ASIGNATURA: LGEBRA LINEAL

NMERO COMPLEJO

FORMA CARTESIANA

Un nmero complejo en la forma cartesiana es unnmero de la forma:

= +

y son nmeros reales.

es la unidad imaginaria compleja.

= 1

se conoce como la parte real de y se denota Re .

se conoce como la parte imaginaria de y se denota

Im .

FORMA CARTESIANA

Representacin cartesiana de un nmero complejo.

= 3 + 2 = 3 + 2

= 3 2 = 3 2

=

=

= +

FORMA CARTESIANA

Si = + ,

entonces se define

el conjugado de

como = .

se obtiene

reflejando

respecto al eje

=

=

FORMA CARTESIANA

Dos nmeros complejos son conjugados, si y

solamente si son iguales sus partes reales y los

coeficientes de sus partes imaginarias difieren del

signo algebraico.

Ejemplo 1: = 4 3 el conjugado es = 4 + 3

Ejemplo 2: = 2 + 5 el conjugado es = 2 5

Ejemplo 3: = 3 2 el conjugado es = 3 + 2

FORMA CARTESIANA

Conjugado de un

nmero complejo.

Ejemplo 1.

Ejemplo 2.

Ejemplo 3.

= 4 3

4 3

2 5

2 5

2 2

2 2

FORMA CARTESIANA

Operaciones aritmticas

o Suma:

+ + + = + + +

o Resta:

+ + = +

o Producto:

+ . + = + ( + )

o Divisin:

+

+ = +

+

+

+

FORMA CARTESIANA

Magnitud

Para = + se

define la magnitud de

, denotada por ,

como:

= +

!

"#

= $%

= &'$

FORMA CARTESIANA

Argumento

El argumento de ,

denotado por arg, se

define como el ngulo

entre la recta ' y el

lado positivo del eje .

+, arg - +

!

"#

= $%

= &'$

'

FORMA POLAR

Representacin de

en forma polar:

Si = + , entonces:

=

cos =

= cos

sen =

= $%

!

"#

= $%

= &'$

'

FORMA POLAR

Sustituyendo = &'$ y

= sen en = + .

= cos + $%

= cos + $%

Usando la frmula de Euler.

23 = &'$ + $%

= 23

!

"#

FORMA POLAR

!

"#

Como cos = &'$ y

$% = $% tambin se

tiene:

423 = cos() + sen()

423 = cos sen

El conjugado de en forma

polar es:

= 423

FORMA POLAR

Potencia de un nmero complejo.

Suponga que se escribe un nmero complejo en su

forma polar z = 23, entonces:

6 = 236= 6 23

6

6 = 236= 6(cos % $% %)

En particular, cuando 1 , se obtiene la

frmula de De Moivre.

cos $% 6 (cos % $% %)