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O CÁLCULO ALGÉBRICO SIMBÓLICO NA AULA DE MATEMÁTICA DO ENSINO SECUNDÁRIO

Manuel Guilherme Teles Lagido

Escola Secundária/3 José Régio de Vila do Conde

mlagido@gmail.com

Resumo: Foi realizado um trabalho de investigação aplicada que incidiu sobre a utilização da tecnologia no ensino da Matemática, num domínio específico conhecido por cálculo algébrico simbólico. Referido comummente por CAS, trata-se de sistemas de computação algébrica, que permitem, com rapidez e correcção, fazer operações de manipulação simbólica, tais como decompor expressões em factores, resolver equações e sistemas de equações e calcular derivadas e integrais, entre muitos outros cálculos bastante complexos. Estando ao dispor um recurso tecnológico tão poderoso como este, importará obter mais conhecimento sobre o modo como ambientes de aprendizagens com CAS podem melhorar o desempenho dos alunos a Matemática. Tendo o trabalho realizado esse objectivo central, alunos de turmas do 10º e do 12º ano de uma escola secundária foram sujeitos a uma experiência de utilização do CAS em temas do programa desses anos de escolaridade. A calculadora usada foi a Texas TI - 92, que por ter uma versão do programa Derive e também um programa de geometria dinâmica permitiu uma diversidade ainda maior de abordagens, que acrescentou geometria ao tratamento gráfico e analítico das questões. Numa fase posterior do trabalho, com um grupo de alunos do 12º ano, procurou-se focar a investigação no contributo que uma metodologia de ensino baseada no CAS, como recurso disponível para todos os alunos, pode dar para o desenvolvimento de capacidades cognitivas de ordem mais elevada. Entre essas, estão as capacidades para investigar e explorar – que os actuais programas de Matemática dão ênfase, e que implicam a capacidade de observação, espírito crítico, e teste de conjecturas. Na comunicação a apresentar neste Encontro dar-se-á conta de um certo número de aspectos observados e de algumas evidências de resultados conseguidos.

Introdução

Foi realizado um trabalho de investigação aplicada que incidiu sobre a utilização da tecnologia no ensino da Matemática, num domínio específico conhecido por cálculo algébrico simbólico. Referido comummente por CAS, trata-se de sistemas de computação algébrica que permitem, com rapidez e correcção, fazer operações de manipulação simbólica, tais como decompor expressões em factores, resolver equações e sistemas de equações e calcular derivadas e integrais, entre muitos outros cálculos bastante complexos. Estando ao dispor um recurso tecnológico tão poderoso como este, importará obter mais conhecimento sobre o modo como ambientes de aprendizagens com CAS podem melhorar o desempenho dos alunos a Matemática. Tendo o trabalho realizado esse objectivo central, alunos do 12º ano de uma escola secundária foram sujeitos a uma experiência de utilização do CAS em temas do programa desse ano de escolaridade. Procurou-se focar a investigação no contributo que uma metodologia de ensino baseada no CAS, como recurso disponível, pode dar para o desenvolvimento das capacidades para investigar e explorar – que os actuais programas de Matemática dão ênfase, e que implicam a capacidade de observação, espírito crítico e teste de conjecturas.

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Desenvolvimento do projecto O projecto desenvolveu-se em três fases, na Escola Secundária José Régio de Vila de Conde. A primeira fase decorreu logo no início do ano lectivo e foi uma fase exploratória para testar, ao nível do funcionamento normal das actividades lectivas de uma turma do 10º ano, as condições de aplicação de um novo recurso tecnológico. O tema do programa explorado foi o módulo inicial – resolução de problemas e sistemas.

A segunda corresponde à aplicação de uma actividade já experimentada em anos anteriores com alunos do 12º ano – exploração do tema binómio de Newton e triângulo de Pascal , e decorreu ainda no primeiro período.

