-
4 O DIAGRAMA MOMENTO-CURVATURA NA FLEXO COMPOSTA NORMAL
4.1 Introduo
Mostra-se neste captulo a obteno do diagrama momento-
curvatura para sees transversais em forma de duplo T assimtrico,
com diversas
camadas de armadura, e sujeitas a solicitaes normais (a fora
cortante ser
considerada no captulo 5). Neste diagrama ser includo o
enrijecimento da
armadura tracionada, com a finalidade de considerar com mais
preciso a
deformabilidade do elemento estrutural, mas apenas quando na seo
transversal
houver dois banzos distintos, um tracionado, outro
comprimido.
O diagrama momento-curvatura reflete as leis tenso-deformao
no-lineares do ao e do concreto, e pode ser admitido, no fosse a
ao da fissura
coesiva, como uma propriedade da seo transversal. Retm-se aqui a
hiptese de
Bernoulli. Com isto a curvatura igual ao gradiente das deformaes
na seo
transversal, e tambm igual variao da rotao por unidade de
comprimento da
barra.
A hiptese usual da Teoria da Elasticidade Linear, que consiste
em
atribuir a cada barra seu mdulo de elasticidade E e seu momento
de inrcia I ,
corresponde a uma lei momento-curvatura linear, sem qualquer
limite de
deformao, i. e., sem limite de curvatura na anlise. A inclinao
da reta que
representa esta lei dada pelo produto EI . Esta hiptese est
longe de refletir a
verdadeira resposta do material concreto armado, e fere tambm as
condies de
compatibilidade local (na seo) e global (na estrutura). Assim,
ao invs de atribuir a
cada barra seu mdulo de elasticidade e seu momento de inrcia,
usa-se a sua lei
momento-curvatura. Possibilita-se com isto a anlise no-linear,
que pode, ento,
atender, alm das condies de equilbrio, tambm as de
compatibilidade e as leis
constitutivas dos materiais.
-
102
As seguintes hipteses so admitidas:
(1) A seo transversal permanece plana aps deformar-se (Hiptese
de
Bernoulli).
(2) Na compresso e na trao antes da fissurao h aderncia rgida
(sem
deslizamento) entre a armadura e o concreto circundante. O mesmo
j
no se pode afirmar na trao aps a fissurao, pois h
deslizamento
entre os dois materiais. Entretanto, pode-se afirmar que ainda
h
igualdade de alongamentos mdios do ao e do concreto, se para
este
ltimo for adicionada ao seu efetivo alongamento mdio a parcela
da
abertura da fissura, dividida pelo espaamento das fissuras.
Esta
abertura , assim, espalhada no banzo tracionado.
(3) Consideram-se carregamentos monotnicos quase-estticos,
sem
qualquer alternncia ou repetio ( sdtd /10 5 ).
(4) O efeito da fluncia do concreto no considerado.
(5) Aps a fissurao despreza-se, na seo transversal fissurada,
a
resistncia trao do concreto.
As sees transversais que podero ser consideradas pelo
programa desenvolvido (em Qbasic) so aquelas geradas a partir de
uma seo
duplo T assimtrico, conforme Fig. 4.1. Nesta figura indica-se
tambm a conveno
de sinais.
As tenses de trao no concreto logo abaixo da linha neutra (LN)
e
as originadas pela fissura coesiva, cf. Fig. 2.8d, poderiam,
eventualmente, ser
consideradas. Para isto teria de ser obtida a abertura (mdia) da
fissura ao nvel da
camada de armadura de maior alongamento, decorrente da distncia
(mdia) entre
fissuras e da diferena de alongamentos (mdios) do ao e do
concreto. Havendo s
solicitaes normais, as fissuras so ortogonais ao eixo da pea.
Entretanto, estas
tenses de trao, aps a fase de formao de fissuras, s tm alguma
importncia
nas peas fracamente armadas (taxas geomtricas prximas da mnima).
Alm
disso, se esta considerao for feita para fissuras de flexo, por
coerncia deve-se
faz-la tambm para as fissuras de flexo e de fora cortante, o que
torna o
problema bem mais complexo.
-
103
Fig. 4.1: Formas de seo e conveno de sinais.
Faz-se a seguir a distino entre os comportamentos das
estruturas
isosttica e hiperesttica, de acordo com suas respostas ao
carregamento aplicado
(Fig. 4.2), i. e., de acordo com a funo carga-deslocamento,
atravs do exemplo
usado por Thrlimann et al. (1989), para definir a resistncia
equivalente da
estrutura, correspondente capacidade portante. Ver tambm Bazant
et al. (1991).
A lei constitutiva admitida para o concreto, neste exemplo, a
dada
pela Equao (2.82):
)2(1
2
+
=
kkfcc
onde 1c
c
= , 00
01 /2,2=c e 279,2=k .
Escolhendo-se uma seqncia de deslocamentos obtm-se imediatamente
as deformaes, e destas as tenses e as foras em cada elemento
estrutural. A soma destas foras d o valor da carga F aplicada,
correspondente ao
deslocamento escolhido. Ver a Tabela 4.1 e a Fig. 4.3.
N M
1
2 2
1
00 - 0 CG
c
-
104
Fig. 4.2: Distino entre estrutura isosttica e hiperesttica.
Tabela 4.1: Determinao da curva carga-deslocamento )(F .
Estrutura isosttica Estrutura hiperesttica
(mm)
c
)/( 000
c
)(MPa
F )(KN
)1(c
)/( 000
)2(c
)/( 000
)1(c
)(MPa
)2(c
)(MPa
)1(F )(KN
)2(F )(KN
F )(KN
0 0 0 0,22 0,44 10,88 435,5 0,44 0,88 10,88 20,28 435,5 811,2
1681,6 0,44 0,88 20,28 811,4 0,88 1,76 20,28 29,02 811,4 1160,8
2783,2 0,55 1,10 23,42 936,9 1,10 2,20 23,42 30 936,7 1200 3073,6
0,66 1,32 25,89 1035,5 1,32 2,64 25,89 29,10 1035,5 1164 3235,2
0,88 1,76 29,02 1160,8 1,76 3,52 29,02 22,53 1160,8 901,2 3222,8
1,10 2,20 30 1200 2,20 4,40 30 10,74 1200 429,6 2829,6 1,32 2,64
29,10 1164 1,54 3,08 26,50 1061,9 1,76 3,52 22,53 901,3
(a) Estrutura isosttica (b) Estrutura hiperesttica
Fig. 4.3: Capacidade de carga de estruturas isosttica e
hiperesttica.
0200400600800
100012001400
0 0,5 1 1,5 2
Deslocamento (mm)
Car
ga a
plic
ada
(KN
)
F1
1 1 1
2
FF
l = 500mm0,5 l
l
A=200x200 mm2
A
A
A
E I
(a) Estrutura isosttica (b) Estrutura hiperesttica
0500
100015002000250030003500
0 0,5 1 1,5
Deslocamento (mm)
Car
gas
aplic
adas
na
estr
utur
a e
nos
elem
ento
s (K
N)
F=2F1+F22F1F2
-
105
Destes resultados pode-se ver que:
(1) Tanto na estrutura isosttica quanto na hiperesttica a
mxima
capacidade portante dada pela condio
0=ddF (4.1)
(2) Na estrutura isosttica a mxima fora obtida corresponde
mxima
resistncia do material ( MPafcc 30== para 000 /2,2=c ) e a
curva
)(F reflete a lei )( do material.
(3) Na estrutura hiperesttica a mxima fora aplicada no resulta
da soma
das capacidades individuais dos elementos estruturais
isoladamente
(que seria igual a KN3600 no exemplo), mas tem de ser obtida
pela
condio de compatibilidade. Isto est claramente mostrado na Fig.
4.3b,
onde os mximos individuais no correspondem carga mxima
obtida.
Observe-se que para maxF desta figura tem-se 000)1( /32,1=c
e
000)2( /64,2=c , encurtamentos bem inferiores a um possvel
limite
imposto ao material (no caso, 68,3lim, =c 000 / ).
(4) Na Teoria da Plasticidade usual definir uma resistncia
equivalente
correspondente carga mxima (p. ex., na alma e no banzo
comprimido
de peas fletidas). Ver Thrlimann et al. (1989) e Nielsen (1998).
Esta
resistncia, na estrutura isosttica igual a cf , na estrutura
hiperesttica
passa a ser:
= ccceqc
fAF
ff
max, (4.2)
no caso igual a:
-
106
9,0302003
102,32352
3,
=
=
c
eqc
ff
ou seja, %90 da resistncia compresso uniaxial do concreto.
A condio de mximo, dada pela Equao (4.1), pode
eventualmente ser substituda por outra que lhe equivalente, a
saber, a de
mudana do sinal desta derivada, na ultrapassagem do ponto de
mximo da curva
carga-deslocamento. Isto pode ocorrer em estruturas que envolvam
pilares esbeltos,
cuja armadura tracionada entra em escoamento toda ela de uma s
vez.
Estes resultados simples podem ser transpostos para vigas e
prticos de concreto armado com igual validade. Entretanto,
preciso considerar as
deformaes limites dos materiais, no ao seu alongamento ltimo, no
concreto seu
encurtamento limite (nominal).
4.2 O Ponto de Mximo do Diagrama Momento-Curvatura
A discusso do item anterior pode ser mais bem esclarecida
atravs
de um caso simples de obteno do ponto de mximo do diagrama
momento-
curvatura, que examinado a seguir. Para facilitar a deduo,
introduzem-se as
seguintes grandezas adimensionais, todas elas positivas (Fig.
4.4 e Fig. 4.5):
dx
= profundidade relativa da LN (4.3)
cfbdM
2= momento relativo (4.4)
c
cc bdf
R= fora normal relativa do concreto (4.5)
-
107
Fig. 4.4: Dados para a determinao do ponto de mximo da curva
)/1( rM .
c
ys
bdffA
= taxa mecnica da armadura (4.6)
da distncia relativa da fora c LN (4.7)
dy
= varivel de integrao (4.8)
da
dz
+= 1 brao de alavanca das foras internas (4.9)
rd310
= curvatura relativa (4.10)
(a) Viga isosttica, diagrama de momento fletor
h
2 2
=4F
L Lb
F
M L
dAs
xy
fc
c1
c
c
s
s
yf
sy1
sE
M
r1
mx M = 4FL
mx
(b) Seo transversal (c) Leis constitutivas
(d) Momento - curvatura
parbola do 2 grau
-
108
Fig. 4.5
Supondo a armadura j em escoamento, as foras no concreto e
no
ao, iguais entre si, so constantes. Mas o brao de alavanca
varivel com a
curvatura. Disto resulta que a variao do momento fletor
resistente com a curvatura
deve-se exclusivamente quela variao. Portanto, o momento fletor
ser mximo
quando o brao de alavanca o for.
