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anexo albebra matricial
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Anexo A.- Álgebra Matricial 1
Álgebra Matricial A.1 Notación y definiciones Matrices Una matriz es un arreglo rectangular de símbolos o cantidades numéricas ordenadas en filas y columnas. El arreglo se encierra entre paréntesis cuadrados, de manera que si tiene n filas y m columnas la matriz se representa como:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nmnjnnn
imij
mj
mj
mj
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaaaaaaa
A
.......................................
.......................................
......
......
......
321
321
33333231
22232221
11131211
(A.1)
En que cada elemento, por ejemplo ija , tiene 2 índices, el primero indica la fila (i) y el segundo indica la columna (j) donde se ubica el elemento en la matriz. Una matriz con n filas y m columnas se define como una matriz de orden n x m. El símbolo A representa el arreglo completo y se subraya para indicar que se trata de una matriz. Matriz fila y Matriz columna Si n=1 la matriz A se reduce a una fila:
[ ]mj aaaaA 111211 ....= (A.2)
y se le llama matriz fila.
Anexo A.- Álgebra Matricial 2
En forma análoga, si m = 1 la matriz A queda:
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
1
1
12
11
:
:
n
i
a
a
aa
A (A.3)
Y se le llama matriz columna. A este tipo de matrices también se les da el nombre de vector: y usualmente se denominan en letras minúsculas ( a ). El orden de una matriz fila con m componentes es 1 x m y el de una matriz columna o vector con n componentes es n x 1. Matriz nula (matriz cero) Si todos los elementos de una matriz son iguales a cero, la matriz se llama matriz nula o matriz cero y se escribe 0 . En álgebra matricial la matriz cero cumple la misma función que el cero en el álgebra ordinaria. Matriz cuadrada Si m = n, la matriz A posee igual número de filas y columnas y se llama matriz cuadrada. Las matrices cuadradas ocupan un rol importante en el álgebra matricial pues solo ellas (si sus elementos cumplen ciertas condiciones) pueden tener inversas. Matriz diagonal Una matriz diagonal es una matriz cuadrada cuyos elementos fuera de la diagonal principal son nulos. Esto significa que 0=ija para ji ≠ y no todos los iia son nulos. Matriz identidad Es una matriz diagonal especial en que todos los elementos de una diagonal son iguales a uno. Normalmente se utiliza el símbolo nI para una matriz identidad de orden n:
[ ]ijn II = en que 1=iiI y 0=ijI para njni ,...,2,1 ,,...,2,1 ==
Anexo A.- Álgebra Matricial 3
Matriz de permutaciones Es una matriz identidad en la que se han permutado (intercambiado) filas o columnas.
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
11
11
4I
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
11
11
4P (A.4)
Matriz simétrica Es una matriz cuadrada en que los elementos sobre la diagonal principal son iguales a los elementos ubicados bajo dicha diagonal. Esto es:
jiij aa = njni ,...,2,1 , ,...,2,1 == Matriz Triangular (superior o inferior) Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada especial en que todos los elementos bajo la diagonal principal son nulos. En forma análoga se define la matriz triangular inferior, en la que los elementos sobre la diagonal son nulos. Llamando U (“upper”) a la matriz triangular superior y L (“lower”) a la matriz triangular inferior, estas son de la forma:
⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−
=
O
O
O
O
0U
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−
−=
O
O
O
O
0L (A.5)
Matriz de banda Matriz de banda o bandeada es una matriz cuadrada en la que sus elementos se agrupan alrededor de la diagonal principal.
