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Números Complexos

Controle de Sistemas Mecânicos 1

Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior

AGENDA

� Revisão de conceitos matemáticos � Números complexos

Exercícios

2

� Exercícios

Controle de Sistemas Mecânicos

Números complexos

� Objetivo: O objetivo desta seção é fazer umapequena revisão de números complexos, álgebrade números complexos, variáveis complexas efunções complexas .

3

funções complexas .


Números complexos

� A necessidade de manipular números complexossurge da resolução de equações do tipo: s 2 + 1 = 0

� Usando a notação , todos os númerosencontrados em aplicações de engenharia podemser escritos da forma : C= X + jY

1−=j

4

ser escritos da forma : C= X + jY

� C: número complexo� X: parte real� Y: parte imaginária


Números complexos

� Interpretação : Um número complexo C pode serconsiderado como um ponto no plano complexo oucomo o segmento unindo a origem até o ponto.

5Controle de Sistemas Mecânicos

Números complexos

� O ângulo de um número complexo C é o ânguloentre o segmento e a parte positiva do eixo real.É considerado positivo no sentido anti-horário.

� O comprimento ou magnitude de C e o ângulo deC são calculados por:

+== YXZC 22

6

=

+==

XY

YXZC

arctanθ

22

� Na forma polar o número complexo C é dadopor: θ∠= ZC


Números complexos

� O conjugado complexo de C = X + jY é definidopor: C* = X - jY

� Possui a mesma parte real e a parte imagináriacom sinal trocado.


Números complexos

Forma Retangular: ( )

+=+=

θθ jsenZC

jYXC

cos

Forma Polar:

=∠=

θ

θjZeC

ZC

8

A conversão da forma polar para a retangular é:

=+=XY

YXZ arctan; θ22

A conversão da forma retangular para a complexa é:

θθ ZsenYZX == ;cos


Números complexos

� Exemplo: C = X+jY = 3 + j4

Na forma polar: 543 2222 =+=+= YXZ

°=

=

= 13533

4,arctanarctan

XYθ

13535 ,∠=∠= θZC

9

Na forma polar: Z = 10∠ 45

Na forma retangular:

07174510

07174510

,sinsin

,coscos

======

θθ

ZY

ZX

07170717 ,, jjYXC +=+=

13535 ,∠=∠= θZC


Números complexos

θθθ jej =+ sencosFórmula de Euler:

jeje jj sencossencos θθ θθθθ − −=+=

10

j

eeee

jejejjjj

jj

2sen

2cos

sencossencosθθθθ

θθ

θθ

θθθθ−−

−

−=+=

−=+=


� Igualdade de números complexos: Dois números complexos z e w são iguais se esomente se a parte real e a parte imagináriadeles forem iguais.

Álgebra de números complexos

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deles forem iguais.

VYjVUC

CC

UXjYXC

=+=⇔=⇒

=+=

2

21

1


� Adição de números complexos :Dois números complexos C1 e C2podem ser somados, somando-seseparadamente as partes reais eimaginárias.


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� C1 + C2 = (X + jY) + (U + jV) � C1 + C2 = (X + U) + j(Y + V)

� Exemplo: C 1 = 2 + j4C2 = 3 + j1

C1 + C2 = 5 + j5



� Subtração de números complexos:

� Dois números complexos C1 eC2 podem ser subtraídos,subtraindo-se separadamenteas partes reais e imaginárias

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� C1 – C2 = (X + jY) - (U + jV) � C1 – C2 = (X - U) + j(Y - V)

� Exemplo: C1 = 4 + j6

C2 = 1 + j4C1 – C2 = 3 + j2



� Multiplicação de números complexos :� A multiplicação de dois números complexos C1 e

C2 é dada por:� C1.C2 = (X + jY)(U + jV) = X.U + jY.U + jX.V + j2Y.V� C1.C2 = (X.U – Y.V) + j(X.V + Y.U)

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� C1.C2 = (X.U – Y.V) + j(X.V + Y.U)

� Usou-se o fato que j2 = -1.