A fora no concreto dada por (com 310= ):
== )
311(
11
2
ccc (4.11)
e sua distncia relativa LN :
])(38[12
2
11
2
ccda
= (4.12)
Em (4.11) pe-se em funo de :
033 321
12=+
cc (4.13)
donde a raiz:
s
d = 1
z/d
a/d
c =
-
109
)3411(
23 1
= c (4.14)
Nesta equao s vale o sinal negativo, pois a outra raiz conduz a
uma
impossibilidade. Tirando-se desta equao 1/ c e substituindo-se o
resultado em (4.12) e em (4.9), obtm-se a expresso do brao de
alavanca em funo da
profundidade relativa da LN:
34
8841
2
+=
dz (4.15)
A derivada desta funo igualada a zero leva a uma equao do 3 grau
em , de raiz igual a:
3447,1= (4.16)
donde
5489,01)( max =dz (4.17)
e portanto:
)55,01()5489,01()( maxmax == dz (4.18)
Se fossem usados os blocos retangulares de tenses da NBR
6118,
2000 e do ACI, cf. Park e Paulay (1975), seriam obtidos
respectivamente 5,0 e 59,0
no lugar de 55,0 .
A equao inversa de (4.18), usada para dimensionamento, :
)20,211(91,0 = (4.19)
-
110
A curvatura correspondente ao momento resistente mximo
decorre
da substituio de (4.16) em (4.14), e inversamente proporcional
taxa mecnica
da armadura:
1013,1 c= (4.20)
A deformao da armadura, para a mesma condio, :
syc
s
== )345,11(013,1)1( 1 (4.21)
e deve ser inferior deformao de ruptura su e superior deformao
de
escoamento, como pressuposto. Para uma dada deformao 1c
correspondente
tenso de pico cf resulta:
syc
c
+
1
1
362,1013,1 (4.22)
onde o segundo membro desta desigualdade o limite da taxa
mecnica da
armadura para haver escoamento, e igual a 423,0 para 000
1 /2=c e 000 /07,2=sy .
O encurtamento mximo do concreto, na borda da seo
transversal, decorre de:
11
max 362,13447,1013,1 cc
c
=== (4.23)
Como se v, este encurtamento s depende de 1c , e vale 000 /72,2
e 00
0 /3 , para
000
1 /2=c e 000 /2,2 , respectivamente. No cabe estranhar estes
valores, e
tampouco o fato de serem constantes. O ACI 318-95, item 10.2.3,
adota um valor
constante e igual a 000 /3 .
-
111
Na situao de clculo basta trocar nas equaes anteriores cf
por
cdf85,0 , yf por ydf , sy por syd , por )85,0( 2bdfM cddd = .
Portanto, a taxa
mecnica ser )85,0( bdffA cdydsd = .
Mostra-se na Tabela 4.2 a comparao do presente clculo com o
obtido utilizando-se o diagrama parbola-retngulo e os domnios de
deformao da
NBR 6118, 2000, na situao de clculo, para ao CA-50 e 000
1 /2=c . Neste ltimo
caso faz-se uso das equaes deduzidas por Nascimento (1988), as
quais, na flexo
simples, ligam o momento fletor diretamente taxa mecnica da
armadura.
Tabela 4.2: Comparao entre o presente clculo e o obtido com as
hipteses da NBR 6118,
2000, para o ELU Flexo.
Presente clculo Parbola-retngulo (NBR 6118) d
d s d s 0,052 0,051 0,070 36,23 38,96 0,050 0,108 10 11,21 0,111
0,104 0,149 15,53 18,25 0,104 0,167 10 12 0,152 0,139 0,204 10,61
13,33 0,140 0,205 10 12,58 0,201 0,179 0,270 7,36 10,08 0,180 0,251
10 13,35 0,266 0,227 0,358 4,89 7,62 0,230 0,329 7,13 10,63 0,324
0,266 0,436 3,53 6,25 0,270 0,400 5,25 8,75 0,355 0,286 0,477 2,98
5,71 0,290 0,438 4,48 7,98 0,404 0,314 0,543 2,29 5,01 0,320 0,499
3,52 7,02 0,423 0,325 0,568 2,07 4,79 0,333 0,522 2,66 5,57
Desta comparao podem ser tiradas vrias concluses:
(1) As diferenas na resistncia entre os dois clculos
irrelevante, e a lei
parablica aqui admitida para o concreto no restritiva. Sob
este
aspecto outras leis poderiam ser admitidas, com resultados
igualmente
aceitveis, como permitido em diferentes normas. O presente
clculo
no fez qualquer uso dos domnios de deformao, mas reteve a
hiptese de Bernoulli, atravs da qual se pode determinar as
condies
de compatibilidade local. Na determinao da superfcie de
plastificao
(yielding surface) ou diagrama de interao, a Teoria da
Plasticidade, em
coerncia com o Teorema Esttico, s retm as condies de
equilbrio
-
112
e de resistncia (equivalente, cf. item anterior), e descarta
qualquer
condio de compatibilidade de deformaes. Ver Heyman (1971).
Como confirmao disto, v-se que as diferenas nas deformaes da
armadura so grandes para momentos quase iguais. Note-se
nesta
tabela que: (a) para baixas taxas mecnicas da armadura a ruptura
da
seo pode dar-se pela ruptura (fratura) da armadura, pois teria
de haver
alongamento ilimitado do ao para que houvesse sempre
esmagamento
do concreto; (b) o fim do escoamento da armadura d-se, no caso,
para
a profundidade da LN ocupando %8,56 da altura til d da seo,
menor,
portanto, que o valor correspondente transio entre os domnios 3
e
4, igual a %8,62 .
(2) A questo principal que se deseja colocar aqui no a da
resistncia,
mas a da deformabilidade. Na Tabela 4.2 v-se que tambm na
curvatura h grandes diferenas entre os dois clculos.
Entretanto
permanece ainda o problema da deformao limite em peas
fletidas,
uma questo ligada ao ramo descendente da lei )( cc , onde
intervm
conceitos da Mecnica da Fratura, por causa da localizao das
deformaes, como se mostrou na compresso uniaxial. Esse ramo
depende da forma e do tamanho da seo, do grau de confinamento
do
concreto pelos estribos, da armadura longitudinal, cf. Bazant et
al.
(1991), e ainda da profundidade da LN. Quanto ao encurtamento
limite
do concreto, cf. Sigrist (1995), pode-se partir de um
encurtamento
nominal de ruptura igual a 000 /5 , com base em resultados
experimentais
de Bachmann e Thrlimann (1965), e de Sigrist e Marti (1993).
Este
mesmo limite usado nos trabalhos de Langer (1987) e de
Longfei
(1995), que adotam como lei constitutiva do concreto o
diagrama
parbola-retngulo. Longfei observa que a deformao limite do
concreto, 000 /5,3 , baseia-se nos trabalhos de Rsch, de Rasch e
de
Rsch e Stckl, nos quais tomou-se como base de medida de
encurtamento do concreto um comprimento de mm300 , na borda
da
zona comprimida de vigas em flexo. Na seo transversal este
limite
-
113
(um valor mdio) muito conservativo. A conseqncia de um
aumento
neste limite evidente: aumenta-se a ductilidade do concreto,
enquanto
o momento resistente permanece praticamente o mesmo.
(3) O ponto de mximo da lei momento-curvatura, )1( rM , na viga
isosttica
da Fig. 4.4 corresponde realmente mxima capacidade portante,
e
para este valor da carga h runa da viga. Mas numa estrutura
hiperesttica a ultrapassagem deste ponto no significa
necessariamente runa da estrutura. Pode significar apenas que a
seo
crtica em questo est transferindo solicitaes para outras regies
da
estrutura superabundantes em resistncia. A runa ocorre quando
se
forma um mecanismo (pelas rtulas plsticas), cf. Equao (4.1),
ou
quando atingida uma deformao limite no concreto ou no ao, na
seo mais crtica. Em vrios trabalhos experimentais do CEB 218
(1993) tomado como referncia, no ramo descendente da curva
momento-rotao, o valor correspondente a %90 ou %95 do
momento
mximo dessa curva. No trabalho de Eligehausen e Fabritius,
publicado
nesse boletim, constata-se que h aumentos de %40 a %100 na
rotao
plstica se se chegar a max95,0 M no ramo descendente da
mencionada
curva, em comparao com a rotao plstica obtida somente pelo
valor
de pico, maxM , dessa curva.
Destas observaes fica evidente que uma vez estabelecida a
lei
)( cc do concreto, em especial o seu ramo descendente, a ser
usada em clculos
no-lineares, a definio de uma deformao limite torna-se
dispensvel, conforme
mostrado no exemplo do item 4.1. Este tema atualmente objeto de
pesquisa na
rea da Mecnica da Fratura. Como nos trabalhos de Langer (1987),
Kreller (1989),
Sigrist (1995) e Longfei (1995), adota-se aqui tambm uma
deformao limite do
concreto, cf. a Tabela 2.5 ou outro valor confirmado
experimentalmente.
-
114
4.3 Obteno do Diagrama Momento-Curvatura
Fig. 4.6: Discretizao das sees de concreto e de ao.
A seo considerada neste trabalho um duplo T, com pelo menos
um plano de simetria, o vertical passante pelo centro de
gravidade da seo, onde
atuam os esforos solicitantes ),( NM . A seo discretizada em cj
)40(=
camadas de concreto e sj )20( camadas de armadura, Fig. 4.6. A
rea da seo
transversal e a distncia entre o eixo X, passante pela base da
seo, e o CG so
iguais a:
11220 hbhbhbA ww ++= (4.24)
0
1112222
0)5,0()5,0(5,0
Ahhhbhhhbhb
y www +++= (4.25)
h
y0
0 0CG
X X
ysi
hw
2h
1h
bw
b2
1b
As1
siA
(a) concreto (b) armadura
yci
-
115
Fig. 4.7
Conforme a Fig. 4.6, definem-se os dados para o concreto na
Tabela
4.3. Para as sj camadas de armadura so dadas as distncias siy e
as reas siA .
Tabela 4.3: Dados da seo de concreto.
