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Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg
Numerische Strömungsmechanik mit Z88
Max Geilen
Florian Hüter
Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg
Finite-Elemente-Analyse von Stokes-Strömungen
21. September 2016
Bayreuth
18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag
Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg
18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag 2016 21. September 2016, Bayreuth
Florian Hüter, Max Geilen
Anwendungsbeispiele
Numerische Strömungsmechanik
2
Computational Fluid Dynamics (CFD)
Abb. 1
Abb. 2
Abb. 3
Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg
18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag 2016 21. September 2016, Bayreuth
Florian Hüter, Max Geilen
Zielsetzungen
3
• Theoretische Grundlagen
• Schwerpunkt: Stokes‘sche Strömungen
• Exkurs: Navier-Stokes-Gleichungen
• Mathematische Schwierigkeiten
• Möglicher Lösungsansatz
• Validierung am Benchmark-Problem
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18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag 2016 21. September 2016, Bayreuth
Florian Hüter, Max Geilen
Stokes-Strömung
Deckelgetriebene Nischenströmung
4
Benchmark-Problem:
• Laminar, Re<<1 • Inkompressibel • Newtonsches Material • Isotherm
Klassifizierung der Strömung:
Abb. 4
Geschwindigkeitsfeld FDM:
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Florian Hüter, Max Geilen
Stationäre Stokes-Gleichungen
Stokes-Strömungen
5
0
i
i
x
u
bi
j
ij
i
i fxx
p
t
u
Massenerhaltung:
Impulserhaltung:
hier nur stationär !
Lineares partielles Differentialgleichungssystem:
Lösung mithilfe der FEM
i
j
j
iij
x
u
x
u
2
1
• zwei gekoppelte PDGLen
• zwei Unbekannte: pu,
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Florian Hüter, Max Geilen
Klassischer Diskretisierungsansatz der FEM
Stokes-Strömungen
6
0
i
i
x
u
bi
ij
ijf
x
p
x
0
uD
Rpu T
DK
Massenerhaltung:
Impulserhaltung:
lineares
Gleichungs-system
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Florian Hüter, Max Geilen
Lagrange-Gleichungssystem
Stokes-Strömungen
7
0
R
p
uT
0D
DKLagrange-Gleichungssystem:
• Sattelpunktproblem
• Matrix: symmetrisch, aber indefinit
Eigenschaften: Eingeschränkte Solver-Auswahl
Mehrfeldformulierung:
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Florian Hüter, Max Geilen
Hybridelementansatz
Stokes-Strömungen
8
Nicht alle Elementtypen dürfen miteinander kombiniert werden !
LBB-Bedingung: Eingeschränkte Element-Auswahl
Geschwindigkeit Druck Hybridelement
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Simulationsergebnisse
Stokes-Strömungen
9
Vergleichsrechnung Stationäre Lösung des Geschwindigkeitsfeldes
Matlab: FDM
Netz: 50x50
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Florian Hüter, Max Geilen
Simulationsergebnisse (2)
Stokes-Strömungen
10
Ergebnisse entlang charakteristischer Linien
Abb. 5
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
-0,25 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
y
u
Z88: FEM
Matlab: FDM
u
x
y
Fazit: gute Übereinstimmung der Simulationsergebnisse
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Checkerboard-Effekt
Stokes-Strömungen
11
Ergebnisse für das Druckfeld:
LBB-stabil
Checkerboard-Effekt • LBB-Bedingung
verletzt • Instabilität im
Druck • Geschwindigkeit
korrekt
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Stabilitätsprobleme
Navier-Stokes-Gleichungen
12
0
i
i
x
uMassenerhaltung:
bi
j
ij
i
ij
j
i fxx
puu
xt
u
)(
Konvektionsterm Druckgradient
• Nichtlinearität • Instabilitäten im Geschwindigkeitsfeld
• zwei Unbekannte gleichzeitig zu lösen • Instabilität im Druck
Impulserhaltung:
Stabilisierungsverfahren
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Characteristic-Based Split (CBS)-Algorithmus
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Characteristic Galerkin Procedure Fractional Step Method
Konvektions- Stabilisierung
Grundidee
• Split A • Split B • Single Step Version
Verfahrensvarianten:
Druck- stabilisierung
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Single Step Version (SSV)
Characteristic-Based Split (CBS)-Algorithmus
14
n
bi
i
ij
jk
kbi
j
ji
i
ij
j
i fx
pUu
xxu
tf
xx
pUu
xt
U
)(
2)(
n
ii
i
x
pt
x
U
t
p
c
2
2
2
1
Schritt 1:
Schritt 2:
je Zeititeration zwei Schritte: Stabilisierungsterme
Druck ermitteln
Geschwindigkeit berechnen Konvektions-stabilisierung
Druck-stabilisierung
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Spezialfall: stationäre Stokes-Strömung
Characteristic-Based Split (CBS)-Algorithmus
0
R
p
ut
T
HD
DK
Klassischer Diskretisierungsansatz führt zu:
CBS-SSV-Gleichungssystem:
Druckstabilisierung
• Matrix immer noch indefinit
• LBB-Bedingung wird aufgehoben
Eigenschaften:
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Wahl des Elementansatzes
Characteristic-Based Split (CBS)-Algorithmus
Alle Elementtypen dürfen miteinander kombiniert werden!
