9.5) i (9.6) B predstavlja debljinu epruvete, dok je b0 razlika između širine

epruvete i početne duljine pukotine (t - a0). U izrazu (9.7) ∆ap je jednak razlici fizičke i

početne duljine pukotine, (ap - a0), gdje je fizička duljina pukotine jednaka udaljenosti od

referetne ravnine do promatrane fronte pukotine.


117

9.5.1. Predviđeni parametar lomne žilavosti za razmatrane materijale

Uz praćenje postupka za određivanje parametra kritične vrijednosti lomne žilavosti

navedenog u poglavlju 8.5 te zadovoljavanje kriterija navedenih u izrazima (9.5) – (9.7)

iz J-R krivulja na slikama 9.8 do 9.10 dobivene su kritične vrijednosti parametra lomne

žilavosti. Na slici 9.11 su prikazane kritične vrijednosti parametra lomne žilavosti, Ju, za

razmatrane materijale u ovisnosti od veličine pukotine, a/t, kod posude pod tlakom

izrađenih od različitih materijala te pri radnom i ispitnom tlaku p.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

0,25 0,375 0,5 0,625a/t

Ju

[N

/m]

20MoMnNi55, p=1.6MP a

20MoMnNi55, p=2.5MP a

50C rMo4, p=1.6 MP a

50C rMo4, p=2.5MP a

A A6061, p=1.6MP a

A A6061, p=2.5MP a

Sl. 9.11. Kritične vrijednosti predviđenog parametra lomne žilavosti za razmatrane

materijale u ovisnosti o veličini pukotine kod posude pod tlakom

Na slici 9.12 je prikazan odnos parametra kritične vrijednost lomne žilavosti, Ju, kod

posuda pod tlakom izrađenih od različitih materijala i pukotine veličine a/t = 0.5,

naspram različitih pritisaka p.


118

0

500

1000

1500

2000

2500

1,6 1,8 2 2,3 2,5

p [MP a]

J [

N/m

]20MoMnNi55, a/t=0,5

A A 6061, a/t=0,5

50C rMo4, a/t=0,5

Sl. 9.12. Promjena J u ovisnosti od tlaka u posudi s pukotinom a/t = 0.5 za tri različita

materijala

119

10. Zaključak

U ovom je radu razvijen algoritam za izračun J integrala baziran na rezultatima

konačnoelementne analize naprezanja. Korištenjem spomenutog programa dobivene su

predvidivi (teorijski/proračunski) skupovi podataka o vrijednosti J integrala koji su

prikazani u ovisnosti o veličini prirasta pukotine, ∆a. Uz to je određena predvidiva

kritična vrijednost J integrala, JIc, za dvije vrste epruveta, SENB i CT, izrađenih od

materijala koji se koriste u konstrukciji posuda pod tlakom, čelika 20MnMoNi55 i

50CrMo4 te aluminijske slitine AA6061. Dobiveni su rezultati uspoređeni s dostupnim i

odgovarajućim eksperimentalnim rezultatima te je primijećena dobra podudarnost. To

ukazuje na uspješnost u primjeni navedenog algoritma na probleme mehanike loma.

Također, to sugerira da se takav način izračuna može koristiti kao dopuna dugotrajnim i

skupim eksperimentalnim ispitivanjima. Podudarnost numeričkih i eksperimentalnih

rezultata za čelik 20MnMoNi55 i aluminijsku slitinu AA6061 daje sigurnost u korištenju

vrijednosti J integrala za čelik 50CrMo4 za kojeg nisu bili dostupni eksperimentalni

rezultati.

Sličan je postupak određivanja vrijednosti J integrala, kao predvidivog parametra sile

razvoja pukotine proveden za iste materijale i na primjeru stvarne posude pod tlakom.

Ponašanje rezultirajućih skupova podataka je usporedivo s onima dobivenim kod

ispitivanja standardiziranih epruveta. Također, rezultati pokazuju dobru podudarnost s

rezultatima dobivenim korištenjem komercijalnog konačnoelementnog programa koji

koristi Shihovu formulaciju za izračun J integrala i daje konzervativnije rezultate. Sve


120

ovo sugerira uspješnost u primjeni algoritma za različite primjere konstrukcija pod

opterećenjem koje sadrže pukotinu.

Treba napomenuti da se rezultati dobiveni za model stvarne posude pod tlakom ne

podudaraju s onima dobivenim za standardizirane CT i SENB epruvete u smislu

vrijednosti J integrala. Ovakav je ishod očekivan zbog znatne razlike u geometriji,

dimenzijama i opterećenjima između posude pod tlakom i epruveta. Iako se predviđene

kritične vrijednosti J integrala, Ju, dobivene za model posude pod tlakom ne mogu

prenijeti na različite geometrije, one se ipak pokazuju korisnim u dizajniranju posuda pod

tlakom dimenzija sličnih onima korištenim u ovom radu. Također, takav skup podataka je

koristan pri inspekciji stanja i procjeni očekivanog životnog vijeka posude pod tlakom

izrađene od razmatranih materijala.

Doprinos ovog rada se očituje u razvijanju algoritma za određivanje J integrala

ovisnog samo o ulaznim podacima dobivenim putem konačnoelementne analize

naprezanja razmatranog primjera. Ovaj se način izračuna može primijeniti i kod

dvodimenzijskih i trodimenzijskih problema, za modele cjelovitih pukotina ili njihovih

simetričnih polovica. Neovisnost o vrsti konačnoelementnog programa kojim se izvršava

analiza naprezanja čini ga šire primjenjivim kao i činjenica da se J integral kao značajka

loma može primijeniti i kod linearno elastičnog ponašanja, ne samo elastoplastičnog i

plastičnog. Uz to, kroz ovaj je rad dostupan postao značajan skup podataka o

vrijednostima J integrala za tri razmatrana materijala i za različite veličine pukotina kod

standardiziranih epruveta te jedne vrste posuda pod tlakom. Podaci dobiveni putem

epruveta se mogu iskoristiti pri dizajniranju različitih konstrukcija od razmatranih

materijala, dok se oni dobiveni putem ispitivanja posude pod tlakom mogu iskoristiti za

optimizaciju dizajna takvih i sličnih posuda, kao i pri inspekciji te procjeni očekivanog

životnog vijeka posuda pod tlakom izrađenih od razmatranih materijala.

