Números naturales, enteros, fracciones, aritmética yExponentes

Naturales: los que usamos para contar 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc... Que nos fueron dados por lo que observamos de la naturaleza. Se denotan por la letra N.

Enteros: Son todos los números que no son fracciones, comprenden los números negativos y naturales. Denotados por la letra Z.

Fraccionarios: Son la división también (llamada cociente) de dos números enteros 2/6, 3/2...etc. Se clasifican en propias impropias y mixtas y decimales. A veces se usan como sinónimo de los números racionales denotados por la letra Q.

Fracciones Propias: El numerador es menor que el denominador. 1/3, 3/4, 2/7

Fracciones Impropias: El numerador es mayor (o igual) que el denominador 4/3, 11/4, 7/7

Fracciones Mixtas: Un número entero y una fracción propia juntos 1 1/3, 2 ¼ 16 2/5.

Aritmética: Rama de la matemática cuyo objeto de estudio son los números y las operaciones elementales echas con la suma, resta, multiplicación y división potenciación y radicación.

Exponentes: El exponente de un número nos dice cuántas veces se multiplica el número. El exponente de un número dice multiplica el número por sí mismo tantas veces.Lo contrario de multiplicar es dividir, así que un exponente negativo significa dividir.

LENGUAJE ALGEBRAICO

El lenguaje que utiliza letras en combinación con números en operaciones y propiedades, se llama lenguaje algebraico. La parte de las matemáticas que estudia la relación entre números, letras y signos se llama ÁLGEBRA.

Expresiones algebraicas:

Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras que se combinan con los signos de las operaciones aritméticas.Una expresión algebraica se define como aquella que está constituida por coeficientes, exponentes y bases.

Se dice que dos o más términos son semejantes cuando, difieren únicamente en el coeficiente, el resto de los factores debe ser idénticos.

OPERACIONES DE POLINOMIOS Y MONOMIOS

Monomio: Producto de un número real por una o varias potencias en las que las bases son letras. El número real se llama “coeficiente”, y las letras con sus exponentes “parte literal”.Las letras simbolizan números cuyo valor no conocemos.EJ: 3x2y coeficiente 3; parte literal x2y

Grado de un monomio: Suma de los exponentes que aparecen en la parte literal.Monomios semejantes: Los que tiene igual la parte literal.Suma y resta de monomios: Solo se puede efectuar si son semejantes, Se suman o restan los coeficientes y se deja igual la parte literal.Ej.: 8x2 + 6x2 = 14x2Producto de monomios: Se puede efectuar siempre. Se multiplican los coeficientes y se multiplican las partes literales, siguiendo las regras de las potencias.

Ej.: -2x2* 3x3 = -6x5

Polinomio: Suma o resta indicada de varios monomios, cada uno de los cuales se llama termino. Si no contiene términos semejantes, se dice que el polinomio es irreducible.Si alguno de los términos no tiene letras se denomina termino independiente.Si sólo tiene dos términos se denomina binomio.

Valor numérico de un polinomio: Es el número que resulta cuando se sustituye cada letra por un número determinado y se efectúan todas las operaciones.

Suma y resta de un polinomio: Se suman o restan los coeficientes de los términos que sean semejantes.Ej.: ( 3x2-5x+2)+(2x3-4x-6)=2x3+3x2-9x-4Producto de un monomio por un polinomio: Se multiplica cada término de un polinomio por cada término del otro.

Potencia de un binomio: Puede efectuarse mediante la fórmula denominada binomio de newton.

PRODUCTOS NOTABLES

Diferencia de cuadrados: (a+b) (a-b) = a^2- b^2Este producto de dos binomios es el único caso en que no resulta un trinomio. A los factores que solo difieren en un signo se les llama BINOMIOS CONJUGADOS.

Cuadrado de un binomio o trinomio cuadrado perfecto: (a +_b)^2 = a^2+_2ab+b^2El primero al cuadrado más menos el doble producto del primero por el segundo más el segundo al cuadrado

Cubo de un binomio: (a+b)3 = a3 ±3a2 b + 3ab2 ±b3

Suma o diferencia de cubos: (a+b) (a2±ab+b2)= a3±b3

FACTORIZACION

Se dice que factorizamos completamente cuando llegamos a una expresión en que cualquier factorización posterior produce números fraccionarios.

No existen fórmulas para la factorización, pero siendo el proceso inverso a la multiplicación, la experiencia en la aplicación de las formulas recien vistas nos permitirá reconocer cuando una expresión algebraica es el producto resultante de dos factores conocidos.

Casos principales de factorización:

Factor común: Es aquello que se encuentra multiplicando en cada uno de los términos del polinomio algebraico. Pude ser un número, una letra, varias letras, un signo negativo, una expresión algebraica encerrada en paréntesis, o combinaciones de todo lo anterior. Se aplica en binomios, trinomios y polinomios de cuatro términos o más. No aplica para monomios.

Factor común por agrupación de términos: Se forman grupos de igual número de términos, buscando que exista alguna familiaridad entre ellos (es decir, que tengan rasgos comunes). La agrupación se hace con paréntesis. ¡Cuidado! Deben cambiarse los signos de los términos encerrados en paréntesis si este queda precedido de signo negativo.

Se extrae factor común de cada grupo formado.

-Por último se extrae factor común de toda la expresión, en esta ocasión, el factor común es una expresión algebraica encerrada en paréntesis. Esto se aplica en polinomios de 4, 6,8 o más términos (siempre que el número de ellos seas par), y donde se ha verificado que no se puede extraer factor común.

