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Números y formas
Edición 2018
Colección Hojamat.es
© Antonio Roldán Martínez
http://www.hojamat.es
2
PRESENTACIÓN
Desde los pitagóricos hemos usado figuras poligonales para
representar ciertos números, pero lo que comenzó siendo una nueva
forma de percibirlos se convirtió pronto en un manantial de nuevas
cuestiones. Puedes pensar en ellos sin tener en cuenta su origen
geométrico. De hecho, muchas cuestiones actuales y futuras que se
traten en nuestro blog se basarán más en sus definiciones aritméticas.
Este es uno de los capítulos de las Matemáticas en los que se aprecia
mejor el pensamiento que no busca la utilidad, sino la belleza ¿Para
qué sirve un número pentagonal? Entre todas las clases que
estudiaremos, los números cuadrados son los que permiten más
cuestiones y actividades. En esta edición les hemos dedicado, al igual
que a los triangulares, un capítulo aparte.
También hemos comenzado a incorporar nuevos tipos de números
figurados. En esta edición se han añadido los piramidales de cuatro
dimensiones y los centrados, tanto poligonales como piramidales.
Como advertiremos en todos los documentos de esta colección, el
material presentado no contiene desarrollos sistemáticos, ni pretende
ser un manual teórico. En cada tema se incluirán cuestiones curiosas o
relacionadas con las hojas de cálculo, con la única pretensión de
explicar algunos conceptos de forma amena.
3
TABLA DE CONTENIDO
Presentación ..................................................................................................2
Cuadrados .....................................................................................................5
Eliminar bolas en un cuadrado ...................................................................5
Curiosidades bien fundamentadas .............................................................9
Sumas de los primeros cuadrados .......................................................... 11
Cuadrados en progresión aritmética ....................................................... 12
La mitad, cuadrado, el tercio, cubo ......................................................... 15
Una exploración matemática ................................................................... 16
El número 30500 ..................................................................................... 18
Piezas para cuadrados ............................................................................ 20
Carnaval de cuadrados ............................................................................ 25
Resultados curiosos de la suma de divisores cuadrados ....................... 29
Igualdad de sumas de cuadrados con un escalón .................................. 35
Cuadrados del tipo n(n+k) ....................................................................... 39
Triangulares ................................................................................................ 58
Jugamos con los triangulares .................................................................. 58
Triangulares alojados .............................................................................. 59
Carnaval de triangulares .......................................................................... 63
Triangulares de lado par .......................................................................... 69
Cuadrados y triangulares .......................................................................... 73
Cuadrados vecinos de triangulares ......................................................... 73
Triangulares y cuadrados con piezas ...................................................... 79
Números especiales que son un producto especial ................................ 84
Equilibrados entre semejantes .............................................................. 105
Damos vueltas a los triangulares cuadrados ......................................... 109
Poligonales ............................................................................................... 125
¿Eres un poligonal? ............................................................................... 125
Cubos y gnomones ................................................................................ 130
4
Poligonales centrados ........................................................................... 135
Números piramidales............................................................................... 149
Poligonales y piramidales ..................................................................... 149
Tetraedros.............................................................................................. 155
Cuadrados ............................................................................................. 161
Pentágonos ............................................................................................ 168
Hexágonos y octógonos ........................................................................ 173
Números piramidales de cuatro dimensiones ....................................... 177
Números piramidales de cuatro dimensiones ....................................... 183
Pirámides cuadrangulares en cuatro dimensiones ............................... 189
Otros números piramidales de cuatro dimensiones .............................. 193
Números piramidales centrados ............................................................ 203
Pitágoras y sus ternas ............................................................................. 232
El sueño de Lewis Carroll ...................................................................... 232
Oblongos y pitagóricos .......................................................................... 233
Viaje de ida y vuelta a la Geometría ...................................................... 239
Centrados y pitagóricos ......................................................................... 242
Cuadrados con trozos consecutivos ...................................................... 244
Diferencia entre catetos ......................................................................... 245
Doblado pitagórico ................................................................................. 247
¿En cuántas sumas de cuadrados? ...................................................... 249
Espiral de números ................................................................................ 258
Números especiales ................................................................................ 262
Autonúmeros o números colombianos .................................................. 262
Soluciones ................................................................................................ 274
Cuadrados ............................................................................................. 274
Pitágoras y sus ternas ........................................................................... 279
5
CUADRADOS
La teoría de los números figurados es de las más antiguas de la
Historia de las Matemáticas. En cualquier página web o manual de
carácter general se puede consultar lo más importante.
En Hojamat.es se pueden estudiar los documentos
http://hojamat.es/sindecimales/aritmetica/teoria/teorarit.htm
y
http://hojamat.es/parra/prop2011.pdf
Entre todos ellos, los cuadrados y triangulares son los más estudiados.
ELIMINAR BOLAS EN UN CUADRADO
Forma un cuadrado con bolas, situándolas en filas y columnas, las que
quieras. Después elimina 10 bolas e intenta reorganizar el resto hasta
formar otro cuadrado más pequeño, y verás que
resulta imposible, cualquiera que sea el lado del
cuadrado que has formado.
Prueba entonces a quitar sólo 6 bolas, y
observarás que tampoco puedes formar un
cuadrado con las restantes. Con otros números
sí se puede, dependiendo del lado del cuadrado.
¿Qué tienen de particular el 6 y el 10 para que ocurra esto?
Si 10 es la diferencia entre dos cuadrados n2 y m2, se tendrá que
verificar que
10=(m+n)(m-n)
6
Pero m+n y m-n tienen la misma paridad. Esto obliga a que el número
10 también se descomponga en dos factores, ambos pares o ambos
impares, pero eso es imposible, debido a que sólo se pueden
considerar 10*1 y 5*2, que no tienen la misma paridad. Lo mismo
ocurre con el 6.
En general, todos los números de la forma 2(2k+1) con k entero, no
serán idóneos para ser diferencia de cuadrados. Expresado de otra
forma, son números múltiplos de 2 pero no de 4.
Todos los números naturales podemos escribirlos como
N=2m.ap1.bp2…zpn, siendo a,b..z primos y m eventualmente cero. El
exponente m nos permite distinguir tres casos:
(a) m=1
El número N no se puede descomponer en dos factores ambos pares
ni ambos impares. Es el caso de 2,6,10…que acabamos de estudiar
(b) m=0
El número es impar, y presentará tantas soluciones como la mitad del
su número de divisores. Por ejemplo 105= 532-522 = 192-162 = 132-82 =
112-42 que corresponden a los pares de divisores 105=
105*1=35*3=21*5=15*7. Si el número es primo admitirá una sola
diferencia de cuadrados.
(c) m>1
2m se puede descomponer en dos factores pares de tantas maneras
como indique la parte entera de (N-1)/2. Así, si m=3 sólo se admite una
descomposición, como 8 = 32-12 y si m=7 128= 332-312 = 332-312 =
182-142 . Combinando estos casos con los producidos por los factores
impares obtendremos todas las soluciones.
Se ve, pues que el número de soluciones está relacionado de cierta
forma con el de divisores, aunque pueden discrepar bastante.
Otra idea: Ser diferencia de cuadrados equivale a poder construir un
gnomon con sus unidades. En las siguientes imágenes podemos ver
uno con a par y otro con a impar.
7
Podemos traducir esta figura mediante una propiedad: Los números
que admiten una expresión como diferemcia de cuadrados
también se pueden representar como una suma de impares
consecutivos.
Número de descomposiciones
Entre los números menores que 1000 hay uno que es igual a diez
diferencias distintas de cuadrados ¿Cuál?
Para encontrarlo acudiremos a la hoja de cálculo:
El número menor que 1000 que se puede representar como diez
diferencias de cuadrados es el 960.
En la siguiente tabla se han inluido todas las formas de descomponer
960 en dos factores. Después se han seleccionado los de la misma
paridad, y mediante suma y diferencia se han obtenido A y B tales que
960 = A2 – B2
Pero, ¿cómo encontramos el 960? Aparte de un análisis bastante
pesado de los factores de los números menores que 1000 podemos
usar este código en Basic:
Factores de 960 Paridad A B Comprobación
2 480 0 241 239 960
3 320 1
4 240 0 122 118 960
5 192 1
6 160 0 83 77 960
8 120 0 64 56 960
10 96 0 53 43 960
12 80 0 46 34 960
15 64 1
16 60 0 38 22 960
20 48 0 34 14 960
24 40 0 32 8 960
30 32 0 31 1 960
Igual paridad 10
8
Sub numerodiferencias Dim i,j dim a for i=1 to 1000 (Números a probar) a=0 (Contador de factores de la misma paridad) for j=1 to sqr(i) (Se buscan los factores hasta la raíz cuadrada) if esdivisible(i,j) then (Comprueba si es factor) if paridad(j)=paridad(i/j) then a=a+1 (Igual paridad, se incrementa a) end if next j msgbox(i) msgbox(a) next i End Sub Con una macro definida por este código obtenemos una tabla con el
número de descomposiciones de igual paridad similar a la de la imagen
Así se ha encontrado que 960 admite 10 descomposiciones, y que los
múltiplos de 2 que no lo son de 4, ninguna.
Los códigos que necesitarás también son:
public function esdivisible(a,b) as boolean if int(a/b)=a/b then esdivisible=True else esdivisible=False end function public function paridad(n) paridad=n-int(n/2)*2 end function
32 2
33 2
34 0
35 2
36 2
37 1
38 0
39 2
40 2
41 1
42 0
9
El tema da todavía más de sí:
En el caso de varias soluciones podemos relacionarlas con los
cuadriláteros con lados de medida entera inscriptibles en una
circunferencia. Así, los lados 49, 47, 26 y 22 forman uno de esos
cuadrados.
En efecto, si dos diferencias son iguales, como 492
– 472 = 262 – 222, también se verificará que 492 +
222= 262 + 472, que se puede interpretar como dos
triángulos rectángulos que comparten un mismo
diámetro por lo que formarán un cuadrilátero
inscriptible.
CURIOSIDADES BIEN FUNDAMENTADAS
Todos los que publicamos sobre números naturales incluimos en algún
momento curiosidades aritméticas. A veces no nos damos cuenta de
tres hechos que influyen en la aparición de las mismas restando un
poco de su importancia matemática.
(A) Algunas son meras coincidencias sin valor matemático alguno,
como 2592 =2592
(B) Otras dependen del sistema de numeración empleado, como todas
las que usan los conceptos de capicúa o de cifras invertidas. Por
ejemplo 122=144 y 212 = 441
(C) En algunos casos no existe tal curiosidad numérica, sino que es el
reflejo de una propiedad algebraica expresada de forma que se oculte
su origen.
El otro día, releyendo “Los números mágicos del Dr. Matrix” de Martin
Gardner, recordé la clave algebraica de esta serie de curiosidades:
32+42 = 52
102+112+122 = 132+142
10
212+222+232+242 = 252+262+272
Según el autor, basta tomar como primer sumando el cuadrado de
n(2n+1), siendo n el número de términos del segundo miembro. Por
tanto, la siguiente igualdad comenzará con el cuadrado de 4(2*4+1) =
36: 362+… + 402 = …
¿Sabrías demostrarlo algebraicamente sin trabajar demasiado? Busca
algún atajo, si no, mejor lo dejas, que directamente puede resultar muy
largo. Eso sí, practicarás el Álgebra hasta hartarte de ella. Quizás
debas esperar antes de seguir leyendo.
¿Cómo demostrar esta propiedad?
32+42 = 52
102+112+122 = 132+142
212+222+232+242 = 252+262+272
Es bueno que distingamos entre comprobar y demostrar.
(1) En el siguiente documento del Club Mensa
http://www.mensa.es/carrollia/c63.pdf
puedes estudiar una demostración que requiere mucho cálculo
algebraico, pero que al final llega, por demostración, a que el primer
cuadrado debe ser el del número n(2n+1).
(2) Si recuerdas que la suma de los n primeros números cuadrados es
igual n(n+1)(2n+1)/6, puedes sustituir cada miembro de la igualdad
como una diferencia entre este tipo de sumas. Luego, hay que
desarrollar paréntesis y cuadrados hasta llegar a una misma expresión
algebraica en ambos. Tomamos como primer cuadrado el de n(2n+1),
es decir, 2n2+2n
La calculadora online Wiris nos puede ayudar.
11
Observa la igualdad de resultados: 24n5+60n4+50n3+15n2+n.
(3) Lo anterior no es una demostración, sino una comprobación de que
el inicio en n(2n+1) es correcto. Para demostrarlo podemos seguir
basándonos en S= n(n+1)(2n+1)/6.
Si usamos como variable N el número anterior a una suma de este
tipo y llamamos K al número de sumandos, se puede demostrar que
(N+1)2+(N+2) 2+…+(N+K) 2 = 2K3+(6N+3)K2+(6N2+6N+1)K.
Si aplicamos esta fórmula por una parte a N y K (primer miembro) y
por otra a N+K y K-1 (segundo miembro), al igualarlas, y simplificar
mucho (¡mucho!), llegamos a una ecuación de segundo grado de
soluciones enteras, que nos exige que N=K(2K-3), que es equivalente
al de n(2n+1) con un cambio de variables.
Todo lo propuesto es muy costoso de desarrollar, pero te queda la
satisfacción de no tener que creértelo sólo porque esté escrito en un
blog.
SUMAS DE LOS PRIMEROS CUADRADOS
Estudiando un tema determinado me he encontrado con esta relación
que no conocía:
12+22+32+42+52+…+232+242 = 702
No sé si estará publicada ya, pero la presento aquí por su elegancia y
por mi sospecha de que no existen casos similares. He buscado hasta
50000 y no he encontrado otro cuadrado que sea suma de los K
primeros cuadrados.
¿Ocurrirá algo parecido con los números triangulares?
1+3+6+10+15…+N(N+1)/2 = K(K+1)/2
12
La respuesta es afirmativa
Hemos descubierto cuatro casos entre 1 y 100000, sin contar el trivial
1=1, en los que la suma de los primeros triangulares produce otro
triangular.
El primero es 1+3+6 = 10
¿Cuáles son los otros tres?
Ya puestos a calcular, nos hemos planteado si sumando los primeros
números triangulares podremos obtener un cuadrado, o, a la inversa, si
sumando los primeros cuadrados la suma será un número triangular.
(Ver Soluciones)
CUADRADOS EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA
No es difícil encontrar ternas de cuadrados perfectos que estén en
progresión aritmética, tales como 1, 25 y 49, o 4, 100 y 196. ¿Cómo
podríamos encontrar más ternas con una hoja de cálculo? Se podría
organizar una tabla de doble entrada con los cuadrados perfectos, y
después someter a su media aritmética a una condición ¿Cuál?
13
En la imagen puedes ver el resultado de una búsqueda similar, en la
que se han marcado con un 1 los cuadrados perfectos pertenecientes
a una terna como la propuesta. Si te animas a construir un buscador
semejante podrás encontrar muchas más ternas. Ponte a prueba:
¿Con qué otros dos cuadrados forma progresión aritmética el número
10404, cuadrado de 102?
Para concretar las ternas pedidas hemos recurrido a una exploración
sistemática. Es una forma válida de trabajar en Matemáticas (así se
encuentran los números primos), pero que alguien puede pensar que
es algo perezosa. A continuación aportamos un análisis algo más
profundo.
Enfoque algebraico
Llamemos n a la raíz cuadrada del término central, que sería n2.
El tercer cuadrado tendrá la forma (n+h)2 y el primer cuadrado (n-k)2
con k>h ¿por qué?
Las diferencias entre ellos serán iguales, luego
(n+h)2 - n2= n2 - (n-k)2
Simplificando: 2nh+ h2 = 2nk - k2
Despejando n: n = (h2 + k2) / (2(k-h))
Como k>h, llamamos m=k-h, y entonces queda:
n = (h2 + (h+m)2) / (2m) = (2 h2 + 2mh + m2) / (2m)
Esto obliga a que m sea par, y la podemos sustituir por 2p
n = (2 h2 + 4ph + 4p2) / (4p) = h2/(2p) + h + p (1)
Esto nos da un procedimiento de generación de ternas de cuadrados:
Elegimos cualquier entero p y buscamos un número par h cuyo
cuadrado sea divisible entre p y cuyo cociente sea mayor que el mismo
p (para que n-k sea positivo), y mediante la fórmula (1) calculamos n.
Seguidamente encontramos los valores de n+h y n-k = n-h-2p
14
Ejemplo: p=5, h=10, n=100/10 + 10 + 5 = 25; (n+h)=35: (n-k)=25-10-
5*2=5.
Por tanto, los cuadrados en progresión aritmética buscados son: 25,
625 y 1225.
Notas
- Si tres cuadrados están en progresión aritmética, sus diferencias
mutuas son siempre múltiplos de 24. Intenta demostrarlo, que es un
reto muy interesante. Si no lo logras, en las Soluciones tienes una
demostración basada en los restos cuadráticos.
- No existen cuatro cuadrados en progresión aritmética, ni en mayor
número.
- Tampoco existen tres cubos en progresión aritmética.
- Leonard Dickson en su libro "History of the Theory of Numbers"
(1919), propone estas fórmulas:
x = 2 v2/u – u
y = 2 v2/u + u + 2 v
z = 2 v2/u + u + 4 v
donde u divide a 2 v2 con un cociente mayor que u.
Este método coincide con el que se propone en este libro. Por ejemplo,
para h=12 y p=6 las soluciones son n=30, n+h=42, n-k=6, y con la
propuesta de Dickson se logra la misma solución con 2v2=72 y u=6:
x=72/6-6=6; y=72/6+6+12=30; z=72/6+6+24=42.
- No es difícil crear un código de búsqueda, si dispones de la función
ESCUAD, para saber si un número es cuadrado:
Se supone que se buscan soluciones hasta un número N
For i = 2 To N
a = i * i
For k = 1 To a / 2
If escuad(a - k) And escuad(a - 2 * k) Then
15
Msgbox(a): Msgbox(a-k): Msgbox(a-2*k)
End If
Next k
Next i
En el lenguaje PARI se puede usar este código:
isinteger(n)=(n==truncate(n))
isquare(n)= { local(f,m,p=0); if(n==1,p=1,f=factor(n); m=gcd(f[, 2]);
if(isinteger(m/2),p=1));return(p) }
{ for (n=2, 100, a=n*n;for(k=1,a/2,if (isquare(a-k) && isquare(a-2*k),
write("final.txt",a," ",a-k," ",a-2*k)))) }
LA MITAD, CUADRADO, EL TERCIO, CUBO
Encuentra los primeros números naturales N que admiten estas dos
descomposiciones:
N= 2n2 = 3m3
Es necesario recorrer los posibles factores primos de m y de n y sus
exponentes.
Una solución es N=41472, pero existe otra menor.
Si has aprendido a hacerlo, prueba con
N= 2n2 = 5m5
Una solución es un número “muy redondo”
Si tu ánimo no ha sufrido merma, aborda el que
N= 3n3 = 5m5
Quizás la primera solución tenga nueve cifras
16
UNA EXPLORACIÓN MATEMÁTICA
En la entrada número 120 del interesante blog de Claudio
(http://simlementenumeros.blogspot.com) se hacía una propuesta que
esencialmente consistía en buscar los números que son cuadrados
perfectos y que su doble aumentado en una unidad también lo es,
como 144=122 y 144*2+1=289 = 172. En un primer comentario, se
proponían las soluciones 02, 22, 122, 702, 4082 y 23782 con una ley de
formación an+1 = 6an – an-1
Una entrada posterior contenía un enlace a una página de sucesiones
de números enteros muy popular.
Navegando un poco y siguiendo enlaces sucesivos al propuesto
descubrí que las soluciones 0, 4, 144, 4900, 166464,… divididas entre
4 coincidían con los números enteros que son cuadrados y triangulares
a la vez (se puede prescindir del 0): 1, 36, 1225, 41616,…
Recordé que estos números se encuentran mediante la ecuación de
Pell 8x2+1=y2, una de cuyas soluciones es x=1, y=3. De esta forma se
aclaró bastante la cuestión, y por su posible interés, se desarrolla a
continuación el proceso que seguí, mediante una serie de propuestas
encadenadas complementarias a las de Claudio.
(1) Demuestra que si 2n2 + 1 = m2, entonces n2/4 es también cuadrado
y triangular.
(2) Demuestra que los números x que son cuadrados y triangulares a
la vez coinciden con los valores de x2 que son soluciones de la
ecuación de Pell 8x2+1=y2
(3) Una de las soluciones de la ecuación citada es x1=1, y1=3. Según la
teoría correspondiente a las ecuaciones de Pell, las demás soluciones
de esta ecuación vienen dadas por la igualdad
17
Usa esta propiedad para encontrar las soluciones de x, que serán 1, 6,
35, 204,…., que elevadas al cuadrado coincidirán con los números
cuadrados y triangulares a la vez 1, 36, 1225, 41616,…que, a su vez,
multiplicados por 4, resultarán ser las soluciones de 2n2 + 1 = m2, 4,
144, 4900, 166464…
(4) Usa la fórmula del apartado anterior para demostrar esta fórmula
doble de recurrencia:
yn=8xn-1+3yn-1, xn=3xn-1+yn-1
o, en forma matricial:
Su aplicación reiterada nos permitirá encontrar los valores (1,3), (6,17),
(35,99)…
Convierte esas dos fórmulas de recurrencia en una sola para xn, y te
resultará
xn=6xn-1-xn-2, que coincide con la propuesta en el blog para sus dobles
0, 2, 12, 72,…
(5) ¿Por qué el cociente entre las x parece tender a esta expresión?
Nos podemos basar en que qn = 6-1/qn-1, que nos lleva, tomando
límites para n tendiendo a infinito, a la ecuación x = 6 -1/x, una de
cuyas soluciones es
que es la que vale al ser creciente la sucesión.
18
EL NÚMERO 30500
Mantener un blog de números con cierta periodicidad supone un gran
esfuerzo en la búsqueda de temas y su posterior desarrollo. Por eso,
suelo usar “disparadores de ideas”: páginas web, libros o revistas que
tratan un tema matemático y que en sus desarrollos se incluyen
fórmulas o propiedades que me sugieren (¡ajá!) un desarrollo sobre
ellas.
Una de las páginas que visito con frecuencia es la popular The On-Line
Encyclopedia of Integer Sequences, de dirección http://oeis.org/
La otra tarde escribí en ella el número 30500 (eso recordaba yo, pero
no fue así) y descubrí que era suma de los cuadrados de cuatro
números primos consecutivos. Así que me interesé por el tema, y como
hacía tiempo que no le daba vueltas a una cuestión, lo elegí con ese fin
y así lo presento:
(1) La serie de números que son suma de cuadrados de primos, salvo
el primero, que contiene el cuadrado de 2, todos son pares, como era
de esperar, pero ¿existe alguna terminación en 0, 2, 4, 6 u 8 que no
puedan presentar nunca? Intenta justificarlo. Es una cuestión bastante
sencilla.
(2) Más sencilla todavía: Salvo el primero, todos son múltiplos de 4 (es
sencilla pero no trivial, podían ser pares no múltiplos de 4)
(3) Cuando volví a la página de secuencias enteras y probé 30500 me
di cuenta de que estaba recordando mal. Ese número no presenta la
propiedad deseada. Después de varios intentos encontré que el valor
probado había sido otro terminado también en 500, pero con unos
pocos miles menos. ¿Qué número es y qué cuadrados de números
primos consecutivos lo forman? (Hay otro más pequeño que también
termina en 500)
(4) Si dispusiéramos de la función primprox(N) “próximo primo después
de N” podríamos preparar un algoritmo que nos devolviera la serie de
este tipo de números. Esta función PRIMPROX está publicada en el
19
Anexo del libro “Números y hoja de cálculo I” de nuestra colección
Hojamat.es
Bastaría iniciar cuatro variables a=2, b=3, c=5, d=7, los cuatro primeros
primos, y después ir copiando una en otra de esta forma: a=b, b=c,
c=d, d=primprox(d). Así se recorrerían todas las cuaternas de números
primos consecutivos y bastaría elevarlos al cuadrado y sumar. Así se
ha construido esta lista en hoja de cálculo:
Orden Primer primo Suma
1 2 87
2 3 204
3 5 364
4 7 628
5 11 940
6 13 1348
7 17 2020
8 19 2692
9 23 3700
10 29 4852
11 31 5860
12 37 7108
13 41 8548
14 43 10348
15 47 12220
(5) Las consideraciones anteriores nos permiten construir un algoritmo
que nos determine, dado un número múltiplo de 4 si es suma de
cuadrados de primos consecutivos o no. ¿Qué pasos tendría?
(6) Si repitiéramos el estudio con sumas de tres cuadrados en lugar de
cuatro, no obtendríamos ningún resultado, salvo el que comienza con
52, termina en 5. ¿Por qué?
Si lo intentáramos con sumas de dos primos, ningún resultado termina
en 6, y a partir del cuarto, tampoco en 4. ¿Cuál es la razón?
20
PIEZAS PARA CUADRADOS
En otra parte de esta publicaión hemos construido triángulos
concatenando cifras. Vamos a intentarlo con cuadrados. Este tema
está estudiado, y ya hay más casos publicados en OEIS. Los
recorremos.
n//n
Es difícil que un número concatenado consigo mismo produzca un
cuadrado. Los pocos casos que aparecen ya están publicados:
1322314049613223140496, 2066115702520661157025,
2975206611629752066116, 4049586776940495867769,
5289256198452892561984,… http://oeis.org/A092118
La razón de que se descubran tan pocos es la siguiente: el número
concatenado n//n es en realidad n*(10^c+1), siendo c el número de
cifras de n, por lo que n<10^c.
Por ejemplo, 7878=78*(10^2+1)=78*101. Si deseamos que n//n sea un
cuadrado, 10^c+1 ha de contener algún cuadrado como factor, porque
si es libre de cuadrados, es imposible que n aporte los factores que
quedan para completar un cuadrado, puesto que es menor que 10^c.
Habrá que buscar números del tipo 10^k+1 que no sean libres de
cuadrados.
Si factorizamos, por ejemplo, desde 11 hasta 10^50+1, descubrimos
que sólo en cuatro casos contiene un cuadrado (copiamos la tabla
parcialmente)
100000000001=11^2*23*4093*8779
1000000000000000000001=7^2*11*13*127*2689*459691*909091
1000000000000000000000000000000001=7*11^2*13*23*4093*8779*5
99144041* 183411838171
21
1000000000000000000000000000000000000001=7*11*13^2*157*859
*6397*216451*1058313049* 388847808493.
Para completar un cuadrado como el que se pide, n deberá contener
los factores primos que no figuran al cuadrado (la parte libre) y
además, si acaso, otros factores adicionales elevados al cuadrado. Ya
vimos en su día que si multiplicamos N por la parte libre de N
conseguiremos el mínimo múltiplo cuadrado de N
(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/12/emparedado-de-
cuadrados-2.html).
Cumplido esto, deberá tener el número de cifras adecuado. Por
ejemplo, en el primer caso
N=23*4093*8779*k^2 y si queremos que tenga 11 cifras, el valor
mínimo de k es 4, con lo que nos da la primera solución:
n=23*4093*8779*16=13223140496, que engendra el cuadrado
1322314049613223140496, primer término de http://oeis.org/A092118
Si tomamos k=5 obtenemos el segundo término: n=20661157025, que
engendra el segundo cuadrado 2066115702520661157025
Para k=6 se engendra el tercer cuadrado: 2975206611629752066116 y
para k=7, 8 o 9 se engendran los términos cuarto a sexto. A partir de
este valor se sobrepasan las cifras.
Así que el caso 100000000001 engendra seis términos.
Pasamos al siguiente:
1000000000000000000001=7^2*11*13*127*2689*459691*909091
El valor adecuado de n será del tipo
n=11*13*127*2689*459691*909091*k^2
Para k=1 y k=2 no se llega al número de cifras mínimo. Para k=3 nos
resulta el séptimo término:
183673469387755102041183673469387755102041.
22
No están publicados más términos. Para k=4, 5 y 6 nos resultan
términos inéditos:
326530612244897959184326530612244897959184
510204081632653061225510204081632653061225
734693877551020408164734693877551020408164
No deseamos marear a nuestros lectores, por lo que no abordamos los
siguientes casos. Sólo dejamos una muestra:
132231404958677685950413223140496132231404958677685950413
223140496
2n//n
Se puede seguir el mismo razonamiento y descomponer en factores
los números del tipo 2*10^c+1 que contienen cuadrados
20000000000000000001=3*7^2*83*1663*985694468327
2000000000000000000000000000000001=3*43^2*245169227*147063
8299531951365929
Con el primero
32653061224489795921632653061224489796
73469387755102040823673469387755102041
130612244897959183686530612244897959184
Con el segundo
216333153055705786911844240129800108166576527852893455922
120064900
261763115197404002163331530557058130881557598702001081665
765278529
311519740400216333153055705786912155759870200108166576527
852893456
23
365603028664142779881016765819362182801514332071389940508
382909681
424012979989183342347214710654408212006489994591671173607
355327204
486749594375338020551649540292050243374797187669010275824
770146025
553812871822606814494321254732288276906435911303407247160
627366144
625202812330989724175229853975122312601406165494862087614
926987561
700919415900486749594375338020552350459707950243374797187
669010276
780962682531097890751757706868578390481341265548945375878
853434289
865332612222823147647376960519200432666306111411573823688
480259600
Los primeros están publicados en http://oeis.org/A115529
n//2n
No explicamos ya el procedimiento. Los candidatos son:
12=2^2*3
100000000000000000000002=2*3*7^2*19961*17040030781111603
100000000000000000000000000000000000000000000000000000000
02=2*3*89^2*
353891*184629530872289*3220312754723112768886882952137673
Con el primero obtenemos el 36=6^2
Con el segundo:
24
816326530612244897959216326530612244897959184
1836734693877551020408236734693877551020408164
3265306122448979591836865306122448979591836736
Y con el tercero, verdaderos gigantes:
504986744097967428355005681100871102133568993813912384800
100997348819593485671001136220174220426713798762782476960
0
Publicados en http://oeis.org/A115527
Concatenación con diferencias constantes
Casi todos los casos están estudiados. Aquí ya no disponemos del
análisis de los factores de 2*10^c+1 o similares. Sólo podemos acudir
a la búsqueda, porque al añadir un sumando al número todo el
planteamiento anterior falla.
n//n+1
Los primeros ejemplos los buscaremos con hoja de cálculo (no
mostraremos el código) y con PARI.
Hemos añadido la raíz cuadrada de la concatenación. Esta sucesión
está publicada en http://oeis.org/A030465 y llama a los primeros
números de Sastry.
El código PARI adecuado es
concatint(a,b)=eval(concat(Str(a),Str(b)))
{for(n=1,10^7,a=concatint(n,n+1);if(issquare(a),print(a)))}
N N//N+1 Raíz
183 183184 428
328 328329 573
528 528529 727
715 715716 846
6099 60996100 7810
13224 1322413225 36365
40495 4049540496 63636
25
N+1//n
Los primeros ejemplos son
También publicado en http://oeis.org/A054214
Adapta tú el código PARI para encontrar más.
n//n+2
El número par 7874 es el más pequeño que cumple que concatenado
con el siguiente par 7876 produce un cuadrado: 78747876=8874^2.
Este caso ya está publicado en http://oeis.org/A115426.
n+2//n
Es el problema simétrico del anterior y también está estudiado en
http://oeis.org/A115431
Aquí paramos, porque otras concatenaciones resultan menos
atractivas. No obstante, con lo que ya has leído puedes emprender
búsquedas por tu cuenta.
CARNAVAL DE CUADRADOS
Consideremos el conjunto de divisores de un número natural N que
son cuadrados perfectos. Sabemos que el mayor de ellos es la parte
cuadrada del número), a la que designaremos como PC(N).
(ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-
parte-libre.html)
Si descomponemos N en factores primos
N N//N+1 Raíz
81 8281 91
8241 82428241 9079
9801 98029801 9901
26
(1)
para encontrar la parte cuadrada basta elevar a cada factor primo al
mayor número par contenido en cada uno de los exponentes, es decir
(2)
Así, por ejemplo, para encontrar la parte cuadrada de
26460=22*33*5*72 bastará truncar cada exponente a un número par,
con lo que quedaría PC(26460)= 22*32*72=1764. A la raíz cuadrada de
esa parte se le suele llamar Raíz Interna del número N
(ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/12/emparedado-de-
cuadrados-2.html)
En este caso la raíz interna de 26460 sería 42=2*3*7.
Todo esto lo recordamos para poder estudiar mejor los divisores
cuadrados de un número. Se pueden considerar las siguientes
afirmaciones:
Los divisores cuadrados de N coinciden con los de su parte
cuadrada.
Si k es divisor cuadrado de N, todos sus exponentes en (1) serán
pares, pero ninguno sobrepasará al correspondiente en PC(N), luego
será también divisor de esa parte cuadrada. Inversamente, todo divisor
de PC(N) lo es también de N.
El número de divisores cuadrados de N coincide con el de los
divisores de la raíz interna de N.
Esto es así porque si extraemos la raíz cuadrada a todos los divisores
cuadrados de N, es claro que permanecerán los mismos factores
primos pero con sus exponentes reducidos a la mitad, que es la misma
operación sufrida por la raíz interna.
27
En el ejemplo elegido, si esa raíz interna es 42, poseerá ocho
divisores, por ser igual a 2*3*7 (aplicando la fórmula del número de
divisores resultaría (1+1)(1+1)(1+1)=8). Efectivamente, si buscamos
todos los divisores cuadrados de 26460 nos resultan estos ocho: 1764,
441, 196, 49, 36, 9, 4 y 1, que son los cuadrados de los divisores de
42: 42, 21, 14, 7, 6, 3, 2 y 1
Existe una correspondencia biyectiva entre los divisores
cuadrados de N y los divisores de su raíz interna, de forma que
cada uno de los primeros es el cuadrado de otro del segundo
conjunto.
Por ejemplo, para N=1200, su parte cuadrada es 400, su raíz interna
20, y se da la correspondencia entre los divisores de 20 y los divisores
cuadrados de 20.
Esto nos da, como hemos visto, un procedimiento para contar los
divisores cuadrados de un número, pero también para sumarlos, si
recordamos la fórmula de la función sigma_2, que suma los cuadrados
de los divisores (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/03/la-
familia-de-las-sigmas-2.html)
Aplicamos esa fórmula a la raíz interna. Esto es importante, porque esa
raíz determina el número de divisores cuadrados. En nuestro ejemplo
lo haríamos así:
SDC(26460)=(2^4-1)/(2^2-1)* (3^4-1)/(3^2-1)* (7^4-1)/(7^2-
1)=5*10*50=2500
Comprueba: 1764+441+196+49+36+9+4+1=2500
28
Si deseas comprobar este resultado con otros números, con este
codigo PARI puedes sumar todos los divisores cuadrados:
print(sumdiv(26460,d,d*issquare(d)))
Sustituyes el ejemplo 26460 por otro número cada vez que lo desees.
Con el Basic de las hojas de cálculo también lo puedes calcular
mediante esta función:
public function sumdivcuad(n)
dim i,p,a,s
p=1
s=0
for i=1 to sqr(n)
a=i*i
if n/a=n\a then s=s+a
next i
sumadivcuad=s
end function
Comprueba de varias formas que el número 84000 posee sólo seis
divisores cuadrados cuya suma es 546. Usa también la fórmula basada
en sigma_2 ((2^6-1)/(2^2-1)*(5^4-1)/(5^2-1)=21*26=546)
Como otras variantes de la función sigma, esta suma de divisores
cuadrados es una función multiplicativa, por lo que basta definirla para
pr, siendo p un factor primo. Para ello, según (2) tomamos como
exponente de su raíz interna (r – r MOD 2)/2, con lo que la suma de los
divisores cuadrados será
Por ejemplo, la suma de divisores cuadrados de 2048=211 será igual a
(2^12-1)/(2^2-1)=4095/3=1365. Comprobamos: 1024+256+64+16+4+1
= 1365.
29
En el caso particular de que r sea igual a 2 o a 3 la suma de divisores
cuadrados será p2+1. Es muy fácil razonarlo y lo usaremos más
adelante.
Otro caso particular se da cuando la raíz interna está libre de
cuadrados, tipo RI(N)=p*q*r*s…, la suma buscada será
(1+p2)(1+q2)(1+r2)(1+s2)…Sería el caso, por ejemplo, del número
60500, cuya parte cuadrada es 12100 y la raíz interna 110=2*5*11,
libre de cuadrados, por lo que la suma de divisores cuadrados de
60500 debería ser (1+22)(1+52)(1+112)=5*26*122=15860. En efecto,
los divisores cuadrados de 60500 suman
12100+3025+484+121+100+25+4+1=1586
RESULTADOS CURIOSOS DE LA SUMA DE
DIVISORES CUADRADOS
Engendramos cuadrados
La siguiente sucesión presenta varias propiedades respecto a la suma
de los divisores cuadrados que merece la pena destacar
1764, 60516, 82369, 529984, 2056356, 2798929, 3534400, 18181696,
38900169, 96020401, 97121025, 335988900, 455907904, 457318225,
617820736, 1334513961, 1599200100, 2176689025, 3279852900,
4464244225, 8586616896…
(publicada en https://oeis.org/A232554)
30
Todos ellos son cuadrados tales que la suma de sus divisores
cuadrados, incluidos ellos mismos, también es un cuadrado. Sí,
puedes volver a leerlo si no lo has captado. En la siguiente tabla
puedes comprobar esta propiedad:
En la primera columna figuran los elementos de la sucesión. Hemos
prescindido del 1, que también cumpliría la misma propiedad. En la
siguiente su descomposición en factores primos, que ya analizaremos.
Como en el caso anterior sugeríamos sumar los divisores cuadrados
mediante la función sigma_2 aplicada a la raíz interna, hemos
calculado dicha suma en las siguientes columnas, comprobando
mediante su raíz cuadrada que se trata de cuadrados perfectos.
Finamente también se han calculado los factores de esas raíces.
Se pueden generar con este código en lenguaje PARI:
{for(n=1,10^5,m=n*n;k=sumdiv(m,d,d*issquare(d));if(issquare(k)&
&k>>1,print(m)))}
Factorización
Podemos observar que ningún término de la sucesión es potencia de
un solo primo.
Con dos factores primos distintos sólo se dan tres casos, que puedes
buscar en la tabla, y los primos que intervienen son 7, 41 y 239,
curiosamente pertenecientes a la sucesión de primos p para los que
p^2+1 no está libre de cuadrados
A(n) Factores Raiz sigma_2 Raiz Factores
1764 [2,2][3,2][7,2] 42 2500 50 [2,1][5,2]
60516 [2,2][3,2][41,2] 246 84100 290 [2,1][5,1][29,1]
82369 [7,2][41,2] 287 84100 290 [2,1][5,1][29,1]
529984 [2,6][7,2][13,2] 728 722500 850 [2,1][5,2][17,1]
2056356 [2,2][3,2][239,2] 1434 2856100 1690 [2,1][5,1][13,2]
2798929 [7,2][239,2] 1673 2856100 1690 [2,1][5,1][13,2]
3534400 [2,6][5,2][47,2] 1880 4884100 2210 [2,1][5,1][13,1][17,1]
18181696 [2,6][13,2][41,2] 4264 24304900 4930 [2,1][5,1][17,1][29,1]
38900169 [3,8][7,2][11,2] 6237 45024100 6710 [2,1][5,1][11,1][61,1]
96020401 [41,2][239,2] 9799 96079204 9802 [2,1][13,2][29,1]
97121025 [3,6][5,2][73,2] 9855 113635600 10660 [2,2][5,1][13,1][41,1]
335988900 [2,2][3,2][5,2][13,2][47,2] 18330 488410000 22100 [2,2][5,2][13,1][17,1]
455907904 [2,6][17,2][157,2] 21352 607622500 24650 [2,1][5,2][17,1][29,1]
457318225 [5,2][7,2][13,2][47,2] 21385 488410000 22100 [2,2][5,2][13,1][17,1]
617820736 [2,6][13,2][239,2] 24856 825412900 28730 [2,1][5,1][13,2][17,1]
1334513961 [3,8][11,2][41,2] 36531 1514610724 38918 [2,1][11,1][29,1][61,1]
1599200100 [2,2][3,2][5,2][31,2][43,2] 39990 2313610000 48100 [2,2][5,2][13,1][37,1]
2176689025 [5,2][7,2][31,2][43,2] 46655 2313610000 48100 [2,2][5,2][13,1][37,1]
3279852900 [2,2][3,2][5,2][23,2][83,2] 57270 4747210000 68900 [2,2][5,2][13,1][53,1]
4464244225 [5,2][7,2][23,2][83,2] 66815 4747210000 68900 [2,2][5,2][13,1][53,1]
8586616896 [2,6][3,8][11,2][13,2] 92664 13011964900 114070 [2,1][5,1][11,1][17,1][61,1]
31
(ver el documento de Rafael Parra
http://hojamat.es/parra/NumerosLDC.pdf
y la sucesión https://oeis.org/A224718).
En el caso de los tres citados, 7^2+1=2*25^2, 41^2+1=2*29^2 y
239^2+1=2*13^4. Si ahora los multiplicamos dos a dos, obtendremos
un factor 2*2=4 multiplicado por dos cuadrados, luego será cuadrado
perfecto, como se pedía.
Otra curiosidad es que las sumas de cuadrados son todas pares y
muchas de ellas múltiplos de 100. Sus raíces son pares hasta donde
hemos buscado. Queda ahí abierta una cuestión para estudiarla con
más ciencia que nosotros.
Sucesión derivada
Si multiplicamos los términos de esta sucesión por otro número libre
de cuadrados resultará otra sucesión formada por números no
cuadrados con suma de divisores cuadrados propios que resulta ser
cuadrada:
3528, 5292, 8820, 10584, 12348, 17640, 19404, 22932, 24696, 26460,
29988, 33516, 37044, 38808, 40572, 45864, 51156, 52920, 54684,
58212, 59976, 61740, 65268, 67032, 68796, 72324, 74088, 75852,
81144, 82908, 89964, 93492, 97020…(publicada en
https://oeis.org/A232555)
Podemos construir todos los múltiplos de ese tipo hasta una cota, por
ejemplo un millón y después ordenarlos en sucesión. Así lo hemos
hecho y casi todos los primeros son múltiplos de 1764.
En realidad esta sucesión es parte de otra más amplia en la que
aparecen todos los casos, y no sólo estos múltiplos que hemos
considerado. Son estos:
Números cuya suma de divisores cuadrados propios es otro
cuadrado mayor que 1
900, 3528, 4900, 5292, 8820, 10404, 10584, 12348, 17640, 19404,
22932, 24696, 26460, 29988, 33516, 37044, 38808, 40572, 45864,
32
51156, 52920, 54684, 58212, 59976, 61740, 65268, 67032, 68796,
72324, 74088, 75852, 79524, 81144, 81796, 82908, 89964, 93492,
97020…(publicada en https://oeis.org/A232556)
En ellos la suma de divisores cuadrados propios es otro cuadrado. Por
ejemplo, la suma en el caso de 5292 es
1764+441+196+49+36+9+4+1=2500=50^2,
que también es un cuadrado.