S ovim radom ne prestaju istraživanja na zadanu temu. Budući se napori trebaju

koncentrirati na usavršavanje algoritma u smislu njegove dopune različitim i novim

metodama izračuna J integrala u svrhu dodatne verifikacije dobivenih rezultata i pružanja


121

mogućnosti izbora korisnicima. Moguće je dodati i izravno povezivanje izračunatog J

integrala s ostalim značajkama loma, kao što su otvaranje vrha pukotine, CTOD, ili

koeficijent intezivnosti naprezanja, K. Uz to, razvoj grafičkog sučelja kojim se mogu

jednostavnije pozvati određene naredbe, a za što Matlab pruža izgledne mogućnosti,

pruža dodatan izazov u budućnosti.

122

Popis literature

[1] Inglis, C.E., Stresses in a plate due to the presence of cracks and sharp corners,

Trans. of the Institute of naval architects, 55, 1913, 219-241

[2] Griffith, A.A., The phenomena of rupture and flow in solids, Philosophical

Transactions, A, 221, 1920, 163-198

[3] Westergaard, H.M., Bearing pressures and cracks, J of App Mech, 6, 1939, 49-53

[4] Irwin, G.R., Fracture dynamics, Fracturing of Metals, ASME, 1948, Cleveland

[5] Irwin, G.R., Onset of fast crack propagation in high strength steel and aluminum

alloys, Sagamore Research conference proceedings, 2, 1956, 289-305

[6] Irwin, G.R., Analysis of stresses and strain near the end of a crack traversing a

plate, J of App. Mech., 24, 1957, 361-364

[7] Wells, A.A., Unstable crack propagation in metals: Cleavage and fast fracture,

Proceed. of the crack propagation symposium, Cranfield, 1, 1961, 84

[8] Paris, P.C., Gomez, M.P., Anderson, W.P., A rational analytic theory of fatigue,

The Trend in Eng., 13, 1961, 9-14

[9] Rice, J.R., A path-independent integral and the approximate analysis of strain

concentration as notches and cracks, J of App. Mech., ASME, 35, 1968, 379-386

[10] Rice, J.R., Rosengarten, G.F., Plane strain deformation near a crack tip in a

power-law hardening material, J of mechanics and physics of solids, 16, 1968, 1-

12

Goran Vukelić – Doktorska disertacija: Numerička analiza procesa širenja pukotina konstrukcija

123

[11] Hutchinson, J.W., Singular behavior at the end of a tensile crack tip in a

hardening material, J of Mech. and Phys. of Solids, 16, 1968, 13-31

[12] Begley, J.A., Landes, J.D., The J integral as a fracture criterion, Fracture

toughness, ASTM STP 514, ASTM, 1972, Philadelphia, 1-23

[13] Begley, J.A., Landes, J.D., The effects of specimen geometry on JIc, Fracture

toughness, ASTM STP 514, ASTM, 1972, Philadelphia, 24-39

[14] Shih, C.F., Relationship between crack tip opening displacement for stationary

and extending cracks, J of Mech. and Phys. of Solids, 29, 1981, 305-326

[15] Hutchinson, J.W., Paris, P.C., Stability analysis of J-controlled crack growth,

Elastic-Plastic Fracture, ASTM STP 668, ASTM, 1979, 37-64

[16] Dowling, N.E., Begley, J.A., Fatigue crack growth during gross plasticity and

the J integral, Mechanics of Crack Growth, ASTM STP 590, ASTM, 1976, 82-

103

[17] Landes, J.D., Begley, J.A.,A fracture mechanics approach to creep crack growth,

Mechanics of Crack Growth, ASTM STP 590, ASTM, 1976, 128-148

[18] Nikbin, K.M., Webster, G.A., Turner, C.E., Relevance of nonlinear fracture

mechanics to creep cracking, Cracks and Fracture, ASTM STP 601, 1976, 47-62

[19] Taira, S., Ohtani, R., Komatsu, T., Application of J integral to high-temperature

crack propagation, Trans. of ASME, J of Eng. Mater. Technolog., 101, 1979, 163-

167

[20] Saxena, A., Evaluation of C for characterization of creep crack growth behavior

of 304 stainless-steel, Fracture Mechanics: 12th Conference, ASTM STP 700,

ASTM, 1980, 131-151

[21] Budiansky, B., Rice, J.R., Conservation laws and energy release, J of App.

Mech., 40, 1973, 201-203

[22] Carpenter, W.C., Read, D.T., Dodds, R.H.Jr., Comparison of several path

independent integrals including plasticity effects, Int. J of Fract., 31, 1986, 303-

323

[23] Hellen, T.K., On the method of virtual crack extensions, Int. J for Num. Methods

in Eng., 9, 1975, 187-207


124

[24] Parks, D.M., The virtual crack extension method for nonlinear material behavior,

Comp. Mtehods in App. Mech. And Eng., 12,1977, 353-364

[25] deLorenzi, H.G., On the energy release rate and the J integral of 3D crack

configurations, Int. J of Fract., 19, 1982, 183-193

[26] deLorenzi, H.G., Energy release rate calculations by the finite element method,

Int. J of Fract., 21, 1985, 129-143

[27] Shih, C.F., Moran, B., Nakamura, T., Energy release rate along a three-

dimensional crack front in a thermally stressed body, Int. J of Fract., 30,1986, 79-

102

[28] Moran, B., Shih, C.F., A general treatment of crack tip contour integrals, Int. J of