Anexo A.- Álgebra Matricial 4
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
OO
OO
OO
OOO
OOO
OOO
OO
OO
O
O
O
000..........00000
0....0
0......00......000......000
5756555453
4645444342
3534333231
24232221
131211
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
aaa
A (A.6)
Un caso especial lo constituyen las matrices de banda simétricas. En ese caso solo es necesario conocer los elementos de la diagonal y de la parte superior (o inferior) de la banda por lo que usualmente se almacena la mitad del ancho de banda. La matriz de rigidez es una estructura cuyos nudos han sido numerados en forma adecuada (poca diferencia de numeración de los nudos de cada elemento) es una matriz bandeada simétrica. Hipermatriz Es una matriz cuyos elementos son matrices:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2221
1211
AAAA
A (A.7)
También se puede llamar a A simplemente matriz en cuyo caso 22211211 y ,, AAAA se denominan submatrices. La hipermatriz también se puede originar de una partición de una matriz. Por ejemplo:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
2221
1211
333231
232221
131211
AAAA
aaaqaaaaa
A (A.8)
Anexo A.- Álgebra Matricial 5
en que:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2212
121111 aa
aaA ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡=
23
1312 a
aA
[ ]323121 aaA = [ ]3322 aA =
Matriz hiperdiagonal Es una hipermatriz diagonal, esto es, una matriz diagonal en que los elementos de la diagonal son matrices:
{ }
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
n
j
a
aa
a
adiagO
3
2
1
(A.9)
Igualdad Dos matrices son iguales si son del mismo orden (n x m) y todos sus elementos son idénticos:
BA = ijij ba = ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.10) Suma Una matriz C (n x m) se llama suma de dos matrices A (n x m) y B (n x m) si se cumple que:
BAC += ijijij bac += ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.11) Ejemplo:
Anexo A.- Álgebra Matricial 6
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
254023
A ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−=
213261
B ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
067284
C
Resta En forma similar a la suma
BAC −= ijijij bac −= ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.12) Ejemplo: Con las matrices A y B del ejemplo anterior se tiene que C sería.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
441242
C
Trasposición de una matriz La matriz traspuesta de una matriz A es aquella formada a partir de la matriz A intercambiando sus filas y columnas:
TAB = ijij ab = mi ,...,2,1= , nj ,...,2,1= (A.13) Ejemplo:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
232221
131211
aaaaaa
A ⇒ ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
2313
2212
2111
aaaaaa
AT
De este modo si la matriz A es de orden n x m, entonces la matriz TA es de orden m x n. Es de hacer notar que se cumplo la siguiente relación:
( ) AATT = (A.14)
Para matrices simétricas se cumple que:
Anexo A.- Álgebra Matricial 7
AAT = (A.15)
Multiplicación de una matriz por un escalar Si λ es un número escalar cualquiera entonces y si C y A son dos matrices del mismo orden (n x m)
AC λ= ijij ac λ= ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.16) Multiplicación entre matrices Dos matrices A y B pueden ser multiplicadas entre sí solo si el número de columnas de A es igual al número de filas de B . En este caso se dice que las matrices son conformadas para la multiplicación. En caso contrario la operación de multiplicación no está definida. La multiplicación de dos matrices A (n x p) y B (p, m) entrega una matriz C (n x m) cuyos elementos se calculan de la siguiente forma.
∑ ==
p
k kjikij bac1
ni ,...,2,1= , mj ,...,2,1= (A.17) en que ika y kjb son elementos de la matriz A y B respectivamente. Ejemplo
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
10191356426
1712
31
213654321
La multiplicación de matrices es asociativa y distributiva, manteniendo el orden de la multiplicación:
( ) ( ) CBACBACBA == (A.18)
Anexo A.- Álgebra Matricial 8
( ) CABACBA +=+ (A.19)
La multiplicación de matrices en general no es conmutativa. Si A y B son matrices rectangulares en que la operación A B esta definida, la operación B A ni siquiera está definida. Para matrices A y B , cuadradas en general.
