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Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 1
ROBÔS MANIPULADORES
Nuno FerreiraDepartamento de Engenharia ElectrotécnicaInstituto Superior de Engenharia de Coimbra
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 2
Robôs Manipuladores
1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição 7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 3
A modelização de um manipulador robótico requer o estabelecimento da cinemática e da dinâmica.
A cinemática trata do estudo analítico da geometria do movimento de um braço robótico.
A dinâmica relaciona as posições, velocidades e acelerações que ocorrem numa trajectória com as forças/binários fornecidos pelos actuadores.
Modelização
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Cinemática
Um manipulador robótico pode ser modelizado como uma cadeia articulada de elos rígidos interligados por juntas (rotacionais ou prismáticas) movidas por actuadores.
Robô
ABB IRB 60
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Cinemática
Uma das extremidades da cadeia está ligada a uma base de suporte, enquanto que a outra élivre e possui um órgão terminal para a manipulação de objectos e a realização de tarefas
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Cinemática
Kuka KR125L90
O movimento combinado das juntas resulta no movimento dos elos que posicionam o órgão terminal.
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Cinemática
Relação geométrica que envolve as coordenadas na região de trabalho {x, y} e as variáveis nas articulações {q1, q2}.
O sentido da transformação de coordenadas: cinemática directa {q1, q2} −> {x, y} cinemática inversa {x, y} −> {q1, q2}
Em qualquer dos casos pode-se estabelecer uma relação diferencial (em ordem ao tempo) de onde resulta a cinemática diferencial.
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Cinemática
Duas propriedades importantes: Na cinemática directa existe só uma solução;Na cinemática inversa podem existir várias soluções;
“cotovelo em cima”“cotovelo em baixo”
l2
l1
q1
q2
J2m
J1m
J2g
J1g
x
y
Cotovelo para cima
Cotovelo para baixo
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Cinemática - DirectaDefinindo Pi como sendo o vector que vai da base do sistema de eixos Oxy até á extremidade do elo i, tem-se P1 = P1’ e P2 = P1’ + P2’.
na forma matricial:
=
2
111 qsen
qcosl'P
( )( )
++
=21
2122 qqsen
qqcosl'P
( )( )
++++
=
21211
21211
qqsen.lqsen.lqqcos.lqcos.l
yx
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Cinemática Diferencial de 1ª de 2ªOrdem
Relação entre a velocidade das juntas e a velocidade cartesiana do manipulador
=
2
1
yx
&
&
&
&J
( ) ( )( ) ( )
++++−+−−
=21221211
21221211
cos.cos.cos....
qqlqqlqlqqsenlqqsenlsenql
J
Ao derivar a expressão do Jacobiano obtém-se as equações da aceleração
( )( )
( )( ) ( )
+
++
−
+
++−−
=
2
21
21
21211
21211
21
1
21211
21211
qqqcos.lqcos.lqqsen.lqsen.l
qqq
qqcos.lqcos.lqqsen.lqsen.l
yx
&&
&
&&&&
&&
&&
&&
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Cinemática - Inversa
Se (x, y) estiver fora da área de trabalho do braço robô, não é possível encontrar uma solução
No caso do ponto (x, y) estar dentro do espaço de trabalho podem existir uma ou mais soluções.
−−+
+
−
=
−
−−
21
22
21
221
221
2211
2
1
..2cos
cos..tantan
llllyx
qllsenql
xy
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Cinemática – Diferencial Inversa de 1ªOrdem
As velocidades dos ângulos das juntas, são obtidas encontrando o Jacobiano inverso (J−1)
=
yx
2
1
&
&
&
& 1-J
1
2121121211
212212
2212
1
)()cos(cos)()cos(1
−
+−−+−−
++=
J
yx
qqsenlsenqlqqlqlqqsenlqql
senqllqq
&
&
444444444444 3444444444444 21&
&
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Cinemática – Diferencial Inversa de 2ªOrdem
( )( ) ( )
−−
++=
+ y
xqsen.lqcos.l
qqsen.lqqcos.lqsenl.l
1qq
q
1111
212212
22121
1
&&
&&
&&&&
&&
( )
+
−−+
221
21
121121
22221
221 qq
qqcos.l.ll
lqcos.l.lqsenl.l
1&&
&
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Cinemática – Inversa
No caso de x = y= 0 e considerando l1 = l2, obtém-se uma solução indeterminada.