Fract., 35,1987, 295-310

[29] Dodds, R.H., Vargas, P.M., Numerical evaluation of domain and contour

integrals for nonlinear fracture mechanics, Report UILU-ENG-88-2006, Uni. of

Illinois, 1988, Urbana

[30] Belytschko, T., Black, T., Elastic crack growth in finite elements with minimal

remeshing, Int. J of Fract. Mech, 45,1999, 601-620

[31] Moës, N., Dolbow, J., Belytschko, T., A finite element method for crack growth

without remeshing, Int. J for Num. Meth. in Eng., 46, 1999, 131-150

[32] Sukumar, N., Moës, N., Moran, B., Belytschko, T., Extended finite element

method for three-dimensional crack modelling, Int. J for Num. Meth. in Eng., 48,

2000, 1549-1570

[33] Daux, C., Moës, N., Dolbow, J., Sukumark, N., Belytschko, T., Arbitrary

branched and intersecting cracks with the extended finite element method, Int. J

for Num. Meth. in Eng., 48, 2000, 1741-1760

[34] Zi, G., Song, J.H., Budyn, E., Lee, S.H., Belytschko, T., A method for growing

multiple cracks without remeshing and its application to fatigue crack growth,

Model. and Simulat. for Material Sci. and Eng., 12, 2004, 901-915

[35] Stazi, F.L., Budyn, E., Chessa, J., Belytschko, T., An extended finite element

method with high-order elements for curved cracks, Comp. Mech., 31, 2003, 38-

48


125

[36] Liu, X.Y., Xiao, Q.Z., Karihaloo, B.L., XFEM for direct evaluation of mixed

mode SIFs in homogenous nad bi-materials, Int. J for Num. Meth. in Eng., 59,

2004, 1103-1118

[37] Moës, N., Belytschko, T., XFEM: Extended finite element method for cohesive

crack growth Eng. Fract. Mech., 69, 2002, 813-833

[38] Zi, G., Belytschko, T., New crack tip elements for XFEM and applications to

cohesive cracks, Int. J for Num. Meth. in Eng., 57, 2003, 2221-2240

[39] Chaoudi, R., Application of micromechanical models of ductile fracture

initiation to reactor pressure vessel materials, ASTM, 1270, 1996, 531-546

[40] Carpinteri, A., Part-through cracks in pipes under cyclic bending, Nucl. Eng.

Des., 185, 1998, 1-10

[41] Lin, X.B., Smith, R.A., Fatigue crack growth predicition of internals surface

cracks in pressure vessels, J of Press. Vess. Tech., 120, 1998, 17-23

[42] Mohan, R., J-estimation schemes for internal circumferential nad axial surface

cracks in pipe elbows, J of Press. Vess. Tech., 120 (4), 1998, 418-423

[43] Dekker, C.J., Stikvoort, W.J., Pressure stress intensity at nozzles on cylindrical

vessels: a comparison of calculation mtehods, Int. J of Press. Vess. And Piping,

74(2), 1997, 121-128

[44] Margolin, B.Z., Kostylev, V.I., Analysis of biaxial loading effect on fracture

toughness of reactor pressure vessel steels, Int. J of Press. Vess. and Piping, 75(8),

1998, 589-601

[45] Zarrabi, K. et al., Plastic collapse pressure of cylindrical vessels containing

longitudinal surface cracks, Nucl, Eng. Des., 168(1/3), 1997, 313-317

[46] Kim, Y.J., et al., Reference stress based elastic–plastic fracture analysis for

circumferential through-wall cracked pipes under combined tension and bending,

Eng. Fract. Mech., 69(3), 2002, 367-88

[47] Kim, Y.J., et al., Plastic limit pressures for cracked pipes using finite element

limit analyses, Int. J of Press. Vess. Piping, 79(5), 2002, 321-330

[48] Kim, Y.J., et al., Quantification of pressure-induced hoop stress effect on

fracture analysis of circumferential through-wall cracked pipes, Eng. Fract.

Mech., 69(11), 2002, 1249-1267


126

[49] Kim, Y.J., et al., Non-linear fracture mechanics analyses of part circumferential

surface cracked pipes, Int. J of Fract., 116(4), 2002, 347-375

[50] Kim, Y.J., et al., Elastic–plastic J and COD estimates for axial throughwall

cracked pipes, Int. J of Press. Vess. and Piping 79(6), 2002, 451-464

[51] Aslantas, K., Talas, S., Tasgetiren, S., Fracture of a compressor rotor made of

grey cast iron, Eng. Fail. Analysis, 11(3), 2004, 369-373

[52] Faqian, L., et al., Analysis of causes of casing elevator fracture, Eng. Fail.

Analysis, 11(4), 2007, 606-613

[53] Mirzaei, M., Harandi, A., Karimi, R., Finite element analysis of deformation adn

fracture of an exlpoded gas cylinder, Eng. Fail. Analysis, 16(5), 2008, 1607-1615

[54] Luke, M., Varfolomejev, I., LütkePohl, K., Esderts, A., Fracture mechanics

assessment of railway axes: Experimental characterization and computation, Eng.

Fail. Analysis, 17(3), 2010, 617-623

[55] Torres, Y., Gallardo, J.M., Dominguez, J., Jimenez, F.J., Brittle fracture of a

crane hook, Eng. Fail. Analysis, 17(1), 2010, 38-47

[56] Williams, M.L., On the stress distribution at the base of a stationary crack, J of

App. Mech., 24, 1957, 361-364

[57] Anderson, T. L., Fracture mechanics, CRC Press, 1995, New York

[58] Brnić, J., Turkalj, G., Nauka o čvrstoći II, Zigo, 2006, Rijeka

[59] ASTM, Standard test method for measurement of fracture toughness, E1820-01,

ASTM, 2005, Baltimore

[60] Saxena, A., Nonlinear Fracture Mechanics for Engineers, CRC Press, 1998,

Boca Raton

[61] Shih, C.F., Hutchinson, J.W., Fully plastic solutions and large scale yielding

estimates for plane stress crack problems, Transactions of ASME, J of

engineering materials and technology, H, 98, 1976, 289-295

[62] Ernst, H.A., Paris, P.C., Landes, J.D., Estimations of J integral and tearing

modulus T froma a single specimen test record, Fracture Mechanics: 13th

Conference, ASTM STP 743, ASTM, 1981, 476-502

[63] Iljušin, A.A., The theory of small elastic-plastic deformations, Prikadnaia

matematika i mekhanika, PMM, 10, 1946, 347-35


127

[64] Kumar, V., German, M.D., Shih, C.F., An engineering approach for elastic-

plastic fracture analysis, EPRI report NP 1931, Electric power research institute,