Aunque los hemos buscado con funciones de hoja de cálculo, se
puede intentar también con PARI. Prueba si quieres este código:
{for(n=1,10^5,k=sumdiv(n,d,d*issquare(d)*(d<n));if(issquare(k)&&k
>>1,print(n)))}
Todos los encontrados son múltiplos de 4 y al menos poseen tres
factores primos distintos. De ellos, algunos son también cuadrados:
900, 4900, 10404, 79524, 81796, 417316, 532900, 846400, 1542564,
2464900, 3232804, 3334276, 3496900, 12432676, 43850884,
50836900, 51811204, 71470116, 107453956, 236975236, 253892356,
432889636, 544102276, 864948100, 1192597156, 1450543396,
1554094084, 2024820004, 2165413156…(publicada en
https://oeis.org/A232557)
No son cuadrados el resto: 3528, 5292, 8820, 10584, 12348,…que
resultan ser los múltiplos de la primera sucesión que ya tratamos.
Resumimos:
Sucesiones de cuadrados
(1) Pueden formar un cuadrado sumándoles todos sus divisores
cuadrados propios. Nos resultaría la primera sucesión: 1764, 60516,
82369, 529984,…(A232554)
(2) Forman un cuadrado sólo la suma de divisores propios, sin
sumarles el número dado. Tendríamos la sucesión: 900, 4900, 10404,
79524, 81796,…(A232557)
33
Sucesiones de no cuadrados
(3) Números cuyos divisores cuadrados suman otro cuadrado. Son
3528, 5292, 8820, 10584,…(A232555) Son múltiplos de elementos de
la sucesión (1)
Sin condicionamiento
(4) La unión de la sucesión (2) con la (3) (A232556)
Formamos palindrómicos
Con la suma de divisores cuadrados podemos formar números
palindrómicos. Es una simple curiosidad, pero está inédita, que
sepamos. Hay dos formas, con divisores cuadrados propios o con
todos:
Con divisores propios
Estos son los números en los que la suma de divisores cuadrados
propios es un número palindrómico de al menos dos cifras (para
eliminar casos triviales):
144, 324, 1089, 1936, 5929, 13225, 30752, 46128, 58564, 76880,
92256, 107632, 125316, 138384, 149769, 153760, 154449, 169136,
199888, 215264, 230640, 261392, 292144, 322896, 338272, 342225,
353648, 378225, 399776, 405769, 445904, 461280, 476656, 507408,
522784, 538160, 568912, 584288, 599664,…
(Los hemos publicado en https://oeis.org/A232892)Si expresamos el
resultado en una tabla de dos columnas, vemos los resultados
palindrómicos a la derecha:
34
Llama la atención la frecuencia con la que aparece el valor 20202, y
prolongando la tabla veríamos muchos más. La razón de esto es que el
primer caso, 30752=25*312, tiene como divisores cuadrados
15376+3844+961+16+4+1=20202, que provienen de los factores
24*312 =15376 y entonces, si multiplicamos ese número por factores
libres de cuadrados se volverá a dar el mismo caso. En efecto, según
la tabla, los siguientes son: 46128=15376*3, 76880=15376*5,
92256=15376*6, 107632=15376*7,…
La pregunta es por qué no funciona este razonamiento en los primeros
casos de la tabla. La respuesta es que esos números son cuadrados y
si los multiplicamos por un libre de cuadrados, se convertirían ellos
mismos en divisores cuadrados propios, y eso alteraría la suma.
Un código PARI para encontrarlos puede ser
reverse(n)=concat(Vecrev(Str(n)))
palind(n)=(Str(n)==reverse(n)&&n>10)
{for(n=1,10^5,k=sumdiv(n,d,d*issquare(d)*(d<n));if(palind(k),print(
n)))}
Con todos los divisores cuadrados
Los primeros números con esta propiedad son
15376, 30752, 46128, 76880, 92256, 107632, 153760, 169136,
199888, 215264, 230640, 261392, 292144, 322896, 338272, 353648,
399776, 445904, 461280, 476656, 507408, 522784, 538160, 568912,
584288, 599664, 630416, 645792, 661168, 707296, 722672, 784176,
144 66
324 131
1089 131
1936 626
5929 171
13225 555
30752 20202
46128 20202
58564 15251
76880 20202
92256 20202
107632 20202
125316 48784
35
814928, 845680, 876432, 891808, 907184, 937936, 953312,
999440,…
(Los hemos publicado en https://oeis.org/A232893)
Todos producen la suma de cuadrados 20202, que ya vimos, y todos
son múltiplos del primero 15376 con cociente libre de cuadrados. Esta
situación llega hasta el número 2217121, que ya no es múltiplo de
15376 y la suma palindrómica que produce es 2217122, ya que sus
únicos divisores cuadrados son él mismo y la unidad.
Código PARI:
reverse(n)=concat(Vecrev(Str(n)))
palind(n)=(Str(n)==reverse(n)&&n>10)
{for(n=1,10^5,k=sumdiv(n,d,d*issquare(d));if(palind(k),print(n)))}
Otras sumas
Podemos intentar lograr números de otros tipos, como triangulares u
oblongos, pero los resultados son tan abundantes que pierden su
interés. En el caso de los oblongos los primeros resultados son
múltiplos de 144. Ahí tienes una exploración.
IGUALDAD DE SUMAS DE CUADRADOS CON
UN ESCALÓN
Repasando algunas propiedades curiosas me encontré en hojamat.es
con esta:
365=102+112+122 = 132+142
La pregunta inmediata que me surgió fue la de si existían otros
números con la misma propiedad o similar. Los encontré en OEIS
(http://oeis.org/) pero no descubriré dónde por ahora, aunque los
lectores experimentados sabrán hallarlos. Con esto quiero aclarar que
lo que consigamos está ya descubierto, pero el objetivo (tan frecuente
36
en este blog) es intentar la concurrencia de métodos y el uso de la hoja
de cálculo.
Nos acercaremos al problema con el planteamiento de dos preguntas:
¿Existen más números en los que la suma de tres cuadrados
consecutivos coincida con los dos siguientes?
¿Qué ocurrirá si aumentamos o disminuimos el número de
cuadrados?
Es probable que hayas pensado en el 25=32+42=52, luego parece que
sí existen casos similares. Lo vemos.
Acercamiento con la hoja de cálculo
Si concretamos un número de inicio n y un número de cuadrados igual
a k+1 en el primer miembro y a k en el segundo, con estas sencillas
líneas podemos descubrir si existen otros casos:
For i=1 to 10000 (por ejemplo)
‘calcula el primer miembro
a = 0
For l = 0 To k
a = a + (i + l) ^ 2
Next l
‘calcula el segundo miembro
b = 0
For l = k + 1 To 2 * k
b = b + (i + l) ^ 2
Next l
‘Los compara y si son iguales lo comunica
If a = b Then
Msgbox(n)
Msgbox(a)
End If
Next i
Hemos tomado como tope 10000, pero después habrá quizás que
ampliar. Implementa esto como rutina en tu hoja de cálculo y
37
descubrirás que para cada k existe una solución y sólo una.
Recogemos en una tabla los primeros resultados:
Ahora ya descubrimos que los resultados coinciden con los recogidos
en http://oeis.org/A059255, pero no podemos dejarlo así, porque en la
tabla aparecen números triangulares y múltiplos de 5. Algo habrá
detrás. Intentamos descubrirlo.
Un poco de Álgebra
Si sospechamos que las soluciones son únicas para cada valor de k,
es probable que exista una relación algebraica sencilla. En efecto,
aunque los principios son algo farragosos, con paciencia algebraica
llegaremos a la meta. No damos todos los detalles y te dejamos
practicar:
Primera suma de cuadrados A
Suponemos que comienza en n y termina en n+k (k+1 sumandos), es
decir:
Segunda suma de cuadrados B
Observa cómo lo hemos escrito, para que te aproveches de la fórmula
para la suma de números naturales consecutivos.
k n a
1 3 25
2 10 365
3 21 2030
4 36 7230
5 55 19855
6 78 45955
7 105 94220
38
Desarrolla cada suma separando los coeficientes de n2, de n y los
independientes. Como esta tarea te puede llevar a la desesperación,
usa las dos populares fórmulas:
Calcula A-B para igualarla a
cero y ve encontrando los
coeficientes:
De n2 te deberá resultar a=1.
Es fácil verlo.
De n, si sabes usar la primera
fórmula ofrecida, con algún retoque, te dará b=-2k2
El coeficiente independiente es un poco más complejo de encontrar
correctamente. Puedes usar la suma de cuadrados de los primeros
naturales. Deberá resultar c=-2k3-k2
Así que la ecuación para calcular n quedaría así:
Su discriminante es el cuadrado de 2k(k+1), lo que nos garantiza una
solución entera. Tomamos la positiva y, efectivamente n=k(2k+1), que
es el número triangular de orden 2k, como habíamos sospechado al
principio.
Para cada valor de k, la igualdad de cuadrados pretendida ocurre
para n=k(2k+1), el número triangular correspondiente a 2k, y es
por tanto la solución única.
Hemos resuelto con rigor lo que sospechábamos tras el uso de la hoja
de cálculo. Esto es imprescindible: las herramientas informáticas sólo
proponen o dan pistas, pero no demuestran nada. A veces olvidamos
esta limitación.
Expresión de la suma
Ahora podemos calcular el valor de las dos sumas. Sustituimos k(2k+1)
en una de ellas, y sacando factor común nos resulta
39
A(k)=k(k+1)(2k+1)(12k2+12k+1)/6. Por ejemplo, para k=3 resulta
3*4*7*(12*9+12*3+1)=2030.
El problema se ha reducido a una cuestión algebraica.
CUADRADOS DEL TIPO N(N+K)
En enero de 2018 se publicaron en Twitter varios resultados sobre una
propuesta de Republic of Math @republicofmath, uno de los cuales
insertamos a continuación:
En este blog acudimos con frecuencia a la técnica de “dar vueltas” a
una cuestión de la que tengamos noticia. En este caso concreto
estudiaremos de forma algebraica y algorítmica la cuestión de qué
números n cumplen que n(n+k) es un cuadrado para un número k
dado. Por ejemplo, si k=16, existen dos números, 2 y 9, que producen
un cuadrado mediante dicha expresión. En efecto:
2(2+16)=2*18=36=62; 9(9+16)=9*25=225=152
Para encontrar soluciones correspondientes a un valor de k
acudiremos a búsqueda en hoja de cálculo y PARI para después
abordar un estudio teórico. Es una metodología muy frecuente en este
blog: comenzar con una búsqueda sin apoyo teórico y después ir
buscando regularidades o fundamentaciones algebraicas.
Estudio con hoja de cálculo
Es fácil programar una función que nos indique si un número n produce
un cuadrado en la expresión n(n+k) para un k dado. La que insertamos
40
a continuación nos servirá para valores de k pequeños. En otros casos
los errores de truncamiento de los cálculos nos pueden llevar a
conclusiones falsas. Por eso es interesante acudir a un lenguaje de
más exactitud como PARI y dar una vuelta de Álgebra a esta cuestión.
La función más simple que podemos proponer es esta:
Function escuadprod(n, k) As Boolean
‘Depende de dos variables y devuelve VERDADERO o FALSO
Dim a
a = n * (n + k) ‘Construimos el producto pedido
If a = Int(Sqr(a)) ^ 2 Then escuadprod = True Else escuadprod =
False
‘Si a equivale al cuadrado de la parte entera de su raíz cuadrada, vale
End Function
Con ella y un bucle de búsqueda se pueden encontrar las soluciones
para un valor de k dado. En la imagen figuran las correspondientes a
k=21, que son 4, 7, 27 y 100.
Las comprobamos:
4(4+21)=4*25=100=102
7(7+21)=7*28=196=142
27(27+21)=27*48=1296=362
100(100+21)=100*121=12100=1102
¿Se podrán encontrar más? Lo veremos en el estudio algebraico.
41
Para mayor velocidad y exactitud trasladamos vuestra función a PARI
(lo puedes realizar fácilmente con otro lenguaje). Este sería el listado
para k=21.
escp(n,k)=issquare(n*(n+k))
k=21;for(i=1,10000,if(escp(i,k),print(i)))
Hemos acotado la búsqueda en 10000, pero para valores de k
superiores deberíamos ampliar la búsqueda. Ya trataremos esto más
adelante.
El resultado es:
Coinciden las soluciones 4, 7, 27 y 100.
Estudio algebraico
Llamemos m2 al cuadrado que debe producir el producto n(n+k).
En ese caso se cumplirá: n(n+k)=m2
Resolviendo la ecuación de segundo grado resultante:
𝑛2 + 𝑘𝑛 − 𝑚2 = 0
𝑛 =−𝑘 + √𝑘2 + 4𝑚2
2
El radicando ha de ser un cuadrado perfecto, llamémosle p2, lo que nos
lleva a que
p2 - 4m2 = k2
(p+2m)(p-2m)=k2
42
Si encontramos dos valores enteros para p y m, sustituyendo en la
resolución de la ecuación:
𝑛 =𝑝 − 𝑘
2
Bastará entonces descomponer k2 en dos factores, sean A y B, e
igualar:
Resultará p+2m=A, p-2m=B, p=(A+B)/2, m=(A-B)/4
Deberemos buscar entonces A y B de forma que su diferencia sea
múltiplo de 4 y distinto de cero, para evitar la solución cero.
Veamos el caso de 21. Su cuadrado 441 admite estas
descomposiciones en productos:
441*1=147*3=63*7=49*9=21*21
Los cuatro primeros se diferencian en un múltiplo de 4, y nos queda:
441*1: m=(441-1)/4=110; p=(441+1)/2=221; n=(p-k)/2=(221-21)/2=100
147*3: m=(147-3)/4=36; p=(147+3)/2=75; n=(75-21)/2=27
63*7: m=(63-7)/4=14; p=(63+7)/2=35; n=(35-21)/2=7
49*9: m=(49-9)/4=10; p=(49+9)/2=29; n=(29-21)/2=4
Obtenemos las soluciones sabidas 100, 27, 7 y 4. Hemos desechado la
solución cero, que se obtendría de 21*21.
Hemos deducido que el valor de p equivale a p=(A+B)/2, siendo A y B
factores de k2, luego p<=k2/2, y, por tanto, el valor buscado n=(p-k)/2,
tendrá como amplia cota k^2/4:
𝑛 ≤𝑘2
4
Podíamos ajustar más, pero no es necesario. Por ejemplo, para el caso
k=2018, PARI nos da la solución (por cierto, única) de n=508032, ya
publicada en Twitter
43
Esta solución cumple 508032<2018^2/4=1018081
Por tanto, en PARI deberíamos buscar hasta esa cantidad:
escp(n,k)=issquare(n*(n+k))
k=2018;for(i=1,1018081,if(escp(i,k),print(i)))
Obtendríamos la misma solución única:
¿Por qué es única?
Seguimos el proceso algebraico:
2018^2=4072324=4072324*1=2036162*2=1018081*4=4036*1009=201
8*2018
El único par válido es 2036162*2, luego p=(2036162+2)/2=1018082 y
n=(1018082-2018)/2=508032
Es única la solución 508032
Terminamos con una consideración:
Si n convierte n(n+k) en un cuadrado, es decir, es solución para
un k dado, el número rn será solución para rk.
Es una propiedad muy importante, que se justifica en estas simples
igualdades:
Si n(n+k)=m2, entonces rn(rn+rk)=(rm)2
Número de soluciones para cuadrados del tipo n(n+k)
En el anterior apartado comenzamos a “dar vueltas” a la cuestión de
qué números n cumplen que n(n+k) es un cuadrado para un número
k dado. Ya presentamos la función escuadprod(n,k) para averiguar si
un número n forma cuadrado mediante n(n+k). Después se tradujo a
44
PARI y se desarrolló un procedimiento algebraico para encontrar las
soluciones del problema planteado.
Comenzaremos por contar las soluciones que presenta cada valor de
k, para pasar luego a algunos casos interesantes.
Función para contar soluciones
Mediante procedimientos similares a los desarrollados en los anteriores
apartados, podemos crear la función numcuadprod(k) que cuente las
soluciones para un valor concreto de k. El siguiente código para VBA
de Excel resuelve la cuestión.
Function numcuadprod(k)
Dim a, i, r, c
c = 0 ‘Contador de soluciones
r = k ^ 2 / 4 ‘Cota de búsqueda
For i = 1 To r
a = i * (i + k)
If a = Int(Sqr(a)) ^ 2 Then c = c + 1 ‘Si se cumple, se incrementa el
contador
Next i
numcuadprod = c
End Function
Si prefieres la exactitud del lenguaje PARI, puedes usar este código:
numcp(k)={local(c=0,
a=0,r=k^2/4,i=0);for(i=1,r,a=i*(i+k);if(issquare(a),c+=1)); c}
print(numcp(960))
Lo hemos particularizado para k=960
Aquí tienes el resultado en Excel
45
Y aquí en PARI
Con la función escuadprod(n,k) que estudiamos anteriormente
podemos buscar esas 40 soluciones. Son:
En Excel:
Y en PARI
Casos particulares
Estudiaremos a continuación algunos casos particulares en los que no
es complicado contar soluciones.
Múltiplos de 3
Todos tienen al menos una solución. Si k=3m, una solución para n es
m, ya que m(m+3m)=4m2=(2m)2
Un razonamiento similar valdría para múltiplos de 8, ya que
m(m+8m)=(3m)2
Por tanto los múltiplos de un número anterior a un cuadrado
presentarán la misma situación.
46
Números que no presentan soluciones
Los números 1, 2 y 4 no admiten soluciones, porque sus cuadrados no
se pueden descomponer en dos factores A y B cuya diferencia sea
múltiplo de 4.
Números primos mayores que 2
Si k es primo, A=k2 y B=1. Todos los cuadrados de primos mayores
que 2 son de la forma 4m+1, ya que (2k+1)2=4(k2+k)+1,
(2k+3)2=4(k2+3k+2)+1, y por tanto A-B será múltiplo de 4. En este caso
tendremos que p=(k2+1)/2 y n=((k2+1)/2-k)/2=(k2-2k+1)/4=(k-1)2/4, o
bien:
𝑛 = (𝑘 − 1
2)
2
Así lo comunica @republicofmath
Aquí añadimos que esta solución también es válida para todos los
impares, aunque sólo tiene que ser única para los primos (recuérdese
el 21).
En el caso de 21, n=(21-1)^2/4=400/4=100, pero existen otras.
Podemos listar las soluciones para los primeros primos y comprobar
esa fórmula:
47
Potencias de 2 mayores que 4
Si k=2r, con r>2, el número de soluciones será r-2
En efecto, k2 en ese caso se podría descomponer de la forma A=2a,
B=2b, con la condición de que a+b=2r a>b y que la diferencia A-B sea
múltiplo de 4, para lo que b ha de ser mayor que 1, ya que
A-B=2a-2b=(2a-b-1)*2b
En esa diferencia el paréntesis es impar, luego sólo será múltiplo de 4
si lo es 2b, es decir, con b>1
Esto reduce los valores de b a 2, 3, 4,…r-1, ya que el valor r produciría
la igualdad A=B. Contamos casos, y, efectivamente, son r-2
Lo vemos para el 16:
S k=16, r=4, 2r=8, y los valores posibles de b, 2 y 3
Si b=2, B=4, A=64, p=(A+B)/2=34, n=(34-16)/2=9, y se cumple
9(9+16)=225=152
Si b=3, B=8, A=32, p=(A+B)/2=20, n=(20-16)/2=2, y tenemos
2(2+16)=36=62
Con la función numcuadprod(n) podemos comprobar estos
resultados:
Se observa la coincidencia de valores en los resultados de la función
numcuadprod y la expresión r-2
48
Semiprimos pares mayores que 4
Estos números presentan una sola solución, ya que si k=2h, k^2=4h2,
con h primo impar y la única forma de descomponer k en dos factores
adecuados es A=2h2, B=2, con lo que su diferencia será 2*(h2-1). El
paréntesis será múltiplo de 4, ya que h2 es de la forma 4m+1. Así que
las soluciones se formarán así: p=(2h2+2)/2=h2+1 y de ahí, n=(p-
k)/2=(h2+1-2h)/2=
(h-1)2/2=(k-2)2/8
En resumen
𝑛 =(𝑘−2)2
8
Lo puedes comprobar con la tabla de los primeros
semiprimos pares:
Estos razonamientos confirman lo visto con
anterioridad, cuando se afirmaba que 2018
(semiprimo par) sólo presentaba una solución,
508032.
Números de la forma k=2m*p, con m>1 y p primo mayor que 2
En este caso k2=22m*p2
Al descomponer k2 en factores, el primo p puede pertenecer a ambos,
o bien p2 pertenecerá a uno de ellos y al otro no.
Primer caso
Si el primo figura en ambos factores, sean A=2rp y B=2sp, aparecerán
tantos factores como indique 2m, ya que p no añadirá ninguno más.
Como vimos en el apartado de potencias de 2, se producirán m-2
soluciones válidas.
49
Segundo caso
Si p2 figura en un factor y en otro no, ambos factores han de ser
múltiplos de 4, luego de todas las potencias de 2 que dividen a 2m,
sean 21, 22, 23,… 22m-2, 22m-1, 22m, habrá que eliminar la primera, que no
es múltiplo de 4, y las dos últimas, que impedirían que fuera múltiplo de
4 el otro factor, luego sólo nos quedan 2m-3 posibilidades.
Sumamos y resultan 3m-5 el número de soluciones que admite
k=2m*p.
Lo comprobamos con un ejemplo. Sea k=80=24*5. Según la fórmula,
deben aparecer 2*4-5=7 soluciones. Lo desarrollamos:
K2=6400
Descomponemos en productos válidos.
Primer caso
Debe entrar el 5 en ambos factores. Las posibilidades son: 320*20 y
160*40, en total 4-2 soluciones, que serían:
A=320, B=20, p=(320+20)/2=170, n=(170-80)/2=45. Compruebo:
45(45+80)=752
A=160 B=40, p=(160+40)/2=100, n=(100-80)/2=10. Se cumple:
10(10+80)=900=302
Segundo caso
El primo 5 sólo figura en un factor. Nos quedarían los productos válidos
1600*4, 800*8, 400*16, 200*32, 100*64, que darían lugar (omitimos los
cálculos) a las soluciones 361, 162, 64, 18 y 1. Serían 5 soluciones, es
decir 2*4-3, según la fórmula.
Resumimos ambos casos y resultan las siete soluciones (3*4-5) que
podemos obtener con la función escuadprod:
50
Números impares
En el caso de los impares el cálculo se simplifica. Sólo necesitamos
conocer su descomposición factorial, en la que todos los números
primos serán impares. Todos ellos serán del tipo 4k+1 o 4k+3, pero sus
cuadrados, cuartas o sextas potencias serán todos del tipo 4k+1 y sus
diferencias múltiplos de 4. Si en el emparejamiento un primo del tipo
4k+3 se toma una vez, el otro factor también lo contendrá, y se
compensa el 3 al restar, resultando también un múltiplo de 4.
En este caso k2 tendrá la forma k2=p2tq2ur2vs2w…, con p, q, r, s primos y
t, u, v y w sus exponentes primitivos. Se sabe que entonces su número
de divisores será (1+2t)(1+2u)(1+2v)…Este producto es la función
TAU, la que cuenta divisores.
Todos esos factores se deberán emparejar, ya que sus diferencias
siempre serán múltiplos de 4. Un par tendrá dos factores iguales, y se
deberá eliminar, con lo que nos quedan (TAU(k2)-1)/2 productos
posibles, y soluciones para k.
Ejemplo
Si k=165=3*5*11, según la función numcuadprod, se deberán esperar
13 soluciones, número que coincide con la fórmula que acabamos de
obtener: =(TAU(165^2)-1)/2=(33-1)/2=26/2=13. En efecto, al sacar los
divisores de 1652 podemos obtener trece pares válidos. Reproducimos
los cálculos habituales para sacar todas las soluciones para k=165:
51
El último par se desecha por tener los factores idénticos, y nos quedan
13 soluciones en la última columna. Coinciden con las obtenidas
mediante búsqueda ordenada con la función escuadprod ya vista
anteriormente:
Un ejemplo con k conteniendo potencias:
Sea k=33*52*7=4725. Su cuadrado tendrá de exponentes 6, 4 y 2.
Calculamos TAU=(1+6)(1+4)(1+2)=7*5*3=105
El número de soluciones será (TAU-1)/2=(105-1)/2=52, que coincide
con el que nos devuelve numcuadprod:
52
Caso general
Ya hemos acumulado experiencia para abordar el caso general, que
resume en cierto modo lo descubierto hasta ahora. Mediante búsqueda
empírica y razonamiento posterior, creemos que podemos acudir a
este procedimiento:
(1) Encontramos la valuación del número k respecto a 2, es decir, el
exponente máximo del 2 contenido en el número dado, llamémosle m.
Esto quiere decir que el número k se descompone en parte par, 2m, y
parte impar. Entonces:
k2=22m*v, siendo v la parte impar.
(2) Hallamos la función TAU de la parte impar v, y aplicamos la fórmula
vista en párrafos anteriores (TAU(k2)-1)/2 , y al resultado le llamaremos
t.
(3) En ese caso, el número de soluciones para nuestra condición de
que sea cuadrado n(n+k) vendrá dada por
N=t*(2m-3)+m-2 si m>2. Si no, lo tratamos como impar.
El primer sumando proviene de combinar todas las soluciones de la
parte impar (la TAU t) con todas las de 2m (vimos que con un solo
primo resultaban 2m-3) y el segundo de la partición que se desechó en
la parte impar por tener dos factores iguales (k*k).
Esto hay que tomarlo como una explicación, no como demostración,
que requeriría un conteo más sistemático de todos los casos. Lo
vemos, por ejemplo, con 336=24*3*7. En este caso m=4 y la parte
impar es 441=32*72, cuya TAU vale (1+2)(1+2)=9 y t=(9-1)/2=4. Por
tanto, según la expresión que hemos presentado, n=4*(2*4-3)+4-
2=4*5+2=22
En efecto, la función numcuadprod nos devuelve 22:
53
Según el razonamiento de más arriba, el segundo sumando, 4-2=2
proviene de tomar en la parte impar de 212 el par 21*21. Y así es en
este ejemplo, ya que se corresponderían a los productos
1344*84=21*64*21*4=336*336 y a 672*168=21*32*21*8=336*336
Los restantes 20 productos válidos se corresponderán con todas las
combinaciones válidas de los productos de la parte par con los de la
parte par. Por curiosidad, los copiamos aquí. Ninguno de ellos presenta
el factor común 21 en ambos factores:
28224*4, 14112*8, 9408*12, 7056*16, 4704*24, 4032*28, 3528*32,
3136*36, 2352*48, 2016*56, 1764*64, 1568*72, 1344*84, 1176*96,
1008*112, 784*144, 672*168, 576*196, 504*224 y
448*252.
Las 22 soluciones para n respecto al valor de k=336 las
podemos obtener, ordenadas de menor a mayor, con la
función escuadprod:
Tomemos una al azar, como 847:
847*(847+336)=1002001=10012. Resulta un cuadrado,
luego es una solución válida.
Hemos construido la función numcuadprod2 recogiendo
el algoritmo propuesto. Con ella se puede verificar la
coincidencia de los dos métodos que podemos utilizar, el
de la búsqueda simple (numcuadprod) y el basado en las
consideraciones desarrolladas en este apartado (numcuadprod2)
En esta tabla de datos tomados al azar se observa la equivalencia:
54
Casos publicados
Analizamos ahora los casos que se publicaron en Twitter en enero de
2018:
Según nuestro procedimiento, como es impar, buscamos la función
TAU de su cuadrado:
2019=3*673, luego TAU(20192)=(1+2)(1+2)=9, y el número de
soluciones será (9-1)/2=4
Estas cuatro soluciones provendrán de los productos válidos del
cuadrado de 2019:
Hemos seguido lo sugerido en párrafos anteriores:
- Buscar productos cuya diferencia sea múltiplo de 4
– Llamar A y B a los factores
55
– Encontrar su promedio p
– Aplicar la fórmula n=(p-k)/2.
Podemos observar la coincidencia entre nuestro cálculo y el publicado.
Aquí 2020=22*5*101. Es el caso en el que el exponente de 2 es 2,
luego el número de casos será 4, pues la parte impar sólo presenta
dos factores y el cuadrado de 2 no incrementa ese número.
Los productos válidos de 20202 son:
Para 2310=2*3*5*7*11 bastará calcular el número de casos de la parte
impar de su cuadrado. Es fácil ver que TAU(23102)=3*3*3*3=81, luego
el número de casos será (81-1)/2=40, tal como se afirma en la
publicación que analizamos.
Reproducir los cuarenta casos es muy pesado. Deberíamos factorizar
el cuadrado de 2310, 5336100 y buscarle todos los divisores:
5336100 2668050 1778700 1334025 … 10 9 7 6 5 4 3 2 1
56
Después formaríamos pares con ellos y nos quedaríamos con los que
presentan una diferencia múltiplo de 4. No lo haremos con todos, sólo
con los primeros:
Si siguiéramos el procedimiento con todos los pares de factores
coincidiríamos con lo publicado de forma total.
Problema inverso
Hasta ahora hemos buscado el valor de n que consigue que n(n+k)
sea un cuadrado. Si planteamos el problema inverso, si dado un n ver
si existe un k que cumpla la misma condición, con lo visto en párrafos
anteriores tenemos la respuesta, pues vimos que n(n+3n) es un
cuadrado, luego existe solución para todo n.
También vimos más arriba que 8n, 15n, 24n,…son todas soluciones
para k, luego existen infinitas. La más pequeña suele ser 3n, pero con
muchas excepciones, como puedes ver en la
siguiente tabla, en la que las hemos marcado en
rojo:
Esos casos se producen en los números que
contienen cuadrados. Analizamos la situación:
(a) Si n es libre de cuadrados, será producto de
varios primos, todos elevados a exponente 1.
Por tanto, el cuadrado resultante de n(n+k) ha de
ser múltiplo de los cuadrados de esos primos,
luego el paréntesis también lo será, lo que obliga
a que k sea múltiplo de n. De ahí que la solución
mínima sea 3n.
(b) Si n contiene un cuadrado mayor que 1, será,
por ejemplo, n=r2*s, lo que nos lleva a la
57
situación de que r2*s*(r2*s+k) sea un cuadrado. Esto se consigue
dando un valor a k que convierta el paréntesis en otro cuadrado. Para
ello se puede convertir r2 en (r+1)2. Sabemos que la diferencia entre
esos dos cuadrados es 2r+1, luego el valor de k que nos conviene es
(2r+1)*s, ya que r2*s*(r2*s+(2r+1)*s)= r2*s*(r+1)2*s= r2*s2*(r+1)2, luego
hemos conseguido el cuadrado. Lo vemos con algún ejemplo:
N=20=22*5. Hacemos k=(2*2+1)*5=25 y queda
20(20+25)=20*45=900=302
N=24=22*6. Si k=(2*2+1)*6=30, tenemos 24(24+30)=1296=362
No hemos analizado si existe en el caso de números que contienen
cuadrados alguna solución menor que la presentada. Lo importante es
que todos los valores de n admiten infinitas soluciones para k.
58
TRIANGULARES
JUGAMOS CON LOS TRIANGULARES
El estudio de cuestiones aritméticas deriva pronto a cálculos
algebraicos, generalmente tediosos, y, en algunos casos, también a
esquemas geométricos. Estos dos caminos, el algebraico y el visual se
complementan perfectamente. Los números figurados, por su propia
definición, son buenos elementos de unión entre ellos. Veamos un
ejemplo con números triangulares:
“Llamamos T(n) al enésimo numero triangular. ¿Qué obtenemos si
sumamos los cuadrados de un número triangular T(n) y de su siguiente
T(n+1)?
Orientación algebraica
(1) Conjetura: Diseñamos una tabla de números triangulares en una
hoja de cálculo y en una columna adjunta calculamos la suma de
cuadrados pedida para todos los casos posibles. Fácilmente se
descubre una ley de formación. No indicamos el resultado, tan sólo que
es un número triangular. ¿Cuál?
(2) Cálculo: Mediante cálculos algebraicos se puede verificar la
conjetura. Basta desarrollar la expresión y comprobar su resultado con
el imaginado. En la imagen tienes un desarrollo efectuado con la
calculadora Wiris. La conjetura está un poco escondida.
59
Orientación geométrica
(3) Podemos atrevernos a pensar
que si T(n) es un número triangular,
su cuadrado se podrá representar
por otro número triangular idéntico a
él, pero sus elementos no serán
puntos o bolitas, sino triángulos más
pequeños. Sería “un triángulo de
triángulos”.
Si no acertaste la conjetura por medio del Álgebra, esta imagen te la
sugerirá con más facilidad. Las bolitas rojas corresponden al cuadrado
de T(4) y las verdes al de T(3). Si no sientes una pequeña emoción al
analizarla es que no te gustan de verdad las Matemáticas.
TRIANGULARES ALOJADOS
Si tomamos 40 cubos, los podemos apilar en forma de prisma con
base un triángulo isósceles y rectángulo, o en términos aritméticos, un
número triangular mayor que 1. Excluimos la unidad porque en ese
caso se pierde la forma triangular.
60
Este ejemplo es válido porque 40=4*10, y 10 es el cuarto número
triangular.
No todos los números enteros se pueden representar así, pues han de
ser múltiplos de un número triangular y eso no siempre ocurre. Por
ejemplo, el 14, ya que entre sus divisores no figuran 3, 6 ó 10, que son
los triangulares menores que él (recuerda que excluimos el 1). Esto ya
nos divide el conjunto de los números naturales entre los que tienen
divisores triangulares mayores que 1 y los que no.
Los segundos, que no admiten la representación propuesta, son 1, 2,
4, 5, 7, 8, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 22, 23, 25, 26, 29, 31, 32, 34, 35, 37,
38… (http://oeis.org/A112886) y les llamaremos libres de
triangulares. Verás que están los primos, algunos semiprimos,
potencias de primos y otros a los que volveremos más adelante.
Parte triangular y parte libre de triángulos
Sabemos que los primeros admiten un divisor triangular pero, como
pueden ser varios, nos quedaremos con el mayor: llamaremos parte
triangular (PTR) de un número al mayor divisor triangular que
posea. Si has leído sobre estos temas, te recordará esto a la parte
cuadrada y la parte libre de un número
(http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2011/05/parte-cuadrada-y-parte-
libre.html)
El mayor divisor triangular puede ser 1 o el mismo número, como se
comprueba en la lista de todos ellos (http://oeis.org/A115017):
N 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,
21, 22…
PTR 1, 1, 3, 1, 1, 6, 1, 1, 3, 10, 1, 6, 1, 1, 15, 1, 1, 6, 1, 10, 21,
1…
En ella están los libres de triangulares, que son los que se
corresponden con un 1, como el 4 y el 5, los triangulares, cuya PTR
son ellos mismos, como 6 y 10, y el resto, en el que se tiene una parte
triangular y otra libre ambas mayores que la unidad. Es el caso de 12 o
61
40. La parte libre de estos últimos está recogida en
http://oeis.org/A121289
Una idea: dos números con la misma parte libre y partes triangulares
consecutivas formarán un prisma cuadrado. Imagina el prisma de la
primera imagen y su complementario.
Búsqueda de la parte triangular
Un algoritmo simple es el de ir recorriendo los números naturales k,
formar con ellos los triangulares mediante k(k+1)/2 e ir verificando si el
número dado N es múltiplo de alguno. El mayor de todos ellos será la
PTR(N).
Previamente es bueno calcular el orden del máximo triangular que es
menor o igual que N, para acortar el ciclo de búsqueda. Se deja a los
lectores la demostración de que ese orden k se calcula mediante
En hoja de cálculo sería =ENTERO((RAIZ(8*N+1)-1)/2)
Por ejemplo, para N=14534, k=169 y el mayor triangular menor que N,
169*170/2 = 14365. A nosotros nos interesaría el 169, porque entre 2 y
169 estaría el orden del triangular buscado. Todo esto se puede
plasmar en una función:
Public Function partetriang(n) Dim p, i, t, tr p = Int((Sqr(n * 8 + 1) - 1) / 2) ‘Calcula el máximo orden t = 1 For i = 2 To p tr = i * (i + 1) / 2 ‘forma todos los triangulares menores o iguales a n If n / tr = n \ tr Then t = tr ‘si es divisor, toma nota Next i partetriang = t ‘se queda con el mayor End Function
62
El algoritmo busca los triangulares entre el menor 3 y el mayor k(k+1)/2
y se va quedando con los divisores. El último encontrado será PTR(A).
Si en lugar de recoger el valor de i*(i+1)/2 hubiéramos ido recogiendo i,
nos hubiera resultado el orden de PTR.
Los tienes en http://oeis.org/A083312
¿Qué números dan alojamiento a un triangular?
Para que N tenga un divisor triangular mayor que 1 se ha de poder
escribir de la forma N=k(k+1)*M/2 con k>1. Esto da lugar a varias
interpretaciones:
(a) N tiene un divisor triangular mayor que 1, si y sólo si 2N posee dos
divisores consecutivos mayores que 1.
Es condición necesaria, pues la expresión de 2N sería 2N=k(k+1)*M
con k>1, con lo que k y k+1 son los divisores pedidos.
Por ejemplo, el triangular 21 divide a N=8883, con lo que el doble
17766=6*7*423 contiene a los consecutivos 6 y 7.
La condición es suficiente: Si 2N posee dos divisores consecutivos h y
h+1 con h>1, estos serán primos entre sí, luego su MCM(h,h+1) será
su producto h(h+1). Como 2N es múltiplo de h y h+1, lo será de su
MCM, es decir de su producto. Por tanto 2N=h(h+1)P y será múltiplo
del triangular h(h+1)/2, ya que uno de los dos h o h+1 es par.
Los números 2N de este tipo los tienes en http://oeis.org/A132895.
Son el doble de un número libre de triángulos.
Sería interesante que pensaras en un algoritmo que descubriera esos
números.
(c) Los semiprimos N=p*q son números libres de triángulos salvo que
uno de sus factores sea 3, o bien q=2p±1
En efecto, si N=p*q con p y q primos, 2N=2pq ha de contener dos
divisores consecutivos. Si p o q fueran iguales a 3, ya se cumpliría,
porque 2N=2*3*k, pero entonces N sería múltiplo de 3.
63
Si ni p ni q son iguales a 3, lo serán a 2 o a un primo mayor que 3. Si
por ejemplo p=2 entonces 2N=2*2*q y q se ve obligado a ser 3, con lo
que pasamos al primer caso. Seria múltiplo de 3.
Así que sólo nos queda que N=p*q con p y q primos mayores que 3 y
no son números consecutivos (porque son impares). En ese caso es
claro que 2N=2pq no podría tener divisores consecutivos salvo que
q=2p+1 o bien q=2p-1 (o simétricamente, p=2q+1 o 2q-1). En el primer
caso p sería un primo de Sophie Germain.
Recuerda que los primos de Sophie Germain son aquellos en los que
2*p+1 también es primo: 2, 3, 5, 11,…
(d) Los números primarios (potencias de primos) están libres de
triángulos salvo el caso N=3k
Esta es trivial: Si N=pk con k>1, entonces 2N=2pppp…sólo contendría
divisores consecutivos en el caso 2N=2*3*3*3...
¿Se te ocurren más propiedades? A nosotros por ahora no.
CARNAVAL DE TRIANGULARES
Este capítulo se ha desbordado, como una serpentina que al arrojarla
ya no puede volver a ser rollo. Comenzamos a estudiar variantes de
estudios anteriores y a la multiplicidad de divisores triangulares le
siguió su suma, las coincidencias en esa suma y la reconstrucción de
otro triangular. Por ello comenzamos con un esquema:
Número de divisores triangulares (http://oeis.org/A007862)
Cálculo general
Números con un solo divisor triangular propio (http://oeis.org/A203468)
Suma de divisores triangulares (http://oeis.org/A185027)
Curiosidades
Números con suma de triangulares también triangular
(http://oeis.org/A209309)
Números triangulares con la misma propiedad (http://oeis.org/A209310)
64
Otras curiosidades menores
Caso en el que la suma de divisores triangulares es otro divisor
(http://oeis.org/A209311)
Número de divisores triangulares
Vimos en otro apartado que el número 40 posee una parte triangular
igual a 10, que le permite ser representado como un prisma triangular.
Esta representación 40=4*T4 es única (no consideramos el triangular 1,
por lo que no volveremos a citarlo). Ningún otro número triangular
menor o igual que 40 (3, 6, 10, 15, 21, 28 o 36) lo divide salvo el 10.
Esto por lo que se refiere al 40, pero existen otros números que
admiten varias representaciones. El 30 admite cuatro: 30=10*T2 = 5*T3
= 3*T4 = 2*T5
No es difícil contar los divisores triangulares que posee un número N
(al menos, el 1). Basta cambiar el algoritmo que publicamos
anteriormente para que cuente en lugar de quedarse con el mayor
Public Function numdivtriang(n) Dim p, i, t, tr p = Int((Sqr(n * 8 + 1) - 1) / 2) ‘Calcula el máximo orden t = 1 For i = 2 To p tr = i * (i + 1) / 2 ‘forma todos los triangulares menores o iguales a n If n / tr = n \ tr Then t = t+1 ‘si es divisor, incrementa el contador Next i numdivtriang = t ‘se queda con el mayor End Function
65
Esta función cuenta el 1, por lo que para 30 dará 5 posibilidades y para
40 sólo 2. En la siguiente tabla parcial lograda con hoja de cálculo lo
puedes comprobar
30 5 31 1 32 1 33 2 34 1 35 1 36 4 37 1 38 1 39 2 40 2
Este resultado lo tienes en http://oeis.org/A007862 y es interesante leer
los comentarios que se incluyen.
Números con un solo divisor triangular propio mayor que 1
El caso del 40 no es único. Hay muchos números que sólo pueden
representarse de una sola forma como un prisma triangular con base y
altura mayores que uno (para evitar trivialidades). Son estos:
6, 9, 15, 20, 21, 27, 33, 39, 40, 50, 51, 56, 57, 69, 70, 80, 81, 87, 93,
99, 100, 111, 112, 117, 123, 129, 130, 141, 153, 159, 160, 170, 171,
177, 182, 183, 190, 196, 200, 201, 207, 213, 219, 224, 230, 237, 243…
Los hemos publicado en http://oeis.org/A203468
Prueba con cualquiera de ellos, el 182=2*7*13. Puedes usar la
propiedad que vimos de que su doble ha de tener dos divisores
consecutivos. 364=2*2*7*13 y su conjunto de divisores es {364, 182,
91, 52, 28, 26, 14, 13, 7, 4, 2, 1}. Los únicos divisores consecutivos son
13 y 14, que dan lugar a un único divisor triangular de 182, el 91.
