Números complexos

Prof.: Rodrigo CarvalhoProf.: Rodrigo Carvalho

NÚMEROS NÚMEROS COMPLEXOSCOMPLEXOS


A forma algébrica de um número complexo Z é A forma algébrica de um número complexo Z é uma expressão da forma Z = a + bi, onde uma expressão da forma Z = a + bi, onde aa e e bb são são números reais e números reais e ii é a unidade imaginária. é a unidade imaginária.

No número complexo Z = a + bi,No número complexo Z = a + bi, aa é é chamada de parte real e chamada de parte real e bb de parte imaginária. de parte imaginária.

aa Re(Z)Re(Z)

bb Im(Z)Im(Z)

DEFINIÇÃO

1 i


ExemplosExemplos::

a) Z = - 3 + 5i a) Z = - 3 + 5i

Re(Z) = -3 Re(Z) = -3 Im(Z) = 5Im(Z) = 5

b) Z = -i + 4 b) Z = -i + 4

Re(Z) = 4 Re(Z) = 4 Im(Z) = -1Im(Z) = -1

c) Z = 5c) Z = 5

Re(Z) = 5 Re(Z) = 5 Im(Z) = 0Im(Z) = 0

d) Z = -6id) Z = -6i

Re(Z) = 0 Re(Z) = 0 Im(Z) = -6Im(Z) = -6


OBSERVAÇÃOOBSERVAÇÃO: : 1) Quando Im(Z) = 0, o número complexo será 1) Quando Im(Z) = 0, o número complexo será chamado de chamado de REALREAL. .

2) Quando Re(Z) = 0 e Im(Z) = 0, o número 2) Quando Re(Z) = 0 e Im(Z) = 0, o número complexo será chamado de complexo será chamado de IMAGINÁRIO PUROIMAGINÁRIO PURO. .

Exemplo:Exemplo: Determine as condições para que o Determine as condições para que o complexo Z = (2m + 1) + (-n + 3)i seja: complexo Z = (2m + 1) + (-n + 3)i seja: a) Real;a) Real; b)Imaginário Puro.b)Imaginário Puro.

Ex: Z = 3Ex: Z = 3

Ex: Z = -7iEx: Z = -7i


Dizemos que os complexos Z = a + bi e W = c + di Dizemos que os complexos Z = a + bi e W = c + di são iguais se, e somente se, a = c e b = d, ou seja:são iguais se, e somente se, a = c e b = d, ou seja:

Re(Z) =Re(W)Re(Z) =Re(W)

Im(Z) = Im(W)Im(Z) = Im(W)Z = WZ = W

**OBS.OBS.: Não podemos dizer que um número : Não podemos dizer que um número complexo é maior ou menor que outro número complexo é maior ou menor que outro número complexo, ou seja, no conjunto C não existe complexo, ou seja, no conjunto C não existe relação de ordem. relação de ordem.

IGUALDADE ENTRE COMPLEXOS


1. SOMA E SUBTRAÇÃO1. SOMA E SUBTRAÇÃO

OPERAÇÕES ENTRE COMPLEXOS

Para somar ou subtrair dois complexos, Para somar ou subtrair dois complexos, efetuaremos as partes reais entre si e as partes efetuaremos as partes reais entre si e as partes imaginárias entre si.imaginárias entre si.

Exemplo:Exemplo: Sendo Z = 5 + 3i e W = 4 - i, temos:Sendo Z = 5 + 3i e W = 4 - i, temos:

Z+W Z+W = 5 + 3i + 4 - i5 + 3i + 4 - i = 9 + 2i9 + 2i

Z-W Z-W = 5 + 3i - (4 - i)5 + 3i - (4 - i) = 5 + 3i - 4 + i5 + 3i - 4 + i 1 + 4i1 + 4i=


2. MULTIPLICAÇÃO2. MULTIPLICAÇÃO O produto entre dois complexos é obtido O produto entre dois complexos é obtido aplicando-se a distributiva entre seus termos.aplicando-se a distributiva entre seus termos.