Nmero de Camadas
Espess. da camada
Larg. da camada
Distncia do CG da camada ao Eixo X (base da seo)
Flange inferior 2cj 222 cjhe = 2b
)5,0(2 = ieyci
21 cji
Alma cwj cwww jhe = wb )5,0( 22 cwci jiehy +=
cwcc jjij + 22
Flange superior 1cj 111 cjhe = 1b
)5,0( 212 cwcwci jjiehhy ++=
ccwc jijj +2
Total 21 ccwcc jjjj ++=
As equaes de compatibilidade decorrem da hiptese de
Bernoulli,
cf. Fig. 4.7. A curvatura da seo dada pelo gradiente dyd ,
donde:
10
01
1
1
1
2121s
s
s
s
s
s
yyyxhyhxr
=
=
==
(4.26)
Adimensionalmente tem-se, pondo 310= :
s1
h
x
1/rN M
1
2
h-x-ys1
s1y1
2
0-0 00yAs1
x>0
-
116
hyhyhyhyrh
s
s
s
s
s
s
10
01
1
1
1
2123
1110
=
=
===
(4.27)
sendo a profundidade relativa da LN dada por:
hx
= (4.28)
Escolhem-se como incgnitas bsicas a deformao no centro de
gravidade da seo e a curvatura. Logo, a deformao da armadura da
primeira
camada :
hyy s
s10
01
+= (4.29)
Com esta deformao obtm-se a da borda mais comprimida (ou
menos tracionada):
)1( 112hys
s = (4.30)
assim como a da borda mais tracionada (ou menos comprimida):
hys
s1
11 += (4.31)
e numa ordenada iy ( ciy ou siy ):
)()( 0011hy
hy
hy
hy iis
si +=+= (4.32)
-
117
Das deformaes ci e si decorrem as tenses nas camadas de
concreto, ci , e da armadura, si , atravs das leis constitutivas
dadas. Os esforos
resistentes do concreto e do ao so:
++
+
+
++==c
cwc
cwc
c
cc j
jjci
jj
jciww
j
ci
j
ciiic ebebebebR1
1111
221 2
2
2
2
(4.33)
][1
1111
2201
02
2
2
2 ++
+
+
++==c
cwc
cwc
c
cc j
jjcici
jj
jciciww
j
cicic
j
ciciiicc yebyebyebyRyebyRM (4.34)
si
j
sis
s
AR =1
(4.35)
= sj
sisisiss yAyRM1
0 (4.36)
Os momentos referem-se ao eixo 00 , passante pelo CG da seo,
onde, por hiptese, so aplicados os esforos solicitantes. Os
esforos resistentes
totais so dados pelas seguintes somas:
sc RRN += (4.37)
sc MMM += (4.38)
e adimensionalmente:
sccm
s
cm
c
cm fAR
fAR
fAN
+=+==000
(4.39)
sccm
s
cm
c
cm hfAM
hfAM
hfAM +=+==
000
(4.40)
-
118
Na determinao dos esforos resistentes do concreto no se fez
o
desconto da rea ocupada pela armadura. Nestas equaes cmf a
resistncia
mdia do concreto em compresso, e tambm a tenso de pico da lei
constitutiva do
concreto.
Delimita-se o intervalo da fora normal de modo a ter-se no
concreto, na trao pura, a tenso correspondente resistncia ctmf ,
e na
compresso pura a tenso pouco inferior de pico, a saber, cmf95,0
. Com esta
restrio tem-se no pior caso um encurtamento igual a 000 /03,2 ,
no diagrama
parbola-linear para MPafck 50= . Supe-se tambm que na trao pura
haja uma
armadura total mnima (distribuda em pelo menos duas camadas)
suficiente para
resistir fora ctmct fAfA 0%950 33,1= , donde:
ctmystot fAfA 034
com o que a taxa mecnica total da armadura (s na trao pura)
limitada
inferiormente a:
cm
ctm
cm
ystottot f
ffAfA
34
0
= (4.41)
Na flexo-compresso a armadura deve ser tal que no atinja o
escoamento no Estdio II nu, assim que o momento fletor igualar o
de fissurao.
Com estas restries, no h fissurao da seo nem escoamento da
armadura
( )(7764,0)(/5,2 1195000 ccsy ABSABS => , ver a seguir) ao
iniciar-se o diagrama
momento-curvatura, situao em que j est presente a fora
normal.
Para efeito do programa, o intervalo da fora normal dado
por:
)()]()95,0([ 0supsupsup1950infinfinf ctmstotsctmcssstotcm
fAfANNAfAN +=
-
119
)1(])(
95,0[ supsupsup0
195infinfinf stots
cm
ctm
cmy
csstot f
ffAN
f +=
-
120
De acordo com a lei de Grasser tem-se:
)2(1
2
+
=
kkfcmc
Com 1cinin = e estando a armadura aqum do escoamento, resulta da
equao
de equilbrio da fora normal:
242 cbb
in
= (4.45)
onde:
cm
csstot
fE
A 31
10
= ( 0> ) (4.46a)
1)2()2(
++=
kAkkAb (4.46b)
1)2( =
kAc (4.46c)
Esta soluo tambm vlida para o diagrama parbola-linear, bastando
nela fazer
2=k e tirar 1c da Equao (2.79).
Conhecida esta deformao inicial, resulta da Equao (4.40) o
momento resistente 0 ou 0M , para curvatura nula, em relao ao CG
da seo, o
qual s ser nulo se a fora normal o for, ou se a seo tiver dupla
simetria, inclusive
da armadura.
Para construir a curva )( por pontos, supe-se a fora normal
presente desde o incio desta curva, como se disse. Escolhe-se
uma seqncia
crescente de curvaturas relativas a partir do valor nulo, e para
cada determina-se,
iterativamente, na Equao (4.39) da fora normal, a deformao 0 no
CG da
-
121
seo, e de (4.32) as deformaes em qualquer outro ponto da seo. De
(4.40)
resulta o momento correspondente.
Fig. 4.8
Um dos objetivos da construo deste diagrama obter seus
pontos
principais, a partir dos quais o diagrama pode ser substitudo
por segmentos de reta,
dos quais decorrem as rigidezes flexo nos diferentes trechos do
diagrama. O
primeiro deles, a origem do diagrama, j foi determinado. Os
seguintes so
comentados a seguir.
Considere-se os trs estados de deformao mostrados na Fig.
4.8,
em que pelo menos uma deformao limite ocorre. No primeiro deles
(Fig. 4.8a) h
ruptura simultnea dos dois materiais, e como a curvatura e a
deformao no CG
so conhecidas e dadas por:
hyscsu
bal1
lim1 1
=
(4.47)
)( 1010 hyy s
balsu
= (4.48)
determina-se, sem qualquer iterao, a fora normal correspondente,
1bal , da
Equao (4.39). Compara-se a fora normal efetivamente atuante na
seo com
s1
h=1 bal1
1
2
s1y
2
0-0 0
As1/ h
/ hy0
=clim
bal1
clim2
bal2
bal20
s1
= clim2
bal3
bal30
s1
=
sy= ctm=su=
(a) Ruptura simultnea dos dois materiais
(b) Ruptura do concreto simultnea com o inciodo escoamento
(c) Ruptura do concreto
da fissurao do banzo tracionadosimultnea com o incio
-
122
este valor. Se ocorrer 1bal > , h ruptura da armadura com sus
=1 , mas no h
ruptura do concreto. E se 1bal < , h ruptura apenas do
concreto com lim2 c = .
No segundo estado, Fig. 4.8b, tem-se a ruptura do concreto
simultnea com o incio do escoamento da primeira camada de
armadura (a de
maior alongamento), e:
hyscsy
bal1
lim2 1
=
(4.49)
)( 1020 hyy s
balsy
= (4.50)
Com estes valores obtm-se, analogamente ao caso anterior, a
fora
normal 2bal . Se ocorrer 2bal < , no h escoamento, em trao,
da armadura em
ponto algum da curva )( , pois o concreto atinge antes sua
deformao limite. Do
contrrio, i. e., se 2bal , h escoamento da armadura
tracionada.
O terceiro estado de deformao d uma condio para saber de
antemo se haver fissurao da seo. Conforme explicado no item 3.4,
a respeito
da Equao (3.67), considera-se que a fissurao ocorre para a
deformao no
banzo tracionado (primeira camada) igual a ctm . Com isto
tem-se:
hyscctm
bal1
lim3 1
=
(4.51)
hyy s
balctm10
30
= (4.52)
Se ocorrer 3bal , no h fissurao da seo: o concreto esmaga
antes. Mas esta condio apenas no basta para garantir que no
haver fissurao
da seo, porque esta se d pela ocorrncia simultnea das duas
condies
seguintes: 3bal > e max
-
123
Fig. 4.9: Tipos de diagramas momento-curvatura.
0M
crM
yMmaxM
MuM
uM
(EI)1
(EI)2
(EI)3 -(EI)4
(1/r)(1/r)
(1/r)(1/r)
(1/r)
(1/r)
M
crI
cr,mII
ym
Mmax, m
um
m1
1(EI)origem
1
1 1uM
crM
0M
MyMmax
1(EI)origem (1/r)crI
1
(EI)1
cr,mII(1/r)Mmax, m(1/r)
(1/r)ym(1/r)um
12(EI)
14-(EI)
1-(EI)5
crM
Mmax, m
1(1/r)(EI)origem
cr,mII(1/r) (1/r)crI (1/r)c1,m
(EI)0 1M
1
(1/r)um
(1/r)
-(EI)
1(EI)2
Mc1Mmax
1 (EI)3
14
uM
M
m
c1
Mu1
1
Mmax, m
(1/r)origem(EI)
crI(1/r)cr,mII (1/r)
um(1/r)
M
(EI)
M0
cr
1
1(EI)2
(1/r)m
-(EI)
M
maxM
M
4
1
Mmax
1(EI)origem
(1/r)(1/r)
0M
(1/r)u
(1/r)
-(EI)
1(EI)1
Mmax
1 (EI)3
14
uM
M
Mc1
(a) Escoamento em trao antes do momento mximoN Nbal2
(b) Escoamento em trao aps o momento mximoN Nbal2
(c) Fissurao sem escoamento em trao
Nbal3 < N < Nbal2 e Mcr < Mc1
(d) Fissurao sem escoamento em trao
Nbal3 < N < Nbal2 e Mcr > Mc1
N Nbal3 (e) Sem fissurao
(1/r)m
c1
-
124
Com o conhecimento prvio destas trs foras normais e do
momento de fissurao, obtm-se os diferentes tipos de curva )1( rM
indicados na
Fig. 4.9, bem como as correspondentes rigidezes dos trechos
linearizados. Nesta
figura indica-se por mr)1( a curvatura mdia decorrente do
enrijecimento da
armadura tracionada. E se no h fissurao tem-se rr m 1)1( = . Na
Fig. 4.9c
representou-se o momento de fissurao abaixo do momento 1c
M para o qual
ocorre na borda superior a deformao 1c correspondente tenso de
pico cmf .
Entretanto, estes dois momentos podem trocar de posio, Fig.
4.9d, devendo-se
ento alterar adequadamente a definio das rigidezes.
Se ocorrer maxMMcr > , as rigidezes so calculadas como
indicado
na Fig. 4.9e.
O momento mximo pode corresponder condio 0)1( =rddM ou
a uma deformao limite, quando ento uMM =max , conforme indicado
em tracejado
na Fig. 4.9a. Esta derivada nula detectada quando, para a dada
seqncia de
curvaturas crescentes, houver queda do momento interno, i. e.,
quando 1< jj MM e
21 > jj MM , sendo, portanto, 1max = jMM . Esta condio dada
pela inequao:
0))(( 211
-
125
Fig. 4.10: Passo da curvatura relativa.
