1

BOumlLUumlM 9

NORMAL DAĞILIM

Normal dağılım normal dağılım eğrisi (normaly distribution curve) ile kavramlaştırılan hipotetik bir

evren dağılımıdır Gauss dağılımı ya da Gauss eğrisi olarak da bilinen normal dağılım eğrisi suumlrekli

ve olasılıklı bir fonksiyon eğrisidir

Normal dağılım eğrisinin fonksiyonu aşağıdaki şekildedir

Formuumllden de anlaşılacağı uumlzere normal dağılımı tanımlayan parametreler evren ortalaması (micro) ve

evren standart sapması (σ)dır

Normal dağılım eğrisi bir fonksiyon olarak kartezyen duumlzlemde aşağıdaki gibi ccedilizilir

Normal dağılım eğrisi oumllccedilme sonuccedillarının orta noktalarda yoğunlaştığı uccedil noktalarda seyrekleştiği bir

dağılımın şeklini ifade etmektedir

Normal dağılımın karakteristik oumlzellikleri şu şekildedir

1 Simetriktir

2 Asimptotiktir

3 (-infin +infin) aralığında değerler alır

4 Eğri altındaki toplam alanın olasılığı 1dir [ P (-infin lt X lt +infin) = 1 ]

5 Ortalama mod ve medyan değerleri ccedilakışıktır [ micro = Medyan = Mod ]

2

91 CcedilARPIK VE BASIK DAĞILIMLAR

Aşağıda normal dağılımdan farklılaşan dağılımlar dağılımın şekilleri ile goumlsterilmiştir

Şekil 1 Sağa Ccedilarpık Dağılım Şekil 2 Sola Ccedilarpık Dağılım

Şekil 3 Sivri Dağılım Şekil 4 Basık Dağılım

92 DAĞILIM NORMALLİĞİNİN İNCELENMESİ

a) Verilerin normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemenin yollarından biri dağılımın grafiğini

ccedilizmek ve bu grafiği yorumlamaktır

b) Verilerin dağılımının normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemenin bir diğer yolu ortalama

mod ve medyan değerlerine bakmaktır Normal dağılımda bu değerler ccedilakışıktır Bu istatistikler

birbirine yaklaştığı oumllccediluumlde dağılım normal dağılıma yaklaşır Birbirinden uzaklaştığı oumllccediluumlde dağılım

ccedilarpıklaşır Fakat bu yakınlığın duumlzeyi ile ilgili belirli bir standart yoktur Bu nedenle burada verilen

diğer youmlntemlerle birlikte değerlendirilmesi oumlnerilir

c) Normal dağılımı test etmenin bir diğer yolu da basıklık ve ccedilarpıklık katsayılarına bakmaktır

Ccedilarpıklık (skewness) katsayısı normal dağılımda 0dır Negatif ccedilarpıklık katsayısı sağa ccedilarpık dağılıma

pozitif ccedilarpıklık katsayısı sola ccedilarpık dağılıma işaret eder Basıklık (kurtosis) katsayısı da normal

dağılımda 0dır Pozitif basıklık katsayısı sivri dağılıma negatif basıklık katsayısı ise basık bir dağılıma

işaret eder Dağılımın normal dağılımdan manidar duumlzeyde farklılaşmıyor olması iccedilin bu değerlerin (-

1 +1) aralığında kalması beklenir

2

91 CcedilARPIK VE BASIK DAĞILIMLAR

Aşağıda normal dağılımdan farklılaşan dağılımlar dağılımın şekilleri ile goumlsterilmiştir

