Números complejos

Álgebra Superior

DefiniciónLos números complejos aparecen como solución de algunas ecuaciones cuadráticas. En general, cualquier ecuación de grado mayor que 1 puede tener como solución un número complejo.

Los números complejos están relacionados con la extracción de raíces pares de números negativos.

Definiremos un número complejo como un par ordenado de números reales

(a; b)

Ejemplos: (3; 5) (-1.922; 0.003) (17.28892; -5.8276)

IgualdadDos números complejos (a; b) y (c; d) son iguales si y solo si a = c y b = d.

De acuerdo con esto:

(2; √12) = ( ½ √7 + 4√3) + ½ √7 – 4√3 ); 2 √ 3)

Ya que

2 = ½ √7 + 4√3 + ½ √7 – 4√3 ?

√12 = 2 √ 3

Por el contrario

(–1; 1) (1; –1)

Suma y productoDefinimos la suma de complejos como:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)

Ejemplos: (2; –4) + (5; 6) = (7; 2)

(–3; 8) + (–1; –4) = (–4; 4)

Definimos la multiplicación de complejos como:

(a; b) · (c; d) = (ac – bd; ad + bc)

Ejemplos: (2; – 4) · (5; 6) = (2·5–(–4)·6; 2·6+5(–4)) = (10+24; 12–20) = (34; –8))

(–3; 8) · (–1; –4) = ((–3)(–1) – 8(–4); (–3)(–4)+8(–1)) = (3+32;12–8 ) = (35; 4)

Propiedades de la suma y la multiplicación

Las propiedades fundamentales de los reales se extienden fácilmente a los números complejos.

1. Conmutatividad para la suma:

(a; b) + (c; d) = (c; d) +(a; b)

2. Asociatividad para la suma:

((a; b) + (c; d)) + (e; f) = (a; b) + ((c; d) + (e; f))

3. Conmutatividad para la multiplicación:

(a; b) · (c; d) = (c; d) · (a; b)

Propiedades de la suma y la multiplicación (cont.)

4. Asociatividad para la multiplicación:

((a; b) · (c; d)) · (e; f) = (a; b) · ((c; d) · (e; f))

5. Distributividad:

(a; b) · ((c; d)+ (e; f) )= (a; b) · (c; d) + (a; b) · (e; f)

SustracciónLa resta de un complejo (c; d) de otro (a; b) es un complejo (x; y) tal que

(c; d) + (x; y) = (a; b)

Esto implica que

c + x = a y d + y = b

De aquí que

x = a – c y y = b – d

Por lo tanto

(a; b) – (c; d) = (a – c; b – d)

Propiedades de la sustracción

Se cumple lo siguiente:

(a; b) – (a; b) = (0; 0)

(a; b) + (0; 0) = (a; b)

Ejemplos:

(3; –5) – (8; 3) = (– 5; – 8)

(10; 14) – (7; 10) = (3; 4)

DivisiónLa división de un complejo (a; b) entre otro (c; d) es un complejo (x; y) tal que

(c; d) · (x; y) = (a; b)

Esto implica que

c x – dy = a (1) y dx + cy = b (2)

De (1), x = (a + dy)/c, sustituyendo en (2)

d(a+ dy)/c +cy = b.

d2y + c2y = bc – ad .

Por lo tanto y = (bc – ad )/(d2 + c2) y x = (a + d (bc – ad )/(d2 + c2))/c = (ad2+ac2+dbc-ad2)/((d2 + c2)c) = (ac+db)/(d2 + c2)

(a; b) / (c; d) = ((ac+db)/(d2 + c2); (bc – ad )/(d2 + c2))

Ejemplos(4; 6)/(7; 8) = ((4·7+6·8)/(72+82); (6·7–4·8)/(72+82))

= ((28+48)/(49+64); (42–32)/(49+64))

= (76/113; 10/113) = (0.6725; 0.0885)

(1; –2)/(3; –1)

= ((1·3+(–2)·(–1))/(32+(–1)2); ((–2)·3–1·(–1))/(32+(-1)2))

= ((3+2)/(9+1); ((–6+1)/(9+1))

= (5/10; –5/10) = (0.5; – 0.5)

Forma binómicaTodo número complejo se puede escribir en la forma

(a; b) = a + bi

Donde i representa (0; 1) y a y b son números complejos (a; 0) y (0; b).

Aplicando la regla de la multiplicación

(0; 1)2 = (–1; 0)

Así que

i2 = –1

Ejemplos

(1 + i)3 = (1 + i)(1 + 2i + i2) = (1 + i)(1 + 2i –1)

= (1 + i)2i = 2i + 2i2= –2+2i

(3 – 6i)(6 – i) = 18 – 3i – 36i + 6i2 = 18 – 39i – 6 = 12 – 39i

En el caso de la división multiplicamos numerador y denominador por el denominador con el factor de i cambiado de signo.