A terceira é uma fase de aprofundamento, de duração prolongada, realizada durante o terceiro período do ano lectivo com alguns dos alunos da turma do 12º ano que participou na experiência anterior. É sobre esta última fase que esta comunicação incide.

Fase de aprofundamento Nesta fase calendarizou-se um conjunto de tarefas, a resolver em blocos de uma

hora e meia, entre meados de Abril e fins de Maio, durante uma ou duas vezes por semana, consoante as disponibilidades dos alunos, fora do seu horário lectivo.

A calculadora usada foi a Texas TI - 92, que por ter uma versão do programa Derive e também um programa de geometria dinâmica permitiu uma diversidade ainda maior de abordagens acrescentando geometria ao tratamento gráfico e analítico das questões.

Dos nove alunos participantes, dois tinham bom aproveitamento à disciplina de Matemática e os restantes com aproveitamento apenas suficiente. Cada aluno trabalhava autonomamente com a sua calculadora. As tarefas

As tarefas desta fase diziam respeito ao tema do cálculo diferencial. As potencialidades do CAS são muito vastas nesta área e essa foi uma das razões pelas quais o CAS ganhou relevo como recurso didáctico. As competências a desenvolver nos alunos incluem, tal como nas fases anteriores, as requeridas para explorar, descobrir e conjecturar regularidades e ainda as de verificar ou provar os resultados encontrados. Além dessas, as actividades implicavam os alunos no domínio de certas destrezas na área do cálculo diferencial, como a determinação de derivadas e seus zeros. Procurou-se que as tarefas propostas seguissem, de certo modo, a sequência habitual quando um professor lecciona este tema do 12º ano: aquisição de destrezas nas regras de derivação; sua aplicação à determinação de extremos relativos de funções e a problemas de optimização.

As tarefas elaboradas para aplicação nesta fase foram agrupadas em três partes, cada uma correspondendo à leccionação dos tópicos anteriormente referidos e a diferentes aspectos da utilização do CAS:

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Parte I Descoberta de regularidades Parte II Visualização e múltiplas representações Parte III Geometria dinâmica e problemas de optimização

O quadro seguinte apresenta um resumo das tarefas propostas. Entre essas foi escolhida uma para exemplificar o tipo de exploração realizada neste projecto.

Quadro 1

Conjectura sobre a derivada de ordem n a) f(x)= e ax+b b) f(x)= x. ex

Parte I Descoberta de regularidades

c) f(x)= ln x d) f(x)= x. ln(x)

Extremos relativos na família de funções a) f(x)= x . e - n x

Parte II Visualização e múltiplas representações: Gráficos e Cálculo b) f(x)= x n. e – x

Problema de optimização da área do rectângulo inscrito: a) num triângulo

Parte III Múltiplas representações: Geometria Dinâmica e Cálculo

b) num círculo

Exploração de uma tarefa da Parte II

As tarefas desta parte, requeriam a exploração, tanto do ponto de vista gráfico, como algébrico, de algumas propriedades da família de funções:

f(x) = x. e – n x e f(x) = x n . e – x , com n ∈ IN.

As funções da família da primeira tarefa só tinham um extremo relativo e pretendia-se que os alunos conjecturassem as suas coordenadas, enquanto na segunda era preciso também decidir o número de extremos relativos de cada elemento da família de funções.

Os alunos teriam de concluir sobre o número de zeros da derivada e de extremos relativos para cada elemento da família das funções do tipo:

f(x) = x n . e – x , com n ∈ IN.

