O tym, jak Herakles walczył z hydrą,czyli

o potędze i słabościach matematyki

Roman MurawskiUniwersytet im. Adama MickiewiczaWydział Matematyki i Informatyki

Zakład Logiki Matematycznej

Platon

Euklides

Starożytny papirus z Elementami Euklidesa

Baruch de Spinoza (1632-1677)

Etyka (1677)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716)

Wzorzec dowodówpolitycznych (1659)

Isaak Newton (1643-1727)

Optyka (1704)

Giuseppe Peano (1858-1932)

Arithmetices principia novamethodo exposita (1889)

David Hilbert (1862-1943)

Grundlagen der Geometrie(1899)

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Pojęcia pierwotne: 0, S ,+, ·

Aksjomaty pozalogiczne:

(A1) S(x) = S(y) → x = y ,

(A2) ¬(0 = S(x)),

(A3) x + 0 = x ,

(A4) x + S(y) = S(x + y),

(A5) x · 0 = 0,

(A6) x · S(y) = x · y + x ,

(A7) ϕ(0) ∧ ∀x [ϕ(x) → ϕ(S(x))] −→ ∀xϕ(x).

Arytmetyka Peana PA

Model standardowy:

N0 = 〈N, 0, S ,+, ·〉

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Augustus De Morgan

Gottlob Frege

Ernst Schröder

Charles S. Peirce

Bertrand Russell

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Augustus De Morgan

Gottlob Frege

Ernst Schröder

Charles S. Peirce

Bertrand Russell

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Augustus De Morgan

Gottlob Frege

Ernst Schröder

Charles S. Peirce

Bertrand Russell

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Augustus De Morgan

Gottlob Frege

Ernst Schröder

Charles S. Peirce

Bertrand Russell

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Augustus De Morgan

Gottlob Frege

Ernst Schröder

Charles S. Peirce

Bertrand Russell

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Augustus De Morgan

Gottlob Frege

Ernst Schröder

Charles S. Peirce

Bertrand Russell

Logika matematyczna XIX/XX wiek

George Boole

Augustus De Morgan

Gottlob Frege

Ernst Schröder

Charles S. Peirce

Bertrand Russell

Zakładano milcząco, że:

• wszelka wiedza matematyczna może być oparta naadekwatnym zbiorze aksjomatów,

• można dobrać dla każdej dziedziny matematyki adekwatnyzestaw aksjomatów, w oparciu o który można rozwiązać każdydotyczący jej problem (zupełny układ aksjomatów).

Zakładano milcząco, że:

• wszelka wiedza matematyczna może być oparta naadekwatnym zbiorze aksjomatów,

• można dobrać dla każdej dziedziny matematyki adekwatnyzestaw aksjomatów, w oparciu o który można rozwiązać każdydotyczący jej problem (zupełny układ aksjomatów).

Zakładano milcząco, że:

• wszelka wiedza matematyczna może być oparta naadekwatnym zbiorze aksjomatów,

• można dobrać dla każdej dziedziny matematyki adekwatnyzestaw aksjomatów, w oparciu o który można rozwiązać każdydotyczący jej problem (zupełny układ aksjomatów).

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

trzy problemy starożytne:

• podwojenie sześcianu

• trysekcja kąta

• kwadratura koła

NIEROZWIĄZALNE

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

trzy problemy starożytne:

• podwojenie sześcianu

• trysekcja kąta

• kwadratura koła

NIEROZWIĄZALNE

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

trzy problemy starożytne:

• podwojenie sześcianu

• trysekcja kąta

• kwadratura koła

NIEROZWIĄZALNE

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

trzy problemy starożytne:

• podwojenie sześcianu

• trysekcja kąta

• kwadratura koła

NIEROZWIĄZALNE

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

trzy problemy starożytne:

• podwojenie sześcianu

• trysekcja kąta

• kwadratura koła

NIEROZWIĄZALNE

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

trzy problemy starożytne:

• podwojenie sześcianu

• trysekcja kąta

• kwadratura koła

NIEROZWIĄZALNE

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

geometrie nieeuklidesowe (około 1830)

Mikołaj I. ŁobaczewskiJanos BolyaiKarl Friedrich Gauss

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

geometrie nieeuklidesowe (około 1830)