ABBA ≠ (A.20)
Si A es una matriz cuadrada de orden n y I es la matriz identidad de orden n se cumple que
AAIIA == (A.21)
En el producto A B se pude decir que B está premultiplicada por A , o bien que A está post - multiplicada por B . La operación de multiplicación de matrices puede ser extendido a matrices particionadas en submatrices, siempre que estas sean conformadas para la multiplicación:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2222122121221121
2212121121121111
2221
1211
2221
1211
BABABABABABABABA
BBBB
AAAA
BA
Traspuesta de un producto de matrices Si A y B son dos matrices conformes para la multiplicación (el producto A B está definido) entonces se cumple que:
( ) TTT ABBA = (A.22)
Por extensión:
Anexo A.- Álgebra Matricial 9
( ) TTTTT ABCHHCBA ...... = (A.23)
Casos especiales de productos de matrices Si a y b son dos matrices columnas que usualmente se denominan vectores entonces existen 2 productos especiales entre ellos: a) Producto escalar: Si los 2 vectores a y b son del mismo orden n el producto baT es un número escalar:
∑ ====
n
i iiTT baabba
1λ (A.24)
Dos vectores a y b de orden n son ortogonales si se cumple que:
0=== abba TTλ (A.25)
La norma de un vector se obtiene mediante el producto escalar:
∑===
n
i iT aaaa
12 (A.26)
b) Producto diádico El producto de un vector a de orden n y la traspuesta de un vector b de orden m es una matriz (nxm) de la forma:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
mnnn
m
m
n
T
bababa
babababa
bbbb
a
aaa
ba
......
...
...
.
.
.
21
12
12111
321
3
2
1
(A.27)
Anexo A.- Álgebra Matricial 10
El producto diádico no es conmutativo:
abba TT ≠ Determinante de una matriz El determinante de una matriz se define solo para matrices cuadradas y se escribe
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
......
...
...
11
22221
11211
= (A.28)
y se define formalmente como:
( )∑±= ...321 kji aaaA (A.29)
en que los índices de las filas aparecen en el orden normal (1, 2, 3, ....... n) mientras que los índices de las columnas i, j, k,... aparecen como permutaciones del orden normal. El signo positivo o negativo depende de si el orden i, j, k se obtuvo mediante un número par o impar de permutaciones del orden natural. La suma se extiende por n! permutaciones Ejemplo
211222112221
1211 aaaaaaaa
−=
Propiedades de los determinantes a) El determinante de una matriz es idéntico al de su transpuesta:
TAA = (A.30)
Anexo A.- Álgebra Matricial 11
b) Al intercambiar 2 filas o columnas de una matriz A cambia el signo del determinante c) Si dos filas o dos columnas de una matriz son idénticas el determinante es cero d) Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz son cero entonces su
determinante es cero. e) Al multiplicar los elementos de una fila o columna de una matriz A por un factor c
entonces el determinante es Ac . f) Al modificar una matriz A sumándole a una fila (o columnas) otra fila (o columnas)
multiplicada por un constante, no cambia el determinante. g) De las propiedades anteriores se deduce que si dos filas (o columnas) de una matriz A
son linealmente dependientes entonces su determinante es cero. h) El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes:
BABA = (A.31)
Menores y Cofactores El primer “menor” de un determinante A correspondiente al elemento ija se define como el determinante de la matriz obtenida eliminando la fila i y la columna j de la matriz A . Por lo tanto si A es un polinomio de orden n, entonces el primer “menor” es de orden n–1. Esta definición puede ser extendida eliminando 5 filas y 5 columnas de la matriz, hablándose en dicho caso se in menor de orden n–5. El primer menor correspondiente al elemento ija se denomina ijM . Si el primer menor ijM se multiplica por ji+− )1( , el resultado se llama “cofactor” de ija y se designa como ijA :
ijji
ij MA +−= )1( (A.32)
Cálculo del determinante por cofactores Se puede demostrar que el determinante de una matriz A puede ser calculado utilizando los elementos de una fila (o columna) cualquiera y sus correspondientes cofactores.
Anexo A.- Álgebra Matricial 12
∑=
=+++=n
jijijininiiii AaAaAaAaA
12211 ... (A.33)
o bien
∑=
=+++=n
iijijnjnjjjjj AaAaAaAaA
12211 ... (A.34)
Ejemplo
)()()( 221323123132133312213223332211
2322
131231
3332
131221
3332
232111
333231
232221
131211
aaaaaaaaaaaaaaa
aaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaa
−+−−−
=+−=
En forma más general se pude comprobar que:
∑= ⎩
⎨⎧
≠=
=n
jkjij kisi
kisiAAa
1 0
(A.35)
∑= ⎩
⎨⎧
≠=
=n
jikij kjsi
kjsiAAa
1 0
(A.36)
Determinante de una matriz triangular De (A.33) y (A.34) se deduce fácilmente que para el caso de matrices triangulares superiores e inferiores se cumple que el determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal:
∑=
==n
iiinnL
12211 ... llll (A.37)
∑=
==n
iiinn uuuuU
12211 ... (A.38)
En que L es una matriz triangular inferior y U es una matriz triangular superior. Matriz adjunta y matriz inversa Se define como matriz adjunta A de una matriz cuadrada A a la matriz traspuesta de la matriz de los cofactores, esto es:
Anexo A.- Álgebra Matricial 13
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
n
AAA
AAAAAAAAAA
A
.......
