O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA · GABARITO ... Uma circunferência contida nesse plano, de centro C x y 0 00, e raio R, com R!, tem sua equação reduzida na forma Visto isso, podemos

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O ESTUDO DA

CIRCUNFERÊNCIA Aulas 01 a 05

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz

Sumário EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA ........................................................................................................... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2

EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA ................................................................................................................. 2

............................................................................................................................................................................ 2


POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA ......................................................................... 3

Ponto interno a uma circunferência ................................................................................................................... 3

Ponto pertencente a uma circunferência ........................................................................................................... 3

Ponto externo a uma circunferência .................................................................................................................. 3

............................................................................................................................................................................ 3


POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA .......................................................................... 4

Reta secante a uma circunferência ..................................................................................................................... 4

Reta tangente a uma circunferência ................................................................................................................... 4

Reta externa a uma circunferência ..................................................................................................................... 4


GABARITO ........................................................................................................................................................... 5


Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01

EQUAÇÃO REDUZIDA DA

CIRCUNFERÊNCIA Considere um plano cartesiano xOy, com 0, 0O .

Uma circunferência contida nesse plano, de centro

0 0,C x y e raio R, com 0R , tem sua equação

reduzida na forma

2 2 2

0 0x x y y R

Em que ,x y representa um ponto qualquer desta

circunferência.

Obs.1: Um ponto pertence a uma circunferência se, e

somente se, ele for uma das soluções de sua equação

reduzida.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. Verifique se os pontos 3, 2A e 4, 5B

pertencem a circunferência de equação

2 2

3 2 16x y .

1.2. Determine a equação reduzida da circunferência

de centro 2, 1C e raio 5.

EQUAÇÃO GERAL DA

CIRCUNFERÊNCIA A equação reduzida de uma circunferência pode ser

reescrita na forma 2 2 2 2 2

0 0 0 02 2 0x y x x y y x y R . Se

substituirmos 02x por a, 02y por b e

2 2 20 0x y R por c, teremos a equação geral da

circunferência, que será escrita como segue.

2 2 0x y ax by c

Obs.2: Nem todas as equações da forma 2 2 0x y ax by c representam equações de

circunferência, para verificar é necessário reescrever a

mesma na forma reduzida e verificar se existe a

circunferência descrita pela equação.

Obs.3: Para reescrever uma equação da forma geral

para reduzida geralmente é utilizada a técnica de

completar quadrados.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.3. Encontre, em cada caso, a equação geral e a

equação reduzida da circunferência de centro C e raio

r.

a) 1, 2C e 1r .

b) 2, 3C e 4r

c) 0, 0C e 11r

d) 2, 1C e 2r

1.4. Obtenha a equação reduzida da circunferência

que tem um diâmetro com extremidades 1, 3 e

5, 7 .

1.5. Determine o centro e o raio da circunferência de

equação 2 2 4 6 3 0x y x y .

1.6. A circunferência encontra-se no terceiro

quadrante e, tendo raio 3, tangencia os eixos

coordenados. Qual é sua equação reduzida?

Como completar quadrados?

Para completar quadrados vamos relembrar

inicialmente de como desenvolvemos um quadrado

perfeito:

Visto isso, podemos completar quadrados

adicionando o que falta na expressão, conforme

ilustra o exemplo a seguir:

Vamos completar quadrados na expressão .

Comparando com o produto notável perceba que

temos os dois primeiros termos da parte a direita se

considerarmos que , assim o termo que está

faltando, seria o . Adicionando e subtraindo este

termo, para não alterar o valor da expressão, temos:

Assim a expressão que não tinha um quadrado

perfeito agora passou a ter.


1.7. É única a circunferência que passa pelos pontos

2, 5 , 1, 6 e 3, 0 ? Qual é a sua equação

reduzida?

1.8. Dada a circunferência 2 2

1 5 20x y , ache

o ponto diametralmente oposto a 1, 1 .

AULA 02

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UM

PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA

Ponto interno a uma circunferência

Um ponto ,P x y é interno a uma circunferência

de centro 0 0,C x y e raio R quando a distância

entre P e C é menor que R, ou seja, PCd R .

Ponto pertencente a uma circunferência

Um ponto ,P x y pertence a uma circunferência


entre P e C é igual a R, ou seja, PCd R .

Ponto externo a uma circunferência

Um ponto ,P x y é externo a uma circunferência


entre P e C é maior que R, ou seja, PCd R .