Mikołaj I. Łobaczewski

Janos BolyaiKarl Friedrich Gauss

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

geometrie nieeuklidesowe (około 1830)

Mikołaj I. ŁobaczewskiJanos Bolyai

Karl Friedrich Gauss

Wiek XIX – wyniki jakościowo nowe

geometrie nieeuklidesowe (około 1830)

Mikołaj I. ŁobaczewskiJanos BolyaiKarl Friedrich Gauss

Istota matematyki czystej polega na wyprowadzaniu twierdzeń zpostulowanych założeń (aksjomatów) a nie na rozstrzyganiuprawdziwości tych założeń.

"Matematyka czysta jest dziedziną, w której nie wiadomo, o czymsię mówi, nie wiadomo też, czy to, co się mówi, jest prawdziwe."(Russell, 1949)

Istota matematyki czystej polega na wyprowadzaniu twierdzeń zpostulowanych założeń (aksjomatów) a nie na rozstrzyganiuprawdziwości tych założeń.

"Matematyka czysta jest dziedziną, w której nie wiadomo, o czymsię mówi, nie wiadomo też, czy to, co się mówi, jest prawdziwe."(Russell, 1949)

Kurt Gödel (1906-1978)

Kurt Gödel i Albert Einstein

Kurt Gödel

Über formal unentscheidbare Sätze der ’Principia Mathematica’ undverwandter Systeme. I, Monatshefte für Mathematik und Physik 38(1931), 173–198.

PIERWSZE TWIERDZENIE GÖDLA

Jeżeli arytmetyka Peana PA jest niesprzeczna, to istnieje zdanie ϕG

języka PA nierozstrzygalne w PA, tzn. takie, że PA 0 ϕG orazPA 0 ¬ϕG .

Zatem arytmetyka Peana PA jest teorią niezupełną.To samo zachodzi dla każdego niesprzecznego rozszerzenia PAopartego na rekurencyjnym (efektywnie danym) układzieaksjomatów.

PIERWSZE TWIERDZENIE GÖDLA

Jeżeli arytmetyka Peana PA jest niesprzeczna, to istnieje zdanie ϕG

języka PA nierozstrzygalne w PA, tzn. takie, że PA 0 ϕG orazPA 0 ¬ϕG .Zatem arytmetyka Peana PA jest teorią niezupełną.

To samo zachodzi dla każdego niesprzecznego rozszerzenia PAopartego na rekurencyjnym (efektywnie danym) układzieaksjomatów.

PIERWSZE TWIERDZENIE GÖDLA

Jeżeli arytmetyka Peana PA jest niesprzeczna, to istnieje zdanie ϕG

języka PA nierozstrzygalne w PA, tzn. takie, że PA 0 ϕG orazPA 0 ¬ϕG .Zatem arytmetyka Peana PA jest teorią niezupełną.To samo zachodzi dla każdego niesprzecznego rozszerzenia PAopartego na rekurencyjnym (efektywnie danym) układzieaksjomatów.

DRUGIE TWIERDZENIE GÖDLA

Jeżeli arytmetyka Peana PA jest niesprzeczna, to zdanie „PA jestniesprzeczna” nie jest twierdzeniem PA, tzn. arytmetyka PA niedowodzi swojej własnej niesprzeczności. Podobnie dla każdej teoriirozszerzającej arytmetykę PA.

arytmetyzacja (gödlizacja) składni

ϕ 7→ pϕq (= liczba naturalna, numer Gödla formuły ϕ).

Paradoks kłamcy (paradoks Eubulidesa):

„ ja zawsze kłamię”

arytmetyzacja (gödlizacja) składni

ϕ 7→ pϕq (= liczba naturalna, numer Gödla formuły ϕ).

Paradoks kłamcy (paradoks Eubulidesa):

„ ja zawsze kłamię”

arytmetyzacja (gödlizacja) składni

ϕ 7→ pϕq (= liczba naturalna, numer Gödla formuły ϕ).

Paradoks kłamcy (paradoks Eubulidesa):

„ ja zawsze kłamię”

arytmetyzacja (gödlizacja) składni

ϕ 7→ pϕq (= liczba naturalna, numer Gödla formuły ϕ).