....
....
...
ˆ
21
32313
22212
1312111
(A.39)
En que ijA representan a los cofactores de la matriz A de acuerdo a la definición (A.32) El producto de una matriz A por su adjunta A es:
AAB ˆ= (A.40)
En que de acuerdo a la fórmula (A.17) de la multiplicación de matrices, los lementos de la matriz B son:
∑=
=n
kjkikij Aab
1 (A.41)
En que los subíndices j,k de la matriz A aparecen permutados debido a su definición (A.39). Comparando (A.41) con (A.35) y (A.36) se deduce que:
⎩
⎨⎧
≠=
=jisijisiA
bij
0 (A.42)
Por lo tanto la matriz B es una matriz diagonal en que dichos elementos de la diagonal son iguales a A , esto es:
IAAAB == ˆ (A.43)
En que I es la matriz identidad de orden n (mismo orden de A ). Como A es un escalar,
la relación (A.43) se puede dividir por A quedando:
Anexo A.- Álgebra Matricial 14
IAAA=
ˆ (A.44)
Definiendo una matriz 1−A :
AAAˆ
1 =− (A.45)
Se observa que
IAA =−1 (A.46)
La matriz 1−A se define como matriz inversa de la matriz A . Por lo tanto el producto de una matriz por su inversa es igual a la matriz identidad. De la definición (A.45) se observa que si 0=A no existe la inversa de la matriz A y en dicho caso se dice que la matriz es
singular. Si 0≠A existe la matriz inversa y se dice que la matriz es no singular o regular. Si se hubiera partido formando el producto AAB ˆ= se habría llegado al mismo resultado por lo tanto se cumple que:
11 IAAAA == −− Ejemplo
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
321232123
A
8 ) 34(1)26(2) 49(3 =−+−−−=A
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−−−−−−−−−−
=541414
145
)49()26()34()26()19()26(
)34()26()49( A
Por lo tanto
Anexo A.- Álgebra Matricial 15
85
21
81
211
21
81
21
85
541484
145
81 1
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−
−=−A
Haciendo el producto 1−AA se comprueba que:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
100010001
85
21
81
211
21
81
21
85
321232123
Inversa de un producto de matrices En forma análoga a la transposición de un producto de matrices (A.23), también se cumple para la inversión de un producto de matrices: 11111 ... ) ... ( −−−−− = ABCHHCBA (A.47)
Matriz definida positiva Una matriz cuadrada A se llama “matriz definida positiva” si se cumple que para cualquier vector X :
0 >XAX T para todo 0 ≠X (A.48)
Ejemplo
[ ] 0 2)( 1
2221
21
2
1
221 >+++=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡xxxx
xx
xxx βα
βα
Esta condición se cumple para todo 1x , 0 2 ≠x , sólo si 0 ==βα . En dicho caso la ecuación:
Anexo A.- Álgebra Matricial 16
0 2 2
221 >=+ ctexx
representa la ecuación de una elipse en el plano 1x , 2x .