Por cierto, su consecutivo 183 presenta la misma situación: su único
divisor triangular es el 3. No es el único par de consecutivos contenido
en la sucesión. Por ejemplo, tenemos 170 y 171.
66
Dentro de esta sucesión figuran números triangulares. Todos ellos
presentarán tres divisores triangulares: ellos, un divisor propio y la
unidad. Así, 351 tiene como únicos divisores triangulares 1, 3 y el
propio 351.
Suma de divisores triangulares
Además de considerar la suma de todos los divisores de un número,
puede resultar curioso sumar sólo los de un tipo. Por ejemplo, el
número 720 tiene como suma de divisores 2418, pero si sólo
consideramos los que son cuadrados, sumarían 210=144+36+
16+9+4+1 y con los triangulares 236=120+45+36+15+10+6+3+1. Se
pueden considerar otros tipos de divisores: los pares, los oblongos…
Un algoritmo un poco burdo, pero que funciona, es el de recorrer todos
los posibles divisores y someter a cada uno a una condición antes de
incorporarlo a la suma. Aquí tienes el que hemos usado para
cuadrados y triangulares:
Public Function sumadiv(nume, tipo) 'tipos '0 da todos los divisores '1 los cuadrados '2 los triangulares Dim i, s s = 0 For i = 1 To nume If esmultiplo(nume, i) Then If tipo = 0 Then s = s + i If tipo = 1 And escuad(i) Then s = s + i If tipo = 2 And estriangular(i) Then s = s + i End If Next i sumadiv = s End Function Con un algoritmo similar hemos publicado en OEIS la función que
recoge la suma de los divisores triangulares de los primeros números
naturales:
67
1, 1, 4, 1, 1, 10, 1, 1, 4, 11, 1, 10, 1, 1, 19, 1, 1, 10, 1, 11, 25, 1, 1, 10,
1, 1, 4, 29, 1, 35, 1, 1, 4, 1, 1, 46, 1, 1, 4, 11, 1, 31, 1, 1, 64, 1, 1, 10, 1,
11, 4, 1, 1, 10, 56, 29, 4, 1, 1, 35, 1, 1, 25, 1, 1, 76…
(http://oeis.org/A185027)
Curiosidades
Esta sucesión da lugar a varias curiosidades:
La suma de triangulares puede ser triangular. Excluimos el caso en
que sea igual a 1 por trivial. Estos son los números que lo cumplen:
6, 12, 18, 24, 48, 54, 96, 102, 110, 114, 138, 162, 174, 186, 192, 204,
220, 222, 228, 246, 258, 282, 315, 318, 348, 354, 364, 366, 372, 384,
402, 414, 426, 438, 440, 444, 456, 474, 486, 492, 498, 516, 522, 534,
550…
También la acabamos de publicar (http://oeis.org/A209309)
Por ejemplo, 444 tiene como divisores triangulares 6, 3 y 1, y su suma
es 10 que es triangular. Más complejo sería el caso de 1320, cuyos
divisores triangulares, 120, 66, 55, 15, 10, 6, 3 y 1 suman 276, que es
triangular igual a 23*24/2.
Similares a esta, pero menos exigentes, son estas condiciones:
(1) La suma de los divisores ordinarios es triangular
1, 2, 5, 8, 12, 22, 36, 45, 54, 56, 87, 95, 98, 104, 116, 152, 160, 200,…
A045746
(2) La que es triangular es la suma de las partes alícuotas, y
mayor que 1
2,4,6,14,16,18,24,25,28,33,36,51,54,66,91,112
(3) Números triangulares en los que la suma de sus divisores
propios es también triangular
1, 3, 6, 28, 36, 66, 91, 231, 496, 8128, 14196, 15225, 129795,
491536… (A083675)
68
(4) Números triangulares cuya suma de divisores es también
triangular
1, 36, 45, 23220, 105111, 135460, 2492028, 5286126, 6604795,
14308575, 45025305, 50516326, 54742416, 99017628, 108125865,
152486916 (A083674)
Ahora viene la nuestra, la más exigente:
Números triangulares cuya suma de divisores triangulares es
mayor que 1 y triangular
6, 4186, 32131, 52975, 78210, 111628, 237016, 247456, 584821,
750925, 1464616, 3649051, 5791906, 11297881, 16082956,
24650731, 27243271, 38618866, 46585378, 51546781, 56026405,
76923406, 89880528, 96070591…(http://oeis.org/A209310)
El estudio del código PARI de esta sucesión te enseñará técnicas
útiles:
(PARI) istriangular(n)=issquare(8*n+1) {t=0; for(n=1, 10^8, if(istriangular(n), k=sumdiv(n, d, istriangular(d)*d) ; if(istriangular(k)&&k>>1, t+=1; write("b209310.txt", t, " ", n))))}
Y por último, para no cansar (si es que has llegado hasta aquí), la
última curiosidad
Números en los que la suma de divisores triangulares es mayor
que 1 y divisor del número
285, 1302, 1425, 1820, 2508, 3640, 3720, 4845, 4956, 5016, 5415,
7125, 7280, 9100, 9114, 9912, 11685, 12255, 12740, 14508, 15105,
16815, 17385, 18200, 19095, 19824, 20235, 20805, 22134, 22515,
23655, 23660, 24021, 24738…
http://oeis.org/A209311
Aquí tienes dos ejemplos:
285.-Divisores triangulares:1, 3 y 15 y su suma, 19, es divisor de 285
69
1302.- Divisores triangulares: 21 + 6 + 3 + 1 = 31 que es divisor de 1302.
Código PARI
istriangular(n)=issquare(8*n+1) {t=0; for(n=1, 10^7, k=sumdiv(n, d, istriangular(d)*d); if(n/k==n\k&&k>>1, t+=1; print(t, " ", n)))}
Nos queda algo en el tintero, porque en esta última el cociente puede
ser también triangular, pero esto queda para otra ocasión.
TRIANGULARES DE LADO PAR
Los números triangulares 3, 10, 21, 36,…son aquellos cuyo número de
orden es par: 3=T(2)=2*3/2; 10=T(4)=4*5/2; 21=T(6)=6*7/2,…Si
aplicamos la expresión algebraica de un número triangular, la de estos
será
T(2n)=2n(2n+1)/2=n(2n+1)=2n2+n
Los podemos representar como formados por filas de triángulos de 3
elementos separados por otros elementos aislados. En la imagen
hemos representado el 36, es decir T(8)
Observa que está formado por 10 triángulos de tres elementos y 6
puntos aislados. Nos sugiere que un número triangular de orden par
equivale a triangular de orden mitad multiplicado por 3 más su
triangular anterior, es decir:
T(2n)=3T(n)+T(n-1)
70
Es fácil demostrarlo por inducción: T(2)=3*T(1)+T(0)=3*1+0=3;
T(4)=3*T(2)+T(1)=3*3+1=10…
Probemos con T(2(n+1))=T(2n)+(2n+1)+(2n+2) por definición de
número triangular. Si aceptamos la hipótesis para n, tendremos:
T(2(n+1))=3*T(n)+T(n-1)+(n+1+n+1+n+1)+n=3*T(n)+3*(n+1)+T(n-
1)+n=3*T(n+1)+T(n), luego la hipótesis se cumple para n+1.
La fórmula T(2n)=3T(n)+T(n-1) es válida
Adaptamos una demostración visual contenida en
http://math.berkeley.edu/~rbayer/09su-55/handouts/ProofByPicture-
printable.pdf
Así se ve mejor la relación.
En realidad, estos números son los triangulares que no pueden ser
hexagonales. Se sabe que todo hexagonal es triangular, porque su
expresión es H(n)=n(2n-1)=2n(2n-1)/2=T(2n-1), pero el número de
orden del triangular es 2n-1, impar, luego los que no son hexagonales
formarán la sucesión que estamos estudiando: 3, 10, 21, 36,…, que
está contenida en http://oeis.org/A014105
Expresión como resta entre una suma de pares y otra de impares
En la página OEIS enlazada se destacan estas relaciones:
3=4-1
10=6+8-1-3
21=8+10+12-1-3-5
71
36=10+12+14+16-1-3-5-7
No se justifican, y esto es una invitación a que lo hagamos nosotros.
En primer lugar generalizamos. Llamamos a nuestra sucesión TT(n)
TT(n)=T(2n)=SP(2(n+1),n)-SI(1,n)
Con SP(2(n+1),n) deseamos expresar que se toman n números pares
a partir de 2(n+1) y con SI(1,n) que se suman los primeros n impares.
Lo intentamos demostrar por inducción:
TT(n+1)=TT(n)+2n+1+2n+2, como ya sabemos por los párrafos
anteriores. Si usamos la hipótesis para n queda:
TT(n+1)=2(n+1)+2(n+2)+…+2(2n)-1-3-5-7…- (2n-1)+2n+1+2n+2
Para construir la nueva suma de pares hay que añadir
2(2n+1)+2(2n+2) y eliminar 2(n+1). La diferencia es 4n+2+4n+4-2n-
2=6n+4, que ha de salir de los nuevos sumandos 2n+1+2n+2=4n+3,
que equivalen a 6n+4-(2n+1), siendo el paréntesis el nuevo impar que
habría que restar, luego la estructura de la fórmula se mantiene y es
correcta.
Usamos el álgebra
TT(n)=T(2n)=n(2n+1)=2n2+n
SP(2(n+1),n)=(2(n+1)+2(2n))*n/2=3n2+n
SI(1,n)=n2 como es sabido.
Por tanto, se verifica la diferencia.
Demostración visual
Ahí te la dejamos para el caso de 36. Analízala e intenta reproducirla
para otros casos:
72
Esta construcción sólo es posible porque el triángulo es de orden par.
Otros desarrollos
Se cumple que TT(n)=T(2n)=3+7+11+15+…(4n-1), es decir, que es la
suma de impares tomados de 4 en 4 a partir de 3. Si sabes verlo, en la
anterior imagen se muestra esa suma con claridad. Puedes justificarlo
algebraicamente:
3+7+11+15+…(4n-1)=(3+4n-1)*n/2=(4n+2)*n/2=n(2n+1)=TT(n)
Este desarrollo se puede escribir así: TT(n)=22-12+42-32+62-52+82-72…,
que es una forma elegante de terminar este tema..
73
CUADRADOS Y TRIANGULARES
CUADRADOS VECIN OS DE TRIANGULARES
Sabemos que hay números que son triangulares y cuadrados a la vez:
1, 36, 1225, 41616,…, pero, ¿existirán pares de números consecutivos
tales que uno sea triangular y el otro cuadrado?
Dejamos como propuesta encontrar pares de números consecutivos
tales que uno sea triangular y el otro cuadrado mediante el método de
formar una columna de triangulares en una hoja de cálculo, y junto a
esa columna formar otra sumando o restando una unidad a los
anteriores, y finalmente analizando que resulte un cuadrado perfecto.
Como este método lo hemos desarrollado varias veces en este blog lo
dejamos así, como propuesta.
Si sabes escribir código de macros en Calc o en Excel, puedes usar
estas dos funciones y una macro de búsqueda (son válidas para
ambas hojas de cálculo)
Public Function escuadrado(n) As Boolean
If n = Int(Sqr(n)) ^ 2 Then escuadrado = True Else escuadrado =
False
End Function
Public Function estriangular(n) As Boolean
If 8 * n + 1 = Int(Sqr(8 * n + 1)) ^ 2 Then estriangular = True Else
estriangular = False
End Function
Sub busqueda()
For i = 1 To 1000000
If escuadrado(i) And estriangular(i + 1) Then MsgBox (i)
Next i
End Sub
74
Tal como está escrito el código, encontrará números cuadrados tales
que al sumarles una unidad se convierten en triangulares. Una
búsqueda del 1 a 1000000 obtendríamos los pares:
Cuadrado más uno igual a triangular
10 9
325 324
11026 11025
374545 374544
Para comprobar consulta http://oeis.org/A164055
En lenguaje PARI:
isinteger(n)=(n==truncate(n))
isquare(n)= { local(f,m,p=0); if(n==1,p=1,f=factor(n); m=gcd(f[, 2]);
if(isinteger(m/2),p=1));return(p) }
{ for (n=2, 100, a=n*n;for(k=1,a/2,if (isquare(a-k) && isquare(a-2*k),
write("final.txt",a," ",a-k," ",a-2*k)))) }
{istriang(n)=isquare(8*n+1)}
{for(n=2,10^7,if(isquare(n)&&istriang(n+1),print1(n," "))) }
Si sustituimos la expresión i+1 en el código por i-1, obtendremos:
Triangulares más uno cuadrados
0 1
3 4
15 16
120 121
528 529
4095 4096
17955 17956
139128 139129
609960 609961
Como el 0 no es triangular, desechamos la primera solución. Consulta
http://oeis.org/A006454
75
Pero esto es fiarse demasiado de la máquina. Para encontrar
triangulares y cuadrados consecutivos podemos intentar usar las
técnicas algebraicas.
Acudimos a la fórmula de los números triangulares para plantear la
igualdad pedida
212
)1(k
nn
en la que el doble signo de 1 se justifica porque el triangular puede ser
mayor o menor que el cuadrado. Si desarrollamos y exigimos que el
discriminante de la ecuación sea cuadrado perfecto, llegaremos a la
ecuación de Pell x2-8y2=-7 en el primer caso y a la x2-8y2=9 en el
segundo (intenta desarrollarlo así y te resultarán esas dos ecuaciones)
Podemos llegar a las mismas ecuaciones recordando que un número
triangular multiplicado por 8 y añadiéndole una unidad se convierte en
cuadrado perfecto. De esta forma llegamos a la ecuación de Pell de
forma mucho más rápida.
m2− 1
8± 1= k
2
Con el signo + del 1 llegamos a m2-8k2 = -7 y con el menos a
m2-8k2 = 9
Así que el problema desemboca en la resolución de las ecuaciones x2-
8y2=-7 ; x2-8y2=9
No todas las ecuaciones de Pell tienen solución. Estas dos sí las
tienen, como se puede ver por tanteo: 52-8*22=-7 ; 92-8*32=9, que nos
dan las primeras soluciones del problema:
Si x=5 y=4 obtenemos el número triangular 3 y el cuadrado 4 que son
consecutivos
Si x=9 y=3 aparecerán el triangular 10 y el cuadrado 9, consecutivos,
pero con el triangular mayor.
76
Estas soluciones coinciden con las primeras obtenidas con la hoja de
cálculo.
Pero ¿y las demás soluciones?
Si la ecuación de Pell hubiera sido x2-8y2=1, una solución trivial sería
X0=3, Y0=1. Nos podemos aprovechar de esto de la siguiente forma:
La identidad 32-8*12 = 1 la podemos escribir como un producto en el
anillo Q(√8):
Igualmente, la ecuación x2-8y2=-7 la podemos escribir como
Si ahora multiplicamos ambas ecuaciones obtendremos:
y agrupando términos
o bien
De esta forma hemos obtenido una fórmula de recurrencia para las
siguientes soluciones:
xn =3xn-1+8yn-1 yn=xn-1+3yn-1
Esta fórmula valdría igualmente para el caso x2-8y2=9
Lo hemos desarrollado en una hoja de cálculo:
77
Para el primer caso:
Para el segundo:
Esta segunda tabla coincide con la obtenida con hoja de cálculo
anteriormente:
10 9
325 324
11026 11025
374545 374544
pero en el primer caso ¡sólo hemos obtenido la mitad!
Con la hoja salían más:
0 1
3 4
15 16
120 121
528 529
4095 4096
17955 17956
78
139128 139129
609960 609961
La causa de que no hayamos obtenido todas las soluciones está en la
agrupación de términos que efectuamos:
Igualmente, la ecuación x2-8y2=-7 la podemos escribir como
Si ahora multiplicamos ambas ecuaciones obtendremos:
y agrupando términos
En esta agrupación de la ecuación (1) habíamos multiplicado el primer
factor por el tercero y el segundo por el cuarto para que nos diera la
suma por diferencia igual a la diferencia de cuadrados, pero si
llegamos a multiplicar primero por cuarto y segundo por tercero,
habríamos llegado a
y de ahí obtendríamos las soluciones que faltan. En el segundo caso
coincidían las dos posibilidades y por eso no echamos a faltar ninguna
solución.
79
Enseñanza: Hay que agotar todas las posibilidades y no alegrarnos
demasiado con el éxito obtenido.
TRIANGULARES Y CUADRADOS CON
PIEZAS
Quien ha entrado en el mundo de la programación elemental sabe qué
es la operación de concatenar cadenas (“strings”): situar sus
caracteres uno detrás del otro. Si lo representamos por &, equivaldría a
que “Pablo “&”Pérez”= “Pablo Pérez”. En las hojas de cálculo
disponemos de la función CONCATENAR, que une varios textos de
celdas en uno =CONCATENAR(A12;B22;G1).
Más difícil es concatenar números naturales, de forma que el resultado
sea otro verdadero número en el que cada cifra tenga su valor relativo.
Una forma se basa en esta función CONCATENAR. Para ello debemos
convertir los números en cadenas, con la función TEXTO, después,
concatenarlos, y finalmente, usar la función VALOR para devolverles el
carácter numérico. Tiene un inconveniente, y es que TEXTO ha de ir
acompañado de un formato, y esto lo complica todo. En PARI no existe
ese problema, por lo que puedes definir la concatenación entre
números mediante
concatint(a,b)=eval(concat(Str(a),Str(b)))
Un método más matemático, y es el que adoptaremos para la hoja de
cálculo es el de multiplicar el número de la izquierda por una potencia
de 10 adecuada y sumar luego el de la derecha. Así, concatenar 255
con 182 equivaldría al número 255*10^3+182=255182
¿Qué exponente ha de tener esa potencia de 10? El número de
cifras del que está a la derecha. Para encontrar ese número podemos
usar el logaritmo decimal, de esta forma: =ENTERO(LOG(N;10))+1.
Por tanto, una concatenación numérica vendría dada por la fórmula
CONCAT(A;B)=A*10^((ENTERO(LOG(B;10))+1))+B
80
Esta fórmula fallaría para B=0, por lo que habría que retocarla con un
condicional, pero no lo haremos. Basta que se sepa que existe esa
función numérica, y en la práctica usaremos una rutina en Basic.
Se producen muchas curiosidades cuando concatenamos números
naturales. Veamos algunas. Es evidente que nos movemos en
cuestiones curiosas y no teóricas. Comenzamos generando números
triangulares. Ya veremos más adelante otros casos.
Estudiamos algunas concatenaciones concretas:
Producir triangulares
Intentaremos concatenar un número n consigo mismo o con otros
relacionados con él a fin de conseguir un número triangular. Por
ejemplo, 426 concatenado consigo mismo produce el triangular
426426. Para entender mejor lo que sigue, recuerda que todo número
triangular se puede expresar como N(N+1)/2, es decir, la mitad de un
oblongo N(N+1). En este caso, 426426=923*924/2
Triangular concatenando n//n
En primer lugar probaremos a concatenar un número consigo mismo
para producir un triangular. Ya están publicados en
http://oeis.org/A068899
55, 66, 5050, 5151, 203203, 255255, 426426, 500500, 501501,
581581, 828828, 930930, 39653965, 50005000, 50015001, 61566156,
3347133471, 5000050000, 5000150001, 6983669836, 220028220028,
500000500000, 500001500001…
Si te llaman la atención los ejemplos del tipo 500…500 y
500…1500…1, piensa que no son nada extraordinarios:
500500=1000*1001/2, que es un triangular
50015001=10001*10002/2 es otro. Investiga casos similares.
Triangular concatenando 2n//n
De esta forma se generan los siguientes:
81
21, 105, 2211, 9045, 222111, 306153, 742371, 890445, 1050525,
22221111, 88904445, 107905395, 173808690, 2222211111,
8889044445, 12141260706, 15754278771, 222222111111,
888890444445, 22222221111111, 36734701836735,
65306123265306, 88888904444445, 163718828185941…
¿Es siempre triangular 2222…1111…? Sí, porque sus dobles se
descomponen como 4444…2222=6666..6*6666…7, es decir, números
oblongos formados por productos de números consecutivos. En lo que
sigue acudiremos varias veces al hecho de que el doble de un
triangular es un oblongo, k(k+1).
Se puede demostrar que cada vez que se añade la cifra a los factores
aparecen 4444..2222. Lo razonamos con 666*667=444222 pero para
más cifras se comprende igual: En efecto, si 666*667=444222, al
añadir una cifra tenemos:
6666*6667=(6000+666)(6000+667)=36000000+6000*1333+666*667=
43998000+444222=44442222.
Observa que si aumentamos las cifras, 1333 se convertiría en
133….33 y el sumando final 43998000 en 4399…8000… con lo que el
efecto de reconstruir 44444 y 2222 sería el mismo.
Algo similar ocurre con la subsucesión 9045, 890445,
88904445,…engendrada por los oblongos 134*135, 1334*1335,
13334*13335,…Son casualidades que ocurren al dividir las potencias
de 10 en tercios o en sextos.
Si deseas reproducir los resultados puedes usar este código en PARI
concatint(a,b)=eval(concat(Str(a),Str(b)))
istriang(x)=issquare(8*x+1)
{for(n=1,10^5,a=concatint(2*n,n);if(istriang(a),print(a)))}
La función istriang usa la propiedad de que ocho veces un triangular
más la unidad es un número cuadrado
(fácil: n(n+1)/2*8+1=4n2+4n+1=(2n+1)2, un cuadrado)
82
Hemos publicado esta sucesión en https://oeis.org/A226742
Concatenación inversa n//2n
¿Y si concatenáramos en sentido contrario, primero el número y
después su doble? Pues, aunque menos llamativo, también se
construyen triangulares. Son estos:
36, 1326, 2346, 3570, 125250, 223446, 12502500, 22234446,
1250025000, 2066441328, 2222344446, 2383847676, 3673573470,
125000250000, 222223444446, 5794481158896, 12500002500000,
12857132571426, 22222234444446, 49293309858660…
Intenta razonar la aparición de estos números, con un método similar al
usado en el anterior caso: 36, 2346, 223446, 22234446,… es porque
sus dobles se descomponen como 666…68*666…69. Observa
también esta otra subsucesión: 125250, 12502500, 12500025000, que
provienen de los oblongos 500*501, 5000*5001,…¿Y el resto? Te lo
dejamos por si encuentras una pauta.
Código PARI para este caso:
concatint(a,b)=eval(concat(Str(a),Str(b)))
istriang(x)=issquare(8*x+1)
{for(n=1,10^7,a=concatint(n,2*n);if(istriang(a),print(a)))}
Hemos publicado esta sucesión en https://oeis.org/A226772
Concatenación n//n+1
También se producen números triangulares:
45, 78, 4950, 5253, 295296, 369370, 415416, 499500, 502503,
594595, 652653, 760761, 22542255, 49995000, 50025003, 88278828,
1033010331, 1487714878, 4999950000, 5000250003, 490150490151,
499999500000, 500002500003, 509949509950, 33471093347110,
49999995000000, 50000025000003, 69834706983471…
83
Se destaca el subconjunto 45, 4950, 499500,….y es porque sus dobles
son 9999…*10000… y también los 5253, 502503, 50035003…¿En qué
se parecen entre sí?
Puedes reproducirlos con este código PARI
concatint(a,b)=eval(concat(Str(a),Str(b)))
istriang(x)=issquare(8*x+1)
{for(n=1,10^7,a=concatint(n,n+1);if(istriang(a),print(a)))}
Hemos publicado esta sucesión en https://oeis.org/A226788
Con n+1//n resultan verdaderos monstruos
21, 26519722651971, 33388573338856, 69954026995401,
80863378086336,…
A partir de este último no se han podido encontrar más para n<10^10,
o resultados menores que 10^20. Quizás con una herramienta o equipo
más potentes se pueda hallar alguno más fuera de esa acotación. Los
lectores quedáis invitados a intentarlo. Podéis usar este código PARI
concatint(a,b)=eval(concat(Str(a),Str(b)))
istriang(x)=issquare(8*x+1)
{for(n=1,10^7,a=concatint(n,n+1);if(istriang(a),print(a)))}
Si disponéis de MATHEMATICA también bastará adaptar este otro,
añadido por T.D. Noe a A226789:
TriangularQ[n_] := IntegerQ[Sqrt[1 + 8*n]]; t = {}; Do[s =
FromDigits[Join[IntegerDigits[n+1], IntegerDigits[n]]];
If[TriangularQ[s], AppendTo[t, s]], {n, 100000}]; t (* T. D. Noe, Jun
18 2013 *)
No vamos seguir las concatenaciones de este tipo. Las dejamos para
quien le apetezca encontrar más ejemplos curiosos. Sí podíamos
seguir jugando con las cifras, pero con otras estructuras. Seguimos
buscando triangulares.
84
Otras concatenaciones para triangulares
No hemos intentado todavía concatenar un número con su reverso. Por
ejemplo, 59 con 95 forman el triangular 5995. Intentamos una
búsqueda por ahí. Antes de presentar resultados hay que advertir que
los terminados en 0, como 90, producen resultados ambiguos, en este
caso 990. Por eso restringiremos la búsqueda a números no múltiplos
de 10. En ese caso resultan estas soluciones:
55, 66, 5995, 8778, 617716, 828828, 35133153, 61477416,
1264114621,…, que forman una subsucesión de
http://oeis.org/A003098
Un resultado curioso es si concatenamos un número n por la izquierda
con 10*n, porque en ese caso resulta un número duplicado con un cero
en el centro. Hemos encontrado estos, que resultan muy vistosos:
41041, 66066, 165301653, 56661056661, 3719010371901,
276816602768166, 13776656013776656, 28265441028265441,
41631576041631576, 47337278047337278, 55666611055666611,
82189446082189446, 91836735091836735, 1185252600118525260,
1960592100196059210…
Evitamos seguir insistiendo en el tema. Con estos ejemplos nuestros
lectores pueden abordar otras búsquedas.
NÚMEROS ESPECIALES QUE SON UN
PRODUCTO ESPECIAL
Este apartado y los siguientes tienen el doble objetivo de presentar
unas curiosidades numéricas (algo intrascendentes) y analizar cómo
organizar búsquedas de cierto tipo intentando dar con el algoritmo más
85
rápido posible, ya que llegan fácilmente al orden de 10^7.
Comenzamos con un ejemplo:
Números triangulares que son producto de triangulares
Muchos números triangulares son producto de otros dos también
triangulares. Por ejemplo, 45=15*3, 210=21*10, todos triangulares. Los
tienes publicados en https://oeis.org/A188630
36, 45, 210, 630, 780, 990, 1540, 2850, 3570, 4095, 4851, 8778,
11781, 15400, 17955, 19110, 21528, 25200,…
Esta búsqueda está resuelta, pero imagina que la deseamos
reproducir. No es fácil, porque para cada número natural deberíamos
buscar lo siguiente:
Ver si ese número N es triangular
En caso afirmativo, recorrer todos sus divisores d.
Para cada uno de ellos, investigar si tanto d como N/d son ambos
triangulares, y en caso afirmativo, parar la búsqueda para ese valor N
y proseguir con N+1.
Es fácil darse cuenta de que se perderá mucho tiempo recorriendo
números de uno en uno, que no son triangulares o bien que no poseen
muchos divisores triangulares (o ninguno). Con búsquedas de ese
tipo, llamemos “ingenuas”, nuestro ordenador se pasaba minutos y
minutos cuando llegaba a números grandes. Una solución es
encaminar la búsqueda para que, hasta donde sea posible, sólo se
recorran los números de cierto tipo. En el caso de triangulares,
cuadrados, oblongos o primos, es posible realizar ese filtro. Lo
concretamos:
86
Generación de triangulares
Los números que usaremos, salvo los primos, se pueden engendrar a
partir de los precedentes. Comenzaremos por explicar distintas formas
de generar algunos tipos de números, y así ya las tenemos preparadas
para cuestiones posteriores.
En el caso de los triangulares manejamos dos variables: Número N e
incremento D. Comenzamos haciendo N=1 (primer triangular) e
incremento D=2, para que 1+2 genere el siguiente triangular, el 3.
Luego, en cada paso, N se convierte en N+D y D en D+1. Así funciona,
ya que los números triangulares se forman añadiendo una fila con un
elemento más.
Observa estos valores, generados con hoja de cálculo:
Recordamos: Los triangulares se generan tomando incrementos
con una unidad más en cada paso. Ya utilizaremos esto más
adelante.
Número N Triangular Incremento D
1 2
3 3
Los triangulares 6 4 Los incrementos crecen
se incrementan 10 5 en una unidad en cada paso
en D 15 6
21 7
28 8
36 9
87
Generación de cuadrados
Aquí tenemos dos soluciones, ambas prácticas, según el contexto,
para recorrer sólo números cuadrados: la primera es trivial, declarar
una variable k y luego usar k2 en los cálculos. Está bien, pero a veces
es lenta y no admite con facilidad ciertas acotaciones. La segunda es
similar a la de los triangulares, pero incrementando D en D+2, en dos
unidades en lugar de en una.
Observa el esquema:
Para quienes conozcáis estas propiedades, esto parecerá trivial, pero
no está mal recordarlo, porque más adelante dará velocidad a nuestras
búsquedas.
Generación de oblongos
Un número es oblongo cuando tiene la forma N=k(k+1), es decir, doble
de un triangular. Es fácil ver que el siguiente oblongo será (k+1)(k+2).
Su diferencia (k+1)(k+2)-k(k+1) = 2(k+1), es decir, el doble del mayor
en el producto, luego el incremento adecuado será par y crecerá de 2
Número N cuadrado Incremento D
1 3
4 5
Los cuadrados 9 7 Los incrementos crecen
se incrementan 16 9 en dos unidades en cada paso
en D 25 11
36 13
49 15
64 17
88
en 2. Esto nos permite generar oblongos: comenzamos con N=2 y
D=4, Así generamos los siguientes: N=2+2*2=6, N=6+2*3=12,
N=12+2*4=20,…También podemos declarar una variable y después
trabajar con k*(k+1). Así hemos procedido en nuestra primera
búsqueda con hojas de cálculo.
Así que, mientras los cuadrados se generan sumando impares,
los oblongos sumando pares (y los triangulares sumando todos)
Caracterización de estos números
Necesitaremos también en las búsquedas que emprenderemos una
forma de caracterizar estos números, cómo saber si un resultado es
cuadrado u oblongo, por ejemplo. Aunque es sencillo y conocido, lo
recordamos aquí:
Para saber si un número natural es cuadrado, la mejor prueba es que
la parte entera de su raíz cuadrada, elevada a su vez al cuadrado, nos
dé como resultado el número primitivo. En hoja de cálculo:
Public Function escuad(n) As Boolean
If n < 0 Then
escuad = False
Else
If n = Int(Sqr(n)) ^ 2 Then escuad = True Else escuad = False
End If
End Function
Número N oblongo Incremento D
2 4
6 6
12 8
20 10 Crecen de 2 en 2
30 12
42 14
56 16
72 18
89
Si trabajas con las celdas, sin macros, el procedimiento es el mismo,
pero con distinto lenguaje. Si tienes, por ejemplo, en la celda C12, un
número del que deseas saber si es cuadrado, escribe en otra celda
esta fórmula: =SI((ENTERO(RAIZ(C12)))^2=C12;1;0), y te devolverá
un 1 si es cuadrado y un 0 si no lo es.
La caracterización de un número como triangular se basa en lo
anterior, ya que ser triangular N es equivalente a que 8*N+1 sea
cuadrado. Por tanto, podemos definir esta función:
Function estriangular(n) As Boolean
If escuad(8 * n + 1) Then estriangular = True Else estriangular =
False
End Function
En lenguaje de celdas sería algo más complejo:
=SI((ENTERO(RAIZ(C12*8+1)))^2=C12*8+1;1;0),
Por último, los oblongos, al ser doble de triangulares, se descubren
fácilmente:
Public Function esoblongo(n) As Boolean
If escuad(4 * n + 1) Then esoblongo = True Else esoblongo = False
End Function
Sin macros, =SI((ENTERO(RAIZ(C12*4+1)))^2=C12*4+1;1;0)
Algoritmos de búsqueda
Ya podemos pasar a nuestras búsquedas. Comenzaremos generando
la sucesión https://oeis.org/A188630, con la que comenzamos este
90
estudio: Números triangulares que son producto de otros dos
triangulares. Nos organizaremos así:
Iniciamos triangulares: N=3, D=3 (Comenzamos por el 3)
1 Mientras no lleguemos al tope que nos hayamos marcado
Iniciamos otros triangulares para ver si son divisores: K=3, P=3
2 Mientras no lleguemos a N ni encontremos un producto de
triangulares
Para cada K vemos si:
1.-Es divisor de N
2.- Si el cociente N/k es triangular
Si cumple ambas condiciones, cerramos la búsqueda para N e
imprimimos.
Si no, generamos otro triangular convirtiendo K en K+P y P en
P+1
Fin de 2 Mientras
Generamos otro triangular convirtiendo N en N+D y D en D+1
Fin del 1 Mientras
Hemos comenzado los triangulares en el 3 para evitar trivialidades.
Para quienes no manejen mucho los algoritmos puede resultar
complicado, pero hay que repasar hasta entenderlo. Se puede traducir
al Visual Basic de Excel:
Sub productriang()
Dim i, j, k, p, c
i = 3: j = 3 Iniciamos la búsqueda en 3, para eliminar trivialidades
While i <= 10 ^ 4
k = 3: p = 3: c = 0 También iniciamos los divisores en 3
While c = 0 And p < i
If i / k = i \ k And estriangular(i / k) And i / k > 1 Then c = k
En la línea anterior buscamos que sea divisor, cociente triangular y no
trivial
If c <> 0 Then MsgBox (i) Si cumple todo, presentamos el resultado
k = k + p: p = p + 1 Generamos el siguiente divisor
Wend
91
i = i + j: j = j + 1 Generamos el siguiente triangular
Wend
End Sub
Elimina comentarios, copia el resto como rutina para Visual Basic y al
ejecutar verás aparecer los valores 36, 45, 210,…
Si te apetece explorar, aquí tienes la versión para PARI
{i=3;j=3; Iniciamos la búsqueda en 3, para eliminar trivialidades
while(i<=10^4,k=3;p=3;c=0; También iniciamos los divisores en 3
while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&ispolygonal(i/k,3)&&i/k>1,c=k);
En la línea anterior buscamos que sea divisor, cociente triangular
y no trivial
if(c>0,print1(i,", ")); Si cumple todo, imprimimos
k+=p;p+=1); Generamos el siguiente divisor
i+=j;j+=1) Generamos el siguiente triangular
}
Igualmente, si eliminas los comentarios y ejecutas este código PARI
verás reproducida la sucesión https://oeis.org/A188630
Números triangulares como producto de otros
En el apartado anterior planteamos el problema de buscar los números
triangulares que son a su vez producto de otros dos triangulares.
Presentamos una forma de generar cuadrados, oblongos y triangulares
de la forma más rápida posible, ya que estas búsquedas se hacen
lentas para números grandes, y construimos un algoritmo para generar
estos números, contenidos en la sucesión de OEIS
https://oeis.org/A188630
92
Ahora generaremos triangulares con otros tipos de números, y
llegaremos a sucesiones que permanecían inéditas hasta ahora.
Triangulares producto de dos cuadrados
Aquí no hay que buscar mucho, ya que basta considerar que el número
que cumple esto es aquel que es cuadrado (producto de cuadrados) y
triangular a la vez. Esto está muy estudiado. Son estos:
1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881,… y está
publicados en https://oeis.org/A001110
Vemos, pues, otros casos.
Triangulares que son producto de un triangular y un cuadrado
Ahora tenemos ocasión de aplicar lo expuesto anteriormente: cómo
generar de forma rápida cuadrados y triangulares y cómo saber si son
o no de ese tipo. Si esto te quedó claro, entenderás el algoritmo que
sigue. Primero en Visual Basic de Excel:
Sub productriang()
Dim i, j, k, p, c
i = 3: j = 3 Generamos el primer triangular
While i <= 10 ^ 4
k = 3: p = 3: c = 0 Aquí generamos posibles divisores
triangulares
While c = 0 And p < i Cuando c<>0 se para la búsqueda y
se comunica el resultado
If i / k = i \ k And escuad(i / k) And i / k > 1 Then c = k
La línea de arriba investiga si k es divisor y si i/k es
cuadrado
If c <> 0 Then MsgBox (i)
k = k + p: p = p + 1 Genera el siguiente posible divisor triangular
300
1176
3240
7260
14196
25200
29403
41616
64980
93
Wend
i = i + j: j = j + 1 Genera el siguiente triangular para seguir buscando
Wend
End Sub
Si repasas el apartado anterior, es el mismo algoritmo propuesto en él,
pero cambiando estriangular(i/k) por escuad(i/k). Puedes repasar los
comentarios que se incluían. Con un ligero cambio en el código, hemos
situado los resultados en columna:
A partir de este valor se produce desbordamiento, por lo que acudimos
a PARI y al código
{i=3;j=3;
while(i<=10^6,k=3;p=3;c=0;
while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&issquare(i/k)&&i/k>1,c=k);
if(c>0,print1(i,", "));
k+=p;p+=1);
i+=j;j+=1)
}
No insertamos comentarios porque es el mismo que presentamos en la
anteriormente, salvo el uso de la función issquare (“es cuadrado”)
Con él puedes obtener los primeros números triangulares que son
producto de un triangular y un cuadrado:
94
300, 1176, 3240, 7260, 14196, 25200, 29403, 41616, 64980, 97020,
139656, 195000, 228150, 265356, 353220, 461280, 592416, 749700,
936396, 1043290, 1155960, 1412040, 1708476, 2049300, 2438736,
2881200, 3381300, 3499335, 3943836, 4573800,…
Esta sucesión no se había publicado, y lo hicimos en
http://oeis.org/A253650
Si los escribimos en columna podemos desarrollarlos como producto
del tipo deseado:
Antes de seguir adelante, hay que advertir que estas
descomposiciones en producto no tienen que ser únicas. Por ejemplo,
2881200 admite estos dos productos: 3*960400 y 300*9604, ambos
formados por un triangular y un cuadrado. Por eso en la tabla se puede
Triangular Cuadrado Triangular
300 100 3
1176 196 6
3240 324 10
7260 484 15
14196 676 21
25200 900 28
29403 9801 3
41616 1156 36
64980 1444 45
97020 1764 55
139656 2116 66
195000 2500 78
95
tener la falsa idea de que el factor triangular es más pequeño que el
cuadrado. No es así, sino que hemos detenido la búsqueda al
encontrar un ejemplo.
Una curiosidad
Los números triangulares de esta sucesión, tendrán, como todos la
forma T(P)=P(P+1)/2. Pues bien, ni P ni P+1 pueden ser primos,
porque si se descompone en un producto de un triangular y un
cuadrado, tendríamos P(P+1)=k(k+1)m2 y si P o P+1 fueran primos,
tendrían que dividir a k o a k+1 o a m, y los tres son menores que P.
Estúdialo. Lo vemos en una tabla con los primeros casos:
Subconjunto interesante
Los números triangulares de orden k2-1, siendo k impar y mayor que 1,
pertenecen a esta sucesión. En efecto, si k es impar tendrá la forma
2m+1, luego el orden del triangular será
(2m+1)2-1=4m2+4m.
El triangular formado sobre él tendrá la forma ((2m+1)2*(4m2+4m)/2 y
se puede descomponer en un cuadrado y un triangular: 4(2m+1)2 *
m(m+1)/2.
Triangular P Factores(P) P+1 Factores(P+1)
300 24 [2,3][3,1] 25 [5,2]
1176 48 [2,4][3,1] 49 [7,2]
3240 80 [2,4][5,1] 81 [3,4]
7260 120 [2,3][3,1][5,1] 121 [11,2]
14196 168 [2,3][3,1][7,1] 169 [13,2]
25200 224 [2,5][7,1] 225 [3,2][5,2]
29403 242 [2,1][11,2] 243 [3,5]
41616 288 [2,5][3,2] 289 [17,2]
64980 360 [2,3][3,2][5,1] 361 [19,2]
97020 440 [2,3][5,1][11,1] 441 [3,2][7,2]
139656 528 [2,4][3,1][11,1] 529 [23,2]
195000 624 [2,4][3,1][13,1] 625 [5,4]
96
Otra forma de expresarlo es que son triangulares construidos sobre 8
veces otro número triangular, ya que 4m2+4m=8*(m(m+1)/2). Estos
números los tienes en http://oeis.org/A185096
Casi todos los elementos de la sucesión tienen esta forma: 300, 1176,
3240, 7260, 14196, 25200,… y pertenecen a la sucesión
http://oeis.org/A083374 pero otros no, como 29403, 1043290 y
3499335.
Triangulares que son producto de un triangular y un primo
En esta búsqueda nos organizaremos de forma similar a la precedente
pero al llegar a investigar si (i/k) es cuadrado o triangular, deberemos
sustituirlo por la pregunta de si es primo. Esta es más difícil de
responder, pero disponemos de la función isprime en PARI y de
esprimo en nuestra hoja Conjeturas (situada en
http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.h
tm#global)
Puedes adaptar el algoritmo usado en la búsqueda anterior cambiando
esas funciones: Observa que ahora, con lo explicado antes, las
operaciones se entienden mejor, por lo que omitimos los comentarios y
usamos color rojo en las novedades. Para hoja de cálculo podría servir
esta rutina de Visual Basic:
Sub productriang()
Dim i, j, k, p, c
i = 3: j = 3
While i <= 10 ^ 3
k = 3: p = 3: c = 0
While c = 0 And p < i
97
If i / k = i \ k And esprimo(i / k) And i / k > 1 Then c = k
If c <> 0 Then MsgBox (i)
k = k + p: p = p + 1
Wend
i = i + j: j = j + 1
Wend
End Sub
En PARI
{i=3;j=3;while(i<=10^6,k=3;p=3;c=0;while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&is
prime(i/k)&&i/k>1,c=k);if(c>0,print1(i,", "));k+=p;p+=1);i+=j;j+=1)}
Los triangulares obtenidos son, en este caso, los siguientes:
6, 15, 21, 45, 66, 78, 105, 190, 210, 231, 435, 465, 630, 861, 903,
1035, 1326, 2415, 2556, 2628, 3003, 3570, 4005, 4950, 5460, 5565,
5995, 7140, 8646, 8778, 9870, 12246, 16471, 16836, 17205, 17391,
17766, 20100, 22155, 26565, 26796, 28680, 28920, 30381, 32131,
33411, 33930, 36856, 40755,… (los publicamos en
http://oeis.org/A253651)
Podíamos pensar que, al ser el segundo factor primo, el primero será
el máximo divisor triangular propio que tiene el número que se
descompone (ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2013/02/de-los-
triangulares-alojados-los-primos.html). Esto es así en la gran mayoría
de casos. Así, 4005 se descompone como 45*89, siendo 45 es el
máximo divisor triangular propio de 4005 y 89 un factor primo. Sin
embargo, en el número 3570, su divisor triangular máximo es 595, que
daría lugar al producto 3570=595*6, y el 6 no es primo. El producto
válido sería 3570=210*17, que sí es primo.