N f(x) f ´(x) Zeros de f ´ Extremos relativos

1 x . e –x

2 x2 . e- x

3 x3. e –x

…

n xn. e –x

N f(x) f ´(x) Zeros de f ´ Extremos relativos

1 x . e –x (1-x) e-x 1 (1,1/e)

2 x2 . e- x (2x-x2) e-x 0 e 2 (0,0) e (2, 4/e2)

3 x3. e –x (3x-x3) e-x 0 e 3 (3, 27/ e4 )

…

n xn. e –x (nx-xn ) . e-x 0 e n (0,0) se n é par e ( n,nn / en)

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Após completarem a tabela, e apoiados na visualização do gráfico de elementos da família de funções esperava-se que os alunos concluíssem:

i) Há um zero da derivada se n=1 e para os outros valores da variável natural n o número de zeros da derivada é sempre 2. ii) Cada elemento da família tem um máximo e um mínimo relativos se n é par e apenas um máximo se n é ímpar. iii) As coordenadas dos extremos são: (0,0) para o mínimo, se n é par, e (n, nn / en) para o máximo.

Os alunos começaram por dividir o ecrã, uma possibilidade da calculadora que permitiu que visualizem o gráfico em simultâneo com o tratamento simbólico que iam fazendo.

Mostraram agora muito maior destreza a determinar as sucessivas derivadas e zeros, e foi relativamente fácil chegar à generalização a expressão da derivada da família de funções, y´= (nx-xn ) . e-x , e dos zeros da derivada.

E visualizavam de imediato as alterações no gráfico de cada novo elemento da família de funções f(x)= xn . e –x :

Os alunos tiveram de fazer um estudo analítico cuidadoso para comprovar o que o

gráfico lhes mostrava, especialmente para n ímpar, maior que um. Por exemplo, no caso n=3, vários alunos manifestaram surpresa pelo comportamento da função na vizinhança do zero da derivada, para x=0, que não mudava de sinal na sua vizinhança. De princípio, para estes alunos, os resultados da investigação à volta do número de extremos da família de funções não eram nada óbvios. Isto pode dever-se ao facto de, na turma, o tema do cálculo ter sido iniciado ainda há pouco, mas também à maior abstracção exigida neste estudo. A continuação da exploração, com o CAS a “fornecer” mais e

n=1 n=2

n=3

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mais exemplos levou a uma compreensão gradual do que estava acontecer e, por fim, quase todos os alunos conseguiram obter o que se pretendia.

O professor insistiu em que eles redigissem, de forma cuidadosa, as conclusões, actividade esta que demorou até sair bem, sempre com o professor a ouvir e corrigir as suas versões. As conclusões da Sara:

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Resultados obtidos

Os alunos tiveram nesta parte do trabalho muito melhor desempenho a determinar as sucessivas derivadas e zeros, tanto sem o recurso do CAS, como com ele. Este foi utilizado no começo da exploração das actividades desta fase, para confirmar os seus cálculos iniciais à mão, depois para gerar novos exemplos, como a investigação requeria, para encontrarem regularidades e, por fim, para apoiar a verificação de resultados e generalizações.

Nesta actividade, as potencialidades de visualização gráfica da calculadora ajudaram os alunos, primeiro, a tomarem contacto com o objecto matemático com que iriam lidar analiticamente, identificando alguns elementos da família de funções; depois, a comprovar os resultados a que chegaram visualizando os pontos cujas coordenadas tinham descoberto por via analítica. Esta espécie de interacção nos dois sentidos – gráfica e analítica – foi muito valorizada pelos alunos, porque achavam que dava sentido às manipulações algébricas que tinham feito, com CAS ou mesmo sem ele.

O CAS ajudou não só a conjecturar a deriva de ordem n, o que os alunos fizeram sem dificuldade, como ajudou a clarificar a relação do zero da derivada de uma função (derivável) com a existência de extremos relativos da função. E, embora a investigação se pudesse propor aos alunos mesmo sem o CAS presente, a existência deste recurso facilita a realização de actividades com os objectivos pretendidos: pelas possibilidades gráficas da calculadora, facilmente se puderam obter os gráficos de várias funções da família e, pelas capacidades de cálculo simbólico foi enormemente facilitado o tratamento analítico de um considerável número de exemplos.