Na forma polar temos:

)(..;; ϕθϕθ +∠=∠=∠= 21212211 ZZCCZCZC



� Exemplo: C1 = 3 + j4, C2 = 4 + j3

C1.C2 = (3.4 – 4.3) + j(3.3 + 4.4) = 0 + j25

Exemplo: C = 5∠53,13 , C = 5∠36,87

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� Exemplo: C1 = 5∠53,13 , C2 = 5∠36,87

C1.C2 = 5∠53,13 . 5∠36,87 = 25 ∠90


Divisão de números complexos: a divisão de dois números complexos C1 e C2 é mais simples de ser realizada na forma polar:


( )ϕθϕθ −∠=

∠∠= 111

ZZ

ZZ

CC

16

( )ϕθϕ

−∠=∠

=222 ZZC

Na forma retangular é necessário multiplicar o numerador e o denominador pelo complexo conjugado do denominador:

( )( )

( )( ) 2222

2

1

VUXVYU

jVUYVXU

jVUjVU

jVUjYX

jVUjYX

CC

+−+

++=

−−

++=

++=



� Exemplo: C1 = 3 + j4, C2 = 4 + j3

2809602616187365

13535

2

1 ,,,,,

jCC +=∠=

∠∠=

17

873652 ,C ∠

25

7

25

24

34

3344

34

34432222

2

1 jjCC +=

+−+

++= ....


� Potenciação e raízes :


( ) nZZC nnn θθ ∠=∠=

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( )

( )n

ZZC

nZZC

nnn θθ

θθ

∠=∠=

∠=∠=111


Funções Complexas

� Um número complexo possui, portanto,parte real e parte imaginária. Se a partereal ou a parte imaginária são variáveis onúmero complexo é chamado de variávelcomplexa. Seja s = σ + jω uma variável

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complexa. Seja s = σ + jω uma variávelcomplexa.

� Uma função complexa F(s), função davariável complexa s, possui uma parte reale uma parte imaginária.

� F(s) = Fx + jFy


Funções Complexas

� O módulo e o ângulo de F(s) são:

=∠+=

x

y

yx F

FsFFFsF arctan)(;)( 22

20

x

� O complexo conjugado de F(s), denotado por F*(s) é:

� F*(s) = Fx – jFy


Funções Complexas

� As funções complexas mais comumente encontradas emanálise e projeto de sistemas lineares são funções do tipo:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )nn

mm

pspspsps

zszszszsksF

++++++++

=−

−

121

121

...

...)(

21

As raízes do denominador s = - p1; s = - p2; ; s = - pn são os pólosde F(s). Se forem todas distintas, dizemos que a função possuipólos simples e se forem repetidas F(s) possui pólos múltiplos, demultiplicidade r (onde r é o número de vezes que o mesmo pólo serepete).

As raízes do numerador s = - z1; s = - z2; ; s = - zm são os zeros deF(s), podendo ser simples ou múltiplos.


Exercícios

� 1) Converta os números seguintes para a forma polar:a) 4+j3 b) 2+j2 c) 3,5+j16 d) 100+j800e) 1000+j400 f) 0,001+j0,0065 g)7,6-j9h) –8+j4 i) –15-j60 j) 78-j65

� 2) Converta os números seguintes para a forma retangular:

22

� 2) Converta os números seguintes para a forma retangular:

a) 6∠30 b) 40∠80 c) 7400∠70d)4.10-4∠8 e) 0,04∠80 f) 0,0093∠23g) 65∠150 h) 1,2∠135 i) 500∠200j) 6320∠-35


Exercícios

� 3) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma retangular:

a) (4,2+j6,8) + (7,6+j0,2) b) (142+j7) + (9,8+j42) + (0,1+j0,9) c) (4.10-6+j76) + (7,2.10-7-j5)

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c) (4.10-6+j76) + (7,2.10-7-j5) d) (9,8+j6,2) – (4,6+j4,6) e) (167+j78) – (-42,3-j68) f)(-36+j78) - (-4-j6) + (10,8-j72) g) 6∠20 + 8∠80h) 42∠45 + 62∠60 - 70∠120


Exercícios

� 4) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma retangular:

a) (2+j3)(6+j8) b) (4+j2)(7+j6) c) (0,002+j0,006)(-2+j2) d) (400-j200)(1+j3) e) (2∠60)(4∠22) f) (6,9∠8)(7,3∠-72)

� 5) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma

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� 5) Efetue as operações, fornecendo a resposta na forma polar:

a) (42∠10)/(7∠60) b) (0,006∠120)/(30∠-20) c) (4360∠-20)/(40∠210) d) (8+j8)/(2+j2) e) (8+j42)/(-6+j60) f) (-4,5-j6)/(0,1-j0,4)


Exercícios

06059319 234 =+−+− ssss

� 7) Calcule as raízes dos polinômios abaixo:

06059319 234 =++++ ssss

060599168329 23456 =++++++ ssssss


FIM

Sinais e Sistemas - Faculdade Talentos

Humanos 26

Muito Obrigado!

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