Paradoks kłamcy (paradoks Eubulidesa):

„ ja zawsze kłamię”

zdanie Gödla ϕG : „ ja nie jestem twierdzeniem”

ϕG prawdziwe, ale niedowodliwe w PA

zatem: ϕG nierozstrzygalne w PA

zdanie Gödla ϕG : „ ja nie jestem twierdzeniem”

ϕG prawdziwe, ale niedowodliwe w PA

zatem: ϕG nierozstrzygalne w PA

zdanie Gödla ϕG : „ ja nie jestem twierdzeniem”

ϕG prawdziwe, ale niedowodliwe w PA

zatem: ϕG nierozstrzygalne w PA

zdanie ϕG ma treść metamatematyczną (a nie wprostmatematyczną)

lata 70-te i 80-te XX wieku – przykłady zdań nierozstrzygalnycho treści wprost matematycznej

J. Paris

L. Harrington

L. Kirby

zdanie ϕG ma treść metamatematyczną (a nie wprostmatematyczną)

lata 70-te i 80-te XX wieku – przykłady zdań nierozstrzygalnycho treści wprost matematycznej

J. Paris

L. Harrington

L. Kirby

zdanie ϕG ma treść metamatematyczną (a nie wprostmatematyczną)

lata 70-te i 80-te XX wieku – przykłady zdań nierozstrzygalnycho treści wprost matematycznej

J. Paris

L. Harrington

L. Kirby

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

Reprezentacja liczby m przy zasadzie n:

przedstawić liczbę m jako sumę potęg liczby n, to samo zrobićz wszystkimi wykładnikamiitd.

m = 266, n = 2266 = 28 + 23 + 21

266 = 222+1+ 22+1 + 21

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

Reprezentacja liczby m przy zasadzie n:

przedstawić liczbę m jako sumę potęg liczby n, to samo zrobićz wszystkimi wykładnikamiitd.

m = 266, n = 2266 = 28 + 23 + 21

266 = 222+1+ 22+1 + 21

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

Reprezentacja liczby m przy zasadzie n:

przedstawić liczbę m jako sumę potęg liczby n, to samo zrobićz wszystkimi wykładnikamiitd.

m = 266, n = 2266 = 28 + 23 + 21

266 = 222+1+ 22+1 + 21

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

Reprezentacja liczby m przy zasadzie n:

przedstawić liczbę m jako sumę potęg liczby n, to samo zrobićz wszystkimi wykładnikamiitd.

m = 266, n = 2

266 = 28 + 23 + 21

266 = 222+1+ 22+1 + 21

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

Reprezentacja liczby m przy zasadzie n:

przedstawić liczbę m jako sumę potęg liczby n, to samo zrobićz wszystkimi wykładnikamiitd.

m = 266, n = 2266 = 28 + 23 + 21

266 = 222+1+ 22+1 + 21

Zdanie Goodsteina-Kirby’ego–Parisa

Reprezentacja liczby m przy zasadzie n:

przedstawić liczbę m jako sumę potęg liczby n, to samo zrobićz wszystkimi wykładnikamiitd.

m = 266, n = 2266 = 28 + 23 + 21

266 = 222+1+ 22+1 + 21

Liczba Gn(m):

jeżeli m = 0, to Gn(m) = 0

jeżeli m 6= 0, to Gn(m) jest liczbą otrzymaną przez zastąpieniew reprezentacji liczby m przy zasadzie n liczby n przez n + 1 iodjęcie 1

G2(266) = 333+1+ 33+1 + 31 − 1 =

= 333+1+ 33+1 + 2

Liczba Gn(m):

jeżeli m = 0, to Gn(m) = 0

jeżeli m 6= 0, to Gn(m) jest liczbą otrzymaną przez zastąpieniew reprezentacji liczby m przy zasadzie n liczby n przez n + 1 iodjęcie 1

G2(266) = 333+1+ 33+1 + 31 − 1 =

= 333+1+ 33+1 + 2

Liczba Gn(m):

jeżeli m = 0, to Gn(m) = 0

jeżeli m 6= 0, to Gn(m) jest liczbą otrzymaną przez zastąpieniew reprezentacji liczby m przy zasadzie n liczby n przez n + 1 iodjęcie 1