Se puede demostrar que si A es una matriz definida positiva, la función cteXAX T = es una función convexa, como en el ejemplo de la elipse. Las matrices definidas positivas tienen la importante propiedad de que son regulares (no singulares). La matriz de rigidez de una estructura K tiene dicha propiedad debido a que la energía de deformación de una estructura representada por:
0 21 >= rKrU T para todo 0 ≠r
en que r representa un desplazamiento cualquiera de la estructura y la energía de deformación U es siempre positiva (al deformar una estructura esta acumula energía). Rango de una matriz Se dice que una matriz A de orden mn× tiene rango r si contiene por lo menos una submatriz cuadrada de orden rr× cuyo determinante es distinto de cero, mientras que el determinante de cualquier submatriz cuadrada de orden )1()1( +×+ rr es cero. Es evidente que el rango r de una matriz A de orden mn× puede sser a lo sumo igual al menor de los valores de n y m. En el caso de la matriz de equilibrio de una estructura Ta con n filas y m columnas en que
mn≤ el rango r de dicha matriz es igual a n ya que todas las filas (corresponden a ecuaciones de equilibrio) son linealmente independientes. Una matriz cuadrada A de orden mn× tendrá un rango nr< sí y sólo sí el determinante de A es cero. Solución de Sistemas de Ecuaciones Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas nxxx ,..., 11 es de la forma:
Anexo A.- Álgebra Matricial 17
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
=+++
=+++=+++
................
........
2211
22222121
11212111
(A.49) se representa matricialmente de la forma:
BxA = (A.50) en que A es la matriz de coeficientes
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
.....
...
...
21
22221
11211
(A.51)
el vector x es el vector de las incógnitas y B es el vector de la “parte derecha” del sistema de ecuaciones (en estructuras usualmente el “vector de cargas”)
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nx
xx
x.
2
1
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
nb
bb
B.
2
1
(A.52)
El sistema de ecuaciones (A.50) tendrá solución sólo si el determinante de A no s cero, esto es, la matriz A tiene inversa. Premultiplicando (A.50) por la matriz 1−A se tiene que:
111 BAxBAxAA −−− =⇒= (A.53)
Anexo A.- Álgebra Matricial 18
En general no es necesario invertir la matriz A para resolver el sistema de ecuaciones (A.50). Es mucho más rápido aplicar un algoritmo directo. El mas conocido es el algoritmo de Gauss. Algoritmo de Gauss Se utiliza para resolver el sistema de ecuaciones (A.50) en el que la matriz A es cuadrada y no-singular. Es un algoritmo especialmente apropiado para cálculos manuales. Punto de partida es el sistema de ecuaciones detallado en (A.49). Primeramente se realiza un intercambio de filas para asegurar que el elemento 11a resultante sea el mayor elemento en valor absoluto en la primera columna. Si el elemento 11a resultante es cero significa que la matriz A es singular y se detiene el algoritmo. Con 0 11 ≠a , la primera fila se va multiplicando sucesivamente por los factores:
niaa
c ii ,...3,2
11
11 ==
y dicha fila modificada se resta de la correspondiente fila i. De ese modo aparece una nueva fila i modificada en que desaparece la primera columna, ya que:
niaa
aa ii ,...3, 2 0
11
1111 ==−
los demás elementos quedan
njniaa
bbbaa
aaa iii
ijijij
,...3, 2 , ,...3, 2
11
11
'
11
11
'
==
−=−=
De este modo el sistema de ecuaciones queda:
Anexo A.- Álgebra Matricial 19
''3
'32
'2
'3
'33
'332
'32
'2
'23
'232
'22
11313212111
.... .... .... ....
....
....
....
nnnnnn
nn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxaxa
=+++
=+++
=+++
=++++
Posteriormente se repite el proceso de eliminación a partir de la segunda fila. Nuevamente se intercambian las filas de manera que el elemento '
22a sea el mayor en valor absoluto de toda segunda columna (exceptuando el elemento de la primera fila). Nuevamente, si el elemento '
22a resultante es cero, la matriz A es singular y se detiene el algoritmo. Con 0 '
22≠a se repite el procedimiento anterior multiplicando sucesivamente la segunda fila por los factores
'22
'2
2 aa
c ii =
restando dicha fila modificada a las correspondientes filas i. De ese modo, a partir de la tercera fila desaparece la segunda columna ya que
niaa
aa ii ,...4, 3 0 '
22
'2'
22'2 ==−
La eliminación se continúa en forma similar hasta que finalmente la matriz A ha sido transformada en una matriz triangular superior. Denominando iju a los elementos de la matriz A modificados y id a os elementos de la parte derecha:
Anexo A.- Álgebra Matricial 20
nnnn
nnnnnnn
nn
nn
nn
dxudxuxu
dxuxudxuxuxudxuxuxuxu
.... .... .... .... ....