98
Triangulares producto de triangular y oblongo
Estos son los primeros:
6, 36, 120, 210, 300, 630, 1176, 2016, 3240, 3570, 4950, 7140, 7260,
10296, 14196, 19110, 23436, 25200, 32640, 39060, 41616, 52326,
61776, 64980, 79800, 97020, 116886, 139656, 145530, 165600,
195000, 228150, 242556, 265356, 304590, 306936, 349866, 353220,
404550, 426426, …
Si recuerdas la caracterización de los oblongos en el aparado anterior,
entenderás este código en PARI:
{i=3;j=3;
while(i<=10^6,k=2;p=4;c=0;
while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&issquare(4*(i/k)+1)&&i/k>1,c=k);
if(c>0,write1("final.txt",i,", "));
k+=p;p+=2);
i+=j;j+=1)
}
Destacamos que el doble de cualquiera de estos números tiene la
forma N=P(P+1)Q(Q+1). Así, 2*2016=4032=7*8*8*9. Al contrario,
como uno de los factores es oblongo, el producto será par y se podrá
dividir entre dos y su mitad será producto de dos triangulares.
Todos los términos no nulos de la sucesión A083374 (6, 36, 120, 300,
630, 1176, 2016, 3240,…) pertenecen a esta, pues si tienen la forma
n2(n2-1)/2 se pueden descomponer en el oblongo n(n+1) y el triangular
n(n-1)/2, o bien el oblongo n(n-1) y el triangular n(n+1)/2.
Hemos publicado esta sucesión en http://oeis.org/A253652
99
Triangulares producto de un cuadrado y un primo
Al llegar a este punto simplificamos la exposición, ya que tendrás una
buena idea de cómo se generan. Los triangulares que se forman
multiplicando un cuadrado y un primo son estos:
28, 45, 153, 171, 300, 325, 496, 2556, 2628, 3321, 4753, 4851, 7381,
8128, 13203, 19900, 25200, 25425, 29161, 29403, 56953, 64980,
65341, 101025, 166753, 195625, 209628, 320400, 354061, 388521,
389403, 468028, 662976, 664128, 749700, 750925, 780625, 781875,
936396,…
Los números perfectos lo cumplen
Entre los números encontrados figuran los perfectos 28, 496, 8128,…
https://oeis.org/A000396
La razón es que estos números tienen la forma 2k-1(2k-1)= 2k(2k-1)/2, y
son, por tanto, triangulares. Además, como (2k-1) es primo de
Mersenne en esta expresión, k ha de ser impar, y k-1, par, con lo que
2k-1 es un cuadrado y (2k-1) un primo, cumpliéndose así la condición.
Para no cansar más con este tema, sólo incluimos el código PARI con
las novedades en rojo:
PARI
{i=3;j=3;
while(i<=10^6,k=4;p=5;c=0;
while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&isprime(i/k)&&i/k>1,c=k);
if(c>0,write1("final.txt",i,", "));
k+=p;p+=2);
i+=j;j+=1)
}
100
Pues ya está bien. Ahora te toca a ti. ¿Sabrías prolongar las siguientes
sucesiones con las técnicas que hemos desarrollado en este capítulo?:
Triangulares producto de un cuadrado y un oblongo: 120, 300, 378,
528, 990, 1176, 2016,…
Y por último, los triangulares producto de un oblongo y un primo: 6, 10,
36, 66, 78, 210, 276, …
Con números cuadrados
Proseguimos el tema de buscar números especiales que son producto
de dos factores también especiales. Hemos estudiado algunas
variantes con triangulares, cuadrados, oblongos y primos. Ahora
descompondremos cuadrados como producto de otros dos de algún
tipo especial.
Un caso que no necesita estudio es el de cuadrados producto de
cuadrados, pues esta condición la cumplen todos salvo los cuadrados
de primos. Así que pasamos a otros productos. En todos ellos
exigiremos que los factores del producto sean distintos, para evitar
trivialidades, ya que si son iguales su producto sería cuadrado sin
necesidad de buscar más.
Los algoritmos se basarán todos en la generación de cuadrados
mayores que 1 que ya estudiamos, es decir, iniciar P=4 y K=5 y
después, en cada pasada del bucle, hacer P=P+K y K=K+2, ya que
sabemos que los incrementos de los cuadrados crecen de 2 en 2.
Producto de triangulares distintos
Hemos encontrado esta sucesión, que contiene muchos cuadrados de
términos de https://oeis.org/A175497:
101
900, 7056, 32400, 44100, 88209, 108900, 298116, 705600, 1368900,
1498176, 2924100, 5336100, 8643600, 8820900, 9217296, 10432900,
15210000, 24147396, 37088100, 50893956, 50979600, 52490025,
55353600, 80568576, 114704100, 160123716, 200930625,
219632400, 265559616, 268304400, 296528400, 394657956,…
Pronto se llega a números grandes, por la fuerte condición que les
exigimos. Por ejemplo, 88209 es el cuadrado de 297, y se puede
descomponer en el producto de dos triangulares distintos:
88209=29403*3 y 29403 es el triangular número 242 (29403
=242*243/2) y 3 es el segundo (3=2*3/2).
Hemos comprobado los cálculos con dos métodos. Aquí tienes el de
PARI
{i=4;j=5; ‘Inicia cuadrados
while(i<=5*10^8,k=3;p=3;c=0; ‘Inicia factores triangulares
while(k<sqrt(i)&&c==0,if(i/k==i\k&&ispolygonal(i/k,3)&&i/k>1,c=k);
‘Sólo llegamos en la búsqueda hasta la raíz cuadrada, para que ambos
factores sean distintos
if(c>0,print(i);write1("final.txt",i,", ")); ‘Si c>0 se ha encontrado una
solución
k+=p;p+=1);
i+=j;j+=2)
}
Ambos factores triangulares han de tener algún factor en común para
que se forme un
cuadrado.
Sus partes libres de
cuadrados serán
900 3 [3,1] 300 [2,2][3,1][5,2]
7056 6 [2,1][3,1] 1176 [2,3][3,1][7,2]
32400 10 [2,1][5,1] 3240 [2,3][3,4][5,1]
44100 36 [2,2][3,2] 1225 [5,2][7,2]
88209 3 [3,1] 29403 [3,5][11,2]
108900 15 [3,1][5,1] 7260 [2,2][3,1][5,1][11,2]
298116 21 [3,1][7,1] 14196 [2,2][3,1][7,1][13,2]
705600 28 [2,2][7,1] 25200 [2,4][3,2][5,2][7,1]
1368900 6 [2,1][3,1] 228150 [2,1][3,3][5,2][13,2]
1498176 36 [2,2][3,2] 41616 [2,4][3,2][17,2]
2924100 45 [3,2][5,1] 64980 [2,2][3,2][5,1][19,2]
5336100 55 [5,1][11,1] 97020 [2,2][3,2][5,1][7,2][11,1]
8643600 3 [3,1] 2881200 [2,4][3,1][5,2][7,4]
8820900 300 [2,2][3,1][5,2] 29403 [3,5][11,2]
9217296 66 [2,1][3,1][11,1] 139656 [2,3][3,1][11,1][23,2]
10432900 10 [2,1][5,1] 1043290 [2,1][5,1][17,2][19,2]
15210000 78 [2,1][3,1][13,1] 195000 [2,3][3,1][5,4][13,1]
24147396 91 [7,1][13,1] 265356 [2,2][3,6][7,1][13,1]
102
iguales, ya que es la única forma de que al final resulte un cuadrado.
Lo puedes comprobar con algunos ejemplos de la tabla. Por ejemplo,
705600 es el triangular número 1187, y se descompone en el triangular
28, con parte libre 7, y el triangular25200=60^2*7, que tiene también un
7 como parte libre.
Cuadrados producto de dos oblongos distintos
Este caso es equivalente al que exige que un cuadrado sea igual a
cuatro veces el producto de dos triangulares distintos. Así, si el
cuadrado 3600 es el producto de los dos oblongos 6=2*3 y 600=24*25,
también cumple, como es evidente, que su cuarta parte es el producto
de dos triangulares 3600/4=900=3*300.
Los primeros cuadrados que cumplen esto son:
144, 3600, 4900, 28224, 129600, 166464, 176400, 352836, 435600,
1192464, 2822400, 5475600, 5654884, 5992704, 11696400,
21344400, 34574400, 35283600, 36869184, 41731600, 60840000,
96589584, 148352400, 192099600, 203575824, 203918400,
209960100, 221414400, 322274304, 458816400,…
Aquí tienes la descomposición en producto de oblongos de los
primeros:
103
Como todos son pares, ya tienen un factor común, y como en el caso
anterior, sus partes libres de cuadrados han de ser iguales.
Los puedes conseguir en PARI con
{i=4;j=5;while(i<=5*10^8,k=2;p=4;c=0;while(k<sqrt(i)&&c==0,if(i/k==i\k&
&issquare(4*i/k+1)&&i/k>1,c=k);if(c>0,print(i));k+=p;p+=2);i+=j;j+=2)}
Si usamos nuestra imaginación podemos recorrer muchas variantes,
pero nos quedaremos con esta última:
Cuadrados producto de triangular y primo
9, 196, 225, 900, 2601, 3249, 4225, 15376, 53361, 88209, 136161,
176400, 181476, 191844, 324900, 450241, 461041, 1032256,
2152089, 2873025, 3960100, 7027801, 8643600, 11826721,
12744900, 17791524, 19193161, 28515600, 43956900, 45360225,
61230625, 63282025, 96216481, 108680625,…
Aquí es como si el número primo aportara el factor que se necesita
para convertir un triangular en un cuadrado. Por tanto, el factor primo
es igual a la parte libre de cuadrados del otro factor triangular.
144 2 [2,1] 72 [2,3][3,2]
3600 6 [2,1][3,1] 600 [2,3][3,1][5,2]
4900 2 [2,1] 2450 [2,1][5,2][7,2]
28224 12 [2,2][3,1] 2352 [2,4][3,1][7,2]
129600 20 [2,2][5,1] 6480 [2,4][3,4][5,1]
166464 2 [2,1] 83232 [2,5][3,2][17,2]
176400 72 [2,3][3,2] 2450 [2,1][5,2][7,2]
352836 6 [2,1][3,1] 58806 [2,1][3,5][11,2]
435600 30 [2,1][3,1][5,1] 14520 [2,3][3,1][5,1][11,2]
1192464 42 [2,1][3,1][7,1] 28392 [2,3][3,1][7,1][13,2]
2822400 56 [2,3][7,1] 50400 [2,5][3,2][5,2][7,1]
5475600 12 [2,2][3,1] 456300 [2,2][3,3][5,2][13,2]
5654884 2 [2,1] 2827442 [2,1][29,2][41,2]
5992704 72 [2,3][3,2] 83232 [2,5][3,2][17,2]
11696400 90 [2,1][3,2][5,1] 129960 [2,3][3,2][5,1][19,2]
21344400 110 [2,1][5,1][11,1] 194040 [2,3][3,2][5,1][7,2][11,1]
104
Por tener esta propiedad disponemos de dos códigos distintos para
encontrar esos números. Uno es el “largo”, que sigue lo explicado
previamente:
{i=4;j=5;
while(i<=5*10^8,k=3;p=3;c=0;
while(k<i&&c==0,if(i/k==i\k&&isprime(i/k)&&i/k>1,c=k);
if(c>0,print(i);write1("final.txt",i,", "));
k+=p;p+=1);
i+=j;j+=2)
}
Podemos usar este otro, mucho más corto, pero que no nos ordena los
números en orden creciente:
{i=1;j=2;while(i<=10^5,m=core(i);if(isprime(m),print1(i*m,", "));i+=j;j+=1)}
Como hemos indicado, se podría seguir con otros casos. Intenta
reproducir este:
Cuadrados producto de un triangular y un oblongo
36, 900, 3600, 7056, 15876, 41616, 44100, 54756, 69696, 108900,…
Número Factor triangular Factor primo Parte libre de cuadrados del triangular
9 3 3 3
196 28 7 7
225 45 5 5
900 300 3 3
2601 153 17 17
3249 171 19 19
4225 325 13 13
15376 496 31 31
53361 4851 11 11
88209 29403 3 3
136161 3321 41 41
176400 25200 7 7
181476 2556 71 71
191844 2628 73 73
105
EQUILIBRADOS ENTRE SEMEJANTES
Existen números equilibrados que son media entre el anterior y el
posterior de la misma clase. Así, un número primo es equilibrado si es
promedio de sus dos primos contiguos. Por ejemplo, 257 es media de
su anterior 251 y el posterior 263, que por cierto también es primo
equilibrado. Los tres primos componentes de la terna formarán, pues,
una progresión aritmética.
Los primos equilibrados los tienes en http://oeis.org/A006562
5, 53, 157, 173, 211, 257, 263, 373, 563, 593, 607, 653, 733, 947,
977, …
Si dispones de las funciones ESPRIMO, PRIMANT y PRIMPROX (las
puedes encontrar en
http://www.hojamat.es/sindecimales/divisibilidad/herramientas/herrdiv.h
tm#global ), es fácil encontrarlos. Por ejemplo, con esta función:
Public Function equiprimo(n)
If esprimo(n) And n = (primprox(n) + primant(n)) / 2 Then
equiprimo = True Else equiprimo = False
End Function
Con ella es fácil reproducir la lista:
Las diferencias, salvo en el 5, son múltiplos de 6. La razón es
que a partir del 5 todos los primos son del tipo 6n+1 o 6n+5. En
las ternas que se forman tienen que ser todos del mismo tipo,
ya que si el primero es 6n+1 y el segundo 6m+5, el tercero
tendría el tipo 6m+5+(6k+4)=6h+3, no primo. Igualmente, si el
primero es tipo 6n+5 y el segundo 6m+1, el tercero sería
6m+1+(6h+2). Lo puedes ver con Z6: Si el primero tuviera resto 1 y el
106
último resto 5, el promedio presentaría resto 3 y no sería primo. Igual
con los otros casos. Una consecuencia curiosa de esto es la sucesión
publicada en http://oeis.org/A101597, que cuenta el número de
compuestos comprendidos entre el primo equilibrado y sus contiguos, y
es claro que todos los elementos tienen el valor 5, 11, 17,…es decir, un
múltiplo de 6 menos 1.
Se ha conjeturado que existen infinitos primos equilibrados.
Otros números equilibrados
Con cuadrados
Ningún cuadrado como tal puede ser equilibrado, ya que (n+1)2-
n2=2n+1 y n2-(n-1)2=2n-1. Igual le ocurre a los triangulares, ya que, por
definición, la diferencia entre el triangular de orden n y su anterior es
precisamente n, y con su posterior, n+1. No busques equilibrados entre
números poligonales o procedentes de valores numéricos de
polinomios.
Así que tendremos que ir visitando otros tipos de números hasta dar
con aquellos que presenten elementos equilibrados.
Libres de cuadrados
Este tipo de números sí admite equilibrados. Los tienes en
http://oeis.org/A245289
2, 6, 14, 17, 19, 22, 26, 30, 34, 38, 42, 53, 55, 58, 66, 70, 78, 86, 89,
91, 94, 102, 106, 110, 114, 130, 138, 142, 158, 161, 163, 166, 170,
178, 182, 186, 194, 197, 199, 202, 210, 214, 218, 222, 230, 233, 235,
238,…
Los hemos reproducido con hoja de cálculo, incorporando sus factores
primos, y nos ha llamado la atención que en la terna de libres de
cuadrados consecutivos figuran muchos primos, lo que hace que el
M.C.D. de los integrantes de la terna sea frecuentemente un 1.
107
Hemos buscado factores comunes en muchas ternas, hasta 10^8, y
sólo hemos encontrado el 2. No parece que tengan en común los
factores 3, 5 o 7. Si aparece este caso, será para números muy
grandes. Con PARI hemos obtenido listados de ternas con M.C.D.
igual a 2, pero no para valores mayores. No tenemos respuesta para la
cuestión de si terminarán apareciendo.
Semiprimos equilibrados
También se pueden encontrar ternas de semiprimos consecutivos que
formen progresión aritmética, con lo que el central de la terna sería un
semiprimo equilibrado. Son estos:
34, 86, 94, 122, 142, 185, 194, 202, 214, 218, 262, 289, 302, 314, 321,
358, 371, 394, 407, 413, 415, 422, 446, 471, 489, 493, 497, 517, 535,
562, 581, 586, 626, 634, 669, 687, 698, 734, 785, 791, 815, 838, 842,
Terna de libres de cuadrados equilibrados Descomposición en factores primos
29 30 31 [29,1] [2,1][3,1][5,1] [31,1]
33 34 35 [3,1][11,1] [2,1][17,1] [5,1][7,1]
37 38 39 [37,1] [2,1][19,1] [3,1][13,1]
41 42 43 [41,1] [2,1][3,1][7,1] [43,1]
51 53 55 [3,1][17,1] [53,1] [5,1][11,1]
53 55 57 [53,1] [5,1][11,1] [3,1][19,1]
57 58 59 [3,1][19,1] [2,1][29,1] [59,1]
65 66 67 [5,1][13,1] [2,1][3,1][11,1] [67,1]
69 70 71 [3,1][23,1] [2,1][5,1][7,1] [71,1]
77 78 79 [7,1][11,1] [2,1][3,1][13,1] [79,1]
85 86 87 [5,1][17,1] [2,1][43,1] [3,1][29,1]
87 89 91 [3,1][29,1] [89,1] [7,1][13,1]
89 91 93 [89,1] [7,1][13,1] [3,1][31,1]
93 94 95 [3,1][31,1] [2,1][47,1] [5,1][19,1]
108
922, 982, 989, 1042, 1057, 1079, 1135, 1138,…
http://oeis.org/A213025
Podemos investigar aquí también qué factores comunes tienen estas
ternas de semiprimos. Hemos encontrado ternas con el factor 2 en
común:
En ellas los otros factores que acompañan al 2 son ternas de primos
equilibrados.
Esfénicos equilibrados
Existen esfénicos (productos de tres primos distintos) que son
equilibrados, es decir, que forman ternas en progresión aritmética con
el anterior y el posterior esfénico. Forman esta sucesión:
186, 370, 406, 418, 518, 582, 602, 710, 786, 814, 826, 830, 942, 978,
994, 1010, 1034, 1070, 1162, 1310, 1374, 1394, 1570, 1630, 1686,
1758, 1886, 1978, 2014, 2114, 2158, 2270, 2274, 2278, 2294, 2438,
2510, 2534, 2570, 2630, 2666, 2690, 2774, 2778, 2782, 2806, …
Entre ellos figura el año 2014, que ya se comentó en su día que
formaba una terna de esfénicos con el 2013 y el 2015.
Los hemos publicado en http://oeis.org/A258276
Siguiendo con la idea de estudiar el MCD de los tres elementos de la
terna, aquí encontramos una gran variedad de números primos como
resultado, entre ellos 705, 710 y 715 con factor común 5, o 3311, 3322
y 3333 con el 11. Al tener tres factores es más fácil obtener estos
resultados.
109
Podríamos estudiar la misma cuestión con números formados por el
producto de cuatro primos distintos, y también encontraríamos
equilibrados:
1518, 1554, 2190, 2590, 3354, 4710, 4970, 5810, 7566, 8170, 10506,
11110, 11346, 12194, 12610, 13706, 14098, 15690, 16874, 17574,
18538, 18734, 19830, …
No hemos querido seguir para no cansar a los lectores. Si estudias el
código PARI que hemos usado puedes proseguir el estudio en esa
dirección, cambiando el 4 por 5, 6 o 7.
is4prim(n)=if(n>0,omega(n)==4&&bigomega(n)==4,0)
next4prim(n)={local(k=n+1);while(!is4prim(k),k+=1);k}
prec4prim(n)={local(k=n-1);while(!is4prim(k)&&k>0,k-=1);k}
{for(i=1,10^4,if(is4prim(i)&&2*i== next4prim(i)+
prec4prim(i),print(i)))}
DAMOS VUELTAS A LOS TRIANGULARES
CUADRADOS
Generación de la sucesión
Dos entradas del blog de John D. Cook
(http://www.johndcook.com/blog/2015/08/20/when-is-a-triangle-a-
square/ y siguiente) me han animado a volver a tomar el tipo de
cuestión al que llamé “dar vueltas” a un tema o concepto. Lo haré
sobre estos números:
0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881,…
(http://oeis.org/A001110)
Evidentemente, estos números tienen en común el ser triangulares y
cuadrados a la vez. Puedes leer un desarrollo sencillo y claro en este
documento:
110
http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/revistapm/re
vista_impresa/vol_IV_num_1/jue_mat_num_triang.pdf
Me he dado cuenta de que es un concepto sencillo pero que da lugar a
bastantes reflexiones, algoritmos y repasos de teoría.
Nosotros seguiremos en parte este documento para iniciar el tema.
Búsqueda de números triangulares cuadrados
Un número triangular tiene por fórmula n(n+1)/2 y un cuadrado m2.
Aquellos números que participen de las dos características tendrán que
cumplir la igualdad
𝑛(𝑛 + 1)
2= 𝑚2
De esta igualdad deducimos esta otra mucho más práctica:
𝑛2 + 𝑛 +1
4− 2𝑚2 − 1/4 = (𝑛 +
1
2)2 − 2𝑚2 − 1/4 = 0
O bien
(2𝑛 + 1)2 − 8𝑚2 = 1
Con cambio de variable se convierte en una ecuación de Pell:
𝑥2 − 8𝑦2 = 1
Esta ecuación la tenemos muy estudiada
http://hojamat.es/parra/pell.pdf (documento de Rafael Parra)
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/02/ecuacion-de-pell.html
Disponemos además de una hoja de cálculo para ayudar a resolverla:
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#pell
Usamos esta herramienta para el coeficiente 8 y el segundo miembro 1
y nos dan las primeras soluciones:
111
(1,0) (3,1) (17,6) (99,35) (577,204) (3363,1189) (19601,6930) (114243,
40391),…
Por recurrencia:
Según la teoría de la ecuación de Pell, las soluciones aparecen con las
recurrencias (en este caso) xn=3*xn-1+8*yn-1 yn=3*yn-1+1*xn-1. Por
ejemplo, 99=3*17+8*6, 35=3*6+1*17.
Ahora sólo nos queda elevar al cuadrado las soluciones de y (que
equivalen a la variable m de la primera igualdad que planteamos) y nos
resultarán los triangulares cuadrados:
02=0, 12=1, 62=36, 352=1225, 2042=41616, 11892= 1413721,…
Primer algoritmo
El estudio que acabamos de desarrollar nos da una pista para la
generación de términos triangulares cuadrados: Iniciamos dos
variables X=1, Y=0, y en cada paso del algoritmo convertimos X en
3X+8Y y la Y en 3Y+X. Terminado el cálculo presentamos el valor de
Y2 como siguiente triangular cuadrado. En el Basic de las hojas de
cálculo quedaría así:
112
Sub triangcuad()
Dim x, y, x1, y1, i, t, fila
x = 1: y = 0 ‘Valores de inicio
fila = 3 ‘Fila inicial
Cells(fila, 4).Value = 0 ‘El primer valor es un cero
For i = 1 To 8 ‘Calculamos sólo ocho
x1 = 3 * x + 8 * y ‘Iteración para x
y1 = 3 * y + x ‘Iteración para y
x = x1
y = y1
t = y * y ‘Número triangular cuadrado
fila = fila + 1
Cells(fila, 4).Value = t ‘Se presenta el resultado
Next i
End Sub
Obtendríamos:
El que el último se nos ofrezca en coma flotante nos da idea de las
limitaciones de la hoja para cálculos con enteros de muchas cifras. Si
acudimos a PARI no nos encontraremos con esas limitaciones. Prueba
este código:
{x=1;y=0;print(0);while(x<10^10,x1=3*x+8*y;y1=3*y+x;x=x1;y=y1;t=
y^2;print(t))}
113
En pocos segundos te presenta los triangulares cuadrados menores
que 10^10.
Relación de recurrencia con una sola variable
Por la naturaleza de su definición podemos esperar que estos números
sigan una relación de recurrencia de segundo orden. Para encontrar su
expresión, que será del tipo
An=aAn-1+bAn-2+c usaremos los valores iniciales 0, 1, 36, 1225, 41616
para plantear:
36=a*1+b*0+c
1225=a*36+b*1+c
41616=a*1225+b*36+c
Resolvemos
1189=35a+b
40391=1189a+35b
1224=36a y a=34, b=-1 y c=2
Según los cálculos anteriores, la relación de recurrencia será
An=34An-1-An-2+2
Es la misma que propone John D. Cook en su blog.
En este blog no olvidamos la hoja de cálculo. Intenta una resolución
como la de la imagen usando cálculo matricial:
114
A partir de esta escritura matricial del sistema de ecuaciones, creamos
debajo la matriz inversa de los coeficientes con MINVERSA, y a su
derecha su producto por los términos independientes con MMULT:
Conseguimos así la misma solución 34, -1, 2
Segundo algoritmo
La relación de recurrencia nos permite un segundo algoritmo para
encontrar los triangulares cuadrados. El que describimos a
continuación presenta los nueve primeros (después existen problemas
de coma flotante)
Sub triancuad1()
Dim m, n, p, k, fila
m = 0: n = 1 ‘Valores iniciales
fila = 3
Cells(1, 3).Value = m ‘presenta los dos primeros términos
Cells(2, 3).Value = n
For k = 1 To 7
p = 34 * n - m + 2 ‘relación de recurrencia
Cells(fila, 3).Value = p: fila = fila + 1 ‘presenta los siguientes términos
m = n: n = p ‘cada término se convierte en el anterior
Next k
End Sub
115
Los términos rellenarán una columna de hoja de cálculo:
Siguiendo nuestra costumbre, lo traducimos a PARI para conseguir
más términos:
{x=0;y=1;print(0);print(1);for (k=1, 20, z=34*y-x+2;print(z);x=y;y=z)}
No resistimos la tentación, al igual que propone J.C. Cook, de intentar
una versión recursiva en forma de función. Funciona muy bien en hoja
de cálculo:
Public Function ftriangcuad(n)
If n < 2 Then
ftriangcuad = n
Else
ftriangcuad = 34 * ftriangcuad(n - 1) - ftriangcuad(n - 2) + 2
End If
End Function
116
No necesita explicación. La tabla siguiente se forma con gran rapidez
de cálculo:
Fórmula directa
Si lees el capítulo sobre sucesiones recurrentes en nuestra publicación
Sucesiones (http://www.hojamat.es/publicaciones/sucesiones.pdf)
entenderás que a partir de la fórmula de recurrencia es posible
encontrar la expresión directa de cada término (fórmula del término
general). Sólo insertamos la captura de pantalla de nuestra hoja de
cálculo Recurrencias
(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#recurre2)
en la parte homogénea de la recurrencia:
117
Con un ligero retoque y la interpretación de los decimales llegamos a la
propuesta por John D. Cook:
𝐴(𝑛) =(17 + 12√2)
𝑛+ (17 − 12√2)
𝑛− 2
32
El uso de la raíz cuadrada de 2 le quita utilidad en nuestro trabajo, por
lo que intentaremos prescindir de ella. Para ver la influencia del
formato de coma flotante, la implementamos en hoja de cálculo, y el
resultado es similar al de los algoritmos anteriores:
Función generatriz
Para quien no lo sepa, diremos que la función generatriz de una
sucesión, si se desarrolla como una serie de potencias, poseerá como
coeficientes de esas potencias de x los términos de la sucesión.
En el caso de los números triangulares cuadrados la función generatriz
es
𝐹(𝑥) =𝑥(1 + 𝑥)
(1 − 𝑥)(1 − 34𝑥 + 𝑥2)
(ver http://oeis.org/A001110)
Con esta sencilla orden de PARI podemos comprobar su desarrollo.
print(taylor(x*(1+x)/((1-x)*(1-34*x+x^2)),x,20))
118
Tercer algoritmo
Finalizamos con la presentación de un algoritmo de los que llamamos
“ingenuos”, que no usan la teoría para simplificar los cálculos, pero sí
la fuerza bruta de la velocidad de proceso. En este caso obligaremos a
los números naturales a ir creciendo hasta alcanzar un cuadrado, y
después a la inversa, que los cuadrados avancen hasta alcanzar un
triangular. Cuando se llegue a una igualdad se imprime el resultado. A
pesar de su simplicidad, no resulta lento. Es éste:
Sub triancuad2()
Dim i, j, m, n, k, fila
m = 3: n = 4: i = 2: j = 3 ‘Se inician las variables
k = 10 ^ 7
fila = 3
Cells(fila, 3).Value = 1: fila = fila + 1
While m < k ‘Busca soluciones menores que k
While m <= n ‘Los triangulares crecen
If m = n Then Cells(fila, 3).Value = m: fila = fila + 1 ‘Hay igualdad
i = i + 1: m = m + i
Wend
While n <= m ‘Los cuadrados crecen
If m = n Then Cells(fila, 3).Value = m: fila = fila + 1‘Hay igualdad
j = j + 2: n = n + j
Wend
Wend
End Sub
Dejamos a los lectores el estudio de por qué funciona este algoritmo
para descubrir los triangulares cuadrados. Como los anteriores, llega a
los mismos resultados, en este caso hasta 10^7:
119
Curiosidades.
Otra recurrencia
Según un comentario incluido en http://oeis.org/A001110, podemos
tener en cuenta otra recurrencia a partir de n=3:
𝑎𝑛+1 =(𝑎𝑛 − 1)2
𝑎𝑛−1
En efecto, 1225=(36-1)2/1, 41616=(1225-1)2/36, … O con hoja de
cálculo:
Intenta averiguar cómo crear esta tabla siguiendo la recurrencia. La
podemos expresar también como que la media geométrica entre el
anterior y el siguiente a un término coincide con el cuadrado de ese
término al que se le ha restado una unidad.
Una propiedad similar es que la media geométrica entre un término y el
siguiente es también un número triangular. Lo tienes en esta tabla.
Escribe los triangulares cuadrados e intenta después reproducirla:
120
En http://oeis.org/A029549 tienes estudiadas esas medias geométricas
y puedes descubrir que estos números son oblongos y también su
conexión con ciertas ternas pitagóricas. A partir de esta sucesión se
abren tantos caminos que es mejor parar aquí.
Por otra parte, por ser cuadrados, los términos son suma de dos
triangulares consecutivos, luego los triangulares cuadrados son
“triangulares suma de dos triangulares consecutivos”
Raíz cuadrada
Ya que tratamos con cuadrados, sería interesante estudiar sus raíces
cuadradas, que son estas:
0, 1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214,
46611179, 271669860,…
(http://oeis.org/A001109)
Estos números no nos son desconocidos, pues son soluciones de la
incógnita Y en la ecuación de Pell que usamos para encontrar sus
cuadrados
𝑥2 − 8𝑦2 = 1
Insertamos de nuevo la tabla que obtuvimos:
121
Más adelante veremos alores relacionados con la variable X.
Recurrencia entre las raíces
Al igual que sus cuadrados, estos números se pueden generar
mediante una recurrencia de segundo grado. Para descubrirla
operamos como en el apartado anterior.
Dn=aDn-1+bDn-2+c usaremos los valores iniciales 0, 1, 6, 35, 204 para
plantear:
6=a*1+b*0+c
35=a*6+b*1+c
204=a*35+b*6+c
Resolvemos
29=5a+b
169=29a+5b
169-5*29=169-145=24=4a a=6, b=-1, c=0
Luego Dn=6Dn-1-Dn-2, que es la recursión que figura en A001109
Esta recurrencia la podemos comprobar con nuestra hoja de cálculo
dedicada a ellas
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#recurre2
Escribimos los coeficientes 6 y -1
Y obtenemos la sucesión
122
Orden como triangulares
Al igual que hemos estudiado las raíces cuadradas de los triangulares
cuadrados, también podemos fijar la atención en su orden como
triangulares.
Para ello planteamos k(k+1)/2=A(n), siendo A(n) un término de la
sucesión de triangulares cuadrados. Es fácil ver que la solución será
𝑘 = √8𝐴(𝑛) + 1 − 1
2
Se generará esta otra sucesión:
1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332928, 1940449, 11309768,
65918161, 384199200,… (http://oeis.org/A001108)
También estos números están relacionados con la ecuación de Pell del
anterior apartado.
𝑥2 − 8𝑦2 = 1
123
Basta recordar que llamamos x a 2n+1. Deshaciendo el cambio en la
tabla:
(3-1)/2=1, (17-1)/2=8, (99-1)/2=49, (577-1)/2=288,… y así resultarán
todos.
Según OEIS, su fórmula recursiva es idéntica a la de los anteriores,
pero con término independiente igual a 2:
Dn=6Dn-1-Dn-2+2
Para no cansar a los lectores nos limitamos a comprobarla.
8=6*1-0+2, 49=6*8-1+2, 288=6*49-8+2,…
Diferencias entre términos
Si restamos cada dos términos consecutivos, el resultado coincide con
las raíces cuadradas de los términos de orden impar. Es una propiedad
muy curiosa, pero no he encontrado ninguna demostración elemental
de la misma.
En la tabla, si elevamos las diferencias al cuadrado nos resultan los
términos de orden impar. Son los de color rojo enlazados con flechas.
Si, además, encontráramos su orden como triangulares, sería un
cuadrado (compruébalo), y ellos mismos, además de triangulares
serían hexagonales. Bastante curioso, como ves.
124
Recurrencia directa
Lekraj Beedassy, en http://oeis.org/A001110, propone la siguiente
recurrencia no lineal que sólo depende del término anterior:
𝑎𝑛+1 = 1 + 17𝑎𝑛 + 6√𝑎𝑛 + 8𝑎𝑛2
Esta propiedad permite engendrar de nuevo los números triangulares
cuadrados en una hoja de cálculo directamente, sin macros, y con gran
rapidez, con una fórmula similar a =1+17*I5+6*RAIZ(I5+8*I5^2), donde
puedes sustituir I5 por el término anterior de la sucesión.
125
POLIGONALES
¿ERES UN POLIGONAL?
Si reuniéramos en una sola lista los números triangulares,
cuadrangulares, pentagonales, etc. ¿llenarían todo el conjunto de los
números naturales?
Podemos llamar orden n del número poligonal al número de unidades
incluidas en uno de sus lados, y tipo k, al número de lados.
Evidentemente, si consideramos los poligonales de orden 2, cualquier
número N se puede representar como un polígono de N lados, luego la
respuesta es afirmativa.
El problema es más interesante si sólo estudiamos números
poligonales de al menos orden 3.
Existen números que son triangulares, como el 10, pentagonales,
como el 22, o incluso algunos, como el 28, que son triangulares y
hexagonales simultáneamente, como puedes observar en la imagen:
¿Existirán números que sólo puedan considerarse como
poligonales de grado uno y no admitan otras representaciones
poligonales?
126
Dado un número cualquiera, como 2011, sería interesante averiguar
qué representaciones admite como número poligonal. Se puede
abordar el problema desde varios puntos de vista. Veamos el más
sencillo:
Generación mediante triangulares
Todo número poligonal de orden n y tipo k se puede generar mediante
esta fórmula:
siendo Tn-1 el número triangular de orden n-1.
No es difícil justificar esta fórmula La simple visión de la siguiente
imagen te permite comprenderla. Las unidades azules representan a n,
y las de los otros tres colores a los números triangulares que terminan
de engendrar el pentagonal:
Así que para saber si un número es n-gonal bastará restarle el valor
de n y después averiguar si la diferencia contiene a Tn-1 un
número entero de veces.
En una hoja de cálculo se pueden organizar tres columnas: La primera
con los números naturales n, la segunda con sus sumas acumuladas,
que serían los números triangulares T, y en la tercera el cociente (N-
n)/T. Si este cociente es entero, hemos descubierto que el número
probado es n-gonal.
127
En la imagen tienes el proceso para descubrir que el número 28 es 28-
gonal, hexagonal y triangular, como ya sabíamos. También podemos
comprobar que hay números, como el 2011, que sólo admiten formar
un polígono de grado 1 y tipo 2011. Sin embargo, el 2016 admite seis
representaciones, con tipos 2016, 673, 136, 24, 6 y 3.
Generación mediante fórmula
De la generación de números poligonales a partir de triangulares se
puede deducir la popular fórmula
Si la consideramos como ecuación de segundo grado en n, se puede
exigir que su discriminante sea cuadrado perfecto, es decir:
Esto nos da otro procedimiento: Recorremos valores de k y
observamos cuáles producen cuadrados perfectos y después si el valor
de n y k son enteros. En la imagen puedes observar cómo se organiza
la búsqueda en hoja de cálculo
128
Según la anterior fórmula, los números primos p sólo pueden ser p-
gonales, es decir, de orden 2. Son como collares, con los elementos
situados todos en el perímetro. Hay otros números compuestos que
comparten esta misma propiedad. Están recogidos en
http://oeis.org/A176949:
4, 8, 14, 20, 26, 32, 38, 44, 50, 56, 62, 68, 74, 77, 80, 86, 98, 104, 110,
116, 119,…
Ninguno puede ser k-gonal para k<N
Con este sencillo código en el Basic de Excel puedes encontrar de
cuántas formas pueden expresarse los 28 primeros números como
poligonales (excluimos 0, 1 y 2)
Fila=15 For i = 3 to 28 a = 1 b = 0 For k = 2 To i – 1 c= (i - k) / a If c=int(c) Then b = b + 1 a = a + k Next k ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 6).Value = i ActiveWorkbook.Sheets(1).Cells(fila, 7).Value = b fila = fila + 1 Next i
Obtendríamos esta tabla
129
Número Posibles
3 1
4 1
5 1
6 2
7 1
8 1
9 2
10 2
11 1
12 2
13 1
14 1
15 3
16 2
17 1
18 2
19 1
20 1
21 3
22 2
23 1
24 2
25 2
26 1
27 2
28 3
Observamos que en los primos sólo existe una posibilidad desechando
las trivialidades y que también ocurre lo mismo en 4, 8, 14… como se
afirmó más arriba.
Para quienes vayan conociendo PARI, tenemos este código
equivalente, aunque menos legible:
130
isinteger(n)=(n==truncate(n)) {for(i=3,28,a=1;b=0;for(k=2,i-1,if(isinteger((i-k)/a),b=b+1);a=a+k);print(i," ",b))}
CUBOS Y GNOMONES
En alguna página web he vuelto a encontrar esta propiedad:
1 = 13
3+5 = 23
7+9+11 = 33
13+15+17+19 = 43
Independientemente de su elegancia, es una invitación a profundizar
en otras relacionadas con ella y a justificar rigurosamente su
existencia.
(1) La propiedad presentada está relacionada con otra bien conocida:
1=12
1+3=22
1+3+5=32
1+3+5+7=42
1+3+5+7+9=52
Saca consecuencias:
¿Se puede afirmar que todo cubo perfecto es diferencia de dos
cuadrados?
En caso afirmativo ¿Qué tipo de números son los que pueden formar
esa diferencia?
¿Podrías demostrarlo con todo rigor?
131
(2) La propiedad considerada nos permite encontrar una expresión
algebraica para la suma de varios cubos consecutivos, por ejemplo
K3 + (k+1) 3 + (k+2) 3+ … + (k+r) 3
¿Sabrías encontrarla? Se pueden dar varias distintas. Si deseas
comprobar la que propongas usa la hoja de cálculo
Es esclarecedor observar la cuestión propuesta desde el punto de vista
geométrico. Si representamos la suma 7+9+11 como un embaldosado
compuesto de tres gnomones, n3 se adivina apilando baldosas:
En este caso se visualiza fácilmente
Prueba a convertir en cubo de esta forma otras sumas parecidas, como
13+15+17+19.
También es atractiva la idea de formar primero el cubo y después
convertirlo en suma de impares. Observa la figura:
132
Otra vuelta
Hasta ahora hemos sumado números impares y potencias. La
demostración algebraica de las fórmulas de este tipo puede estar
sujeta a errores. Nadie puede decir que no se ha equivocado en un
desarrollo algebraico de dos hojas. Un método para comprobar
nuestros cálculos es el uso de una fórmula de interpolación.
En este caso un método de interpolación adecuado es el de Newton.
Se puede adaptar con cierta facilidad al caso de valores enteros
equidistantes. En la siguiente dirección puedes encontrar su
implementación en Excel y Calc:
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m
Si aplicamos esta herramienta al caso de la suma de cubos tomando,
por ejemplo, como primer cubo el 27, nos resultaría esta expresión:
Suma=27 + 64(x-3)+61/2(x-3)(x-4)+5(x-3)(x-4)(x-5)+1/4(x-3)(x-4)(x-
5)(x-6)
Puedes comprobar su validez dando a x los valores 3, 4, 5, 6,7,… para
comprobar que se obtienen las sumas de cubos 27, 91, 216, 432,
775,…
Otro problema es el simplificar esta expresión, que también sería una
operación sujeta a errores. Si lo haces, observarás que efectivamente
la fórmula equivale a T2k+r
- T2
k-1.
133
Nota: No resisto incluir la interpolación que se logra con la calculadora
en red WIRIS, porque es un gran auxiliar en este tipo de desarrollos:
¿Por qué entonces usar la hoja de cálculo? Yo tengo mi propia
respuesta, y es que resulta más divertido pedalear que echar gasolina.
Cuando ya tenía programadas las tres entradas sobre Cubos y
gnómones encontré esta curiosidad en el siempre interesante blog de
Claudio http://simplementenumeros.blogspot.com/
Me planteé buscar cocientes similares pero con suma de cubos. Para
ello, según lo que hemos visto en esas entradas, bastaría buscar
diferencias de cuadrados de números triangulares tales que las
diferencias entre sus índices fueran iguales dos a dos, como ocurre,
por ejemplo con T102 - T5
2 = 452-102 y T182 - T13
2
=1532-782, (10-5=5
y 18-13=5) y que, además, las dos diferencias fueran divisibles, como
ocurre en este ejemplo, en el que 1532-782=17325 es múltiplo de 452-
102=1925.
Después bastaría traducir las diferencias entre triangulares en sumas
de cubos, con lo que obtendríamos cocientes aparentemente
complicados con resultado simple. La exigencia de que las diferencias
entre índices sean iguales se debe a un deseo de simetría pero no es
imprescindible.