Diferencia de cuadrados perfectos: Se extrae la raíz cuadrada de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cuadrada normalmente y, a las letras, su exponente se divide entre 2.

Se abren dos grupos de paréntesis, conectados entre sí por una multiplicación.Se aplica solamente en binomios, donde en primer término es positivo y el segundo término es negativo.

Las raíces cuadradas que se obtuvieron de cada término, se anota dentro de cada paréntesis: En el primero van sumando y en el segundo van restando (es decir se obtiene el producto notable llamado SUMA POR DIFERENCIA).

Se reconoce porque los coeficientes de los términos son números cuadrados perfectos (es decir, que tienen raíz cuadrada exacta como 1, 4, 9, etc.) y los exponentes de las letras son cantidades pares (2,4,8n10m,etc.)

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: El trinomio debe de estar organizado en forma ascendente o descendente (cualquiera de las dos).Tanto el primero como el tercer término deben ser positivos. Asimismo, esos dos términos deben ser cuadrados perfectos (es decir, deben tener raiz cuadrada exacta). En otras palabras, el primero y el tercer término deben reunir las características de los términos que conforman ina diferencia de cuadrados.

Como realizarlo: Primero debemos verificar que se trata de un trinomio cuadrado perfecto (TCP). Para ello extraemos la raíz cuadrada tanto del primer como del tercer término.

Realizamos el doble producto de las raíces obtenidas y

comparamos el resultado con el segundo término (sin fijarnos en el signo). Si efectivamente nos da, entonces tenemos un tcp.

La factorización de un TCP es un binomio elevado al cuadrado, que se construye anotando las raíces cuadradas del primer y tercer término, y entre ellas el signo del segundo término.

TRINOMIO DE LA FORMA x2N +bxn +c

El trinomio debe estar organizado de forma descendente.El coeficiente del primer término debe ser 1.El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado del (exponente) del segundo término.

Se abren dos grupos de paréntesis.Se le extrae la raíz cuadrada al primer termino y se anota al comienzo de cada paréntesis.

Se definen los signos: El signo del primer paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del primer los signos del primer y segundo término; el signo del segundo paréntesis se obtiene al multiplicar los signos del segundo y tercer término.

Buscamos dos cantidades que multiplicadas den como resultado el termino independiente (es decir c), y que sumadas den como resultado el coeficiente del segundo término (es decir b).

Se anotan las cantidades que satisfacen las condiciones anteriores en los espacios vacíos de cada paréntesis, en sus lugares respectivos.Trinomio de la forma: ax2n + bxn +c

El trinomio debe estar organizado en forma

descendente.El coeficiente principal (es decir, del primer término) debe ser positivo y diferente de 1.El grado (exponente) del primer término debe ser el doble del grado (exponente) del segundo término.

Debemos multiplicar y dividir el trinomio por el coeficiente principal, es decir a.En el numerador aplicamos la propiedad distributiva teniendo presente que en el segundo término el producto no se realiza si no que se deja expresado: La cantidad que entra y la variable quedan agrupadas dentro de un paréntesis, y el coeficiente original queda por fuera.Se expresa el primer término como el cuadrado de lo que quedó en paréntesis en el segundo término.

Aplicamos el “trinomio de la forma x2n +bxn +c” en el numerador.Aplicamos “factor común” en los paréntesis formados.Simplificamos la fracción (para eliminar el denominador).

Suma y diferencia de cubos perfectos: Se aplica solamente en binomios, donde el primer término es positivo (el segundo término puede ser posorivo o negativo)Se reconoce por que los coeficientes de los términos son números cubos perfectos (es decir números que tienen raíz cubica exacta, como 1,8,27,64, etc.,) y los exponentes de las letras son cantidades divisibles entre 3 ( como 3, 6, 9, etc.)Se extrae la raíz cúbica de cada término: Al coeficiente se le extrae la raíz cúbica normalmente, y a las letras, su exponente se divide entre 3.Se abren dos grupos de paréntesis, conectados entre sí por multiplicación.

El primer paréntesis (llamado factor corto)se construye

un binomio con las raíces cúbicas que ya se obtuvieron. En el segundo paréntesis (llamado factor largo)se construye un trinomio con los términos que se anotaron en el factor corto, en el siguiente orden: El primero al cuadrado, luego el primero por el segundo y, por ultimo, el segundo al cuadrado.

Por ultimo definimos los signos de la siguiente manera: Si se trata de una suma de cubos en el factor corto va signo posotivo y en el factor largo van signos intercalados, iniciando en positivo. Si tenemos una diferencia de cubos en el factor corto va signo negativo y en el factor largo va signos positivos.

IMPORTANTE: En alginas ocasiones, el factor corto puede volverse a factorizar (debe revisarse). El factor largo no es necesario inspeccionarlo ya que no permite ser factorizado.

RELACIONES: Cualquier conjunto de pares ordenados de números se llama relación (2,1) (5,6) etc.

FUNCIÓN: Si una relación es tal que existe exactamente un valor de “y” para casa valor de “x”, se dice que “y” es una función de x.

GRAFICA: La grafica de una función es la totalidad de puntos (x, y) tales que sus coordenadas constituyen el conjunto de pares ordenados de la función, con “x” un número en el dominio D y “y” el número correspondiente en el recorrido R.

RELACIONES FUNCIONES Y SUS GRAFICAS

Función: Es la correspondencia que se establece entre los elementos de dos conjuntos y asocia a cada elemento del primer conjunto (x) con un elemento único del segundo conjunto [y o f(x)]

Al primer conjunto se le llama dominio de la función y al segundo recorrido o contra dominio de la función.