G2(266) = 333+1+ 33+1 + 31 − 1 =

= 333+1+ 33+1 + 2

Liczba Gn(m):

jeżeli m = 0, to Gn(m) = 0

jeżeli m 6= 0, to Gn(m) jest liczbą otrzymaną przez zastąpieniew reprezentacji liczby m przy zasadzie n liczby n przez n + 1 iodjęcie 1

G2(266) = 333+1+ 33+1 + 31 − 1 =

= 333+1+ 33+1 + 2

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2

≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1

≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1

≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

Ciąg Goodsteina dla liczby m:

m0 = m,m1 = G2(m0),m2 = G3(m1), . . .

m0 = m,mk+1 = Gk+2(mk)

m0 = 266 = 222+1+ 22+1 + 21

m1 = G2(m0) = 333+1+ 33+1 + 2 ≈ 1038

m2 = G3(m1) = 444+1+ 44+1 + 1 ≈ 10616

m3 = G4(m2) = 555+1+ 55+1 ≈ 1010000

itd.

ϕ1 : ∀m∃k(mk = 0)

zdanie ϕ1 jest prawdziwe, ale niedowodliwe w arytmetyce PA

zatem: ϕ1 jest nierozstrzygalne w PA

dla m = 4 mamy mk = 0 dla k ≥ 3 · 2402653211 − 3 ≈ 10121000000

liczba atomów we Wszechświecie ≈ 1080.

ϕ1 : ∀m∃k(mk = 0)

zdanie ϕ1 jest prawdziwe, ale niedowodliwe w arytmetyce PA

zatem: ϕ1 jest nierozstrzygalne w PA

dla m = 4 mamy mk = 0 dla k ≥ 3 · 2402653211 − 3 ≈ 10121000000

liczba atomów we Wszechświecie ≈ 1080.

ϕ1 : ∀m∃k(mk = 0)

zdanie ϕ1 jest prawdziwe, ale niedowodliwe w arytmetyce PA

zatem: ϕ1 jest nierozstrzygalne w PA

dla m = 4 mamy mk = 0 dla k ≥ 3 · 2402653211 − 3 ≈ 10121000000

liczba atomów we Wszechświecie ≈ 1080.

ϕ1 : ∀m∃k(mk = 0)

zdanie ϕ1 jest prawdziwe, ale niedowodliwe w arytmetyce PA

zatem: ϕ1 jest nierozstrzygalne w PA

dla m = 4 mamy mk = 0 dla k ≥ 3 · 2402653211 − 3 ≈ 10121000000

liczba atomów we Wszechświecie ≈ 1080.

ϕ1 : ∀m∃k(mk = 0)

zdanie ϕ1 jest prawdziwe, ale niedowodliwe w arytmetyce PA

zatem: ϕ1 jest nierozstrzygalne w PA

dla m = 4 mamy mk = 0 dla k ≥ 3 · 2402653211 − 3 ≈ 10121000000

liczba atomów we Wszechświecie ≈ 1080.

Herakles walczy z Hydrągrecka waza z 525 p.n.e.

(kolekcja J. Paul Getty Museum, Malibu, California)

Walka Heraklesa z hydrą lernejskągrafika Antonio Pollaiuolo z końca XV wieku

(Galeria Uffizi we Florencji)

q � tułów@@

@@

@

��

��

�q q

� segment szyi

� węzełAA

AA

AA

������

AA

AA

AA

������

q q q qHHHHH

LL

LL

�����q q q

AA

AA

����� głowa

q q

W każdym kroku Herakles odcina jedną głowę.

Na miejscu odciętej głowy wyrasta nowa według następującejzasady:

jeśli w kroku n-tym (czyli n-tym cięciem miecza) Herakles odciąłjakąś głowę, to z węzła odległego o 1 segment od głowy uciętejwyrasta n kopii tej części hydry, która po odcięciu głowy znajdujesię powyżej węzła osiągniętego przez cofnięcie się o 1 segment

jeśli ucięta głowa ma tułów jako jeden ze swoich węzłów, to niewyrasta żadna nowa głowa

Herakles zwycięża, jeśli odetnie wszystkie głowy

W każdym kroku Herakles odcina jedną głowę.