Se o manipulador estiver na origem e l1=l2, existem infinitas soluções, pois qualquer ângulo q1 éadmissível.
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Robôs Manipuladores
1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição 7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade
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Região de Trabalho
A região de trabalho corresponde à zona onde o robô pode manipular a sua “mão”
A região/área de trabalho do robô édeterminada pelas seguintes características;
- estrutura cinemática do robô;- comprimento dos seus elos;- limitações dos movimentos das juntas.
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Região de Trabalho
Exemplo deRobôs da ABB:
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Região de TrabalhoOutros Robôs da ABB:
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Região de TrabalhoProblemas geométricos relacionados com o espaço de trabalho.
As trajectórias no espaço cartesiano apresentam alguns problemas nomeadamente:
os pontos intermédios que não são alcançáveis;valores elevados das velocidades nas juntas, perto das singularidades do robô; trajectórias apresentam diferentes soluções.
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Região de Trabalho
os pontos intermédios que não são alcançáveis;
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Região de Trabalho
valores elevados das velocidades nas juntas, perto das singularidades do robô;
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Região de Trabalho
Começo e meta alcançável em soluções diferentes;
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Robôs Manipuladores
1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição 7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade
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Planeamento de Trajectórias
O planeamento de trajectórias consiste na especificação do caminho que o órgão terminal do robô deve percorrer quer no espaço quer no tempo.
Por outras palavras, não são somente os pontos por onde o robô deve passar que devem ser especificados, mas também os instantes em que são alcançados esses pontos.
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Planeamento das Trajectórias
A
B
C
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Planeamento das Trajectórias
A definição da trajectória pode ser feita quer no espaço cartesiano quer no espaço das juntas.
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Planeamento das Trajectórias
As trajectórias definidas no espaço cartesiano encontram-se mais adaptadas para uma fácil visualização mas, por outro lado, acarretam uma carga computacional mais elevada quando se faz apelo à cinemática inversa.
A definição das trajectórias no espaço das juntas coloca uma carga computacional mais reduzida mas, em contrapartida, torna-se difícil antever qual a trajectória executada pelo robô no espaço operacional
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Planeamento das Trajectórias
Planeamento de Trajectórias no Espaço Cartesiano
Planeamento de Trajectórias no Espaço das Juntas
{ } { })t(y),t(x)t(a),t(v),t(s →
{ } { })t(q),t(q)t(a),t(v),t(s 21→
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Planeamento das Trajectórias
O planeamento de trajectórias pode ser abordado de duas formas distintas
Especificação de um conjunto de pontos pelos quais o órgão terminal do robô deve passar, em determinados instantes, complementadas com restrições de posição, velocidade e aceleração que têm de ser cumpridas.
Especificação do tipo de movimento a ser efectuado pelo órgão terminal, nomeadamente, através de trajectórias do tipo rectilíneo.
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Planeamento das Trajectórias
+ Suave
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Robôs Manipuladores
1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição 7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade
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Dinâmica
O estudo da dinâmica do braço do robô éimportante para a simulação, testando-se diferentes estratégias de controlo sem que isso implique custos e eventuais problemas mecânicos que podem ocorrer com robôs reais.
É ainda de salientar que o estudo da dinâmica étambém importante para a análise do manipulador na sua concepção mecânica.
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Dinâmica
Relaciona as posições, velocidades e acelerações, que ocorrem numa trajectória do robô, com as correspondentes forças/binários requeridos aos actuadores.
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Dinâmica
A dinâmica segue as leis da física clássica e pode ser expressa através de uma relação diferencial:
{ } { })t(T)t(q),t(q),t(q InversaDinâmicaiii →&&&
{ } { })t(q),t(q),t(q)0t(q),0t(q),t(T iiiDirectaDinâmica
ii &&&& →==
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Dinâmica − Inversa
A dinâmica inversa para um robô com n eixos pode ser expressa por um conjunto de equações diferenciais não lineares da forma simbólica :
T representa o vector n × 1 dos binários dos actuadores; J é a matriz simétrica das inércias, de dimensão n ×n; C é o vector, n × 1 dimensional, dos binários/forças coriolis/centrípetos;G é o vector, n × 1 dimensional, dos binários/forças gravitacionais.