A determinao do momento de fissurao, crM , e das
correspondentes curvaturas nos Estdios I e II, crIr)1( e
crIIr)1( , feita como segue.
Havendo escoamento na trao (Figs. 4.9a e b) deve-se ter
obrigatoriamente
ycr MM < , o que significa que a seo tem armadura mnima
adequada, calculada
parte do programa elaborado para obteno da curva )1( rM . Esta
desigualdade
uma restrio que faz parte do programa.
No Estdio I impe-se na primeira camada da armadura ctms =1 ,
e
h a seguinte relao entre a curvatura e a deformao no CG:
hy
hy sctm
crI10
0
= (4.54)
de modo que a deformao 0 pode ser obtida iterativamente da equao
de
equilbrio da fora normal (4.39). Conhecidas as grandezas 0 e crI
, o momento de
fissurao resulta de (4.40).
O passo seguinte consiste em determinar a curvatura no Estdio
II
nu (resistncia trao desprezada), para este mesmo momento. Este
problema
pode ser resolvido pelo mtodo da rigidez tangente, cf. Chen e
Shoraka (1975). As
equaes de equilbrio podem ser reescritas da seguinte forma:
sup
infbal2
0,5
0,025
inf0,90,95supIntervalo da fora normal
Trao Compresso
-
126
si
j
si
j
cici
sc
AAN +=11
(4.55)
sisi
j
sicici
j
ci yAyANyMsc
=11
0 (4.56)
Na forma incremental estas equaes passam a ser:
si
j
si
j
cici
sc
AAN +=11
( 4.57)
sisi
j
sicici
j
ci yAyANyMsc
= 11
0 (4.58)
Os incrementos de tenso so tomados nas tangentes s curvas )(
dos
materiais, ou seja:
)]1()([ 00 ryyEE cicticictici +==
)]1()([ 00 ryyEE sistiscistisi +==
Nestas equaes usou-se a (4.32) na sua forma dimensional. As
grandezas ctiE e stiE so obtidas, para cada fibra de concreto e
para cada camada
de armadura, da derivada i)( , correspondente ao estado de
deformao
existente na seo, antes de serem dados os acrscimos 0 e )1( r .
Substituindo-
se ci e si em (4.57) e (4.58), bem como N de (4.57) em (4.58),
resulta:
=
)1(0
2221
1211
rQQQQ
MN
(4.59)
ou de forma compacta:
-
127
{ } [ ]{ }DQS =
onde [ ]Q a matriz de rigidez tangente que une os vetores
acrscimos de solicitao e de deformao, { }S e { }D . Esta matriz,
quadrada e de ordem 2, simtrica, pois os acrscimos de tenso foram
considerados na tangente s leis
constitutivas, e representa a rigidez tangente da barra de
comprimento unitrio, ou a
rigidez tangente da seo transversal. Ela depende do estado atual
de deformao a
partir do qual dado o acrscimo { }D . Seus elementos so:
sti
j
sicti
j
ci EAEAQsc +=
1111 (4.60a)
sti
j
sisictici
j
ci EyyAEyyAQQsc +==
100
12112 )()( (4.61a)
sti
j
sisictici
j
ci EyyAEyyAQsc +=
1
20
20
122 )()( (4.62a)
e na forma adimensional:
cmfAQq
03
1111 10= (4.60b)
cmhfAQqq
03
122112 10== (4.61b)
cmfhAQq 2
03
2222 10= (4.62b)
Observe-se que para evitar a diviso por 310 nestes ijq basta pr
os mdulos
tangentes ctiE e stiE em GPa e a resistncia cmf em MPa . Estes
mdulos so
definidos a partir das leis constitutivas do concreto e do ao.
Para o concreto em
-
128
compresso )0( ci , pondo-se 1ccii = , com 0001 /2,2=c , vem,
conforme a lei
de Grasser:
2
2
1 ])2(1[])2(2[
i
ii
c
cmcti k
kkfE
+
= se ki 0 (4.63a)
0=ctiE se ki > (4.63b)
Para o diagrama parbola-linear tem-se, com 2=k em (4.63a), no
ramo
ascendente:
)1(2
1i
c
cmcti
fE
= se 10 i (4.64a)
No ramo descendente, resulta:
cDcti EE = se cD
ci E
E 111 (4.64c)
Na trao )0( >ci , antes da fissurao, tem-se:
cicti EE = se ci
ctmctmci E
f= (4.65a)
0=ctiE se ci
ctmctmci E
f=> (4.65b)
-
129
Aps a fissurao, no Estdio II nu, tem-se 0=ctiE para qualquer
0>ci .
Para o ao, de diagrama bilinear com encruamento, resulta:
ssti EE = se sysiABS )( (4.66a)
shsti EE = se susisy ABS < )( (4.66b)
0=stiE se susiABS >)( (4.66c)
Atravs de (4.59) e das equaes de equilbrio podem-se
resolver,
passo a passo, diferentes problemas de determinao das deformaes
para uma
dada seqncia de aplicao das solicitaes, ou ainda problemas
mistos de
aplicao de esforos e deformaes, como se pode ver na mencionada
bibliografia.
A determinao do estado de deformao no Estdio II nu,
correspondente ao momento de fissurao j conhecido, feita
aplicando-se
inicialmente a dada fora normal. Deste estado de deformao
inicial, indicado pelo
ndice 1=i , tem-se, na forma adimensional, o vetor das deformaes
igual a:
1
1 0}{
=
=
=
i
inid
(4.67)
bem como a matriz [ ] 1=iq e o momento inicial 10 == i . Impondo
o primeiro acrscimo no momento igual a 1== icr , uma quantia
finita, ao invs de
infinitesimal, e 1== i , no caso igual a zero, tm-se, de (4.59)
na forma
adimensional, os acrscimos:
12122211
122210 ][)( ==
= ii qqq
qq (4.68)
12122211
12111 ][)( ==
= ii qqq
qq (4.69)
-
130
com os quais se obtm o estado de deformao seguinte:
1
0
1
2 0}{
==
=
+
=
ii
inid
(4.70)
Observe-se que o momento de fissurao s seria atingido com
estes acrscimos se os materiais fossem elsticos lineares, o que,
em geral, no o
caso.
Do novo estado de deformao decorrem a nova matriz [ ] 2=iq e as
solicitaes { } 2=is . O processo repetido at uma tolerncia no erro
dos esforos relativos inferior a 410 , na i-sima iterao:
42122 10)(
-
131
tem-se ssti EE = . De uma das equaes (4.63) a (4.65) decorre o
mdulo tangente
ctiE correspondente deformao inicial in . E sendo 0=N , a
rigidez procurada
resulta de (4.69), na sua forma dimensional:
111
2122211 )(
)1()(
=
=
= iorigem QQQQ
rMEI (4.72)
sem qualquer outro passo adicional. Expressando esta rigidez em
funo do produto
do mdulo de deformao do concreto ciE , Equao (2.12) ou (2.80),
pelo momento
de inrcia 0I da seo da pea, obtm-se:
111
2122211
00
)(1)(
=
= icici
origem
QQQQ
IEIEEI
(4.73)
Como mostrado antes, o enrijecimento da armadura na trao
considerado a partir da tenso da armadura da primeira camada na
seo fissurada
(Estdio II nu). Da lei tenso da armadura na fissura em funo de
sua deformao
mdia, )( sms , dada na Fig. 3.16, resulta a deformao mdia ms1 da
armadura da
primeira camada. Considerando-se que a maior contribuio
deformabilidade da
pea resulta da seo fissurada, toma-se simplificadamente a
distncia da LN
primeira camada da armadura igual da prpria seo fissurada. Com
isto a
curvatura relativa mdia dada por:
hysms
m1
1
1 =
(4.74)
onde hx= a profundidade relativa da LN na seo fissurada, e 1sy a
distncia da camada 1 borda inferior da seo. No havendo fissurao
este clculo ,
evidentemente, desnecessrio.
Em um segmento linearizado da curva )1( rM , entre os pontos
inicial 1k e final k , obtm-se a correspondente rigidez da
seguinte expresso:
-
132
1,,
1
)1()1()(
=
kmkm
kkk
rr
MMEI (4.75a)
ou adimensionalmente:
1,,
13
0
)(
=
kmkm
kk
ci
k CIE
EI (4.75b)
onde a constante 3C vale (com cmf em MPa e ciE em GPa ):
0
20
3 IEfhAC
ci
cm=
Com a teoria descrita neste item tm-se as ferramentas para obter
o
diagrama momento-curvatura completo, bem como seus pontos
principais e as
rigidezes dos trechos linearizados. No item seguinte so
apresentados resultados do
programa em Qbasic que incorpora esta teoria. Menciona-se,
ainda, a ocorrncia
dos seguintes casos, que podem, talvez, parecer estranhos
primeira vista:
(1) Na flexo-trao, se a LN estiver fora da seo ( )0
-
133
4.4 Apresentao de Resultados
Mostram-se, a seguir, os resultados da teoria exposta no
item
anterior, comeando pela comparao com o ensaio descrito por Ahmad
e Shah
(1980). Trata-se de um diagrama momento-curvatura mdia de uma
viga bi-apoiada
de seo retangular, obtido para o trecho central em flexo pura.
Ver a Fig. 4.11 e a
Tabela 4.4. Os dados de entrada do programa so os seguintes:
Concreto: Diagrama de Grasser
MPaKsifff ccmck 61,4089,5'
==== , MPaff cmctm 54,33,0 3/2 ==
40,0=t Ao: MPaKsif y 2,4596,66 == , MPaKsiff sut 5,61995,89
===
000 /3,2=sy , 00
0 /85,4=sh , 000 /85,12=su , GPaEs 82,199=
GPaEsh510= se shssy
-
134
Fig. 4.11: Comparao dos resultados tericos e experimentais da
relao momento-curvatura
mdia, cf. Ahmad e Shah (1980).