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1 Determine em cada item a seguir a posição relativa

entre o ponto P e a circunferência .

a) 2, 3P e 2 2

: 2 1 16x y

b) 3, 5P e 2 2

: 2 1 8x y

c) 2, 1P e 2 2

: 1 2 18x y

2.2 Seja p um número real, determine os valores de p

para os quais o ponto 3, p seja interno à

circunferência de equação 2 2 4 2 11 0x y x y .

TAREFA 1 – No capítulo “Circunferência” fazer as

questões do Praticando em Sala de Aula (PSA) de 1 a 4,

6, 9, 10 e 11.

Outro modo de determinar a posição relativa entre

um ponto e uma circunferência

Outro modo de verificar a posição relativa entre um

ponto P e uma circunferência é substituir o ponto na

equação da circunferência, aí teremos três

possibilidades de resultado.

• Se o número obtido no lado esquerdo for

menor que o obtido no lado direito, então P é

interno à circunferência;

• Se o número obtido no lado esquerdo for igual

ao obtido no lado direito, então P pertence à

circunferência;

• Se o número obtido no lado esquerdo for

maior que o obtido no lado direito, então P é

externo à circunferência;


POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA

RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA

Reta secante a uma circunferência Uma reta s é secante a uma circunferência de centro

0 0,C x y e raio R quando a distância entre s e C é

menor que R, ou seja, ,C sd R .

Obs.4: Neste caso a reta e a circunferência terão

dois pontos de intersecção.

Reta tangente a uma circunferência Uma reta s é tangente a uma circunferência de

centro 0 0,C x y e raio R quando a distância entre s

e C é igual a R, ou seja, ,C sd R .

Obs.4: Neste caso a reta e a circunferência terão

exatamente um ponto de intersecção.

Reta externa a uma circunferência Uma reta s é externa a uma circunferência de centro

0 0,C x y e raio R quando a distância entre s e C é

maior que R, ou seja, ,C sd R .

Obs.4: Neste caso a reta e a circunferência não terão

pontos de intersecção.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.3 Determine a posição relativa entre a reta r e a

circunferência em cada item a seguir.

a) : 2 0r x e 2 2:4 4 25x y ;

b) :2 3 3 0r x y e

2 2: 4 8 7 0x y x y ;

c) : 5 0r x y e 2 2: 2 2 16 0x y x y ;

d) :2 4 1 0r x y e 2 2

: 5 2 16x y .

2.4 Discuta em função do parâmetro real k a posição

relativa entre a circunferência 2 2: 4 6 5 0x y x y e a reta : 0r x y k

.

2.5 Determine a equação da reta tangente a

circunferência de equação 2 2

2 1 25x y

e que passa pelo ponto dado em cada item a

seguir.

Outro modo de determinar a posição relativa entre

uma reta e uma circunferência

Outro modo de verificar a posição relativa entre um

reta r e uma circunferência é resolver o sistema linear

determinado por suas equações.

• Se obtivermos duas soluções distintas,

então a reta s é secante à circunferência;

• Se obtivermos duas soluções iguais, então

a reta s é tangente à circunferência;

• Se não obtivermos solução real, então a

reta s é externa à circunferência;


a) 5, 3P ;

b) 3, 4P

GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. A e B

1.2. 2 2

2 1 25x y

1.3.

a) 2 2

1 2 1x y e 2 2 2 4 4 0x y x y

b) 2 2

2 3 16x y e 2 2 4 6 3 0x y x y

c) 2 2 121x y e 2 2 121 0x y

d) 2 2

2 1 2x y e 2 2 4 2 3 0x y x y

1.4. 2 2

3 5 8x y

1.5. 2, 3C e 4R

1.6. 2 2

3 3 9x y

1.7. 2 2 8 4 13 0x y x y

1.8. 3, 9

2.1. a) interior a P b) exterior a P c) P

2.2. | 1 15 1 15p x

2.3. a) secante b) secante c) exterior d) tangente

2.4.

5 3 2 é secante a

5 3 2 é exterior a

5 3 2 é tangente a

k r

k r

k r

2.5.

a) 3 29

4 4y x

TAREFA 2 – No capítulo “Circunferência” fazer as

questões do Praticando em Sala de Aula (PSA) de 13 a

17, 20, 21, 25, 29, 31 e 33.

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