( ) ( ) ( )qGqqCqqJT ++= &&& ,
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O Robô RR
l2
l1q1
q2
J2m
J1m
J2g
J1g
x
y
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Dinâmica Inversa do Robô RR
( )
( )
++
+
+++
+++
=
g2m2
222
22122
22
2212
222
g1m12212
222
2121
JJrm
Crrmrm
Crrmrm
JJCrrm2rmrmm
qJ
( )
−−= 2
12212
2122122
22212
qSrrmqqSrrm2qSrrm,
&
&&&&qqC
( ) ( )
++=
1222
1222112111
CrgmCrmCrmCrmg
qG
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Dinâmica − Directa
A dinâmica directa corresponde à integração da expressão
Normalmente adopta-se um método numérico de integração que seja computacionalmente eficiente. Neste sentido é de referir o algoritmo de Runge--Kutta
[ ]G(q))qC(q,TJ(q)(t)q 1 −−= − &&&
(0)qdtq(t)qt
0
&&&& += ∫
q(0)dtqq(t)t
0
+= ∫ &
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Robôs Manipuladores
1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade
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Controlo de Posição
Uma vez desenvolvido um modelo do sistema manipulador é necessário considerar o seu controlo nomeadamente, as variáveis de posição/velocidade e variáveis de força.
O controlo de posição tem o objectivo de assegurar que uma sequência de movimentos planeados seja executada correctamente, face a eventuais erros resultantes das limitações computacionais e efeitos mecânicos.
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Controlo de Posição
As estratégias de controlo de posição são adequadas para tarefas onde o manipulador não interactua significativamente com os objectos na região de trabalho, tais como, a transferência de materiais, a pintura ou a soldadura por pontos.
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Controlo de Posição “transferência de materiais”
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Controlo de Posição “soldadura por pontos”
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Controlo de Posição “Pintura”
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Controlo de Posição
A formulação básica de um algoritmo de controlo consiste na medição da posição do braço manipulador durante o movimento, na comparação com a posição desejada e, consequentemente, no desenvolvimento de uma actuação com vista a eliminar o eventual erro.
Desenvolvimento de algoritmos visa o controlo das variáveis posição, velocidade e força/binário de acordo com as tarefas a executar.
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Controlo de Posição
Desta forma, são apresentadas várias alternativas de controlo, nomeadamente:
controladores lineares versus não-lineares,controladores baseados em modelos.
Algoritmos concebido no espaço das juntas do manipulador Algoritmos concebido no espaço das no espaço cartesiano do manipulador
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Controlo de Posição
Controlo Baseado No Espaço Cartesiano:A alteração do algoritmo de controlo acarreta cálculos suplementares na malha de realimentação, devido às transformações cinemáticas.Assim, a mudança da estratégia de controlo do espaço das juntas para o espaço cartesiano pode ter vantagens e inconvenientes.os algoritmos são implementados com uma frequência de amostragem mais baixa do que os sistemas de controlo baseado nas juntas.A diminuição da frequência de amostragem, acarreta uma degradação da estabilidade do sistema.
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 48
Robôs Manipuladores
1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade
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Controlo de Posição/Força
O controlo de posição/força énecessário em trabalhos que envolvam o controlo de posição segundo certas direcções no espaço de trabalho e um controlo de força de contacto entre o órgão terminal do robô e a superfície de restrição nas restantes direcções.
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 50
Controlo de Posição/Força
As estratégias de controlo de posição/força são adequadas para tarefas tais como a:
montagem;polimento;Rebarbagem;
tarefas que envolvem contacto.