Con una tabla de doble entrada de cuadrados de triangulares o con
código Basic se encuentran fácilmente.
Presentamos cuatro de esos resultados, pero se pueden obtener
muchos más.
134
Carácter de múltiplos de 5
Es fácil ver que aunque la expresión propuesta tiene denominador 6,
su resultado será entero, porque ese ha sido su origen, y porque los
factores k(k+1)(2k+1) garantizan un factor 2 y un 3. Estúdialo, que no
es difícil de descubrir.
¿De dónde sacamos el factor 5?
Lo podemos ver mediante congruencias módulo 5. El valor de k puede
presentar respecto al 5 los restos 0, 1, 2, 3 o 4.
Resto 0: En ese caso k contiene el factor 5
Resto 1: El factor 12k2+12k+1 será múltiplo de 5
Resto 2: Contamos con el factor 2k+1
Resto 3: El factor 12k2+12k+1 sería congruente con
12*9+12*3+1=108+36+1=145, múltiplo de 5
Resto 4: Nos proporciona el factor deseado el valor de k+1
En todos los casos la suma de cuadrados será un múltiplo de 5.
Hemos terminado con éxito. Nuestras sospechas tenían fundamento y
la sucesión 25, 365, 2030, 7230, 19855, 45955, 94220, 176460…
representa simplemente los distintos valores de un polinomio de quinto
grado definido sobre los números naturales.
135
POLIGONALES CENTRADOS
Los números poligonales ordinarios se engendran acumulando
distintos polígonos a partir de un vértice, como podemos ver en la
figura
Los poligonales centrados son similares, pero los polígonos se
acumulan alrededor de un centro, con sus lados paralelos
Todos los poligonales de esta clase se pueden pues generar mediante
sumas de números naturales que representen los contornos de los
polígonos. En el caso de los triángulos serían 1+3+6+9+12+…
Efectuando sumas parciales obtendríamos la sucesión 1, 4, 10, 19,
31,.., a la que nombraremos como “números triangulares centrados”.
En el caso de cuadrados se formaría la suma 1+4+8+12+16+…, y las
sumas formarían la sucesión 1, 5, 13, 25, 41,…, que serían los
números “cuadrados centrados”.
Con el mismo método resultarían los “pentagonales centrados”, a partir
de la suma 1+5+10+15+20…, que serían 1, 6, 16, 31, 51,…
En general, los polígonos de orden n y lado k, al sumarse formarían:
1+n+2n+3n+4n+...+kn=1+n*(1+2+3+4+5+...+k)=1+n*k*(k+1)/2
136
Si contamos el 1 como primer elemento, la suma del paréntesis tendría
un elemento menos, y daría la expresión, si llamamos POLC al
poligonal centrado:
POLC(n,k)=1+n*k*(k-1)/2=(n*k2-n*k+2)/2
Es decir:
En ella n representa el tipo de poligonal y k el lado.
Así, POLC(5,4)=(5*16-5*4+2)/2=62/2=31, tal como vimos en el listado
de pentagonales.
POLC(3,5)=(3*25-3*5+2)/2=62/2=31, que sería el quinto triangular que
obtuvimos más arriba.
Calculadora CALCUPOL
Estos cálculos se pueden evitar con nuestra calculadora de números
figurados, “Calcupol”. Esta calculadora Se descarga desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#figurados
Con la tecla CEN (de centrado) y la secuencia de teclas 3 CEN 5 =
obtendríamos el triangular centrado de lado 5, que ya sabemos vale
31.
137
Usaremos esta calculadora varias veces en este tema.
Relación con los poligonales ordinarios
Si recordamos la fórmula de los números poligonales
k((n-2)*k-(n-4))/2
y la comparamos con la de los centrados
(n*k2-n*k+2)/2
resulta:
(n*k2-n*k+2)/2-(k2*(n-2)-k*(n-4)/2 =
=( n*k2-n*k+2-n*k2+2k2+n*k-4k)/2 =
= (2+2k2-4k)/2=(k-1)2
Así que si conocemos un poligonal ordinario, bastará sumarle el
cuadrado del lado después de restarle una unidad. Lo vemos con
Calcupol. El número poligonal de orden 7 (heptagonal) de lado 10 tiene
un valor de 235 (secuencia de teclas 7 POL 10 =) y si le añadimos (10-
1)2, obtenemos 235+81=316, que es el poligonal centrado del mismo
orden y lado. Puedes comprobarlo con la secuencia 7 CEN 10 =
Relación con los triangulares ordinarios
La expresión
𝑃𝑂𝐿𝐶(𝑛, 𝑘) =𝑛𝑘2 − 𝑛𝑘 + 2
2
138
Se puede escribir así:
𝑃𝑂𝐿𝐶(𝑛, 𝑘) = 𝑛𝑘(𝑘 − 1)
2+ 1 = 𝑛𝑇(𝑘 − 1) + 1
Esto nos indica que un poligonal centrado se forma añadiendo a 1 n
números triangulares de lado n-1. En el caso, por ejemplo, del
pentagonal de lado 4, se podrá descomponer en cinco triángulos de
lado 3 y una unidad. La siguiente imagen, adaptación de otra de la
Wikipedia, nos muestra claramente los triángulos:
Números triangulares centrados
Comenzamos el estudio particularizado para cada orden, siendo n=3 el
caso de menos lados. Ya se comentó más arriba que los triangulares
centrados se forman mediante triángulos concéntricos como los de la
imagen:
Se considera la unidad como primer triángulo.
139
Ya se vio que se forman mediante la suma 1+3+6+9+12+...+3k, que da
lugar a la expresión 1+3*k(k-1)/2, con lo que los primeros triangulares
centrados serán; 1, 1+3, 1+3+6, 1+3+6+9,….es decir: 1, 4, 10, 19,…
Completamos la sucesión con más términos:
1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361,
409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901,… Están publicados en
http://oeis.org/A005448
Con nuestra calculadora Calcupol puedes recorrerlos uno a uno.
Fijas en la parte derecha “Centrado” y orden 3. Borras la pantalla con
CA y escribes 1. Después, cada vez que pulses PROX, aparecerán los
siguientes términos: 4, 10, 19, 31,...
Es interesante deducir la expresión del término general, que ya
conocemos, mediante nuestro interpolador lineal para números
naturales
(lo puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#newton)
Si la aplicamos a los números 1, 4, 10, 19, 31, 46, 64 descubrimos que
sus diferencias de tercer orden son nulas, y que esto los convierte en
valores de un polinomio de segundo grado.
140
La herramienta de interpolación nos proporciona también los
coeficientes en las filas inferiores.
Si conoces la interpolación de Newton entenderás que el polinomio
buscado es
1/1+3/1(x-1)+3/2(x-1)(x-2)=1+3x(x-1)/2
Esto comprueba lo indicado más arriba.
Propiedades
(1) A partir del 10, todos los triangulares centrados son suma de
tres triangulares consecutivos.
TC(n)=T(n)+T(n-1)+T(n-2)
Es una cuestión de Álgebra:
T(x-2)+T(x-1)+T(x)=(x-2)(x-1)/2+(x-1)x/2+x(x+1)/2=(x2-3x+2+x2-
x+x2+x)/2=(3x2-3x+2)/2=1+3x(x-1)/2= TC(x)
Por inducción
Se cumple para TC(4)=10=1+3+6=T(1)+T(2)+T(3)
Si se cumple para x, será TC(x)=T(x-2)+T(x-1)+T(x). Si añadimos 3x,
se convertirá en TC(x+1), y bastará demostrar que T(x-2) se convierte
en T(x+1)
En efecto:
141
(x-2)(x-1)/2+3x=(x2-3x+2+6x)/2=(x2+3x+2)/2=T(x+1)
Piénsalo bien, sólo hay que convertir T(x-2) en T(x+1)
(2) Relación con números combinatorios
TC(n+1) = C(n+3, 3)-C(n, 3)
Otra cuestión de Álgebra:
C(n+3, 3)-C(n, 3)=((n+3)(n+2)(n+1)-n(n-1)(n-2))/6
(n3+6n2+11n+6-n3+3n2-2n)/6=(9n2+9n+6)/6=1+3n(n+1)/2=TC(n+1)
Puedes ir restando números combinatorios situados debajo de la línea
continua, con un salto de tres lugares, e irán resultando los triangulares
centrados:
20-1=19; 35-4=31; 56-10=46; 84-20=64; 120-35=85…
(3) Triangulares centrados primos
Entre los triangulares de este tipo existen algunos que son primos.
Sólo es una curiosidad. Los primeros son:
19, 31, 109, 199, 409, … https://oeis.org/A125602
142
(4) Recurrencia
Todas las sucesiones de números figurados admiten recurrencias, por
ser fórmulas polinómicas. Los triangulares centrados también poseen
una generación por recurrencia, además de la contenida en la
definición, de añadir 3n al término anterior:
Elegimos esta:
TC(n) = 3*TC(n-1) - 3*TC(n-2) + TC(n-3), TC(1)=1, TC(2)=4, TC(3)=10.
Se cumple para el 19=3*10-3*4+1=30-12+1=19
Otro término lo cumplirá por simples cálculos algebraicos.
3*TC(n-1) - 3*TC(n-2) + TC(n-3)=3*(1+3(n-1)(n-2)/2)-3*(1+3(n-2)(n-
3)/2)+1+3(n-3)(n-4)/2
Si no te apetece simplificar acude a cualquier CAS. Nosotros hemos
usado Wolfram Alpha
Hemos obtenido la expresión
que coincide con 1+3n(n-1)/2, expresión de TC(n)
Existen otras recurrencias, que puedes intentar demostrar:
a(n) = a(n-1) + 3*n-3. - (Vincenzo Librandi)
a(n) = 2*a(n-1) - a(n-2) + 3. - (Ant King)
143
Cuadrados centrados
Vimos en los primeros párrafos que la suma 1+4+8+12+16+…, que se
forma añadiendo 4 unidades a cada sumando, forma, con sus sumas
parciales, la sucesión 1, 5, 13, 25, 41,…, que serían los números
“cuadrados centrados”.
Los primeros términos son:
1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481,
545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513,
1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381,...y están publicados en
http://oeis.org/A001844
Con nuestra calculadora Calcupol puedes recorrerlos uno a uno. La
puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#figurados
Fijas en la parte derecha “Centrado” y orden 4. Borras la pantalla con
CA y escribes 1
Como en el caso de los triangulares, con cada pulsación de la tecla
PROX irás obteniendo los siguientes cuadrados centrados: 5, 13, 25,...
Si en la expresión de los poligonales centrados
sustituimos n por 4 nos resultará la expresión de los cuadrados
centrados:
144
Por ejemplo CC(4)=2*16-2*4-1=32-8+1=25
Esta fórmula presenta una interpretación sencilla, pues equivale a la
suma de dos cuadrados consecutivos. Así, 25=16+9, o 13=9+4. Si
recordamos que los cuadrados son sumas de impares, con esta
propiedad podemos engendrar los cuadrados centrados como una
suma creciente y decreciente de impares. Lo vemos con el 61:
61=1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1
Con un poco de Álgebra es fácil ver que es válida también esta otra
expresión:
Así, el término 5 equivaldrá a (81+1)/2=41, como puedes comprobar en
el listado. También 41 es suma de cuadrados: 41=26+16
Lo podemos expresar también como que el doble de un cuadrangular
menos una unidad es un cuadrado perfecto. Esto convierte a un
cuadrado centrado N en la hipotenusa de un triangulo rectángulo
con un cateto igual a N-1. En efecto, N²-(N-1)² =2N-1 es un cuadrado.
Por ejemplo:
41² - 40² = 1681 – 1600 = 81 = 9²
Pentagonales centrados
Al igual que en los casos anteriores, partimos de la sucesión formada
por el 1 y los múltiplos de 5, ya que en un pentagonal centrado se van
añadiendo polígonos de cinco lados aumentando una unidad en cada
caso: 1+5+10+15+20. Las sumas parciales formarán los pentagonales
centrados (PC(n)):
1, 6, 16, 31, 51,…
Los primeros pentagonales centrados son:
145
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601,
681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891,
2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976,…
Están publicados en http://oeis.org/A005891
Para conseguir su expresión podemos acudir a la interpolación
polinómica. Como ya la hemos usado en casos anteriores, sólo
insertaremos una captura de pantalla:
Vemos que dará lugar a un polinomio de segundo grado. Leemos los
coeficientes:
P(x)=1+5*(x-1)+5/2*(x-1)(x-2)=(5n^2+5n+2)/2
Así que
Basta observar la fórmula para darse cuenta de que todos estos
números son congruentes con la unidad módulo 5. Así 16=5*3+1,
76=5*15+1,...Ya sabemos que sus diferencias son múltiplos de 5.
También es sencillo comprobar que los coeficientes del 5 en la anterior
expresión son todos números triangulares, ya que PC(n)=5n(n+1)/2+1.
146
Hexagonales centrados
La definición de estos números coincide con la de los anteriores, pero
añadiendo a cada uno de ellos un hexágono nuevo (o múltiplo de 6)
Dejamos como ejercicio comprobar que su expresión es
HC(n)=(n+1)3-n3
Con ella podemos desarrollar la sucesión de hexagonales centrados:
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721,
817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107,
2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997
(http://oeis.org/A003215)
La expresión obtenida equivale claramente a una diferencia de cubos
consecutivos. En efecto, 7=2³-1³, 19=3³-2³=27-8, 37=4³-3³=64-27
Propiedad combinatoria
Sumas iguales a cero
Benoit Cloitre propone en la página OEIS citada que los números de la
sucesión se corresponden con el número de tripletes ordenados de
enteros (a,b,c),con -n <= a,b,c <= n, tales que a+b+c=0. Esta propiedad
está expresada si el primer índice de la sucesión es cero, por lo que
debemos aplicarla a n-1.
Por ejemplo, en el caso de n=3, HC(3)=19 coincidirá con el número de
sumas de tres sumandos comprendidos entre -2 y 2 cuya suma sea 0.
Podemos comprobar esta propiedad con nuestra hoja Cartesius
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrco
mb.htm#cartesius
El planteo sería muy simple:
xtotal=3
Xt=-2..2
147
Suma=0
Aunque no hayas usado nunca esta hoja Cartesius, entenderás que se
fija un número de sumandos igual a 3, comprendidos entre -2 y 2 y
cuya suma sea 0.
Introducimos este planteo en la hoja
Pulsamos el botón Iniciar y obtenemos las 19 sumas esperadas:
Esta propiedad se puede demostrar por inducción. Ya hemos
comprobado para n=3. Para n=2 basta con que recorras el listado de
sumas y te quedes con las que tienen máximo 1. Las contamos y
resultan 7, y es trivial que para el caso n=1 sólo obtenemos un caso.
Con esto se comprueba para los casos 1, 2 y 3.
148
Para el caso n, podemos pasar al caso n+1, con lo que hay que añadir
los elementos -(n+1) y n+1. Las nuevas sumas pueden ser de tres
clases:
Si contienen -(n+1) y n+1, el tercer sumando será 0, y reordenando nos
resultan 6 sumas nuevas.
Si sólo contiene el sumando -(n+1), deberá estar acompañado por
todos los sumandos positivos entre 1 y n que sumen n+1. Existen n
sumas ordenadas de ese tipo, y el sumando -(n+1) se puede situar en
3 posiciones, luego aparecerán 3n sumas nuevas.
El tercer caso también abarcará 3n sumas. Reunimos los tres casos y
nos resulta 3n+3n+6=6(n+1), luego efectivamente, se añadirá un
múltiplo de 6 al término anterior, lo que lo convierte en el siguiente
hexagonal centrado.
Una propiedad aritmética
Las medias parciales de los k primeros términos coinciden con k².
Está basada en un inicio para n=0, por lo que usaremos n en lugar de
n+1 en la demostración.
Esta propiedad se verifica en los primeros términos:
(1+7)/2 = 4 = 2²
(1+7+19)/3 = 9 = 3²
Si lo suponemos cierto para n, deberemos demostrar que la siguiente
media coincide con (n+1)². Usaremos la expresión general aplicada al
término n.
M(n+1)=S(n+1)/(n+1)=(S(n)+3n²+3n+1)/(n+1)=(n*n²+3n²+3n+1)/(n+1) =
(n+1)³/(n+1) = (n+1)².
Es evidente que hemos demostrado de paso que las sumas parciales
coinciden con n³
Aquí dejamos los poligonales centrados.
Con esta muestra podrás investigar más sobre el tema.
149
NÚMEROS PIRAMIDALES
POLIGONALES Y PIRAMIDALES
Repaso de los números poligonales
Los números piramidales son una extensión natural de los poligonales,
por lo que puede ser adecuado comenzar con un repaso de estos. Lo
más importante que hay que recordar ahora es su formación
recurrente. Por ejemplo, los triangulares se forman añadiendo un lado
nuevo a los ya formados en el anterior triangular, como queda claro en
la imagen:
Es decir, que
t1 = 1 = 1
t2 = 1+2 = 3
t3 = 1+2+3 = 6
t4 = 1+2+3+4 = 10
En general, Tn+1=Tn+n, lo que convierte a los triangulares en sumas de
números consecutivos. Por eso Tn=1+2+3+…+n=n(n+1)/2.
Hemos preparado una hoja de cálculo con Calcupol, una calculadora
especializada en números figurados, que puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#figurados
150
En ella, con la tecla POL puedes encontrar el k-ésimo número
triangular. Por ejemplo, con la secuencia de teclas 3 POL 12 =
encontrarás el triangular número 12, que resulta ser 78, como se ve en
la imagen:
El presentar la calculadora en este momento se justifica porque la
vamos a usar en toda una serie de entradas. Otra utilidad que tiene es
la de identificar si un número es de un tipo dado o no. Observa la celda
Tipos. Si fijas el tipo en Triangular (usa la lista desplegable) podrás
averiguar si el número que escribas en pantalla es o no triangular, con
la tecla ES, o bien encontrar el próximo o el anterior con PROX y ANT.
Ya las iremos viendo. Fija el tipo en triangular, escribe 75 y pulsa la
tecla ES. Te responderá que no es de ese tipo y en pantalla aparecerá
un cero. Si hubieras escrito 78, te devolvería 12, que es su número de
orden, o lado.
De igual forma se definen los números cuadrados, pero ahora, a cada
elemento le añadimos dos lados, formando lo que se llama un gnomon,
de fórmula 2n+1:
En la figura se observa la generación de cada número cuadrado:
C1 = 1 = 1
C2 = 1+3 = 4
151
C3 = 1+3+5 = 9
C4 = 1+3+5+7 = 16
Los primeros números cuadrados son: 1, 4, 9, 16, 25,… como bien
sabemos, y, según se acaba de ver, son suma de impares
consecutivos. Fija la calculadora en el tipo Cuadrado. Escribe un 1 en
pantalla y ve pulsando reiteradamente la tecla PROX. Obtendrás esa
secuancia 1, 4, 9, 16, 25,… En la imagen se había llegado al 36:
El resto de poligonales se define de la misma forma que los cuadrados
y los triangulares, como números que forman pentágonos, hexágonos,
o de más lados. Basta ir añadiendo n-2 lados nuevos, 3 para los
pentagonales, 4 para los hexagonales, y así con los demás.
Escribe en la calculadora que el tipo es Poligonal y el orden 5 y podrás
analizar los pentagonales. Con la tecla PROX (o la ANT) puedes
recorrerlos. Comprueba que los primeros pentagonales son 1, 5, 12,
22, 35, 51, 70, 92,… En la imagen se ha llegado, con la tecla PROX, al
siguiente a 92, que es el 117
152
Con este repaso ya estamos en condiciones de comenzar el estudio de
los números piramidales.
Números piramidales
Al igual que los poligonales se generan añadiendo a cada uno de ellos
lados nuevos, los piramidales se forman mediante números
poligonales nuevos que van haciendo el papel de bases de una
pirámide.
Tomemos, por ejemplo, los números triangulares, 1, 3, 6, 10,…
Imaginemos que comenzamos por 1 (siempre se comienza con él), que
hará el papel de vértice, y después le adosamos como base el
siguiente triangular, 3, y después el siguiente, 6, y así hasta que
obtengamos el orden deseado. Lo puedes ver en la imagen.
Para ver otras imágenes similares para los casos de cuadrados,
pentagonales o hexagonales entra en Mathword:
http://mathworld.wolfram.com/PyramidalNumber.html
153
A los números poligonales de orden 3 (triangulares) les llamaremos
tetraédricos, a los de orden 4, piramidales cuadrados, y al resto,
pentagonales, hexagonales, y así hasta el orden que deseemos.
Usamos la palabra orden para no crear confusión con la calculadora
que ofrecemos. Llamaremos lado al número de poligonales que se
acumulan.
Con nuestra calculadora calcupol podemos seguir cualquiera de estas
sucesiones. Por ejemplo, para ver los piramidales hexagonales, fijamos
el tipo en Piramidal y el orden en 6. Escribimos un 1 en pantalla y
vamos pulsando la tecla PROX. Aparecerán los piramidales 1, 7, 22,
50,…En la imagen hemos llegado hasta 372:
Puedes comprobar los resultados obtenidos en la dirección
http://oeis.org/A002412
Si tienes un piramidal en pantalla, como puede ser el hexagonal 715,
de lado 10, con la secuencia de teclas – ANT = puedes restarle el
anterior, de lado 9, y te dará 190, que es precisamente el poligonal de
tipo 6 y lado 10. Para comprobarlo usa la secuencia de teclas 6 POL
10, y te resultará 190.
Ya estamos en condiciones de sintetizar la generación de los números
piramidales:
El número piramidal de orden k y lado n equivale a la suma del
piramidal de idéntico orden y un lado menos y el poligonal de mismo
orden y lado.
154
Si nombramos los piramidales como PIR y los poligonales como POL,
se podría expresar así:
PIR(N,K)=PIR(N-1,K)+POL(N,K)
Por ejemplo (lo puedes ir calculando con Calcupol): El octavo piramidal
hexagonal es 372, y el poligonal hexagonal de lado nueve es 153. Si
los sumamos obtenemos el noveno piramidal hexagonal, ya que
372+153=525, que es el piramidal esperado.
Fórmula
Existe una expresión general para calcular PIR(N,K). De todas las
versiones publicadas nos quedamos con la siguiente:
𝑃𝐼𝑅(𝑛, 𝑘) =3𝑛2 + 𝑛3(𝑘 − 2) − 𝑛(𝑘 − 5)
6
Es un polinomio de tercer grado, al igual que los poligonales se
expresan con uno de segundo (ver
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/teoria/teorarit.pdf)
Tienes una demostración en http://oeis.org/wiki/Pyramidal_numbers
Lo comprobamos con 372, pirámide hexagonal de lado 8:
PIR(8,6)=(3*64+512*4-8*1)/6=2232/6=372
Con un poco de Álgebra, se puede extraer de esta fórmula el factor
n(n+1)/2, que es, precisamente, el número triangular del mismo lado
que el piramidal que estamos calculando. La fórmula quedaría
entonces así:
𝑃𝐼𝑅(𝑛, 𝑘) = 𝑇𝑛
𝑛(𝑟 − 2) − (𝑟 − 5)
3
155
Lo comprobamos: El vigésimo piramidal octogonal, según Calcupol, es
8190. El triangular del mismo lado 20, 210. Aplicamos la fórmula:
8190=210*(20*6-3)/3=210*117/3=24570/3=8190
TETRAEDROS.
A los números piramidales triangulares se les conoce también como
tetraédricos, o simplemente tetraedros (abreviado, TET), en recuerdo
del primer poliedro regular. Todos ellos se forman a partir del 1
adosando los distintos números triangulares, 3, 6, 10, 15, 21, 28… por
lo que también podemos decir que los tetraédricos equivalen a las
sumas parciales de los triangulares.
TET(1)=1
TET(2)=1+3=4
TET(3)=4+6=1+3+6=10
TET(4)=10+10)1+3+6+10=20
…
La lista de los primeros será, pues:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816,
969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925,…
http://oeis.org/A000292
La puedes reproducir con la calculadora Calcupol que presentamos
anteriormente.
156
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#figurados
Basta fijar el tipo en Piramidal, el orden en 3, y escribir en pantalla 1.
Con esto, cada vez que pulses en la Tecla PROX se formará un nuevo
piramidal tetragonal. En la imagen llegamos hasta 969:
La formula para estos números se simplifica mucho. Recordamos la
expresión general para todos los piramidales:
𝑃𝐼𝑅(𝑛, 𝑘) =3𝑛2 + 𝑛3(𝑘 − 2) − 𝑛(𝑘 − 5)
6
Hacemos k=3 y queda:
𝑇𝐸𝑇(𝑛) = 𝑃𝐼𝑅(𝑛, 3) =3𝑛2 + 𝑛3 + 2𝑛
6=
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
6
Esta expresión nos suena familiar, y es que equivale al número
combinatorio n+2 sobre 3:
𝑇𝐸𝑇(𝑛) = (𝑛 + 2
3)
Por ejemplo, el tetragonal de orden 7 es 84, y equivale a
(7*8*9)/6=504/6=84
Puedes usar la expresión de hoja de cálculo COMBINAT, para calcular
el número combinatorio:
157
Y ya, por repasar más detalles, con nuestra calculadora combinatoria
puedes usar las teclas 9 C 3:
La tienes en la dirección
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrco
mb.htm#calcucomb
Por ser números combinatorios de orden 3, los tetraedros se situarán
en la cuarta fila del triángulo de Pascal:
(Imagen adaptada de otra contenida en Wikipedia.es)
Por cierto, y como era de esperar, los números triangulares se
presentan en la anterior paralela.
158
Curiosidades
Al igual que hicimos con cuestiones similares, desarrollaremos a
continuación algunas propiedades, muchas de ellas tomadas de
http://oeis.org/A000292
Suma de diferencias
Si, como es costumbre en oeis.org, comenzamos la sucesión por el 0,
resulta que cada número tetragonal de orden n es suma de todas las
diferencias b-a que se pueden formar entre los números 1, 2, 3, … n
entre sí, si b>=a (Amarnath Murthy, May 29 2003). Lo vemos mejor con
un esquema de esas diferencias. La imagen contiene el desarrollo para
el tetragonal 20:
Las cabeceras de filas y columnas están formadas por los números del
1 al 5. En el centro figuran las diferencias entre ellos sin contar las
negativas, y a la derecha figuran sus sumas por filas. El número 20
resulta como suma de todas las diferencias del interior. Como ese
número, por definición, es suma de triangulares, se formará a partir de
10+6+3+1, que son triangulares porque cada uno es suma de enteros
consecutivos 1, 2,… k.
Suma de productos
El mismo autor, Amarnath Murthy, nos propone otra igualdad
interesante, y es proceder a multiplicar todos los sumandos posibles p
y q cuya suma es n+1, y todos los productos también sumarán un
número tetragonal. En este caso es más una curiosidad algebraica que
aritmética, pues se justifica así:
Suma de productos p*q con p+q=n+1:
1(n+1-1)+2(n+1-2)+3(n+1-3)+…+n(n+1-n)=n(n+1)(n+1)/2-1^2-2^2-
…n^2
159
Pero la suma de cuadrados es n(n+1)(2n+1)/6
Restamos y queda n(n+1)(n+1)/2- n(n+1)(2n+1)/6 =n(n+1)(3n+3-
2n+1)/6=n(n+1)(n+2)/6
Como es la expresión del tetragonal de orden n, ya lo tenemos
demostrado. Un esquema con hoja de cálculo aclara bastante el
proceso. En este caso no se considera el 0 como inicio de la sucesión:
Suma de cuadrados
Un número tetragonal, si tiene lado par n, coincide con la suma de los
cuadrados de todos los números pares comprendidos entre 1 y n/2.
Por ejemplo:
El tetragonal 56=TET(6) equivale a la suma
2^2+4^2+6^2=4+16+36=56. Basta aplicar la suma de cuadrados
consecutivos, ((n(n + 1)(2n + 1)) / 6), al caso n/2 y después multiplicar
por el factor común 2^2=4. En cuanto desarrollemos obtenemos
TET(n)= n(n+1)(n+2)/6:
Suma cuadrados pares es 4(n/2)(n/2+1)(n+1)/6=n(n+1)(n+2)/6
160
Si es impar, bastará sumar el mismo número de cuadrados impares.
Como 35=1^2+3^2+5^2=1+9+25
Basta ver que la suma de ambos daría la de todos los cuadrados, en
este caso, 56+35=91, que coincide con (6*7*(2*6+1))/6=7*13=91, luego
es válida la posibilidad de sumar cuadrados impares.
Fórmula de recurrencia
Al tener expresión algebraica sencilla, los números tetragonales
permiten fácilmente una expresión recurrente. En concreto es:
TET(n) = n + 2*TET(n-1) - TET(n-2)
La demostración es inmediata: n + 2*TET(n-1) - TET(n-2)=n+2*(n-
1)*n*(n+1)/6-(n-2)(n-1)n/6 y simplificando llegamos a
n(n+1)(n+2)/6=TET(n)
Si disponemos estos números en columna, podemos aplicar a cada
dos de ellos esta fórmula de recurrencia:
Las líneas nos indican que 35 depende de los dos anteriores, 10 y 20,
y de su número de orden 5, mediante la opeación 35 = 5+2*20-10 = 35
Equivalencia con un triangular
Una cuestión interesante es estudiar la posibilidad de reducir un
número tetraédrico a un triangular puro, como si “aplanáramos” la
pirámide hasta convertirla en un número triangular con un lado distinto.
Basta aplicar el criterio para que m sea triangular, y es que 8m+1 sea
161
cuadrado. Pues bien. Aplicando ese criterio, sólo se han encontrado
cinco números tetraédricos que sean también triangulares: 1, 10, 120,
1540 y 7140. Si aplicamos el criterio al cuarto, nos queda:
8*1540+1 = 12321 = 111^2
Por cierto, la equivalencia con un cuadrado aún es más escasa: sólo
son cuadrados los tetraédricos 1, 4 y 19600.
CUADRADOS
Nos dedicaremos ahora al estudio de los números piramidales
cuadrangulares, o “pirámides cuadradas”, que se forman al apilar
números cuadrados consecutivos.´Puedes hacerte una idea con las
imágenes y definiciones contenidas en
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_piramidal_cuadrado)
Los primeros números piramidales cuadrados son:
0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240,
1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201,
6930, 7714, 8555, 9455,…
(http://oeis.org/A000330)
Según su definición, cada piramidal cuadrado será equivalente a la
suma 1+4+9+16+…, pero se conoce, y es muy popular, la fórmula de
la suma de los n primeros cuadrados, que es igual a n*(n+1)*(2*n+1)/6,
luego, si llamamos PCUAD(n) al enésimo piramidal cuadrado
tendremos:
𝑃𝐶𝑈𝐴𝐷(𝑛) =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
Si descomponemos 2n+1 en (n+2)+(n-1) resulta
𝑃𝐶𝑈𝐴𝐷(𝑛) = (𝑛 + 2
3) + (
𝑛 + 13
)
162
Al igual que un cuadrado se descompone en dos triángulos
consecutivos, aquí serían dos tetraedros: Todo número piramidal
cuadrado es suma de dos piramidales triangulares consecutivos.
Lo podemos comprobar con nuestra calculadora especializada
calcupol, que puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#figurados
Elegimos n=9 y con la calculadora vamos obteniendo:
Secuencia de teclas: 4 PIR 9 =, y nos da el piramidal cuadrado 285
Con la secuencia 3 PIR 9 = obtenemos la pirámide triangular 165, y
con 3 PIR 8 =, la anterior, 120, y se verifica que 165+120=285.
Si recordamos que los piramidales triangulares (tetraedros) son suma
de triangulares y los piramidales cuadrados suma de cuadrados, en
hoja de cálculo queda
Aquí vemos que los números triangulares engendran las pirámides
triangulares, que si sumamos por filas, cada dos triangulares forman un
cuadrado, y su suma el piramidal pedido. Al final, dos pirámides
163
triangulares consecutivas suman la cuadrangular correspondiente.
Merece la pena estudiar con detalle el esquema de cálculo.
Otra forma de generar piramidales cuadrados a partir de los
triangulares es el cálculo mediante esta fórmula:
𝑃𝐶𝑈𝐴𝐷(𝑛) =1
4(
2𝑛 + 23
)
Basta desarrollar:
((2n+2)(2n+1)2n)/(6*4)=n(n+1)(2n+1)/6, que es la fórmula usual, según
vimos más arriba.
En este tipo de propiedades se basa esta otra generación de
piramidales cuadrados (ver http://oeis.org/A000330). Formamos un
triángulo como el del esquema, que está construido sobre n=5. Se
entiende fácilmente:
1
1 2
1 2 3
1 2 3 4
1 2 3 4 5
1 2 3 4
1 2 3
1 2
1
Hemos situado un 1 en una base de 2*5-1 elementos, un 2, en la
siguiente de 2*5-3, después un 3 2*5-5 veces, y así hasta llegar a un 5.
Lo que propone este esquema es que
𝑃𝐶𝑈𝐴𝐷(𝑛) = ∑ 𝑘(2𝑛 − 2𝑘 + 1)
𝑛
1
Se puede demostrar por inducción recorriendo el esquema:
PCUAD(1)=1, PCUAD(2)=1+1+1+2=5=1+4,
PCUAD(3)=1+1+1+1+1+2+2+2+3=14=1+4+9
164
Se generan así 1, 5 y 14, los primeros piramidales. Para demostarlo
para n+1 suponiéndolo correcto para n, bastará considerar, por
definición, que los sumandos nuevos al ampliar el esquema de n a n+1
son:
1+(1+2)+(2+3)+(3+4)+(4+5)+…(n+n+1)=1+3+5+7+…2n+1=(n+1)^2,
luego si se incrementa en un cuadrado, dará lugar al siguiente
piramidal cuadrado, lo que completa la demostración.
Se puede dar otra interpretación a esta fórmula, y es que representa la
suma de la función MÍNIMO a todos los pares formados por el conjunto
1..n consigo mismo. Para entenderlo lo construimos para n=5
En el esquema se han situado los mínimos de cada par fila-columna en
la celda correspondiente, y hemos reproducido el esquema de más
arriba: el 1 se repite 9 veces, el 2, 7 veces, el 3, 5…y así hasta el
último 5 que se repite una vez. Coincide, por tanto, con la fórmula
explicada. Por eso, en la última fila aparecen los piramidales
cuadrados (Enrique Pérez Herrero, Jan 15 2013)
Esta generación la usaremos más adelante.
CURIOSIDADES
Cuadrados que se ven en una cuadrícula.
Un acertijo muy popular consiste en saber ver todos los cuadrados
contenidos en una cuadrícula también cuadrada.
165
Para n=1 se ve 1 cuadrado, para n=2, 5 cuadrados, para n=3, 14,
luego son números piramidales cuadrangulares. Lo vemos: En la
cuadrícula de la imagen hay 36 cuadrados de una unidad, y de 2
unidades ha de haber 25, ya que se puede duplicar o copiar de cinco
formas distintas por filas o por columnas, y así, el de tres unidades se
copia 3*3=9 veces, hasta que llegamos al total del que sólo existe una
copia, luego S=36+25+16+9+4+1=91, que es la sexta pirámide
cuadrangular.
Permutaciones con el tercer elemento mayor o igual
Los números piramidales cuadrados coinciden también con las
variaciones de n elementos tomados de 3 en 3 con repetición,
considerando tan solo aquellas en las que el tercer elemento es mayor
o igual que los anteriores. En efecto, basta descomponer las
variaciones binarias en conjuntos según el máximo valor de sus
elementos. Lo aclaramos con un ejemplo. Imagina las variaciones
binarias de 6 elementos, 36 en total:
166
A cada una le hemos adosado el máximo valor que presenta. Tenemos
9 con el máximo 5, a las que solo podemos adosar como tercer
elemento otro 5. Después vemos 7 con máximo 4, que admiten una
ampliación con 2 elementos, el 4 y el 5. Para el 3 como máximo se
presentan 5 arreglos y se pueden ampliar con 3, 4 y 5. Resumiendo,
los posibles arreglos de tres elementos en los que el tercero sea mayor
o igual que los otros vendrán dados por este cálculo:
9*1+7*2+5*3+3*4+1*5=9+14+15+12+5=55=1+4+9+16+25. Nos ha
resultado PCUAD(5)
No hay nada sorprendente en esto, ya que hemos reproducido la
fórmula que demostramos más arriba:
𝑃𝐶𝑈𝐴𝐷(𝑛) = ∑ 𝑘(2𝑛 − 2𝑘 + 1)
𝑛
1
Con nuestra hoja Cartesius puedes comprobarlo
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrco
mb.htm#cartesius
Basta escribir las condiciones (en el ejemplo para n=5)
1 1 1
1 2 2
1 3 3
1 4 4
1 5 5
2 1 2
2 2 2
2 3 3
2 4 4
2 5 5
3 1 3
3 2 3
3 3 3
3 4 4
3 5 5
4 1 4
4 2 4
4 3 4
4 4 4
4 5 5
5 1 5
5 2 5
5 3 5
5 4 5
5 5 5
167
Obtendrás 55 para n=5. Puedes ir cambiando xt=1..5 por otro intervalo
y obtendrás el número piramidal correspondiente.
Suma de productos de cuadrados
Terminamos con otra propiedad curiosa, y es que el piramidal
PCUAD(n) es la raíz cuadrada de la suma de todos los cuadrados
(i*j)^2 en los que tanto i como j recorren los valores 1,2..n. Lo puedes
estudiar en este esquema:
En él hemos construido todos los cuadrados y hemos sumado los
valores inferiores a cada n en la fila de abajo. Se destaca en color el
caso n=5 para que lo sigas mejor. Al extraer la raíz cuadrada en la
parte inferior resultan los primeros piramidales cuadrados.
No es difícil razonarlo. Recorre la primera columna de las sumas, por
ejemplo la que tiene fondo de color. Sus sumandos 1+4+9+16+25
forman el piramidal cuadrado 55. La segunda equivale a la primera
multiplicada por 4, luego su suma será 55*4, y las siguientes 55*9,
55*16 y 55*25. Si sacamos factor común en las sumas resultará
55(1+4+9+16+25)=55*55, luego su raíz cuadrada será el piramidal
pedido.
De igual forma se puede razonar que si tomamos productos triples
(i*j*k)^3, su raíz cúbica será también igual al piramidal cuadrado
correspondiente.
168
Para terminar, una curiosidad: el único piramidal cuadrado que a su
vez es un cuadrado es el 4900.
PENTÁGONOS
Hoy desarrollaremos los piramidales pentagonales, que se forman
añadiendo a la unidad (el vértice de la pirámide) distintos números
pentagonales como si fueran cortes poligonales de la pirámide. Para
nosotros es preferible ver los piramidales como suma de pentagonales
sucesivos. Así, si estos forman la sucesión 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92,
117, 145,… http://oeis.org/A000326, los piramidales correspondientes
coincidirán con sus sumas parciales: 1, 6, 18, 40, 75, 126, 196,…
Los primeros piramidales pentagonales son:
1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800,
2176, 2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6348, 7200, 8125, 9126,
10206, 11368, 12615, 13950, 15376, 16896, 18513, 20230, 22050,
23976, 26011, 28158, 30420, 32800, 35301, 37926, 40678,…
http://oeis.org/A002411
Puedes usar nuestra calculadora calcupol para recorrerlos.
Descárgala, si lo deseas, desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#figurados
Para recorrer la sucesión basta fijar el tipo en Piramidal y el orden en
5. Después se escribe un 1 en pantalla y cada pulsación de la tecla
PROX nos devolverá un térmiuno nuevo de la sucesión.
En la imagen hemos llegado a 405:
169
Con la tecla ANT puedes retroceder, y entre ambas recorrer el rango
de términos que desees.
Fórmula
Los números piramidales pentagonales (PPENT) siguen una expresión
polinómica muy sencilla:
𝑃𝑃𝐸𝑁𝑇(𝑛) =𝑛2(𝑛 + 1)
2=
𝑛3 + 𝑛2
2
Esta fórmula se obtiene particularizando para 5 la general de los
piramidales:
𝑃𝐼𝑅(𝑛, 𝑘) =3𝑛2 + 𝑛3(𝑘 − 2) − 𝑛(𝑘 − 5)
6
𝑃𝑃𝐸𝑁𝑇(𝑛) =3𝑛2 + 𝑛3(5 − 2) − 𝑛(5 − 5)
6=
3𝑛3 + 3𝑛2
6=
𝑛3 + 𝑛2
2
Por tanto, podemos afirmar que los piramidales pentagonales son los
promedios entre el cuadrado y el cubo de un número. Por ejemplo:
405 es el piramidal pentagonal número 9, y se cumple que
405=(81+729)/2=810/2=405
Esto nos permite crear una tabla a partir de la sucesión de números
naturales:
170
También la fórmula obtenida descubre que una pirámide pentagonal de
lado k equivale a k veces el triangular del mismo lado. Por ejemplo, la
pirámide de lado 6, 126, es seis veces mayor que 21, que es el
triangular número 6.
Otra interpretación
El número piramidal pentagonal PPENT(n) equivale a la suma de los
n+1 múltiplos menores de n. En efecto, esos múltiplos serán n*0, n*1,
n*2,…n*n, y formarán progresión aritmética de diferencia n, luego su
suma será (n*0+n*n)*(n+1)/2 = (n^3+n^2)/2, que es la expresión
descubierta más arriba. Aquí tienes el esquema para PPENT(7)=196
Si extraemos factor común el 7, nos queda la suma 0+1+2+3+…que es
un número triangular, tal como vimos unos párrafos más arriba. Esto
nos descubre otra interpretación, y es que un número piramidal
pentagonal equivale a un “prisma” triangular de la misma altura.
171
Expresado como sumatorio:
𝑃𝑃𝐸𝑁𝑇(𝑛) = 𝑛 ∑ 𝑖
𝑛
𝑖=0
Recurrencia
Estos números presentan tantas formas de generación que el
procedimiento recurrente no es muy necesario. No obstante, existen
varias fórmulas de recurrencia. La más simple es
ppent(n) = 3*ppent(n-1) - 3*ppent(n-2) + ppent(n-3) + 3.
Es una recurrencia de tercer orden no homogénea. Se puede
demostrar con un simple desarrollo algebraico, si recordamos que
ppent(n)=(n^3+n^2)/2. Desarrollamos:
Ppent(n)=3((n-1)^3+(n-1)^2)/2-3((n-2)^3+(n-2)^2)/2+((n-3)^3+(n-
3)^2)/2+3
Si nos da pereza simplificar, podemos acudir a Wiris, wxMaxima u otro
similar. Usamos el segundo y obtenemos:
Como el resultado es (n^3+n^2)/2, hemos demostrado la recurrencia.
No es muy útil.