**LEMBRE-SELEMBRE-SE:: ii22 = = -1 -1

Exemplo:Exemplo: Sendo Z = 3 + 2i e W = 1 + 4i, temos:Sendo Z = 3 + 2i e W = 1 + 4i, temos:

Z .W Z .W == (3 + 2i).(1 + 4i)(3 + 2i).(1 + 4i) == ==3 + 12i + 2i + 83 + 12i + 2i + 8ii22

== 3 + 12i + 2i + 8(-1)3 + 12i + 2i + 8(-1) = -5 + 14i-5 + 14i


Dado Z = a + bi, sendo i a unidade imaginária. Dado Z = a + bi, sendo i a unidade imaginária. Chamamos o conjugado de Z, denotado por Z, Chamamos o conjugado de Z, denotado por Z, ao complexo obtido pela troca de sinal da parte ao complexo obtido pela troca de sinal da parte imaginária de Z. imaginária de Z.

Z = a - biZ = a - bi

Exemplos:Exemplos:a) Z = 3 + 2ia) Z = 3 + 2i ZZ = 3 – 2i3 – 2i

b) W = -5ib) W = -5i WW = 5i5i

c) K = 2 c) K = 2 KK = 22

CONJUGADO DE UM COMPLEXO

**OBS.OBS.: Z = Z: Z = Z


3. DIVISÃO3. DIVISÃO

Para efetuarmos a divisão entre dois complexos Para efetuarmos a divisão entre dois complexos Z e W, procederemos da seguinte maneira: Z e W, procederemos da seguinte maneira:

Z Z . WZ Z . WW W WW W W

ConclusãoConclusão: Devemos multiplicar numerador e : Devemos multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador.denominador pelo conjugado do denominador.


Exemplo:Exemplo: Dividir Z = 5 + 3i por W = 4 – 2i.Dividir Z = 5 + 3i por W = 4 – 2i.

ZZ

WW

5 + 3i5 + 3i

4 – 2i4 – 2i. 4 + 2i4 + 2i

4 + 2i4 + 2i

20 + 10i + 12i + 6i20 + 10i + 12i + 6i22

4422 – (2i) – (2i)22

14 + 22i14 + 22i

16 - 4i16 - 4i22

14 + 22i14 + 22i

16 + 416 + 4

14 + 22i14 + 22i

20 2020 20

7 + 11i7 + 11i

10 1010 10

**OBSOBS.: Sempre que houver a unidade imaginária .: Sempre que houver a unidade imaginária no denominador, realizaremos o processo no denominador, realizaremos o processo acima.acima.


ii0 0 =1=1ii1 1 = i= iii22 = -1 = -1ii33 = i = i22.i = (-1).i = -i.i = (-1).i = -iii44 = i = i22.i.i2 2 = (-1).(-1) = 1= (-1).(-1) = 1ii5 5 = i= i44.i = 1.i = i.i = 1.i = iii6 6 = i= i44.i.i2 2 = 1.(-1) = -1= 1.(-1) = -1ii7 7 = i= i44.i.i3 3 = 1.(-i) = -i= 1.(-i) = -i……………………………….ii18 18 = i= i44.. ii44.. ii44.. ii44.. ii2 2 = -1= -1

POTÊNCIAS DO i


PROPRIEDADEPROPRIEDADEQuando o expoente de i for maior do que 3, Quando o expoente de i for maior do que 3, iremos dividí-lo por 4, sendo o resto desta iremos dividí-lo por 4, sendo o resto desta divisão o novo expoente de i.divisão o novo expoente de i.

66 3838 9922

restoresto

Logo, iLogo, i278278 = i = i22 = -1. = -1.

Ex: iEx: i278278 = ? = ?278 4278 4


**OBSOBS.: A soma de quaisquer 4 potências .: A soma de quaisquer 4 potências consecutivas de i é sempre igual a zero.consecutivas de i é sempre igual a zero.