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Controlo de Posição/Força
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Modelo do Controlo de Posição/Força
θ
l2
l1q1
q2
J2m
J1m
J2g
J1g
x
y
xc
yc
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 53
Modelo da Superfície de Restrição
)( cocccx xxKxBxMF c −⋅+⋅+⋅= &&&
)()( 20102101 qqsenrqsenrxco −−+−= θθ
(q)FJG(q))qC(q,qH(q)T T−++= &&&
Força:
Deslocamento:
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CONTROLO HÍBRIDO
Robô e
Ambiente
Controladorde Posição
Controlador de Força
S Jc−1
JcTI−S
Cinemática
qYcd
qes
τPτff
τFτes FcFcd
+
+
+
+
+
−
−
I−S JcT
Yc
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ALGORITMOS CLASSICOS (PIDs)
• Controlo de Posição : PD
• Controlo de Força : PI
( )ccd1
ces YYSJq −= −
esesP qbqaC PP += &
( )( )FFSIJτ dcTces −−=
eses τbdtτaC FFF += ∫
( ) dcTcff FSIJτ −=
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 56
Parâmetros do robô RR:
i ri (m) mi (kg) Jig(kgm2) Jim(kgm2) 1 0.5 1 1.0 4.0 2 6.25 0.8 1.0 4.0
{θ,M,B,K}≡{π/2,103,1.0,102} A superficie de restrição:
PD/PI: {Kp,Kd}≡{104,103}, {Kp,Ki}≡{103,102}
Trajectória:
Os Controladores de Posição e Força:
{x,y}≡{1,1}
{δycd,δFcd} = {10−1,0} and {δycd,δFcd} = {0,10}Perturbação:
EXEMPLO: CONTROLO HÍBRIDO
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 57
RESPOSTA TEMPORAL DO CONTROLADOR CH PARA UMA FORÇA DE 10N APLICADA NA SUPERFÍCIE DE CONTACTO
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-10
-5
0
5
10
15
20
dFxc(N)
Tempo (s)
ReferênciaCH
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DESLOCAMENTO DA SUPERFÍCIE DE CONTACTO
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
dxc(m)
Tempo (s)
ReferênciaCH
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 59
RESPOSTA TEMPORAL PARA O ROBÔ IDEAL 2R
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
dy(m
)
Time (s)
dycPIDFO
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
dFx(
N)
Time (s)
dycPIDFO
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-5
0
5
10
15x 10-4
dy(m
)
Time (s)
dFcPIDFO
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6-0.05
0
0.05
0.1
0.15
dFx(
N)
Time (s)
dFcPIDFO
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 60
Controlador em Cascata
Cinemática
xd
Fd
x
τ─
─
+
+ +
Posição
Velocidade
PLANEAMENTO
P/F
F
Controladorde Força
Ambiente
Forças
Robô
Cp CFControladorde Posição
Cinemática
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 61
RESPOSTA EM FREQUÊNCIA CONTROLO HÍBRIDO vs CONTROLO EM CASCATA
10-1 100 101 102 103 10410
20
30
40
50
60
70
80
90
100
|Fx(w)/yd(w)|
w(rad/s)
CHCC
10-1 100 101 102 103 104-50
-40
-30
-20
-10
0
10
|y(w)/yd(w)|
w(rad/s)
CHCC
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 62
A ocorrência de impactos
θc
l2
l1q1
q2
J2m
J1m
J2g
J1g
x
y
xc
yc
{xi,yi}
Trajectória
cθ̂
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 63
Sem Erro de estimação na inclinação θc daSuperfície de Restrição. Exemplo: θc= 45º.
1 1.5 2 2.5-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
dxc(m)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
1 1.5 2 2.5-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
dy(m)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
1 1.5 2 2.5-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
dx(m)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
1 1.5 2 2.5-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
dFxc(N)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 64
Erro de estimação na inclinação θc da Superfíciede Restrição. Exemplo: θc= 44º.
1 1.5 2 2.5-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
dxc(m)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
1 1.5 2 2.5-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
dFxc(N)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
1 1.5 2 2.5-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
dy(m)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
1 1.5 2 2.5-0.025
-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
dx(m)
Tempo(s)
ReferênciaCHCC
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 65
Erro de estimação na inclinação θc da Superfíciede Restrição. Exemplo: θc= 46º.