1981, Palo Alto

[65] Brnić, J., Čanađija, M., Analiza deformabilnih tijela metodom konačnih

elemenata, Fintrade&Tours, 2009, Rijeka

[66] Mohammadi, S., Extended finite element method, Blackwell Publishing, 2008,

Singapore

[67] Murakami, T., Sato, T., Three-dimensional J integral calculations of part-

through surface crack problems, Computers & Structures, 17, 1983, 731-736

[68] Baumjohann, F., Kröning, J., A practical method for computation of ductile

crack growth by means of finite elements and parametric 3D-modelling, Nucl Eng

and Design, 1999, 190, 197-206

[69] Lin, X.B., Smith, R.A., Finite element modelling of fatigue crack growth of

surface cracked plates – Part I: The numerical technique, Eng Fract Mech,

1999,63, 503-522

[70] Krieg, R., Devos, J., Caroli, C., Solomos, G., Ennis, P.J., Kalkhof, D., On the

prediction of the reactor vessel integrity under severe accident loadings (RPVSA),

Nucl Eng and Design, 209, 1-3, 2001, 117-125

[71] Brnić, J., Čanađija, M., Turkalj, G., Lanc, D., 50CrMo4 Steel – Determination of

Mechanical Properties at Lowered and Elevated Temperatures , Creep Behavior

and Fracture Toughness Calculation, J of Eng Mater and Tech, 2010, 132,

021004-1 - 021004-6

[72] Chen, W., Wierzbicki, T., Relative merits of single-cell, mulit-cell and foam-

filled thin-walled structures in energy absorption, Thin-walled structures, 39,

2001, 287-306

[73] Ansys Basic Analysis Guide, SAS IP, Inc., 2005

[74] Matlab documentation, MathWorks, dostupno na: http://www.mathworks.com/

help/index.html [12.04.2011.]

[75] Kudari, S.K., Kodancha, K.G., On the relationship between J-integral and

CTOD for CT and SENB specimens, Fratt. ed Integrita Strutturale, 6, 2008, 3-10


128

[76] Narasaiah, N., Tarafder, S., Sivaprasad, S., Effect of crack depth on fracture

toughness of 20MnMoNi55 pressure vessel steel, Mater Sci Eng, 527, 2010,

2408-2411

[77] MacMaster, F.J., Chan, K.S., Bergsma, S.C., Kassner, M.E., Aluminum alloy

6069 part II: fracture toughness of 6061-T6 and 6069-T6, Mater Sci and Eng A,

2000, 289, 54-59

[78] Diamantoudis, A.Th., Labeas, G.N., Stress intensity of semi-elliptical surface

cracks in pressure vessels by global-local finite element methodology, Eng Fract

Mech, 2005; 72; 1299-1312

[79] Hoffmann, K., An introduction to measurement using strain gages, HBM, 1989,

Darmstadt

[80] Bucinell, R., Calculating principal strains using a rectangular strain gage rosette,

dostupno na: http://engineering.union.edu/~curreyj/MER-

214_files/Analysis%20of%20a%20Strain%20Gage%20Rosette.pdf [14.04.2011.]

[81] Brnić, J., Turkalj, G., Nauka o čvrstoći I, Tehnički fakultet Sveučilišta u Rijeci,

2004, Rijeka

[82] Brocks, W., Noack, H.D., Elastic-plastic J analysis for an inner surface flaw in a

pressure vessel, Experiment. Mech., 28(2), 1988, 205-209

129

Popis oznaka i simbola

Oznaka Jedinica Naziv

a b cˆ ˆ ˆ, , ,ε ε ε - Deformacije očitane putem a, b, c tenzometrijske trake

a b c, , ,ε ε ε - Ispravljene deformacije očitane putem a, b, c tenzometrijske trake

a m Polovična duljina pukotine A m2 Površina B m Debljina epruvete B - Matrica veze deformacija - pomak C - Matrica elastičnih konstanti materijala d,δ m Otvor pukotine E Pa Modul elastičnosti materijala Ep J Potencijalna energija deformiranja fe - Vektor čvornog opterećenja konačnog elementa u lokalnom

koordinatnom sustavu (x, y, z) G - Promjena energije defomiranja Gc Pa Kritična vrijednost promjene energije deformiranja Gs Pa Modul smicanja J N/m J integral J - Jacobijeva matrica Jc N/m Kritična lomna žilavost JΦ N/m J integral opisan po zatvorenoj liniji Φ K mPa Faktor intenzivnosti naprezanja

Kc mPa Kritična lomna žilavost

ke - Matrica krutosti konačnog elementa u lokalnom koordinatnom

sustavu (x, y, z) KI mPa Faktor intenzivnosti naprezanja kod prvog načina otvaranja

pukotine


130

KII mPa Faktor intenzivnosti naprezanja kod drugog načina otvaranja pukotine

KIII mPa Faktor intenzivnosti naprezanja kod trećeg načina otvaranja pukotine

n - Vektor normale Ni - Interpolacijske funkcije p Pa Pritisak r - Vektor položaja R m Polumjer t m Debljina stijenke posude pod tlakom u - Vektor pomaka

u, v, w m Pomaci po pravcima koordinatnih osi x, y, z u

e m, rad Vektor čvornih pomaka konačnog elementa u lokalnom koordinatnom sustavu (x, y, z)