LBB-Bedingung aufgehoben: Geschwindigkeit
Druck
Hybridelement
Insbesondere auch Elemente aus Mechanik
Druck als zusätzliche
Geschwindigkeitskomponente
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Checkerboard-Effekt
Simulationsergebnisse
Characteristic-Based Split (CBS)-Algorithmus
17
Ergebnisse für das Druckfeld:
Numerische Lösung für das Druckfeld jetzt STABIL !
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Simulationsergebnisse (2)
18
Characteristic-Based Split (CBS)-Algorithmus
Ergebnisse entlang charakteristischer Linien
x
y
Fazit: sehr gute Übereinstimmung der Simulationsergebnisse
p
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
p
x
Z88: Q2Q1
Z88: Q2Q2
Matlab: FDM
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18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag 2016 21. September 2016, Bayreuth
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Zusammenfassung
19
• Mathematisch anspruchsvoll
• Hybridelementansatz
• Stabilitätsprobleme
• CBS-Algorithmus
• Lagrange-Ansatz:
• CBS-Ansatz:
Stokes-Strömung: Programme
Numerische Strömungsmechanik: FEM
Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg
18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag 2016 21. September 2016, Bayreuth
Florian Hüter, Max Geilen
• Vektorfeld
• Stromlinien
Visualisierung :
Abb. 6 Abb. 7
Ausblick
Eigenständiges CFD-Modul:
• in Z88Aurora
• analog zu z88thermo
20
Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg
18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag 2016 21. September 2016, Bayreuth
Florian Hüter, Max Geilen
21
Numerische Strömungsmechanik mit Z88
Abb. 8
Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg
18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag 2016 21. September 2016, Bayreuth
Florian Hüter, Max Geilen
Bildnachweise
Quellenangaben
22
Abb. 1 http://www.cd-adapco.biz/sites/default/files/F18_sized.jpg, aufgerufen am 28.08.2016
Abb. 2 https://cdn.comsol.com/wordpress/2014/01/Flow-and-temperature-field-in-a-shell-and-tube-heat-exchanger.png, aufgerufen am 28.08.2016
Abb. 3 https://www.fh-muenster.de/maschinenbau/labore/waermetechnik/turbinengleitlager.php?p=7,9,4, aufgerufen am 28.08.2016
Abb. 4 http://www.nacad.ufrj.br/~rnelias/gallery/cavity.html, aufgerufen am 28.08.2016
Abb. 5 https://www.researchgate.net/figure/266472931_fig1_Fig-6-Lid-Driven-Cavity-problem-for-n-1-and-s-0-Adaptive-mesh-and-streamlines-The, aufgerufen am 28.08.2016
Abb. 6
http://www.openfoam.com/documentation/tutorial-guide/img/tutorial47x.png, aufgerufen am 03.09.2016
Abb. 7
http://www.openfoam.com/documentation/tutorial-guide/img/tutorial50x.png, aufgerufen am 03.09.2016
Abb. 8
http://baubiologie-eifel.de/assets/images/fragezeichen.jpg, aufgerufen am 28.08.2016
Lehrstuhl für Konstruktionslehre und CAD Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg
18. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag 2016 21. September 2016, Bayreuth
Florian Hüter, Max Geilen
Literaturverzeichnis
Quellenangaben
23
Donea, J.; Huerta, A.: Finite Element Methods for Flow Problems. 1. Auflage. John Wiley & Sons. Chichester: 2013.
Geilen, M.; Hüter, F.; Rieg, F.: Die Finite-Elemente-Methode in der Strömungsmechanik - Mathematische Grundlagen, Implementierung und Evaluation von Stokes- und Potentialströmungen. Teamprojektarbeit Universität Bayreuth: 2016.
Reddy, J. N.; Gartling, D. K.: The Finite Element Method in Heat Transfer and Fluid Dynamics. 3. Auflage. CRC Press. Boca Raton: 2010.
Rieg, F.; Hackenschmidt, R.; Alber-Laukant, B.: Finite Elemente Analyse f•ur Ingenieure. 5. Auflage. Carl Hanser Verlag. München: 2014.
Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L.; Nithiarasu, P.: Finite Element Method for Fluid Dynamics. 7. Auflage. Elsevier. Oxford: 2014.