Cuestiones combinatorias
Es muy ilustrativo el estudio de algunas relaciones entre temas propios
de números enteros con otros combinatorios. Muchas sucesiones
poseen sentidos bastante simples si las estudiamos desde ese punto
de vista. Los piramidales pentagonales también las admiten.
172
Bolas y cajas
Imagina que disponemos de n bolas que deseamos guardar en n cajas,
pero con la caprichosa condición de que solo usaremos 2 de ellas,
dejando vacías las demás. En ese caso, el número de formas de
guardar esas bolas es PPENT(n-1)
Así que decidimos usar solamente dos cajas. En la imagen nos hemos
decidido por la 3 y la 6:
Nos comprometemos a guardar las n bolas en esas dos cajas. Es
evidente que tenemos n-1 posibilidades, si no deseamos que una
quede vacía: 1+(n-1), 2+(n-2), 3+(n-3), …(n-1)+1
Por otra parte, la elección de las cajas, que en nuestro ejemplo eran la
3 y la 6, se puede efectuar de C(n,2) formas, combinaciones de n cajas
tomadas de 2 en 2, es decir n(n-1)/2
Multiplicamos las formas de elegir dos cajas por las de rellenarlas, y
tenemos:
P= n(n-1)/2*(n-1)=(n^3-2n^2+n)/2
Esta expresión coincide con PPENT(n-1)=((n-1)^3+(n-1)^2)/2=(n^3-
2n^2+n)/2
Cadenas de caracteres
En esta cuestión imaginamos que formamos todas las palabras
posibles de tres caracteres en un alfabeto de n caracteres, y
consideramos iguales entre sí aquellas palabras que contienen los
mismos caracteres, pero invertidos.
Por ejemplo, supongamos las cinco letras A, B, C, D, E agrupadas en
palabras de tres AAA, ABC, CBD,… y consideramos idénticas las
inversas entre sí, como CBD, que la considaremos equivalente a DBC.
173
Con estas condiciones, el número de palabras con un alfabeto de n
caracteres será PPENT(n).
Tampoco es difícil de razonar: El número total de palabras será n*n*n,
pero estas se dividen en dos grupos:
Simétricas (capicúas o palindrómicas) que se contarán una vez. Su
número es n*n=n^2 (el tercer elemento está obligado)
No simétricas, cuyo número se ha dividir entre 2 para eliminar las
palabras simétricas entre sí. Como su número es (n*n*n-n*n), al dividir
entre 2 quedará (n*n*n-n*n)/2=n^2(n-1)/2
Sumamos ambos casos:
P=n^2+n^2(n-1)/2 = n^2(2+n-1)/2 = n^2(n+1)/2 =
(n^3+n^2)/2=PPENT(n)
Así hemos demostrado la equivalencia. Lo vemos con el caso n=5:
Con un alfabeto de 5 caracteres se forman 5*5*5=125 palabras, de las
que 5*5=25 son capicúas, y 125-25=100, no capicúas. Estas segundas
hay que contarlas una vez, luego dividimos entre 2, quedando 50.
Sumamos ambos casos y obtenemos 50+25=75, que es el quinto
número piramidal pentagonal.
HEXÁGONOS Y OCTÓGONOS
Quienes sigáis esta serie sobre números piramidales adivinaréis que
los de tipo hexagonal son suma de los primeros números poligonales
hexagonales, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325,…
Ve acumulando sumas y obtendrás los piramidales hexagonales
(PHEX):
1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925, 2360,
2856, 3417, 4047, 4750, 5530, 6391, 7337, 8372,…
http://oeis.org/A002412
174
Con nuestra calculadora Calcupol puedes también recorrerlos.
Descárgala desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#figurados
Fija el tipo en Piramidal de orden 6, escribe un 1 en pantalla y pulsa
reiteradamente la tecla PROX. Así los obtendrás uno a uno. En la
imagen hemos llegado hasta el 525.
Como todos los números piramidales, estos poseen una expresión
polinómica que los genera. En este caso es
PHEX(n) = n(n + 1)(4n - 1)/6
Esta fórmula se obtiene particularizando para 6 la general de los
piramidales:
𝑃𝐼𝑅(𝑛, 𝑘) =3𝑛2 + 𝑛3(𝑘 − 2) − 𝑛(𝑘 − 5)
6
𝑃𝐻𝐸𝑋(𝑛) =3𝑛2 + 4𝑛3 − 𝑛
6=
𝑛(𝑛 + 1)(4𝑛 − 1)
6
Lo podemos comprobar, por ejemplo, para n=6, y nos queda:
PHEX(6)=6*7*23/6=161, como era de esperar.
Recurrencias
Estos números presentan varias formas de generación por recurrencia.
La más práctica es la siguiente:
a(n) = 3*a(n-1) - 3*a(n-2) + a(n-3) + 4.
175
Podemos organizarlo según esta tabla, que iniciamos con 1, 7, 22. En
cada fila añadimos un elemento nuevo calculado mediante la
recurrencia:
Como suma
De diferencias de cuadrados
La definición de los números figurados mediante acumulación de otros
más simples hace que sean frecuentes las generaciones mediante
sumas de elementos. En el caso de los piramidales hexagonales basta
acumular diferencias de cuadrados entre un número natural N y todos
los menores que él. Lo puedes ver en esta tabla:
Por ejemplo, 50 es igual a 4^2-0^2+4^2-1^2+4^2-2^2+4^2-3^2
Se puede desarrollar algebraicamente, si recuerdas la fórmula para la
suma de los primeros cuadrados:
S = n2-02+n2-12+n2-22+n2-32+…n2-(n-1)2 = n3-n(n-1)(2n-1)/6 = n(n+1)(4n-
1)/6
Hemos desembocado en la fórmula de los piramidales hexagonales, lo
que demuestra la propiedad.
176
De números naturales impares
Todos los números piramidales hexagonales son suma de triangulares
impares. Así, el tercero a(3) = t(1)+t(3)+t(5) = 1+6+15 = 22
Algebraicamente:
1*2/2+3*4/2+5*6/2+…(2n-1)n, expresada como sumatorio queda:
∑(2𝑛 − 1)𝑛 = 2 ∑ 𝑛2 − ∑ 𝑛
𝑛
1
= 2𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
𝑛
1
𝑛
1
−𝑛(𝑛 + 1)
2
Si desarrollas llegarás a la fórmula del piramidal hexagonal:
PHEX(n)=n(n+1)(4n-1)/6
Relación con números combinatorios
El denominador 6 de la fórmula de los piramidales hexagonales sugiere
su relación con números combinatorios de índice inferior igual a 3, y,
en efecto, existen esas relaciones:
𝑃𝐻𝐸𝑋(𝑛) = (𝑛 + 2
3) + 3 (
𝑛 + 13
)
Lo desarrollamos:
C(n+2,3)+3C(n+1,3)=(n+2)(n+1)n/6+3(n+1)n(n-1)/6=n(n+1)/6*(n+2+3n-
3)=n(n+1)(4n-1)/6
Es un simple identidad algebraica.
Otra relación:
𝑃𝐻𝐸𝑋(𝑛) = (4𝑛 − 1)(
𝑛 + 12
)
3
Es también una identidad algebraica sencilla.
177
Fin de la serie
No podemos extender en demasía la exposición de números
piramidales. Terminamos con una breve referencia a los octogonales.
Como todos los anteriores, los piramidales octogonales resultan de la
suma de los poligonales del mismo número de lados. Por ejemplo, la
pirámide octogonal de índice 5 resultará de la suma:
1+8+21+40+65=135
Los primeros octogonales son:
1, 9, 30, 70, 135, 231, 364, 540, 765, 1045, 1386, 1794, 2275, 2835,
3480, 4216, 5049, 5985, 7030, 8190, 9471, 10879,…
http://oeis.org/A002414
Su fórmula: a(n)=n(n+1)(2n-1)/2
Por ejemplo, a(7)=7*8*13/2=28*13=364
NÚMEROS PIRAMIDALES DE CUATRO
DIMENSIONES
Números figurados e interpolación polinómica
Los desarrollos sobre números piramidales estudiados hasta ahora
contenían siempre una fórmula polinómica para expresar cada término
de la sucesión. Por ello parece conveniente presentar un método
general para la obtención de esas fórmulas. Disponemos para ello de
la teoría de la interpolación polinómica, en la que elegiremos el método
de Newton, y una hoja de cálculo que nos facilitará las cosas.
178
Teoría
Los conceptos y métodos de la interpolación polinómica los puedes
encontrar en cualquier texto del primer ciclo de estudios universitarios.
Todos se basan en el cálculo con diferencias sucesivas. En nuestro
caso nos limitaremos a la suma de funciones enteras definidas
sobre los primeros números naturales, lo que simplifica mucho los
cálculos.
Por ejemplo, imaginemos que deseamos sumar los primeros números
oblongos: 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6,…o bien, 2, 6, 12, 20, 30,…Queremos
obtener una expresión para 2+6+12+20+30+…
En las técnicas de interpolación que usaremos, la primera operación es
la obtención de las diferencias sucesivas, es decir, diferencias entre los
elementos, diferencias entre las diferencias, y así sucesivamente hasta
(en el caso polinómico) que sean todas iguales. Lo intentamos con el
ejemplo. En primer lugar encontramos las sumas parciales de
oblongos: 2, 2+6=8, 2+6+12=20,…que serían 2, 8, 20, 40, 70, 112,
168, 240,…
Lo puedes organizar con una hoja de cálculo:
La siguiente imagen, tomada de nuestra hoja newton.xls, puedes
entender muy bien el concepto de diferencias sucesivas. En primer
lugar hemos escrito nuestra sucesión: 2, 8, 20, 40, 70, 112,
168,…Después hemos ido restando cada elemento con el siguiente: 6,
12, 20, 30, 42, 56,…(resultan ser los oblongos). A continuación hemos
restado esas diferencias: 6, 8, 10, 12, 14,…entre sí, y al final en otra
resta, hemos llegado a 2, 2, 2,…Esa es la señal de que esos números
siguen una expresión polinómica, el que las diferencias se hagan
iguales y las siguientes nulas.
179
Como aquí las diferencias constantes se alcanzan en tres pasos, la
fórmula que buscamos será un polinomio de tercer grado. Lo
repasamos en teoría:
Fórmula de interpolación de Newton
Cuando en un proceso se llega a diferencias constantes, sabemos que
es posible expresar la sucesión dada mediante un polinomio
dependiente del número de orden. La fórmula hallada por Newton es
algo compleja en el caso general, en el que hay que usar diferencias
divididas, pero se simplifica bastante en el caso de un polinomio
aplicado al conjunto 1, 2, 3, 4,…Sería esta:
𝑃(𝑥) = 𝑎0 + 𝑑1(𝑥 − 1) +𝑑2(𝑥−1)(𝑥−2)
2!+
𝑑3(𝑥−1)(𝑥−2)(𝑥−3)
3!+…
En ella a0 es el primer término, d1 la primera diferencia, d2 la primera de
las segundas diferencias, y así sucesivamente. En nuestro caso sería:
P(x)=2+6(x-1)+6(x-1)(x-2)/2!+2(x-1)(x-2)(x-3)/3!
Reduciendo a común denominador y simplificando:
𝑃(𝑥) =2𝑥3 + 6𝑥2 + 4𝑥
6=
𝑥3 + 3𝑥2 + 2𝑥
3
Lo hemos comprobado con la hoja de cálculo. Observa la coincidencia
de los valores en rojo:
180
Como ves, lo que es más complicado es la simplificación, pero el
método es simple: encontrar diferencias sucesivas hasta que se
estabilicen, y aplicar la fórmula de interpolación simplificada para los
puntos de apoyo 1, 2, 3, 4,…
Todo esto puedes reproducirlo con nuestra hoja de cálculo newton,
que puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#newton
Recuerda que sólo te vale para sumas definidas sobre los primeros
naturales. Basta escribir los valores de la sucesión en la segunda fila
y leer los coeficientes (en forma de fracción) más abajo:
Es fácil de interpretar (de derecha a izquierda): 2/1 es el coeficiente de
1, 6/1 el de (x-1), 6/2 para (x-1)(x-2) y, finalmente, 2/6 para (x-1)(x-2)(x-
3). Después vendría la simplificación, pero si quieres ahorrártela, la
hoja dispone del cálculo para un valor concreto. Por ejemplo, ¿cuánto
suman los diez primeros oblongos? Para ello dispones de las celdas
adecuadas
181
La respuesta es 440. Hay que advertir que puede producir pequeños
errores para índices grandes, por lo que se aconseja comprobar.
Si deseas evitarte la simplificación puedes acudir a un CAS. Nosotros
hemos usado wxMaxima para obtener el resultado previsto:
Otro paso sería el intentar, si es posible, buscar una interpretación al
resultado obtenido. En nuestro caso es fácil ver que, para x mayor o
igual a 3, se reduce a
𝑃(𝑥) = 2 (𝑛3
)
Este proceso se puede repetir para números poligonales, piramidales o
poligonales centrados (y otros similares que nos inventemos), porque
todos se basan en sus definiciones en la acumulación de sumas, lo
que garantiza que la fórmula buscada es de tipo poligonal.
Otro ejemplo
Sabemos que los números piramidales triangulares se construyen
sumando los triangulares, y estos, a su vez, acumulando los naturales.
Con un sencillo esquema los identificamos:
182
Luego los primeros piramidales son 1, 4, 10, 20,….Los volcamos en la
hoja newton para descubrir sus diferencias y los coeficientes de
interpolación:
Las diferencias son 1, 3, 3 y 1, y con ellas se construyen los
coeficientes 1/1, 3/1, 3/2 y 1/6. Rellenamos la fórmula de interpolación
y queda:
P(x)=1+3(x-1)+3/2(x-1)(x-2)+1/6(x-1)(x-2)(x-3)
Simplificamos con wxMaxima:
Coincide con la que se obtuvo para los números tetragonales (o
piramidales triangulares)
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-
tetraedros.html
𝑇𝐸𝑇(𝑛) = 𝑃𝐼𝑅(𝑛, 3) =3𝑛2 + 𝑛3 + 2𝑛
6=
𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
6
Con lo aprendid estamos preparados para saltar a la cuarta o quinta
dimensión, y sumar números piramidales consecutivos.
183
NÚMEROS PIRAMIDALES DE CUATRO
DIMENSIONES
Si has seguido los desarrollos anteriores sobre números piramidales
(escribe “piramidales” en la casilla de búsqueda) sabrás que estos
números se generan mediante sumas parciales en una sucesión de
dimensión inferior.
Así, los tetraedros se generan sumando números triangulares. Estos, a
su vez, mediante números lineales. Las pirámides cuadradas se
obtienen sumando cuadrados, y los de tipo poligonal sumando los de
dos dimensiones del mismo número de lados.
Si sumamos números piramidales, obtendremos piramidales de cuatro
dimensiones. Por ejemplo, los piramidales cuadrados son 1, 5, 14, 30,
55, 91, 140, 204
(ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/05/numeros-
piramidales-3-cuadrados.html)
Formamos con ellos sumas parciales: 1, 1+5, 1+5+14, 1+5+14+30,… y
obtenemos:
1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540,…
Estos será, pues, los piramidales cuadrados de cuatro dimensiones.
http://oeis.org/A002415
A partir de ahora iremos recorriendo los piramidales de cuatro
dimensiones según su número de lados. En todos ellos comenzaremos
con sumas parciales en piramidales de tres dimensiones, obtendremos
su fórmula polinomial y terminaremos con curiosidades y
equivalencias. Comenzamos con triangulares:
184
Tetraedros de cuatro dimensiones
Estudiamos anteriormentelos tetraedros de tres dimensiones.
Vimos que la sucesión de los mismos comienza con
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220,…
Si procedemos a formar sumas parciales, obtendremos los tetraedros
de cuatro dimensiones:
1, 1+4, 1+4+10, 1+4+10+20, 1+4+10+20+35,…. Es decir, 1, 5, 15, 35,
70, 126, 210,…
Los primeros términos de la sucesión de números de este tipo son:
1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, 1001, 1365, 1820, 2380,
3060, 3876, 4845, 5985, 7315, 8855,…, y están recogidos en
http://oeis.org/A000332 con otra definición, coincidente, como veremos,
salvo algunos ceros.
Los nombraremos como PIR3_4(n), donde 3 es el número de lados, 4
la dimensión y n el número de orden. Así 210=PIR3_4(7).
Obtención de la fórmula polinomial
Ya estudiamos este procedimiento en una anteriormente
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/09/numeros-figurados-e-
interpolacion.html
Consiste en usar la fórmula de interpolación de Newton aplicada a los
primeros números. Remitimos a la entrada enlazada para seguir el
procedimiento. En primer lugar escribimos los primeros términos 1, 5,
15, 35, 70,… y obtenemos sus diferencias sucesivas:
185
Observamos que son nulas las diferencias de orden 5, luego el
polinomio que buscamos es de cuarto grado. Sus coeficientes los
leemos más abajo:
Por tanto, el polinomio buscado será
1+4(x-1)+3(x-1)(x-2)+2(x-1)(x-2)(x-3)/3+(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)/24
Podemos acudir a wxMaxima para simplificar:
O bien con la web https://www.wolframalpha.com, obtenemos el mismo
polinomio:
Con el comando factor de wxMaxima factorizamos:
Esta es la fórmula más práctica para obtener los tetraedros de cuatro
dimensiones, que, es fácil verlo, coincide con:
186
𝑃𝐼𝑅3_4(𝑛) = (𝑛 + 3
4)
En toda esta serie nos aparecen números combinatorios, y es porque
se pueden localizar los piramidales en el triángulo de Pascal
En la imagen están destacados los triangulares, los tetraedros de tres
dimensiones y los de cuatro, que son suma de los anteriores.
Interpretaciones
Los tetraedros de cuatro dimensiones coinciden con las intersecciones
de las diagonales de un polígono convexo, siempre que no concurran
más de dos diagonales en el mismo punto. Por eso debemos elegir
polígonos no regulares, como el de la figura
En él está representado el número 35, como las intersecciones (en
color verde) en un heptágono. El 35 es el cuarto tetraedro de cuatro
dimensiones, y le corresponde el polígono de tres lados más. Esto es
por el n+3 que figura en la fórmula general.
He encontrado una explicación muy sencilla debida a Ignacio Larrosa
@ilarrosac: Si el polígono es irregular, cada cuatro vértices formarán
un cuadrilátero convexo distinto, y sus diagonales producen un único
187
punto de intersección. Por tanto, el número de ellos coincidirá con el de
combinaciones de n+3 lados tomados de 4 en 4. Muy elegante.
También se debe a Ignacio Larrosa la siguiente interpretación:
El número piramidal triangular de cuatro dimensiones de orden n
coincide con todos los triángulos equiláteros que se pueden dibujar
uniendo tres puntos de una matriz que rellena otro triángulo equilátero
de lado n+1.
En la figura puedes ver uno de esos triángulos.
La idea de Ignacio Larrosa consiste en que cada triángulo tiene sus
vértices en los lados de otro mayor que sigue la orientación de la
matriz triangular, y que basta contar estos últimos y también todos los
triángulos de cualquier orientación que se inscriben en ellos.
En la imagen hemos destacado en azul el equilátero orientado que
contiene al elegido en primer lugar. Nos dedicamos a contar:
Número de triángulos orientados de lado k
Es un problema muy estudiado. En la imagen, el número de triángulos
similares al dibujado es 1+2=3. Si tuviera una celda menos de lado su
número sería 1+2+3=6, y así hasta los de lado 1, cuyo número sería
188
1+2+3+4+5+6=21, todos números triangulares. En general, el número
de triángulos orientados de lado k en una matriz de lado n sería T(n-
k+1), siendo T el triangular de ese orden.
Número de triángulos contenidos en un orientado
Basta deslizar el primer vértice (por ejemplo el que cae a la izquierda)
a lo largo de su lado, y los demás se situarán en un punto fijado sin
ambigüedad. En el ejemplo se podrían inscribir cuatro.
Es fácil ver que, en general, se pueden inscribir k-1 triángulos.
Con estos dos datos se pueden contar todos los equiláteros posibles
mediante una suma de productos. Para n=6, caso del ejemplo sería:
S=1*5+3*4+6*3+10*2+15*1=5+12+18+20+15=70, que es el piramidal
de orden 5.
Para un estudio general puedes consultar
http://people.missouristate.edu/lesreid/sol03_01.html
Recurrencia
Es fácil ver, según la fórmula general, que
PIR3_4(N)=PIR3_4(N-1)*(N+3)/(N-1)
En efecto:
𝑃𝐼𝑅3_4(𝑛) =𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)(𝑛 + 3)
24
189
𝑃𝐼𝑅3_4(𝑛 − 1) =(𝑛 − 1)𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)
24
Luego basta multiplicar por n+3 y dividir entre n-1 para pasar de uno a
otro.
Por ejemplo: 70*9/5=14*9=126
PIRÁMIDES CUADRANGULARES EN CUATRO
DIMENSIONES
Pirámides cuadrangulares
De la misma forma, si tomamos la sucesión de números piramidales
cuadrados de tres dimensiones
(ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/05/numeros-
piramidales-3-cuadrados.html), podemos ir obteniendo sus sumas
parciales.
Estos son los números piramidales cuadrados:
1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240,
1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201,
6930, 7714, 8555, 9455,…
Formamos sus sumas parciales:
1, 6, 20, 50, 105, 196, 336, 540, 825, 1210, 1716, 2366, 3185, 4200,
5440, 6936, 8721, 10830, 13300, 16170, 19481, 23276, 27600,…
Se obtienen así: 1=1, 1+5=6, 1+5+14=20, 1+5+14+30=50,…
Esta será la sucesión de números piramidales cuadrados de cuatro
dimensiones. Los nombraremos como PIR4_4(n)
Los tienes publicados en http://oeis.org/A002415
Obtención de la fórmula polinomial
190
Ya estudiamos este procedimiento anteriormente en
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/09/numeros-figurados-e-
interpolacion.html
Consiste en usar la fórmula de interpolación de Newton aplicada a los
primeros números naturales. Remitimos a la entrada enlazada para
seguir el procedimiento. En primer lugar escribimos los primeros
términos 1, 6, 20, 50, 105, 196, 336,… y obtenemos sus diferencias
sucesivas de forma automática:
Como las quintas diferencias son nulas, el polinomio interpolador será
de cuarto grado. Los coeficientes los tienes en la parte baja en forma
de fracción. Así quedaría:
1+5(x-1)+9/2(x-1)(x-2)+7/6(x-1)(x-2)(x-3)+2/24(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
Lo podemos simplificar con wxMaxima:
O en la web de Wolfram Alpha, obteniendo el mismo resultado:
191
Hay que tener en cuenta que esta expresión es válida si se comienza
la sucesión en 1. Podrás encontrar otras distintas cuando el inicio
contenga ceros.
La comprobamos, por ejemplo para n=5 y n=6:
PIR4_4(5)=5*6^2*7/12=105
PIR4_4(6)=6*7^2*8/12=4*49=196
Expresión con números combinatorios:
Todos los números figurados se pueden expresar mediante números
combinatorios de una forma más o menos compleja. En este caso
disponemos de dos expresiones
𝑃𝐼𝑅44(𝑛) = 2 (𝑛 + 3
4) − (
𝑛 + 23
)
(n+3)(n+2)(n+1)n/12-(n+2)(n+1)n/6=(n+2)(n+1)n((n+3)/12-
1/6)=n(n+2)(n+1)^2/12, que coincide con la fórmula obtenida más
arriba. Podemos comprobarlo también con la función COMBINAT de
las hojas de cálculo:
Para n=6 tendríamos =2*COMBINAT(9;4)-COMBINAT(8;3)=196
Coincide con el resultado obtenido anteriormente.
Puedes probar también con esta otra:
𝑃𝐼𝑅44(𝑛) = (𝑛 + 3
4) + (
𝑛 + 24
)
Así, PIR4_4(7)=COMBINAT(10;4)+COMBINAT(9;4)=336, que es su
valor correcto.
No es difícil comprobar la equivalencia de ambas expresiones
combinatorias.
En la siguiente imagen del triángulo de Pascal hemos rodeado de
círculos estos números combinatorios que sirven de sumandos:
192
Podemos sumar cada uno con el siguiente y resultarán piramidales
cuadrados de 4 dimensiones:
1+5=6; 5+15=20; 15+35=50; 35+70=105;
Interpretación geométrica
Al igual que ocurría con las pirámides triangulares y los triángulos,
estos números pueden representar el número de cuadrados que se
pueden dibujar en una rejilla cuadrada de n vértices, si sus lados no
son paralelos a los de la rejilla. En la imagen hemos representado
cuatro de ellos.
Podemos razonar de un modo similar al que usamos con triángulos.
En primer lugar contaremos los cuadrados que se pueden dibujar si
sus lados han de ser paralelos a las líneas de la rejilla. Por ejemplo, en
la imagen se pueden dibujar 36 cuadrados de lado 1, 25 de lado 2, 16
de 3, y así hasta el cuadrado total que sería uno solo. Por tanto, el
número de cuadrados de lados paralelos sería 1+4+9+16+25+36=91.
Resulta ser equivalente a un número piramidal cuadrado de índice 6.
En efecto, puedes repasar la definición y fórmulas en
193
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/05/numeros-piramidales-3-
cuadrados.html
Dentro de cada cuadrado de lado k en posición paralela se pueden
dibujar k-1 cuadrados de los que nos interesan
En el caso del lado seis, podemos acumular los cuadrados según el
número de lados, y obtendríamos:
36*0+25*1+16*2+9*3+4*4+1*5=105=PIR4_4(5)
Con cinco lados obtendríamos un resultado similar:
25*0+16*1+9*2+4*3+1*4=50=PIR4_4(4)
La demostración general supone mucho cálculo algebraico que nos da
pereza abordar.
OTROS NÚMEROS PIRAMIDALES DE
CUATRO DIMENSIONES
Generación directa
Partimos de los piramidales pentagonales de tres dimensiones:
1, 6, 18, 40, 75, 126, 196, 288, 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800,
2176, 2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6348, 7200, 8125,…
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/06/numeros-piramidales-4-
pentagonos.html
194
Como en casos anteriores, construimos las sumas parciales: 1, 1+6=7,
1+6+18=25, 1+6+18+40=65,…y obtenemos:
1, 7, 25, 65, 140, 266, 462, 750, 1155, 1705, 2431, 3367, 4550, 6020,
7820, 9996, 12597, 15675, 19285, 23485, 28336, 33902,…
Estos serán, pues los piramidales pentagonales de cuatro
dimensiones. Los puedes estudiar en
http://oeis.org/A001296
Expresión algebraica
Lo que sigue lo hemos aplicado en bastantes números figurados, por lo
que simplificaremos las explicaciones. En primer lugar, abrimos
nuestro interpolador para números naturales
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#newton
Escribimos en él los primeros términos de la sucesión que hemos
formado.
Leemos los coeficientes de (x-1), (x-1)(x-2), (x-1)(x-2)(x-3),…y
formamos el polinomio interpolador, que según la anulación de
diferencias quintas, será de cuarto grado:
195
1+6*(x-1)+6*(x-1)*(x-2)+10/6*(x-1)*(x-2)*(x-3)+3/24*(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-
4)
Lo simplificamos en la página de WolframAlpha y obtenemos
Expresión que coincide con una de las contenidas en
https://oeis.org/A001296
Son números de Stirling
Los pentagonales que estamos estudiando son un caso particular de
los números de Stirling de segunda clase para los índices (n+2,n),
como puedes ver en los elementos subrayados de nuestra tabla
(La tienes alojada en
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrco
mb.htm#nume)
Si deseas conocer mejor estos números puedes acudir a
https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_de_Stirling_de_segunda
_especie
196
Relación con números triangulares
En https://oeis.org/A001296 figura una propiedad interesante, debida a
Jon Perry, y es que cada número piramidal pentagonal de cuatro
dimensiones es suma de números triangulares multiplicado cada uno
por su número de orden, es decir:
𝑃𝐼𝑅5_4(𝑛) = ∑ 𝑗 × 𝑇(𝑗)
𝑛
𝑗=1
Esto se cumple para los primeros términos. Si tomamos los
triangulares 1, 3, 6, 10, 15,…y formamos las sumas 1*1=1, 1*1+2*3=7,
1*1+2*3+3*6=25, 1*1+2*3+3*6+4*10=65,…y comprobamos que se
cumple para los primeros términos. Acudimos a la inducción completa.
Bastará demostrar que PIR5_4(n+1)-PIR5_4(n) = (n+1)*T(n+1). En
efecto, es cuestión de Álgebra:
PIR5_4(n+1)-PIR5_4(n)=((n+1)(n+2)(n+3)(3(n+1)+1)-
n(n+1)(n+2)(3n+1))/24
Simplificamos y queda:
PIR5_4(n+1)-
PIR5_4(n)=(n+1)(n+2)(12n+12)/24=(n+1)(n+1)(n+2)/2=(n+1)T(n+1)
Luego la propiedad es extensible a todos los términos.
En la misma página de OEIS, J. M. Bergot interpreta esta propiedad
como la suma de todos los productos de dos elementos del conjunto
{1, 2, …, n} tomados de todas las formas posibles, sin tener en cuenta
el orden). Por ejemplo, 1*1 + 1*2 + 1*3 + 2*2 + 2*3 + 3*3 = 25.
Es sencillo de comprender, ya que si desarrollamos la suma de cada
triangular por su número de orden, basta recordar que cada triangular
es suma de números consecutivos, luego la suma queda:
1*T(1)+2*T(2)+3*T(3)+4*T(4) =
1*1+2(1+2)+3*(1+2+3)+4*(1+2+3+4)+…
197
Se ve que en la suma están contenidos todos los productos de cada
número natural por sus precedentes, tal como afirma J. M. Bergot.
Es un buen ejercicio de hoja de cálculo construir una tabla que refleje
este resultado. Hay que manejar bien las referencias absolutas y
relativas. Un buen ejercicio de aprendizaje.
En la tabla que hemos construido se destaca el conjunto de sumandos
que forman el piramidal pentagonal 140:
Piramidales hexagonales
Según nuestra política de no cansar con los temas, a los piramidales
hexagonales les dedicaremos menos espacio y con ellos terminaremos
el recorrido por los que tienen cuatro dimensiones.
Las operaciones que hay que realizar son:
(1) Acumulación de piramidales hexagonales de tres dimensiones
Partimos de los piramidales hexagonales de tres dimensiones:
1, 7, 22, 50, 95, 161, 252, 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925, 2360,
2856, 3417, 4047, 4750, 5530, 6391, 7337, 8372,…
(Ver http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/07/numeros-
piramidales-5-hexagonos.html)
Los acumulamos en sumas parciales:
198
1, 1+7=8, 1+7+22=30, 1+7+22+50=80,…
Nos resultarán así los números piramidales hexagonales de cuatro
dimensiones:
1, 8, 30, 80, 175, 336, 588, 960, 1485, 2200, 3146, 4368, 5915, 7840,
10200, 13056, 16473, 20520, 25270, 30800,…
Los tienes publicados en http://oeis.org/A002417
(2) Obtención de la fórmula algebraica
También para estos números usamos nuestro interpolador
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#newton
Como ya lo hemos desarrollado para otros tipos de números, sólo
insertaremos el volcado de pantalla:
Como en otras ocasiones, observamos la anulación de las diferencias
quintas y copiamos los coeficientes del polinomio en la parte inferior.
1+7*(x-1)+15/2*(x-1)*(x-2)+13/6*(x-1)*(x-2)*(x-3)+4/24*(x-1)*(x-2)*(x-
3)*(x-4)
Simplificamos la expresión en la página de WolframAlpha y nos
devuelve cuatro variantes:
199
Aunque la cuarta es la más sintética a efectos de cálculo, nos
quedamos con la primera, porque se puede interpretar en términos de
número combinatorio:
𝑃𝐼𝑅64(𝑛) = 𝑛 (𝑛 + 2
3)
Una curiosa propiedad
Según un comentario de Floor van Lamoen en la página OEIS donde
vienen publicados, se cumple que PIR6_4(n) es la suma de todos los
números que no pueden expresarse de la forma t*(n+1) + u*(n+2) con
t, u enteros no negativos. Desconocemos la demostración de este
hecho, pero nos va a servir para repasar unos conceptos que
desarrollamos en una entrada de este blog
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2010/02/frobenius-y-los-
mcnuggets.html
Según el vocabulario introducido en esa entrada, lo que afirma Floor
van Lamoen es que los números que estamos estudiando son suma
de aquellos que no son representables respecto al conjunto
{n+1,n+2}. En la entrada citada llamábamos número de Frobenius al
máximo número no representable para un conjunto. En el caso de dos
números coprimos a y b, ese número equivale a a*b-a-b. Esto nos
200
garantiza que la suma de no representables es finita, y que, por tanto,
puede coincidir con un número de nuestra lista.
En este caso particular, el número de Frobenius para {n+1,n+2} será
(n+1)*(n+2)-(n+1)-(n+2)=n2+n-1
En el caso de n=7, ese número será igual a 7^2+7-1=55. Quiere decir
que los números no representables respecto al conjunto {8,9} serán no
mayores que 55. En efecto, los hemos buscado con hoja de cálculo y
resultan ser
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20, 21, 22, 23, 28, 29, 30,
31, 37, 38, 39, 46, 47, 55
Su suma es 588, que coincide con PIR6_4(7), como puedes comprobar
en la lista de arriba.
Podemos repetir esta comprobación para cualquier otro valor. Para ello
necesitamos una función que nos devuelva VERDADERO si un
número n es representable respecto al conjunto {a,b}. Puede ser esta:
Function sumamult(n, a, b) As Boolean ‘Investiga si n=t*a+u*t
Dim i, p, q
Dim es As Boolean
es = False
i = 0 ‘Recorrerá los posibles múltiplos de a
While i <= n And Not es
p = i / a: q = (n - i) / b ‘Encuentra los posibles valores de t y u
If p = Int(p) And q = Int(q) Then ‘Si ambos t y u son enteros, es
representable
es = True
End If
i = i + 1
Wend
sumamult = es
End Function
201
Con esta función no es difícil sumar los no representables para un
número dado:
Function suma_no_repr(n)
Dim i, s
s = 0
For i = 1 To n * n + n – 1 ‘Busca hasta el número de Frobenius
If Not sumamult(i, n + 1, n + 2) Then s = s + i ‘Si no es representable,
lo suma
Next i
suma_no_repr = s
End Function
Efectivamente, con ella se reproduce la lista de los piramidales
hexagonales de cuatro dimensiones:
Esto ocurre a menudo en las pequeñas investigaciones matemáticas,
que aparecen conexiones inesperadas, como nos ha ocurrido aquí. Era
difícil imaginar una conexión de números piramidales con el número de
Frobenius.
202
Otros números piramidales de cuatro dimensiones
Dejamos aquí el estudio pormenorizado de este tipo de números. Si
deseas avanzar en el número de lados puedes usar este polinomio que
los genera, en el que n es la longitud (en número de puntos) de cada
lado y k el número de lados de la base:
𝑃𝐼𝑅𝐾4(𝑛) =𝑛(𝑛 + 1)(𝑛 + 2)((𝑘 − 2)𝑛 + (6 − 𝑛))
24
Si vas particularizando este polinomio para los valores de k 3, 4, 5 y 6
resultarán las expresiones que hemos estudiado ya. Por ejemplo, para
los que acabamos de estudiar:
K=5: n(n+1)(n+2)(3n+1)/24, tal como hemos obtenido en párrafos
anteriores
K=6: n(n+1)(n+2)(4n)/24, que al simplificar coincide con la que se
presentó más arriba.
También podemos expresar la fórmula general así:
𝑃𝐼𝑅𝐾4(𝑛) = (𝑛 + 2
3)
(𝑘 − 2)𝑛 + (6 − 𝑛)
4
Veamos algunos ejemplos:
K=7
Resultan los piramidales heptagonales de cuatro dimensiones:
1, 9, 35, 95, 210, 406, 714, 1170, 1815,… http://oeis.org/A002418
K=8
1, 10, 40, 110, 245, 476, 840, 1380, 2145,… http://oeis.org/A002419
K=9
1, 11, 45, 125, 280, 546, 966, 1590, 2475,… http://oeis.org/A051740
De esta forma podemos ir aumentando el número de lados, pero cada
vez serán menos interesantes.
203
NÚMEROS PIRAMIDALES CENTRADOS
En este capítulo generaremos números piramidales a partir de los
poligonales centrados.
Al igual que los números poligonales centrados se formaban
acumulando contornos de polígonos o de múltiplos de un número,
podríamos también acumular estos números poligonales centrados
mediante sus sumas parciales. Estas sumas se pueden representar
como niveles dentro de una pirámide centrada. Lo vemos en la imagen,
que representa las pirámides centradas de tres lados que
estudiaremos a continuación:
Son pirámides que contienen en el interior de sus bases los polígonos
anteriores.
Pirámides triangulares centradas
Siguiendo un proceso similar al de casos anteriores, partimos de los
números triangulares centrados
204
1, 4, 10, 19, 31, 46, 64, 85, 109, 136, 166, 199, 235, 274, 316, 361,
409, 460, 514, 571, 631, 694, 760, 829, 901,…, ya estudiados en las
entradas referidas y en http://oeis.org/A005448
Los acumulamos mediante sumas parciales:
1, 1+4=5, 1+4+10=15, 1+4+10+19=34,… y así hasta completar. De
esta forma se generarán los piramidales triangulares centrados
1, 5, 15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, 1105, 1379, 1695,
2056, 2465, 2925, 3439, 4010, 4641, 5335, 6095, 6924, 7825, 8801,
9855, 10990, 12209, 13515, 14911, 16400, 17985, 19669,…
http://oeis.org/A006003
Los tres primeros se corresponden con la imagen del primer párrafo.
En este caso también podemos usar el interpolador de Newton para los
primeros números naturales, que puedes descargar desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#newton
Rellenamos los valores de la función con los primeros términos 1, 5,
15, 34, 65, 111, 175 y leemos los coeficientes en la parte inferior:
205
El polinomio interpolador será
1+4(x-1)+3(x-1)(x-2)+(x-1)(x-2)(x-3)/2
Simplificamos mediante la web de Wolfram|Alpha y obtenemos
𝑃𝐼𝑅𝐶3(𝑛) =𝑛(𝑛2 + 1)
2
Este es un caso particular de la fórmula contenida en el libro Figurate
Numbers, de Elena Deza y Michel Deza, que sólo incluimos como
comprobación, ya que nos interesa la generación de cada caso
particular. Es esta:
𝑃𝐼𝑅𝐶𝑚(𝑛) =𝑚𝑛3 + (6 − 𝑚)𝑛
6
Particularizando para m=3 resulta la que hemos obtenido.
Por ejemplo, PIRC3(9)=9*82/2=369, que es el noveno término de
nuestra lista de más arriba.
La expresión que hemos obtenido coincide con la que figura en
http://oeis.org/A006003
Uso de Calcupol
Pasamos a usar nuestra calculadora Calcupol,
(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
206
m#figurados) cuyas prestaciones hemos ampliado con la inserción de
una nueva tecla que gestiona estas pirámides centradas
Su funcionamiento es similar a las dedicadas a números poligonales y
otros piramidales: escribimos el orden m (que en este caso valdría 3),
después pulsamos la tecla PIRC con el ratón, escribimos el valor de n,
por ejemplo 7, y terminamos con la tecla =. Nos resultaría, en este
caso del 7, el valor de 175, que coincide con el séptimo término de la
sucesión que estamos estudiando:
Propiedades
Desarrollamos a continuación algunas propiedades de estos números.
Comenzamos con una de Felice Russo incluida en
http://oeis.org/A006003
Se expresa así:
Si escribimos los números naturales en grupos de longitud progresiva
desde el 1, es decir, formamos: 1; 2,3; 4,5,6; 7,8,9,10;… y sumamos
cada grupo, obtenemos los piramidales que estamos estudiando:
1=1
2+3=5
4+5+6=15
7+8+9+10=34
11+12+13+14+15=65
207
…
No es difícil justificarlo. Basta observar que la suma de enteros
consecutivos desde 1 hasta k es el número triangular k(k+1)/2, luego
los grupos formados tendrán como suma la diferencia entre el
triangular correspondiente al último término y el del anterior grupo. Así,
7+8+9+10=T(10)-T(6)=10*11/2-6*7/2=55-21=34, como era de esperar.
Sólo hay que advertir que los índices de esos triangulares son a su vez
triangulares también, 10=4*5/2 y 6=3*4/2, y además consecutivos. Esto
nos permite plantearlo con la variable x:
S(x)=T(x(x+1)/2)-T(x(x-1)/2) = (x(x+1)/2)*(x(x+1)/2+1)/2-(x(x-1)/2)*(x(x-
1)/2+1)/2
Acudimos de nuevo a Wolfram|Alpha para
simplificar y comprobamos:
Nos resulta la fórmula esperada de estos
piramidales centrados, luego la propiedad es cierta.
Propiedad combinatoria
Los piramidales centrados que estamos estudiando son suma de tres
números combinatorios a partir del 15:
𝑎(𝑘) = (𝑛3
) + (𝑛 + 1
3) + (
𝑛 + 23
)
Basta desarrollar: ((n)(n-1)(n-2)+(n+1)(n)(n-1)+(n+2)(n+1)(n))/6=
208
=n/6*(n2-3n+2+n2-1+n2+3n+2)
=n/6*(3n2+3)=(n3+n)/2
Significa que si recorremos la cuarta diagonal del triángulo aritmético y
sumamos de tres en tres, resultarán los números que estamos
estudiando:
En una imagen tomada de la Wikipedia hemos señalado los números
que debemos sumar:
Así, 1+4+10=15, 4+10+20=34, 10+20+35=65,…
Relación con los triangulares
𝑃𝐼𝑅𝐶3(𝑛) = 𝑇(𝑛) + 𝑛𝑇(𝑛 − 1)
(Bruno Berselli, Jun 07 2013)
Es claro su significado: Si a un número triangular le sumamos el
anterior multiplicado por el número de orden del primero, resulta un
piramidal triangular centrado.
Así 3+2*1=5, 6+3*3=15, 10+4*6=34…
En forma de tabla:
209
Se ha destacado en rojo el cálculo: multiplicar el anterior por el número
de orden y sumar el actual triangular.
Se demuestra con un simple desarrollo:
T(n)+nT(n-1)=n(n+1)/2+n*(n-1)*(n)/2=n/2*(n+1+n2-
n)=n/2(n2+1)=(n3+n)/2
Llegamos a la misma expresión ya conocida.