Tabela 4.4: Resultados tericos do ensaio da Fig. 4.11.
rh310= mm r
h )(103=
cmfbhM2=
mr)1(104
)( inrad
M (Kgfm ) Observao
crI =0,278crII =0,542
crm =0,40 0,0237 0,67 227 Fissurao
1 0,86 0,0433 1,43 415 2 1,86 0,0851 3,10 816 3 2,85 0,1248 4,75
1196 4 3,85 0,1619 6,42 1551
4,41 4,24 0,1744 7,07 1671 yMM = 5 4,64 0,1782 7,73 1708 6 5,28
0,1798 8,80 1723 7 5,94 0,1808 9,90 1733 8 6,61 0,1813 11,02 1737 9
7,30 0,1847 12,17 1770 10 8,01 0,1874 13,35 1796
10,5 8,37 0,1875 13,95 1797 maxMM =
10,66 8,48 0,1869 14,13 1791 uMM =
11 8,74 0,1854 14,57 1777
-
135
O exemplo seguinte refere-se aos resultados experimentais de
Priestley, Park e Lu (1971), bem como aos correspondentes
resultados tericos de
Collins e Mitchell, relatados no livro destes autores,
Prestressed Concrete Basics
(1987). Neste caso tem-se uma viga bi-apoiada, de seo retangular
2203102 mmhb = , protendida em pr-trao, com dois fios aderentes
posicionados no centro da seo, de dimetro mmp 7= , rea 277mmAp =
e pr-alongamento 000 /24,4= p . Os dados do concreto so: parbola do
segundo grau,
MPafff ccmck 9,44'=== , 00
01 /5,2=c , MPaff ctcr 79,3== (ao invs de MPa90,2 ,
cf. consta na Fig. 4.13) e 40,0=t . Este problema pode ser
resolvido considerando-se como resistente
apenas metade da altura da seo transversal, com o que resulta
mmdh 5,101== .
O enrijecimento da armadura decorre do momento (fictcio) de
fissurao para o
qual resulta, no Estdio I, na camada da armadura a deformao
cictct Ef== 1 .
Neste exemplo, Collins e Mitchell tratam o enrijecimento da
armadura como se na
seo transversal existisse uma tenso de trao uniforme e igual
a
MPafct 45,15,0 = , na rea efetiva do banzo tracionado, formada
pela largura da viga
e por uma altura igual a p5,7 medida no sentido da borda
tracionada e, no sentido oposto, at p5,7 ou a distncia da armadura
at a LN, o que for menor.
Estes autores utilizam para o ao a curva modificada de
Ramberg-
Osgood, Fig. 4.12a, dada pela seguinte equao:
puCCp
ppp fBAAE
+
+= }])(1[
1{ 1
no caso, com a expresso:
pup
pp f+
+= }])135(1[
968,0032,0{10200 6163
-
136
No programa adota-se, ao invs desta curva, a lei bilinear
com
encruamento, sendo GPaEsh 4,6= , 000 /41,71 == Bpy , MPaf py
1482= . Mantendo-
se shE constante, arbitra-se MPaf pu 1860= , donde:
0003 /47,66)
4,61482186041,7(10 =+= pu
e isto no tem maior importncia, uma vez que a ruptura ocorre
pelo concreto.
Fig. 4.12
Este exemplo vem muito a propsito, visto que permite considerar
a
fora de protenso como uma fora normal de compresso aplicada no
CG da
seo completa, sem que haja efeito de segunda ordem. Para isto
considera-se a
armadura protendida como passiva, com a lei constitutiva
indicada na Fig. 4.12b,
obtida daquela dada na Fig. 4.12a, aps descontar a protenso.
Sendo P a fora de
protenso, a fora normal aplicada NPN 6529677848 === .
Os resultados do programa esto dados na Tabela 4.5 e na Fig.
4.13, devendo-se observar que: (1) as curvaturas nesta figura so
valores mdios
no trecho central da viga; (2) o momento resistente fornecido
pelo programa inclui o
momento de protenso, igual a KNmNmm 314,310314,32/5,10165296 6
== .
(b) Diagrama tenso - deformao da armadura passiva
equivalente
1
p
1
Ep
1AEp = Esh
(1-A)Ep / B
1 / B
p /0 00( )
Ep = 200 GPaA = 0,032B = 135C = 6
6,4 GPa
p(MPa)
s(MPa)
fy = 634fpy = 1482ft = 1012
1200 GPa
/00( )s 0
p 0( )00/
su = 62,23
pu = 66,47
sy = 3,17
py = 7,41p = 4,24
848
(a) Equao de Ramberg - Osgood
-
137
Assim, o momento devido ao carregamento deve ser obtido
somando-se ao
momento resistente esta ltima parcela.
Da Fig. 4.13 e da Tabela 4.5 observa-se o seguinte:
(1) Na fase pr-escoamento, os resultados do programa do
curvaturas
mdias maiores que as observadas experimentalmente, o que
significa
que a colaborao do concreto na trao, mas no o enrijecimento
da
armadura, est subestimada. Como a taxa da armadura pequena,
o
modelo s poderia ser melhorado se fossem consideradas as
tenses
na fissura coesiva, tanto mais que est disponvel a metade
inferior da
seo transversal, aqui desprezada.
(2) A partir do escoamento h concordncia muito boa com os
resultados
experimentais. O momento ltimo observado no teste igual a
KNm50,10 , ao passo que o calculado (mximo) igual a KNm17,10 ,
%3
menor, e corresponde a uma deformao no concreto na borda
superior
igual a 000 /51,3 .
(3) Para o penltimo ponto calculado tem-se KNmMu 05,10= e
uma
curvatura mdia mradr m /48,104)1(103 = , valor praticamente
coincidente com o observado experimentalmente. Neste caso o
encurtamento limite do concreto 000
lim /27,4=c .
-
138
Tabela 4.5: Resultados tericos para a viga protendida de
Priestley, Park e Lu.
rh310= mm r
h )(103=
cmfbhM2=
mr)1(103
)/( mrad
acM arg )(KNm
Observao
0,5973 0,5973 0,0384 5,88 5,13 Fissurao Est. I
0,6898 0,5856 0,0384 5,01 5,13 Fissurao Est. II 1 0,93 0,0484
9,16 5,60 2 1,95 0,0732 19,21 6,77 3 2,95 0,0947 29,06 7,78 4 3,96
0,1148 39,01 8,73 5 4,96 0,1336 48,87 9,62
5,28 5,21 0,1370 51,33 9,78 yMM = 6 5,75 0,1407 56,65 9,95 7
6,47 0,1426 63,74 10,04 8 7,21 0,1439 71,03 10,10 9 7,95 0,1449
78,33 10,15
10 8,69 0,1454 85,62 10,17 10,50 9,07 0,1454 89,36 10,17
11 9,45 0,1453 93,10 10,17 12 10,21 0,1441 102,59 10,11
12,51 10,60 0,1427 104,48 10,05 uMM = 13 10,99 0,1402 108,28
9,93
Fig. 4.13: Comparao entre as curvas momento-curvatura mdia
terica e experimental, cf. ensaio de Priestley, Park e Lu, apud
Collins e Mitchell (1987).
-
139
Como uma terceira comparao considera-se a rigidez secante
proposta por Frana (1991), para a verificao e o dimensionamento
de pilares
esbeltos, cuja obteno est resumida na Fig. 4.14.
Fig. 4.14: Determinao da rigidez secante, cf. Frana (1991).
Segundo a NBR 8681- Aes e Segurana nas Estruturas, o
coeficiente de ponderao das aes, f , pode ser desdobrado em
seus
coeficientes parciais, 1f , 0 e 3f , quando se considerar a
no-linearidade
geomtrica, aplicando-se 3f solicitao S , calculada com a ao
caracterstica
kF multiplicada por 01 f , i. e., )( 013 kffd FSS = , onde dS a
solicitao de
clculo. O coeficiente parcial 3f leva em conta possveis erros de
avaliao dos
efeitos das aes, seja por deficincia do mtodo de clculo
empregado, seja por
problemas construtivos. O coeficiente 1f leva em conta a
variabilidade das aes
e o coeficiente )( 20 f = considera a baixa probabilidade de
ocorrncia simultnea
de valores caractersticos de aes variveis de naturezas
distintas.
Os clculos feitos a seguir tm duplo objetivo:
(1/r')cs
1/r'1
(EI)cs
M'd = Md / f3M'd = Md / f3Md
Md
Nd
Nd Nd, bal2
N'd = Nd / f3
N'd = Nd / f3f3 = 1,10
-1,3 x 0,85 fcd
-0,2 -0,35c
c (%)-0,2
-0,85 fcd
c-0,35
c (%)
(a) Diagrama de interao no ELU (b) Momento - curvatura e rigidez
secante
-
140
(1) comparar os resultados do programa desenvolvido com os dados
por
Frana, e
(2) indicar, novamente, como se alteram as leis tenso-deformao
dos
materiais quando so introduzidos os coeficientes de segurana
parciais
e as deformaes especificadas em normas.
A rigidez secante csK definida adimensionalmente pela
expresso
(Fig. 4.14b):
cd
cs
cs
fd
cdcs fbh
EIr
Mfbh
K 3'3
3
)()1(
1==
Para efeito de comparao, escolhem-se no baco B05 de Frana
a taxa mecnica total (Fig. 4.15a):
9,04
==
cd
ydt bhf
Af
e as resistncias de clculo MPafcd 20= e 15,1/500=ydf MPa , para
a seo
indicada na Fig. 4.15b.
A transformao da distribuio da armadura da Fig. 4.15a
naquela
da Fig. 4.15b deve considerar que a seo tem reas de armadura
iguais por face.
Escolhendo barras de mesmo dimetro com nove espaamentos iguais
por face,
tm-se nas primeira e ltima camadas 10 barras, e 2x8 barras nas 8
camadas
intermedirias. Logo, as reas da primeira e da ltima camada so
iguais a 21154142778,0414)3610( mm== (e no )41425,0 2mm . Em cada
uma das 8
camadas intermedirias tem-se 223414)362( mm= . As distncias das
camadas
borda inferior so 5, 15, ..., 95 mm.
O clculo feito em duas etapas: na primeira comprova-se o
diagrama de interao, e na segunda, a rigidez secante.
-
141
Fig. 4.15: Dados da seo transversal.
1a. Etapa: Diagrama de interao no ELU.
No programa usa-se o diagrama parbola-linear, transformado
em
parbola-retngulo, pondo-se para o concreto: MPaff cdcm 1785,0 ==
, 000
1 /2=c ,
=limc 000 /5,3 , GPaEcD 510
= . Para o ao faz-se: MPaff ydy 78,434== ,
MPaft 435= , GPaEs 210= e 000 /10=su . Ver os resultados na
Tabela 4.6.
Tabela 4.6: ELU, comparao entre valores de Frana e do
programa.
cd
dd bhf
N= 0,2 0,4 0,6 0,8 1
cd
dd fbh
M2= 0,385 0,389 0,363 0,315 0,263
)(KNNd 40 80 120 160 200 )(KNmM d 7,70 7,78 7,26 6,30 5,26
Frana
cm
dd fbh
M2= 0,4524 0,4584 0,4254 0,3687 0,3085
)(17 KNmM dd = 7,69y 7,79y 7,23 6,27 5,24
Progra-ma
y: h escoamento da armadura tracionada
A A
A
A
h
d' 5 mm
h = 100 mm
b = 100 mm
9 x 10 mm
5 mm
(b) Seo usada no programa(a) baco B05
d' / h = 0,05
4A = 414 mm2
-
142
Comparando-se as linhas em negrito, confirma-se a
coincidncia
entre ambos os momentos resistentes.