É de notar, contudo, que mesmo estando disponível um recurso com a potência do CAS, essa compreensão por parte destes alunos só gradualmente foi adquirida. Naturalmente, perante o acumular dos exemplos fornecidos pelo CAS, por via simbólica ou gráfica, o aluno precisa de ter tempo para reflectir sobre eles.

A exploração das tarefas desta parte implicavam um estudo mais aprofundado que as anteriores, colocando os alunos perante um tipo de questões que não é muito usual abordar nas aulas neste tema do programa do ensino secundário. Passou-se da determinação analítica de máximos e mínimos relativos de uma função, procedimento habitual neste tema, à investigação de regularidades sobre as mesmas questões, mas a um nível de maior generalização e abstracção, como é o estudo alargado, não a uma, mas a uma família de funções.

Opinião dos alunos

“ o cálculo analítico em conjunto com a visualização gráfica permite uma compreensão rápida das “consequências gráficas” dos nossos cálculos “ – Sara “os momentos que tínhamos de conjecturar para chegar a uma expressão analítica…isso foi estimulante em termos da prática das várias regras e penso que desperta entusiasmo (pelo menos da minha parte) – Fábio. “gostei da interacção que houve nas aulas…”; “No final destas aulas “extra” de Matemática acho que foram aulas que me ajudaram não só a compreender melhor a matéria como a gostar mais de Matemática – Miriam .

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Conclusões

O quadro seguinte apresenta uma síntese das principais conclusões do estudo, incluindo as duas primeiras fases.

Tarefa Aspectos a destacar da experiência

Vantagens Dificuldades

Fase 1 “Problemas e sistemas” [Cálculo Algébrico]

- A redução dos cálculos algébricos libertou mais tempo para a resolução de problemas, focando a atenção na interpretação e tradução para linguagem matemática; e permitiu resolver mais problemas que o habitual. - Possibilidade de ir “mais além“, ousando envolver os alunos na resolução de problemas que conduziam a equações não lineares28. -Metodologia que manteve os alunos concentrados na resolução dos problemas.

- Sintaxe com o CAS - Insegurança nas próprias capacidades : “receio de não aprender”, manifestado por alguns alunos, -Em certos alunos29, muito desmotivados, a existência de um recurso como este não foi suficiente para lhes prender a atenção.

Fase 2 “O binómio de Newton e o triângulo de Pascal “ [Regularidades]

- Sucesso da aprendizagem dos conteúdos do tema, que foi semelhante ao da aula sem CAS. - Exploração de actividades onde a pesquisa de regularidades, facilitada pelo CAS, conduzia à descoberta de propriedades. - Não houve dificuldades na utilização da calculadora. - Trabalho autónomo do aluno. -Maior concentração na aula. - Maior Incentivo para os alunos com deficit de motivação.

- Certo desconforto sentido pela professora titular da turma, insegura da aprendizagem dos seus alunos, envolvidos que estavam num trabalho muito autónomo e com uma ferramenta didáctica que fazia os cálculos por eles.

Fase 3

- Ênfase no trabalho de pesquisa de regularidades, na generalização e verificação, em detrimento do

- Ao longo das 4 tarefas continuaram a sentir dificuldades para generalizar.

28 Como no caso dos problemas envolvendo áreas e o teorema de Pitágoras,. 29 Como alguns alunos do 10º ano do curso tecnológico

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I Parte “Conjectura sobre a derivada de ordem n” [Regularidades]

trabalho mecanizado habitual neste tipo de actividade. - Progressão nas destrezas de cálculo algébrico. O CAS, ao possibilitar verificações rápidas e precisas deu feedback imediato às tentativas dos alunos, encaminhando-os para as respostas correctas. - Ajudou a tornar nítida a visualização de um padrão, pela possibilidade de obter grande número de exemplos, com rapidez e facilidade, que o CAS permite.

Não se observaram progressos na capacidade para o fazer.