1, 111, 1
33333
22323222
11313212111
=
=+
=++=+++=++++
−−−−−
La solución del sistema de ecuaciones de esta forma es elemental haciendo un cálculo desde atrás (últimas incógnitas) hacia delante (primeras incógnitas) en forma sucesiva:
11
211
1
1, 1
, 111
) (
...
)(
u
xudx
uxud
x
ud
x
n
rrr
nn
nnnnn
nn
nn
∑=
−−
−−−
−=
−=
=
Por otra parte, de acuerdo a (A.38), el determinante de A se obtiene como
nnuuuuAdet ... ) ( 332211= Algoritmo de Cholesky Se utiliza para resolver el sistema de ecuaciones (A.50) cuando la matriz A es simétrica y definida positiva. Es un algoritmo especialmente apropiado para su programación. Como primer paso se realiza una “descomposición” de la matriz en un producto de una matriz triangular inferior por una matriz triangular superior, esto es:
LLA T = (A.54) en que L es una matriz triangular inferior.
Anexo A.- Álgebra Matricial 21
Se puede demostrar fácilmente que los elementos de la matriz L se pueden calcular sucesivamente utilizando las siguientes expresiones:
j i
j i a
a
ij
jj
j
kjkikijij
i
kikiiii
<=
>−=
−=
∑
∑−
=
−
=
0
/) (
) (
1
1
2/11
1
2
l
llll
ll
(A.55)
El cálculo de L se hace por columnas (partiendo con j=1 e i=j,…n) Como segundo paso, teniendo que
BxLL T = (A.56) y definiendo:
yxLT = (A.57) se tiene que
ByL = (A.58) El sistema de ecuaciones (A.58) se resuelve fácilmente debido a que L es una matriz triangular inferior:
...n 2, 1,i yby ii
i
jjikii =−= ∑
−
=
ll /) (1
1
(A.59)
El paso anterior es un cálculo “hacia delante”, este es partiendo desde las primeras incógnitas hacia las últimas. El tercer paso corresponde a un cálculo “hacia atrás” de las incógnitas, esto es, partiendo de (A.57) se obtiene que:
...n 2, 1,i xyx ii
n
ijjjiii =−= ∑
+=
ll /) (1
(A.60)
en que se parte con i=n, siguiendo con i=n-1 hasta llegar a i=1.
Anexo A.- Álgebra Matricial 22
Ejemplo
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
51
2
1462640201
3
2
1
xxx
Primer paso: descomposición
19414
32/)06(/)(24
21/2/01/0/
1
232
2313333
2221313232
2212222
113131
112121
1111
=−−=−−=
=−=−=
==−=
======
==
lll
llll
ll
ll
ll
l
a
aa
aa
a
luego:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
132020001
L
Segundo paso, cálculo “hacia adelante”:
2/51/))2/1(3225(/)(
2/12/)101(/)(21/2/
3323213133
2212122
1111
=−−⋅−=−−=−=⋅−−=−=
===
lll
ll
l
yybyyby
by
Tercer paso, cálculo “hacia atrás”:
31/)2/52)4(02(/)(
42/)2/532/1(/)(2/51/2/5/
1133122111
2233222
3333
−=⋅−−⋅−=−−=−=⋅−−=−=
===
lll
ll
l
xxyxxyx
yx
Inversión de una matriz simétrica y definida positiva
Anexo A.- Álgebra Matricial 23
Si A es una matriz simétrica y definida positiva, se puede utilizar el algoritmo de Cholesky para su descomposición:
LLA T = Luego se calcula la inversa de la matriz triangular inferior L . Llamando 1* −=LL se tiene que los elementos de la matriz inversa *L se calcula fácilmente de:
j i
j i
ij
ii
i
jkkjikij
iiii
<=
>−=
=
∑−
=
0
/) (
/1
*
1**
*
l
llll
ll
(A.61)
Considerando que para cualquier matriz A no singular se cumple que:
TT
T AA
AA )(
ˆ )( 11 −− == (A.62)
También se cumple para L :
TT LL )( )( 11 −− = (A.63) La inversa de la matriz A se obtiene según (A.47):
1111 ) () ( −−−− == LLLLA TT (A.64) Ejemplo Para la matriz A del ejemplo anterior
Anexo A.- Álgebra Matricial 24
132020001
1462640201
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=⇒
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= LA
2/31/)2/13(/
21/)0312(/)(
01/10/
11/1/1 2/1/1 11/1/1
33*2232
*32
33*2132
*1131
*31
11*1121
*21
33*3322
*2211
*11
−=⋅−=⋅−=
−=⋅−⋅−=⋅−⋅−=
=⋅−=⋅−=
========
llll
llllll
llll
llllll
luego
12/3202/10001
1
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=−L
por lo tanto
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−−
=−
12/322/34/103
235
12/3202/10001
100
2/32/10201
1A
Problema estándar de valores propios Si A es una matriz cuadrada de orden n, el problema
xxA λ= (A.65) se denomina “problema estándar de valores propios” de la matriz A . El factor λ es un valor escalar llamado “valor propio” mientras que el vector x asociado a λ se llama “vector propio”. El problema (A.65) se puede escribir también como:
xIA 0 ) ( =−λ (A.66) Una solución no trivial a este problema es sólo posible si la matriz ) ( IA λ− es singular (en caso contrario la única solución posible es x 0 = ), por lo tanto se debe cumplir que
Anexo A.- Álgebra Matricial 25
0 ) ( =− IAdet λ (A.67) Si se expande el determinante indicado en (A.67) para una matriz A de orden n se obtiene:
0 ... 22
11 =++++ −−
nnnn aaa λλλ (A.68)
La ecuación (A.68) se conoce como ecuación característica de A . Dicha ecuación posee n raíces nλλλ , ..., 21 que son los valores característicos o valores propios de la matriz A . Algunas propiedades de los valores propios son las siguientes:
a) Para cada valor propio iλ existe un vector propio ix correspondiente. Como el sistema de ecuaciones (A.66) es homogéneo y la matriz ) ( IA iλ− es singular, el vector ix no aparece determinado en forma única, sino que sólo se determina la relación entre sus componentes. Esto es, si ix es el vector propio correspondiente a iλ , el vector ixα (en que α es un escalar cualquiera 0 ≠ ) también representa al mismo vector propio.
b) La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la “traza” de la matriz
A
)(1
Atrazan
ii=∑
=λ (A.69)
en que la traza de la matriz A se define como la suma de los elementos de su diagonal:
∑=
=n
iiiaAtraza
1)( (A.70)
c) El producto de los valores propios de A es igual al determinante de A :
)( ... 3211
Adetn
n
ii ==∏
=λλλλλ (A.71)
d) Los vectores propios correspondientes a distintos valores propios son linealmente
independientes.