V m3 Volumen W m Širina epruvete W J Rad wg - Težinski faktor

x, y, z - Osi lokalnog koordinatnog sustava α - Koeficijent termalne ekspanzije Γ - Linija integriranja oko vrha pukotine

δ,CTOD m Otvaranje vrha pukotine ∆a m Prirast duljine pukotine δij - Kroneckerov simbol ε - Normalna deformacija ε - Tenzor deformacije ε

e - Elastična deformacija εm - Mehanička deformacija ε

p - Plastična deformacija ε

t - Termalna deformacija Θ K Temperatura ν - Poissonov koeficijent

ξ, η, ζ - Osi prirodnog koordinatnog sustava σ Pa Tenzor naprezanja

σ, σx, σy, σz Pa Normalno naprezanje σ0.2 Pa Granica plastičnosti materijala σc Pa Cirkularno naprezanje

σ0.2 Pa Vlačna čvrstoća materijala σm Pa Meridionalno naprezanje

τ, τxy, τyz, τzx Pa Posmično naprezanje

131

Popis slika

1. Slika 2.1. Usporedba dizajniranja konstrukcije.

a) uobičajeni pristup. b) mehanika loma. 1

2. Slika 2.2. Havarija broda iz Liberty serije uzrokovana

širenjem pukotine oplatom 8

3. Slika 2.3. Ilustracija dijelova zrakoplova serije Comet

sastavljenih nakon pada s detaljem četvrtastog prozora

koji je predstavljao ishodište nastanka i širenja pukotine 9

4. Slika 2.4. Beskonačna ploča s centralnom pukotinom

duljine 2a izložena vlačnom naprezanju 13

5. Slika 2.5. Utjecaj lomne žilavosti materijala na vrstu loma 13

6. Slika 2.6. Krhki lom 14

7. Slika 2.7. Žilavi lom 15

8. Slika 3.1. Polje naprezanja pri vrhu pukotine 16

9. Slika 3.2. Načini otvaranja pukotine.

a) odcjepni. b) smični. c) vijčani. 17

10. Slika 3.3. Vlačno opterećenje ploče s tri oblika pukotine.

a) Beskonačna ploča s centralnom pukotinom duljine 2a.

b) Polubeskonačna ploča s pukotinom na kraju, duljine a.


132

c) Beskonačna ploča s kružno oblikovanom pukotinom poput

novčića "usađenom" u tijelo. 19

11. Slika 3.4. Raspodjela koncentracije naprezanja kod:

a) beskonačne i b) konačne ploče s centralnom pukotinom 20

12. Slika 3.5. Niz kolinearnih pukotina u beskonačnoj ploči 20

13. Slika 3.6. Utjecaj debljine epruvete B (B1 < B2) na

lomnu žilavost materijala, (KIc, Kc) 22

14. Slika 3.7. Primjer SENB (eng. single-edge notch bend)

epruvete korištene za ispitivanje lomne žilavosti dimenzionirane

prema ASTM E 1820-01 24

15. Slika 4.1. Otvaranje vrha pukotine 26

16. Slika 4.2. Pomak , uy, i korektivni izraz za postojanje plastičnog

područja, ry, kod otvaranja vrha pukotine, CTOD 26

17. Slika 4.3. Tijelo A s opisanom konturom integriranja Φ 28

18. Slika 4.4. Linija integriranja Γ oko vrha pukotine 29

19. Slika 4.5. Zatvorena linija integriranja Γ oko pukotine 30

20. Slika 4.6. Kružna linija integriranja Γ, polumjera r, s

centrom u vrhu pukotine 31

21. Slika 4.7. Otvaranje vrha pukotine, CTOD 33

22. Slika 4.8. Ponašanje vrha pukotine tijekom žilavog loma 34

23. Slika 5.1. Tijelo površine A obrubljeno linijom Γ.

ST je dio linije na kojem su definirana naprezanja, a dio Su

na kojem su definirani pomaci. 37

24. Slika 5.2. Dijagram opterećenje-pomak za dvije epruvete

veličina pukotine a i a+∆a, pri: a) konstantnom pomaku.

b) konstantnom opterećenju. 38

25. Slika 5.3. Epruvete standardizirane prema ASTM-u

za ispitivanje parametara mehanike loma: a) CT. b) disk.

c) SENB, d) lučna, e) MT. 40

26. Slika 5.4. Deformirana SENB epruveta opterećena momentom M 41

27. Slika 5.5. Površina A ispod krivulje moment – kut rotacije 42

28. Slika 5.6. M - θpl krivulje za pukotine duljine a0, a1 i a2,


133

te za pukotinu koja je narasla od a0 do a2 43

29. Slika 5.7. Cilindar pod tlakom p, unutarnjeg polumjera Ru,

debljine stijenke t = W i duljine pukotine a 48

30. Slika 6.1. Primjer J-R krivulje 49

31. Slika 6.2. Primjer dijagrama opterećenje-pomak

uz pet provedneih rasterećenja epruvete 51

32. Slika 6.3. Presjek epruvete nakon provedenog

eksperimenta s označenih devet točaka pomoću

kojih se obavlja mjerenje prosječne veličine pukotine [60] 52

33. Slika 6.4. Dijagram opterećenje-pomak dobiven tijekom

ispitivanja lomne žilavosti kod: a) nestabilnog loma

kojem nije prethodilo značajnije stabilno širenje pukotine.

b) nestabilnog loma s prethodnim stabilnim širenjem pukotine.