Na miejscu odciętej głowy wyrasta nowa według następującejzasady:

jeśli w kroku n-tym (czyli n-tym cięciem miecza) Herakles odciąłjakąś głowę, to z węzła odległego o 1 segment od głowy uciętejwyrasta n kopii tej części hydry, która po odcięciu głowy znajdujesię powyżej węzła osiągniętego przez cofnięcie się o 1 segment

jeśli ucięta głowa ma tułów jako jeden ze swoich węzłów, to niewyrasta żadna nowa głowa

Herakles zwycięża, jeśli odetnie wszystkie głowy

W każdym kroku Herakles odcina jedną głowę.

Na miejscu odciętej głowy wyrasta nowa według następującejzasady:

jeśli w kroku n-tym (czyli n-tym cięciem miecza) Herakles odciąłjakąś głowę, to z węzła odległego o 1 segment od głowy uciętejwyrasta n kopii tej części hydry, która po odcięciu głowy znajdujesię powyżej węzła osiągniętego przez cofnięcie się o 1 segment

jeśli ucięta głowa ma tułów jako jeden ze swoich węzłów, to niewyrasta żadna nowa głowa

Herakles zwycięża, jeśli odetnie wszystkie głowy

W każdym kroku Herakles odcina jedną głowę.

Na miejscu odciętej głowy wyrasta nowa według następującejzasady:

jeśli w kroku n-tym (czyli n-tym cięciem miecza) Herakles odciąłjakąś głowę, to z węzła odległego o 1 segment od głowy uciętejwyrasta n kopii tej części hydry, która po odcięciu głowy znajdujesię powyżej węzła osiągniętego przez cofnięcie się o 1 segment

jeśli ucięta głowa ma tułów jako jeden ze swoich węzłów, to niewyrasta żadna nowa głowa

Herakles zwycięża, jeśli odetnie wszystkie głowy

W każdym kroku Herakles odcina jedną głowę.

Na miejscu odciętej głowy wyrasta nowa według następującejzasady:

jeśli w kroku n-tym (czyli n-tym cięciem miecza) Herakles odciąłjakąś głowę, to z węzła odległego o 1 segment od głowy uciętejwyrasta n kopii tej części hydry, która po odcięciu głowy znajdujesię powyżej węzła osiągniętego przez cofnięcie się o 1 segment

jeśli ucięta głowa ma tułów jako jeden ze swoich węzłów, to niewyrasta żadna nowa głowa

Herakles zwycięża, jeśli odetnie wszystkie głowy

Posąg Heraklesa zabijającego Hydręrzymska kopia greckiego oryginału z IV w.p.n.e.

(Palazzo Nuovo, Rzym)

q@@

@@

@

��

��

�q qA

AA

AA

A

������

AA

AA

AA

������

q q q qHHHHH

LL

LL

�����q q q

AA

AA

����

���)

q q

q@@

@@

@

��

��

�q qA

AA

AA

A

������

AA

AA

AA

������

��

��

��

q qq q

q q qHHHHH

LL

LL

�����q q q

q@@

@@

@

��

��

�q qA

AA

AA

A

������

AA

AA

AA

������

��

��

��

q qq q

q q qHHHHH

LL

LL

�����q q q

����

q@@

@@

@

��

��

�q qB

BB

BB

BB

�������

��

�

q q qDDDDD

�����

DDDDD

�����

DDDDD

�����

q q q q q q

qA

AA

AA

A

������

��

��

��

q qq q

q

q@@

@@

@

��

��

�q q

��

BB

BB

BBB

�������

��

�

q q qDDDDD

�����

DDDDD

�����

DDDDD

�����

q q q q q q

qA

AA

AA

A

������

��

��

��

q qq q

q

q@@

@@

@

�������

��

��

��

�������

q q qq

AAA

���

���

(((���

��

q qqq

qq

q q

��

��

��

��

q qqq

qq

q qqBBB

BB

BB

�������

��

�

q q qDDDDD

�����

DDDDD

�����

DDDDD

�����

q q q q q q

q

strategia = funkcja określająca, którą głowę należy odciąć nadanym etapie walki

strategia zwycięska = strategia, która gwarantuje zwycięstwo

strategia = funkcja określająca, którą głowę należy odciąć nadanym etapie walki

strategia zwycięska = strategia, która gwarantuje zwycięstwo

TWIERDZENIE Każda strategia jest dla Heraklesa zwycięska.