II Parte “Extremos relativos numa família de funções” [Múltiplas representações:

Gráficos e Cálculo]

II Parte [cont]

-Os alunos puderam trabalhar em tarefas que exigiam uma actividade de investigação, de descoberta e generalização de propriedades que não é usual propor na aula, sem CAS, pelos cálculos demorados e repetitivos que implicam. - Aprofundamento de um tema do programa, abordando as mesmas questões habituais30, mas estendendo esse estudo a um nível de maior generalização e abstracção. - Investigação de propriedades da família de funções facilitada pela possibilidade de trabalhar em diferentes ambientes, nomeadamente os modos simbólico e gráfico do CAS, que explorados em alternância davam uma certa complementaridade às abordagens deste estudo. -Valorização, por parte dos alunos, das conexões entre as diversas representações do objecto de estudo, que sentem que os ajudou a compreender melhor31.

- Apesar da diversidade de abordagens a compreensão do assunto e atingir as conclusões foi feito de forma gradual, precisando os alunos de tempo para reflectir sobre a muita informação que lhe chegava da calculadora. - Foram observadas algumas limitações da calculadora, originadoras de possíveis confusões nos alunos, se o professor não está avisado delas.

30 Como zeros e extremos relativos de uma função 31 Foi o caso, por exemplo, da clarificação da relação entre o zero da derivada e os extremos relativos.

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-Apropriação progressiva do domínio técnico da calculadora pelos alunos, reduzindo-se os problemas de sintaxe e utilizando este recurso de forma cada vez mais consciente e capaz. - Os alunos mantiveram confiança nas próprias capacidades de fazer “à mão“, não havendo o sentimento de receio de “não saber fazer”, sem CAS.

III Parte “Rectângulo inscrito no triângulo/rectângulo” [Múltiplas representações:

Geometria Dinâmica / Gráficos/Cálculo]

- A exploração dos novos ambientes permitiu uma diversidade ainda maior de abordagens, que acrescentou geometria ao tratamento gráfico e analítico. -Apresentação de novas abordagens, mais ricas, de problema de optimização. -A introdução de um novo ambiente não trouxe quaisquer dificuldades aos alunos, quanto à utilização de comandos e instruções relativas a esse novo ambiente. -Confrontou os alunos com novos desafios

- Dificuldades de natureza matemática sentidas pelos alunos na adequada tradução para linguagem matemática.

Os resultados apresentados anteriormente, que resultam dos inquéritos aos alunos

e da observação do seu desempenho na experiência ao longo das diversas fases, apontam de uma forma geral, para: - o reconhecimento do papel deste recurso, que ao libertar os alunos dos cálculos

mais fastidiosos, permitiu que dispusessem de mais tempo para explorar actividades de investigação, como aquelas que conduzem à descoberta de padrões, formulação de conjecturas e sua validação;

- a viabilidade de propor aos alunos deste nível de ensino actividades diversificadas, onde as potencialidades do CAS favorecem a conexão entre diferentes representações do objecto matemático em estudo, seja ele, por exemplo, uma família de funções, ou um objecto geométrico como polígonos, e com isso poder-se ganhar uma visão mais integrada dos conceitos matemáticos;

- a possibilidade de tratar os assuntos com um nível de profundidade maior do que o habitual; Muitas das conclusões anteriores já foram evidenciadas noutros estudos de

investigação sobre o uso do CAS.

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Surpresas verificadas

É curioso que os alunos, apesar de terem disponível uma máquina que pode efectuar rapidamente todos os cálculos algébricos, preferiam fazê-los por eles mesmo em muitas ocasiões. Isto foi verificado em todas as fases, mas de forma notória na última, quando era visível que tinham domínio sobre as regras de derivação. Denota que os alunos tinham uma noção do grau de razoabilidade da sofisticação dos cálculos a fazer, assim como mostra um uso criterioso da calculadora, reservando-a para os cálculos difíceis e laboriosos.