(4 + 5i) / (2 – 3i) = ((4 + 5i) (2 + 3i) ) /((2 – 3i) (2 + 3i) )

= (8 + 12i + 10i + 15i2)/(4 – 9i2)

= (– 7 +22i)/(13) = – 7/13 + 22i/13

Parte real e imaginaria

Un número complejo a + bi se compone de dos partes, la parte real a y la imaginaria b. Ambas partes son números reales.

Se denota la parte real por:

a = R(a + bi)

Y la imaginaria por

b = I(a + bi)

Dos números complejos a + bi y a – bi se llaman complejos conjugados.

El complejo conjugado de un número se designa por A0 o A.

El producto

AA0 = (a + bi) (a – bi) = a2 + b2

Es un número real y se le conoce como norma de A.

La raíz cuadrada de la norma de A es el valor absoluto o módulo de A y se designa por | A | o mod(A).

| a + bi | = √(a2 + b2)

O

mod(a + bi) = √(a2 + b2)

Propiedades del conjugadoSe cumplen las siguientes proposiciones:

Si C = A + B, entonces C0 = A0 + B0

Si C = AB, entonces C0 = A0B0

Si C = A – B, entonces C0 = A0 – B0

Si C = A/B, entonces C0 = A0/B0

Propiedades del móduloTeorema. El módulo de un producto es igual al producto de los módulos de sus factores.

| ABC…L | = | A||B||C|…|L |

Demostración. Sea X = AB,

XX0 = (AB) (AB)0 = (AB) (A0B0) = (AA0) (BB0)

Sacando raíz cuadrada

√(XX0) = | X | = √(AA0) √(BB0) = |A||B|

Es fácil generalizar para n factores.

EjerciciosEncontrar el módulo

i

ii

7

134

3

2

2

35

i

i

ii

ii357

162

Desigualdad del módulo de la sumaTeorema. El módulo de una suma es menor o igual a la suma de los módulos de sus sumandos.

| A+B+C+…+L | | A|+|B|+|C|+…+|L |

Siendo iguales cuando todos los cocientes

B/A, C/A, …, L/A

Sean reales no negativos

ejemplo.

| (5 – 3i) + (8 – 7i) + (2 + i)| = | 15 – 9i | = √(152 + 92) = 17.49

| (5 – 3i)|+|(8 – 7i)| +|(2 + i)| = √(52+32)+√(82+72)+√(22+12) =

= √34+ √113+√5 = 5.83+10.63+2.24= 18.7

|(3 – i)+(15 – 5i)+(1.5–0.5i)| = |19.5 – 6.5i| = √(19.52+6.52) =

= √422.5 = 20.55

|(3 – i)|+|(15–5i)|+|(1.5–0.5i)| = √(32+12)+√(152+52)+√(1.52+0.52)

= √10+√250+√2.5 = 3.16+15.81+1.58 = 20.55

Raíz cuadrada de un complejoSea X2 = A con X = x + iy, A = a + bi. Entonces

(x + iy)2 = a + bi

x2 + 2ixy – y2 = a + bi

O x2 – y2 = a, 2xy = b (1)

pero (x2 + y2)2 = (x2 – y2)2 + 4x2y2

Junto con (1) nos da

√(x2 + y2)2 = x2 + y2 = √( a2 +b2)

De (1) y2 = x2 – a

x2 + x2 – a = √(a2 +b2) o

x2 = (√(a2 +b2) + a)/2 y y2 = (√(a2 +b2) – a)/2

{ {

a2 b2

Raíz cuadrada de un complejo (cont.)Hay que tomar en cuenta 2xy = b, es decir x y y deben tener el mismo signo cuando b>0 y de signo distinto cuando b<0.

Para b>0 la solución es

Y para b<0 es

22

2222 abai

abaX

22

2222 abai

abaX

Ejemplo

897.675.1

805.805.2261.1

261.5

2261.3

2261.3

2213

2213

2294

2294

2232

2232

322222

i

ii

ii

i

ii

Extraer raíces cuadradas

i

3 + 4i

9 + 40i

–8 – 6i

16 – 30i

–2 – 1.5i

22

2222 abai

abaX

Resolver la siguiente cuadrática

x2 – (2 + 3i)x – 1 + 3i = 0

Resolver

x4 = 119 – 120i

Representación gráficaLos números complejos son pares ordenados de números reales, por lo tanto podemos representarlos como puntos en el plano xy.

z = a + bi = (a; b)

a

b

Eje real

Eje imaginario

O

El vector desde O hasta z determina al número complejo z.