Piramidales centrados de cuatro lados
Como procedimos con los triangulares, partiremos de los números
poligonales cuadrangulares centrados:
1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481,
545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513,
1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381…http://oeis.org/A001844
Los puedes repasar en la siguiente entrada de este blog:
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-
2.html
Realizamos la acostumbrada construcción de sumas parciales:
1, 1+5=6. 1+5+13=19, 1+5+13+25=44,…
Así conseguimos los números piramidales cuadrangulares centrados:
210
1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670, 891, 1156, 1469, 1834, 2255,
2736, 3281, 3894, 4579, 5340, 6181,… http://oeis.org/A005900
Como el uso del interpolador lineal ha sido ya explicado, sólo
insertamos el esquema de cálculo:
Resulta el polinomio
1+5(x-1)+4(x-1)(x-2)+2(x-1)(x-2)(x-3)/3
Se simplifica mediante la web de Wolfram|Alpha y obtenemos:
Es decir:
𝑃𝐼𝑅𝐶4(𝑛) =𝑛(2𝑛2 + 1)
3
Podíamos haberlo deducido de la fórmula general de Elena Deza y
Michel Deza:
𝑃𝐼𝑅𝐶𝑚(𝑛) =𝑚𝑛3 + (6 − 𝑚)𝑛
6
211
Para m=4 queda
𝑃𝐼𝑅𝐶4(𝑛) =4𝑛3 + (6 − 4)𝑛
6=
2𝑛3 + 𝑛
3
Estos números coinciden con los octaédricos, como puedes comprobar
en http://oeis.org/A005900. Por tanto, las propiedades que siguen las
comparten ambos tipos de números. Puedes encontrar la causa si
comparas las dos figuras siguientes. La primera corresponde al
número piramidal cuadrangular centrado de orden 3. Por tanto, estará
formado por las capas 1+(1+4)+(1+4+8)=19, tal como vimos en la
sucesión general.
En la segunda figura hemos desplazado capas hacia abajo, y colocado
el centro en la mayor:
Así vemos perfectamente formado el octaedro, que se puede generar
con la suma 1^2+2^2+3^2+2^2+1^2=19, como cabía esperar.
212
Este resultado se puede generalizar sin problemas al término n, lo que
nos da la primera propiedad de estos números.
Propiedades
Suma de cuadrados
Los términos de la sucesión que estamos estudiando se pueden
calcular mediante la expresión:
𝑃𝐼𝑅𝐶4(𝑛) = 12 + 22 + 32 + ⋯ + (𝑛 − 1)2 + 𝑛2 + (𝑛 − 1)2 + ⋯ + 32 + 22
+ 12
Este desarrollo los identifica con los números octaédricos, como ya
hemos visto.
Tomamos algún ejemplo:
85=1+4+9+16+25+16+9+4+1
231=1+4+9+16+25+36+49+36+25+16+9+4+1
Productos de sumandos impares
A continuación vemos una interesante propiedad debida a Jon Perry
PIRC4(n) coincide con la suma de todos los productos posibles p*q con
p y q impares tales que p+q=2n
Es una consecuencia directa de la primera propiedad:
𝑃𝐼𝑅𝐶4(𝑛) = 12 + 22 + 32 + ⋯ + (𝑛 − 1)2 + 𝑛2 + (𝑛 − 1)2 + ⋯ + 32 + 22
+ 12
Si recordamos que un cuadrado es suma de impares consecutivos,
obtendremos sumas repetidas que se podrán agrupar en productos:
213
PIRC4(3)=19=1+1+3+1+3+5+1+3+1=1*5+3*3+5*1
PIRC4(4)=44=1+1+3+1+3+5+1+3+5+7+1+3+5+1+3+1=1*7+3*5+5*3+7
*1
Para el caso general no sería difícil ir agrupando los impares.
Como coeficiente de una potencia
Esta propiedad sólo la comprobaremos en algún caso concreto. Pues
supone pesados cálculos algebraicos que no hay por qué abordar
ahora. Lo dejamos para quién se atreva.
Estos números coinciden con el máximo coeficiente del desarrollo
de (1+x+x2+x3+…xk)4
Lo comprobamos para el 44:
Escribimos (1+x+x^2+x^3)^4 en la página de WolframAlpha:
Leemos su desarrollo más abajo:
Comprobamos que el mayor coeficiente es 44.
A continuación insertamos un recorte de pantalla de wxMaxima en el
que se comprueba la propiedad para exponente 5:
214
También aquí el mayor coeficiente es 85, el siguiente elemento de la
lista.
Propiedad combinatoria
El número piramidal cuadrangular centrado de orden n equivale al
número de conjuntos ordenados (w,x,y,z) con todos sus términos en
{1,...,n} tales que w+x=y+z. (Clark Kimberling, Jun 02 2012)
No es difícil razonarlo. Las posibles sumas w+x son 2, 3,…,2n. Sus
posibilidades van creciendo al principio y disminuyendo al final. Así:
Suma 2 o suma 2n: w, x tiene 1 posibilidad , (1+1 o n+n); y+z otra:
luego sale 1=1^2
Suma 3 o suma 2n-1: w, x tiene 2 posibilidades, (1+2, 2+1 o n-1+n.
n+n-1); y+z otras 2, luego al combinar ambas posibilidades quedan 4=
2^2
Suma 4 o suma 2n-2: con un razonamiento similar llegaríamos a 3^2
Así seguiríamos, con lo que volvemos a la propiedad básica, y es que
el total sería igual a
𝑃𝐼𝑅𝐶4(𝑛) = 12 + 22 + 32 + ⋯ + (𝑛 − 1)2 + 𝑛2 + (𝑛 − 1)2 + ⋯ + 32 + 22
+ 12
215
Como no hay prisa por resolver las cuestiones, comprobamos esta
propiedad con nuestra hoja Cartesius:
Con Cartesius
Descargamos la hoja desde
http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrco
mb.htm#cartesius
Comprobamos la propiedad para el caso 6. Para ello planteamos:
Estamos pidiendo que se combinen cuatro elementos (corresponden a
w, x, y, z de la propiedad), que deberán estar contenidos en el rango
1..6 y que la suma de los dos primeros x1+x2 coincida con la de los
segundos x3+x4.
Desarrollamos el planteo con el botón Iniciar y, efectivamente, resultan
146 casos
Aunque no nos cabe en este documento, podemos, con la función SI
seleccionar los resultados cuyos dos primeros elementos sumen, por
ejemplo, 5. En el recorte de la imagen asignamos un 1 a los casos en
los que w+x=5
216
Después bastaría contar los unos y nos resultarían 16=4^2, tal como
razonamos más arriba.
Piramidales pentagonales centrados
Formación
Lo explicamos de forma esquemática, pues es un procedimiento que
hemos desarrollado anteriormente. Insertamos enlaces para una mejor
comprensión. Procederemos de la misma forma en los siguientes tipos.
Tomamos los números poligonales pentagonales centrados:
1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, 526, 601,
681, 766, 856, 951, 1051, 1156, 1266, 1381, 1501, 1626, 1756, 1891,
2031, 2176, 2326, 2481, 2641, 2806, 2976,… http://oeis.org/A005891
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-
2.html
Sobre ellos acumulamos sumas parciales
1, 1+6=7, 1+6+16=23, 1+6+16+31=54,…
Y nos queda
1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609, 835, 1111, 1442, 1833, 2289,
2815, 3416, 4097, 4863, 5719, 6670, 7721, 8877,
10143,…http://oeis.org/A004068
Extraemos la expresión genera con nuestro interpolador:
217
Copiamos los coeficientes de abajo para obtener el polinomio
interpolador, y resulta:
P(x)=1+6(x-1)+5(x-1)(x-2)+5(x-1)(x-2)(x-3)/6
Simplificamos en la página de WolframAlpha:
O bien
Es decir:
𝑃𝐼𝑅𝐶5(𝑛) =𝑛(5𝑛2 + 1)
6
A partir de la fórmula de Deza también se obtiene:
218
𝑃𝐼𝑅𝐶5(𝑛) =5𝑛3 + (6 − 5)𝑛
6=
5𝑛3 + 𝑛
6
Puedes ir engendrando así los términos de la sucesión o usar nuestra
calculadora Calcupol. Ahora cambiamos el método. Ábrela y concreta
en su parte derecha que deseas usar piramidales centrados y marca 5
como orden:
Después escribe un 1 en pantalla y ve usando la tecla PROX paso a
paso, y obtendrás la sucesión 1, 7, 23, 54, 105, 181, 287,…Después,
con la tecla ANT los puedes recorrer descendiendo hasta el 1.
También puedes encontrar un término más alejado. Por ejemplo, con la
secuencia de teclas 5 PIRC 30 = obtendrás el término 30, que resulta
ser 22505. Si ahora usas PROX y ANT puedes descubrir los términos
más cercanos a él.
Propiedades de estos números
Si los piramidales cuadrados centrados los interpretamos como
octaedros, estos pentagonales los podemos convertir en decaedros, es
decir en poliedros de diez caras. Así lo interpreta la sucesión de OEIS
A004068, como ves en su inicio:
A004068 Number of atoms in a decahedron with n shells.
0, 1, 7, 23, 54, 105, 181, 287, 428, 609, 835, 1111, 1442, 1833, 2289,
2815, 3416, 4097, 4863, 5719, 6670, 7721, 8877, 10143, 11524,
219
13025, 14651, 16407, 18298, 20329, 22505, 24831, 27312, 29953,
32759, 35735, 38886, 42217, 45733, 49439,…
Como es una cuestión geométrica y el sentido de la palabra decaedro
es ambiguo, dejamos esta interpretación en este punto.
Otra interpretación de la fórmula
La expresión general del valor de estos números se puede escribir de
otra forma:
𝑃𝐼𝑅𝐶5(𝑛) =5𝑛3 + 𝑛
6= 𝑛3 −
𝑛3 − 𝑛
6= 𝑛3 −
(𝑛 + 1)𝑛(𝑛 − 1)
6
Esta, a su vez equivale a
𝑃𝐼𝑅𝐶5(𝑛) = 𝑛3 − (𝑛 + 1
3)
Llegamos a algo interesante, y es que la fórmula se reduce a un cubo y
a un número combinatorio.
Relación con la Combinatoria
La última expresión de la fórmula se puede interpretar como una
diferencia entre combinaciones con repetición de n elementos tomados
de 3 en 3 y las combinaciones de n+1 elementos también de 3 en 3.
Esta consideración nos lleva a una interpretación combinatoria similar
a otra que descubrimos para los piramidales centrados de 4 lados.
220
a(n+1) equivale al número de tripletas (w,x,y) con términos
comprendidos en {0,...,n} y tales que x+y>=w. Esta propiedad también
es debida a Clark Kimberling.
Antes de razonar nada, lo desarrollaremos mediante nuestra
herramienta Cartesius, que construye productos cartesianos
condicionados
(http://www.hojamat.es/sindecimales/combinatoria/herramientas/herrco
mb.htm#cartesius)
Usaremos este planteo para el caso n=3:
En la primera línea pedimos un producto de tres factores. Después,
que pertenezcan al intervalo (0,..3) y, finalmente, que el primero sea
menor o igual que la suma de los otros dos.
El resultado es igual a 54 casos, que es el cuarto término de la
sucesión. Veamos en detalle los valores de x1:
El valor x1=0 aparece sin restricciones, ya que es menor o igual que
cualquier otro elemento. En total 16 veces:
221
El valor x1=1 ya tiene una restricción, que es (1, 0, 0), luego se
presentará 16-1 veces:
De igual forma, x1=2 aparece 16-3=13 veces, donde 3 son las
combinaciones que forman las excepciones: (2,0,0), (2,1,0) y (2,0,1)
222
Por último, el 3 sólo aparecerá en 16-6=10 casos
Se ve, y se puede generalizar fácilmente, que lo que se le va restando
a cada 16 un número triangular:
16+16-1+16-3+16-6=64-1-3-6=54
Para n=4 obtendríamos:
5^3=125, luego la expresión que acabamos de obtener se convertiría
en
25+25-1+25-3+25-6+25-10=125-(1+3+6+10)=105, como era de
esperar. Los números triangulares representan las combinaciones de
dos en dos que representan a las excepciones.
La suma de triangulares equivale al número piramidal triangular o
tetraedro, tal como puedes comprobar en nuestra entrada
223
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-
tetraedros.html
En ella vemos que equivale a un número combinatorio
Ajustando índices nos queda la expresión ya vista para los piramidales
que estamos estudiando:
𝑃𝐼𝑅𝐶5(𝑛) = 𝑛3 − (𝑛 + 1
3)
Así que la propiedad es cierta.
Todo este estudio nos da otra interpretación geométrica para estos
piramidales centrados de orden 5, y es que son la diferencia entre un
número cúbico e lado n y un tetraedro de lado n-1.
Suma de valores de un polinomio
Traducimos una propuesta de Reinhard Zumkeller, Nov 11 2012:
Otra expresión para estos números es
𝑃𝐼𝑅𝐶5(𝑛) = ∑ 𝑛2 − 𝑛𝑘 + 𝑘2
𝑛
𝑘=1
En efecto, si sumamos estos términos, obtenemos los piramidales
centrados pentagonales:
224
Para demostrarlo recordemos que la suma de n naturales es n(n+1)/2 y
la de sus cuadrados n(n+1)(2n+1)/6. Por tanto, al sumar n^2+nk+k^2
obtendremos:
PIRC(5,n)=n(n+1)(2n+1)/6-n*n*(n+1)/2+n*n^2
Lo simplificamos en la página de WolframAlpha y nos queda
comprobado:
Volvemos a la expresión inicial.
Otros números piramidales centrados
Hexagonales
Con estos números, como veremos, el inicio del estudio seguirá un
camino más simple:
Partimos de los poligonales hexagonales centrados:
1, 7, 19, 37, 61, 91, 127, 169, 217, 271, 331, 397, 469, 547, 631, 721,
817, 919, 1027, 1141, 1261, 1387, 1519, 1657, 1801, 1951, 2107,
2269, 2437, 2611, 2791, 2977, 3169, 3367, 3571, 3781, 3997
(http://oeis.org/A003215
Y
225
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2018/01/poligonales-centrados-
2.html)
En esta entrada nuestra incluimos su expresión, que es una diferencia
de cubos consecutivos
Por tanto, si para construir los piramidales debemos ir formando las
sumas parciales, resultarán cubos. En efecto:
1, 1+7=8, 1+7+19=27, 1+7+19+37=64
Luego la sucesión será:
1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744,
3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000, 9261, 10648, 12167,…
En el boceto siguiente está representado el número 27, que a su vez
contiene el 7 y el 1, en sus tres capas, luego 27=1+1+6+1+6+12
Los términos de la sucesión claramente son cubos. No hay que usar
interpolador para verlo. Si también acudimos a la fórmula de Deza lo
comprobaremos, para n=6
226
𝑃𝐼𝑅𝐶6(𝑛) =6𝑛3 + (6 − 6)𝑛
6=
6𝑛3 + 0
6= 𝑛3
Así que estos números, además de ser piramidales centrados,
representarán una figura cúbica. Aclara mucho la equivalencia si vas
tomando grupos de tres unidades en la imagen anterior y te los
imaginas alineados en una trama cúbica:
Al coincidir estos números con los cubos, todas sus propiedades se
desprenderán de ese carácter, lo que les quita interés.
Suma de grupos de impares consecutivos
Añadimos esta propiedad porque se puede interpretar como un número
trapezoidal. Cada número heptagonal centrado equivale a la suma de
uno de estos grupos:
{1}, {3, 5},{7, 9, 11}, {13, 15, 17, 19},…
1=1
8=3+5
27=7+9+11
64=13+15+17+19
227
Las sumas se pueden representar mediante trapecios. Por ejemplo, la
última formaría esta imagen:
Para comprobarlo algebraicamente, usaremos, como en casos
anteriores, los números triangulares. Sabemos que la suma de impares
equivale al cuadrado de su número, pero estos grupos se han ido
eligiendo siguiendo los triangulares, por lo que su valor coincidirá con
la diferencia de cuadrados de dos triangulares consecutivos. Así:
𝑛2(𝑛 + 1)2
4−
𝑛2(𝑛 − 1)2
4= 𝑛3
Heptagonales
Partimos de los poligonales centrados de siete lados
1, 8, 22, 43, 71, 106, 148, 197,… http://oeis.org/A069099
Acumulamos:
1, 1+8=9, 9+22=31, 31+43=74,…y obtenemos:
1, 9, 31, 74, 145, 251, 399,…
Están publicados en http://oeis.org/A004126
Su expresión es fácil de obtener con la fórmula de Deza:
228
𝑃𝐼𝑅𝐶7(𝑛) =7𝑛3 + (6 − 7)𝑛
6=
7𝑛3 − 𝑛
6
Propiedades
Como suma de triangulares
Casi todos los números figurados presentan relaciones sencillas con
los números triangulares. En este caso es:
El piramidal heptagonal centrado de orden n equivale a la suma de n
triangulares comenzando por T(n)
Por ejemplo:
31=6+10+15
74=10+15+21+28
Para el caso n basta recordar que la suma de los primeros números
triangulares equivale a n(n+1)(n+2)/6, luego la suma de sólo cuatro
será la diferencia entre la suma de los 2n-1 primeros menos la suma
de los n-1 primeros. Lo desarrollamos:
(2n-1)2n(2n+1)/6-(n-1)n(n+1)/6
Simplificando en Wolfran-Alpha:
Obtenemos:
229
Coincide con la expresión obtenida más arriba, luego la propiedad es
verdadera.
Fórmula combinatoria
La propiedad anterior se puede expresar así:
𝑃𝐼𝑅𝐶7(𝑁) = (2𝑛 − 1
3) − (
𝑛 − 13
)
Octogonales
Los poligonales octogonales centrados, que no llegamos a estudiarlos
en este blog, equivalen a los cuadrados de los números impares, como
puedes ver en OEIS:
También los puedes recorrer con nuestra calculadora Calcupol
(http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.ht
m#figurados)
Eliges el tipo Centrado de orden 8
230
Escribes un 1 en pantalla y vas pulsando la tecla PROX, con lo que
aparecerán en pantalla los cuadrados de los impares.
Acumulamos esos cuadrados mediante sumas parciales
1+9=10
1+9+25=35
1+9+25+49=84
Obtendremos la sucesión
1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654,
4495, 5456, 6545, 7770, 9139, 10660,
12341,…(http://oeis.org/A000447)
Estos serán los piramidales octogonales centrados.
De la fórmula de Deza se deduce:
𝑃𝐼𝑅𝐶8(𝑛) =8𝑛3 + (6 − 8)𝑛
6=
8𝑛3 − 2𝑛
6=
4𝑛3 − 𝑛
3=
𝑛(4𝑛2 − 1)
3
También se puede escribir como
𝑃𝐼𝑅𝐶8(𝑛) =𝑛(2𝑛 − 1)(2𝑛 + 1)
3
Se puede comprobar:
PIRC8(3)=3*5*7/3=35; PIRC8(4)=4*7*9/3=84
Coincidencia con tetraedros
231
Si aplicamos la fórmula obtenida a los números impares nos resultará:
𝑃𝐼𝑅𝐶8(2𝑛 − 1) =(2𝑛 − 1)(4𝑛 − 1)(4𝑛 − 3)
3= (
4𝑛 − 33
)
Los números combinatorios de orden 3 coinciden con los piramidales
triangulares o tetraedros.
http://hojaynumeros.blogspot.com.es/2017/04/numeros-piramidales-2-
tetraedros.html
Así que estos estos octogonales que estamos estudiando coinciden
con los tetraedros en los lugares impares:
Piramidales octogonales centrados:
1, 10, 35, 84, 165, 286, 455, 680, 969, 1330, 1771, 2300, 2925, 3654,
4495, 5456, 6545, 7770,…
Piramidales triangulares:
1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816,
969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, 2300, 2600, 2925,…
Cada dos de estos coinciden con los de arriba.
Este tema se ha alargado mucho. Es el momento de cortar y dejar el
resto para investigar.
1, 10, 35, 84, 165
232
PITÁGORAS Y SUS TERNAS
EL SUEÑO DE LEWIS CARROLL
La lectura de la biografía de Lewis Carroll me ha sugerido el proponer
la siguiente búsqueda, inspirada en un problema que le impidió dormir
una noche:
¿Qué números enteros equivalen al área de un triángulo
rectángulo de lados también enteros, de tres formas distintas?
La primera solución es 840, porque las tres ternas
15, 112 y 113
24, 70 y 74
40, 42 y 58
pertenecen a lados de triángulos rectángulos de área 840.
¿Cuáles son las siguientes soluciones?
Área 840 Triángulos de lados 15,112 y 113 24,70 y 74 40,42 y 58
Aquí tenéis las siguientes:
Área 3360 Lados 30,224 y 226 48, 140 y 148 80,84 y 116
Área 7560 Lados 45, 336 y 339 72,210 y 222 120,126 y 17
Área 10920 Lados 56,390 y 394 105,208 y 233 120,182 y 218
Área 13440 Lados 60,448 y 452 96,280 y 296 160,168 y 232
Área 21000 Lados 75,560 y 565 120,350 y 370 200,210 y 290
Los siguientes son 30240, 31920, 41160 y 43680. Quedáis invitados a
encontrar los tres triángulos correspondientes a cada uno. Una vez que
233
se conocen las soluciones ya no es difícil encontrar los catetos
apropiados.
OBLONGOS Y PITAGÓRICOS
Una cuestión que ha dado juego desde los tiempos de Girard y Fermat
y que permite recorrer alternativas de cálculo es la siguiente:
De todos los triángulos rectángulos de lados enteros ¿Cuáles
cumplen que la diferencia entre los catetos es la unidad?
El primero que la cumple es el popular de lados 3, 4 y 5, pues la
diferencia entre 3 y 4 es una unidad. ¿Habrá más? ¿Cómo abordamos
el cálculo? Casi todos los caminos nos llevan a una ecuación diofántica
de segundo grado, pero hay que ver cuál y cómo resolverla. También
podemos intentar una búsqueda con hoja de cálculo.
Quizás fuera prudente comenzar con esta última posibilidad. Si lo
intentas descubrirás al menos estas soluciones:
3, 4 y 5 20, 21 y 29 119, 120 y 169 696, 697 y 985 4059, 4060 y 5741 23660,23661 y 33461 137903, 137904 y 195025 ¿Cómo organizar una búsqueda de soluciones para
x2+(x+1)2 =y2
con hoja de cálculo?
Presentamos dos propuestas:
Elemental:
234
Rellena una columna con los primeros números naturales
consecutivos, y en la columna de su derecha auméntalos en una
unidad. Supongamos que has comenzado en las celdas B4 y C4
respectivamente. En ese caso puedes rellenar la celda D4 con la
fórmula B4^2+C4^2, y en la E4 una condición que nos devuelva la
palabra “Vale” si es cuadrado perfecto:
SI(D4=(ENTERO(RAIZ(D4))^2; “Vale”;””).
De esta forma descubriremos las soluciones, con algo de paciencia,
tiempo y muchas filas de hoja de cálculo:
Con Basic
La misma idea de construir una lista para X, otra para X+1 y una
tercera en la que buscamos los cuadrados perfectos se puede construir
en Basic. X lo almacenamos en la variable i, X+1 en la j, y la
hipotenusa en k. Una sentencia IF nos presenta las soluciones en las
que k es un entero.
Con este código se buscan las soluciones para números inferiores a
1000000.
Sub busquedas Dim i,j,k for i=1 to 1000000 j=i+1 k=i^2+j^2 if k=Int(sqr(k))^2 then
235
msgbox(i) msgbox(j) msgbox(sqr(k)) end if next i End Sub
Estudio algebraico
La ecuación x2+(x+1)2 =y2 se puede desarrollar de esta forma: x2+(x+1)2 =y2; 2x2+2x+1=y2; (2x+1)2 + 1 = 2y2 ; (2x+1)2 - 2y2 = -1, por lo que llamando z=2x+1 desembocamos en una ecuación de Pell con segundo miembro igual a -1
Z2-2y2 = -1
Utilizamos la hoja de cálculo pell.ods o pell.xls contenidas en la dirección
http://www.hojamat.es/sindecimales/aritmetica/herramientas/herrarit.htm
con el resultado que indica la imagen:
en la que valdrán las soluciones correspondientes a -1
Z=1; Y=1; Imposible, pues X sería negativo
Z=7; Y=5 X=3; X+1=4; Y=5
Z=41; Y=29 X=20; X+1=21; Y=29
Z=239; Y=169 X=119; X+1=120; Y=169
Z=1393; Y=985 X=696; X+1=697; Y=985
Este método tiene el inconveniente de que depende de la precisión que tenga la hoja de cálculo en los cálculos con coma flotante, lo que hará que se rompa en algún momento la periodicidad de los cocientes, en
236
este caso el 2. Por ello se puede completar con una fórmula recursiva que obtenga soluciones exactas conociendo las primeras.
En este ejemplo cada elemento de las distintas celdas cumple la fórmula
an+2 = 2an+1 + an
pero como las soluciones aparecen de forma alternada, deberemos reiterar dos veces, y nos quedará:
an+4 = 2an+3 + an+2 = 2(2an+2 + an+1)+ 2an+1 + an = 4an+2 + 4an+1+ an = 6an+2 - an
Con esta fórmula recursiva se van obteniendo las soluciones sin errores a partir de las dos primeras:
Z0 = 1; Z2 = 7; Z4 = 6*7-1 = 41; Z6 = 6*41-7 =239;…
Y0 = 1; Y2 = 5; Y4 = 6*5-1 = 29; Y6 = 6*29-5 =169;…
Pero no olvidemos que Z es una variable auxiliar Z=2X+1 y que después debemos despejar X
La siguiente lista de ternas, que coincide con la primera que propuso Girard, se ha obtenido mediante esta técnica
1 0 1
5 3 4
29 20 21
169 119 120
985 696 697
5741 4059 4060
33461 23660 23661
195025 137903 137904
1136689 803760 803761
6625109 4684659 4684660
38613965 27304196 27304197
225058681 159140519 159140520
1311738121 927538920 927538921
7645370045 5406093003 5406093004
44560482149 31509019100 31509019101
237
259717522849 183648021599 183648021600
1513744654945 1070379110496 1070379110497
8822750406821 6238626641379 6238626641380
51422757785981 36361380737780 36361380737781
299713796309065 211929657785303 211929657785304
Un reto: Fermat propuso una fórmula de recurrencia para generar ternas de este tipo a partir de otras similares. Dada la terna (x,x+1,y), se puede generar otra similar (x’,x’+1,y’)
mediante las fórmulas x’=2x+3y+1 y y’=4x+3y+2.
¿Sabrías demostrarlo? ¿Engendra todas las ternas posibles a partir de 3, 4,5?
Notas
(1) Dados dos catetos X y X+1 de la serie anterior, los siguientes se obtienen sumando los tres lados y restando después un cateto u otro del doble de esa suma:
Por ejemplo, de 3, 4,5 obtenemos suma 12, su doble 24, y restando 3 y 4 por separado obtenemos 20 y 21, que es la siguiente solución junto con 29.
En efecto, de las fórmulas de Fermat
X’ = 3X+2Y+1; Y’ = 4X+3Y+2, junto con la de la suma de los tres, S= 2X+1+Y
obtenemos 2S-X = 4X+2+2Y-X = 3X+2Y+2 = X’+1, que es el nuevo
cateto mayor, y de forma similar obtendríamos X’ como 2S-(X+1)
(2) Según G. Hutton, si llamamos pr/qr a la r-ésima convergente de √2
en su desarrollo mediante fracciones continuas, las ternas pitagóricas
que hemos presentado con catetos del tipo X y X+1 vendrían dadas
por
Xr=pr*pr+1 Yr=2qr*qr+1
En efecto, la siguiente tabla obtenida con Excel nos permite comprobar
esta propiedad:
238
(3) La terna 3, 4,5 está engendrada por las fórmulas clásicas 2uv, u2-v2
y u2+v2 para u=2 y v=1. Si sustituimos u y v por u, v+2u se mantendrá
la misma diferencia entre catetos.
Basta ver que si engendramos los nuevos catetos y los restamos (en
orden contrario) resultará: 2u(v+2u) - (v+2u)2+u2= 2uv+4u2-v2-4u2-
4uv+u2 = u2-v2-2uv, que es la diferencia original.
Esto nos permite engendrar de nuevo la lista que estamos
considerando, tomando, n primer lugar u=2 v=1, y generando con ella
la primera terna 3,4 y 5. Después se aplica la fórmula de recurrencia
un = 2un-1+vn-1 vn = un-1 y se vuelve a generar una terna con ella, que
resultará tener la misma diferencia pero con signo cambiado. Así
hemos generado la lista con hoja de cálculo:
u v x y z
2 1 4 3 5
5 2 20 21 29
12 5 120 119 169
29 12 696 697 985
70 29 4060 4059 5741
169 70 23660 23661 33461
408 169 137904 137903 195025
985 408 803760 803761 1136689
2378 985 4684660 4684659 6625109
5741 2378 27304196 27304197 38613965
13860 5741 159140520 159140519 225058681
239
VIAJE DE IDA Y VUELTA A LA GEOMETRÍA
Según leo en el libro “Cardano y Tartaglia. Las matemáticas en el
Renacimiento italiano” de Francisco M. Casalderrey, a Fibonacci le
interesó mucho el estudio del triángulo de lados con medidas enteras
13, 14 y 15, porque la altura correspondiente al lado que mide 14
también tiene medida entera, 12, así como los dos segmentos que
forma en la base, 5 y 9 respectivamente.
¿Existirán más triángulos con esa propiedad?
La respuesta es afirmativa. Existen muchos, y no es difícil encontrarlos.
Uno de ellos, con la misma superficie que el anterior, está formado por
los lados 17, 21 y 10.
¿Podrías encontrar alguno más con medidas inferiores a 50?
Más difícil es que esta propiedad la presenten dos alturas.
Existen algunos triángulos en los que aparece por simetría, como el de
la imagen. Los lados son 25, 25 y 30, las alturas 24, 24 y 20, y los
segmentos en las bases 7, 15 y 18. Todos son enteros.
240
¿Existirán triángulos en los que dos alturas presenten segmentos de
medida entera sin acudir a la simetría? Pues también la respuesta es
afirmativa. En la imagen tienes uno:
Los lados miden 70, 65 y 75 respectivamente, una altura de 56 divide
al 75 en dos segmentos de medidas 33 y 42, y la otra altura, de 60,
divide a 70 en 25 y 45.
El hecho de que este triángulo sea semejante al de Fibonacci y posea
una propiedad más amplia nos demuestra que estas cuestiones no son
geométricas, sino aritméticas. Todo depende de si una medida se
expresa como entera o como fraccionaria. Una altura que en el primero
medía 11,2. en este mide 5 veces más, lo que la convierte en entera:
56.
Con lo explicado en el párrafo anterior puedes encontrar triángulos en
los que todos los lados, alturas, segmentos formados por estas en las
bases, perímetro y área sean enteros.
Para conseguir un triángulo con lados, alturas y segmentos en la base
todos enteros puedes seguir estos pasos:
(1) Elige dos ternas pitagóricas, preferentemente primitivas, como 20,
21,29 y 8, 15,17.
(2) Multiplícalas ambas por un valor entero adecuado a fin de unificar
las medidas de sus dos catetos mayores (el que sean los mayores no
241
es necesario, pero te garantiza que el triángulo sea acutángulo)
Puedes buscar el MCM de ambos valores. En nuestro ejemplo se
convertirían en 56, 105,119 y 100, 105,145
(3) Arma un primer triángulo tomando como altura el cateto común:
Con esto te garantizas que el seno y el coseno de
los ángulos opuestos a la altura 105 sean números
racionales, y como consecuencia que también lo
sean los del tercer ángulo ¿Por qué?
También tienes garantizada una medida racional
para las alturas y segmentos que quedan, pero no
necesariamente enteros.
(4) En efecto, usando la fórmula (a2+b2-c2)/(2a) para todos los pares de
lados nos resultarán las medidas de los segmentos, necesariamente
racionales. Puedes verlo en un desarrollo con Wiris
A la vista del desarrollo encontrarás los factores por los que hay que
multiplicar (para conseguir una semejanza de triángulos) a fin de que
todas las medidas sean enteras. En este caso por 29 y 17.
Con esto llegamos a la meta:
242
Sólo nos queda calcular las alturas y tendremos el triángulo completo:
Puedes analizar también el área, el perímetro y el radio de la
circunferencia inscrita. Sus valores son: A= 1990571310, P=207060 y
R=19227
En definitiva, de la Geometría sólo hemos usado fórmulas, por lo que el
resultado constituye un regreso a la Aritmética de números enteros y
racionales, que es su verdadero sitio, aunque lo hayamos representado
como un triángulo. Quizás por eso le gustaba a Fibonacci.
CENTRADOS Y PITAGÓRICOS
¿Por qué los números cuadrados centrados pueden ser siempre los
términos mayores (la hipotenusa) de ciertas ternas pitagóricas?
Por ejemplo: 612 =602 +112
Es fácil demostrarlo: todo cuadrado centrado se descompone en dos
cuadrados consecutivos:
243
La figura se explica por sí misma: el cuadrado centrado de orden 4,
con valor 25, se descompone en cuatro triangulares, dos iguales y los
otros dos consecutivos, que recombinados forman los cuadrados de
orden 3 y 4 respetivamente
Por tanto, CC4 = C4+C3 (CC: Cuadrado centrado, C: cuadrado normal),
lo que nos lleva a la fórmula para los cuadrados centrados CC4 =
n2+(n-1)2 = 2n2 – 2n + 1.
Para demostrar que puede ser el término mayor de una terna
pitagórica elevamos su fórmula al cuadrado y podemos dividirla en dos
cuadrados:
(2n2 – 2n + 1)2 = 4n4 - 8n3 + 8n2 -4n + 1 = (2n2 – 2n)2 + (2n – 1)2
con lo que descubrimos que la terna tiene la estructura X, Y, Y+1, con
X2 = 2y+1
En la siguiente tabla están contenidos los desarrollos de los 10
primeros cuadrados centrados. Algunas ternas son muy populares:
N CCN=Y+1 Y X
2 5 4 3
3 13 12 5
4 25 24 7
5 41 40 9
6 61 60 11
7 85 84 13
8 113 112 15
9 145 144 17
10 181 180 19
¿Se puede demostrar el teorema inverso: Si en una terna pitagórica la
hipotenusa se diferencia en una unidad del cateto mayor, dicha
hipotenusa es un número cuadrado centrado?
244
Solución: Y2=(Y-1)2+X2 equivale a que 2Y-1 = X2 es decir Y=(X2-1)/2.
Como X ha de ser impar, sustituimos por 2N-1 y queda que Y = 2n2 –
2n + 1 y por tanto es cuadrado centrado.
CUADRADOS CON TROZOS CONSECUTIVOS
Acabo de leer en (http://maanumberaday.blogspot.com/) que el número
573 tiene la propiedad de que su cuadrado está representado en el
sistema decimal con los dígitos de dos números consecutivos:
5732 = 328329
He puesto a trabajar a mi hoja de cálculo y me ha devuelto siete de
esos números entre 1 y 50000.
Es este un problema interesante, porque el algoritmo se simplifica
mucho si se concibe a la contra: en lugar de recorrer los números uno
a uno y después someterlos a la prueba del cuadrado formado por dos
consecutivos, se cambia la perspectiva, es decir, se construyen los
candidatos a cuadrados y después se prueba si lo son o no. En caso
afirmativo se les extrae la raíz cuadrada para ver la solución.
Sub cuadrado_consecutivos
Input n ‘se concreta hasta dónde llegará la búsqueda. for i=1 to n j=numcifras(i+1) ‘se cuentan las cifras del número i+1 k=i*10^j+i+1 ‘ se forma el posible cuadrado con dos números consecutivos. if escuad(k)=1 then ‘si es cuadrado perfecto se comunica msgbox(sqr(k)) ‘solución msgbox(k) ‘cuadrado end if next i end sub
245
He conseguido 7 soluciones hasta el 50000 y una falsa (el 1000): 428,
573, 727, 846, 7810, 36365, 63636
Los tienes en http://oeis.org/A030467
Es muy elegante la versión en PARI. Analizándola puede que desees
estudiar este lenguaje un poco mejor:
{for(x=1,10^7,m=eval(concat(Str(x),Str(x+1)));if(issquare(m,&p),pri
nt(p)))}
DIFERENCIA ENTRE CATETOS
En otro momento estudiamos las ternas pitagóricas en las que la
diferencia entre catetos era igual a 1. Nos podemos plantear también
qué números, aparte del 1, pueden ser diferencia entre catetos en esas
ternas. Estudiaremos algunos aspectos de este problema
(1) Afirmamos que todo número puede ser diferencia entre catetos
en una terna pitagórica.
En efecto, dado cualquier número k, a partir de la terna 3, 4, 5
podemos construir 3k, 4k, 5k con diferencia de catetos k
(2) Más difícil es demostrar que todo número es diferencia de
catetos de infinitas formas distintas. Para ayudarte puedes
demostrar previamente lo siguiente:
Si u y v engendran una terna pitagórica mediante las fórmulas 2uv, u2-
v2 y u2+v2, los valores 2u+v y v engendran otra terna con la misma
diferencia de catetos.
No es difícil. Dados dos valores u, v primos entre sí y de distinta
paridad, engendran la terna pitagórica primitiva u2-v2, 2uv, u2+v2, con
diferencia de catetos igual a u2-v2-2uv.
246
Los nuevos valores 2u+v, v son de distinta paridad y primos entre sí
(fácil de ver) y engendran la terna (2u+v)2-u2, 2u(2u+v), (2u+v)2+u2, con
diferencia
(2u+v)2-u2-2u(2u+v)= 4u2+v2+4uv-u2-4u2-2uv = v2-u2+2uv, que es la
misma con signo cambiado.
La nueva terna será primitiva, porque se cumplen las condiciones.
Si lo anterior es cierto, reiterando el procedimiento obtendremos
infinitas ternas con la misma diferencia (salvo signo u orden). Si la
primera es primitiva, todas las demás lo serán ¿Por qué?
Por ejemplo, de u=4, v=3, x=7, y=24, z=25, con diferencia entre catetos
igual a 17, podemos engendrar u=11, v=4, x=88, y=105, z=137, con
105-88 = 17 y después u=26, v=11, x=572, y=555 z=797, y así tantas
como queramos.
(3) Si sólo admitimos ternas primitivas, no todos los números pueden ser diferencia de catetos. Los únicos posibles son 1, 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ...( http://oeis.org/A058529) La razón es que la diferencia D ha de ser impar, con fórmula D=u2-v2-
2uv = (u+v)2-2v2
Esto obliga a que el número 2 sea resto cuadrático respecto a todos
divisores de D.
Existe un criterio derivado del de Euler, que nos dice que 2 es resto
cuadrático módulo p (primo) si (p2-1)/8 es par (consultar bibliografía), y
esto sólo se cumple si p=8k+1 o p=8k-1.
Los factores primos de los números considerados son del tipo 8k±1.
Como esta estructura algebraica se conserva en el producto, todos los
números presentarán esta estructura
Esta condición se puede concretar aún más: Entre los factores primos
del tipo 8k±1 no pueden estar 2, 3 ni 5. Los primos mayores que 3,
como se demuestra fácilmente, presentan también la estructura 6k±1,
luego los números de la lista también presentarán esta estructura.
247
Las dos condiciones han de cumplirse a la vez. Si las combinamos nos
resulta otra definitiva (la puedes obtener tachando los restos que no las
cumplen):
Todos los números de la lista sólo pueden presentar respecto al 24 los
restos 1, 7, 17 o 23.
DOBLADO PITAGÓRICO
Si tomamos un segmento de longitud 31 cm. y lo doblamos por cierto
punto en forma de ángulo recto, podemos completar un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa tiene medida entera. No es difícil averiguar
por dónde se puede doblar: basta hacerlo con un segmento de medida
7, con lo que el otro trozo mediría 24 y la hipotenusa 25.
Existen otros números con la misma propiedad: 7, descompuesto en 3
y 4, 23, doblado por 8 y 15, y otros muchos.
Te proponemos una búsqueda elemental, mediante razonamiento, hoja
de cálculo o navegación por la Red:
Además de 7, 23 o 31, ¿qué otros números tienen la propiedad de
engendrar un triángulo rectángulo de medidas enteras con un simple
“doblado”?
Te dejamos este código por si deseas practicar:
(Dado un valor n)
Sub buscar(n)
for i=7 to n
for j=3 to i/2
k=i-j
if escuadrado(k*k+j*j)=1 then
msgbox(i)
msgbox(j)
msgbox(k)
248
end if
next j
next i
end sub
Si lo resuelves te llevarás una sorpresa: las soluciones son las mismas de la entrada anterior (salvo el 1) 7, 17, 23, 31, 41, 47, 49, 71, 73, 79, 89, 97, 103, 113, 119, ... y todos sus múltiplos. Lo puedes ver en esta tabla:
7 3 4
14 6 8
17 5 12
21 9 12
23 8 15
28 12 16
31 7 24
34 10 24
35 15 20
41 20 21
42 18 24
46 16 30
47 12 35
49 9 40
49 21 28
51 15 36
56 24 32
62 14 48
63 27 36
68 20 48
69 24 45
70 30 40
71 11 60
73 28 45
La razón estriba en que ambos problemas están relacionados con la
ecuación 2x2-y2=k.
249
¿EN CUÁNTAS SUMAS DE CUADRADOS?
Todo comenzó con Fermat
Hay números que se pueden descomponer en suma de dos
cuadrados, pero ¿de cuántas formas? Esta cuestión ha sido ya
abordada en otros blogs de Matemáticas, pero aquí añadiremos
técnicas y algoritmos de hoja de cálculo.
Para conseguir una respuesta a la pregunta formulada se necesitaron
esfuerzos de varios matemáticos, pero todo comenzó con Fermat y su
Teorema de Navidad (lo comunicó a Mersenne el 25 de Diciembre de
1640, pero no lo demostró), y que actualmente expresamos así:
Un número primo se puede descomponer en suma de dos cuadrados
x2+y2 de números enteros si y sólo si es el número 2 o bien es
congruente con 1 módulo 4 (es decir, si es de la forma 4n+1).
El teorema directo es difícil de demostrar, y lo ha sido a lo largo de
siglos mediante diversas técnicas (descenso infinito, enteros
gausianos, etc.), siendo Euler el primero que lo logró. El inverso está a
nuestro alcance. Inténtalo:
Un número primo congruente con 3 módulo 4 no puede
descomponerse en suma de dos cuadrados de números enteros.
Gauss, en la sección 182 de sus Disquisitiones arithmeticae destacó
que esa descomposición es única, salvo orden y signo. Los dos
números x e y han de ser primos entre sí ¿por qué?
De este hecho podemos obtener un criterio marginal: Si un número de
la forma 4n+1 no se puede descomponer en dos cuadrados o bien lo
puede de más de una forma, no es primo.