c) stabilnog širenja pukotine bez loma. 53

34. Slika 6.5. Konstruiranje J-R krivulje 55

35. Slika 6.6. Određivanje površine Ap iz dijagrama opterećenje-pomak 56

36. Slika 7.1. Konačni element u lokalnom (ξ, η) i

globalnom (x, y) koordinatnom sustavu 59

37. Slika 7.2. Linije integriranja oko vrha pukotine 62

38. Slika 7.3. Površine integriranja oko fronte pukotine 64

39. Slika 7.4. Linija integriranja Γ za J integral koja okružuju

vrh pukotine i prolazi kroz integracijske točke unutar

konačnih elemenata 66

40. Slika 7.5. Površina izoparametarskog konačnog elementa

s osam čvorova nad kojom će se izračunati površinski integral 70

41. Slika 7.6. Često korišteni konačni elementi u

mehanici loma. a) pravokutni serendipity kvadratni

konačni element. b) pravokutni Lagrangeovi kubični

konačni element. c) prizmatični serendipity konačni

element drugog reda. d) prizmatični Lagrangeov

konačni element višeg reda. 73

42. Slika 7.7. Svođenje pravokutnog konačnog elementa


134

u trokutni i raspored trokutnih konačnih elemenata

oko vrha pukotine 74

43. Slika 7.8. Deformirana mreža konačnih elemenata

pri vrhu pukotine kod plastičnog ponašanja materijala 75

44. Slika 7.9. Primjer modeliranja dvodimenzijske mreže

konačnih elemenata oko vrha pukotine 75

45. Slika 7.10. Parametarsko modeliranje trodimenzijske iz

dvodimenzijske mreže konačnih elemenata. Osjenčano područje

predstavlja površinu pukotine. 76

46. Slika 7.10. Modeliranje trodimenzijske iz dvodimenzijske mreže

konačnih elemenata prema Linu [69]. Osjenčano područje

predstavlja površinu pukotine. 77

47. Slika 8.1. σ – ε dijagram za 20MnMoNi55 [70] 81

48. Slika 8.2. σ – ε dijagram za 50CrMo4 [71] 82

49. Slika 8.3. σ – ε dijagram za AA6061 [72] 82

50. Slika 8.4. Dimenzije epruveta definirane prema

ASTM E 1820-01. a) SENB epruveta. b) CT epruveta. 83

51. Slika 8.5. Mreža konačnih elemenata.

a) SENB epruveta. b) CT epruveta. 84

52. Slika 8.6. Raspodjela intenziteta naprezanja.


53. Slika 8.7. Raspodjela intenziteta deformacija.


54. Slika 8.8. a) Linije J integrala (Γ1, Γ2, Γ3) koje okružuju

vrh pukotine i prolaze kroz integracijske točke unutar

konačnih elemenata. b) detalj jednog konačnog elementa

s linijom J integrala koji prolazi kroz dvije

od četiri integracijskih točaka. 88

55. Slika 8.9. Određivanje J integrala: dijagram toka. 90

56. Slika 8.10. Čelik 20MnMoNi55. a) J-R dijagram

za SENB epruvetu. b) J-R dijagram za CT epruvetu. 93

57. Slika 8.11. Čelik 50CrMo4. a) J-R dijagram


135


58. Slika 8.12. Aluminijska slitina AA6061. a) J-R dijagram


59. Slika 8.13. Usporedba numerički i eksperimentalno

dobivenih J-R krivulja za SENB epruvetu izrađenu

od čelika 20MnMoNi55 96

60. Slika 8.14. Usporedba numerički i eksperimentalno

dobivenih J-R krivulja za CT epruvetu, a/W = 0.5

izrađenu od aluminijske slitine AA6061 97

61. Slika 8.14. Određivanje JQ iz J-R krivulje 98

62. Slika 8.15. Kritične proračunske vrijednosti parametara lomne žilavosti

za razmatrane materijale u ovisnosti od veličini

pukotine kod epruvete 99

63. Slika 9.1. Primjer posude pod tlakom. a) geometrija

i dimenzije posude i submodela. b) detalj

poprečnog presjeka posude s dimenzijama pukotine. 101

64. Slika 9.2. Konačnoelementni model posude pod tlakom 102

65. Slika 9.3. Mreža konačnih elemenata. a) submodela

posude pod tlakom. b) pukotine. c) "odrezanog" dijela pukotine

na polovici submodela. d) fronte pukotine, d) vrha pukotine 104

66. Slika 9.4. Raspodjela intenziteta naprezanja u

submodelu posude pod tlakom 105

67. Slika 9.5. Raspodjela deformacija

u submodelu posude pod tlakom 106

68. Slika 9.6. a) Raspodjela numerički dobivenog cirkularnog

naprezanja, σc, po debljini stijenke posude pod tlakom za

a/t = 0.5, t = 2 mm, pri p = 1.6 MPa, b) teoretska

raspodjela cirkularnih naprezanja, σc, pri vrhu pukotine [57] 108

69. Slika 9.7. Posuda pod tlakom spojena s pumpom

i s postavljenom tenzometrijskom rozetom 109

70. Sl. 9.8. Posuda pod tlakom od čelika 20MnMoNi55.

J integral kao mjera sile razvoja pukotine pri:


136

a) p = 1.6 MPa. b) p = 2.5 MPa. 113

71. Slika 9.9. Posuda pod tlakom od čelika 50CrMo4.


a) p = 1.6 MPa. b) p = 2.5 MPa. 114

72. Slika 9.10. Posuda pod tlakom od čelika AA6061.


a) p = 1.6 MPa. b) p = 2.5 MPa. 115

73. Slika 9.11. Kritične vrijednosti predviđenog parametra lomne žilavosti za

razmatrane materijale u ovisnosti o veličini pukotine

kod posude pod tlakom 117

74. Slika 9.12. Promjena J u ovisnosti od tlaka u posudi s

pukotinom a/t = 0.5 za tri različita materijala 118

137

Popis tablica

1. Tablica 8.1. Kemijski sastav ispitivanih materijala

materijala (u težinskim postocima) 80

2. Tablica 8.2. Naprezanje na granici plastičnosti, σ0.2,

vlačna čvrstoća, σm, modul elastičnosti, E,

Poissonov koeficijent, ν -za razmatrane materijale 81

3. Tablica 9.1. Posuda pod tlakom bez pukotine:

usporedba cirkularne, εc, i meridionalne, εm, deformacije

određene analitički, numerički i eksperimentalno 110

4. Tablica 9.2. Posuda pod tlakom s pukotinom:

usporedba cirkularne, εc, i meridionalne, εm, deformacije

određene numerički i eksperimentalno 111

138

Životopis

Goran Vukelić rođen je 13. siječnja 1981. Osnovnu je školu završio 1995. u Rijeci,

dok je srednjoškolsku naobrazbu stekao u Prvoj sušačkoj hrvatskoj gimnaziji gdje je

maturirao 1999.