2a. Etapa: Obteno da rigidez secante csK
Conforme a Fig. 4.14b, ainda com MPafcd 20= , tem-se agora a
tenso de pico MPaff cdcm 10,2285,03,1 == . O ao tem suas
propriedades
mecnicas inalteradas.
Pondo-se 3'
fdd MM = e )1( 'r a curvatura correspondente a este
momento e fora normal 3'
fdd NN = , pela definio da rigidez secante tem-se:
'
'3
'
'
3 10)1(
1
cd
cmd
cdcs f
f
r
Mfbh
K ==
e como 110585,03,11010 33 ==cdcm ff obtm-se do programa:
''
, 1105 =progrcsK
Os resultados esto dados na Tabela 4.7, observando-se que: (1)
o
enrijecimento da armadura na trao desprezado no trabalho de
Frana, e
tambm desconsiderado aqui; (2) a curvatura ' obtida por
interpolao linear,
para o dado momento ' . Das duas ltimas linhas v-se que h
completa
concordncia entre ambas rigidezes.
A adoo de uma nica rigidez para os pilares esbeltos por
certo
simplifica o clculo a favor da segurana, no sentido de majorar a
parcela do
momento devida aos efeitos de segunda ordem, e o diagrama da
Fig. 4.14b
proposto por Frana equivale a usar para o concreto, no clculo
dos
deslocamentos, uma tenso de pico igual a 27,1ckf , um valor
intermedirio entre o
do MC-90 )20,1( ckf e do EC-2 )35,1( ckf . Como na anlise das
estruturas no
esbeltas so usadas as propriedades mecnicas mdias (ou
caractersticas, como
-
143
simplificao no projeto), conclui-se que h descontinuidade na
probabilidade de
runa na transio para estruturas esbeltas, fato reconhecido no
prprio MC-90,
item 6.6.3.1.1.
Tabela 4.7: Comparao entre as rigidezes secantes de Frana e do
programa.
3
'
f
dd
NN
= )(KN 36,36 72,73 109,09 145,45 181,82
3
'
f
dd
MM
= )(KNm 6,99 7,08 6,57 5,70 4,76
cm
d
fbhM
2
''=
0,316
0,320 0,297 0,258 0,215
rh3' 10
= 4,41 4,04 3,51 2,78 2,15 ''
, 1105 =progrcsK 79,2 87,5 93,6 102,5 110,5
FRANAcsK , 80 87,5 94 103 111,2
Como um efeito secundrio na determinao da rigidez,
decorrente
deste procedimento, pode-se notar o seguinte: com os dados da
Fig. 4.14a, se
)()/()( 23 dbalfdd NABSNABSNABS >> , tem-se para esta fora
normal dividida por
3f , um momento resistente maior. O contrrio ocorre se
)()()/( 23 dbaldfd NABSNABSNABS
-
144
h escoamento da armadura tracionada, embora este efeito seja
menor do que nas
vigas.
Na seqncia da apresentao de resultados, mostram-se na Fig.
4.16 as curvas )1( rM para uma seo retangular com diversas taxas
geomtricas
da armadura. Os dados desta figura so os seguintes:
Concreto: MPaff cmck 28/20/ = , MPafctm 21,2= , GPaEci
366,30=
Diagrama de Grasser: 000
1 /2,2=c , 000
lim /256,4=c
Ao: MPaff ty 550/500/ = , 000 /5,2=sy , 000 /5,82=su .
reas das armaduras: 500 , 1000 , 1890 e 23000mm
Aderncia: 40,0=t Geometria: /550/200// mmmmdhb = varivel
Fig. 4.16: Diagramas momento-curvatura relativos, flexo simples,
armadura simples, CA-50.
Na Tabela 4.8 esto reunidos alguns resultados do programa.
Desta tabela e da Fig. 4.16 conclui-se que:
(1) A ductilidade da seo (ou sua capacidade de dissipao de
energia),
dada aproximadamente e a menos de uma constante pelo produto
da
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20 25 30 35 40
curvatura relativa 1000h/r
mom
ento
rela
tivo
M/(f
cmbh
^2)
ro-s = 3,08%ro-s = 1,92%ro-s = 1%ro-s = 0,48%
-
145
taxa da armadura pela diferena entre a curvatura ltima e a
curvatura
do incio do escoamento, decai com o aumento da taxa geomtrica
da
armadura. Note-se tambm a rpida queda dos quocientes entre
as
curvaturas ltima e do incio do escoamento, com e sem o
enrijecimento
da armadura, para aumento da mesma varivel.
(2) A rigidez 2)(EI do Estdio II, no trecho entre os momentos
de
fissurao e de escoamento, depende fortemente da taxa
geomtrica.
Esta rigidez pouco difere daquela obtida ligando-se o ponto
de
coordenadas ],)1[( yym Mr origem, a saber, yEI )( . Tambm
indicam-
se na Tabela 4.8 as rigidezes dos demais segmentos das
curvas
)1( rM . Observar que, para a maior taxa geomtrica, o momento
de
escoamento d-se aps o ponto de mximo dessa curva. Ver a Fig.
4.9b.
Tabela 4.8: Seo retangular, flexo simples, CA-50.
bdAss = (%) 0,48 1 1,92 3,08
cr 0,0162 0,0175 0,0197 0,0223 )( 0maxmax cmhfAM=
ymum 0,0752
6,90
0,1348
2,97
0,2248
1,88
0,2808 1
yu 10,80 3,78 2,17 1,13 )()( 0IEEI ciorigem 1,0679 1,1144 1,1924
1,2766
)()( 01 IEEI ci 1,0550 1,0999 1,1752 1,2558 )()( 02 IEEI ci
0,2201 0,3407 0,4690 0,4651 )()( 03 IEEI ci 0,0030 0,0170 0,1279 no
h )()( 04 IEEI ci -0,0008 -0,0055 -0,0313 -0,0691 )()( 05 IEEI ci -
- - -0,1279
ymyciy CIEEI 30 )()( =
0,2408 0,3595 0,4975 0,4825
Nas Figs. 4.17a e b esto dados os resultados obtidos para
uma
seo retangular, adotando-se para o concreto as leis de Grasser e
parbola-
-
146
linear, na flexo-compresso. A seo tem dimenses 21000400 mmhb = ,
e as
mesmas resistncias do caso anterior. As reas da armadura so
iguais a 24000mm por face menor. Como se v nestas figuras, as
diferenas entre ambas
as curvas so pequenas, aumentam com o aumento da fora normal
de
compresso, e se acentuam no ramo descendente. Estas diferenas
ficam mais
visveis comparando-se as rigidezes dos diversos segmentos das
curvas )/1( rM ,
Tabela 4.9.
Tabela 4.9: Dados referentes Fig. 4.17.
)( cmbhfN= 0,4
Grasser 0,4
Parbola-linear
0,8 Grasser
0,8 Parbola
-linear
cr 0,1010 0,1031 0,1713 0,1714 )( 0maxmax cmhfAM=
)/( 000
2c
0,2734
-3,11
0,2703
-3,15
0,1914
-3,00
0,1849
-2,83 )()( 0IEEI ciorigem 1,0680 1,1419 0,8020 0,9006
)()( 01 IEEI ci 1,0558 1,1277 0,7415 0,8369 )()( 02 IEEI ci
0,3928 0,4003 0,6767 0,6091 )()( 03 IEEI ci 0,1110 0,1042 0,1950
0,1923 )()( 04 IEEI ci -0,0855 -0,0796 -0,2663 -0,2522
ymyciy CIEEI 30 )()( =
0,5208 0,5395 - -
Desta Tabela 4.9 v-se que:
(1) Para a menor fora de compresso, i. e., havendo escoamento
da
armadura, no se pode desprezar o momento de fissurao no
clculo
da rigidez no Estdio II. Compare-se 2)(EI com yEI )( .
(2) Para a maior fora de compresso, o momento de fissurao est
muito
prximo do momento mximo, e isto significa que no elemento
estrutural predomina a rigidez do Estdio I, 1)(EI , em grande
parte,
seno na totalidade de sua extenso.
-
147
Fig. 4.17a: Comparao entre as curvas )/1( rM para fora normal
relativa igual a 4,0 .
Fig. 4.17b: Comparao entre as curvas )/1( rM para fora normal
relativa igual a 8,0 .
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 2 4 6 8 10 12
Curvatura relativa 1000h/r
Mom
ento
rela
tivo
M/(f
cmbh
^2)
Diagrama de Grasser, Fora normal relativa=-0,4Diagrama
parbola-linear, Fora normal relativa=-0,4
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0 1 2 3 4 5 6 7
Curvatura relativa 1000h/r
Mom
ento
rela
tivo
M/(f
cmbh
^2)
Diagrama de Grasser, Fora normal relativa=-0,8
Diagrama parbola-linear, Fora normal relativa=-0,8
-
148
Fig. 4.18: Viga T: Momento-curvatura relativos, sees do vo e do
apoio, CA-50, MPaff cmck 28/20= .
A Fig. 4.18 representa as curvas )1( rM de duas sees T de
uma
viga contnua, a do apoio de continuidade e a do vo, de mesma
geometria e
momentos resistentes aproximadamente iguais. Os dados comuns s
duas sees
so os seguintes:
Concreto: MPaff cmck 28/20/ = , MPafctm 21,2= , GPaEci
366,30=
Diagrama de Grasser: 000
1 /2,2=c , 000
lim /256,4=c
Ao: MPaff ty 550/500/ = , 000 /5,2=sy , 000 /5,82=su .
reas das armaduras: 21400167 mmAs == (apoio) 21200166 mmAs ==
(vo)
Aderncia: 40,0=t Geometria: mmhbw 600/200/ = , mmhb flangeflange
100/600/ =
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
0 10 20 30 40 50 60
Curvatura relativa 1000h/r
Momento rela
tivo
M/(
Aohf
Viga T: seo do apoio Viga T: seo do vo
-
149
Os resultados do programa esto dados na Tabela 4.10. Destes
resultados e da Fig. 4.18 pode-se ver que:
(1) As rigidezes tangentes na origem e as da fase pr-fissurao
(Estdio I)
das duas sees so muito prximas entre si, como tem de ser.
(2) As rigidezes do Estdio II, no segmento entre os momentos
de
fissurao e de escoamento, tambm so bastante prximas entre
si.
Se fosse desprezado o momento de fissurao seriam obtidas as
rigidezes 3005,0 e 3258,0 para as sees do apoio e do vo,
respectivamente. Estes valores so cerca de 9% e 6% maiores que
os
respectivos valores anteriores.
(3) Na seo do apoio o momento passa por um mximo antes da
deformao limite do concreto, para curvatura relativa igual a 11
e
encurtamento na borda comprimida igual a 000
2 /3=c . Da mesma
forma, o momento da seo do vo tambm passa por um mximo,
mas para uma curvatura relativa bem maior, igual a 52 , com
000
2 /23,4=c , valor prximo do encurtamento limite 000 /256,4 .