Esta propiedad de poder descomponerse en suma de dos cuadrados
se mantiene si multiplicamos dos números primos de este tipo, y
250
además se puede duplicar el número de posibles sumas. Así, si 13 =
22+32 y 5 = 22+12, al multiplicarlos obtenemos:
65 = 13*5 = 82+12 = 72+42
Esta propiedad se desprende de la famosa identidad:
(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2+(ad-bc)2 = (ac-bd)2+(ad+bc)2
que nos viene a decir que este producto también es suma de dos
cuadrados y además de dos formas distintas (si los sumandos son
distintos):
65 = (2*2+3*1)2 +(2*1-3*2)2 = 72+42 (obsérvese que en el cálculo se ha
obtenido -4 y no 4)
65 = (2*2-3*1)2 +(2*1+3*2)2 = 82+12
Ocurre lo mismo si se multiplica el número primo por 2 (elemental
¿no?)
Fórmula de Gauss
Estas propiedades se resumen en un criterio que no vamos a
desarrollar aquí, y es que sólo se pueden descomponer en cuadrados
los números en los que los factores primos del tipo 4n+3 figuren en su
descomposición con exponente par. Gauss fue más allá en esa
sección 182, pues dio una fórmula para contar el número de formas
diferentes en las que se descompone un número en suma de dos
cuadrados con base no negativa:
]
donde ES significa “mínimo entero igual o superior” y los factores que
le siguen se corresponden con los exponentes de los factores del tipo
4n+1 aumentados en una unidad. La fórmula, como advierte Gauss,
sólo es válida si los factores del tipo 4n+3 forman un cuadrado
perfecto.
Así, por ejemplo, el número 325=52*13 se deberá descomponer en
251
N=ES((2+1)(1+1)/2)=ES(3*2/2)=ES(3)=3
En efecto, 325=12 + 182 = 62 + 172 = 102 + 152 (tres formas distintas)
Y el número 6664 sólo de una forma, pues 6664 = 23*72*17 y aplicando
la fórmula nos daría
N=ES(1+1)/2 = ES(1)=1, y su descomposición única es 6664=422+702
Actualmente se prefiere considerar todas las sumas de cuadrados
posibles, incluyendo bases negativas y teniendo en cuenta el orden.
Esto multiplica por 8 el número de soluciones cuando x es distinto de y
y ambos son no nulos, y por 4 en caso contrario. Así, el 13 presentaría
ocho soluciones:
13= 22+32 = (-2)2+32 = 22+(-3)2 = (-2)2+(-3)2 = 32 +22 =(-3)2 +22 = 32
+(-2)2 = (-3)2 +(-2)2
Y el 16, cuatro: 16 = 42+02 = (-4)2+02 =02 + 42 = 02 + (-4)2
Igualmente, 8 presentaría también 4: 8 = 42+42 = (-4)2+42 =42 + (-4)2 =
(-4)2 + (-4)2
Aparece el número π
En la sección anterior se presentaba una fórmula para encontrar el
número de descomposiciones distintas en suma de dos cuadrados que
puede presentar un número entero positivo. Vimos dos orientaciones:
buscar sólo sumandos positivos o admitir también los negativos
teniendo en cuenta además el orden
Para un resultado inesperado que obtendremos más adelante vamos a
elegir la segunda opción: encontrar, dado un número entero positivo N,
todos los pares x, y de números enteros tales que x2+y2=N. Al número
de esos pares lo podemos considerar como función de N, lo que nos
permite definir NSC(N)=Número de pares de enteros x, y tales que
x2+y2=N
Para implementar esta función en la hoja de cálculo podemos usar un
código similar al siguiente (comentarios en letra normal):
252
Public function nsc(n) dim i,a,b,ns if n=0 then ns=1 Tenemos en cuenta que n puede valer 0 else ns=0 Se inicia la suma for i=0 to sqr(n) Busca el primer sumando a=n-i*I Calcula el Segundo sumando if a=int(sqr(a))^2 then El segundo sumando es un cuadrado if i*i<=a then Esta línea es para no tener en cuenta el orden de los sumandos b=sqr(a) Base del segundo cuadrado if b>0 and i>0 and b<>i then Si ambas bases son positivas y distintas hay 8 posibilidades ns=ns+8 else Si una es cero o son iguales, sólo hay 4 ns=ns+4 end if end if end if next i end if nsc=ns Se recoge el resultado end function
Esta función, si se declara Public se puede usar en la hoja de cálculo y
formar una tabla que compare N con NSC(N):
N NSC(N)
0 1
1 4
2 4
3 0
4 4
5 8
6 0
7 0
8 4
253
9 4
10 8
11 0
12 0
13 8
14 0
15 0
16 4
17 8
18 4
19 0
20 8
Aunque su distribución parece ser muy irregular, nos espera una
sorpresa y es que si acumulamos los resultados y vamos calculando el
promedio de NSC conforme crece N, este promedio tiene como límite
π
En la siguiente tabla puedes observar que para N=20 ya se percibe
esta tendencia al límite:
N NSC(N) Acumulada Promedio
0 1 1 1,0000
1 4 5 5,0000
2 4 9 4,5000
3 0 9 3,0000
4 4 13 3,2500
5 8 21 4,2000
6 0 21 3,5000
7 0 21 3,0000
8 4 25 3,1250
9 4 29 3,2222
10 8 37 3,7000
11 0 37 3,3636
12 0 37 3,0833
13 8 45 3,4615
14 0 45 3,2143
254
15 0 45 3,0000
16 4 49 3,0625
17 8 57 3,3529
18 4 61 3,3889
19 0 61 3,2105
20 8 69 3,4500
Para N=500 el promedio oscila ya de una forma clara alrededor de
3,14:
498 0 1565 3,1426
499 0 1565 3,1363
500 16 1581 3,1620
501 0 1581 3,1557
502 0 1581 3,1494
y para N=8000 su valor es 3,14213. ¡No nos libramos del número π!
Puedes descargarte las hojas de cálculo en las que hemos
implementado la fórmula de Gauss y la función NSC que cuenta todas
las sumas considerando signos y orden en la dirección
http://hojamat.es/blog/sumacuad.zip
Problema del círculo de Gauss
En el anterior apartado nos aparecía el número π de forma algo
sorprendente. En esta veremos que de sorpresa nada. Todo está
relacionado, y se basa en la solución del llamado Problema del círculo
de Gauss.
No entraremos demasiado en la parte teórica, que podéis consultar en
las páginas
http://mathworld.wolfram.com/GausssCircleProblem.html
255
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_circle_problem
o en el Blog “Juan de Mairena”
http://demairena.blogspot.com/2008/01/1363-el-problema-del-crculo-
de-gauss.html
Lo que presentaremos aquí es su tratamiento con hoja de cálculo, pero
con una pequeña introducción.
Anteriormente desarrollamos los números enteros positivos como
sumas de dos cuadrados de base entera. Estamos en el terreno del
Teorema de Pitágoras, y si representamos todas las soluciones para
un número N dado como catetos de un triángulo, los puntos
representados por ellos se situarán todos en el círculo de radio la raíz
cuadrada de N.
Si con una hoja de cálculo creamos una lista de valores X e Y tales que
X2+Y2<=N, según lo explicado, se rellenarán puntos dentro de un
círculo, lo que representará perfectamente el círculo de Gauss. En la
imagen puedes ver el gráfico correspondiente
a N=22
Para conseguir esta imagen necesitaremos el
algoritmo que encuentre todas las soluciones
para que X2+Y2<=N Una vez conseguida la
lista de soluciones bastará con crear un
gráfico del tipo XY para conseguir la
aproximación al círculo.
Se puede usar un código en el Basic de OpenOffice.org similar al
siguiente:
Sub desarrollo(n) dim i,j,s,t,fi,a,b,x fi=5 StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(3,fi).value=0 StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,fi).value=0
256
for x=1 to n i=0 a=sqr(x) while i<=a j=x-i*i if j=int(sqr(j))^2 or j=0 then b=sqr(j) for s=-1 to 1 step 2 for t=-1 to 1 step 2 fi=fi+1 StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(3,fi).value=i*s StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,fi).value=b*t next t next s end if i=i+1 wend next x End Sub Puedes descargarte las versiones en Excel 2007 y OpenOffice.org 3 desde la dirección http://hojamat.es/blog/circulogauss.zip Reflexión intrascendente
Después de redactar los últimos apartados he recordado que en mis
clases de Matemáticas, al explicar los números reales, utilizábamos el
Teorema de Pitágoras para representar en la recta real los irracionales
cuadráticos. Así situábamos, por ejemplo, la raíz cuadrada de 10
mediante el uso de una recta graduada y un compás:
De igual forma representábamos las raíces cuadradas de 2, 13, 17,
etc.
257
Cosa curiosa: en tantos años nadie me preguntó por la raíz de 7
¿Cómo se representa en la recta real? ¿Qué le
hubieras respondido tú?
Hay dos respuestas al menos: una es acumular
triángulos rectángulos a partir de uno con
hipotenusa la raíz de 2 adosándole un cateto de medida la unidad, con
lo que la hipotenusa equivaldría a la raíz de 3, y así sucesivamente,
mediante catetos 1 se irían generando todas la raíces.
Otra es acudir a una diferencia de cuadrados. En la imagen puedes ver
la representación de la raíz de 7 tomada como cateto de un triángulo
de hipotenusa 4 y el otro cateto 3:
Pero este método tiene un inconveniente, y es que sólo son
representables con diferencias de cuadrados los números impares y
los múltiplos de 4. Por tanto, el número 14 no se podría construir ni con
sumas de cuadrados ni con diferencias.
¿Sabrías indicar qué otras dos construcciones geométricas sobre un
triángulo rectángulo nos permitirían representar todos los irracionales
cuadráticos?
Así que hemos descubierto que la descomposición de un número en
sumas o bien en diferencias de cuadrados clasifica a los números
enteros positivos en cuatro clases.
Terminamos este estudio como lo comenzamos, con la sección 182 de
las Disquisitiones arithmeticae:
Todo número natural según Gauss se puede representar de la
siguiente forma:
sr c
s
ccb
r
bba qqqpppN ......2 211
21
2
21
258
Donde pi son los factores del tipo 4h+3 y los qi del tipo 4h+1.
Con esa nomenclatura podemos afirmar:
Si a es par y todas la bi pares (contando el 0), N se puede
descomponer en suma de dos cuadrados y en diferencia de otros dos.
Igualando, N=a2+b2 = m2-n2 y produce de forma indirecta soluciones a
la ecuación x2+y2+z2=u2. Sería el caso del número 17 = 42+12= 92-82,
que da lugar a la identidad 42+12+82= 92
Si a es impar y todas la bi pares, N equivaldrá a sumas de cuadrados
pero no a diferencias. Ocurre esto con el número 10 = 32+12 que no
puede escribirse como diferencia de cuadrados a causa de no poder
expresarse como dos factores de la misma paridad.
Si a es par y alguna bi impar, admitirá una descomposición en
diferencias de cuadrados pero no en sumas (de dos). Así, 15=42-12 y
no se puede descomponer en suma por ser del tipo 4h+3.
Por último, no admitirán ninguna descomposición similar los que
presenten a impar y alguna bi impar. Es así el número 70 = 2*5*7, que
a causa del 2 y el 7 no admitirá ser expresado como suma o diferencia
de cuadrados. Insisto en la pregunta: ¿Cómo lo podríamos representar
en la recta real? Es una cuestión más bien elemental.
ESPIRAL DE NÚMEROS
A partir del número 3 se construye la siguiente sucesión de números
impares
3, 5, 13, 85, 157, 12325, 12461, 106285, 276341,…
¿Cómo se ha conseguido? Si consultas en la Red puedes descubrir
una definición algo complicada, que está contenida en una página muy
popular. Nosotros pedimos un procedimiento más simple mediante el
que se genere un 5 a partir del 3, y un 13 a partir del 5, y así el mismo
procedimiento en todos.
259
Descubrimos la solución y, siguiendo nuestra afición a los giros, le daremos algunas vueltas. Para formar esta sucesión a partir del 3 se ha elegido en cada paso la “mínima hipotenusa que forma con el número una terna pitagórica”: 32+42=52; 52+122=132; 132+842=852… y así van saliendo 3, 5, 13, 85,… (a) La función mh(n) (“mínima hipotenusa para n”) está definida para todo número entero mayor que 2. En efecto, n2 ha de ser igual a una diferencia de cuadrados entre mh(n) y un cateto, llamémosles a y b: n2=a2-b2=(a+b)(a-b), siendo ambos factores de la misma paridad y diferentes entre sí. Esto siempre es posible: Si n es impar, n2 también lo será, y se podrá descomponer al menos como n2 =n2 *1, ambos impares. Si es par, n2 será múltiplo de 4, luego se puede escribir como n2 = 2*2m, ambos pares. Por tanto todo número mayor que 2 posee una o varias hipotenusas posibles y bastará elegir la mínima (¿por qué esto falla con el 1 y el 2?) (b) Una demostración fácil: Si n es primo, sólo existe una solución y viene dada por Mh(n)=(n2+1)/2. Además, en ese caso, la diferencia entre la hipotenusa y el otro cateto es la unidad. (c) Implementación de la función mh(n) Si toda solución pasa por una diferencia de cuadrados, deberemos encontrar dos factores de n con la misma paridad lo más cercanos uno de otro, a fin de que su semisuma (valor de a) sea mínima. Incluimos un posible código function minihip(n) dim i,a,b dim sigue as boolean a=n*n ‘ tomamos el cuadrado de n i=n ‘El primer factor probar es el mismo n sigue=true ‘Controla el bucle while while sigue i=i-1 ‘Vamos bajando el valor de i b=a/i ‘calculamos el otro factor
260
if esmultiplo(a,i)=1 and esnumpar(i+b)=1 then sigue=false ‘Han de ser divisores de n2 y de la misma paridad wend b=(b+i)/2 ‘Se encuentra la semisuma de ambos factores minihip=b ‘y ese es el valor de mh(n) end function (d) Espiral de números Si reiteramos la aplicación de la función mh(n) a partir de un número entero, podremos construir un espiral con las hipotenusas (enteras) lo más pequeñas posible. De poco nos sirve, porque pronto comienzan a crecer. Por ejemplo, la que comienza con el 16 al principio va muy lenta, pero después salta: 16, 20, 25, 65, 97 y de pronto, 4705.
En cada tramo de la espiral el arcocoseno de n/mh(n) nos da una medida muy intuitiva de lo que aumenta el cateto al pasar a la hipotenusa, así como del giro que sufre ésta en cada paso. También podemos usar la razón mh(n)/n. Hay muchos números que comparten la misma razón, así mh(22)/22 = 122/22 = 61/11 y mh(121)/121 = 671/121 = 61/11, pero hay que tener cuidado, pues el carácter mínimo de mh(n) puede romper alguna proporcionalidad. (e) La función mh(n) no es inyectiva. De hecho, el número 925, es mínima hipotenusa de 43, 533, 740, 875, 888 y 924 (f) El que c sea la mínima hipotenusa para a, no significa que también lo sea para el otro cateto b. Hay veces que sí, como en el caso de a=52: su mínima hipotenusa es c=65, con lo que el otro cateto es b=39 y mh(39) = 65 de nuevo. En otros casos no se produce esa coincidencia: a=55, mh(a)=73, b=48 y mh(48)=50, que no coincide con 73. Piensa, ¿qué será más frecuente, el que coincidan o el que no? Pues en los mil primeros números son más frecuentes las coincidencias (entre 56% y 53,5%), pero va decreciendo ese porcentaje. Con más paciencia o instrumentos más rápidos podríamos conjeturar su límite.
261
(g) Se señaló anteriormente que el arcocoseno es una buena medida de la razón n/mh(n). Su cota es pi/2. ¿Crees que podemos acercarnos a esa cota tanto como queramos eligiendo convenientemente n? La respuesta es afirmativa: Usando números primos la razón n/mh(n) = 2p/(p2+1) tendería a 0 para p suficientemente grande.
262
NÚMEROS ESPECIALES
AUTONÚMEROS O NÚMEROS COLOMBIANOS
Estos números, llamados también de Devlali, fueron descritos por el
matemático indio Kaprekar (el de la constante 6174,
http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Kaprekar). Son muy
conocidos por haberlos presentado Martin Gadner en uno de sus
libros. En esta dirección puedes leer su artículo.
http://librosdemates.blogspot.com.es/2013/01/viajes-por-el-tiempo-y-
otras.html
Su definición es algo extraña, porque son aquellos números enteros
positivos que no pueden ser expresados como la suma de otro
entero con la suma de sus cifras (Kaprekar llamó a esta operación
digitadición). Por ejemplo, 20, no puede generarse con números más
pequeños a los que les sumamos sus cifras. Con los de una cifra se ve
que es imposible, y con los de dos: 11+1+1=13, 12+1+2=15,
13+1+3=17, 14+1+4=19, 15+1+5=21, y el resto tampoco daría como
resultado 20.
Con esta definición se comprende que existan infinitos tipos de
autonúmeros, dependiendo de la base elegida, y así se ha
demostrado. Nosotros nos limitaremos a la base 10. En este caso los
tienes en http://en.wikipedia.org/wiki/Self_number y son estos:
1, 3, 5, 7, 9, 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97, 108, 110, 121, 132, 143,
154, 165, 176, 187, 198, …
También los puedes estudiar en http://oeis.org/A003052
Estos números proceden de una criba. Puedes ir calculando todos los
resultados posibles si se suma cada número con la suma de sus
dígitos en la base dada. Resultarían estos:
263
2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26,
27, 28,…, que están contenidos en http://oeis.org/A176995 y los que
nos ocupan serían su complemento.
Algoritmo de fuerza bruta
Una cuestión interesante es cómo saber si un número es autonúmero o
no. El primer acercamiento a este tema puede consistir en recorrer
todos los números inferiores a N, añadirles la suma de sus cifras y
comprobar si el resultado es N. Desembocamos entonces en la
programación con hojas de cálculo. Necesitaríamos:
La función SUMACIFRAS
Un bucle que recorra los números k de 1 a N y que pare si el resultado
de k+sumacifras(k) es N.
Si la prueba anterior es positiva, declaramos que el número N no es
autonúmero, y si es negativa para todos los números inferiores a N,
diremos que sí lo es.
La función SUMACIFRAS debemos tenerla publicada en algún
documento. Por si no fuera así, la reproducimos en Basic de hoja de
cálculo:
Public Function sumacifras(n) 'No analiza si el número es entero positivo Dim h, i, s, m h = n ‘De la variable h se irán extrayendo las cifras s = 0 ‘Esta variable recogerá la suma de cifras While h > 9 ‘Bucle para extraer las cifras una a una i = Int(h / 10) m = h - i * 10 h = i s = s + m ‘La nueva cifra se suma a la variable Wend s = s + h ‘La cifra residual se suma a la variable sumacifras = s End Function
264
Una vez tenemos la función sumacifras podemos organizar el test en
forma de función booleana:
Public Function esauto(n) Dim es As Boolean Dim k es = True ‘Se declara de entrada que el número es “colombiano” k = 0 ‘Comenzamos a recorrer los números menores que n While k < n And es ‘No paramos hasta llegar a n o hasta que es sea falso If k + sumacifras(k) = n Then es = False ‘Si hay igualdad, paramos y declaramos “False” k = k + 1 Wend esauto = es ‘La función recoge el valor de es End Function
Aplicamos esta función a los primeros números y obtendremos el valor
VERDADERO en los autonúmeros:
Por ejemplo, busquemos el primer autonúmero que sigue a 1000:
1 VERDADERO
2 FALSO
3 VERDADERO
4 FALSO
5 VERDADERO
6 FALSO
7 VERDADERO
8 FALSO
9 VERDADERO
10 FALSO
11 FALSO
12 FALSO
13 FALSO
14 FALSO
15 FALSO
16 FALSO
17 FALSO
18 FALSO
19 FALSO
20 VERDADERO
21 FALSO
22 FALSO
265
Resulta ser el 1006.
Test de Kaprekar
El anterior algoritmo recorre demasiados números y es ineficiente para
enteros grandes. El mismo Kaprekar demostró un test en el que sólo
hay que analizar enteros no superiores al número de dígitos. Lo
copiamos de la página
http://www.numbersaplenty.com/set/self_number/
Lo hemos implementado como función para Excel. No detallamos el
código. Sólo lo copiamos con algún comentario:
Public Function esauto2(n) Dim nc, a, r, h, k Dim es As Boolean 'número de cifras a = 1: nc = 0 While a <= n a = a * 10: nc = nc + 1 Wend 'Se preparan las variables del test de Kaprekar
1000 FALSO
1001 FALSO
1002 FALSO
1003 FALSO
1004 FALSO
1005 FALSO
1006 VERDADERO
1007 FALSO
1008 FALSO
1009 FALSO
1010 FALSO
266
If nc = 0 Then esauto2 = False: Exit Function r = 1 + ((n - 1) Mod 9) If r / 2 = r \ 2 Then h = r / 2 Else h = (r + 9) / 2 'Bucle del test es = True k = 0 While k <= nc And es If sumacifras(Abs(n - h - 9 * k)) = h + 9 * k Then es = False k = k + 1 Wend esauto2 = es End Function Hemos preparado un esquema en el que se puede elegir el inicio y compara las dos funciones, ESAUTO y ESAUTO2. Por si se hubiera deslizado algún error se han efectuado varias comprobaciones y coinciden ambas funciones, pero con gran lentitud en la primera.
Distribución de los autonúmeros
Es fácil ver que el incremento entre dos autonúmeros consecutivos es
frecuentemente 11. Por ello esperamos tramos lineales en su
distribución. Los veremos creando un gráfico con los primeros, pero si
elegimos un gráfico con muchos puntos, se nos presenta una
distribución prácticamente lineal, con pendiente 10,2, cercana al 11,
que como hemos visto, aparece en muchos tramos.
267
Para ver mejor los tramos lineales elegimos un rango de números más
pequeño:
Normalmente el salto de 11 se produce porque equivale a rebajar en
una unidad las decenas cuando es posible. Así la suma total se rebaja
en 11. Si el primero es autonúmero puede obligar a que el segundo
también lo sea, pues si éste admitiera una suma, al rebajar esa unidad
podría no ser autonúmero el primero. Esto vale sólo para la mayoría de
los casos. No es una regla general. Ocurre algo parecido con 101,
1001, 10001, …
Hay una forma sencilla de engendrar autonúmeros (no todos), y es
comenzar por 9 y después usar la fórmula recurrente
Ck=8*10k-1+Ck-1+8
El siguiente número sería 8*10+9+8=97, el siguiente 800+97+8=905.
Con hoja de cálculo es fácil construir esta generación recurrente.
Inténtalo si quieres. En la imagen hemos añadido a la derecha la
función esauto.
268
En párrafos anteriores descubrimos que todos los números se pueden
clasificar en generados por la digitadición de Kaprekar y autonúmeros,
que no pueden ser generados. Nos dedicaremos en primer lugar a los
generados, y con ellos descubriremos algo más sobre los
autonúmeros.
Números generados
Señalamos que los números 2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28,… (http://oeis.org/A176995) son
los complementarios de los autonúmeros. Todos ellos se pueden
expresar como N+SUMACIFRAS(N), por lo que Kaprekar les llamó
“generados”. A este número N le podemos llamar generador del
mismo, pero desafortunadamente no es único, por lo que no podemos
considerarlo una función dependiente del número. En efecto, existen
números, como el 103, que poseen más de un desarrollo de este tipo,
ya que 103=92+9+2 y también 103=101+1+1.
Podíamos definir una función GENERADOR si para cada N
eligiéramos el mayor K que cumple que K+SUMACIFRAS(K)=N, y
asignar el valor 0 como generador de los autonúmeros. Así sí sería una
función. La función AUTO descrita más arriba y debidamente adaptada
nos servirá para este propósito:
Public Function generador(n) Dim k, g g = 0 While k < n If k + sumacifras(k) = n Then g = k k = k + 1 Wend
9 VERDADERO
10 97 VERDADERO
100 905 VERDADERO
1000 8913 VERDADERO
10000 88921 VERDADERO
100000 888929 VERDADERO
1000000 8888937 VERDADERO
10000000 88888945 VERDADERO
269
generador = g End Function
En esta tabla puedes comprobar que si a cada número de la derecha le
sumas la suma de sus cifras, resulta el de la izquierda, salvo el caso
del autonúmero 97 al que le hemos asignado un cero.
Si construimos un diagrama de dispersión entre N y su generador,
obtenemos un resultado similar a este:
Abajo los puntos de valor 0 representan a los autonúmeros, y los de
arriba parecen presentar pautas lineales escalonadas, pero es una
ilusión, ya que esos tramos no se podrían solapar. Lo que ocurre es
que en este proceso los números consecutivos aparecen muy
cercanos, y dan la impresión de sucederse. Analizaremos estos
números con más detalle.
Si representamos un número N de k+1 cifras en base 10, lo estamos
generando mediante un polinomio del tipo
𝑁 = 𝑎0 + 𝑎1101 + 𝑎2102 + ⋯ + 𝑎𝑘10𝑘
N Generador(N)
90 81
91 77
92 82
93 78
94 83
95 79
96 84
97 0
98 85
99 90
100 86
101 100
270
Si ahora le sumamos sus cifras (digitadición) se convertirá en
𝑁 = 2𝑎0 + 11𝑎1 + 101𝑎2 + 1001𝑎3 … + 100 … 01𝑎𝑘
Todos los números generados se podrán expresar de esta forma, y los
autogenerados, no.
Según esta fórmula, los dobles de las cifras 1…9 serán todos números
generados, y si dos generadores se diferencian sólo en una unidad en
las decenas, sus generados se diferenciarán en 11, como ya hemos
observado. Si se diferencian en una unidad de las centenas, sus
generados se diferenciarán en 101, y así. Estas correspondencias
también se dan en casi todos los autonúmeros, pues van la par de
estos. No se da en todos.
En este gráfico hemos descompuesto cada autonúmero en relación
con los menores de 100, y vemos una repetición de tramos lineales a
unas alturas de 1001, 2002, 3003 y 4004. Esto es consecuencia de la
fórmula que hemos desarrollado.
Fundamento del algoritmo de Kaprekar
La fórmula
𝑁 = 2𝑎0 + 11𝑎1 + 101𝑎2 + 1001𝑎3 … + 100 … 01𝑎𝑘
nos da una forma paralela a la de Kaprekar para decidir si N es
autonúmero en pocos pasos (es el mismo proceso con otra
271
orientación). Observa que todos los coeficientes son congruentes con 2
módulo 9, con lo que si llamamos G al posible generador de N y SC(G)
a la suma de sus cifras, se cumplirá que N≡2SC(G) (mod 9. Para saber
esto no hacía falta la fórmula, pues como G es congruente con SC(G)
módulo 9 y se cumple que N=G+SC(G), es evidente que N será
congruente con el doble de SC(G).
Como 2 es primo con 9, en la ecuación N≡2SC(G) (mod 9 se podrá
encontrar una solución S, con lo que G=9*k+S para valores de k no
superiores al número de cifras. Lo vemos con el 30: Si N=30, será
30≡3≡2*SC(G). En este caso SC(G)≡6, porque 6+6≡3 (mod 9. De esta
forma G puede ser 6, 15 0 24. Recorremos de mayor a menor y
descubrimos que el 24 vale, porque 24+2+4=30, luego 30 no es
autonúmero, sino generado.
Probamos con un número mayor, como 4327, del que ya sabemos por
otros medios que es autonúmero:
Hallamos el resto módulo 9 de 4327 (puedes dividir mentalmente o
usar la función RESIDUO de Excel) y resulta ser 7. Planteamos
7≡2SC(G) (mod 9. También, mentalmente, vemos que SC(G) ≡8 (mod
9. Por tanto, vamos restando de 4327 números del tipo 9*k+8 hasta ver
si la suma de las cifras de la diferencia es ese número:
K=0: 4327-8=4321, y su suma de cifras no es 8.
K=1: 4327-17=4310 y no suman 17
K=2: 4327-26=4301. No suman 26,
K=3: 4327-35=4292. No vale
Acabamos con k=4, porque la suma de cifras ya no puede ser mayor:
K=4: 4327-44=4283, de suma 17, luego tampoco es válido.
Hemos comprobado, con la misma técnica de Kaprekar y distinta
presentación, que 4327 es autonúmero. No puede ser generado.
Para los aficionados a la programación, esta es la función que
podemos usar:
Public Function esauto3(n)
Dim nc, a, r, h, k
272
Dim es As Boolean
'número de cifras
a = 1: nc = 0
While a <= n
a = a * 10: nc = nc + 1
Wend
'módulo 9
r = n Mod 9
For k = 0 To 8: If (r - 2 * k) Mod 9 = 0 Then h = k
k = 0: es = True
While k <= nc And es
If sumacifras(n - 9 * k - h) = 9*k+h Then es = False
k = k + 1
Wend
esauto3 = es
End Function
Hemos construido un esquema de hoja de cálculo en el que vemos la
equivalencia de las tres funciones que hemos. En la imagen tienes un
ejemplo:
N ESAUTO(N) ESAUTO2(N) ESAUTO3(N)
1928 FALSO FALSO FALSO
1929 FALSO FALSO FALSO
1930 VERDADERO VERDADERO VERDADERO
1931 FALSO FALSO FALSO
1932 FALSO FALSO FALSO
1933 FALSO FALSO FALSO
1934 FALSO FALSO FALSO
1935 FALSO FALSO FALSO
1936 FALSO FALSO FALSO
1937 FALSO FALSO FALSO
1938 FALSO FALSO FALSO
1939 FALSO FALSO FALSO
1940 FALSO FALSO FALSO
1941 VERDADERO VERDADERO VERDADERO
1942 FALSO FALSO FALSO
1943 FALSO FALSO FALSO
273
Sucesiones recurrentes de números generados
Kaprekar estudió también las sucesiones que se forman si a un
número cualquiera le vamos aplicando la digitadición tanto a él como a
los resultados sucesivos. Por ejemplo, si comenzamos con el 12
tendríamos la sucesión 12, 15, 21, 24, 30,…Evidentemente es infinita,
creciente y todos sus elementos, salvo quizás el primero, son
generados. Kaprekar destacó que si restamos el último del primero y
sumamos las cifras del último, resulta la suma de cifras de todos ellos.
Por ejemplo, aquí, 30-12+3=21=1+2+1+5+2+1+2+4+3+0
Aunque el autor le dio mucha importancia, basta recorrer la generación
para darse cuenta de su validez: 12+3+6+3+6=30, luego al restar
resultarán las sumas de cifras menos la del último. Es una obviedad.
274
SOLUCIONES
CUADRADOS
Sumas de los primeros cuadrados
Cuadrados que dan cuadrado
12+22+32+42+52+…+232+242 = 702
Cuadrados que dan triangular
12+22+32+42+52 = 55 = T10
12+22+32+42+52+62 = 91 = T13
12+22+32+42+52+…+842+852 = 208335 = T645
(http://oeis.org/A039596)
Triangulares que dan cuadrados
1+3 = 22
1+3+6+10+…1176 = 19600 =1402
Triangulares que dan triangular
1+3+6 = 10 = T4
1+3+6+10+15+21+28+36 = 120 = T15
1+3+6+10+… + T20 = 1540 = T55
1+3+6+10+… + T34 = 7140 = T119
(http://oeis.org/A027568)
Cuadrados en progresión aritmética
275
La condición que ha de cumplir la media aritmética de los dos
cuadrados, es la de ser ella también un cuadrado perfecto, y en hoja
de cálculo se puede expresar mediante esta condición:
N=(ENTERO(RAÍZ(N))^2
El número 10404= 102^2 forma progresión aritmética con 1764= 42^2;
y la media aritmética de ambos 6084 = 78^2
Las diferencias entre tres cuadrados en progresión aritmética son
siempre múltiplos de 24. Lo razonaremos en dos fases:
(A) Las diferencias son múltiplos de 3
Partimos de a2+b2=2c2 como condición de estar en progresión
aritmética. Los restos cuadráticos módulo 3 son 0 y 1. Nunca pueden
ser 2.
Si el resto de c2 es 0, el de 2c2 también lo es, luego a2 y b2 deberán
presentar también resto 0 (es la única posibilidad). Por tanto sus
diferencias serán múltiplo de 3.
Si el resto de c2 es 1, el de 2c2 será 2 y eso obliga a que a2 y b2 tengan
también resto 1, luego las diferencias vuelven a ser múltiplos de 3. Con
esto queda demostrado.
(A) Las diferencias son múltiplos de 8
Los restos cuadráticos módulo 16 son 0, 1, 4 y 9. Podemos construir
una tabla de sumar entre ellos para que comprendas mejor el
razonamiento:
+ 0 1 4 9
0 0 1 4 9
1 1 2 5 10
4 4 5 8 13
9 9 10 13 2
Con razonamientos similares al caso de 3, tendremos:
276
Si el resto de c2 es 0, el de 2c2 también lo es, luego a2 y b2 deberán
presentar también resto 0. Por tanto sus diferencias serán múltiplos de
16 y con mayor razón de 8.
Si el resto de c2 es 1, el de 2c2 es 2, luego a2 y b2 deberán presentar
ambos resto 1 o resto 9. Por tanto su diferencia será al menos múltiplo
de 8 si no lo es de 16 (en el caso 9-1)
Si el resto de c2 es 4, el de 2c2 es 8, luego a2 y b2 deberán presentar
también resto 4. Por tanto sus diferencias serán múltiplos de 16.
Si el resto de c2 es 9, el de 2c2 será 2, y ya hemos estudiado ese caso.
Acabamos de razonar que las diferencias son múltiplos de 16 salvo en
un caso en el que sólo lo son de 8.
Resumiendo: Las diferencias mutuas son múltiplos de 24.
La mitad, cuadrado, el tercio, cubo
Si N = 2m2 = 3n3, deberán figurar, tanto en m como en n, los factores 2
y 3. Luego m2 = 36*k2 y n3 = 216*h3.
N = 72*k2 = 648*h3 y h ha de ser cuadrado perfecto para que se pueda
dividir entre k2
Queda, pues, que N=648p6
Así que las soluciones se obtendrán de los valores de p2
p2=1, 648, p2=4, 41472, p2=9, 472392, p2=16, 2654208
En el caso N= 2n2 = 5m5
deberá ser N = 200*k2 = 500000*h5
y una solución 500000
En el caso N= 3n3 = 5m5
será 10125*k3 = 500000*h5
y una solución posible es 922640625
277
Exploración matemática
(1) Si 2n2 + 1 = m2, ambos naturales, m ha de ser impar, luego m=2k+1
con k natural, con lo que se cumple si 2n2 + 1 = 4k2+4k+1.
Simplificando y dividiendo entre 8: n2/4 = k(k+1)/2, luego se cumple que
n2/4 es cuadrado y triangular.
(2) Partimos de la igualdad x2=k(k+1)/2. Multiplicamos todo por 8 y
queda: 8x2 =4k2+4k+1-1=(2k+1)2-1. Si llamamos y a 2k+1, nos queda
la ecuación de Pell 8x2+1=y2
(3) (Para no complicar la edición, usaremos la palabra RAÍZ para
representar la raíz cuadrada). Como (3+RAÍZ(8))n = yn+RAÍZ(8)xn,
basta ir multiplicando por sí mismo y sumando por separado los
números naturales y los coeficientes de RAÍZ(8): (3+RAÍZ(8)),
(17+6*RAÍZ(8)), (99+35*RAÍZ(8))… van resultando los valores de x 1,
6, 35,…
(4) Basta usar (yn-1+RAÍZ(8)xn-1)* (3+RAÍZ(8))= yn+RAÍZ(8)xn con lo que
resultan las fórmulas pedidas. Para reducir a una sola con x, se puede
acudir a esta transformación:
yn=3xn-1+8yn-1, xn=3xn-1+yn-1
xn=3xn-1+yn-1 = 9xn-2+3yn-2+(8xn-2+3yn-2) = 17 xn-2 + 6 yn-2 = 6(3xn-2 + yn-2)-
xn-2 = 6 xn-1 - xn-2
Jugamos con los triangulares
(1) La tabla a construir puede ser similar a la siguiente:
N T(N) Suma cuad. X
1 1
2 3 10 4
3 6 45 9
4 10 136 16
5 15 325 25
6 21 666
278
7 28 1225
En la primera columna figura el número de orden, en la segunda el
triangular correspondiente, y a continuación la suma de cuadrados
entre dos consecutivos. Fácilmente se descubre que los resultados son
números triangulares de índice X, que resulta ser el cuadrado del
índice. Por tanto conjeturamos que la suma del triangular de índice n
con el siguiente de índice n+1 da como resultado al triangular
correspondiente a (n+1)2
(2) Si recordamos que T(n)=n(n+1)/2, será T(n+1)=(n+1)(n+2)/2.
Desarrollamos sus cuadrados y sumamos, resultando la expresión
(n+1)2(n2+(n+2)2)/4 =(n+1)2(2 n2+4n+4)/4 =(n+1)2((n+1)2+1)/2 , que
corresponde al triangular de índice (n+1)2.
Con la calculadora Wiris se comprueba fácilmente:
(3) No necesita comentarios
Cubos y gnomones
(1) Todo cubo n3 de base natural n equivale a la diferencia de los
cuadrados de los números triangulares Tn y Tn-1. Basta desarrollar la
expresión (n(n+1)/2)2-(n(n-1)/2)2 y comprobar que el resultado es n3.
(2) la suma de cubos propuesta equivale a T2k+r
- T2
k-1. Puedes
desarrollarla de varias formas simplificando algebraicamente.
El número 30500
(1) Se presentan todas las cifras, porque las terminaciones de
cuadrados de primos mayores que 2 sólo pueden ser 1 y 9 (ó -1).
279
Según la distribución del 1 y el 9 en las cuatro terminaciones
tendremos: 1+1+1+1 termina en cuatro; 1+1+1+9 en 2; 1+1+9+9 en 0;
1+9+9+9 en 8 y 9+9+9+9 en 6, luego los números considerados
recorrerán las cifras 2, 4, 6, 8 y 0
(2) Los cuadrados de los números primos salvo el 2 tienen la forma
4k+1, luego al sumar cuatro resultará 4m+4, que es múltiplo de 4
(3) 23500=71^2+73^2+79^2+83^2
(5)
sub sumaprimcuad
dim n,a,b,c,d,e,r,vale
dim s$
s$=inputbox("Número")
n=val(s$)
a=2:b=3:c=5:d=7
r=sqr(n/4)
vale=0
while a<=r and vale=0
e=a^2+b^2+c^2+d^2
if e=n then msgbox(str$(a)+str$(b)+str$(c)+str$(d)):vale=1
a=b:b=c:c=d:d=primprox(d)
wend
if vale=0 then msgbox("No es suma de cuadrados consecutivos")
end sub
(6) Por las mismas razones que en (1), a partir de un resultado todos
tendrán una de las formas: 1+1+1 que termina en 3, 1+1+9 en 1,
1+9+9 en 9 y 9+9+9 en 7, y nunca se produce la terminación en 5
En el caso de dos cuadrados tendríamos: 1+1 terina en 2, 1+9 en 0 y
9+9 en 8. No aparecen ni el 6 ni el 4.
P I TÁG ORAS Y SUS TE RNA S
280
El sueño de Lewis Carroll
30240, 31920, 41160 y 43680
Las ternas pedidas son:
30240 90, 672 y 678 144, 420 y 444 240,252 y 348
31920 80, 798 y 802 105, 608 y 617 190, 336 y 386
41160 105, 784 y 791 168, 490 y 518 280, 294 y 406
43680 112, 780 y 788 210, 416 y 466 240, 364 y 436
Se pueden obtener con OpenOffice.org Calc con este código:
Código de la macrobúqueda Sub busquedas Dim fila,i,j,k,m,l,n dim a,b,c dim vale as boolean fila=10 ‘Lleva a cuenta de las filas de presentación de resultados for i=1 to 50000 Rango de búsqueda de áreas n=2*i Doble del área o producto de catetos c=5 Lleva la cuenta de la columna de presentación l=0 Cuenta las ternas válidas a=int(sqr(n)) for j=1 to a Busca catetos if esdivisible(n,j) then b=n/j Calcula el otro cateto m=j*j+b*b Busca la terna pitagórica if escuadrado(m) then Se trata de una terna pitagórica l=l+1 c=c+1 Se presenta el resultado
281
StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(4,fila).value=iStarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(c,fila).value=j c=c+1 StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(c,fila).value=b c=c+1 StarDesktop.CurrentComponent.sheets(0).GetCellByPosition(c,fila).value=sqr(m) c=c+1 end if end if next j if l>2 then fila=fila+1 Si se han conseguido tres ternas, se avanza una fila next i End Sub Oblongos y pitagóricos
Solución
Cuando se buscan las soluciones de la ecuación de Pell las recurrencias vienen dadas por las fórmulas de recurrencia zn+1=zn*z0+D*yn*y0 yn+1=zn*y0+yn*z0, pero en el caso z2-2y2 = -1 las soluciones surgen de forma alternada. Así, como en este caso z0=1, y0=1, tendremos: zn+1=zn+2yn; yn+1=zn+yn y reiterando dos veces
Z’’=Z’+2Y’=(Z+2Y)+2(Z+Y) = Z+2Y+2Z+2Y = 3Z+4Y
Y’’=Z’+Y’ = Z+2Y+Z+Y = 2Z+3Y
Teniendo en cuenta que Z=2X+1, y que Y=X+1, nos resulta
Y’’=2Z+3Y=2(2X+1)+3Y = 4X+3Y+2, que es la segunda fórmula de Fermat
282
De Z’’=3Z+4Y podemos obtener (2X’’+1)=3(2X+1)+4Y; 2X’’ = 6X+4Y+2;
X’’ = 3X+2Y+1, que es la primera
Aplicamos estas dos fórmulas al cateto menor y a la hipotenusa y obtenemos los mismos resultados a partir de 3, 4 y 5
X''=3X+2Y+1 X+1 Y''=4X+3Y+2
3 4 5
20 21 29
119 120 169
696 697 985
4059 4060 5741
23660 23661 33461
137903 137904 195025
803760 803761 1136689
4684659 4684660 6625109
27304196 27304197 38613965
159140519 159140520 225058681
Doblado pitagórico
Los catetos pueden ser 2uv y u2-v2 con u, v primos entre sí y de distinta
paridad. Por tanto basta plantear 2uv+u2-v2=k y transformarla en
(u+v)2-2v2 = k, que se puede expresar como x2-2y2=k o como 2x2-y2=-k
con lo que obliga a que 2 sea resto cuadrático respecto a los divisores
de k y llegamos a la misma conclusión que en la anterior cuestión.
Espiral de números
El siguiente es 339709. La sucesión se ha formado eligiendo para cada
número la menor hipotenusa que forma con él una terna pitagórica:
32+42 = 52; 52+122 = 132; 132+842=852; 852+1322=1572, etc.
5, 13, 85, 157, 12325, 12461, 106285, 276341, 339709