Anexo A.- Álgebra Matricial 26
Ejemplo:
Sea ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
3212
A
Los valores propios se determinan de la condición (A.67):
0 32
12 ) ( =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=−
λλ
λ det IAdet
la ecuación característica resulta ser
0452 =+− λλ las raíces de la ecuación son 1 1 =λ y 4 2 =λ Comprobación de (A.69)
2211
2
1541 aa
ii +==+=∑
=λ
Comprobación de (A.71)
4432 ) ( 412
1=−⋅==⋅=∏
=Adet
iiλ
Reemplazando 1 1 =λ en (A.66)
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−00
132
112
21
11
xx
en que 11x y 21x son las componentes del vector propio 1x (el primer índice indica la componente, el segundo índice el vector propio) Las ecuaciones resultantes:
Anexo A.- Álgebra Matricial 27
0220
2111
2111
=+=+
xxxx
Son linealmente dependientes y el único resultado que se obtiene es
1121 xx =− esto es, el vector 1x se puede escribir como
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=1
1 111 xx
en que 11x es un escalar cualquiera. En forma similar reemplazando 4 2 =λ en (A.66) se obtiene
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−00
12
12
22
12
xx
en que 12x y 22x son las componentes del vector propio 2x , las ecuaciones resultantes
02 02
2111
2111
=−=+−
xxxx
Son también linealmente dependientes y el resultado que se obtiene es:
1222 2xx = esto es, el vector 2x se puede escribir como
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
21
122 xx
en que 12x es un escalar cualquiera. Problema general de valores propios
Anexo A.- Álgebra Matricial 28
Si A y B son dos matrices cuadradas, el problema
xBxA λ= (A.72)
o su equivalente
xBA 0 ) ( =−λ (A.73) se denomina “problema general de valores propios”. La ecuación característica de este problema se obtiene de:
0 ) ( =− BAdet λ (A.74) Si cualquiera de las matrices A ó B es no singular, por ejemplo si B es no singular, la ecuación (A.73) se puede premultiplicar por 1−B resultando
xIAB 0 ) ( 1 =−− λ (A.75) que corresponde al problema estándar de valores propios de la matriz AB 1− . Por lo tanto, las propiedades a), b), c) y d) de los valores propios del problema estándar, también son válidas para el problema general. Sin embargo, numéricamente no es recomendable transformar el problema (A.73) en el problema (A.75), debido a que se destruyen posibles características adecuadas de la matriz A . Por ejemplo, si A es una matriz simétrica, la matriz AB 1− ya no lo es. Por otra parte, si la matriz A es una matriz de banda, la matriz AB 1− pierde la estructura de banda de la matriz A . Para matrices A y B simétricas existen las siguientes propiedades adicionales de los valores propios:
e) Si A y B son simétricas los valores propios iλ son todos números reales.
f) Si A y B son simétricas y A ó B es definida positiva, los valores propios iλ son todos positivos.
Anexo A.- Álgebra Matricial 29
El programa SMIS contiene la operación EIGEN que determina los valores y vectores propios del problema general (A.72) xBxA λ= en que A es una matriz simétrica y B es una matriz diagonal. Este cálculo es típico en la determinación de las frecuencias propias y modos de vibrar de una estructura. En este caso, la matriz A corresponde a la matriz de rigidez de la estructura (simétrica y definida positiva) y B corresponde a la matriz de masas de la estructura cuando se utiliza el modelo de masas concentradas. Para utilizar la operación EIGEN para el caso en que A sea una matriz simétrica y definida positiva (por ejemplo la matriz de rigidez) y B una matriz simétrica cualquiera (por ejemplo la matriz de masas consistente de una estructura para el problema de frecuencias propias y modos de vibrar, o bien, la matriz de rigidez geométrica de la estructurapara el caso del problema del pandeo) es necesario realizar algunas operaciones previas para realizar la operación.
i) Se descompone la matriz A mediante el algoritmo de Cholesky:
LLA T =
y se reemplaza en (A.72) quedando:
xBxLL T λ= (A.76)
ii) Definiendo:
xLy T = (A.77) se tiene que:
yLx T-1 ) ( = (A.78) reemplazando (A.77) y (A.78) en (A.76) queda:
yLByL T-1 ) ( λ= (A.79) premultiplicando (A.79) por 1−L se tiene que:
yLBLyI T-1 ) ( 1−= λ (A.80)
iii) Definiendo:
Anexo A.- Álgebra Matricial 30
T-1LBLA ) ( ~ 1−= (A.81)
y λλ /1 ~
= (A.82)
se tiene que
yyA ~ ~ λ= (A.83)
Esta ecuación representa el problema estándar de valores propios en que la matriz A~ definida en (A.81) es simétrica. Este problema puede ser resuelto por la operación EIGEN que resuelve (A.72). La matriz A en este caso corresponde a A~ mientras que B es la matriz unitaria.
Al resolver el problema (A.83) se obtienen los valores propios ~λ y vectores propios y . Para obtener los valores y vectores propios del problema original (A.72) se deben utilizar las relaciones (A.78) y (A.82):
λλ ~/1 = yLx T-1 ) ( =