Tabela 4.10: Viga T, sees do apoio e do vo.
Seo do apoio Seo do vo )(KNmMcr 67,12 43,77
)( 0maxmax cmhfAM= 0,1305 0,1223 )(max KNmM 350,78 328,74
)()( 0IEEI ciorigem 1,0646 1,1291 )()( 01 IEEI ci 1,0396 1,1206
)()( 02 IEEI ci 0,2749 0,3087 )()( 03 IEEI ci 0,0171 0,0048 )()( 04
IEEI ci -0,0077 -0,0001 )()( 0IEEI ciy 0,3005 0,3258
-
150
Observe-se que, quando h fissurao destas sees T, h uma
queda de aproximadamente 70% na rigidez. Como, em geral, estas
duas sees de
uma mesma viga contnua, ou de um prtico, no atingem o momento de
fissurao
simultaneamente, foroso haver transferncia de solicitaes das
zonas mais
fracas (as que fissuram primeiro e em maior extenso) para
aquelas de maior
resistncia, antes mesmo do escoamento da armadura.
Em todos estes exemplos o programa fornece as curvaturas
mdias
dos pontos principais e com isto os intervalos das curvaturas
mdias
correspondentes s rigidezes mostradas. Tm-se, ento, todos os
segmentos
linearizados da curva )/1( rM , como mostrado na Fig. 4.9.
No exemplo da Tabela 4.8 e Fig. 4.16 j se pde notar que, para
as
vigas com fora normal nula e fissurao estabilizada, o segmento
mais importante
da curva )/1( rM o situado entre os momentos de fissurao e de
escoamento,
representado pela rigidez 2)(EI . Esta rigidez, como se disse,
pouco difere daquela
dada pela inclinao da reta ligando-se origem o ponto de
coordenadas
],)1[( yym Mr , ou seja, yEI )( . Do-se na Tabela 4.11 e na Fig.
4.19 os valores da
rigidez relativa )/()( 0IEEI ciy em funo da taxa mecnica da
armadura inferior,
para vigas de seo retangular com armaduras simples e dupla. As
Tabelas 4.12a
e b, por outro lado, referem-se a pilares, para os quais so
dadas as grandezas que
permitem usar os dois primeiros segmentos da curva )/1( rM ,
representados pelas
rigidezes 1)(EI e 2)(EI . Para os pilares que no fissuram (Fig.
4.9e) fornecida a
rigidez 1)(EI . Nestas tabelas adotam-se os seguintes dados:
Concreto: parbola do segundo grau
000
1 /2=c , MPaff cmck 28/20/ = , GPafE ccmci 282 1 ==
MPaff ckctm 21,23,0 3/2 ==
Ao: CA-50, MPaff yky 500== , GPaEs 200=
Aderncia: 40,0=t Geometria: Posio da camada inferior da
armadura: 1111 =hys
Posio da camada superior da armadura: 1,112 =hys
-
151
1/.../25,0/012 =ss AA
Momento de inrcia: 12
3
0bhI =
Tabela 4.11: Rigidez de vigas no Estdio II, )/()( 0IEEI ciy .
Seo retangular, flexo simples, armaduras simples e dupla. MPaff
cmck 28/20/ = , CA-50.
cm
yks
ff
bdA 1
1 = .025 .05 .075 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .45 .50
0 .111 .162 .214 .259 .345 .410 .467 .510 .536 .537 - - 0,25
.111 .162 .216 .264 .353 .426 .495 .551 .604 .647 .685 .713 0,50
.111 .163 .217 .265 .358 .440 .514 .589 .649 .710 .772 .823 0,75
.112 .164 .219 .268 .363 .454 .532 .610 .691 .759 .826 .895
=12 ss AA
1 .112 .164 .221 .271 .368 .465 .549 .631 .714 .798 .879
.953
Fig. 4.19: Rigidez de vigas no Estdio II, armadura dupla. Dados
cf. Tabela 4.11.
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
Taxa mecnica da armadura inferior w1 = As1fyk / (bdfcm)
Rig
idez
de
viga
s no
Est
. II:
(EI)y
/ (E
ciI0
)
As2 / As1 = 0 As2 / As1 = 0,25 As2 / As1 = 0,50
As2 / As1 = 0,75 As2 / As1 = 1
-
152
Tabela 4.12a: Pilares: Dados para o primeiro segmento do
diagrama momento-curvatura. Seo retangular, flexo-compresso normal,
armadura simtrica 2/21 stotss AAA == , CA-50,
MPaff cmck 28/20/ = . Adimensionais: )()( cmykstottot bhffA= e
)( cmbhfN=
0,20 0,40 0,60 0,80 1,00
1,063 0,956 0,833 0,686 1,056 0,934 0,767 0,623 0,061 0,100
0,134 sem fissuras
tot =0,2
0,691 1,289 2,103 - 1,231 1,133 1,024 0,900 0,749 1,224 1,116
0,981 0,772 0,705 0,066 0,110 0,151 0,184 sem fissuras
tot =0,4
0,651 1,183 1,847 2,869 - 1,398 1,308 1,210 1,100 0,975 1,392
1,294 1,178 1,025 0,928 0,072 0,118 0,164 0,206 sem fissuras
tot =0,6
0,617 1,098 1,668 2,414 - 1,564 1,481 1,391 1,293 1,184 1,558
1,469 1,366 1,241 1,066 0,076 0,126 0,174 0,222 0,266
tot =0,8 0,588 1,028 1,533 2,146 3,000
1,729 1,652 1,569 1,480 1,383 1,724 1,642 1,549 1,441 1,306
0,081 0,132 0,184 0,235 0,284
tot =1,0
0,563 0,969 1,424 1,954 2,614
Para cada taxa mecnica: 1a. linha: )()( 0IEEI ciorigem , 2a.
linha: )()( 01 IEEI ci ,
3a. linha: )( 2 cmcrcr fbhM= , 4a. linha: crIcrI rh )/(103=
.
As hipteses aqui adotadas para gerar estas tabelas diferem
daquelas dadas por Kordina e Quast no Beton-Kalender, vol. 1,
(1997), para pilares
de sees retangulares e circulares. Nesse trabalho so admitidas
as leis parbola-
retngulo para o concreto )/5,3( 000lim =c e bilinear sem
encruamento para o ao
)/5( 000
=su , ambas com resistncias caractersticas. A resistncia trao,
em
geral, desconsiderada, e s aparece no clculo da rigidez no
Estdio I (pr-
fissurao), usada para obter a carga de flambagem de um pilar
carregado
centricamente. Isto quer dizer que a rigidez origemEI )(
aproximada, a favor da
segurana, pela rigidez do Estdio I, 1)(EI . Ver a Tabela 4.12a.
As curvas )/1( rM
so classificadas em dois tipos, com e sem fissurao, conforme a
intensidade da
-
153
fora normal (esta separao no est quantificada explicitamente), e
nelas est
pressuposto momento inicial nulo, 00 =M , pois trata-se de sees
com dupla
simetria. O enrijecimento da armadura tracionada no est
considerado.
Tabela 4.12b: Pilares: Dados para o segundo segmento do diagrama
momento-curvatura. Seo
retangular, flexo-compresso normal, armadura simtrica 2/21
stotss AAA == , CA-50, MPaff cmck 28/20/ = .
Adimensionais: )()( cmykstottot bhffA= e )( cmbhfN=
0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 0,267 0,294 0,218
0,149(*) 0,156(**) 0,139(**) 4,621(*) 3,396(**) 2,032(**)
tot =0,2
0,666 1,136 1,775 0,452 0,458 0,403 0,180
0,228(*) 0,204(**) 0,182(**) (***) 4,909(*) 3,531(**) 2,499(**)
-
tot =0,4
0,621 1,053 1,587 2,383 0,621 0,624 0,578 0,408
0,302(*) 0,255(**) 0,226(**) (***) 5,036(*) 3,617(**) 2,751(**)
-
tot =0,6
0,588 0,988 1,458 2,051 0,787 0,790 0,748 0,573 0,258
0,377(*) 0,306(**) 0,272(**) 0,235(**) (***) 5,151(*) 3,677(**)
2,928(**) 2,131(**) -
tot =0,8 0,561 0,934 1,358 1,858 2,530
0,954 0,957 0,917 0,781 0,640 0,457(*) 0,358(**) 0,320(**)
0,281(**) (***) 5,269(*) 3,721(**) 3,062(**) 2,429(**) -
tot =1,0
0,539 0,888 1,277 1,718 2,251
Para cada taxa mecnica: 1a. linha: )()( 02 IEEI ci , 2a.
linha:
(*) )( 2 cmyy fbhM= ou (**) )( 211 cmfbhM cc = , 3a. linha: (*)
ymym rh )/(103= ou (**)
mm ccrh ,
3, 11
)/(10 = , 4a. linha: crmIIcrmII rh )/(103= . (***) Momento 1c
inferior ao de fissurao
cr , j dado na Tabela 4.12a.
Para obter a rigidez flexo, o diagrama momento-curvatura
linearizado da seguinte maneira: tendo j sido calculada toda a
curva )/1( rM , fica
conhecido o momento ltimo, uM , correspondente a uma deformao
limite num
-
154
dos dois materiais. Nessa curva determina-se o ponto de ordenada
uM5,0 , e este
o primeiro ponto de apoio da reta equivalente com a qual o
diagrama linearizado.
Havendo fissurao e escoamento na trao, toma-se como segundo
ponto aquele
correspondente ao incio do escoamento da armadura tracionada. Em
caso
contrrio, i. e., no havendo escoamento em trao, toma-se aquele
correspondente
ao incio do escoamento da armadura comprimida (uma hiptese
desnecessariamente desfavorvel). A unio dos primeiro e segundo
pontos
determina a reta procurada. Esta reta na ordenada uM define uma
curvatura
(fictcia) uk , a qual delimita o fim do (nico) segmento
ascendente da lei )/1( rM . A
inclinao deste segmento d a rigidez )1()( rMEI = , vlida para
curvaturas
ukk 0 . Neste procedimento adotado pelos mencionados autores
reside um ponto
que chama a ateno: a relao momento-curvatura toma como base a
rigidez
assim obtida, mesmo que a reta no passe pela origem, como de
fato ocorre para as
sees consideradas, pois, alegam os autores, pequeno o erro que
se comete no
clculo dos deslocamentos, decorrente do erro da rigidez adotada
para os
segmentos da pea com momentos pequenos. Assim, p. ex., a rigidez
2)(EI no
seria substituda pela rigidez yEI )( , como se fez na Tabela
4.11. Mas, por outro lado,
com o aumento da fora normal de compresso, o momento de fissurao
crM
cresce, e chega a ser comparvel aos momentos yM e 1cM ,
determinando assim
uma grande extenso da pea sem fissurao. Observe-se que no
momento de
fissurao no est considerada a resistncia da fissura coesiva
(resistncia
trao na flexo, ver o item 2.4). razovel, ento, considerar na
anlise de peas
comprimidas (especialmente nos pilares) o momento de fissurao
como no nulo
pela mesma razo com que se considera o enrijecimento da armadura
tracionada.