Şekil 1 Sağa Ccedilarpık Dağılım Şekil 2 Sola Ccedilarpık Dağılım

Şekil 3 Sivri Dağılım Şekil 4 Basık Dağılım

92 DAĞILIM NORMALLİĞİNİN İNCELENMESİ

a) Verilerin normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemenin yollarından biri dağılımın grafiğini

ccedilizmek ve bu grafiği yorumlamaktır

b) Verilerin dağılımının normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemenin bir diğer yolu ortalama

mod ve medyan değerlerine bakmaktır Normal dağılımda bu değerler ccedilakışıktır Bu istatistikler

birbirine yaklaştığı oumllccediluumlde dağılım normal dağılıma yaklaşır Birbirinden uzaklaştığı oumllccediluumlde dağılım

ccedilarpıklaşır Fakat bu yakınlığın duumlzeyi ile ilgili belirli bir standart yoktur Bu nedenle burada verilen

diğer youmlntemlerle birlikte değerlendirilmesi oumlnerilir

c) Normal dağılımı test etmenin bir diğer yolu da basıklık ve ccedilarpıklık katsayılarına bakmaktır

Ccedilarpıklık (skewness) katsayısı normal dağılımda 0dır Negatif ccedilarpıklık katsayısı sağa ccedilarpık dağılıma

pozitif ccedilarpıklık katsayısı sola ccedilarpık dağılıma işaret eder Basıklık (kurtosis) katsayısı da normal

dağılımda 0dır Pozitif basıklık katsayısı sivri dağılıma negatif basıklık katsayısı ise basık bir dağılıma

işaret eder Dağılımın normal dağılımdan manidar duumlzeyde farklılaşmıyor olması iccedilin bu değerlerin (-

1 +1) aralığında kalması beklenir

3

OumlRNEK 1

Bir sınıftaki 25 oumlğrencinin yazılı sınav notları aşağıda verilmektedir

NOT 55 60 65 75 90 95 90 80 75 75 70 65 60 50 45 40 70 65 70 70 60 70 80 75 70

Yazılı sınav notlarının normal dağılım goumlsterip goumlstermediğini belirlemeye ccedilalışalım

a) Verilen notların dağılımını betimleyen histogram aşağıdaki gibidir

Şekil 1 Oumlğrencilerin Yazılı Sınav Notlarının Dağılımı

Histogramda goumlruumllduumlğuuml gibi verilerin dağılımı normal dağılıma goumlre daha sivridir

b) Oumlrnekteki veriler iccedilin ortalama 682 medyan ve mod 70 olarak hesaplanır Bu değerler birbirine

oldukccedila yakındır Buna goumlre dağılımın yatay eksende normal olduğu yani sağa ya da sola ccedilarpık

olmadığı soumlylenebilir

c) Oumlrnekteki veriler iccedilin ccedilarpıklık katsayısı -0508 ve basıklık katsayısı 0186dır Buna goumlre dağılım

hafifccedile sağa ccedilarpı ve sivridir Fakat bu sapmalar (-1 +1) aralığında kaldığı iccedilin dağılımın normal olduğu

soumlylenebilir

4

93 NORMAL DAĞILIM EĞRİSİ ALTINDAKİ ALANLAR VE OLASILIK

Normal dağılım eğrisi iyi tanımlı bir eğridir Bu nedenle standart sapma aralıklarına goumlre eğri altında

kalan alanlar hesaplanabilmektedir

Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml gibi ortalamanın 1 standart sapma sağında ve solunda kalan alanlar eğri

altındaki toplam alanın 341ini oluşturmaktadır -1 ve +1 standart sapma arasında kalan alan

toplam alanın 682sidir Ortalamanın 2 standart sapma sağı ile 2 standart sapma solu yani -2

standart sapma ile +2 standart sapma arasında kalan alan eğri altında kalan toplam alanın yaklaşık

95ini oluşturmaktadır -3 ve +3 standart sapma aralığı ise eğri altındaki toplam alanın yaklaşık