La longitud del vector es la magnitud del complejo z

Ejemplos

Eje real

Eje imaginario

O

7 – 2i

7 + 2i

4 + 7i–1 + 6i

–5 + 4i

–7 – 4i

i1

Forma trigonométrica

ab

ab

bar

1

22

tan

tan

z = a + bi = r(cos + isen )b = r sen

Oa = r cos

Si a>0 y b>0, 0 /2

Si a<0 y b>0, /2

Si a<0 y b<0, 3/2

Si a>0 y b<0, 3/2 2

Convertir a representación trigonométrica

3 + 2i

–√6 + 4i

–4 – √3i

4 – 3i

Convertir a representación rectangular

8(cos 34º + i sen 34º)

5(cos 142º + i sen 142º)

3.5(cos 245º + i sen 245º)

6(cos 310º + i sen 310º)

Operaciones en forma trigonométricaSean los complejos

A = r1(cos + isen ) y B = r2(cos + isen )

El producto A · B es:

A·B = r1r2 (cos + isen )(cos + isen )

= r1r2 (coscos+isencos+icossen–sensen)

= r1r2 (coscos–sensen+i(sencos+cossen))

De cosa cosb–sena senb=cos(a+b) y sena cosb+cosa senb = sen(a+b) obtenemos

A·B = r1r2 (cos(+) +i(sen(+))

El módulo del producto es igual al producto de los módulos y el argumento del producto es la suma de los argumentos.

Fórmula de De Moivre

Si tenemos n factores de la forma (cos + isen), (cos + isen), …,(cosn + isen n) el producto es

(cos+isen)(cos+isen)…(cosn+isen n) =

cos(1+2+…+n) + isen (1+2+…+n)

Si n, entonces

(cos + isen )n = (cos n + isen n)

Esta identidad es conocida como fórmula de De Moivre.

Esta fórmula vale también para exponentes negativos

(cos + isen )–n = (cos (–n)+ isen (–n))

División en forma trigonométrica

Sean los complejos

A = r1(cos + isen ) y B = r2(cos + isen )

El cociente A/B es:

A/B = r1/r2 (cos + isen )(cos + isen )–1

= r1/r2 (cos + isen )(cos (–)+ isen (–))

Por la regla de la multiplicación

A/B = r1/r2 (cos(–) +i(sen(–))

El módulo del cociente es igual al cociente de los módulos y el argumento del cociente es la resta de los argumentos del dividendo y el divisor.

Ejercicios

Efectuar las operaciones indicadas

3(cos 30º +isen 30º) · 5(cos 70º +isen 70º)

2(cos 57º +isen 57º) · (–8)(cos 63º +isen 63º)

6(cos 34º +isen 34º) / (–2.5(cos 45º +isen 45º))

9(cos 17º +isen 17º) / 7(cos 123º +isen 123º)

Soluciones trigonométricasSean A y X dos complejos

A = r(cos + isen ) X = R(cos + isen )

La ecuación Xn = A se puede resolver con la fórmula de De Moivre.

Xn = Rn(cos n + isen n) = A = r(cos + isen )

Entonces Rn = r R = n√r

Los argumentos de dos complejos son iguales si difieren en un múltiplo 2.

n = + 2k

nk

in

kRX n 2

sen2

cos 11

Ejemplo

Resolver x4 = –4 = 4(cos + i sen )

x = 41/4(cos(( + 2k)/4)+ i sen(( + 2k)/4))

Con k = 0, 1, 2, 3

√2·(cos(/4)+ i sen(/4)) = √2(√2/2+i√2/2) = 1+i

√2·(cos(3/4)+ i sen(3/4)) = √2(–√2/2+i√2/2) = –1+i

√2·(cos(5/4)+ i sen(5/4)) = √2(–√2/2–i√2/2) = –1– i

√2·(cos(7/4)+ i sen(7/4)) = √2(√2/2–i√2/2) = 1– i

Ejemplo

Resolver x3 = –8i = 4(cos (–/2) + i sen (–/2))

x = 41/3(cos((4k – 1)/6)+ i sen((4k – 1) /6)

Con k = 0, 1, 2, 3

2(cos(/6)+ i sen(/6)) = √3 – i

2(cos(/2)+ i sen(/2)) = 2i

2(cos(7/6)+ i sen(7/6)) = – √3 – i √2

Significado geométrico de la operaciones

La suma de dos complejos genera un paralelogramo en el plano complejo.

La resta es similar a la suma pero el sustraendo sustituido por el negativo.

Significado geométrico de la operaciones (cont.)

La multiplicación puede interpretarse como la construcción de dos triángulos semejantes uno formado por el origen, el extremo del primer factor y el punto (1, 0) y el otro formado por el origen, extremo del segundo factor y extremo del producto.

La división tiene una interpretación similar a la multiplicación con dos tríangulos semejantes uno formado por el origen, el extremo del divisor y el punto (1, 0) y el otro formado por el origen, extremo del dividendo y extremo del cociente.

Fórmula de EulerSe puede demostrar que

ei = (cos + isen )

Todo número complejo a + bi puede escribirse como

a + bi = ex + i = ex(cos + isen ) = |a + bi| ei

Esta fórmula es conocida como fórmula de Euler. Donde

Y

ab1tan

22ln bax