Em ambos os casos confia-se na resistncia trao do concreto, pois
o que se tem
em vista, de imediato, o clculo de deslocamentos, e no a
verificao da
segurana de sees crticas. Note-se tambm que a anlise elstica
usualmente
pressupe a rigidez flexo da seo ntegra, mesmo havendo
fissurao.
Entretanto, interessa aqui distinguir as rigidezes das
diferentes peas da estrutura,
conforme seu comportamento, com o que o clculo dos deslocamentos
e das
solicitaes resulta mais preciso. Ver o item 4.5.
-
155
Para completar as informaes sobre a rigidez flexo de vigas,
d-
se a seguir, como alternativa, a expresso da rigidez relativa no
Estdio II para
seo retangular em flexo simples, com armadura simples, )/()(
0IEEI ciy , deduzida
no trabalho de Buchaim (1997), agora incluindo nela o
enrijecimento da armadura na
trao, representado pelo fator symsy . Esta expresso :
sym
sy
ci
y Fhd
IEEI
)()(6)(
)( 30
= (4.76)
onde
)1
38(12
1)1()( 32
+=F (4.77)
e a profundidade relativa da LN, dx= , resulta da seguinte equao
cbica:
02)1()3
1( 23 =++ (4.78)
com
cm
yks
ff
bdA
= (4.79)
sy
c
1= (4.80)
tomando-se nestas equaes 1c em valor absoluto. Ver a Tabela
4.13, onde est
dado o fator )(F em funo da taxa mecnica da armadura, Equao
(4.79).
-
156
Tabela 4.13: Valores de )(F para ao CA-50, 000 /5,2=sy , MPaff
cmck 28/20= , 00
01 /2=c , seo retangular, armadura simples.
cm
yks
bdffA
= .025 .05 .075 .10 .15 .20 .25 .30 .35 .40 .4254
dx= .136 .189 .230 .263 .319 .365 .408 .447 .488 .534 .584 )(F
.824 .758 .709 .669 .605 .551 .504 .460 .415 .364 .306
O mencionado fator do enrijecimento da armadura na trao pode
ser obtido da equao (3.51) ou (3.52). Esta ltima leva seguinte
expresso para o
inverso desse fator:
s
rm
yk
bm
sy
sym sf
2,11= 1 (4.81a)
onde a tenso mdia de aderncia (em MPa), cf. Equao (3.53), para
carga de
curta durao, igual a:
32675,025,2 ckctmbm ff ==
valor que corresponde a 40,0=t , e que deve ser multiplicado por
625,0 para 25,0=t , quando se considera carga de longa durao ou
repetida. Em (4.81a) o
fator que representa o espaamento mdio das fissuras dividido
pelo dimetro da
armadura e multiplicado por 2,1 , cf. Equao (3.47), pode ser
posto igual a:
sefsefs
rms
18,015,02,12,1 ==
de modo que (4.81a) passa a ser:
yk
bm
sefsy
sym
f
18,01= 1 (4.81b)
-
157
e a taxa geomtrica efetiva, sef , decorre da Fig. 3.12. O fator
que deve ser posto
em (4.76) ento igual a:
118,01
1
=
yk
bm
sef
sym
sy
f
(4.82)
Os resultados obtidos com estas equaes, sem que se tenha
calculado o momento de fissurao, praticamente coincidem com
aqueles do
programa momento-curvatura, p. ex., com os dados na Tabela 4.11,
na linha
correspondente a 012 =ss AA . O fator do enrijecimento da
armadura na trao
decorre da considerao nas curvas )/1( rM e ])/1[( mrM dos pontos
de ordenada
ykM (a mesma em ambas) e da igualdade (aproximada) das
profundidades da LN
para as duas leis constitutivas da armadura, uma com, a outra
sem o enrijecimento
na trao. A rigidez de vigas, assim determinada, facilita a
aplicao em casos mais
simples, uma vez que dispensa a determinao da curva )/1( rM e do
momento de
fissurao.
O diagrama momento-curvatura e a rigidez elstica na flexo
simples de vigas fissuradas e de seo retangular foram
determinados por Franco
(1957), considerando-se para o concreto um diagrama
parbola-retngulo e para o
ao uma lei bilinear. Nesse trabalho, de notvel antecipao (quase
simultneo com
o de Baker (1956) e anterior ao de Macchi (1972)), j obtida,
atravs de exemplos
simples de vigas hiperestticas com armadura unilateral, a
redistribuio de
momentos fletores na ruptura em relao soluo elstica,
concluindo-se que esta
pode chegar, para os aos da poca, a %20 para baixas taxas
geomtricas da
armadura, e a cerca de %12 para taxas geomtricas usuais, em
torno de %1 ,
decrescendo rapidamente com o crescimento desta taxa.
-
158
4.5 Pilares no Estado Limite ltimo
Procura-se neste item detalhar melhor duas questes
relacionadas
com pilares no ELU por solicitaes normais. A primeira delas
refere-se
determinao da capacidade resistente, na situao de clculo,
decorrente do ponto
de mximo da correspondente curva )1( rM . Isto foi feito
analiticamente no item 4.2,
para vigas de seo retangular na flexo simples, conforme as
hipteses dadas na
Fig. 4.4. Como referncia, esta mesma capacidade resistente
tambm
determinada, para o presente caso de pilares, de acordo com as
hipteses da NBR
6118, 2000, item 17.1, onde se usa para o concreto a lei
parbola-retngulo, com
tenso de pico igual a cdf85,0 , e encurtamento limite igual a
000 /5,3 ; para o ao
tem-se uma lei bilinear sem encruamento, com tenso ydf no
patamar de
escoamento, e deformao ltima 000 /10=su , sendo ainda GPaEs 210=
. Neste
caso (e na questo seguinte), as curvas de interao no ELU, )( dd
, so obtidas
das tabelas dadas no trabalho de Buchaim (1979). Para determinar
o ponto de
mximo da curva )1( rM , adotam-se para o ao estes mesmos dados.
Mas, para o
concreto, escolhe-se a parbola do segundo grau, com a mesma
tenso de pico,
cdf85,0 , conforme particularizao da lei de Grasser com 2=k ,
dada no item 2.7. O
encurtamento correspondente a este ponto de mximo inferior ao
valor limite dado
pela Equao (2.83).
As curvas de interao no ELU, resultantes destes dois
caminhos
muito distintos, esto mostradas na Fig. 4.20. Conforme se pode
ver nesta figura, os
resultados para as trs taxas mecnicas consideradas mostram o
seguinte:
(1) Para foras normais entre 0 e 2,bald (definida na Fig.
4.14a), quando h
escoamento da armadura tracionada, a diferena entre as duas
curvas
muito pequena e independente da taxa mecnica da armadura.
(2) Nos ramos descendentes das curvas de interao )( dd , para
taxas
mecnicas prximas da mnima, esta diferena pode variar de %10
a
-
159
%13 . Para maiores taxas mecnicas, a diferena entre as duas
curvas
diminui, e chega a %6 na curva de parmetro 1=tot .
(3) As curvas de interao )( dd obtidas pelo ponto de mximo
do
diagrama momento-curvatura esto a favor da segurana, como
esperado.
Fig. 4.20: Comparao das curvas de interao no ELU,
flexo-compresso. Leis parbola-retngulo,
cf. NBR 6118, 2000, e parbola do segundo grau, com momento ltimo
obtido do ponto de mximo do diagrama momento-curvatura. Armadura
simtrica, 10,01 =hys e 90,02 =hys . Ao CA-50,
000 /10=su .
Se fosse usada a lei de Grasser ou a parbola-linear, ambas
dadas
no item 2.7, seriam obtidos resultados igualmente prximos aos
das curvas )( dd
derivadas das hipteses da referida norma. Ver, tambm, as Figuras
4.17a e b.
Note-se que, por este caminho, no relevante fixar a deformao
ltima do ao em 000 /10 , como se fez, pois o ponto de mximo , em
geral,
condicionado pela lei constitutiva do concreto.
Assim evidencia-se, tambm na flexo-compresso, que as curvas
)1( rM podem ser usadas tanto para a obteno da resistncia da
seo, seja num
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0 0,5 1 1,5 2
Fora normal relativa: -Nd/(bhfcd)
Mom
ento
rela
tivo:
Md/
(bh^
2fcd
)
w tot=1: parbola-retng.
w tot=1: parbola
w tot=0,5: parbola-retng.
w tot=0,5: parbola
w tot=0,2: parbola-retng.
w tot=0,2: parbola
-
160
ensaio, como mostrado antes, seja no dimensionamento no ELU,
quanto para
mostrar a deformabilidade dessa mesma seo.
A segunda questo, tratada a seguir, refere-se rigidez
equivalente
de pilares a usar na anlise da estrutura no ELU. Neste caso, a
fora normal
decorrente das aes caractersticas, kF , majoradas pelo
coeficiente de segurana
parcial, f , por conseqncia a de clculo, i. e., )( kfd FNNN == .
Se forem
utilizadas no ELU as Tabelas 4.12a e 4.12b, deve-se l considerar
esta mesma
fora, tudo o mais permanecendo igual (restrio feita aos pilares
esbeltos, como
indicado a seguir).
A deduo seguinte da rigidez equivalente pressupe, em
princpio,
pilares no esbeltos. Para obter esta rigidez necessrio separar,
no ELU, os
pilares para os quais h fissurao daqueles que no sofrem
fissurao. Consegue-
se, assim, uma transio satisfatria na determinao desta rigidez
na passagem de
vigas para pilares, como se comenta adiante. Alm disso, visa-se
evitar erros
grandes na rigidez e, por conseqncia, tambm nos deslocamentos
-
principalmente nestes - e nas solicitaes da estrutura. Isto tem
tambm especial
importncia na determinao da demanda de rotao plstica nas sees
crticas
das vigas do prtico. Tenha-se em mente que, na fissurao
estabilizada, a rigidez
das vigas determinada com maior preciso do que a dos pilares,
uma vez que esta
rigidez praticamente independe do momento de fissurao,
influenciada
predominantemente pela armadura, e pouco influenciada pela
resistncia do
concreto. Ver a Fig. 4.19 e a Tabela 4.11.
No que segue tem-se em vista principalmente os pilares de
prticos
planos, fletidos em curvatura dupla. Para tanto, considere-se um
pilar em balano,
engastado na sua base. Ao longo de sua altura admitem-se
constantes a seo
transversal, a armadura e as foras normal e cortante de clculo
nele atuantes.
Como se