99unu oluşturmaktadır

Normal dağılım eğrisinin iyi tanımlı olması normal dağılım goumlsteren oumllccedilme sonuccedillarının belli

aralıklarda goumlruumllme olasılığının belirlenebilmesini sağlamaktadır Diğer bir deyişle bir değişkenin

goumlzlenen değerleri normal dağılım goumlsteriyorsa herhangi bir goumlzlem değerinin ya da belli bir

aralıktaki goumlzlem değerlerinin goumlruumllme olasılığı belirlenebilir

5

Normal dağılımın davranış bilimleri eğitim bilimleri psikoloji gibi odağında insan ve birey bulunan

alanlarda oumlnemli bir karşılığı vardır Birey oumlzelliklerinin oumlnemli bir kısmı evrende normal dağılım

goumlstermektedir Oumlrneğin zeka evrende normal dağılım goumlsteren bir birey oumlzelliğidir Yani orta

duumlzeyde zekaya sahip olan bireyler ccediloğunluğu yuumlksek duumlzeyde zekaya ya da duumlşuumlk duumlzeyde zekaya

sahip olan bireyler azınlığı oluşturur Başarı ilgi tutum kişilik gibi oumlzelliklerin oumlnemli bir kısmı iccedilin de

benzer durum soumlz konusudur İlgilenilen oumlzelliğin normal dağılım goumlstermesi bu oumlzelliğe youmlnelik

oumllccedilme sonuccedillarının goumlruumllme olasılığı hakkında oumlnemli ccedilıkarımlar ve kestirimler yapılabilmesini de

olanaklı hale getirmektedir

OumlRNEK 2

Bir sınıfta yazılı yoklama notlarının ortalaması micro=60 ve standart sapması σ=5 olarak hesaplanmıştır

Yazılı notları normal dağılım goumlstermektedir Bu durumda notların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır

Buna goumlre aşağıdaki soruları yanıtlayalım

a) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 50nin altında not alma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı eğride 50 değerinde yer alan dikey ccedilizginin solunda kalan alandır Bu alan

00227dir Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 0nin altında not almış olma olasılığı 227dir

b) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not alma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı eğride 55 ve 65 değerlerinde yer alan dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam

alandır Bu alan 06826dır Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not almış olma

olasılığı 6826dır

6

c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan

03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı

8413tuumlr

d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır

Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu

alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış

olma olasılığı 1573tuumlr

4

93 NORMAL DAĞILIM EĞRİSİ ALTINDAKİ ALANLAR VE OLASILIK

Normal dağılım eğrisi iyi tanımlı bir eğridir Bu nedenle standart sapma aralıklarına goumlre eğri altında

kalan alanlar hesaplanabilmektedir

Yukarıdaki şekilde goumlruumllduumlğuuml gibi ortalamanın 1 standart sapma sağında ve solunda kalan alanlar eğri

altındaki toplam alanın 341ini oluşturmaktadır -1 ve +1 standart sapma arasında kalan alan

toplam alanın 682sidir Ortalamanın 2 standart sapma sağı ile 2 standart sapma solu yani -2

standart sapma ile +2 standart sapma arasında kalan alan eğri altında kalan toplam alanın yaklaşık

95ini oluşturmaktadır -3 ve +3 standart sapma aralığı ise eğri altındaki toplam alanın yaklaşık

99unu oluşturmaktadır

Normal dağılım eğrisinin iyi tanımlı olması normal dağılım goumlsteren oumllccedilme sonuccedillarının belli

aralıklarda goumlruumllme olasılığının belirlenebilmesini sağlamaktadır Diğer bir deyişle bir değişkenin

goumlzlenen değerleri normal dağılım goumlsteriyorsa herhangi bir goumlzlem değerinin ya da belli bir

aralıktaki goumlzlem değerlerinin goumlruumllme olasılığı belirlenebilir

5

Normal dağılımın davranış bilimleri eğitim bilimleri psikoloji gibi odağında insan ve birey bulunan

alanlarda oumlnemli bir karşılığı vardır Birey oumlzelliklerinin oumlnemli bir kısmı evrende normal dağılım

goumlstermektedir Oumlrneğin zeka evrende normal dağılım goumlsteren bir birey oumlzelliğidir Yani orta