Iste je godine upisao sveučilišni studij strojarstva na Tehničkom fakultetu Sveučilišta

u Rijeci. Tijekom studija od fakulteta je nagrađen za uspjeh u studiranju, a bio je i

korisnik državne stipendije Ministarstva obrazovanja, znanosti i športa za osobito

nadarene studente. Diplomski rad naslova "Analiza plastifikacija stijena" izrađen pod

mentorstvom red. prof. dr. sc. Josipa Brnića obranio je 2004.

Po završetku studija 2005. zapošljava se na Tehničkom fakultetu Sveučilišta u Rijeci

kao znanstveni novak na Zavodu za tehničku mehaniku. Izvodi auditorne i laboratorijske

vježbe iz predmeta Statika i Nauka o čvrstoći I na sveučilišnom preddiplomskom studiju

strojarstva i brodogradnje, Mehanika i elementi konstrukcija na sveučilišnom

preddiplomskom studiju elektrotehnike i stručnom studiju elektrotehnike, Mehanika I i

Črvstoća na stručnom studiju strojarstva i brodogradnje te Optimalni dizajn na

sveučilišnom diplomskom studiju strojarstva. Poslijediplomski znanstveni studij smjera

Računalna mehanika upisuje 2005. na Tehničkom fakultetu Sveučilišta u Rijeci. Temu


139

doktorske disertacije naslova "Numerička analiza procesa širenja pukotina" pod

mentorstvom red. prof. dr. sc. Josipa Brnića obranio je 2007.

Kao znanstveni novak bio je uključen u znanstveni projekt "Numerička analiza

nelinearnih problema u projektiranju i proizvodnji", br. 0069-006, Ministarstva znanosti i

tehnologije Republike Hrvatske, od 2002. pod vodstvom glavnog istraživača red. prof. dr.

sc. Josipa Brnića, a od 2007. pod vodstvom istog glavnog istraživača sudjeluje u radu na

znanstvenom projektu 069-0691736-1737, pod naslovom "Numerička analiza odziva

konstrukcija za određena područja eksploatacije".

Sudjelovao je na seminarima dodatne izobrazbe ASDEPP, Fatigue Reliability and

Rational Inspection Planning, Zagreb, 2008. te CISM, Nonlinear Fracture Mechanics

Models, Udine, 2008. Studijski boravak na stranoj znanstvenoj ustanovi, kao obvezu

tijekom poslijediplomskog studija, u trajanju od četiri mjeseca, osiguran temeljem

spomenutog znanstvenog projekta (069-0691736-1737), a u okviru ERASMUS razmjene,

proveo je 2009. i 2010. na Brno University of Technology, Faculty of Mechanical

Engineering.

Autor je ili koautor dvanaest znanstvenih radova objavljenih u domaćim ili stranim

časopisima odnosno prezentiranih na domaćim ili inozemnim znanstvenim skupovima.

Član je Hrvatskog društva za mehaniku. Govori i piše engleski i talijanski jezik.

PODACI O AUTORU I DOKTORSKOJ DISERTACIJI 1.AUTOR Ime i prezime: Goran Vukelić Datum i mjesto rođenja: 13. siječnja, 1981., Rijeka Naziv fakulteta, studija i godina završetka dodiplomskog studija: Sveučilište u Rijeci, Tehnički fakultet, 2004. Sadašnje zaposlenje: Sveučilište u Rijeci, Tehnički fakultet 2. DOKTORSKA DISERTACIJA Naslov: Numerička analiza procesa širenja pukotina

konstrukcija Broj stranica, slika, tablica i bibliografskih podataka: 139, 74, 4, 82 Znanstveno polje i grana: Strojarstvo i Temeljne tehničke znanosti,

Tehnička mehanika Voditelj rada: Red. prof. dr. sc. Josip Brnić, dipl. ing. Fakultet na kojem je rad obranjen: Sveučilište u Rijeci, Tehnički fakultet 3.OBRANA I OCJENA Datum prijave teme: 03. listopada 2007. Datum predaje rada: 06. svibnja 2011. Datum prihvaćanja ocjene rada: 29. lipnja 2011. Sastav Povjerenstva za ocjenu: 1. Red. prof. dr. sc. Goran Turkalj, dipl. ing., predsjednik

2. Red. prof. dr. sc. Josip Brnić, dipl. ing., mentor, član 3. Red. prof. dr. sc. Marko Čanađija, dipl. ing., član 4. Red. prof. dr. sc. Ivo Alfirević, dipl. ing., prof. emeritus, član, (Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb) 5. Red. prof. Dr. sc. Željan Lozina, dipl. ing., član, (Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Split

Datum obrane: 12. srpnja 2011. Sastav Povjerenstva za obranu: 1. Red. prof. dr. sc. Goran Turkalj, dipl. ing., predsjednik


Datum promocije: Oznaka: DD Tek. broj: UDK 539.421:621.642.1:004.421.2:519.63(043)