Ex: iEx: i55 + + ii6 6 ++ ii7 7 ++ ii8 8 == 00

ii3535 + + ii36 36 ++ ii37 37 ++ ii38 38 == 00

GeneralizandoGeneralizando: i: in n ++ iin+1 n+1 ++ iin+2 n+2 ++ iin+3 n+3 = 0= 0


(1+ i)(1+ i)2 2

== 1 + 2i + i1 + 2i + i22 == 1 + 2i + (-1)1 + 2i + (-1) == 2i2i

== 1 - 2i + i1 - 2i + i22 == 1 - 2i + (-1)1 - 2i + (-1) == -2i-2i (1– i)(1– i)22

(1+ i)(1+ i)1010 == [[(1+ i)(1+ i)22]]55 == (2i)(2i)55 == 32i32i55 == 32i32i11 == 32i32i

(1- i)(1- i)77 == [[(1- i)(1- i)22]]33..(1- i)(1- i) == ((-2i)-2i)33.(1- i).(1- i) == -8i-8i33.(1- i).(1- i) ==== -8.(-i).(1- i)-8.(-i).(1- i) == ==8i - 8i8i - 8i22 8i + 88i + 8

ALGUMAS POTÊNCIAS DE COMPLEXOS

Como o resultado é imaginário puro, podemos Como o resultado é imaginário puro, podemos calcular outras potências:calcular outras potências:


Todo número complexo na forma Z = a + bi Todo número complexo na forma Z = a + bi pode ser representado no plano de Argand-Gauss pode ser representado no plano de Argand-Gauss por um ponto de coordenadas Z(a;b). Esse ponto é por um ponto de coordenadas Z(a;b). Esse ponto é chamado de chamado de afixoafixo do complexo Z.do complexo Z.

ReRe

ImImZ = a + biZ = a + bi

Z (a;b)Z (a;b)

aa

bbZ(a;b)Z(a;b)

afixoafixo

PLANO DE ARGAND-GAUSS


MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXOMÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO

Chamamos de Chamamos de módulomódulo de um número de um número complexo a distância do afixocomplexo a distância do afixo do complexo à do complexo à origem do plano de Argand-Gauss.origem do plano de Argand-Gauss.

aa

bb|z|

.

222|| baz

(rô) ρou z


ARGUMENTO DE UM NÚMERO ARGUMENTO DE UM NÚMERO COMPLEXOCOMPLEXO

Chamamos Chamamos argumentoargumento de um número complexo à de um número complexo à medida do arco com centro na origem do plano de Argand-medida do arco com centro na origem do plano de Argand-Gauss, tomado a partir do semi-eixo real positivo até o seu Gauss, tomado a partir do semi-eixo real positivo até o seu módulo, no sentido anti-horário.módulo, no sentido anti-horário.

aa

bb0 . a

btg


FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXONÚMERO COMPLEXO

Podemos representar um complexo em função do seu Podemos representar um complexo em função do seu módulo e do seu argumento, chamada de módulo e do seu argumento, chamada de forma forma trigonométricatrigonométrica de um número complexo. de um número complexo.

).(cos seniZ

Ex: Sendo o complexo Z = 2 – 2i, determine a Ex: Sendo o complexo Z = 2 – 2i, determine a sua forma trigonométrica .sua forma trigonométrica .


Na figura, estão representados, no plano complexo, os pontos M, N e P, afixos dos números complexos m, n e p. Sabendo-se que |m| = |n| = |p| = 1 e que = 45o, pode-se afirmar que

m – n + 2p é igual a:

P

MN

2i2 05)

i2 04)

i21 03)

i2 02)

2 01)


OPERAÇÕES NA FORMA OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICATRIGONOMÉTRICA

1. MULTIPLICAÇÃO1. MULTIPLICAÇÃO ).i.senθ(cosθρ Ze )i.senθ(cosθρ ZSejam 22221111

)](.)[cos(.. 21212121 seniZZ

2. DIVISÃO2. DIVISÃO

)](.)[cos( 21212

1

2

1

seniZ

Z


3. POTENCIAÇÃO (1ª fórmula de Moivre)3. POTENCIAÇÃO (1ª fórmula de Moivre)

: temosnulo, não

natural número umn e )i.senρ(cosθ ZSendo

)].(.).[cos( nseninZ nn

.calcular Z i,2

3

2

1 Zcomplexo o Sendo :Ex 6


4. RADICIAÇÃO (2ª fórmula de Moivre)4. RADICIAÇÃO (2ª fórmula de Moivre)

: temosnulo, não

natural número umn e )i.senρ(cosθ ZSendo

Z)k (

2.

2cos

n

kseni

n

kZ nn

Ex: Calcular as raízes cúbicas de 8 .Ex: Calcular as raízes cúbicas de 8 .

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