zdanie ψ: każda strategia efektywna (rekurencyjna) jest dlaHeraklesa zwycięska

zdanie ψ jest prawdziwe

TWIERDZENIE Zdanie ψ jest prawdziwe, ale niedowodliwew arytmetyce PA.

Zatem: zdanie ψ jest nierozstrzygalne w PA

TWIERDZENIE Każda strategia jest dla Heraklesa zwycięska.

zdanie ψ: każda strategia efektywna (rekurencyjna) jest dlaHeraklesa zwycięska

zdanie ψ jest prawdziwe

TWIERDZENIE Zdanie ψ jest prawdziwe, ale niedowodliwew arytmetyce PA.

Zatem: zdanie ψ jest nierozstrzygalne w PA

TWIERDZENIE Każda strategia jest dla Heraklesa zwycięska.

zdanie ψ: każda strategia efektywna (rekurencyjna) jest dlaHeraklesa zwycięska

zdanie ψ jest prawdziwe

TWIERDZENIE Zdanie ψ jest prawdziwe, ale niedowodliwew arytmetyce PA.

Zatem: zdanie ψ jest nierozstrzygalne w PA

TWIERDZENIE Każda strategia jest dla Heraklesa zwycięska.

zdanie ψ: każda strategia efektywna (rekurencyjna) jest dlaHeraklesa zwycięska

zdanie ψ jest prawdziwe

TWIERDZENIE Zdanie ψ jest prawdziwe, ale niedowodliwew arytmetyce PA.

Zatem: zdanie ψ jest nierozstrzygalne w PA

TWIERDZENIE Każda strategia jest dla Heraklesa zwycięska.

zdanie ψ: każda strategia efektywna (rekurencyjna) jest dlaHeraklesa zwycięska

zdanie ψ jest prawdziwe

TWIERDZENIE Zdanie ψ jest prawdziwe, ale niedowodliwew arytmetyce PA.

Zatem: zdanie ψ jest nierozstrzygalne w PA

Wnioski

• aksjomatyzacja – wygodne narzędzie ścisłego porządkowaniai przekazywania wiedzy (matematycznej), najlepsze narzędzie,jakie ludzie wymyślili

• metoda aksjomatyczna nie daje pełnej wiedzy (naweto liczbach naturalnych)

• nie można całej matematyki zawrzeć w niesprzecznymsystemie aksjomatycznym, w żadnym takim systemie niemożna zawrzeć całości prawdy nawet o liczbach naturalnych

• niewyczerpywalność zasobu prawd matematycznych, nawetprawd arytmetycznych dotyczących liczb naturalnych

Wnioski

• aksjomatyzacja – wygodne narzędzie ścisłego porządkowaniai przekazywania wiedzy (matematycznej), najlepsze narzędzie,jakie ludzie wymyślili

• metoda aksjomatyczna nie daje pełnej wiedzy (naweto liczbach naturalnych)

• nie można całej matematyki zawrzeć w niesprzecznymsystemie aksjomatycznym, w żadnym takim systemie niemożna zawrzeć całości prawdy nawet o liczbach naturalnych

• niewyczerpywalność zasobu prawd matematycznych, nawetprawd arytmetycznych dotyczących liczb naturalnych

Wnioski

• aksjomatyzacja – wygodne narzędzie ścisłego porządkowaniai przekazywania wiedzy (matematycznej), najlepsze narzędzie,jakie ludzie wymyślili

• metoda aksjomatyczna nie daje pełnej wiedzy (naweto liczbach naturalnych)

• nie można całej matematyki zawrzeć w niesprzecznymsystemie aksjomatycznym, w żadnym takim systemie niemożna zawrzeć całości prawdy nawet o liczbach naturalnych