Numerička analiza procesa širenja pukotina konstrukcija

Goran Vukelić

Sveučilište u Rijeci Tehnički fakultet

Hrvatska Ključne riječi: pukotina, parametar lomne žilavosti, J integral, posuda pod tlakom, CT epruveta, SENB epruveta Sažetak: U ovom je radu, uz pregled razvoja mehanike loma, a sukladno značaju kojeg ona ima u projektiranju konstrukcija, razvijen algoritam za procjenu otpornosti materijala konstrukcijskih elemenata spram širenja pukotina. Tako je razvijen numerički algoritam za izračun J integrala kao parametra lomne žilavosti. Numeričkom je analizom dobivena promjena J integrala ovisno o povećanju (porastu) pukotine, a ta je promjena opisana u rezultirajućim J-R krivuljama. Iz njih su određene kritične vrijednosti lomne žilavosti za tri različita materijala koji se često koriste u konstrukciji posuda pod tlakom, čelika 20MnMoNi55 i 50CrMo4 te aluminijske slitine AA6061. Numerička su ispitivanja najprije izvedena na modelima standardiziranih epruveta SENB i CT izrađenih iz spomenutih materijala s različitim veličinama pukotine, a, koje su definirane u odnosu na ukupnu visinu epruvete, W (a/W = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75). Nakon toga, numerička su ispitivanja izvedena i na modelima posuda pod tlakom s unutarnjom pukotinom koaksijalnom s uzdužnom osi posude, različitih veličina, a, gdje je veličina definirana u odnosu na debljinu stijenke, t =W, (a/t = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625). Uz to, numerički je model verificiran tenzometrijskim ispitivanjima provedenim na stvarnoj posudi pod tlakom izrađenoj iz čelika 50CrMo4. Putem standardiziranih epruveta, za dva su materijala vrijednosti J integrala dobivene numeričkim algoritmom uspoređene putem J-R krivulja s dostupnim eksperimentalnim istraživanjima drugih autora, pri čemu je pokazana dobra podudarnost. Rad nije objavljen. Mentor: Red. prof. dr. sc. Josip Brnić, dipl. ing. stroj. Sastav Povjerenstva za ocjenu: 1. Red. prof. dr. sc. Goran Turkalj, dipl. ing., predsjednik


Sastav Povjerenstva za obranu: 1. Red. prof. dr. sc. Goran Turkalj, dipl. ing., predsjednik 2. Red. prof. dr. sc. Josip Brnić, dipl. ing., mentor, član 3. Red. prof. dr. sc. Marko Čanađija, dipl. ing., član 4. Red. prof. dr. sc. Ivo Alfirević, dipl. ing., prof. emeritus, član, (Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb) 5. Red. prof. Dr. sc. Željan Lozina, dipl. ing., član, (Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Split

Datum obrane: 12. srpnja 2011. Rad je pohranjen na Tehničkom fakultetu Sveučilišta u Rijeci. (139, 74, 4, 82, hrvatski jezik)

DD UDK 539.421:621.642.1:004.421.2:519.63(043)

Numerička analiza procesa širenja pukotina konstrukcija Ključne riječi: I Vukelić G. pukotina parametar lomne žilavosti II Sveučilište u Rijeci J integral Tehnički fakultet posuda pod tlakom Hrvatska CT epruveta SENB epruveta

Numerical Analysis of Constructions' Crack Growth Process

Goran Vukelić

University of Rijeka Faculty of Engineering

Croatia

Key words: Crack, Fracture toughness parameter, J integral, Pressure vessel, CT specimen, SENB specimen Summary: An algorithm for assessment of materials crack growth resistance is developed in this work, along an overview of fracture mechanics according to its significance in structure design. Consequently, a numerical algorithm for calculation of J integral as a parameter of fracture toughness is developed. Numerical analysis gives change of J integral in reference to crack growth and dependence is described in the resulting J-R curves. Such curves are used to determine critical values of fracture toughness for three different materials, steels 20MnMoNi55 and 50CrMo4 and aluminum alloy AA6061, that are commonly used in pressure vessel manufacture. Numerical investigation is first conducted on the models of standardized SENB and CT specimens made of mentioned materials, with different crack sizes, a, that are defined relative to specimen's width, W (a/W = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.75). Next, numerical investigations are conducted on pressure vessel models containing inner crack coaxial with longitudinal axis, whose size, a, is defined relative to the pressure vessel wall thickness, t = W, (a/t = 0.25, 0.375, 0.5, 0.625). Besides, numerical model is verified by tensometric measurements conducted on a real pressure vessel made of 50CrMo4 steel. Using standardized specimens, J integral values obtained by numerical algorithm are compared through J-R curves with available experimental results of other authors for two materials and a good correspondence is shown.

This thesis has not been published. Mentor: D. Sc. B. ME. Josip Brnić, Prof. Advisors: 1. D. Sc. B. ME. Goran Turkalj, Prof.

2. D. Sc. B. ME. Josip Brnić, Prof. 3. D. Sc. B. ME. Marko Čanađija, Prof. 4. D. Sc. B. ME. Ivo Alfirević, dipl. ing., Prof. emeritus (Faculty of Mech. Eng. and Naval Architecture, Zagreb) 5. D. Sc. B. ME. Željan Lozina, Prof. (Faculty of Electrical Eng., Mech. Eng. and Naval Architecture, Split)

Reviewers: 1. D. Sc. B. ME. Goran Turkalj, Prof. 2. D. Sc. B. ME. Josip Brnić, Prof. 3. D. Sc. B. ME. Marko Čanađija, Prof. 4. D. Sc. B. ME. Ivo Alfirević, dipl. ing., Prof. emeritus (Faculty of Mech. Eng. and Naval Architecture, Zagreb) 5. D. Sc. B. ME. Željan Lozina, Prof. (Faculty of Electrical Eng., Mech. Eng. and Naval Architecture, Split)

Presentation: 12. srpnja 2011. This thesis is deposited in the library of the University of Rijeka, Faculty of Engineering. (139, 74, 4, 82, Croatian language)

DR UDC 539.421:621.642.1:004.421.2:519.63(043)

Numerical Analysis of Constructions' Crack Growth Process Key words: I Vukelić G. crack Fracture toughness parameter II University of Rijeka J integral Faculty of Engineering Pressure vessel Croatia CT specimen SENB specimen

Documents

NUMERIČKA ANALIZA PROCESA ŠIRENJA PUKOTINA … · VII Sadržaj Predgovor I Sažetak III Abstract V 1. Uvod 1 2. Mehanika loma 6