duumlzeyde zekaya sahip olan bireyler ccediloğunluğu yuumlksek duumlzeyde zekaya ya da duumlşuumlk duumlzeyde zekaya

sahip olan bireyler azınlığı oluşturur Başarı ilgi tutum kişilik gibi oumlzelliklerin oumlnemli bir kısmı iccedilin de

benzer durum soumlz konusudur İlgilenilen oumlzelliğin normal dağılım goumlstermesi bu oumlzelliğe youmlnelik

oumllccedilme sonuccedillarının goumlruumllme olasılığı hakkında oumlnemli ccedilıkarımlar ve kestirimler yapılabilmesini de

olanaklı hale getirmektedir

OumlRNEK 2

Bir sınıfta yazılı yoklama notlarının ortalaması micro=60 ve standart sapması σ=5 olarak hesaplanmıştır

Yazılı notları normal dağılım goumlstermektedir Bu durumda notların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır

Buna goumlre aşağıdaki soruları yanıtlayalım

a) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 50nin altında not alma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı eğride 50 değerinde yer alan dikey ccedilizginin solunda kalan alandır Bu alan

00227dir Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 0nin altında not almış olma olasılığı 227dir

b) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not alma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı eğride 55 ve 65 değerlerinde yer alan dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam

alandır Bu alan 06826dır Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not almış olma

olasılığı 6826dır

6

c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan

03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı

8413tuumlr

d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır

Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu

alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış

olma olasılığı 1573tuumlr

5

Normal dağılımın davranış bilimleri eğitim bilimleri psikoloji gibi odağında insan ve birey bulunan

alanlarda oumlnemli bir karşılığı vardır Birey oumlzelliklerinin oumlnemli bir kısmı evrende normal dağılım

goumlstermektedir Oumlrneğin zeka evrende normal dağılım goumlsteren bir birey oumlzelliğidir Yani orta

duumlzeyde zekaya sahip olan bireyler ccediloğunluğu yuumlksek duumlzeyde zekaya ya da duumlşuumlk duumlzeyde zekaya

sahip olan bireyler azınlığı oluşturur Başarı ilgi tutum kişilik gibi oumlzelliklerin oumlnemli bir kısmı iccedilin de

benzer durum soumlz konusudur İlgilenilen oumlzelliğin normal dağılım goumlstermesi bu oumlzelliğe youmlnelik

oumllccedilme sonuccedillarının goumlruumllme olasılığı hakkında oumlnemli ccedilıkarımlar ve kestirimler yapılabilmesini de

olanaklı hale getirmektedir

OumlRNEK 2

Bir sınıfta yazılı yoklama notlarının ortalaması micro=60 ve standart sapması σ=5 olarak hesaplanmıştır

Yazılı notları normal dağılım goumlstermektedir Bu durumda notların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır

Buna goumlre aşağıdaki soruları yanıtlayalım

a) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 50nin altında not alma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı eğride 50 değerinde yer alan dikey ccedilizginin solunda kalan alandır Bu alan

00227dir Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 0nin altında not almış olma olasılığı 227dir

b) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not alma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı eğride 55 ve 65 değerlerinde yer alan dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam

alandır Bu alan 06826dır Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55 ile 65 arasında not almış olma

olasılığı 6826dır

6

c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan

03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı

8413tuumlr

d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır

Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu

alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış

olma olasılığı 1573tuumlr

6

c) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı kaccediltır

Bu sorunun yanıtı 55 değerindeki dikey ccedilizginin solunda eğrinin altında kalan toplam alandır Bu alan

03413 + 050 = 08413tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 55in uumlzerinde not almış olma olasılığı

8413tuumlr

d) Bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış olma olasılığı kaştır

Bu sorunun yanıtı 65 ve 75 değerlerindeki dikey ccedilizgiler ile eğri arasında kalan toplam alandır Bu

alan 01359 + 00214 = 01573tuumlr Buna goumlre bu sınıfta bir oumlğrencinin 65 ile 75 arasında not almış

olma olasılığı 1573tuumlr