1 1.5 2 2.5-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
dxc(m)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
1 1.5 2 2.5-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
150
200
250
dFxc(N)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
1 1.5 2 2.5-0.02
-0.015
-0.01
-0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
dy(m)
Tempo (s)
ReferenciaCHCC
1 1.5 2 2.5-0.01
-0.008
-0.006
-0.004
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
dx(m)
Tempo (s)
ReferênciaCHCC
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 66
O erro quadrático da resposta temporal de ε versusa estimação do ângulo de orientação para CH e o CC com δyd = 10−3 m
43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6x 10-5
ε
Orientation (graus)
CHCC
dxc(m)
43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470
0.5
1
1.5
2
2.5
3x 104
ε
Orientation (graus)
CHCC
dFxc (Nm)
43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5x 10-5
ε
Orientation (graus)
CHCC
dy (m)
43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470
1
2
3
4
5
6
7x 10-5
ε
Orientation (graus)
CHCC
dx (m)
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 67
43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470
1
2
3
4
5
6
7x 10-13
ε
Orientation (graus)
CHCC
dxc (m)
43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470
1
2
3
4
5
6
7x 10-5
ε
Orientation (graus)
CHCC
dFxc (m)
43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 470
1
2
3
4
5
6
7
8
9x 10-13
ε
Orientation (graus)
CHCC
dy (m)
43 43.5 44 44.5 45 45.5 46 46.5 472
4
6
8
10
12
14
16x 10-13
ε
Orientação (graus)
CHCC
dx (m)
O erro quadrático da resposta temporal de ε versusa estimação do ângulo de orientação para CH e o CC com δFd = 10−3 m
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 68
ROBÔS MANIPULADORES
1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 69
Cooperação entre Robôs Manipuladores
Os manipuladores robóticos quando utilizados em cooperação podem realizar outro tipo de tarefas, à semelhança do que se passa com o ser humano;
(x2,y2)
y
(x1,y1)
x
l0α0
lb
Robô A Robô B
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 70
Cooperação entre Robôs Manipuladores
A cooperação entre os braços permite a realização de tarefas de uma forma mais rápida e precisa;
O ser humano utiliza os dois braços muitas vezes por auxilio diminuído os esforços aplicados;
No entanto a existência de uma cadeia fechada de elos representa um desafio para o controlo de movimento e das forças internas em cada um dos robôs;
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 71
Cooperação entre Robôs Manipuladores
A utilização de dois braços, permite executar tarefas com objectos longos ou largos, que se forem apenas suportados por um dos lados são usualmente difíceis de carregar;
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 72
Cooperação entre Robôs Manipuladores
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 73
Cooperação entre Robôs Manipuladores
Vantagens e desvantagens de ter Nrobôs cooperantes.Arquitecturas de Controlo de Posição/Força de Manipuladorescooperantes.
Diferentes Algoritmos de ControloDiferentes Modelos do Objecto
Índices de manipulabilidade (Desempenho)Índices de equilíbrio/desequilíbrio.Índices de esforço da distribuição de:
BináriosEnergiaEstabilidade
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 74
Controlo de Posição/Força de Manipuladores Cooperantes
Cinemática
xd
Fd
x
τ─
─
+
+ +
Posição
Velocidade
PLANEAMENTO
P/F
F
Controladorde Força
Objecto
Forças
Robôs
Cp CFControladorde Posição
Cinemática
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 75
RESPOSTA TEMPORAL PARA DOIS ROBÔS IDEAIS A SUPORTAREM UM OBJECTO
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-250
-200
-150
-100
-50
0
50
100
dFyA(N)
Tempo (s)
ReferênciaPD/PIFO
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-100
0
100
200
300
400
500
600
dFxA(N)
Tempo (s)
ReferênciaPD/PIFO
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
0.04
0.06
dyA(m)
Tempo (s)
ReferênciaPD/PIFO
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
dxA(m)
Tempo (s)
ReferênciaPD/PIFO
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 76
ROBÔS MANIPULADORES
1. Modelização2. Cinemática3. Região de Trabalho4. Planeamento das Trajectórias5. Dinâmica6. Controlo de Posição 7. Controlo de Posição/Força8. Cooperação entre Manipuladores9. Manipulabilidade
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 77
Manipulabilidade
A manipulabilidade é um indicador do desempenho das tarefas do robô na sua região de trabalhoYoshikawa, propos para um robô o seguinte indice:
µ= [det(J JT)]½
O calculo de µ para um robô é relativamente fácilA definição e o calculo de µ é mais complexo se considerarmos mais do que um robôAdoptou-se uma aproximação numérica para ultrapassar este problema
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 78
Manipulabilidade
O método numérico consiste em:
i) gerar uma amostragem aleatória de n pontos dentro de umaesfera de raio ρ no espaço das juntas com centro em (q1c,…,qkc)
ii) Mapeando os pontos através da cinemática directa para o espaçooperacional, (uma elipsoide com centro em (xc,yc).
iii) O tamanho e a forma de cada elipsoide determina a amplificaçãoentre o espaço das juntas e o espaço operacional.