• niewyczerpywalność zasobu prawd matematycznych, nawetprawd arytmetycznych dotyczących liczb naturalnych

Wnioski

• aksjomatyzacja – wygodne narzędzie ścisłego porządkowaniai przekazywania wiedzy (matematycznej), najlepsze narzędzie,jakie ludzie wymyślili

• metoda aksjomatyczna nie daje pełnej wiedzy (naweto liczbach naturalnych)

• nie można całej matematyki zawrzeć w niesprzecznymsystemie aksjomatycznym, w żadnym takim systemie niemożna zawrzeć całości prawdy nawet o liczbach naturalnych

• niewyczerpywalność zasobu prawd matematycznych, nawetprawd arytmetycznych dotyczących liczb naturalnych

Wnioski

• aksjomatyzacja – wygodne narzędzie ścisłego porządkowaniai przekazywania wiedzy (matematycznej), najlepsze narzędzie,jakie ludzie wymyślili

• metoda aksjomatyczna nie daje pełnej wiedzy (naweto liczbach naturalnych)

• nie można całej matematyki zawrzeć w niesprzecznymsystemie aksjomatycznym, w żadnym takim systemie niemożna zawrzeć całości prawdy nawet o liczbach naturalnych

• niewyczerpywalność zasobu prawd matematycznych, nawetprawd arytmetycznych dotyczących liczb naturalnych

Wnioski

• konieczność stosowania metod nieskończonych nawet przydowodzeniu twierdzeń o obiektach skończonych, jak liczbynaturalne

• dowodliwość 6= prawdziwość

ϕ dowodliwe −→ ϕ prawdziweale nieprawda, że: ϕ prawdziwe −→ ϕ dowodliwe

• nie można a priori ograniczać metod stosowanychw matematyce, nie można ograniczać twórczej inwencjimatematyków

• nie ma (i nie będzie) absolutnych dowodów niesprzecznościw matematyce

Wnioski

• konieczność stosowania metod nieskończonych nawet przydowodzeniu twierdzeń o obiektach skończonych, jak liczbynaturalne

• dowodliwość 6= prawdziwość

ϕ dowodliwe −→ ϕ prawdziweale nieprawda, że: ϕ prawdziwe −→ ϕ dowodliwe

• nie można a priori ograniczać metod stosowanychw matematyce, nie można ograniczać twórczej inwencjimatematyków

• nie ma (i nie będzie) absolutnych dowodów niesprzecznościw matematyce

Wnioski

• konieczność stosowania metod nieskończonych nawet przydowodzeniu twierdzeń o obiektach skończonych, jak liczbynaturalne

• dowodliwość 6= prawdziwość

ϕ dowodliwe −→ ϕ prawdziwe

ale nieprawda, że: ϕ prawdziwe −→ ϕ dowodliwe

• nie można a priori ograniczać metod stosowanychw matematyce, nie można ograniczać twórczej inwencjimatematyków

• nie ma (i nie będzie) absolutnych dowodów niesprzecznościw matematyce

Wnioski

• konieczność stosowania metod nieskończonych nawet przydowodzeniu twierdzeń o obiektach skończonych, jak liczbynaturalne

• dowodliwość 6= prawdziwość

ϕ dowodliwe −→ ϕ prawdziweale nieprawda, że: ϕ prawdziwe −→ ϕ dowodliwe

• nie można a priori ograniczać metod stosowanychw matematyce, nie można ograniczać twórczej inwencjimatematyków

• nie ma (i nie będzie) absolutnych dowodów niesprzecznościw matematyce

Wnioski

• konieczność stosowania metod nieskończonych nawet przydowodzeniu twierdzeń o obiektach skończonych, jak liczbynaturalne

• dowodliwość 6= prawdziwość

ϕ dowodliwe −→ ϕ prawdziweale nieprawda, że: ϕ prawdziwe −→ ϕ dowodliwe

• nie można a priori ograniczać metod stosowanychw matematyce, nie można ograniczać twórczej inwencjimatematyków

• nie ma (i nie będzie) absolutnych dowodów niesprzecznościw matematyce

Wnioski

• konieczność stosowania metod nieskończonych nawet przydowodzeniu twierdzeń o obiektach skończonych, jak liczbynaturalne

• dowodliwość 6= prawdziwość

ϕ dowodliwe −→ ϕ prawdziweale nieprawda, że: ϕ prawdziwe −→ ϕ dowodliwe

• nie można a priori ograniczać metod stosowanychw matematyce, nie można ograniczać twórczej inwencjimatematyków

• nie ma (i nie będzie) absolutnych dowodów niesprzecznościw matematyce

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Czy umysł ludzki działa tak, jak maszyna (komputer)?