Este facto é relatado também em experiências realizadas noutros países (Pierce ,2002).

Os alunos que participaram na fase mais longa manifestaram, pois, uma certa forma de controlo sobre as suas próprias capacidades de cálculo, e alguns até atribuíram ao CAS uma melhoria das suas destrezas de cálculo.

Implicações deste estudo

Apesar de algumas incertezas, neste texto não discriminadas, próprias de um recurso tecnológico recente, e de algumas dificuldades que subsistem, mostrou este estudo que existem vantagens que deveriam ser aproveitadas desde já. Elas, como afirmado antes, incluem algumas das sugestões metodológicas mais recomendadas pelos programas, e são experiências inovadoras, reconhecidas em alguns países pelos benefícios no desempenho matemático dos alunos. Além do mais, as actividades propostas aos alunos suscitaram a sua adesão, entusiasta por vezes, e porque realizadas num contexto metodológico que os implicou na própria aprendizagem, podem ter contribuído para um enriquecimento das suas capacidades matemáticas.

Assim sendo, a utilização deste recurso acompanhado de actividades apropriadas nas escolas do ensino secundário, pode ser recomendada para os espaços do tipo oficinas de Matemática, enquanto os professores não adquirem confiança suficiente para o usar na sua própria sala de aula.

Bibliografia Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense-making in formal mathematics.

For the Learning of Mathematics, 14(3), 24-35. Böhm, J. (2004). The Case for CAS. Münster: T3 Europe. Braumann, C. (2002). Divagações sobre investigação matemática e o seu papel na

aprendizagem da Matemática. In J. Ponte et al. (Eds.), Actividades de Investigação (pp. 5-24). Lisboa: SPCE.

Burrl, G. et al. (2003). Handheld Graphing Technology in Secondary Mathematics. Michigan: Texas Instruments.

Drijvers, P. (1999). Students encountering obstacles using CAS. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 5,189-209.

Fey, J. et al. (1999). Concepts in Algebra — A technological approach. Chicago: Everyday Learning.

267

Fey, J. et al. (2003). Computer Algebra Systems in Secondary School Mathematics Education. Reston: NCTM.

Guin, D. e Trouche, L. (1999). The complex process of converting tools into mathematical instruments: The case of calculators. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 3, 195-227.

Guzmán, M. (1994).Programas de ordenador em la educacion matematica.Revista de Anaya Educación,3, 33-40.

Heid, M. K. (1988). Resequencing skills and concepts in applied calculus using the computer as a tool. Journal for Research in Mathematics Education, 19(1), 3-25.

Heugl, H. (1996). The Austrian research project: Symbolic computation in the classroom. The International Derive Journal, 3(1), 1-10.

Kutzler, B. (1999). The algebraic calculator as a pedagogical tool for teaching and mathematics. The International Journal for Computer Algebra in Mathematics Education, 7(1), 5-24.

Mahoney, J. (2002). Cálculo Algébrico Simbólico nas nossas escolas: Alguns axiomas e exemplos (traduzido por M. J. Bóia et al. do artigo original publicado em Mathematics Teacher, Novembro, 2002). Revista Educação e Matemática, 73, 36-41.

Mendes, A. et al. (2005). Edu.Cas. Revista Educação e Matemática,85, 73-75. Ponte, J. (2002). O ensino da Matemática em Portugal: Uma prioridade

educativa? in Actas do Seminário: O Ensino da Matemática: Situações e Perspectivas. Lisboa: CNE.

Ponte, J. e Canavarro, A. P. (1997). Matemática e Novas Tecnologias. Lisboa: Universidade Aberta.

Ponte, J. et al. (1997) Didáctica da Matemática – ensino secundário. Lisboa: ME-DES.

Stacey, K. e Pierce, R. (2004). Monitoring progress in algebra in a CAS active context: symbol sense, algebraic insight and algebraic expectation. International Journal for Technology in Mathematics Education, 11(1), 3-12.