A amplificação está relacionada com os valores próprios do Jacobiano e correspondem à area da elipsoide.
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 79
Manipulabilidade
q1
y
Cinemática Directa
q2
(xc,yc)
x
(q1c,q2c)
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 80
Manipulabilidade
Método de Yoshikawa
Método Numérico
221 sen)det( qllJJ T ==µ
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 81
ManipulabilidadeForam considerados alguns sub-indices para simplificar o estudoda manipulabilidade de vários braços:
•O sub-indice µ1 representa o valor máximo de µ, em todas as possibilidades da região de trabalho W.
µ1 = Max [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W ] (2)
• O sub-indice µ2 é o volume médio de µ considerando apenas a região de trabalho W onde µ ≠ 0 .
µ2 = Av [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W: µ (x,y)≠0 ] (3)
• O sub-indice µ3 é o volume médio de of µ, em todas as possibilidades da região de trabalho W.
µ3 = Av [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W ] (4)
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 82
Manipulabilidade
A manipulação µ1, µ2 e µ3 na região de trabalho de dois robôs a trabalharem em cooperação para lb ∈ [0, 4[ versus l1/l2 com l1+l2=2m, e l0 = 1m considerando α0 = 0.
01
23
4
01
23
40
0.1
0.2
0.3
0.4 l0=1(m)
α0=0 (Deg)
µ2
l1/l2 lb(m)01
23
4
01
23
40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
lb(m)l1/l2
µ1
l0=1(m)
α0=0 (Deg)
01
23
4
01
23
40
0.1
0.2
0.3
0.4
α0=0 (Deg)
l0=1(m)
µ3
l1/l2 lb(m)
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 83
ManipulabilidadeExemplo: Robô 1 = Robô 2 {l1 = l2 = 1 m}
µ1 = Max [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W ]
01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
lb(m)α0
µ1
(Deg)
l0=0(m)
01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
lb(m)α
0
µ1
(Deg)
l0=0.5(m)
01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)α0
µ1
l0=1.5(m)
(Deg)01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
lb(m)α
0
µ1
(Deg)
l0=1(m)
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 84
ManipulabilidadeExemplo: Robô 1 = Robô 2 {l1 = l2 = 1 m}
µ2 = Av [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W: µ (x,y)≠0 ] 01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)α
0
µ2
l0=1.5(m)
(Deg)01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)α
0
µ2
l0=1(m)
(Deg)
01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)α
0
µ2
(Deg)
l0=0(m)
01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)α0
µ2
(Deg)
l0=0(m)
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 85
ManipulabilidadeExemplo: Robô 1 = Robô 2 {l1 = l2 = 1 m}
µ3 = Av [ µ(x,y),∀ (x,y) ∈ W ]0
12
34
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)α
0
µ3
l0=1.5(m)
(Deg)0
12
34
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)α
0
µ3
l0=1(m)
(Deg)
01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)
α0
µ3
(Deg)
l0=0.5(m)
01
23
4
-100
0
100
0
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)α
0
µ3
(Deg)
l0=0(m)
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 86
ManipulabilidadeExemplo: Robô 1 = Robô 2 {l1 = l2 = 1 m}
01
23
4
01
23
40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
lb(m)l0(m)
µ1
α0=0
01
23
4
01
23
40
0.1
0.2
0.3
0.4
lb(m)l0(m)
µ2
α0=0
01
23
4
01
23
40
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
lb(m)l0(m)
µ3
α0=0
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 87
ManipulabilidadeExemplo: Robô 1 = Robô 2 {l1 = l2 = 1 m}
Nuno Miguel Fonseca Ferreira Controlo de Robôs Manipuladores 88
Obrigado pela atenção, e bom trabalho a todos.