Czy pracę matematyka można zmechanizować i zautomatyzować?

NIE

Nie można twórczej pracy umysłu matematyka zastąpić w pełnipracą maszyny (komputera).

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Czy umysł ludzki działa tak, jak maszyna (komputer)?

Czy pracę matematyka można zmechanizować i zautomatyzować?

NIE

Nie można twórczej pracy umysłu matematyka zastąpić w pełnipracą maszyny (komputera).

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Czy umysł ludzki działa tak, jak maszyna (komputer)?

Czy pracę matematyka można zmechanizować i zautomatyzować?

NIE

Nie można twórczej pracy umysłu matematyka zastąpić w pełnipracą maszyny (komputera).

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Czy umysł ludzki działa tak, jak maszyna (komputer)?

Czy pracę matematyka można zmechanizować i zautomatyzować?

NIE

Nie można twórczej pracy umysłu matematyka zastąpić w pełnipracą maszyny (komputera).

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Czy umysł ludzki działa tak, jak maszyna (komputer)?

Czy pracę matematyka można zmechanizować i zautomatyzować?

NIE

Nie można twórczej pracy umysłu matematyka zastąpić w pełnipracą maszyny (komputera).

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Twierdzenia Gödla pokazują pewne granice możliwości poznawczychmetody aksjomatycznej i granice możliwości maszyn (komputerów).

Czy pokazują też granice możliwości poznawczych człowieka?

Umiemy rozstrzygać (przynajmniej niektóre) zdania nierozstrzygalnew danym systemie aksjomatycznym.

Wydaje się więc, że odpowiedź jest negatywna.

Ale czy jesteśmy w stanie odpowiedzieć na każde pytanie?

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Twierdzenia Gödla pokazują pewne granice możliwości poznawczychmetody aksjomatycznej i granice możliwości maszyn (komputerów).

Czy pokazują też granice możliwości poznawczych człowieka?

Umiemy rozstrzygać (przynajmniej niektóre) zdania nierozstrzygalnew danym systemie aksjomatycznym.

Wydaje się więc, że odpowiedź jest negatywna.

Ale czy jesteśmy w stanie odpowiedzieć na każde pytanie?

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Twierdzenia Gödla pokazują pewne granice możliwości poznawczychmetody aksjomatycznej i granice możliwości maszyn (komputerów).

Czy pokazują też granice możliwości poznawczych człowieka?

Umiemy rozstrzygać (przynajmniej niektóre) zdania nierozstrzygalnew danym systemie aksjomatycznym.

Wydaje się więc, że odpowiedź jest negatywna.

Ale czy jesteśmy w stanie odpowiedzieć na każde pytanie?

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Twierdzenia Gödla pokazują pewne granice możliwości poznawczychmetody aksjomatycznej i granice możliwości maszyn (komputerów).

Czy pokazują też granice możliwości poznawczych człowieka?

Umiemy rozstrzygać (przynajmniej niektóre) zdania nierozstrzygalnew danym systemie aksjomatycznym.

Wydaje się więc, że odpowiedź jest negatywna.

Ale czy jesteśmy w stanie odpowiedzieć na każde pytanie?

Twierdzenia Gödla a sztuczna inteligencja

Twierdzenia Gödla pokazują pewne granice możliwości poznawczychmetody aksjomatycznej i granice możliwości maszyn (komputerów).

Czy pokazują też granice możliwości poznawczych człowieka?

Umiemy rozstrzygać (przynajmniej niektóre) zdania nierozstrzygalnew danym systemie aksjomatycznym.

Wydaje się więc, że odpowiedź jest negatywna.

Ale czy jesteśmy w stanie odpowiedzieć na każde pytanie?